Matematica pentru examenul de bacalaureat M1

Filiera teoretica, profilul real specializarea matematidi-informaticardiera vocational a, profilul militar, specializarea matematica-informatica

Marian ANDRONACHE • Dinu SERBANESCUMarius PERIANU • Catalin CIUP ALA • Florian DUMITREL

Matematicapentru examenul

de bacalaureat

Ml

~MATEMATICIENILOR

Clubul matematicienilor este un proiect dezvoltat de Grupul Editorial Art.

Copyright © 2012

~GNpEditorial

Toate drepturile asupra aeestei lucrari apartin editurii.Reprodueerea integrala sau partials a continutului lucrariieste posibila numai cu acordul prealabil seris al editurii.

Referenti stiintifici:prof. drd. Livia Harabagiuprof. gr. I. Eduard Buzdugan

Tehnoredactare:Cornel Draghia

Coperta:Alexandru Da~

Tiparit la C.N.I. "Coresi" S.A.

Descrierea CIP este disponibila la Biblioteca Nationala a Romanie]

978-973-124-824-0

Pentru comenzi va puteti adresa:

Departamentului DijUzareC.P. 22, O.P. 84, Cod: 062650, sector 6, Bucuresti

telefon021.224.17.650721.213.5760744.300.870

Se acorda importante reduceri.

Cuprins

Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE(clasele IX-X)Tema 1.1 - Multimi de numere.

Multimi ~i elemente de logica matematica . 7 196

Tema 1.2 - Functii definite pe multimeanumerelor naturale (~iruri) 10 197

Tema 1.3 - Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice 14 200

Tema 1.4 - Functia de gradull. Functia de gradul alII-lea 19 201

Tema 1.5 - Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale.............................................24 204

Tema 1.6 - Functia exponentlala ~i functla logaritmica.Ecuatii ~i inecuat]] exponentiate ~i logaritmice 28 207

Tema 1.7 - Numere complexe 32 208

Tema 1.8 - Metode de numarare. Elemente de combinatorlca.Matematici financiare 36 209

Tema 1.9 - Vectori in plan. Geometrie vectcrlala.Geometrie analitica 40 210

Tema 1.10 - Trigonometrie. Aplicatii ale trigonometriei ~i aleprodusului scalar in geometria plana 46 213

Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII)Tema 2.1- Permutari. Matrice. Determlnanti 55 216

Tema 2.2 - Sisteme de ecuatii liniare 64 219

.-.-.•..•..Eo

r:/:J

•3

Tema 2.3 - Structuri algebrice..............................................................................74 226 Algebra/CeornetrieClasele IX-X

Tema 2.4 - Polinoame cu coeflclentl intr-un corp comutativ................ 85 235

Partea 3.ANALiZA MATEMATICA (clasele XI-XII)Tema 3.1 - Limite de ~iruri. Limite de functll,

Functii continue. Functii derivabile........................................... 97 239 Tema 1.1. Mullimi de numere. Mullimi ~ielemente de loqica rnatematica(cia sa a IX-a)

Tema 1.2. Functil definite pe multimea numerelor naturale (slrurl)(cia sa a IX-a)

Tema 1.3. Functil. Proprletati generale. Lecturi grafice(clasele IX-X)

Tema 1.4. Functia de gradull. Functia de gradul al ll-Iea

(clasa a IX-a)

Tema 1.5. Puteri ~i radicali. Ecuatil irationale(clasa a X-a)

Tema 1.6. Exponentiale ~i logaritmi(clasa a X-a)

Tema 1.7. Numere complexe(clasa a X-a)

Tema 1.8. Metode de nurnarare. Elemente de cornblnatorica(clasa a X-a)

Tema 1.9. Vectori in plan. Geometrie vectorlala. Geometrie analltica(clasele IX-X)

Tema 1.10. Elemente de trigonometrie. Functli ~iecuatli trigonometrice(clasa a X-a)

Tema 3.2 - Primitive..................................................................................................118254

T ma 3 3 - Fri'" t blle • u n •..,II In egra I e 124 258

Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTETema 4.1- Subiecte date la examenul de bacalaureat

in anii anteriori 143 280

Tema 4.2 - Variante de subiecte propuse spre rezolvare 156 304

Tema 1.1Multimi de numere ..

Multimi ~i elemente de logica matematica

1. Partea intreaga ,i partea fraclionara a unui numar real

Defini~ie. Fie x E lR . Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal dedit x se numeste

par/ea fntreagii a lui x. Se noteaza: [x] = max {p E IE I p ~ x} .

Numarul real {x} = x - [x] se numeste partea fractionard a lui x.

Proprletatl1. [x]~x<[x]+l, VXElR;

2. x-1<[x]~x, VXElR;

3. [X]=X<=>XEIE;

4. [x + n] = [x] + n <=> n E IE ;Identitatea lui Hermite.

[X]+[x+~J+[x+~J+ ... +[x+ n~lJ=[nx], VXElR, VnEN*\{l}.

1. {x}E[O,l), VXElR;

2. {x} = 0 <=> X E IE ;

3. {x} = {y} <=> x- Y E IE,

4. {x + n} = {x} <=> n E IE.

Probleme propuse

1. Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarelor propozitiia) p: ,,[x]+[Y] = [x+ y], pentru orice x,y E lR", unde [a] reprezinta partea intreaga a

numarului real a.b) q : ,,{3x} = 3{x} , pentru orice x E R", unde {a} reprezinta partea fractionara a

numarului real a.

c) r : " Vx E R, 3y E lR astfel incat X2 + y2 = 2012 ".

2. Determinati valoarea de adevar a afirmatiei: "Suma oricaror doua numere irationaleeste un numar irational."

3. a) Calculati [ J2012 J+( 2+.J2).{-.J2}.

b) Calculati [_1_+_1_+ ...+ 1 ]., 1·2 2·3 2012·2013

c) Calculati [ J2009 ] + 3· {-~} .

d) Calculati [ .Ji] + [.J2] + ...+ [ .JiOo].e) Calculati [( J3 + .J7f ] .

Variante bacalaureat 2009

iI

<U

~~w~Variante bacalaureat, februarie 2008 ~

•7

4. a) Determinaj] multirnea A=={xe[O,2]1[2x]==2[x]}, unde [a] reprezinta parteatntreaga a numarului real a.

b) Determinati multimea B == {x E [ -1,2] 13{x} == I}, unde {a} reprezinta parteafractionara a numarului real a.

S. Aratap ca [ .J n2 + n ] = n , pentru orice n EN.

6. Fie x E lR* . Aratati ca [~J= 0 daca si numai daca x > 1.

Variante bacalaureat .februarie 2008

7.a) Aratati ca {{x } + y} = {x + {y }} , pentru orice x, Y E lR .

b) Aratati ca {{x + Y} + z} = {x + {y + z}} , pentru orice x, y, Z E lR .

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat

8. a) Aratati ca [x] +[ x+~J = [2x], pentru orice x E lR.

b) Aratati ca daca [x + a] = [x + b]' pentru orice x E lR , atunci a = b .

9. Determinati mElR pentrucare {xElRl (m2-1)x+2>0}=lR.

10. Determinati cel mai mic element al multimii {x E lR I (x + 2) (x2 - 4) ~ O}.

~1. Se considera A = { X E lR I (x -1) ( x - 130)s o} . Determinati eel mai mare element al

multimii B = {I a=b Ila,b E Z, a < b, [a, b) c A} .

12. Determinati numerele naturale din multimea A = {x E lR I 1 < x s 2} ..fi+J3

13. Se considera multimile A = {x E lR Ilxl < 2} ~i B = [-3,0) . Determinati An B n Z .

14. Se considers multimile A - {O 2 4 6 50} . B {O }" t

LUll-", , ••• , ~l = ,3,6,9, ...,48. Aflati cardinalul

fiecareia dintre multimile A , B , An B ~i A uB .

15. Se considera fractia zecimala infinita 1 0"7 = ,a1a2••• • Determinati nurnarul de elemente

ale multimii A = {a a a. }t.l.ll.J. I' 2'--:}"" .

16. Se considera fractia zecimala infinita 411= ao' ala2 ••• • Determinati suma elementelor

multimii A = {a a. a }t 0'--1' 2"" .

7. Se considera fractia zecimala infinita ~~ = 0,ala2~'" . Calculati al +a2 + ... +a2012

•

Variante bacalaureat .februarie 2008, enunt adaptat

18. Determinati m e IR pentru care {1;2} ~ {x E IR I x2 +mx+4 == o] .19. Determinati perechile (m,n) E IRxlR pentru care {1;2} == {x E IR I x2 +mx+n == o].20. Determinati a E Z pentru care {x E IR I X2 -ax+ 4 == o] n{O, 1,2, ... ,2011} ;to 0.

21. Se considera multimea A = {a + bJ31 a, b E Z} .

a) Aratati ca numerele ~4+2J3 si {J3} apartin multimii A.

b) Aratap ca X· YEA, pentru orice x,YEA.

c) Aratati ca multimea B == {x E A I [x] = O} are eel putin 2012 elemente.

22. Aratati ca J3 ~ {a + b.fi I a, b E Z} .

Variante bacalaureat .februarie 2008

23. Determinati (x, y) E lRx lR pentru Care x2 + 2xy + 2l = 0 .

24. Aratati ca x2 + 3xy + 4y2 ~ 0, Vx, Y E lR .Variante bacalaureat 2009

25. Determinati x+ Y+ Z stiind ca x2 + l + Z2+4x+6y-2z +14 = O.

26. a) Aratati ca daca x,y,z E lR ~i x2 + l +Z2 = xy+xz+ yz, atunci x = Y = z.

b) Determinati multimea {Ca,b) E Rx R I a2 +b2 +4 = ab+2a+2b}.

27. a) Aratati ca !:+!!.. ~ 2, Va,b > O.b a

b) Aratati ca (a+b)(b+c)(c+a) ~ 8abc, Va,bc ~ O.

28. Se considera numerele x, y ~ 1 .

,\ Ar~ . ~ ../x-l 1a/ atati ca --~-.

x 2b) Aratati ca x~ y -1+ y../ x -1 ~ xy .

29. Determinati multimea {(a,b) E Nx N I Fa + ~ = 2} .

30. Dati un exemplu de doua numere naturale a si b care indeplinesc conditiaFa -log3 b E N' .

31. Dati un exemplu de doua numere irationale a ~i b care indeplinesc conditiilea + b E N* ~i a- b E Z . i

I>0(U

~~w!c~

32. Determinati un element (a, b, c) E N x N x N care verifica conditia 2° < b < log, c .

33. Ordonati crescator numerele.

a) -Ii. ifj, ln2; b) Ji, ifj, ~ ;1 1 t: 1 t;c) -, r; ~,,,5; d) -, log32, In2, ,,3, 1.2 ,,3 -,,2 2 •

9

Tema 1.2Functii definite pe multlmea numerelor naturale (~iruri)

1. $iruri

Definitie. Sirul de numere reale (Xn ).;'1 este monoton (strict) crescator daca

Xn~xn+1 (xn<xn+I), Vn~l.

Sirul de numere reale ( )xn n;,1 este mono ton (strict) descrescdtor daca

Xn ~xn+1 (xn >xn+I)' Vn~l.

Definitie. Sirul de numere reale (Xntl este mdrginit inferior daca exists un numarreal (notat cu) m astfel meat m ~ xn' Vn ~ 1.

Sirul de numere reale (Xn )."1 este mdrginit superior daca exista un numar real (notatcu) M astfel incat xn ~ M, Vn ~ 1.

Daca sirul (xn tl este marginit atdt inferior cat si superior, spunem ca sirul estemargin it.

2. Progresii aritmetice

Definitie. Sirul de numere reale (an )."1 este 0 progresie aritmetica de rape r dacaan+1- an = r, Vn ~ 1 (adica diferenta oricaror doi termeni consecutivi este constanta).

Proprietati

1. an = al +(n-l)·r, Vn ~ 1. 2. a = an_I +an+1 '"' > 2n 2 ' vn_ .

_n{al+an)_ n{n-l)3.8n- 2 -nal+r 2 ,Vn~l,unde8n=al+a2+··.+an·

a -al4. n=-n __ +l, Vn~l, r#O.r

3. Progresii geometrice

Definilie. Sirul de numere reale nenule (bntl este 0progresie geometricd de rape q daca

bn+1 = bn • q (adica raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant).Proprietati1. bn = b. .«: Vn ~ 1

2. b; = bn_1·bn+p Vn ~ 2.

{

qn_lbl--, q#l

3.8n= q-l ,unde8n=bl+b2+ ... +bn.nb., q = 1--- -------------------------- --------------------

Probleme propuse

1. Aratati ca sirul (an) >1 cu termenul general a = ~ este crescator.ne: n n+3


2. Aratati ca sirul (a ) de termen general a = n2- n este strict monoton.t· 'I n n~l' n


3. Aratati ca sirurile urmatoare sunt monotone.I I Ia) x =--+--+ ... +--, Vn~l

n n+I n+2 n+n

b) xn = J;+l-J;;, Vn ~ 1.n I

c) »: =L ( )'Vn ~ I .k=1 k k+I

4. Aratati ca sirurile urmatoare sunt marginite.n I

a) xn =L ( )( )'Vn ~ 1.k=1 k k+l k +Z

n 2k+Ib) xn =L 2' Vn ~ l.

k=1 e (k+l)n k

c) Xn = Il-,Vn~I.k=1 k+ 1

5. Fie progresia aritmetica (an to astfel meat as = 7 si a2l = 43 .

a) Determinati a13•

b) Stabiliti daca numarul2015 este termen al progresiei?c) Calculati suma T = a2 + as + as + ... + a2012 •

6. Calculati suma primilor 20 de termeni ar progresiei aritmetice (an LI' stiind ca

a4 - a2 = 4 ~i al + ~ + as + a6 = 30. Variante bacalaureat 2009

7. Determinati xEIR stiind ca x, (x_l)2 si x+2 sunt in progresie aritmetica.

8. Determinati numarul real x stiind ca numerele x + 1, 1- x si 4 sunt in progresiearitmetica.

9. Aflati a E IR pentru care numerele 20-1, To

+2 + 1, 20

+1 + 1 sunt in progresie aritmetica.


10. Calculati sumele.a) 1+4+7+ +100; b) 2+6+10+ ... +2010;c) 1+ 3 + 5 + + (2n + 3), n E N* ; d) 1+ 5 + 9 + ... + (4n - 3), n E N * .

11. Aratati ca suma primelor n numere naturale impare este un patrat perfect.

12. Se considera sirul (anLI. Stiind ca pentru orice n E N * are Ioc

al + a2 + ... + an = n2 + n , demonstrati ca sirul (an ).;'1 este 0 progresie aritmetica,

•..~

1IC(V

~~

egalitatea W

~~

•11

13. Determinati numarul natural x din egalitatile:a) 1+ 5 + 9 + + x = 231 .b) 1+3+5+ +x = 225.c) x+(x+l)+ +(x+x) =45.d) 2+5+8+ +x = 57.

Variante baca/aureat 2009

14. Determinati al zecelea termen al sirului xpx2,7,10,13, ...

15. Fie (an ).2c10 progresie aritmetica. Stiind ca Cl:J + al9 = 10, calculati a6 + a16·Variante bacalaureat 2009

16. Se considera progresia aritmetica (an ).2c1astfel incat a2 + a3 + al9 + a20= 8 . Calculati.

a) al +a2 + ...+a21; b) a2 +a4 + ... +a20.

17. Se considera progresia aritmetica (antl ~i Sn suma primilor n termeni ai progresiei.

a) Daca al + a4 = 100, an_3 + an = 200 ~i Sn = 600, determinati n.

b) Daca S3n = 9Sn si a4 = 21, calculati al .

18. Aratati ca daca numerele reale a,b ~i C sunt in progresie aritmetica si progresiegeometries, atunci a = b = c .

19. Determinati a,b E JR stiind ca numerele 2,a,b sunt in progresie geometrica ~i 2,17,asunt in progresie aritmetica. Variante bacalaureat 2009

20. Fie a.b,c numere naturale in progresie geometries. Stiind ca a + b + c este un numarpar, aratati ca numerele a.b,c sunt pare. Variante bacalaureat 2009

21. Determinati x > 0 stiind ca numerele 1,x -1, x + 5 sunt in progresie geometrica.

22. Fie ecuatia x2 - 4x + a = 0, cu radacinile XI si x2. Determinati a E JR* stiind ca

XI' x2' 3x2 sunt in progresie geometries.

23. Fie ecuatia x2 + ax + 2 = 0, cu radacinile XI si x2• Determinati a E JR stiind ca

XI' x2' x; sunt in progresie geometrica.

24. Determinati primul termen al sirului ao,apa2,4,8,16,32, ....

25. Determinati primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi bp6,b),24, ...Variante bacalaureat 2009

1 1 126. Se considera numarul real s = 1+ 2+ 22 + ...+ 2100. Aratati ca s E (1; 2).

1 1 1 1 227. Aratati ca s = 1-2+"4-8+"'+ 22012>"3'

1 1 1 1 1 128. Fie a=I+5+"'+510 si b=I-5+52"-53+"'-SU' Calculati [a]+[b], unde [x]

este partea intreaga a numarului real x.29. Aratati ca, pentru orice X E IR este adevarata egalitatea

(1+ X +X2 + ...+Xllt _Xii == (1+ X+X2 + ...+ xIO)(1 + x+ ... + X12) .

30. Calculati ratia progresiei geometrice (b') n2cI cu termeni pozitivi, daca b, +b2 == 6 ~i

b) +b, == 24 . Examen Baca/aureat 2011

31. Se considera progresia geometrica cu termeni pozitivi (bn ).~o si S; == bo +b, + ...+bn,

astfel tncat b, -bo == 15 si b2 +bo == 5.a) Determinati b2• b) Calculati S8'

32. Fie progresia aritmetica (an LI cu elemente numere naturale. Aratati ca ratia

progresiei este un numar natural.

33. Fie progresia geometries (bn LI cu toate elementele numere naturale. Aratati ca ratia

progresiei este un numar natural.34. Stiind cli doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b) = 6 si bs == 24, determinati

termenul b., Model subiect MEeTS, Bacalaureat 2011

35. Se considera functia /: JR~ JR,lex) == x + 1 . Calculati suma

/(2)+ /(22)+ ...+ /(29).

36. Se considers functia t :JR~ JR,/ (x) == 3x + 1 . Calculati sumele:

SI = /( (-3t)+ /((-3y)+ /( (_3)2)+ ...+ /(( -3YO)

S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(11).37. Se considera functia J :JR~ JR,/ (x) == 5x -1. Calculati sumele

SI == /(0)- /(1)+ /(2)- /(3)+ ...+ /(50), S2 = /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(50) ~i

S3 == /(2°)- /(i)+ /(22)- /(23)+ ...+ /(29).

•13

Tema 1.3Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice

Fie A ~i B doua multimi nevide. Spunem ca I: A ~ Beste o functie daca fiecaru]element x E A ii corespunde un unic element I(x) E B .

A se numeste domeniul functiei f, iar B se numeste eodomeniul functiei f Dona functiisunt egale daca au acelasi domeniu, acelasi codomeniu si aceeasi lege de definitie.

Grafieul functiei f: A ~ Beste multimea GJ = {(x,f(x») I x E A} c A x B .

Imaginea functiei f: A ~ B sau (multimea valorilor functieifi este multimea

Imf = {y E B I 3.x E A, f(x) = Y} = {j(x) I x E A}.

Observatii. 1. M(u, v) E GJ <=> feu) = v.

2. Functia identica a multimii zt este IA :A~A, IA(x)=x, 'v'xEA.

1. Operatii cu functiiDefinitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida si functiile f,g: D ~ JR. Atunci:

• suma functiilorj''si g este functia j" + g: D ~ JR, (f + g)(x) = f(x) + g(x);

• produsul functiilor j'si g este functiaf· g: D ~ JR, (f. g)(x) = f(x)· g(x);

• daca g(x);c 0, 'v'xED, cdtul functiilor hi g este functia f: D ~ JR (L)( x) = f(x) .g g g(x)

Compunerea funqiilor. Fie f: A ~ B ~i g :B ~ C doua functii. Functia

gof:A~C, (go flex) = g(j(x») , 'v'XE A, se numeste eompunerea functiilor g ~if

Observatie. Compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa.

2. Monotonia functiilor.Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida. Functia f: D ~ JR este monoton (strict)

crescdtoare daca pentru orice X,Y E D, x < y, avem f(x)::; fey) (f(x) < fey) ).

Functia f: D ~ JR este monoton (strict) descrescatoare daca x,y E D, x < y, avemI(x) ~ fey) (f(x) > fey) ).

Observatii.

1 D f(x)-f(y). aca raportul de variatie RJ(x,y) >0, 'v'x,YED,x;cy, atuncix-y

functia f este strict crescatoare, iar daca RJ ( x, y) < ° , 'v'x ;c y , atunci f este descrescatoare.

2. Compunerea a doua functii monotone, de aceeasi monotonie, este 0 functiecrescatoare; compunerea a doua functii monotone, de monotonii diferite, este 0 functiedescrescatoare.

3. Functii pare, impare, period ice.Definitie. Fie D ~ JR 0 rnultirne nevida centrata in origine ('v'x ED<=> -x ED).

a. Functia f :D ~ JR este functie para daca I( -x) = I(x), 'v'XED.

b. Functia f: D ~ JR eeusfunctie imparii daca I(-x) = - I(x), 'v'x ED.

Proprietiiti .1. Daca f: D ~ JR este 0 functie impara ~i °ED, atunci f(O) = °<=> 0(0,0) EGJ .

2. Suma f + g: D ~ JR a doua functii pare (impare) f,g: D ~ JR este tot 0 functie

para (impara). . ~ A Id.3. ProdusuVcatul a doua functii pare/imp are este 0 functie para. ProdusuVcatu mtre 0

functie para si una impara este 0 functie impara. .4. Compuncrea a doua functii pare/impare este 0 functie para. Compunerea dintre 0

functie para si una impara este 0 functie impara.

Definitie. Functia f :D ~ JR este periodica cu perioada T daca f(x+ T) = f(x) , pentruorice xED pentru care x + TED. Cea mai mica perioada pozitiva (daca exista) senumeste perioada principala.

4. Simetrii ale graficului unei functllDefinitie. Dreapta x = a este axa de simetrie pentru graficul functiei f: D ~ JR

daca f(a - x) = f(a + x), pentru orice XED astfel incat a - x, a + xED.

Punctul M (a, b) E xOy este eentru de simetrie pentru graficul functiei f: D ~ JR

daca f(a-x)+ f(a+x) = 2b, pentru orice xED astfel incat a-x, a+x ED.

Observatii. 1. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy.

2. Graficul unei functii impare este simetric fata de origine.

S. Functll injective, surjective, bijective, inversabileDefinitie. Functia f: A ~ Beste:

• injective daca pentru orice xl'x2 E A, XI ;c x2 avem f(xl);c f(xJ;

• surjectivd dad pentru orice y E B , exista x E A astfel incat f(x) = y;

• bijectiva daca este injective si surjectiva.

Definitie. Functia f: A ~ Beste inversabila daca exista 0 functie g: B ~ A astfel

incat go f = 1A ~i fog = lB. Notam g = r' si spunem ca r' este inversa functiei fObservatii1. Functia f :A ~ Beste injective daca ~inumai dad este indeplinita una din conditiile:

a. Pentru orice xl'x2 E A astfel incat f(xl) = f(x2) , rezulta XI = x2• ib. Pentru orice y E B , ecuatia f(x) = yare eel mult 0 solutie x EA. I

2. Functia f: A ~ B e surjectiva daca si numai daca este indeplinita una din conditiile: ~~a.lmf=B. :::liE1&.1b. Pentru orice y E B , ecuatia f(x) = yare eel putin 0 solutie x EA. !;(

3. Functia f: A ~ Beste bijectiva daca oricarui element y E B ii corespunde un unic :::liE

element x E A astfel incat f(x) = y. •15

4. Functia f· A ~ B t· b ·1- d .t· es e tnversa I a aca i;ll numai daca este bijectiva. Inversa

functiei bijective f :A -'0. B t funetl·af-I. B .t' . ---, es e t . ~ A care indeplinei;lte propnetatea:

l(x)=y¢:>x=F1(y),unde xEA si YEB.

-------------------------------- -------------------Probleme propuse

1. Aratat! eii ~ D U este perioada pentru functia I: JR~ JR, I (x) = {x} + {2x} .

2. Aratati eii ~ este perioada pentru functia I: JR~ JR, I(x) = {3x} .

3. Determinati cate 0 perioada pentru fiecare dintre functiile de mai jos.

a) I:JR~JR,J(x)={~}+{x}; b) g:JR~JR, g(x)={~}+{~}.

4. Determinati a E JR stiind cii functia I: JR ~ JR, I(x) = (1- a2) x + 4 este constants.

Bacalaureat 20115. Aratati ca functia I: JR~ JR, I(x) = 14x-81-214-2xl este constanta.

Variante bacalaureat 20096. Aratati ca functia I: [3, 8] ~ JR,J (x) = 1x - 81 + 13 - x 1 este constanta.

7. Aratati ca functia I: (0,+00) ~ JR, I (x) = [_x_J este constanta unde [a] estex2+1 '

partea intreaga a lui a.

8. Aratati ca functia I: (1,+00) ~ JR, I (x ) = ~ este strict descrescatoare,x-I

9. Se considera functiile I : JR ~ JR, I (x) = 2x -1 si TlJ) TlJ) ()"I g :A ~ A, g X = X + a .

Determinati a E JR stiind ca log = g 0 I .

10. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = 1- 2x . Aratati ca functia 10 I 0 I este strictdescrescatoare. Variante bacalaureat 2009

11. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = X4- X . Calculati (f 0 1)(0).

Examen Bacalaureat, iunie 200612. Determinati a E JR stiind cii functiile I: JR ~ JR, I(x) = Xl - 4x ~i g: JR ~ JR ,

g(x) = ax + 1 se intersecteaza intr-un punct pe axa Ox.

13. Pentru functia I:JR~JR,/(x)=Xl-4x+2 determinati eel mai mare element al

multimii A = {x E JR 1 I(x ) ~ 2} .

4. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = Xl -8x. Determinati suma eiementeior dinmultimea A = {a E JR 1 I(a) = a}.

15. Aratati ea imaginea functiei f :R ~ lR, f (x) = ~ +x +1 este intervalul [.!.,3J .x -x+l 3

16. Determinati multimea valorilor functiei I: JR ~ JR., f (x) = Ixl·Examen Bacalaureat, septembrie 2010

17. Se considera functiile I:JR.~JR., I(x)=x-I ~i g:JR.~JR., g(X)=X2. Determinati

imaginiie functiilor log si go I .

18. Se considers functia I: JR ~ JR,J (x) =+- si 1mI imaginea functiei fx +1

a) Aratat! cii 1~ Im I .. i functi ·1 1b) Aratati ca cea mal mare va oare a cpei este"2.

Ar- . - 1 Im j"c) atati ca -- E .2

19. Aratati ca minimui functiei I: JR~ JR, I(x) = X4 -2X2 este egal cu -1.

20. Se considers functia I: JR~ JR, I (x) = x2 -1. Pentru 0 submultirne A a lui JRdefmim multimea rl (A) = {x E JR 1 I(x) E A} . Determinati:

a) rl({0,2}); b) rl(3,+oo»); c) rl([3,8J);

d) Determinati m e JR pentru care multimea r' ({m}) are un singur element.

21. Determinati m, n E JR stiind ca puncteie A(I, 0) si B(O, -I) apartin graficului functiei

I: JR~ JR, I(x) = Xl +mx+n.

22. Aratati cii urmatoarele functii sunt impare:1 r+r

a) I: JR*~ JR, I(x) = Xl -- ; b) I: JR* ~ JR, I(x) = Xl + ;X X

c) l:lR~JR,J(x)=ln(X+.JX2+1); d) 1:(-3,3)~JR,J(X)=ln(3-X).3+x

Examen Bacalaureat, 2009, 2010

23. Aflati a E JR. pentru care functia I: JR~ JR, I (x) = x( e' + e-X) + a este impara,

24. Determinati a + b e JR pentru care functia I: JR~ lR, I(x) =X4+axl + 2X2+bx+ 1 este

functie para.25. Fie I: JR ~ JR 0 functie para. Aratati ca/nu este injectiva.

26. Fie I: JR ~ JR 0 functie irnpara. Aratati ca originea axelor de coordonate apartine •.•graficului functiei f :::E

I27. Se considera functiile l,g:JR.~JR,J(x)=2x+1 si g(x)=ax+b. Determinati oct:

ua, b E JR astfei incat log = IR . ~

:::E28. Fie functia I: JR ~ JR,J(x) = 2x+l. Aratati cii f 0 I ~... o f,(x) = 2" x+2" -I, pentru ~

0(

:::En-ori

orice x E JR. si orice n E N* . •17

29. a) Aratati ca functia I: lR~ lR, I (x) = x3 + X +1 este injectiva

b) Aratati ca functia I: lR~ R, I(x) = x3- X + 1 nu este injectiva.

c) Verificati daca functia I: JR~ JR, I(x) = x2 +x+ 1 este injectiva,d) Aratati ca functia I: N ~ N , I(x) = 3x + 1 nu este surjectiva.

Variante bacalaureat 2007,2008,2009

30. Aratati ca functia I: [1,+00) ~ [2, +00), I (x) = x +~ este inversabila.x

Variante bacalaureal, 2008

31. Determinati inversa functiei bijective I: JR ~ (0, +00), I(x) = 22x-1 •

32. Determinati inversa functiei bijective I: (0,00) ~ (1,00), I(x) = x2 + X + 1,.Variante bacalaureal, 2008

33. Fie g: JR ~ JR inversa functiei bijective I: JR ~ JR, I(x) = x3 + 2x +3. Calculatig(O) + g(3).

34. Aflati a E Z pentru care functia I: [1,+00) ~ [a, +00), I (x) = x2 + 4x este surjectiva,

35. Aflati a E JR pentru care functia I: (--oo,a] ~ JR, I(x) = x2 -2x+2, este injectiva,

36. Fie I: JR ~ JR 0 functie bijectiva cu 1(1) = 2 ~i 1(1(1») = 4. Calculati r1 (4) .Variante bacalaureal, februarie 2008

37. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ax + b . Aratati di exista 0 infmitate de perechi(a,b)EJRxJR pentrucare lol=IR'

Variante bacalaureat, 2009, enunt adaplal

38. Se considera 0 functie functia j": JR ~ R Notam H ={T ElRl l(x+T) = I(x)} .a) Aratati ca daca T E H ,atunci - T E H .b) Aratati ca daca I;, T2 E H , atunci I; + 7; E H .

Variante bacalaureal 2009, enunt adaptat

Tema 1.4Functia de gradull. Func~ia de gradul alII-lea

1. Functia de gradullFunctia I: JR ~ JR., I(x) = ax + b (cu a, b e JR, a ~ 0 ), se numeste functie de gradulI.

Graficul functiei I: JR ~ JR, I(x) = ax+b este 0 dreapta de panta a.Monotonia. Daca a> 0, atunci functiaj" este strict crescatoare,

Daca a < 0 , atunci functia f este strict descrescatoare._lL

axSemnul fun tiei de gradul I

f(x) - sgn(a) 0 sgn(a)

2. Functia de gradul alII-lea

Functia f:JR~JR, f(x)=ax2+bx+c(cu a,b,cEJR,a~O), se nume~tefunclie degradul al II-lea.

Forma canonica, f(x) = ax' +bx+c = a[ (x+ ;a)2 - 4~2l'unde 11 = b2 -4ac.

semnul f~ ~ gradol al don ••

1. 11 < 0 f(x) sgn(a)

Observatii

{a>o

f(x) >0, VXEJR~11<0

2. 11 = 0 o sgn(a)

x --00 b-2,;{a>o

f(x)~O, VXEJR~ 11:S;0f(x) sgn(a)

x{a<o

f(x) <0, VXEJR~ 11<03.11 > 0f(x) sgn(a) 0 - sgn(a) 0 sgn(a)

Graficul functiei f: JR ~ JR, f(x) = ax' +bx+c este 0 parabola de varf

v(-~ -~) axa de simetrie x = -~, care are ramurile orientate in sus daca a> 0 ~i2a' 4a ' 2a

injos daca a < O.

Monotonia ~i punctele de extremb +00x --00 -2,;

1. a>Of(x) '\, _..A.. /'4a

b +00X --00 -2,;2. a<O

I(x) ? A '\, a>O a<O-4; •19

• Daca a > 0, min J = - 4~ , care se atinge in puncmj (de minim) x = - ;a .Functiaj" este strict crescatoare pe [-!!..-, +ooJ si strict descr Xt ( ~ _!!..-J2a esca oare pe ~, 2a .

• Daca a < 0, max 1= -~ , care se atinge in punctul (de maxim) x = _!!..- .4a 2a

Functia 1este strict crescatoare pe [ - 2~ ,+00 ) si strict descrescatoare pe ( -00, - ;aJ .

. { b~ +-Xi =-Relatiile lui ViCte. Fie XI' x2 radacinile ecuatiei ax2 + bx + c = 0 . Atunci ca.

~-Xi =-a

Observatii.2 2 ()2 3 3 ( 31. XI +X2 = XI +X2 -2XIX2; XI +X2 = XI +X2) -3XIX2 (XI +X2).

2. Ecuatia de gradul al II-lea cu radacinile XI ~i x2 este x2 - sx + P = 0, undes = XI + x2 si P = XI . x2 .

-----------------------------------------------------Probleme propuse

1. Determinati functia de gradul I al carei grafic trece prin punctele A(l, 2) ~i B( -1,0) .

2. Se considera functia 1:~~~,1(x) = 2x + 1 . Determinati functia

g: ~ ~~, g(x) = ax+ b stiind ca graficele functiilorl~i g sunt simetrice ~ata de: '

a) axa Ox; b) axa Oy; c) punctul 0(0,0).3. Determinati functia 1:lR ~ lR stiind cii graficul sau ~i graficul functiei

g: lR ~~, g(x) = -3x+3 sunt simetrice fata de dreapta x = 1.


4. Sa se determine a, b E ~ stiind ca functia 1: [1,3] ~ [a, b]' 1 (x) = -2x + 1 estebijectiva.

S. Determinati a,b E ~ stiind ca functia 1: [1,4] ~ [1,7], l(x) = ax + b este bijectiva.

6. Determinati m E ~ astfel incat functia 1:~~ ~, l(x) = (m2 - 2h- 3 sa fie strictdescrescatoare. Variante bacalaureat 2009

7. Se considera functiile 1m :~ ~ ~, I; (X) = m -1 x + 3 m E ~ \ {-I}2m+2' .

a)Determinati m stiind ca functia I; este strict crescatoare.b)Determinati m stiind ca A(1,O) E Gf~.

c) Determinati m stiind ca 1m(1) > t; (3) .d)Determinati m stiind ca 1m (1) = 1m (3) .

8. Rezolvati in multimea nurnerelor reale ecuatiile:a) Ix+ll = 21xl; b) IX2-41 = 3x;c) Ix+ 21+ Ix2+ X - 21= 0 ; d) Ix - 31+ 14- xl = l.

Variante bacalaureat,jebruarie 2008

9. Rezolvati in multimea nurnerelor reale inecuatiile.1 X x + 1 X2 - 16 (

a) -~2; b) -~-; c) ( ) >0; d) (x-2) x2-3x+2)~0.x +I x+2 x-I X x+4

10. Rezolvati in multimea nurnerelor intregi inecuatiile.a) 3X2-5x+2~0; b) _2X2+3x+5~0.; c) x4-5x2+4<0.

11. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatiile.a) Ix -11 ~ 3 ; b) Ix -11 + Ix+ 11~ 4 ; c) Ix2-11 < 1.

12. Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatiile.a) Ix+21 ~ 1; b) 112-4xl s 2Ix-31; c)lx+21+lx2 -41 s 1.

13. Se considera functia 1:(0,00) ~ ~, 1(x) = x - 2m + 2 . Determinati m E ~ astfel incatgraficul functieij'sa nu intersecteze axa Ox. Variante bacalaureat 2009

14. Determinati toate functiile de gradul intiii 1:~~ ~ strict crescatoare care in-

deplinesc conditia (f 0 1)(x) = 4x + 3, Vx E ~ . Variante bacalaureat,februarie 2008

1 S. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2 + 2x - 8 < 0 .

16. Aratati ea solutiile ecuatiei x2 + 2x + -2 _1_ = 2 sunt irationale,x +2x

17. Determinati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie aparabolei y = X2 + mx + 4 . Bacalaureat 2011

Bacalaureat 2010

18. Determinati multimea valorilor functiei 1:~~ R, l(x) = x2 + x+ 1.Bacalaureat 2011-model subiect

19. Determinati multimea valorilor functiei 1:(0,00) ~ R, l(x) =~ -4x+1.

20. Se considera functia 1:~~R, 1(x) = x2 - 2x + 2 .

a) Determinati imaginea functiei 10101 .b) Determinati a E ~ stiind ea imaginea functiei g: (-00, a) ~ R, g(x) = l(x) este

intervalul [1, +00) .

c) Determinati m E ~ stiind ea l(m-x) = l(m+x), Vx E ~.

•..21. Determinati m E ~ stiind ea varful parabolei y = X2 + (2m -1) X + m' + m este in ~

eadranulI. IIC(U

~~UoI

~~

22. Determinati a E ~ stiind ea distanta de la viirful parabolei de ecuatie y = x2 + 2x + ala axa Ox este egala eu 1. Variante bacalaureat 2009

23. Determinati functia 1 de gradul al doilea daca 1 (-1) = 1,1 (0) = 1,1 (1) = 3.Variante bacalaureat 2009 •

21

24. Determinati a, b E IR stiind ea varful parabolei y = X2 +ax +b este V( 1,2) .

25. PunetuIV(2,3) este varful parabolei asoeiate functiei f:IR~IR, I(x)=.l+at+b.

Calculati 1(3). Bacalaureat 2011

26. Determinati a, b E JR stiind ell dreapta x = 2 este axa de simetrie pentru parabolay = - x2 + ax + b si ea punetul este M (1,2) apartine aceleiasi parabole.

27. Determinati m E JR stiind ea varful parabolei asociate functiei I :JR~ JR,

I (x) = x2 + 2x + m2 se afla pe graficul functiei g: JR~ JR, g(x ) = X2 .

28. Se considera functiile 1m : JR~ JR,J; (X) = mx' - 2{m -I)x+ m + I, m e JR' .

a) Determinati m stiind ca graficul functiei j; nu intersecteaza axa Ox.b) Determinati multimea valorilor functiei h.c) Determinati imaginea functiei g: JR~ JR,g(x) =h (sin x) .d) Determinati m stiind ca dreapta x = 2 este axa de simetrie pentru graficul functieij"e) Determinati m stiind ca I(x) > 0, "ix E JR.

1) Determinati m stiind ca I(x) > 0, "ix > o.29. Determinati m E JR pentru care ecuatia x2

- x + m' = 0 are doua solutii reale egale.Bacalaureat 2010

30. Fie functiile I: JR~ JR,f(x) = 2x+a ~i g: JR~ JR,g(x) = x2 -a. Determinati

a E JR pentru care (f 0 g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR. Bacalaureat 2010

31. Determinati a E JR pentru care graficul functiei I:JR~, I(x) =(a+l).l +3(a-l)x+a-l,intersecteaza axa Ox ill doua puncte distincte.


32. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = (a -1)x2 + 2(a + I)x + a + 1 , a E IR .a) Determinati a stiind ca ecuatia I(x) = 0 nu are nicio solutie.

b) Deterrninati a stiind ca inecuatia I(x) > 0 nu are nicio solutie.c) Determinati a stiind ca graficul functieij este tangent axei Ox.d) Determinati a stiind ca varful parabolei asociate graficului functiei I se afla pe

dreapta x = 2 .33. Determinati a E JR astfel incat valoarea minima a functiei I :JR~ JR,

I(x) = x2 + (2a -1)x + a2 + 1 este egala cu 2.

34. Aflati a E JR pentru care functia I: (l,+<xl) ~ JR, I (x) = x2 + (2a -1) x + a2 + 1 estestrict crescatoare.

35. Aflati aEJR pentru care functia 1:{~,2)~JR, l(x)=-x2+(2a+l)x+a2+1este strict crescatoare.

36. Determinati mEJR astfel incdt radacinils XI ~i x2 ecuatiei .l +(2m+3)x+m+I=0veri fica pe rand conditiile.

1 1 2 2 • .1 I Ia) -+-=1; b) Xi =x2, c) XI-X2 =1; d) xl+l=x2.XI X2

37. Se considera ecuatia X2 - (2m -1)x + m -1 = 0, m E IR eu radacinile Xl si X2•

Determinati valoarea minima a expresiei X;X2 + Xl xi .

38. Se considera ecuatia x2- (2m + l)x + m + 1= 0, m E IR eu radacinile XI ~i x2•

Detenninati m E JR stiind ca x~x2 = xlxi .

39. Determinati m E JRstiind cll radacinile ecuatiei x2 + 2 (m -I) x + m -I = 0au sernne opuse.

40. Se considera ecuatia ax' + bx + c = 0 cu coeficienti reali si cu radacinile Xi ~i x2•

Aratati ca daca XI . x2 < 0 , atunci XI' x2 E JR si XI :I; x2 .

41. Aflati m E JR stiind ca {x E JRI x2 - X + m = O}n {x E JRI x2 - 2x + m + 10 = O} :I; 0 .

42. Fie ecuatia x2 + 2x + a = 0 cu radacinile Xi si x2. Determinati a E Z stiind ca

xl·,a,x2 sunt ill progresie aritmetica.

xSe considera functia I: JR~ JR,I (x) = -2- .

x +1a) Determinati multimea valorilor functieij.b) Determinati m e JR stiind ca I(x) < m, "ix E JR.

c) Determinati n E JR stiind ca I(x):?: n, "ix E JR.

44. Fie XI si x2 radacinile ecuatiei x2 + x -13 = 0 .

43.

a) Calculati x;.x; +~ X:z •+X:z -12 +.x; -12

b) Calculati x;.x; + ~ X:z •+2X:z-13 +2.x;-13

c) Aratati ca S; = x~ + x; E Z, "in EN.

45. Fie XI si x2 radacinile ecuatiei x2 + x - 3 = O. Determinati a, b E JR stiind ca

~d~ . ·1 .. 2 b 0 I. 1ra aCllll e ecuanei x + ax + = sunt - ~l -., Xl x2

46. Determinati 0 ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti intregi care are 0 radacina

XI =1+J3.

47. Determinati numerele reale a si b stiind ca solutiile XI si X2 ale ecuatiei

x2 - ax + b = 0 veri fica relatiile XI + X2 = 3 si xlxi + X2X~ = 6 .

{

x+ y =348. Rezolvati sistemul ~ + Z. = ~ , unde X E JR,Y E JR.

Y X 2

{2X+ y2 = 3

49. Rezolvati sistemul , unde X E JR, y E JR.x2 +2x- / =2

•23

Tema 1.5Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale

Functia f: JR~ JR,f(x) = x" , unde n E N, n ~ 2, se numeste functie putere.

Functia f: D ~ JR,f(x) = ~ , unde n E N, n ~ 2 , si D = JR daca n este impar,

respectiv D = [0, +00) daca n este par, se numeste functie radical de ordin n.Functia radical de ordinul2 este f: [0,00) ~ JR,f(x) = Fx , iar functia radical de

ordinul 3 este f: JR~ JR,f(x) = ~ .

Proprietali

1. Functiile f,g: [0,00) ~ [0,00), f(x) = x2n si g(x) = 2~ , unde n E N*, sunt functiibijective, fiecare fiind inversa ceIeilaite.

2. Functiile f,g: JR~ JR, f(x) = x2n+l ~i g(x) = 2n+rx, unde n E N*, sunt functiibijective, fiecare fiind inversa celeilalte.

3. Functia putere de exponent impar este strict crescatoare pe JR. Functia putere deexponent par este strict descrescatoare pe (-<Xl, 0] ~i strict crescatoare pe [0, +00) .

4. Functia radical de ordin impar este strict crescatoare pe JR.Functia radical de ordin par este strict crescatoare pe [0, +00) .

5. Functia radical de ordin impar este convexa pe (-<Xl, 0] ~i concava pe [0, +00) .

Functia radical de ordin par este concava pe [0, +00) .

Proprietiili ale puterilorFie a,bEJR*, r,sEQ.

1. aO = 1 si l' = 1;

Sa' r+s.~=a ;

a

2. a'· as = a'H; 3. (a. br = as .bS; 4. (a' r = a"s ;

{pentru a > 1 avem a' < as <=> r < S

bs' 7. ( )pentru a E 0,1 avem a' < as <=> r > S .

as

Proprietiili ale radicalilor

Pentru a,bEJR si n,kEN, n,k~3 impare sau pentru aE[O,+oo), bE(O,+oo) ~i

n, kEN· numere pare, avem

1. fi =a', 3. n~ = ~ b*O' 4. ~ =nd:/.Vb ifb" sia: ,

7. ~<ifb<=>a<b.-------------------------------- -------------------

Probleme propuse

1. Ordonati crescator numere1e

a) .fi,:if4,~.b) J3,~,~.

1 1 1c) J3 -.Ji' J5 - J3 ' 17- J5 .

t: t: 41r .fi +J3 2.J6d) -;3, -;2, ,,6, 2 ' J3 +.fi .

2. Aratali ca [ if,;] = 1, Vn EN, n ~ 2 , unde [a] este partea intreaga a numarului real a.

3. Aratati ca numarul a = ~7 + 4J3 + ~7 - 4J3 este numar natural.Variante bacalaureat 2009



1 1'21'31

4. Fie x E JR astfel mcat x+- = 4. Calcu ap x +2" ~l x +3'x x x

5. Fie functia f :JR~ JR, f (x) = x2- 4x + 2 . Ordonati crescator numerele

f(I),/( .fi)'/(~).6. Fie n E N \ {0,1} fixat. Determinati un numar a E JR\ {O;I} pentru care

~a~a~a ...J; EN.~

n radica1i

7. Daca x=~5-a+~4+a, aE[-4,5], determinati in functie de x expresia

~5-a·~4+a .

8. Aratati ca ~2~2J2J2 E (1,2).

9. Aratati ca ~6~6~6 ...!if6 E (1,6), pentru orice n E N, n ~ 2.

10. Determinati a E Q daca ~ 21~ = 2Q .. ~4

11. Aratati ca (.fi + 1)(ii + 1)(Vi + 1)(1{[2 + 1) = ~ -1 .po

==I

..:(U

~==

Variante bacalaureat 2009 ~c(

==

1 1 1 112.Aratati ca numarul ==r:+.fi J3 + J3 J4 + ... + ci: r.;;:;;, este natural.

1+-;2 2+ 3 3+ 4 -;99+-;100

13.Aratati ca numarul ~3-J29-12J5 -J5 este intreg. •2S

14.Fie XElR astfel incat ~5-X+3~ .. ,~ 1~V.j +x = 3 . Deterrninap V 5 - x .V 3 +x .15.Numarul .JlOl seris sub fi a

D t. . orm de fractie zecimala infinita este egal eu

e errrunap a2•

16.Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile.

II) .Jx+2 = x.

b) .Jx+l=x-5.

c) x+..{; = 6.

d) .Jx +1 = 1- 2x .17.Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile.

II) .Jx2 - 2x + 1= x + 1.b) .J2x-l = x.c) .Jx-l +.J2-x = 1.

d) .Jx+l=5-x.e) I..{; -11 = 2 .

Bacalaureat 2010




Bacalaureat 2011

18.Rezolvati urmatoarele ecuatii:

II) .Jx + 4 + 2 .J x - 4 =!.!...Jx-4 .Jx+4 3'

b) ~X+4 +2~X-4 =!.!..x-4 x+4 3

19.Rezolvap urmatoarele ecuatii:

II) ~(x+2)(x+3) =.J12.b) .Jx+2 ·.Jx+3 =.J12 .

20.Rezolvap in multimea numerelor reale ecuatiile.

II) ..{; + X + 1 = ~x+l ..{; 2

b) .Jx2 + x -1 +.Jx2 +X+2 = 3.

c) _x_+ 2+..{; =!Q2+..{; x 3

21.Rezolvati in multirnea numerelor reale ecuatiile,

II) ~x+l = 2

b) ~x-l=l-x.

c) ~1- x = 1+ x .

d) ~ x + 1= 1- 2x .Variante bacalaureat 2009

Bacalaureat 1999

e:tolvati In multimea numerelor reale ecuatijle.

_) F+8 - 6~ = 1. Variante bacalaureat 2009

b) ~-6~-1 +J4x-3-4.Jx-l = 3. Variante bacalaureatJebruarie 2008

Seonsiderafunetia f:[I,+oo)...-+lR, f(x)=Jx-2.Jx-1 +Jx+3-4.Jx-1 .

23. ea) Rezo1vap eeuapa f (x) = 1.

b) Determinati m E lR stiind ca ecuatia f (x) = m admite eel putin 0 solutie reala.

14.Se

eonsidera funetia f: [1,+00)"'-+ lR , f(x) = J x+ 2.Jx-I +Jx +3 +4.Jx-l .

II) Rezo1vati eeuatia f (x) = 3 .

b) Pentru m E [3, +00 ) , aratati ea ecuatia f (x ) = m admite 0 singura solutie reala.

ls.Rezo1vati in multimea numerelor reale ecuatiile.

II) .Jx +~ = 2.

b) Jx+I+Vx-3=2.

c) x +2' +Fx = 4 .

d) X+log2 x+\fx = 2 .

e) .J x + 1+~ = 5 . Variante bacalaureatJebruarie 2008

26.Determinap pereehile (x, y) E lR2 pentru care x + y + 6 = 2.Jx -I + 4J y + 2 .

27.Rezolvap in multimea numerelor reale urmatoarele inecuatii.

II) .Jx+2 < x.

b) .J x + 2 ? x .

c) ~h_X2 z i. Variante bacalaureat 2009

•27

Tema 1.6Func~~a.~xponentiala ~i functia logaritmica.Ecuatll ~I mecuatii exponentiate ~i logaritmice

1.Logaritmi

Definitie. Fie a > 0, a * 1 ~i x » o. Unicul numar real y cu proprietatea aY:::: X senumeste logaritmul numarului x in baza a si se noteaza logo x .

Cu alte cuvinte, logo x = y daca si numai dad! a" = x .

Observatii• 1. Daca a = 10, numarul log., x = 19x se numeste logaritmul zecimal al lui x.2. Daca a = e ,numiirul loge x = In x se numeste logaritmul natural allui x.

Proprietiti1e logaritmilor1. alogQx=x, Vx>O;

2. logo a" =X, VXEJR;

3. logo a = 1, Va> 0, a * 1 ;

4. logo 1= 0, Va> 0, a * 1;

Operatii cu logaritmi1. logox+logoy=logo(~)' Vx,y>O;

2. logo x-logo y = logo (;). Vx,y > 0;

Schimbarea bazei unui logaritm

1 ~gbx 1 In1. ogax=-l--' Va,b,x>O, a.b e i ; Consecinti: log X= gx =---..::.ogb a 0 19a In a .

2. logo b . log, C = log c Va b c > ° a b ..•.1 .a' " "..,-,

3. loga x" = ploga x, Vx> 0, Vp E JR;

14. logaP X = -loga x, vx » 0, Vp E JR*.

p

13. loga b =--, Va,b > 0, a,b * 1.

log, a

2. Funclia expcnentlala ~ifunctia logaritmicaFunctia exponentiala de baza a (a> 0, a * 1) este functia f: JR~ (0,00), f(x) = a' .

Functia logaritmica de baza a (a> 0, a * 1) este functia g: (0,00) ~ JR,g(x) = log a x .

Proprietiti

1. F~c~iile exponentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii bijective, fiecarefiind mversa celeilalte.

2. Functiile ex~onentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii strict crescatoaredaca a> 1 ~l strict descrescdtoare daca a E (0,1) .

3. Functia exponentiala de baza a este convexa pentru orice a E (0,1) u(1,(0) .

Functia logaritmica de baza a este concava daca a > 1 si convexa daca a E (0,1) .------- --------------------------- -------------------

Probleme propuse

y.vati exemplu de numere a,b E N care indeplinesc .conditia ~ -l~g3 b E N* .

j.'oeterminati un triplet (a,b,c) E NxNxN care verifica conditia 2 < b < log, c.

2""" Calculati:/"'." log2 10 + log, 6 -log2 15 ; b) log3I2 -Iog, 3 -log4 9 ;

c) logJ2 ifj -Iog, 2 ; /log2012 (tgx) + log2012(ctgx), x E (0,1) ;

1 32· 1) 41+log23. 6log,168,log2 3·1og3 4· ... · og31' ..

4. Aratati ca:a) log, 5 E (2,3) ;

c) 2 E ( log, 4,.J5) ;b) 3 E (log, 9, 7 logs 2) ;

d) ifj E (v'2, log, 27). Bacalaureat 2009. Variante MEdC

5. a) Exprima!i, in functie de a = log, 2, numiirul b = log1218.

b) Exprimati, in functie de a = log2o 2, numarul b = logs 20 .

c) Exprimati, in functie de a = log, 5, numarul b = log., 45 .

d) Exprima!i, in functie de a = log, 3 ~i b = log, 5, numarul c = Iog, 60 .

~ Calculati sumele:,IIf A = log, x+loga x2 +loga x3 + ... +loga x", unde a,x > 0, a * 1, n E N*;

1b) B = In ~ + In 2rx + In 3$ + ... + In n(n+'rx , unde x> °;1 2 3 999

.Pf'"C = Ig"2 + 193"+ 194+ ... + 191000 ;

_ 1 1 1 n 2 *d) D - + + ... + - --log2 10 , unde n EN.Ig2·1g4 194·lg8 Ig2n ·lg2n+1 n+I

1 1 1e) E= + + ... +-------

log21 + log, 2 + ... log2IO log31 + log, 2+ ... 1og31O 19i + 192+ ... + 19iO

7. Calculati suma S = [lg 1]+ [lg 2] + [lg3] + ... + [lg102OO8] .Bacalaureat 2008. Variante MEdC

8. Fie a,b > ° .Aratati ca au loc urmatoarele echivalente:

a) 19a + b = 19a + 19b ~ a2 + b2 = 7ab ; b) 19a + b = 19a + 19b ~ a = b ;3 2 2 2

.11 2a+3b _lga+lgb a {I 9}. drll a+Sb _lga+lgb -3bc) g-5-- 2 ~bE '4' v g 2J3 - 2 ~a- . i

Bacalaureat 2008 - 2009. Variante MEdC 1>C(

9. Aflati domeniul maxim de definitie D al functiei f: D ~ JR, definita prin: ~~

a) f(x) = log2 (2x - 4) ; b) f(x) = 19(x + 1)+ 19(x -1) ; :Ewc) f(x) = log, ..)I-x2 ; d) f(x) = logx+2(2-x); ie) f(x) = log, (x2 -7 x + 12) ; 1) f(x) = loglxl(x2

) ; •29

10. a) Aratati ca functia f: (0,00) ---+ JR, f(x) = x+ log , 2x este injectiva.

b) Aratati ca functia f: (0,00) ---+ JR, f(x) = x - log, 2x este injectiva,

11. Fie x E (0,1) u (1,(0) si numerele a, b,c > ° astfel incat log, a, log, b, log, c sunt inprogresie aritmetica. Aratati ca a, b, c sunt in progresie geometrica.

Bacalaureat 200312. Fie numerele a,b,c,xE(O,I)u(l,oo) astfel incat logax, log, X, loge X sunt in

progresie aritmetica. Aratati ca 1+ loge a = 210gb a .

13. Fie numerele distincte a,b,c E (0,00) \ {I} in progresie geometrica. Aratati ca are loc

log x-log X log, x-loge xegalitatea a b = ,pentru orice x E (0,00) \ {I}.

log, X loge x

14. Rezolvati ecuatiile:a) 24x+1= 512;

c) (0,25)4-x = 32 ;

b) 73-lxJ = 49 ;d) 3x-..[; = 9 ;

( r;:;)4+X-x2 3r;:;;;J) ...,3 =,,27.

15. Rezolvati in multi mea numerelor reale ecuatiile:2

a) 4x -5x+6 = 16x; b) 2x .4x+1 .8H2 = 16x+3.,

c) (~JHI.m=%;

(4)X (125)X-1 5e) - '-

25 8 2'62581

16. Rezolvati ecuatiile:

a) 2x +4x =20;

c) 5x + 5-x = 2 ;e) 22x+1+ 2x+2 = 160 .,

g) 32x

+1

-10· y+1 + 27 = °; h) 2x + 16· TX = 10. Bacalaureat 2009, Variante MEdC17. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile:

a) (2--J3t = (7 + 4-J3fx ; b) (v'2+IY +(v'2-IY =6.

18. a) Aratati ca, pentru orice numar real x, numerele 2x, 4x, 8x sunt termeni consecutiviai unei progresii geometrice.

b) Aratati ca exista un unic numar real x pentru care numerele 2x, 4\ 8x sunt termeniconsecutivi ai unei progresii aritmetice.

19. Determinati x E lR pentru care numerele 32x-1, 9x _ 3 . 3x~ ~I + 6 sunt termeni

consecutivi ai unei progresii aritmetice. "t20. Rezolvati ecuatiile:

a) log2 bx2 -x-2) = 3;

c) log2 (3x-2)+log2 (x+2) = 4;

b) 9x _3x = 72;

d) 16x -3·4x = 4;J) 22x - 3· 2x+1+ 8 = °;

b) 10gHI (x2 -3x+ I) = 1;

d) logH2 (2x2 + 5x + 2) = 2 .

b) log2 [4 -log3(X+3)] = 1;d) logs(x+ 1)- 210gs(3x-7) = -1;

j) 1+ log2(x+ 1)= log2 (x+ 2) ;

h) log2 x+log.,J2 x+ log~ x = 14.

Bacalaureat 2009, Variante MEdC

22. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale:a) 210g3 (9x) - 310g27 x = 6 ; b) logx(9x) + log , x = 4;

c) log9(2x + 10) ·logx+l 3 = I; d) log~ (2x) + 310g2 (4x) = 13 ;

e) Ig2 x - 51gx + 6 = °; j) 41g4 x -10 Ig2 x2 + 36 = °;g) log, (9x -6) = x; h) log2 (9x + 7) = 2+ log2 (3x + I).

21. Rezolvati ecuatiile:a) log2 (10g3(logs x») = 0;

c) 10g3(2x2 + 1) -log3 (x + I) = 1 ;

e) log, (x + 4) + log , (2x -1) = log , (20 - x);g) log2(x+I)+log4(x+I)+log8(x+l) = 22;

23. Aflati numerele reale x> 2 pentru care numerele log2(x-2), log, x si log2(x+4)sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

24. Se considera numerele reale a,x E (0,00), a * 1. Demonstrati ca;

log 2 x + log 23 X + log J.4 X + ... + log n(n+1) X = _n_loga x , pentru orice n E N* .a a a a n+1

25. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale:a) (3x)1+1og3x=81; b) X1og2(4x)=8;

2d) 101og2x = 21og2x;

j) logv'll (x + 1- v'x + 2) = 2 ;

c) 310g1oox100 = 4 log lOx 10 ;

e) log3(5-x)+210g3 v'3-x = 1;

26. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia

log2 (£ +v'x+ 2)+ 210g4 (v'x+2 -£) = log2 x.

• Fie a E (1,00) un numar real flXat. Se considera expresia

E(x)=~loga~+logx~+ 10ga~+IOgx~ ,unde xE(I,oo).

a) Verificati egalitatea E(a) = 1.

{~IOga x, daca x > a

b) Aratati ca E(x) = .~logx a, daca x E (l,a)

c) Rezolvati ecuatia E(x) = a .

•31

Tema 1.7Numere complexe

C = {Z = x + iy I x, Y E 1R},unde i2 = -I , este multimea numerelor complexe.

Dad! Z = x + iy , unde x, y E 1R, numerele reale x ~i y se numesc partea reala i. .. ~respectiv partea imaginara a numarului complex z; notam x = Rez, y = Irnz .

Elementele rnultimii ilR* = {iy/ y E IR \ {O} } se numesc numere pur imaginare,

Modulul unui numar complex z = x + iy este numarul real I z 1= ~ x2 + l .Proprietati: 1. Iz I~ 0, \fz E C; Iz 1= 0 ¢::> z = O.

2. IZl . Z2 I = IZl 1·1 Z2 I, \fzl' Z2 E C .3. IZl + z2 I :<:; IZl I+ I z2 I,\f Zl ,Z2 E C .

Conjugatul unui numar complex Z = x + iy este numarul complex ; = x - iy .

Proprietati: 1. Zl +z2 = ~ +z2' \fzl,z2 E C; 3. Izi = 1;1, \fz E C;

2. Zl . Z2 = Zl . Z2' \f Zl ,Z2 E C ; 4. z·; = I Z 12, \f Z E C .Observatii. 1. Z E IR daca si numai daca z = Z •

2. Z E ilR* daca si numai daca z = -z. '

1. Forma trigonometrica a unui numar complexPentru orice numar complex nenul Z = x + iy exista si sunt unice numerele reale

si qJE [0, 21l") astfel incat Z = r( cos qJ+ i sin qJ) .r>O

Avem r = I Z 1= ~ x2 + y2 si qJ= arctg (-; ) + kst , unde k = {~, :::: : : ~ si y ~ 0 .

2, daca x > 0 ~i y < 0

Daca x = 0 si y > 0 ,atunci qJ= ; ; daca x = 0 si y < 0 , atunci qJ= 3; .

. Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigonometricaFIe Z = r(COSqJ+isinm) _ ( ..) .

-r , ZI - 'i COSqJl+z sm e, ,Z2 = r2(cos qJ2+iSInqJ2)' Atunci:

1. ZIz2 = 'ir2 ( cos( qJl+ qJ2)+ i sineqJl+ qJ2)); 2. z" = r" (COSrup + i sin nqJ) ;

3• .!. =.!.( cos( ) ., ( ») ZI r:Z r -qJ +ISIn -qJ; 4. -=--.L.(cos(qJl-qJ2)+isin(qJ -qJ »).

z2 r2 I 2

Fie n E!~ n > 2 R ~d~ . 'L d di I' - . a acini e e or. InU n ale numarului complex Z = r(cOSqJ+isinqJ)

sunt Zk =~(cosqJ+2k;r .' qJ+2k7r) _ ~ ~ ..n + I SIn n ' k - 0, I, ... , n -I. Radaclmle de ordinul n ale

unitiitii fonneaza multimea U = {z E dzn = I} = {cos 2k7r +i . 2k7r/k }t n Ism -- = 0 1 n -In n ' ,..., .

2. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie~ 1. Formula distantei dintre doua puncte: MN = I Z M - Z N I .~. Patrulaterul ABCD este paralelogram daca si numai daca ZA + Zc = ZB + ZD •

~3. Fie punctele 0(0), A(a), B(b), C(c), D(d) in planul xOy. Atunci:-- b -- c-a - d-ca. m(AOB) = arg- ; b. m(BAC) = arg--; c. m(AB, CD) = arg-- ;

a b+a b-ad-c d-c

d. AB II CD ¢::> -- E 1R*; e. AB 1- CD ¢::> -- E ilR* ;b-a b-a

f. A, B, C sunt coliniare dad! si numai daca b - a E 1R*;c-a

D . I' I" da b-a b-d llUg• A, B, C, sunt concic Ice sau co miare ca --: -- Ea.c-a c-d

A4. Fie A(a), B(b), C(c), A'(d), B'(b'), C'(c'). Atunci:

a. Triunghiurile la fel orientate ABC si A'B'C' sunt asemenea daca b'-a' = b -a.c'-a' c-a

. hiurile i . ABC' A'B'C' d b'-a' b-ab. Tnung lUn e myers onentate ~I sunt asemenea aca -- = =--= .c'-a' c-a

Observatie. Triunghiul ABC este pozitiv orientat daca sensul A-B-C, parcurs pecercul circumscris triunghiului ABC, coincide cu sensul direct trigonometric. in caz contrartriunghiul ABC este negativ orientat.AS. Fie R'J.t rotatia de centru M si ungbi u, Consideram punctele A(a), B(b), C(c). Atunci:

a. Daca B=R~(A),atunci b=a(cosa+isina).

b. Daca C = R~ (B) , atunci c- a = (b -a)(cosa + isina) .

Probleme propuse

YCalculati:aYi .p .p .....ilO ; ~ 1+ i + P + ... + i10

;

~ (1- i)(1 + 20 - 3(2- 0 ; )fr(2 + i)(3 - 2i) - (1- 2i)(2 - 0 ;» (l_i)(I_P)(I_P) ...(I_i2OO8); 'y2+i)4 +(2_i)4;

11) (1- 2i)(3i _1»)4 . laY~ +~ .~ 5' ~ 4+~ 4-~'

Bacalaureat 2007 - 2009, variante MEdCT

/- Demonstrati ca:

~25 25

u) --+--EZ'4+3i 4-3i 'r: i,fiY +(3-i.fif E Z;

( )

2008? e) cos 7r + i sin 7r E IR ;, 4 4

•..~

~

+3i 1-3i lll>. I--+--E~, 101(

1-3i 1+3i v/ (I + i)2008+(1_02008 EN; i~(I + i)2008+ (1- i)2008EN; ~

Bacalaureat 2008 - 2009, variante MEdCT •

33

7~) Determinati x, y E lR stiind ell x(l + 2 ol7" I +y(2 - i) = 4 +3i .

b) Determinap numereJe reale a pentru care ~2 E lR.

+ai

c) Aflati a E lR pentru care numarul Z = 1 2(1) are partea reala egala cu -.a +i + 1-2i 5

/. Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT

,;4. f Determinati numerele comple~e z care veri fica relatia Z + 7i = 6· ~ .

~"Dt .. "... iind z+11'/ e errrunap Z E Il.- stun ca -- = _ .

z+3 2~ Determinati numerele complexe z care verifica relatia 2~+ z = 3+ 4i .

Baca/aureat 2008, variante MEdeT~ a\Fie z E C . Aratati ca daca 2z + 3~ E lR , atunci Z E lR .

~Fie Z E C . Aratali ca daca Z2 + ~2 ~ 21z12, atunci Z E lR .

Baca/aureat 2009, variante MEdeTI?J\ . Z2 4

\ ~ a) Calculati 16+-; , stiind ca Z este solutie a ecuatiei Z2 - 4z + 16 = O.

. Z5 27b) Calculati 27 - -; , stiind ca z este solutie a ecuatiei z2 + 3z + 9 = 0 .

c) Calculati z2 - ~ , unde z este solutie a ecuatiei z2 + 2z + 4 = 0 .z

\t:~tat~ c~ dac~ z E C~ ver~fica relatia Z2 + Izl2 +~2 = 0, atunci z2010= ~2010 .

~ atati ca daca z E C verifica relatia Z2 -lzl2 + Z2 = 0, atunci Z2010= ~2010 .

~ Anitati ca daca Z E C' verifica relatia z+;~ = 0 • atunci (1:1J =-1.

" Deterrninar] numerele complexe z care veri fica egalitatea:a) z2 = i~ . b) -2 .

\..,' ,/Z=IZ.

~Rez~lva!i In rnultimea numerelor complexe ecuatiile:a) Z + 100 = 0 ; b) z2 = 2i .

2 'c) z - 4z + 5 = 0 ; d) z2 - 8z + 25 = 0 .,

e) Z4+8z2-9=0' j) (Z+I)3 (Z+I)2 z+1, + -- +--+1=0'z-1 z-1 z-1 '

g) z2 - (1+ i)z + i = 0 ; h) iZ2 + (3 + i)z + 2 - 2i = 0 .

..I..,II:

E;):l.:.5~)

i;

Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT') 1O. Aratati ca, daca e este solutie a ecuatiei x2 + x + 1= 0 atunci tru ori

2 ' nCI, pen once a,b,c E lRare loc egalitatea (a + be + ce )(a + be2 + ce) ~ O.

('\11. Aratati ca daca OJ este solutie a ecuatiei x2- x + 1= 0 , atunci, pentru orice a, b, c E lR

• relOCegalitatea (a-bOJ+cOJ2)(a+ba/-cOJ)~O.

~ Demonstrap ca 2 Re a :5; lal2, unde a este solutie a ecuatiei x2- 2ax + a2 + 1= 0 ,

aElR.J a) Demonstrati ca daca a E lR ~i a > ~ , atunci solutiile ecuatiei ax2- (2a -1)x + a = 0

au modulul 1.b) Demonstrap ca daca a E lR si lal < 2, atunci solutiile ecuatiei x2

- ax + 1= 0 aumodulul egal cu 1 .

@. Determinati modulele solutiilor ecuatiei 2009x2 - 2 .2008x + 2009 = 0 .

WDeterminap argumentul redus al numerelor complexe nenule z care veri fica relatia:

a) z+~=lzl; b) 1~-il=lz-lI;

c) Iz- il = Iz-11 ; d) z2 = -2i .tJ. Demonstrati ca oricare ar fi z E C* imaginile geometrice ale numerelor complexe

}' 0, z, ~ si z +~ sunt varfurile unui romb.

~o~:trat~ ~: +.ar ~ Z E ~* ~ imaginile geometrice ale numerelor complexe

z, tz, I Z ~I I Z sunt varfurile unui patrat.

Dernonstrati ca imaginile geometrice ale solutiilor ecuatiei x3 = 1 sunt viirfurile unui• triunghi echilateral.

~ ~emonstrati ca:

/1'- a) imaginile geometrice ale numerelor complexe Z care veri fica relatia (z + i~)4 = 0.• sunt situate pe dreapta de ecuatie x + y = 0 .

b) imaginile geometrice ale numerelor complexe z care veri fica relatia (z - i~t= 0sunt situate pe dreapta de ecuatie x - y = 0 .

astfel incat Izi = 1 , atunci Z2009 + 2~ ~ 2 .z

b) Aratati ca daca z E C astfel Inciit Izl = 1 , atunci Iz2OO9 - z2~ 1 ~ 2 .

c) Aratati ca pentru orice z E C are loc relatia (Z2009 _ ;2009) (~2oo9 + i2OO9 ) ~ 0 .

Demonstrati ca pentru orice z E Care loc relatia I;-~I:5; 2 .

F· 1Tb\{(2k) I k 'll}' l-cosa-isina Ar~ . ~ R 0ie a E ~ + 1 rc E a- ~l Z = ..' atatl ca e z = .1+ cos a + I Sill a

. ( 1+ i tg ip In 1+ i tg nip . {• Aratati ca = , oncare ar fi n E Z si ip E lR\ qrc I q E Q} .1- i tg ip 1- i tg nip

3S

----------------------------------,---:O:b:s:e:N:a:t:~~.;F~AO~~~n~~~BO~~~m~~~A~:-t Tema 1.8 and functiilor injective f: A ~ Beste egal cu A;;,.1. Daca n ~ m , num t' _ 1

_ arul functi ilor bijective f: A ~ Beste egal cu Pn - n ... ." Daca m - n , num t' . a f .A ~ BMetode de numarare. Elemente de combinatorica. •.. . amI functiilor strict crescatoare/descresc toare .

3. Daca A, B c IR f?l n ~ m , num t

Matematici financiareeste egal cu C;.

1. Probleme de numirare

Pentru orice n E N* se noteaza cu n! = 1· 2 ..... n si O!= 1.

Numarul submultimiJorunei multimi finite cu n elemente este 2n•

Regula sumei. Daca un obieet A poate fi ales in m moduri, iar un obiect B poate fiales in n moduri, astfel tncat nieio alegere a lui A sa nu coincida eu vreo alegere a lui B,atunei alegerea .Jui A sau B " poate fi realizata in m + n moduri.

Regula produsului. Daca un obiect A poate fi ales in m moduri, iar pentru fieeareastfel de alegere, un obiect B se poate alege in n moduri, atunci alegerea pereehii (A,B)poate fi realizata in m- n moduri.

Principiul incJuderii ~i excJuderii. card( A uB) = card A + card B - card( A nB) .

ii:l 2. Elemente de combinatoriciIeE 0 submultime ordonatii cu k elemente a multimii A este un k-uplet~ (Xl,X2, ••• ,Xk) E ~, in care Xi:l=Xj, pentru orice i,j = l,k, i:l=j .~ k-ori•5 Permutari. Fie A = {aI' a2, •.. , an} 0 multime cu n elemente. 0 permutare a multimii AE! este 0 multime ordonata formam cu cele n elemente ale multimii A. Orice functie bijective, f :A ~ A defineste 0 permutare a multimii A.i

Nurnarul permutarilor unei multimi cu n elemente este p" = n! ipermutari de n). Prin

conventie, Po = 1 .

Aranjamente. Numarul submultimilor ordonate cu k elemente dintr-o multime cu n

elemente este A! = _n_!_ = n- (n -1)· ....(n - k + 1) (aranjamente de n luate elite k).(n-k)!

Combinari. Numarul submultimilor cu k elemente dintr-o multime eu n elemente estec: = n! _ n·(n-l)· ... ·(n-k+l)

---- - (combinari de n luate elite k).n k!.(n -k)! k!

Proprietati1.Formula combinarilor complementare: C: = C;-k ;

2. Formula de recurenta pentru combinari: c: + Ck+1 = Ck+1tu . n n n+l

3. c~+c!+ ...+ C; = 2n• 4. C~ + C~ + C: + ...= c!+ c; + C; + ...= 2n

-1

.

Ck Ck+1s. ic: = Ck-l 6 _n__ ~n n n-I' • k + 1 - n + 1 .

3. Binomullui Newton . *nOn cl n-Ibl + +ck an-k bk + ...+ cnb" , pentru orice a, b E IC f?l n EN.(a+b) =Cna + na .., n n

1 Dezvoltarea binomials are n + 1 termeni.• ~ .. 1', - Ck n=k bk (termenul de rang k +1)2. Termenul general al dezvoltarii este k+1 - na

3. C: se numeste eoeficientul binomial al termenului Tk+l•


n!+(n+l)! _~~eterminati n E N pentru care (n -1)!+ n! - 4 .

n!+(n+l)! < 4,Determinap n E N pentru care (n -I)! - 2 .

!Determinap X E N, x ~ 3 astfel incat Cix-3 = 3.

~Determinap x E N, x ~ 2 astfel incat C; + A; = 30.

/ fDelennina~ nEli, n' 2 astfel incat C; +~ = 18.

q 6. Aratati ca (20!)2 divide numarul 40!• 2

/• Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatia C:n+5 > 10 . . 2008

t' Variante bacalaureat,

. ~ Cn 4• a) Rezolvati ecuatia .4;;+2 + n2 = .

b) Determinati x E N astfel meat Ci~~2 = 3.


Variante bacalaureat, 2008

-: 10 II Cl2 C13 Cl3/ 9. Calculati Cl5 + Cl5 + 16 + 17 - 18'

100 CIOI CI021 .---- . C2011 +2 2011 + 2011

-+'rOo Calculati CI02 .

• 2013

}1: Aratati ca C;+b = C!+b' pentru oricare a,b E N*.

..:I . ~ CIOO CI912. ,(2. Aratati ca 2012 < 2013'

/-•

37

~alculati C,oo- C,20+ c,ri - C,~+ C,80- c,'g ..• .; •. ltJ> C0,-,2 4 6 8 C'O 2X....-. Determinati X E ~ pentru care 10 + L-,o + CIO + C, 0 + C

IO+ '0 = .

)B:" Determinati n stiind ca C~ + C~ + C; + ...= 1024 . z:- -;,.4..q(J~" (a.-",) II>-•

•••.~ . C,ooo+ C,'oo + C,~ + ...+c,':~Vu.Calculati 0 2 4 '00 ., c'oo + c'oo + c'oo + ...+ c'oo

~ Determinati termenul care nu n contine pe X din dezvoltarea ( if;+l JOO

( •18. Fie a E R' . Aflati tennenul care-l contine pe a' din dezvoltarea (a' + J.;JVariante bacalaureat 2009

• Determinati x stiind ca suma dintre termenii al treilea ~i al patrulea din dezvoltarea

(2x -1 Y sa fie 20· 2X• Variante bacalaureat, februarie 2008

• Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (.fi + ifi)'oo .~ 21. Calculati sumele:CI: CO 2C' 22 C2 22n+' C2n+'i a) 2n+' - 2n+' + 2n+' - ... - 2n+' .

5 b) C~o +3cio +32C;o + ... +320C;g.

c) C,oo+S2Cl~ + ... +S,oc,'g ....:.IS:oJ

~ 22. Din cei 18 baieti ~i II fete aflati intr-o clasa se alege 0 echipa de 7 elevi.:> a) Determinati in cate rnoduri se poate alege aceasta echipa.~ b) Determinati care este numarul de echipe care se poate forma stiind ca sunt 4 baieti.; 23. Determinati nurnarul de segmente orientate cu extremitatils in varfurile unui poligon~ convex cu 100 de laturi.2~~ ~ Aflati numarul de submultuni ale multimii {I,2, 3, ..., 18} care contin elernentul "1".~r 25. Determinati probabilitatea ca alegand 0 functie I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} aceasta sa)

I fie strict crescatoare.~.C!i••i

26. Determinati probabilitatea ca, alegand 0 functie I :{o,I, 2, 3} ~ {o,1,2, 3} , aceasta sa

indeplineaseg proprietatea 1(0) +1(1)+1(2) + 1(3) = 1 .

27. Determinati probabilitatea ca, alegand 0 functie I: {1,2,3,4,S} ~ {1,2}, aceasta safie surjectiva.

28. Un elev se joaca cu cifrele I, 2, 3, 4 si cu literele a, b, c, d, e,J, formand "cuvinte" CU

S astfel de sernne diferite (cifre sau litere) intr-o ordine oarecare.a) Cate "cuvinte" poate forma elevul?b) Cate .cuvinte" se pot forma astfel incat prirnele doua sernne sa fie cifre?c) Cate astfel de "cuvinte" poate forma elevul astfel incat sa foloseasca numai litere?

29. a) Aflati nurniirul de submultimi cu 3 elernente ale multimii A = {I,2, ..., 8} .

. h numarul elernentelor unei multimi care are 45 de submultirni cu exactJ)eterrDlnat,

doulel~ment~* pentru care multimea A={1,2, ...,n} are 35 de submultimi cu exactc) Aflal1 n E ""

ueielemente. . A _ {O 1 2 9}. Determinati numarul submultirnilor multimii Ada mulpmea - ", ..., ,d) Se di tr care exact doua sunt numere pare .care au S elemente, in e Variante bacalaureat 2009

d trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 sau 8?30 II) Cate numere de atru cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7 sau 9?

• b) Cate nurnere de p tru ifre nu neaparat distincte, se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7, 9?c) Cate nurnere e pa c , Variante bacalaureat 2009

Aflati numiirul functiilor I: {1,2,3,4} ~ {1,2,3,4} cu p~op~etate~ 1(1)= 1(4).31. II) . ~ 1 functiilor I· {O 1 2} ~ {2 3 4} care venfica relatia 1(2) = 2.b) Aflap nurnaru , ., , , , .

. ~ I functiilor I· {O 1 2 3} ~ {0,1,2,3} cu propnetatea 1(0) = 1(1)= 2.c) Aflall numaru t· ., , , .

d) Aflati numarul functiilor I: {O,I, 2,3,4} ~ {0,1,2,3,4} cu propnetatea 1(1)~=1 .

e) Aflati numarul functiilor I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4} pentru care 1(1) este numar par.

j) Aflati numarul functiilor strict monotone I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} .Variante bacalaureat 2009

32. II) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale dedoua cifre acesta sa fie patrat perfect.b) Deterrninati probabilitatea ca, ale~and un nurnar din multimea numerelor naturale detrei cifre, acesta sa aiba exact doua cifre egale. . .c) Calculati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale dedoua cifre acesta sa aiba suma cifrelor egala cu 4.d) Calculati probabilitatea ca, alegand trei cifre din multimea {0,1,2, ... ,9}, acestea sa

fie toate pare. . . tur Ie) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar dill pnmele 40 de numere na a enenule, acesta sa nu con tina cifra 7. . .j) Deterrninati probabilitatea ca, alegand un numar din pnmele 30 de numere naturalenenule, acesta sa contina cifra I. .g) Se considera multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Alegem la intamplare 0 submultimenevida B a lui A. Determinati probabilitatea ca B sa aiba toate elementele irnpare.


33. Calculati probabilitatea ca, alegand un element din multimea {J;z In EN, n < 100} ,acesta sa fie numar rational,

34. Se considers multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Calculati probabilitatea ca, alegand 0 ipereche (a,b) din produsul cartezian A x A, produsul numerelor a si b sa fie par. I

>C(

u

~:::Ew~:::E

•39

Tema 1.9Vectori in plan. Geometrie vectortala.

Geometrie analitica

1.Vectori in planRegula paralelogramului: in paralelogramul ABCD avem AB + AD = AC .

Regula triunghiului. in triunghiul ABC avem AB + BC = AC .

Consecinta AB = OB - OA , pentru orice punct 0 din plan.

Inmultirea vedorilor cu scalar. Pentru ~ un vector oarecare din plan si pentru un

numAr real k, k~ este un vector cu aceeasi directie ca si ~, de modul egal cu I k 1·1 ~ I ~i

care are acelasi sens cu ~ pentru k > 0 si sens opus lui ~ ,pentru k < 0 .Teorema medianei (forma vectoriala). Punctul M este mijlocul segmentului [AB]

daca si numai daca, pentru orice punct 0 din plan, avem OA + OB = 20M.Pundul care imparte un segment intr-un raport dat. Pentru un punct M E AB

--- --l-k-astfel incat MA = kMB , avem OM = --OA ---OB pentru orice punct 0 din planl-k l-k ' .

Relalia lui Leibniz. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca sinumai daca OA + OB + OC = 30G , pentru orice punct 0 din plan.

Relalia lui Sylvester. Fie H si 0 ortocentrul, respectiv centrul cerculuicircumscris triunghiului ABC. Atunci OH = OA + OB + OC .

Produsul scalar dintre vectorii ii si v este ii·~ =1 ii 1·1 v l·cosM.Proprietalile produsului scalara) ~.~=~.~; b) ~·G+;)=~·~+~·;;,I (-::-::-) ii .v _ _ (-) 1re/ cos U,V = ,. cl u·v >O~ ii v <_.

liil·lvl '/ '2'

J) ii·v=O~iil.v.

d) - - 0 (-::-::-) 1r'/ u·v< ~ u,V >-.2

2. Vedori in planul xOyUn vector ~=xi+y] arecoordonatele (x,y) si scriem ii(x,y).

Proprietali importante. Fie ii(x,y) si v(x',y') doi vectori din planul xOy. Atunci

1.1~1=~x2+y2. 2. ii(x,y)=v(x',y')~x=x',y=y'.3. ii·v=xx'+y'y'. 4. ii(x,y)l.V(X',y')~XX'+y'y'=O.

- '+'S. cos(ii,v)= R~Y.Y . 6. ii(x',y,)lIv(x',y')~~=L.x2 + y2 X'2+ y,2 x' y'

7. Vectorul de pozitie al punctului A(XA'YA) E xOy este ; A = XAi+ YA] .

8. Pentru doua puncteA ~i B din planul xOy avem AB = (xs -xA)i+(ys - YA)] .

3. Dreapta in plan.Fie do dreapta in planul xOy. Panta dreptei d este tangenta unghiului format de dreapta

cU semiaxa pozitiva Ox. Ecuatia generals a unei drepte d este d: ax + by + c = 0 .

Proprietati importante.1. Dreapta care trece pin punctul A (x A ' YA ) si are panta data m are ecuatia

J:Y-YA =m(x-xA)·2. Daca dreapta d are ecuatia d: Y = mx + n , atunci m este panta dreptei d.3. Daca dreapta d are ecuatia d: ax + by + c = 0, atunci panta dreptei d este egala cu

am= __ , b # 0 .b

4. Doua drepte sunt paralele daca si numai daca au pantele egale, adica

d. II d2 ~ ~ = m2 •

S. Doua drepte d, ~i d2

sunt perpendiculare daca si numai daca ~ .m2 = -1 .

6. Distanta dintre punctul A (x A ' YA ) si dreapta d :ax + by + c = 0 este

( )laxA+bYA+cl

dA,d = ~ .va2 +b2

8. Dreptele d.: a1x + b.y + c1 = 0

daca !i.=!i#2.a2 b2 c2

Chiar daca nu este scopul acestui capitol, consideram util sa introducem aici catevaaplicatii ale determinantilor in geometrie.

9. Fie A(XA'YA) ~i B(xB'YB). Ecuatia dreptei AB cu sensa cu ajutorul

x Y 1

determinantului este AB: x A YA 1 = 0 .

xB YB 1

10. Fie A(XA'YA), B(xB'YB) ~i C(xc,Yc)·Aria triunghiului ABC, sensa cu ajutorul determinantului, este egala cu

xA YA 11

SABc="2\Ll\,undeLl=xB YB 1. .-Xc Yc 1 ~I

11. Punctele A(XA'YA)' B(xB,YB) ~i C(xc,Yc) sunt coliniare daca si numai daca \51 ~~1=0. ~1 ~

xA YAA == xB YB

Xc Yc----------------------------------------------------- .41

Probleme propuse

1. Se considera triunghiul ABC si punetele M, N ,P astfel incat AM = ME, BN::::2NCsi AP = 2CP . Aratati ea punetele M, IV. ,P sunt eoliniare.

2. Se considera paralelogramul ABCD si punetele E ~i F astfel ine'___ - atAE = EB, DF = 2FE . Dernonstrati ca punetele A, F si C sunt eoliniare.


- 1-3. Se considera triunghiul MNP ~i punetul A astfel ineat MA = "3 MN. Detennina\i

numereie reale a si b pentru care PA = aPM +bPN.

4. Se considera paralelogramul ABCD si punetul E astfel iDeat AE = ~ AB . Detennina\i

numerele reale a si b pentru care CE = aAB + bAD.

s. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latura 4. Calculati modulul veetorului AC +Bfj.Variante bacalaureat 2009

6. Se considers triunghiul ABC eu laturile AB = 3 si AC = 4. Daca D este punetul deintersectie dintre bisectoarea unghiului A si dreapta AB, determinati numerele reale a ~ib pentru care AD = aAB+bAC .

7. Se considera triunghiul ABC si punctele M,N,P mijloacele laturilor AB, BC, respectivAC. Aratati ca AN + BP + CM = 0 .

8. Dernonstrati ca pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD are loc- - --

egalitatea MA + MC = ME + MD. Variante bacalaureat 2009

...•wa:l-

i:;)Qu.:•

~c:c~:;)ou·

9. Fie M un punct din planul triunghiului ABC astfel incat AM + BM + CM = 0 . Arata!ica M este centrul de greutate al triunghiului ABC.

10. Se considera patrulaterul ABCD si punctele M si N mijloacele laturilor AB ~i CD.

Aratati ca MN = ~(BC + AD).

11. Se considera triunghiul ABC ~i punctele M,N,P astfel incat AM = 2MB, BN = 2NC si·a CP = 2PA . Aratati ca triunghiurile ABC si MNP au acelasi centru de greutate.III

~ 12.Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Aratati ca daca AH + BH + CH = 0, atunCI~ triunghiul ABC este echilateral.;. 13. Se considera triunghiul ABC, cu lungimile laturilor AB = c, A C = b si un punet D

cj astfel inc at AD = bAB + cAC . Aratati ca sernidreapta [AD este bisectoarea unghiulUi

~ BAC. Variante bacalaureat 2009u~ 14. In planul xOy se considera triunghiul ABC astfel lncat AB = 47- 3], A C = -57 + 12j .~ Determinati perimetrul triunghiului ABC.e~ 1s. In planul xOy se considera vectorii ; = 47+ 3] .

~ a) Determinati un vector ~ de lungime 6 coliniar cu u.

b) Determinati un vector;' de lungime 5 perpendicular pe ; .

• lID pentru care veetorul ; = at - 3J este paraleJ eu dreapta• aft aEll'.

+y_2::::0. _ -: -: _ -: -.. h'ulABCastfelincat AB=41+3j, AC=I+2j.

nsiderA tnung 1 .' .CO Ina . lungimea medlanel dIDA. • . .pete~ a: vectorului BG , unde G este centrul de :reu~te ~ triun;ul~ ABC. . .

~petennm . hi I ABC astfel iDcat AB=-4i+3j, AC=51+l2j. DetermmatiSe considera tnung. dl~ A

. bisectoarel III .lUOgtmea . .

. I ABC are masura unghlUIUl A". TriunghlU

An· AC . d rdonate xOy se considera punctele M(l, -2), N(-3, -I), p( -l,2) .in sistemul e coo

. t' oordonatele lui Q astfel mcat MNPQ sa fie paralelogram.J)etet1l11na1 C Examen Bacalaureat 2011

de 60°, AB = 4 si AC = 5. Calculati

Examen Bacalaureat, iunie 2011

.' lID C dcavectorii ~=2i+3] si ~=(a-l)7+] auaceea~ilungime.21. J)eterrmnat1 a E l'" ~ un

.. - _ -:+ 3-. si ~ = (m - 2)7 - ] . Determinati m > 0 astfel incdt vectorii u22. Fie vectOnI U - mi ) 'i

~i ~ sa fie perpendiculari. _ _ _ _

Deterrninati cosinusul unghiului format de vectorii u = i + 2j si v = 3i - j .- - - - 0

24. Aflati a E lR pentru care unghiul dintre vectorii ~ =7+ j ~i v = ai - j este de 60 .

25. Se considers triunghiul ABC astfel tncat AB = -47 + 3], BC = 7+ 2]. Determinati

coordonatele vectorului AD, unde D este proiectia lui A pe dreapta BC.

26. Arltati ca unghiul vectorilor ~ = 57- 4] ~i ~ = 27+3] este obtuz.Variante bacalaureat 2009

27.Se considera triunghiul ABC astfel tncat AB=-47+3j, BC=47+3]. Determinati

lungimea inaltimii din A.

21. Paralelogramul ABCD are AD = 6, AB = 4 si m(:4DC) = 1200• Calculati \AD+ AB\.

Examen Bacalaureat 2010

29. Determinati aria triunghiului ABC stiind ca BA = 27+ j si BC = -7 +3] .30. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(I,4), B(3,l), C(-l,I).

Determinati coordonatele vectorului A G, unde G este centrul de greutate al •..triunghiului ABC. ==

31. Se considera vectorii u si ~ astfel tncat I~I= 4, I~I= 3 si cos(~) = 1200

• ~

u

~==w~==

Determinati: a) ;.~; b) I~+~I; c) cos(~).

2. Determinati unghiul dintre vectorii ~ si ~ stiind ca I~I= 3, I~I= 2 si ;. ~ = -3J3 .33. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului AB, unde A(2,3) si B(-3,-2)

Variante bacalaureat 2009 •

43

34. in planul xOy se considera punctele A(l, 1) ~i B( -1,3) .

a) Determinati ecuatia dreptei care trece prin 0(0, 0) ~i este paralela cu dreapta AB.b) Determinati punctul C E Ox pentru care AC .1. AB .

35. Se considera punctele A(1,3), B(2, -I) ~i M(1, -1). Determinati coordonatele punctelorC ~iD pentru care patrulaterul ABCD este paralelogram cu centrul in M

36. Se considera punctele A( -1, - 5) ~i B(2, I). Determinati coordonatele punctului M

- 2-pentru care AM = "5 AB .

37. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(6,0), B(0,6) ~i

C(12,12). Determinati coordonatele punctului M(u, v) astfel incat AM = BM = CM.Examen Bacalaureat 2001

38. Scrieti ecuatia dreptei ce contine punctul A(2, 5) ~i este paralela cu vectorul ~ = ii- 7 .39. Determinati ecuatia dreptei Care trece prin punctul M(1,2) si este perpendiculara pe

....•1&1a::•...i~Q~.

vectorul u = i + j .

40. In sistemul de coordonate xOy se considers A(3,5), B(-2,5), C(6,-3) . Determinatiecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] in triunghiul ABC.

Examen Bacalaureat 2010

41. in sistemul de coordonate xOy se considera A(2,1), B(-2,3), C(1,-3) ~i

D( 4, a), a E IR . Determinati a astfel incat dreptele AB si CD sa fie paralele.

42. Fie G(I,O) centrul de greutate al triunghiului ABC, unde A(2,5) si B(-I,-3) .Determinati coordonatele punctului C.

43. Calculati distanta de la punctul A (2,2) la dreapta determinata de punctele B (1,0) ~i

C(O,I) .

44. Determinati a E lR pentru care dreptele d.: ax + y + 2011 = 0 si d2: x - 2y = 0 suntparalele.

45. Scrieti ecuatia care contine punctul A(3, 2) ~i este perpendiculara pe dreapta

3 d :x + 2y + 5 = 0 . Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS

"~ 46. in sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2) si B( -2,1). DeterminatiII:~ ecuatia perpendicularei in A pe dreapta AB.

~ 47. in sistemul de coordonate xOy se considera punctele A( -2,3) si B(O,I). Determinati

~ distanta de la punctul M (1,5) la mediatoarea segrnentului [AB] .~JC•sit~

~.

48. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A (1,1), B (5,4) si C(2, -3) .Determinati ecuatia inaltimii din C.

49. Determinati a E IR pentru care distanta dintre dreptele d.: x + y + 2011 = 0 ~i

d2 : x + y + a = 0 este egala cu 2.

SO. Determinati a E lR pentru care dreptele distincte d,: 3x + 4Y + 2 = 0, d2: 3x + 4Y = 0~i d

3: 3x + 4y + a = 0 stint ecbidistante.

J)eterminati ecuatia dreptei d, stiind ca dreptele d, ~i d2 : x + 2y + 4 = 0 sunt simetrice51.fata de axa Ox.

52. Determinati a + b stiind ca punctele A (1,2) si B (-1,1) apartin dreptei

d:x+ay+b=O.

53. Determinati m E IR stiind ca dreptele d.: mx +(m - 2) y + 2 = 0 si d2: y = 3x + 1 sunt

paralele.54. J)eterminati a + bE lR stiind ell dreptele d. : x + ay + 2 = 0 ~l d; : y = -2x + b

coincid.55.Fiepunctele A(-1,3), B(1,-I) si C(a,b),unde a.b e Z:

II) Aratati ca, daca 2a + b :1=1 , atunci punctele A,B si C sunt necoliniare.

b) Aratati ca daca b este numar par, atunci aria triunghiului ABC este un numarnatural impar.

Tema 1.10Trigonometrie. Aplicalii ale trigonometriei ~i ale

produsului scalar in geometria plana

1. Elemente de trigonometrieCercul trigonometric este un cere de raza

1, cu centrul in originea reperului cartezian,Axa Ox se numeste ~iaxa eosinusurilor,

iar axa Oy se numeste axa sinusurilor.

sin

y

(0,1)

(-1.0)

x

Formule trigonometrice fundamentale.

Pentru urmatoarele formule consideram nurnerele reale a,b astfel incat sa aiba sensurmatoarele forrnule.

1. Formula fundamentala a trigonometriei. sin 2 a +cos' a = I .

2. Reducerea la primul cadran.

2.1. sin(~-a) =cosa, cos(~-a )=sina, tg(~-a )=ctga, ctg(~-a) =tga.

2.2. sin(Jr-a) = sin a, cos(Jr-a) = -cosa, tg(Jr-a) = -tga, ctg(Jr-a) = -ctga.

2.3. sin(Jr+a) = -sin a, cos(Jr+a) = -cosa, tg(Jr+a) = tga, ctg(Jr+a) =ctga .2.4. sin(2Jr-a)=-sina, cos(2Jr-a)=cosa, tg(2Jr-a)=-tga, ctg(2Jr-a)=-ctga.

3. Paritatea functiilor trigonometrice.sin(-a)=-sina, cos(-a)=cosa, tg(-a)=-tga, ctg(-a)=-ctga.

4. Periodicitatea functiilor trigonometrice. Pentru orice k E Z avem:

sin(2kJr+a) = sin a, cos(2kJr+a) = cosa, tg(kJr+a) = tga, ctg(kJr+a) = ctga,

5. cos(a±b) = cos ccos s z sin c sin a , sin(a±b) = sinacosb±cosasinb,

6. sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos" a - sin 2 a = 1- 2 sin 2 a = 2 cos? a-I.

7 t ( + b) - tga ± tgb 2 _ 2tga• g a_ - , tg a----.1+ tgatgb 1-tg2a

8 . 2 1- cos 2a 2 1+ cos 2a• sin a= ,cos a=---2 2

9. Transformarea sumelor in produse ~i a produselor in sume

a sina±sinb = 2sin a±b cos a+b d. sinasinb=.!.[cos(a-b)-cos(a+b)]• 2 2 2

a + b a - b 1 [ ( b)]b cos a+cceb= 2cos--cos--' e. cosacosb=- cos(a-b)+cos a+• 2 2' 2

. a + b . a - b . b 1[ . ( b) . ( b)]C cosa-cosb=-2slD--slD--; f. slDacos =- SIDa- + SIDa+ .• 2 2 2

a . 2t 1-t2 2t10 Pentru t=tg: avem SIDa=--, cosa=--2' tga=--2' a e kn, VkEZ.

• 2 1+t2 l+t 1-t

2. Aplicatii ale trigonometriei ~i ale produsului scalar ingeometria plana

Consideram triunghiul ABC cu notatiile cunoscute: a = BC, b = AC si e = AB , R esteraza cercului circumscris triunghiului, peste semiperimetrul triunghiului ABC, iar r esteraza cercului inscris,

Teorema cosinusului. In orice triunghi ABC avem a2 = b2 + e2- 2be cos A .

• . a b e 2Teorema sinusurilor. In orice triunghi ABC avem -,- = -,- = -,- = R,slDA slDB SIDC

Formule pentru aria triunghiului, Daca no tam cu SABC este aria triunghiului ABCavem:

a-h absinC abe A -I' - I "S BC = __ 0 = = - = pr , unde h este IDatimea corespunzatoare aturu a.A 2 2 4R 0'

Formula lui Heron SABC = ~p(p-a)(p-b)(p-e),

Formule pentru triunghiul dreptunghic. Daca triunghiul ABC este dreptunghic cu

, be a' h be. di di A 1BCIpotenuza BC avem: SABC = - = __ 0 , h = - , lar me lana ID este mo = - ., 2 2 0 a 2

Formule pentru triunghiul echilateral. Daca triunghiul ABC este echilateral cu

a2 J3 aJ3 aJ3, ., aJ3latura a avem: S BC = -- R = --, r = -- ~I mediana dIDA este mo = ho = -- ,

A 4' 3 6 2

3. Functii trigonometrice inverse ~iecuatli trigonometrice

Funqia arcsin :[-1,1] ~ [ - ~ , ~] este inversa functiei sin: [ - ~ , ~ ] ~ [-1,1] .

Proprietali. 1. sinx = y ~ x = arcsiny, x E [- ~' ~J.y E [-1,1].

2.arcsin(sinx)=x, vXE[-~'~l sin(arcsiny)=y, \fYE[-l,l].

3. arcsin(-x) = -arcsin x, Vx E [-1,1]. •47

4. Pentru x E IR ecuatia sin x = y are solutii doar daca y E [-I, I], iar

multimea solutiilor este egala eu {(_1)* aresiny+kJr I k E Z} .

S. Daca sinj(x)=sing(x),atunci j(x) =(-1)* g(x)+k1r, kEZ.

Fun~ia arccos :[-I, I] ~ [0, Jr] este inversa functiei eos: [0, Jr] ~ [-I, I] .

Proprietati. 1. cos x e j ee x e arccos j-, XE[O,Jr] YE[-I,I].

2. arccos (cosx) = x, Vx E [O,Jr]; eoS( arccos y) = y, Vy E [-1,1].

3. arccos (-x) = Jr - arccos x, "Ix E [--1,1].

4. Pentru x E lR ecuatia cos x = y are solutii doar daca y E [-I, I]. iar

multimea solutiilor este egala cu {±arccos y + Zks: I k E Z} .

S. Daca cosj(x) =cosg(x) ,atunci j(x)=±g(x)+2kJr, kEZ.

6. arcsinx+arccosx=Jr, VXE[-I,I].2

7. sin (arccos x) = cos (arcsin x) = Jl-x2 ,VxE[-I,t].

••. ( Jr Jr) . fun .. (Jr Jr) lll>~ Funqla ardg : lR~ -2'2 este mversa cpei tg: -2'2 ~ lA. •

! Proprietati. 1. tgx= y ¢::> x = arctgy, x E ( -~, ~ J y E lR .

~ 2. arctg( tgx) = x, Vx E ( -~,~} tg( arctg j/] = y, Vy E lR .i):; 3. arctg (-x) = -arctg x, "Ix E lR.). 4. Pentru x E lR ecuatia tg x = y are solutii pentru orice y E lR, tar)

~ multimea solutiilor este egala cu {arctgy + kr: I k E Z} .2 I~ s. Daca tgj(x) = tgg(x), atunci j x)=g(x)+kJr, kEZ.

, Funqia arcdg :lR ~ (0, Jr) este inversa functiei ctg:(O,Jr) ~ lR .)

, Proprietati. 1. etg X= y ¢::> x = arcctgy, x E(0, tr), )-E lR .~~ 2. arcctg(ctgx)=x, VXE(O,tr); ctg/areetgy)=y, VYElR.

l 3 arectg(-x)=tr-arcctgx,VxElR.

~ 4. Pentru x E lR ecuatia ctg x = y are solutii pentru orice y E R, iar

i multimea solutiilor este egala cu {arcdg y + kst I k E Z} .

~ S. Daca ctgj(x)=ctgg(x),atunci j(x)=g(x)+kJr, kEZ.! tr~ 6. arctgx+arcctgx=-, VXElR.~ 2

7. tg(arcctgx)=~ si ctg(arctgx)=~, VXElR·.x r-----------------------------------------------------

Probleme propuse. S . 210 . 220 . 29001. Calculat1: a) = sin + sm + ... + sin ;

b) P=sinlo·sin2°· ·sin20110.

2. Calculati: a) S = sin 1°+ sin 2° + + sin 360° ;

b) P=cosIo·eos2°· ·cos20110.

3. Calculati: a) tg 1° . tg 2° ..... tg 89°;

b) cos l" + cos Z" + ... +cosI79°.

I J34 Ariitati ca --0 - --0 = 4 .

• sin lOcos 10

s. Fie a E R astfel lncat tga = 2 . Calculati:

sina+cosa b) 2sin2 a+la) . cos' asma

. tg78° - tgl8° . ° ° ° . 4806 Calculati a = , b = sm 108 cos48 -cosl08 sm .• 1+tg78° tgl8°

~ . ~ . 40° . 140° 2130°7. Aratati ca sm .sm = cos .

8. Calculati:° ° 23tr . tr . tra) sin 75 cosl5; b) cos12·smU; c) smU'

9. Determinati eel mai mare element al multimii {sin I, sin 2, sin 3} .

10. Comparati numerele sin I ~i cos I .

11. Pentru sin a = ~, a E ( ~ ,tr ). calculati: a) sin 2a; b) tga.

12. Stiind cii sinx = 2~ si x E (~ ,tr ), calculati cosx.

Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS

Q!) Fie x un numar real care verifica egalitatea tgx + ctgx = 2 . Aratati cii sin 2x = I .Variante bacalaureat 2009

14. Fie multimea A = {O' 7r . tr . st: 37r}. Care este probabilitatea ca, alegand un element'6' 2' , 2 po

:Edin multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin:' x + cos' X = I ? Bacalaureat 2010. I

>c:C. sinx-cosx (7r) v

15. Calculati . (7r )' x E 0'4 . ~sin --x :E

4 ~:E

16. Daca a E lR astfel Incat sin a + cos a = .!., calculati sin 2a .3 •

49

17. Daca a,beR astfel incat sina+cosb=l si cosa+sinb=~ ,calculati sin(a+b).

18. Pentru a, b e ( 0, ;) astfel lncat a - b =: aratati ca tgb - tga + tgb· tga = -1.

tr J2;J219. Aratali ca cosg = 2 .

20. Determinati x e [0, tr) stiind ca numerele sin x, sin 2x, sin 3x sunt in progresiearitmetica.

21. Calculati raza cercului inscris in triunghiul ABC stiind ca AB = A C = 5 ~i BC = 8 .Examen Bacalaureat 2011

22. Se considers triunghiul ABC cu AB = 6, AC = 4 ~i A = 2; . Determinati.

a) Aria triunghiului ABC.b) Perimetrul triunghiului ABC.

c) Raza cercului circumscris triunghiului ABC.

23. Se considera triunghiul ABC. Aratati ca daca sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C , atunci triunghiulABC este dreptunghic.

24. Fie triunghiul ABC. Aratati ca daca cos" A + cos" B = 2 cos" C , atunci a2 + b2 = 2c2 •

25. Se considera triunghiul ABC cu A = tr si B = tr . Calculati cos C .4 3

26. Se da triunghiul ABC cu raza cercului circumscris R = 6 ~i A = tr . Calculati BC .6

27. Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ca BC = 3 ~l

1cosA=-.

2

28. Se considera triunghiul ABC cu laturile a = 3, b = 3 ~i c = 4 . Calculati.

a) AB· AC; b) Raza cercului circumscris.

29. Se considera triunghiul ABC in care a + c = 2b . Aratati ca sin A + sin C = 2 sin B .

30. Aratati ca daca in triunghiul ABC este adevarata relatia a2 sin 2B = abc atuncit' R '

triunghiul este dreptunghic.

31. Calculati sinusul unghiului ascutit dintre diagonalele dreptunghiului ABCD, stiind caAB = 6 si BC = 8 .

32. Se considera paralelogramul ABCD cu AB = 6, BC = 4 si m (4:A) = 60·. Aflatidistants de laD laAC.

33. Determinati lungimea celei mai mici inaltimi a triunghiului ABC cu laturile 5, 6 si 7.

34. Determinati lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu laturile in progresiearitmetica cu ratia 1.

J5. se considera triunghiul ascutitung.hi~ .ABC. in care. are loc relatiasin B + cos B = sin C + cos C . Demonstrati ca triunghiul ABC este isoscel.


.••. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2, tgB = 3 . Determinati masura unghiului C.~. Variante bacalaureat 2009

D terminati raza cercului inscris si raza cercului circurnscris unui triunghi cu laturileJ1. e3 4 si 5.~eterminati numerele naturale a pentru care nurnerele a, a+ 1 si a+2 sunt lungimile

J8. laturilor unui triunghi obtuzunghic.Variante bacalaureat 2009

39. Calculati:

. 1 J3. b I arcsin (_ J323)+ arcsin 1 ,. c I arctg J3

33- arcsin (- J2

22);a) arcslll2 + arccos 2 ' '.I '.I

d) arctg (J3)+ arcctg (J2) + arcctg (-J2) ; e) arcctg ~ - arcctg (-J3) .

40. Calculati:

a) sin (2 arcsin ~);

d) cos ( tr - arcsin ~ } e) tg (2arctg 3) .

41. Rezolvati ecuatiile.

a) sin x = .!., X e [0, 2tr] ;2

c) sin x + cos x = I, x e [0, 2tr) ;

e) sin 2x = cosx, X e R,

. (tr . I)c) Sill "3 - arcsin 3" ;

J2b) cosx=--, xelR.;2

d) tgx=-J3, xe(O,tr);

j) sin x = cosx, x E [0,4tr];

g) sin2x=- J2, XE[-tr,O].2

42. Rezolvati ecuatiile.

a) sin(x+ ;)=cos(x- ~} xElR..

b) arctg J3 + arctg x = tr , X E lR..2

c) 3sin x + J3cos x = 0, X E lR..

d) sinx = l+cos2 x, X E R.

e) arcsin.!. + arcsin x =!:., X E [-1,1].2 3

•..~I

'5~

Variante bacalaureat 2009 ~III

~~

•51

ParteaAlgebra (clasele XI-XII)

Tema 2.1. Permutari. Matrice. Determinanti(cia sa a XI-a)

Tema 2.2. Sisteme de ecuatli liniare(clasa a XI-a)

Tema 2.3. Structuri algebrice(clasa a XII-a)

Tema 2.4. Polinoame cu coeflcienti lntr-un corp comutativ(clasa a XII-a)

Tema 2.1Permutarl. Matrice. Determinanti

1. PermutariOefinitia 1. Fie n un numar natural nenul. a functie bijectiva a : {I, 2, ..., n} ~ {I,

2,..., n} se numeste permutare de grad n.Multimea permutarilor de grad n contine n! elemente ~i se noteaza Sn.

(1 2 3 4) AExemplu de permutare. Functia 0" = 4 1 3 2 este 0 permutare de grad 4. In

acest caz a(l) = 4, a(2) = 1, a(3) = 3 si a(4) =2.Tnmultirea permutarilor. Fie a si • doua permutari de grad n. Permutarea a 0., unde

0" este operatia de compunere a functiilor se numeste produsul permutarilor a si r ~i se"noteazl!.ar.

Proprietati1. Inmultirea permutarilor este asociativa, deei au sens expresii de forma(/ = 0" . 0" . 0" ... 0" , pentru orice a E Sn si orice numar natural nenul k.

~k ori

(1 2 ... n)2. Permutarea e = are proprietatea ae = eo = 0" , pentru orice 0" E S; , si se1 2 ... n

numeste permutarea identica,

(0"(1) 0"(2) ... O"(n»)

3. Daca a E S; atunci permutarea E Sn se noteaza e', se numeste1 2 ... n

inversa permutarii a si are proprietatea 0"0"-1 = 0"-10" = e.

Inversiuni, semnul unei permutari

Oefinitia 2. Se numeste inversiune a permutarii a E S; 0 pereche ordonata (i, j) E

E {l, 2, ... n} x {I, 2, ...n} eu i <j ~ia(i) > aU).Numarul inversiunilor unei permutari a se noteaza mea) iar numarul (_l)m(cr)se noteaza

&(a) si se numeste semnul permutarii a. Daca &(a) = 1 (deei mea) este par) atunci a senume~te permutare para, iar daca &(a) = -1 (deci mea) este impar) se numeste permutareimpara.

Proprietati4.&(a.) = &(a)· &(.) oricare ar fi 0", T E Sn.5.&(e) = 1. •.•.:E6. &(o") = &(a) oricare ar fi 0" E S; . I

(1 2 3 4 5) ><C

Exemplu. Fie 0" = . Inversiunile permutarii a sunt (1,2),(1,3), E5 1 432 _:E

(1,4),(1,5), (3,4),(3,5),(4,5), deei mea) = 7, &(a) = -1 si a este permutare impara. ~:E

•

Definijia 3. Fie i, j E {I, 2, 3,... n} cu i ~ j. Pennutarea (J E Sn cu proprie~til(J (i) = j, (J (j) = i ~i (J ( k ) = k pentru orice k E {I, 2, 3,... n} _ {i, j} se numeste transpoZifj' t:

e~se noteaza (ij) .

Exemplu. (25) = GProprieta~i7. (iJ) = (ji).

( ..)29. lj = e.

2 3 4 5 6)5 3 4 2 6 E S6'

8. (iJrl = (iJ).10. Orice transpozitie este 0 permutare impara.

2. Matricein cele ce urmeaza S reprezinta una din multimile IE, Q .R sau C, iar m ~i n sUo!

doua numere naturale nenule.Defini~ie 4. 0 functie A : {I, 2,... m} x {I, 2,... n} ~ S se numeste matrice cu m linii ~.

n coloane (sau de tip (m, n» cu elemente din multimea S. I

Imaginile unei astfel de functii se aseaza intr-un tablou (tablou de tip matriceal) cu III

linii si n coloane, in care elementul de pe linia i si coloana j reprezinta imaginea perechii(i, j) prin functia A, element care se noteaza aij E S.

....I Exemplu. A=(I ° 2), unde all = I,al2 = 0, an = 2, a21= 2, a22 = -I si a23 = I.~ 2 -I 1I-

~ Multimea matricelor de tip (m, n) cu elemente din multimea S se noteaza Mm,n(S)' 0ou.: matrice de tip (n, n) se numeste matrice patratica de ordin n, iar multimea lor se noteaza MnCs).~ Opera~ii cu mat rice~::;) Adunarea matricelor. Fie A, B E Mm,n(S), A = (aij), B = (bij). Matricea (aij + bij) EUo Mm,n(S) se numeste suma matricelor A si B si se noteaza A + B..::;) inmul~irea cu scalari. Fie A = (aij) E MmAs) si XES. Matricea (xaij) E Mm,n(S) sez~ numeste produsul matricei A cu scalarul x si se noteaza xA.~ lnmultirea matricelor. Fie A = (aij) E Mm,n(S) si B = (bjk) E Mn,P(S). Matricea (Cik) E

~ Mm,p(s) unde Cik = ailblk + ai2b2k+...+ ainbnkpentru orice i E {I, 2, ... m} si k E {I, 2, ...p} se::;)u numeste produsul matricei A cu matricea B ~ise noteaza AB.III~ Proprieta~i~ Daca operatiile de mai jos au sens, atunci:ffi 1. (AB)C = A(BC), deci inmultirea matricelor, acolo unde are sens, este asociativa;j 2. A(B + C) = AB + AC si (B + C)A = BA + CA, deci inmultirea matricelor eSte.:. distributiva falii de adunarea matricelor.o 3. Inmu1lirea matricelor este operatic algebrica pe multimea Mn(S), adica produsv' AS~~ are sens pentru orice A, B E MnCs) si, in acest caz, AB E Mn(S).QZ0(

:::E

•

_ [~ ~ ::: ~] E Mn (S) are proprietatea AIn = InA = A , oricare ar fi.~..••I - .: .~" : ..001

. umeste matricea unitate.J..S), ~1se n in general, AB"* BA, calculul algebric nu respecta regulile

_tie. Cum, 2 2 B'A B2A tf I de exemplu, (A + B) = (A + B)(A + B) = A + AB + + .

'le la numere. s e, *'A A B E M (S) , atunci (ABl = Ak~ si (A + B)* = LC:A*-; B; .

J)aCl AB == B ,cu r n ;=0

. matrice. Transpusa matricei A = (aij) EMm,n(S) este matriceaTrIInspusa unei

M (S) unde bji = aij pentru orice i E {l, ... m} ~ij E {l, ... n}.A' == (bJI) E n,m I °

I. A=(I -I 2) EM2.3(Z)~i AI =[_1 I]EM3,2(Z).exemp u. 0 I 3 2 3

Teorema(!Ui~)amilton-CaYley . 2 (0 00)Fie A = C d E M2(S)' Atunci A - (a + d)A + (ad - bc)fz = O2 unde O2 = °

(in general, matricea de tip (m, n) cu toate elementele egale cu ° se noteaza Om,n)'

3. Determinan~iDefini~ia5. Fie A = (aij) E Mn(S). Numarul L e (a) aI0'(I)a20'(2)'" aM(n) se numeste

ueS"

determinanlu[ matricei A ~i se noteaza det(A) saua2n . Un determinant de

anI an2 annordin n este determinantul unei matrice patratice de ordin n.

·Determinan~i de ordin doi. \all a12\= all a22-a12 a21.a21 a22

~I ~2 ~3

• Determinan~i de ordin trei. Ozl On On =~ IOn ~3 +al2On ~I +~3 Ozl~2 -

~I ~2 ~3 i-a13a22 a a

31- 12a2Ia33-alla23a32' I

7oprieta~i. Fie A E Mn (S). Atunci: ~

ret'erito' det(A) == det(AI). Datorita acestei propozitii orice proprietate a unui determinant ::are la r " , , c2. D mu este adevarata si pentru coloane. ~3. D~~A are? linie cu toate elementele egale cu 0, atunci det(A). = 0. _", ~B) _ a matricea B se obtine din A prin schimbarea locului a doua linii, atunci

--det(A). •

57

4. Daca A are doua linii egaJe, atunci det(A) = o.S. Daca B se obtine din A prin inmultirea elementelor unei linii eu un numar a E S

atunci det (B) = a det(A). '6. Dad! B se obtine din A prin adunarea liniei i eu linia j inmultita eu un numar a E S

atunei det(B) = det(A). '7. flij (minorul (ij)) este determinantul matrieei obtinuta din A prin supcimarea liniei i ~i

eoloaneij. Numarul S, == (_I)i+J flij se numeste complementul algebric al elementului aij dinmatrieeaA. Atunei det(A) == ail Oil + ai2 Oi2+...+ ain Oin(dezvoltarea dupa linia i).

8. det(AB) == det(A) . det(B) orieare ar fi A, B E Mn(S).

4. Aplicatii ale determinantilor• Ecuatia unei drepte determinate de doua puncte.

x Y 1Ecuatia dreptei AB, unde A(XIoYl) si B(X2J'2), este ~ YI 1 == 0 .

x2 Y2 1

• Aria unui triunghi.XI YI

Pentru punetele A(Xl' Yl), B(X2J'2) si C(X3J'3) se noteaza eu fl == x2 Y2

X3 Y3

si eu 8ABC

aria triunghiului ABC. Atunei: 1a) 8ABC == -I z ],

2b) A, B, C sunt eoliniare ¢:> fl == o.


F. . (11. re permutarile a = 3

a) Calculati at si ta .b) Calculati o":

. (1 2 3 4 5)2. Fie permutarea a = E 8 .4 1 325 5

a) Determinati inversiunile lui a si calculati e (a) .b) Determinati e-'.

. (1 2 3 4)3.Fle permutarea a = E 84•4 1 2 3

a) Determinati eel mai rnie numar natural nenul k astfel ineat a' == e .b) Calculati a2012

.

c) Rezolvati ecuatia ax = (I 2 3 4), X E S4 .4 3 1 2

(1 2 3 4 5 6

1).• Se considera permutarea a E 86, a =• 24536

. . -Ia) Determmap a .b) Aratati ea m( a) = m( a-I).c) Aratati ca ecuatia X4 == a nu are solutii in 86•

5. Fie permutarile a == (1 2 3 4 5) si b == (1 2 3 432145 2145

a) Rezolvati ecuatia ax == b,x E 85.

b) Determinati eel mai rnie numar natural nenul k astfel ineat (ab t == e .

c) Fie k E Z astfel ineat bk == e. Aratati ca 6 divide k. Bacalaureat, 2008

6. Consideram permutarile a == (1

2 3 4), b == (1 2 3 4), c == (1 2 3 4),2341 3142 4312

a, b, c E 84.

a) Verificati daca c este solutia ecuatiei ax == xb.b) Aratati ea a4 == s.c) Determinati 0 solutie a ecuatiei xb' = a3x,x E 84.

Bacalaureat, 2008

~). a,b E 85.

Bacalaureat, 2009

(1 2 3 4 5) •7. Fie permutarea a == E 85 si multimea A = {an In EN} .2 3 4 5 1

a) Determinati numarul inversiunilor lui a .b) Determinati numarul elementelor lui A.c) Aratati ea toate elementele lui A sunt permutari pare.

Bacalaureat, 2009

(

1 -1 2] (2-1•• Fie A == 0 2 1 si B = 1 0

3 1 1 1 1a) Calculati A + B, 2A ~iA - 2B.b) Calculati AB, BA ~iA2.

9. Fie matrieele eu elemente reale A == Gatunei A == B.

. . (0 1). (1 1). I10. Fie matncele eu elemente reale A == 1 1 ~I B = 1 0 . Aratati ca AB == (BA) .

11. . (0 1) . 2 100• Fie matneea eu elemente reale X == . Aratati ea X +X +...+X == 02 .-1 0

:) si B == ( ~ :). Aratati ea daca AB == BA ,

59

12. Fie matrieea X = (~ :J E M2 (lR). Calculati X +X2 + ... +X10•

13. Fie matricele cu elemente reale A = (~ :} B = (~ ~J Determinati valorile reale

ale numarului a pentru care AB = BA.

14.Fie matricea A =[~~ ~J.000

a) Calculati A3•

b) Calculati (13 - A)( 13 + A + A2).

15. F;e matricele A~(I 2 3) EM" (Ill) I; B~n'}M'" (Ill),

a) Calculati AB si BA.

b) Calculati (BA r ,n EN".

16. Pentru 0 matrice A E M; (C) notarn eu tr(A) suma elementelor de pe diagonala...~ principala a matricei A.

a) Aratati ca tr(aA) = a tr( A), oricare ar fi A E M; (C) si a E C.b) Aratati ca tr(A + B) = tr( A) + tr(B).

L

C 17. Demonstrati teorerna lui Hamilton-Cayley: A2 -tr(A)A+det(A)12 =°2, oricare ar fi...

E AEM2(C).)

i Ij 18.Fie AEM2(C) cudet(A) =0. Aratati ca An = (tr(A)f A,oricarearfi nEN,n~2.

19. Fie A E M2 (C) cu A20J2= 02 . Aratap ca A2 = 02 .

[

(a+b)" +(a-b)"

20. Fie A=(a bJ E M2( C). Aratati ca An = 2b a (a+b)" -(a-b)"

2arfinEN·.

(a+bY -(a-bYJ2 .

,oncare(a+b)" + (a-b)"

2

(r;:;)20J3. 1 ,,321. Calculati

-J3 1

22. Fie A = (5 -8) E M2( lR). Calculati An, n EN".1 -1

[0 -1 2J

23. Fie matricea M = 0 0 -1 . Calculati M"; n EN".

o 0 0

[

1 -1 2]24. Fie matricea A = 0 1 -1 . Calculati An, n EN".

o 0 1

25. Rezolvati ecuatia X2 = ( ~ 1:),X E M2 (lR) .

26. Rezolvap ecuatia X3 = G ~), X E M2 (lR) .

27.Rezolvatiecuapa X3=(_~ -~lXEM2(lR).

28. Fie matricea A = (~ ~) E M2( lR).

a) Aratati ca exista a E lR astfel incat A2 = aA.

( ,)2008b) Calculati A - A .

Adaptare bacalaureat, 2008

29. Fie matricea A = (~ !J . Calculati det] A2 - 5A - 12).

30.Fiematricele A=(_~ -:J si B=(_~ -:J.a) Verificati egalitatea det ( A) = det (B) .b) Demonstrati ca An - B" = (2n -1)( A - B), oricare ar fi numarul n ~ 1 natural.


(-1 2 2 J31.Fie matricea A = 2 2 -1 E M2,3(lR).

a) Calculati det(AA').b) Aratati ca det(AtA) = O.


32. Fie matricea A = (: !J E M2 (lR).

a) Aratati ca det] A' A) ~ 0 .

b) Aratati ca daca AA'=A'A atunci (a-d)(b-c)=O.

[ 1 -1 -1]33. Se considera matricea A = -1 1 -1 E M3 (lR) .

-1 -1 1

a) Calculati det ( A) .b) Demonstrati ca A2 - A - 213 = 03.

•61

34. Se considera matricea A = [~ ~ ~JE M3 (lR) .1 1 0

a) Calculati det(A).

b) Demonstrati di A2 -A-213 =03'

35. Se considera matricele A~[~~ HB ~[~ !~)E~(R)a) Aratati ca AB = BA = °3,

. ( )2013 20J3 2013b) Demonstratl ca A + B = A + B .

36. Se considers matricele A = ( _ ~ :], EJ = G ~], E2 = ( ~ : J.

a) Sa se calculeze A4.b) Daca B E M2( 1R), BEl = EIB si BE2 = E2B aratati ca B = ali, cu a E 1R.


..• 37. Fie A=(O -IJ ~i B=(c~st -sintJ,tEIR.~ 1 ° smt cost

a) Fie X E M2 (1R) cu AX = XA. Aratati ca exista a, b E lR astfel lncat X = ( :

(cosnt -sinntJ

b) Aratat! ca B" = . , pentru orice n E N* .smnt cosnt

c) Calculati A2OO8•

~•

1 2 1 2

40. Dezvoltati dupa prima coloana determinantul ° -1 3 5

1 ° -2 4

° 1 1 -3x-3 x x

41. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia x x-3 x =0.

x x x-3

2

1

.2. a) Aratati ca V;= a b c = (c-b)(c -a)(b -a).a2 b2 c2

1

d2 = (d -a)(d -b)(d -c)(c-b)(c-a)(b-a) .

d

d3

. ab) Aratap ca V4 = 2

a

1 1

I I . A b . A 2 b2 2,3. Ca cu atl UJ = a c ~l U2 = a c .a3 b3 c3 a3 b3 c3

44. Fie numerele reale a, b, c, functiaj": lR ~ IR,j{x) = x3 + 2x + 3 ~i determinantii1 1 1 1 1 1

A= a b c ,B= a be.a3 b3 e3 f(a) f(b) fee)

0) Aratati ca A = (a + b + e)(e - b)(e - a)(b - a) .b) Aratati ca A = B.c) Aratati ell pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, de pe graficul

functiei J, aria triunghiului cu viirfurile in aceste puncte este un numar naturaldivizibil cu 3. Bacalaureat, 2009

45.FiepuncteleA(0, 6),B(I, 4) si C(-I, 8).0) Aratati ca punctele A, B, C sunt coliniare.b) Scrieti ecuatia dreptei AC. Adaptare bacalaureat, 2009

46. Fie punctele A(O, 1),B(1, 2) si C(2,4).

0) Scrieti ecuatia dreptei AB.b) Calculati aria triunghiului ABC.

47. Fie punctele A (1, 0), B (2, -1), C(3, a). Determinati valorile reale lui a pentru care aria

triunghiului ABC este egala cu 1.48. Fie punctele A( -1, 0), B(I,-I), C(a,a+ 3), unde a este un numar intreg .

0) Demonstrati ca punctele A,B,C nu sunt coliniare pentru nicio valoare a lui a.b) Determinati valorile lui a pentru care aria triunghiului ABC este egala cu 1.

49.Fiepunctele A(-I, 0), B(I, -1), C(3,5) si D(2,2).

0) Demonstrati ca punctele B,C,D sunt coliniare.b) Demonstrati ca aria triunghiului ABD este egala cu aria triunghiului A CD. •..

SO.Seconsiderapunctele ~(akA), k=I,2,3 si matricea A=(aJ a2 a3JEM2•3(1R). ~bJ b2 b3 \5

0) Demonstrati ca det( AA') ~ 0, oricare ar fi punctele ~,~,~. ~:::liE

b) Demonstrati ca det ( AA' ) = °daca si numai daca punctele ~, r;~ apartin unei ~

drepte care trece prin origine. Adaptare bacalaureat, 2010 :::liE

•63

Tema2.2Sisteme de ecuatii liniare.

1. Matrice inversabile

Definitia 1. Matricea A E M; (C) se numeste inversabild daca exista 0 matrice

B E M; (C) astfel tncat AB = BA = In.Daca pentru 0 matrice A exista 0 matrice B cu proprietatea din definitie, atunci Beste

unica cu aceasta proprietate, se noteaza cu A-I ~i se numeste inversa matricei A.Teorema 1. Matricea A E M; (C) este inversabila daca ~inumai daca det(A) :t O.

Calculul inversei unei matice. Pentru A E Mn (C), se noteaza cu A* matricea transpusa

a complementilor algebrici ai elementelor matricei A. Matricea A * se numeste adjuncta lui A.

Daca det(A):t 0, atunci £' = _1_A*.det(A)

Exemplul 1. Daca A = ( : !J, atunci

A-'=_I_A*=_I_(d -bJdet(A) det(A) -c a .

Observatfl, Fie A E Mn (C) 0 matrice inversabila.

1. Daca A E M; (lR.) ,atunci £' E M; (1R) .2. Daca AEMn(Q),atunci £' EMn(Q).

3. Daea A E Mn (Z), atunci £' E Mn (Q), adica rnatricea £1 nu are neaparat elementeintregi.

(d -bJA* = . Daca det(A) :t 0, atunci-c a

2. Ecuatii matriceale

Fie A E Mm (C), BE Mn (C) doua matrice inversabile si C E Mm.n (C) . Atunci:

a) Ecuatia AX = C, X E Mm•n ( C) are solutia unica X = £1 C.

b) Ecuatia XB = C, X E Mm•n (C) are solutia unica X = CS-I.

c) EcuatiaAXB = C, X E Mm.n(C) are solutia unicaX=£ICS-I.

3. Sisteme liniare

{

allx, + a'2x2 + ... + a'nXn = b,

Definitie 2. Sistemul ~~,~.'..~_a.!~:Z_::::'::"':::~~n_x.."_~~~,cu m,n E ff, aij E C, b, E C,am,x, +am2X2 + ...+ amnxn = bm

se nume~te sistem liniar cu m ecuatii si n necunoscute (sau de tip (m, n).

Prin solutie a sistemului intelegem un n - uplu ordonat (Xl' X2, ... , xn) E en eu

proprietatea ca numerele xpx2,,,,,xn verifica cele m ecuatii ale sistemului. Matrieea

A == (aij) E M m.n{C) (adica matricea coeficientilor necunoscutelor) se numeste matricea

sistemu!ui.[)efinitia 3. Un sistem liniar de tip (m, n) si matrice A se numeste sistem Cramer daca

m == n si matricea sistemului este inversabila.Teoremi 2. Un sistem Cramer are solutie unica. Solutia (XI. X2, ... , xn) a unui sistem

. ~ tf 1 D., D.2 D.n dAd . 1Cramer se deterrruna as e: x, = -, x2 = - , ... , xn = -, un e u este eterrrunantuD. D. D.rnatricei A a sistemului, iar D.;este determinantul matricei obtinuta din A prin inIocuirea

COlo""ei.r eu eoloana b = [i1a termenilor liberi.

• Rangul unei matriceFie A E Mm,n( C) si 1 ~ k ~ min(m, n). Un determinant obtinut din determinantullui A

prin suprimarea a m - k linii si n - k coloane se numeste minor de ordinul k al matricei A.

Exemplu 2. A = (~1 ~3 ~5 -~). D.I= 111este minor de ordinull.

4 3 5 9

1 2 4D.2= I~~Ieste minor de ordinul 2~i D.3= -1 -3 -7 este minor de ordin 3.

.43 9

Definitie 4. Fie A E Mm.n (C),A:t Om.n si 1 ~ r ~ min(m, n). Nurnarul r se numeste

rangullui A daca:a) exista un minor nenul de ordinul r;b) toti minorii de ordin strict mai mare decat r (daca exista) sunt nuli.Rangul matricei Om,neste O.Proprietiti1. r = rang(A) <=> a) exista un minor nenul de ordin k, si

b) toti minorii de ordin r + 1 (daca exista) sunt nuli.2. r = rang(A) <=> a) exista D.un minor nenul de ordin r, si

b) toti bordatii lui D. (daca exista) sunt nuli. (Un bordat al lui D.este un minor de ordinul r + 1 obtinut din adaugarea la D. aelementelor unei linii si ale unei coloane disponibile din A). i

~ ~l ~l.Rangul lui A este 2 pentru ell " =I~ ~=-3.0, ~325 ~

w123 12] ~

iar bordatii lui D.p sunt tl(33) = 2 1 -1 = 0 si 1\34) = 2 1 51= O. ~3 3 2 3 3 •

Exemplu 3. Fie

6S

• Sisteme liniareDefinitie s. Un sistem liniar se numeste compatibil daca are solutii. Daca solutia este

unica, el se numeste compatibil determinat, iar in caz contrar compatibil nedeterminat. Unsistem liniar lara solutii se numeste incompatibil.

Dao' A este matricea unui sistem liniar ell coloana termenilor liber b" [i], atunc]

matrieea obtinuta prin adaugarea la A a coloanei b, se noteaza A ~i se numeste matriceaextinsd a sistemului.

Teorema 2 (Kronecker=..Capelli). Un sistem liniar de matriee A este compatibil daca ~inumai daca rang(A) = rang( A ).

• Stabilirea compatibilititii. Fie un sistem liniar de tip (m, n).- Se determina r = rang(A) ~i fie flp un minor nenul de ordin r (minor principal).- Daca r < m, se calculeaza bordatii lui flp cu elementele fiecarei linii disponibile

din A ~i eoloana terrnenilor liberi (minorii caracteristici). Atunei rang( A )= rang(A) ¢:>

toti minorii caraeteristici sunt nuli (Teorema lui Rouche)

• Rezolvarea sistemelor compatibile. Fie un sistem liniar de tip (m, n) si matriee A,r = rang(A) = rang( A ) ~i flp un minor principal al lui A.

- Liniile (eoloanele) corespunzatoare lui flp se numesc linii (coloane) principaleale lui A. Restul se numese linii (coloane) secundare.

- Ecuatiile corespunzatoare liniilor secundare se numese ecuatii secundare si sesuprima.

- Necunoscutele corespunzatoare coloanelor seeundare se numesc necunoscutesecundare si se tree in membrul drept ea parametrii.

- Pentru fiecare valoare a parametrilor se obtine un sistem Cramer care se rezolva,- l?aca.r = n, atunci sistemul nu are necunoscute secundare si este compatibil

deterrrunat. In eaz contrar este compatibil nedeterminat.

• Sisteme omogene

Definftje 6. Un sistem liniar se numeste omogen daca top termenii liberi sunt nuli.Proprietiti. Fie un sistem liniar de tip (m, n), de matrice A.3. Un sistem omogen este compatibil. EI are solutia Xl = x2 = ... = xn = 0, numita

solutia nula.

4. Un sistem omogen are solutii nenule ¢:> este eompatibil nedeterminat ¢:> rang(A) < n.S. Daca m = n, atunci sistemul are solutii nenule ¢:> det(A) = O.

• Metoda lui GaussSistemele liniare (S) si (S') eu acelasi numar de necunoseute se numesc eehivalente

daca au aceleasi solutii,, Deoareee sehimbarea locului ecuatiilor intr-un sistem liniar (S) transforma sistemulmtr-unul echivalent putem presupune ca all "* O. Pentru fiecare i E {2,3, ... ,m} inmultim

prima ecuatie cu _5.!. si 0 adunam cu ecuatia ,,to. In acest fel, In ecuatiile 2, 3, ... mall

necunsocuta Xl are coeficientul O.

Pastram prima ecuatie ~i continuant procedeul, atat cat este posibil, pentru celelalteIlecunoscute. Se obtine in final un sistem pentru care stabilirea compatibilitatii esteiJtlediata.

Exemple.

!

X+2Y-Z=2 !X+2Y-Z=22x+y+z=4 - -3y+3z=0--x+3y-z = 1 Sy-2z = 3

Sistemul are solutie unica: X = 1,y = 1, z = 1.

{

x+2y-z+t = 2 !x+2y-z+t = 2S. 2x+y+3z-2t=1 - -3y+Sz-4t=-3

3x+3y+2z-t = 4 -3y+Sz-4t =-2

incompatibil.

6. {-;x+:y+:Z=~4 {~;~;ZZ==61 _ {X+y+Z=1 Fie zy+z=2

3x-3y-3z = -9 -6y-6z = -12{X+Y=I-a. ..

devine ~l are solutiile (-1, 2 - ex, ex), ex E 1R.y=2-a

4.{

X+2Y-Z = 2 {X+2Y-Z = 2y-z=O - y-z=O.

Sy - 2z = 3 3z = 3

{

x+2y-z-t = 2-3y+Sz-4t = -3. Sistemul este

0=1

ex. Sistemul


1, Determinati valorile "ale ale lui a pentru care matricea A" [~

in M)(IR).

2. Determinati inversa matricei A =(~2~)E M2 (Q) .

3. Determinati inversa matricei A = [~ ~ ~1) E M) (Q) .o 0 1

4. Fie A E Mn( Z ) inversabila in Mn( Q ). Aratati ca £' E Mn( Z ) <=> det(A) = ±l.

S. Fie A = [~ ~ ~) . Calculati £'.100

6. Aratati ca matrieea A = [~ ~ 21] este inversabila pentru orice valoare reala a lui m.

o 1 m

3 2)2 -1 este inversabila

1 a

•67

[3 2 2J

7. Fie A = 2 3 2 .223

a) Determinati a, b E IR astfel Incat A2 = aA + bl-;c) Calculati A-I.

[1 1 1 IJ

. .. .. 0 1 1 18. Determinap inversa matncei A = .o 0 1 1

o 0 0 19. Rezolvati ecuatiile matriceale:

(1 2) (1 -1)a) 3 5 X = 2 3 ,X E M2 (1R) .

b) X(; ~)=(~1 ~). XEM2(1R)·

1 O. Determinati valorile reale a lui m stiind eli matricea A = ( ;

adjuncta sa.

11. Determinati inve rsa adjunctei matricei A = [~ ~

12. Rezolvati ecuatiile matriceale:

~ ( 1 -1) (1 4 1)a -2 3 X = 0 1 -2 ,X E M2•3 (1R).

b) xC _~)=[-~~], XEM3•2(1R).-5 8

I {X+3Y+5Z = 4i 13. Rezolvati sistemul 2x + Y - 3z = 3 .!i 5x-2y+7z=3

l { x+y+z=3i 14. Rezolvati sistemul -x + 2Y - 2z = 9 .

x+4y+4z = 27

{

2X-3Y+5Z =915. Rezolvati sistemul x + Y - 2z = -2 .

3x+2y+z =7

1) ,are inversa egala eu-1

{

3X+ y+4z =-116. Rezolvati sistemul x + 3Y - 2z = 5 .

4x+3y+7z=2

{

4X- y-4z =-111.Rezolvati sistemul x+5y-4z = -1.

2x+y-z=3

{

x+y-4z=-2

18. Rezolvati sistemul -7x + 3y + 2z = -2 .5x-4y+z = 2

19. J)etenninali rangul matricei A =[! !~}20. D~crminap rangul matricei A = [~ ~ ~I n21. Determinati valorile reale ale lui a Ii b pentru care rangul matricei A = [ : ~ ;1 ~)

este egal cu 2.

22. Determinati rangul matricei A = [ : ~ ~ ~).12123. Determinati valorile reale a lui m pentru care matricea A = [~ - ~ -:) are rangul2.

2 -1 m

24. Determinati rangul matricei [~ =~~1 ~1] in functie de a Ea3 2 a 5

25. Determinati rangul matricei [~ ~ ~1 ~ ~1) in functie de a,b E 1R.4 3 2 b 2

26. Determinati rangul matricei [~ ~i~~~]in functie de a.b,c E R .

69

27. Fie matricea A = [2aa ;b ;c) unde a, b, C E lR '.

3a 3b 3c

a) Calculati rangul matricei A.b) Aratati ell exista matriceleK EM3,1(1R) ~iL E MI,3(IR) astfel incatA =K· L.

c) Aratati ca exista d E IR astfel incat A2 = dA .Bacalaureat, 2009

(0 0 0]

28.Fie A = 1 0 0 E MJCIR).1 1 0

a) Calculati A3.b) Aflati rangul matricei h + A + At.

c) Determinati inv(~rsa2ma~c]ei t,+ A(. 2]29. Fie matricea A = 2 2 0 si B = 1 .

1 4 -3 5

a) Determinati rangul matricei A·.b) Aratati ca ecuatia AX = Bare 0 infinitate de solutii X E M3,\ (C) .


Bacalaureat, 2008

ii•..i

30. Fie matricea A = (: :: ~ ::~], cu a, b E IR .1 1 a

a) Calculati det(A).b) Aratati ca rang (A) ~ 2, Va, b e R

31·Fie A=[~ ~ ~ ~] ~i B=[~ ~ ~ ~].0000 01101001 0000

a) Calculati AB + BA.b) Aratati ca rang ( A + B) = rang (A) + rang (B).c) Aratati ca( A + B)" = An + B" , oricare ar fi nEW.

{

X+2Y =132. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare 5x - Y = 6 este incompatibil.

3x-4y =0

{

X + 2y+z=133. Fie sistemul de ecuatii liniare ax + 3Y + 2z = 0, a E 1R. Aratati ca pentru orice

(a+l)x+ Y+z =0

valoare a lui a sistemul are solutie unica.


{

mx+ y+mz=l

34. Determinati toate valorile reale ale lui m pentru care sistemul x + y + mz =3 este3x- y-2z =12

incompatibil.

35. Aratati ca pentru orice valoare reala a lui m sistemul de ecuatii liniare

{

3x-4y+z=1-x + Y + 2z 2= mare solutie unica,

x+4y+m z=-3

{

X+Y+Z=b+1

36. Determinati a, b E IR pentru care sistemul 2x + Y + Z = b are eel putin doua solutii.

x+ay-z =-1

{

2X- y+3z = 1

37. Aratati ca sistemul de ecuatii liniare x + Y + Z = 2 are 0 infinitate de solutii.

x-2y+2z =-1

{

2ax+ y+z =0

38. Aflati valorile reale ale lui a pentru care sistemul de ecuatii liniare x + 2ay + z = 0x+ y-2z=0

este compatibil nedeterminat.

{

X+2Y-3Z=3

39. Fie sistemul 2x- y+z = m ,unde m, n E 1R.nx+ y-2z = 4

a) Determinati m si n pentru care sistemul admite solutie Xo= 2,yo = 2,zo = l.b) Determinati n E IR pentru care sistemul are solutie unica.c) Determinati m si n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

Bacalaureat, 2009

{

x+ my+2z =1

40. Se considera sistemul x + (2m -1)y + 3z = 1 , m E IR .x+my+(m-3)z = 2m-l

a) Determinati m E IR pentru care sistemul are solutie unica. •.•~b) Determinati m E IR pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. I

Adaptare bacalaureat, 2009 <v~<~w~~

{

2X-3Y+4Z-5t =-1

41. Se considera sistemul x+9y+mz+t=3 ,m, n,p ElR.

5x-6y+lOz+nt = p

a) Determinati p E IR astfel incat sistemul admite solutia (xo,Yo, zo, to) cu Zo= to = o. •71

b) Determinati m,n,p E IR pentru care sistemul este compatibil, iar rangul matriceisistemului este egal cu 2.

Bacalaureat, 2008

{

X- y-mz = 1

42. Se considera sistemul mx + y + mz = 1-m , unde m E 1R.mx+3y+3z =-1

a) Calculati determinantul matricei sistemului.b) Determinati m E 1Rpentru care sistemul este incompatibil.


{

X+ y+z =1

43. Fie m E 1R si sistemul x + my + z = 1 , m E 1R ~iA matricea sistemului.x+my+mz =-2

a) Calculati det(A).b) Aratati ca rang(A) "# 2 oricare ar fi m E 1R.c) Determinati valorile lui m pentru care sistemul este incompatibil.


{

ax+ y+z = 4

44. Fie sistemul x+2y+3z = 6, a, b E 1R.

3x- y-2z =b

a) Determinati a si b pentru care sistemul are solutia (1, 1, 1).b) Determinati a ~i b pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.c) Aratati ca pentru orice a E Z , exista b E Z astfel indit sistemul admite solutii ell

toate componentele intregi. .

....IILl.~ioQu.:.:30(

2 {x+ay = 1~ 45. Fie sistemul y + az = a , a E 1R si A matricea sistemului.

; x+z=1zIi( a) Aratati ca sistemul este compatibil determinat, oricare ar fi a E 1R.C2~ b) Aratati ca pentru orice a E 1R solutia sistemului este fermata din trei numere in pro-~ gresie geometrica, Adaptare bacalaureat, 2008

; {X+2Y+Z=1~ 46. Fie sistemul 2x - y + z = 1 ,unde a, b E 1R ~iA matricea sistemului.z~ 7x-y+az=b

~ a) Deterrninati valorile lui a pentru care sistemul este compatibil determinat.:i b) Determinati valorile lui a si b pentru care sistemul este incompatibil.


Bacalaureat, 2009

.

.LI

~ {x+ py+ p2Z = p35 47. Fiesistemul X+qy+q2Z=q3 ,undep,q,rEC.

~ x + ry + r2z = r3

a) Calculati determinantul matricei sistemului.b) Rezolvati sistemul in cazul in care p, q, r sunt distincte doua cdte doua.

c) Aratati ell daca (-1, 1, 1) este solutie a sistemului, atunci eel putin doua din numere

p. q, r sunt egale. Bacalaureat, 2008

{

mx+ y+z =0

If. Fie sistemul omogen x+3y+2z = 0, m e. 1R.-x-y+4z=0

a) Ca1culati determinantul matricei sistemului. ..

b'\ Determinati valorile lui m pentru care sistemul are solutii nenule. bit 2009'I • Adaptare aca aurea,

{

2X+ y+z = 0

Fie A matricea sistemului 3x - y + mz = 0 , m E 1R..9.-x+2y+z=0

a) Ca1culati det(A). . ..b) Determinati m E 1R pentru care sisternul are solutii nenule.

2 + y2 + Z2 .' b l~. ~ Xo 0 0 este constanta pentru once solutie ne ana ac) Pentru m = 0, aratati ca 2 2 2 'Zo -Yo -Xo

(Xo, Yo, Zo) a sistemului. Bacalaureat, 2009

{

X+ay+(b+C)Z = 0

SO. Fie sistemul x+by+(c+a)z = 0, unde a, b E 1R.

x+cy+(a+b)z = 0

a) Calculati determinantul matricei sistemului. ..b) Aratati ca pentru orice a,b,c E 1R, sistemul are solutii nenule. .

c) Rezolvati sistemul stiind ca a"# b si (1, 1, 1) este solutie a sistemului,Bacalaureat, 2008

•73

Tema2.3Structuri algebrice

1. Grupuriin cele ce urmeaza G reprezinta 0 multime nevida.Definitie 1. Se numeste lege de compozitie internd (operatia algebricdi pe Go functie

*". GxG ~ G." ~pentru fiecare pereche (a, b) E G x G , imaginea *«a, b)) se noteaza a *b .

• perechea (G, *) reprezinta 0 multime nevida G ~i0 lege de compozitie internii ,,*" pe G.

Definitie 2. Fie (G, *) . 0 submultime nevida H a lui G se numeste parte stabilii a lui

Gin raport cu legea ,,*" daca x * Y E H , oricare a fi x,Y E H .e daca G = {ai' a2, ••• , an} este 0 multime finita si ,,*" 0 lege de compozitie interna pe G,

matricea (a ..) cu a .. = a. * a. se numeste tabla operatiei ,,*" pe G.l) ISi,)Sn IJ I }

Exemplu: G = {O,1,2, 3} ~i a * b = la - bl. Tabla operatiei .>" pe G este

* 0 1 2 3

..I11.1a:~:E::)ou:e

icC..I

~::)U Definitie 3. Perechea (G, *) se numeste grup daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:U;; a) Legea ,,*" este asociativd, adica (x * y) * z = x *(Y * z) , oricare ar fi x,y,z E G.zcs: b) Legea ,,*" are element neutru, adica exista e E G astfel lncat x * e = e * x = x ,~~ oricare ar fi x E G .:E c) Toate elementele lui G sunt simetrizabile, adica pentru orice x E G exista x' E G; astfel incat x * x' = x'* X = e. (x' se numeste simetricullui x).v~ Grupul (G, *) se numeste grup comutativ (abelian) daca legea ,,*" este comutativa.z':i adica x * y = y *x , oricare ar fi x, y E G .a:~ Exemple de grupuri:c:f <grupuri numerice: (Z,+), (Q,+), (lR,+), (C,+), (Q",), (lR",), (C,), ({-l,l},)~ • grupuri de matrice: (Mn (Z),+), (Mn (Q),+), (Mn (lR),+), (Mn (C),+).~o e grupuri de permutari: (Sn,) .a:fi Definitie 4. Fie (G1, *) si (G2, 0) doua grupuri. 0 functie I: G1 ~ G2 se numestc

~ morfism de grupuri (sau simplu morjism) daca 1 (x *y) = 1 (x) 01 (y) oricare ar ftX,YEG.

o 0 123I 1 0 1 22 2 10133210

•4

Daca morfismul f: G, ~ G2 este functie bijectiva atuneif se numeste izomorfism. In"est caz spunem di eele doua grupuri sunt izomorfe.

Proprietatea 1.Daca (G1, *), (G2, 0) sunt doua grupuri si f: G, ~ G2 este morfism atunci:

0) 1(e 1 ) = e2 , unde el si e2 sunt elementele neutre din G1 si respectiv G2 •

b) 1(x ') = (J (x))' oricare ar fi x E GI' unde x I este simetrieul lui x in G1, iar

(I (x))' este simetrieullui 1 (x) in G2 •

Exemplu de izomorfism: Fie (GI'*) = (JR,+), (G2,o) = ((0,00 ),) ~i I: JR~ (0,00),f(x) = 2x . Cum I(x+ y) = 2x+Y = 2x ·2Y = I(x)· I(Y) oricare ar fi X,Y E lR si 1este

bijectivii, rezulta cii1este izomorfism.Definitia s.Fie grupul (G, *) si H 0 submultime nevida a lui G. H se numeste subgrup

at grupului (G, *) daca:a) x * Y E H oricare ar fi x,Y E H .b) x' E H oricare ar fi x E H, unde x' este simetricullui x in grupul G.Exemple de subgrupuri

1. Z este subgrup al grupului (Q,+) .

2.Daca a = (1 2 3 4), atunci H = {e,a, a2

} este subgrup al grupului (S4') .3 1 2 4

Proprietiti: Fie grupul (G, *) si He G, H::j; 0.

2. Daca H este subgrup al grupului (G, *) , atunci (H, *) este grup si cele doua grupuri

au acelasi element neutru.3. H este subgrup al grupului (G, *) daca si numai daca x * Y I E H orieare ar fi

x,Y E H , unde Y' este simetricullui Y in grupul G.

4. Daca H este multime finita, atunci H este subgrup al grupului (G, *) daca si numai

daca H este parte stabila a lui G in raport eu legea ,,*" .

In cele ce urmeaza (G,.) este grup finit, adica G este multirne finita,

Teorema lui Lagrange. Daca H este subgrup allui G, atunci numarul elementelor luiH divide numarul elementelor lui G.

Proprietatea S. Fie x E ( G,.) . Exista un numar natural nenul n astfel incat x" = e ,

unde e este elementul neutru al grupului G si x" = x .x .x ..... x .~non

Definitie 6. Fie x E G . Cel mai rnic nurnarul natural nenul k cu proprietatea cii Xk = eBe nurneste ordinullui x in G ~i se noteaza ord (x) .

•75

2 3 4 5)2 1 3 5 ~iExemplu: Fie permutarea a = (

1 2 3 4 5J e S Cum (J2 = (1

3 2 4 1 5 s· 4

(1 2 3 4 5)

(J3 = = e, rezulta ea ord (a) = 3 .1 2 3 4 5

Proprietati: Fie (G,·) un grup finit eu n elemente, x e G si k = ord (x) .6. xP =e , pEZ<=>klp·

7. H (x) = {e, x, x2 , ••• , xk-'} este subgrup eu k elemente allui G.

8. kin.9. x" = e.

2. Inele ~icorpuriIn eele ee urmeaza A reprezinta 0 multi me nevida, iar ,,*" ~i ,,0" sunt doua legi de

compozitie interne pe A.Definitie 7. Tripletul (A, *, 0) se numeste inel daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

1. (A,*) este grup eomutativ.

2. a) Legea ,,0" este asociativa .b) Legea ,,0" are element neutru.

3. Legea ,,0" este distributiva falii de legea ,,*", adica x 0 (y *z) = (x 0 y) *(x 0 z) ~i

(x* y)oz = (xoz)*(yoz), orieare ar fi x,y,z EA.

Inelul (A, *, 0) se numeste inel comutativ daca legea ,,0" este comutativa.Exemple de inele1. (Z,+,), (Q,+,), (JR,+,), (C,+,).

:; 2. (M. (A), +,.) unde A este unul din inelele Z, Q, JR,C .;Z A

:~ In inelul (A, *,0) , legea ,,*" se numeste adunare si se noteaza eu ,,+" , iar legea ,,0"'IIIe se numeste inmultire ~i se noteaza eu "." . Elementul neutru al adunarii se noteaza 0A' iarr. elementul neutru al inmultirii se noteaza 1A •,;:):~ Definitie 8. Inelul (A, +,.) se numeste corp daca 0A *1 A si oriee x E A, x * 0A este,III

~ simetrizabil in raport eu inmultirea.:ffi Simetrieul elementului x E A - {0A} in raport eu inmultirea se noteaza x -t si se numestc

id' inversullui x..:. Exemple de corpuri:o 1. (Q,+,), (JR,+,.), (C,+,).-ei 2. (Q( .Jd),+,.) unde d e Q, d > 0, .Jd ~ Q si Q( Jd) ={a+bJdla,b EQ}.Q~ Definitie 9. Fie inelele (A" +,) si (A 2 ' +,). 0 functie I: A, ~ ~ se numeste:E morjism de inele daca:

a) I(x+ y) = I(x)+ I(y), orieare ar fi x,y EAt.

•••III

~~~•

=sC(A.;:)o

•76

b) f(x·y)=f(x)·f(y),oriearearfi x,yeAt·

c) f (1~ ) = 1A, •

In conditiile de mai sus, daca At si ~ sunt eorpuri atuneifse numeste morfism de corpuri.Un morfism de inelej se numeste izomorjism dacaj este functie bijectiva.Exemple de morfism de inele (corpuri)I: (C,+,·) ~ (C,+,·), I(z) =;. Intr-adevar,

a) 1 (z, + Z2 ) = z, + Z2 = ~ + Z2 = 1(z, ) + 1 (Z2 ) ,b) 1 (z, . Z2) = z, .Z2 = ~ .Z2 = 1 (z, ). 1 (Z2) orieare ar fi z" Z2 E C ,

c) 1(1)=1=1.Inelul claselor de resturi modulo n

Pentru un numar natural n, n ~ 2 si un numar intreg a, se noteaza eu a (mod n) restulimpartirii lui a la n.

Pentru fieeare kE{O,I,2, ... ,n-l} multimea {aEZla(modn)=k} se noteaza fe, iar

multimea {O,l,2, ...,;;-=t} se noteaza eu Z •. Inelul (Z.,+,) unde a + b =;+b si

Ii+ b = ~ orieare ar fi a,b E Z se numeste inelul claselor de resturi modulo n.Fie n EN, n ~ 2 si a E Z . Atunei elementul a este inversabil in Z. daca si numai daca

(a, n) = 1. Multimea elementelor inversabile ale inelului (Z., +,) se noteaza U(Z. ) .

Cum U(Z. ) = Z. - {O} daca si numai daca n este numar prim, rezulta ea (Z., +,) este

corp daca si numai daca n este numar prim.Exemple:

1. U(Z9)={i,2,4,5,7,8} ~i r' =1, r' =5,4-' =7, r' =2, r' =4 si 8-t

=8.

2.U(Zs)={1,2,3,4} si r' =1, r' =3, r' =2, r' =4.


1'Pe multimea numerelor intregi se defineste legea ,,0" prin xo y =X+ y-5.

a) Aratati ea multimea H = Z n[5,00) este stabila a lui Z in raport eu legea ,,0" .

b) Aratati ea legea ,,0" este asociativa.

2.Pe multimea numerelor reale se defineste legea ,,0" prin x 0 y = ~K + /-1 . ia) Aratati ea legea ,,0" este asociativa. I

b) Aratati ea legea ,,0" are element neutru. '53,Pe multimea numerelor reale se defineste legea ,,0" prin xo y =3.xy+3x+3y+2. ~

a) Verificati ca xoy=3(x+l)(y+l)-I, VX,YEJR. ~cC

b) Aratati ca rnultimea (-1,00) este stabila a lui JR in raport eu legea ,,0" . ~Simulare bacalaureat, 2002 •

77

....•wa:...i:::;)cu.:·.oc(....•c(~:::;)oo·

4. Pe multimea nwnerelor reale se considerll legea ,,*" definitA prinx* y = 2xy-6x-6y+21.a) Aratati ea multimea (3,00) este parte stabila a lui lR in raport eu legea ,,*" .

b) Aratati ea legea ,,*" este asociativa.c) Determinali elementul neutru allegii ,,*". Bacalaureat, 2000

5. Pe multimea numerelor rationale se defineste legea asociativa " 0" Prin

xo y =.!.(.xy+2x+2y).2

a) Aratati ea multimea H = Q n[-2,00) este stabila a lui Q in raport eu lege a ,,0" .

b) Aratati ea legea ,,0" are element neutru.c) Determinati elementele simetrizabile ale 1ui Q in raport eu legea ,,0" .

6. Pe multimea numerelor reale se defineste legea ,,0" prin xo y = xy-6x-6y+a, unde a

este un numar real.a) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,0" este asociativa.b) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,0" are element neutru.

7. Pe multimea numerelor intregi se defineste legea ,,0" prin x 0y = xy + 5x + 5y + a, unde aeste un numar intreg.

a) Determinati valorile intregi ale lui a pentru multimea Z - {-5} este parte stabila a lui Zin raport eu legea ,,0" .

b) Determinati valorile intregi ale lui a pentru care legea ,,0" are element neutru.8. Pe multimea numerelor intregi se defineste legea ,,0" prin xo y=5xy+6x+6y+a, undea este un numar intreg.

a) Aratati ea pentru a = 6, legea ,,0" este asociativa .b) Aratati ea pentru a *- 6, legea ,,0" nu are element neutru .

9. Pe intervalul (0,2) se defineste legea asociativa ,,0" prin xo y xy2-x-y+xy

a) Aratati ea legea ,,0" are element neutru.

b) Aratati ea toate elementele din (0,2) sunt simetrizabile in raport eu legea ,,0" .

1O. Pe intervalul (0,00) se defineste legea ,,0" prin xo y =~x\og,y.

a) Determinati elementul neutru allegii ,,0" .

b) Determinati elementele simetrizabile ale lui (0,00) in raport eu legea ,,0" .

11. Pe multimea Z se defineste legea asociativa ,,0" prin xo y = -3xy+ 7x+ 7y-14.a) Aratati ea e = 2 este elementul neutru allegii ,,0" .b) Determinati elementele simetrizabile ale lui Z in raport eu legea ,,0" .

12. Fie multimea G = {A E M2 (~)iA' A ,= 12} unde A' este transpusa rnatrieeiA.

a) Aratati ca G este parte stabila a lui M2 (lR.) in raport eu inmultirea matrieelor.

b) Aratati ca (G,.) este grup. Adaptare bacalaureat, 2007

:::;)zc(

Ci2w~~•:::;)U11'1WZoc(CDa:w""C·w::r::uc(zoa:CZc(

~

•~8

s. Fie a = G ~ !;~)E s, si G = {an In EN'}.

II) Determinati numarul elementelor lui G.b) Aleatuiti tabla inmultirii permutarilor pe G.c) Aratati ea (G,·) este grup, unde "." este inmultirea permutarilor.

1~' Se considera multimea M = {(: 3: )ia,b E Z} .

II) AriHali ca M este parte stabila a lui M2 (Z) in raport eu inmultirea matrieelor.

b) Arataji ea orieare ar fi a E Z, numarul a2 +1 nu se divide eu 3.c) Aratali ea daca A EM, atunei det (A) *- -1 .

d) Aratali ea daca A EM ~i £1 EM, atunei det (A) = 1. Bacalaureat, 2007

15. Pe ~ se defineste legea de compozitie x * y = x + y + xy .Il) Aratati ea legea este asociativa.

1'111 1b) Calcu all * - * - * ...* -- . Adaptare bacalaureat, 20082 3 2008

16, Pe multimea (0,00) se defineste legea x 0 y = ~ .x+y

Il) Aratati ea (x 0y) 0z = (.!. +.!. + .!.)-I orieare ar fi x, y, Z E (0,00) .x y Z

b) Aratati ea legea ,,0" este asociativa.

. 1 1 1 1c) Calculati -0-0-0 •••0-.

2 3 4 100

17. Se considera multimea de functii G = {fa.b :lR.~~Ifa.b (x) =ax+b, a E~', b ElR.} .

Il) Dernonstrati ea operatia de eompunere a functiilor de la R in R este lege decompozitie pe G.

b) Aratati ea G este grup in raport eu operatia de eompunere a functiilor.Adaptare bacalaureat, 2008

11. Pe multimea G = (0,00) se considers legea de compozitie x * y = x1og,y .

Il) Aratati ca daca x,y E (0,00) si x* y = 1, atunei x = 1 sau y = 1.

b) Aratati ea H = (0,00) - {I} este grup in raport eu operatia ,,*" .

l~Fiemulpmea G={(~ T Ha>+II) Aratati ea G este parte stabila a lui M3 (~)

patratice de ordinul 3.b) Demonstrati ca G este grup in raport eu inrnultirea matrieelor.


•..::;:I

oc(

in raport eu inmultirea matrieelor ~c(

::;:w~::;:

•79

20. Se considera multimea G = {A (x) = (1 +2x 4X) Ix E R} .-x 1-2x

a)Aratapdi A(x)A(y)=A(x+y),oricarearfi x,YER.b) Dernonstrati eli G este grup ill raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul doi.

(3 4 )n *

c) Calculati , n EN.-1 -1

21. Se considera pe JR. legea de compozitie data de x * y = xy - 5x - 5y + 30 si mUltimea

G = (5,00) .a) Determinati e E JR. astfel incat x * e = e * x = x , oricare ar fi x E JR..b) Determinati a E JR. astfel tncat x * a = a * x = a oricare ar fi x E JR..c) Aratati ca G este parte stabila a lui JR. in raport cu legea ,,*" .d) Aratati ca (G, *) este grup abelian.

e) Calculati 1*2*3* *2012.j) Aratati ca ,x * x * ~ * * ~ = (x - 5r + 5 , oricare ar fi n E N* . Adaptare bacalaureat, 2010

non

22. Se considera pe Z legea de compozitie data de x * y = 6xy + 6x + 6y + a , unde a esteun numar intreg,

a) Determinati valorile intregi ale lui a pentru care legea ,,*" este asociativa .b) Aratati ca legea nu are element neutru pentru nicio valoare intreaga a lui a.c) Determinati valorile intregi ale lui a pentru care ((-1) * 2 ) * ( ( -1) * 2013) = a .

d) Pentru a = 5 , calculati 1* 2 * 3 * ... * 2013 .e) Pentru a = 5 , determinati valorile intregi ale lui p astfel incat x * p = p , oricare ar fi

XEZ.

j) Pentru a = 5 , calculati x * x * x = 287.23. Pe JR.se considera legea ,,*" definita prin x * y = -2xy + 3x + 3y + a , unde a este un

numar reala) Determinati valorile reale ale lui a pentru care (1 * 2) * 3 = 1* (2 * 3) .b) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,*" este asociativa.c) Determinati valorile reale ale lui a pentru care legea ,,0" are element neutru.

d) Determinati valorile reale ale lui a pentru care multimea ( -00, %] este parte stabila a

lui JR. in raport cu legea ,,*" .

e) Pentru a = -3 , aratati ca multimea ( -00, %J este grup ill raport cu legea ,,*" .

j) Pentru a = -3 , calculati 1* 2 * 3 * ... * 2013 .

24. Pe JR. se considera legea ,,*" definita prin x *y = ~x3 +l + a , unde a este un numarreal.a) Determinati valorile reale ale lui a pentru care 1* 2 = 0 .b) Aratati ca legea ,,*" este asociativa pentru orice valoare reala a lui a.c) Aratati ca legea .,>" are element neutru pentru orice valoare reala a lui a.

d) Pentru a = 2 , aratati ea multi mea R este grup in raport cu legea ,,*" .e) Pentru a = 3 , calculati (-1) * 0 * 1* 2 * 3 * 4 .j) Pentru a = 4, rezolvati In R ecuatia x* x * x * x *x = 1.

%S. Fie grupurile (R, +) ~i (JR.,*) , unde legea ,,*" este definita prin x * y = x + y + 7.

a) Aratati ca functia /: (JR.,+ ) ~ (JR.,*), / (x) = x - 7, este izomorfism de grupuri.

b) Calculati 1*2*3* ... *10.26. Fie grupurile (JR.,+) si (JR.,0) , unde legea ,,0" este definita prin x 0 y = x + y + 3.

a) Determinati valorile reale ale numerelor a si b astfel incat functiaf :(JR.,+) ~ (JR.,0), /(x) = ax+ b sa fie morfism de grupuri.

b) Calculati XI 0 x2 o ... 0 X n , unde n este un numar natural nenul si XI' x2' ••• , X n E R

27. Fie grupurile ((0,00),.) si (JR.,0) , unde legea ,,0" este definita prin x 0y = x + y-1.

a) Aratati ca functia f :(JR.,0) ~ (( 0,00 ),.), / (x) = ex-I este izomorfism de grupuri.

b) Rezolvati in JR. ecuatia x 0 x 0 x 0 x = 5 .

28. Consideram grupurile (JR.* ,.) si (JR.- {-I}, 0), unde legea ,,0" este definita prin

xo y = xy+x+ y.a) Aratati ca functia t .(JR.* ,.) ~ (JR.- {-I}, 0), / (x) = x-I este izomorfism de

grupuri.b) Rezolvati ill JR. ecuatia x 0 x 0 x 0x 0 x = 1 .

29. Fie grupurile (JR.- {2}, 0) si (JR.- {I}, *) , unde legile ,,0" ~i ,,*" sunt definite prin

x 0 y = xy - 2x - 2y + 6 ~i x * y = xy - x - y + 2.a) Determinati elementele neutre ale legilor ,,0" si ,,*".b) Determinati valorile reale ale numarului a astfel mcat functiaf :(JR.- {2},0) ~ (JR.- {I},-). /(x) = x+ a sa fie morfism de grupuri.

30. Fie grupurile (Z,+), (Q*,.) si functia f :Z ~ Q' , /( x) = T .a) Aratati ca/este morfism de grupuri.b) Aratati eli/nu este izomorfism.

31. Pe JR. se considera legea x * y = xy - 4x - 4y + 20 si multimea G = (4,00 ) .

a) Aratati ca (G, *) este parte stabila a lui JR. in raport cu legea ,,*" .

b) Aratati ca (G,*) estegrup.

c) Dernonstrati ca functia /: (0,00 ) ~ G, / (x ) = x + 4 este izomorfism de la grupul

(( 0,00),.) la grupul (G, *).

32. Consideram grupurile (( 0,00 ),.) si (( -2,2), *), unde legea ,,*"

4(x+y)x* y= .

4+xy

•..:E

este definita prin ..!:u

~:Eu.I!;t:E

•81

a) Aratat! ca functia f:((O,00),.)---+((-2,2),*),f(x)=2x-2 este izomorfism dex+l

grupuri.b) Rezolvatiin (-2,2) ecuatia x*x*x=l.

33. Fiemw~ea G+(X)~[~ ~ ;}xe+a) Aratati ca A· BEG, oricare ar fi A,B E G.b) Demonstrati ca G este grup in raport ell lnmultirea matricelor patratice de ordinul3c) Aratati ca functia f: lR~ G, f (x ) = A (x) este izomorfism de la grupul (lR,+) ia

grupul (G,.).

34. Fie multimea G={A(X)=C:~x 1~;x)IXElR-{-~}}.

a) Aratati ca A(x)A(Y) = A(2xy+x+ r).oricare ar fi X,Y E lR-{ -~}.b) Demonstrati ca G este grup in raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul2.

. fun. • () (X-I)c) Aratap ca cna f: lR ~ G , f X = A -2- este izomorfism de la grupul

(lR·,.) la grupul (G,.).

35. Fie multimea G = {A E M2 (lR)ldet(A) = I}.

Aratati ca G este subgrup al grupului matricelor inversabile din M2 (lR) .Adaptare bacalaureat, 2008

36. Fie n un numar natural nenul ~i multimea U; = {z E C Izn = I}.

a) Aratati ca U; este subgrup al grupului (C·,.) .b) Demonstrati ca daca H este subgrup cu n elemente al grupului (C·,.), atunci

H=Un•

. (1 2 3 4 5)37. Fie permutarea a = E S "i H = {a* Ik E'1.}231545'f .

a) Aratati ca H este subgrup al grupului (S5'·).b) Determinati ordinullui a in grupul (S5").

38 F· ~ I I 5,. .. 5,.• ie numaru comp ex & = COS-+lSlO-.

7 7a) Calculati &42.b) Determinati ordinullui s in grupul U42•

c) Aratati ca multimea H = {1,&,&2 , ... ,&13} este subgrup al grupului (C· ,.).

39. Pe multimea numerelor reale se definesc legile " 0 " ~i " * " sunt definite prinx 0 Y = xy + X + Y si X * Y = x + y + a, unde a este un numar real. Determinati valorilereale ale lui a pentru care legea ,,0" este distributiva fata de legea ,,*" .

AD. Se considera inelul (Z, * ,0 ) unde x * y = x + y + 2 si x 0 y = xy + 2x + 2y + 2 , oricare

arfi X,YEZ.a) Aratati ca x 0 y = -2 ~ x = -2 sau Y = -2 .b) Determinati elementele inversabile ale inelului.c) Aratati ca functia f: '1.~ Z, f (x) = x - 2 este izomorfism de la inelul ('1.,+,.) la

inelul ( '1., * ,0 ) •

41. Pe intervalul (0,00) se considera legea ,,*" definita prin x * Y = xlog,y . Aratati ca

(( 0,00 ), . ,*) este corp, unde legea "." este inmultirea numerelor reale.

42. Se considers inelul (Q,1., T) unde x 1.Y = x+ y-5 ~ix T y= xy-5x-5y+30.a) Determinati elementul neutru allegii 1. .b) Aratali ca inelul (Q,1., T) este corp.

c) Aratati ca functia f: Q ~ Q, f (x ) = x + 5 este izomorfism de la corpul (Q,+,.) la

corpul (Q, 1., T).

d) Calculati XI T x2 T X3T... T xn' cu n E N° si xl'x2, ....», E Q.

43. Determinati elementele inversabile ale inelului ('1.10,+,.).

44. Consideram inelul (M 2 ('1.12)' +,.) .II) Aratati ca A E M2 ('1.12) este inversabila ~ det(A) E {ij,7,fi}.

h) Determinati inversa matricei B ~ (!n In inelul M, (Z,,) .

45. Fie multimea G={(~ ~)ia,b'CE'1.4}.II) Determinati numarul elementelor multimii G.

h) Determinati numarul solutiilor ecuatiei X' ~ G ~),X E G .


46. Fiemwpmea G~{XEM'(Z')X~(: ~)} iI

II) Aratati ca multimea H = G - {02} este subgrup al grupului matricelor inversabile '5din M2 ('1.3)· ~:I

b) Rezolvati ecuatia X2 = /2' X E G . Adaptare bacalaureat, 2008 ~4'7 F. {} -e

• Ie corpul (Z7'+'·) ~i H = x21x E Z1 . :I

•83

a) Aratati ea H = {O,i,2,4} .b) Demonstrati ea {X2000 Ix E Z7} = H .

~.Fiemultimea M ={[i r ~}a,bE Z'}a) Determinati numarul elementelor multimii Mb) Aratati ea AB EM, orieare ar fi A, B EM.c) Demonstrati ca M este subgrup al matricelor inversabile din M3 (Zs) .

Bacalaureat, 2009


49.Se considera inelul (Z6'+') ~i corpul (Z7'+")'A 2 A A

a) Rezolvati in corpul Z7 ecuatia 3x + 4 = °.b) Determinati ordinul elementului 3 in grupul (Z;,.).c) Aratati ca nu exista niciun morfism de grupuri f: (z 6' +) ~ (Z;,) care sa verifice '

relatia f (2) = 3 .Bacalaureat, 2009

50.Se considera multimea H = {( ~ ; )1m, a E Z" m = ±i}.a) Aratati ca H este grup in raport cu inmultirea matricelor patratice de ordinul 2.b) Determinati numarul elementelor de ordin 2 din grupul (H,.) .

Tema2.4Polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ

(Q, lR, C, Zp)

1. Inelul polinoamelorin cele ce urmeaza K reprezinta unul din corpurile Q , lR , C sau Z p cu p prim. Daca X

este un obiect care nu este K, atunci 0 expresie de forma aX" + a._IX·-I + ...+ alX + ao,cu n E N si ao,al' ....a, E K , se numeste polinom in nedeterminata X cu coeficienti in K.Multimea acestor polinoame se noteaza K [X]. Daca f E K [X], atunci scrierea

f = a.X· + a._1X·-1 + ...+ alX + ao se numeste forma algebricii a polinomului j, iar

elementele ao,al' ....a; E K se numesc coeficientii polinomului f Doua polinoame din

K[X] sunt egale daca au aceiasi coeficienti. Cu operatiile uzuale de adunare ~i inmultire a

expresiilor algebrice, K [X] este inel, numit inelul polinoamelor in nedeterminata X cu

coeficienti ill K. Polinomul avand toti coeficientii nuli se numeste polinomul nul si senoteaza 0.

• Gradul unui polinomPolinomul f = amxm + am_1Xm-1+ ...+ alX + ao EK [X] are gradul n daca a.;t ° si

ak = ° pentru k > n. Scriem grad (f) = n. in acest caz a. se numeste coeficientul

dominant al lui f si scriem f = aX" + a._1X·-1 + ...+ alX + ao' Polinomul ° are prindefinitie gradul -00.

Proprietili1. grad (J + g) ~ max (gradj, grad g), pentru orice f,g E K[X).

2. grad (Jg)=grad (J) + grad (g),pentruorice f,gEK[X].• Funqia polinomiala a unui polinomDaca f = aX" + a._1X·-1 + ...+ alX + ao EK [X] , atunci functia J: K ~ K definita

prin J(x) = a.x· + a._1x·-1 + ...+ a1x+ ao se nume~tefunc/ia polinomiala atasata luif

Daca a E K , elementul j (a) E K se numeste valoarea polinomului f in punctul a ~i se

noteaza f (a) .

• Teorema imparlirii cu rest. Pentru f,gEK[X], g;tO, exista si sunt unice ipolinoamele c si r E K [X] astfel incat f = gc + r si grad (r) < grad (g) . I

In acest caz polinoamele c si r se numesc catul si respectiv restul impartirii luif la g. ~• Tmparlirea la X - Q, Q E K ~

Proprietatea 3. Restul impartirii lui f E K [X] la X-a este f (a ) . i!~Schema lui Horner. Catul si restul impartirii lui f = a.X" + a._IX·-I + ...+ ~

+ alX + ao la X-a se pot determina dupa urmatoarea schema: •85

a. a,,_1 a,,_2 ............... alao

a a. aa. +a._1 ab._2 + a._2 ............... ab, +al abo +ao

II II"b._1 b'_2 b._l bo r

Catul este e = bn_,Xn-' + bn_2Xn-2 + ...+ b.X + bo, iar restul este r = bo = j{a).Exemplu 1. 1= 4X4 _3X3 +2X -5,g = X +1

~~

deci e =4X3 _7X2 +7X -5 si r= O.

Divizibilitatea polinoamelor

Definitie 1. Fie t.s E K[X]. Spunem ca g dividej daca exista e E K[X] astfel incar

I = ge , adica restul impartirii luiI la g este egal cu 0 - pentru g * 0 . Scriem g IfDefinitia 2. Fie l,gEK[X]. Polinomul dEK[X] se numeste un eel mai mare

divizor eomun al/~i g dacaa) dl/, si b) dIll

dig dllg =>dll d, d, EK[X].

Definitia 3. Fie I, g E K [X]. Polinomul m E K [X] se numeste un eel mai micmultiplu eomun al luij'si g daca

a)11 m si b)11 hglm glh =>mlh, hEK[X].

Proprietiti

4. Pentru orice doua polinoame I.s E K[ X] exista un c.m.m.d.c. si un c.m.m.m.c.

5. dE K[ X] este un c.m.m.d.c. al polinoamelorj si g~ a . d cu a E K' este un c.m.m.d.c.

al polinoamelor I~ig . Analog pentru c.m.m.m.c.

2. Ridicinile polinoamelor

Definitie 4. a E K se numeste riidiicinii a lui I E K [X] daca I (a) = O.

Teorema lui Bezout: a este radacina a luij" ~ X-a If, deci daca exista g E K[X] cu

f==(X -a)g.Un polinom I E K [X] de grad n, 1* 0, are eel mult n radacini in K. Un polinorn

f E C(X] de grad n, 1* 0, are n radacini in C. Singurul polinom care are mai multerAdacini decat gradul sau este polinomul O.

Relatiile lui ViCte. Fie 1= aX" +an_,Xn-' + ...+ a,X +ao E C[X], an * O. Notaro cu

x"x2, ••• ,xn E C radacinile polinoroului f .Atunci:

in general, folosim notatia S, = xt + x~ + ... + x: ' unde k este un numar natural nenul

(sau k E Z, daca ao * 0). Avem S, = S"S2 == s~ - 2s2 .

Exemple2. Fie 1==2X3 _4X2 -5X +3 si x"X2,X3 E C radacinile sale. Atunci

-4x, +X2 +X3 ==--==2

2-5

x,x2 + x,x3 + x2XJ ==""2.3

X,X2X3=-2

3. Fie 1==X4 +2X2 +3X -3 si X"X2,X3,X4 E C radacinile sale. Atunci

lx,+ X2 + XJ+ X4 = 0

X,X2+.l1XJ+ X,X4+ X2X3+ X2X4+ ~X4 ==2..l1~XJ+.l1~~+.l1XJ~+~XJ~-~

X,X2X3X4=-3

• Polinoame cu coeficienti reali, rationali, intregi

Proprietiti7. Daca polinomul I are toti coeficientii reali ~i are radacina z E C , atunci are si radacina

z .Numarul radacinilor din C -JR ale lui I este numar par.

8. Daca polinomul Iare toti coeficientii rationali si are radacina a + b.Jd , unde a, b, d E Q~i .Jd E JR- Q , atunci I are si radacina a - b.Jd .

t.

•..~

Fie polinomul 1= aX" + ... + a,X + ao' cu ao,a" ... .a, E Z, an * 0, ~i numerele ~V

p, q E Z, (p, q) == 1. Daca a == Peste radacina a polinomului f, atunci p I ao si q I an· ~q ~

w• Ecuatii binome. Ecuatia x" - a == 0, a == r (cos a + i sin a) E C , are solutiile !C

~

•87

nr( a+2k1C .. a+2k1C) __Xk == V r cos n +I sm n ' k == 0, n -1 .

• Ecuatii reciproce. Polinomul f == aX" + an_,Xn-' + ...+ a,X + ao E C [X] se nu,

meste reciproc daca ak == an_k pentru orice k == 0, n. in aeest eaz ecuatia f (x) == 0 se

numeste ecuatie reciprocd.proprietiti

10. Produsul a doua polinoame reciproce, catul ~i restul impartirii a doua polinoamereciproce sunt polinoame reciproce.

11. Un polinom reciproc de grad impar are radacina Xo == -1. Pentru a afla radacinile unulpolinom reciproc f de grad 2k + I, se imparte f la X + I ~i catul este un polinom

reciproc g de grad 2k.Ecuatia g(x)==O se imparte cu Xk si se face substitutia x+.!.==t.x

Exemplu 4. f == X5- 3X4 + X3 + X2 - 3X + I E C[ X] .

Din schema lui Homer

-3 I I -3 I-I -4 5 -4 I 0

rezulta ca f == (X + I)g, unde g == X4 _4X3 + 5X2 -4X + I. Avem g(x) == 0 <=> X4 - 4x2 +

5x - 4x + I == 0 <=> x2 + :2 - 4 ( x +~ ) + 5 == 0 <=> r - 2 - 4t + 5 == 0 <=> r - 4t + 3 == 0, unde

t == x +.!.. Rezulta t1 == 1 si t2 == 3, iar cele 4 radacini ale lui g rezulta din rezolvareax

ecuatiilor x +.!. == I <=> ~ - x + I == 0 si x +.!. == 3 <=> x2 - 3x + 1 == O.x x

• Polinoame irecluctibileDefinitie 5. Un polinom f E K [X] de grad mai mare sau egal decat I se numeste

ireductibil daca nu exista g,h E K[X] cu f == gh si grad (g) ~ I, grad (h) ~ 1.

Proprietiti12. Orice polinom f E K [X] de grad 1 este ireductibil.

13. Un polinom f E K [X] cu grad (J) ~ 2 care are 0 radacina in K este reductibil.

14. Un polinom f E K[ X] cu gradul 2 sau 3 este ireductibil daca ~i numai daca nu are

radacini in K .15. Un polinom f E K[ X] este ireductibil dad si numai daca polinomul af este

ireductibil, oricare ar fi a E K· .Observatii1. f e C.[X] este ireductibil daca si numai daca grad (J) == 1.

2. f E IR [X] este ireductibil in IR [ X] daca ~i numai daca grad (J) == I sav

grad(J) == 2 si Ll < O.

Teoremi. Fie f E K [X] eu grad (f) ~ 1. Atunci exista in mod unie polinoamele

jreductibile g"g2, ... ,gn EK[X] astfel incat I=s.sv=s., unieitatea fiind pana laordinea factorilor si asociere in divizibilitate (g este asoeiat in divizibilitate eu h daca existaa E K astfel incat g == ah).

---------------------------------------------------....Probleme propuse

1. Determinati gradul polinomului f==(a2-I)X4+(a-I)X2+(a+2)X+IEC[X] in

functie de a E C .2. Aflati catul si restul impartirii polinomului f == 3X4 + 4X3 + X2 + 2X - 3 la polinomul

g ==X2 +X -2.3. Fie f == (X2 + X + 1)20+ (X2 - X + 1)20 ~i f == a40X40 + a39X39 + ...+ ao forma sa algebrica.

a) Calculatiji l), b) Determinati ao + a40·

4. Determinati restul impartirii lui f == ( X3 + 3X2 - 5X + 2t la X -I.

5. Determinati valorile reale ale lui a pentru care resturile impartirii polinomuluif == X3 + 2X2 + aX -I la X +1si X - 2 sunt egale.

6. Determinati, folosind eventual schema lui Homer, catul si restul impartirii polinomuluif == X5 +4X3 -2X +5 la:a) X + I; b) X - 2.

7. Determinati restul impartirii polinomului f == X30 - 4X3 + X + 5 la polinomul X2 -1 .

L Determinati valorile reale ale lui a pentru care polinomul f == X4 - 3X3 + aX2 + X +5se divide cu X +I.

t. Determinati valorile reale ale lui a si b pentru care polinomul X2 + X + 2 dividepolinomul f == X4 + X3 + 3X2 + aX + b .

O. Fie f == X4 + X2 + 1 si g == X3 + 2X2 + 2X + 1. Determinati un c.m.m.d.c. al luij si g siun c.m.m.m.c. al luij si g.

11. Fie f==X3_3X2+5X+7EC[X] si XI'X2,X3 EC radacinile sale.

Calculati: a) XI+ x2 + x3•

111b)-+-+-.

xlx2 xlx3 X2X3

12. Fie f == X3 + 5X2 - 2X + 3 E C [X] si XI' x2' X3 E C radacinile sale.

Calculati: a) x~ +xi + x; ,po

==II I I -e

b) -+-+-, vXIX2X3 ~

c) x; + x~ +xi . ~• Fie f==X4-3X3+2X2+X+IEC[X] si X"X2,X3,X4 EC radacinile sale. Calculati: ~

a) (1 -xl)(1 -x2)(1 -x3)(1 -x4), •89

14. Fie 1 = X3 _X2 +3X -5 E C[Xhi X"X2,X3 E C radacinile sale. Calculati:4 4 4a) XI +X2 +X3 ,2 2 2 2 2 +2b) XIx2 +XI X3+X2XI +X2X:!+X3XI X3X2·

)40 (2 )40 . 1 SO X79 X fi15. Fie 1 = (X2 + X + 1 + X - X + 1 ~l = asoX + a79 + ... + al + ao 0nna

sa algebrica, Calculati:a) aw

b) ao +al +a2 + +aso·c) ao +a2 +a4 + +aso·

16. Fie polinomul 1 = X3 +aX2 +bX +c cu a,b,c E Q.a) Determinati a, b, c stiind ca 1 are radacinile Xl = X2= 1si X3= -2.

b) Sa se arate ca daca/are radacina J2 , atunci 1 are 0 radacina rationala,c) Sa se arate ca daca a, b, c E Z , iar numerele 1(0) si 1(1) sunt impare, atunci f

nu are radacini intregi.Bacalaureat, 2008

17. Fie 1 = X3 +4aX2 +20X +b cu a, b E lR ~i XI,X2,X3 E C radacinile lui.

a) Determinati XI. X2,X3 in cazul a = 3 si b = O.

b) Aratati ca (XI -xS +(XI -xS +(X2 -xS = 32a2 -120.Adaptare bacalaureat, 2008

18. Fie polinomul 1 = X4 - 5X2 + 4.a) Determinati radiicinile lui 1.b) Determinati polinomul h E Q [X]

radacinilor luif19. Fie polinomul 1 = 3X4 - 2X3 + X2 + aX -1

sale.. 1 1 1 1

a) Calculati -+-+-+-.XI x2 X3 x4

b) Determinati restul impartirii luij'la (X - Ifc) Aratati ca polinomul 1nu are toate radacinile reale.

cu h (0) = 1 si care are ca radacini inversele


cu a E lR si x" x2' x3' x4 E C radacinile

Bacalaureat, 200820. Fie polinomul 1 = aX4 +bX +C, cu a, b, C E Z.

a) Aratati ea numarul 1(3) - 1(1) este par.

b) Aratati ca x- Y divide I(x) - I(Y), oricare ar fi X,Y E Z.Adaptare bacalaureat, 2009

21. Fiepolinomul 1=4X3-12X2+aX+b eu a,bElR.

a) Determinati a,b E lR astfel incat polinomul X2 -1 divide f

b) Determinati a,b E IR astfel incat polinomulfsa aiba radacinile XI,X2,X3 in progresie

aritmetica ~i x; + xi + xi = 11 . Adaptare bacalaureat, 2008

22. Se considera polinoamele f = X3 + 2X2 +3X +45E Z[ X] si j =x3 + X + 1E Z2 [X].

a) Aratati eii j este ireductibil in Z2 [Xl·b) Aratati ca 1nu se poate scrie ca produs de doua polinoame cu coeficienti intregi,

neconstante. Adaptare bacalaureat, 20093 • 2 [ ]23. Fie polinomul 1 = X +2X +a E Z3 X .

a) Calculati 1(0) + 1(1) + 1(2).b) Pentru a = 2, determinati radacinile luij'din Z3'c) Determinati a E Z3 pentru carej'este ireductibil in Z3 [X]. Bacalaureat, 2008

24. Fie polinoamele l,gElR[X], 1=(X_1)IO+(X_2)IO~i g=X2-3X+2.

a) Descompuneti g in factori ireduetibili in n]Xl.b) Demonstrati ca polinomul g nu divide polinomul 1.c) Determinati restul impartirii lui 1 la g.

Bacalaureat, 2006

25. Fie 1 = X4 + mX2 + n cu m, n E lR si Xl' X2' Xl' X4 E C radacinile sale.

a) Determinati m si n stiind ca Xl = 0 ~iX2= 1.b) Determinati valorile lui m pentru care x~ + xi + x: + x; = 2 .

c) Pentru m = n = 1, descompuneti 1 in factori ireductibili in lR[Xl. Bacalaureat,2009

26. Fie polinoamele 1 = X4 + aX3 + bX2 - 5X + 6 ~ig = X3 + X - 2, unde a ~i b sunt douanumere reale.a) Determinati valorile lui a si b pentru care g divide 1.b) Pentru a =-3 ~i b = 1 descompuneti 1 in factori ireductibili inlR[X].

Bacalaureat, 2008

27. Se considera polinomul 1 = X3 -9X2 - X + 9 cu radacinile XI'X2,X3 E C.a) Determinati catul si restul impartirii lui 1 la X2 -1 .

b) Verificati ca x~ + x~ +xi = 9(x~ + xi + x:) -18.

c) Rezolvati ecuatia 1(3x) = 0, X E lR . Bacalaureat, 2009

28. Fie polinomul 1 = X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1 cu a E lRsi xI'X2,Xl'X4 E C radacinile sale.

a) Calculati (1- x~ )(1- xi )(1 - x: )(1 - x;) .b) Determinati valori1e reale ale lui a pentru care x~ + xi + X: + x; = 8 . i

I29.Fiepolinomul I=X3-3X+m cum ElR si X"X2,X3 radacinile sale. ~

a) Pentru m = 2 determinati radacinile lui 1. ~b) Calculati x: + x; + x; . !c) Determinati valorile lui m E lR pentru care 1 are toate radacinile intregi. i

Bacalaureat, 2009 •91

30. Fie f == 2X3- 4X2 + aX + 1 ell a E Z. Detenninati valorile intregi ale lui a pentru care

f are eel putin 0 radacina rationals.

31. Se considera polinoamele cu coeficienti complecsi f == X4 -1 si g == X6 -1 .a) Determinati un c.m.m.d.c. ~i un c.m.m.m.c. pentru f si g.

b) Determinati numarul solutiilor distincte din C ale ecuatiei f (x) g (x) == O.Adaptare bacalaureat, 2009

32. Determinati restul impartirii polinomului f == X'20 + X4 + 3X2 + X + 5 la polinomul:

a) g == X3-1.

b) h == X2 + X + 1.c) t == XS-1.

33. Determinati restul impartirii polinomului f == xso + 20X3 + 5X2 + 7X + 1 la polinomul

g==(X+lt34. Determinati restul impartirii polinomului f == X30 (X + 1)20 la polinomul g == X (X _1)2 .

35. Fie e E C [X] catul impartirii polinomului f == X60- 30X2 + X + 8 la polinomul

g == ( X-It Calculati e (-1 ) .

36. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi f == X4 - 5X3 + 3X2 - X + 1 si x" X2,X3, X4 E C radacinile sale.a) Determinati un polinom gEe [X], de grad 4, care are radacinile

11x" 11x2' 11x3' 11x4 •

b) Aratati ca polinomul f nu are toate radacinile reale.

37. Se considera polinomul cu coeficienti complecsi f == X4 - 2X3 + X2 + X -1 ~i XI. X2,X3, X4 E C radacinile sale.

a) Calculati x; + x~+ x; + x~.b) Aratati ca polinomul f nu are toate radacinile reale.

38. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X4 + 2aX3 + 3bX2 + eX + d ~i XI. X2,X3, X4 E C radacinile sale.

a) Calculati (x, +1)2 +(X2 +1)2 +(X3 +1)2 +(X4 +1)2.

b) Stiind ca polinomul fare toate radacinile reale si 0 == b == 2 , determinati valorile luie si d.

39. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X3 - pX2 + qX - r , cu p, q, r > O.

a) Aratati ca polinomul fare 0 radacina reala strict pozitiva.

b) Stiind ca polinomul fare toate radacinile reale si p == 3, r == 1 , determinati valoarealui q.

40. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X4 + aX3 + aX2 + bX + e, unde

a E (0, j). Aratati ca polinomul f nu are toate radacinile reale.

41. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X4 + 4X3 + 5X2 - 6X + a, unde

a E [9,(0) . Aratati cli polinomul f nu are nicio radacina reala.

42. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X3 + aX2 + aX + 1. Determinati

valorile reale ale lui 0 pentru care polinomul f are toate radacinile reale.

43. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X3 -12X + m. Determinati valorile

reale ale lui m pentru care polinomul fare toate radacinile reale.

44. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == X4 + 2X3 + aX2 - 2X + 1. Determinati

valorile reale ale lui 0 pentru care polinomul fare toate radacinile reale.

45. Se considera polinomul cu coeficienti reali f == ( X2 + X + 2f + (X2 - X + 3fX60 XS9 f 1 bri ~~if == 060 + 0S9 + ... + 00 orma sa a ge nca.

a) Determinati 0, .

b) Aratati ca polinomul f nu are nicio radacina reala.46. Determinati multimea valorilor intregi ale lui 0 pentru care polinomulf == X3 + X2 + aX + 1 este ireductibil peste Q .47. Se considera polinomul f == X3 + 2X2 + X + 0 E Z3 [X]. Aratati ca pentru once

a E Z3' polinomulf este reductibil peste Z3'

48. Se considera polinomul f == X3 + X2 + X + 0 E Zs [X]. Determinati 0 E Zs astfel incat

polinomulf sa fie ireductibil peste Zs'

49. Se considera polinomul f == X8 + 4X3 + 3 E Zs [Xla) Aratati ca polinomul f nu are radacini In Zs'b) Aratati ca polinomul f este reductibil peste Zs'

SO. Se considera polinomul f == X4 + X3 + X + 2 E Z3 [X].a) Aratati ca polinomul f este reductibil peste Z3 .

b) Determinati un polinomul g E Z3 [X], ireductibil peste Z3' avand aceeasi functie

polinorniala ca f.

•93

Analiza matematicaClasele XI-xn

Tema 3.1 Limite de siruri. Limite de functii, Functll continue.Funqii derivabile

Tema 3.2 Primitive

Tema 3.3 Functli integrabile

Tema 3.1Limite de slrur]. Limite de functil.

Functii continue. Functii derivabile• •

1. $iruri de numere reale$iruri marginite

~irUl (Xn)n~1 este mdrginit superior daca exista ME IR astfel mcat Xn s M, '<In ~ I.

~irUl (Xn)n~1 este miirginit inferior dad! exista . m E IR . astfel mcat xn ~ m, '<In ~ I.

~irUl (Xn)n~1 este miirginit daca este marginit inferior si superior.

Observatie. Sirul (xn)n~1 este marginit daca exista M > 0 astfel incat I xn I s M, '<In ~ 1.

$iruri monotone~irol (Xn)n~1 este cresciitor (strict crescator) daca xn ~ xn+1 (respectiv xn < xn+I), '<In ~ 1.

~iru1 (xn)n~1 e descresciitor(strict descrescator) daca xn > xn+1 (respectiv xn > xn+I), '<In~ 1.

Limite de ~iruri. $iruri convergente/divergente Criterii de convergentaSirul (xn)n~1 are limita A E IR (scriem lim xn = A) daca orice vecinatate a lui A

n ••••oo

eontine toti termenii sirului incepand de la un anumit rang. Un sir este convergent daca arelimita finita; in caz contrar sirul este divergent.

Daca un sir are limita, atunci orice subsir al sau are aceeasi limita. Un sir care continedoua subsiruri cu limite diferite este divergent.

1. Daca (xn )n~1 este un sir strict crescator ~i nemarginit, atunci lim ~ = 0 .n-.oo xn

2. Criteriul majorarii. Fie (an)n~1 un sir cu termeni pozitivi, convergent la zero si(x" )"~I un sir cu proprietatea ca exista A E IR astfel mcat IXn - AI ~ an , pentru orice n ~ 1.

Atunci (x")n~1 este convergent ~i lim x" = A.n...•oo

Consecinta (OOM). Fie (an)"~1 un sir convergent la zero si (xn)n~1 un sir marginit.

Atunci lim anxn = 0 .n ...•oo

3. Criteriul cle~telui. Fie (an)n~I' (xn)n~1 si (bn)n~1 trei siruri astfel tncat an s xn s b;pentru orice n ~ 1 si lim an = lim b; = A. Atunci lim xn = A .

n-e-eo n-+oo n-e-ec

4. Teorema lui Weierstrass. Orice sir monoton si marginit este convergent.

s. Criteriul raportului. Fie (xn)n~1 un sir cu termeni strict pozitivi astfel mcat exista

limita lim Xn+1 = A . Daca 0 ~ A < 1, atunci lim xn = 0 , iar daca A > 1,atunci lim x; = +<Xl .n-+oo xn n-+oo n-+oo

6. lema Cesaro-Stolz. Fie sirurile (an)n~1 si (bn)n~1 astfel incat (bn)n~1 este strict

crescator ~i nemarginit. Daca exista limita lim an+1 - an = A E i ,atunci lim an = A .n ••••oo b

n+

1- b; n ••••oo b

n •97

Limite remarcabile de ~iruri

{

-tOO, q > 11 q = 1

li n 'mq =n-7OO 0, q E (-1,1)

nu exista, q S -I

(l)n . ( I I I )lim 1+- = lim 1+-+-+ ...+- =e.

n-too n n-too 1! 2! n!

2. Limite de functiiMultimea punctelor de acumulare a ~nei multime nevide D c JR se noteaza D'.Functia I: D ---+ JR are limita A E JR in punctul a E D' (scriem lim j'(x) = A) daca

x-ta

oentru orice sir (x )n~' cD \ {a} astfel incat lim xn = a, atunci !im I(xn) = A.,n n---+oo n~oo

Teorema. Fie I: D ---+ JR 0 functie elementara ~i a ED. Atunci lim I(x) = I(a) .x-ta

Criteriul cu limite laterale. Dad a E JR este punct de acumulare al multimilorpn(--oo,a) si Dn(a,+oo) , functia I:D---+JR are limita AEi In punctul a daca si

numai dacaj'are limita la stanga ~i la dreapta in a si lim/(x) = lim/(x) = A .x/a x\..a

Limite fundamentale. lim (1+ .!.)X = e ;x-too X

,lim(l+x)~ = e ;x-tO

1· arcsinx 11m = .x-tO X '

lim arctg x = Ix-tO x

I.,eX -1

lim--=I;x-tO x

aX -Ilim--=lna;x-tO x

tim(1+x)'-I=rx-tO X

Asimptote orizontale. Fie I: D ---+ IR astfel incdt +00 (respectiv --(0) este punct deacumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = a, unde a E JR , este asimptota orizontala la

graficul functiei spre +00 (respectiv --00 ) daca lim I(x) = a (respectiv lim I(x) = a).x-too x-+-oo

Asimptote oblice. Fie I: D ---+ JR astfel incat +00, respectiv --00, este punct deacumulare al lui D. Dreapta de ecuatie y = mx + n , unde m, n E JR, m "# 0 , este asimptotiioblica la graficul functiei spre +00 (respectiv spre --00 ) daca

{

Iim I(x) = m {!im I(x) = mx-too x si respectiv x-t-«> X •

lim (j(x)-mx) = n lim (j(x)-mx) = nx---+oo x-+-oo

Asimptote verticale. Fie I: D ---+ JR si a un punct de acumulare allui D. Dreapta deecuatie x = a este asimptotd verticalii la stdnga (respectiv dreapta) pentru graficul functieif daca lim I(x) = ±oo (respectiv lim I(x) = ±oo).

x/a x\..a

3. Functii continue

Functia I: D ---+ IR este continua in punctul a E D daca pentru orice sir (Xn)n~1 cDastfel incat lim xn = a, atunci lim I(xn) = I(a) .

n-+oo n-+oo

Daca a E DnD', atuncij este continua in a daca ~i numai daca tim/(x) = I(a).x-to

o functie I: D ---+ IR este continua pe D daca este continua in fiecare punct a ED.

Continuitate laterala. Daca a E D este punct de acumulare pentru (--00, a)n D, se

spune ca/este continua la stdnga in a daca lim/(x) = I(a) (altfel scris I(a-O) = I(a)).x/a

Daca a E D este punct de acumulare pentru (a, +00) n D, se spune ca I este continua

la dreapta in a daca lim I(x) = I(a) (altfel scris I(a + 0) = I(a) ).x\..a

Functia I: D ---+ JR este continua in punctul a E D n D' daca si numai daca I este

continua la stanga ~i la dreapta In a , adica daca ~i numai daca I(a - 0) = I(a) = f'(a + 0) .

Puncte de discontinuitate. a E D este punct de discontinuitate de speta I al functieiI :D ---+ JR daca are limite laterale finite in a ~i nu este continua In a. Dad eel putin unadin limitele laterale nu exista sau este ±oo, a este punct de discontinuitate de speta a II-a.

Operatii cu funqii continue. Daca functiile I,s :D ---+ JR sunt continue in punctul

a ED, atunci a f + jJg, (a,jJ E JR), I· g, 1I I, max(j,g),min(j,g) sunt functii continue

in a, iar daca g(a)"# 0 , atunci L este continua in a.g

Fie functiile I: D ---+ E si g: E ---+ JR. Daca I este continua in a ED, iar g este

continua in b = I(a) E E, atunci functia go I: D ---+ JR este continua in a. Avem

limg(j(x)) = g(lim/(x)) (0 functie continua comuta cu lirnita).x~a x-+a

Proprietatea lui Darboux. 0 functie I: I ---+ IR are proprietatea lui Darboux pe

intervalul I daca pentru orice x, ,x2 E I si orice A cuprins intre I(x,) ~i l(x2) , exista

c E (x,,~) astfel incat I(c) = A.

o functie I: I ---+ JR are proprietatea lui Darboux daca ~i numai daca imaginea oricaruiinterval prin functia I este tot un interval (cu alte cuvinte, pentru orice interval J c I ,rnu1timea I(]) este interval).

o functie cu proprietatea lui Darboux nu are puncte de discontinuitate de speta I.Teorema. Orice functie continua I: I ---+ JR are proprietatea lui Darboux.

Proprietati ale funqiilor continue.1. Fie I: [a,b] ---+ JR 0 functie continua astfel tncat I(a)· I(b) < o. Atunci exista

c E (a,b) astfel incat I(c) = 0 .2. 0 functie continua, care nu se anuleaza pe un interval I, are semn constant pe 1.1. Teorema lui Weierstrass. 0 functie continua I: [a,b] ---+ JR este marginita ~i I~i atinge

marginile (adica exista u, v E [a,b] astfel lncat I(u) = min j''(x) ~i I(v) = max j'(x) ).4. 0 functie continua I: I ---+ IR este injective daca si numai daca este strict monotona.

S. Daca I: I -v J este 0 functie continua si bijectiva, atunci 1-' i J ---+ I este continua. •99

4. FunCliiderivabileFunctia I :D ~ IR are derivata in punctul a E D n D' daca exista limita

I'(a) = lim I(x)- I(a) E i (numita derivata functiei j in punctul x = a).x->a x-a

Daca I'(a) E JR, se spune ca/este derivabila in punctul x = a. 0 functie I: D ~ lReste derivabila pe D daca este derivabila in orice punct a ED. in acest caz, functiax ~ I'(x) , xED, se numeste derivata functieij,

Teorema. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Derivate laterale. Daca a E D este punct de acumulare pentru (-oo,a)nD, se spune

. .. . I(x)- I(a) nOI, -

Ca/are derivata la stanga in a daca exista limita lim = I. (a) E JR.x/a x-a

Daca a E D este punct de acumulare pentru (a,+oo)nD, se spune cal are derivatii la

. .. . I(x)- I(a) nOI, -dreapta in a daca exista limita hm = Id (a) E JR .

x'\,a x-aFunctia I: D ~ JR are derivata in a E D n D' daca ~i numai daca I are derivate

laterale egale in a. in acest caz, fs'(a) = I/(a) = I'(a) .

Interpretarea geometrica a derivatei. Derivata unei functii (derivabile!) intr-unpunct este egala cu panta tangentei la graficul functiei in acel punct.

Daca I: D ~ JR este 0 functie derivabila, atunci ecuatia tangentei la graficul functieij'

in punctul de abscisa x=a este y-/(a)=I'(a)·(x-a).

Puncte unghiulare, de intoarcere, de inflexiune. Fie I: D ~ JR 0 functie continuadar care nu este derivabila in punctul x = a , insa are derivate laterale in a. Atunci:• a este punct unghiular al graficului lui f daca eel putin 0 derivata laterals este finita;• a este punet de intoarcere al graficului lui f daca fs'(a) = -00 ~i I/(a) = +00 (sau invers);

• a este punet de inflexiune al graficului lui f daca I.'(a) = 1/( a) = ±oo .

Observalie. Fie I: I ~ JR. Un punct a E I pentru care exista r > 0 astfel incat

(a -r,a + r) else numeste punet de inflexiune al functieij" dacaj'are derivata in a (finitli

sau infinita) ~i este convexa pe (a-r,a) si concava pe (a,a + r) sau invers.

Reguli de derivare. Daca u: D ~ E si I.«. E ~ JR sunt functii derivabile, atunci:1. (f + g)' = 1'+ g'; 2. (af)' = af", '<fa E JR; 3. (fg)' = J's + Ig' ;

4. (~ )' = - ~~ ; S. (~)' = I'gg~ Ig' ; 6. (f ou)' = I'(u) -u".

Observatle. Daca u si v sunt functii derivabile ~i u > 0, atunci functia u" = evlnu este

derivabila si (UV)' = evlnu(v'lnU +V· :') = UV (v'lnU + v :').

Derivarea functiel inverse. Daca I: D ~ E este derivabila, bijectiva ~i /,(a)::p 0,

unde a ED, atunci r1este derivabila in punctul b = I(a) si (f-l) '(b) = _1_.I '(a)

Formule de derivare a functiilor compuse1. (ua)'=aua-1.u',aEIR*; 2. (aU)'=aulna·u',a>O; 3. (e"): = e" ·u';

u'6. (logau)'=--;

ulnau'

4. (Fu)' = ,- ;z-i«

7. (sinu)'=cosu·u';u'

9. (tgu)'=-2-;cos u

u'12. (arctgu)' =-1 -2 ;

+u

u'S. (lnu)' = -;

u8. (cos u) , = - sin u .u ' ;

u'10. (ctgu)'=--.-;

sm2u

. , u'11. (arcsin u) = r=-

vl-u2

u'14. (arcctgu)'=---2

l+uu'

13. (arccosu)'= r=::vl-u-

5. Proprietatile funqiilor derivabilePuncte de extrem. Fiind data 0 functie f: D ~ JR, un punct a E D se numeste:

a. punet de maxim local daca exista U E V(a) astfel incat I(x):$; I(a), '<fxE U rvD ;

b. punct de minim local daca exista U E V(a) astfel incat I(x) ~ I(a), '<fxE U nD .Un punct de minim sau maxim local se numeste punet de extrem local al functiei J

Daca a este un punct de extrem local al lui f, valoarea I(a) se numeste extrem local alfunctiei/(rninim sau maxim).

Teorema lui Fermat. Fie I un interval deschis si a E I un punct de extrem local alfunctiei I: I ~ JR. Dacal este derivabila in punctul a, atunci 1'(a) = 0 .

Consecinla. Daca I: I ~ JR este 0 functie derivabila pe un interval deschis I, atuncipunctele de extrem local ale functieij'se gasesc printre zerourile derivatei (punetele eritiee).

Teorema lui Rolle. Fie I: [a,b] ~ JR 0 functie continua pe [a,b], derivabila pe (a,b),

astfel incat I(a) = I(b) . Atunci exista e E (a,b) astfel incat I'(e) = o.Consecmte. Fie I: I ~ JR 0 functie derivabila pe un interval!. Atunci:

Cl. intre doua zerouri consecutive ale functieij'se afla eel putin un zero al derivatei 1'.C2. intre doua zerouri consecutive ale derivatei I' se afla eel putin un zero al functieij.

Teorema lui Lagrange. Fie 1:[a,b]~JR este 0 functie continua pe [a,b] ~i

derivabila pe (a,b). Atunci exista e E (a, b) astfel incat I'(e) = I(b) - I(a) .b-a

Consecinte ale teoremei lui Lagrange.1.0 functie derivabila cu derivata nula pe un interval I este constanta pe I.2. Doua functii derivabile cu derivatele egale pe un interval I, difera printr-o constanta pe I.3. Fie I: I ~ JR 0 functie derivabila.

a. Daca I'(x) ~ 0, pentru orice x E I , atuncij'este crescatoare pe I;b. Daca I'(x):$; 0 , pentru orice x E I ,atuncij" este descrescatoare pe!.

4. Fie I: I ~ JR 0 functie continua pe I ~i a E I. Dacal este derivabila pe I \{a} ~i exista

limita lim/'(x)=A.Ei,atunci/arederivatain x=a si 1'(a)=A..x->a

•101

Teorema lui Cauchy. Daca f,g: [a,b] ~ IR sunt continue pe [a,b] si derivabile pe

(a b) astfel tncat g(a) * g(b) , atunci exista c E (a,b) astfel incat f'(c) = f(b)- f(a) ., , g'ee) g(b) - g(a)

Teorema lui Darboux. Daca I: I ~ JR este derivabila pe un interval I, atunci

:ierivata sa I I are proprietatea lui Darboux pe 1.

Rolul derivatei a doua in studiul funqiilor. Fie I: I ~ JR. 0 functie de doua ori

derivabila pe un interval 1. Atunci:a. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x E I , atunci Ieste convexa pe I;b. Daca I "(x) ~ 0, pentru orice x E I , atunci Ieste concava pe I;c. Daca a E Int(I) este un punct de inflexiune al functieij, atunci I"(a) = 0 .

Regula lui U81Hospital. Fie . a,b E i,a < b. ~i I c JR un interval, cu(a, b) c I c [a, b] . Daca Xo E [a, b] si I, g :1\{xo} ~ JR sunt doua functii cu proprietiitile:

a. lim I(x) = lim g(x) =0 (respectiv lim Ig(x)1=+00);x-txo X---+Xo X-+Xo

b.hi g sunt derivabile ~i g'(X) * 0, Vx E I \ {xo};

. I·· I· f'(x) 1 iiiic. exista uruta 1m -- = /I, En...;x-Ho g'(X)

atunci exista U E V(xo) astfel ca g(x) * 0, Vx E Un I \ {xo} si limita lim I(x) = A E i .X->Xo g(x)

Probleme propuse

1. Fie functia I: JR~ JR, I(x) = x-ln (x2 +1).a) Calculati lim I(x) .

x-+cob) Aratati cii functia Ieste crescatoare pe JR..c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

2. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = In (1+ eX) - x .a) Determinati asimptotele graficului functieij.b) Aratati cii functiaj" este strict descrescatoare.c) Determinati imaginea (multimea valorilor) functieij"

3. Se considers functia I: JR~ JR, f(x) = (x-l)(x-2)(x-3)(x-4).

a) Aratati cii ecuatia f'(x) = 0 are exact trei radacini reale.

. ~ 1 1 1 1b) Aratati ca --+--+--+--=0.

1'(1) 1'(2) 1'(3) 1'(4)c) Determinati valoarea minima a functiei f

4. Se considera functia I: (O,oo)~ JR, f(x) = x-x2ln x+l .x

a) Calculati f'(x) , x E (0,00).

b) Calculati lim f'(x).x-+coc) Calculati lim f(x) .x-+co

5. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = eX -x-I.a) Determinati punctele de extrem ale functieij.

b) Calculati lim 1(;) .x-+o x

c) Aratati cii e' ~ x + 1 , pentru orice x E JR .

6. Se considerafunctia I: JR~ JR, I(x) = +1·x +

a) Calculati I'(X) , x E JR.

b) Calculati lim (1+ I(x) r .x-+co

c) Determinati multimea valorilor functieij"

7. Se considers functia I: JR~ JR, I(x) = Jx2 + 1- x .a) Aratati cii functia Ieste strict descrescatoare pe JR.b) Aratati ca functiaj" este convexa.c) Determinati asimptotele graficului functieij.

8. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ~x2 -1 .a) Studiati derivabilitatea functieij"b) Determinati punctele de extrem local ale functieij.c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

9. Fie functia I: (O.oo)~ JR.,I(x) = In(l+~).

a) Aratati cii functia Ieste convexa.b) Calculati limita sirului (an t~1' unde an =1(1) +1(2) + +I(n) -In(2n +1) .

c) Calculati limita sirului (bnt~I' unde b; =1"(1) +1"(2) + +f"(n) .

10. Fie functia 1:(O,oo)~JR, I(x) = lnx.x

a) Determinati asimptotele graficului functieij.b) Determinati punctele de extrem local ale functieij.c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij.

11. Fie p ~ 2 un numar natural fixat si functia 10: JR~ JR, 10(x) = e'": Pentru fiecare

numar natural n se considera functia In :JR~ JR, In (x) = ILl (x).

a) Aratati cii In (x) = pn e'" , pentru orice x E JR si orice n EN.

b) Determinati asimptotele graficului functiei In·

.\ C 1 I . li .t;(a) + 12(a)+ ... + In (a) d 1!lIc) a cu an m , un e a En..... n-+co In (a)

•..::eI

><I:U

~::ew~::e

•103

1

12. Se considera functia f: JR.*~ JR., f(x) = Ix + 21 e-~ .a) Determinati asirnptotele graficului functiei In.b) Determinati dorneniul de derivabilitate al functieij"c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

{

x+ lnx, x E (0,1]13. Se considera functia f: (O,oo)~ JR., f(x) = lnx

-, XE{l,oo)x-I

a) Aratati ca functiaj'este continua pe (0,00).b) Studiati derivabilitatea functieij in punctul x = 1 .

1

c) Calculati lirn(j(x) )x-I .x-+Ix-cl

4. Se considera functia f: JR \ {-~} ~ JR, f(x) =~.2 2x+3

a) Determinati asirnptota spre +00 la graficul functiei jb) Determinati lirnita sirului (an t~I'unde an = f{l)· f(2) ..... fen) .

c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functiei g: JR~ JR, g(x) = f(x2) .

5. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = _x_ .I+lxl

a) Calculati lirn f(x)x-+-«>

b) Studiati derivabilitatea functiei j'in punctul x = O.c) Determinati multimea valorilor functieij,

6. Se considera functia f: (-1,1) ~ JR, f(x) = In(I+X).I-x

a) Determinati asirnptotele graficului functieij"b) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

c) Calculati lirn x" f(~) ,unde a E JR.x-+oo x

7. Se considera functia f: (0,00) ~ JR, f(x) = (1 +;J

a) Calculati limf(x).x-+ox>o

b) Determinap asimptotele graficului functieij.c) Calculati lim x(1-ln f(x») .

x-+oo

~. Se considera functia f: (-1,00) ~ JR, f(x) = In(I+x)-x.;: Dete~nati intervalele de monotonie ale functieij"'1 Aratap ca In(I + x) ~ x , pentru orice x > -1 .

c) Calculati lim f(x)x-+o x2 •

19. Se considera functia f: JR.~ JR., f(x) = (x-l)M .a) Studiati derivabilitatea functieij"b) Determinati punctele de extrern local ale functieij"c) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

20. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = Vx3 +3x+4 .a) Determinati ecuatia asirnptotei oblice spre +00 la graficul functieij.b) Aratati ca f2 (x)· f'(x) = x2 + 1, pentru orice x > O.c) Determinati derivata functiei fin punctul x = -1 .

{

2X, x< 021. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = ~ .

vlx-II, x~oa) Studiati continuitatea functieij;b) Determinati punctele unghiulare ~i de intoarcere ale graficului functieij.c) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punctul de abscisa x = 5 .

22. Se da functia f: JR ~ JR, f(x) = Vx3 + 3x2 + 1- x .a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei j'in punctul de abscisa x = o.b) Aratati ca graficul functiei admite asimptota spre +00 .

c) Calculati lim (j (n)r .n-+oo

{

a-cosx 0,x<23. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = x2 .

x+be", x~oa) Calculati limf(x).

x-+ox<o

b) Determinati a,b E JR pentru care functia f este continua pe JR.

c) Pentru a = 1 si b =.!. , studiati derivabilitatea functieij" in punctul x = O.2

{x+cosx, X < 0

24. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = 2X +eX

, x~oa) Calculati lim f(x).

x-+-<O

b) Studiati derivabilitatea functieij" in punctul x = O.

c) Calculati lim n(j(~)-f (I) ) .n-+oo

25. Se considera functia f: (0,00) ~ JR, f(x)In(x+ 1)

xa) Determinati asirnptotele graficului functieij.b) Aratati ca functia f este strict descrescatoare,c) Aratati ca functiaj'este marginita.

•105

{

X-i, x < 0Z6. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = 0, x = 0 .

x+I, x~ 0a) Aratap cafnu are proprietatea lui Darboux.

b) Calculati !~(f(:2 )- f(;)).x<o

c) Aratati cafare derivata in punctul x = 0 si determinati 1'(0).

Z7. Se considera functia f: JR~ JR, f(x) = x + e",a) Determinati asimptotele graficului functiei j.b) Aratati ca functiaj" este bijectiva.

c) Calculati V-I )'(1), unde rl reprezinta inversa functieij.

{

X2 sin.!., x:#;O28. Se considers functia f: JR--+JR, f(x) = x .

0, x=o

a) Calculati limf(x).x->o

b) Aratati ca functiaj" este derivabila pe JR.c) Demonstrati ca functiaj nu este monotona pe nicio vecinatate a lui 0.

129. Fie functiile f: JR--+JR, f(x) = arctgx si g: JR*--+ JR,g(x) = arctg-.

x

a) Calculati lim (f(X) + Xg(X)) .x-><X) X

b)CaIculali f'(x)+g'(x), xEJR*.

1 tt . 111>*c) Aratati ca arctgx + arctg- = -. sgn(x) , pentru once x E 11'>. •x 2

( 7r) sinx30. Se considera functia f: 0'"2 --+JR, f (x)= -x- .

a) Calculati f'(x) , x E ( 0, ~).

b) Studiati monotonia functieij.c) Determinati multimea valorilor functieij"

31. Se considera functia f: (0,00) --+ JR, f(x) = !nx-x.a) Determinati intervale le de monotonie ale functieij"b) Determinati eel mai mic numar real a pentru care f(x) ~ a, pentru orice x E (0,00).

c) Aflati numarul de solutii reale al ecuatiei f(x) = m , unde m este un parametru real.

32. Se considera functia f: (-1,00) ~ JR, f(x) = x -!n(l +x).a) Determinati intervalele de monotonie ale functieij"b) Determinati multimea valorilor functieij"c) Fie sirul (a) definit prin ao > 0 si an+1= f(an), \in EN. Calculati lim an'

n n~O n-eec

33. Se considers functia f: JR~ (-1,1), f(x) =.J x2 +x + I-.J x2 -x +1 .a) Aratati ca functiaj este strict crescatoare,b) Aratati ca functiaj este surjectiva.

c) Aratati ca sirul (xn)n~O' definit prin Xo =~~i xn+1=f(xn), \inEN, este

convergent.

34. Se considera functia f: (0,00) --+ JR, f(x) = x!nx.a) Aratati ca functiaj'este convexa.b) Demonstrati ca pentru orice n E N* exista un singur punct cn E (n, n +1) astfel Incat

fen + I) - fen) = f'(cn) .

c) Calculati lim Cn .n-><X)

35. Se considers functia f: [0,(0) --+JR, f(x) = cosj;.a) Aratati ca functiaj'nu are limita la +00 .

b) Determinati I'd (0) .

c)CaIculali lim(J(n+l)-f(n)).n->oo

36. Se considera functia f: (0,00) --+JR, f(x) = ~ .

a) Calculati f'(x), x E (0,00).b) Determinati intervalele de monotonie ale functieij.

c) Comparati numerele 3./5 si 5"/3.

37. Se considera functia f: JR --+JR, f (x) = Vx + 2 - if;..a) Calculati lim x" f(x) , unde a E JR .

X->OO

b) Determinati punctele de extrem local ale functieij"c) Aratati ca ifj + if? > 2V5 .

38. Se considera functia f: JR --+JR, f(x) = x2ex.

a) Determinati punctele de extrem local ale functieij"

b) Aratati ca j<n)(x) = (x2 +2nx+n(n-l))ex, pentru orice n E N* ~i orice x E JR.

. . 1'(0) + /,,(0) + ... + j<n)(0)c) Calculati lim 3 .

n-+oo n

39. Se considera functia f: JR--+JR, f(x) = sin AX, unde A E (-1,0) u (0, 1) .a) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

b) Aratati ca j<n)(x) = An sin ( AX + n; ) , pentru orice n E N* ~i orice x E JR.

c) Calculati lim j<n) (0) .n->oo

40. Se considera functia f: JR\ {-2,-1} --+JR, f(x) = -2 ---x +3x+2

•107

a) Calculati lim(j(O)+ 1(1)+ ... + I(n»)n.n...•oo

b) Determinati puncte1e de extrem local ale functiei fn (-Il

c) Calculati lim :L__ j<k)(1) .n...•ook=O k!

I

41. Seconsiderafunctia I:JR*~IR, I(x)=ex•

a) Calculati lim x (j(x) -1) .x ...• oo

b) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij.

c) Determinati valorile parametrului real m pentru care ecuatia I(x) = mx2 are exact

trei radacini reale.I

42. Se considera functia I: JR.*~ JR.,I(x) = xer .a) Calculati 1'(x) , X E JR* .b) Determinati valorile parametrului real m pentru care ecuatia I(x) = m are exact

doua radacini reale.c) Se considera sirul (an t~o definit prin ao > 0 si an+1 = I(an), Vn EN. Calculan

lim(J(an)-an)·n...•oo

43. Se considera functia 1:[0,3]~JR,/(x)={x}·(I-{x}), unde {x} reprezinta parteafractionara a numarului real x.a) Calculati lim/(x) .

x ...•1x-cl

b) Determinati domeniul de continuitate al functiei j.c) Determinati punctele in care functiaj'nu este derivabila,

Baca/aureat 2009, varianta 28

44. Se considera multimea de functii

M = {J:[-1,1] ~ IR I I este de doua ori derivabila, 1(0) = 0,1'(0) = I} .a) Aratati ca functia u :[-1, 1]~ JR.,u(x) = eX sin x apartine multimii M.

Ib) Aratati ca, daca IE M , atunci lim (1+ I(x»):~ = e/'(O) .

x ...•o

c) Demonstrati ca, daca IE M ~i n E N* , atunci lim r (x) - xn = nf"(O) .x ...•o xn+1 2


{

X, XEQ45. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = 3 .

x ,XEJR\Qa) Aratati ca I/(x)1 ~ lxi, pentru orice x E [-1,1].b) Aratati ca functiaj este continua in punetul x = O.c) Aratati ea functiaj'nu este derivabila in punctul x = O.


46. Fie multimea A = IR \ {1,2,...,n}, n E N* ~i I: A ~ JR, I(x) = _1_+_1_+ ... +_1_.x-I x-2 x-n

a) Determinati asimptotele graficului functieij.b) Daca a E IR , determinati numarul solutiilor reale ale ecuatiei I(x) = a .c) Determinati numarul punctelor de inflexiune ale graficului functieij"


41. Se considera functia I: (0,00) ~ (0,00), I(x) = In (1 +~).

a) Aratati ca/este bijective.

b) Calculati V-I )'(In 2).

C 1 1 . 1im 1(1)+ 1(2)+ ... + I(n)c) a cu an (2)'

n...•oo In n +1

48. Se considers functia I: (1,00)~ JR, I (x) = In ( 1- :2 )-a) Determinati asimptotele graficului functieij"b) Calculati I'(x), x E (1,00) .

c) Calculati lim (j(1)+ 1(2) + ... + I(n»).n...•oo

X

49. Se considera functia I: JR.*~ JR, I(x) =!!..-.x

a) Determinati intervalele de monotonie ale functieij.b) Determinati asimptotele graficului functieij.

c) Calculati 1im n2 (j(n + 1)- I(n») .n...•oo Baca/aureat 2009, varianta 84

{

eX -150. Se considera functia I: JR.~ JR.,I(x) = -x-, x:;t 0 .

1, x=oa) Aratati ca functia I este continua pe 1R.b) Studiati derivabilitatea functieij'tn punctul x = O.

c) Calculati lim n2 (I (!)-I (_1 )).n...•oo n n + 1

{

II- x=- nE N*51. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = n' n'

0, in rest

a) Calculati lim I(x) .x ...•oo

b) Studiati continuitatea functieij",c) Studiati derivabilitatea functieiji

$2. Se considers functia I: JR ~ JR, I(x) = e-x2•

a) Determinati asimptotele graficului functieij"b) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"

•109

a)Caicuiati iimna(f(n+l)-f(n»),unde aelR.n->oo

b) Aratati ca ~ < f(k + i) - f(k) < ~, pentru orice k e N* .vk+i -Jk

e) Aratati ca sirul (xn) n~1 este convergent.

6. Se considera functia f: JR ~ JR, f (x) = x3 + 3x .a) Aratati ca, pentru orice A. E JR, ecuatia f(x) = A. are 0 unica solutie reala u(A.).b) Aratati ca functia u definita mai sus este derivabila pe JR.

. . u(A.)e) Calculati lim -- ..t->o A.

7.Seconsidera~irul (ant~1 defmitprin al E(O,I) ~i an+1=a;-an+l, Vn~1.

a) Aratati ca an E (0,1) , pentru orice n ~ 1.

b) Aratati ca sirul (an )n~1 este monoton.

e) Calculati lim an ~i lim (al a2 •••an) .n~ctJ n~OO

{

. 1 °xsm-, x"#B. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = x .

0, x=Oa) Aratati ca functia f este continua pe JR.b) Studiati derivabilitatea functieij in punctul x = 0.e) Fie Xo E JR si xn+1= f(xn), Vn EN. Aratati ca sirul (xn t~o este convergent.

9. Pentru fiecare n E N, n ~ 1, se considera functia fn : JR ~ JR, J" (x) = e-x + nx2- 2x - l .

a) Aratati ca functia t, este convexa, pentru orice n E N* .b) Demonstrati ca, pentru orice n E N*, ecuatia fn(x) = ° are 0 unica solutie reala

.. x ~. (1 1+rn+i)pozitiva, notata xn' tar xn E -;;' n .

e) Calculati lim nxn .n->oo

o. Se considera functia fn : (0,00) ~ JR, fn(x) = x" + lnx, unde n E N*.

a) Demonstrati ca, pentru orice n E N* , ecuatia fn(x) = ° are 0 singura solutie reala,

notata xn' si xn E (0,1) .

b) Aratati ca sirul (xn t~1este strict crescator.

e) Calculati lim x; .n->oo

Alte probleme selectate din variantele propuse de MEdCT

11. Se considera functia f: JR*~ JR, f(x) = (x -l)e =.a) Scrieti ecuatia tangentei ia graficul functieij" in punctui de abscisa x = 1.b) Aratati ca functiaj'are doua puncte de extrem.e) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij.

Bacalaureat 2008, varianta 81

2x3

12. Se considera functia f: JR~ JR, f(x) = -2-'x +1

a) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre +00 .

b) Aratati ca functiaj'este inversabila .1

e) Calculati lim (f(eX) F. Bacalaureat 2008, varianta 91

.<->00

13. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = Vx3 -3x+2.

a) Calculati lim f(x) ..<->1 x-Ix<1

b) Determinati domeniul de derivabilitate al functieij"e) Determinati punctele de extrem ale functieiJ Bacalaureat 2009, varianta 55

14. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = Vx3 +3x2 +2x+ I-Vx3 -x+l .a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij" in punctul de abscisa x = 0.b) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre +00 .

C I I . lim(f(I)+ f(2)+ ... + f(n»)ne) a cu atin->oo n

75. Se considera functia f:JR\{I}~JR, f(X)=x~X+ll·x-I

a) Aratati ca dreapta de ecuatie x = 1este asimptota verticals la graficul functiei Jb) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre +00 .

e) Studiati derivabilitatea functieij"



76. Fie functia f: JR~ JR, f(x) = Vx3- 3x + 2 .

a) Aratati ca graficul functieij'admite asimptota spre +00 •

b) Determinati intervale le de monotonie ale functiei j.e) Calculati lim x(2arctgf(x)-1l"). Bacalaureat 2009, varianta 78

x->oo

177. Se considera functia f: JR* ~ JR, f(x) = xsin-.

xa) Calculati limf(x).

x->o

b) Calculati f'(x) , x E JR* .e) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij"

Bacalaureat 2009, varianta 50 •113

{

. 1 Tf))*., XSln-, XE.ll'<>.78. Se considera functia I: JR---+JR, f(x) = X2

0, x=oa) Aratati ca functiaj este derivabila pe JR.b) Calculati lim f'(x) .

x-->oo

e) Demonstrati ca functia f este marginita pe 1R. Bacalaureat 2009, varianta 16

. {XSin 7r, x E (0,1]79. Se considera functia f: [0,1]---+JR, f(x) = x

0, x=oa) Aratati ca functiaj'este continua pe [0,1].b) Determinati domeniul de derivabilitate al functieij"

7re) Aratati ca, pentru orice n E N*, ecuatia f(x) = cos- are eel putin 0 solutie in

x

intervalul (_1_.-!-).n+l n

80. Se considera functia f: JR~ JR, f(x) = arcsin 2x 2 •l+x

a) Calculati lim f(x) .x-->oo


b) Determinati domeniul de derivabilitate al functieij.c) Demonstrati ca functiaj are doua puncte de extrem.


81. Se considera functia f: (0, co) ~ JR, f(x) = x + Inx .a) Aratati ca graficul functiei nu admite asimptota spre +co .

b) Aratati ca ecuatia f(x) = 0 are 0 unica solutie Xo E (~,l).

e) Determinati punctele de inflexiune ale graficului functieij"Bacalaureat 2009, varianta 76

82. Fie functia f: (Leo) ~ JR, f(x) = In(Inx).

a) Determinati ecuatia tangentei la graficul functieij ln punctul de abscisa x = e .b) Demonstrati ca functia f este concava,

e) Calculati lim f(x + 1) - f(x) . Bacalaureat 2009, varianta 92x-eco f'(x)

B3. Se considera functia f: JR~ JR, f(x) = x arctg x -In (1+ x2) •

a) Aratati ca functia f este convexa.b) Aratati ca functia f' este marginita,

c) Demonstrati ca f'(x) ~ 0 , pentru orice x E JR.Bacalaureat 2009, varianta 10

84. Se considera functia f: JR~ IR cu proprietatea ca xf(x) = e' -1 ,pentru orice x E JR.a) Determinati ecuatia tangentei la graficul functieij in punctul de abscisa x = 1.b) Aratati ca functiaj este continua ill x = 0 daca si numai daca f(O) = I.

e) Aratati ca daca functiaj'este continua in x = 0, atunci ea este derivabila pe 1R.Bacalaureat 2009, varianta 77

x2 +x+a~i functia I: IR\{-1,1}~ JR, I(x) = --=-2--

x -1

a) Calculati lim (J (x)r .X-->OO

b) Determinati valoarea numarului real a pentru care 3 este punct de extrem local alfunctieij" . . .e) Determinati valoarea numarului real a pentru care graficul functiei f adrnite exact 0

asimptota verticals. Bacalaureat 2009, varianta 73

x2 +ax+586 Se considera functia f: JR~ JR, f(x) = r-;--:'. "x2 +I

a) Calculati f'(x) , x E 1R.b) Determinati valorile numarului real a pentru care functiaj'are trei puncte de extrem.e) Pentru a = 0, determinati ecuatia asimptotei spre +co la graficul functieij"


87. Se considers functia f: JR~ JR, f(x) = In (x + Jl + x2).

a) Aratati ca functia f este strict crescatoare.b) Studiati convergenta sirului (xn t~l definit prin Xl = 1 si xn+l = f(xn), 'in E N*.

e) Demonstrati ca f(x + 1) - f(x) ~ 1, 'ix E JR. Bacalaureat 2009, varianta 87

88. Se considers functia f: JR~ JR, f(x) = x arctg x si sirul (xn LI definit prin Xl = 1 ~i

Xn+l = f(xn), 'in E N*.a) Aratati ca functiaj'este strict crescatoare.b) Determinati ecuatia asimptotei spre -00 a graficului functieij"e) Aratati ca sirul (xn t~l este convergent. Bacalaureat 2009, varianta 42

2x+l89. Se considera functia f:[O,co)~[O,co), f(x)=-- ~i sirul (xn)n~o defmit prin

x+2Xo = 2 ~i xn+l = f(xn), 'in EN.a) Determinati asimptotele graficului functieij"b) Aratati ca lim xn = 1.

n-->oo

e) Demonstrati ca sirul (Y n t~o ' dat de Yn = Xo + Xl + x2 + ... + xn - n este convergent.Bacalaureat 2009, varianta 18

90. Se considera functiile fn : (0, co) ~ JR, fn(x) = x" +In x, n E N*.

a) Determinati asimptotele graficului functiei It.

b) Aratati ca functiile s, :(0, co) ~ JR, gn(x) = fn(x) + I,(~).n E N*, sunt convexe.

e) Adrnitem ca, pentru orice n E N*, ecuatia fn(x) = rare solutia unica xn. Aratati

ca sirul (xn) n~l este convergent la 2. Bacalaureat 2009, varianta 90 •11S

I. Se considera functia f :JR~ JR, f(x) = x - sin x .a) Aratat! ca functiaj este strict crescatoare.b) Admitem ca, pentru orice n E N* , ecuatia f(x) = n are solutia unica xn· Aratati ca

sirul (x) este convergent.y n n2:1

c) Calculati lim xn+1 , unde (xn t2:1 este sirul definit mai sus.n-.OO xn


!. Se dau functia I: JR ~ JR, I(x) = x + cosx ~i sirul (xn )n2:o definit prin Xo E (0, ~) si

Xn+1= I(xn), Vn EN.a) Aratati ca functia Ieste strict crescatoare.

b) Aratati ca », E (0, ~), Vn EN.

c) Calculati lim xn Bacalaureat 2009, varianta 8n400

I. Pentru fiecare t E JR considera functia J; :JR ~ JR, J;(x) = x3 +t2x.a) Calculati J; '(x), x E JR .b) Aratati ca fiecare functie J;, t E JR , este inversabila.

c) Aratati cii functia g: JR~ JR, get) = J;-I (1) este continua ill punctul t = °.Bacalaureat 2009, varianta 93

l. Pentru fiecare n E N, n ? 2 se defineste functia In : [0, oo] ~ JR, In (x) = x" - nx-1.a) Aratati ca, pentru orice n E N, n > 2, functia In este convexa,

b) Aratati ca, pentru orice n E N, n e: 2, ecuatia In (X) = ° are solutie unica,

c) Calculati lim xn' unde xn este unica solutie a ecuatiei In (X) = 0, n E N, n > 2.n400


i. Se considera functiile In : [0,<Xl) ~ JR, In (X) = xn+1-en + 2)x+ n, n E N* .

a) Aratati cii graficele functiilor In nu admit asimptotii spre +<Xl.

b) Aratati cii, pentru orice n E N*, In are exact un punct de extrem xn.

c) Calculati lim (xn rn , unde xn este punctul de extrem al functiei In' n E N* .n400


t. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = ~V.2

a) Studiati derivabilitatea functieij in punctul x = 0.b) Aratati ca, pentru orice numar real kE(O,<Xl), exista cE(k,k+l) astfelillcat

f(k + 1) - f(k) = 1~ •

~c

c) Demonstrati ca sirul (an) n2:I' an = ~ + ~ + ... + ~ - f( n) este strict descrescatot-


91. Fie functia f: (O,<Xl) ~ JR, f(x) = lnx ~i sirul Xn = l+~+~+ ... +~-lnn, 'Vn E N*.

a) Determinati asimptotele graficului functiei 1;.1 1

b) Aratati ca - < f(k + 1) - f(k) < -, 'Vk E N*k+l k

c) Aratati ca sirul (xn )n2:1 este convergent. Bacalaureat 2009, varianta 7

98 Se considera functia I: (0, oo] ~ JR, I (x) = _1_ + In (22X + 31) .

• ' x-t l x+a) Calculati f'(x), x E (0,<Xl).

b) Aratati ca I(x) < ° pentru orice x E (0,<Xl).

c·•Aratati ca sirul (x ) x = 1+.!. +.!. + ... +.!. -In (n +.!.) este strict descrescator.'/ • y n n2:I' n 2 3 n 2


99. Pentru orice n E N, n> 3, se considera functia j, :JR ~ JR, In (X) = sin" x ~i se noteaza

cu Xn abscisa punctului de inflexiune a graficului functiei din intervalul (0, ~) .a) Aratati ca I "(x) = n(n-l)sinn

-2 x-n2 sin" x, x E JR, pentru orice n E N, n > 3.

b) Aratati cii sin xn = ~ n: 1 ,pentru orice n EN, n ? 3 .

c) Calculati lim I(xn) Bacalaureat 2009, varianta 14n400

1 .. l( ) 1 1 1100. Fie functia 1:(O,<Xl)~IR,/(x)= / si siru an >1' an= r+ r;;+"'+ r::" X n_" 1 2"2 n-s n

a) Aratati cll functia I' este strict cresciitoare pe intervalul (0, co) .

1 1 1 1 .b) Aratati cii Jk+i < r. - r;-:-:; < ~ , pentru once k E N* .

, 2(k+l) k+l -Jk -Jk s-). 2k"k

c) Demonstrati ca sirul (an t2:1 este convergent.Bacalaureat 2009, varianta 33

•117

Tema 3.2Primitive.

Primitive.Definitie. Fie I ~lR un intervaL Spunem ca functia I: I ~ IR admite primitive daca

exista 0 functie derivabila F: I ~ IR astfel incat F' = I .Observatii.1. Daca functia I: I ~ lR admite 0 primitiva, atunci exista 0 infmitate de primitive ale

sale. Multimea acestor primitive se noteaza cu J/(x)dx.

2. Daca F: I ~ lR este 0 primitiva a functiei I: I ~ lR , atunci J/(x)dx = F(x) + C ,

.mde C este multimea functiilor reale constante.3. Orice functie continua I: I ~ R admite primitive.4. Orice functie I: I ~ lR care admite primitive are proprietatea lui Darboux. Daca f

au are proprietatea lui Darboux pe intervalul I, atunci nu admite primitive pe I.S. Daca 0 functie I: I ~ R are un punct de discontinuitate de speta I, atunci I nu

idmite primitive.

Proprietati. Fie I, g :I ~ lR doua functii care admit primitive.

1. Daca functia I: I ~ lR este derivabila pe I,atunci Jf'(x)dx = I(x) + C .

2. J(al(x)+ pg(x»)dx = a J/(x)dx+ p Jg(x)dx.

3. Formula de integrare prin parti: Jf'(x)g(x)dx = I(x)g(x)- J/(x)g'(x)dx.

Formule utile1. Jadx=a.x+C, aElR, D=lR.

xa+1

2. Jxadx =-+C, a E lR\{-l} , D =(0,+00).a+l

J X2 22.1. xdx=-+C, D=lR. 2.2. JJ";dx=-xJ";+C,D=[O,+oo).2 32.3. J~dx -:=+C, D = lR. 2.4. Jl dx = 2J"; +C, D =(0,+00).

2.5. J ,2-dx = 2~x+a +C, a E lR, D = (-a,+oo)."x+a

3. Jaxdx= ~xa +C, aE(O,+oo)\{I}, D=lR.

3.2. Jeaxdx="!'eax +C, aEIR·, D=IR.a

~. J~=lnlx+al+C, aEIR, D=IR\{-a}.x+a

4.1. J.!...a=lnlxl+C, D=IR·. 4.2. f~=..!..lnlax+bl+C, aEIR', bEIR.x ax+b aJ 1 1 Ix-al . {}5. dx = -In -- + C, a E IR , D = IR\ ±a .

x2 _a2 2a x+a

5.1. J x 2dx=..!.ln!x2-a2!+C, aElR', D=lR\{±a}.x2 -a 2

J 1 1 x •6. 2dx =-arctg-+C, a E lR , D = IR.

x2 +a a a

J 1 J x 1 (2 2) •6.1. ~ = arctgx + C , D = lR. 6.2. 2 2 dx = -In x + a + C, a E IRx2 +1 x +a 2

7. Jbdx = In(x + ~ x2 + a2) + C, a E lR, D = lR .

x +a

J x rr=: ·7.1. J.)""?dx = " x- + a- + C, a E lR , D = lR ."x2+a

2

•• J~dx=lnlx+~x2-a21+c, aE(O,+oo), D=(-co,-a)u(a,+oo).x2 _a2

8.1. Jhdx=~x2-a2 +C, aElR', D=(-co,-a)u(a,+oo).x2 -a

t. I~ dx = arcsin'::' + C, a E (0, +00), D = (-a, a) .a2 _x2 a

9.1. J~dx=-~a2-x2 +C, aEIR', D=(-a,a).a -x

10. Jsinxdx=-cosx+C, D=JR; 11. Jcosxdx=sinx+C, D=IR.

12. Jtgxdx=-lnlcosxl+c, D=IR\{(2k;1)7T1kEZ}.

13. Ictgxdx=lnlsinxl+C, D=JR\{k7TlkEZ}.

14. I-.-12-dx=-ctgx+C ,D=lR\{k7TlkEZ}.

Sill X

I 1 {( 2k + 1)7T }1S. -2- dx = tgx + C , D = lR\ I k EZ .cos x 2


1. Fie functiile F: lR ~ JR, F(x) = (x2 + X+ 1)e-2x si I: lR ~ R, I(x) = (_2X2 _1)e-2x .

a) Aratati ca functia F este 0 prirnitiva a functieij"b) Aratati ca functia F este strict descrescatoare pe IR. •

119

c) Aratati ca functia F este convexa pe 1R.. lox

2. Se considera functia f: (0,+00) ~ 1R,f(x) = --Ix .

a) Aratati ca functia F: (0, +00) ~ JR, F(x) = 2--1x(10 x - 2) eo primitiva a functieif

b) Sa se arate ca orice primitiva G a functiei Ieste strict crescatoare pe [1,+00) .

13. Se considera functia I: JR~ JR,I (x ) = 2 •

x +x +l

2/3 (2X+l)a) Aratati ca functia F: JR~ JR, F (x) = -3-arctg /3 ,x E JR, este 0 primitiva a

functieij"b) Demonstrati ca orice primitiva a functieij'este strict crescatoare.c) Aratati ca orice primitiva a functiei Ieste injectiva dar nu este surjectiva.d) Determinati punctele de inflexiune ale functiei F.

4. Se considera functia I: JR~ IR, I (x) = eX(x2 + X + a), a E JR~i F: JR~ IR 0

primitiva a luija) Determinati a stiind ca F este strict crescatoare.

. . .. d x limF(x)-F(1) Ib) Determinati a stun ca 2 = -.x->l x -I 4

c) Determinati a stiind ca functia Fare doua puncte de inflexiune.

S. Se considera functia I:JR~JR, l(x)=e-X(ax2+4x+a), aEJR'~i F:JR~JR 0

primitiva a luij

,I D .. .. d lim F(x) - F(O)a) eterminati a stun ea = 1 .x->o X

b) Determinati a stiind ca F este strict crescatoare pe JR.

c) Aratati ca pentru orice a E JR, functia F are doua puncte de inflexiune.

6. Fie F,f: IR ~ JR, F(x) = (ax + b)rX ,f(x) = xrx . Determinati a,b E JR pentru carefunctia F este 0 primitiva a functieij.

7. Se considera functiile F,f:( -~,+oo ) ~ JR, F(x) = (ax+b)/3x.0,

f(x) = ,J3x + 1 . Determinati a, b e JR stiind ca functia F este 0 primitiva a functieif

8. Se dau functiile F,f: (-1, +00) ~ IR, F(x) = (ax2 + bx + c),J x + 1, f(x) = xJ; + l-

aiD ~F ... ~ I·j, I I .I· F(x)-F(l)'.I aca este 0 pnmitrva a Ul ,ca cu atl im 2 .

x->l x-I

b) Daca F este 0 primitiva a luij, determinati intervalele de monotonie ale lui F.c) Determinati a,b,c E JR stiind ca functia F este 0 primitiva a functieij"

9. Se considera functiile F,f: (0, +00) ~ 1R, F(x) = x(a In2 x + b 10 x + c), f(x) = 102X •

. . 1·j, 1 1 . li F(x)-F(1)al Daca F este 0 primitiva a Ul ,ca eu atl m .'.I x->I x-I

. .. I·j, I I . lim F(x)b) Daca F este 0 primitiva a Ul ,ca cu an -- .x->_ X

c) Determinati a, b,c E JR stiind ea functia F este 0 primitiva a functieij.

10. Aratati ca exista numerele reale a, b, c astfel meat functia F: JR~ JR,

F(x) = (ax2 + b) eos x +cxsinx este 0 primitiva a functiei I: JR~ JR, I(x) = x2 sin x .

{

X3 + cos x pentru x < 011. Determinati a,bEIR stiind ca functia I:JR~JR, I(x)= a pentru x=O

10(x + I) + b pentru x > 0

admite primitive.

12. Aratati ea functia I: JR~ JR, I (x) = {x}( 1-{x}) admite primitive, unde {a} este

parte fractionara a numarului real a.Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat.

(1 +2x)1r13. Aratati ca functia I: JR~ JR, I (x) = [x] cos 2 admite primitive, unde [a]

este partea intreaga a numarului real a.14. Determinati a E JR pentru care functia F: JR~ JR,

{

X4 +x pentrux < 0 . .. . I fun .. I lll> lll>F(x) = este primitiva unei a te ctu : lA. ~ lA..

1o(x2 + 1)+ ax pentru x ~ 0

{2X2 -x X s 1

15. Se considera functia G: JR~ IR, G(x) = 2' .1o(x +x-l)+ax+b, x> 1

Determinati a, b E JR pentru care G este primitiva unei alte functii g: JR~ JR.

{

X2012+ x pentru x < 0

16. Se considera functiile F: JR~ JR, F(x) = a pentru x = 0

x2lnx+bx+c pentrux > 0

Determinati a,b, c E IR stiind ca functia F este primitiva unei functii I :JR~ JR.

{ax+b, x c l ..

17. Fie a,b E JR si functia F: JR~ JR,F(x) = . Determinati numerele a si102 x+ 1, x ~ 1

b pentru care functia F este primitiva unei functiij"

{axex -x x s 0

18. Fie a,b E JR si functia I: JR~ JR, I(x) = ' . Sa se determinexcosx+b, x> 0

numerele a si b stiind ca functiaj este primitiva pe JR a unei alte functii.

•121

. . { X2012 pentru x < 0

!to Determinati a E JR.pentru care functia I: JR.~ JR., I(x) = 2-xalnx + x pentru x » 0

admite primitive.

~. Se considera functia f: JR.~ JR.astfel inciit xf (x) = arctg x, '\Ix E JR..

a) Determinati f(O) stiind ca functiaj admite primitive.

b) Pentru f (0) = 1, aratati ca orice primitive F a luif este strict crescatoare.

( ) 1 1 . I" I' F(x)c) Pentru f 0 = 1, ca cu an uruta im --, unde F este 0 primitiva a functieijx-++oo X •

1. Aratati ca functiile urmatoare admit primitive.

{

X, x~Oa) f:R~R, f(x)= . .

Inx+smx, x> 0

b) f:R~R, f(X)={S~X, x:;tO

1, x=O

elf: R ~ R, f(x) = {xe. x, x s 0'/ Variante bacalaureat 2009smx, x> 0

2. Aratati ca functiile urmatoare nu admit primitive.

a) f: R ~ R, f(x) = { x2, X s 0 .

xlnr +I, x> 0

f( )_{arctg3(X-2), x:;t2

b) f: JR ~ JR, x - x -8

1, x=2

c) f:R~R, f(x) = {xeX

+1, x~Osin x, x> 0

3. Fie f: R ~ (0, +00) 0 functie derivabila. Determinati, in functie de f, primitivele:

a) fu(x) + f'(x))eXdx; b) n f'(x)·arctgx+ f(X))dx; c) ff'(x)- f(x) dx ;Jl x2 + 1 eX

d) f(sinx. f'(x) + cos x- f(x))dx; e) f(sinx, f'(x) -cosx· f(x))dx ;

1) rX f(x)-eX f'(x) dx :f2(X) ,

4. Fie f: R ~ (0, +00) 0 functie de doua ori derivabila. Determinati, in functie de f,urmatoarele primitive.

a) fu "(x) + f'(x))eXdx; b) f(-f'(-x)+ f(-x))eXdx;

c) f rex) ~ f'(x) dx ;e

e) ff"(X)f(x)-U,)2 (x) dxf2(X) ,


25. Se considera functiile I,:JR~ JR, fn (x) =-c-. n EN.x +4

a) Calculati f-t; ( x ) dx ~i fA ( x ) dx .

b) Aratati ca orice primitiva a functiei h este 0 functie bijectiva.

c) Determinati n, pentru care functia J" admite primitive injective.

26. Pentru n E N' se considera functiile fn : (0, +00) ~ JR,fn (x) = xn In x .

a) Demonstrati ca primitivele functiei J; sunt convexe pe intervalul [~, +00) .

b)CaJculati f f~(:)dx, XE(1,+oo), n~2.

n

27. Se considera functiile I,:(-3, +00) ~ JR,fn ( x) = _x_, n EN.x+3

a) Calculati fJ; (x)dx ~i ff2 (x)dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functiei h este crescatoare.

c) Determinati n, pentru care functia fn admite primitive descrescatoare pe intervalul

(-3,0).n

28. Se considera functiile I,:JR ~ JR,J, (x ) = xx' n EN.e

a) Calculati ffo (x)dx si f(fo (x)- J; (x))dx.

b) Fie Fo primitiva functiei fo care indeplineste conditia Fo (0) = 0 . Calculati Fo (1) .

c) Aratati ca orice primitiva a functiei f2012 este concava pe intervalul (--<Xl, 0) .

d) Determinati toate numerele n E N' pentru care orice primitiva a lui fn este convexa

pe intervalul (0, +00) . iI

'5~~5~

•123

Tema 3.3Funclii integrabile.

Fie a,b E JR, a < b, /j. == (a == Xo < XI < x2 < ...< xn == b) 0 diviziune a intervalului

a,b] ~i ~==(~P~2' ... '~n) cu ~i E[Xi_pXi], iE{1,2, ... ,n} un sistem de puncte

ntermediare asociat diviziunii /j.. Numarul 11/j.11== max {Ixi - Xi-!I I i == I, n} se nume~ten

forma diviziunii /j.. Pentru functia f: [a,b] ~ JR notam a(J,/j.,~) == Lf(~i )(Xi -xi-!) ,i~1

iumita ~i suma Riemann asociata functiei j, diviziunii /j. si sistemului de punctentermediare ~.

Definitie• Functia f: [a, b] ~ IR este integrabild pe intervalul [a, b], daca limita

lim a(J,/j.,~) == lim :tf( ~i)(Xi -Xi-!) este finita. Aceasta se noteaza cu r f(x)dx .611->0 116~->0i~1 a

Observatie•

• De cele mai multe ori In exercitii intalnim urmatorul caz particular. f: [0,1] ~ lR,

~ == (0 <!< ~ < ...< !!.. == I) - diviziunea echidistanta a intervalului [0, I], si sistemul den n n

. di j: (j: j: j: ) j: i [i -I iJ . -I D ~ fun .nmcte mterme lare ':> == ':>P':>2'... '':>n CU ':>i == - E -,- , 1== ,n. aca cpan n n

r :[0, I] ~ IR este integrabila pe intervalul [0, I] ,atunci Jf (X ) dx == lim !:tf (~).o n->+«>n i~1 n

!. Daca f: [a, b ] ~ IR este functie menotoua, atunci f este integrabila pe intervalul [a,b] .

I. Daca f: [a, b ] ~ lR. este functie continua, atunci f este integrabila pe intervalul [a, b] .

~.Daca f: [a, b] ~ lR. este functie continua pe intervalul [a, b] cu exceptia unui nuroar

init de puncte de discontinuitate de speta I, atunci f este integrabila pe intervalul [a, b] .

Proprietiti importanteFormula Leibniz-Newton (formula fundamentals a calculului integral). Dacli

f :[a,b] ~ IR este 0 functie integrabila care are primitive, si F este 0 primitiva oarecare a

uij, atunci r f(x)dx == F(b) - F(a).

t. r (J(x) + g(x)) dx == r f(x)dx + rg(x)dx . 3. r J,.,f(x)dx == J,., r f(x)dx, VJ,., E lR.

~.Aditivitatea in raport cu un interval. r f(x)dx == r f(x)dx+ r f(x)dx, Vc E [a,b].

5. Formula de integrare prin parti. Daca in plus functiile f si g sunt derivabile cu

derivatele functii continue, atunci fa f'(x)g(x)dx == f(x)g(x)l! - r f(X)g'(X)dx.

6. Teorema de medie pentru integrale. Daca functia f: [a,b] ~ 1R este continua, atunci

exista c E (a,b) astfel incat r f(x)dx == (b - a)f(c) .

1. Prima formula de schimbare de varlabila. Fie functia f: J ~ IR continua ~i functia

u :[a, b] ~ J (J este un interval) continua cu derivata continua, atunci

b u(b)

fU'(x)f(u(x))dx == f f(t)dt.a u(a)

8. A doua formula de schimbare de variabila. Fie qJ: [c,d] ~ [a, b] 0 functie bijectiva,

tp, qJ-I derivabile, qJI continua ~i tp' (t) '* 0, Vt E[c, d] . Daca functia f: [a, b ] ~ IR este

b q>-'(b)

cootinuape [a,b)'atunci ff(x)dx== f f(qJ(t))qJ'(t)dt.a q>-'(a)

,. Derivata unei integrale. Fie functia continua f: [a,b] ~ IR si F: [a, b] ~ IR ,x

F(x) == ff(t)dt . Atunci functia F este 0 primitiva a functieij; adica F'(x) == f(x) .a

'.1. Fie f: [a, b] ~ IR continua ~i functia u: I ~ [a, b], (I este un interval) estex

derivabila cu derivata continua, atunci functia F:[a,b]~JR, F(x)== ff(t)dt estea

derivabila si F'(x) == f(u(x))·u'(x).

10. Proprietati de monotonie si marginire.

Daca functia f: [a, b] ~ [0, +00) este integrabila, atunci r f(x)dx ~ °.Daca functiile f,g:[a,b]~lR. sunt integrabile si f(x)~g(x), VXE[a,b], atunci

rf(x)dx s rg(x)dx .

Aplicatii ale integralei defmite. Fie f: [a,b ] ~ IR 0 functie continua.

11. Aria suprafetei plane cuprinsa intre graficul functieij, axa Ox si dreptele de ecuatii

x::::a si X == b este egala cu r If(x) Idx .

12. Volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul axei Ox este egal

CU VI == 1[ r f2(X)dx.

~---------------------------------------------------•125

1. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).I 2 2 ( r)2 2fX2+ X + 1

a) f(x2+1) dx; b) f x-"x dx; c) dx ;o 0 I X

d) 2fx2 +x+l dx; e) 2r(X+.!..)2 dx; j) f_l_dx;I ~ !~ x 0 -/x+2

2. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).

I ~1)2 Ia) f(x-ex)dx; b) J~ex _ex dx; c) j(2X +Tx)dx;

d) ),(2'-Z-'jdr; e) 112'- 5)dr; J) L~dr3. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).

I 1 I 1. Ifx+1.a) f-2-dx; b) f~4dx, c) -2-1dx,

ox+l ox- ox+

3fx3 -x+2 If 1 If x2

e) 2 dx; j) ~3 dx ; g) -32 1dx .2 x -1 OX + 0 X +

4. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton),

I 1 If 1 If z +Ia) f~dx; b) ~dx; c) ~dx;

o x +1 0 4-x 0 x +1I

2f l+x If 1 If Xe) ~ dx ; j),.-:-;:-:; dx ; g) r=:» dx .

o l-x2 -I ,,4-3x2-I ,,4-3x2

5. Calculati urmatoarele integrale (formula Leibniz-Newton).KKK

a) fsinxdx; b) E eosxdx; c) 1:tgxdx;o

[/4 dx £"/4 dx [13 dxe) -- ; j) --; g) 2 2·

KI6sin2 x eos2 x KI6sin xeos x6. Calculati urmatoarele integrale (aditivitatea la interval).

2 2 2

a) f\x-l\dx; b) f\x2-1\dx; c) fx[x]dx;o 0 0I I I

d) fx{x}dx; e) f\x-sinx\dx; j) f\x-aretgx\dx.-I -I -I

7. Calculati urmatoarele integrale (formula de integrare prin parti):

a) fxsinxdx;b) fxeosxdx; c) 1xexdx; d) 1x2e-xdx;

e e1 e2

j) fin 2 xdx ; g) Jx2 In xdx ; h) jIn x dx ; i) J In2Xdx .I e 1£ eX

Probleme propuse

.fj 3

d) f x + x +2 dx :x2 +1 'I

3

d) f~dx·rr:'::2" x- -1

[/4

d) etgxdx;KI6

e) flnxdx;

Caleulati urmatoarele integrale (prima formula de sehimbare de variabila):.r; s: e,h I

II) Jxsinx2dx; b) fx2eosx3dx; c) Vrdx; d) fx-/x2+1dx;o 0 I "X 0

e In2012 X K

e) f-dx; j) feosx.sin(sinx)dx;I x 0

, Calculati urmatoarele integra Ie (a doua formula de sehimbare de variabila):• dx

II) 1x-/ x + Idx ; b) 1eX+ 1 .

.. () () eosx+xsinx. F() eosxO Se eonsidera functiile I, F: 0, +<xl ~ JR, I x = - 2 sr X = -- .• x x

a) Aratati ea F este 0 primitiva a functiei I .

1"/3 sindxg) .

;r/61+eosx

2Kb) Calculati f I (x) dx .

K

nK

c) Calculati lim f I(t ) dt .n-H<Xl

K

11. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = x-sinx.

Il) Calculati f I(x ) dx .

b) Determinati aria suprafetei plane determinate de grafieul functiei J, axa Ox ~idreptele de ecuatii x = 0 si x = 1l .

r.b I(t)dtc) Calculati lim 2x~_ x

12.Seeonsiderafunetiile I,F:JR~JR,J(x)= 4 x 2 ~i F(x)=aretg-2-1

-.x+2x+2 x+l

Il) Aratati ca F'(x) + 2/(x) = o.I

b) Calculati fl(x)dx.o

n

c) Calculati lim fl ( t ) dt .n~_o

13. Se considera functia I: JR ~ JR, I (x) = ex2 .I

Il) Calculati f xf (x) dx .o

b) Determinati aria suprafetei plane delimitate de grafieul functieig : JR ~ JR, g (x ) = x3 I (x ) , axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1 .

I

c) Aratati ea fl(x}:ix E (1,2).o

•127

x t214. Se considera functia f: JR ~ JR, f (x) = [-2-el dt.

ot +1a) Calculati f'(x) .b) Aratati ca f(x) ~ 0, Vx E (0, +00) .

c) Calculati lirn f(x).x-+_

x t201215.Seconsidera functia f:JR~JR,f(x)= f-2-dt.

_xt +1

a) Calculati lirnI(x ) .x-+o

b) Aratati ca I(-x)=-/(x).c) Aratatica l(x)~O, VXE[O,+oo) ~i l(x):5:0, VXE(-<Xl,O].

x

16. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = f(t4 -4t +3 )Jt4 + Idt.o

a) Calculati f' (x ) .

. I(x)- 1(0)b) Calculati hrn .

x-+o xc) Determinati multimea punctelor de extrern ale functieij"

17. Se considera functia I: JR ~ JR, I (x) = _I -2 .I+ x

a) Determinati aria suprafetei plane determinate de graficul functiei J, axa Ox Iidreptele de ecuatii x = 0 ~i x = 1 .

x

b) Aratati ca x'!ex, fl(t2 )dt E JR .o

) I x

~ c) Calculati f_e-/(x)dx.2 _Il+ex

~~ 18. Se considera functia f: JR ~ JR,f (t) = 1 .~ (1+ t2 ) ( 1+P )JIIII~eDI:II

""::i

I

a) Sa se calculeze f(t3 + 1)/(t)dt .o

I x

b) Sa se arate ca ff(t)dt= fP I(t)dt, Vx > O..!. I.

II~oJccz:oca::Cz:cc~ ~

19. Se considera functia f: JR ~ JR, f(x) = f ~dt.• 0

x

I ureal2()1J9Variante baca a

x

c) Sa se calculeze lirn ff(t)dt.x-++oo I

x

28

, I'(x)., ti punctele de extrern ale functiei f

, cl graficul functieij" nu are asimptote la +00 .x2 2

'derA functia I: [1, +00) ~ JR, I (x) = f arcsin -;'-dt .I t + 1

. lirn I(x)culatt x'\.l x-I'

, c! functia/este strict crescatoare.~ c! graficul functiei/nu are asirnptote.::em 0 functie I: JR ~ JR, cu proprietatea ca xf ( x ) = sin x, Vx E JR .

1r

se calculeze f x2 I(x ) dx .o

51se arate ca functia Ieste integrabila pe intervalul [0, ; ] .

1r2

51se arate ca fI(x ) dx :5: cos 1.I


x

considerA functia I: JR ~ JR.,f (x) = f e_/4 dt .o

Calcu1ati lirn f (x) ,x-+o x

Arltati ca functia I este injectiva.Arltati ca functia f on este surjectiva.

n

considem sirul (I ) I = fe-x1dxn n~l) n •

oArltati ca e' ~ x+ 1, Vx E JR .

~ ArItati ca .!. < I < 1i- 1- .

e 4qArltati ca sirul (In t~1este convergent.

Variante bacalaureat 1998, enunt adaptat.COnsidem~irul (I ) I = fl xn dx

n n~I' n 2 .e)Cat 0 x +2012

CUlati II'

~ Arttati Ca I n+2 + 2012'1 1 •e)Cat. n=n+I,VnEN.

CUlatl lim I"-'+<lQ n·

~ ca ~irul (I )n n~1 este descrescator.

•129

e) Calculati lim nI n •n..• _

2

Se considers sirul (In t~o' In = f(l- X )2n 1n(X2 + l)dx .I

0) Calculati 10,

b) Aratati ca sirul (In )n~1este convergent.

e) Calculati lim In'n..• _

. • () 0 1 I 1 2 1 2nSe considera sirul In ~I' In = C2n--C2n +-C2n- ...+--C2n·n 2 3 2n+ 1

I

0) Calculati f (1- Xt dx .o

I

b) Calculati lim f(1- Xt dx .n..• _o

e) Calculati lim In'n..• _

I Fie functia I: JR ~ JR,J (x) = 1 +~ .l+x

0) Aratati ca F: JR ~ JR, F (x ) = arctg x+ ~ In (x2 + 1) este 0 primitiva a functiei I.I

b) Sa se calculeze fl(x)dx.o

.\ S~ ~ . 1 ( ) ~ n + k "T'e/ a se arate ca siru an neN', an = £"'-2--2' Vn E 1'1 ,este convergent.k=1 n +k

Bacalaureat 2009, model subject

, Se considera functia I: JR ~ JR, I (x) = 2 1 .x +2x+2

~-I4

0) Calculati f I(x ) dx .-I

x

fl(t)dtb) Calculati lim ~o__

x ..• _ X

c) Calculati lim ( n + n + ...+ n ).n..•-scc 2n2 +2'n+12 n2 +2.2n+22 2n2 +2.n2 +n2

• Se considera functia I: [0,1] ~ JR,J (x) = -.ft - x2•

I

0) Calculati f xf (x) dx .o

b) Determinati volumul corpului obtinut prin rotatia graficului functieij in jurul lui Ox.

1<I '2

c) Aratati ca Jf(x)dx = Jcos2 x dx .o 0

t-Jn2 _k2

d) Calculati lim k-I Variante Bacalaureat 2009, enunt adaptatn..• -sec n2

2

30. Fie sirul (In LI' In = f( 2X_X2)" dx, Vn EN'.o

0) Sa se calculeze II .b) Sa se demonstreze ca (2n+l)In =2nIn_1> VnEN, n~2.

c) Sa se arate ca sirul (In t~ltinde descrescator catre 0.Bacalaureat 2009, model subject

1

31. Fie sirul (Int~l'In = f(x-x2)" dx, V'nEN·.o

0) Sa se calculeze 12,

nb) Sa se demonstreze ca In = --In-I> Vn E N, n ~ 2.

4n+2c) Sa se calculeze lim In' Bacalaureat 2009, model subject

n..• -sec

32. Se considera functia I: [1,2] ~ JR, I (x ) = x2 - 3x + 2 .4

0) Calculati fl( Fx)dx .1

b) Calculati aria suprafetei delimitate de graficul functiei g: [1,2] ~ JR, g(x) = I (x)x

si de axaOx.2 2

c) Aratap ca (4n+2) fr (x)dx+ n fr-1 (x)dx = 0, Vn E N°.I 1

33. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = 201; .x +1

Bacalaureat 2011

1

0) Calculati fX2011·/(x)dx.o

1

b) Calculati lim fxn. I (x "fix .n..• -scc

ox

e) Arati ca lim fl(t)dt E JR.X ••• -seo

1

34. Se considera functia f: [0,2] ~ JR, I (x) = {x pentru x E [0,1]

x + e' pentru x E (1, 2] •131

a) Aratati ~Afunctiaj este inte~abiIA, dar nu admite primitive.b) Determinati ana suprafetei plane determinate de graficul functiei f, axa Ox ~idreptele de ecuatii x = 0 si x = 2 .

2

JF(x)dxc) Calculati lim -'.1 __ -

n-•.•.eec n

35. Se considera 0 functie continua ~i strict crescatoare f :[0,2012] ~ JR. Aratap cax

functia g:[0,2012]~JR, g(x)= ff(t)dt-rf(IOO6) nuesteinjectiva.o

2 I36. Se considera sirul (In) ~I ' In = f--dx.

n I x" +1a) Calculati 12,

b) Aratap ca sirul (In t~1este descrescator,

c) Aratali ca sirul (In t~1este convergent.

d) Calculati lim In'n-H<o

I n

id 37. Se considera sirul (In) .t, = f x dx.~ n~1 0 x2 +x+1~ a) Calculati II + 12 + 13.Q

b) Aratati ca sirul (In t~1este descrescator,c) Calculati lim In •

n---H<o

u:•

~~;:)o 38. Se considera sirul (I )o n n~'.

Bacalaureat 2010

a) Calculati 13,

1b) Sa se arate ca 12 =---12 2 \fnE N n> 2

n 2n-1 n=s» ,- .

c) Aratap ca numarul 10 +12 +...+12012.este irational.

d) Aratari casirul (In t~o este convergent.

e) Sa se arate ca lim (I-.!+.!-.!+ ...+(-Ir---I-I-) = I .n---Hoo 3 5 7 2n -I 0

Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat•~ I (X2 +x+I)n -xiJ 39. Fie sirul (I ) I = f dxc n n~O' n 2 •E 0 x +1eo..• a) Calculati 10,

I: b) Verificati daca 12 - 10 E Q .c) Aratati ca 14n+1 E Q oricare ar fi n EN. Bacalaureat 2011, model subiect

2

n+12x-140. Fie sirul (In )n~I' In = f ~ .

Xn

a) Aratati di sirul (In )n~1 este crescator,

b) Aratati ca sirul (In) n~1 este marginit,

c) Calculati lim n(2 - In) •n--++«>

2 n

41. Se considera sirul (In t~I'In = f~l .I x +

a) Calculati II'

b) Sa se arate ca In :s; I, 'rIn E N·.

c) Sa se calculeze lim In'n--++«>

I42. Se considera functia f: JR~ JR,f (x) = 2 1 .

x +x+I

a) Calculati f f (x) dx .o

I

b) Aratati ca lim fxn f (x) dx= 0 .n--++«>

o

c) Aratati ca Rx( x2 +I)6n+1 + X3n+2Jf( x)dx E Q.

oI n

43. Se considera sirul (In t~o' I = f x dx, 'rIn EN.n 0 x3 +X2 +x+I

Bacalaureat 2010


I a bx+c. . numerele reale a.b si c stiind ca = -- + -2 - ,a) Determinati 'f 'f x3 +X2 +x +I x +I x +1

'Ix E [0,1].b) Calculati 10,

c) Aratati di numarul I4n+2 - I4n+1 + II + 10 este rational, pentru orice n EN.I n

44. Se considers sirul (In )n~O' I = f x dx, 'rIn EN.n 0 x3 +X2 +x+I

a) Calculati II + 13 .b) Calculati lim In .

n--++«>

Id) Aratati ca lim nI n = - .

n--++«> 4e) Aratati ca 12n+3+12n+1 E JR\Q.

45. Se considera functia g: JR~ JR,g (x) = e ---x •

I

a) Calculati fg (x ) dx .oI

b) Calculati fx5 g( x3)dx.o

n

c) Demonstrati ca sirul (In t:?:1 defmit prin In = fg( x3)cD: este convergent.I

.. 3 t"46. Se considera sirul (In) >0' In = f-j--dt .

n_ 2 t +1

a) Calculati 14•

b) Aratati ca sirul (In )n:?:Oeste strict crescator,c) Aratali ca lim In = +<xl.

n-H«>

Bacalaureat 2011

x tn47. Pentru fiecare numar n E N se considera functia I"n: JR ~ JR, I" () f· J

t J, In X = ~t.ot +1

a) Calculati ~ (1) + .t; (I) ....~ b) Calculati lim hOl2 (x)i x-+o X2013 •

~ c) Aratati cll sirul (J" (I)to este convergent.

~ d) Aratati ca sirul (J" (2)to este divergent.

s~ 48. Se considera sirul (I ) I = r"/\gn XcD:U n n:?:I' n Jlf/6 •

j a) Calculati II + 13 ..b) Aratati ca sirul (In tl este convergent.

I n

c)Demonstrap egalitatea In = f_x- dx.I x2 +1

J3)Ja..~ ( )l 49. Pentru fiecare a E 0,; se considera sirul (In (a) tl '

~ ()i a) Calculati II ; .~! b) Aratati ca pentru orice a E (0, :) sirul (In (a) LI este convergent.

! ( 1r)f c) Pentru a E 0, - ,calculati lim In (a) .4 n-+_

d) Calculati lim In.n-+_

o

In(a)= ftgnXcD:.o

d) Calculati lim In (1r) .n-+_ 3

o

50. Pentru fiecare numar real a definim sirul (In ( a )) n:?:1' In ( a ) = f (1+ sin xr dx .o

a) Calculati 12 (1r ) .. . 12012 (a)

b) Calculap lim .0-+0 a

o

c) Aratati ca pentru orice a E (0, 1r) lim f( 1+ sin xr dx = +<xl .n-+_

o

2

51. Se considera sirul (xn t:?:1 ' s, = J(1+ cos x r dx .o

a) Calculati XI .b) Aratati ca sirul (xn )n~1 este strict crescator.

2

c) Aratati ca xn = J( 1+ sin xr dx .o

d) Aratati ca lim xn = +<xl .n-+_

cosx52. Se considera functia I: JR ~ JR, I (x ) = 2·

2-cos xIf

2

a) Calculati f I (x) dx .o

b) Aratati ca orice primitiva a functieij" este crescatoare pe intervalul [0, ; ] .21f

c) Calculati f xf (x) dx .o

53. Se considers functia I: JR ~ JR, I (x) = arcctgx .

Bacalaureat 2010

I

a) Calculati f I(x ) dx .o

x

b) Calculati lim fI(t)dt.X-+-

O

Inkc) Calculati lim - Larcctg-.

n-+_ n k=1 n!!..n

54. Se considera sirul (In) n:?:l In = f cos n XcD: .o

a) Calculati II'

b) Aratati ca 0 s In s 7r, "In ~ 2 .2

c) Calculati fun In'n-H<lO

55. Se considera functia I: JR ~ JR, I (x) = cos x .a) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei f, axa Ox si dreptele de

7recuatii x = 0 ~i x = - .

2I x

b) Calculati lim - J/(t)dt.x ...•-x 0

If

2

c) Aratati ca sirul (In) n~1 ' In = Jr (x) dx este convergent.o

56. Fie functia I: [i,e] ~ JR, I(x) = ~lnx .I

a) Sa se calculeze JI(eX ) dx .o

b) Sa se determine volurnul corpului obtinut prin rotirea graficului functiei I in jurulaxei Ox.

Bacalaureat 20lJ

....•'"!!=i~Q~•

I e

c) Sa se arate ca Jex2dx+ J/(x)dx = e.

o I


'5 57. Fie functia I: [0,1]~ [1,3],/( x) = X4 + x2 + 1.~ functia g.o 1:/4 2t+lu a) Sa se calculeze -( -) dt .;; lJi~ b) Sa se arate ca 1I(x)dx + rg(x)dx = 3.

'"~~·

Se admite ca functia I are inversa

c) Sa se demonstreze ca, daca a E [1,3], atunci 1I(x)dx + rg(x)dx ~ a.Variante bacalaureat 2009~

UIII1&1!58. Se considera functia I: JR ~ JR, I (x) = x - arctg x .!5 a) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei j, axa Ox si dreptele de~ ecuatii x = 0 ~i x = 1 .

b) Aratati ca functiaj" este bijectiva.•uE: I_~~ 4 I~ c)Calculati J rl(x)dx+ J/(x)dx=7r.~ 0 0 4~ 59. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = x3 + x2 +x+ 1.

a) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei j, axa Ox si dreptele deecuatii x = -2 ~i x = 0 .

6

j\r!itati ca functiajeste bijectiva.b) 4

c) Calcu1ati Ir1 (x)dx..deral functia I: lR ~ JR, I (x) = {x} (1- {x}), unde {x} este partea fractionara

se cons 1""·_x ..ului real x.a nUIll"'''' I

(I) Sa se calculeze JI(x ) dx .o a functia/admite primitive pe JR.

b'\ Sa se demonstreze c t''I . 1 . 1"'+I/(x)dx nu depinde de numarul real a.

a e arate ca valoarea mtegra ei .lac) S s Variante bacalaureat 2009

1Fie functia I: JR ~ JR,f (x) = 1+ X2012 •61.

I

(I) Calculati Jxf (x) dx .-I

b) Calculati 1~/(x)f"(x)+(J'(x)Y]dx.o

I

c) Aratati ca ~ s JI(x)dx s2.~ 1

62.Pentrufiecare nErt fie functia In :[O,+oo)~JR,fn(x)= (x+l)(x+2) ...(x+n)'

1 . J 12012 (x) dx x E [0 +00) .a)Calcuap /2012 (x+l) , ,

I

b) Calculati J(x2 + 2) 13 (X2 ) dx .o

C) Aratati Ca r In (t3 )dt ~ x:!1 , '<Ix~ 1, '<In~ 1.

63. Se considera functia I: lR ~ JR, I(x) = In(x2

+ 1)

a) Calculati 1I (x)dx .X

b) Aratati ca functia g: JR ~ JR, g (x) = JI (t2

) dt este impara.o

r IVOO6)dtc) Calculati lim x 2013

x ...•o x 1

64. Pentru fiecare n Ert se considera functia In :JR ~ JR, In (x) =N.

..Ii,,iI,

!!. "2 -2b)Ar1itatica fhoI2(sinx)dx= fhol2(cosx)dx.

o 0I

C) Aratati ca lim II" (sinx)dx = 1.n _

o

65. Se considera functiile i.e. JR~ JR,I(x) = x2~X4 + I, g(x) = rI(t)dt

a) Calculati !I(Fx) dx .

b) Aratati ca functia g este monotona pe JR.c) Aratati ca graficul functiei g nu are asimptote la +00 .

66. Pentru fiecare numar natural n E N' definim functia

/" : [0, +00 ) ~ JR, /" (x) = ~xn + 1 .

a) Calculati aria suprafetei determinate de graficul functiei r O.t" 0' 1 t I J I ,axa x ~l dreptele deecuatll x = ~l X = .

I 2b)Calculafi Ix[.t;(ex)J dx .

o~ 1e: c) Aratati ca sirul (In tl'In = II" (x)dx este convergent la 1.i 0:;) 1

~ 67. Seconsidera~irul (Inti' In = Ixn~x2+ldx.

~ a) Calculati II' 0a b) Aratati ca lim In = °.n _

U;; c) Aratati ca In = _1_[2J2 - (n -1)1 ]~ n+2 n-2 .

ffi 68. Se considera sirul (I ) I = r xn r:---.,I_ 2-L.A. n n~I' n k V 1- X· c.« .

~ a) Sa se calculeze II .

b)Sasearateca (n+2)In =(n-I)In_2, 'inEN, n~3.c) Sa se calculeze lim I

n :n _

:;)u'"IIIZ~a:III

d 69. Se considera functia f: (0,00) ~ JR,I(x) = lox.~ e

~ a) Calculati Ix, f (x)dx .~ I

~EII:

E

Bacalaureat 2008

e

c) Calculap n~ n Ir (x)dx.I

8

I n

•••• Se considera sirul (In) ~I ' In = f 3 X dx, 'in ~ 1.'v' n 0 X + X + 1

Ial Aratali ca In+3+ In+1+ In = --, 'in ~ l.v n+l

b) Aratati ca sirul (In) n~1este strict descrescator.

c) Calculati lim nIn•n _

I

71. Se considera sirul (I n t~1' In = Jr Jx + Idx, 'in ~ 1.o

a) Calculali II'

b) Aratali ca sirul (I n t~leste descrescator.

c) Calculali lim nI n •n _

72. Se considera functia I: JR~ JR,I (x) = cos 2x .a) Determinati aria suprafetei formate de graficul functiei J, axa Ox si dreptele de

ecuatii x = °si x = ; .

b) Determinati volumul corpului format prin rotatia graficului functiei

g :[0, ; ] ~ JR, g (x) =I (x) in jurul axei Ox.

" ~- -4 4

c) Aratati ca nJr(x)dx={n-l) Jr-2(x)dx, 'inEN, n~2.o 0

73. Pentru fiecare numa natural n se considera functia1/" :[0,+00 ) ~ JR,/" (x ) = .

1+lx-nl

a) Calculati 1.1; (x)dx .

b) Determinati intervalele de convexitate ale unei primitive oarecare a functiei hOI3 •

3n

c) Calculati }i~n J In (X ) dx .3n-1

74. Se considera functia I: JR ~ JR,I (x) = x: + 2 .x +3x

a) Aratati ca functia F :JR~ JR, F (x ) = JI (t) dt este strict crescatoare,o

b) Calculati f ~(x) dx .oX +1

I"I(t)dtc) Calculati lim ...:;:x'-- __

x~+oo X

l'

Variante de subiecte

4.1. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii anteriori

4.2. Variante de subiecte propuse spre rezolvare

4.1subiecte date la examenul de bacalaureat in anii anteriori

Testull Examen Bacalaureat, iulie 2012

sublectull1. Calculati modulul numarului complex (l + /)2.2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a graficelor functiilor f: lR ~ JR,

f(x)=x2+2x si g:lR~JR,g(x)=-x-2.

3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, inecuatia 2x+l~ 4 .4. Calculati probabilitatea ca, alegand la intamplare una dintre submultimile cu trei

elemente ale multimii A = {I, 2, 3, 4, 5}, elementele submultimi] alese sa fie termeniconsecutivi ai unei progresii aritrnetice.

s. Se considera vectorii ~ = i - 2} si ~ = ai - j . Determinati numarul real a pentru care

~.~=3.6. Calculati cosinusul ungbiului A al triungbiului ABC, in care AB = 4, AC = 5 si BC = 7.

Subiedul alII-lea

{

2X+Y+3Z=O1. Se considera sistemul x +2Y +3z = 0, unde m E lR.

x+y+mz=Oa) Calculati determinantul matricei sistemului.b) Determinati valorile reale ale lui m pentru care sistemul are solutie unica.e) In cazul m = 2, determinati solutia(xo,Yo,zo) a sistemului pentru care Xo > 0 ~i

2 2 2 3xo+Yo+zo = .

2. Se considera matricea A=(3 -2)EM2(lR) ~i multimea G = {X(p) =12 +pAlp E lR\ {-I}} .3 -2a) Aratati ca X(p)·X(q) E G, pentru orice X(p),X(q) E G.

b) Admitem ca (G,·) este grup comutativ avand elementul neutru X(O). Determinati

inversul elementului X(p) in acest grup.

e) Rezolvati ecuatia (X(p))l = 12+ 7A, unde X(p) E G.

Subiedul allll-lea'l, Se considera functia f: R ~ lR,f (x) = Xl -12x .

a) Aratati ca functia este crescatoare pe intervalul [2, + (0) . ..b) Calculati lim ~. !~-fW :

.. Ie) Determinati multimea numerelor reale a pentru care ecuatia f(x) = a are trei solutii :

reale distincte. •

1~

2.Seconsidenlfunctia 1:(-1, +<Xl)~IR, f(x) = 2x+3 .

.1 Aratati . x+2a/ tap ca once primitiva a luij" este strict crescatoare pe (-I, + 00) .

b) Calculati fl(X) dx.o z +I

2xf f(t)dtc) Calculati lim -,,-x __

x

Testul2 Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezerva

Subiectull1. Calculati partea reala a numarului complex (1 + 2if2. Se noteaza cu XI, X2 solutiile ecuatiei x2

- 3x + a = °undet a este un numar real.Determinati a pentru care x + x + x x - 51 2 1 2 - •

3. Se noteaza cu g inversa functiei bijective f: (0,+00) ~ (4,+oo),j(x) = 2x +3. Determi-

nati g(5) ....~ 4. ASeAco~sidera m~llimea A = {I, 2, 3, 4, 5}. Determinati probabilitatea ca alegand lai l~tiimp are una ~tre submultimile lui A, aceasta sa contina exact trei elemente.5 5. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(l 3) si B(7 12) D t . .u: ' y , . e ermman coordo-

• natele punctului M, stiind ca AM = .!.AB .'5 3

~ 6. Determinati x E (0, tr), stiind ca sinx + 2cosx 3.o 2 cosxU; Subiectul alII-leazcii1&.1Do

~.1. Se noteaza cu tx« b, c) determinantul matriceiA(a,b,c) =[~ ~

3a2 3b2

~ a) Calculati D(O,I, -1).

~ ~ ~~:~ali numerele reale x pen~. care m~tricea A(O, 1,x) are rangul egal cu 2.ee tri ghi I l c~ daca a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi ~i D(a b c) = ° atunci1&.1 un lU este isoscel. ,. ,\no

cj 2. Se considera inelul (Zs,+,) si functia f:Zs ~Zs' f(x)=x3 +2x2 +4x+3.1&.1is a) Calculati f(i) + f(3) .-e~ b) Descompuneti in factori ireductibili peste Z polinomul P=X3 +2x2 +4x+3

A'71 [X]

_ c) Aratati "fun . s E/Us .

~ '/ tl ca cllafnu este surjectiva.-e~

•

Testul3 Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea speclala

subiectul allll-lea

1.Se considera functia I: lR. ~ lR.,J(x) = ~ .x2 +3

a) Aratati ca functia I '(x).J x2 + 3 = 3- 9x , pentru orice numar real x.x2 +3

b) Detenninati asimptota spre +00 la graficuljc) Determinati imaginea functieij"

2.Se considera functia f: (0, +00) ~ R, f(x) = lnx.a) Arlltati ca functia F: (0,+00) ~ lR.,F(x) = xlnx-x este 0 primitiva a functieij.b) Calculati aria suprafetei plane delimitate de graficul functiei f, axa Ox si dreptele deecuatii x = 1 si x = e.

x x

c) Aratati cll (p + 1) ffP (t)dt + ffP+l (t)dt = XfP+l (x), pentru orice x ~ 1 ~i orice p > 0.1 1

subiectull1. Detenninati numarul real m stiind cll multimile A = {2} ~i B = {x E lR.lx2 + mx + 4 = O}

sunt egale.2. Determinati coordonatele varfului parabolei associate functiei f: lR. ~ lR.,j(x) =

=x2 -3x+2.3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia 31og

,x < 1.4. Calculati probabilitatea ca, alegand la intamplare unul dintre numerele naturale de 2

cifre, acesta sll fie format doar din cifre impare.5. Determinati numarul real a pentru care vectorii ~ = 37+ a} ~i v = a7+ (2a - 3) } sunt

coliniari.6. Calculati raza cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ell AB = AC = 5 si BC = 6.

Subiectul alII-lea

1.In M3(C) seconsideramatricele 13=(~ ~ ~Jsi A(X)=(CO~X ~ iS~XJ' XElR..° ° 1 isinx ° cosx

a) Calculati det (A(Jr» .b) Aratati ell A(x)· A(y) = A(x+ y)pentru orice x,y E R.

c) Determinati numerele reale x pentru care (A(X»2012 = 132. Pe multimea G = (0, 1) se defineste legea de compozitie asociativll

xo y = xy2xy-x- y+I

a) Aratati ca e = ~ este elementul neutru allegii de cornpozitie "0" .

b) Aratati ca oriee element din multimea G este simetrizabil in raport eu legea decompozitie "0 ".

~. / 1 .e) Demonstrati cli t :G ~ Jr\.+, (x) = ~ -1 este un izornorfism de la grupul (G, 0) la

grupul (ll(,·)

Subiectul allll-leaeX +e-x

1. Se considera functia f: JR ~ JR,j(x) = 2

a)Calculati lim _x_ .X-+i<X) f(x)

b) Demonstrati cli functia f este convexa pe JR.e) Aratati cli functia g: (0,+00) ~ JR, g(x) = f(Fx) este strict crescatoare pe (0, +(0).

"I "22. Pentru fiecare n E N* se considera numerele In = fx" ..Jt - x2 dx si In = f sin n xdx .

o 0a) Calculati J,.b) Calculati I,.e) Demonstrati ca J2n - J2n+2 - I2n , pentru orice numar natural nenul n....

IU

~:E5 Testul4 Examen Bacalaureat, august 2012...:. Subiedull~f 1. Aratati ca log2(Ji + FJ) + log2(Ji + FJ) = 2.

~ 2. Calculati distanta dintre punctele de intersectie a graficului functieij f: JR ~ JR, f(x) = x2 +5x+4 cu axa Ox.•~ 3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 3x + 3X+' = 4 .e~ 4. Deterrninati rangul terrnenului care contine Xl4 in dezvoltarea binomului (x +l yo , x > 0 .

) S. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctual A(3, 3) si este paralela cu dreapta d~ deecuape 3x+2y-I=O.~~ 6. Determinati masura unghiului C al triunghiului ABC. Stiind ca BC = 2, AB = Ji ~ie masura unghiului BAC este egala cu 45°.~,.~

Subiectul alII-lea

{

-x+ay+(2a+4)Z = 11. Se considera sistemul de ecuatii (a +2)x +ay +(a + l)z = 1 , unde a E lR .

(a+ I)x+(2a-I)y+3z =2

a) Aratati cli determinantul matricei sistemuluieste egal cu 3a2 + 9a2 - 3a - 9b) Determinap valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat.e) Pentru a = -2, rezolvati sistemul.

2. Se considera polionomul /=XS +4r +3, / EZs[X]'0) Aratati cli as = a pentru orice a E Zs'b) Affitap cli polinomul f este reductibil peste Zs .

e) Aratati ca polinomulfnu are radacini in Zs'

subledul allll-lea1. Se considera functia f: IR~ (0, + (0), f(x) = x +..Jx2 + 1 .

. . f(x)-I0) Calculap hm .

x ...•o xb) Determinali ecuatia asimptotei oblice spre +00 la ~aficul functieij. . . ~ A

c) Demonstrati ell, pentru orice numar real m > 0, ecuatia ftx) = mare 0 solutie umca m R.I

2. Pentru fiecare numar natural nenul p, se considera numarul I p = f x" eX' dx .o

0) Calculati I,.b) Aratati ca 2I P + (p + 1)1p-2 = e , pentru orice p > 3 .

. . 1 ( ~ ~ 5]e) Calculati lim 2" en + 2en + ...+ ne .x-H"OO n

Testul5 Bacalaureat 2012, Model MECTS (www.edu.ro)

Subledull1. Determinati numarul elementelor multimii A = {x E Z Ilx + 11 ~ 24} .

22. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a dreptei y = 2x -1 cu parabola y = 2x- 3x+1.

3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia ~l + 7x = I+ x . . .4. Se considera multimea zt = {I,2,... ,10} . Determinati numarul d~ submultimi cu 3

elemente ale multimii A, submultimi care contin exact 2 numere ~pare.S. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului [AB], unde A(I, -2) ~l B(3, 4).

6. Stiind ca x E (0, ;) si cos 2x = ~ calculati sin x.

Subiedul alII-lea

{

X + my + m' z = 0

1. Se considers sistemul de ecuatii mx + m2 y + Z = 0, unde m E JR . ~

m2x+ y+mz = 0 '5a) Determinati valorile lui m pentru care determinantul matricei si~temului este nul. ~b) Aratali ca, pentru nicio valoare a lui m, sistemul nu are 0 solutie (xo, Yo, zo) cu Xo , Yo, !

Zo numere reale strict pozitive. ~e) Aratati cli rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m E lR . ~

•147

2. Pe multimea IRse defineste Jegea de compozilie x. y = ~ (x + y + xy + 1) .

a) Verificati daca Jegea de compozitie •••" este asociativa,b) Aratati ca legea de compozitie ,,*" admite element neutru.e) Rezolvati ecuatia x * x * x = 3 .

Subiedul allll-lea1. Se considera functia f: IR~ 1R,f (x) = x3

- 3x + 2 .

a) Calculati lim f(x) .H_ fe-x)

b) Demon~tra? ca functiaj'este descrescatoare pe intervalul [-1,1].e) Determinati mE IR pentru care ecuatiaj'( x) = mare trei solutii reale disti tt' mete.

2. Se considera sirul (In t", ' In = £ (1- x2) ndx .

a) Calculati /z.b) Demonstrati ca sirul (In t,este convergent.

e) Demonstrati ca (2n +1) In = 2nIn-I, pentru orice n ~ 2.

iil Testul6 Examen Bacalaureat, iunie 2011a:i Subiedull~ 1. Aratati ca (v'2, .J5)nz = {2} .

~ 2. Dete~ati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie ac( parabolei Y = x2 + mx + 4 .a.:::)UU•

•48

de axa Ox.

e) Aratati ca (4n+2) rt" (x)dx+n rr-' (x)dx = 0.

are doua radacini distincte, complex conjugate, atunci p ~i q sunt numere reale si

p2 <4q.e) Determinati a E C pentru care polinomul f are doua radacini distincte, complex

conjugate.

subiedul allll-lea1. Se considera functia f: (1,00) ~ 1R,f(x) = In(x+I)-ln(x-1).

a) Aratati ca functiaj'este strict descrescatoare pe (1,+00).b) Determinati asimptotele graficului functieij"e) Calculati lim xf(x) .x ...•_

2. Se considera functia f: [1,2] ~ 1R,f(x) = x2- 3x + 2.

a) Calculati f f( -Fx)dx .

b) Calculati aria suprafetei determinate de graficul functiei g: [1,2] ~ lR,g(x) = f(x) six

Testu 17 Examen Bacalaureat, august 2011

Subiedull1. Calculati ratia progresiei geometrice (bn L" cu termeni pozitivi, daca b, + b2 = 6 si

b3 +b4 = 24.2. Determinati a E IR pentru care functia f: IR ~ 1R,f(x) = (1- a

2)x + 4 este constanta,

3. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatia (%J <(jJ4. Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1+v'2t .5. Calculati distanta de la punctul A(2,2) la dreapta determinata de punctele B(l ,0) ~i

ceO,l).6. Triunghiul ABC are masura unghiului A de 60°, AB = 4 si A C = 5. Calculati AB· A C .

Subiedul alII-lea1. Se considera multimea H = {A E M2 (1R) I A2 = A} .

a) Aratati ca (~ ~) E H .

b) Demonstrati ca, daca A E H ,atunci An E H ,pentru orice numar natural nenul n.e) Aratati ca multimea H este infinita.

2. Polinomul f = (X + i)'o + (X - i)'o are forma algebrica f = aIOX'o + a9X9

+ ... + a,X + ao,

unde ao,a" ...,a,o E C .a) Determinati restul impartirii polinomuluifla X - i .b) Aratati ca toti coeficientii polinomuluifsunt numere reale.

e) Demonstrati di toate radacinile polinomuluifsunt nurnere reale.

Subiedul allll-lea1. Se considera functia I: R ~ R,/(x) = X

S -5x+4.

a) Calculati lim I(x) - 1(2) .x-+2 x-2

b) Aratati ca graficul functieij'are un punct de inflexiune.c) Aratali ca, pentru orice m E (0,8), ecuatia I (x) = m are exact trei solutii realedistincte.

2. Se considers functia g: R ~ R, g(x ) = e-x .

a) Calculati £ g(x)dx .

b) Calculati £xSg(x3)dx.

e) Demonstrati ca sirul (In Ll definit prin In = rg( x3)dx este convergent.

Testul8 Bacalaureat 2011, Model MEGS (www.edu.ro)

ut Subiedulla::i 1. Calculati modulul numarului complex z = 1- iJ3 .5 2. Determinati multimea valorilor functiei I: lR.~ R, I (x) = x2 + X + 1.

~ 3. Stiind ca doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b3 = 6 si bs = 24, determinati~ termenul b7•

~~ 4. Determinati x > 0 , stiind ca loga x = 2loga 3- 3loga 2 , unde a > 0, a;t 1.cU 5. Scrieti ecuatia dreptei care contine punctul A (3,2) si este perpendiculara pe dreapta•~ d:x+2y+5=0.z-ei:i2 6 ~ .. d (") 2.J2.~ • ."tun ca x E 2:'" si sin x = -3- ,calculati cos x .~; Subiectul alII-leaui 1.Fi, matricea A(x) "(~ -~x ::Jdin multimea M 3(R).~ 0 0 1::i:. a) Calculali (A(2)_A(O))201O.I:~ b) Aratati ca A (x ) .A (y ) = A (x + y) , oricare ar fi x, y E R .

~ c) Demonstrati ca matricea A (x) este inversabila ~i calculati inversa matricei A (x) .!:e 2. Pe multimea G = (0,1) se defineste legea de compozitie asociativa x * y = xy~ 2xy-x- y+1

a) Verificati daca e =..!. este elementu1 neutru al legii " * H.

2b) Aratati ca orice element din multimea G este simetrizabil in raport eu legea ,,* H.

e) Demonstrati ca functia I: G ~ R:, I (x ) = ..!. -1 este un izomorfism de lax

grupql( G,*) la grupul (ll(,.).

subiedul allll-lea1.Fie functia I: lR.~ lR.,J(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1.

a) Calculali f'( 5) .

(/(n+1)-1)n

b) Calculati n~~ I(n) -1 .

e) Aratati ca ecuatia f'(x) = 0 are exact trei solutii reale distincte.

I (x2+x+1f-x2. Fie sirul (In L.o,In = f x2 + 1 dx .

o

a) Calculati 10,

b) Verificati daca 12 - 10 E Q.c) Aratati ca 14n+1 E Q , oricare ar fi n EN.

Testu 19 Examen Bacalaureat, iunie 2010

Subiedull

1. Calculati ((1- i)(i -1)r .2. Aratati ca functia I: (-3,3) ~ R,J (x) = In 3- x este impara .

3+x3. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2 + 2x - 8 < 0 .4. Cite elemente din multimea A = {1,2,3,...,100} sunt divizibile cu 4 sau cu 5?

5. In sistemul de coordonatexOy se considera punctele M(1,-2), N( -3,-1) ~i p( -1,2) .Determinati coordonatele punctului Q astfel tncat MNPQ sa fie paralelogram.

6. Triunghiul ABC are AB = 6, A C = 3 ~i BC = 5 . Calculati lungimea tnaltimii [AD] .

Subiedul alII-lea

{

X-2Y-8Z = -65 [1 -21.Fiesistemul 3x+y-3z=22 ,unde x,y,zER si A= 3 1

x+ y+z = 28 1 1sistemului.a) Aratati ca rangul matricei A este egal cu 2.b) Rezolvati sistemul in lR.x R x R .c) Determinati numarul solutiilor sistemului din multimea N x N x N .

-8J~3 matricea asocia4

2.Fie multimea de matrice A = {(: !)Ia,b E z,}.a) Determinati numarul elementelor multimi] A.

bl Aratati ca exista 0 matrice nenula MEA astfel incat [ 3. i) M [6 6]'/ t' -1 3' = 6 0 .

c) Rezolvati in multimea A ecuatia X2 = 12 .

Subiectul allll-lea

1.Se considers functia t :JR \{-l} -+ JR, /(x) = arctg~.x+l

a) Determinati ecuatia asimptotei spre +00 la graficul functieij"b) Studiati monotonia functieij.c) Determinati punctele de inflexiune ale functieij"

n+12 -12.Fie sirul (InLI,In = f ~.

n X

a) Aratati ca sirul (In LI este strict crescator.

b) Aratati ca sirul (In LI este marginit,

c) Calculati !im n (2 - I )n-++oo n

Testu 110 Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezerva

Subiectull

1.Aratati ca numarul i.J2 -1 este solutie a ecuatiei Z2 + 2z + 3 = 0 .2.Fie functiile /: JR -+ JR,f(x) = 2x+ a si g: JR -+ JR,g( x) = x2 -a . Determinati a E JR

pentru care (J 0 g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR.

3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia .Jx2 - 2x + 1 = x + 1 .

4. ~eterminati numarul elementelor multimii A = {I,33 , 36,39, •.• , 320IO} •

5. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A (3,5), B (-2,5) si C (6, -3) .

Scrieti ecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] , in triunghiul ABC.

6. Calculati sin!!....12

Subiectul alII-lea

{

x+ y+az = 1

1.Fie sistemul x + 2ay + z = -1 , unde x, y, Z E JR si a este parametru real.

2ax + y + ( a + 1)z = 0a) Rezolvati sistemul pentru a = O.b) Verificati daca pentru a = -1 sistemul este compatibil.

c) Determinap a E R pentru care sistemul are solutie unica,2.Fie m, n E R si polinomul f = X3

- 3X2 + mX - n care are radacinile XI' x2' X3 E C .a) Determinati valorile reale m si n pentru care XI = 2 + i .b) Dete.pninati valorile reale m si n pentru care restul impartirii polinomuluifla

polinomul (X _1)2 este egal cu O.c) Aratap ca, daca toate radacinile polinomuluifsunt reale si m > 0, n > 0, atunciXI' X2' X3 sunt strict pozitive.

subiectul allll-lea

1.Fie functia f :JR -+ JR, /(x) = {lx3 -3x+ 2 .a) Arata!i ca dreapta de ecuatie y = x este asimptota oblica pentru graficul functieij"

spre +00.b) Studiap derivabilitatea functieij" in punctul x = -2.

I. I' ln j'(x)

c) Calcu ati 1m --- .x->+«> Inx

2. Se considera functia i :JR -+ JR, / ( x ) = cos x2 •2-cos x

a) Calculati f /(x)dx.

b) Aratati ca orice primitiva a functieij" este strict crescatoare pe intervalul [ 0, ~ ] .

r2Kc) Calculati 1 x/(x)dx.

Testu 111 Examen Bacalaureat, august 2010

Subiectull1.Care dintre numerele 2if6 si 3ifj este mai mare?2. Determinati multimea valorilor functiei i .JR -+ JR, / (x) = Ixl·3. Determinati m E JR pentru care ecuatia x2

- x + m2 = 0 are doua solutii reale egale.

4.Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1+ \i2t .5.In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(2,1), B( -2,3), C(I,-3) si

D (4, a) , unde a E JR . Determinati a E JR astfel incat dreptele AB ~i CD sa fie paralele. i6. Fie multimea A = {0; ~ ; ~ ;n; 3; } . Care este probabilitatea ca, alegand un element din ~

multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin" x + cos' X = 1 ? ~~w~~

•153

Subiectul alII-lea

[

0 1 OJ1. Fie matricea A = ° ° 1 EO )(IR) . Pentru n E N*, notam B; = An + An

+1 + An

+2

•

a ° °a) Aratap ca A20lO = a670

• I) .b) Determinati a E JR pentru care det (BI ) = ° .c) Determinati a E JR pentru care toate matricele Bn' n E rf sunt inversabile.

2. Pe multimea JR se defineste legea x * y = 2xy - 3x - 3y + m, m E JR . Fie multimea

M=lR\{%}.

a) Determinati m E lR astfel incat x * Y EM, pentru orice x, Y EM.b) Pentru m = 6 aratati ca (M, *) este grup.

c) Pentru m = 6, demonstrati ca functia I: M ~ lR*,f(x) = 2x-3 este un izomorfism

intre grupurile (M, *) ~i (lR*,.) .

Subiectul allll-lea•..• 1. Se considera functia I: lR ~ lR,f (x) = ·</2x-I - \f2x + 1 .w~ a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punetul de abscisa x = 0, situat pei graficul functieij"S b) Determinati ecuatia asimptotei orizontale la graficul functieij'spre +<xl .

c) Calculati lim (f(I)+ f(2)+ ... + I(n)]i&rn-HOO -\f2n + 1

u.:•

~s~ I "dxU 2. Se considera sirul (I) I = J--::-x_-U n n>I' n 2 1 .• - 0 x +x+

a) Calculati II + 12 + I) .b) Aratati ca sirul (In LI este descrescator.

c) Calculati lim In .n-HOO

~uVIw~ Testul12 Bacalaureat 2010, Model MECTS (www.edu.ro)a:~ Subiectulld~ 1. Determinati partea reala a numarului complex (Jj+ i) 6

•

U~ 2.Seconsiderafunctia f:(O,OO)~lR,f(x)=~ .Calculati (Jof)(SI2).

~ 3. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia cos 2x + sin x = °.~ 4. Se considera multimea M = {0,1,2,3,4,S}. Determinati numarul tripletelor (a,b,e) cu

proprietatea ca a,b,e E M si a < b < e .•S4

5. Calculati distanta dintre dreptele paralele de ecuatii x + 2y = 6 ~i 2x +4Y = 11 .

6. paralelogramul ABCD are AB = 1,BC = 2 , si m (<r.BAD) = 60° . Calculati produsul--

scalar A C .AD

subiectul al II-lea

{

ax+bY+ez =b

1. Pentru a, b, e E JR' , se considera sistemul ex + ay + bz = a , x, Y, z E lR .bx+cy+az =c

a) Aratati ca determinantul sistemului este !!. = (a +b +exa2 +b2 +e2- ab - ae - be) .

b) Rezolvap sistemul in cazul in care este compatibil determinat.c) ~tiind ca a2 + b2 +e2

- ab - ae - be = ° ,aratati ca sistemul are 0 infmitate de solutii(x, y, z), astfel indit x2 +l = z -I .

2. Se considera multimea G = {( ~ :) a.b;c E Z,}.a) Determinati numarul elementelor multimii G.b) Dati un exemplu de matrice A E G eu proprietatea ca det A :t; 0 ~i det A2 = 0 .

cJ Determinati numarul solutiilor ecuatiei X' = [~ nx E G.

Subiectul allll-lea

1. Se considers functia I :JR\ {-I} ~ JR,I(x) = x2

+ X + 1 .x+I

a) Determinati ecuatia asimptotei spre +<xl la graficul functieij.b) Calculati 1'(x),x E JR\ {-I} .c) Demonstrati ca functia Ieste concava pe intervalul (-00, -I) .

2. Pentru orice n E If se considers functiile In :JR~ JR,In (x) = Isin nxl si numerele

In=t!.(x)dx.1r X

a) Calculati r12(X ) dx .

b) Aratati ca In ~ In 2 .

c) Aratat! ca In ~3..(_I_+_I_+ ...+_1).1> n + 1 n + 2 2n i

I

~~~w~~

•1SS

4.2. Variante de subiecte propuse spre rezolvare

Testul1Subiectull1 Fie (a) 0 progresie aritmetica cu as + all = 20. Calculati ag.• n n~l

2. Fie a E lR ~i functiile I,s :lR ~ lR, j(x) = 3x + 2 ~i g(x) = 2x + a. Determinati valorile

lui a pentru care log = g 0 I .3. Rezolvati In multimea (0, +<Xl) ecuatia x2 + 91og

, x = 8 .

4. Care este probabilitatea ca, alegand 0 multime din multimea submultimilor nevide alemultimii {I, 2, 3, 4, 5}, aceasta sli aiba un numar prim de elemente.

5. Fie m E lR ~i vectorii ; = i1+ ], ~ =i+ m2] • Aratati cli unghiul vectorilor ;, ~ este

ascutit.6. Aratati cli sin x + .J3 cos x :5: 2 , oricare ar fi x E R

Subiectulll

1. Fie multimea M = {X E ~(JR.) 1 X2 = 3X}.

a) Aratati ca ( 4 2 ) EM.-2 -1

b) Daca (: ;)EM ,arataticaa+dE {0,3,6}.

c) Aratati ca dacaX; Y E M ~iX + Y E M, atunci XY = -IT.

2. Pe multimea (0, co) se defineste legea de compozitie x * y = ~ .x+y

a) Aratati ca legea ,,*" este asociativa.b) Aratati ca legea ,,*" no are element neutru.c) Rezolvati ecuatia x* x* x* x = 5, x E (0, co).

Subiectullll

1. Fie functiaj": JR. ~ JR., I(x) =.J x2 + 2x + 4 - 2x .

a) Determinati ecuatia asimptotei spre +co la graficul functieij.b) Aratati cli/este strict descrescatoare pe JR..c) Aratati caj(ej <j(x + 1), oricare ar fi x E JR. '.

"2. Fie In = fex cosnx dx, n E rf.

oa) Calculati II.

b) Aratati ca IInl :5: 80, oricare ar fi n E I~t.

c) Calculati limln•n ...• ""

Testul2subiectull1. Fie (an ).~I0progresie geometrica de numere reale, cu proprietatea ca al + a2 + a3 = 2

~i a4 + as + a6 = 16. Determinati ratia progresiei.

2. Fie I: (--<X),-3)u(3,+<Xl) ~ JR.,I(x) = In ::~ . Aratati ca/este functie impara.

3. Rezolvati In JR. ecuatia .J3x - 2 = 1- 2x .

4. Determinati n E N pentru care n! + (n + I)! < 840.

5. Fie u = 2T -3J si v = 4T + J. Calculati 13u -v I·

6 Fie x E (tr 3tr) cu sinx = _~. Calculati tg = ~.• , 2 12 2

Subiectulll

1. Se considera matricele A = ( 2-1

a) Calculati inversa matricei AB.

b) Rezolvati ecuatia det(A + xB) = 0, x E R

-1). (-1~l B =3 1

c) Aratati ca (A + BY *- h oricare ar fi n E N·.

2. Pe multimea Z se considera legea de compozitie x * y = 3.xy+ 3x + 3y + 2, x, Y E Z .

a) Aratati cli multimea H = {3k + 2 I k E Z } este parte stabila a lui Z In raport cu legea ,,*".b) Decideti daca ,,*" are element neutru.c) Rezolvati ecuatia (x * x) * x = 8, x E Z .

Subiectullll

1. Fie functiaj": JR. ~ JR. ,j(x) = eX - 1.

a) Calculati lim x I(!).x~oo X

b) Studiati derivabilitatea functiei g : JR. ~ JR., g(x) = ~I(x) , In punctul x = 0.

c) Calculati lim (1(-1) + 1(-2) + ... + I(-n) + n).n ...•""

1 n

2. Fie sirul (1n)n~I' In = f.J ~ 1 dx, n ~ 1.o x +

a) Calculati II.1 1

b) Aratati cli J2 :5:In :5:--, Vn ~ 1., 2(n+1) n+1

c) Calculati lim n(1 n+1+ In_I) .n ...• ""

•157

TestulS

Subiectull

. tr'\{} tfel i ~ z+i1.FIe z E \l.- i as e mcat --. este nurnar real. Calculati modulullui z.I+IZ

2. Fie a E lR ~i functia bijectiva f: lR.~ lR ,.fix) = x + a. Determinati valorile lui a pentrucaref=jl.

3. Rezolvati in lR ecuatia sinx = cos2x.4. Cate numere naturale de trei cifre au eel putin 0 cifra impara?5. Fie dreptele d, si d2 respectiv de ecuatii: x - 3y + I = 0 si 3x + y + 2 = 0, a un numar real

si P punctul de coordonate (0, a). Determinati valorile lui a stiind ca Peste egal departatde d, si d2•

6. Triunghiul ABC are aria egala cu .J3 , latura AB egala cu 2 si unghiul A = 7r . Calculati Be.3 .

Subiectulll

....IWa:t-

:i::JC

. . (I1. FIe matricele A = 2o1

....:.<....I~::JUU.

e

2.Fie sirul (In)n";?!, In = fx lnn X dx .,a) Calculati I,.b) Aratati ca sirul (In)n";?1 este monoton si marginit.c) Calculati lim In .

n-+oo

o

Testul6

subiectull

1. Determinati numarul elementelor multimii A = {x E Z I [ x; 1] = 3} .

2. Fie functia bijectivaj": (1, 00)~ [2, oo),j(x) = ~ - 2x + 3. Determinatij"".

3. Rezolva!i ecuatia arccos X + arccos( - ~ ) = 7r , X E [-I, 1].

4. Care este probabilitatea ca alegand 0 multime din multimea submultimilor multimiiA = {I, 2, 3, 4, 5} , ea sa contina elementul I?

5. Determina!i numerele reale a si b stiind ca punctul A(1, 2) este punctul de intersectie adreptelor de ecuatii: 2x + ay = 4 si respectiv x - y = b.

6. Fie x E lR astfel incat ctgx - tgx = 4. Calculati tg2x.

Subiectulll

(1 2 3 4 5)1. Fie permutarea a = E S5 .1 3 4 5 2

a) Determinati inversiunile permutarii 5.b) Determinati numarul de elemente ale multimii {o"] k E Z}.c) Fie i E {2, 3, 4, 5} si 't transpozitia (1 i). Aratati ca err *- 'to".

2. PelR defmim legea x* y = ~X3 + l +2012 .

a) Dati exemplu de doua numere reale x si y astfel incat x * y este numar natural.b) Aratati ca lR este grup in raport cu legea ,,*".c) Aratati ca grupul (R , *) este izomorf cu grupul (R , +).

Subiectullll

1. Fie functia f: (0,00) ~ lR, f(x) = I~xl .a) Studiati derivabilitatea functiei f in punctul Xo = 1.b) Determinati punctele de extrem ale functieij"c) Determinati multimea valorilor reale ale lui m pentru care ecuatia j(x) = m are exact

trei solutii.2. Fief: lR~ R ,j(x) = r! - e-X

•

a) Calculati aria suprafetei marginite de graficul functiei J, axa Ox si dreptele x = -1, :;;:respectiv x = o. "'"

b) Aratati ca orice primitiva a functieij'este functie convexa. I

~c) Calculati lim--;- ff(t) dt. ~

x-+Ox 0 ::::Ew~::::E

•161

Testul7Subiedull1. Aratati ea numarul (l+.fi) { 2012+.fi} este numar natural, unde {x} reprezinta partea

fractionara a numarului x.2. Dreptele x = 1 si x = 2 sunt axe de simetrie ale grafieului functiei f: IR ~ IR . Aratati ca

functia f este periodica.

3.Rezolvatieeuatia 2(eosx-sinx)= . 1 ,XE[O, 1rJ.smx+eosx 2

4. Care este probabilitatea ea alegand unul din numerele ~ , ~ , ~ , ~ ,~ ,A; , el sa fie

numar impar?s.In triunghiul ABC notam eu M mijloeullaturii BC si eu N mijloeullaturii AC. Aratati ea

3 AB = 2 AM - 2 BN .

F. (1r) . 5 .6. ie x E -, tt eu sm x = - . Calculati etg2x.2 13Subiedulll

I1. Pentru fiecare m E Q ,e noteaza cu A(m) = [ ~

~Q a) Calculati det(A(m», m e Q.

b) Aratati ca A(m) este inversabila, orieare ar fi m e Q .

c) Calculati (A(O)Y, n EN·.

2 -3]1 -1 .m 1

Testul8Subledull1. Fie Z E C astfel incat 2z! + Z + 2 = 0. Calculati [z],2. Determinati a E IR stiind ea functia f: IR ~ 1R, j{x) = d + 2x + 3 este monotona.3. Rezolvati ecuatia 4'<- 3 . 6'<+ 2 . 9" = 0, X E IR .4. Determinati numarul natural n, n :2: 2, stiind ea numarul functiilor strict monotone

f: {I, 2} ~ {I, 2, ... ,n} este egal eu 20.5. Afiati eoordonatele simetrieului punetului A(I, 2) fata de dreapta x - 2y+ 5 = 0.

6. Triunghiul dreptunghie ABC are m( 4:A) = 90°, m( <r.B)= 30° si raza eereuluieireumseris egala eu 6. Calculati perimetrul triunghiului ABC.

subiedulll

1.Fie permutarea u=(1 2 3 4) ~ifunetiaf:S4~S4' f(x)=u.x.3 2 1 4

a) Aratati ca o este permutare impara.b) Fie x E S4. Arata? ea f(x) este permutare para daca ~inumai dacax este permutare impara,

c) Aratati ea, indiferent de ordinea faetorilor, produsul eelor 24 de permutari din S4 estediferit de cr.

2.FieG={ A(x) =[l~:X ~ l~~J I xER I{-n}a) Aratati ea A(x) . A(y) E G, orieare ar fi x, y E JR \ {-~}.

b) Demonstrati ea G este grup In raport eu inmultirea matrieelor.

c) Aratati ea functia f: (JR.,.) ~ (G,.) f(x) = A ( x ~1

) este izomorfism de grupuri.

Subiedullll

1. Fief: (0, 00)~ JR, f(x) = In ~ .x+l

a) Aratati ea f este strict crescatoare pe R.

b) Calculati lim x f(x) .,-+00

u.:.'5s~o 2. Pe (0, 00) se defineste legea de compozitie x. y = .Jxlog, y .u;; a) Aratati ca daca x • y = 1, atunei x = 1 sau y = 1.~ b) Demonstrati ea multimea G = (0,00) \ {l} este grup In raport eu legea ".".

ffi c) Rezolvati ecuatia x • x • x = 3, x E (0,00).~:E Subiedullll.a 1. Fie functia f :[1,00) ~ JR, f(x) = Inx-2 x-I.~ x+l~ a) Aratati ea functia f este strict crescatoare,ffi b) Aratati ca grafieul functieij'nu are asimptota spre +00."" .\ . 1 1 1 1 1d c} Aratati ea -+-+- + ... + -- < -In(n+l) pentru orieare n E N·.:. 3 5 7 2n +1 2' .

o 1-e 2. Fie functiaj": JR ~ JR, f(x) = --.~ 1+~~ a) Calculati aria suprafetei marginite de grafieullui f,axa Ox ~idreptele x = 0, x = 1.

~ b)Calculati llx2f(x)dx.

c) Calculati lim n r x2nf (x) dx .n-+ao 1

c) Aratati ca -.!. < f(x) < __ 1_, orieare ar fi x E (0,00).x x+I

2. Fie sirul (In)n~I' In = 1x2n sin x dx .

a) Calculati II.

b) Aratati ea °s In s Jj ,orieare ar fi n EN·.4n+2

c) Calculati lim n In .n-+OO•

16162

Testul9Subiectull1. Determinati numarul natural n astfel incat 1 + 3 + 5 +...+ (2n -1) + (2n + 1) = 625.2. Aratati ca functiaj": lR.~ lR.,j(x) = x5

- 2x3 + 3 nu este injectivli.3. Rezolvati ecuatia cos2x + cos22x = 1, x E [0, n],4. Cate functiij": {l, 2, 3} ~ {l, 2, 3, 4, 5} auj(l) *j(2).5. Fie m E lR. astfel ineat veetorii u = T + 5 7 ~i v = 2 T + m 7 sunt eoliniari. Aratat] ca

1 v 1=2£6.6. Calculati aria unui triunghi eehilateral inscris intr-un cere de raza 1.

Subiectulll

1. Fie multimea M= {A E M2(lR.) 12A2 +A +h= 02}.

a) Aratati c' matricea [-1~ -o~J apartine multimii M

b) Demonstrati ca oriee matriee din M este inversabila,ul c) Aratati ea multimea Mare 0 infinitate de elemente.i 2. Fie (S4, . ) grupul permutarilor de grad 4 ~i a = G ~ ~ :}c

a) Determinati ordinul permutarii o in grupul S4.b) Aratati ca multimea H = {r E S41 't permutare para} este subgrup al grupului S4.c) Aratati ea daca f: (S4'·) ~ (S4') este morfism de grupuri, atunei

f(a)*G ~ : ~}

i SubiectulllJcr:~ 1.Fief:(0,cx:»~lR., f(X)=(x+I)ln(I+~l~• a) Determinati ecuatia asimptotei spre +ex:> a grafieului functiei j.a b) Aratati eaf este strict descrescatoare.

11'1U,IZ<CDa::U,I

""a

u:.

.U,I::r:v~oa::Cz-e~

,c) Calculati lim (f(l) + f(2) + ... + f(n));;.

n ...•'" 2 3 n+1

2. Fief: JR ~ R, f(x) = TX' si sirul (In)n~' , In = f f(x)dx .

a) Calculati !xf(x)dx .

b) Aratati ea sirul (In)n este monoton si marginit.

c) Calculati nl~ r'f(x)dx.

•

Testul10

subiectull1. Natati ea log23 > log34. 4 2 .. _ ..2. Fie funetiaf: lR.~ lR.,j(x) = x - 2x - 3. Determinati numarul punetelor de mtersecns a

grafieului funetieife.u axa Ox.3. Rezolvati in lR. ecuapa lo&(~ + 2) = log.Sx,4.lntr-o clasa sunt 20 de fete si 10 baieti. Cate eehipe mixte formate din 3 fete si 2 baieti se

pot forma eu elevii din clasa?5. Fie punetul A(1, 2) si dreapta d de ecuatie x - y - 3 = 0. Determinati eoordonatele

pieiorului perpendieularei din A pe d.6. Fie triunghiul ascutitunghic ABC. Aratati ea sinE > eosC.

subiectulll

1. Fie M = {A E MlC lR.) 1 A2 = At}, At este transpusa matrieei A.

(1 0) . luia) Aratati ea matrieea ° ° apartme Ul M

b) Daca A E M si A este inversabila, calculati det(A).

c) Daca A = ( : ~) E M ~i det(A) = 0, aratati ea cl + b2 - a = 0.

2. Fie multimea G = {fa : IR ~ lR. Ij,(x) = ax + 3(1 - a), a E JR "}.a) Aratati ea fa 0 J" = fab' Va,b E JR*.b) Demonstrati ca G este grup in raport eu operatia de eompunere a functiilor.c) Determinati a E 1R" astfel tncat (I.0 I. 0 fa )( x) = 8x - 21 , orieare ar fi x E lR. .

SubiectulllJ

2x1. Se considera functia f: JR \ {1,2} ~ JR, f(x) = 2 •

x -3x+2a) Determinati ecuatiile asimptotelor vertieale ale grafieului functieij.,b) Calculati lim (f(x))x.

x ...• '"

c) Rezolvati eeuatiaf"(x) = 0, x E lR.\{1,2}., IX

2. Fie functiaj": (0, cx:» ~ R, f(x) = f-2- dl .01 +2

a) Calculatiji l),

b) Aratati ea f(x+2)+2 f(x) = _1_, orieare ar fix > 0.x+l

c) Calculati lim x f(x) .x ...• '"

165

Testull1Subiectull1. Fie Z E C cu [z] = Iz - 11· Calculap partea reala a lui z.2. in ~ctiile f, g :R ~ R, .f{x) = x2

-:- 2x :+-.3~i g(x) = -~ + 4x + a, a E R. Detenninativalonle reale ale IUl a pentru care imaginile celor doua functii au exact un element incomun.

3. Rezolvati ecuatia 23x + 1 = 32x, X E IR .

4. Cate submultimi ordonate cu 3 elemente, ale multimii {1, 2, 3, 4, 5}, contin elementul I?S. Fie punctele A(-I, 3) si B(O,4). Determinati coordonatele simetricului lui B fata de A. .6. In triunghiul ABC, punctul D E (BC) este piciorul bisectoarei din A a triunghiului si RI

R2 sunt razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD, respectiv ACD. Aratati ca dac~RI =R2, atunciAB =AC.

Subiectulll

1. Fie matricea A = [~ ~ ~J.223

•...• a) Calculati rangul matricei A2 - h.~ b) Determinati numerele reale a si b astfel incat A2 = aA + bl-;i c) Determinati inversa matricei A.

~ 2. Pe multi mea G = (I,<Xl) definim legea x * y = .!.~x2y_ x2 _ y2 + 5.• 2

a) Aratati ca x * y = ~±(X2 _1)(y2 -1)+ I, oricare ar fi x, y E (1, oo),

b) Demonstrati di G este grup in raport cu legea ,,*".

c) Demonstrap ca functia j": (0, co) --+ (1, oo), f(x)=-./2x+I este izomorfism de lagrupul «0, =). . ) la grupul (G, =).

~Z-eii:UI

~ Subiectullll.a 1.Fief:R~ R, f(x) = eX' -1-x2.\I)

~ a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul de pe grafic, de abscisa Xo = I.':i b) Aratati ca ~x) ~ X4, oricare ar fi x E R .a::~ c) Studiati derivabilitatea in punctul x = °a functiei g : lR. --+ R, g(x) = {/f(x) .ci I

~ 2. Fie sirul In = f(x2 +2x+2)" dx, n EN'.U 0~ a) Calculati II.~ b) Aratat] ca lim In = co .Q n~C(l

~c) Calculati lim ~(2n + 1) I - 2n I ).

n-+oo 5n n n-i

estul12

S&lbledull1 1 1 1 - turl. a umarul + + + -- este numar na a.

1. ~tal1 c n 1+J3 J3+ J5 J5 +.fi Ji + 3. f' {-2 -I ° 1 2} --+R 0 functie imparli. Caiculatif(-2) . f(-I) . f(O) . f(1) .Fle· , ,"2.

./(2).Rezolvati ecuatia {/I- x = x -1 ,x E R.

3. rminati numarul de elemente ale unei multimi care are exact 16 submultimi eu unof Dete t

• nUInMimpar de elemente. _., A _ • ••• '"

5. Fie punctele A(-I, 0), B(2, -3) si C(3, -2). Scrieti ecuatia inaltimii din A a triunghiuluiABC.

Ar3tati ea cos2100 + cos250° + cos270° = ~.~ 2Subiectulll

1. Fie multimea M= {X E M2(C) l.r = 02} si A = (~I ~3)'

a) Verificati daca A E M.b) Aratali eli daca X E M, atunei X2 = O2.

c) Aratati eli ecuatia y2 = A nu are solutii in Mz(C).

2. Pe intervalul (2, co) se considerli legea de compozitie asoeiativli x * y = (x - 2)ln(y-2)+ 2.

a) Aratati cli legea de compozitie ,,*" are element neutru. "b) Determinati elementele nesimetrizabile din intervalul (2, co), in raport eu legea ,,* .c) Rezolvati ecuatia x * x * x * x = 5, x E (2, oo},

Subiectullll

1.Fie functiaj": IR ~ IR ,.f{x) = r! + x - 1.a) Aratati ea functiaj" este bijeetivli.

b) Dete~ati asimptotele grafieului functiei g : IR' --+ R, g(x) = / (~) .

c) Fie sirul (x.)n~l definit astfel: XI = -1 si xn+l = f(xn)· Calculati }~ xn'

eosx2. Fie functiaj": R --+ R, f(x) = 1 . 2 .

+sm xa) Calculati aria suprafetei marginite de graficul functiei J, axa Ox si dreptele x = ° si x = 1t.

2,.b) Calculati f x f(x) dx .

o

c) Calculati lim -;"f(f(t)-I) dx.x •..•ox 0

•167

Testul13

Subiectull1. Cate numere rationale contine multi mea {.Jl,Fl,.J3 ,..., .J2012} .

2. Fie functia bijectivaj": lR ~ lR ,fix) = x3 + X + 2. Calculati (rl0 r')(2) .

3. Rezolvati ecuatia sinx+J3 cosx = 0, X E [0, 21t).

4. Cate permutari ale multimii {I, 2, 3, 4, 5} au pe prima pozitie un numar par?. I· C3 C3 C3 C3 C45. Demonstrati ega itatea: 3 + 4 + 5 + 6 = 7·

6. In triunghiul ABC are loc relatia sinA = 2 sinE cosC. Aratati ca triunghiul ABC esteisoscel.

Subiectulll

1.Fiemultimea M={(~ :) I a,bEQ} si A=(: ~).a) Aratati ca orice matrice din multimea M, diferita de O2, este inversabila.

b) Aratati ca daca X E M2(Q) si AX =XA, atunci X E M

c) Rezolvati ecuatia X2 = A, X E M2(Q).

~ 2. Fie multirnea G = {fk: lR.~ lR If,t{x) = 3kx + 2· 3k - 2, k E Z}.

....•wa:l-

i::::IQ

IC(....•-ea..::::IUU.

a) Sa se arate ca h 0 fp = h+p' oricare ar fi k,p E Z.

b) Sa se arate ca G este grup in raport cu operatia de compunere a functiilor.

c) Sa se arate ca multimea H = {hk I k E Z} este subgrup al grupului (G, 0) .::::IZ-e15 Subiectulllla..

~ 1. Fie functiaj": lR ~ lR.,j{x) = arctgx - arctg(x + I).a) Determinati punctele de extrem ale functieij"

b) Determinati numarul de solutii reale ale ecuatiei jix) = m, mER

::::IUIIIWZ><CDa:w

""c:ic) Aratati ca f(x) > --i-I ' oricare ar fi x E [0,(0).

X +• 1

~ 2. Fie sirul (In)n<!l,In = fxn sinx dx .

< °~ a) Calculati II.a:~ b) Aratati caIn + n(n - I)In-2 = nsinl - cosl, oricare ar fi n E N, n ~ 3.-e~ c) Calculati lim n In.

n-+oo

•168

iestul14SlibledUl1 . .

1+ 1 1+211. Determinati partea reala a numarului complex z = 1- 2i +h .

2. Natati ca functiaj": R ~ R, f(x) = [2x]-[x] -[x+~J este periodica, cu perioada ~.

1

3Rezolvati ecuatia 4x = 2~ ,x E lR·.

• 1 2D terminati numerele naturale n, n ~ 2 pentru care Cn + 2 Cn = 16 .

:: F~e puncteIe A(1, 2) si G(~.' 4). ~aca G este centrul de greutate al triunghiului ABC,determinati coordonatele mijlocului Be.

6. Triunghiul ABC are BC = 10 si raza cercului circumscris R = 5. Calculati cosA.

:~:~:eaA = (: : ~~Jcu a, b E lR. .o 1 4

a) Determinati valorile reale ~le lui a ~i b.pe~tru care det(A). = :-6. .b) Aratati ca pentru orice valon reale ale lui a ~l b, rangul matncei A este eel putm 2.c) Fie M= {X E M3(JR) I det(X) = I}. Rezolvati ecuatia AX = -:iff, I»X EM

2. Pe lR. definim legea de cornpozitie x * y = xy + 3x + 3y + 7.a) Aratati ca legea ,,*" este comutativa .

(1 * 2) * 3b) Calculati ., 1* (2 *3)

c) Aratati ca legea ,,*" nu are element neutru.Subiectullll1. Fie functiaj": JR ~ JR ,j{x) = e' + 3x - 1.

a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij in punctul A(1, e + 2).

b) Calculati }~(f(-I)+ f(-2) + ... + f(-n) + 3n2

;5n).

c) Determinati valorile reale ale lui m pentru carej{x) ~ mx, oricare ar fi x E lR..

2. Fief: JR ~ (- ~ , ~ ).j{X) = arctgx.

a) Calculati J ~(x) dx.oX +11

b) Calculati f 1'01 (x) dx .-I

1

c) Calculati nli~ Ix3 rex) dx.

°I

1E

Testul15Subiectull

1. Ciite numere rationale contine multimea { ~l 0241 n E N, n ~ 2} .2. Fie functiaj": R ~ lR ,j(x) = x3 + X + a, a E R. Determinati valorile reale al I .

care J este impara. t' e Ul a pentru

R I· . 1 4x

+23. ezo yap ecuapa og2 -3- = x ,x E IR.

4. ~ fimctiiJ: {I, 2, 3} ~ {I, 2, 3, 4.} au multimea imaginilor fermata din exact doua eiemente?5. FIe punctele A(l, 3), B(-3, 5) ~l M(-I, a), a E R. Determinati valorile reale ale I .

M fl~ di UI apentru care se a a pe me iatoarea segmentului [AB].

6. TriunghiuIABC are lungimile laturilor a, b si c. DacllR = 4 ~i r= I, calculati ~~~

Subiectulll d: be a::'

1. Fie numerele intregi a,b si matricea A = (b;~ I a:: I ::: ~J.I 2 4

~~ a) Calculati det(A).i b) Aratati cll rang(A) ~ 2, oricare ar fi numerele intregi a ~i b.5 c) Aratati cll daca rang(A) = 2, atunci a = 0 si Ibl= I.u:~ 2. Pe multimea G = ( - 2, 2) se defineste legea de compozitie x * y

~ a) Rezolvati ecuatia x * x = x, X E (-2, 2).o b) Aratati cll G este grup in raport cu legea ,,*".U;; c) Aratati cll functiaj": (0, (0) ~ (-2, 2), J(x) = 2(x-I) este izomorfism de la grupulz x+I~ (0,00),.) lagrupul (G,*).~~ SubiectullJl.~ 1. FieJ: IR~ IR,j(x) = x3 + 3~ - 4.~ a) Dete~nati. p~c~ele de inflexiune ale graficului functieij"':i b) Studiati derivabilitatea functiei g :IR~ lR, g(x) = j/{x)lin punctul Xo = -2.II: I

~ c) Calculati lim (J(X»)-;.d x-+<X> x2

•1&1:x: F' 1 IV 2. leJ:IR~lR, J(x) =--2 si notam cu I = JJn(x)dx n EN~ I+x n ,.

Q~ a) Determinati aria suprafetei marginite de °graficul fun . . j,z X ::: -1, x = 1. cpei , axa Ox si dreptele

~ b) Aratati ca sirul (In)n:?l este convergent.

c) Aratati ca 2n I I - (2n -1) I =.J... n E 1M·n+ n 2n' 1'1\1.

4(x+ y)4+xy

•170

festul16

SIIblectul.1 . 2 4 2n,. peternunap ?um~1 natural n ~entruAcare ~(1 + 3 ~ 3 +...+ 3 ) = 6560.2. peterminatl multimea valorilor intregi ale IUl a pentru care graficul functiei

f: lR~ lR j{x) =~ + ax + I nu taie axa Ox.3. Rezolvati in IR ecuatia <I x + 1+ .Jx + 2 = 5 .4. Care este probabilitatea ca alegiind un numar din multirnea numerelor naturale de trei

cifre, el sll fie cubul unui numar prim?

S. Fie triunghiul ABC si ME (BC) astfel incat 5 AM = 2 AB + 3 AC . Calculati : .

6. TriunghiulABC areAc'l + AB2 + AB· AC = ec: Determinati masura unghiului A.

sublectulll

I,Fiemu1timoa M={AEM,(C)i A' =(-: ~)}a) Aratati cll rangullui A este 2, oricare ar fi A E Mb) Aratati ca pentru orice A E M, ecuatia Jf = A nu are solutie in M2( R).

c) Aratati cll daca A E M, atunci matricea A - h este inversabila.2.Consideraminelul (:£:,*,0) undex*y=x+y+2 si xoy=xy+2x+2y+2.

0) Determinati elementul neutru allegii ,,*".b) Aratati ca inelul (:£:, *,0) nu are divizori ai lui zero.c) Determinati a, b e Z stiind cli functia J: :£:~:£:, j(x) :::ax + b este morfism de la

inelul (:£:,+, . ) la inelul (:£:,*,0).

Subiectullll

1. Fie functiaj": [0, (0) ~ 1R, J(x) = arcsin 2\.l+ x

0) Studiati derivabilitatea functieij" in punetul Xo::: 1.b) Determinati punetele de inflexiune ale grafieului functieij.c) Calculati lim xJ(x) .

x-+<X>

2. Fie functiaj": (-1, (0) ~ lR ,j(x) = m(I + x).0) Determinati prirnitiva F a functieij, eu F(O) :::O.

b) Calculati J f(x) dx .° x+I,,/4

c) Calculati J f(tg x) dx .o

iI I

~ '

~:::E1&1

~:::E

•171

Testul17

Subiedull1. Determinati numerele reale x pentru care [x - 1] = {x}.2. Determinati inversa functiei bijectivef: lR ~ (3, 00), f(x) = 2X +3.

3. Rezolvati in lR ecuatia cosx = tgx.4. Care este probabilitatea ca alegand un numar k din multimea {O, I, 2, ...,6}, el sa

indeplineasca conditia C~ < C~+I?

5. Fie a E lR si vectorii Ii = T + 3 J , v = 3 T + a J . Determinati a E lR pentru care vectoriiIi +v si Ii - v sunt perpendiculari,

6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB = 4, BC = 5 si AC = 7. Calculati sinA.

Subiectulll

1. Fie multimea M = {A(X) = C :~x 1~~x J Ix E lR}.

a) Determinati valorile reale ale lui x pentru care det(A(x» = 2.....I b) Aratati cii A(x) . A(y) = A(xy + x +y), oricare ar fi x, y E lR.w~ c) Aratati cii (A(3)Y = A(4n - 1), oricare ar fi n E ~r.s5 2. Fie corpul (27, +, . ) si H = {x3 Ix E 27}.u.:· a) Rezolvati ecuatia 5x + 4 = 1, X E 27.~-e b) Determinati numarul elementelor lui H.0.5 c) Determinati perechile (x, y) E 27 X 27 pentru care x) +2/ = 6.'-} Subiedullll

~ 1 . f j§-I-e .Fle: [1,oo)~lR, f(x)=x -.a: x+Iw~ a) Determinati asimptotele graficului functieij.• b) Determinati imaginea functieij.

c) Calculati lim (f(X»)Xx-ecc x

:;)u'"wZ

>CCm ff

ffi 2d 2. Fie sirul (In)n~1' In = fctgnx dx, n EN·.

·wl:UccZoa:QZ-e~

•

ff

4

a) Calculati h

b)Aratati ca I 2 =_1 __ 1 n E N·t n+ n + 1 n' •

c) Calculati lim In..-+00

172

restul18subiectull1. Numerele ..fj si 3 sunt termeni ai unei progresii aritmetice (a. )'~Icu ratia r. Aratati cii

r este numar irational.

. f 1ll> lTll • - f() 2f ( 1) x2

+ 3x + 2 .2. Fie funcpa : ~ ~ ~ cu propnetatea ca x + ~ = x ' oncare ar fi

x E lR. Calculati j[Z).3. Rezo1vap in lR ecuatia log, x = log) x .

4. Determinap valorile naturale ale lui n pentru care dezvoltarea (1+ ifi y are exact 7

termeni rationali.5. Fie A(l, 2) ~i B(3, -1). Determinati ecuatiile dreptelor care tree prin A ~i sunt situate la

distanta 2 de B.6. Triunghiul ABC are AB = 4, AC = 6 si BC = 2M .Calculati sinA.

subiedulll

{

3x- y+2z =3

1. Se considera sistemul 2x + my + 3z = ° ,unde m E lR .

x+3y+z=4a) Determinati valorile reale ale lui m pentru care sistemul este compatibil deterrninat.b) Stabilitidaca existiivalori reale ale lui m pentru care sistemul este compatibil nedeterminatc) Determinati valorile reale ale lui m pentru care sistemul are 0 solutie (xo, Yo, zo) cu

componentele in progresie aritmetica,2. Fie polinomulf = (X +X + 1)10 + (xz - X + 1)10 E lR.[XJ ~if = a2oX° + al~9 +...+ alx +

+ao forma sa algebrica.a) Determinati restul impartirii luif la X-I.b) Calculati ao + a2 + a4 +...+ a20.c) Calculati a7.

Subiectullll

1 F· fun x+3• ie ctiaj": lR \ {-4}~ R, f(x) = -.x+4

a) Determinati asimptotele graficului functieij.b) Calculati lim(1 + f(l) f(2) ... f(n)Y .

n-+oo

c) Fie sirul (Xn)n~ldefmit astfel: Xl = 1 si Xn+l=fixn). Calculati lim x•.n-+OO

2. Fie functiaj": lR ~ lR ,fix) = x2- 4x + 3 si In = r f" (x) dx , n EN·.

a) Determinati aria suprafetei marginite de graficul luiJ, axa Ox si dreptele x = 0, x = 1.)

b) Calculati f(x-2) f2(X) dx.1

c) Calculati lim In+1 •n-+CO In

173

Testul19

Subiectull~ ~ Z2 +z+ 1

1. Fie numarul complex nereal z astfel mcat z este numar real. Calculati modulul

numarului z.2. Fief: [1, (0) -t B,j{x) ==.1- 2x + 5. Determinati multimea B stiind cafeste surjectiva.3. Rezolvati in rnultimea numerelor reale ecuatia x2 + 81og, x = 12 .4. Determinali numarul real x stiind ca termenul din rnijloc al dezvoltarii (1 + x)8 este egal

cu 70.5. Fie hexagonul regulatABCDEF de latura 1. Calculati lAC +EF I·6. Triunghiul ABC are lungirnile laturilor a, b, c. Daca b + C - a = 2r, unde r este raza

eereului inscris in triunghi, calculati masura unghiului A.

Subiectulll

!X+3Y+Z == °

1. Fie sistemul: x+ y+mz == ° ,unde mE 1R.x+2y+(m+l)z==0

a) Determinati valorile lui m pentru care sistemul are solutii nenule.b) Determinati solutiile (xo, Yo, zo) ale sistemului pentru care x~ + y~ + z~ = 6 .c) Fie A matrieea sistemului pentru m == -2. Aratati ca An :1=h pentru orice n E N *.

~ 2. in polinomul fa == (X + at + (X - at, unde aeste un numar real.c~ a) Determinati restul impartirii luiJa la polinomul x2

- a2•

V b) Determinati radacinile luiJa in cazul in careJa are eel putin 0 radacina reala,o• c) Aratati ea pentru orice a E R, a:1= 0, radacinile in C ale luiJa au partea reala zero.

~·

:»z~ Subiectullll1&1A.

:E·1.Fief: R -t R ,j{x) == x - sin x.

a) Aratati cafeste strict crescatoare.

b) Calculati: lim f(sinx) .x-+ 0 x3

c) Fie sirul (xn)n2: 0 definit astfel: Xo == 1 si x, +1 == j{xJ. Calculatix-+'"

:»vIII1&1Z><CDac1&1

""ci 2. Fief [0, (0) -t R, f(x) = arctg-1-.~ x+l:z:v a) Aratati ca oriee primitiva a lui R este concava,

Q~ZIlC b) Calculati: If f(x) dx.

o (x+l)2C x+2

~ c) Calculati: ~ f f(t) dt.x•

174

ull•.••.!tIe". . ti numaruI natural x astfel meat: 1 + 5 + 9 + ... + x = 496.

• pete(1Jl11l:'1 f, g . (0 (0) -t (0 (0) astfel tncat (g ° f)(x) == X4 , orieare ar fi x E (0, (0).fie funCt,1e, ., ,

2· NAtati eaf este injective. .

I ti in multimea numerelor reale ecuatia .J x + 1+ log, X == 6 .3. Rezo vat, ( 1 1)7•• Aflati eel mai rnie termen al dezvoltarii "2 +"3

fie punctele A(-I, 2), B(-4, 6) si C(3, -1). Aflati lungimea biseetoarei din A a5. . I .ABCtriunghiu Ul .6. Caleulati eos2° + eos6° + cosl0° + ... + cosl78°.

SUbiedulli

{

a2X _b2 y + Z == 1

1. Fie sistemul (a2 + l)x-(b2 -1)y + 2z == 2 ,unde a, b E R.(a2 +2)x-(b2 -2)y+4z ==4

II) Calculati determinarea matrieei sistemului.. . . .b) Determinati valorile lui a si b pentru care slste~ul estecompatibil nedetermmat.c) Aratati ca daca (xo, Yo, zo) este solutia sistemului, a~c .•: Xo ~ Yo + Zo:1= 2012.

2. Fie polinomulf == X - 4X + 1 si XI>X2,X3,X4 E C radacinile lui.

II)Calculati (1-~J(l-:J(I- :J(I- :J.. 5 5 5 5 °b) Aratati ca XI + x2 + X3+ x4 == •

c) Aratati cafare exact doua radacini reale.

Subiectullll

1.Fiefunctiaf:R-t R,j{x)==5x4+ 10.1+ 1. .' . luiII) Aratati ca exista a, b E R eu a < b astfel incat sa se poata aphca funepelfteorema

Rolle.b) Determinati imaginea functieij"

. . (f(l) + f(2) + f(3) + .,.+ f(n»)"c) Calculati hm 5

n4C1O n2. Fie functiaj.(O, (0) -t lR ,j{x) == cos(ln x).

r' f(x)a)Calculati I" == ,b-x- dx .

b) Calculati aria suprafetei marginite de graficulluif, axa Ox si dreptele x == 1 ~ix == e..'

c) Calculati !~f I" (x) dx .• •

17

Testul21 festul22Subiectull

1. Aratati ea (-00, IOg23)(] (1,+00)"# 0.

2. Fief: JR ~ JR,j{x) = 3x - 1. Calculatij{f{I».

3. Rezolvati ecuatia 4x + 2x = 72.

4. Determinati n EN, n ~ 2, stiind ea A; = 110 .

5. Determinati ecuatia dreptei ee treee prin punctul A(I, I) si este perpendiculara pe dreaptade ecuatie x +Y - 1 = O.

6. Calculati raza eereului inscris in triunghiulABC euAB = 3, BC= 4, CA = 5.

Subiectulll

1. Consideram permutarile a = ( ~

a) Calculati cr2•

b) Aratati ea multimea {am 1m E N*} are 3 elemente.

c) Fie m, n EN' astfel incat am = t" . Aratati ea 6 divide mn.

2 3) (1 2 31),3 1 ~l T = 3 2

...•IIIa::~i~ 2. Se considera multimea M ~ { A(n) IA(n) ~ C : n 1~nJ n E Z} .-e...•;f a) Aratati ea A (n ) .A (m ) = A (n + m) , orieare ar fi n, m E Z.;:)o b) Demonstrati ea M este grup in raport eu inmultirea matricelor.~ c) Aratati ea f: (Z,+) ~ (M,.), f(n) = A(n) este izomorfism de grupuri.;:)z~ SubiectullllIIIa.

1.Fief:JR~ JR, f(x)=.Jx2+1-x.a a) Calculati derivata functieij"~ b) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functieij" in punetul A (0, 1).~ c) Determinati asimptotele la graficul functieij.a:: 1~ 2. Pentru fieeare numar natural nenul n definim In = f x" . sin x dx .C 0

:E.

•IIIXUCCZoa::QzCC:E

a) Calculati 1/ .b) Aratati ea In+1 ~ In, orieare ar fi n ~ 1.c) Demonstrati ea lim Z, = 0 .

n->ao

•176

61biedull ..... itm ti 'd' I t- Caleulati suma primilor zeee termern ai unei progresn an e lee avan pnmu ermen1. al cu -10 si ratia egala eu 2.

eg I """"1 . b 1 . . - fi I fun . .J)eterminati eoordonate e VCUIU W para 0 ei ee reprezmta gra eu ctiei2- t: lR ~JR, j{x)=~2+x-3.

Rezo1vati in JR ecuatia IOg2(X+ 1)= -1. .3. C'te submu1timi ordonate eu 3 elemente are 0 multime eu 4 elemente?•• a . in drentei de ecuati 2 3 0s. Serieti eoordonatele umn punet ee apartm dreptei e ecuatie x - :Y + = .

6. Fie a E (0, ;), sin a = % . Calculati eos a.

subiectulll

{

x+Y+mz=o

1. Consideram sistemul de ecuatii liniare x + 2Y + z = 1 ,unde m E JR .-x+y+z=4

a) Determinati valorile reale ale lui m pentru care (-2, 1, 1) este solutie a sistemului.b) Calculati determinantul matrieei sistemului,

1c) Rezolvati sistemul pentru m =- .

32. Pe JR definim legea de compozitie x 0 Y = xy + x + Y , pentru oriee x, y E JR .

a) Rezolvati in JR ecuatia x 0 x = 8 .b) Aratati ea legea ,,0" este asociativa,c) Aratati ea daca x, y E (-1,00), atunei xo y E (-1,00) .

Subiectullll1. Consideram sirul (an)n~1 deftnit prin al = 1 si an+1 = J12 + an ' n ~ 1.

a) Aratati ea sirul (an)n~1 este crescator.b) Aratati ea sirul (an)n~1 este marginit superior de 4.c) Demonstrati ea lim an = 4 .

e-eeo

2. Consideramj": JR~ JR ,j{x) = x . e-x.

a) Calculati 1eX f(x)dx .

b) Calculati 1f(x) dx .

r f(t)dt 1c) Demonstrati ea lim 2 = - .

x->o X 2

•17'1

Testul23 restul24Subiectull1. Calculati (1+ ifi )(1- ifi + if4) .2. Fie functia f: JR ~ JR, f(x) = 2+3x. Caleulatij{-10) +j{-9) +...+j{9) +j{1O).

I . ~ 1!l) h 8..-+1 41 -x3. Rezo vati ill~ ecuapa = .

4. Rezolvati in multimea [0, 21t) ecuatia sinx = ~ .

5. Aratati ca veetorii VI = 7 + 8 J si v2 = 47 - 7 J au module egale.6. Calculati perimetrul triunghiului ABC stiind caA = 120°, AB = 3 ~iAC = 7.

5&lblectull~ lui 11. Calculati partea intreaga a numaru Ul J2_2 .

2. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ea abseisa varfului paraboleif: JR ~ JR ,j{x).= ~ + mx +~1 este ~gala eu 2.

3. Rezolvati ecuatia smx = -1 ill multimea numerelor reale.

4. Determinati termenul din rnijloe al dezvoltarii (1+ ifif .5. Caleulati lungimea veetorului v, - v2 , unde v, = 7 - J ~i v2 = 27 - 3J .6. Fie a E JR eu sina = 0,6. Calculati tg2a.

Subiectulll

1. Consideram matricele A = [ :2 ~2

a) Aratati ea rangA + rangB = 3.u:: b) Rezolvati in JR ecuatia det(A + xB) = 0.a:I- c) Aratati ea (A + BY =An + en, orieare ar fi n E N·.i5 2. Polinomulf =.x - X-I E qX] are radacinile eomplexe X" X2, X3'

a) Aflati restul impartirii luifla polinomul Y - 1.b) Calculati x; +x~+ xi .c) Aratati eaj{xi + X2) = -2.

sublectulll [0 1 1] [1 ° 0]

1.Fie matrieele A = ° ° 1 si 13 = ° 1 ° .000 001

a) Determinati rangul matrieei A2.b) Aratati ca inversa matrieei h- A este h+A +A2.c) Calculati inversa matrieei 13 + A.

2. Pentru fiecare numar natural nenul n consideram polinomul f" =r +X' + 1 E C [x].a) Determinati radacinile eomplexe ale polinomuluij].b) Aflati catul impartirii polinomului S la polinomulji.c) Demonstrati eafi dividef" daca si numai daca 3 nu divide n.

u:·

Subiectullll:JZ-eii:1&.1~~•:JU

'"1&.1

:i 2. Consideram functiaj": (0, (0) ~ JR, f(x) = _1__ .!..~ x+I x1&.1

""ci

1. Consideram functiaj": (-1, (0) ~ JR ,f{x) = r! - 1 -In(x + 1).a) Calculati derivata functieij"b) Aratati ea functiaj''este convexa.c) Demonstrati eaj{x) ~ 0, orieare ar fi x E (-1, (0).

Subiectullll., 1 1 11. Consideram sirul a = 1+- + - + ...+ - , n ~ 1.

• 2 3 n

a) Aratati ea a ••, - a • ~.!.,orieare ar fi n ~ 1.2 2 2

b) Aratati ea a • ~ 1+~ , orieare ar fi n ~ 1.2 2

c) Demonstrati ea lim a. = 00 •.-+00

2

a) Calculati ff(x) dx .,·1&.1::t:U-eZ

~oz-e~

.nb) Calculati f f(x2

) dx .,

2. Fie functiaj": JR ~ JR, f(x) = _1_2 .l+x

a) Scrieti 0 primitiva a functieij"

b) Calculati 1xf(x) dx .

c) Calculati 1x3 f'(x) dx .

iI

<U

~:::E1&.1

~:::E

•

c) Determinati valorile lui a E (1, (0) pentru care f" f(x) dx = -1.Jt/a

•178 17!i

Testul25Subiectull1. Aratati ca 100'g7 EN.2. Determinati punctul de maxim al functieij": lR~ lR,j(x) = _x2 + 2x + 1.3. Aratati ca functiaj": lR~ lR ,j{x) = x3 + 1 este injectiva.4. Cate diagonale are un poligon convex cu 10 laturi?S. Calculati distanta de la punctul A(l, I) la dreapta determinata de punctele B(2 3) .

C(-1,5). ' ~l

6. Calculati raza cercului circumscris unui triunghi ABC cu AB = 5 si m(<x:C) = 1200 •

Subiectulll

I.Considernmmatricele A=[~ ia) Calculati detA.b) Calculati range.

e) Determinati matricea X E M2,3 (lR) astfel incat XA = B.....IWa:I-

~ 2. Fie a, b E lR astfel Incat radacinile z" Z2, Z3 E Co veri fica Iz,1 z r, IZ21 ~I, IZ31 z t.~ a) Calculati Z,Z2Z3.

b) Aratati ca I z, I = I z21 = I z31 = 1.e) Demonstrati ca a + b = o.

ale polinomului J = ~ + ar + bX - 1

..:(....I~::::>Uu Subiectullll.~ 1. Consideram functia J: (0,<Xl) ~ lR, J(x) = 1- xlnx .~ x~ a) Calculati derivata functiei j.

b) Calculati liplJ(x).nO

e) Demonstrati ca exista un unic punct e E (0, oo) cu proprietatea ca e . lne = 1.

~.::::>uVIw~ 2. Fie functiaJ: (-2, 2)~ lR, J(x) = 1 .ffi .)4-x2

~ a) Calculati £ x J(x) dx .wo b) Calculati £ J(x)· arcsin ~ dx .~ 2~ e) Aratati ca f/(x2

) dx = £ J(x2) dx .z-e~

•180

Testul26subiectull

1. Determinati Z E C stiind ca Z + 2:Z = 9i .2. Aratati ca dreapta de ecuatie y = x + 1 intersecteazii parabola de ecuatie y = x2

- 3x + 2.,. Rezolvati in R ecuatia (1+.fi y = 3 + 2.fi .4. Consideram multimea M = {l, 2, 3, 4, 5}. Determinati probabilitatea ca, alegand 0

submultime a multimii M, aceasta sa aiba 3 elemente.5. Consideram punctele A(l, 2), B(O, 1) si G(-I, 2). Aflati coordonatele punctului C stiind

ca G e centrul de greutate al triunghiului ABC.

6. Fie a E lR cu tg a = ~ . Calculati tg ( a + ; ) .

subiectulll

1. Fie matricea A = G ~J-a) Calculati det(A + fA), unde fA este transpusa matricei A.b) Aratati ca A2 - A = h.e) Fie BE M2 «(1)) , cu AB = BA . Aratati ca rangB::;; 1.

2.FieJ:lR~ lR o functie periodica si multimea M={tElRIJ(x+t)=J(x), \fXElR}.

a) Aratati ca daca t E M, atunci -t E Mb) Aratati ca Me subgrup al grupului (lR,+) .e) Dati exemplu de functie periodicaj" pentru care M = Z .

Subiectullll

1. Consideram functiaj": lR~ IR,j{x) = (x - 1) arctgx.

a) Calculati lim J(x) .x-e-l Xl -I

b) Calculati derivata functieij.e) Determinati asimptota la graficul functiei J catre co,

2. Fie functiaj": lR~ lR, J(x) =+-.x +4

a) Calculati £ x J(x)dx .

b) Calculati £ x J(x2)dx .

e) Demonstrati ca sirul an =t 2 k 2' n ~ 1, este convergent.k=' k +4n

•..:::EI

>CC

U

~:::Ew

=::::E

•181

Testul27

Subiectull

1. 0 progresie geometrica de numere reale are al doilea termen egal eu 2 si al cincj]termen egal eu 16. Calculati ratia progresiei. I ea

2. Calculati p +!!... stiind cap + q = 6 si pq = 3.q P

3. Rezolvati in JR ecuatia sin ( x + : ) = 1.

4. Determinati numarul submultimilor eu eel mult 3 elemente ale multimii {I, 2, 3, 4, 5, 6}ee contin eel putin un numar impar.

5. Fie ABC un triunghi eehilateral de latura 4. Calculati AB· AC .

6. Fie a E JR eu tg a =.!... Calculati sin2a.3

Subiectulll

11. Consideram matricea A = [~

~ a) Calculati rangA.• b) Aratati ea An = 14n-IA, orieare ar fi n EN'.

~~ c) Aratati ell inversa matrieei h- A este 13 - ~ A .o 13~ 2. Consideram polinomul f = X3 + X2 + aX + b E Z[X] .

a) Aflati valorile intregi ale lui a stiind ea J2 este rlidlieina a polinomuluifb) Aflati valorile intregi ale lui a ~i b pentru earefadmite radacina dubla 1.c) Demonstrati ea nu exista a, b E Z astfel ineatfsa aiba ° radaeina tripla.

2 3J4 6 .6 9

~; Subiedullilv~ 1. Consideram functiaj": (0, 00)~ JR ,j(x) = 1n2x -Inx + x.~ a) Calculatif'(I).;. b) Rezolvati eeuatiaf"(x) = 0, x E (0,00).Q c) Determinati punetele de extrem ale functieij.•~ 2. Pentru fieeare numar n E N* definim In = £_x_n_ dx .~ (x+l)2~ a) Calculati II.a::~ b) Aratati ea In+2+ 2 In+1+ In = _1_, orieare ar fi n E N* .C n+l~

•c) Demonstrati ea lim J, = 0.n-+oo

182

estul28biedull

x_.l . I l+in..terrninati partea reala a numar unn eomp ex z = - ...~ 1-1

f. X X2 E JR radacinile ecuatiei ~ - 5x + 2 = 0. Calculati XI +X2 - XIX2·

• Ie ., 2" .•• }\rAtati ea funetiaf: [0, 1] ~ JR ,j(x) = x + x, este injectiva.J. . ~C50 2 C50

}\rAtaP ca 100 = 99 •

50 fie ABCD un patrat de latura J2 .Calculati lungimea veetorului AB + DA .

•• fie x E (~ ,f() eu sinx = ~. Calculati tg lx.

SUblectulli

1. c{onSideram2

num~rele distinete a, b, C E JR ~i sistemul de ecuatii liniare

x+ay+a z = a

x+by+b2z = b3•

2 3x+cy+c Z = C

II) Aratati ca determinantul sistemului este egal eu (c - a)(c - b)(b - a).b) Aratati ea sistemul este eompatibil determinat.e) Rezolvati sistemul.

2. Consideram ine1ul elaselor de resturi (Z 12, +, . ).II) Rezolvati in Z 12 ecuatia 2x = 6 .b) Rezolvati in Z 12 ecuatia x2 =i.e) Aratati ea daca x E Z 12 verifica x" = i,attmei x = i.

Subledullil

1. Fie m E JR si functiaj": JR ~ JR, f(x) = r;x .x +1

Il) Determinati asimptotele grafieului functiei m.b) Determinati m E JR pentru earef'(O) = 1.e) Determinati m E JR stiind ea Ij(x) I ~ 1, oricare ar fi x E JR.

a. Consideram functiile f: JR ~ JR, f(x) = x2 + e' si F: JR ~ JR, F(x) = r f(t) dt .

Il) Calculati F( 1).b) Aratati ea functia F este inversabila,

2e--3

c) Calculati f rl(x) dx.o

•183

Testul29Subiectull

1. Ordonati crescator numerele ~ , IglOO ~i J0.2. Aratati ca 4~ + 3x + 1 > 0, oricare ar fi x E lR .

3. Rezolvati in IR ecuatia arctg(x + 1) == tr .4

4. Determinati n EN, n ~ 2, stiind ca n + 135 == C; .

5. Aratati ca unghiul vectorilor ii == 7 - 3] si V == 27 +] este obtuz.

6.ln triunghiul ABC avem AB == 5, BC == 6, CA == 7. Calculati lungimea medianei din A.

Subiectulll

[

COSX -sinx OJ1. Pentru fiecare numar real x consideram matricea A( x) == Si~x co; x ~.

a) Calculati detA(x), x E lR .~ b) Aratati ca A(x) . A(y) == A(x +y), oricare ar fi x, y E lR.t-i c) Determinati inversa matricei A( tr ).~ 4Qu.: 2. Consideram ecuatia cu coeficienti reali 2x3 + x2 - 13x + m == 0, avand radacinile~ Xl. X2, X3 E C .f a) Rezolvati ecuatia pentru m == 0.5 b) Calculati Xl

2 + x; + xi .'} c) Determinati m E IR stiind ca X'X2 == 1.~~ Subiectulllla:1&1I:L.

~;; a) Aratati ca functia este strict monotona.~ b) Determinati asimptotele graficului functieij"~ c) Calculan ~~(f(I)+ f(2) + ...+ f(n».CIIffi 2. Fie functiaj": (0, oo] ~ lR ,j{x) == lox.

"'"~ a) Calculati r f(x) dx .1&1o b) Calculati rex (f(x) +ru» dx .~o c) Aratati ca lim r' f(x) dx == -1.a: 1-+0 lQ 1>0Z-e~

1. Consideram functiaj": (0, co) ~ R, f(x) == In 1+ x .x

•184

festul30

SIIbiedull

Calcu1ati modulul numarului complex z == -3 +4i.~ Aflati punctele de intersectie ale graficului functiei f: IR ~ IR, j{x) == ~ - 3x + 2 cu axa

Ox-•• Rezolvati ecuatia logec == log252x..,. • 3 2•• Calculap C7 - ~ •

5. Aflati a E lR stiind ca dreptele d, : x - 2y == ° si d2 : ax + y + 5 == ° sunt paralele.6. Fie x E R astfel tncat sinx + cosx == 1. Calculati sin2x.

subiedulll

I.Consid,- matrice A = [~l

a) Calculati detA.b) Determinati valorile lui a E Z pentru care rangA == 2.c) Calculati £' pentru a == O.

2. Consideram polinomulj'e A" +X-X + l e C [X] cu radacinile complexe r., X2, X3,X4·

a) Calculati restul impartirii luif la polinomul g == X2.. I I I 1

b) Calculati -+-+-+-.XI x2 X3 x4

c) Aratati ca polinomulfnu are nicio radacina reala.

2 aJOlE M3(Z).

3 1

Subiectullll

F. f {InX, x#11. ie :(O,cx:l)~lR, f(x)== x-I .

I ,x==1

a) Aratati ca functia f este continua in punctul x == 1.

b) Calculati lim f(x) - f(l) .x-e l x-I

c) Aratati caf'(x) ::;0, oricare ar fi x > O.

2. Fie M multimea functiilor continuef: [0, 1] ~ lR cu If(x) dx == ~ .

a) Aratati ca functia g : [0, 1] ~ R, g(x) == x apartine multimii Mb) Functia h : [0, 1] ~ lR , hex) == x2 + X + a apartine lui M Determinati a E lR .c) Demonstrati ca pentru orice functie f E M exista c E [0, 1] astfel incatj{c) = c.

•185

Testul31Subiectull

1. Fie a = ~1024 , b = if4 si c =.J4 . Verificati daca ab = c4•

2. Determinati imaginea functieij": [1, 2] ~ IR ,j{x) = 2x + 1.

(2)X (5)X+13. Rezolvati in IR ecuatia 5" -"2 = 0 .

4. Determinati numarul elementelor unei multimi M stiind ca Mare 32 de submultimi cu unnumar impar de elemente.

s. Fie ABC un triunghi echilateral de latura J3 .Calculati lungimea vectorului AB + AC.6. Aratati ca sinx . sin(x + n) ~ 0, oricare ar fi x E IR .

Subiedul"

1. Fie matricea A = [~

a) Calculati A3 .b) Determinati rangul matricei A . AI, unde AI este transpusa matricei A.

c) Demonstrati ca nu exista nicio matrice B E M3( C) cu Jil = A.

~ 2. Consideram polinomulJ= (Xo _2)10 -X -2 E C[X].a) Calculati suma coeficientilor polinomuluifb) Calculati suma tuturor radacinilor complexe ale luifc) Demonstrati ca polinomul g = XO - X - 2 divide f

1 OJo 1 .

o 0....•IIIII:•...i::lQ

i Subiedullllcii2IIIA.

~.1. Fie functiaj": IR ~ JR ,j{x) = x . e-x.

a) Calculati limJ(x).X-><Xl

a b) Aratati ca J(x) ~..!.., oricare ar fi x E JR.~ eZ~ c) Demonstrati cap)(x) = (-Ircx -n) . e-X, oricare ar fi n EN' ~i x E JR.II:

~ 2. Pentru fiecare numar n EN' notam 1n = r' ~ dx .d k2x+3

a) Calculati 12•

b) Aratati ca 21 1 +31 = _1_ , oricare ar fi n > 3n+ n n+I - .

c) Demonstrati ca lim n1 =..!...a-ecc n 5

•IIIsCzsQZc:E

•186

1estul325&lbledull

.121.CalculaP modulul numarului comp ex z = l+i .

2- Determinap punctele de intersectie ale graficului functiei J :JR ~ 1R, fix) = x2- 6 cu

dreapta de ecuatie y = x.3. Rezolvap in JR ecuatia 10&2 = log93.4. Calculati suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii (a + b)'o.5. Calculap lungimea inaltimii din A in triunghiul ABC stiind ca A(O, 1), B(I, 1) ~i

C(3,2).

6. Ariitap ca sin (x + : )- cos ( : - x ) ~ 0 , oricare ar fi x E JR .

Subledul"

1. Fie matricea A = (~ ;) si multimea M= {( ~ ~)iX,Y E JR}.

a) Aratati caAX =XA, oricare ar fi X EM .

b) Aratati ca A2 - 12A + 36 h = O2.

e) Determinati matricele B E M2 (JR) cu proprietatea cii B2 + B = A .

2. Consideram multimea M = {cosq1r+ isinq1r I q E Q}.a) Aratati ca daca x, Y EM, atunci xy EM.

b) Demonstrati ca M formeaza grup cu inmultirea numerelor complexe.e) Aratati ca functia J: (Q,+) ~ (M,.), J(q) = cos qr: + isuxq« este morfism de grupuri.

Subiedullll

1. Consideram sirul (xn)n~1 definit prin ~ = ~ si xn+1= x; - 8xn + 20, n ~ 1.

a) Aratati ca xn ~ 4 , oricare ar fi n ~ 1.

b) Aratati di xn+1- xn ~ 0 , oricare ar fi n ~ 1.

e) Demonstrati ca sirul (xn)n~1 converge la 4.

12. Consideram functia J: JR~ JR, J(x) = 1 . 2 •

+sm xa) Aratati ca orice primitiva a functiei J este injectiva.

r12b) Calculati 1 J(x)cosx dx.

r/4e) Calculati 1 J(x) dx .

187

Testul33

Subiectull

lCII· fro v arului 123• a cu at! partea acnonara a numaru UI x = - + - + - ." 2 3 4

2. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatia x' + x> 12.3. Aratati ca functiaj": [1, 2] ~ [3, 4], fix) = 5 -x este inversabila.

4. Determinati termenuI dezvoltarii ( Fx + ~ J ce nu 11 contine pe x.S. Punctele A, B, C, D verifies 3 AB = 2 AC + AD. Aratati ca B, C si D sunt coliniare.

6. Stiind ca a E ( ; , 1( ) si cos a = -j ,calculati sin 2a.

Subiectulll

{

X-2Y+Z = °1. Consideram sistemul de ecuatii liniare ax + Y - 2z = 1 , cu a, b E lR. .

...•~ -x+3y+z = bi a) Calculati determinantul sistemului.5 b) Dete~at~ a ~~b pentru care (1, 0, -1) este solutie a sistemului.....: c) Determinati a ~l b astfel incat sistemul sa fie incompatibil.

~ 2. Fie M={(I+2a a) I aE(-I,OO)}.:: -2a I-a:::;)u a) Aratati ca daca X, Y E M, atunci XY E M~ b) Demonstrati ca M formeaza grup in raport cu inmultirea matricelor.:::;):i c) Aratati ca functia j": (0, (0) ~ M, f(a)=( 2a-I a-I) este izomorfism de Iaffi -2a+2 2-a; grupul multiplicativ al numerelor reale nenule la grupul (M, . )..a SubiectullllIIIU,IZ

>CCCDa:::U,I

""ci

1. Consideram functiaj": (-1, (0) ~ R, f(x) = x2

- 2.x +I

a) Calculati derivata functieij'b) Determinati asimptotele graficului functieij.

.:. c) Determinati punctele graficului functiei f in care tangenta la graficeste paralela cuis dreaptay = 2x.-eZ 12·~ 2. Fie A = r . smx dx si B = f"/2 cosx dxQ smx+cosx 1 sinx+cosx .:i a) Calculati A + B.~ b) Aratati ca A = B.

c) Calculati A .•188

restul34

5L1biectull

,. Fie a, b E lR. astfel mcat 2Q = 3 si 3b = 4. Calculati ab.2- 0 functiefde grad 1 arej{O) = 2 ~ij{4) = -4. Calculatij'(I).

J. Rezolva~ in lR. ecuatia tg ( x + : ) = 1 .

~. Calculati probabilitatea ca, alegand 0 pereche (a, b) din multimea{l,2,3} x {I,2,3},saavema+b=5.

5. Determinati ecuatia dreptei ce trece prin origine ~i este perpendiculara pe dreapta deecuatie x + 3y + 5 = 0.

6. Calcu1ati masura unghiului A al triunghiului ABC stiind ca AB = 5, AC = 8 siBC=7.

subiectulll

1. Consideram matricele A = (011) B _ ( 7 4 ) ~i C _ (2 1)l l' - -9 -5 - 3 2 .

a) Calculati C-' .b) Aratati caAC = CB.c) Demonstrati ca B" = C-' . An . C , oricare ar fi n E N* .

2. Fie polinomul P = X4 +3X3 +4X2 +aX +b E lR.[X], aviind radacinile X"X2,X3,X4 E C.a) Determinati a, b E IR stiind ca polinomul f = X2 + 3X + 3 divide P.b) Calculati (XI - X2)2 + (XI - X3)2 + (XI - X4/ + (X2 - X3)2 + (X2 - X4)2 + (X3 - x4fc) Demonstrati ca oricare ar fi a, b E lR. , polinomul P nu are toate radacinile reale.

Subiectullll

1. Consideram functia f: IR~ lR. , j{x) =,f + X + 1.a) Aratati ca functia f este strict crescatoare .b) Aratati ca functiaj este surjectiva,c) Calculati (Fly (2).

2. Consideram functiaj": [0, 1] ~ R, f(x) = .JI- x2 .

f"/2 1a) Calculati 1 -- dx .fW ~b)Calculati !x .JI- x2 dx.

c) Calculati aria subgraficului functieij.

18

Testul35

Subiectull

1. Consideram progresia aritmetica an = 1 + 7n n> 1 Calculati . '12 Aratati fi ' - . t' suma pnnu or 1° terme .• atap ca gra Ice1e functiilor I: lR. -+ JR,j(x) = x2 si g : lR. -+ lR. g(x) = _ 2 Ill.

au puncte comune. ' 2x + 4x -7 nu

3. Rezolvati in lR ecuatia cos ( x - ; ) = cos ( 2x + f) .4. Determinati n E N stiind ca n2

- 4n = c; .5. Fie 0 punctul de intersectie al diagona1elor 1 1_ para e ogramului ABCD. Calcu1atl'

OA+OB+OC+OD. t

6. Calculati raza cercului inscris in triunghiu1 ABC in care AB ~ AC = 4 si BC = 6.

Subiedulll

1.Sedaudrepteledl:x+y-2=0 d '2x-y-l-0 'd' 3, 2. - ~I 3. - X + my - 1 = 0, cu m E IR .1 1 -2

a) Calculati determinantul t'l = 2 -1 -1 .-3 m -1

b) Determin ti l!l>' . dat, m E ~ stun ca drepte1e d., d2, d3 sunt concurente.

{

x+ y-2z = °'S c) Rezolvati sistemu1 2x - y - z = ° stiind ca drepte1 d d df y e I. 2, 3 nu sunt concurente.

~ -3x+my-z = °o; 2.Fiemu1timea M={[a+b..fi b 1 a,bEQj.~ ° a-b..fiffi a) Aratati ca X + Y E M, oricare ar fi X, Y EM~ b) Aratati caXY EM, oricare ar fiX, Y EM;; c) Demonstrati M formeaza ine1 cu adunarea ~i inmultirea matrice1or.v~ Subiedullllzi 1. Pentru fiecare a E (0,00) \ {I} consideram functia la :IR -+ JR, !,(x) =.aX - x-Id a) Calculati 1:(0). a'

.:. b) Dete~nat~ va1o~le 1uia pentru care graficu1 functiei are asimptota la +00is c) Determinati va1on1e 1uia stiind ca!a(x) ~ 0, oricare ar fi x E IR . .~ 2o .Fie I = rsinn~dx > 1!i n 2 ,n_.z a) Calculati L,C:E b) Aratati CaJlt+ls In> 'in~ 1.

c) Demonstrati ca sirul (In)n~1 este convergent.

u:.

•190

estul36

Sllbiedullconsideram multimile A = {l, 2, 3, 4, 5, 6} si B = {n E N In divide 12}. Determinati,.nUIllarul elementelor multimii A-B.

J. Determinati coordonate1e punctului situat la intersectia graficu1ui functiei I :R -+ R ,I(x) ==1x-21-4, cu prima bisectoare a sistemu1ui de coordonatexOy.

• A l!l> ti 32x+1 9x 36J.Rezo1vap ill ~ ecuapa + = .•• Determinati va1ori1e lui n pentru care cto = C; + C~ .50 Determinati distanta dintre dreptele paralele d-: y = x si d2: y = x + 1.•• in triunghiu1 ABC avem AB ==2, A(: ==3 si A = 120°. Calculati raza cercului circumscris

triunghiului.

subiectulll

1. Considemm matricea A ~ ( ~ ~}

II) Calcu1ati A 3.

b) Determinati inversa matricei A5.c) Rezolvati ecuatia X2 = A in multimea M2(JR) .

2. Consideram polinomul I = X3 - 6X2 + 3X + m E qX] , avand radacinile XI. X2, X3 E C .

II) Calculati ~X2 + X2X3 + X3~ .

b) Determinati m E C stiind ca radacinile polinomului sunt In progresie aritmetica.c) Determinati m E C stiind ca ffidacinile polinomului sunt in progresie geometries.

Subiedullll

1. Consideram functia I: (0,00) -+ JR, I(x) = x+lnx.II) Aratati ca functia Ieste strict crescatoare.

b) Demonstrati ca exista c E (~, 1), astfel incatj(c) = 0.

.IC 1 1 . li 1(1)+/(2) + ...+ I(n)CJ a cu atl im 2 •

n-+CXl n

2. Consideram functiaj": (0,00) -+ lR, I(x) = ; .x(x +1)

a) Calculati r I(x)dx .

b) Calculati rxl(x2)dx .

c) Calculati 1im rx l(t) dt .x-+oo 1

Testul37Subiectull

F· 1 J3. Aratati ca 2 - 1ll>1. ie Z=-+-IEC. atape(l Z +Z Ell'!..2 22. Determinati valorile reale ale numarului m stiind ell x2 + X + m ~ 0 , oricare ar fi x E JR.3. Aratati ea functia I: JR~[I,oo), I(x) = l+x4 este surjectiva,

4. Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1 + J3)'00 .5. Simetrieul punetului A(1, 2) fata de B(4, a) este C(b, 4). Calculati a + b.

6. Fie x E IR eu tg x = ~. Calculati tg (x + ; ) .

Subiectul "

1. Fie A matrieea patratica de ordin 3 eu toate elementele egale eu 1.a) Calculati det(A - 313)'b) Aflati n E N stiind ea det(An + 13) = 82.

•...• c) Determinati inversa matrieei 13 + A.1&1

~ C id ~ I . {(a - 4b 5b J I }i 2. onsi eram mu pmea G = a2 +9b2 = 1 a b e JR:I -5b a + 4b ' , .Q

a) Verificati daca matrieea ( 0 ~Japartine lui G.-1 -

5b) Aratati ea daca X, Y E G, atunei XY E G.c) Demonstrati ea G formeaza grup in raport eu inmultirea matrieelor.

u:.

:I~ Subiectul III~~ 1.Considerlimfunetia/:JR~ JR, l(x)=x+.Jx2+1.~ a) Aratati ea functia Ieste strict crescatoare.a b) Aratati ca (r + 1)f"(x)j{x) = f'(x), orieare ar fi x E JR.~ c) Determinati asimptota grafieului funetiei/eatre +00.

~ 2.Fie/:[0,oo)~JR,/(x)= 1ffi x2 +3x+2II).

~ a) Calculati £ I(x) dx .1&1

~ b) Caleulati r I(lnx) dx.o x~ c) Caleulati !~n2 fl/(x) dx .<~

•92

restul38blectull

A .,

SII Multirnile A si B au fieeare eate 7 ~le~ente, tar rnultimea A v B are lO elemente.1. D terrninati numarul eiementelor multimii An B.

~etul V(-1, l) este varful paraboiei y = x2 + ax + b. Calculati 2a + b.2. . . 12r 1Rezoivap ecuatia g =.!:Determinati numarul functiilor s~et monotone I: {I, 2, 3, 4} ~ {1, 2, 3, 4: 5}:

I)reptele d, :y = x, d2 : y = 2x + 1 ~I d3 : x + ay + 1 = 0 sunt eoneurente. Determinati a.S. Fie ABC un triunghi in care A = 30°, B = 75° si AB = 4. Calculati raza eereului6. eireumseris triunghiului.

subiectulll

1. Consideram matrieele A = (~1~)~i B = (~ ~).

a) Aratati ea matrieea X = (~ :) verifica XA = BX

(1 2n) •b) Dernonstrati ea B" = 0 1 ' orieare ar fi n EN.

c) Calculati A' 00.

2.Fie polinomul 1= 2Xl -3X2 -X +5 E qX], avand radacinile complexe x, X2, X3·a) Determinati catul si restul impartirii luij" la polinomul g = 2X -1.

b) Calculati (1 - x,)(1 - X2)(1- X3)'. 1 1 1

c) Calculati -- +-- + -- ., I-Xl l-x2 I-Xl

Subiectullll

1.Consideram functia I: JR~ JR, I(x) = x+sinx.

a) Aratati ea functia Ieste strict crescatoare.b) Aratati ea functiaj'este surjectiva.

2.:.~~m:.:::~n: ::f:~:::=;'1:~]~R, f.(x) " {s:~n: 'n,

rl2 .Notam In = 1 /,,(x) dx, pentru once n E N*.

a) Calculati h2 . (n+l)1r. fi "'T*b) Aratati ca I 2 - I = --sm , oneare ar I n E 1'1 .

t n+ n n + 1 2

c) Calculati hOI3 .

x=O

•193

Testul39

Subiectull1. Dati exemplu de numar real x astfel Incat J2 + x sa fie nurnar rational nenul.2. Pentru ce valori reale ale lui m functia j: JR~ JR.j{x) = U + mx + 3 este crescatoars pe

intervalul [2, oo)?

3. Determinati valorile reale ale lui x pentru care arcsin x ~ 1i .4

4. Determinati n EN' astfel incat 7· n! < 1000.s. Fie punctele A(1, 2), B(3, 1) si C(-1, 4). Calculati lungimea medianei din A in triunghiul

ABC.6. Demonstrati ca sin 4 < O.

Subiectul "

1. Fie matricea A = [~ ~ ~J.101

a) Calculati rangul matricei A.

b) Determinati u, v E JR pentru care A3 = uA2 + vA .

e) Determinati 0 matrice nenula X E M3 (JR) astfel incat AX = 03,

a;: 2. Consideram polinomul j = X3 -6X2 +9X +m E Q[X].-s-e a) Determinati m E Q stiind ca X-I divide f.Q.5 b) Determinati radacinile polinomuJui pentru m = -4 .';! e) Aflati valorile lui m e Q pentru care polinomuljare 0 radacina dubla,=>~ Subiectulllla:~ 1.Consider1imfunctiaj:JR~ JR, j(x)=~(x-I)2(x+I).

~ a) Aratati ca functia j nu este derivabila in x E {-I, I}.~ b) Calculati f'(x), x E JR\ {-I, I} .w~ e) Determinati punctele de extrem ale functieij"

ffi 2.Pentru p,qEN, p,q~2,notiim I(p,q)= 1xP-1(l-x)q-1 dx.II).

c:i a) Calculati 1(3, 3) .

b) Demonstrap ca Iip, q) = I(q, p), oricare ar fip, q ~ 2.

e)Aratatica p·I(p,q)=(q-I)·I(p+I,q-I),oricarearfip, q EN,p~2,q~3.

.wXu-eZocr:QZc(

~

•194

1estul40SUbledull

Determinati a E JR stiind ca (a, a + 1) (\ (0, ~~;t 0. .1. t rminati functiaj": lR ~ lR de gradul2 stiind caj{O) = O,j{I) = 1 ~1j(2) = 8.:z.De e . . 2

Rezo1vati in lR ecuatia Sill 2x = 2 cos x.3. ( 1)6

D terminati coeficientullui ~ din dezvoltarea x3 +-4. e x -S.Consideriim puncteleA(l, 0), B(3, 2), C(-I, 3). Calculati cosinusul unghiului BAC .

6.Determinati sernnul numarului cos2 . cos4.

sublectul /I [1 1 OJ

1.Consideram matrieea A = 0 0 1 .010

a) Calculati £1.b) Aratati ca An - An-2 = A2 - 13 ' pentru orice numar natural n ~ 2 .

c) Calculati A 100.

2.Fie M={(: 3:) I a,bEQ}CM2(Q).

a) Aratati ca X - Y E M, oricare ar fi X; Y E M.b) Aratati ea X· Y E M, orieare ar fi X; Y EM.. A • •

e) Dernonstrati ca M formeaza corp lmpreuna cu adunarea ~l inmultirea matncelor.

Subiectullll

1.Fie functiaj": JR~JR ,j{x) =x4 -IU +1.

a) Calculati lim(~j(x) _x2).x-+<X>

b) Determinati punetele de extrem ale functiei.( .e) Determinati punctele de inflexiune ale functieij.

2.Consideram functiaj": [0, 1] ~ R, j(x) = .Jx2 + 1.

a) Calculati 1j(x)· f'(x) dx .

b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia grafieului functieij in jutul axei Ox.e) Calculati aria subgraficului functieij,

•19

Solutii Ml~Partea 1. ALGEBRA/GEOMETRIE (dasele IX-X)

Tema 1.1 Multimi de numere. Multimi ~ielemente de logicii matematica1. a) Propozitia este falsa, contraexemplu x = 2, 5 si y = 2,5 . b) Propozitia este falsa, contraexemplu

x =.!.. c) Propozitia este falsa, contraexemplu pentru x = 1000 x2 + y2 ;to 2012 \;;fyE lR3 .

2. Propozitia este falsa, contraexemplu x = I + J2 si y = 1- J2 sunt irationale, iar suma lor este

egala cu 2. 3. a) [v'2012 ] + (2 +.J2). {-J2} = 44+ (2 + .J2)( -J2 + 2) = 42.

b) [_I +_1 + ... + 1 ] =[I-.!.+.!.-.!.+ ... +_I_-_I-J =0. c) [v'2009]+3.{-!}-1·2 2·3 2012·2013 2 2 3 2012 2013 3 -

=44+3( ~I-( -1)) = 46. d) [.fi]+[ .J2]+ ... +[.JiOo] = 3·1 +5 ·2+7 ·3+ ... +19·9+10 =625.

e) [(../3 +v'7t] = 10+[ 2.J2l] = 19.4. a) XE [k,k +±} k E {0;1;2} => A =[ 0,±)U[I,%)U{2}.

b) {x} = ~ => B = { -: ,~,~}. 5. [ ~n2 + nJ = n ~ n:5 n2 + n < (n + 1)2, inegalitati care sunt evidente.

6. X>I~~E(O,I)~[~J=o. 7. a) {{x}+y}={x-[x]+y}={x+y}={x+{y}}.

b) {{x+y}+z}={x+y+z}={x+{y+z}}. 8. a) Fie kEZ. Pentru

XE[k,k+±)=>[X]=k, [X+±J=k ~i [2x]=2k, deci egalitatea este evidenta, Pentru

XE[k+±,k+I)=>[X]=k, [X+±J=k+1 ~i [2x]=2k+l, deci egalitatea este evidenta, b) Daca

x = -a avem [-a + b] = 0 => b ~ a. Pentru x = -b, avem [a - b] = 0 => b :5a. in final a = b .

9. Pentru x ;to 0 inecuatia (m2 -I)x + 2:5 0 are eel putin 0 solutie, deci x = 0 .

10. {XElRl(x+2)(X2-4)~0}={-2}U[2,+oo), deci elementul cautat este egal cu -2.

11. A=[I,I~l deci B={0,1,2} cu maximul egal cu 2. 12. AnN={1,2}. 13.

A = (-2,2) => A nB nZ = {-I} . 14. card(A) =26, card(B) =17, eard(AnB) =9 ~i card(AuB) =

card(A)+card(B)-card(AnB) =34. 15. ~=0,(142857) =>eard(A)=6. 16. 141=0,(36) deci suma

10cerutliesteegalacu 10. 17. - =0,(769230) =>al +~ +"'+~OI2 =335.(7 +6+9+2+3+0)+7 +6=9058.

13

18. Numerele I ~i 2 sunt printre radacinile ecuatiei x2 + mx + 4 = 0 , deci m E {-5, -4} . 19. Solutia 1.

lnIocuind solutiile I si 2 in ecuatia x2 + mx + n = 0 , obtinem sistemul

{m+n+I=O2m + n + 4 = 0 => (m, n) = (-3,2) . Solatia 2. n = XI.x2 = 2 ~i -m = XI+ x2 = 3 . 20. Observam ca

solutiile intregi ale ecuatiei se gasesc printre divizorii lui 4, deci solutiile posibile sunt 1,2 sau 4, adica

OE{4,5}. 21. a) ~4+2../3 =l+../3EA, {../3}=../3-IEA. b) Fie x=a+b../3,y=e+d../3EA.

xy = ac + 3bd + ../3 (ad + be) EA. c) Prin inductie se arata usor ca, daca x E A, atunci

x" E A, \;;fnE N· . Fie acum x =../3 -I, [x] = 0 => {x,x2 ,... ,X2012}c A, deci A are eel putin 2012

elemente. 22. Presupunem ca exista a,b E Z astfel tncat ../3 = a + bJ2 => (../3 - bJ2f = a =>

o2=3+2b2-2b.J6 =>b=O ~i a=.fjEZ, contradictie. 23. r+2xy+2i=(x+y)2+i=0=>

=>(x,y)=(O,O). 24. X2+3XY+4l=(x+Y~J +13{ ~O, \;;fX,YElR. 25.x2+y2+z2+4x+

+6y_2z+14=(x+2)2 +(y+3)2 +(Z_I)2 =0 =>x=-2,y=-3,z=l=>x+ y+z=-4.

26. a) . x2 + l + Z2 - (xy + xz + yz) = M (x - y)2 + (x - z)2 + (y - zn= 0 => . x = y = z. b) in a)

luam x = a, y = b ~i z = 2 , deci a = b = 2.27. a) Se aplica inegalitatea mediilor pentru numerele

~ ~i ~. b) Inmultim intre ele inegalitatile a+b~2.,Jab, b+c~2Jj; si a+e~2~ ~i obtinemb a

. v'x-I I r=: (,----;)2 '....inegahtatea ceruta. 28. a) --:5 - ~ x ~ 2" x -I ~ "X -I -I ~ 0 . b) Impartim megahtateax 2

cu xy si obtinem inegalitatea v'x -I + ~ y -I :5 I , care este adevarata din a). 29. Cum Fa , ~~o,x y

avem trei cazuri: Fa = 0, ifb = 2 => a = O,b = 16 sau ~ =1, ~ =1=>a=l,b=1 sau

~ = 2, ifb = 0 => a = 4,b = O. Deci A = {(0,16),(1,1),( 4,0)}. 30. De exemplu a = I ~i b = 1. 31.

De exemplu a =.J2 si b = -.J2 .32. De exemplu (0,1,9).33. a) In2 <.J2 < if] .

b) ~ < .J2 < if]. c) .!. < J5 < .J3 I .J2 = .J3 +.J2 . d) .!. < log32 <In 2 , eCI siru an >1 este crescator.n+4 n+3 n+4 n+3 ne

2. an+1- an = (n + 1)2 - (n + I) - n2 + n = 2n > 0, deci sirul (an)n~1 este crescator,

I I 1 I I I I I I3. a)xn+1-xn = __ + __ + ... + ... __ = = __ + >0,n + 2 n + 3 2n + 2 n + I n + 2 2n 2n + I 2n + 2 n + I

deci sirul (xn) I este crescator. b) xn+l- x, = rn+2 1 Fn+l ~ .j;; < 0, deci sirul (xn LIn" n + 2 + n + I n + I + n

e t I deci I () este crescator.s e descrescator. c) xn+1- xn = ( )( ) > 0, eCI siru Xn n,,1n+2 n+1

n I v- I(n I n 1 ) I( I ) ( I) d4. a)xn = ~k(k+I)(k+2) =2 ~k(k+l) - ~(k+I)(k+2) = 2 1- (n+2)(n+3) E 0'2 ' e

~ ~-_1-2J=I-_1_2 E(O,I). c) Xn=_1_ E(O,I).trl..,k (k+l) (n+l) n+1

und .. . I' b) ~ 21:+1e marginirea siru U1. ',I x" =L.. 2

k=lk(k+l)

l'

5. a) Fie r ratia progresiei. 023-05 = 18r = 36 =:> r = 2. Os = 00 + 5r = 7 =:> 00 = -3. 013= 00 + 13r = 23.

b) 0n=2015=-3+2n=:>n=1009, deci 2015=01009. c) T=02+0S+0g+ ... +02012"=

=6~1(02+02012)=671.2011=1349381. 6. Fie r ratia progresiei. 04-a2=4=2r=:>r=2.

al +0:1+as +a6 =30=4a1 +llr=>al =2. ~ = ~(~ +".!J)=420. 7. 2(x-l)2 =x+(x+2)=>4 =0; -Xi =3.

8.2(I-x)=(x+I)+4=>x=-1 9. 2{Z-°+2+1) =20-

1+ 20+

1 +1, ~i notand 20=1>0 obtinelll

(4 ) / 8 • 100-1ecuatia 2 -+1 =-+2t+1=>/1=--'/2=2, deei a=1. 10. a) In suma sunt --+1=34/ 2 5 3

tenneni, deei 1+4+7+ ... +100=324(1+100)=1717. b) In suma sunt 201~-2 +1=503 tenneni,

5032+ 6+ 10+ ... + 2010 = -(I + 2010) = 503 ·1006 = 506018.

2deei c) suma

2n + 3 - I . d . () ( )2 • .2 + I = n + 2 tenneru, eel I + 3 + 5 + ... + 2n + 3 = n + 2 . d) In suma sunt n termeni, deci

1+ 5 + 9 + ... + (4n -3) = ~(4n - 2) = 2n2 - n .2

11. Suma ceruta este egala

....IWa:I-

~::::Iou.:.><....I-ea..::::IVU.

1+ 3 + 5 + ... + (2n -I) = n2. 12. an+1= (al + a2 + ... + an+l) - (al + a2 + ... + an) = 2n + 2 => an = 2n ,

obtinern deei un sir in progresie aritmetica, 13. a) Forma generals a termenilor din suma este

4n-3, n~l. Fie x=4n-3=>1+5+9+ ...+(4n-3) =~(l+4n-3) =2n2 -n=23I=> n = II => x = 41. b) Fie2

x=2n-l, n~l. 1+3+5+ ... +(2n-I)=n2=225=>n=15=>x=29. c) x+(x+I)+ ... +(x+x)=

x+J=-2-(3x)=45=>x(x+I)=30=>x=5. d) Fie x=3n-l, n~l. 2+5+8+ ... +(3n-I)=

= %(3n + I) = 57 => n = 6 => x = 17. 14. Ratia progresiei aritmetiee este egala eu 3, primul tennen

este I, deei alO=28. 15. a6+aI6=a3+aI9=10. 16. a) Oz+a3+aI9+a20=8=2(al+0z1)=>

21 10=> al + a21= 4. al +Oz+···+Ozl =-(al +Ozl) =42. b) Oz+a4 +···+Gzo =-(Oz +Gzo)=5(~ +azd =20.2 2

;; 17.a) al +a4 +an_3+an =2(al +an) =300=> al +an = 150. S; = ~(al + an) = ~ ·150 = 600 => n = 8.~ 2 2~ b)S3n=9Sn=> 3n(2al+(3n-l)r)=9n(2al+(n_l)r) =>r=2al= 2 2a:~ 3 18 a + c . 2 ( a + C)2 ()2 2c} =>al =. . b=-2- ~I b =ac=>ac= -2- => a+c =4ac=>(a-c) =O=>a=c=b.

~ 19. a -17 = 17 - 2 = 15 => a = 32 ~i 2b = a2 => b = 512. 20. Fie q ratia progresiei geometriee.

~ a + b + C = a{1 + q + q2) = a[1 + q(q + I)J ~i cum 1+ q(q + I) este numar par, rezulta ea a este numaro~ par, de unde eoncluzia. 21. (x _1)2 = X + 5 => XI= -I, x2 = 4, deei x = 4. 22. Cum aeR' =>4 ,-Xi ;cOZ; . xi = 3XIX2=> x2 = 3xI => XI + x2 = 4xI = 4 => XI = I => a = 3. 23.Avem xi =4xi =>4 =1=>a=-3.

24. Sirul este 0 progresie geometrica eu ratia 2, deei 4 = a3 = a023 => ao =.!.. 25. Fie q ratia2•

198

geometrice b3 = 24 = l => q = 2 => b, = 3. 26. Evident s > 1. Pe de alta parte~ 6

II I I 1-101 ( 1)__ 2_-2 1-- <2-1+-+2"+···+---uiQ- I - 2101 .s= 2 2 2 1__

2

1 IIIs = 1--+---+ ... +--wi2 =

2 4 8 227.

(1)20131- -- 2( I) 22 =_ 1+-- >_

==-;_(_~) 3 22013

3

1 ( 1)12I-IT 5 I 1- -S

a=_5 =-(I-IT)e(I,2)=>[a]=I; b= ( ) =I-.!. 4 5 1- _.!.

5 5

28.

sunt

==~(J+5!2)e(0'1)=>[b]=0. in final [a]+[b]=l. 29. Daca x=l, egalitatea din enunt este

echivalenta eu 122 -1 = II ·13 evident adevarata. Daca x;c I, egalitatea este echivalenta eu

(1-;ZJ2 _Xl = I_Xl .1-}3 => (I-XZt -xl(1-4 =( l-XI)(I-}3), egalitate care se verifica irnediat.I-x I-x I-x

. . . . b3+b4 b3(I+q) 230 Fie q ratia progresiei geometrIee, -- = ( ) = q = 4 => q = 2 . 31. a) Fie q ratia

• b, +b2 bl l+q

progresiei.

b4-bo=bo{l-I)=bo{l+l){q2-1)=3{I+l)=15=>l =4=>q=2 =>bo=1 b2=4. b) Suma

I-lare 9 termeni, deei S8 = bo-- = 511 . 32. a2 - al = r e Z. Daca presupunem cal-q

br < 0, 3k e N' : ak+1 = al + kr < 0 contradictie. Deei r ~ O. 33. Ratia progresiei este q = ~ e Q .

ell

Presupunem ca q e Q \ Z . Fiea

q=-b

a>1 siserierea ea fractie ireductibila,

I bP+1 bP+1 • • •"=aP·a (aa)=1 peN Avem b =os" =aPa--=a--IlN,eontradletle.34. Fie cUJ " , . p+2"" aP+1 a

ratia progresiei, deei ~ = q2 = 4 => '" = :~ =% => ~ = "'q6 = 96.35. 1(2)+ I{ 22)+ ... + I{ 29) =

2 29-1 (2 3 10) II 31-(-3)" +11-=2+2 + ...+29+9=22_1 +9=1031. 36. SI=31-3+3 -3 + ... +3 + = 1-(-3) -

:: ~(1 + 311) + 11. Tennenii din suma S2 sunt in progresie aritmetica eu ratia 3,

S2:: 1;(1(0)+ 1(11)) =210 .37. a) SI =(-5)+(-5~+ ... +(-5~+ 1(50) =-125+250-1 =124.25-ori

b) Tennenii sumei sunt in progresie aritmetica, deei S2 = ~(J(O) + 1(50)) = 51·124 = 6324 .2

c) S3 = 5( 1- 2 + 22 - 23 + ... - 29) = ~(1- 210) •

•199

Tema 1.3 Functii. Proprietiti generale. Lecturi grafice.

1. f(±)=H}+{l}=~*f(O)=O. 2. f(X+±)={3(X+±)}={3X+l}={3X}==f(X).

3. a) f(X+2)={X;2}+{X+2}=H}+{x}=f(X)=>2 este perioada pentru functia f

b) g(X+6)={X;6}+{X;6}=g(X)=>6 este perioada pentru g. 4. l-a2==0=>a==±1

5. f(x) = 41x - 21-412 - xl = 0, decifeste constanta. 6. Pentru x E[3,8],f(x) =(8-x) +(x-3) ==5.

7. Pentru XE(O,+oo) +E(O,I)=> f(x)=O. 8. f(x)- f(y) y-Xx +1 x- y (x- y)(x-I)(Y-I) ==

f(g(x)) = g(l(x)),-I ) < 0, \ix, y E (I, +00), x * y, deci f este descrescatoare, 9.(x-I)(y-I

\ixEJR~2(x+a)-1=2x-l+a~a=0. 10. f(J(I(x)))=3-8x, \iXEJR, decifeste strict

descrescatoare. 11. f(l(O)) = f(O) = O. 12. f(x) = 0 => x( x2 -4) = 0 => XI= 0,x2 = I,X:J=-L

Punand conditia g(x;) =0, i=I,3=>aE{-1,1}. 13. f(x) Q=>X(X2 -4) :O;O=>XE(-00,-2] U[0,2] = A,...J~ deci max A = 2. 14. f( a) = a ~ a3

- 9a = 0 ~ a E {-3,0,3}, deci suma ceruta este egala cu O.I-

~ 15. Pun em conditia ca ecuatia f(x) = y sli admita solutii reale ee x2 (y -l)-x(y + I) + y-I = 0o~ ~~~0~(-y+3)(3Y-l)~0~YE[~,3l deci Imf==[~,3l16. Ecuatia Ixl=y admite

:: solutii reale daca ~i numai daca YE[O,+oo) , deci Imf=[O,+oo). 17. (Jog)(x)=x2-1, deci;:)u imaginea functiei fog este [-1,+00). (gof)(x)=(x-I)2, deci imaginea functiei s=! esteU~ [0, +00). 18. a) I j!' Im f ~ ecuatia f (x) = I nu are nicio solutie, ceea ce este adevarat, b) f (1) = ~CC

ffi ~i in plus f(x)=+-:o;.!., \ixEJR. Deci max(J)=.!., punctul de maxim fiind x=l.CL x +1 2 2:E (-I Ia c) f-I)=2~-2"EImf. 19. f(I)=-1 ~i in plus x4_2x2=(X2_1)2_1~_I~11\! f(x) ~ -I, \ix E JR. 20. a) x Er' ({0;2}) ~ f(x) E {0;2} ~ x E {±I,±v'3} = rl ({0;2}).

ffi b) f(X)E(3,+«.»~x2>4~XE(-oo,-2)u(2,+oo)=rl((3,+oo)) c) f(X)E[3,8]~d x2E[4,9]~XE[-3,-2]U[2,3]=rl((3;8]). d) Ecuatia f(x)=m are 0 sigura radacina daca ~i.w numai daca m = -I .::t:UCCZoa::cZCC:E

•

21. Punem conditiile f(l) ==0 si f(O) = -I, deci n = -I ~i m = O. 22. a) . f( -x) = _x3 +.!. =x

TX +2xf(-x)=-x3+--=-f(x), \ix E JR'. c)-x

f(-x)=ln(-x+v'x2+1)=ln ~=-f(X), \iXEJR. d) f(_x)=ln3+x=x+ ~+I 3-x

-f(x), \ix E JR'. b)

!OO

j(X), \ix E (-3,3) .23. Punem conditia f(-x)=-f(x), \iXEJR ~_x(e-x+ex)+a=

..._[x(ex+e-X)+a] ~a=O. 24. Avem f(-x)=f(x), .\iXEJR , deci f(I)~f(-1)~~~b~4==_(0+ b)+4 ~ a + b = 0 .25. Dacajeste functie para, atunci f(l) = f( -I) ,declfnu este injectiva,

1(0) = - f(O) => f(O) = 0 => 0(0,0) E Gf . 27. f(g(x)) = x ~ 2(ax + b) + I = x,J6. I 1

b 28 Prin inductie dupa n. Pentru n = I egalitatea devine\fxEIR~a=2"' =-2". •

f(x) '"'i x + z' -I evident adevarata. Daca f 0 ~:o~·0 f(x) = 2" x + 2" -I, atunci

~(x) = 2" I(x) + 2" -I = 2" (2x+ I) + 2" -I = 2"+1x+ 2"+1-I. 29. a) Functia j" este strict

11+1-00

c;rescAtoare,fiind suma a doua functii strict crescatoare (1I'/2 : JR~ JR,II (x) = x3 ~i f2 (x) = x + I ),

deci este injectivli. b) 1(0) = f(l) = I, deci 1 nu este injectiva, c) 1(0) = I( -I), deci f nu este

injectivlL d) Ecuatia 1(x) = 2 nu are nicio solutie numar natural, deci 1 nu este surjectiva.

I 230. Arlitlim cli ecuatia 1 (x) = y are solutie unica vv E [2, +00). x + ~ = y ~ x - yx + I = 0 ~

<=:>x,",y±~ E[I,+oo)~X=y+~. 31. Ecuatia f(x)=y are unica solutie

x = ~(I + IOg2y) E JR, \iy E (0,+«.», deci rl: (0,+00) ~ JR,rl (y) = i(1 + IOg2y). 32. Determi-

nlm singura solutie strict pozitiva a ecuatiei f(X)=y,YE(I,+«.»

<=:>x2+x+ 1- y =0 ~ x = -I+~ > 0, \iy E (1,+00), deci rl :(1,+00) ~ (O,+oo),rl (y) =2

= -I+~. 33. Daca g(3)=a~/(a)=3=>a=0, g(O)=b=>/(b)=O=>b=-L Deci2

g(3)+ g(O) = -I . 34. Pentru x E [1,+00) => I( x) E [5,+00) = Iml = [a,+«.»=> a = 5. 35. Functia feste strict descrescatoare pe intervalul (-00,1] si strict crescatoare pe [1,+«.», deci a:O;-I. 36. Fie

rl (4) = a => I( a) = 4 = 1(1(1)) ~i cum 1 este injectiva rezulta cli a = 1(1) = 2. 37.

fof=IR~f(l(x))=x, \ixEJR~a2x+ab+b=x, \ixEJR=> a=1 ~i b=O sau a=-I ~i

hElR. Deci perechile (1,0) ~i (-I,b)EJRxJRcubEJR verifica cerinta fo/=IR· 38. a)

TEH~f(x+T)=/(x), \iXEJR ~i inlocuind x cu x-T obtinem I(x-T) =/(x) , \ixEJR~-TEH.b) f(x+7; +T2)=/(x+7;)=/(x), \ixEJR~7; +T2 EH.

ilerna 1.4 Funqia de gradull. Funqia de gradul alII-lea ..!:

u1. Fie f(x)=ax+b=>f(I)=2,f(-I)=O=>{a+b=~ =>a=l=b=>/(x)=x+l. 2. a) ~-a+b-O ~

w

G/noX={(-~,O)}EGg ~i (O,I)EGfnOy,deci g(-~)=o si g(O)=-1 =>g(x)=-2x-1. ~

•201

b) Gf nOy={(O,I)} eGg ~i (-~,o)eGfnOx,deci gGJ=o si g(O)=1 =:>g(x)=-2x+I.

c) Gf nOy = {(O,l)} ~i ( -~,o J e Gf rsOx , deci gG) = 0 ~i g(O) = -1 =:>g(x) = 2x-I.

3.Avem A(I,O)eGfnGgnOx ~i cum B(0,3)eGgnOy=:>C(2,3)eGf. Deci

{a+b =0

/(1)=0,J(2)=3=:> 2a+b=3=:>a=3,b=-3~ /(x)=3x-3. 4. Im/=[-5,-I]=[a,b]~

a=-5,b=-1.5. Se impune conditia Im/=(1,7]. Avem doua cazuri {/(I)=I sau {/(1)=7/(4)=7 1(4)=1'

deci a=2, b=-I sau a=-2, b=9. 6.m2-2<0<=>mE(-.J2,.J2). 7. a) m-I >O~2m+2

m e (-00,-1) u(I,+oo) . b) /m (I) = 0 ~ m = -%. c) Functia /m este descrescatoare, deci m e (-1,1) .

d) Functia I; este constanta, deci m = I .8. a) Ix + II = 21xl <=>x + I = ±2x ~ X E {-~, I} . b) Avem

di . 0 d . 2 {} {x + 2 = 0con ItIa x ~ , eCI x -4 = ±3x ~ x E -4,-1,1,4 n[O,+oo) = {1,4} . c) 2 ~ X =.,-2.x +x-2=0

~ d) Pentru XE(--<XJ,3)~(3-x)+( 4-x) =O~x=~ f1'(--<XJ,3); pentru xE[3,4] ~x-3)+( 4-x) =1~XE[3,4], iar

i::l pentru XE(4,-+00)~(x-3) +(x-4) =O~x=~ f1'(4,-+00).9. a) _1__ 2 ~ 0 <=>-2x-1 ~ 0 <=>XE(-I-.!.J.~ 2 x+I x+I ' 2

.s b) x x +I -4x-2 (IJ x2-16 x-4~ x+2 - x-I ~O<=> (x+2)(x-l) ~O<=>XE -2'-2" U(I,+oo). c) x(x+4) =-x->O~

a ~ x E «-00,0) u( 4,+00)) \ {-4} . d) (x- 2)( x2 -3x+ 2) = (x _2)2 (X-I) ~O ~ x E (-oo,I]u{2} .U

~ 10. a) xEG,IJnZ={I}. b) XE[ -1,%JnZ={-1,0,1,2}. c) x2 E(I,4)~xE((-2,-I)u(I,2))nZ=0.0(

ffi 11. a) X-IE(-3,3)~XE(-2,4). b) Pentru xE(-oo,-I)~I-x-I-x~4~xE[-2,-I); pentru

~ xE[-I,I]~I-x+x+I::;4~xE[-I,I], iar pentru xE(I,+oo)~x-l+x+I::;4~xE(l,2]. in•a final x E [-2,2] . c) x2 - IE (-1,1) ~ x2 E (0,2) ~ x E (-.J2,.J2) \ {OJ .

'"~ 12. a) x+ 2 E [-1,1] ~ x E [-3,-1] nZ = {-3,-2,-I} . b) 413-xl::; 21x-31 =>21x -31::; 0 ~ X E {3} .

~ .• Cum {IX+21=0 {IX+21=IU,I c) x E Z rezulta cli avem 3 cazuri: 2 ~ X E 0, ~ X E 0 ~id 1x - 41= I 1X2 - 41= 0

{IX+21=0Ix2_41=0~XE{-2}. 13. Ecuatia /(x)=O nu are solutii in intervalul (0,+00), deci

•U,IXU0(Z

g 2m-2::;0~mE(-oo,I].14. Fie l(x)=ax+b~/((J(x)))=a2x+ab+b=4X+3~{a2=4 ~i~ b(a+I)=3; cum a>O obtinem a=2,b=I,deci /(x)=2x+1.15. xE(-4,2)nZ={-3,-2,-I,0,I}.

16. Notand a = X2 + 2x obtinem ecuatia a +.!. = 2 ~ a = I =:>X2 + 2x -I = 0 =>x = I ± .J2 E IR\ Q .a•

202

1 = 2 =:>- m = 2 =:>m = -4. 18. Punem conditia ca ecuatia I(x) = y sa admita solutii reale,, • Xv 2

. X2 + X + I - y = 0 =:>6. > 0 ~ 4y - 3> 0 =:>y e [~,+oo). 19. Functia I este descrescatoare pe~I - - 4(0,2) ~i crescatoare pe (2,+00), deci 1m/=[Yv,+oo)=[-3,+oo). 20. a) Im/=/(IR)=

[1,+<1:l) ~ Iml 0 I 0 I = /(1([1,+00))) = 1([1,+00)) = ~I,+oo!. b) a> Xv = 1. c) f im -x) =.

::::I(m+x), V'xEIR<=>dreapta x=m este axa de sunetne pentru Gf<=>m=xv=l. 21. xv>O ~I

o deci mE(-oo.!.)n(.!. +oo)=('!','!'). 22. IYvl=I<=>la-II=I<=>aE{0;2}. 23. Fiey.? , ,2 8' 8 2

I(x)=d+bx+c. Avem a-b+c=l, c=l, a+b+c=3~a=b=c=l, deci I:IR~IR,/(x)=~+x+l.

2". x, =1 ~i Yv = 2~ a=-2, b =3.25. Xv =2 si Yv =3~ a=-4, b=7~ lex) =x2 -4x+7~

::> 1(3) = 4. 26. Xv=2~~ =2~a=4 ~i 1(1) =2~b=-1. 27. Xv=-1 ~ I( -1) =m2 -1 =g( -I) =

:=1=>m=±.J2. 28. a) 6.<0<=>4(m-I/-4m(m+I)=-12m+4<0~mEG,+oo). b)

12(x) = 2X2 - 2x + 3, iar Im/2 = [Yv,+oo) =[% +(0) . c) Img = 12 ([-1,1]) = [%,7]' d)

x = 2 ~ m -1 = 2 ~ m = -I. e) {m > 0 ~ m E (.!.,+00). j) Avem doua cazun• m 6. = -12m + 4 < 0 3

mE(o,~J

I(x) > 0, V'x E IR<=>m E (~,+oo ) sau 2(m-I) ( IJXI + x2 = m ::;0 <=>m E 0'3 .

m+1XI~ =--~o

m

Finalizare mE(O,+oo). 29. 6.=0~1-4m2=0~m=±~. 30. (Jog)(x)=/(g(x))=2(x2-a)+a=

=2x2-a>0,V'xEIR, deci a<O. 31. Avem conditiile a+I*O ~i

A >0<=>9( a_I)2 -4( a+ 1)(a-I) > 0 <=>aE((--<XJ,I)v(¥,-+oo)}{-I} 32. a) Daca a = 1 ecuatia

4x + 2 = 0 admite solutii. Daca a * 1 avem conditia 6. < 0 <=>8(a + 1) < 0 <=>a E (-00, -I) .

b) Daca a = I inecuatia 4x + 2 > 0 admite solutii, deci nu convine. Daca a * I avem conditiilea+1 I

Q -I < 0, 6.::; 0 <=>8( a + I)::; 0 <=>a E (-00,-1] . c) 6. = 0 <=>a = -1 . d) Xv = 2 ~ - a -I = 2 ~ a = 3' iI

>C(

U

~~U,I

~~

33. Y = -6. = 2 ~ 4a + 3 = 2 ~ a = ~. 34. Functia I este strict crescatoare pe intervalul [xv, +00) ,v 4a 4 4

deci punem conditia x, ~ I ~ a ~ _.!.. 35.Functia/este strict crescatoare pe intervalul (-00, x.] , deci2

4PUUemconditia x ~ 2 ~ a ~~. 36.a) ~+~=I<=>xl~ =XI +~ <=>m+I=-(2m+3) ~m=--3'

I v 2 ~ ~ •203

b) x~ = ~ <=>(XI -~)(XI +~) = 0, avem deci doua cazuri: daca XI = ~ ~ 6 = 4m2 + Sm+ 5 = 0 ~

3 I 2~ m ~lR, daca XI +~ =O~m=-2' C) XI -~I=I~~ +~-2xl~ =I~4m +Sm+5=I~m=-1.

d) XI +1 =x2 ~XI +X2 =2xl +1 =-2m-3~ XI =-m-2~ _m2 -2m-I =O~ m =-1.

37. x~x2+xlxi=xlx2(xl+x2)=(2m-l)(m-l)=2m2-3m+1 cu valoarea minima egala cu

-6 = _.!. . 38. x~x2 = xlxi <=> XIX2(XI - x2) = 0, daca 0 rlidlicina este nula, atunci m = -1, iar daca4a 8

radacinile sunt egale atunci 6 = 4m2 - 3 = 0 ~ m = ± ~ .39. XIX2< 0 ~ m -1 < 0 ~ m E (-00,1)

40. XI' x2 < 0 <=> ~ < 0 <=> ac < 0 ~ t:. = b2 - 4ac > 0 ~ XI ;to ~ si XI'x2 E lR . 41. Cele doua ecuanta

au eel putin 0 radacina comuns. Observam ca ecuatiile nu pot avea doua radacini comune (nu sunt

coeficientii proportionaLi). Fie a radacina comuns. a2 - a + m = 0, a2- 2a + m + 10 = 0 ~ prin

scadere a=1O~m=-90. 42. 2a=xl+x2=-2~a=-1. 43. a) l(x)=y<=>yx2-x+y=

=0 <=> t:. ~O <=> YE[-'!','!'] =Jm/. b) m > maxi =.!.= 1(1). c) n::;; mini =-.!.= 1(-1).44. a)2 2 2 2

Avem deci

-'wa:l-

i::::lou.:·>cC-'0(~::::loU·

XI X2 XI x2 37b) + -+-=--.c)Prininductie(compLeta)dupan. So=2EZ,xi + 2X2 -13 X2 + 2x - 13 x2 XI 13iar daca presupunem SiEZ,V'iE{O,I, ...,k}, atunci Sk+I=-Sk+13Sk-IEZ 45.

a=-(~+~)=-.!.,b=~.~=-.!. 46. Luam x2=1-.J3, s=Xj+x2=2 si p=xl~=-2,XIX2 3 XIX2 3

deci ecuatia va fi x2-2x-2=0 47. a=xl+x2=3, iar

XIX; + X2X~= XIX2(XI + ~) = 3b = 6 ~ b = 2 . 48. Din a doua ecuatie obtinem ~ =.!. sau ~ = 2 , deciY 2 Y

obtinem solutiile (1,2) ~i (2,1). 49. Adunand cele doua ecuatii obtinem

X2 +4x-S = 0 ~ XI = I, ~ = -S. Pentru X = I ~ Y = ±I, iar pentru X =-S ~ Y = ±~. Solutiile

sunt (1,1),(1,-1),( -s,~),( -s,-Ji3).::::lUVIWZ

>cC

~ lema 1.5 Puteri ~i radicali. Ecuatii iratlonalewd 1. a) -Ii = 1(26 < if5 = 1:tJ53< if4 = 1{j44. b) .J3 = 1(}4 < *' = I~ < ~ = I~ . c) Numerele sunt

.J3 +,Ji ../5 + .J3 J7 + ../52 2 si 2 d) Se cunoaste inegalitatea mediilor

{ } a + b t=; 2 2ab . .. .max a,b ~--~"ab ~-I--I =--~mm{a,b}, a,bE(O,+oo) cu egalitate daca ~I numai daca

2 _+_ a+ba b

·w::tU0(Zoa:oZ0(

~ decia=b. ~iLuam

•204

2. [~J = 1 <=> ~ E [1,2) <=> I::;;n < 2" , inegalitate adevarata pentru V'n E N, n ~ 2.

3. a=J(2+J3t +J(2-J3r =4.4. ~+ :2 =(x+~J -2=14. K+ ~ =(x+~J -3(X+~)=S2.

5. Functia I este strict descrescatoare pe intervalul (-00,2) si cum1-'-

I I 1 .!.-1: "I I r=r 2+22"+"'~ 2 I-.!. ~

vava"a ...Fa =a 2 =a 2 =a 2" EN.~

n radicali

2"Alegem, de exemplu a = 2 .

rr=: c=r rrr; x2-97. X = ~S-a +~4+a ~ X2 =9+2~S-a,,4+a ~ "S -a,,4+a =-2-'

I-...!...I 2"

I I I 1 I I I 2-1 _...!...9. 1<~6~6~6 ...if6 =62+2.3+B4+···+~ <62+22"+"'+;; =6 12 =6

12" <6.

~2,fi '!'+'!'_3. 2. S10. __ =22 4 6=212=2a~a=-.

if4 12

11. (,fi+ I) (~ + I) (t12 + I) (I~ + I) (I~ - I) = (,fi + I) (~ + I) (t12 + I) (t12 - I) = ... = 1, de unde

cerinta,

12. _1_+ 1 + .J31.J4+"'+ m lJiOo

=(,fi-I)+(.J3-,fi)+ ... +(JiOo-m)=91+ ,fi ,fi + .J3 3 + 4 99 + 100

13. ~3-~29-12../5 -../5 =~3-~(2../5 -3t -../5 =~3-(2../5 -3) -../5 =~(../5 -It -../5 =-1

14. 27 =S-x+3+x+~S-x·V3+x(VS-x +V3+x)~ VS-x .V3+x = I:.{X+2~0

15. JiOi = 10,049 ... ~ a2 = 4. 16. a) Conditii de existents: X ~ 0 . Ecuatia devine

{X+I~O

x2 _ X - 2 = 0 ~ XI = 2, x2 = -1 , deci solutia finala este x = 2 . b) Conditii de existents: X _ S ~ O·

Ecuatia devine x2 -llx + 24 = 0 ~ XI = 3, x2 = 8, deci solutia finala este X = 8. c) Notam

{x+l ~ 0 E t'.Jx = a ~ 0, deci a2 + a - 6 = 0 ~ a = 2 ~ x = 4. d) Conditii de existents: 1_ 2x ~ O· cua ia

devine 3X2 - Sx = 0 ~ XI = 0, x2 = ~ , deci solutia finala este X = 0 .3

17.a) Conditii de existenta X ~ -1. Prin ridicare la patrat avem x = O.

{

X~Ob) Conditii de existenta 1. Avem x2 - 2x + 1= 0 ~ x = I solutie.

X~-2

c) Conditii de existenta {X~1 . x-l+2_ 2 rc 1)( )-1 -I -2x~2 x+ y x- 2-x - =:>xl- ,x2- •

d) Conditii de existenta {x ~ -I . x2 -Ilx + 24 - 0 =:> 3 8' fi I 3' .x ~ 5 - XI = 'X2 = ,In ina x = smgura solutie,

e) Conditii de existenta x ~ o. ~ -I = ±2 =:> x = 9 singura solutie,

18. a) Conditiile de existenta sunt x + 4 > 0, x - 4 > O. Daca notam .Jx + 4 = a > 0r=': obtinern"x-4

2 II 2 52a +- =-3 =:> al = 3, a2 =- =:> XI = 5, x2 = --, solutia finala este x = 5a 3 5 t .

J§+4--=a>Ox-4

x+4b) Conditiile de existenta sunt -- > 0 . Daca notam

x-42 II 2 52

a +- = - =:> al = 3, a2 = - =:> XI = 5, x2 = -- ambele solutii sunt bunea 3 3 5 .

19. a) Conditii (x+2)(x+3)~0, iar ecuatia devine x2+5x-6=0=:>xl=l,x2=-6, ambele

solutii sunt bune.

b) Conditii x + 2 ~ 0, x + 3 ~ 0 , iar ecuatia devine x2 + 5x - 6 = 0 =:> x - I - -6 . .. I - , x2 - smgura solutle

fiind x= I

obtinern

20. a) Conditii x> 0, x * -I. Notam ~ = a ~iobtinem a +.!. = ~ =:> _ 2 _ Ix + I a 2 al - , a2 - 2" =:> x = I

b) Notam x2 + x -I = a ~ 0 ~i ecuatia seFa + .Ja + 3 = 3 =:> a = I =:> x2 + x - 2 = 0 =:> XI = I, x2 = -2 .

c) Conditia de existents este x> O. Notam _x_ = a > 0 =:> a +.!. -!Q _3 _ I2 I-=:> al - , a2- -. Pentru

+"x a 3 3

_ (3+.J33}2 . Ia - 3 =:> x = l--2- , iar pentru a = 3" =:> x = I .

;:) 21. a) x=7.Z~ b) ~x-l=a=:>a3+a=0=:>a=0=:>x=1.III~ c) Ecuatia se serie 1- x = (x + 1)3=:> x3 + 3x2 + 4x = 0 =:> x = O.~; d) Ecuatia se serie x + I = (I - 2X)3 =:> 8x3 - 12x2 + 7x = 0 =:> x = 0 .u~ 22. a) Conditiile sunt x ~ I, x + 8 ~ 6.Jx -I . Ecuatia se serie (.J x -I - 3)2 = I =:> x = 17 X = 5~ b)Notlim I , 2 .a::~ .Jx-I=/~O=:> )(/-3)2+)(2/_1)2 =3=:>/1-3/+/2/-1/=3=:> 1 =11 =!..-. -2 _10~ I , 2 3 -.' XI - , x2 - 9.a {2.JX -1-3, x E (5,+00)~ 23. a) f(x)=I.Jx-I-IH~ -21 = I, xE[2,5]o~ 3-2.Jx-l, xE[I,2)

~ Deei f(x)=I<:>XE[2,5].

~ b) 1mf = [1,+00) =:> m E [1,+00).

24. a) f(x) = l.Jx -I + II+1.Jx-I + 21= 2.Jx-I +3 .

...IIIIa::l-

i;:)o

serie

u.:.-e...If;:)ou.

•206

peci f(x)=3<:>x=1.

b) Itnf ==[3,+00) si eumfeste strict crescatoare rezulta ea ecuatia f(x) = m admite 0 singura solutie

realii, pentrli oriee m E [3, +00) .

25. a) Funepa f: [0, +00) ~ R,f (x) = ~ + if; este strict crescatoare, deei ecuatia f (x) = 2 are

soMia unieli x = I .j\Il8log se rezolva ~i eelelalte ecuatii: b) x = 3 , c) x ==I , d) x = I , e) x = 8 .

26. Eeuapaseserie (.Jx-I-It +(~Y+2-2t =0=:>x==2,y==2 cu solutia (2,2).

27. a)Condipi x+2~0,x~0.

Inecuatie devine x2 - x - 2> 0 =:> x E (( -00,-1) u(2,+oo)) 1\[0,+00) = (2,+00)

b)Condipi x+2~0.Pentrli x < 0 inecuatia este satisfacuta. Pentru x ~ 0 inecuatia devine x2 - x - 2 ~ 0 =:> x E [0,2] .

Finalizare xE[-2,2].

c) Ineeuatia se serie 2 - x2~ 1=:> x E [-1,1] .

1 6 FunClia exponentiala ~ifunctla logaritmica.Tema • Ecuatii ~ilnecuatll exponentlale ~i logaritmice

, 2 91. a ==16, b ==3.2. a ==0, b = 2, c = 27 .3. a) ; b) 2; c) -; d) 0; e) 5;j) -.

3 164.11) 4 < 5 < 8 =:> 2 < log, 5 < 3; b) 8 < 9 =:> 3 < log, 9; 125 < 128 =:> 3 = logs 125 < logs 128 = 7 logs 2.

5 ,I I I8_log3I8 _log32+log39 - a+2 . b,1 I 20- I . ,I I _ a+2 .• IIJ ogl2 - - - --, 'J ogs - -- , CJ ogls 45 - -- ,

log3I2 log34+log33 2a+1 1-2a a+I

.fl I 60 - log, 60 _ log23 + log, 4 + log, 5 _ a + 2 + ab d I 5 -I 3 I 5 - b

.J og6 - -- - -, eoareee og2 - og2 . og3 - a .log26 log, 2 + log, 3 I + a

I 2 n(n + I) (I I I) n In x6. a) A=logax+ +...+n==---Iogax; b) B== -+-+ ... +--- ·Inx==--;2 1·2 2·3 n(n+I) n+I

c) c=lg(L3..~ ..... 998. 999)=lg_I_=_3' d) D=_n_._I n_Iog22==0;2 3 4 999 1000 1000' n + I Ig2 2 n + I 2

e) E ==loglO!2 + loglO!3 + ... + loglO!10 ==loglO!IO! = I .

7. Daeli pEN, atunci [Igk] ==P <:> P ~ Igk 10k ~ P ~ lOP+1 -1. Suma din enunt este egalli

2007 10cu 2008+ 9· L P . lOP ==-( 2007.102008 - 2008.102007 + 1)+ 2008.

p=o 9

8.11) Ig( a; b) = Iga; 19b <:> ab = ( a; bJ <:> a2 + b2 = 7ab; b), c) - se procedeaza analog;

(a+3b) I a+1 b (a+3b)2 2 i~d) Ig 2..)3 == g 2 g <:> 2..)3 ==ab<:>a2+6ab+9b2=12ab<:>(a-3b) =0<:>a==3b.

9. Se impun conditiile de existenta; obtinem: a) (2,00); b) (1,00); c) (-1,1); d) (-2,2) \ {I};

e) (-00,3) u (4,00) ; j) R \ {-I, 0, I} . 10. a) Avem f(x) = x(l + log, 2), deci f este functie de gradul I ~

strict crescatoare, deei injectiva; b) Analog, f(x) = x(1-log3 2), este functie strict deseresclitoare. :E12. Se inmulteste relatia log, x + loge x = 210gb X cu log, a ~i se foloseste a doua formula de la •

probabilitatea eerutll este .!.Q = ~ . 27 Trei dintre numerele f(O),f(I),f(2),f(3) sunt egale cu 053 25 • ,

iar al patrulea cu I. Sunt 4 cazuri favorabile, deei probabilitatea este ~ =....!..... 28. Sunt doar dou'4 64 <I

d· 2s 2 30 d fun .. " 30functii nesurjective - cele constante; eel sunt - = e ctu surjective; p = - .32

29. a) 9s; b) 4x4x93=16·729; c) AJ=6!=720. 30. a)C~=56; b) C;=45;n=1O; c)

C3 = 35; n = 7 ; d) C;. C~ = 100 . 31. a) A~ = 28 ; b) Ai = 120 ; c) 54 = 625 . 32. a) 64; b) 9; c) 16'n ,

3 6 243 4 C~ 10 36 12d) 125; e) 32; 1) 2·Cs =20.33. a)-; b) -; c) -; d) -3 =-; e) -; 1) -' g)

90 900 90 CiO 120 40 30 '

23 -I 7 I 27--=-.34. -.35.-.26 -1 63 10 36

Tema 1.9 Vectori in plan. Geometrie vectoriala. Geometrie analitica

1. in triunghiul ABP dreptele BC, PM sunt mediane ~i Neste centrul de greutate al triunghiului,deci M, N,P sunt coliniare. 2. Fie 0 centrul paralelogramului. in triunghiul ABD dreptele AO ~i DE

sunt mediane, iar F se afla pe mediana din D la .!. de punctul E, adica este centrul de greutate al3-'wa:

l-s:;)oo..L•

b=.!..3

MBD. Deci FeAO=AC. 3.

~ - - - 3- - 3:: 4. CE=CB+BE=--AB-AD~a=-- ~ib=-l.:;) 4 43 5. AC +BD =(AD+DC)+(BC + CD) =3BC ~ lAC +BDI = 12.6. Din teorema bisectoarei avem

•AB = BD =~~ AE=~AB+~AC~ a =~ b=~. 7. AN +BP+CM =.!.(AC+AB)+AC DC 4 7 7 7' 7 2

~(BA+BC)+~(CB+CA)=O. 8. Fie 0 centrul paralelogramului. W=~(M4+AC)=~(MB+MD)':E• de unde cerinta. 9. Daca G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci

a O=MA+MB+MC=3MG, deci M=G. 10. MN=MB+BC+CN, MN=MA+AD+DN ~i11\w~ adunand aceste relatii obtinem MN = ~ (BC + AD) . 11. Fie G este centrul de greutate al triunghiului ABCa:~ si G' este centrul de greutate al triunghiului MNP. GG'=~(GM+GN+GP)=

·~ H(~GA+%GB )+GGB+%GC )+GGC+%GA )]=~(GA+GB+GC)=O, deci G=G'. 12.zi Fie G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci 0 = HA + HB + HC = 3HG , deci H = G de~ unde rezulta cli triunghiul ABC este echilateral. 13. Fie E piciorul bisectoarei din A. Din teorema< . AB BD b - b - c - 1-~ bisectoarei avem - = - = - ~ AE = --AB + --AC = --AD, de unde rezulta cerinta.

AC DC c b+c b+c b+c

:;)Z-ea:wQ.

•210

AB = ~42 + (_3)2 = 5, AC = ~(-5r + 12" ~, at- ~nv-r.~ - ~., -J _

A. . .' e al eu 18 + J306 . 15. a) Vectorul vr::t+22s = J306 , deei perimetrul triunghiulut ABC este g 6 _•••.J81

-t- "' •• J _ (-: -') • \-\=lal\4i+3)\=5Ial=6~a=±-u.b)Vectorulte de forma v = a 41 + 3} , a e R ~l cum v 5

c:lutat es _ _ (-: _.)- _ (-3-: 4-') aeR ~i cum 1~1=lall-3i+4jl=5Ial=5~a=± -3l+4} .

, c1utat este de forma v - a 1+ } ,v 3 ) Fie D mijlocul laturii BC.

m-=__ =-I~a=3. 17. a16. U a

_ _ 5-: 5-. 1-.rJ_5 t;AD",.!.(AB+AC)=21+2}~ l'u-r2",2.

2 _ _ I _ - I ( -: -.) 1(-4)2 32 5 AC__ AC-AB=-3i- j~BG=-(BA+BC)=3 -71-4} . 18. AB=" + =, =

b) BC - 3di A D' teorema bisectoarei avemg;d ., I bisectoarei 10 . 10

52 122 = 13 Fie D picioru'" + 5

AB BD _2- AD=_I-AB+ 13 AC=~(-27i+99})~IADI= 118~272 +992.

_"'-- ~ 5 5 18AC DC 13 1+- 1+-13 13 __

TB.AC = AB.AC·cosA =10. 20. Fie Q(x,y). MN(-4,I)=QP(-I-x,2-y)~x=3,

19. 21. 1~1=1~~J4+9= ~a_I)2+1~a=1±2J3 22. ~.~=m(m-2)-3=y=I~Q(3,1). \j\ -

(__ ) ~.~ _1.3+2.(-1)=_1_. 24.COS(~'~)=~I·I~I= ~~=

O~m=3. 23.cos u,v =I~II~I- -/1+4-/9+1 ..[50 lu v 1+1 a +1

1 {a>1 ~{a>1 ~a=2+J3 25.Fie AD=xi+y} . Avemconditii1e

2=> 2(a-l)2 =a2 +1 a=2±J3

{

AD.lBC {X+2Y=0 __ 22 =~~AD(- 22 ,~). 26. ~.~=5.2+(-4)·3<0=>cerinta.__ ~ x+4 y-3~X- 5'y 5 5 5BDIIBC -=-

1 2 . .' AD-.!.(AB+AC)=3}~AD=3 '27. AB = AC = 5 => MBC este isoscel. Fie D prciectia lui A pe Be. - 2

24 76 ~IAD+TBI=fj6·28.IAD+ABl2 =(AD+ AB)2=Aff +AB2 +2AD·AB·cosA=36+16+ = 7

15 ...[10.-,;:;. 7BA.BC.sinB ",50 -_.

29.cosB- JiA.Bc _1~~sinB=Jl-cos2 B = 50· SASC 2 2 2-IBAI·IBq 15·..[10 _ _ _ _ - -)_

- 1(- -C) 1[(2-: 3-')+(-2i-3-}·)J=-}~AG(0,-2). 31. a) u.v=\uI\vIcos(u,v -30. AG=3 AB+A ='3 I-}

1- -I "3 cl cos(~~ + ~) ,

(1) 1- :i (- _)2 _~2 +~2 +2~.~=13~ u+v =",b. J4.3. __ = -6 . b) u +.\ = u + v -2

- (- -) -2 - - 5 (~) ~ .~ J3 ~ _ 57r 33 Mijlocul segrnentul::: U· u+v = u +U·V = __ . 32.cos u,v =~=-2~u,v- 6' •

lul'I~+~1 4·Jl3 2Jl3 \uI\vItului AB, atur

All este c(_.!. .!.) , panta dreptei AB este mAB = 1. Daca d este mediatoarea segrnen2'2

1 ( I)d: --=-1 X+- =::;,d'x+ - .y 2 2 . y-O.34.a)Fleddreaptaciiutatli. me= mAD=-I=::;,d:y=-x.b)

Fie C(x,O)=::;, mAC'mAD= x·~.\·(-I)=-l=::;'x=O=::;'C(O,O).

35. M este mijlocul segmentelor AC ~i BD, deci 1=1+2xc, _1=3+/c=::;,C(I,_S) ~i

2+XD -1+ YD (). - 2- (I)I =-2-' -I =-2-=::;' D 0,-1 .36. Fie M(x,y)=::;,AM(x+I,y+S)=sAB(3,6)=::;,M 5'-~ .

37. ~(U_6)2 +V2 =~u2 +(V_6)2 =~(u_12)2 +(v_12)2 =::;,u=7,v=7, deci M(7,7).

38. d:y-5=m(x-2), unde panta dreptei d este m=-~, deci d:x+2y-12=0. 39.

d:y-2=m(x-I), unde panta dreptei d este m=-I, deci d i x+ y-3=0. 4o. Fie D mijlocul

segmentului [BC] , deci D(2,1). Mediana din A are .ecuapa

y- YA = mAM(x-xA) =::;,AD :4x- y-7 =0.41. AB( -4,2)11CD(3,a+3) =::;,-4 =_2_ =::;,a =_2.3 a+3 2 .

42 XA+XB+XC YA+YB+YC ( )• xG= 3 'YG= 3 =::;,C2,-2 . 43.BC:x+y-I=0, deci d(A,BC)=

IXA+YA-11 3 I I~ = ,Jf + f =,fi' 44. ml = mz =::;,-a = 2 =::;,a = -2 45. Fie d' dreapta cantata.~i md· md, =-1 =::;,md, = 2 =::;,d':Y- 2 = 2(x-3). 46. Fie d dreapta cautata. mAD' md = -I =::;,md = -3 =::;,:::I~ d:y-2=-3(x-I). 47. Punctul C(-1,2) este mijlocul segmentului [AB], panta dreptei AB este

~ egala cu -I . Mediatoarea segmentului [AB] are ecuatia d :x - Y + 3 = 0 , deci

~ d(M,d)=,I-S+31 =_1 . 48. 3 4 4:::I ~,fi mAD= 4 =::;,mile = -3 =::;,hc :Y + 3 = --3 (x - 2) . 49. Punctuloy A( -2011,0) E d, si cum dreptele d, si d2 sunt paralele, rezulta cii! d(dl,dz)=d(A,d2)=1-201+al 2=::;,a=2011±2,fi. 50. Avem trei cazuri:

~ d(dl,dz)=d(dIA), d(d2A)=d(d2A) sau d(d3A)=d(d3,dz). Fie A(-2,I)Edl ~i

;; B(-4,3)Ed2· Cazull. d(A,dz)=d(AA)=::;,1-6+41=I--6+4+al=::;,a =4 =0 dar -0v 5 5 I'Gz, a-'"~ nu convine. Cazul 2. deB d )=d(B d )---..1-12+12+21_1-12+12+al'S '1 '3- - =::;,a=2a=-4 dar_ 5 5 I' 2 ,ac~ a=2 nu convine. Cazul 3 di A d )=d(B d) 1-6+4+al 1-12+12+alc:i . '3 '3=::;' 5 5 =::;,a=l.

~ 51.{A(-4,0)}=d2(JOx ~i {B(0,-2)} =d2 (JOy, deci dl=AB':x-2y+4=0, unde

~ B'(0,2)=SimOxB.52.{1+2a+b=0=::;,a=_2b=3=::;,a+b_1 53 m_m-2 3 54~ -1+a+b=O' -. .'3--=t=::;,m=2· •

o ~_ I _ -b I 7~ I -;-2=::;,a=2' b=-4=::;,a+b=-2 55. a) AB:2x+y-I=0 de unde cerinta, b) Aria

:E triunghiului ABC este egala cu 12a + b -II , de unde cerinta,

•212

Tema1.10

Trigonometrie. Aplica~ii ale trigonometriei ~iale produsuluiscalar in geometria plana

S = sin2lo +sin2 2° + ...+sin2 44°+!+cos2 44° + ...+ cos2lo +0 =44,5. b) P= sin1°.2

.sin20 ..... sin20110 = 0, pentru ca sinl800 = 0 2. a) S = sin 1°+ sin 2° + ...+ sin I80° + (-sin 1°)+

(-sin 2°) + + (-sinI800) = O. b) P = cosIo. cos2° ..... cos20110 = 0, pentru ca cos900 = 0 . 3. a)

tglO. tg2° tg89° = tglO . tg2° ..... tg44° . tg45° . ctg44° .ctg43° ..... ctglO = I.

b) cosIo+cos2° + ...+cosI79° = cosl'' +cos2° + ...+cosS9° +cos900 -cos89° -cosS8° - ...-coslo =0

4 ~ - F3 = 4 ~ !coslOo - F3 sin 10°= 2sinlOo cosf O''~. sinlOo cos lO'' 2 2

sin(30° + 10°) = sin 40° egalitate adevarata, 5. a)

a)

sina+cosa I 3----=1+-=-

sina tga 2

6. a=tg(7S0-ISO)=F3, b=sin(lOSO-4S0)= ~.

b)

2 3 . 2 22sin a+1 = sm +~os a =1+3tg2a=13

cos2 a cos a

7. sin4O°·sin140°=sin2 40 =cos2 50°=( -coS1300t =cos21300. 8. a)

I. . 0) 2+F3 23Jr. Jr 1[. (23Jr Jr) . (23Jr Jr)] I2(sm900+sm60 =-4-' b) cosU·sm12=2 sin U+12 +sm U-12 =4'

. (Jr) . (Jr Jr) J6 -,fi 9' . Jr . 3Jr . 3 . 2 . I 2' I 3 0c) sin 12 =sm '3-'4 =--4-' • sml>sm'4=sm4>sm . sin -sm = sm2cos2> ,

pentru cii ! ~ E (0 !:) . Finalizare numarul cautat este egal cu sin 2 . 10. I E (!:,!:) =::;,sin I > cosI .2'2 '2 42

. 16 4. . 24 sina 311. a) cos2 a = l-sm2 a =-=::;, cosa = -- =::;,sm2a = 2smacosa = --. b) tga =--= --4'

25 5 25 cosa

sin2 x + cos2Xtgx + ctgx = 2 =::;,. 2 =::;,

smxcosx12. 2 . 2 I Icos x=l-sm x=-=::;'cosX=--.9 3

13.

I = 2sin x cosx =::;,sin 2x = I. 14. Doar numerele 0 ~i Jr din multimea A verifica ecuatia, deci2

. 2 sinx-cosx sinx-cosx t: idi Iprobabllitatea ceruta este - 15. ( ) -V 2. 16. Prin n icare a5 sin !!"-x r;:;cosx- ~sinx

4 ,,2 ,,2

patrar obtinem sin2 a + cos2 a + 2sinacosa =! =::;,sin2a = -~. 17. Ridicam la patrat fiecare egalitate9 9

sin2a+cos2 b +2sinacosb +cos2 a+sin2 b+2cosasinb=% =::;,

18. I = tg (a _ b) = tga - tgb =::;,tgb - tga + tgb . tga = -I .1+ tga· tgb

le adunam, deci

2sin(a+b)= -3 =::;,sin(a+b)=-~.4 S

~lH<"'O tz=t:19. cos!:= 4 = ,,2+,,2 . 20.

S 2 2sin2x =!(sinx+sin3x) =sin2xcosx=::;,sin2x=0 sau cosx=l

2

21

6.4'sin 2"=>xe{o,f}· 21.Din formula lui Heron SABC=12=9r=>r=~. 22.0) SA'DC= 2 3 =6../3.

2 ( I) BC.J76 J¥6b) BC =36+16-2·4·6· -- =76=>PADc=lO+.fi6. c) -.-=2R=>R= r:;=-.2 smA 2~ 3

2

a2 b2 c2 2 2 2 . .23 sin2A + sin2B = sin2C ~ -2 + -2 = -2 =>a + b = c => triunghiul ABC este dreptunghic• 4R 4R 4R

cos" A+cos2 B =2cos2C=> (l-sin2 A)+

2 b2 2(l-sin2 B) = 2(I-sin2 C) => sin2A +sin2 B = 2sin2C ~ ~+-2 = 2~=> a2 +b2 = 2c2

4R 4R 4R

( (" ")) "tr. tr . tr -J2 +..J62S.cosC=cos tr- 4+3 =-cos4cOS

3+SLD

4SLD

3= 4 . 26. BC=2RsinA=6.

../3 BC 3 b2+c2_a2 162SinA=T=>R=2SinA=2../3=../3· 28.0) cosA= 2bc 24=3

2

cu ipotenuza 24.c.

27.

....•wa:l-

i::::Io

sin A = )I-i = ~ =>R = 2s~nA = 2 ~ = /J5'3

29. a + c = 2b =>2Rsin A + 2RsinC = 4RsinB =>sin A +sinC = 2sinB. 30. a2 sin2B = abc =>R

AB ·AC = c-b-cos A =8. b)

2a2 sinBcosB = 4 acsinB =>acosB = c =>cosB = ~ =>triunghiul ABC este dreptunghic. 31. Fie 02 a

BO·AO·sinOSABCD= 48 =>SAOD= 12= =

225'sinO 24 I tz: AD·IX·sinD=---=>sinO=-. 32.AC=vAB2 +BC2 -2AB·BC·cosB =,,76. Aria SADC =

2252

6 r:;3 AC·h h 12../3 33 . S 6176 7 ·hm,n h 12..J6 34 F' . . x"j = -2- => =.J76 . Aria ABC= ,,0 = -2- => min = -7 - . . te a cea mal \TIlCa

cateta, deci laturile triunghiului sunt a, a + I ~i a + 2 .a (a+2)2=a2+(a+I)2=>a2_2a_3=0=>a=3. Deci triunghiul are laturile 3,4 si 5. 3S.Prin11'1w ridicare la patrat avem 1+ 2sinBcosB = I + 2sinCcosC =>sin2B = sin2C =>Z< . 2B-2C 2B+2C tr= 2sm cos = 0 =>B = C sau B + C = - . Dar triunghiul ABC este ascutitunghic rezultaffi 2 2 2""Q cli B = C . 36. tgC = tg (tr - A - B) = tgA+ tgB = I =>C = !:.. 37. Triunghiuleste dreptunghiccu aria.:. 1- tgAtgB 4X~ S 6 I' 5 38 F' A ghiul b A a2+(a+I)2-(a+2f,.., = = p . r =>r = , lar R = - . • Ie un 0 tuz. cos = <~ 2 2a(a+l)QC

~ < 0 =>a2 - 2a - 3 < 0 =>a e (-1,3) n Z = {O,I,2}. Singura solutie este a = 2. 39. o)!:.+!:. = !:. ; b).: 6 6 3

~ -~+%; c) ~-(-~); d) ~+arcctg(J2)+tr-arcctg(J2)= 4;; e) ~-(,,-~). 40.0)

u:.centrul dreptunghiului. AC=10=>AO=5.

::::IZ<ii:wCL

14

sin( 2arcsin~) = 2Sin(arcsin~ )cos( arcsin~) = 2~~1- is ;(

I) . 2( . I) 7 .\' (" arcsin.!.)=../3'~I_.!._L.!.. d)b) cos 2arcsin"3 = 1-2sLD arcsLD"3=9; c/ SLD3- 3 2 9 2 3'

I) n -2tg(arctg3) =~. 41. 0) xe{E-,5tr}; b)_cos(arcsin"3 =-VI-9; e) tg(2arctg3)-I_tg2(arctg3) -8 6 6

{a+b=1

{3tr k Ik 'R} .. \ Daca notam a = sinx si b = cosx obtinem sistemul 2 2 eu

X E ±4 + 2 tr E /U I C/ a + b = 1

., ( ) . (01) deci XE{OE-}· d) x=tr_E-=2tr; e) 2sinxcosx=cosx=>solutllie 1,0 ~l " , 2 ' 3 3

COSX=0 sau sinx =~=> x E {2ktr Ik e Z} u{( _I)k ~+ktrl k ez};

{tr tr 2 +!:. 3tr + !:.} . g) 2xe{-2tr+ 5tr ,-2tr+ 7tr}C[_2tr,0]=>j) xe 4,tr+4, tr 4' 4' 4 4

{5tr _ 7tr} 42 0\ sin (x + 1C)=eos(1C -(x+ 1C))=eos(x_1C), deci multimeaxe -tr+8, tr+ 8 . . v 3 2 3 6

solutiilor este lR. b) x = .1. c) tg x = - .1=>x e {-~ + kr: I k e -l d) Dacli notlim

. . 2 _ --2' final {!:.+2ktrlkez} .a=sinxe[-l,q,obtmemecuapa a=2-a =>a,-I, a2 -,LD xe 2

I tr deci Ie) arcsin-=-, I X=-.2 6 2

Partea 2. ALGEBRA (clasele XI-XII)

Tema 2.1 Permutari. Matrice. Determinanli

1.a) OT = ( 1 2 3 4 5), TO' = ( 1 2 3 4 5). 65 3 2 4 1 3 4 1 2 5 ,b) o = e. 2. a)(l, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4); E(cr)

1(41325)= I. b) 0'- = 1 2 3 4 5 .3.a)k=4.b)412012~a2°12=e.

c) X=O'-I.(I 2 3 4)=(4 1 2 3)(1 2 3 4)_(1 2 3 43)'

431212344312-142

1 (I 2 3 4 5 6)4.a) 0'- = 6 1 4 2 3 5' b) m(cr) = m(cr-I) = 7. c) X4 este para, Vx E S6, c e impara ~ X4

_I (I 2 3 4 5)* o, Vx E S6' 5. a) x = a b. b) ab = ~ k - 5 .\ C I . .2 3 4 5 1 - . c/ e mal ITIlCnumar P E N* cu

b'' = e este 6. Daca k = 6c + r, 0 ~ r ~ 5 atunei ak = o'" .0" - r C k

I' -0'. aurmare,cy=e<:><J'=e<::>

= 0 4~ k = 6c <:>6 k.6. a) ~a. b) Prin calcul, a4 = b4 = e. c) xb3 = a3x <:>axb3 = a4x <:>axb3 = raxb - xb <:> ax = xb. 0 solutie este c. 7. a) m(cr)=4. b) IA I = 5 .\ X <::>. c) cr este para ~ 0" e para, V n

EN". 8. a), b) Calcul direct. 9. AB = (a + 3 b + (2),BA = (a + b 3a + 4b) •a+4 b+16 5 19' Rezulta a=l,

b=3~A=B. 10. AB=G ~JBA=(~ ~). deci AB=(BA)'. 11. X2=-I2,X3=_X,

~X+X2+ ... +XIOO=02' k (I k)12. X = 0 i l' deci

X + X2 + ... + XIO = (10 55). 13. AB = (2 + 5a 10) BA _ (2 10) .o 10 a 2' - a 5a + 2 ' deci a = O. 14. a)

A3=03' b) (I3-A)(I3+A+A2)=/3-A3=/3-03=/3' 15. a) Se obtine AB=(6) ~i

BA=[~I ~2 ~l'b) (BA)"=B(AB)(AB) ... (AB)A=6,-IBA.16.Fie A=(a ..) B=(b ..)1 2 3 ':1' Y , Y •

a) tr(aA) = ~aaii = a ~aii = atr(A) . b) tr(A + B) = t(aii +bii) = tr(A)+tr(B).i=1

17. Ca1cul direct. 18 Inductie P(2)' A2 - ( ) .• t . . - tr A A, adevarat dID exercitiul anterior;

P(n)~P(n+ I) 'A"+I-A" A ( ( ))"-1 2 ( ". - . = tr A A = tr(A)) A. 19.det(A2012)=0~det(A)2012=0=>det(A) = 0 ~ A2012- tr(A?OII 2012

[~ JJ] [co~; tr~~~l= 0 ~ trCA)r=0 ~:2 = ~(~:l= O

2• 20. Inductie dupa n.

21. A = 2 2 2 _ 3 3 "" eos- SID-J3 -. 7! 7! ~ A = 2 3 3 ~ A2013= _220131 .

__ 1 -SID- cos- . n7! n7! 22 3 3 -Sin)" cos)"

22. Fie B = A-I = (4 -8) Jfl _ "" k-I .2 1 -2 ~ - 2B ~ 15 = 2 . B. Apoi, A = 12 + B ~ A" = (h + B)" ==

" 1 "I 3"-1ec:« ==/2+ 2:C:2k-IB = 12+-B 2:C:2k = 12+-B[(I+ 2)" -1] = 12+ B '--.k • k-I 2 k_1 2 2;:.[~~~l'M3=03~Mn=03,n~3. 24. A=/3+M, unde este matricea de la

000

[

I -n n(n+3)/2]i iul anterior. Rezultli ca An = (/3 + M)" = 13+ C!M + C;M2 = 0 1 -n .

~erc tJ 0 0 1

FieXo solupe. Rezulta det(X2) =49 ~ det(X)2 =49 ~ det(X) =±7 . Distingem cazurile

25·

i) det(X)=7~X2- tr(X)X+ 7/2=02~(~ I~)+(~ ~)=tr(X)'X~tr(X)'X=(~ I:) ~ tr(tr(X)X)=16~ tr

2(X)=16 ~ tr(X)=±4 ~

=> +4X = ( 8 (2) => XI 2 = ±( 2 3) .- -4 8 . -I 2

Ii) det(X)=-7~(~ I:)-G ~)=tr(X)'X

Cum X E M2 (lR) , nu avem solutii.

l6. Fie X 0 solutie ~ xG ~)=X3 =X2x=G

(-6 12)~tr(X).X= ~tr2(X)=-12.-4 -6

~) X. Fie X = ( : :). Din egalitatea

l(a+ b)3+ (a _b)3 (a + b)3 -(a _b)3]

. (a b) 2 3antenoarli rezulta a = d, b = c ~ X = ~ X3 = ~b a (a+b)3 ;(a-b)3 (a+bi ;(a-b)3

~a+ b)3 + (a-b)3 = 2 si (a + b)3 -(a- bi =4 ~ (a+ b)3 = 3 ~i (a_b)3 =-1 ~ a+b=if3 ,a- b

== -I ~ a= if32-1, b= if3

2+1. 27. Fie X 0 solutie ~ det(X3)=0~ det(X)3 =O=>

det(X) = 0 ~ X3=tr2(X)X ~ tr2(X)X=(4 6) ~ tr(tr2(X)X)=1 ~ tr3(X)=1 ~-2 -3

tr(X) = 1 ~ X=(4 6).28 a) A2=3A~a=3. b) A_At=(2 2)_(2 1)=(0 I).-2 -3 • 1 1 2 1 -I 0

(A - At)2 = -/2 ~ (A _ AttOO8= 12 . 29. Din teorema lui Cayley avem

A2_ 5A _ 212 = O2 ~ A2 _ 5A - 12= 12 . Determinantul este egal cu I. 30. a) Da. b) Vom demonstra iPrininduc\ie.Cazul n=l esteevident.Cum A2-3A+212 =02 ~i B2_3B+212=02,prinscadere ~\,.

Obtinem A2 _ B2 = = 3( A _ B) = (22 -1)( A - B) , deci cazul n = 2 este adevarat. Presupunem ca ~

afirm t' . . +1 -I' Bn+1 3B" 2B"-1 - 0 :ia ia este adevarata pentru n -I ~I n. Din A" - 3An + 2An = O2 ~I - + - 2' ~

reZU!ta succesiv An+1_ Bn+1= 3( A" - Bn) - 2( An-I- B

n-I) = :

I

21

0) ,9 =:>det(AA) =81.(-1 2AA'= 2 2 b) Ca1cu1 direct. 32.

dot (A' A) =dot A' dot A =(dOl A)' >o. b) Prin calcul obtinern A· A' =A' .A=> oc+bd =ab +cd ; do

unde <=>(a-d)(b-c)=o 33. a) det(A) =-4. b) A2=[~1 ~1 =:J ~i A2-A=213• 34. Q)

-I -I 3

det( A) = 2. b) A2 =[~ ~ :] ~i A2 - A = 213• 35. a) Calcul direct. b) Folosind binomul lUiI I 2

Newton rezulta (A +Br = An +s', 36. a) A4 = -412• b) Fie B = (; :). Din BEl = EIB ~i

BE2 = E2B rezulta b = c = 0 ~i d = a, deci B = a12. 37. a) Se arata prin calcul direct. b) Se

[

cos!:. -Sin!:'] ( )2 2 2008 COSI004 JT - sin I004 JTdemonstreza prin inductie. c) A = =:>A = . 004 004 = 1

2. 38.

. JT JT sm I JT cos l JT~ ~- ~-~ 2 2t-

~ 'n=l~ ~='6. 3s, '((I+I)'-(l-i)')=4;' =-4 .••. /~I ~ :t~1 ~ :/=-18. 41.a;: I I 3/ I I -3'S

~ /X:3 X~3 ; /_ X:3 X~3 ; =(3X_3)/X~1 3 X~3 ; =3(X-I) ~3 -~ ~Il=u x x x-3 3x-3 3x-3 3x-3 I I I.::l =27(x-I). Rezultli x= l.Z

~ 42. a) ~ =1; b~a c~a /=Cb-a)(c-a)!1::E 2 2 2 2 2 b+a• a b -a C-a

~ 43. dl =1; b~a c~a =Cb-a)(c-a)! I 1 1=~ ~+~+~ ~+w+~III a3 b3 _a3 c3 _a3Ill:

~ (C-b)(c-a)(b-a)(a+b+c). d2 = (C-b)(c-a)(b-a)(ab+bc+ca).ci

~ 44. b) B=I; ; ; /=~ a

3+2a+3 b3 +2b+3 c3 +2c+3o

!= A+ 21: : ;H~: il=A 'J Fi, P""'"'' X(aJ(a). Y(b./(b). Z('J(,).

I I=(c-b)(c-a)(b-a).C+a

II I 1/11a b c + a

a' b3 c3 2a; ;/+/;; ;/=

2b 2c 3 3 3

Cum

•218

Q)

, p ';fPEZ,B=1 a, - , I(a)

I I 1 I

b c =6 a b

b

n»1 1 1 -31klc = 6k , k E Z . Cum SXYZ = 21 B ~ SXYZ - •

x y 11 .. b\ AC. 0 6 1 =0<=>-2x-y+6=O. 46.1 = 0 , deci punctele sunt coliniare, ~ . -1 8 I

o,\ !l = I45·11,

-1

6

4

8 1

OIl II I _ 0 b \ • = I 2 = I , aria este egala cu 2.I=O<=>-x+ Y- - . 'I il

2 4 11

x Y~ AB:O I

1 2

1

47. !l = 23

o I I 1 21-2<=> a+2=±2<=>a=OsauQI 2 + . S = -I d 1= I <=>1d 1=2 <=> a + --1 = a, ABC 2a I

o-I

7 71 . . !l _ 0 <=>a = __ . Cum -- IEZ,I = 3a + 7 . a) Punctele sun! coliniare <=> - 3 3

-1

= -4. 48. !l = Ia a+3

13a+71 Z obtinem a=-3. 49.rezulta cerinta. b) Din -2- = I, a E

1 -1 I

a) !l = 3 5 1 = 0 . b) Prin calcul

2 2 1

a) Cu notatia ~Xk =xl +X2 +.lJ,··1 I gmentului BC 50.sou observand ca punctul D este rmj ocu se

) I~a; ~a;b;l_ " (a.b.-a.b;)2~o. b) Din det(AA')=Odet(AA' = 2 - '-' I ) Jprin calcul avem ~a.b. ~b. ;"je{I,2,3} I .

I I I _ -: + bJ-. k = I 2 3 sunt coliniari. Cone UZIa{I 2 3} deci vectorii O~ =o.! k' "rezultli a;bj = ai;,i,j E " ,rezultli.

Tem 2 2 Sisteme de ecua~ii liniare . lR _ {3} .a • d A) + 3 avem A inversabila <=>a E. ) 0 Cum et( = -a ,1.Aesteinversablla<=>det(A * . ~) 8 -7. 8 =-4, (811 U21• II -, 21 ~

• . -I - _I_A'; A = , t5 = 2; 822

= 32, det( A) = 29 * 0 ~ A inversabila. A - detCA) 812

822

12

1 ,A-I =~C -4} 3. det(A) =-5 * 0 ~A inversabila. A-I = det(A)·A ;

[

~I 28213 831] 811=1; 821=-~; 831:~ ~ £1=.!.[~1 ~1 -:].A' - s: s: 8 812= -3; 822= 1, 832- 5 0 0 5

- Un U22 32 . --5s s = 0; 823= 0, 833-

813

823

33 13 (A-1)=det{In)=1 ~ det(A) =±l.4. ,,=:>"£1 E MnC Z ) ~ det(£I) E Z , dar det( A)det

...•wa:l-

i::::I0u.:.<...•c(CL::::I0U.::::IZc(a:wCL

~.::::IU

'"wZ<IIIa:W

""ci.wXu-ez0a:0Z-e~

•220

h

,,<:::" daell det(A)= ±I, cum A-I = (det(A)rIA' => A-I = ± A'. Pentru ell AEMn(Z) ==>A' E Mn (Z), deei A-I E Mn (Z). S. det( A) = _ I ;c 0 => A inversahila,

1 [0Il °21 031J °Il = 0; °21= 0; °31= 1 [0 0 IJ£1 = det(A) . A'; A' = ~2 022 032 ~2: I: 022=~; 032= 0 => A-I = 1 0 0 . A/ternativ,

01) 023 033 013- 0, 023= I, 033= 0 0 1 0

observam ca A3

= 13, deci A-I = A2 .6. det (A) = m2 + 5 > 0 , deci matricea este inversabila,

7,a) A2=[:; :~ ::], aA+bJ3=[3~:b 3a2:b ~: J.pentruca A2=aA+b1

3 este necesar16 16 17 2a 2a 30 + b

{30+b =17

ca 20 = 16 ' de unde obtinem 0 = 8 => b = -7. b) det( A) = 7 '" 0 => A inversabila.

A-I = detl(A) . A* = -71[~2 -52 -22J A lternat . A2 8A 71 deci I I (-5' "IV, - =- 3' eCI A- =--7 A-8J3)·-2 -2

S. a) det(A)=heO => A inversabila, £1 =_I_'A*-[~ ~I ~I ~Jdet(A) - 0 0 I -I; 9. a) Notam:

o 0 0 1

A = (~ ~) ~i B = (~ ~I). Observam ca det(A) = -I", 0 => A inversabila => 3A-I. Cum A . X = B,

rezulta (inmultind aceasta egalitate la stanga cu A-I) cii X = A-I . B. £1 = _1_. A' .

021) ~I =5; 021=-2 -I (-5 2) . (-1 11) d(e:(A))012 ~2 = -3; 012 = I => A = 3 -I' deci X = 1 -6' b) Notam: A = 1 ~ ~i

~) . Cum det(A) = I '" 0 => A inversabila => 3A-I. Cum X . A = B, rezulta (inmultind

A' =(0;10;2

B=(I-I

aceastaegalitateladreaptacuA-I)caX=B£1 A A-I_(2 -7J . (2 -7). vem - , deci X =-I 4 -4 15 .

10. Deoarece A' - det(A)A-1 . -I,- ,lpoteza A =A impune det(A)=I~-m-3=I~m=-4. 11.

Cum det( A) = 1 avem £1 = A' Atun . AA' _ ' . . . ., . CI - A A = 13. Dill definitie rezulta ca mversa adjunctei

este matricea A. 12. a) (_~ -;r =G :)=>x=G :)(~ ; -n=G I: ~Jb)

C =~r=(=: :)=>X=[=: ~J(=: :)=[-~ -~J.13' NotamcuAmatriceasistemului,5 8 -3 -2

A " [ ~ l2 ~3J. A vem dot ( A) " •• -131 • 0 • doc' """,,"1 dat este Cramer, A vem solutie urn",

6 6 6pe care 0 determinam eu ajutorul formulelor lui Cramer: x =-2.., y = ----L, Z = -.L. Cum 6x = -131,

6 6 6

Notam cu A matricea sistemului.Il =-131, s, =0,y

[

1 IIIA= -I 2 -2.

144

rezulta x=l,y=l,z=O. 14.

Avem det( A) = Il = 12 '" 0, deci sistemul dat este Cramer. Solutia este data de

Il Il Ilformulele x= ;. ,y= ; ,z=-:;. Cum s, =-60, Ily =60, s, =36, rezulta x=-5,y=5,z=3.

15. (x,y,z)=(I,I,2). 16. (x,y,z)=(-I,2,0).17. (x,y,z)=(2,I,2). 18. (x,y,z)=(I,I,I). 19.

Cum det(A) = 0 si 3 un minor: III = I~~I= -4 '" 0 => rang (A) = 2.20. Rangullui A este 2, pentru ca

2 -I 3 2 -1 32 4 0 = 0 si 2 4 0 = 0 . 21. Consideram626 626

A _14 061= 24 '" 0 , iar bordatii lui IIp sunt nuli:

Up - 2

2 -1 2 3IIp=l~ ~1=-8"'0. Bordatii lui IIp sunt: 1l1=4 0 a =8a-32 ~i 1l2=4 0 1 =32-8b.

5 2 3 5 2 b

Pentru ca rang (A) = 2, trebuie ca III = 0, tl.2 = 0 => a = 4, b = 4. 22. rang (A) = 2, deoarece

I: ~I= 3 '" 0 ~i orice minor de ordin 3 este nul, avand doua coloane egale. 23. det( A) = -m + 2.

Este necesar ca m = 2. Este si suficient, deoarece 11 0 I= -I", 0 . 24. Rangul matricei este cel putin3 -1

2, deoarece 11 0 I= -1 '" O. Cum2 -1a

1 -I 0 1 -1

2 -3 -I = 0 ~i 2 -33 2 5 3 2

3-I = -0 + 44, rangul este 2 daca

a = 44 ~i 3 in caz contrar. 25. Avem I~:1'" 0,

I 2 -13 I 0 =50-15,

4 3 2

1 2 3

3 1 -1=0,4 3 2

I 2 0

3 1 4 = -5b + 20, deci rangul este 2 daca 0 = 3, b = 4 si 3 in caz contrar, i.e. a", 3 sau b", 4 .

4 3 b

1 -1 326. Cum 3 2 5 = -52 '" 0 , rangul este egal cu 3.27. a) rang(A) = 1, deoarece liniile matricei A

4 -2 0

sunt proportionale.e) Pentru K" m " L" (a b c) avem A " KL.

[

a2 +2ab +3ac ab+2b2 +3bc ac+ 2bc+3c2 ]c) A2 = 2a2 +4ab+6ac 2ab+4b2 +6bc 2ac+4bc+6c2 =(a+2b+3c)A, deei d = a+ 2b+3c.

~+~+~ W+W+~ ~+~+~

A/ternativ, A2 = K(LK)L = K(a + 2b+3c)L = (a+2b+3c)KL =(a+2b +3c)A .

28.a) A2=[~ ~ ~]'A3=03.b) 13+A+AI

=[: : :].Cum det(13+A+A')=0 ~itotiminoriiI 0 0 I 1 1

de ordin 2 suot nuli, rezulta ca rang (13 + A + A') = 1. c) 13+ A = [: ~ ~J;det(h + A) = I;

1 1 I

(J3+Ar'= 1 .(J3+Ar=[~1 ~ ~].29.a)A*=[~ -~ -~].eumdet(A"}-O •.det(J3 + A) 0 ,- yl-1 1 6 -2 -2

toti minorii de ordin 2 suot nuli, rezulta rang(A"} = 1.

b) Daca X =[;] EM3,1( C), ecuatia este echivalenta eu sistemul {;::~;Z:: ;considerand A _

Z x+4y-3z=5

[21 22 -0

1]matricea sistemului,

I 4 -3u:•

Determinantul matricei extinse a sistemului este

•

1 25 -13 -4

deci rang(A) = 3> rang(A) .

Conform teoremei lui Kronecker, sistemul este incompatibil. 33. Determinantul matricei A a

222

2 1sistemului este a 3 2 = 2 * o. Conciuzia rezulta din teorema lui Cramer. 34. Determinantul

a+1 1

m 1 m1 m = m2

- 3m + 2. Sistemul este compatibil determinat pentru-I -2

rnatricei A a sistemului este 13

", E lR - {1,2} .

x+ y+z =1 si

2 I 11 1 3 = 23* 0,

3 -1 12

Pentru m = I, sistemul este incompatibil, deoarece prime Ie doua ecuaii suot

x + Y + z = 3 . Pentru m = 2 , sistemul este ineompatibil, deoarece

deci rangO) = 3 > rang(A). in concluzie m e {1,2}. 35. Determinantul

3 -4matricei A a sistemului este -1 1

1 4

1

2 = _m2 -37 * 0, \;1m E lR. Concluzia rezulta din teorema lui

m2

ICramer. 36. Determinantul matricei A a sistemului este 2

1 a

1 " 111 = a + 1. In plus, avem 2-1

Este neeesar ea rangul rang (A) = 2 , deci a = -1. Sistemul este compatibil pentru

1 I b+l2 1 b =0¢:>-b-2=0¢:>b=-2.A~adar, a=-I ~i b=-2.37.DeterminantulmatriceiAa

I -I -1

2 -1sistemului este 1 1

1 -2

3

1 = O. Rangul matricei A este 2, deoarece I~~11= 3 * 0 . Sistemul este

2

2 -I Icompatibil, deoarece minorul earacteristic 1 I 2 este nul. 38. Determinantul matricei A a

1 -2 -I

sistemului este 2a 2a ~ = -4( 2a2 + a -I) . Cum sistemul este omogen, rezulta a E { -I, ~} . 39.

1 I -2

II) inIocuind Xo = 2, Yo = 2, Zo = 1 in ecuatiile sistemului, obtinem n = 2 ~i m = 3 . b) Sistemul admite1 2 -3

solutie unica daca determinantul matricei A a sistemului este nenul; det A = 2 -I 1 = 3 - n .n 1 2

Rezulta ca n E lR - {3} . c) Daca n E lR - {3} , sistemul este eompatibil determinat. Pentru n = 3 re~tli

ci mogul matrieei sistemului este 2. Pentru ca sistemul sli fie eompatibil, rangul matricei extinse trebuie slifie 2. Obtinem m = 1.

23 = (m -l)(m - 5), deci sistemul

m-3

1 m40. a) Fie A matricea sistemului. Avem det(A) = 1 2m-l

1 meste compatibil determinat daca ~i numai daca m e lR - {1,5} .

b) Pentru m = I,sistemul devine: t:;:~::,atunci A=[~ ~ ~l~i det(A) = :lx+Y-2z=1 I I -2 I

Consideram un minor 1:1p =I~~I= I * 0 , deci rang(A) = 2. Pentru a determina

I 2~I 3 =0.I -

rang(A), calculam

1:1 = Ic

I

2 I3 I = 0, deci rang(A) = 2. Rezulta cli sistemul este compatibil nedeterminat. Pentru m =:

-2 I

...IIUa::~s~ou..:·>C(...I<CQ.

~ou·

jX+SY+2Z=1

S, sistemul devine x +9Y +3z = I . Din prima si ultima ecuatie, rezulta ca 1 = 4, fals. in acest caz

x+Sy+2z =4

sistemul este incompatibil. in concluzie, sistemul este compatibil nedeterminat pentru m = I.

j2X-3Y =-1,11"1 ind in si 0 bti . {2X-3Y=-141. a) n ocum m sistem Zo = to = , 0 tmem: x + 9Y = 3 . Sistemul are solutia

S 6 x+9y=3x- Y=P

x=O,y=~, de unde p=-2. b) I:1p=l~ ~1=21*0 => rang(A) ~ 2. Pentru ca sistemul sa fie

2 -3 4 2

19m = IS -6 10 S

-3 -S 2 -3 -I

9 = 1 9 3 =0,-6 n S -6 p

compatibil nedeterminat trebuie ca adica

6-3m=21(n+12)=21(p+2)=0, deci m=2,n=-12,p=-2. 42. a) Fie A este matricea

I -I -msistemului. Avem det(A) = m I m = 3(1- m2). b) Pentru m * ±I, sistemul este compatibil,

m 3 3

~Z<Ca:IUQ.

~·~VIIIIUZ

>C(

GOa::IU

"'"ci•

IU:z:v<CZoa::oZ<C~

conform teoremei lui Cramer. Daca m=l, rninorul 1:1 =11 -II ~iavem I =2 *0P I

-I II:1c= I 1 o =0. Rezulta ca sistemul este compatibil. Daca I-I

~I*0 ~im=-I, 1:1 =I 3 -I

P -I

-I II:1c= -I 3

-I

2

-I = -6 * 0 , deci sistemul este incompatibil. in concluzie, sistemul este incompatibilI

1

pentru m = -I. 43. a) Fie A matricea sistemului, atunci det(A) = 1 m = (m _1)2. b) Dacii

I m m•224

1 rang(A) = 3. Daca m = 1, rang(A) = 1. c) Daca m = I, rang (A) = 1, iar rang (:4) = 2, deci",:1' , . ". mul este incompatibil. Daca m * I, sistemul este compatibil. Deci m = 1. 44. a) Inlocumd 10

SlSte I tia (I I 1) obtinem a = 2 b = O. b) Pentru ca sistemul sa fie compatibil nedeterminat,. tern so uu " '_ 'SlS . ca rang(A) = rang(A) < 3 (un de A este matricea sistemului).uebu1e

a I I

A) 1 2 3 = -a + 4; luanddet( ='

3 -I -2

avem

1 I

2 3

-I -2

4

6 =b+T,b

~i 1:1 =c

lax+Y+Z=4

a=,4 ~i b =' -2 . c) Pentru b = -2 , avem sistemul x + 2Y + 3z = 6 care este compatibil pentru orice3x- y-2z =-2

a E 'l si pentru care (0, 6, -2) este solutia cu toate componenteie intregi.1 a 0

45. a) Fie A matricea sistemului, atunci 1:1 = det(A) = 0 I a = a2 + I > 0 , V'a E lR , deci det(A) * 0,101

ceea ce insearnna ca sistemul este Cramer, deci compatibil deterrninat.

b) Solutia sistemului se obtine folosind formulele lui Cramer cum1:1 1:1 1:1

x= ; ,y= ; ,Z=-:;,

la~ ll~ la~ 22 . I a_al1.=a 1 =1,l:1y=O a =a,I:1,=O 1 =a .atunci x= d+l'Y= d+l'z- d+I'

101 III 101

a2 I a2• " • •Avem: y2 = = -_. -- = X· Z , deci x, Y, z sunt in progresie geometrica.

(a2 + 1)2 a2 + I a2 + I

2 I46. a) Fie A matricea sistemului. Avem 1:1 = det(A) = 2 -1 1 = -Sa + 20. Pentru ca sistemul sa fie

7 -I acompatibil determinat, trebuie ca det(A) * 0 ~ -Sa + 20 * 0 ~ a E lR - {4}. b) Daca 1:1* 0, sistemul

este compatibil. Daca 1:1 = 0, deci a = 4, un minor principal estel:1 P =I~~II·Sistemul este

2 1

incompatibil daca ~i numai daca I:1c= 2 -I 1* 0 ~ b * 4. 47. a) Fie A matricea sistemului ~i 1:1

7 -I b

1 P p2 1 P p2 2 2

=:det(A). 1:1= I q ll-,-L, 0 q-p l-p2 =\q-p q2 -P2\=(P-q)(q-r)(r-p).L,-L, 2 2 r - P r - p

1 r r2 0 r - p r - p ib) Daca p, q, r E IC sunt distincte, fiind solutii ale ecuatiei f- ar + bt - e = 0, se obtine: I

Ie- pb + p2a = p3 lX = e ~C-qb+la=l . Rezulta ca y=-b este solutie a sistemului. Deoarece 1:1* 0, ea este unica. c) ic-rb+r2a=r3 z=a ~

C ., 1 . . 3 2 + I 0 3 ..2 + 1 - 0 •.i? - ? - r + 1 ~Urn (-I, I, l)estesolupaslstemuUl,atunclp -p -p =, q -q -q - y

•225

•226

= ,a c p, en 'Pal,...."=1,-=~_I. Deei, orieum Je-arn alege douli di - = U<:::I(1- rt "F 1,= U ell raaaeInlle7 _ _

, tntre numerele p, q, r vor fi egale eu 1. I - 12 - 1 ~113=: - -'''--::lRTI111-'~~~_

48. a) Fie A matricea sistemului §i d = dettA) Atunci _1m 1 II ,t0X'==x'ox = °ee- (x+2)(x'+ 2) = 4. Daca x"* -2 ~ x' =-x-:-2 -2 eQ , deci toate elementeie omv=r- CI d - I 3 2 = 14m _ 4 .

_I -1 4 O-{-2} sunt simetrizabile. Daca x=-2, ecuatia 0(x'+2)=4 nu are solutii, deci -2 nu este

b) Sistemul fiind omogen, el are solupi nenule d a A sitTIetrizabil. 6. a) Fie x, y, Z E 1R . Avem (x 0 y) 0 z = x 0 (y 0 z), Vx,y,z e lRac Ll = °<::>14m - 4 = °<::>m = 3.

7 <=> (xy-6x-6y+ a)o z =xo(yz-6y-6z+a), Vx,y,z e R <::>(a-42)(z -x) = 0, Vx,y,z e lR

<=> a ==42. b) Deoarece e e x = x o e = x, Vx e lR <::> xe- 6x- 6e+ a = x, Vx E lR <::>x( e-7)+

6e+a==O,VXElR <::>e=7 si a-6e=0<::>a=42. 7. a) Avem xoy=(x+5)(y+5)+a-25.

AVetTI Xoy"*-5,VX,YEZ-{-5}<::>(x+5)(y+5)"*20-a,Vx,YEZ-{5} <::>a=20. b) Deoarece

eox==yoe=x,VxEZ<::> xe+5x+5e+a=x,VxEZ <::>x(e+4)+5e+a=0, VXEZ <::>e=-4 si

a::20. 8. a) Fie x,y,zEZ. Avem xoy=5(x+6/5)(y+6/5)-6/5, deci

(xo y) 0 z = 25(x + 6/ 5)(y+ 6/ 5)( z +6/ 5) - 6/ 5 = x o(y 0 z), Vx,y,z E Z. b) Legea are element

neutnl daca exista eEZ astfel incat eox=xoe=x,VxEZ, ceea ce revine La

x(5e+ 5)+ 6e+ a = 0, Vx E Z <::>e = -I,a = 6. De aici rezulta ca pentru a E Z -{6} legea nu are

element neutru. 9. a) Legea are eLement neutru daca exista e E (0,2) astfel Incat

eox= x=e = x, Vx E (0,2) <::>(e-l)x2 +(2-2e)x = 0, Vx E (0,2) <::>e = I E (0,2). b) x E (0,2) este

simetrizabiL daca §i numai daca exista x'E(0,2) cu xox'=x'ox=l<::>xx'=2-x-x'+xx'

(:) x' = 2 - X E (0,2), deci toate eLementeLe din (0,2) sunt simetrizabile. 10. a) Avem x 0 y = xlOg"y.

Legea are eLement neutru daca exista eE(O,oo) astfeL Incat eox=xoe=x,VxE(O,oo)

xiog,,<= e!og"x = x, Vx E (0,00) <::>e = 27 E (0,00). b) x E (0,00) este simetrizabil daca §i nurnai daca

exista X'E(O,oo) cu xox'=x'ox=27 <::>(X,)log"x=27. Dad x"*l, atunci x'=2iogx27 >0. Daca

x = I, ecuatia (x')o = 27 nu are solutii, deci multimea elementelor simetrizabile este (0,00) - {I} .

11. a) Cum x 0 2 = 2 0 x = x, Vx E Z rezulta cerinta. b) x E Z este simetrizabiL daca si nurnai daca

exista X'EZ cu xox'=x'ox=2 <::>x'=7x-16 ~3x'=7+_I_. Atunci 3X'EZ<::>3x-7 3x-7

3x -7 E {-I, I} <::>x = 2 , deci singurul eLement simetrizabiL este 2. 12. a) Daca A, BEG ~ AAI =

BIt = 12 ~ (AB) (ABr = ABE AI = AI~I = AAI = 12 ~ AB E G, deci G este parte stabila a Lui M2 (R)

In raport cu inmultirea matricelor. b) Cum am demonstrat a), ramane sa verificam In continuareaxiomele grupului: GI Operatia .,;" este asociativa. G2 Operatia "." are elementul neutru hE G. G3

Orice element din G este simetrizabil fata de ".": Daca A E G este simetrizabil 3A-1 E GI astfel lncat0404-1= A-IA = h. Avem A E G ~ A . AI = h~ £1 = AI In M2(lR). Verificam AI E G. Rezulta din

AI(Alr = AlA = 12•Asadar orice element din G este simetrizabil fata de ".".

13. a) Cum 0'=(1 234 5) ~ 0'2=(1 234 5) 0'3=(1 234 5) ~icr4=e,23415 34125' 41235

dCCiG contine 4 eLemente. Avem: G = {e, o, d,~} (e fiind permutarea identica).

....J"'a:l-

i:;)ou..:.

49. a) Fie A matricea sistemului §i d = dettA) A . 12 I II\ . tunci d = 3 I _ .- m - -5m. b) SlstemuJ fiind

om I I" -I 2 Iogen, e are so utn nenule daca d = ° <::>-5 _

{

2X + Y + Z = ° m - ° <::>m = 0. c) Daca m = 0, sistemul devine

3x - y = ° ,deci orice solutie nenula a sistemului este de f .-x+2y+z =0 orma. x= A,y= 3A, Z=-5A. Atunci'

x; + y; + z; 35,,1 2 7z; - y; _X02 = 15,,12=) SO. a) Fie A matricea .

slstemuJui ~i d = det(A). Atunci

d=!: : ::;IL,~L, I~b~ b:;!_/b_a a-blI c a+b L,-L, ° c-: :-C - C-a a-c =0. b) Sistemul fiind omogen, el are solutii

nenule daca d - °. - , ceea ce am demonstrat la punctul ante . .cu 2,. z e.ste necunoscuta secundara, z = A A E lR . I nor. c) Rangul matncei sistemului este egalsolutia sistemuhn, avem ca a + b + c = -I'd . ' re~ ta,r = A,x = -{a + b + C)A. Cum (I I I)

, eCI sOlulllle slstemului sunt (A A ') , "este, , 1\" I\, E lR .~

~:;)oo;; 1. a) Fie XYEZn[5 )Z ' ,00 . Atunci xoy~5+5-5=5~xo EZ~ (xoy)oz=(X+Y-5)oz=x+y+ -10- ( y n[5,(0). b) Fie x,y,zEZ.Avem"' Z -xo yoz). 2. a) Fie; (x 0 y) 0 z = 1(x 0 y)5 + Z5-I = 5/x5 + 5 5 X, y, Z E lR. .• V Y +z -2 =xo(yoz) b) Cum_ <::>5/5 5 . eox=xoe=x VXElR<::>-' "X + e -I = x Vx E lR 5 'U di ' <::>e = I <::>e = I E lR rezulta aIi} irecr, b) Trebuie demonstrat ca ori fi' c I este elementul neutru. 3. a) CalculZ -I:::::>x + I> ° care ar x, y E (-I (0) rezulta a~ d . ,Y+I>O,deci(x+I)(Y+I»OObp , c x*YE(-I,oo).Avemx> 1 Y>ffi eCI 3xy + 3x + 3y + 2 > -I 4 a) T b .' d nemxy+x+y+ 1 >0~3XY+3x+3Y+3'>0~ x * ( .• re uie emonstrat ca oricare ar fi 'c:i Y E 3,(0). Fie x> 3,y > 3 ~ (x- 3)( _ ). I x,y E (3,00), rezulta• y 3 >0, deci x*y-2( 3)( )~ X,y,ZElR. Avem (x*y)*Z-2()( - x- y-3 +3>3. b) FieU ,,*" este asociativa. c) cs t:* y-3 z-3) +3 = 2(X-3)(y-3)(Z-3)+3 =x*(y*z), deci~ " u am e E lR astfel • •~ (2e-7)(x-3)=0 V lib meat x*e=e*x=x,VxElR, adicao ' En. Obtinem e = 7/2. 5 IZ tnI • a) Avem xoy=-(x+2)(y+2)_2.II( x,YE'\l,X,y~_2. Cum 2:it X+2~0,y+2~0~xoY>_2

eox=xoe=x Vx Q I ( -. b) Cum, E <::>2' x+2)(e+2)-2=x,VXEQ<::>(x+2)(e+2)=2(x+2),VxEQ:::::>e=0

Tema2.3 Structuri algebrice

Avem

Fie

e a- a-2 a-3

e e a- a-2 a-3

b) a- a- a-2 a-3 e0'2 0'2 0'3 e 0'

0'3 0'3 e 0' 0'2

C) Cum operatia "." este compunerea permutiirilor verifi _, .Ope Ii" . . , earn ill contmuare axi Irapa " . este asocianva, ceea ce este evident. G2: Operapa . " orne e grupului. G .element din G este simetrizabil fata de ". ", ceea ce rezulta din ~bla ::~~~nt neutru ~are este e. G3: Ori~

J-U II permutiirilor pe G.14. a) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi A, B E M rezulta x AB . (a 31.]

l4 Ca E G. Fie A = I '1b ,ai, b, E Z

~i B = (;2 3b2] , as, b2 E Z. Cum AB = (alGz + 3~b2 3(alb2 + aA)] I al

2 a2 alb2 + Gz~ ala2 + 3~b2 si ala2 + 3blb2, alb2 + a2blE Z, rezulta cii M este parte stabila a lui M (Z) in raport' .

, 2 cu inmultirea matricelor. b) Fie:; 0, 1 sau 2 (mod 3). Pe rand, if + I :; 02 + 1 :; 1 (mod 3 if _ 2 a E Z :::>a22 + I:;2 (mod 3) deci if + 1 ;j; 0 (mod 3) c) Pr ) sau. + 1 = 1 + 1 :; 2 (mod 3) sau if + 1 ""

2 • esupunem pnn absurd ca det(A) - 1 2 2-1~a-+l=3b2,falsdinb).d)DacaAEM 'A-I -- ~a -3b =_

_I _I ~I EM:::> det(A) E Z, det(A-I) E Z. Cdet(A )=det(A·A )=detI2=I:::>det(A),det(£I)E {-I I} . umdet(A).15. Pentru orice x, y, Z E JRavern (x*( * ) _ ' . DIn c) rezulta ca det(A) = 1.

y Z -x+ y+z+xy+xz+ yz+ _() .asociativa, b) Se arata prin inductie ca x * * * xyz - x * y *Z , deci ,,*" este

1 1 3 I x2 ••• xn = (XI+1)(x2 +I) ... (xn +1)-1, de unde

1*2 *...* 2008 =2·2·i .....~: -I =2008. 16. a) Cum (x 0y) 0Z = -.!L.. 0Z = xyzsi

(I 1 1]-1 x+ y xy+XZ+ yz-+-+- - xyz (I 1 ]-1x Y Z -xy+ + ,rezultiica (xoy)oz= -+-+~ .

xz yz x y Z ' oncare ar fi x, y, Z E (0, <Xl). b)

Pentru orice x, y, Z E (0,00), avem (x 0y) 0Z = XYZ. yz. xy+xz+ yz' lar xo(yoz)=xo __ = xyz

adica ,,0" este asociativa. c) Folosind fa tul ca 0 " ...y + Z xy + xz + yz ,~0~0~0 ... 0_1_ =(~o.!.o~) 1 lIP "este esocranvs ~I aplicand a) avem2 3 4 100 2 3 4 °5°6° ... 0 100 =(2+3+4rl 0fo~o ... o_I_=

(1 1 I) 1 1 1 6 100

2+3+4 °5°6 0708° ... 0 100 = (2+3+4+5+6)-lo~0.!.0 ... 0_1_=

(1 1 I) 1 8 100

2+3+4+5+6°7°80 ... °100= (2+3+4+ ... +100rl= (1022.99)-1 1

5049 Altemativ,

demons tram prin inductie y_ ox ° ( 1 1 1 ]-1t' ." 2 ...ox = -+-+ +_ P 1 1 1

n x x'" . entru XI= - X - X _-_I 1 I 2 x; 2' 2 -:3 ,..., n 100

:::> -0-0 1 (2 12 3 ... 0 100 = +3+ ... +100)-1 =--

17 5049• a) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi

f ° f - 10,,,, ,fo,1>, E G, rezulta f ° f E G Cuma,,,, 0,1>, - 10,0"0,1>,+,,, E G (deoarece ala2 * 0 pentru a *' a,,,, 0,1>, .ararat. b) Cum am demonstrat a) ra-ma' x'fi I 0 ~I a2 * 0), obtinem ceea ce trebuie1° C ne Sa yen icam in c ti .

. ompunerea functiilor este operape asociativa. 20. 3;n Enuare axiomele grupului:1,0 G,fi.o(x) = x, \;IxE lR astfel inciitfi.o 0

u:.OS~;:)cu.;:)ZCC;:IIIQ.

~•;:)U

'"IIIZ>CCCDa:IIIlito

c::i•IIIo~~QZCC

~

•228

/a,b = /a,b ° ii,o = /a,b, \;I/a.bE G, deci ii,o este element neutru. 3°. V'/a,b E G, 3 f~..!!.. astfel 'incata' a

/o,b ° fl b = fl b ° fo,b = It,o , deci orice element este simetrizabil. 18. a) Din x * y = I rezulta cli;.~ ;.-;;

xIOS)Y = 1, de unde logaritmand in baza 3 avem log, y . log, X = 0, deci x = 1 sau y = I. b) Vom

veri fica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat ca \;Ix,y E H:::> x * y E H. Avem x * y = xlO8)Y si

cUID x E H:::> x * y > 0; presupunem prin absurd x * y = 1:::> xloS)Y = I :::>x = 1 sau y = I, absurd,

deoarece x, Y E H. Deci x * y E H.GI: Operatia ,,*" este asociativa. Pentru orice x,y, Z E H avem (x * y) * Z =

(xIOg)Y) * Z = xlog)y·I08)z , iar x * (y * z) = x * /08) z = xlog)z·loS)Y , adica ,,*" este asociativa.

G2: Operatia ,,*" are element neutru. Cautam e E H astfel incat x*e = e*x = x, \;Ix E H, adicaxloS)e = X , \;Ix E H, deci IOg3e= I :::> e = 3 E H este element neutru.G3: Orice element din H este simetrizabil fata de ,,*". x E H este simetrizabil daca ~i numai daca 3 x'

I

logjx = 1 :::> x' = 3log)x ; cumE H astfel incat x*x' = x'*x = 3. Avem xlO8)x'= 3 :::> logjr' .I

3108)xE (0,00) \ {I} rezulta ca orice element din H este simetrizabil.

in concluzie, H este grup in raport cu operatia ,,*".

19. a) Notam u(a)=[~ ~a ~l'U(a)U(b)=[~ Ina;lnb ~l=[~o 0 a 0 0 ab 0

Cum ab > 0, rezulta cerinta. b) Inmultirea matricelor este asociativa.

I) = U(I) E G, iar U(ar' = u(~) E G,~ > O. in concluzie, (G, .) este grup.

20. a) Calcul direct. b) Vom verifica axiomele grupului: Go: Trebuie demonstrat cii oricare ar fi A(x),A(y) E G, rezulta ca A(x) . A(y) E G. Aratand deja punctul a), avem A (x) . A(y) = A(x + y) ~i cum x, yE R, deci x + y E R :::> A(x) . A(y) E G; G1: Inmultirea matricelor este asociativa; G2: Existentaelementului neutru, observam ca Iz = A(O) E G, deci elementul neutru este chiar Iz. ; G3: Oriceelement din G este simetrizabil fata de inmultirea matricelor. Daca A(x) E G este simetrizabil, 3 A(x')E G astfel incat A(x) . A(x') = A(x') . A(x) = Iz.

Avem A(x) . A(x') = 12:::> A(X + x') = 12:::> x + x' = 0 :::> x' = -x, deci A(x') = (1- 2x -4x J si cumx 1+2x

x' E R, obtinem A(x') E G si orice element din G este simetrizabil. c) Observam ca (~I ~1J = A(l) .

In(ab) 0 11 0 =U(ab).o ab

Elementul neutru este

Atunci (3 4 In-I -1 =(A(l)Y=A(n). 21. a) Observand ca x* y=(x-5)(y-5)+5, din

x * e = e * x = x , \;Ix E JR,avem (x - 5)(e - 5) + 5 = x, \;Ix E JR,adica (x - 5)(e - 6) = 0, \;Ix E JR,deci ie = 6. b) Din x * a = a * x = a, \;Ix E JR, avem (x - 5)(a - 5) + 5 = a, \;Ix E JR, adica (x - 6)( a - 5) = ~

v!;i:iEIII

~:iE

0, \;Ix E JR,deci a = 5. c) Trebuie demonstrat ca oricare ar fi x, y E G, rezulta ca x * Y E G. Avem x >

0, y > 5 :::> x - 5 > 0, y - 5 = 0 deci (x - 5)(y - 5) > O. Obtinem xy - 5x - 5y + 25 > 0 :::> xy - 5x - 5y +30> 5, deci G este parte stabila a lui lR in raport cu legea ,,*". d) Cum am demonstrat c), camane sliverificam in continuare axiomele grupului abelian: G1: Operatia ,,*" este asociativli. Pentru orice z, y,Z E G, avem (x * y) * Z = (x-5)(y- 5)( Z - 5) + 5 = x * (y * z), deci ,,*" este asociativli. G2: Elementul •

229

neutru aJ opcranej ,,*" este 6 G· 0 . lernent di G . .. 3· nee e emen 10 este sunetnzabil fata d *" F'

ell tarn ' t" e" . re x e Gu X E G astfel meat x*x'=x'*x=6. Avem (x-5)(x'-5)+5=6_ '-5 1 .

. "'-' x - +--e(5G4: Operatia ,,*" este comutativa, Pentru x y e G arb'trar x - 5 ,co).

. ' I e, avem x * y = (x _ 5)(ydeci operatia ,,*" este comutativa in I' - 5) + 5 = Y * x

. cone uzie, (G *) este 'e) 1* 2*3* ... *2012 = (I * 2 *3*4) *5 *(6 *7* ... *2012) =5 d' grup abelian.

. ' eoarece x*5=5*x-5 V 1ll>

Inductie dupa n. 22. a) (x*y)*z=x.(y*z)~(a-5)(z_ )_ - , xe"". J)x -0, VX,y,zEZ ~ a=5. b) Cutn

eox=xoe=x,VxEZ~x(6e+5)+6e+a=0,VEZ ~a=5 _ 5 .,e - --6 !1: Z, deci legea nu are

element neutru, c) ((-I)*2).((-I).2013)=a ~( _6)2 2( )a + a-6 =0~aE{4,6}. d) A

x* y=6(x+I)(Y+I)-I. Prin inductie rezulta ca x .~. * -6'-'()( vetn, ... x. - x, +1 x2 +I) ... (x +1) I

Obtinem 1* 2 *3 •... *2013=620'2. 20141-1 ~ A • - .. . e vem x·P=p,VXEZ ~6(X+I)(P+I)=P+I

~p=-I. j) Avem x.x*x=287~36(x+I)3-1=287~x=1 23 d ( )_ . . . • a/ I. 2 .3 = 1• (2 .3)

~ a - -3 . b) Daca legea este asociativa, rezulta din punctul ant' a _

(3]( 3) 3 ( )( enor c a - -3. Pentru a = -3 avetn

x*y=-2 x-2 y-2 +2=> (x·y)*z =4 x-~ y-~)(z-~)+~=x*(y.Z)' Vx,y,zElR.

c) Legea are element neutru ~ 3e E lR x*e = e*x = V lR ( )~ , x, XE ~x -2e+2 +3e+a=0,VxeJR

t: ~ e = I,a = -3 d) Daca(-co).] este parte stabila atun . 3 3 3~ 2' CI 2·2:$2' de unde a:$-3. Reciproc,

~ daca a:$-3, atunci pentru X,y:$~ rezulta X*Y=-2(X-~)(Y_~)+ ~< 9 3 •>cc 2 2 a+ 2 _a+2:$-· In

~ concluzie (-co~]. 2~ "2 este parte stablla daca §i numai daca a s: -3 e) F' G _ ( 3)

3 X. y=-2(X-~](Y_~]+~ Ca la . . ie - -CO'2 . Avem;; 2 2 2 . punctul antenor, rezulta ca G este parte stabila. Legea esteZ:$ asociativa §ia::1&1A.

~.are element neutru. Fie XEG. Cum xox'=X'OX=I~(x+~)(x'+~)=.!.1 3 2 2 4

2 (2x + 3) < 2' deci toate elementele sunt simetrizabile. j) Prin inductie se arata di~X'=~

2::lU

a x, *x2 * ... *x. =(-2)'-'._IT (XI'_~)+~,Z deci 1.2*3* ... *2013=3-1.3.5 .... 4023 24. al~ 1-'.2...... 2 2 2 vffi 1* 2 = 0 ~ ~9 +a= 0 ~ - 9 b r:;--~~--II). a-- . ~ Avem (x*y)*z =3IX3+y3+ 3+2 _ (o c " z a -x· y*Z), VX,y,ZEIR.~ ~ Lege:! are element neutru ~3eElR,x*e=e*x=x,VxElR ~3/x3+ 3 __ \-I 1[])

:z: ~ e=r-ila dl V e =a -x, vXEll'U . v Legea este asociativa §i are element neutru F' 1ll> •

Zc " 3/ . ie XE"" AtuncrO xox =Xox=e~vx3+x'3+2=_~ ~x' __ 3'4:3. .

- 'if 4 + xJ

E lR , deci toate elementele sunt~Z simetrizabile. e) Prin inductie dupa n se demonstreaza ca X * X * * X _ 3 f. 3 (I) .c I 2'" • - LJXt + n - a, deci

~ (-I)*0.1*2*3*4-<Ili4 h'

• -. j) Avem x*x*x*x*X=~5x3+16=>5x3+16=1=>x=_<I3.

230

N f(x) * I(Y) = f(x) + f(y) + 7 = x + y -7 = f[x + y), V'x,y Jl(, ceci T este J1JVIU~LLl. v'"u

este functie de grad I, rezulta ca f este bijectiva, deci izomorfism. b)

.2.3•...*10 =/(8)* 1(9)* 1(10)* ... * 1(17)=f(8+9+ ... +17)=/(125)=118. 26. a)

l(x)./(y)==/(x+y),VX'YEIR~ ax+b+ay+b+3=a(x+y)+b,Vx,YEIR ~b=-3, deci I

rnorfism daca si numai daca a E lR §i b = -3 . b) Alegem a = 1,/ (x) = x - 3 . Deoarece I este

. de grad I, rezulta ca I este bijectiva, deci izomorfisrn AtuncifiJIIctle .~ oX2o... ox. == I(x,)o l(x2)o ... oI(x.) = I(x, +X2 + ... x. +3n) = x, +~ +... x. +3(n-I). 27. a)

f(Xo Y) == I(x+ Y -I) = ex-'eY-' = I(x )/(y), deci I este morfism. Cum I este bijectiva, rezulta

cI functia I este izomorfisrn. b) xoxoxox=S~/(xoxoxox)=I(S)~

QI(x)4==/(S)~e4X-4=e4~x=2. 28. a) Avem xoy=(x+I)(y+I)_I. Pentru X,YElR'

rezultli ca I(x) 0 I(Y) = (J(x)+ 1)(J(y) + I) -1 = = xy -1 = I( xy), deci I este morfism. Cum I

este bijectiva, rezulta cal este izomorfism. b) xoxoxo x e x = (x + I)S -1 => (x + I)S = 2 => x = ifi -1.

29. 0) Legea ,,0" are elementul neutru e = 3 , iar legea "." are elementul neutru p = 2 . b) Daca

f este morfism, atunci I(e) = p => a = -I . Pentru a = -1 se veri fica usor ca I este morfism. 30.

Il) Trebuie sa demons tram ca I ( x + y) = I ( x ) I (y) , adica 7X+ Y = T' 7Y , ceea ce este adevarat, deci j

morfism de grupuri. b) Pentru ca I: Z ~ Q' sa fie izomorfism, stiind ca I morfism (din a), este

necesar ca I sa fie bijectiva, Cum pentru y = -1, nu exista x E Z astfel lncat 7x = y =>I nu este

SUJjectiva, deci I nu este bijectiva, ceea ce inseamna ca I nu este izomorfism. 31. a) Trebuiedemonstrat ca Vx, y E G => x* y E F. Avem x > 4, y > 4, deci x - 4 > O,y - 4> 0; obtinem (x - 4)(y

- 4) > 0, de unde rezulta xy - 4x - 4y + 16> 0, deci xy - 4x - 4y + 20 > 4, adica x* y E (4,00). b)Cum am demonstrat a), ramane sa verificam in continuare axiomele grupului: G,: Operatia ,,*" esteasocianva. Observand cli x. y =(x- 4)(y- 4) + 4, avem pentru Vx, y, Z E G, (x* y)*z = [(x-

4)(y- 4) + 4] *z = (x - 4)(y- 4)(z - 4) + 4, iar x*(y* z) =x*[(y - 4)(z- 4) + 4] = (x - 4)(y- 4)/z - 4)

+ 4, deci (x *y) * Z = x * (y * z), adica ,,*" este asociativa. G2: Cautam e E G astfel ineat

x·e=e.x=x, VXEG, adica (x-4)(e-4)+4=x, VXEG, adica (x-4)(e-S)=0, VXEG, deci

e = S E G este elementul neutru. G3: Orice element din G este simetrizabil fata de ".". Dacax E G este simetrizabil, 3x' E G, astfel incat x * x' = x'* x = S, adica (x - 4)(x'-4) + 4 = S, deci

x'- 4 = _1_, de unde rezulta x' = 4 + _1_. Cum x' E (4, +00) => orice element din G estex-4 x-4

simetrizabil fata de G. c) 1:(0,00)~(4,00),f(x)=x+4 este morfisrn de la grupul ((O,oo),.)la

g1Upul (G,*), deoarece I(x,y) = I(x) */(y) (pentru ca l(xy)=xy+4 iar

f(x). fey) = (x + 4). (y + 4) = xy + 4, deci I(xy) = I(x) * I(y» si de asemenea, I bijectiva de

unde reZUltli/izomorfism. 32. a) Prin calcul se verifica usor ca I( xy) = I(x). I(Y), Vx,y E (0,00) ,

decif este morfism. Inversa functieij" este g: (-2,2) ~ (0,00 ),g(x) = 2 + x , deci f esu: izomorfism.2-x

b) Fie U E (0,00) cu I(u) = x. Atunci x*x.x == 1~ I(u) * I(u) * I(u) = 1(3) ~ I( u3) = 1(3)

~ u = ifj , deci x = 1(\13) .

33.a) A(X)A(Y)=[~ x+ Y ~ j=A(X+ y), x+ yelR.o 0 4x+y

b) lnmultirea matricelor patratice de ordinul 3 este asociativa. 13 = A(O) e G este elementul neutru

Fie A(x) e G. Cum A(x)A(-x)=A(x-x)=A(O) => orice element din G este sirnetrizabil. in

concluzie, (G,.) este grup. c) Functia f:R~G, f(x)=A(x) este morfism de la grupul CR, +) la

grupul (G, .), deoarece f(x + y) = A(x+ y) = A(x)A(y). De asemenea,f injectiva pentru cll dacllj(x)

=fly) => A(x) = A(y) => x = y ~if swjecti~~ p~ntru cll .ori~e element din G este de forma A(x) == j(x),deci apartine irnaginii luif Am obtinutj" bijectiva, d,eclf Izor~orfism; . .34.a) Ca\cul direct. b) Cum am demonstrat a), rlimane sll verificam lD contmuare axiomele grupului:GI: Inmultirea matricelor este as~ciativll. G2: ~xistenta elem.entului neutru; ~bse~lim cll lz. == A(O) E

G deci elementul neutru este chiar 12. G3: Once element din G este simetrizabil fatll de mmultireamatricelor plltratice de ordinul 2. A(x) e G este sirnetrizabil, 3A(x') e G astfel incat A(x) . A(x') '"

A(x') . A(x) = lz. Avem A(x)A(x') = A(ill'+x+x') == A(O) => ill' + x + x' = 0 => x' = 2~: I (daca,

prin absurd, x' = -.!. => ~ = -.!. => 0 = I, fals, deci x' e R - {-.!.} . Am obtinut A(x') e G, deci2 2x+1 2 2

orice element din G este sirnetrizabil. In concluzie, (G, .) este grup. c) Deoarece f(x)f(y) =

= A( XY2-I)A(Y; I) = A( 2· (X-I~y-I) + x; 1+ y; 1) = A XY2-I) = f(xy) , f este morfism de

grupuri. Functia f este injectiva pentru cll f(x) = fey) ~ A( x; 1) = A( y; 1}:::> x = y ~i esteu.:.< surjectiva pentru cll orice element din G este de forma A(x) = f(2x + 1), deci apartine imaginii luif

Ci! 35. Daca A,BeG, det(AB)=detAdetB=I, deci ABeG. Daell AeG, atunci si A-leG,11-

5 deoarece AA-I = 12, det(AA-I) = det Z, = I, detAdet(A-I) = I si cum det A = I => det(A-I) = 1.U· 36. a) Fie x,y e U•. Cum (~). = x· = 1=> ~ e U., rezulta concluzia. b) Fie x e H. Atunci

y r" y

1= XordH = x" => H cU n » Deoarece multimile au acelasi cardinal, rezulta cerinta. 37. a) H este parte

stabila a lui Ss in raport cu compunerea permutarilor, deoarece V'a", al e H => a" . a' = ah+1 e H .

a De asemenea, (akrl = a" e H (ao = e), deci H este subgrup al grupului (Ss,-). b) Din calcul11\~ rezulta ca ordinul lui a este 6. 38. a) &42= cos30" + isin30" => &42= I. b)

~ (5". . 5,,)k 5k". . Skr: 5k .. .a: 1= COS-+ISlD- =cos-+lslD-~-e2Z ~I4Ik, deci ordinul elementului s in~ 7 7 7 7 7

cj grupul U42este 14. c) H este subgrupul generat de e . 39. Avem xo(y.z)=(xoy).(xoz)e>11.1is ~(a-I)x=o,V'x,y,zeR, deci a=1. 40. a) Observam cll xoy=(x+2)(y+2)-2. Avem

~ x a y = -2 ~ (x + 2)(y + 2) = 0 ~ X = -2 sau y = -2 . b) Pentru a determina elementele inversabilei ale inelului, trebuie mai intiii sll determinam elementul neutru fatll de operatia ,,0 ", cautam e e ZQZ astfel incat x=e=e o x.v x e Z«, adica (x+2)(e+2)-2=x, V'xeZ, deci (x+2)(e+I)=0,V'xeZ,CC~ de unde e=-IeZ este element neutru fatli de ,,0". Apoi, xeU(Z)~3x'eZastfe\ incat

xo x' = x'ox = -1 ~ (x + 2)(x'+ 2) = 1 ~ x+ 2 e {-I,l} ~ x e {-3,-I} ~ U(Z) = {-3,-1} .

~·

•232

d e vern:. . Z / (x) = x - 2 este morfism de inele eoarecfUflctta / . z ~ ,

d _2=x-2+y-2+2=/(x)*/(y).O. /(x+Y)=x+y V'x eZ.

10/(xy)=xy-2=/(x)0/(y), ,Y . 'd. versa rl:Z~Z,rl(y)=y+2. Prin2 . '1l I()= x _ 2 este lDversablla, avan lD

. I·Z~!LJ, x 41.Avem x.y=eIOg,.IOg,y,fUflctta·. d I inelul (Z +,.) la inelul (Z,.,o).

e I este lzomorfism e a tneuu u=« . . _ • _ log,. = x deciurtJIaf , I ( ). deci legea este asoclatlVlI. Cum x· 2 - 2 x -:-e ,10g,.log,yog,' = x. y z,~.(y*Z)=e ) {} C .z!0gx2=2· rezultliclixesteinversabil.Deoarece

F· (0 00 - I um x ,elernent neutru. ie x e, . • If1I

2 eSte I y+log' log,yxlog" = (x. y) . (x. z}, rezulta cerinta. 42. a) Cliurnrn e e "'!log,>"= X og, '= x I

~.(yz) = x V' If1I adica x + e - 5 = x, 'lfx e Q, deci e = 5 e Q este elernentu't x 1..e - e 1..x = x , X e",! , 1.." • tli

astfel inca - . x tru inceput elementul neutru 11 al operatiei " ,cau m.. 1.." b) Determm"m pen

neutrU al legll " . _ 'If R adica x + 11 - 5 = x, 'lfx e Q, deci 11 = 5 e Q estetfel incat x 1..el = el 1..x - x, X e , .. "C· lim

el E IQ! as ". d t rminam elementul neutru e2 al operatiei "T. auttul tru pentru ,,1.. . Apoi, e e .

elemen neu T _ 'If EQ adica (x-5)(ez-5)+5=x,'lfxlQ!, deciastfel incat x T e2 = e2 x - x, x , .. "

e2 E IQ! loX _ 6 E Q este elernentul neutru al operatier "T (am6) - 0 V'x E Q , de unde rezu L<1 ez - .(x - 5)( ez - -, _ (x _ 5)( _ 5) + 5). Pentru a dernonstra cll (Q,1.., T) este corp, trebuie caobservat faptul ell x T y - Y {} 3x' Q-{5} astfel incat

d. Q _ {5} sa fie inversabil. Daca x E Q - 5 , Eorice elernent lD 5x _ 24 .. 1I

, ) _ 6 deci x' = -. Mal trebuie verificat cx T x'=x' T x=6, adica (x-5)(x -5 +5 - , x-5

, ~ "*5 ~ 5x - 24"* 5x - 25 , ceea cex'eQ-{5}. Cum X'EQ, rlimane sll arlltllm cll x "*5~ x-5 .

. If1I I(x) = x + 5 este morfisrn de corpun,. D· (1f1I 1.. T) este corp. c) Functra I: Q ~ ",!,

este evident. eCI ",!, , _ 5 = I (x) 1..I (y)o I(x+ )-x+y+5=x+5+y+5

deoarece 'lfx Y E Q , avem: 1 . Y - . bii ctie deoarece, Q l(x)-x+5 este ~I IJe I '

20. l(xy)=xy+5=/(x)T f(Y)· Funcpa I:Q~, -. .. d) Se" () _ A adar f este Izomorfisrn de corpun

V'yeR3Ix=y-5EQ astfe\ mcat I x _yo ~ ) N' si, . .•• T T T x =(x -5)(x2 -5) ...(x. -5 ,cu n E

demonstreaza prin inductte dupa n, ca XI x2 .•• • I

( ) daell ~i numai dacll esteA '1l este elernent inversabil al inelului Z.,+,·

43. Demonstram ca a E !LJ•

3b E Z. astfel tncat ~b =i.Cum

~ = y ~ x(rnodn) = y( rnodn) ~

incat ab - 1= nk . A~adar

relativ prim cu n.,,=>" presupunem cll ~ este inversabila in inelul Z •. Atunci

;;t, == ~b== 1 rezulta cll n \ ab -I (arn folosit faptul cll

/I \ x _ y e> x:; y( rnodn)). Bxista deci k E Z astfel

a·b+n(-k)=I=>(a,n)=I. ah+nk=l. CumZ astfel tncst"-,, da x (a n) -I 3h,k E .

••-- Reciproc, ca , -, A al inelului Z. ~I• A t element inversabil1'" ~ = ~ + ;:;Jc = ~ + 0 = ~h, rezulta cll a es e

(~)-I A • I· I 1 . (Z +.) sunt U,5,7,9.a == h . Deci elementele inversabtle a e me U ill 10" ~}

d 1I detAE{l,5,7,1l . Fie44 ,\ D x A M (Z ) este inversabilll dacll ~i numai ac

• aJ emonstrllm c" E 2 12

A e M2 (ZI2) inversabila ~i fi

{

AA A ~ re B inversa ei; atunci det(A)det(B) = det(AB) =1 de'det(A)e 1,5,7,1l}. Reciproc, fie det(A) {AA A~} . • ( , CI. e 1,5,7,11 . Din AA = det A)12' cum detA e

element mversabil in Z rezulta A (d I) ste

S d

12 , et(A)- A' = 12, deci det(Arl A' este inversa matricei A

e emonstreaza prin calcul ca A-I = A . b)

45. a) a.b,c e {0,1,2.3} , deci fiecare poate lua cate 4 I . A .va on. tuner numarul elementelor multi "unn G

este 4.4.4=64. b) Fie X=(a b).X2 _(a2

ab+bcJ 2 [1 0)o c' - 0 2; X = A A , rezulta a2 = 1 c2 - OA.coo ' - ~I

b(a+c)=0,a2 =1 pentru ae{U},c2 =0 pentru ce{O 2} D X_A A . A, . ac•• a -I,c = 0, atunci b = 0 DA A A . aca

a = I,c = 2, atunci b = O. Daca a =:3 c = 0 atunci b - OA D A A. ,,_ . aca a = 3 c - 2 atunci b A Aconcluzie, avem 4 solutii. ' -, CI = O. In

46.a)FieXI=(~ ~}X2=(; ~2J; XIX2=[ala2+2blb2 2(a,b2+Aa211)l=(a 2hJI A2 2 alb2 +a211 ala2 +2qb2 b a . Daca

XIX2 =02 =>det(XI)det(X2)=0=>det(XI)=0 sau det(X )=0 F' d ( ) A2 2 A A 2 . ie et XI = O. Atunci

al + bl = 0 , de unde al = b. ==0 deci X - ° f I, I - 2' a s. Rezulta ca H este parte stabila a I . G A...I A Ul in raport

~ cu inrnultirea. Deoarece XI-I ==(det X r'(al 2 (-b.) J~ (A J [2 A 2 I 1 -bl al *-°2, rezulta ca H este subgrupo b) Fie

o X =a b 2ha ; X2 = a +2b ab 2 Au.: A 2aAb a2 +;;L2 . Daca X = 12 rezulta a2 + 2h2 ==AI -I' A• = y ab = 0 . Pentru

-<c;! a = 0 nu exista be Z3 astfel incat a2 + 2h2 = 1 P b _ A. A~ [ . entru - 0 , obtinem a = I sau a = 2. Solutiile

3 ecuatiei sunt o~ ~AI)~i [o~ 2~l. 47. a) Cum in Z 02

- 0 12 A A2 A2 A A2 A• 7' - =1,2=4,3=2,4=2

::> A2 A A2~ 5 = 4 si 6 ==1, atunci X2 e {OAl2A4A

} 2000 ( 2•.•. ; ;; = H. b) x = xlOOO) d' x { 2000 }= ' a IC.. x 1 x e Z7 c H .

~ Incluziunea inversa provine din 02000= 0,12000= I; 22000= 23'666+2_ A. A2000 A6·333+2A~ b Z {AAAAA} -4,3 =3 =2.48 a)::> a, e 5 = 0,1,2,3,4 . Adica fiecare poate lua 5 valori Atunci I . •v I . CI mu timea M va avea 5·5 = 25

VI e emente.IUi b) F [~~ ~j [I ~ bj [I c;;a b-f1j~ ie A = ~ ~ ~ eM, B = 0 1 0 eM. Obtinem A- B = 0 1 0ci 001 AAA .• 001 001

~ c) Cum M este 0 submultirne finita a grupului matricelor inve " .~ stabila :ata de inmultire, rezulta cerinta, rsabile din M 3(Z5) , ~I M este parte

~ 49. a) 3x2 ==-4 , adica x2 = 1, de unde (x - I)(x + 1)= 0 si cum (Z )z . . y 7'+" este corp, nu are divizori

0( m ~I u d' A A 6ro, eCI x = I sau x = 6. b) Cum (3) = i ~i (3)* *-1 _ A::::E Presupunem ca e . t

Xrfi ' k -1,2,3,4,5, ord(3) = 6. c)

XIS" un roo Ism t .(Z +) --+ (Z' ) deci (• . 6' 7'" eCI f x+Y)=f(x)'f(y),V'X,yeZ6'

234

oeste element neutru in (Z6'+) ~i 1 element neutru in (Z;,.), rezulta ca f(6) = 1. Avem

(A A A) (A) (A) (A) A A A A A (XI x211(0),:;/2+2+2 =f 2 ·f 2 ·f 2 =3·3·3=6*-1. SO. a) Fie X,YeH, X=lo 1) si

(

y Y21 . (XIYI XIY2+ x21 { AA} { AA}t= 6 i r AtunCI XY = 0 i)' Cum XI,YI e -1,1 , rezulta XIYI e -1,1 . Deci

Xf E H . Folosind proprietatile lnmultirii in Z5 se arata ca H este grup in raport cu lnmultirea

tn8tricelor. b) Fie X=(~ ~} ordX=2 dad ~i numai daca X2=12,X*-12· Obtinem

(

2 mn + n\ (1 0I 2 A . ( A) A. A A: i rlo 1)' do unde rezulta m ~ 1 ,. n m + 1 ~ O. Dm m'", obtinem m, ~ 1si

"'z :: -1. Daca m = i,atunci n = 0 ~i X = 12, care nu convine. Ramane m = 4 ~i n e Z5' deci Hare

5 elemente de ordin 2.

Tema2.4 Polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ1. a*-±I=> grad(l)==4; a==l=> grad(l)=I; a=-I=> grad (1)=2.2. C=3X2+X+6,

r ==_ 2X + 9. 3. a) I (I) = 320+ 1 ; b) ao + a40 = 4 . 4. r = 1(1) = 1. 5. Se impune I ( -I) = I (2) ¢:>-a

=2a+ 15 ¢:>a==-5. 6. a) c=X4 _X3 +5X2 -5X +3, r=2. b)c=X4

+ 2X3

+ 8X2

+ 16X + 30, r

=6S.7

.f=(X2-I)C+aX+b. l(l)==a+b =>{a+b=3 =>{b=6 =>r=-3X+6.I(-I)=-a+b -a+b=9 a=-3

Lr=/(-I)=O¢:> a+ 8=0¢:> a==-8. 9. I=X4 +X3 +2X2 +X2 +X +2 +(a-I)X +(b-2)

=(X2 +X +2)(X2 +I)+(a-I)X +b-2. X2 +X +211 ¢:> a=1 ~i b=2.

10. 1=(X2+X+l)(X2-X+I), g==(X2+X+ I)(X+ 1). d==X2+X+I si

m=(X2+X+ 1)(X2_X+ I)(X+ 1).11. a) xl+x2+~=3. b) XI+X

2+X

3-~ 12. a)X

IX

2X

37 .

•.2 2 2 ( )2 ( ) 2 4 9 XIX2+ XIX3+ X2~ 2 .\ A., +X2 +X3 ==XI+X2 +X3 -2 XIX2+XI~ +X2~ = 5+ =2 . b) =-. ct vemXIX2~ 3

X:=-5~+2xi-3, ie{l, 2, 3}. Fie Sk ==x~+x~ +x~. Prin insumare rezulta ca

S3 =-5S2

+ 2S1-9 ==-164. 13. a) I =(X -xl)(X -x2)(X -~)(X -X4) =>

(1- xl)(I- Xz)(1- ~)(1- x4) = 1(1) = 2. b) (1- xl)(l- x2)(l- x3)(l- x4) ==l(l) = 2. 14. a) Avem

XIX2~X4x: = x~ _ 3x

i+ 5 , i e {I, 2, 3}. Prin tnsumare rezulta S3 = S2 - 3S1 + 15. Analog, deoarece iI

x: = x: _ 3xi + 5x, , i e {I, 2, 3}, prin insumare rezulta S4 = S3- 3S2 + 5S,. Cum SI = I si ~

S2 = (Xl +X2 +~)2 _ 2(XIX2 +XIX3+X

2X3)=-5 => S3=-5 -3 +15=7 ~iS4 =7+15+

5=27. b) ~

t..:x, ~(x, +X, +x,Xx,x, +x,x, +x,x,) -3x,x,x, ~ -12. 1c••

15. Q)f(-X)=(XZ-X+lrO +( Z )4. . X +x+l =f(x) , "Ix elR. Polinomul g=/(X)-/(-X)mfirutate de radacim d . are

, eel g = O. Rezultli ca I(X)=/(-X)::::> a =0 0b) Zk+1 ::::>als-Oao +al +az + ... +aso = 1(1) =340 + I. c) a _ 1(1)+ 1(-1) - .

0+ az + a4 + ... + aso - 2 1(1) = 340+ 116. a) XI + x2 + x) = -a ::::>a = 0 . X X + .

, I 2 XIX)+ X X - b - b 3r;:: 2 ) - - = - ,XIX2X:!= -c ::::>c = 2 b) r;::x2 = -,,2 ::::>x) = -a e Q. c) Presupunem lil " . XI= ,,2 ~

. e are 0 rlidliemli k mtreaga Notam ' ,polrnomului/la X +k , Atunei I(O)I(l)=(-k)(I -k) ( . g eatullmpartirii

2 g O)g(l)::::>k(k_ 1) impar, fals.17. a) I=X(X +12X +20)=X(X +1O)(X +2)::::> ==0 _XI ,x2--1O,X3==-22 .b) (XI- x2) + (X2 - X)/ + (XI- X)2 ==2(X2 + X2 + y2) _ 2(

I 2 -, XIX2+ XIX)+ X2X) = 32a2 -120.

18. a)xl•2=±I'X:!.4==±2; b)h=4X4_5X2 1 I 1 I I+. 19. a) -+_+_+_==XIX2X)+ ...XI x2 X) x4 XIX2X)X; = a

bl r=l a « 8)X-7. c) 2 2 2 2 -2XI +x2 +x) +X4 ==9<0.20. a)I(3)- 1(1)==80a+2b=2(40a+b). b)

l(x)-I(y)==a(x4_y4)+b(x_y) C 14 4. um x-y X -y rezultliconcluzia.21. a)j{I)=j{_I)_

::::>a ==---4, b ==12. b) X ==a _ r _. - 02 2 Z I , X2 - a, X3 = a + r ~l X + X + - 3 3

XI + x2 + X) ==2r2 + 3 ::::>2? + 3 ==II ::::>2? ==8 2 _ I 2 X3 - a::::> a = 3 ::::>a = I.::::>r-4::::>r==±2::::>x ==-1 -I

~ 4 b = 12 22 .• 1'(' " " , I ,X2- ,x3==3::::>a=_at: .' .• a/ 0) ==l{l) ==L:0 ::::>I nu are radlicini' Z "i Ireduetibil in Z 2[X]. b) Daca I ==g . h cu s. h e Z i in z : Cum gra~ (f) = 3::::> I este;:) dOminanti I ~i deci grad 'h > 1 [X] ~ grad!, h ~ I ::::>g ~l hare coeficientiiQ , g, - . Rezulta J=s-« in Z [X] c.u.: 1(0) + 1(1) + 1'(2') ==3' , _ ' , . 2 ,lals. 23. a)• a + I - I b) X - 2 cl f « d ibil>< ( . I - Ire ucn I ~ f tus are rlidlicini inZ ~ -I'•..•• g== X-I)(X-2).b) 1(2)==1 " 3 a- .24.a)~ c)l==gc+aX+b lR[X] .*0::::> X- 2 nUdlvldepOlinomulf,decignudividepolinomuljiJ ::::>a== _ ,~e . Din 1(1)==a+b ~i 1(2)==2a+b rezulta cli a+b=I,2a+b=1I..} 0,b-l::::>r-I.25. a) 1(0)==n::::>n=01(1)-1;:) , - +m::::>m==-1. b) S =-2m==2 _ IZ C)I==(X2+X+ 1)(X2 X ) 2 ::::>m--.~ - + I. 26. a) g==(X_I)(X2+X+2); 1(1)==0::::> a+b=-21&1 ::::>b ==-2 - a Din ' ~rhrCL unparp ..•ea lui I la X2+X+2 bti:E I==(X-I)(X x 2 ) se 0 pne a==-3,b==l. b);; == -3 ~ .+X+2. 27. a) I==X(X

2-1)-9(X2-1)==(X2_1)(X_9)::::> r=O ~i

u c X -9. b) Rlidlicmlle sunt ±l ±3 .II) , ,care verifica relatia cl 1(3x) - 0 3x1&1 _ I" "/ - ~ ==±I,Y=9~

~ XI - 0,x2 ==2. 28. a) (I - XI2)(I_ xi)(l-x;)(I- x;) ==IT (I-x.)(l + x) ==/(1)/(-1) _ ( 2)2at: b) X2 + X2 2 2 2 ',- a + .~ I 2 + X) + X4 ==SI - 2S2 = 4 - 2a ~ 4 - 2a = 8 ~ a ==-2 2c:i S2 = 6, S) = -3m i S _ 2' 9. a) XI ==X2 ==I,X:!==-2. b) SI = 0,• ~ 4 - 3S2 - mSI ==18. c) ~ + X2 + X2 - 6 I I I I

1&1 XI + x2 + X:!==0 ~ X ==r; -I . 2 ) - ~ XI == oX:! = I ~i I X) I==2 . Cuml: I --L - ~l X:!==-2 ~ m - 2 saU . - U XI ==x2 = -1,x3 ==2 ~ m ==-2.30. Radacinile~ ratIOnale ale lui I pot fi' I (o numai numerele ±I ~i ±-. Calculandj{l) j{-I) I~) (I) .at: 2' , ,I -- .obpnemQ a e {-5 I} 31 2 2z , . . a) Un cmmdc este X2 _I . (c:c ~I un cmmrnc este X2 + I)g b) MI':E are 2 elemente deci U U U . u [rmea U4 nU6 ==U2

, 4 6 are 8 elemente 32 a) Fie C .• lui I la g. Atunei reG) = I( )_ 2 .: e e 0 rlidliclOli a lui g ~i r restul implirtirii

e -3& +2&+6.Fle h==3X2+2X+6 Cum ( -h)() .. r e = 0 , g are trei236

. . distinete ~i grad (r - h) ~ 2 , rezulta eli r = h. b) Fie s E C 0 rlidlieinli a lui h si r restul

. ii lui/ la h. Avem reG) ==1(&) = 3&2+2&+6 ==3(-&-1)+ 2&+ 6 ==-& +3. Fie p =-X +3.

.,gurnentele de mai sus rezulta eli r ==p. c) Fie e e C 0 radacina a lui I. Avem &5 ==I si

/(&) = &4+ 3&2+ e + 6 . Cu argumentele de mai sus rezulta eli r = X4 + 3X2 + <X + 6. 33. Fier(6)": .. 2

tul implirtirii lui I la g. Atunci r = aX + b ~I 1= (X + I) c + aX + b,c e lR[<x]. Obtinem,res

(_I)==-a+b,f'(-I)=a. Pe de alta parte, 1(-1)=-20, 1'(-I)=7~/ 13 34 F' aX2 b·v tul J ~rh";' I . /7 b == -13, r = 7X -. • ie r = + '" + c res impar I".I UI la g. Obtinern0": ,/(o) = c,f(I) == a + b + c,f'(1) = 2a + b . Pe de alta parte, /(0) = 0,f(1) = 220,f'(I) = 80.219, de

unde r == 39.220 X2 - 38.220 X. 35. Fie r = aX + b restul impartirii lui I la g. Atunei

J":(X _I)z c+ aX +b,c e lR[X], deei a +b = /(1) = -20, a = /'(1) ==1. Rezulta

J=(X _I)z C+X -21, deci 1(-1) = 4c( -1)-22. Cum /(-1) = -22, obtinem c( -I) = 0 . 36. a)

Un polinoro cu proprietatea din enun] este X4 - X3 + 3Xz - 5X + I . b) Prime Ie doua relatii ale lui

. . I' I I I I 5 0 d . d ..Viete aplicate IUI g Imp ica 2"" + 2"" + 2"" + 2"" = - < , eCI nu toate ra acinile sunt reale. 37. a)l1 Xz X3 x4

Avem X4 - 2xi + x; + Xj-I = 0, deci xi - 2x; + Xj+ I-~ = O,i = 1,2,3,4. Prin insumare obtinem, ~

S3-2SZ +SI +4-(~+~+~+~J=0. Cum SI =2, Sz =2 ~i ~+~+~+~=2=1,l1 oX:! X:! ~ l1 oX:! X:! ~ ~

rezulta S3 = -I. b) Avem S4 -2S3 + Sz + SI -4 = 0, deci S4 = -2 < 0, de unde rezulta concluzia. 38 •

II) Suma ceruta este egala cu Sz + 2S1 + 4 ==4az - 6b - 4a + 4. b) Pentru a = b ==2 , suma anterioarli

este egala cu 0, deci toate radacinile sunt egale cu -I . De aici c ==4, d ==I. 39. a) Cum gradul luiIeste 3, rezulta cli polinomul are 0 rlidlicinli reala a. Daca a ~ 0 , rezulta I (a) < 0 , fals. Deci a > O. b)

Din punctul anterior rezulta cli / are radacinile xI,XZ,X3>0. Cum xl+xz+x3=p=3 si

I I - xI+xZ+X3 3r::::-::- d . lOb' 3 40XIX2X) = r = , rezu tli ca V xIXZX:!, eCI XI = Xz==X:!=. tinem q =. •3

Presupunem cli / are toate radacinile reale. Atunci f', deci si f" au toate radacinile reale. Cum

f"= 12XZ +6aX +2a, avem !!. ==3a(3a-8) ~ 0, deci a e (-oo,O]U[~,OO), fals. 41. Pentru X e lR ,

avem /(x)==xZ(x+2)z+(x-3)z+a-9>0. Deci / nu are nicio radacina reala. 42. Cum

1=(X+I)(X2+(a-I)X+I) rezulta cli /(-1)=0, iar celelalte doua radacini ale lui / sunt

Itdlicinile lui XZ + (a -I) X + I . Cum !!. = (a _I)Z - 4 ,fare toate radacinile reale daca ~i numai daca

~~O~aE(-oo,-I]U[3,oo). 43. Folosim sirul lui Rolle pentru functia derivabila g:lR~lR,

g (x) = X3 -12x + m . Avem ±2 radacini pentru g', / are toate radacinile reale daca ~i numai daca

g(-2)~0 si g(2)~0 ~

~(x-~J+2(x-~)+a+2==0

me[-16,16]. 44. Fie xeC. Avem /(x}=O~

1 . lR¢:> IZ+ 21 + a + 2 ==0 , unde 1 ==X - - • Dacli X e lR ,atunCI 1 E ,

X

deei 6~O(:::)4-4(a+2)~O(:::) S . . 2a -1. Daca as -1 , atunci ecuapa 1 + 21 + a + 2 = 0 are r.1dlieinile

11,/2 reale. Cum r.1dl!.cinile din IC 1 I· f .. ··1 2a e Ul sunt solutiile ecuatu or x - t,x -I = 0 i = 1 2 eU

2 I " ,6 = I. + 4> 0 rezulta clifare toate ..x ..•~ . ·1 9" "luaCIDI e reale. In concluzie, a ~ -1.45. a) Avem al = fl{O) .

Cum /'=30(X2 +x +2f {2X +1)+30(X2 -X +3t (2X -I), rezulta eli al

=30(229 _329). b)

Cum x2+x+2>0 ~i x2-x+3>0 pentruoriee XElR rezulta ca /{x»O'v' 1!l> d if• . . . " X E A, eel nu are

rucio radliCIDlllireala. 46. Cum gradul Iuij" este 3 rezulta cli polinomul est . d ibil.. .. .' e ire ucti I peste Q daca

~I numai daca nu are radacini rationale. Vom determina valorile intregi ale I . truUI a pen care / are

radacini rationale. Dacli /( f J = O,p,q E Z,q;e 0, atunci p,q /1, deci E = ±I. Cumq

/ (I)= a + 3,/ (-I) = I- a , rezulta cli / are radacin! rationale daca si numai daca a = -3 sau a = Iin concluzie, valorile intregi ale lui a pentru care/ este ireductibil peste Q sunt a E Z _ {_3, I} . 47:

Daca a = 0, atunci /(0) =0. Dacli a = i, atunci /(2) = 0 . Daca a = 2, atunci /(i) = o. Rezulrg

cerinta. 48. Avem /(0)=a'/(1)=a+3, /(2)=/(3)=/(4)=a+4. Deci/ are riidlicini In Zs

daca si numai daca a E {o,U} . Cum gradul lui / este 3, rezulta cli polinomul este ireductibil peste

Zs daca ~i numai daca nu are radacini in Zs, i.e. a E P,4} . 49. a) Cum XS = x, 'v'x EZs , rezulta cli

/(x)=x4+4x4+3=3;e0, de unde rezulta concluzia. b) /=(X4+1)(X4+3). 50. a)

/=(X2+1)(X2+X+2). b) Cum x3=X,'v'XEZ3, avem /(X)=X4+x3+x+2=X3+X2+x+2=

= g( x), 'v'x E Z3 , unde g = X3

+ X2 + X + 2. Cum gradul lui g este 3 ~i g nu are rlidlicini In Z3'rezulta cli g este ireductibil peste Z3 .

...•UIa:l-

i;:)ou.:.'S:;:)oo.;:)ZCC~UIA.

~•;:)UIIIUIZ>CCCDa:UI\110

d•

UIe~oa:oZCC~

•238

,.rtea 3. ANALIZA MATEMATICA (clasele XI-XII)

fel1'la 3.1 Limite de ~iruri. Limite de funqii. Funqii continue. Funqii derivabile

(In(x2 + 1)) . In(X2 + I) [ooJ . 2x.llinl/(x)=limxl =+oo,intrucat lim =-=hm-2-=0 (cu

,. 11,/ X4CO x ....•co X x400 X 00 X400 X + 1

(x _1)2 2(x2 -I)gul lui L'Hospital). b) f'(x)=---~O,'v'XElR, deci j este crescatoare, c) /"(x) ;

~ a x2+1 (x2+lt

pUllctele de inflexiune sunt -I ~i 1.

.1 Avem lim lex) = -I (cu L'Hospital!) ~i lim (f(x) + x) = 0, deci y = x este asimptota oblica2. 0/ x ...•-«> X x ...•-«>

ficul functieij''spre -00. Cum lim lex) = 0, dreapta y = 0 este asimptota orizontala spre +00.la gra I x ...• oo

b) f'(x) = - eX1+I < 0, 'v'x E lR, deci / este strict descrescatoare, c) Deoarece / are proprietatea lui

Oarboux (fiind continua), este descrescatoare si lim lex) = +00, lim lex) = 0, rezulta 1m/ = lR .X-+"""'«l x-+co

3. 0) Avem lex) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) ~i f'(x) = 2(2x - 5)(x2 - 5x + 5). Ecuatia f'(x) = 0

5. 5±.J5 AI . firmati I x I·' d I . R IIare rlidlicinile reale XI ="2 ~I X2•3 = -2- . ternativ, a ana rezu t" ap tcan teorema Ul 0 e

functiei/pe intervalele [1,2] , [2,3], [3,4]. b) Calcul direct. c) min j'(x) = -1 (vezi tabelul de variatie) .~E 5 ~E-2- "2 -2-x -00

f'(x) 0 +++ 0 0 +++

f(x) +«> '\. -I ? * '\. -I ? +00

4.0) f'(x) = 2x+I_2x.inx+I,'v'x>0. b) limf'(x)= lim(2X+I_2in(I+.!.)X)=2_2ine=o.x + I x x ...• oo X-+OO X + I x

I

c) lim lex) = lim/(.!.) = lim y -in(1 + y) = [Q] = lim 1- y+1 = lim_l- =.!. (cu L'Hospital!) .HOO y.j.o y yO / 0 y.j.o 2y y.j.02(y+l) 2

5. a) /'(x)=e" -I, 'v'XElR. Functia j' este strict descrescatoare pe (-00,0] si strict crescatoare pe

eX -x-I I[0 +00). Singurul punct de extrem al functiei este x = 0 (punct de minim). b) lim 2 = -2 (se

, x-+o x

aplica regula lui L'Hospital). c) Din a) rezulta ca lex) ~ /(0) (:::)eX ~ x + I, 'v'x E lR.

6.0) /'(X) = l-x2

, x e R. b) lim(l+ /(x))" =e . c) Din tabelul de variatie rezulta 1m/ =[-~'~J.x2 + 1 x ...•eo

x -00 -I 1 +00

f'(x) 0 + + + 0-, I }I I -, 0f(x) 0 >t -"2 / "2 >t

f'(x) = __ x_ -I = 1 < 0, 'v'x E R , deci f este strict descresclitoare. b),,/x2+1 ,,/x2+J.(X+,,/x2+d

1 . . 1 - 0 deci----);=== > 0, 'v'x E lR, deci / este convexa. c) hm lex) = lim ~I - ,(x2 + I) x2 + 1 x ...•ee x ...•00 x+ -q x: + I

7. a)

rex)

dreapta y = 0 (axa Ox) este asimptOtli orizontala spre -toO. Apoi, lim f(x) = lim j;2;1 + y _x->-oo X y->", _y - -2

si lim(f(x)+2x)= lim(v'X2+1+x)=lim(v'y2+1_Y)=lim I -0x ...•-oo x->-oo y...•'" ~ -, deci dreapta de

y->","y- + I+ yecuatie y = 2x este asimptota oblica spre +co ,

8. a) Functia f este continua pe JR, derivabila pe JR\ {-I, I} si f '() 2xy x = 3/' VxeJR\{-II}

3~(x2-lf ' .Deoarece lim /'(x) = -<Xl~i limf'(x) = +<xl, conform unei consecinn, a teore . I .L

x...•-I x->I t met UI agrange,farederivata, dar nu este derivabila in punctele x = ±I ~i /'(-1) = -<Xl f'(I) - +oo b) U' I

' -."/ nicu punct de

extrem local al functiei j' este x=O. c) f"(x)= 2(x2+3) VxeJR\{-II} S'

9(x2 _1)~(X2 _1)2 ' , . mgurele

puncte de inflexiune ale functiei sunt x = -I ~i x = I (vezi punctul a).

9. a) f'(x)=--( I I) ~i f"(x)= 22x+12 >0, Vx>O deci f este x b.l pX X + X (x + I) convexa. "/ utem scrie

f(x) = In(x+l)-Inx, de unde obtinem ca a. = In(n+I)-1n(2n+l) = In(~)-; In~= -1022n+ I 2 .

uj c) Avem f"(x) =-;'---1-2 ,deunderezultaca b =1- __ 1_-;1f= x (x+l) • (n+I)2 .

~ 10.a) ~n?f (x) = -<Xl §i ~ f (x) = 0, deci x = 0 este asimptota verticals la dreapta, iar y = 0 esteC

~ asimptotli orizontala spre +<xl. b) f'(x) = l-x~x, Vx> 0 . Singurul punct de extrem al functiei j" este>0(

;i x- 01 f"() 21nx-3 .~ - e . c/ x = x3 ' Vx > O. Obtinern cafare un singur punct de inflexiune, anume x = e.,fe .

3 11. a) Se arata prin inductie matematica. b) }!.I!/.(X) = 0 , deci y = 0 este asimptota orizontala la

;; graficul functiei spre -<Xl.Graficul luifnu are asimptote verticalg §i nici asimptota spre +<xl.

~ c) lim .t;(a) + h(a)+ ... + /,,(a) = lim (p+ p2 + p3 + ... + p·)epa _. p(p. -I)it: n...;", /, ( ) _ lim = ~~ • a .->a> p'te!" a-eee (p _ I)p· p _ I .

12. a) x = 0 este asimptotli verticala la stanga, y = -x -I este asimptotli oblica spre -co iar• y - x + I est . t - bli - ,a - e asunp ota 0 rea spre +<xl. b) Functia f este continua pe JR\ {O} §i derivabila pe

~ JR\{-2,0}. Se arata ca !t~f'(x)=-.,fe §i !i~f'(x)=.,fe, de unde, conform unei consecinte a

i teoremei lui Lagrange, rezulta elifare derivate laterale in x = -2 §i Is '(-2) = -.,fe, fd '(-2) =.,fe, adica)"&AI

0""·nu este derivabila in x = -2. c) f"(x) = 3x - 2 daca x < -2 . f"( ) _ 3x - 2X4 ' ~I X - ---4 - , pentru x> -2 ,

xx * O. Functia f" se anuI aza doar i 2 .

e oar III Xo = 3 ' care este unicul punct de inflexiune aI functiei f, intrucat

f" i§i schimba semnul de 0 parte §i de alta a acestui punct (faceti tabeluI de semn!).

13. a) f(l- 0) = f(l) = f(l + 0) = I, deci f este continua in x = I. Cum f este continua pe(0,1) U (I, co] (operatii cu functii continue), rezulta ca f este continua pe (0,<Xl). b) Functia este

derivabilape (O,I)u(l,<Xl),iar f'(X)=I+~,daca xe(O,I) si f'(x)=x-I-Inx,daca x>I.x ~x-1)2•

240

limf'(x) = 2 si limf'(x) = -21, rezulta cll Is '(I) = 2, fd '(I) = ~ ' decifnu e derivabila in x = 1 .tl xJ.1

x I

~ . InJ(x) 2 . Inf(x) _. In(x+lnx) =[~J=lim 1+:; =2.e) \itJl(J(X»X-1 =~we x-I =e ,deoarece ~W~-I~W x-I 0 xtl x+ ln x

~ 1 . .. f() =.!. deci dreapta de ecuatie y = - este asimptota orizontala spre +<xl. b) Deoarece

1• II) urn x 2 ' 2••• ;r-+OO

(I)· . . " 6(1-2x2)1 V >0 rezulta O<a < - , Vn~l, decl lima. =0. c) Avem g (x) = 3 ;o<.f(x) <"2' x, • 2 n ...•'" (2x2+3)

. . I. 1d ul lui g" obtinem ca punctele de inflexiune ale functiei g sunt X, = - r;; §I x2 = r;; .stUdiin semn , ,,2 ,,2

x x . f(x)- f(O) Ii I. f()- lim --= lim -=-I.b) f'(O)=hm = m--=I.

15.41) x~ x - x ...•-ool+\x\ x ...•-<oI-x x ...•o x-O x->ol+\x\

c) Funcfiafeste continua pe JR ~i derivabila pe JR. , intrucat !,(-<o,O)§i fi(o,,,,) sunt ~ctii elementare:

. tuI al rezulta cafeste derivabila pe 1R si este stnct crescatoare. Cum hm f(x) =-1 §IJ)in punc v x ...•-oo

lim f(x) = 1, rezulta ca 1mf = (-1,1).

;~"'a) limf(x)=-<Xl si li~f(x)=+<xl, deci dreapta de ecuatie x=-1 este asimptota verticala lax.!.-I x II

4xdreapta, iar dreapta x=1 este asimptota verticala la stiinga. b) f"(x) = (l-x2/' Vxe(-I,I).

Singurul punct de inflexiune al graficului functiei f este x = O. c) Pentru orice x > I avem

xaf(~)=xa .In::~ =xa-I.In[(I+ x~JX~lr~1 §i cum ;~[(I+ x~JX~lr~1 =e'~:~1 =e2,

rezulta ca limita ceruta este egala cu 0 daca a 1 .

In x . • . (I) _. 10(1+ y) _ [<Xl]= lim _1_ = 0,17 a) Deoarece f(x)=e J() §I limlnf(x)=liplXln 1+- -Iun - <Xl y->"'y+l• x.!.o nO X y->'" Y

rezulta ca limf(x) = eO= I. b) y = e este asimptota orizontala la graficul functiei spre -toO.x.!.o

c) !~x(I-lnf(x)= ~!!(X-x21n(1+~))=~FoY-~~+ y) =[%]=~~2(yl+l) =~.

1L a) f'(x) = -~, Vx> -1. Functiaj" este strict crescatoare pe (-1,0] si strict descrescatoare pex +I

. f(x) 1[0,<Xl).b) Din a) rezulta f(x) ~ f(O) = 0, Vx> -I, adica 10(1+ x) ~ x, Vx > -I. c) ~~7 = -"2'

-3x+l 0 .. d . b'IX Trb. A f'(X)--- daca x< §I19. a) Functia f este continua pe JR, enva I <1 pe IN... vem - 2h 'i

I '(x) = 3x -1 daca x> 0 . Deoarece limf'(x) = +<xl si Iimf'(x) = -<Xl, conform unei consecinte a I~ ~ ~ ~

teoremei lui Lagrange, rezulta ca Is '(0) = +<xl §i fd '(0) = -<Xl, decifnu este derivabila in x = 0 . ~

. . 1 f"()- ~ daca X<O si !b) Singurul punct de extrem local al functiei f este x = 3' c) x - - 4xh ' ~

1 :tI '(x) = 3x + 1 , daca x> O. Singurul punct de inflexiune al functiei j'este x = -3 .

4x~ •241

20 r) I· f(x) .. 3 4• II un--=I ~I bm(f(x)_x)-lim x+ .

X-+a>X X-+a> - = 0 deci drex-+a>1(x3+3x+4)2 +X:VX3 +3x+4 +x2' apla

d·· 212e ecuape y = x este asimptoia oblica spre +00 b) f'( ) _ X + _ X + 1• '/ X - - -- '<IX>0

1(x3+3x+4)2 12(X)'

e) /,(-1)= Jim I(x)- 1(-1) = Jim :Vx3+3x+4 = lim 1(x+l)(x2 -x+4) . x2 -x+4x-+-I x + 1 x-+-I x + 1 x-+-I + 1 ::: lim 3 _ :::

. X x-+-I (x+ 1)2 co.21. a) I este continua pe lR· (operatii cu functii continue!) si 1(0 - 0) = 1(0) _<

- 1(0+ 0)::: 1, decij

{

2X, x < 0 z- In 2, x < 0

este continua pe lR . b) Avem I(x)::: .JI- x, x E [0,1) ~i I '(x) ::: _-_1 =', x E (0,1) .~I I 2.JI-x

vX-l x>, 1.J ,x>I2 x-I

Folosind 0 consecinta a teoremei 1m Lagrange deducem cl1 /. '(0) :::In 2 I" '(0) _ 1.,. ' s , J d - -2' f. '(1) ::: ~

~I Id (1).::: +00, de~1 x = 0 este punct unghiular, iar x = 1 este punct de intoarcere al graficului IUife) Ecuatia tangentei este y - 1(5) = /,(5)( x - 5) <=>x - 4Y + 3 = 0 . .

u:l 22. a) y - 1(0) = 1'(0)· x<=>y = -x + 1 b) Jim I(x) = Jim 3x2 + 1a: X-+a> X-+a>3/( 2 = 1 ,i.. V x3 + 3x2 + 1) + x~ x3 + 3x2 + 1+ x2S deci dreapta de ecuape y = 1 este asimptota (orizontala) la graficul functiei/spre +00. e) Conform eu

~ a), Iimita de ealeulat este nedeterminare de tip [Ia>] . Cum (f(n»" = [(1 + (f(n) -I))f(~>-I JUCn>-I)

~ ~i lim n(f(n)-I) = Iim n[ {In 3 + 3n2 + I-(n + I)]= Jim -3n2

5 n->a> n-+a> n->a>1(n3+3n2+1)2 +n{ln3+3n2+I+n2 =-1,

';! rezultli ea lim (f(n»" :::e-I .:::I n-+a>

~ 23 a) I(x) - a-I 1- cosx 1ffi' -7+-X-2-' '<Ix<O. Rezulta ca 1(0-0)=2 daca 0=1, 1(0-0)=-«>, dad!

~ 0 < 1 ~i 1(0 - 0) = +00, daca a > 1 . b) Functia I este continua pe lR•. Pentru ca I sa fie continua ina origine, din a) rezulra a = 1 . Cum 1(0 + 0) = ~~ (x + bex) = b = I (0), rezulta ca I este continua in:0 x>oZ~a:11.1~Q

origine daca ~i numai daca a -1 ~. b - 1 ~ /.'(0) . '() 3- I - 2 .e s = 0 ~I Id 0 = 2 => I nu este derivabila in 1.

24. a) l(x)Sx+I, '<Ix<O,~i lim(x+I)=-«>=> lim/(x)=-«>.x-+-<X) x-+-<X).

11.1 b) Deoarece lim I(x) - 1(0) = lim(l- 1- cosx) _ .. I(x) - 1(0) . ( eX -IJo xto x - 0 xto - 1 ~I hfD = lim x +-- = 1 rezulta~ x x 0 X - 0 xJ.o x 'o cliIeste derivabila in x = 0 ~i 1'(0) = 1 .a:

~ e) limn(l(ifi)-/(I))=r [A2;;L/(I) 2;;-1]~ n-.a> n~.!. ·-1- = 1'(I)In2 = In2 .

2n -I -• n

242

,I Cu regula lui L 'Hospital, Jim I (x) = Jim _1- = 0=> y = 0 este asimptota orizontala la., x-+a> x-eec X + 1

2.--In(x+l)Jfaficul lui I spre +00. b) I'(x)= x+l x2 ' '<IxE (0,00) . Functia u:(O,co)---+lR,

( )_~-In(x+l) este derivabila ~i u'(x)=-~<O, '<IXE(O,OO).Rezulta ca u este strict,,:J - x+1 (x+l)

~sclitoare ~i atunci u(x) < u(O + 0) = 0 pentru orice x ~ 0., deci I'(x) < 0, '<IxE (0,00) . Prin...-.are leste strict descrescatoare. e) Avem 1(0 + 0) = 1 ~I lim I(x) = O. Cumj" are proprietateaUI~-' X-+CIO

tui Darboux ~i este strict descrescatoare, rezulta cli 1(0,00») = (0,1) , decij" este marginita.

-'11) f(lR) = (-«>, -I) u {O}u(I, co) , care nu este interval, decij" nu are proprietatea lui Darboux.

Solupe altemativli: cum 1(0 - 0) = -1 ~i 1(0 + 0) = 1 , rezulta cal are in origine 0 discontinuitate deprima speta. decij" nu are proprietatea lui Darboux.

6) ~(/(:2 )- 1(;))= ~~(:2+1-(;-1)) = ~(2+ 1:2X)= +00.

I(x) - 1(0) I· ( I) . li I(x) - 1(0) li (I I) deci .c.1 lim un 1- - = co ~l m = m + - = co , eCI I are derivata in., xto x - 0 xto x xJ.o x - 0 xJ.o x

x =0 ~i /,(0) = 00 .

'D. II) Jim I(x) = Jim (1+----h)=1 ~i lim (J(x)-x)= lim eX =O=> y=x este asimptota 1ax--+--<X) X X-+--<X) xe x-+-co x-+-co

graficul1uilspre -«>. b) /,(x) = 1+ e"> 0, '<IxE lR=> I este strict crescatoare => I este injective.

CumIare proprietatea lui Darboux ~i lim I(x) = ±<Xl , rezulta ca I (lR) = R , deci Ieste surjectiva,x-+±oo

()1 1 1

c) Folosind teorema de derivare a functiei inverse obtinem: r' '(I) = /,(rl(l)) = /,(0) = 2 .

21. II) iJ(x)1 = x2 ·ISin.!..1S x2, '<Ix* 0 => limf(x) = O. b) Functia I este derivabila pe lR· ~i~ x->o

I'() 1 1 . l(x)-f(O) . .1 0 ( iteriulx =2xsin--cos-, '<IXElR·. Deoarece lim =Iim xsin-v= cu cnenx X x->o X - 0 x->o X

IDajoririi), rezulta caf este derivabila in origine ~i /,(0) = 0 . Asadar, Ieste derivabila pe R .

c) Fie V 0 vecinatate a lui O. Este suficient sa aratam ca exista a,b,e E V, 0 I(e). Fie sirurile un = ~l vn = , n ~ I. Cum im Un= m vn = ,-f - 'Inr: 3; + 2nf( n->a> n-+a>

ex.ist!iun rang N ~ 1 astfel incat Un'VnE V pentru n ~ N . Luand a = UN' b = 0 si C = vN , rezulta caInu este monotona pe V.

11. II) Din faptul ca larctgxl <~, '<IxE lR, rezulta ell. lim f(x) = O. Pentru a doua limita avem: ~2 x-+a>X oC

1.1Ii arctg.l arctgy () () 1 ( I) lR. CIIi=rnxg(x)=lim--x=lim--=l.b) /' x +g' x =-2-+ --2- =0, '<IXE .•...•'" x->a>.l y-+a> y X + 1 x + 1 ~

c) Confonn unei consecinte a teoremei lui Lagrange, rezulta ell. f + g este constanta pe fiecare din ~. 1 {Cp x E (-00,0) ::ilntervalele (-«>,0) ~i (0,00), deci exista C1, C2 E lR astfel incat arctg x + aretg - = C (0 +CO) . •

X 2' XE ,

24

•

f"( )-.!. > 0 vx» 0 deci f este convexa. b) Existenta punctului

j'(X)",lnX+1,'<IX>0=> x-x' , ...

I . Lagrange aplicata functieifpe intervalul [n,n + I), n E N*, iar unicitateadin teoreroa UI f'( ) d

rezultA d f tul ca f' este strict crescatoare pe (0,00). c) Avero fen + I) - fen) = cn' e.•••'ratA e ap

881&--

n + I (I+ .!..)n . De aici rezulta ca lim c, = <X> •____ ' n-+OO

tJIICle Cn - e n 2

2 b (7i 2 ) ~oo avero f(an)=I~1 si"1 =(2mr) ~oo ~i n = -+ n7i~ PentrU sirun e an 2J5. II d It' ca f nu are limita la +ex>. b) Pentru orice x > ° avero

-O-tO, de un e rezu a

f(b.)- -cosFx ' __ tirol-cosFx =_lirol-COSY "'-.!...~=_I 2 ,deunderezultaca fAO)- x~O (Fx)2 y->O l 2

x-O (Fx). J;+i + -in . J;+i - -in de unde rezulta ca:

'f(n+I)-f(n)=-2sm 2 sin 2 'c) Avero.

I I·J;+i --inl_ 21Sin I I~0, deci lim(!(n+I)- f(n)) =0.\f(n+l)-f(n) ~2sm 2 - 2(J;+i+-in) """".

. It mativa: Conform teoremei lui Lagrange, pentru orice n ~ I, exista cn E (n,n + I) astfelSolul1e a e .

( ) f( )-f'( )=_sinF,. .intrucat C -too,obtinero liro(!(n+I)-f(n))",O.

• ca't f n + I - n - cn '- n n-+«>m 2"cn

Fx·(2-Inx) '-' ° b'\ f'(x) >0 '<IxE(0,e2) si f'(x)~0,'<IxE[e2,<Xl),decifeste36.1I)f'(X)'" 2 ,vx>. '.I '

2x [2 ) 1n3.[s - JS 1n3 ~istrict cresclitoare pe (0, e2 ] ~i strict descrescatoare pe e, co . c) Deoarece - .fj

1n3 inS rezulta JSln3<J3ln5~3.[s <5 .1n3.[s = JS 1n3 si, conform cu b), f(3) < f(5) ~ J3 < JS '

2

2xa _ 2 . xa-3 , pentru orice x > °.37.11) xaf(x)= ~(X+2)2 +~x(x+2)+1fx22 - (~I+~t +~I+~+I 2

2 I" lim xaf(x) = ° pentru a > ~ obtinem lim xa f(x) = +ex>, iar daca a ="3 'Pentru a < - rezu l4 ' 3 x->OO

3 x->oo. 2 I (I _1_) '<IxE lR\ {-2,0}; de unde obtinem ca x = -I este

lim xa f(x) = - . b) f'(x) = -3 ~( 2)2 312'x ••.•eo 3 'ItX +~) v x-

. if? ~ < ~ - if) ~ f(5) < f(3) .singurul punct de extrem al fractiei f c) Inegatitatea s~ sene : -F I· . f tul x f'(x) < ° '<Ix>° adicafeste strict descresclitoare pe (0,00).

o osim apoi ap ca , , . . t ° i-238. II) f'(x) = (x2 + 2x)eX, '<Ixe lR, deci punctele de ex~em .Ioc,alale functieij" sun ~ .

b) Egalitatea se probeaza prin inductie sau cu formula lui ~lbD1Z. n I1 n I n I (n-l)n(n+I)=0=>lim2-'Lik)(0)=-.

c) 3L.t<k)(0)=3~)k-I)k=";;3" 3 3n2 n->oon3k=1 3n k~ n k~ . .

kr: It t unctele de inflexiune ale funcl1el.39.11) f"(X)=-A2sinAx,'<IxelR=>xk=T,ke sun p

n . ntt \f(n) (0)\ < lAin -t 0 => lim /n)(o) '" ° .b) Inductie dupa n. c) sau /n)(o) '" A sm2, '<IneN=> - n->OO

. 1 bti tt 7i deci 17! ()Pentru x=-l ~l X= 0 pnern C1=-- si C2=-, eCI arctgx-+arctg-=-'sgn x , '<Ixe llb••2 2 x 2 "" .

30. a) f'(x) = xcosx; sin x , '<txE (0,'::'). b) Functia u: (0,.::.) ~ R, u( x) = xcosx - sinx 2 2 x eSte

derivabila ~i u'( x) = -x sin x < 0, '<IxE (0,%), deci u este strict descrescatoare. Ca unnare,

u(x)<u(o+O)=O,'<IXE(O,%), de unde rezulta ca f'(x)<o,'<Ixe(o,%). deci f este strict

descrescatoare. c) Deoarece f are proprietatea lui Darboux (fiind continua), este descrescXtC1 oare

f(O+O)=1 si f(%-o)=;,rezultaca f((O,%)J=(;,I)- ,

31. a) 1'( x) = 1- x, '<IxE (0,00). Tabelul de variatie al functiei este:x

x -I ° +ex>f'(x) +++++++++ ° ----------f(x) -00 - I - ....-00

Functiaj'este strict crescatoare pe (0,1] si strict descrescatoare pe [1,00) .

b) Conditia este echivalenta cu a ~ maxf(x) . Valoarea maxima a functiei este f(l) = -I; rezulta canO

iil ae[-I,oo). c) Folosind sirul lui Rolle pentru functia g: (0,00) -tlR, g(x) = f(x)-m, din tabelul

~ x I~ I <X>~ g(x) -m-l-oo~ obtinem ca ecuatia f(x) = m nu are solutii pentru me (-1,00) , are 0 singura solutie pentru m =-1.< (pe I) si doua solutii pentru me (-00, -I) .....•~ 32. a) 1'(x) = ~, "Ix> -1 ~ f este strict descrescatoare pe (-I, 0] ~i este strict crescatoare pe:::) x +!vI.) [0, <X> ) • b) Tabelul de variatie al functiei f este:

:::) x -1 ° +ex>~ f'(x) ----------0 ++++++++++

ffi f(x) +ex>- • ° _ ..• +ex>A.~ Cumj este continuaobtinem ca f«-I,oo))=[O,oo).c)Deoarece f(x»o pentruorice x>O,prin.a inductie obtinem an > 0, '<IneN. Sirul (an ).~O este strict descrescator intrucat

~ an+l - an = -In(1 + an) < 0, '<IneN. Fiind descrescator si marginit inferior de 0, sirul este convergent.

':i Daca a = lim an , trecand la limita in relatia de recurenta rezulta a = a -In (I + a) , de unde a = °.a: n-+ooY.I

d 33. a) f este derivabila pe lR ~i f'(x) =.!..( 2x + I 2x -1 ) > °,decif e strict crescatoare-.:. 2 ,Jx2 + X + I ,Jx2 - X + Il:VzC b) intrucat f are proprietatea lui Darboux ~i lim f(x) = lim ( 2x ) = ±I ,

Hi<o x->i<oIxl. h + 1. +...L + h _ 1. +...Lo ~ x ~ ~ x ~

~z rezulta ca f(lR) = (-1,1), decifeste surjective. c) Din b) rezulta ca Xn E (-1,1), '<IneN. Cum Xl < XoC~ ~if este strict crescatoare, prin inductie se obtine cli (xn ).~O este strict descrescator. Fiind monoton ~i

mlirginit, sirul (xn ).~O este convergent.

..:tC\,

~•:It•··

40. a) I(n)= (X+I)~X+2) = X~l- X~2' VxelR \ {-2,-1} ~ i:/(k)=I-~2 -s i , Se obtine*=0 n+ t

lim(f/(k))' =.!..b) /,(x)= ( 2x+3 )2'VXelR\{-2'-I}~x=_i estesinguruip••••• 00 *=0 e x2 + 3x + 2 2 unct deextrem local al functieij'{maxim local).

c) f{n}(x)= (-I)"n! (-I)"n!, VxeJR\{-2,-I} VneN*(x + 1)·+1 (x + 2)"+1 '

lim t (-1)* l*l(1) = lim f(_I I_) = lim(I--I-_.!.(I-_I_)) _ I••••• 00 *=0 k! •...•00 *=0 2*+1 3*+1 .-+00 2.+1 2 3.+1 - 2' .

~. e- -I . eY -I I .!. 1

41. a) limx(J(x)-I)=lim-I-=hm--=I. b) f'(x)=--ex ~i /"(x)=(2X+I~x ...•eo x ...•ec x y...•O y x2 X4 •

de unde rezulta

Singurul punct de inflexiune al functiei f este Xo= -± .c) Ecuatia este echivalenta cu e! - m ==01 X

eX (2 1Functia g:JR*~JR,g(x)==2-m este derivabila si g'(x)== x+l)ez VxeJR*

x 4' .X

x -00 og'(x) 0

-'~ g(x) -m 4e 2 - m -m 1+00 -ml-i Cu sirul lui Rolle, deducem ca ecuatia are exact trei solutii reale daca ~i numai daca m e (0, 4e -2) .:>Q x-I .!.~ 42. a) /'(x)==~.ex, VxeJR*. b) Functia g:JR*~JR,g(x)==f(x)-m este derivabila ~i

~, x-I .!.~ g (x) ==f'( x) ==~. eX, Vx e JR•. Cu ajutorul sirului lui Rolle deducem cli ecuatia are exact doua

3 solutii reale daca ~i numai daca me (e,oo) (vezi tabelul de maijos!);; x -00 0 Iz gW I 0-ei: g(x) -00 -m 1+00 e-mIUa.:E•

+00

+00I

c) f(x) > 0, Vx > 0 ~ a. > 0, Vn e N (inductie) ~ a.+1 ==e;;:> I, Vn e N ~ (a ) este strict

:> ~'-~ crescator. Deci (a. to are limita, Daca I ==~!!a., atunci 0 < a. ~ +00. Daca am avea I e (0,00) ,

~ . I

15 pnn trecere la limita in relatia de recurenta ar rezulta ca I ==kef ==I , ceea ce nu este posibil. Deci~ ~~ I ==+00 . Prin urmare, lim (J (a.)_a.)==lim ea. -I ==Iim eX - I = I .IU a-eec n-+oo -L x-+o x

~ 43. a) Deoarece {x}==x, Vxe(O,I), rezulta ca Qiimf(x)==limx(l-x)=0 . b) Explicitand functia j'~ xtl xtl t '

ex: {X(l-X), xe[O,I)

~ obtinem I(x) == (x -1)(2 - x), x e [1,2) . Se arata usor ca I este continua pe [0,3]. c) Cu definitia,~ (x - 2)(3 - x), x e [2,3]

sau folosind corolarul teoremei lui Lagrange, se obtine ca/nu este derivabila in x ==I ~i x ==2.•46

ca

.) Functial este derivabila pe [-1,1] ~i /,(x) = eX(sinx + cosx), Vx e [-1,1]. Si functia I' este

.terivabila pe [-1,1], deci Ieste de doua ori derivabila. Cum 1(0) = 0, /,(0) ==1, rezulta ca f' e M .

.!. 1n(1+/(x») . . In(I+ I(x») . I '(x) 1'(0)It zultA din (1+ I(x»)x ==e X ~l lim lim--- =-- = /,(0) (cuJ) e :<-+0 x x ...•o 1+ I(x) 1+ 1(0)

. 'H 'tal) .IA f"(x)-x' =f(x)-x'~/'-*(X).x*-I=/(X)-x.~(f(x»)'-k--.Ia IUl L ospi . c) vem .+1 .+I.t...J 2 .t...J~... x X *=1 X k=1 X

f(x) - x [0] lim I '(x) -1 [0] lim ri» /"(0) ( I I'In ca't Jim = - = = - == -- ==-- cu regu a Ul L'Hospital) sitrU x ...•0 x2 0 x ...•o 2x 0 x ...•o 2 2

.M= Jim f(x) - 0 /,(0) = 1 , obtinem lim f" (X!+~x' = nt"(O) .IiJD x ...•o x - 0 x ...•0 x 2x->O X

450 II) Daca xelQn[-I,IJ, atunci If(x)I=lxl· Daca xe[-I,I]\IQ, atunci If(x)I==lxI3~lxl,

intrUcat Ix dH x n~0, Vx e [-1,1] . b) Deoarece 0 ~ If(x)1 ~ lxi, prin trecere la limita rezulta ca

liJOf(x) = 0 = f(O), deci f este continua in x = O. c) Fie g(x) = f(x) - f(O) f(x) , x'# O."...•0 x-o x

I I. -Ii belConsidemm sirurile de termen genera x. = - ~l Y. = -, am e e convergente la O. Deoarecen n

lim g(x.) = I si lim g(y.) = 0, folosind criteriul cu siruri pentru limite de functii, deducem ca g nuIf-+CX> n-eec

are limita in x = 0, ceea ce este echivalent cu faptul cafnu are derivata in x = 0 .46. II) lim f(x) = 0, deci y = 0 este asimptota orizontala. in plus, limf(x) = -00, lim/(x) = +00,x...•±oo xtk x.i.k

adicli dreapta x = k este asimptota verticala, k = I,n. b) /'(x) = - t--1-2 < 0, decif este strict*=1 (x-k)

descrescatoare pe fiecare dintre intervalele (-00,1), (1,2), (2,3), ...,(n-I,n), (n,+oo). intrucat

f(-oo,I») = (-00,0), f( (k,k + 1»)= JR, pentru orice k = I,n -1 , ~i f(n,+oo») = (0,+00) , rezulta caecuatia f(x) = a are n solutii daca a'# 0 ~i n -1 solutii daca a = O. c) Deoarece

• 1 --/"(X)= 2L--3 ' rezulta ca f(k+O) =+00 ~i f(k+I-O)=-oo, pentru orice k=l,n-l. Ca

k=1(x-k)

unnare, 1"((k,k + I») = JR si, cum I" este functie continua, ecuatia /"(x) = 0 are 0 solutie pe

fiecare din intervalele (k,k + I), k = I,n -I . Asadarj'are n -I puncte de inflexiune .

47. a) ri x) = __ 1_ < 0, Vx > 0 ~ f este strict descrescatoare, deci este injectiva. Cum f estex(x+ I)

descrescatoare, are proprietatea Iui Darboux. Din f(O + 0) = +00 si lim f(x) = 0, rezulta cax ...• oo

Iml = (0,+00), decifeste surjectiva. b) (j-I)'(ln2)= (~ )=_1_=_2./'r (In 2) /,(1) •.•

==c) I(x) = In(x + 1) -lnx, Vx > 0 ~ », r= f(1) + fi2)2 + "')+ fen) = ~(n2+ 1»), (V)n ~ I. Rezulta ca ~

Inn+1 Inn+1 v~

limu ==lim In(x+l) =[~]=Iim x2+1 =.!.. ==

~-.",' x ...•co In (x2 + 1) 00 x ...•ec 2x(x + 1) 2 ~

•••• a) 1(1 + 0) = -00 ~ X = 1 este asimptota verticala la dreapta; lim I(x) = 0 ~ y = 0 este ==x ...• oo

•247

2asimptota orizontala la graficulluifspre +00. b) f'(x) ) > 0, 'Ix > 1.x(x2 -I

c) s.:= i:.1(k) = Inrr(I-~) = In(fIk-1 .fIk+ IJ= In(~' n+l) = Inn+1 ~ lim S. = -ln2.k=2 k=2 k k=2 k k=2 k n 2 2n •...•""

~-Q~. .49.a) f'(x) x2' X * 0 ; Functia I este strict descrescatoare pe intervalele (-co,0) ~i (0,1) ~i

este strict crescatoare pe (1,00). b) lim I(x) = 00, lim I(x) = 00, deci f mx admite asimptota la +ooX-+CIO x-+oo X

Cum lim f (x) = 0 , dreapta y = 0 este asimptota orizontala spre +00. Deoarece limI(x) = -<Xl .'.•....•-ec x to .1

~fof(x) = +00, dreapta x = 0 este asimptota verticala, c) Pentru orice n e N* , exista c. e (n,n + I)

asa incat f(n + Q - f(n) = f'(c.) (c. - ~)ec. (teorema lui Lagrange). Cum n < c. < n + I, deducemc.

(n - Qe· (c _I)ec• ne·+1 • •• • •~~-::-2 < • 2 <-2-·FoloslOdcntenulcle~teIU1,rezultllca Iimn2(j(n+I)-f(n))=+oo.(n+ Q c. n n ...•eo

so. a)Ieste continua pe JR*(operatii cu functii elementare!). Cum lim f(x) = lim e'" -I = I = 1(0) ,x-+o x-+o x

rezulta cafeste continua ~iin origine. Prin urmare,Jeste continua pe JR.

uj b.1 1'(0) lim I(x) - f(O) lim eX - x -I [0] lim eX -I Ia: '/ = = 2 = - = -- = -. c) FunctiaI este derivabila pe JRI- .1' •••• 0 X - 0 .•....•0 x 0 .1' •••• 0 2x 2

~ ., xex-e"'+I.. [I I]~ ~I I (x) = x2 ' daca x * O. Aphcand teorema lui Lagrange pe intervalul n + 1'-;; , rezulta

~ ca exista c. e(-I-,~) asa incat I(~)- 1(_I_)=(~ __ I_)f'(c.)=_I_f'(c.). AtunciIf n+1 n n n+1 n n+1 n(n+l)

~ Iimn2(/(~)- f(-I-)) = lim-n-f'(c.)=~ pentru ca c. ~O ~i limf'(cn)= limf'(x) =.!..• •...•"" n n + I n ...•"" n + I 2 •...•"" .1' •••• 0 2

~ 51. a) l(x)=O,Vx>l~lim/(x)=O. b) Pe multimea A=JR\{O,I,~, ...,~, ...}, care estea: x ...•eo 2 n~ reuniunea de intervale deschise, functia este nula si, prin urmare, continua ~i derivabila, In puncteJe

~ ~ (n e N*) ,I este discontinua deoarece limitele laterale sunt nule, iar valoarea functiei este ~.u~ Studiem continuitatea in punctul Xo = 0 . Pentru orice x e JR avem if(x)1 ~ lxi, de unde rezulta caz':i !~/(x) = 0 = 1(0), decij'este continua in origine. Asadar.j'este continua pe multimea Au {O} .a:~ c) Nefiind continua cu punctele ~, functiaj'nu este derivabila in aceste puncte. Arlltlimcafnu esteo n·1&.1~UCCZoa:QZCC

~

derivabila in Xo= O. Pentru aceasta consideram sirurile u. = ~ ~ 0 ~i vn = .fi ~ O. Cumn n

II(un)- 1(0) -;;-0 I(v.)- 1(0) 0-0 .

= -- = I ~ 1 ~i = -- = 0 ~ 0 , deducem caInu este derivabila in», -0 ~-O », -0 un-O

norigine. DeciIeste derivabila pe A.

•248

lim I(x) = 0 ~ y = 0 (axa Ox) este asimptota orizontalilia graficulluifspre :too.II) x-+:t«>

J2 fun . i f.t) r(X) = 2e-?- (2X2 -1), 'Ix e R ~ ±T sunt puncte\e de inflexiune ale ctierj.

. . d x e arata _x f(·) (x) = P (x)e-?- unde P :R ~ R este 0 functie polinomialaprin lnductte up••n s l<1 W1 • ' •

e) . . e?- 1(·)(x) r P,,(x) ( I)" 2.de grad n cu coeficientul dominant (-I)" ·2· . Pnn urmare,!~ x" = x~ 7 = - . .

53.a) f (1- O)= -co si f (I + 0) = +00~ X = 1 este asimptota verticala la stanga ~i la dreapta.

lilllM= 1 ~i lim (f (x ) - x) = 1~ Y = x + 1 este asimptota oblica la graficul luif spre ±<Xl •

s-+±<" X x-+:t«>

f'(x) = x

2- 2~ ,'Ix e JR\ {I} . Tabe\ul de variatie este:

b) (x-I)-<Xl 0 1 2 +00

XO I 0 ++++ ++j'(x) + + + + + + ---- --- ---

f(x) -o: /' 0 ~ -<Xl I+00 ~ 4 /' +00

Punctelede extrem local ale functieifsunt 0 (punct de maxim local) ~i2 (punct de minim local).1 .' . . (.) (-I)"n! 1

c) Functia u: R \ {I}~ JR,u(x) = x -I este indefinit derivabila ~I u (x) (x _ Q.+I ' 'Ix * ,pentru

orice n e N* . Avand in vedere ca f(x) = x + I + u( x) , oricare ar fi x e JR\ {I} ,obtinem:

k • ( Qk • 1 (I). ~ (-Qk (k) ( )~(-I) f(k)(3)=3+"-'=--'--IP)(3)=3+LkT=3+ I-~ ~IimLJTf 3 =4.~ k'k LJ_o k! k=O2 + 2 n ...•eo k=O .k=O . -

54.a) f'(x) = x~; 1, 'Ix > 0 . Valoarea minima a functiei este 2, ~i se atinge in punctul x = 1.

b) f"(x)=";'>O, Vx>O~f esteconvexa.c) f(x»O, 'v'x>O~a.>O, VneN.Deoarecex

Q.+, _ a. =...!... > 0, 'In eN, rezulta sirul este strict crescator, deci are limita. Daca I = ~ a., atuncia.

• Ita I I + I adicx! = 0 , ceea ce nu este0<1 ~ +00. Nu putem avea Ie R+, pentru ca ar rezu = I ' .. I

ibil.Deci .' Iimf(a.) Lim(l+ 1 )-1poSI I. Deci I = +00 ~Iatunci -- = 2" - .n-+OO an n-+CD an

. f(x+l) . x3+3x2+4x+3_1 b) f'( )=3x2+1>0 VxeJR deunderezultacalSs.a) hm --- = hm 3 - . '/ X "x ••.•"" f(x) x ••••ec x +x+1

. .., . a . lim f(x) = +00, rezulta caeste strict cresclltoare, deci este injectiva. Cum I este contmu ~I x ...• :t«> -

• .. . deci te i rsabila c) Pentru oricef(JR) = R, decifeste surjective. In consecinta,jeste bijectiva, eCIes e mve .

x>1 avem fW-;)=x+if;+I>x ~i f(if;-I)=x-(3(~fxf -4if;+I)<x. Cum rl

este

1 f'(x) lirn rl(x} =1.crescatoare, rezulta if;-\ <rl(x) < if;¢::> i- if;< if; < 1, 'Ix> I , de unde x-+"" if;

2

,ox

56.0) I(x)-x = Ax; -I)=~.ln~ X,x

V'x> o. Cum lim Inx = 0 ~i lim Inx = co, rezul.~X~<D X x-+oo 14 c~

Inx

limeX -I limeY-I-In-x -= --=1 ~i x~~(J(x)-x)=co.

X-+CCI -;- y-+O y -,._

(,+~JinX (()' ,b) /(x)=e X =>f'(x)=/(x). x+I)lnx =/(x).X+I-lnx=x:;.x+I-lnx

x x2 ,V'x>Ox .c) Conform teoremei lui Lagrange aplicata functiei / . t lul [

I' pe in erva x x + I) x > 0 ., , ,elUstlicxE(x,x+I) astfel mcat /(x+I)-/(x)=f'(cx). Calcuilim lim/'()

x. Deoarec1 lox X--+te elimx:;=lime-:;- =eo=I si limX+1-lnx=lim(I+.!_lnx)_I d d

x-+"" z-eec x-+"" X x-eco X X -, e ucem cll lim I '(x) = 1x--+oo •

Intruciit ;~ c, = co, rezulta cll ~ (I(x + I) - /(x)) = lim /'(cx) = lim f'(x) = I.x-+oo x-+ao

. /(x). I 1- '57.0) hm--= limcos-=I §i lim(/(x)-x)=-lim cos; _ 1. I-cosy

.e-e-ec X x ...•co X x ...•"" l - - 1m--- = 0 => y = x estex ...•"":; Y ...• O y

asimptota oblica la graficullui/spre +co.

~ b) Din teorema lui Lagrange aplicata functiei / pe intervalul [x,x + I], x> I , rezulta existenta unui

~ punct Cx E (x,x + I) astfel incat /(x + I) - /(x) = /'(e) Cum /,( ) _ I I. I. Ij X • x -COS-+-sm- ~I 0<-<1::> x x x x~ pentru x> I , rezulta cll 0 < 1'(x) ~ I + ~ < 2 pentru orice x> I , de unde se obtine concluzia.•

OS c) Aplicam din nou teorema lui Lagrange functiei / pe intervalul [n,n + I], n ~ I; exists~ dn E (n,n + 1) astfel mcat I(n + I) - /(n) = I'(dn) . Cum dn ~ co, obtinem cao ~(I(n+I)- /(n)) = lim/'(dn)= lim/'(x) = I.U n-+oo x-+<o

;; 58. 0) lim I(x) = I §i lim (J (x) - x) = ~ _" . .~ x-+"" X x-+'" 2 => Y - x +"2 este asunptota oblica a graficului functiei /a::~ spre +co. Asemanator, dreapta y = x -~ este asimptota oblica a graficului funcpei/spre --«>.~;; b) Functia/este derivabila, bijectivll §i I'(x) = I +_1_ > 0 \I lR A li ' d .~ x2 + I ,x E . P ican teorema de denvare

~ a functiei inverse obtinem: (1-')' (I + ~) =, I = _1_ = 3.ffi I (r'(I+~)) 1'(1) 3·11)0 e) Avand In vedere ca /(x) > O· fi ...ci ' oncare a x> 0, pnn inductie obtinem an > 0, \In EN. Din~ an+,- an = arctgan > 0, \In E N rezulta cll irul ( ) .% I . ,§ an n~O este stnct crescator, deci are lirnita. Fiev = lim a 0 < I < +co Da II I lR .~ x ...• '" n» - • C E, pnn trecere la limita in relatia de recurenta obtinemg I = I + arctg I , adica I = 0 , contradicpe. Deci I = co .

Q 59. 0) Din relatia a - a (I ) .. d .~ n+' - n - an , pnn m ucpe obtinem an E (0, I), \In E N.. b) Avem...,; an+!- an = _a2 < 0 \In E N· => () t . d<: an, an n~' es e strict escresclltor. c) Fiind monoton si marginit, sirul

( nt~,este convergent. Fie 0 = lim 0 (0 ~ 0 < I) . Trecand la limita ' 1 h dn ...•"" n m re al,a e recurentl\ rezultll•

250

2 d . -0 C 2_ . 2 2 2_(J - a , eCI a - . urn Ok - ak - 0h" V'kEN, obtinem a, +a2 +...an - 0, - an+, ~ 0, .

.1/ are proprietatea lui Darboux si lim I(x) =:too => I(lR) = R => I este surjectiva, Cum., x-+±ao

.(x) ==3x2 + 1> 0, oricare ar fi x E R, rezulta cli I este strict crescatoare, deci este injectiva.

~Iuzia se obtine din faptul ell I este bijectivli. b) Cu teorema de continuitate a functiei inverse

. m x ==I-i (n + I) ~ 1-' (I) ==1. c) Folosind teorema de derivabilitate a functiei inverse avem:obtJIIe n n

r'(n+')- r'(I)Jinln(u.-I)==~ ~_I ==(r')'(I)== 1'(/-'(1))== f'~I)==±·.- .,1. II) Deoarece 1'( x) ==1+ e' > 0, \Ix E lR , rezulta cll / este strict crescatoare, deci este injectiva.

CutD Jim / (x) ==±CO ~i / are proprietatea lui Darboux, deducem ca / (lR) ==lR , deci functia estex-+:to:>

SUJjectiva. Functia /fiind bijectiva, oricare ar fi n ~ I ,existA x. E lR astfel incdt / (x.) ==n + I .n

.. functi .. bti lim lim/_,(n+I) / '( )bl Folosind continuitatea cnei inverse 0 nnem xn == -- == - I ==0 . Pentru orice'.I n-+co n-toClO n

n~ I avem =, Din teorema de derivare a functiei inverse rezultaa+l

I I 1~nx. ==(r')'(I)== f'(r'(\)) ==/'(0) =="2.

c) Propozitia se rescrie sub forma e" - (a -I)x -I ~ 0, 'Ix E lR. Consideriind functia g: lR ~ lR,

g(x) ==eX- (a -I)x -I, avem g(x) ~ g(O) ==0, \Ix E lR , de unde, conform teoremei lui Fermat, rezulta

ci g'(O) ==0, adica a ==2. Pentru a ==2 obtinem eX ~ x + 1,'Ix E lR ,propozitia adevarata.

12. II) X- I ~ / (x ) ~ x + 1,'Ix E lR => lim / (x) ==±CO . Cum / are proprietatea lui Darboux, deducemx •••• :t<>o

ci f(lR) ==lR, decifeste surjectiva. Apoi, f'(x) ==I + cosx ~ 0, 'Ix E lR => f este crescatoare. Daca ar

exista a <b astfel incat f(a) ==f(b) ,atunci f(x) ==f(a), 'Ix E [a,b], de unde f'(x) ==0, 'Ix E [a,b],

contradicue. Deci / este strict crescatoare. Concluzia se obtine din faptul cllf este bijectiva,

b) Din continuitatea functiei inverse, avem x. ==r' (~)~r' (0) ==0 . c) Cu teorema de derivare a

fun ... bti lim limr'(~)-r'(O) (/')'(0) I I_Ictiei mverse, 0 tmem: nx. == == - -- - -•...• eo n...•'" ~-O f'(r'(O)) f'(O) 2

Q. /I) lim f(x) ==lim(1 + in(1 +x)~) ==I + lne ==2. b) Cum f'(x) ==1+_1_ > 0, \Ix ~ 0, rezulta cll/x ...•o x x ...•o x+ I

este strict crescatoare, deci este injectiva. Intrucat f are proprietatea lui Darboux (fiind continua),1(0)=0, limf(x)=co ~i/este crescatoare, rezulta ell f([O,co))=[O,co), deci functia este

x ...•'"

sUJjectiva. c) Functia / fiind bijectiva, rezulta ca sirul (an t~oeste bine defmit. Demonstrlirn prin

inducpe ell a. > 0, \In EN. Intr-adevllr, din ipoteza avem ao > 0, iar daca a. > 0, atunci

a.+, = f-' (a.) >r' (0) = 0 (pentru ca r' este strict crescatoare). Din faptul ell

a - a = In(1+ a ) > 0 'In E N rezulta ca (a ) este strict descresclitor. Fiind descresclitor ~iIt n+l n+I" n n~O.

marginit inferior de 0 sirul este, convergent. Daca / = lim an (0:0; / < 00) , trecand Lalimita in relatirecurenta rezulta / + In(l + /) = / n-+"". I,a de

a In (L+ a ) , de unde obtinem / = 0 . Din rela!t·a_n =1+ n+1 1+In(L -.!.....an+1 a

n+

1+ an+1)a ••, deducem cll Iim ~ = 1+ In e = 2 .

n-+CXI 0n+l

Solutie alternativa. Cum a ~ 0 lim ~ = Ii f(an+l) . f(x)n , n-+ooa n-?!--- = hm-- = 2. n+l Qn+1 x-+o X

64. a) Imaginea functiei x ~ log, X X E (0 00) este JR d d zul" , e un e re ta ca Im(f) = Z .

b) Avem: l(x)=kEZ~XE[2k,2k+1). Deoarece 1(2k -O)=k-I ~i 1(2k +0)= k , rezulta ellI

este discontinua in fiecare punct al multimii {2k Ik Z} D·E . in faptul ca l(x)=k,VXE(2k,2k+1)

rezulta ell I este continua pe (2k 2k+l) k E Z Prin urmarec multi ', , • fill unnare, multimea punetelor de continuitate I

functiei este (0,00) \{2k I k E Z}. a e

Ic) Avem: _:O;2k ~1~kE[- ojnz ..2n

n,. Punctele de discontrnuitate ale functiei I din .t' mtervalul

[21n,I] sunt: 2~-1' 2nl_2' ... , I. Rezulta ea t, = 1-(t)" = 2(1--.!...) ~ 21-t 2n •

~ I

~ 65. a) Cum n" V (n + I) _ I (n )) 2na

_ 2n a2

~ rn+i + Fn - ~I + ~ + I ,Vn ~ I, rezulta ca limita ceruta este

~ egala eu 0 daca a < ..!. cu I daca a _ I . I•. . 2 ' -"2 ~I cu +00 daca a>"2. b) Functia j indeplineste conditiile

~ din teorema IUl Lagrange pe intervalul [k k + I] k E N* Atunci . s x:: ' , . ct exista Ck E (k,k + I) astfel incat

5 l(k+I)-/(k)=f'(ck)= i:-.CumckE(k,k+l),rezulta-I-<_I- 1 .'} 1 "c

k.Jk+l .Jc: < Jk ' de unde obtinem

i .Jk+1 </(k+I)-/(k)< ~.C) xn+l-xn= ~-2(rn+i-Fn)=_I_- 1~ "K "n+1 rn+i F.<O,vn~l,

~ deci (xn).~1 e strict descrescator, Din b) rezulta si l(n+I)- 1(1) = IV(k+I)- I(k)) < I-I .; Prin urmare, xn > 2 (rn+i _Fn) _ . . k=1 k=1.Jk~ 2> -2, Vn ~ 1 , deci sirul (xn ).~Ieste marginit inferior de -2.

~ 66. a) Functia I este derivabila si f'(x) = 3(X2 + I) > .':i este continua . Ii I() 0, Vx E lR , deci I este strict crescatoare. Cum ICIC ~l m x =:too rezulta ca l(lR) lR d .IU bii . x-+±oo' = , eCI I este surjectiva. Functia I fiind

"" ijectrva pentru ori '1OI •ci ' ce /I. E "" exista un singur numar real U(A) ••• rezulta ca U_ I-I . ' astfel mcat I(u(x)) = A . De aiciIU -. b) Din teorema de derivar functiei i:z:, I e a cpei inverse rezulta ca U este derivabila pe R ~i

~ U(A)=f'(U(A)) 3(2(~) I)'VAElR.C)limU(A)=limU(A)-U(O) '(0)- 1 1o U + '<-+0 A '<-+0 A - 0 U - ( 2 -

:!i 67. a) Demonstram . . d . 3 U (0) + I) 3z pnn in uctie. Conform ipotezei avem al E (0, I). Daca a E (0 I) di I·CC a-I (1 n "m re ana~ n+1- - an - an), rezulta ca an+1E (0,1). Deci an E (0,1), Vn E N* . b) a _ _ ( )2

Vn ~ 1 deci (a ) . n+1 an - an -1 > 0,• ' n n~1 este stnct crescator, c) Fiind monoton si marginit iruly , ~ este convergent . Daca

'" Hillam ' treeiind la limita in relatia de recuren\A obtinern I = /2 -I + 1, adica (1-1)2 = 0, deci

~...•", . . 1-an+1 b. 1-a2 1- a3 1-an+1- 1-an+1 d d

1Dill relatia an =-- 0 poem al,a2, •.. .a; =-_.-_ .. -----, e un e

I'" . 1- an 1- al 1- a2 1- an 1- al

ItAca lim(al,a2,···,an)=0.retU n-t'"••.• 41

1in orice punct Xo E JR* avem lim I(x) = I(xo) , deci I este continua pe JR*. Cum

••• I.f X-+Xo

\/(x)\ = Ixl. \sin ~\ ~ lxi, pentru orice x E JR* , rezulta ca ~/(x) = 0 = I (0) , deci I este continua ~i

.~ origine

. b) I(x) - 1(0) = sin..!., Vx E JR* . Cum functia x ~ sin..!., x E lR* nu are limita in Xo = 0,II' x-O X xrezu

ltAca.fnu este derivabila in acest punct (nu are nici macar derivata),

c) \f(X)\ ~ lxi, Vx E JR:::>IXn+11= If(xn)1 ~ IXnl, Vn EN:::> (lxnlLo este descrescator. Fiind marginit

inferior de 0, sirul este convergent. Fie I = ~!!IXnl· intrucatfeste continua ~i f(lx\) = I( x), Vx E R,

rezulta cll lim Xn+1= lim I(xn) = lim f(lxn\) = f(t) .n-+

OOn~ n-+CIO

69. a) f'(x) = _e-x + 2nx - 2, Vx E JR:::> I:(x) = e-x + 2n > 0, Vx E JR:::>fn este convexa.

b) ArlItam ca ecuatia fn (n) = 0 are cel mult doua solutii reale si distincte. intr-adevar, daca ecuatia

are trei solutii reale a < b < c , aplicand teorema lui Rolle functiei fn pe fieeare dintre intervalele

[a,b] si [b,c] , ar rezulta cll exista a E (a,b) ~i fJ E (b,c) astfel tncat f~ (a) = I~ (fJ) = 0 .

Aplicand teorema lui Rolle functiei f~ pe intervalul [a,fJ] , obtinem ca exista r E (a,fJ) astfel

incat f:(r) = 0, adica e-r + 2n = 0, contradictie. Se observe cll 0 este solutie a ecuatiei. Cum

f.(~),l'-L1)- ~ <0 " f.(1+ ~), ••~ > 0 , continuitatee functie f. imp!'" faptul

ca pentru fiecare n~l exista XnE(~,l+~J astfelincat In(xn)=O. c) Din f(Xn)=0 obtinem

e-x. -1 •nxn = 2 + __ . Intrucat x; ~ 0 , rezulta ca lim nxn = 3 .-Xn n-+OO

70. a) 1'( x) = nxn-I +..!. > 0, Vx > 0:::> fn este strict crescatoare :::>fn este injectiva. intrucatx

I.(0 + 0) = -<Xl, lim f (x) = +00 ~i f este continua, rezulta cll I (0,00)) = R, deci I este surjectiva.x-eco

Functia fn fiind bijectiva, exista un singur numar real Xn > 0 astfel incat fn (xn) = O. Cum

In (0 + 0) = -<Xl ~i fn (1) = 1, deducem ca xn E (0,1) . b) Daca ar exista n ~ 1 astfel incat x; ~ Xn+1'

atunci 0 = x; + ln x, ~ x; + Inxn+l ~ X;+I+ lnxn+1 > x;:: + lnxn+1 = 0, absurd. Deci Xn ~ Xn+1' Vn ~ I. :Ec) Fiind monoton ~i marginit, ~iruI (xn) este convergent. Fie A = lim Xn . Din cele de mai sus I

~ - ~deducem ca A E (0,1]. Presupunand 0 < A < 1, deoarece xn < A, rezulta x; < An si ln x, < lnA, ,deci ~~0= x: + In x, < An + In A , de unde In A = lim (An + In A) ~ 0 ,adica A ~ 1 , absurd. Deci lim x; = I . IUn-+"" n->OO ~

~

•251

254

Tema 3.2. Primitive.

1. a) F'(x) = (2x + l)e2.r - 2(x2 + X + l)e2x = I( x) .

b) Cum F'(x) < 0, V'xE IR=> F .este strict descresclitoare pe IR .

c) F"(x)=(-4x)e-2X-2(-2x2_I)e-2X=(4x2_4 ) -2x .X + 2 e > 0 , deci F este convexa pe lR

2. a) F'(x) = );(inx-2)+2.Jx~=I(X), V'XE(O,+«». .

b) Fie Goprimitivaoarecare a luij Deci G'(x)=I(x»O V' ( )[I )

, x E I,+«> => G este crescato~ ,+«>. -

3. a) Se verifica ca F'(x) = I(x), V'XElR.

...•III

~i;:)Qu:.

b) Fie Go primitiva oarecare a luif G'( x) = 0x2 + X + 1 > , V'xE lR=> G este crescatoare.

c) Fie Go primitiva oarecare I'f, din b)a w , '/ g este strict crescatoare, deci este injectiva.

G(X)=F(x)+a, deci ImG=[- .fill + .fill ] .3 a'-3 - + a ,deci Gnu este surjectiva.

d) F"(x)= 2x+1 _ 1

( 2 )2 - 0 => x = --2 punct de inflexiunex +x+2 .

4. F'(x) = eX

( x2

+3x+ a) ~ 0, V'xElR=> 6 = 9 -4a:5; 0 => a E[~ +co4' .

b) ~F(;~~(i) ±F'(I)=e(42+a)=±=>a=2Ie -4.

c) Ecuatia F"( x) = 0 are doua solutii distincte, deci

x2

+ 5x + a + 3 = 0 => 6 = 13 - 4a > 0 => a E ( -00, ~ J.5. a).lim F(x)-F(O) F'(O)= _

x ...•o x a-I

'S~;:)ou•;:)Zc«~~•;:)~Z

>CIDf5""ci•IIIoIz-e~

•

b) F'(x)~o, V'XElR=>a>O ~i6=16-4a2:5;0.Deci aE[2,+«»

c) F"(X)=I'( )_ -x( 2 (X =e -ax +2x a-2)+4-a) cu 6=16>0.

6. F'(x)=TX(a-axIn3-bIn3)=xF => a = __ 1_, b=~= __ I_In3 In3 In23 .

7. F'(x)=a,/3x+I +(ax+b) 3 _ ~2,/3x+1 -,,3x+1 =>9ax+3b+2a=6x+2=>a=~ b=~

3' 9 .8. a) lim F (x) - F(I) = .!./(I) = J2

x...•1 x2 -I 2 2 .

b) F'(X)=I(x) = x../x + I, deci f e strict descrescatoarepe (_I 0] . tri, ~! s ct crescstoare pe [0, +«» .

r=r: ax2 + bx + C r=r:c) F'(x)=/(x)=(2ax+b)"x+1 + ..r;+i =x"x+l =>

2 x+l

)2 2 2 -4

Sax2 + (4a + 3b x + 2b + c = 2x + 2x => a = -, b = -, C = - .5 IS 15

limF(x)-F(I) =/(1)=0. b) lim F(x)= lim In2X=+«>. c)•• (I) x ...• 1 x-I x ...•.••• x x ...•.•••

r(x)=aIn2x+(b+2a)Inx+b+c=In2x=>a=l, b=-2, c=2.

10. r(x) = 2axcosx -sinx( ax2 + b) + c(sinx +xcosx) = x2sinx => a = -I,b = c,2a+ C = 0, deci

b=c=2.11. Functia admite primitive ~i cum nu poate avea discontinuitati de speta I, ea trebuie sa fie

continua, deci f.(0) = I (0) = Id (0 ) => a = b = 1 .

12. Functia Ieste continua pe lR\ Z . Trebuie aratat caIeste continua intr-un punct oarecare n E Z .

f.(n) = ~J!(x-(n-l»)(l-[ x-en -1)J) = 0; Id(n) = ~(x-n)(l-(x-n») = 0; I(n) = 0,

de unde rezulta continuitatea luif, decij'admite primitive.

13. Functia I este continua pe lR\ Z. Aratam ca I este continua intr-un punct oarecare n E Z .

I,(n ) = lim (x - (n -I» cos (1+ 2x) II = 0;x?n 2

Id(n) = lim(x - n )cos (I + 2X)ll 0; I( n) = 0, de unde rezulta continuitatea lui!x\.n 2

14. Daca F este primitiva unei alte functii I: lR~ R , rezulta ca F este functie derivabila. F este

!4X3 + 1 pentru x < 0

continua pe lR . F'(x) = 2x ,deci a = I.-2-+ a pentru x o Ox +1

15. Daca G este primitiva unei alte functii g: lR~ lR, rezulta ca G este functie derivabila. Din

continuitatea in Xo = 1 gasim b = 1, iar din derivabilitatea in Xo = 1 gasim a = 0 .

16. Functia F este derivabila pe IR. Din continuitatea in Xo = 0 gasim a = c = 0, iar din

derivabilitatea in Xo = 0 gasim b = 1 .

17. F este functie derivabila, F. (1) = a + b = Fd (1) = 1. F", (1) = a = Fd '(1) = 0 => b = 1.

18. f.(0) = 0 = Id (0) = b si f's (0) = a-I = Id (0) = I => a = 2 .

19. Avem lim x" In x = 0 pentru a E (0, +«» , deci functia Iadmite primitive pentru a E (0, +«>) .x ...•onO

larctgx x * 020. a) I(x)= x' admiteprimitivepentru I(O)=lim/(x)=I.

x ...•o1(0), x=O

b) Pentru 1(0)=1 functia admite primitive (pentru ca este continua) ~i l(x»O, V'XE]

(pentru ca x ~i arctgx au acelasi semn).

. F(x) .c) lirn -- = lim 1(x) = 0 .

x-++«> X X-H"«)

21.a) 1 este continua pe (0,+00) si pe (-00,0]; I.{O)=/{O)=O, iar

Id{O) = y~{xlox +sinx) = O. Deci/este continua pe JR .

b) I este continua pe JR" (functie elementara) ~i Iim/(x) = lim sin x = I= I{O), deci Ix ...•o x ...•o x este

continua pe JR, deci admite primitive.

c) f este continua pe (O,+oo) ~i pe (-00,0); I. (0) = f(O) = 0 = fd (0) . Deci j" este continua peJR.

22. Fiecare dintre functiile are cite un puncte de discontinuitate de speta a I-a, deci nu admit. .. eprimittve.

a) I.(0) = 0"* fd (0) = I , deci Xo = 0 este punct de discontinuitate de speta a l-a,

Pentru b) Xo = 2 ~i pentru c) Xo = 0 sunt puncte de discontinuitate de speta a l-a,

23.a) f(J(x) + f'(x))exdx = eX . f(x) + C.

b) Iff'(x), arctgx + ~(x))dx = f(x), arctg x+ c.Jl x + I...•1&1a:l-

i:::;)Qu.:·-e...•cr:A.:::;)UU·

c) ff'(x)- f(x) dx= fexf'(x)-eXf(x) dx= f(x) +c.eX e2x eX

d) f(sinx. f'(x)+cosx, f(x))dx = f(x),sinx+ C.

e) f(sinx, f(x)- ccs.r -f'(x))dx = - f(x). cosx+ C .

1) feXf(x)-exf'(x) _ eX

f2(x) dx « f(x) +C.

g) f(f'(X)f2(x))dx=~f3(X)+C.

24.a) f(J"(x) + f'(x))exdx = eX. f'(x) + C.

b) f(-f'(-x)+ f(-x))exdx=eXf(-x)+C.

c) fl"(x)- f'(x) dx > fexf"(x)-exf'(x) dx= f'(x) +C.e' e2x eX

d) f(U,)2(X)+ f{x)f"(x))dx=f'(x)f(x)+C.

e) ("(x)f(X)-U,)2(x) dx= f'(x) +Cf2(X) I(x)'

25.a) fJ; (x)dx = f x2: 4 dx =±lo( x2 + 4)+ C ,

:::;)Z-ea:1&1A.

:E·:::;)U11'11&1Z

octCDa:1&1\1'10

ci·1&1J:Ucr:Zoa:QZcr:~

•256

R

4

. . iti x lui r . F '(x) = _x_ ~ 0, ';Ix e JR, deci F4 este injectiva,b) Fie F4 0 pnrm IV •• a J4' 4 x2 + 4

4 16 x3( ) .

( ) __ x_=x2_4+ __ =>F4(x)=--4x+8arctg x+c, ceJR. lim F4 x =+00 ~l14 X - x2 + 4 x2 + 4 3 x-+-t<O

litn F4(x) = -00 ~i cum F4 :JR~ JR este continua, rezulta surjectivitatea.x->-<X>

. F pn'tm'u'va oarecare a lui f. .Daca n este numar par F'(x)= fn(x)~O, ';IxelR=> FdF~ 0 n

este injectiva.Dacl n esteimpar F'(x»O, ';Ix e (0,+00) ~i F'(x)<O, ';Ixe(-oo,O),deciFnuesteinjectiva.

26 •• ) Fie F 0 primitiva oarecare a lui J;. F'(x) = J; (x) => F"(x) = lox + I ~ 0, ';Ix e [~,+oo ) => F

este convexa pe [~, +00) .

I I-n

b) f~dx= f-dx=~+C.fn(x) xn I-n

27 •• ) fJ;(x)dx= fx:3dx= (1- X:3)dx=X-3lo(X+3)+C.

2 ( 9) X2ff (x)dx= f_x-dx= x-3+- dx=--3x+9lo(x+3)+C.2 x+3 x+3 2

4

b) Fie F4 o primitivllalui f4; F4'(X)= xX+3~0, ';Ixe(-3,+oo),deci F4 este crescatoare.

c) Fie Fn 0 primitiva a lui fn ;

Fn'(x) = xn-1 ~3 < 0, ';Ix e (-3,0) => xn-I > 0 ';Ix e (-3,0) => n este numar impar.x+

28._) ffo(x)dx= fe-xdx=-e-x +C;

fl-x fex _xeX xf(Jo(x)- J;(x))dx= 7dx= -rdx= eX +c.

Ib) Fo(x) = - :x + C => Fo(0) = C -I = 0 => C = 1, deci Fo (1) = 1- -; .

c) Fie F 0 primitiva oarecare a functiei iX

20ll( 2012 - x) < 0 ';Ix e ( -00,0), deci F este concava pe intervalul I12012=>F"(x)=f'2012(X) eX ~

j:l1li

::I~III

:::I

(-<Xl,0) .d) Fie G 0 primitiva oarecare a functiei

In => G"(x) = f'n(X) xn-l~ -x) > 0 ';Ix e( -00,0) => n este numlir par.

•25

258

Tema 3.3. Functii integrablle,

1 r( 2)2 '• a) {X +1 dx= J(X4 +2X2 +1)dx=~+3.+1 = 28o 5 3 15·

2 2 2b) J(x-v'x) dx= J(X2_2xv'x+x)dx= 14_~ t:

o 0 3 5 ,,2.

2 2.i IX +z +l 5

c) dx=-+In2I x 2 .

Ig) f 1 dx =..!. r::;---;/I 1

2 r::;---;31 ,.,3x + 1 = -.o v sx + 1 3 0 3

I

2. a) 1(x-ex)dx=..!.-(e-I)=~_eo 2 2·

In 1 )2 Ib) ~lex - eX dx = 1(e-2x - 2 + e2x)dx = (_ e-2x _ 2x + e2X)/1 _ e2 - e-2

o 0 2 2 --2--2.I 0

c) 1(2x +TX)dx=(~_ TX)/I =_1 +_2_o In2 In3 0 In2 3In3·

d) f(2X -2-X)dx=(~+ TX)/I =_I In2 In2 O.

-I

e) f(,Jix __ 2 Jdx=[ ,Jix +2 fF]4 _ 6 4(i-1)A fY In,Ji In../3 - In2 + In3

oI 1

J. a) f-2-dx = arctgx II= !!..OX +1 0 4·

I) Jjf3~~X~2dx= l(x+-i-)dx=(x2 +2arctgx)I"3 =I+!:..x + ,x +1 2 6

I '

)i -x+2 K 2) (X2 IX-IIJI3 5 31.1 f~dx= x+-2 dx= -+In- =-+In-.OJ x -1 2 x -1 2 x+l 4 2

2 2

'1 1 X /1 nj) f:; + 3dx = ../3arctg../30 = 6../3 .

o

g) fl~dx=..!.lnl--21_)dx=..!.- ../3arctg(x../3)11.i.../3"o 3x2 + 1 3ll 3x + 1 3 9 0 3 27·

•• II) IJ

1 dx=ln(x+.Jx2+1)1' =In(I+,Ji).o x2 + 1 0

I 1 . X/I "b) f J 2 dx = arcsin - = - .o 4-x 20 6

f' x + 1 If X If 1 """"'--:11 Ic) J 2 dx = J 2 dx + J 2 dx = V x2 + 1 + In(x + J x2 + 1)1 =,Ji - 1+ In(1+ ,Ji)

o x +1 0 x +1 0 x +1 0 0

3f

x+2 3f

x 3 24) J 2 dx= J 2 dx+ f ,....,...--:dx=

2 x-I 2 x -1 2 Vx2 - 1

Jx2 _113+2Inlx+Jx2 _111

3= 2,Ji -../3 +2ln 3+.J8 .

2 2 2+../3.!. I I

2f I+x 2 I 2 x .!..!. r;e) J 2dx= f

J2 dx+ f r.-?dx=arcsinxI6 _JI_x212 =!!..+I-~.

o 1- x 0 1- x 0 vl- x2 0 6 2

If I _ 1 If 1 1. x../311

1 2"1) r=re=: r:; Fdx=-arcsm- -_lv4-3x2 ,.,3_1 4 2 ../3 2 - ../3·3·

--x -I3

I I IIx _1 x 142Ii J~"'- dF"'=--~--X =0._I 4-3x ,.,3 _I 4 2 ../3 3--x -I

3If

S. a) fSinxdx= 2.o

1<

2

b) f cosxdx= 1.-1r

IC

"••••II•··

"4 If 1c) ftgxdx =-lnlcosxll~ =-In tz :

o ,.,2

1<4 1<

d) fctgxdx = In(sinx)l! = In.,fi .~ 66

1<

4 1 "e) f-.-2-dx=-ctgxl!=-1+../3.

~sm x 6"6

"4 1 "

j) f-2-dx=tgxlt=1.ocos x

-'III

~i:)Qu:·

K tr tr tr

"3 1 "3sin2X + cos2X "3 1 "3 1 4../3g) f dx= f dx= f-dx+ f-dx=-.

"sin2 xcos2x /C sin2xcos2x 1C sin2x 1C cos" X 3(; (; (; (;

I 2

6. Q) f(x-l}dx+ f(1-x}dx=l.o I

2 I 2

b) ~x2-1Idx= f(1-x2)dx+ f(x2-1)dx=2.o 0 I

2 2 3c) fx[x]dx= fxdx=-.

o I 2

I 0 I 1d) fx{x}dx= fx(x+l}dx+ fx2dx="6.

~ ~ 0I 0 I

e) fl x-sinx Idx = f(sinx-x}dx+ f(x-sinx}dx = 2cosl-l ; altfel-I -I 0

I I

fl x-sinx Idx = 2 f(x-sinx}dx = 2cosl-l.-I 0

~~:)ou•:)Zcii~~•:)~IIIZ1CI:III

"'"o•IIIe~

!zc~

I I (I)j) flx-arctgxldx=2f(x-arctgx}dx=I-2 xarctgxl~- f~dx =1-'::+ln2.-I 0 0I+x 2

/C "

7. Q) fXSinxdx = -xcosx I~+ fcosxdx = 1T •

o 0

" /C

b) fxcosxdx = xsinx I~- fSinxdx = -2.o 0I I I

c) fxexdx = xexlo - fexdx = I.o 0

d) fx2e-Xdx=-x2e-xl~ +2fxe-Xdx=-.!.+2(-xe-xl~ + fe-Xdx)=2-~.o 0 e 0 e

•260

e) jlnxdx=xlnxl~ -fdx=l.I I

, .j) fln2 xdx = xln2 xl: -2 Jlnxdx=e-2.

I I

•• 3 1'2 Ie' 6 3g) fx2lnXdx = ~ lnx -3 fx2dx 5e -2e

, e

h) Jln~ dx = 2.Jx Inxl; - }2.Jx~dx=2.Je-4.Jx1: =16-2.Je.I "I/X I

•• 2 2

i) f~dx= _'!'lnx\' + 'r-\-dx=.!.-~+(.!.-~)=3._~x2 x, x ee2 ee2 ee2

, '.rK

f" . 2 I 21.rK

8. Q) xsmx dx = -"2cosx 0 = I.o

¥i I ¥ib) fx2cosx3dx=3sinx3lo =0.

o, JX

c) !j; dx = 2eJX[ = 2(e.r. - e) .

II rr=: I 3\1d) /V x2 + Idx= 3(x2 + 1)20= 2~ -I

'ln2012 I Ie) I---x dx= __ ln2013xl' =--.I x 2013 I 2013

"j) Icosx.sin(sinx}dx=-cos(sinx}\: =0.o

"3 .g) I

SIDX If t:-I --dx=-ln(l+cosx}\"3 =ln~

" + cos x ".(; (; 3

I x+1_,2 4s, Q) Ix../x+ldx = I(/-I}.Jtdl=-(I+.J2).

o I 15

I I ?=,' I I 2b) f~ = J-.-dl=l+ln-.

ol+ex 11+/ 1 e+I

•.=

IC

"~4••~••••

I -xsinx-cosx () ( )10. Q) F (x)= 2 =/ x , "IXE O,+«> .

2"b) f /(x}dx= F(X}\2/C=2-.

" /C 21T

2f

c) EI~Jf(t)dt= n~~(~-~)=~.K n7C 7C 7C

f X211. a) f(x)dx=T+cosx+c.

If 2b) Aria este egala cu fif (x)1 dx = ~ - 2 .

xIf(t)dt x2

-+cosx-Ic) Jim 0 = lim 2 1

X->_ x2 X->_ x2 2

...wcz:l-

i~Qu.:•

~::~oI.)

•~ZcCii!wQ.

~·~UIIIWZ

>cCIIIcz:W

""c::i•w:J:U

~

!zcC

~

•

()C/+l} x

12. a) F' x --2 2f( )

(1)2- x4+2x2+2=- x.

1+ --x2 +1

I

b) ff(x)dx=-~F(x)11 =-~(arctg~-!:).o 2 0 2 2 4

c) lim ff(t)dt = lim -~(F(n) - F(O)) =!:n->_ 0 n->_ 2 8 .

214. a) f'(x)=_x_ex.

l+x22

b) c t I x t2urn t2+1e ~O, tElR~ ft2+1eldt~O, \fxE(O,+<xl) ..

o01 • x t2 x 2c/ hmf(x)-lim f Id r f tX->_ - X->_ t2 + 1e t ~ tm -2-dt = lim (x - arctg x) = +<xlo X->_ 0 t + 1 X->_ .

15. a) limf(x)=o.x->o-x t2012

b) f(-x) = !t2+ldt=-f(x).

x 2012c) Pentru x > ° f t d. > 0 .- _xt2+1 t e ,Iarpentru x:5:0 notarn x=-Y,Y~O si

f(x)=-f(Y):5:0, y~O .

262

•• II) f'(x)=(x4-4x+3).Jx4+1.

b) limf(x)-f(O)=f'(O)=3..l'-+O X

c) f'(x)=(x4 -4x+3).JX4 +1 =(X_I)2(X2 +2x+3).JX4 +1 ~O \fxElR, decifnu are puncte

de extreJD· I

17. II) Aria ceruta este egala cu II f( x) Idx = arctg x I~=~.o

b) Functia este strict crescatoare, deci exista limita x~ Jf(t2)dt. Avemo

x 1 x 1 x

lirn If(t2)dt = If (t2}dt +E~If(t2)dt:5: ff(t2)dt + lim If(t)dt =x-H'" 0 0 1 0 X->_ I

ff(t2)dt+ x~( aretgx-~)Ell~ ..o

I e' x=-I -I e-I I 1c) 1= f-xf(x)dx= - f-_J(-t)dt= f-I f(t)dt.

_11+e 11+e _11+e

. fll+eXI

Deci 21 = _11+ eX f(x) dx= 2aretgxLI =" .

I I 11L a) f(t3 + l)f(t)dt = f-2 dt =!:.

o ol+t 4I

I 1=;I ( 1)( 1) xb) If(t)dt= ff - -2" dy=fif(Y)dy, \fx>O..!. x Y Y I

c) x~~ Jf(t)dt = }i~[ff(t)dt + Jf(t)dt] = x~~(Jt3 f(t)dt + Jf(t)dt] =.!. .!. I I Ix x

I· XI 1 d. . ( ")"""1m -- t= lim aretgx-- =---=-.X->_ I 1+ t2 x->_ 4 2 4 4

1.. a) f' (x ) = 2x~ x8 + 1 .

b) f'(x) = 2X~X8 + 1 = 0 ~ x = 0 este punet de extrem.X,

c) lim f(x) ~ lim ft2dt = +<xl, deei grafieul functieij'nu are asimptote orizontale la +00.X40+oo X-.+CO o

lim f( x) = lim 2x~ x8 + 1 = +00, deei grafieul functieij'nu are asimptote obliee la +00.X~.f<O X x-++co

2

20.

Xl (2f arcsin-2-dt( + I X4 7r

II) lim I = lim2xarcsin-4-- = - .x'>ol x-I x'>ol x +1 3

4

b) 1'( X) = 2xarcsin+-- > 0, 'tIx ~ I , decij" este strict crescatoare.x +1

c) Functia/este continua, deci nu are asimptote verticale.x'

lim I(x) ~ lim J arcsin~dt = +00, deci graficuI functieij'uu are asimptote orizontale la +00.x-++«> x-++«>0 2

lim I(x) = Iim 2xarcsin~ = +00 , deci graficul functieiInu are asimptote oblice la +co,x-++«>X x-++«> X +1

1C 1C 1<

21. II) fx21(x)dx = fxsinxdx = -xcos~~ + Jcosxdx = n .o 0 0

jSinX--,x*O. . 7r

b) I(x) = x .decij'este continua pe [0'2] \{o}.a,x=O

If If ~

"2 "2sin 2c) J/(x)dx= f~dxS Jsinxdx=cosl.

I I x I

oI(x) "0 4

22. II) lim--=Iime-X = I.x •...•o x x-+o

'S~::>UU•::>zc

ii21&1A.

~.

b) I'(x) = e-x4 > 0 'tIx e R ~ I este functie strict crescatoare, deci este injectiva.

c) lim I(x)= lim (fe-t4dt+ }e-t4dt)S lim (fe-t4dt+ }e-tdt)= fe-t4dt+ lim (~-e-X)eRx-++<o X-H"CO 0 I x-+-+«> 0 I 0 X-+i<O e

~icum functiaI este strict crescatoare rezulta ca 1mI * R , deci functia I ou este surjectiva.

23. II) Consideram functia I: lR-+ R,f (x) = eX - x -I; 1'( x) = eX -I = 0 ~ Xo= 0 este punct de

extrem. Din tabelul de variatie deducem ca Xo= 0 este punct de minim pentru f, deci

l(x)~/(O)=O, 'tIxeR .I I

b) II = fe-x' dx e J(I_X2)dx=~>~.o 0 3 e

, I 1 I I 1Dar eX ~1+x2 ~-S--~ Je-x'dxS f--dx=!!'-.

ex' 1+ x20 0 I + x2 4

n+1c) In+1- In = fe-x' dx > 0 ~ sirul (In t;'1 este monoton crescator, Este suficient sa arlitliIn

•264

If X I (2 )11 I 2013,.. II) 11= x2+2012dx=2"in x +2012 0=2"in2012.

oI xn+2+2012xn If n 1 •

bl I +2012-1 = J dx= x dx=--, 'tin eN .v .+2 • 0 x2+2012 0 n+1

I. I I,10< f x dx s; fx·dx=--~ lim I. =0.

c, - x2+2012 n+1 .-++«>o 0

1 n+1 n.on I - I = f x - x dx S 0 ~ sirul (I) I este descrescator.••,.+I·ox2+2012 •• z

I I.e'. I +2012-1 =-SI +2012ln~I.~ ( )' 'tin eN ., .+2 • n+1 • 2013 n+1

I I •~ = 1.+2+ 2012'In ~ In+2+ 2012ln+2 ~ 1n+2S 2013(n+ I)' 'tin e N

I InnDec' n - 2013 .

2 \2 2 x22

25. II) 10= Jln(x2 +1)dx=xln(x2 +1)1 -2fl+

x2dx=2lnS-ln2-2(x-arctgx)11 =

I I

25 "In--1+2arctg2-- .2 22 2

b) In+I-I.= [(l_X)2.+2_(I-xt]ln(x2+I)dx= J(1-4·(x2-2x)ln(x2+I)dxSO, deciI I

,irul (I) este descrescator ~icum sirul este marginit inferior de 0, el este convergent." n~l

2 2 (1- )2n+112 lnSc) OSJ(1-xtln(x2+I)dxSlnSJ(1-X)2ndx=-lnS 2:+1 =2n+1 ~i prin trecere la

I I I

limitliobtinem lim I. = 0 ..-++«>

I 4 (1- X)5 II I26. II) f(1-x) dx=---

o 5 0 5

b) 0 S Iim f(1- 4n dx = Iim _1_ = 0 .n-++«>0 n-++«>2n + I

Io I I I 2 I 2n f(1 )2 • .1_ I' I - 0c) I =C --C2 +-C2 -",+--C2 = -x UA. ~ 1m • - .n 2n 2 • 3· 2n + I n 0 .-++«>

27. II) F'(x)=_I_+~=/(x), 'tIxeR.I+X2 I+x

26:

266

k

lim Ln n+k 1 n 1+- Ic) an = lim -- - r "" n f ( ) "In 2n-+_ n-+_kDI n2 + k2 - n!.~ -;;L..,-;;r- = f X dx = -4 + -2 ,deci sirul

k-'l+_ 0

n2

convergent.

28.

~-I !!:-I

f 1 4 1a) dx- .!.-Ix2+2x+2 - f ( 1)2 dx=arctg(x+l)14 =1._I _I x+ +1 -Ix

fj(t)dtb) lim 0 Jim I

x-+_ X x...•_x2 +2x+2 O.

c) Jim ( n + n n) nn-+_ 2n2 + 2. n + 12 n2 + 2. 2n + 22 + ... + 2n2 + 2. n2 + 2 = Jim L 2 n :,n n-+_ k=12n + 2nk + e

I n I I

lim - " -fj( )dx "n-+_nL. k e - x =arctg2--.k=12+2-+- 0 4

n n2

...1&1a:l-

i:»QLL•

29. a) IXj(x)dx= IX~I-X2dx=-.!.(I-X2)%11 =.!.o 0 3 3o

I I

b) V =tt fj2(X)dx=" f(l-x2)dx= 2" .o 0 3

"Ing21"2 "!im - L 1-- =f:Jl-x2dx = fl + cos2t d _ 1( Sin2t)/"2 "n-+-n

kn2 t-- t+-- =-

=1 0 0 2 2 2 4 .2 0

30. a) II = f(2x-x2)dx=i.o 3

2

b) In = f( 2x-x2f dx x-;!,='1(I-t2f dt = t(l-t2f[1 +2n It2 (l-t2rl dt =-I

I

-2n f(l- t2 -1)(1 2)n-1_I -t dt = -2nIn + 2nIn_1 ~ (2n + I)In = 2nIn_l, '\;fne N, n ~ 2.

c)

O~I =~I _ 2n 2n-2 4n 2n+l n-I - 2n+l' 2n-l ..... 511 =

~.~.~.~ J4.J4 I <~'(2n-l)'(2n-3) sJ4(2n+l).(2n-l) S 1- (2n+I).(2n-l) S 11=

~ . ~212I, . In conc1uzie am obtinut 0 2

I 4 4 4 2 4n + 2 n-' ,- .

2

c) Ap!icWl criteriul raportului Jim ~ =.!. e [0,1) ~ lim In = 0 .n-+_ In_I 4 n-+_

nIl IAltfel 0~In=--In_I~-In_I~2In-2~"'~-2II si prin trecere la limit! in inegalitati4n+2 4 4 4n- 14

obtinem !im In = O.n-+_

••• oJ iJ( "')'" = i(X - 3'" + 2)'" =( X; - 2xl + 2x J[b) Aria ceruta este egala cu

I2

IIg(x) Idx = _Ix2 -3x+ 2dx =(_ x2

+ 3x- 2ln(X))\2 =~- 2ln2 .I I X 2 2I

2 2 2b) JI" (x)dx = f(x2 -3x + 2)" dx =.!. J(2x-3)'( x2 -3x+ 2)" dx =

I I 2 I

.!.(2x-3)'( x2 -3x+ 2)"12

-~ J(2X-3)2 1"-1 (x)dx =2 I 2 I

2 2-% J( 4x2 -12x +9)1"-1 (x)dx = -~ J( 4(X2 -3x+ 2) + 1)1"-1 (x)dx =I 21

422- ; JI" (x)dx-~ JI"-I (x)dx, de unde rezulta cerinta.

I 21

I X2011 III. II) J--dx=-ln2

o X2012+ 1 2012 .I I n I n 1

b) 0 s !im Jxn. j(x)dx = lim J 20~2 dx s lim J~ = lim ---) = O.n-+_ 0 n...•_ 0 X + 1 n...•_ 0 2 n...•_ 2 (n + Ix x

c) Functia F: JR~ JR, F(x) = Jj(t)dt este strict crescatoare, deci exist! limita lirn Jj(t)dt.1 x-H<O 1

Avem lim }j(t)dt~ !im }-2-I_dt= lim (arctgx_!!..)=!!...x •..•_ I x-+_ I t + 1 x...•_ 4 4

34. a) f este continua pe [0,1], pe (1,2] si f(l) = Is (1) = 1*- fd (1) = 2, deeif este integrabiIl\Pe[0,2] , dar nu admite primitive (pentru cli are un punct de diseontinuitate de speta a I-a,

2 2 1 2

b) Aria este egala eu flf(x) Idx = ff(x)dx = fxdx + f( x + eX)dx = 2 + e2 - e.o 0 0 I

2

fr(x)dxc) lim..!.I---

n-++ao n

2 2

f(x+eXf dx f(x+lf dxlim I ~ lim -'-1 _ lim n+l n+l =r+co ,

n-++oo nn n

35. g'(x) = f(x) - f(1006) > 0, Vx> 1006 ~i g'(x) < 0, Vx< 1006, deci functia g este strict

descresclitoarepe (0,1006) ~istrict crescatoare pe (1006,2012), deci nu este injectivli

2 1 ~36. a) 12= f-2-dx=arctg2--.

I x +1 4

2 1 2 1b) 1n+1- In = f-+-I -dx - f--dx ~ 0, de unde concluzia.

Ixn +1 Ixn+l

c) Sirul (In t~1 este descrescator ~imlirginit inferior de 0, deci este convergent.

2 2

d) O~ lim In = lim f_l-dx~ lim jJ--dx = lim _1_(2-n+I_I)=0.n->_ n->_ I x" + I n->_ I x" n->_ -n + I

fIXI +X2 +x3f I I37. a) II + 12+ 13= 2 dx = xdx = - .

o x +x+I 0 2

I n I

c) O~ lim In = lim f X dx s; lim fxndx= lim _1_=0.n->_ n->_ x2 + X + I n->_ n->_ n + 1o 0

I? K t} 1 138. a) 13= f--:C--dt= t--- 1=---102.o t2 + 1 0 t2 + 1 2 2

I

b) 12n+ 12n-2 = ft2n-2dt = _1_, Vn e N,n ~ 2.o 2n-l

11 1 ~ 11 1c) 10+12 + ...+12012=10 +1+-+-+ ...+--=-+I+-+-+ ...+--eR \Q3 5 2011 4 3 5 2011

I t" 1d) O~ln = f~t~--=> lim In =0.

o t + I n + 1 n->_

e I I 1 I 1 1 1 ()n-I 1 ( )n'J 2n =--- 2n-2 =-----+--- ...+ -1 --+ -1 I =>2n - 1 2n - 1 2n - 3 2n - 5 1 0

1 1 1 1 ()n-I 1 )n-I--3 +---+ ...+ -1 -- =10 +(-1 12 =>5 7 2n-l n

•!68

-

c) Arlitlim cli polinomul g = (X2 + X + 1t+1

- X

( 2 )4n+l. .4n+1 . 0 deci . tlig(i)= i +i+l -1=1 -1=, eel exis

I (x2 +x+lfn+1 -X Ig=q.(X2 +1)=> 14n+1= f 2 1 dx » fq(x)dxeQ.

o X + 0

lncat

dividese cu

qeQ[X] astfel

n+l n+1 n+2 n2 +2n+l40 a) I =2-10--=>1 I-I =10---10--=10 2 >0.• n n n+ n n n + 1 n + 2n

n + 1 n+fl2x -1b) I =2-10-<2, 1n= ~>O.

n n n X

. (n + 1) . ( 1)nc) lim n(2-1n)= lim n 10- = lim 10 1+- =1.n-++<o n-++ao n n-++CO n

2 X Xl) 341. II) I = f- dx= 1-- dx=I-Io-.I I x+l I x+] 2

2 n

b) I =f~~n I xn +1

2 n +1-1 . X 1 rc) lim I = lim X dx » lim 1--- .n->_ n n->_! xn + 1 • n->_ I x" +1

Pe de alta parte

2 2 1 [ -n+112] ( i-n1 J .. - 1o ~ lim f~ ~lim f...:.,}x = lim _x__ = lim -- - -- = 0 .deci }~I~..In - •

n->_ xn +1 n->_ xn n->_ -n+l n->_ I-n I-nI I I

II ( )I I 1 2 2x+l 2 ~ ~ _~

42. a) ff(x)dx= f )2 dx= '3arctg J3 = J3 "3-6" - 3J3 .o o( 1 3 Vol 0x+- +-2 4

I I 1b) O~ lim fxnf(x)dx ~ lim fxn dx= lim - =0.

n-H<I) 0 n-++OO 0 n-++c:c n + 1

c) Arlitlimcli polinomul g = X (X2 + 1t+1 + X3n+2 e Q[X] se divide prin X2 + X + 1. Fie e 0 •

269

rAdlicinli a lui X2 + X + I =:>&2 + e + I = 0, &3 = 1. g( &) = &( -& )6n+1+ &3n+2= 0, deci exista1 1

q e Q[ X] astfel Incat g = q.( X2 + X + 1) =:> f(x2 +X+ 1)q(x)f(x)dx = fq (x) dx e Q.o 0

I x4n+2_x4n+I+x+1c) I4n+2- I4n+1+ II + 10 = f 3 2 dx e Q pentru cli polinomul

o x +x +x+1

g = X4n+2 _X4n+1 + X + 1e Q[X] se divide prin (X + 1)( X2 + I).

If x+1 I x+} 1[44. a) II +13 = 3 2 dx= f dx=-

OX +x +x+1 o(X+I)(X2+1) 4'

I I

b) O~ lim fxnf(x)dx~ lim fxndx= lim-l-=o=:> IimI =0.n~-toO 0 n-++«> 0 n-++oo n + 1 n-+-toO n

_ I xn+3+ xn+2 + xn+1+ xn I n 1c) In+3+In+2+In+I+In-f 32 dx=fxdx=--.

o X +x +x+1 0 n+1

I xn+1_xnd) In+I-In= f 3 2 dx~O=>~irul (In) 0 este descrescator.

OX +X +x+1 n~'S-eQ.~VU•~Z-eii2IUQ.

~•~VIIIIUZ~II:IU!no

d•

IUZV

~

~ZC~

•

I 1 > I .n+3+ In+2 + In+1+ In = -- ~ 4In+3 => In + 1 n 4( n - 2) ,

1 1In+3+ In+2 +In+1 +l, =--~4In => In ~-( --) .

n+1 4 n+1

__ n_<I< n limnI-14(n+l) _n n - 4(n-2) => n-+.••• n-4

Din ultimele douli relatii avem

R 2n 2n-1 2n-2 1 1 1(x -x +x - ... +I)--]dx=----+ ... +I-ln2 elR 'Qo x+ 1 2n+ 1 2n

I I

45. a) fg(x)dx= fe-xdx=-e-xr =I-.!..o 0 0 e

I I ~-t I Ib) fxSg(x3)dx= fxse-~ dx .; .!. fle-tdl=-.!.Ie-tr +.!. fe-tdl= e-2.

o 0 30 3 0 30 3en+1

c) I.+I-In= fe-~dx>O=:>In+I>In'

270

n nIlO~I = fe-~ dx s; fe-xdx=-e-xln =---<..!.., deci sirul (In) ~I este marginit si cum sirul

"1 t lee"e n

este ~i monoton crescator, rezulta cli sirul (I n ).~Ieste convergent.

3 14 3 14-I + 1 K 2 I} 246. a) 14 = f-f---dl = f 2 dl = I -I + -2- 1= - + arctg3 - arctg2 .2 I +1 2 I +1 2 I +1 3

c·• Cum sirul (I) este monoton crescator rezulta cli exists lim In' Dar'/ Y n n~O L4 n-+.•••

3 In 3 In 1Altfel. lim In= lim f....;...-a/~ lim f.:.........1l=lim (3n+I-2n+l)dl=+oo.

n-+.... n-+.•••212 + 1 n-+.•••210 n-+.•••IO( n + 1)

I 4

() () fl+/.Jt=.!..47. a) f4 1 + It 1 = -:--u

013 + 1 2

o X2012

b) Iimf2012(X)olim~ 1x-+o x2013 x-+o2013x2012 2013

I In I 1c) O~fn(I)= f-T--d/~ flndl=-=> lim fn(I)=O,deci~irul (In(I)) esteconvergent.

o I + Ion + 1 n-+.... n~O

4

monoton descrescator ~i cum sirul este marginit inferior(pentru cli 0 ~ In = flgnx dx), rezultli

"6convergenta. •

27'

1<

'4 tgx=t 1 In

C) In= ftgnxdx= fz-dt." 1 t +1"6 Jj

d) O!> fun In = fun f -c- dx5, lim f xndx = lim _1_(1_(_1 )nJ = O.n-+_ n-+_ 1 X + I n-+_ 1 n-+_ n + I ..fjJj Jj

!:.° 4

b)~ic) O!> limln(a)= fun ftgnxdx5, lim ftgnxdx5,n-+-+-<o n-++oo 0 n-++cIO 0

1C4 1C

lim f(1 +tg2x)tgnxdx = fun _I_tgn+lx I~=_1_ = 0, deci sirul (In(a)) este convergent lan-+_ 0 n-++«>n + 1 n + I n~1

O.

" [ 1C " 1 "Ii "3 4"3 "3 19:<=1d) lim In(-) = lim ftgnx~ lim ftgnxdx+ ftgnxdx = lim ftgnxdx =

n-+--kO 3 n-++oo n......•-t<IO n-++ooo 0" "- -4 4

.fj tn .s r 1 () ( )lim f-2-dt ~ fun f -dt = lim -( --) ..fjn+1 -I = +00, deci lim In !!.. = +00.

n-++«>I t + 1 n-+_ I 4 n-+_ 4 n + I n-++«> 3

50. a) 12(Ii) = j(1 +sinX)2 dx J{I + 2sinx + 1- COS2X)dx =31i .o ~l 2

o

b.1 li 12012 (a) 0 li (I . )2012 I'/ m---= m +sma =.0-+0 a 0-+0

c)

lim °r(I+Sinxf dx= fun °C(I+C!Sinx+C;Sin2 x+ ...)dx~n-++oo J' n-++oo Jo 0

a

lim f(I+C!sinx)dx= lim (a+n(l-cosa))=+oo.n-++oo 0 n-+-t«l

!:.

2 "51. a) XI= f(I+COSx)1 dx=(x+sinx)IJ=!!..+l.

o 2!:.2

b) xn+1- xn = f (I + cos Xf (cos x) dx ~ 0 , deci sirul (xn t~1este strict crescator,o

•72

1C !:.- 22f n . f( CI' C2.2 )-'->. = lim (l+sinx) dx= lim 1+ nsmx+ nsm x+ ... UA._

d) um Xn n-+_ n-+_ 0,,-++GO 0

. if(1 CI sinx)dx= fun (!!..+n(I-COs!!..))=+00 , deci lim », =+00.

liDl + n n-+_ 2 2 n-++«>,,-++dJ 0

1C XIf _ - . I- 2 2 COSX sm x=t f I I Ii2ff(x)dx= f cosx dx= f . 2 dx = --2 dt =arctg tlo=-·

-) 2 - cos2 X 0 1+ sm x 0 1+ t 4o 0

cosx [ Ii]b) Fie F 0 primitivlia functieij; deci F'(x) = f(x) = 2 -cos2 X ~ 0,X E 0'2 .

1C 2!l"21f COSX f cosx dxx dx- x dx+ x 2 •c) fXf() - f 2-cos2x 2-cos xo 0 !l"

Pe de altli parte" !l" t21f COSX x=1C+I"f ) -cost f cost dt f cos dtf dx - (t + Ii dt = - t - Ii 2'

X2_COS2x - 0 2-cos2t 0 2-cos2t 02-cos tIf

1< 1< " st21C "cosx f cost f cost d. - - f co dt =0Deci fXf(x)dx= fX2_COS2Xdx- t2_cos2tdt-1i 2-cos2t t- liol+sin2t

o 0 0 0

"54. a) 11= fcosxdx=sinxl~=O.o

!:.n n 7r 1r

b) «ct, = I='xdx s In = Jdx=-:5:"2'o 0 n •

273

c) Din b) avem 0 < 1 <!!.. . . .- • - n ~l prm trecere la limita rezulta lirn 1n »....•-

55.!!. "2 "2 "

a) Aria ceruta este egala cu nf(x)/dx = fcosxdx = sin x IJ= I.o 0

1 x 1 x •

b) Iim - fl(/)d,= Iim -fCOS'd'= lirn ~=Ox-.+oo X 0 x-++oo X 0 X-i>.f«l X •

c) Aratam eli sirul (Int~1este monoton ~i mlirginit.

Monotonia:

~ ~ n222In+1 - In = I cos'"" xdx - feosn xdx = feosn x(eosx -I)dx < 0 d . .1

O - , eel ~Iruo 0este desereselitor.

b) Volumul cerut este egal eu "112(X)dx =st IInxdx = ,,[XInX I~- Ix. "!"dxJ=st .I I I X

I~ /=te ec) fe dx = Jt(&)ldl=I&/e -I&d,=e- eI&d,.

o I I ,I I

I e

deei Ie~ dx+ II(x)dx=e.o I

57•

3 34" -

f 21+ 1 4f 21+ I ~a) (r.)dl= 2 dl=In(/2+1+1)/4=In37.01 vIol +1+1 0 16

.;:)VIII1&1Z

OCCIIIa:1&1

""c::i•

1&1%U

~

!z-e~

•

3

b) In Ig(x)dx faeem sehimbarea de variabilaI

g(x)=t, deci {XE[I,3]=>tE[0,1] ..x = I(t) => dx = I'(t)dt ~l obtinem

31 I I I

Ig(x)dx= Pf'(t)dt=tl(t)l: - fl(t)dt=> fl(x)dx+ fg(X)dx=3.o 0 I

c) Considerlirn functia h: [1,3] --+ JR, h( a) = fl( x)dx + fg (x) dx _ a .o I

274

h ,(a) = g (a) -1 ~ 0, pentru eli g (a) E [0,1], V'a E [1,3] . Deci functia h este descrescatoare,

adieli h(a)~h(3)=0, V'aE[I,3].

I x2

,I I'(X) = 1--- = -- ~ 0 V'xE lR =>I este functie crescatoare pe JR ~i cum••• Il, l+x2 l+x2

I(O)=O=>I(x)~O, V'x~O.Aria ceruta este egala eu

I I x211 I If X I" In/(x)ldx= j(x-aretgx)dx=- -(xaretgx) 10+ --2 dx=---+-In2.JI 2 ol+x 2 4 2o 0 0

b) La punctul a) am aratat eli functia Ieste strict crescatoare, deei este injeetivli.

I . lR --+ lR este continua ~i din lim I (x ) = +!X), lim I (x ) = ~ , rezulta cliI este surjeetivli. in. x-++«> x-+~

eonseeintll functia Ieste bijeetivli.

I-~ . .. -I .lx E [O,I-!:.] => t E [0,1]c)in f rl(x)dx facem schimbarea de variabila I (x)=t, deci 4 .

o x=/(t)=>dx=f'(t)dt

o ~ 0Aria este egala cu fl/(x)ldx= f-(x+I)(x2+I)dx+ f(x+I)(x2+I)dx=

-2 -2 -I

~ 0 5= f _(x3 +X2+ x+ I)dx+ f(X3 +X2+x + I)dx ="2.

-2 -I

b) I' (x ) = 3x2 + 2x + I > 0, X E JR rezulta cli functia I este strict eresclitoare, deci este injeetivli.

I :JR --+ JR este continua ~i din lim I (x ) = +!X), lim I (x ) = ~ , rezulta eliI este surjeetivli. inx-++oo x4~

consecinta functia Ieste bijeetivli.

. {XE[I,4]=>tE[0,1] .deci ~l

x = I(t) => dx = f'(t)dt4 I I I 25 23

obtinem fr'(x)dx= fif'(t)dt=tl(t)I~- fl(t)dt=4- fl(t)dt=4-U=12·I 0 0 0

I I I10. a) fl(x)dx= fX(I-X)dx=-.

006b) Functiaj'este continua pe JR \Z. Trebuie arlitat cli/este continua intr-un punet oarecare n E Z.

I,(n) = lim(x-(n -I)}(I-[ x-en -I)J) = 0; Id(n) = lim(x-n)(I-(x-n») = 0; I(n) = 0, dex?n x~n

unde rezulta eontinuitatea luif, decij'admite primitive.

4

c) in fr'(x)dx facem schimbarea de variabila rl(x)=t,I

•275

~ C ~c onsiderllm functia g :JR ~ JR, g (a ) = f f (x) dx . Cum g este derivabilliQ ~

s'(a) = f (a + 1) - f (a) = 0, Va e JR => functia g este constanta, adica ceea ce trebuia demonstraI t

61. 0) fxf(x)dx x:;'_ J( -t)f( -t)dt = - fif(t)dt => fXf(X)dx = O.-I I -I. _I

b) Xf(X)fO(X)+ (J·(x))2]dx = Ff'(X)f(X)]'dx = [f'(x)f(x)JI: = -2012.

I I

c) If(X)dx = 2f!(X)dx, deci inegalitatea este echivalenta cu ~ s ff(x)dx sl.o

I I I I

~=arctgxl~= f-2 dx s; ff(x)dx~ fdx=l.4 ol+x 0 0

62. 0) f hO'2(x) dx= f(X+I)(X+2) ...(X+2012) dx= fX+2013 _hO'2 (x + I) I x+ 2012 dx =x + 1n(x+ 2012) + C

(x + 2)(x + 3) ... (x + 2013)I I

b) f(x2+2).h(x2)dx= f(x2+2) 2 I dx= f'.!.(-I--_I_) _o 0 (x +1)(X2 +2)(X2 +3) 02 x2 +1 x2 +3 dx-

~( arctgr ~ - ~ arctg g[)=H~- OJ,)c) It,(t3)dt= I I d, xf I x-I

In l(t3+1)(t3+2) ...(t3+n) t~II'2 ..... ndt=-;;!, Vx~l, Vn~l.

63. II I I 2 R0) f(x)dx=x1n(x2 +1\1 - jx+en=1n2-2 1-_I_)en=1n2_2 ~o 110 x + I 2 I + .o 0 x + 2

-x t=-y x

b) g(-x) = ff(t2)dt = - ff(i)dy=-g(x), VxeR.o 0

•IUo

ic~

•276

I

Pentru x e [0,1) =:> sinx e [O,sinl] =:> 1. :5 f. 1 dx:51 =:>l+s1O"1 OSlO"x+l

I

. 1 < I' f 1 dx < 1l=lim _1m _."...•-I+sin"1 "...•-osin"x+1

3 I

I I 2 1 (X2 + 1)"2 2 165. 0) ff(Fx)dx= fx~en= 2 3 =3Ji-3'

o 0 -2 0

b) g'(x) = f(x) ~ 0 =:> g este crescatoare pe R.

x x 5c) g(x) = ft2,k + Idt ~ ft4dt = ~ =:> lim g(x) = t«l =:> graficul functiei f nu admiteo 0 5 x ...•_

asUnptoteorizontale la t«l.

lim g(x) = lim g'(x) = t«l =:> graficul functiei g nu admite asimptote oblice la t«l.x-++«.l X x-++oo

66.0) A= ~iI(x)fJx= liI(x)dx=(~~(x+I)31 =~(2J2-1).

I 2 I I I I I 1 3b) fX[iI(ex)] en= fx(ex +l)en= fxexen+ fxen=xexlo -exlo +-=-.

o 0 0 0 2 2I I

c) I~In = f.Jxn +Ien~ f(x" +1}n=_I_+I, VneN", deci, prin trecere la limita, obtinemo 0 n+1

lim I" = 1=:> sirul (I") I este convergent la I."-++<0 n~

3 I

If rrt: 12(X2+1)2 2J2-167. 0) II = x-ix: +Ien= =--.

o 2 3 3o

I I

J2 -( n + I) fx·.Jx2 + len+ J2 -(n -I) fxn-2.JX2 + len = 2J2 -(n + 1)1. -(n -1)In_2 =:>o 0

68 .

21

•278

e e 2 e 2 169. a) fX'/(x)1x= fX'lnxdx=~lnxl~ - f~=~.

I I 2 12 4e e e e e

b) fl"(x)1x+n fl"-I(x)1x= fx'ln' xdx+n fln·-I xdx=xln' xr -n fln·-I x+nfln'-I x=ee.I I I I I I

e Inx=t I

c) fln' xdx = ft'e1dt;I 0

I I I,

0:5:ft'e1dt:5: ft'edt=_e_=> lim ft'e1dt= lim fl"(x)1x=o.o 0 n + 1 n..• _ 0 n..• -scc I

...•1.11II:l-

i~Qu:•

e e

fl"+l(x)1x+(n+l) fl"(x)1x=eeI I

limitArelatia

trecem la

. ef n+1 . n + I . e e=> lim I (x)1x+ lim -. lim n fl" (x)1x = e" => lim n fl" (x)1x =e' .

"4'+a) J n4>+co n n-H«I I n--++co I

I xn+3+ X.+I + xn 170. a) In+3+In+I+I.= f 3 dx=--.

o x +x s I n+1I X,,+l n

b) In+1- In = f 3 - X dx s;0, '<In~ 1 , deci sirul este descrescator,OX +x+I

1

c) Avem 0:5:In :5:fx·dx = _1_ => lim In = O.o n+l •..•-sec

Pe de alta parte 3In+3:5: In+3+ In+1+1. =_1_:5:31 => __ 1_:5:1 :5:__ 1_n+1 n 3(n+l) • 3(n-2)

I

b) /.+1 -I. = f(x·+1

-x·).Jx+Idx:5:0, '<In~l, deci sirul este descrescator,o

pe de altaI J2

0:5:1 :5: jx·J2dx=--=> lim In =0n 0 n+l •..•- ~iparte

I x·+1 Ifxn+1O~ f.J dx:5:-dx

02x+l02

in [mal lim nI n = .fi .n..• -eec

1 I n+1

---.,---:- => lim f_x--dx = 0 .2(n+2) •..•-02.Jx+1

If s. s:2" 4 2

'f2. a) rf = flcos2xldx= fcos2xdx- fcos2xdx=l.o 0 s:

4

- If 22 dx- Ifl+COS4Xdx=1f[~II +.!.Sin4xJI]=1f2 .bl Y = 1{ COS x - 1f 2 2 8 0 4~ 0 0 0

1C.!! s: '4

c) II" (x)dx = Jcos· (2x)dx = sin22xcos"! 2xl: + (n -1) jSin2 (2x )cos·-2 (2x)dx =o 0

1C !!.s: '4 4

==(n-l) Jcos·-2(2X)(I-cos2(2X))dx= (n-l) fl"-2(x)dx-(n-l) fl"(x)dxo 0 0

de unde cerinta.2 I 2 1

73. a) j.t;(x)dx= jl+(:_x)dx+ !1+(X_l)dx=2ln2.

11 , X E[0,2013]

'() I' () 2014-x .b) Fie F 0 primitiva oarecare a lui 12013; F X = J2013X = 1 '--=-=-=-, x> 2013x-2012

{

12'XE(0'2013)F"(X)=f'2013(X)= (2014;X) ,deci F este convexa pe (0,2013) ~i concava pe

- 2,x>2013(x-2012)

(20l3,+«» .

. 3n . 3. I . (2n + I) _ Ic) lim n f I. (x)dx= lim n f --dx= lim nln -2- --2'

n .....•+rc n n-++oo X - n + 1 n-++<o n3,,-1 3n-1

74. a) F' (x ) = I(x) > 0, '<IxE lR, deci F este strict crescatoare,

" IfI(x) _ If x2 + 2 dx =.!. 1((_1_ +_I_h = .!.(!!..+....E.-) .~ o~- 0(x2+1)(x2+3) 2~lx2+1 x2+3T 2 4 3J6

c) Din teorema de medie pentru integrale aplicata functiei I: [x, 2x] ~ lR, exista Cx E(x, 2x) astfel

2x2x fl(t)dt (2x-x)/(c) )

ca fl(t)dt=(2x-x)/(cx),deci x~x x =}~'! x x =!~/(cx =1.

Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTE

lema 4.1 Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii anteriori

Testull Examen Bacalaureat, iulie 2012

SUBIECTULI (30d1. (I + i)z 2i

e puncte)~

1211-2 2p-2. f(x) = g(x) ~ x2 +3x+2=O Ip

XI--I~ YI- I 2pX2 2~Y2 0 2p

3. 2<+1< 22 Ipx+IS2 2pS - (-00, I] 2p

4. P = nr. cazuri favorabile Ipnr. cazuri posibile

Submultimile cu 3 t~rmeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sunt: {I, 2, 3}, 2p{2, 3, 4}, {3, 4, 5} ~l {I, 3, 5} ~ 4 cazuri favorabile

Numarul submultimilor cu 3 elemente este C~= 10 ~ 10 cazuri posibile; p = ~ . 2ps. u·~=3¢:::>a+2=3 4p

a I Ip6. AB2 + AC2 _ BC2 2p

cosA=2·AB·AC

cosA =_1 3p5

SUBIECTUL alII-lea (30d t )e pune el.a)

A~(: I

!J2p

2I

detA 3m 6 3pb) Sistemul are 0 solutie unica ~inumai daca det A*-O 3p

Finalizare m E lR\ {2} 3pc)

.12 ~I*- 0 , deci matricea sistemului are rangul doi

IpdetA=O~1 I

{2X+ y=-3a 2pz=a~ ~x=-a, y=-a .

x+2y=-3a2 2 2 2xo+Yo+zo=3~(-a) + Ip

+(_a)2 +a2 =3 ~ a E {-I, I}

Sotutia este (xo, Yo' zo) - (1,1,-1)Ip

(P + 1)3 = 8 , decip = I ~isolutia este X(I)

3pX(P)· X(q) = X(p +q + pq) 2pP,q E R \ {I}~ (p + I)(q + 1)*- 0 ~ p + q + pq *- -1 , deci X(p + q + pq) E G

pentrUorice X(p) E G , exista X(-I: p) astfel incat

X(P).X(-I: p )=X(O)

3p

2pJ!-*-_I~X(-1-)EG~i X(_1-)esteinversullui X(p)

-1+P l+p I+p Ip(x(P)i = X(7) 3p(x(P)i = X«P + Ii -I) Ip

(30 de puncte)SUBIE a -;;..-

j'(x) - 3x3 -123p,...)

j'(x) > 0 pentru orice XE [2,+ (0),decifeste crescatoare pe [2,+ (0)2p

limf(x)=+002p

II)x"'''' 3p

x x .ex .ex

lim_e_-lim~= lim-= hm-=+oox"'_ f(x) •..•- 3x2 12 x"'_ 6x x..•_ 6 3pSirul lui Rolle pentru functia g:lR~lR, g(x) f(x) a este

c)-00,16 a, 16-a, +00Ecuatia are trei solutii reale distincte daca ~inumai daca a E (16,16)

2lp

2.a) F'(x) f(x) pentru orice X E (-1,+00)Ip

f(x) > 0 pentru orice x E (-1,+ (0)Ip

F este strict crescsroare2p

II) I I I I dx3p

vex) dx- J 2x+3 dx= J~+ J-=ox + 1 - 0 (x + 1)(x+ 2) 0 x + loX + 2 2p=In(X+l)\~+ln(X+2)\~ =ln3

c) ~ r 2x+23pr f(t)dt = (2t -In(t + 2» x = 2x -In x + 2 ' pentru x > 0

2x_In2x+22p

lim x+2 2x..•_ x

aUL 1111lea

po

:EI

<U

~:E

(30 de puncte) ~SUBIECTUL I 3p :E1. (1+2;) =-3+4; 2

~J[p~art~e~a~re~al~a~e~st~e~eg~a~~~c~u~-l3 ---------------~~~ •

Testul2 Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezerva

281

;:)z-eii2!AIA.

~•;:)V

'"!AIZ>CCDu:!AI

""d•

!AI%VCZou:QZC~

•282

2. I x, +X2 =3

=a

M3~ Ip6. sinx+2eosx=3eosx 2p I

sinx=eosx Ip Ix=!!.. 2p I

4

b)

f(l) = 6 I 2p

Exista minorul d = I~~I= 2 ~ 0 ~ rangA(O,l,x) ~ 2

rangA(O,l,x) = 2 <=> D(O,l,x) = 0

D(O,I,x) = 6x(x-l) ~ x = 0 saux =1c)

I I ID(a,b,e) = 6 ·Ia b e

a2 b2 e2

D(a,b,e) = 6(b - a)(e - a)(e - b) I 2p

D(a,b,e) = 0 ~ a = b sau b = e sau e = a deei triunghiul este isoseel I 2p2Jl)

I !(3).= 6 +,PFinalizare 1

3p---1

Ip

Ip

Ip

2p

Ip

1. I x2 + nIX + 4 = 0 are solutia x = 2 ~ m = -4Pentru m = -4 eele doua multimi sunt egale

2.T b 3x =-_-_

v 2a-2 iI .\ = 1 Ip I

Yv =_A=_l. 2p ~4a 4 ~

Conditie: x> 0 2p ~2 !AI

310&,· < 3° <=> x < 1 . p!Cxe(O,l) Ip ~

Imfnu poate avea 5 elemente, decifnu este niei surjectiva

pare radacinile 1, 3 ~i 4p == (X - l)(X -3)(X - 4) = (X +4)(X + 2)(X +1)f(i) == f(3) , decifnu este injectiva

t;"ECTUL allll-lea (30 de puncte). 3-9x

~f'(x) (x2 +3)~X2 +3

Finalizare ~3p

2p2p

2p

IpJ b

2p

2p

3p

Ip

3p

Ip

lim f(x) == 1I .1'--++00

vTt:ill'l4 U""""at'" r - , "~L';asimptota orizontala spre +00lim f(x) == I, lim f(x) =-1

,l'--+-t<IO x-+-<IO~

Din monotonie, valoarea maxima a functiei este f(t) = 2J7

Imaginea functiei este (-1,2J7)

~ este derivabila ~i F'(x) = lnx, pentru oriee x > °F'==f

rt)Aria este egala eu ~ In xjdx =

1

== F(x) I~1

e)(p+l)IfP(t)dt = It,(p+l). fP(t).~t =

lit

= It. (lnP+1)'dt = t ·lnP+1 tl~ - IlnP+1 tdt = xlnP+1 x- IlnP+1 tdt1 1 1

Finalizare

Testul3 Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea spedala

SUBIECTULI (30 de puncte)

3p

2p

2p

3p

4p

3p

2p2p

•283

nh "" m= 11 ?" .<Hsi hF rn 1 ?" Q\ sunt 90 de numere => 90 de cazuri posibile

5P=18

4. nr. cazuri favorabileP = nr. cazuri posibile

2p-

ab cu a,b e {1,3,5, 7,9} sunt 25 de numere => 25 de cazuri favorabile 2p

5. 3 a~= 2a-3

2pa2 - 6a + 9 = 0 I 2Pa=3 I~

6., SABe =12 ~R = abc 2p

4S

R= 258

Ip

ULalll-1 (30d

...•1&1

~i;:)ou..:•

, -- r ---""}

l.a) [-I 0 ~J 3pA(;rr)= ~ I

0

[-I 0 ~J 2pA(;rr)= ~ I

0b) [ cosxcosy+sinxsiny 0 i(cosrsin y +sin xcosy)1 Ip

A(x)· A(y) = 0 I o ,V'x,yeR;i(cosxsiny + sinxcosy) 0 cosxcosy-sinxsiny

[,",,(x+ y) o i'in(X+ y) 1A(x+ y)= 0 I 0 , pentru orice x, y e R

isin(x+ y) o cos(x+ y) 3pFinalizare Ip

c) A2012(X) = A(2012x).. 2p

A(2012x) = 13 ~ cos(20I 2x) = I ~isin(20I 2x) = 0 Ipx- kx k Z 2p

-1006' e -2.a) I 2pxol=

x·-2 =x , pentru orice x e G2 2x.l-x_l+1

2 2 -l.x 2pI 2 ,"20x

2.Lx_l-x+1=x pentru orice x e G

2 2 -Finalizare !l--

~::;:)ou•;:)zcii21&1A.

::E•;:)UIn1&1Z~IIC1&1

""ci•

1&1

Izc::E

•284

'b) t xr ' x'x , " Ipx 0 x = 2' , 1 = 2' , 1 = x 0 x, pentru once x,x e Gxx-x-x+ x x-x-x+

xox,=l=>x'=l-x 3p2

x e (0,1) Ip~) feste biiectiva 2p

1 (x-I)(y-I) 2pI(x 0 y) = -- -I = pentru orice x,y e Gxoy xy

l(x)I(Y) = (~-I )(;-1) = (X-I!'-I) pentru orice x,ye G Ip

•....

1111-1 tel(30d~V"'·--- - -- --- ---

l.a) r x r 2x r 2 3pIm--= Im---= Im---=x~+oo f(x) X-H"(I) e' + e-x x~+«> eX _e-x

-0 2pb) I'(x) = eX~ e-

xpentru orice x e R Ip

e' + X 2pf"(x) =+pentru orice x e R ,

I "(x) > 0 pentru orice x real, deciI este convexa 2pc) e.fX+ e-Ix e.fX+ e-lx 2p

g(x) = 2 =>g'(x)= ifx pentru oricex> 0

x> 0=>..Jx> 0 => e.fX > e-lx 2pg'(x) > 0 => g este strict crescatoare pe (0,+ (0) 2p

2.a) 1C Ip2"JI = fsintdt

0

I 2p"2

JI = costt,0

JI =1 Ipb) I Ip

II = fxJl-x2dx0

II =-~~(I-x2)31:r 3p

1 IpII =3

c) 1C 2p2"

J2n -J2n+2 = fSin2nxcos2xdx0

I 3pCu schimbarea de variabila sin x = t obtinem J2n - J2n+2 = ft2n

• Jl- t2 dt = I2n

'-- 0

iI

'5~s~s•

285

Testul4 Examen Bacalaureat, august 2012

SUBIECTULI (30 de p1. IOg2(J7 + J3) + IOg2(J7 -J3) = IOg2(J7 + J3)(-J7 -J3)

uncte)3P=-

Finalizare 2p-2. f(x)-O~x Isaux--4 3p

Distanta este egala cu 3 2p3. Notlim 3x = 1 ~i obtinem 1+ 31= 4 3p-

I-I~x-O 2p4. ( J i

2pi 20-i I i 20-i-Thl = C20. X . Fx = C20. X 2

20-k-!=14~k=4 2p2

Rangul termenului este 5 Ip5. 3 2p

md=-2

Ecuatia paralelei este Y - YA = _l{x-xA) adica j, = _lx+!1 3p222

6. BC = AB =>C=.! 3psinA sinC 2m{4:C} - 30°, deoarece m{4:A) > m{4:C} , , 2p

-'1&1

I!i:)Q~ SUBIECTUL alII-lea•

(30 de puncte)1.a) -I a I 2p

detA= a+2 a a+1 =a+1 2a-1 3

3a+3 a 2a+4 1 a 2a+4 1 a 2a+4 2p= 3a+3 a a+l = (3a +3) I a a+1 =0 0 -a+1

3a+3 2a-1 3 1 2a-l 3 0 a-I -2a-13

Finalizare Ipb) Sistemul este compatibil detenninat ~ detA"* 0

1-2p

detA o ~ a E { 1, 1, - 3} 2pc) rX

-2Y

=1Ip

a=-2=> -2y-z=1

-x-5y+3z=2

1 4 1 4pX=-- y=-- z=--

9' 9' 92.a) AS A AS A AS A AS A AS A Spo = 0,1 = 1,2 = 2,3 = 3,4 = 4b) f =X8 +X4 +3X4 +3 = X4{X· +1)+3(X4 +1) 2p

f = (X· + i)(x· +3) 3pc) f(O) =3 Ip

•286

2p

IpFinalizare 1

SUBIECTULallll-lea (30 de nuncte)::---- 2p

,,,,) feste derivabila pe JR ~i /'(x) = I + ~x2 +1....-

lim f(x) -I = lim f(x) - f(O) 3p/,(0) =1

x->o X x->o X - 0

-- lim f(x) = lim x+,jx2 +12pb) 2

x->-- XX->__

X- lim(f{x)-2x)= lim{,jX2 +1-x)=O 2px->--

X->__

V - 2x este ecuatia asimototei oblice sore +<Xllazraficul functiei f IDc) f este continua pe JR, lim f{x) - 0 ~i lim f{x) - +<Xl=> f este surjective deci 2p

x-+-oo X-++CIO '

ecuatia are solutie/'(x) > 0, '<IxE JR => f este strict crescatoare => f este injective, deci solutia e unica 3p

2",) 1 ' 1 'I' 3pI = X· eX dx = _ex =120 ..

e-l 2p=

2b) , I 3p

2Ip = 1xP-'{2xer')dx = 1(er' )xp-'dx = xp-ler'lo - (p -1) 1er' xp-2dx

2Ip = e-(p -1)Ip_2 => 2Ip +(p -1)Ip_2 = e 2pc) Considerlim functia continua f: [0,1] ~ JR, f{x) = xer' sirul de diviziuni Ip

s, = (!) _cu 11,i.11 ~ 0 ~i punctele intermediare ! E [k -I,!]n i=O,' n n n

(il'2p

. I (I' 2' .' ) . Ink -lim-· --, -;t --, =lim-·I-·en =X->__n2 en + 2e + ... + ne" X->__n hi n

I • (k) I I2p

= lim _. If - = Jf{x)dx = e-X->__n i=1 n 0 2

TestulS Bacalaureat 2012, Model MEGS (www.edu.ro) I•..~I

>0(U

~~

3p 1&1

~~

2p •28j

$UBIECTULI1. -24:'>x+l:'>24

-25:'> x:'> 23CardA = 49

2. 2x-I= -3x+l

x=2x=.!I '2 2

Punctele de intersectie sunt (2,3) ~i (~, 0)

3. 1+ 7x = 1+3x+ 3x2 +X3Ip -- f' (x) ~ 0, 'fx E [-1, 1]=> f este descrescatoare pe [-I, I] 3p Ix(x2 +3x-4) = °Ip ~ f(l) = ° f( -I) = 4, lim f(x) = -t«J, lim f(x) - --00 2p

, x--++oo x--+~XI = 0, x2 = I, X:J= -43p Din studiul variatiei functiei deducem ca ecuatia f{x) m are trei solutii reale 3p4. Alegem 2 numere impare din cele 5 in C; = 10 moduri2p distincte daca ~i numai daca m E (0,4)

Alegem un numar par din cele 5 in 5 moduri10 ~ 12= lldx-21x2dx+ lx4dx= IpSunt 50 de submultimi205. Mijlocul sezmentului are coordonatele (2, 1)Ip

=(X_2;3 +x;)I: = 3p. di 1Dreapta AB are panta 3, deci me iatoarea are panta -3

2p8 Ipdi . t 1 + 5 =15

I

Ecuatia me iatoarei es e y = -3x 32p

~ I - I = 1x2(1- x2)" dx ~ 0 pentru orice n, deci sirul este descrescator 3p6. 2 . 2 1 n n+lcos2x=I- sm x=3

2p In ~ 0 deci sirul este marginit inferior Ip. ± 1Finalizare Ipsmx= .Jj

2p ....-In =X(I-x2)"I>n lx(l-x2)"-'.(-2x)dx= 2pc)(If) . 1XE 0'2 => smx= .Jj

- Ip

=-2n n(l-x2) -I](l-x2)"-'dx = Ip

I

- -2nIn + 2nIn I=> (2n + I)In = 2nIn_"

Vn ~ 2I

SUBIECTULalII-lea(30 de puncte)...• 1.a) 1 m m2

3pI 1&1

I acd= m2 1 =-(m3 _1)2~ m

i m2 1 Testul6 Examen Bacalaureat, iunie 2011::;) mQu.: Finalizare: m - 1

2p(30 de puncte)

I •SUBIECTULI~ b) Daca sistemul are solutii nenule, atunci d = 0 2p

2pI ~ In acest caz, sistemul se reduce la x + y + z - 0

Ip 1. I<..fi <22p

I ::;) Aceasta ecuatie nu are solutii cu toate componentele strict pozitive 2p 2<J5 <3I0 c) Pentru m - 1, rangul este 1

2p Rezulta ca 2 este singurul numar intreg din intervalul dat Ip0• Pentru m f. 1, rangul este 3

3p 2. . d' b 2p::;)

Axa de simetrie a parabolei este dreapta e ecuatie x = Xv = - 2aIZ 2.a)

(x. y)* z =.l(x-l)(y -I)(z -I) + 1 ~ix* (y * z) =.l(x-I)(y -1)(z -1) + 1 4pc3p

« 4 41&1 Finalizare: legea este asociativa

Ip _m =2=>m=-4A.

2~ b) Trebuie sa aratam ca exista e E lR astfel incat x * e = e * x = x , pentru orice x E lR Ip 3.X-~E {(-It ~+klflk E z} 3p•::;) x*e = x <=>x+e-xe+ 1= 2x <=>(e+ I)(x-I) = 0, Vx E lR ,deci e =-1 3pv

2p'" Verificarea relatiei (-1) *X = x, Vx E lR Ip

x E {f,lf}

1&1Z-c c) x3 -3x2 +3x+3 2pID x*x*x

2pac

4 4. ~ -n(n 1)1&1

""2p

I C Ecuatia x * x * x = 3 este echivalenta cu (x - 3) (x2 + 3) = 0 => x = 3 3p2 n(n-I) 0-

II • ~

c; =--2-I 1&1>0~

IpI

V

n(n 1) 12 => n - 4-e SUBIECTULallll-lea (30 de puncte)z

3p0 l.a) f(-x)=-x3+3x+2 I 2p 5. a 1ac

-=-Q1 2

2pz

lim x3

-3x+2 =-1 3pC1~ x-.__ x3 + 3x+ 2

a=--2b) f'(A) = 3A2 - 3 2p

I• I.288

~~-

~

~~

8

6. sin" X + cos" X 2psinx·cosx

=2

1 2sinx·cosx ipsin2x 1 Ii;-

~SUBIECTUL alII lea- (30 de puncte)

1.0)

A(X)A(Y)=[:x

X']['y y'] Ip

12t . ~

1 2y0 0 1

[:x

X']['y

Y'] ['x+y (x+ Y)'] 4P'

1 21X . ~ 1

2: = ~I 2(X

1+y) = A(x+ y)

0 0 0

b)

A(x)- A(Y) =[: x-y X'-Y'] Ip0 2 (x

O-y)

0

[0 0 2(xt'] 2p(A(x)-A(y))2 = 0 0

o 0

(A(x) - A(y))) = 0) ~ (A(x) - A(y)tll = 0) 2p

c) Matricea A este inversabila Ip

(A(x)r' =[: -xx' ]

4p1 -~x =A(-x)0

2.0) I( 1)--I+I-a-i(a-2)+a+(a-2)i 2pFinalizare: 1(-1)-0 3p

b) Radacinile lui g sunt de forma XI= U + iv ~i x2 = U - iv , unde u,v E lR IpDin relatia lui Viete rezulta XI+ x2 = - P si XIX2= q Ipp - -2 E lR ~i q = u2 + v2 E lR 2pE . 2 Ipcuatia X + px + q = 0 , cu p, q E lR , are solutii distincte complex conjugate daca

~i numai daca II< 0 , de unde p2 < 4qc) 1 -(X +1)(X2 -aX +a+(a-2)i) 2p

Polinomul h = X2 -aX + a +(a - 2)i E IC[X] are doua radacini distincte complex IpconiuzateConform punctului b), rezulta aElR ~i a+(a-2)iElR, de unde a=2, care 2pconvine

:)IJIII1&1Z-el1li1a::1&1

""c::i.1&1::z:IJCCZoa::QZ; SUBIECTUL allll-lea

loll) f'(x)=_I I_=--=:Lx+l x-I x2-1•

290

I'(x) < 0 pentru orice x> 1, de unde conc\uzia2p

=-i f(4X2 -12x+8+1)r-l(x)dx =- ~ rr(x)dx-i ri:' (x)dx,

concluzia

2plim 1(x) = +00 , deci x = 1 este asimptota verticals, ••••1 Ip1este continua pe (1,00), deci nu are alte asimptote verticale

2plim 1 (x) = Iim 10x + 1 = 0 , deci y = 0 este asimptota orizontala spre +00

x-+-+aD x-H<o x-I2p1o(x+l)-1o(x-1) . 0

Jim xl(x) = lim _I - nedetermmare de forma -x-++«' x-+~ X 0

3p( )-1 ( )-1x+l - x-I 2 2

Cu regula lui I'Hospital, limita este lim -2 = lim +- = 2x-e+ee -x x-++«> x-I

4p

Ip

2pb) A= !'1/~)ldx=-!,/~)dx,deoarece I~O peintervalul [1,2)

Ip

2p=1-2102

2 3pc) !'I" (x)dx = ~ !'(2x-3)'r (x)dx = ~(2x-3)(X2 -3x + 2)"[ -

-~ !'(2x-3)2 nr-I (x)dx =

de unde 2p

Testul7 Examen Bacalaureat, august 2011

SUBIECTULI(30 de puncte)

1. b) = big' .b, = b,l2p

24 = 6g'• 2p

q=2Ip

2. l-a2 =03p

a=1 sau a=-12p

3. (tr =(%f

Ip

D 3 l c i . d .2p

eoarece "2 > , inecuana evme x <-x

S =(-00,0)2p

4. Th' = c,ko,fik,k E {0,1,...,10}2p •

291

T.+l E IQ>ee- k par 2pSunt 6 termeni rationali Ip

5. I BC: x + y -I = 0 2p12+2-11 3 3p

Distanta este Ji =.fi

6. I 600 1 2pcos =2"

AB·AC= AB·AC·cosA = 2p=10 Ip

111-1 (30

...•1&1

~~::;)Qu:·

- , ~---'-I

1.0) (~~J(~ ~J=(~ ~J

. . 4p

Asadar (~ ~JEH1p

b) ( A' f = A2, = ( A2r = 2p

= A' , deci A' E H 3pc) . C ~J apartin lui H pentru orice x E IR

4pMatncele 0

Finalizare 1p2.a) Restul impartirii polinomului fla X - i este f (i) 2p

f(i)=(2iYo =_210 3pb) 10 10 2pI= L(ClkaXIO-kik + ClkOXIO-k(-it) = LClkOXIO-kik(I+(-it)

k-O k-Oa2p+1 = 0 E 1R, pentru orice p E {0,1,2,3,4} 1p

a2p = c12:i2P(I + (-It) = 2C1

2: • (-JY E IR , pentru orice p E {0,1,2,3,4,5} 2p

c) Daca z este rAdlicinli, atunci (z + iYo = -( z - iYo , deci Iz + il = Iz - iJ 3pPunctul de afix z este egal departat de punctele de afixe ±i , deci apartine axei reale 2p

'jCA.::;)ou•::;)ZciiC1&1A.

::E•::;)v:3 SUBIECTUL allll-Iz~CIC1&1

""ci•

1&1:z:v

~QZc::E

(30 d )

•

~c -- - -,

1.0) limf(x)- f(2) =1'(2) 2px ...•2 x-2

J'(X)=5X4-5 2p1'(2) = 75 1p

b) f" (x ) = 20x3 se anuleaza in 0 3pDeoarece f" are semne opuse de 0 parte ~i de cealalta a lui 0, rezulta cli 0 este 2ppunct de intlexiune.

c) J'(x) = O~ X4 -I = O~ X= ±I 1pTabelul de variatie a functieij" 2p

292

,...- Finalizare2D

L--3p

2.0) 19(x)dx= le-xdx=-e-x( =\...--- e-I

2p==--

e1-bf Cu schimbarea de variabilli x3 ==t se obtine ~ 1t· e-' dt ==

2p

L..--- ==-,!,te-'\' +,!,le-'dt==e-23p

3 0 3 3eL.--- I" ( 3) rl

xl •

2pc)

1,+1-1,= g x dx= e" dx~O,'v'nEN ,deci~irulestecresclitor

o ~ I, s re-xdx =,!, _1.. <'!', 'v'n E N' , deci sirul este marginit2p

e e" eI-- Deoarece sirul este monoton si marainit el este convergent

1D

Testul8 Bacalaureat 2011, Model MEGS (www.edu.ro)

SUBIECTULI\~ ___ I"

1.\l-i~\==~I+(~r =

3p

==14 ==2

2p I

2. x2+x+l-y==01p

~=4y-3~02p

1m! ==[%,+00)

2p

3. 3

Ip

b, =2"

l ==4

2p

b7 =96

2p

4. log. x ==log. 9 -log. 8

2p

9 9

3plog x ==log - ~ x ==-

• • 8 8

5. 1

2pmd ==-2" ~ md· ==2 unde d 1- d'

Ecuatia dreptei d' este y ==2x - 43p

6. cos' x==1-sin2 x=,!,

2p

9

cosx=±,!,

Ip

3

XE(%'1l')~cosx=-~

2p

~

(30 de puncteSUBIECTUL al II-lea

1.a) I [0 -4 16]A(2)-A(O)= 0 0 -8

o 0 0

c) 2p

2p

(A(2)-A(O)/ =03 2p

(A(2)_A(O))2010 =03 lpb) 3p

[

1 -2x-2yA(x)A(Y)= 0 1

o 0

4l +8XY+4X2j-4x-4y

1

Finalizarec) I det ( A (x)) = 1*- 0 , deci matricea este inversabila

2Dlp

A(x)A(-x)=A(O)=13 2p

[

1 2x 4X2j£1(x)=A(-x)= 0 1 4x

o 0 0

2p

2.0) lp...•'"IX...i;:)Q

x*l=l*x=x VxeG2 2 '

-

Verificare

Legea " * •.are element neutru e =i3Dlp

u:· b)2p~

CGo;:)Vo•

Orice element din G este simetrizabil si x ,= 1- x0< x' < 1, deci x' e G

3p

~U I(X)/(Y)=(~-I)(~-I)= (X-l~-I) = I(x* y)

~ SUBIECTUL allll-lea (30 de nuncte)~ 1.a) lim/(x)-/(5)=a "--+S x-5~ =lim(x-2)(x-3)(x-4)=Z "--+s~ =6IX~ b) l(n+I)-1 n-I~ l(n)-1 = n-5

~ (() J" "v I' I n+1 -1 lim n-Ic tm ---Z "--+- I(n ) - 1 - n--._ ( n - 5) -oIXQZC~

Justificarea faotului ca functia f este biiectiva

f i x» y)=_I __ I= (x-l)(y-l)x*y xy

2p

Ip

2p

2pIpIp

Ip

= lim (1 + _4_)" ="--+- n-5

Ip

• I c)

294

=e4

1(2) = 1,/(3) = 1,/( 4) = 1,/( 5) = I

2pIp

Ocontinua pe intervale Ie [2,3],[3,4],[ 4,5~Iderivabila pe intervalele (2,3),(3,4),( 4,J J

I

Ipr\

hi;

=rIp

Ip

2p

Ip

Ip

Ip

Ip

2p

2pIp

2p

\..-- Din teorema lui Rolle ~i din faptul ca f' este de gradul trei rezulta ell f'(x)

exact trei solutii reale distincte

~.II) IJ1-X dx=10 = x2 + I

o

I II 1!

J'-!-dx =arctgx 0 = '4x2 +1o

I- 1J+dx =11n(x2 + 1)\1 = 1n2oX +1 2 0 2

10=!E._1n242b) I ( 2 )2

12 -10 = J x + x + 1 -1o x2+1 dx=

I I 2J(x2 + 2x+2)dx- J-2-dx =o 0 x + 1

=lQ.-2IJ~=3 0 x2 + 1

10_!E.¢Q=3 2c) 2 ( )4"+1X + 1 divide X2 + X + 1 - X

(x2+x+lt"+I-x=g(x),unde geZ[X]x2 +1

19(x)dxeQ

Testul9 Examen Bacalaureat, iunie 2010

SUBIECTULI(30 de puncte)

3p2p2p •..

~JIp2p2pIp I •

29

1. I ((l-i)(i-l))4 = (2i)4 -

162. I 1(_x)=1n3+X

-3-x -, I

=1n(;::r =-1n;::=

I(x)3. I x2 + 2x -8 = (x - 2)(x+ 4)

x e (-4,2)(-4,2) IlZ = {-3,-2,-1,O,1}

la

--4. 25 de numere sunt divizibile eu 4

20 de numere sunt divizibile eu 5Ip .~IECTUL allll-lea

(30 de puncte)

5 numere sunt divizibiie eu 4 si eu 5Ip V) limj(x}=!!:'

3p

Deci 40 de numere sunt divizibiie cu 4 sau cu 5Ip x-+OO 4

S. Fie Q(a,b). Avem MQ (a 1)7+(b+2}] ~i NP-27+3]2p ~ Deci y = % este asimptota orizontala spre -toO.

2p

2pMNPQ este paralelogram ~ MQ NP~a 1- 2 ~i b+ 2 - 3 2p- ~ f'(x}

12p

IPunctul cautat este Q(3,I) Ip-

2X2 + 2x+ 1

~ 2X2 + 2x + 1> 0 pentru orice x real, deci f'(x) > 0, Vx E lit \ {-l}2p

6. AABC 2../14 3p

AD= 4.Jl4

~ Functiaj este strict crescatoare pe (--<Xl, -1) ~i pe (-1, -toO) .Ip

5

2p 'C) -2(2x+l)2p

r(x)= 2,x;t-l

SUBIECTULalII-lea. (2X2 + 2x+l)

(30 de puncte)1.0) det(A} 0 3p r(x)=O~x=-~

Ip

I~121= 7 (sau orice alt minor de ordinul2 nenul), deci rangul matricei A este 2.2p Din tabelul de variatie rezulta ca x = -~ este punctul de inflexiune al functieij.

2p

b) Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat2.11) .+1 ( 1}u .+1 n + 1

2p

De exemplu, luand z a necunoscuta secundara se obtine 'x = 2a - 3,20 I. = J 2--:; =(2x-lnx)\. =2-ln-n-

3p .y =31-3a,z = a I -I =lnn+l_lnn+2=

Ip

c) x 2a 3>0,y 31 3a >O,z a>O~.+1. n n + 1

3<a<l!

Ip= In (t 1)\ = In n2 -;-2n + 1 = In(1 + _2_1_) > 0, Vn E N' , deci sirul este strict

2p2p

2 - - 3n n + 2 n + 2n n + 2n

a E {2,3,4, ...,10} Ip crescator.

Sunt 9 solutii in N x N xN . Ipb) l<n+l~2<e~0<lnn+l<1

2p

2.0) a.b E Zs ~i card Zs 5.n n

Deci multimea A are 25 de elemente.

2p 1<2_lnn+l<22p

b)

(~i !}(:bb)=( 3a-~

3p n

3b+a J2p 1< I. < 2, Vn E N' , deci sirul este marginit,

Ip

a -a-3b -b+3a c) limn(2 -I.) = limnln n + 1 =

2p

(-:-~?h+a J (6 6J AIp "-+00 n-+IXI n

A = A A daca 3a = b ~i ?h = -a . = lim In (1 +.1 r = In e = 1

3p

-b+3a 0 0 n-+OO n

2p

SUBIECTULI(30 de puncte) •..

1. T (iJi-lt +2(iJi-l)+3=

Ip ~I

2p I I I I = 2i2 - 2iJi + 1+ 2iJi - 2 + 3 =2p cv

2p I I . L I =02p ~

~

2.\ j(g(x))=2(x2-a}+a=2p w

~

=2x2-a

Ip ~

2x2-a>0~a<02p •

297

litWZc I c)CDCICIUlito

ci•

IU:z::vcz0CICQZC

~

••296

Un exemplu: M = (iA ~J .-3 1

() (

2 2X Y X -y

Daca X = atunci X2 = 12 ~ A-y X _2xy

si xy =6

2xy J=(~ ?J~X2_y2=ix2_/ 01

Daca x = 6 ~ / = 4 ~ Y E {2;3} ; daca y = 6 ~ x2 = i ~ X E {i;o4}

(A A) (A A) (A A) (A A).. 02031040

Obtinem rnatncele A A' A A' A A' A A-2 0 -3 0 0 1 0 4

2p

IpTestu 110 Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezerva

---

3. ~ = x + 1 2p Asimptota oblica este y = x . Ip

IX-11=x+I lp xl-3x+2=(x+1)2(X+2) Ip

x = ° 2 Ip4. 0,3, 6, 9, ... , 2010 suntinprogresiearitmeticacuratia3. 2p l(x)-/(-2)=l (X-I)2

Numlirul termenilor este 67 I. 2p x + 2 (x + 2)

S. I Mijloculsegmentului [Be] este M(2,I). 3P. l(x)-/(-2)~ ~ =00

x->-2 X + 2

3p

6. 1Eou* modi•• ,; "Ie y ~ 4%-

7. m I Deci nu e derivabilll in -2. 2

. .E.= sin (!!...-!!...) = 2P. In1(x) . In (Xl _ 3x2 + 2) = pSill 12 3 4 hm---= lim In l

x->-2 In X x->-2 XJ6-J24

SUBIECTUL alII-lea(30 de puncte)

~YIa::l-

i:::)Qu.:•

2p

1.0) I {X + y = Ix+z=-Iy+z=o

A=2.lp -I

2p

S = {(O,I,-I)}3p

b) I

I

-2

I -1

-2 1/ = °I °

3p

Sistemul este comoatibil, deoarece ranz A = 2 .'5f:::)ou.

c) I I a

I 2a I 1=-2(2a-I)(a-I)(a+l)2a I a+1

3p

:::)ZSa::YIA.

~•:::)VIIIYIZ~a::YI~d•

YIX

~ SUBIECTUL allll-leaz~!zC(

~

(30 de puncte)

aelR\{±l,t} 2p

2.0) x) =2+i=>X2 =2-i

Folosind relatiile lui Viete, obtinem Xl = 3 - x) - x2

= -1 .2p

m=l,n=-52pb) Restul este r = X (m - 3) + 1- n .3p

m=3 ~i n=I.2pc)

Presupunand prin absurd cll x) ~ °,rezultll x~ ~ 0, - 3xi ~ 0, mx) ~ 0, - n < ° . 3p

Adunand cele patru relatii se obtine °=1(x)) < °,0 contradictie,

•

1.0)m= lim I(x) =1 -, 2p

X-H"«) X

n = lim (J (x ) - x) = lim Xl - 3x + 2 - Xl

° 2px->_ H-1( 2

l Xl - 3x + 2) + x~ Xl - 3x + 2 + x2

298

2p

Finalizare: lirnita este e alll cu I. 3

2.11) f) 3pCu substitutia sin x = t se obtine f cos x dx = f-.!!.L =

o 2 - cos! X 0 1+ t2I--

I) ;r= arctgt 0 ="4 2p

~ Dacll functia F este 0 prirnitivll a functieij, atunci F'(x) = cosx2

,'<Ixe [o,!!...]2-cos x 2

2p

Cum cosx e [-1,I), '<Ixe lR, rezultll F'(x) =., c~~~L. ~ 0, '<Ixe [o,~] 2p

F este strict cresclltoare pe [ 0,~ ]Ip

c) I(Y) = 1(2;r- y) Ip

2".Cu substitutia x = 2;r - Y se obtine I = f (2;r - y) 1(y) dy =

o

Ip

2.-

=2;r fl(y)dy-Io

lp

2".fl(y)dy=Oo

Ip

Deci 1=0 Ip

Testulll Examen Bacalaureat, august 2010

;;:::.:'------- . __ - II

1. 2if6 =V48 2pk

I..... 3V3 =jf8\ 2p

2if6 <3V3 Ip

2. Ixl ~ 0, '<Ixe lR=> 1m1C [0,+00) 2p

x ~ °=> x = 1(x ) => [ 0, +00) C Im1 2p

Imj" =[0,+00) Ip

3. Il= I-4m2 2p

•••.•,••·i•··

2!

Ecuatia are doua solutii egale <=> ~ 0 Ip

~ = 0 <=> m = +1. 2p-2

4. k

~+I =C!IW =C!124 2p

~+I e Q ~ 4 divide k. IpSunt II termeni rationali. 20

5. mAll- mCD Ip

1. a+3 2pmAR= -"2 ~l mCD = -3-

F· r 9 2pma izare: a = -"2

6. sin"x+ cos' x = I,x e A, numai pentru x e {o;%} 3p

p='l:. 2p5

...•1&1

~~;:)Qu:·

---- - - --- .•... - -- .,-......•. '"1.a)

A' =[~0

~JIp

0

a

A3 = aI3 2p

A20lO= (A3r70= a67°I3 2p

b)

B, =A +A' +A' =[:I

iJ2p

aa

det(B1) = a( a _1)2 2p

det(BI)=O~a=O sau a=1 Ip

c) B. =A·-1B1 Ip

B. inversabila ~ det(B.) '* 0 Ip

detB. =a'(a-l)2 2p

aelR\{O;l} Ip

2.a)x* Y =2(x-~)(y-~)+~+m-6

Ip

Daca m = 6, atunci oricare ar fi x,y e M rezulta cli x * Y '* ~ , adica x * y e M 2p

Daca m '* 6 ,atunei 0 * 2m - 3 = 1 Ip6 2 •

Cum 02m-3 M zul 2m-3 deci 6 Ip'-6-e re tli O*-6-EM, eel m=

b) Asociativitatea II!.Justifiearea faptului eli elementul neutru este 2 21!.

'Sf;:)ou•;:)ZCCi21&1A.

:E•;:)v'"1&1Z~a:1&1

""c:i•

1&1%V

~o~zc~

•300

Justificarea faptului cli pentru xeM, existli x,=3x 4eM astfel meat 2p2x-3

x*x'=x'*x=2c) Verifiearea relatiei f(x* y) = f(x)· fey), Vx,y e M 3p

Justifiearea faptului ca f este biiectiva.

ULallll-1 (30 d.,--- - -- , I" -""'Jl.a) I'(x) = 2 2 x'*±! 2p

3~(2x-I)2 3~(2x+lt' 2 --

1(0)=-2 ~i 1'(0)=0 2p

y+2-0 Ip

b) lim l(x)=O 3px ...•_

y - 0 asimptota orizontala spre +00 2p

c) 1(1)+/(2)+ ...+l(n)=I-V2n+1 2p

l/2n Ip

. [( I r"'l~lim 1--- =••..• ec V2n+l

lim( _ l/2n ) Ip.- I/2;;+i=e =-I I Ip=e =-

e2oa) 1 3 2 2p

1+1 +1 = V +x +x dx=1230x2+x+l1 3p

= fxdx=!o 2

b) O:Sx :SI ~ x· ~ x·+1 Ip

x2 + X + I > 0, V'xe IR 2p

n n+l 2p2 X > 2X ,V'x e [0,1] ~ I. ~ 1.+1,V'n e N" , adieli sirul este descrescator

x +x+1 x +x+1c) x· 2p

x2 +x+ I ~ I,V'x~ O~ O:S 2 :Sx', V'xe [0,1] ~x +x+1

1 2p~O:SI.:S fx'dx=~

o n+lim J, =0 Ip......, i

I

'5~~III

SUBIECTUL I (30 de puncte) ~

11.1 (J3 I) ( 1i) f2Pl~z=2 2+"2i =2 eos%+isin"6

Testul12 Bacalaureat 2010, Model MECTS(www.edu.ro)

•301

Z6 = 26.( COS 6; + isin 6;) = _26 => Rez6 =-64

~ ~ 2 ~ Ip3p Ecuatia devine a2 = l,b( a +c) = O,c = 0 .

Obtinem a e {U},c e {O,Z},b = 0, deci exista 4 solutii.2p

2.f(512)=~

2pI

••....

(J 0 f){512) = f(~) = 2 " 3p SUBIECTUL allll-lea .. (30 de puncte)

I 1.0) limf(x)=I=>m=12p

3. Ecuatia devine 2 sin 2 x - sin x -I = 0 , eu solutiile sin x = -i ~i sin x = 1 ., 3p x-+'" X- lim (J (x) - x) = 0 , deei avem asimptota oblica Y = x .

3p

." . (tl"

.. 2p x-+'"Obtinem x=2+2ktr,keZ 01 x= -I r;+ktr,keZ. b) (2x+l)(x+l)-(x2 +x+l)

3p

4. Numarul eerut este egal eu numarul submultimilor eu trei elemente ale multimii M 3p f'(x) =(x + 1)2

Aeesta este C: = 20 . 2pf'(x) = x

2+2~

2p5. Punetul A (0,3) se aflll pe prima dreapta. 2p •

(x+l)

\12.0+4.3-111 1 J5 - 3p c) 2

3pDistanta este d(A,d2)= ~ v'2O =10 f"(x) = (x+l)322 +42 ,

I 6. AC· AD = (AB + AD). AD = AB· AD + AD2 3p f"( x) < 0, "Ix e (-00, -I) , deeif este concava pe (-00, -1) . 2p

I

AB· AD = 1· 2· eos60o = 1I Ip 2.0) rIsin 2xl dx = rsin 2xdx - k sin 2xdx

2p

1. .

..

AC·AD=I+22 =5 Ip 2

...•1= -eos2x\I + eos2x\"

2p

'"Iac: SUBIECTUL alII-lea (30 de puncte)

I !:: 2 0 2 ~:I l.a) b a+b+e 2p

2

I ~ a c b c 1 b c IpQ

I 2u: c a b = a+b+c a b =(a+b+c) 1 a b I b) I = t fn(x)dx5. t ldx

3p

·'S b c a a+b+c c a 1 e a n X X

0(1 b c 3p t~dx=lnxJ:" =ln2

2pQ.~

1 b = a2 + b2 + c2 - ab - ae - be , de unde rezulta eonc1uzia0 a IpU 1 c a

c) t"ISin/ld• I I = t~ b) Observam ell x = O,y = l,z = 0 verifica sistemul.

n " IZ "

3prmlsin/l ['+2" Isin II 1"" Isin/ld

2p0(

Cum solutia este unica, aeeasta este solutia cautata,.. ~

ii2 2p I = c::.:.Jdt + c::.:.Jd1+ ..,+ I

'" c)n 1r t Ir+tr t nrr-Jr t

Q. a2 + b2 + c2 _ ab - ac - be = 0 ¢:} (a - b)2 + (a - C)2+ (c _ b)2 = 0 ¢:}2p Ip

~ 1 tr+tr 1 [+2"1 ~ 1 1"" I' ~I • ¢:}a=b=e

I > r ISin/f't+ ( ) sinr 1+"'+-2 - smr I

~n - ,,( n + 1) 1< " n + 2 1<+1< n" ns-«

v Sistemul are 0 infinitate de solutii de forma x = a,y = j3,z = 1- a - j3 . 2p IpIII Din £:+1)"[sm IJdI = 2, Vk e Z rezulta conc1uzia.'"Z Putem lua j3=i(-I+~1-4a2 -4a), eu 4a2 +4a-I5.0.

Ip10(

CD Iac:'" 2.a) a,b,c pot lua fieeare 4 valori 3p\no

c::i Avem 43 = 64 matriee. 2p n:;,•'" b)

Luam A=G ~J 3p:z::,

I V0(

1 Z0

I ac: det( A) = 2,det (A2) = 0 2p

jQ, I

Z

I 0( c)

x=(~ b) 2 (a2

b(a+c)]2p

~ =>X =

Ie 0 c2

• - I

II

302

Tema 4.2 Variante de subiecte propuse spre rezolvareTestul1Subiectull1. as +all =al +4r+al + lOr = 2al +14r =2(al + 7r) =2a

8• Deci a8 = 10.

2. (f 0 g)(x) = f(g(x» = 3g(x) + 2 = 2(2x + a) + 2 = 6x + 3a + 2 ~i (g 0 f)(x) = 6x + 4 + a . Rezulta ell

3a + 2 = a + 4, deci a = 1. 3. Pentru x> 0, avem 910113x= Xlog,9= x2, deci ecuatia se serie

2X2 = 8 ~ x2

= 4, deei x = 2, deoarece x> O. 4. Numarul submultimilor nevide este 2s - I '= 31.

Numarul submultimilor cu 2,3 sau 5 elemente este C; + C; + C; = 21. Probabilitatea este l!. .31

- - 2- - u·v 2+m '. . -. - .5. cos<J:(u,v) = I~I.I~I= I~I.I~I> 0, deci unghiul vectonlor U ~l v este ascupt.

6. sinx+ J3 COSX= 2 (.!.Sinx+ J3 cosx) = 2(SinX cosE.+sin E.cosx) = 2Sin(X + E.) < 22 2 3 3 3-'

Subiectulll

1.a)Fie A=(4 2).cum A2=(4 2)(4 2)=(12 6)=3A,rezultacliA EM-2 -I -2 -I -2 -I -6-3

b) Fie X = ( : !)EM. Dacli det(X) ~ 0, rezulta cli X e inversabila si, din X2 = 3X, rezulta

X = 3/z, deci a + d = 3 + 3 = 6. Dacli det(X) '= 0, atunci )(l = (a + d)X. Cum)(l = 3X rezulta cll(a + d)X = 3X, dacli (a + d- 3)X = O2.

Obtinem a + d-3 = 0 sauX= O2. Rezulta cli a+d= 3 saua+ d= 0, deci a+ d E {O, 3, 6}.

c) Daca X,Y EM, rezulta ca X2 + y2 = 3(X + Y). Cum X + Y EM, obtinem: (X + Y)2 = 3(X + y),

deci (X + Y)2 = X2 + y2. Rezulta X2 +y2 +xy + YX = X2 + y2, deci XY =-YX .

2. a) x*y=~=~=(.!.+.!.)-I, z, y E (0,00). Avem (x*y)*z=(.!.+.!.)_I*x+ y _+_ X Y X Y

X Y

- ( 1 1 1)-1 . ( 1 1)-1 ( 1 1 1)-1 . . .*z- -+-+- ~IX*(y*Z)=x* -+- = -+-+- ,decllegea,,*"esteasOClatlvli.x y z y z x y z

b) Dacli e E (0,00) ar fi element neutru allegii ,,*", atunci 1 * e = 1 deci _e_ = 1 de unde e = e + 1., e+1 '

Rezulta 0 = I, fals. Deci ,,*" nu are element neutru.

c) x * x * x * x = (.!. +.!. +.!. + .!.)-I = (.1)-1 =.:! . Ecuatia devine .:! = 5 , deci x = 20.xxxx x 4 4

Subiectullll

1.a) limf(x) =_1 ~i lim(f(x)+X)=lim(-!x2+2X+4-x)=lim 2x+4 =1 decidreapta.1'-+00 x .1'-+«1 .1'-+00 .1'-+00 .J x2 + 2x + 4 + x '

de ecuatie y = -.x + 1 este asimptota oblica spre +00.

b) f'( ) 2x + 2 2 x + 1 x + 1x I 2 - I 2 = I - 2 < 1- 2 = -I < 0 orieare ar fi x E JR,

2"x +2x+4 "x2+2x+4 ,,(X+I)2+3deci f este strict descresclitoare.

c) Fie g : R ~ R , g(x) = e' - x-I. Cum g'(x) = e' - 1 ~i g'(x) < 0 pentru x E (-00, 0) ~i

'(x) > 0 pentru x E (0, 00), din monotonia lui g rezulta cli g(x) > g(O), V'xE JR*, deci e"> x + I,

pentru orice x E JR*. Cumfeste strict descrescatoare. rezultli cli f(eX) < f(x + I), V'xE JR*.

Iff "f IIC "f X . " I "f x • xdx - " 1 X' I"2-11) II = eXcosxdx= (eX)'cosxdx=eXcosxo + e smx=-e - + e sm --e - +e smxo-o 0 0 0

, It I d . I eIC +1_ fex cosxdx = -e" -1- II . Rezulta cli 211= -e - , eCI 1 = --2- .o

I

" 1 " " "b) 11.1= feX cosxdx s ~eX cosxldx = feXlcosnxldx ~ fexdx = e' I~= eIC -I < 34 -I = 80, V'n E N*.o 0 0 0

, I" If ICIC sinnx eXsinnx x sinx I X'

c) Deoarece I. = fex(--) dx = -- - fe - dx = -- fe smnx dx, rezulta eli 11.1=o n n 0 0 n no

IIC I" I "I . I .::.!. fexsinnxdx ~.!.fexlsinnxldx~-feXdx~-(e" -I). Cum lim-=O,rezultacli Iim Z, =0.

n n n ,,-to;) n "-+00n 0 0 0

Testul2Subiectull1.Fie q ratia progresiei. Atunci al + a2 + a3 = al(l + q + l) ~i a4 + as + a6 = al(l + l + qS) = all(l +

aq3(I+q+l) . 3q + l). Obtinem 1 2 = 8 , deci q = 8, de unde q = 2.

al(l + q + q )

2. fe-x) = hi -x-3 = hi x+3 = hi(X-3)-1 = -Jn x-3 = -f(x) , V'xE Df

,decifeste imparli.-x+3 x-3 x+3 x+3

3.Sistemul de conditii {3X - 2 ~ 0 conduce la x E (-00, .!.J n [1, 00) = 0, deci ecuatia nu are solutii,1-2x~0 2 3

4. Dacli n ~ 5, rezultli ca n! + (n + I)! ~ 5! + 6! = 120 + 720 = 840, deci orice valoare a lui n careverifica ipoteza apartine multimii {O, 1,2,3, 4}. Daca n E {O, 1,2,3, 4}, atunci n! ~ (n_+ I) ~ 4! +-.?!= 24 + 120 < 840, deci solutiile sunt 0, I, 2, 3 ~i 4. 5. 3 ii- v = 3(21 - 3]) -(4i + j) = 2i -lOj .

• • _ 2 25 _ 144Atunci 13 ii-v I = )4+ 100 = J104 = 2m. 6. Din sm2x + cos2x = I, rezulta cos x = 1- 169 - 169 .

Cum XE(7r 37r) avem cosx<O,deci cosx=_ll.Rezultlicli tg.:!=~=-5., 2 ' 13 2 1+ cosx

Subiectulll

1. a) AB = ( 2 -I). (-I 3) = (-3 8) . Cum det(AB) = -5 ~ 0, rezulta ca AB este inversabila si-I 3 1 -2 4-9

-I 1 . 1(-9 -8) [~ ~l i(AB) = det(AB) .(AB) =-5 --4 -3 = ± 1. . ~

·55 u

~(

2 - x -1 + 3X) I) _ 2x2 7 + 6 _ 3x2b) A + xB = , deci det(A + xB) = (2x - 3)(x - 2) - (3x - I)(x - - - x ==

-I+x 3-2x ~

-3±J29 ==2

+ 4x - 1 = _x2 - 3x + 5. Avem det(A + xB) = 0 ~ ~ + 3x - 5 = 0 cu solutiile XI.2

•305

c) A + B = ( o n = 12 + E , unde E = ( ~ ~) . Cum E2 = O2 si h .E = E . h = E, rezulta din formUla

binomului lui Newton ca (A + Bt = (h + E)n = 12 + C~E = 12 + nE . Daca exista n eN cu (A + B)"h, rezulta ca h + nE = li. deci nE = O2• Rezulta n = 0, fals. ""1. a) Avem x * y = 3(x + I)(y + 1) - I, x, y e Z . Fie x, y e H, x = 3k + 2,y = 3p + 2, k, p e Z . Reca x * y = 3(3k+ 3)(3p + 3) -1 = 27(k+ 1)(P + 1)-1 = 3s -1 unde s = 9(k+ I)(P + 1).Cum x :Ul~3(s - I) + 2 ~i s - 1 e Z, rezulta cli x * Y E H. b) Daca legea ,,*" ar admite elementul neutru e eY""atunci 1 * e = 1, deci 6(e + I) - I = I, de unde 3(e + I) = 1. Rezulta cli 3 divide I fals Deci *" Z,

2 ' • "nu arelement neutru. c) Avem (x * x) * x = [3(x + I) - I] * x = 9(x + Ii - 1. Atunci (x * x) * x = 8 ~ 9 eI)3-1=8~(x+I)3=I~x=0. (x+-

SubiedullllI

1.a) Jim x/(1.) = lim x(e~ -I) = lim e~ -I = Jim eY -1= l.X~OO x .r-ecc x-+co 1 y-+O y

X

. g(x)-g(O) _. ~e' -I . (ii' -I . ffl' -1 1 . #b) lim - lim -- = lim l -- = lim l --. - = Jim l - = +00 Rezulta clix ..••0 x x ...•0 x x ..••0 Xl x ...•0 X x2 x ..••0 x2' g nu e

derivabila in 0 si g'(0) = 00.

11.-I 1.. -I 1.._ _ 1 1 1 1 1- en+ 2 + ... + n I+n- -+-+ ... +-= -'-- Cum

e e e e e2 en e 1-1. .e

uj c) j{-I) + j{-2) + ...+ j{-n) + n =a:....i::>Q lim 1.. = 0, rezulta ca Iimita ceruta este _1_

n ...•=e" e-I

'S I IICI.< 2. a) II = I ~ dx = ~ x2 + 1 = J2 -1.

0"x2+1 0::>o ~u b) Fie x e [0, 1].Atunci I ~"X2 + 1s J2 , deci _1_s __1_ s 1. Cum _I_xn <~ < x" pentru• J2 ~ x2 + 1 J2 - ~ x2 + I -::>Z I I

~ orice x E [0, 1], rezulta cli ~ Ix' dx ~ I. s Ix· dx. Cumw ,,20 0CI. concIuzia.~• II xn+J I 1 I Ia c) In+1= ~ 2 dx = Ixn ~ dx = Ixn (~X2 + I)' dx = xn~x2 + 11 - fnxn-l~x2 + I dx =

~ 0 x + 1 0" x2 + 1 0 0 0

~ = J2 - n fxn-I

~ dx = J2 - n R ~ + JT;Ixn-1J dx = J2 - n(l + I ). Cum Jim In+1= 0 ,

a: 0" x2 + 1 0 "x2 + 1 x2 + I n+1 n-I n...•coW

Q~ rezulta cli limn(ln+1 + In_I) = Iim(J2 - I ) = J2 .n-+oo a-ecc n+l

u.:•

I n+1/1IXn dx = ~ 1 rezultao x+lo=n+I'

•W

~ Testul3ZsQZ-e~

Subiectull

1.a) (1+ i)S = (1+ i)4. (1+ i) = (2i/(1 + i) = -4(1 + i) => Z =_3_2_ = __ 8_ = -4 + 4i => Rez = -4.-4(1 + i) (1+ i)

•306

cum Im/ = [- :a,oo)= [f( - :J,oo) = [1(2),00) = [a -4,00), rezulta a -4 = 3 ~ a = 7.__ 1_ ~ _I_sin x __ l-cosx = 1.~ sin(x -!!...) = 1.~ x -!!... e {(_l)k .s.+ ktrlk e z}

J.sinx-cosx- J2 J2 J2 2 4 2 4 6 .

ttezu1tlica mu1timea solutiilor ecuatiei este {(_I)k . ~ + % + k1+ e z}n [0, 2n") = {~; , ?;} .veoarecej{-I) = j{1) ~ij{-2) = j{2), rezulta cli numarul cerut este egal cu numarul functiilor de la

•• 1 2} in {l, 2, 3}, deci 33 = 27.to, Prelungim semidreapta (DC cu CC' = DC. ~ ACe Beste paraleIogram rezultli cli1s+ AC = 2 AM , unde M este rnijlocullui BC. Atunci 1AS + AC 1= 12 AM 1' unde M este mijlocul

luiBC. Atunci 1AB + AC 1=12 AM 1= 2AM = 2~1+~ =..Js.

S = AB . A C . sin A = 24../3 = 6../3 . Din teorema cosinusului rezulta cli Be- = AF + A e- - UB .•• ABC 2 4

. r;;. h 2 SASC 12J3 [3ACcosA=16+36-24=28,decl BC=2,,7 .Dbtinem A=~= 2J7 =6V"7·

Subledulll1 0 0

=(b-a)(c-a).1 1c2 +~c+a21 =1. a) det(A) = a b c = a b-a c-a

b2 +ab+a2al bl cl al bl _al cl _al

= (b - a)(c - a)(c2 + ac _b2 - ab) = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c) .

b) Dad rang(A) = 1 rezulta cli I: ~I= I: :I= 0 , daca b - a = c - a = 0, de unde a = b = c. Pentru

a = b = c, rezulta A = [ : : : ) . Cum top minorii de ordinul 2 sunt 0 ~iA "*03, rezulta rangA :: I.

al al al

c) Presupunem cli A-I are toate elementele intregi. Cum det(A)· det(A-I) = det(A- A-I) = detIJ = I si

detAeZ,rezultlicli detAe{-I.I}.Atuncic-b, c-a, b-ae {-I, 1}.Obpnema=bsaua::c

sau b = c deci det(A) = 0, fals.2. II) C~ e este solutia ecuatiei ~ - x + 1 = 0, rezulta cli e2 -e = -I, deci (ZI + e)(z2 + 1:) - I: == ZIz2+ EZI+ EZ2+ e2 - I: = ZIZ2 + EZI+ EZ2- 1 = ZI * Z2· .b) Fie G = C \ {- s} ~i Zt. Z2 e G. Cum ZI + &"*0, Z2 + &"*0 rezulta cli (ZI + &)(Z2+ &)"*0, deci ZI• Z2

E G. Rezulta ca ,,*" este lege bine definita pe G. Vom verifica axiomele grupului:• Avem (ZI * Z2) * Z3 = [(ZI + &)(Z2 + &)- s] * z3 = (ZI + &)(Z2 + &)(Z3 + &)- &~i~I * (Z2* :3) = zl ~ [~Z2++ &)(Z3+ &)- &]= (ZI + &)(Z2+ &)(Z3+ &)- e= (ZI * Z2) * z3, 'v'ZI, Z2, z3 e G, deci legea,,* e asoclattva. i• e e G este element neutru ~ Z * e = e * Z = z, 'v'z e G ~ (z + &)(e + &)- &= z, 'v'z e G ~~ (z + &)(e + &) = Z + e; 'v'z e G ~ e + e = 1 ~ e = 1 - e. Cum I - e e G, rezulta cli ~

e = 1 - seste elementul neutru allegii ••*". '" ( + ~(' + &\ &_ I e ~• Fie Z e G, Z este simetrizabil ~ 3 z' e G astfel incat Z * Z = Z • Z = e ~ Z &/Z / - - - ::::E..•.....( + ~\(z'+ &\= 1 Cum Z + I: "*0 rezulta cli z' = -& + _1_ e G , deoarece _1_"* 0 . Rezulta cli ~.•.•• Z e>/ / • Z + e Z + e ~

toate elementele G sunt simetrizabile.c) Avem H = {z eel jz + bj = I}. Fie Zh Z2 e H. Atunci l(zl * Z2) + bj = l(zl + &)(Z2 + &)- s+ lj = J(ZI •

30A

+ &)(Z2+ &)1= IZI+ bj IZ2+ bj = 1, deei ZI • Z2E H. Fie Z E H. Din punetul b) rezulta eli z' = -& +--L.Z+e'

de unde Iz' + &1= /_1_/ = -I _1_1 = 1 . Obtinem ca z' E H deei H este subgrup al lui G.Z+& Z+& '

SubiectullllI 1 _~-I _x2

1 0) f (x) = 1- r.-?- r.-? r.-? r.-? 'X E (-I, 1).• vl-x2 vI-x2 vl-x2 (vI-x2 +1)

Cumf'(x)!> 0, "Ix E (-1, 1) fjif' = 0 ~x = 0, rezulta eafeste strict descrescatoare pe (-1,1). Cum!este continua in I ~i-I, rezulta caf este strict descrescatoare pe [-I, I).

limf(x) =limx-ar~sinx. Aplicam teorema lui L'Hospital in cazul Qb) x-+o x3 x-+o X 0 Cum

f'(X). -I I zulta x 1·· <x 1lim-- = lim = -- re '" c•• imita cern", este -- ..--0 3x2 .--0 3~I- x2 (~I- x2 + I) 6 6

I

c) f"(x) = (- ~) = -( (1- x2rI/2)' = 1.. (1- x2r3/2 . (-2x) = ~. Rezulta ca f"(x) > 0vI-x2 2 (I_X2)3

pentru xE(-I,O) ~i f"(x)<O pentru xE(O,I). Cumfeste continua in 0, rezulta ca 0 este uniculpunct de inflexiune a graficului luif

In 2-x..• 2. 0) A = JI f(x) Idx. Cum --!> 1 pentru x E [0, I] rezulta ca fix) !>0 pentru x E [0, 1],~ 0 2+x!::~::::IQ

I I I I Ideci A = - ff(x) dx = flo(2 + x) dx - flo(2 - x) dx = fx11o(2 + x) dx - fx11o(2- x) dx =

o 0 0 0 0

~ I f' xdx I f' xdx If (1 1) I 4x>c =xlo(2+x)lo- ---xlo(2-x)lo+ --=103+ x ----- dx=103+ f-2-dx=..J ox+2 ox-2 0 x-2 x+2 oX -4~::::I =103+21o/x2-4/1' =103+2101=1027.o 0 4 16U

;; b) Cum fe-x) = 102 + x = 1o( 2 - X)-I = -10 2 - x = - f(x) , "Ix E (-2, 2), rezulta ca f este impara,~ 2-x 2+x 2+x~..,CL

~.I

deci ff(x)dx=O .-I

::::I:,( c) Aplicand teorema lui L'Hospital in cazul 0~ 0i 10(1+ -2X)~ = lim 2 + x .--=.L = -1. . Deci Iimita ceruta este _1..c:i x-+o _~ 2+x 2 2

2+x

102-xlim f(x) = lim~ =x-+o 2x x-+o 2x

obtinem

•..,is~ Testul4iQZoc~

•

Subiectull1. Cum 2 = IOg24< lo~5 < log28 = 3 < IOg29< log2I6 = 4, rezulta ca multimea data are un singer

element, x = 3. 2. Avem Y E Imf ~ 3 x E lR astfel ineat +-= Y ~ ecuatia y~ - x + Y = 0 arex +1

308

solutii reale ~ d ~ 0 ~ I - 4i ~ 0 -ee- Y E [ -~' ~J' deei Imj" = [ -~' ~J.3 Avem succesiv· sinxeosx =1. ~ 2sinxcosx = 1. ~ sin2x =1. ee- 2x E {(-I/ !!:.+k1r 1 k Ez} deci• . 4 2 2 6 '

X E {(-It.!!:.. + k1r 1 k E Z}. Cum X E [0, 21t), obtinem solutiile {.!!:..,51r, 131r, 171r}.12 2 12 12 12 12

4. Numarul numerelor naturale de 4 eifre este 9 . 103, iar eel al multiplilor de 5 din aeeastli multime

este 9· I~· 2. Probabilitatea este t· 5. Avem BA(3,2) ~i BC(-2,3). Cum BA.BC=-6+6=0,

rezultli cos(ABC)= O. 6. Fie AB = 2c, A C = 2b, BC = 2a. Atunei R = a si r = §... = 2bc . Avem:p a+b+c

) 2( 2bc )_2a2+ab+ac+2bc -2 b2+c2+ab+ac+2bc (b+c)2+a(b+c)2(R+r = a+ a+b+c - a+b+c - a+b+c =2 a+b+c =

=2(b+c)=AB+AC.

Subiectulll1. 0) det(A)= O.Cum A "* O2rezulta ea rang(A) = 1.

b) A2 = ( 4 6 J = A. Vom demonstra prin inductie ea An = A, "In ~ 1. Cum P(l) ~i P(2) sunt-2 -3adevarate, presupunem ca An = A. Atunei An+1= An . A = A . A = A2 = A, deei Pen) este adevarata "In ~1. in eoncluzie A2012 = A.

c) Cum 12 . (3A) = (3A) . h, folosind binomul lui Newton obtinem (12+ 3A)" =

= ~C: .i;' .(3A)k = 12+ t.C: ·3k ·A=12 +A(l+ t.C:3k -IJ= 12+ A[(l+ 3)" -1]=

=12 +(4n -I)A .

2.0) Fie (a, b) fji(x,y) E G. Atunei (a, b) • (x, y) = (ax + 2by, ay + bx). Cum a = ax + 2bY2E z, 13 = ay

+ bx E Z ~ia2- 2/32= (ax + 2by)2 - 2(ay + bxi = tl~ + 4blj - My - 2b2~ = (tl- 2b )(~ - 2y) =1·1= 1 rezulta ea (a, b) • (x, y) E G. Cum (1, 0) E G rezulta ea G"* 0 ~ide aiei concluzia.b) Din punetul a) rezulta ca "." este lege pe G. Cum (a, b) • (1, 0) = (a, b) = (1,0) • (a, b), V(a, b) EG, rezulta ell "." are pe G elementulneutru (1, 0). c) Fie XI = (3, 2). Cum 9 - 2·4 = 1 rezultliell XI E G.NotaroCUX2=XI • Xl>X3 =X2 • XI ~iinduetivXn+1=xn• XI. Cum"." este legepe G rezultaellxn E G, V~ ~ 1.Dacax, = (am bn), atunei eumxn+1 = (am bn). (3,2) = (3an + 4bm 2an + 3bn) rezultaell an+1= 3an + 4bn ~I bn+~= 2an + 3bn. Cum al = 3, b, = 2, rezultliell am On E III ., "In ~ 1 ~ian+1> a". Rezultax; "* Xm "In "* m, decimultimea {x, 1 n E III .} este infinitli.

Subiectullll1. 0) Fie A punetul de pe grafieul lui f, de abseisa 3. Cum f(3) = 27 + 1 = 28, rezulta ea A are

eoordonatele (3, 28). Cum f'ex) = 3X2 +t ~i f'(3) = 27 + ~ = 832, rezulta ea ecuatia tangentei in A

este Y - 28 = 82 (x - 3). Deci, ecuatia tangentei este 82x - 3y -162 = o .3

.~ 4x'+~ ~r+~ r+!b) Avem lim iflR) - {d(O) lim 3 = lim k ~ = lim k ~ = -tOO, deoarece k -1 este

x~o x x~o X x~o X x~o xnumar par; rezulta ca g'(0) = 00, deei g nu e derivabila in O.

c) Deoareee f'ex) = 3x2 + 1.> 0 "Ix E lR , rezulta ea f este strict crescatoare, Aratlim prin induetie ea3

3

sirul (x.).>! este strict crescator, Avem x = 1+1> Xo = 1. Presupunem cA x. > Xn-I' Cumfeste strict, 3crescatoare, rezulta cAj{x.) > j{Xn-I), deci Xn+1> x •. Dad (x.). e rnarginit, atuoci x. ~ / e lR . CUIll

X.+I= x~+ ~. , rezulta cA / = /3 + f <=>3/3 = 21 <=> 1e { -~, 0, ~}. Deoarece (x.). este strict

crescator, rezulta cli x; < I, "In eN, deci x. < ~ < 1 , "In ~ 0, fals. Deci (x.). este nemarginit ~i fiind

erescator, rezulta cli lim x. = 00..--I I I II2. a) II = fx. '"x2 + I dx = .!. f2x'" x2 + I dx =.!. f(x2 + 1)1/2.(x2 + I)' dx = .!.(X2 + 1)3/2 = .!.(2.J2 -1).o 20 20 3 0 3

I I

b) Cum 1.+1- I. = f(x·+I", x2 + 1 - x·'" x2 + I) dx = fx·'" x2 + 1 (x -I) dx:5:0, deoarece x'''' x2 + I ~0o 0

~i x -1:5: 0, "Ix e [0,1], rezulta cli sirul (1.).>1 este descrescator, deci marginit superior. Cum

x''''x2 +1 ~O, ("I)xe[O,I] rezulta cliI.~ 0, "In ~ 1, deci sirul (1.). este marginit,

I .+1 II .J2c) Cum 0:5:x·"'x2 + 1:5:.J2 x·, "Ix e [0,1], "In e N*, avem 0:5:I. :5:f.J2x· dx =.J2 ~ =_2_

o n+1 0 n+1

Cum lim .J2 = 0, din teorema clestelui rezulta cli lim J, = O.n-tao n + 1 n-tcc...•

1&1II:...i:>Qu.:•

TestulS

Subiedull~ 1. a) Avem z+i elR <=> a+(b+l)i eR <=> [a+(b+l)i](1-b-ai) elR <=>(b + 1)(1 - b) -A. I+iz I-b+ai (l_b)2+a2:>U -Q2 = 0 <=>cl + b2 = I, undez = a + bi. Obtinem izl2= I, deci Izl= 1.

Y 2. f = rl <=>(f 0 f)(x) =x, "Ix e lR <=>f(x+a) =X <=>x+a+a = x, Vxe lR, de unde a = O.

i J. Ecuatia se scrie sinx = I - 2 sin2x <=>2sin2x + sinx - I = 0 <=>(2sinx - I)(sinx + I) = 0 <=>C~ <=>sin x = ~ sau siox = -1, deci x e {(-V ~ + kx Ik e Z} u{3; + 2k1l" Ik e Z} .~ 4. Numarul numerelor naturale de trei cifre este 900, iar numarul celor cu toate cele trei cifre pare este;; 100. Deci numarul cerut este 800.

~ 1-3a+ll la+21~ 5. d(PA) = JlO ,iar d(P,d2) = ~ . Atunci d(P, d,) = d(P, d2) <=>1-3a + II = la + 21<=>-

00( 10 ,,10CDII: 1 3. {I 3}1&1 3a+l=a+2sau-3a+l=-a-2<=> a=-- sau a=-.Decl ae -- - . 'II!' 4 2 4'2o~ 6. Avem .J3 = AB· AC ·sinA <=>AC = !i = 2, deci triunghiulABC este echilateral. RezultliBC= 2.u 2 smA

~QZC~

•

Sublectul "

. II 21 .1. a) Cum Be M2•3(1C) ~l tlp = 0 2 = 2 * 0, rezulta cli rangul lui Beste 2, "1m e lR .

(1 -2) IIb) AB = . Atunci det(AB) = II + 2m . Rezulta cli m = -- .2+m 7 2

10

e) Fie X = (a b) ; X· A = (1 2 8) <=>a + 2b = 1,b = 2, - 2a + b =8 <=>a = -3, b = 2::::)X = (-3 2).

J.a) Avem e * x = x, "Ix e R <=>ex+ae+x=x,("I)xelR<=>e(x+a)=O, ("I)xelR <=>e = O. Deci

siogurul numar cu proprietatea din enunt este O.b) Legea ,,*" are element neutru <=>3ee lR astfel tncat x * e = e * x = x, "Ix e lR <=>xe + ax + e = x ~i ex+ ae + x = x, "Ix e lR <=>x(e + a - I)+ e = 0 ~i ex + ae = 0 "Ix e lR <=>e= 0 si e + a - I = 0 <=>a = 1.e) Pentru a = 1 avem x * y = xy + x + y = (x + 1)(y + 1) - 1. Atunci (x * x) * (x * x) = 15 <=>~ «X + 1)2 _ I) * «x + 1)2 - I) = 15 <=>(x + 1)4 - 1 = 15 <=>(x + 1)4 = 16 <=>x + I = 2 sau

x+ I =-2, deci x = 1 saux = -3.

subiectulllltgx -1

. f(x)- f(O) . x Ii tgx-x . • 01 a) lim = lim--- = m--2-· Aphcand teorema lui l'Hospital cazul - obtinem:• .1'-+0 x x-+o X .1'-+(1) X ' 0 ' .

1_-I 2 2cos2 X • I- cos x . sin x . sin x .lim lim 2 = lim 2 2 = lim-- = 0 , decij" este derivabila In 0 ~if'(O) = o.x-+o 2x x-+o 2x cos x x-+o X cos x x-+o 2

_X__ tgxb)Pentru xe(o,E.) avem f'(x) COS

2X2 x-~inx~osx= 2x-sin2x.

2 x x cos X 2X2cos' x

Fie g:(O,~) ~lR, g(x) = 2x - sin 2x. Cum g(x) = 2 - 2cos 2x = 2(1- cos2x) > 0, "Ixe(o,~),

rezulta ca g este strict crescatoare pe (0, E.), deci g(x) > limg(t) = 0, "Ix e (0, E.). Cumf'(x) > 0 ,2 ,'>0 2

'Ix e (0, ~) ~if'(O) = 0 rezulta clifeste strict crescatoare pe [0, ~ ), deci este injectivli. Deoarecej(O)

= I ~i lim f(x) =00 ,dincontinuitatea luifrezultlicli Imf= [1, 00), decifeste surjectiva.X-+1f12

c) Cum limf(x) =00 ~ifeste continua si inversabilli rezulta lim r' (x) =E.. Atunci limr'(n) = E.,.l'-+~ .l'-+ao 2 n-tCXl 2

2

deci lim x. = E. ..-+00 2

,, K x2 ) x2 I' e x2 I e2

I' e2

x2 I' I+ e

22.a) II = fXln dx= - lnxdx=-lnx - f-·-dx= --- fxdx= --- =--

I 12 2 1.2 x 2 2. 2 4 I 4

,b) 1.+, _ I. = fXln' x(lnx -1) dx:5:0, "In e N* ,deoarece 0:5: lox:5: 1, "Ix e [1, e]. Rezulta cli (1.)•.,1este

I

descrescator, deci marginit superior. Cum xln" x ~ 0, "Ix e [1, e], obtinem I. ~ 0, "In ~ 1, deci sirul

(1.).>1 este marginit.

o '~ 2)' 2 I" 2 2 ec) 1.+1= fXln·+1 xdx = ~ In·+lxdx=~ln·+IX - f~·(n+l)ln'x . .!.dx=~_0JXln'Xdx=

I 12 2, 12 x 2 2,

= e2 _ n + 1I deci I = ~ __ 2_. I . Cum sirul (I) este mlirginit si lim.-L = 0 , rezultli cli2 2' , • n + 1 n + 1 .+, • • .-+00 n +1

lim J, =0.,-+00

Testul6

Subiectull

1. Avem [X; I] = 3 <=>3 :5:x; 1 < 4 ee- 5 :5:x < 7 ~ A = [5,7) (\ Z = {5,6} , deci A are doua elemente.

2. Fie y e [2, 00). Atuneij{x) = y <=>Xl - 2x + 3 = y <=>Xl - 2x + 3 - y = O. Cum !:1 = 4y - 8~ 0, rezulta

ea x = 1± Jy -2. Cum x e [1,00) obtinem r'i» = 1+ Jy-2 . Ca unnare, inversa funetieifeste

r:' : [2, 00) ~ [I, 00), rl(x) = I +.Jx - 2. 3. Ecuatia se serie arccos x + 2ft = ft <=>arccos x =!£ ==>3 3

=> x = cosE. <=>x = 1. . 4. Numarul submultimilor lui A este 2s = 32, iar numarul submultimilor care3 2

contin elementul I este egal eu numarul submultimilor lui B = {2,3,4,5} , adica 24 = 16. Probabilitatea

ceruta este 1. . 5. Cum A e d, rezulta ea 2 + 2a = 4, deei a = I. Din A e d2 rezulta ea b = I - 2 =-12 .

t 4 eosx sinx 4- eos2 x-sin2 x 4- 2eos2x 4- t 2 2 t 16. ctgx- gx= <=>-.----= """. = """-.--= """eg X= <=>gx=-.smx eosx smxeosx sm2x 2

Subiedulll1.a) Inversiunile lui o sunt (2,5), (3, 5) ~i (4, 5).

(I 2 3 4 5) (I 2 3 4 5) 4 (I 2 3 4 5)...I b) Avem a2 = , a3 = ~i a = =e. Fie k.c e Z

III 14523 15234 12345a:::i ~i r e {O, 1,2, 3} astfel ineatk=4c + r. Atunei at =a4c+

r = (a4)" -a' =ar

, deeiA = {e, cr,~, cr3}.

g in eonc1uzie, A are 4 elemente.~ c) Presupunem ea (j't = to. Atunei (ar)(l) = (Ta)(I) => a(T(I» = T(a(l» => a(i) = T(l) => a(i) = i ,fals•~ pentru ea singurul punet fix allui 't este I, iar i~2.

~ 2.a) De exemplu, x= y = -~20212 . Atunci x' =l =-1006 si x* y = ~X3 + l + 2012 =0 eN.Uu b) Din enunt, ,,*" este lege pe JR. Pentru asoeiativitate, fie x, y, z e JR si avem·:>zCCii2IIIQ.

~ neutru al legii ,,*". Fie x e JR ; din x * x' = x'* X = e se obtine x' = -</4024 + x3 e JR , deei toate

a elementele lui JR sunt simetrizabile. Ca unnare, (JR, *) este grup.VIIIIZ<~a:::III

"'"c:i

(x* y) = z' = ~X3 + l +2012 *z = ~X3 + l +Z3 +4024 =x*(y*z) .

Deoareee x* V-2012 = V-2012 *x = </x3 -2012+ 2012 = x rezulta ea e = --ifi012 este elementul

c) Fie f: (JR, +) ~ (JR, *), f(x)=Vx-2012. Cum f(x)*f(Y)=Vx-2012*</y-2012='

</x + Y - 2012 = f(x + y), '<Ix,y e lR ~ifeste bijectiva, rezulta clifeste izomorfism.

·III::t:UCCZoa:::QZCC~

Subiectullll

j

Inx ( jlnX-1--, xe 0, I) --2 -, xe (0, I)1. a) Deoareee f(x) = x avem f'(x) = x , deei f este derivabila pe

Inx () I-Inx-, xe 1,00 --, xe(l,oo)x x

(0,00)\ {I} . Cum limf(x)=O=f(I), rezulta eafeste continua in Xo = 1. Aplicam eorolarulluix-e l

Lagrangqi obtinem limf'(x) = -I, deci f;(1) = -I si limf'(x) = I, deei f;(1) = 1. Rezulta eafnu ex/'I x'>.l•

312

derivabila in Xo = 1. . .,. . ..b) punetele de extrem ale luifsunt 1~l e, asa cum se observa din tabloul de vanape al luij de mal JOS:

x Ole +00

f'(x)

o1+++ 0 -----

I(x)

C,I Deoarece limf(x) = 00,j{l) = 0, f(e) = 1. si limf(x) = 0, din eontinuitatea luifrezultli ell ecuatia., x-+o e x-+oo

j(x) =' m are trei solutii reale <=>m e ( 0, ~) .

o I 2x I2.11) A = II f(x) Idr . Cum f(x) = eX- eX = e e: < 0 pentru x e [-1,0], rezulta ell Ij{x) I = --:f{x),

-I

o 0'Vx e [-1,0], deei A = I(e-X _eX) dr = -(e-x + e") LI = e-I +e-2 .

-\

b) Fie F 0 primitiva a luif Atunei F "(x) = f'(x) = e' + e-x > 0, '<Ixe JR, deei F este functie convexa.I f(x) X -x 2x I 2x

c) Cu teorema lui L'Hospital : lim2" rf(t fit = lim-- = lim~ = lim ~ = lim~ = 1.x-+o x.b x-+o 2x .-+0 2x x-+o 2x· e' x-+o 2x

Testul7Subiedull1.Avem (l + .J2){2012 +.J2} = (1 + .J2){.J2} = (I + .J2)(.J2 - [.J2]) = (1+ .J2)(.J2 -I) = 1eN.

2. Deoareee j{1 - x) = j{1 + x) ~i j{2 - x) = j{2 + x), '<Ix e JR rezulta ea j{x + 2) = j{2 - x) = j{1 -

- (x - I» = j{1 + x - I) = j{x), '<Ix e JR, deei f este periodica, de perioada 2. 3. Ecuatia se serie

cos! x - sin" X = 1. <=>cos 2x = 1. . Cum X e [0, E.] => 2x e [0, ft] ,deei 2x = E. . Rezulta x = E. .2 2 2 3 6

4. Pentru k ~ 2 avem ~ = _5_! - = 5·4· ... · (6 - k), care este numar par. Cum ~ = 1 ~i ~ = 5 ,(5-k)!

probabilitatea ceruta este 1= 1. 5. Avem 2 AM - 2BN = AS + A C- (BA + BC) =6 3

2 AB+ AC +CB = 2AB + AS =3AB. 6. Cum X -If, ft), avem eosx < O. Din cos" x+sin2 x = 1

rezulta eosx = -.JI- sin" x = _~I_ 25 = _11.Atunei etg 2x = eos2x = eos2

x - sin2

x = _ill.169 13 sin2x 2sinxeosx 120

Subiectulll1.a)detA(m)=-3m2-m+1. ib) detA(m) = 0 <=>3m2 + m - 1 = 0 <=>me { -1-6.Jl3 , -1 +6.Jl3} . Cum me Q ,rezulta detA(m)"* 0, ~

""deci A(m) este inversabila, pentru oriee me Q. Cl

oj ACO) =[~ : =:J=1, +B. unde B=[~ ~ ~~} D~, B' =[~ ~ -n si B' =0,. !31

rezulta ell B* =0) pentru one ke 2 3. Tinand eont ell h.B = B . Is, avem:

(A(O»" = (13 +B)" = 13 + C~B + C;B2 = I) +nB + n(n2-1) .B2 =[~ ~n -n~:2nJ.

o 0 II

2.0bservlim eli putem serie X. Y = x2iog,y _ Ioa.y (91no~ -r- I- X = -.. = 9 og,'-Iog,ya) • -I 910a.•1089Y .

X Y - ¢> = 1¢> log9 X -Iog, Y = 0 ¢> log, X = 0 sau log y = 0 ¢> _ 1b) Cum X. -9Iog,.Jos,y 0 9 x- sauy: 1

y - > ,\Ix, y > 0, din punctul a) rezultli cli X. Y E (0 co \ Ix, Y E (0, oo] \ {I}, deci "." este lege de compozipe bine defi .tli _' ) { } pentru oncecontinuare axiomele grupului. uu pe G - (0, co) \ {I}. VerifiCli!n '

• Asociativitatea: pentru orice x y Z E (0 co] \ {I} ( IQ" , avem x· y).z=x.(Y.z) d, eoarece:

(x. y). z = 9log,x-log, Y • z: 9Jos,(9•.••~··9Y)-Jos,z= 91og,.-log,y-log,z

oi x. (y. z) = X. 910g.y-log.z_ 910g,.-"'-'(9"'.,..•.••') I Iy - - =9OS'~OS'~Jos,z

• Existenta elementului neutru: Cum x. 9 - 91og,·-10899 .( - = X ~I 9. x = 91og,9-log,x_

X E 0,<Xl)\ {I} .rezulta cli 9 este element neutru allegii ".". - x, pentru once

• Simetrizabilitatea elementelor: Fie x E (0 co] \ {I} Cum I I

, . x·x =x.x=e¢>91og,.-Iog,.,I :9¢>

•.•• ¢> (X,)log•• = 9 ¢> x' = 91089'- 9108,9! - E (0, co) \ {I}, rezulta cli toate elementele din G sunt simetrizabile

i c) x· x· x = 3 ¢> 9~' = 3 ¢> log3 x-I I I,J,. .~ 9 - - ¢> og9 X = - ¢> x = 9<12Q 2 ~u: Subiectullll•

'S 1.a) f'(x)=l_~= (x-I)2 >0 \I~ x (z +I)! x(x+Ii-' XE[I,<Xl).Cum!'(x)=O¢>x=I,reZUltliclifestestriet5 cresclitoare pe [I , co),

; b) ~f(x) = <Xl,deci graficul lui f nu are asimptota orizontalli spre +co, Cum m = Jim f(x) = 0,

~ rezulta cli graficulluifnu are asimptota oblicli spre +<Xl. >-+00 X

~ c) Din punctul a) rezulta clIj{x) >j{I) = 0 \Ix E (I ) d . 1 In x-I~ , , <Xl, eCI"2 x> --I' \Ix E (1, co), Rezulta eli• x x+

--1a IIn.:!.>~_X-y .11\ 2 y x - --, pentru once x y E (0 co) A 1 k + 1 1w _ + I x + Y " ,x > y . tunci - In -- > -- \I k > 1 deei~ y 2 k 2k+I' -,III

ffi If k+I • I •d 2 hi In-k-> t;2k+I ,de unde t+t + ... + 2nl+1 <tIn (rrk+IJ=IIn(n+I).• hi k 2

~ 2. a) Aria suprafetei este ~ f(x) Idx = f dx. = f . e' • dx = j~ = err.! __ 1_) dt ==

~ _ e. 0 0 1+ e 0 e (I + e ) I 1(1+ 1) IlI 1+1~ =Inr II - In(1+ I) II = Ine- In(e+ 1)+ In2 = In~Z I e+I'CC b) I 2 Of I I

:E _IX f(x)dx= _lx2f(X)dx+ /X2f(X)dx= fI2f(-/)dt+ IX2f(X)dx= Ix2(f(-X)+ f(x»dx=

000•314

(e' 1) If 2 x311 1-----;+--. dx= x dx=- =-.l+e l+e 0 3 0 3

I I I 2.+1 II 1 Iem fx2'f(x)= fx2'(f(-x)+ f(x»dx= fx2• dx== _x_ =--. Deci limn fx2'f(x)dx=

v _I 0 0 2n + 1 0 2n + 1 .-+00 _I

1. ~=-."~2n+l 2

festul8Sllbiectull .. . _ _

Ecuatia zZZ + z + 2 = 0 are solutiile z ~I z . Cum z- z = 1 , rezulta cli 1z12 = 1, deci Izl = 1.i. Daca a * 0, atunci f este functie de gradul II care nu este functie monotonli. Pentru a = 0,p> = 2x + 3, decif este strict crescatoare.

J.Ecuatiasescrie (~r-3(~J +2=0 ¢> ((~J -IJ((~J -2J=0¢>(~J =1 sau (~J =2,

cicci solutii1e sunt XI= 0 si X2= Iog2l32.

•• Numlirul functiilor strict monotone este 2 C;. Atunci 2 C; = 20 ¢> C; = 10 ¢> n(n - 1) =

=20, deci n = 5.I. Fie M( a, ~) piciorul perpendicularei din A pe dreapta d : x - 2y + 5 = O. Cum md . mAM = -1 rezulta

P.::l=-2, deci 2a + ~ = 4. Cum ME davem a-2~ =-5, de unde a =1 ~i p= 14. DacliA' estea-I 5 5

simetricullui A fata de dreapta d, atunci xA' = 2a - xA = 1 ~i YA' = 2P - YA = ~ ,deci A' (1,~) .5 5 5 5

•• Presupunem cli triunghiul este dreptunghic in A. Atunci BC = 2R 12 ~i AC = 6. Cum

AD = "/144 - 36 = 6~ , rezulta cli perimetrul MBC este 18 + if3 .

Subiectulll1.1l) Inversiunile lui a sunt (1,2), (1, 3) ~i(2, 3). Cum m( a) = 3, rezultli cli a este pennutare impara,b) E(f(x)t.= 1 ¢> e(ax) = 1 ¢> e(a) . e(x) = 1 ¢> e(x) = -1 ceea ce demonstreazli echivalenta din enunt,c) Avemj{x) =./fy) ~ ax = cry ~ x = y, decif este functie injectivli. Fie p numarul permutlirilor paredin S. ~i q numarul celor impare. Deoarece f este injectivli ~i duce orice permutare para in una impara,rezulta cli p ~ q. Cum f este injectivli ~i duce orice permutare impara in una para, rezulta q ~ p.

Obtinem p = q = 24 = 12 . Deci oricum iamultim permutarile din S. obtinem 0 permutare para, deci2

produsul este diferit de a.

2. 8) Notand E = [~ ~ ~l~i F = [ ~ ~ ~ 1' avem A(x) = E + xF . Cum E2 = E, F2 = 2F ~i

o 0 1 -1 0 -2EF = FE = F, avem A(x)·A(y) = (E +xF)(E + yF) = E +(x+ y+2xy)F = A(2xy+x+ y), care

aPartine lui G, deoarece 2xy +x+ Y = 2( x+1)(Y +1) -t * -1, pentru orice X,Y * -t·

b) Din punctul a) inmultirea matricelor este lege pe G. Inmultirea matricelor este asociativli si A(x) .

A(O) = A(O) . A(x) = A(x), deci A(O) E G este element neutru. Fie x E lR \ {-1} ; atunci A(x) este

sirnetrizabila daca si numai daca exista x' E R \ {-1} astfel indit A(x)· A(x') = A(x')' A(x) = A(O) ¢>

3

<=> A(2xx'+ X + x') = A(O) <=> x'(2x + I) = -x <=> x' = __ x_ E JR\ {-!}. Deci, A (x) este2x + 1 2 elellle III

simetrizabil in G si (A(x»)' = A ( __ X_) .2x+1

c) Avem f(x)· f(y) = A( E=!)A (L=!)= A(2(~-!+!)(~-!+1..)_1..)_ (XY-I). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - A -2- = I(X)!) ,

oncare ar fi X,Y E JR., decifeste morfism.

Injectivitatea: daca X,YEJR· astfel locat f(x)=f(y)~A(X-I)=A(Y-I)~ x-I = y-I2 2 2 2 ==>x=Y.

Surjectivitatea: Fie A E G. Atunci exista x E JR\ {_1..} astfi I" " A2 e meat = A(x). Cum 2x + I .

f (2x+I-I) "* 0 ~I

(2x + I) = A 2 = A(x) = A , decif este surjectivli. in consecinta.j" este izomorfism.

Subiedullll1.a) Cum x > 0, avem.f{x) = Inx-ln(x + I), deci f'(x) =1.. __ 1_=_1_ > 0 V

x x + I x(x + I) ,x E (0,00). Rezulta

clif este strict crescatoare,

b) limxf(x)=limlnx-ln(x+l)••.• "" ••.• co I Aplicam teorema lui L'Hospital in cazul 0 Cumo....•

11.1acl-

i:;)0~·~CA.:;)0u·:;)Z-eii11.1A.

~•:;)vIII11.1Zocr:IDac11.1

""ci·11.1:z::v-ez0ac0z-e~

•316

L

xI

lim x(x + I) . x•...•0--1- = - hm --I ,rezultli cli limita ceruta este -I

__ X-+CDX+ •

x2

c) Fie x> O. Din teorema lui Lagrange aplicata functiei g: [x, x + I] --+ R, g(t) = lnt rezulta ca

3 e E (x, x + I) astfel incat In(x + I) -lnx = g'(e) = 1..E (_1_, 1..). Atunci In~ E (_1.. __ 1_)e x+J x x+1 x' z +] '

deci -1.. < f(x) < __ 1_.x z +]

I I

2. a) I = Ix2sinxdx-Ix2( )'dx 2 II II r10 -0 -cosx =-xCosxo+20xeosxdx=-cOSI+2·1x(Sinx)'dx:=

= +cos l + 2xsinxl~ - 2 £ sinxdx: = - cosl + 2sinl + 2eosxl~ = 2sinl + eosl- 2.

b) Avem 0 s sinx s sin I < sin~ =.Jj "Ix E [0 I] deci 0 < II 2n· dx < II.Jj 2n '3 x2n+1II3 2' " - x smx - -x dx=_V_;}.__ ::r: 0 0 2 2 2n+1 0

_ '13 . ,- 4n + 2 ,pentru once n EN.

R 'c) I = x2n+I). dx x2n+l. I IIX2n+1 I I

n 02n+1 smx =2n+lsmxlo- 2n+leosxdx=-2 Isinl-_I-Ix2n+lcosxdx.o n+ 2n+1

I I 0

Cum 0 < I 2n+1 dx I 2n+1 I I- X cosx ~ x dx = -- rezulta cli li I 2n+1 dxo 0 2n+2' n~ X cosx . Atunci,o

n InIn=--sinl-_n-I2n+1 dx . I2n + I 2 I x cosx ,rezultli ca lim n In = -sin 1.n+ 0 •...•"" 2

din

estul9S&lbledull1. Avem I + 3 + 5 + ...+ (2n + I) = ~:C2k + I) = 2 :tk + :tl = n(n + I) + n + I = (n + Ii. Relatia din

t=o t=O t=o

enunt devine (n + Ii = 625 <=> n + I = 25 <=> n = 24.J.Avem.f{x) =~(~ - 2) + 3. Cum f(O) = f(.fi) = 3, rezulta clifnu este injectivli.

. . l+cos2x l+cos4xJ. Eeuatta este echivalenta cu 2 + 2 1 <=> eos2x + cos4x = 0 <=>

-",,3x . cosr = 0 <=> cos3x = 0 sau cosx = O. Cum cos3x = 0, x E [0, 1t] <=> 3x E {~ 37r 57r} <=>""" 2' 2 ' 2

(::) X E {~,~, 57r} ,iar cosr = 0, x E [0, n] <=> X = ~, rezulta ca solutiile sunt x E {~ ~ 57r}.6 2 6 2 6' 2' 6

4. Numlirul total de functii este 53, iar numarul de functii pentru care .f{1) = .f{2) este 52. Rezulta cli

numlirul cerut este 53 - 52 = 100.5. Cum Ii ~i v sunt coliniari, rezulta cli 2 = m ,deci m = 10. Atunci5

I v I :: .J4 + m2 = = J104 = 256 . 6. Fie I latura triunghiului echilateral. Din teorema sinusului

rezultli cli I = 2R sin ~ =.Jj . Deci S = L= 3.Jj .3 4R 4

Subiedul"

1. (I) Fie X = [-~ -~J.Atunci 2X2 = [-~ ~J'de unde 2X2 + X + 12 = O2, deci X E M.1 0 -I -I

b) Avem A EM<=> 2A2 + A = -lz <=> A(2A + lz) = -12• Rezulta det(A) . det(2A + lz) = I, deei det(A) *- o.in consecinta, A este inversabilli.

c) A EM<=> A2 + 1..A + 1..12= O2. Din teorema lui Hamilton-Cayley este suficient sa gasim 0

2 2

infinitate de matrice A = (a b) E M2(lR) cu a + d = -1.. ~i ad - be = 1... Alegem, de exemplu

e d 2 2

a = -1.. , d = 0, b E JR' ~i c = _1-. . Matricele (-~ bJ ' cu b E JR', apartin lui M.2 2b _1-. 0

2b

2. (I) Avem er2 = (I 2 3 4) = e , deci ordinullui o este 2.1 2 3 4

b) Fie 't., 't2 E H. Cum e('t1't2) = e('tl) . e('t2) = I, rezulta cli 't1't2 este para, deei 't1't2 E H. Fiet E H. Cum e(e) = e('t . 't-I) = e('t)· e('t-I) =e('t-I) rezulta cli e('t-I) = e(e) = I, deci 't-I este para, de unde

't-I E H. Deci H este subgrup al grupului S4·

c) Fie f: S4 --+ S4 un morfism de grupuri. Dacli f(er) = G

=/(cr) = G ~ !~J=G !~:).fals.Deci f(er)*-G ~ !~).2 3 4) atunci e = .f{e) = .f{if) =3 4 2 '

Subiedul III

1. a) limf(x) = lim x + I. XIn(I +.!.) = lim x + I In(I +.1)X = I . Ine = I, deci dreapta y = I estex-+oo X-JoOO X X x-+oo X x

asimptota orizontala spre +00.

b) f'(x) = In(1 +.1)_.1, x e (0,00). Cum f"(x) =_I __ .1+~ = 2 1 > 0, Vx e (0,00) rezul"x x x + I x x x (x + 1) ''<1

caf' e strict crescatoare. Dar ~f'(x) = 0, decif'(x) < 0, Vx e (0,00), adicaj" este strict descresclitoare.

c) Avem f(k) =In(I+.1)=in(k + 1) - Ink, deci tf(k) = t(In(k+I)-lnk)=ln(n+I). Atuncik + 1 k 1=1 k + 1 1=1

! !In(ln(.+I)) In(ln(x + 1» 1lim(ln(n + 1»' = lim e' . Cu teorema lui L'Hospital, lim = lim '" 0•...• ., • ....., x....., X x ...•., (x + 1) ·In(x + 1) ,

de unde rezulta ca lim In(ln(n + 1» = 0 . Ca urmare, limita ceruta este 1.a-eee n

I I 1 -I 1 0 1 2' 10 12.a) fxf(x)dx= fxTX> dx= -- f21 dt=- f21 dt= -- =_

o 0 2 0 2 -I 2 In 2 -I 4ln 2n+l n n+l

b) Avem 1.+1-1. = f f(x)dx- ff(x)dx= f f(x)dx. Cumf{x) > 0, Vx e JR, rezulta caI I

iit 111+1-In> 0, Vn e N*, deci sirul (In)n~1 este strict crescator, Deoarece 0:5;1. = fTX' dx:5; f2-X dx =~ I I

~~o = - 2-

x I'= _I_(.!. -~) < _1_ , rezulta ca sirul (In). este marginit.ln2 I ln2 2 2' 2ln2u.:

• .+1

'S c) Din teorema de medie, exista c. e[n,n+I] astfel incat f f(x)dx=f(c.)(n+I-n)=f(c.). Cum::~ou•~Z

~ Testull0 \~ J

.+1

lim c, =00, rezulta ca limf(c.)= lim2-<": = limTx> =0, deci lim ff(x)dx=0 .,,-tao "-+(0 n-+oo x-+ao II~

~ Subiectulla 1. Cum 32 > 23 rezulta ca 3> 21•s > 2./2. Rezulta ca Iog23 >.fi, deci log; 3> 2. Atunci

III

~ Iog23 > _2 - = 2 log, 2 = log, 4 . 2. fix) = 0 <=>X4 - 2x2 - 3 = 0 <=>(Y! + 1)(Y! - 3) = 0 <=>x = ±Ji ,~ Iog23

a: rezulta ca graficulluif taie axa Ox in doua puncte. J. Pentru x > 0, x '* 1 ecuatia este echivalenta ell~ 2 t'c:i x: - 3x + 2 = 0, ecuatie care are solutiile XI = 1 ~iX2= 2. Cum x'* 1, ecuatia are solutia unica x = 2.

.:. 4. Numarul este cio' CI~' 5. Fie M( 0., P) piciorul perpendicularei din A pe d. Cum md• mAM = -1 ,

~ rezulta ca p - 2 = -I, deci 0. + P = 3. Deoarece M(a, P) e d, avem 0. - P = 3, deci 0. = 3 ~i P = o.Zoi a-I

Z 6. Avem B + C = 1r - A > f 'deci f > B > f -C . Cum functia sin este strict crescatoare pe [0, fJ4C

~ rezulta ca sin B > sin (f -C ) = cos C .

•318

subiectul "

(1 0) 2 (I 0),. a) Fie A = 0 0 . Cum A = 0 0 = A = A' , rezulta A e M

b) A eM=> det(A2) = det(A~ => de~(A) = det(A). Cum det(A) '* 0, rezulta cli det(A) = 1.

e) Fie A = (: !J e M cu det(A) = O. Cum A2 = (a + d)A = A', rezulta cli (a + d)a = a ~i (a + d)d = d,

deCi (a + d)2 = a + d. Daca a + d= 0, atunciA' = 0, deci a= b = 0 ~i if + b2 -a = O.Daca a + d= I, atunciA =At. Rezulta b = c si d= I-a. Cum ad- bc= 0 obtinem a(I- a) - b2 = 0, deci if + b2 - a = O.loa) (fa 0 );,)(x) = a);,(x) + 3(1- a) = a( bx+ 3(1- b») + 3(1- a) = abx + 3(1- ab) = fab(X) , VX e JR .

Cum fa 0);, si fab au acelasi domeniu de definitie ~i acelasi domeniu de valori, rezulta fa 0 );, = fab .

b) Cum a '* 0, b '* 0 => ab '* 0, din punctul a), deci compunerea functiilor este lege bine definita pe G.Compunerea functiilor este asociativa, are element neutru, deoarece fa 0 It = It 0 fa = fa, Va e JR* , si,

pentru orice a e JR., fa 0 f! = f! 0 fa = It. Ca urmare, (G,o) este grup.a

c) fa 0 fa 0 fa = fu' . Atunci !.,(x) = 8x - 21 <=>dx + 3(1 - d) = 8x - 21, pentru orice x e JR , de unde

rezultli ca a3 = 8 ~i 3( 1 - d) = - 21, conditii indeplinite pentru a = 2.

Subiectullll1.a) Cumfeste continua pe R \ {1,2}, studiem lirnitele laterale ale functieij" in punctele I ~i 2. Avem

limf(x) = +00, limf(x) = --00 si, respectiv, limf(x) = --00, limf(x) = +00, deci dreptele de ecuatiixl'I x'\.l xl'2 x'\.2

X = 1 ~i x = 2 sunt asimptote1e verticale ale graficului functiei fI I I

b) lim(f(x»~ = lim( 2X2 )-; . (.!.)-; = lim(.!.)-; = limyY = limeYlny = e~YInY = 1, deoarecex ...•eo x ...•., x2 - 3x + 2 x x ...•eo x Y~o Y~o

I

limYlnY=limln~ L: lim Y-2 =~(-y)=O.Y~o Y~oY Y~o-y Y 0

c) f(x) 2x =_4 2_. Rezulta ca !"(X)=4(_2 I_). Avem !"(x)=O(x-I)(x-2) x-2 x-I (X-2)3 (X_1)3

<=>_2_=_I_<=> (X_2)3 =2 <=>x-2 =ifi <=>x= ifi -2.(x - 2)3 (x _1)3 x -1 x-I ifi -I

I I ( 2 )' II2. a) f(l) = I-t - dt =.!. f~dt = .!.In(t2 + 2) =.!.In 1..o t2 + 2 2 0 t2 + 2 2 0 2 2

I x+2 2 x I tX+I II 1b) f(x + 2) + 2f(x) = It 2 + t dt = ftX dt =-

o t +2 0 z +] 0 x +I

c) Cum f(x + 1)- f(x) = IItX

(t -1) dt :5;0 ,rezulta f(x + 1) :5;f(x), Vx > 0 . Folosind acest lucru, avem:o t2 + 2

3f(x + 2):5; f(x + 2) + 2f(x):5; 3f(x) , de unde, conform b), rezulta 3f(x + 2):5; x: 1 :5;3f(x), Vx > o. 1,

1. Cum I

1

Obtinem _1_:5; f(x) :5: _1_, de unde _x_:5; xf(x) :5;_x_, pentru orice x >3(x+I) 3(x-I) 3(x+I) 3(x-1)

lim_x_ = lim_x_ =.!. ,rezuita ca lim x f(x) =.!. .x ...•., 3(x + I) x ...•eo 3(x -I) 3 x ...•., 3

31

TestulllSubiectull

1. Fie z(= a + i:JAtunCi a2

+b2

= (a- .. +b2

ee- 2a-1 = 0 <=:> a =t· 2. Imf = [- 4~'~}= [2,~},

Img = -00,- 4a = (-oo,a+4]. Atunci 1Imf n Img 1=1 <=:> a +4 = 2 <=:> a = -2.

3•.Ecuatia se scrie 8x

+ ~~~x ~ (~J+(i-J= I. Cum functia j": IR ~ JR, f(x) = (%J+(i-J este

stnct descrescatoare, deci injectiva ~lj{l) = I, rezulta ca ecuatia are solutia unica r = 1.

4. Exista A; submultimi ordonate cu trei elemente care contin elementul I . . .. . . pe pnma pozipe, Analopentru submultimile care conpn elementul Ipe pozitiile 2 ~i 3. Numarul cerut este 3A; = 36 . g

5. Fie B' simetricul lui B fata de A. Atunci: xB' + xB = x si YB'+ YB _2 A 2 - YA' Rezulta ca

xB' =2xA -xB =-2 ~i YB' =2YA - YB =2. 6. Avem BD =2R =2D = CD de d. A I "2 . A' un erezultacasm- sm-2 2

BD = CD. Din teorema bisectoarei avem ca BD = AB deci AB = ACCD AC' ....

wex:l-

i:::lQ

Subiectulll

1.a)Avern A' -I, = to[:'5 rangul cerut este 1.

§ h) A' =aA +bI, .,,[~~ ~~ ~:l= [3~:b 3::b• 16 16 17 2a 2a

:::lZ conduce la a = 8 ~i b = -7.cCffi c) A2=8A-7/3<=:>A2-8A=-7/3<=:>A(A-8/3)=-7/3<=:>£I=_1.A+~/.~ 7 7 3

§ l.a) ~±(X2-1)(/-1)+1=t~(X2-1)(/-1)+4=t~x2/_X2_y2+5=X.Y, \::Ix,YE(l,~);

~ b) Din ipoteza "." este lege de compozitie pe (I, co), Verificam axiome1e grupului:i·Asociativitatea: pentru orice x, Y, Z E (1, ~), avem: (x. y). Z = ( ~r-±-(X-2-_-1-)(y-2-_-1)-+-1)*Z '"

~ = I.l.1.(X2 _1)(y2 -1)(Z2 -I) + 1 = (x2 -1)(/-I)(z2 -I) I . (y)w '14 4 16 + ,~lX* ·z =x* -41(y2_1)(z2_1)+1

s~ = ~±(X2 -I). ±(y2 -1)(Z2 -I) + I = (x

2-I)(Y:; 1)(Z2-I) + I, deci legea ,,*" este asociativa,

~ • Element neutru: e E (I, 00) este element neutru daca si numai daca x * e = e • x = x, \::Ix E (I, 00) ¢

; ~±(X2 -1)(e2 -1)+1 = x <=:>±(X2-1)(e2 -I) =x2 -I, \::IxE (1,00) <=:>e2=5 <=:> e= J5 E {1,00) .

• Simetri bili .• za I itatea elementelor. FIe x E (1,00); x este simetrizabil daca exista x' E (1,00) astfel incat

I I]1 1 . Cum A2 - h # 03 si toti minorii de ordinul doi sunt nuli, rezulta ca1 1u.:

•

2a 12a , de unde 2a = 16 ~i 3a + b = 17, ceea ce3a+b

320

•.'* x = e <=:> .!.(x2 -l)(x' 2 _I) + 1 = J5 <=:> .!.(X2 -l)(x' 2 -I) = 4 <=:> X,2 = 1+ -{§-, de unde'''''''' 4 4 x -I

~ > I, deci toate elementele din G sunt simetrizabile. Rezulta ca (G, *) este grup.•••~l -r X2 _I

I(X) * l(y) = ~(f2(X) -1)(f2(y) -I) + 1= ~~. 2x· 2y -I = .J2XY -1= f(x· y), \::Ix,yE (0,00),

'/este morfism de grupuri. Deoa:e~efeste strict crescatoare, rezulta cafest~ injectiva: C~festelIP ... J< crescatoare, limf(x) = 1 ~I lim/(x) =00, rezulta ca Imf= (I, 00), decij'este surjectiva.COOtlJl"'" x ...•o x-+'"

61bledullll- ,I Punctul de pe grafic de abscisa Xo = 1 are coordonatele A(I, j{l», deci (I, e - 2).1. II,curnf'(x)=2xex' -2x, rezulta ca panta tangentei este I '(1) = 2e - 2. Ecuatia tangentei este

_e+2=2(e-I)(x-I).y 4 2t) Inegalitatea 2j{x) ~ X4 este echivalenta cu ex' -1- x2 ~; <=:> e' -1- t - t2 ~ 0, \::ItE [0,00). Fie g :

2(0, 00) ~ R, get) = e' -1- t - t2 . Cum get) = e' - 1 - t si g'(t) = e' - 1 ~ 0, \::ItE [0,00) rezulta ca g

cste strict crescatoare, deci get) ~ g(O) = 0, vt E [0,00). Rezulta ca g este crescatoare, deci g(t) ~ g(0)

:: 0, \::ItE [0,00) .

cl lim g(x) - g(O) = lim ~ I(x) = lim~ 1(:) . Cum, din teorema lui L'Hospital cazul Q avem., x-+o x x-+o X x-+o X 0

x>o X>O X>O

lim I(x) = lim eX' -1- x2 = lim eY -1- y = lim e -I = 1. , rezulta ca g~(O) = lim g(x) - g(O) = +- '.-+0 X4 x-+o X4 y-+O / y-+O 2y 2 ~-::g x ~

iar g;(O) = lim g(x) - g(O) = lim(-~ 1(:») = - 4~ , deci g nu este derivabila in Xo= O..-+0 X .-+0 X tnx<o x<o

I (X3) \1 1 102. G) 11= f(x2+2x+2)dx= _+x2+2x = -+3=-.o 3 0 3 3

I I

6) Avem I = f(x2 +2x+2)" dx~ f2" dx=2", deci lim J, =00." X_o 0

I I

c) I" = f(x + 1)'(x2 + 2x + 2)"dx = (x + 1)(x2 + 2x + 2)" I~-2n f(x + 1)2(x2 + 2x + 2y-ldx =2·5" - 2" -

o 0I

-2n f(x2 + 2x + 2 _1)(x2 + 2x + 2)"-1 dx = 2·5" - 2" - 2n I" + 2nl"_1 .o

Rezulta ca (2n + 1)/" - 2In-1= 2· 5" - 2". Cum lim ~ = 0, rezulta ca limita ceruta este 2.n-tCXl S" .-~

I-eu

Subiectull ~~1. Numarul este J3 -I + J5 - J3 + J7 - J5 + 3 - J7 = I EN. 2. Cumjf-O = -j(0), rezulta caj{O) = ~

2 2 2 2 ~0, deci produsul este O. 3. Notaro {/l- x = t . Ecuatia devine t= - r <=:> t(t + I) = 0 <=:> t = O. Deci x = •1 este unica solutie a ecuatiei, 4. Daca multimea are n elemente, atunci 2"-1 = 16, deci n = 5.

Testul12

321

s. Fie h Inaltirnea din A. Cum panta dreptei BC este 1 rezulta ca panta lui h este -I. Ecuatia lui h. este= x + 1. 6. Avem cos2100+cos2500+cos2700= l+cos20° +l+coslOO° +1+cosI40° 3 y

2 2 2 -"'2-!-+1 (cos 20° + cosl 00° + cos1400) = 1+1(2cos60°cos40° + cos1400) = 1+ 1 (cos 40° + cos 1400)

2 2 2 2 2 =::

1+ 1(cos40° - cos400) = 1.2 2 2

Subiectul "

1. a) A2 = ( 3 9 J .( 3 9 J = O2 . Rezulta A4 = O2, deci A E M.-I -3 -1-3

b) Fie X E M. Atunci 0 = det(02) = det(X') = det\\'), deci det(X) = O. Din teorema lui H '1Cayley, rezulta cll ~ = tr(X) . X, deci X' = tr(X) . .r = ~(X) . ~ = n-l(X) . X Atunci n-l(X) . X = ;rudton

tr(n-l(X) . X) = tr(02), de unde tr4(X) = O.Rezulta ell tr(X) = 0, deci ~ = O2. 2, eel

c) Fie Y E M2(1C) 0 solutie a ecuatiei y2 = A ; atunci y4 = A2 = O2, Rezulta cll Y EM=> y2 = O2 ~

A = O2, fals. Deci ecuatia nu are solutii.2. a) U E (2, (0) este element neutru al legii "." ~ x. U = U. x = x, Vx E (2,00) ¢>

~ (x_2)In(u-2)+2=x, Vx E (2, (0) ~ (x-2)ln(u-2)=x-2,VXE(2,00)~In(u_2)=I¢>

~ U -2 = e ~ U =e+2 E(2, (0). Cum (e + 2). x= eln(x-2)+ 2 =x- 2 + 2 =x, Vx E (2, (0), rezulta ell

U = e + 2 este element neutru.b) x E (2, (0) este simetrizabil ~ 3.x' E (2, (0) astfel incat x. x' = x'. x = U ~ (x' - 2)In(x- 2)= e + 2.

_1_

Daca x '* 3, atunci In(x - 2) '* 0 si x' = 2 + (e + 2) In(x-2)E (2, (0) , deci toate elementele diferite de 3 sunt

simetrizabile. Daca x = 3, atunci (x' - 2)1n(3-2)= I '* e + 2 , deci x = 3 nu este simetrizabil.

c) Avem x. x. x = «x - 2)ln(x-2)+ 2). x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 si x. x. x. x = (x - 2)1n'(X-2)+ 2 . Ecuatia

se scrie (x - 2)1n'(X-2)= 3 ~ 1n4(X - 2) = 1n3 ~ In(x - 2) = ±\t'll3 ~ x - 2 = e±~. Obtinem

XI =2+e~ >2 si x2 =2+e4'iD3 >2.

Subiectulill

~•

.w::r::uCCZocc:QZCC

~

•322

> 0 '-In E ",,' fals Deci sirul (x ) este nemarginit si, fiind descrescator, rezultll cll lim Xn = -00 .x; _ ,v 1"1 , • y n n2:1 "-I>«)

~ I 0 I

. "n I - 2J

COSX -"J cosx dx = J~- J~=2 J~= 2aretgtll =!!....2. a) Aria = J1f(x) dx - 1+ . 2 dx 1+ sin2 X 1+/2 1+ t2 1+ /2 0 2

o 0 SID x!! 02

2" 0

b) Cu schimbarea de variabila y = 2n - x avem: 1 = J xf(x) dx = - J (27r - y) f(27r - y) dy =o 2K

k k k2f

K(21Z'_ y) cos(27r - y) dy = f (27r - y) co~~ dy = f (27r - y) fey) dy = f 27rfey) dy - 1 ,1+ sin 2(27r - y) 0 1+ SID Y 0 0

o21f 2x

de unde se obtine 21 = 27r f fey) dy = 27r f co~~ dy =27rarctg(sinY)I~" = 0, deci 1=0.o 0 1+ SID Y

c1

Din teorema lui L'Hospital, cazul 0 avem lim...!...xf(f(t) -I) dt = lim f(x) -I =" 0 x ...•o x2 0 x ...•o x2

cosx -I . 2 . 2 . (..) 3I + sl'n2x lim cosx -1- SID x I' -SIDX - SIDXCOSX li SIDX SIDX --lim = = 1m = m ------cosx ---.

- x...•o x2 x ...•o x2 x ...•o 2x x ...•o 2x x 2

Testul13

Subiectull1. Cum pentru kEN·, .Jk E Q ~ k este patrat perfect, rezulta cll numarul cerut este egal cu numllrul

plltratelor perfecte cuprinse intre I ~i 2012. Cum 442 = 1976 < 2012 < 2025 = 45~, re~ltll ~ll exista ~patrate perfecte, deci multimea are 44 de elemente numere rationale. 2. j(0) = 2 implica j" (2) = 0, iar

j{-I) = 0 implicllF1(0) =-1. Ca urmare, (f-I ° rl)(2) = rl(f-l(2» = rl(O) = -I.

3. Avem sinx =-J3cosx ~ sinx =-J3 ~ tg x =-J3 ,x E [0, 2n) ~ x E {2;, 5;}.cosx

4. Exista 4! permutari care au pe prima pozitie numarul 2 ~i 4! permutllri care .au pe p~a pozitienumarul 4. Exista deci 2 . 4! = 48 permutari cu proprietatea din enunt. s. Prin calcul direct, sau

. 4 4 4 4 ~ ~_~=~folosind relatia C: = C:_I + C:~:,avem: C; + C! + C; + C~ = C4 + Cs - C4 + C6 - s + 7 6 7 .

6. Avem 2 sinB cosC = sinA = sin(n - (B + C» = sin(B + C) = sinB cosC + cosB sine. <,>btinem ~in!cosC _ cosB sinC = 0, deci sin(B - C) = O. Cum B - C E (-n, n), rezulta B - C = 0, deci B = C ~I, ID

consecinta, triunghiul ABC este isoscel.

Subiectul "1. a) Fie X = (; : ) EM, X'* O2, Atunci det(X) = d-- 2b2

• Dacll det(X) = 0, atunci 2b2

= d-.Pentru

a2 deci \ a \ - J2 fals pentnJb = 0 obtinem a = 0, deci X = O2 fals, iar pentru b '* 0 rezulta cll IJ = 2, eCI b - ,cll J2 este numar irational. Obtinem det(X) '* 0, deci X este inversabilll.

( )( ) (b)(3 2) (3a+2C 3b+2d)=

b) Fie ~ = ( : ~). Atunci AX = XA ~ !~:~= : d 4 3 ~ 4a + 3c 4b + 3d

= (3a + 4b 2a + 3b) ~ 3a + 2c = 3a + 4b si 3b + 2d = 2a + 3b ~ c = 'lb ~i a = d <:::3c+4d 2c+3d

<::> X = ( a b) eu a, b E Q, deei X E M c) Fie X 0 solutie. Cum AX = Jf . X = ~ = X· Jf = X4 ::::>2b a

(a b) . 2 (a

2+ 2b2 2ab) •.02 2 2 •X E M ~ X = . Atunci X = 2 2' Cum .•c = A ~ a: + 2b = 3 ~I ab = I ::::>

2b a 4ab a +Zb

cl- 3ab + 2b2 = 0 ~ (a - b)(a - 2b) = 0 ~ a = b sau a = 2b. Daca a = b, atunci a2 = 1, deci a = b = I

sau a = b = -1. Daca a = 2b, atunci 2b2 = I, deci b = ±hli" IQ.

Obtinem matricele XI = ( ~ ~) ~i (-I -I)X2 = . Cum-2 Ixi = (_XI)2 = XI2 = A rezulta cll solutiile ecuatiei suntX1 si X2•

2. a) Avem (h 0 Ip)(x) = (h(f/x» = 31. I/x) + 2 .31 - 2 = 31(3Px+ 2 ·3P - 2) + 2 .31 - 2 =

= 3k+pX + 2· 3k+p - 2 = h+p(x) . Cumfk 01;, ~ill&p au acelasi codomeniu si acelasi domeniu de definitie,

rezulta cafi 0 1;, =11&p-

b) Cum k + P E Z, 'dk, P E Z, din punctul a) rezulta cll operatia de compunere a functiilor este lege pe

G. Cum compunerea functiilor este asociativa.j, 0/0 =/0 0fk = fk, 'dk E Z ~ifk 0f-k = l-k 0 = fk = /0, 'dk E

Z rezulta cll operatia de compunere are element neutru, /0 E G ~i orice functie fi E G este inversabilll

~ cu 11-1= 1-1 E G . Rezulta cll (G, 0) este grup.Ill:

i e) Fie /. g E H. Atunci 1= hk ~i g = hp cu k, P E Z. Cum r-s:' = h1 0 h~1 = h1 °/_3P = h1-3P =::::Io = h(1-p) E H , rezulta ca H este subgrup allui G.u.:· Subiectullll0<....I<Q.

::::IoU·

l.a) j'(x)=_I- (X+1)2_x2 2x+1 . Cumf'(x) <0 pentruI+X2 1+(I+X)2 (I + x2)(2 + 2X+X2) (I +x2)(2+ 2x+2x2)

X E ( --co, -i) ,f'(X) > 0, 'dx E ( -i, 00) ~i f' (-i) = 0, din monotonia lui/rezultA ca Xo = -i este

unicul punct de extrem (minim) a luif

b) Avem lim I(x)=-!!..+!!..=O, lim/(x)=!!..-!!..=O si 1(--21)=-2arctg-21. Din tabelul de

::E ,"'-00 2 2 .-- 2 2variatie a luij'rezulta:

- pentru m E ( --CO, - 2arctg i) U [0, 00) ecuatia nu are solutii;

- pentru m = - 2arctg 1. ecuatia are 0 solutie;2

- pentru m e ( -2arctg i,0) ecuatia are doua solutii,

e) Fie x E [0,00) . Aplicand teorema lui Lagrange functiei get) = arctg t pe intervalul [x, x + I], exista

e E (x,x + I) astfel incat g(x + I) - g(x) = g'(e) = _2_1- < _2_1- ~ - I(x) < _2_1- ~ I(x) > __ 2_1- .e +l x +1 x +1 x +1

::::IZ<0:11.1Q.

·::::IUIII11.1Z0<CCIIll:11.1

"'"o•11.1l:U-eZoIll:oZ I I I

; 2. a) 11= fxsinxdx= fx(-cosx)'dx= -xcosxl~+ fcosxdx= -cosl+sinxl~=sinl-cosl.o 0 0

•l24

~i

1. tn' dx=I. = Ix·slDxdx= Ix (-eosx)

o 0

I

II I·-I dx-x·eosx o+n x cosx =o

I

I+n Ifx·-I(SinX)'dx= -cosl+nx·-ISinxr -n(n-I) Ix·-2sinxdx=-cosl~~ 0 0

o-In _ 1)1••..2, deci In + n(n -1)1 ••..2 = nsinl - cosl.

- "'D' punctul b) rezulta cll 1.+2 + (n + 2)(n + 1)1. = (n + 2) . sine) 111 I

n I 2' Deoarece 0 ~ I. = Jx· sinx dx ~ I rezulta ca(n+2)(n+l) .+ 0

+ sin In

I - cosl, de unde

n . I n coslI '"-S1l1 )( 1)n. n + I (n+ 2 n +

n I = 0 deci lim n I = sin I .Y!'(n + 2)(n + 1) .+2 ' •..• ",.

Testul14

subiectull . ., . 7(1+ i)(1 + 21) (1+ 21)(1+ I) = 1-(1 + i)(1 + 2i) = 1-(-1 + 3i) .deci Re(z) = --.

1.Avemz= 5 + 2 10 10 10

2. f( x +~) =[ 2(X+~)J -[x+~J -[x+ I] = [2x + 1]-[x +~J -[x+ I] = [2x] + 1-[x +~J -[x] -1 =

= [2x] -[x] - [x + iJ = f(x) , pentru orice x E lR, decifeste periodica, cu perioada ~ .

1 I 2 I d . I tiil t 1_ x = _1_ .3. Eeuatia este eehivalentAcu 22x = 2' <::> 2x = -:; <::> x = 2"' eel so upi e sun XI - J2' 2 J2

4. Cl +2 c2 =16 <::> n+ n(n -1) = 16 <::> n2= 16, n ~ 2, deci n=4.n • x +x

x + xB + Xc _ 3 _ X = 8 ~ X = _B__ C = 4 si,5. Fie M rnijlocullui [BC]. Avem xG = A 3 ~ xB + Xc - xG A M 2

YA + YB + Yc ~ Y + Yc = 3YG - YA = 10 ~ YM = YB +2Yc = 5, deci M(4, 5).analog, YG 3 B

6. Din teorema sinusului avem ~CA = 2R , deci sinA = 1. Atunci cosA = O.sm

Subiectullla I 2b .

2 2 6 Avem det(A) = -6 daca ~l1. a) det(A)= b I -a =4a+2b2+a2-4b=(a+2) +2(b-l) - .

o 1 4numai daca (a + 2)2 + 2(b - 1)2= 0 <::> a = -2 ~i b = 1.

\

1\ \1 -a\ 4", 0 rezulta cll dl ~i d2 nu pot fi simultanb) Fie dl = O 1 = a ~i d2 = 1 4 = a + 4 . Cum d2 - dl

zero, deci rang(A) ~ 2, 'd a,b E R. 6 Cum ~. d (~I) deci det(A) . det(X) = - . ic) Fie' X E M (lR) 0 solutie, Atunci det(AX) = et 3 ' t' •

3 ..' -2 sau b * 1 rezulta cll ecuatla •det(X) = 1 rezulta cll det(A) = -6, deci a = -2 ~l b = 1. Deci, daca a * 117 _ 3'6. A-I = i

, . AX=~61 <::> X--<.JO I1 t" Daca a = -2 b = 1, atunci 3nu are so u II. (1 ,

= 46 [~2: ~]_I= ~ [~ =! ~].o 1 4 1 2 -3

2. a) Fie x, y E lR. Cum X*y = xy + 3x + 3y + 7 = yx + 3y + 3x + 7 = y*x, legea ,,*" este eomutativl'i.

b) (1*2) * 3 = 18 * 3 = 124, iar 1*(2*3)= 1*28= 122 rezulta el'i (1*2)*3 = 124 = 62.1* (2 * 3) 122 61

e) Legea ,,*" are element neutru ¢::> 3e E JR astfel incat x*e = e*x = x, 'Vx E JR ¢::> xe + 3x + 3e +

+ 7 = x, 'Vx E JR ¢::> x(e + 2) + 3e + 7 =0, 'Vx E JR ¢::> e + 2 = 0 si 3e + 7 = 0 ¢::> e = -2 ~i e = -2 foal3' s.

Deci legea ,,*" nu are element neutru.

Subiectullil1. a) Cumf'(x) = £f + 3 ~if'(I) = e + 3, rezulta cl'i ecuatia tangentei in punetul A (1, e + 2) la grafieulfunctieifeste y - e - 2 = (e + 3)(x - 1).b) Avemj{-l) + j{-2) + ...+ j{-n) = e-I - 3 . 1 - 1 + e-2 - 3 ·2- 1 + ...+ e-n - 3n -1 = e-I +

-2 -n 1 1 1 3n(n + 1) 1 1 1 n(3n + 5)+e +...+e -3(l+2+ ...+n)-n=-+2+···+-- n= -+2+ ... +--~--'-e e e' 2 e e e' 2'

deci lim(f(-I)+f(-2)+ ... +f(_n)+n(3n+5»)= lim(.!.+~+ ... +1..)= lim.!.(~IJ -1 =_1_.n ..• ec 2 •..•<X> e e en •..•<X> e _ -1 e - I

e

....IWa:...i::Io

e) Fie m E JR pentru carej{x) - mx ~ 0, 'Vx E JR ~i functia g : JR ~ JR, g(x) = j{x) - mx. Cum g(0) = f{0)

~ = 0, rezulta ca g(x) ~ g(0), 'Vx E JR, deei x = 0 este punet de minim. Cum g este derivabila, din teorema

lui Fermatrezultl'ig'(O) = O.Deoarece g'(x) = f'(x)-m=ex +3-m ~ig'(O) =4-m, rezulta m =4.

Pentru m = 4, consideram functia h : JR ~ JR, hex) = fix) - 4x = £f - x-I. Cum h'(x) = £f - 1, din

monotonia lui h rezulta ell x = 0 este punct de minim global. Rezultl'i ell hex) ~ h(O) = 0, 'Vx E JR, deei::IZ fix) ~ 4x, 'Vx ERin eoncluzie, m = 4.-ea:wQ. , l' I' 1()2 22. a) f--2 aretgxdx = faretgx. (arctgx)'dx = '!'arctg2x = -!!.. = ~~ 0 I + x 0 2 0 2 4 32;; b) jOl(-X) = arctg 10 I(-x) = -arctglOlx = _jOI(X), deci functia de sub integrala este impara. Rezultl'i ell~ integral a ceruta este O.wi e) Cum 0 :5:arctgx s; ~ 'Vx E [0, I], rezulta ca 0 :5:Xl arctg'x :5:x3 (~J :5:(~J ' 'Vx E [0, 1] ~i n EN'.

~ Obtinem 0:5: Ix3 rex) dx:5:(~J ~i cum !~(~J = 0, rezulta ca limita cerutl'i este O.

w:z:u~oa:ozII(

~

Testul 15

•

Subiectull10

1. ~I024 = 1iF = 2-;; E Q ¢::> n 110 ¢::> n E {2, 5, 1O}. Deci multimea contine 3 numere rationale

2. f{-x) = -j{x), 'Vx E JR ¢::> _xl - X + a = _xl - X - a, 'Vx E JR ¢::> 2a = 0 ¢::> a = O. 3. Ecuatia devine

326

4X + 2 = 2' ¢::> 4x _ 3 . l' + 2 = 0 ¢::> (1'_ 1Xl' _ 2) = 0 ¢:> l' = 1 sau l' = 2. Solutiile sunt x, = 0 si x2 = 1.3

4. Fie B = {a, b} c {I, 2, 3, 4}. Cum exists 24 funetiif: {I, 2, 3, 4! ~ ~ ~i exact 2 fun~tii constanj{x) = a, 'Vx E {I, 2, 3, 4} ~ij(x) = b, 'Vx E {I, 2, 3, 4} rezulta ell exista 2 - 2 = 14 functii cu Inif = 1Cum exista C; = 6 submultimi eu 2 eiemente ale multimii {I, 2, 3, 4}, rezulta ell numarul eerut esl

14.6= 84.5. Fie Tmijloeul segmentuIuiAB. Atunci T(-I, 4). Cum pantadrepteiAB este -1, rezull

ell panta mediatoarei este 2. Atunci mediatoarea are ecuatia y - 4 = 2(x + I), M(-I, a) se afla p

mediatoare ¢::> a - 4 = 0 ¢::> a = 4. Sau, AM = ME ¢::> ~4 + (3 - a)2 = ~4 + (S - a)2 ¢::> (3 - a)2 = (5 - a:

~ 9 - 6a + d = 2S -lOa + d ¢::> 4a = 16 ¢::> a = 4.1 1 1 a + b + e 2p 2 pr 2 S 2 S 1 1Avem -+-+-= =-=_.-=-.-=-._-=-=-

6. ab ae be abe abe r abe r abe r 4RS 2rR 8

Subiectullla2 a2 +1 a2 +2 a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1 a2 _b2 + 1

1. a) det(A) = b2 -1 b2 b2 + 1 b2 -1 b2 b2 + 1

2 4 2 4

1 1 1 1 0 0

= (a2 _ b2 + 1) b2 -1 b2 b2 + 1 = (a2 - b2 + 1) b2 -1 1 2 = a2 - b2 + 1 .

1 2 4 1 3

b) 6. =ia2 a2+li=a2_1 ~i 6. =i

a2+1 a2+2i=2d.Cum6.2-26.'=2rezultl'iell6.'~i6.2n

, 1 2 2 2 4

pot fi simultan 0, deci rang(A) ~ 2.e) Din punetul b) avem rang(A) = 2 ¢::> det(A) = 0 ¢::> b2 - d = 1 ¢::> (b - a)(b + a) = 1 ¢::> b - a = b += 1 sau b - a = b + a = -I ¢::> a = 0 si b = 1 sau a = 0 si b = -I ¢::> a = 0 si Ibl = 1.

2. a) x * x = x ¢::> ~ = x ¢::> 8x = 4x + ~ ¢::> x(~ - 4) = 0, X E (-2, 2) ¢::> x = O.4+X2

b) Din ipoteza, ,,*" este lege pe G = (-2, 2). Verificam axiomele grupului:

4(4(X+ y) + )... 4(x+y) ~ Z 4(x+y+z)+XYZ,'VX,y,ZE(-2,2),ii

• asociativitatea: (x * y) * Z = --- * Z = 4( )4+xy 4+~.z 4+xy+xz+ yz

4+xy

4( 4(Y+Z»)x+--x * (y * z) = x * 4(y + z) = 4 + yz = 4(x + y + z) + xyz , deci legea ,,*" este asociativa

4+ yz 4+x. 4(y+z) 4+xy+xz+ yz4+ yz

• eIementuI neutru: x * 0 = 0 * x = 4x = x , 'Vx E (-2, 2), deci e = 0 este elementul neutru allegii ,,*".4

. .. bil 3' E (-2 2) astfel ine• simetrizabilitatea elementelor: fie x E (-2,2); atunci x este simetnza 1 ¢::> X ,

x*x'=x,~x=O¢::> 4(x+x) =O¢::>x+x'=0¢::>x'=-xE(-2,2). Asadar, toate elementele su4+xx'

simetrizabile, rezulta cl'i (G, *) e grup.

4(2(X -1) 2(y -1))

C) f(x) * f(y) = ~+~ =2(x-l)(y+l)+(y-l)(x+l) 22xy-2 2(xy-l) - f(4 + 4 (x -I)(y -I) (x + 1)(y + 1)+ (x -1)(y -1) 2xy + 2 xy + 1 - xy) ,

(x + \)(y + I)

'<Ix,y E (0, (0), decifeste morfism. Cum f(x) = 2(x+ 1)-4 = 2 __ 4_, rezulta cafeste strictx+l x+l

crescatoare, deci injective. Deoarecefeste continua, crescatoare, timf(x) = -2 ~i limf(x) = 2,x-+o x-+oo

rezu1tli ca lnif = (-2, 2), deci f este surjectiva,

Subiectullll1. a) AvemJ(x) = 3~ + 6x ~i/,(x) = 6x + 6, x E JR. Analizand semnulluif", rezulta ca x = -1 este

unicul punct de inflexiune.

b) g(x)-g(-2) Ix3+3x2-41 i<x+2)(x2+x-2)1 J(x+2)2(x-l)I_( I I . g(x)-g(-2)x-(-2) x+2 x+2 x+2 - x+2)x-l => x~ x+2 =0, de

unde rezulta ca functia g este derivabila inxo = -2 ~i g'(-2) = O.I I

c) lim(-f_(:_»)~ = lim(x3 +3;2 -4)~ . x; = limx; = lime ~x = eO= I, deoarece apliciind teorema luix-+co X x-eco X x-eec x-eeo '

L'Hospital, cazul ~,avem lim In x = lim 1. = 0 .

~ I, I 00, I x~oo X x~oo X

•• 2. a) A = f --2 dx = f--2 dx = 2 I-I -2 dx = 2 arctg x I: =!!.. .! -I I + X -I I + x 0 I + x 2Q I I

~ b) In+1- In = f(r+1

(x) - rex»~ dx = fr(x)(f(x) -I) dx. Deoarece 0 :$j(x) :$ I, '<IxE [0, I], rezulta~ 0 0

::;)VIJ•i~

~a r(X)'(J(x)-I):$O, '<IxE[O,I], deci Irt+1- In :$ 0, '<In EN·. Rezulta ca sirul (I) estey n n~1

I

~escrescator, deci marginit superior. Cum In = fr(x) dx ~ 0, '<In E W rezulta ca sirul (In)n esteo

.lnarginit inferior, deci este convergent.

I /1 1~) In = fx'.(x2 +Irn dx=~ +n fx.(x2 +1)-n-I·2xdx= ~+2n fl x2 dx=

o (x + I) 0 0 2n 0 (x2 + 1)n+1

I I 2'" -+2n IX +1-1 dx- I I

2n 0 (x2 + 1)n+1 - r+ 2n In - 2n In+1. Rezulta ca 2nIn+1 - (2n -I) In =r''<InEN·.

testul16ubiectull

1, Cum 1+ 32 + 34 + ... + 32n= 9n+~-I, relatia din enunt devine 9n+1 _ I = 6560 <=> 9rt+1 =

'" 6561 <=> 9n

= 94

<=> n = 3. 2. Deoarece 8 = a2- 4, iar Gin Ox= 0 <=> 8 < O.Obtinem a E {-I, 0, I}.

t' Cum functiaf: [-2, (0) ~ JR, f(x) =Vx+I +,Jx+2 este strict crescatoare, deci injectiva ~ij(7) = 5

QItZUI~ca ecuatia are solutia unica x = 7. 4. Cum 33 < 100 s 53 < 73 s 999 < 113, rezulta ca exista 2bun de numere prime aviind 3 cifre. Cum exista 900 de numere naturale de 3 cifre, rezulta ca

Iltob bT I - - - -a thtatea este 450' S. Avem 5 AM = 2(AM + ME) + 3(AM + MC), deci i5 = 2 ME + 3 MC .

Cum MB=-%MC => I ME 1=%1 MC 1 ,deci ~~ =%. 6.CumAB2+AC+AB ·AC=BC=AB2

+ Be - 2AB· AG- cosA rezulta cosA = -~, deci meA) = 1200•

subiectulll

1.a) Daca A E M, atunci def(A) = det(A3)= I ~2 ~ I= -4 , deci det(A) *O.Rezulta rang(A) = 2.

b) Fie X E M2(lR) cu X = A, A E M. Atunci der(X) = det(X) = det(A) = -4, fais pentru ca

der(X) ~ O.Deci ecuapaX =A nu are solutii in M2(lR).

c) Daca A E M, atunci A6 =412 <=>A6-I2 =312 <=>(A-I2)(AS+A4+A3+A2+A+I2)=3I2' deunde rezulta ca A - 12este inversabila,2.a) Fie e E Z elementu1 neutru al legii ,,*". Atunci x*e = e*x = x, '<IxE Z <=> X + e + 2 = x<=>e = -2.b) Fie x, y E Z cu X ° Y = -2. Atunci xy + 2x + 2y + 2 = -2, deci (x + 2)(y + 2)= 0, de unde x = -2 sau y== -2. Rezulta ca inelul ( Z , *, 0) nu are divizori ai lui zero.c) Elementul neutru allegii ,,0" este C E Z cu X ° C = Cox = x, '<IxE Z <=> xc + 2x + 2c + 2 =x, '<IxE Z<=> (x + 2)(c + 1) = 0, '<IxE Z <=> C = -1. Cumj'este morfism de inele, rezulta caj(O) = -2 ~ij(I) =-1.Rezultli b = -2 ~i a + b = -I, deci a = 1 si b = -2.

SubiectullllI 2(l-x2

)1. a) Pentru x * 1 avem f'(x) = 2' (I + X2)2 =

I-~(1 + X2)2

Obtinem f'(x) = _2_ pentru x E [0, 1) ~i f'(x) = -22 pentru x E (I, (0). Cumfeste derivabila pe1+X2 l+x

[0 (0) \ {I} este continua inxo = 1 ~i limf'(x)=I, deci 1;(1) =1 ~i li\Df'(x) =-1, deci I~(I) =-1." xtl x+l

Rezulta caf nu e derivabila in Xo = I.

b) Deoarece rex) -4x <0 pentrux E [0, 1) ~i r(x) = 4x2 2 >0, '<IxE (1,00) ~i/econtinua(l+~f (l+x)

in 1 rezulta ca Xo = 1 este unicul punct de inflexiune al graficului functieij"

c) limx I(x) = lim f(x) . Cum lim f'(x) = lim 2X22 = 2, din teorema lui L'Hospital, cazul %,x-+ao x-eec 1 %-+00 1 x-eec 1+ x

x - x2

rezulta ca limita ceruta este 2.2.a) FE ff(x)dx= f(l+x),ln(l+x)dx= (l+x)ln(I+x)- f dx= (l+x)ln(l+x)-x+C. Rezulta ca

F(x) = (1 + x) In(I + x) + C. Cum 0 = F(O) = c, rezulta F(x) = (1 + x) In(I + x).I I In(I) I , 1 II 1 2

b) fl(x) dx= f~dx= fln(1 +x).(ln(l + x») dx=-ln2(I+x) =-In 2.x+I x+I 0 2 0 2o 0

.\ A f(tg(!!"_X))=f(l-tgx)=ln(I+I-tgx)= In-2-=ln2-ln(l+tgx)=ln2-f(tgx).c/ vem 4 1+ tgx I + tgx 1+ tgx

Cu substitutia y=!!..-x avem '7f(tgx)=-ff(tg(~-Y))dy=Kff(tg(~-Y))dY=4 0 KI4 0

•..:::IEI

JC( ,

V!~ i

:::IEILl

!C:::IE

•" !!.

KI4 "4 4J 1f= f(ln2-f(tgy)dy=!!..ln2- ff(tgy)dy.Rezultlica f(tg(x»dx=gln2.

o 4 0 0

329

Testul17

Subiectull1. Avem [x-I] = {x} e [0, 1), deci[x-l] = {x} = 0 =>x e Z si0 ~x-I < 1. Obtinern x e 1.2. Fie y e (3, oo);j{x) = Y ~ 2" + 3 = Y ~ 2" = y - 3> 0 ~ x = log2(Y- 3). Deci inversa functieijfunctiaj'" : (3, (0) ~ R ,flex) = IOg2(X- 3). este

3. Ecuatia se scrie cosx = sinx ~ cos" x = sin x ~ sin2x + sinx- 1 = 0 ~ sin x e {Fs -1 -J5 -I}cosx 2 '~.

Cum -v; - 1 < -1 obtinem sin x = Fs2-1 ,deci x e {(-1)* arcsin Fs

2- 1+ kst / k e Z} .

4. c: <C*+I ~ 7! < 7! ~ _1_<_1_ k7 7 k!(7-k)! (k+I)!(7-k-I)! 7-k k+I ~ + I < 7 - k ~ k < 3 <=>

~ k e {O, I, 2}. Probabilitatea este 1..7

s. u+v=4T +(a+3)} si u-v=-2T +(3-a)}. Avem (u+V)l.(u-V)~(u+V).(u-V)=O <=>

~ -8 + (a + 3)(3 - a) = 0 ~ a2 = I ~ a = ±1. 6. Cum P = 8, cu formula lui Heron, aria triunghiului

este S = .j4:3:l = 2.J3 . Deoarece S = AS· A ~ . sin A obtinem 2.J3 = 14sin A ,deci sin A = ~ .

..J Subiectul "wf= 1.a) detA(x) = (1 + 3x)(I-2x) + 6~ = I +x, deci I +x= 2 <=>X=1.

~ b) AvemA(x) = h + xB, unde B = ( 3 6). Cum B2 = B rezulta cli'e -I -2 ' .u::5 A(x)A(y) = (12 + xB)(I2 + yB) = 12+xB + yB + xyB2 = 12+ (xy +x+ y)B = A(xy +x+ y).If c) Inductie matematica dupa n: P(I) : A(3) = A(3), deci P(I) este adevarata. Pentru pen) => pen + I)::;) avem (A(3»n+1= (A(3)Y . A(3) = AW - I) . A(3) = A(3 ·4" - 3 + 4" - I + 3) = A(4n+1- I).3 2.a) 5x+4=! ~ 5x=-3 ~ 5x=4 ~ x=5-'·4 ~ x=3·4 ~ x=5.; b) 03

= 0, P = 23 = 43 =! si 33 = 53 = 63 = 6, rezulta H = {0,i,6}, deci Hare 3 elemente.Z~ c) Daca y = 0 rezulta cli x3 = 0, deci x = O. Daca y * 0, atunci x3 + 2i = 0 ¢:>

~ ~ x3

= -2i ¢:> (xy-I)3 = 5 => 5 e H , fals, deci (0,0) este singura pereche cu proprietatea din enunt,~•a".u2:II:II:Ie.u""::i~toJ

Ir:ce:

Subiectullll

1. a) lim/(x)=oo; m=lim/(X)=lim~X-I=1 ~i n=lim(f(X)-m(x»=limx(~X-I_I)=x-+oo x--+«> X X-+«.l X + 1 X-+a> x-eec X + 1

x-I_I= lim x x + I _ I li -2x deci '. .

x ...•., ~ --2 m--I=-I, eci j- e x= I esteaslmptotliobhclispre+oo.Cum/estecontmua~+I x-+.,x+x +I

pe [I, (0), graficul luij nu are asimptote verticale.

b) /'(x) ix=l x /x+T 2 d= ~~ + 2~;=t.(x + Ii > 0, "Ix > I, deci j este strict crescatoare pe (1, (0). Fiin

continuli,j este strict crescatoare pe [I, (0). Cumj{I) = 0 si lim lex) = 00 , rezulta cli Inif = [0, (0).x-+.,

•o

.1 Iim(/(X»)X = Iim( ~)X = Iim(~)1 = Iim(I+~)1 = lim [(I+~)X-~ll::1 =e-I.c, x"',, X X-+OOV~ x-+'" X + 1 x-+oo X + 1 X-+OO X + 1

1C It !!... .!."2 2 "2. 2 2 1 2 12

~ I = JC?S xdx=JI-.sm xdx= J-'-2-dx-Jdx=-ctgxl:/4-~=I-~.2. a 2 sin" x sin? x .•sm x 1C 4 4

{ { 4 4If !!... !!. It

"2 2 I 2 ctg'"! xl"2 1b.1 I +1 = Jctg'x(ctg2 x+ I) dx =0 = Jctg·x,-.-2-dx = -fctg'x(ctgx)'dx = --- =--.".+2 • sm x n + I " n + I

/C !!. !!.. -"4 4 4 4

s:2

c) Cum 1.+1- I. = fctg'X' (ctgx -1)dx ~ 0, sirul (/.).~leste descrescator si, in consecinta marginits:4

superior. Cum ctgx e [0, 1] pentru orice x e [~, ~], rezulta ca I. ~0, "In, deci sirul (/.). este

mlirginit. Fie lim I. = L . Treciind Lalimita relatia de LapunctuL b) rezulta ca 2L = 0, deci L = O.• -+.,

Testul18Subiectull1. Daca 3 = an+l ~i .J3 = am+l, atunci 3 = al + nr si .J3 = al + mr => 3 -.J3 = (n - m)r =>

=>r=_3 __ .J3 eR \1Ql. 2. Avem /(2)+2/(1.)=6 ~i /(1.)+2/(2)=~.Obtinemj{2)=3.n-m n+m 2 2 2

3 Log x = Log x¢:> Lgx = Lgx ¢:> LgX(_I I_) = 0 ~ Lgx = 0 ¢:> x = L.• 2 3 Lg2 Lg3 Lg2 Lg3

4 Avem T. = C* (ifi)* = C* . 2~ e IQl ¢:> 5 Ik k = On . Cum exista [!!.] + I multiplii de 5 de La0 La• 1+1"" " 5

n, rezulta cli [~] + 1= 7 ¢:> [~J= 6 ¢:> 6 ~ ~ < 7 ¢:> n e {30, 31, 32, 33, 34}.

5. DrepteLe care tree prin A( 1, 2) au ecuatiile a(x - 1) + b(y - 2) = 0 cu a2 + b2 * O. Distanta de LaB La0

la(3-1)+b(-1-2)1 12a-3bl A 12a-3bl_2 ¢:> 12a-3bl=2.Ja2+b2astfeL de dreapta este ,....,-;:; ~. vem ~-

va2 + b2 -sa: + b' -q a: + b'

¢:> 4~ - 12ab + 9b2 = 4~ + 4b2 ¢:> b(5b - 12a) = 0 => b = 0 sau % = 1~ . Obtinem a(x - 1) = 0, unde

a * 0, deci x - I = 0, respectiv x-I + ~(y - 2) = 0 ~ x-I + 1: (y - 2) = 0 ¢:> 5x + 12y - 29 = O.

. .. 16+36-76 1 rI .J36. Din teorema cosinusului cos A = 48 = -2 => sin A = ~ 1-"4 =2.

•..:EI

<uSubiectul " ~

t. Fi, A = [ ~ ; : J matricea sistemului. Atunci d'~A) = m - 16. Sistemul este compatibil ~

deterrninat ~ det(A) * 0 ¢:> m - 16 * 0 ~ m *16 ~ me R \ {16}. •331

b) Daca m ~ 16 , sistemul este compatibil determinat. Daca m = 16 atunci det A = 0 , deci rang A S 2 .

1

3 -11 3 -1 3Cum dp = 2 16 = 50 ~ 0, rezulta ca rang A = 2. Deoarece de = 2 16 0 = 170 ~ 0, sistemul

1 3 4este incompatibil. Deci nu exista m E lR pentru care sistemul este compatibil nedetenninat.

{

3X - Y + 2z == 3

c) 0 solutie cu componentele in progresie aritmetica este solutie a sistemului 2x + my + 3z == 0x+3y+z==4 .

x-2y+z==0Rezolvam sistemul format din ecuatiile 1, 3 ~i 4; acesta are solutiile Obtinem prin scaderea ultimelor

.. 3 4 1 'Inl . d i . doua obti 21douli ecuatn x = S'y = S' z =. ocuin ill ecuapa a oua obtinem m == -4.2. a) Fie c.r E lR[X] astfel incat f = (X2 -l)c + r , cu grad r ~ 1. Atuncij(I) = r(I) ~ij(-I) == r(-I).Daca r = aX +b .atunci a+ b = 310+ 1 ~i-a+ b = 1 + 310~ b= 310+ 1 ~ia= 0, deci r= 310+ 1.

b) Avem j(I) = ao + al + a2 + ...+ a20 si j(-I) = ao -al + a2 - ...+ a20. Rezuita cli

ao +a2 + ... +a20 = f(1)+ fe-I) =310 +1.2

c) Fie x E R, Avemj(-x) = (x2 - X + 1)10+ (~ + x + 1)10=j(x). Cum polinomulj(X) - j(-X) are 0

infmitate de solutii, rezulta elij(X) = j(-X), deei ao + alX + azX2 + ...+ a~o = ao - alX + a~ _ ...+v2oA· deci -a2A • tmICI a2k+1= -a2k+1 eel a2k+1= 0, "ik = 0, 9. Rezulta eli a7 = 0.

...IWa:l-

i::IQ Subiedullllu: 1. a) Cum lim f(x) = 1, dreapta y = 1 este asimptotli orizontala spre ±oo; deoareee limf(x) = 00 ~i• x~±a:l xi--4

~ ~~~f(x) = --00, dreapta x = -4 este asimptotli verticala. Cumf este continua pe lR \ {-4}, nu exista~::I alte asimptote vertieale.UU.

( )

n [ n+41n~4b)f(I)·f(2)· ... ·f(n)=i.~ ..... n+3=_4_ ~i lim 1+_4_ = lim (1+_4_)4 =e4 .5 6 n + 4 n + 4 n...•"" n + 4 n...•"" n + 4

c) Avem f(x) =1 __ 1_, deci !'(x) = __ 1_2 > 0. Rezulta elifeste strict crescatoare pe (-4,00).x+4 (x+4)

Cum ». +3xn+1=--4' XI

xn +1 > 0, rezulta eli Xn > 0, "in EN'. Arlitlim prin inductie ca (xn)n este

desereselitor: x2 = f(1) = ~ < XI ~i daca x; < Xn-I, obtinem din monotonia lui f eli j(xn) < j(Xn-I), deci

•332

3 3

c) In+1= j(x - 2)'f"+I(X) dx = (x - 2) r+l(x) 13

- (n + I) j(x - 2)f"(x)(2x - 4) dx =1 1 1

3 3

= -2(n + 1)f(x2- 4x + 4)f"(x)dx = -2(n + 1) j(J(x) + I)f"(x)dx = -2(n + I)In+1- 2(n + I)In .

1 1

Deci (2n + 3)1 1 = -2(n + 1)ln ,de unde In+1 = - 2(n + 1) ~i lim In+1 =-1.n+ In 2n+3 n...•"" In

Testul19subiedull

1. AvemZ2 + Z + 1 ElR 1 - 1 - z-zZ+-=z+-~ z-z---=o

Z Z zzElR

z

~(Z-Z)(I- z~ )=0 ~ (z-z)(1 ZI2_1) =0 ~ 1Z 12= I ~ Iz 1= l.

2. Imaginea functieij'este [ - ~, 00) = [4, 00) . Deci B = [4, 00).

3. Pentru X > ° ecuatia se serie x2 + Xlog,8 -12 ~ x2 + x3 = 12. Functia j": (0,00) -+ lR ,j(x) ==~ + x3

este strict crescatoare, deei injeetivli, iarj(2) = 12; rezulta clix = 2 este uniea solutie a ecuatiei,

4. Dezvoltarea are 9 termeni, deei eel din rnijloe, este 7; = C:X4 = 70 X4 . Cum Ts = 70, rezulta X4 = 1,

deeix=±1. 5. AC+EF = AB+BC+EF = AB+BC+CB =AB, deci IAC+EFI =IABI =1.

6. Avem tg~=_r_= b 2r 1. Rezulta ca ~=~,deei A=~.2 p=a +c-a 2 4 2

Subiedulll

1. oj Fi, A = [: ~ m: J matricea sistemului. Sistemul .re solutii nenule "" d't(A) = 0 ""

~-m-I =O~m=-1.

b) Cum oriee solutie eu proprietatea din enunt este nenula, rezulta ca m = -1. Cum tl = I ~ ~ I= 1~ 0 ,

rezulta ca rangul lui A este 2, deei sistemul este eompatibil nedetenninat, cu necunoseuta secundara z.

Pentru z = a E lR sistemul devine: {x + y = a ~ x = 2a, y = -{J.. Deei Xo = 2a, Yo = -{J., Zo = a, dex+2y=0

unde x~ + y~ + z~ = 6a2 • Obtinem a2 == 1, deei a = ±I si solutiile (2, -1, 1) ~i (-2, 1, -1).

2. a) Avem/a = (x2 - if)c + r eu c, r E lR [x] ~i grad r ~ 1. Daca a = 0, eum/o = 2)('2, rezultli eli r = 0deoareee X2 divide jj, Daca a ~ ° ~i r = pX + q cup, q E lR , atuneij(a) = pa + q,j(-a) = -pa + q, deunde pa + q == (2a)12 si -pa + q = (2a)12. Rezulta p = ° si q = Iz12 . a12, deci r = z12a12. .b) Fie a E lR 0 rlidlieinli reala a luifa. Cum (a + a)12 + (a - a)12 = 0, rezulta eli a + a = a -a = 0, decia = a = O.Atuncij, =/0 = 2X2 si Oeste rlidlieinli multiplli de ordinulI2. 2c) Fie z EIC, z = u + vi 0 rlidlieinli a luif, eu u si v ElR. Cum (z + a)12 = -(z - a)I.I~~ I(z + a)121 = I (z - a)121 ~ Iz + a 112= Iz - a 112~ Iz + a I = Iz - a I ~ Iu + a + VI === Iu - a + vi I ~ (u + a)2 + v2 = (u - a)2 + i~4au = 0 ~ u = 0, deci Re(z) = O.

Subiedullll1. a) Avemf'(x) = 1 - cosx ~ 0 orieare ar fi x E lR . Deoarece multimea {x E lR I f'(x) = O} = {x E lR

I cos.x = I} = {21m / k E Z } nu contine niciun interval nedegenerat, rezulta cafeste strict crescatoare.

b) lim f(sinx) = lim f(sinx). sin3 x = tim(sinx)3. f(sinx) = lim fey) = lim y-siny,->0 x3 ,->0 sin" x x3 x->O X sin ' x y->O y3 y->O y3 . Cu teorema

I .L'H' . I I' y-siny I' I-cosy siny 1 1U1 ospita avem 1m 3 = lm--~ = tim-- = - , deci limita ceruta este _

y->O y y->O 3y2 y->O 6y 6 6 .

c) Avem x, = .f{xo) = .f{1) = I - sin 1 0 :'ipote~. ca ~n > 0 ~btinem.f{xn) > .f{0), deci xlt+' > O. Rezul~ ca ~irul. (xn)n~ este margin it inferior, de:marginit. Fie 1=~!!Xn E JR. Cum Xn E (0, I) ~ 1E [0, I] ~II =1- sm/, deci sinl =O.Rezulta 1== O.

2. oj F" F 0 prim,tiva a luif Atunci F'(x) = ['(x) 1+ (~)' -( - (x; I)' ) < 0 pentru orice x E R •

x+ldeci F este concava.

1 f' I I Ib) Cu schimbarea de variabila -- = t obtinem -( 1)2 arctg --I dx = Jarctg t dt ==z +I ox+ x+ I

2I I I

= ft' arctg t dt = t arctg till - f+ dt =E. - '!'arctg'!' - .!.In(t2 + 1)1 = E. -.!. arctg'!' -.!.In ~I 2 It +1 4 2 2 2 1 4 2 2 2 5'222

c) Fie x > O. Cum / este continua, din teorema de medie rezulta ca exist! c, E (x, X + 2) astfel incM~ ~f jet) dt = /(c,)(x + 2 - x) = 2/(c,) . Cum !im Cx = ex), lim lex) = 0, rezulta ca lim f jet) dt = 0 .x - - -x

Testul20<-'~ SubiectullV 1. Fie (an)n,,' progresia aritmetica cu a, = I ~i ratia r = 4. Daca x = an>atunci an = a, + (n - I)r = 4n - 3.U• Atunci 496 S al +an 1+4n-3 . 2:;) CI = n=n'-2-=n 2 =n(2n-I).Obtmem2n -n-496=Ocusolupilen, = 16Zcc. 31ffi ~I n2 = -2 .Cum n E N, rezulta n = 16, deci x = 61. 2. Fie x" x2 E (0, ex) cu.f(x,) = .f{X2). Rezulta ca0..

~ g(f(x,» = g(f(x2», deci x~ = x; , de unde x, = X2. 3. Functia F: (O,ex) ~ JR, lex) = rx+l + log, x, este

a strict crescatoare, deci injectiva, Cum /(8) = ..f9 + log, 8 = 6 rezulta cax = 8 este unica solutie a ecuatiei,'"~ 4. Avem ~+I =c;(1fk

{tJ ~(tfk {tJ =(tY =Ts, cu egalitate ~ C; =1 ~ia:III\110

ci (1 )7-k ()7-k'2 = t ~ k = 7. Deci eel mai mic termen este Tg. s. Avem AB=·J9+16 =5 ~i.

III

~ AC = .JI6 + 9 == 5, deci triunghiul este isoscel de baza [BC]. Notand M ( -1,%) mijlocullaturii Be,

~ Cum bisectoarea din A este ~i mediana, rezulta ca lungimea bisectoarei este AM = ).!. +.!. = _1_ .~ 4 4 JiCC 6. Cum cos178° = -<:os2°, cosl74° = -cose" ,... cos940 = -<:os860 rezulta ca suma este egala cu:E cos90°, deci este O. '

• Subiectulll

a2 _b2 1 a2 +b2 _b2 1 _b2 1l.a) det(A)= a2 +1 _b2 +1 2 a2 +b2 _b2 +1 2 = (a2 +b2

) _b2 +1 2a2 +2 _b2 +2 4 a2 +b2 _b2 +2 4 _b2 +2 4

1 _b2 1

=(a2 +b2) 0 1 1 = a2 +b2

•

0 2 3

b) Daca a '* 0 sau b '* 0 ~ det(A) '* 0 ~ sistemul este compatibil determinat. Daca a = b = 0 sistemul

!z=1z e I

devine x+ y+2z=2 ~ { cu solutia (a,-a,I), aE JR. Asadar sistemul este compatibilx+y=O '

x+y+2z=2

nedeterminat pentru a = b = O.c) Fie xo, Yo, Zo 0 solutie a sistemului. Scazand prima ecuatie din a doua obtinem: Xo + Yo + Zo = I, deciXo + Yo + Zo '* 2012.

2. a) (1-.1J(I-l...J(I-l...J(I-l...J = (XI -1)(x2 -1)(X3 -I)(x4 -I) = (1- xl)(I- x2)(1- x

3)(I- x

4) =

XI X2 X3 X4 XIX2X3X4

= /(1) = -2 , deoarece / = (X - xl)(X - x2)(X - x3)(X - x4) ~i XIX2X3X4 = I .

b) Fie i = 1,5. Deoarece x: = 4Xi - I, rezulta ca x: = 4x; - Xi' Adunand cele 5 relatii obtinem

x~ + xi + xi + x~ = 4(x~ + xi + X; + x~) - (XI + x2 + X3 + x4) . Din relatiile lui Viete, x, + X2 + x3 + X4 = 0

. 2 2 2 2 ( )2 2( ) _ 0 d d 5 5 5 5 - 0~I XI + x2 + X:! + x4 = XI + x2 + X3 + X4 - XIX2 + XIX3 + ... + X:!x4 - , e un e XI + x2 + X3 + X4 - •

c) Deoarece.f{ -1) = 6 > O;.f{I) = -2 < 0; .f{2) = 25 > 0 ~i functia polinomiala a lui / este continua,rezulta ca/are doua radacini reale x, E (-1, I) ~i X2 E (1,2). Daca toate radacinile lui/ar fi reale, ar

rezulta ca 0 = x~ + xi + X; + x~ > 0 , fals ~i cum numarul radacinilor nereale ale lui/ este par, rezulta ca

fare exact doua radacini reale.

Subiectullll1.a) Deoarece / este derivabila pe JR ~i.f{-a) =.f{a), a> 0 rezulta ca se poate aplica teorema lui Rollepe orice interval de forma [-a, a] cu a > O.b) Cum / este para, va fi suficient sa determinam imaginea lui / pe [0, ex). Cum / '(x) = 20~ ++ 20x ~ 0 ~i f'(x) = 0 ~ X = 0, rezulta ca / este strict crescatoare pe [0, ex). Cum / e continua ~i!im/(x) = ex),.f{0) = I rezulta ca.f{[O, ex)) = [I, ex), deci Inif = [I, ex).x _

c) Avem /(x) = (x+I)5 _(X-l)5 ,deunde 't/(k)=.!. 't(k + 1)5_(k_I)5)=2 k=1 2 k=1

['t/(k)]n ['t/(k)_n

5]n ((n+l)5-n5-IJn

hm(n+I)'~n'-1 2-Atunci lim ~ =!im 1+ H =!im 1+ =e"- 2n =e2

n-+co nS n--+oo n5 n-+oo 2ns

2. a) Cu schimbarea de variabila lnx = t avem ej.!.COS(lnx) dx = Jcostdt = sint I~= O.I X 0

b) Deoarece lnXE[O,I]C[O,~) pentru x E [1, e], rezulta ca.f{x) >0 pentru x E [1, e]. Atunci

It e eel

A = ~/(x)1 dx = If(x) dx = Ix" cos(lnx) dx = xcos(lnx) I:+ Ixsin(lnx).-:; dx =I I I I

S34 3

r eel= ecosl-I + fSin(lnx) dx = ecos I-I + fx'sin(1n x) dx = ecosl-l + xsin(lnx) I: - fXCOS(lnx).~ dx =

" ,= e cos I - 1+ e sinl - A. Obtinem A = .!.e(cos I + sin 1) -.!. .

2 2c) Cum In x E [I, 2] pentru x E [e, e2], rezulta caj{x) E [cos2, cosl] pentru x E [e, e2]. Deoarececos2<0 ~i cost c l cosz l i avem If(x)I~lcos21,VxE[e,e2] . Atunci:

I.' I" .' .'!r(x) dx ~ pr(x)1 dx s !'cos2l

ndx =(e2 -e)lcos2I

n~O ,deci !!!,!r(X) dx = 0

Testul21Subiectull1.E suficient ca IOg23> I.lntr-adevar, 1= IOg22< IOg23. 2.j{1) = 3 - I = 2,MI)) = j{2) = 6 - I = 5.3.Notam 2' = I, I> O. Ecuatia se scrie r + 1-72 = 0, cu solutiile II = 8 ~i 12= -9. Cum I> 0, rlimane2' = 8, de unde x = 3.4.Avem ,( = n(n -I) = 11·10. Rezulta n = 11.

S.Panta dreptei x + y - I = 0 este -I, deci panta perpendicularei este I. Atunci Y - YA = I (x - XA) ~ Y =x este ecuatia ceruta.

6 T· ghiul dr hi . S 3·4 6· .. I 12 6 deci S I• nun e eptung c, cu ana = - = ~l semipenmetru p = - = , eCI r = - = .2 2 p....•!AIII:l-

i;:)Q

Subiectulll

2 (I 2 3)La) tJ = .3 I 2

b) Avem tJ3 = e = (I 2 3) si deci o" = tJ"'(mod,) , adica M = {e, c, ~ }.Nota: o, ~, e sunt distincte.123

c) Observam ca t(2) = 2, deci tn(2) = 2, Vn E N* . Atunci 0"'(2) = 2. Cum tJ(2) = 3 c# 2, cr2(2) = I c# 2 ~i

e(2) = 2, deducem ca m este multiplu de 3 ~i apoi 0'" = e. Cum t1 = e, din r" = e, deducem cli n este par.Asadar 6 divide mn.

2.a) A(n).A(m)=(I+n+m -m=n )=A(n+m).m+n I-n-m

; b) Conform punctului anterior, cum n + m e Z rezulta ca Me parte stabila a multimii M2(Z) fatA deu~ inmultire, Operatia e asociativa, are elementul neutru 12 = A(O) E M, iar inversul elementului A(n),~ unde n E Z ,este A(-n), deoarece -n E Z si A(n) . A(-n) = A(-n) A(n) =A(O).I c) Avem j{n + m) = j{n) . j{m), conform a). Functia este inversabila, deoarece A(n) = A(m) daca ~i:x. numai daca n = m.c:i• Subiectullll

!AIzU 1.a) !'(x)=_x __ 1.~ ~X2 +1i b) Avemf'(O) = -1. Ecuatia tangentei este Y - j{0) = f'(O)(x - 0) ~ Y - I = -I(x - 0) ~ x + Y - I = O.QZ c) lim f(x) = lirn ~ = 0, deci Y = 0 este asimptota orizontala catre +00. Pe de alta parte,e x ..• '" x ..• '" "x2 + I+ x~

~·

•36

. f(x) . (_{X2 + I -I) = -2 si lim (f(x) - (-2)x) = }~~ (~ x2

+ I + x) =lirn f(x) =00, lim -- = lim 2 x ••••-ee

¥-+-dJ .r~-co X x-+-<O X

I . t imptota oblica spre+co. Functia j e continua, deci nu admite"" lim = 0 deci Y = -2x es e as

s...•_~X2 +l-x

asimptote verticale. t • , .

r . r ( )'dx= -xcosx ] + rx'cosxdx= -cosl+smx\o=sml-cosl.2.a)I,=,bxsmxdx=-1xcosx 0 ,b_ r n( -I)· dx. Cum x"(x - I) ~ 0 ~i sinx ~ 0 pentru x E [0, I], functia de sub

b) Avem In+,-In-,bX x smx

. tegralli este negative, deci In+1 - In ~ 0, n ~ I. 1

Ul n+1 \ I. . < i 0 < I < _x_ = -- , de unde lim In = 0 .

C)DeoareceO~smx~l,avemO~x"s\Dx_x",dec - n- n+1 0 n+1 H'"

Testul22subiectull

. _ a, + a\O. 10 = -10 + 8 . 10 = -10 .1 --10 a =al+9r=-10+18=8,decl a,+a2+···+a\O- 2 2.al- ,10

I I3. -I = IOg2(x + I) ~ x + I ="2 ~ x = -"2 .I I _/(_1)=2_1_3=_25.

2. Xv =-2.2=-"4' Yv - 4 16 4 8

4. Sunt A~= 4·3 . 2 = 24 submultimi. S.De exemplu (I, 2). . 4

.2 2 2 _I_~=.!i Cum aE(O,~),avemcosa>o,decl cosa=-5·6. Avem sin a + cos a = I ~ cos a - 25 25· 2

SubiectulllI I mI 2 = 2 + m - 1+ 2m - 1- 1= 3m - 1 .

-1 I1.a) Din prima ecuatie avem -2 + 1+ m = 0 ~ m = 1. b)

. I \ 11 21\. Minorul caracteristic estec) Rangul matricei sistemului este 2, avand ca minor principa

1 02 1 = 2 c# 0 , deci sistemul este incompatibil.

-1 1 42 a) x 0 x = ~ + 2x, deci ecuatia este ~ + 2x - 8 = 0 ~ x = 2, x = -4. + + yz + xy + x + Y + zb) Avem (x 0 y) 0 z = (x 0 y)z + x 0 y + z = (xy + x + y)z + xy + -; y + z: :Zde~zoperatia e asociativa.. (yoz)_x(yoz)+x+yoz=.xyz+yz+xz+xy+x+y+z, x,y,z , d .

~lX o. - ( + 1)(y + 1) _ 1 Pentru x y > -1 avem x + 1 > 0, y + 1 > 0, eCIc) Scnem x 0 y = x .,(x + 1)(y + 1)> 0 ~ix 0 y > -1, q.e.d.

Subiectullll tr; Cum a2

- a, > 0, din1. a) Arl\.tam prin inductie ca a'+Q - an > O. Avem a2 =v 13 > 1= al •

~ I _ a. - a._I rezulta cerinta.a.+I-a. =,,12+an -,,12+an_1 - JI2+a. +JI2+an_1

. . < .,112 + 4 = 4 ceea ce trebuie arlltat.b) Evident a, < 4 . Prin inductie, din a. ~ 4 deducem a.+1 - ,

c) Sirul este convergent confonn teoremei lui Weierstrass. Notllm I = ~!!an ~i observam ca I ~0 ,

deoarece an ~ O. Trecand Ia limita In relatia de recurenta obtinem / = .../12+ I ~ /2 -/ -12 = 0 ~ / '" 4(cazul / = -3 nu convine).

2/12. a) !eXI(x }it = !xdx = ~ 0 2

! ! - -x II r, -xdx 1 _xii 1 ( 1 1) I 2 e - 2b) xe+dx= x·(-e X)'dx=-xe 0 +.,bx e =---e =--+ __ + = __ = __ .e 0 e e e e

• A' • • r I(t)dt _. I(x) _. e-x 1c· Aplicand teorema lui l'Hospital, obtinem lirn 2 - hm-2- - hm- = -2 .

oJ x ...•o X x ...•o X x ...•o 2

Testul23Subiedull1.Avem 1-ifi + if4 + ifi - if4 + ~ = 1+ ~ = 1+ 2 = 3 .

2.J{-1O) + J{-9) + ...+ J{9) + J{1O) = -28 - 25 + ...+ +29 + 32. Suma are 21 de tenneni in progresie

aritmetica (de ratie 3), deci este egala cu -28 + 32 ·21 = 2·21 = 42 .2

3. Avem 23(x+I)= 22(I-x) ¢:> 3x + 3 = 2 - 2x ¢:> 5x = -1, deci x = -1/5.

I "1 . .J3 7r . 27r4. Avem so utii e XI= arcsin 2 ="3 ~I X2 = 7r - XI= 3.s. I VII= .../1+ 64 = J65 ; I v21 = .../16+ 49 = J65 , de unde rezulta cerinta.

6.BC = 32 + 72 - 2·3·7· cosI20° = 9 +49+ 2·21.1. = 79, deci perimetrul este 10+ J79 .2

..IWex:•...i::JQu:•

Subiedulll

1.a) detA = 0, 1-2 1 1= 3 * 0, deci rangA = 2; range = 1, deoarece top minorii de ordin 2 sunt nuli1 -2::Jz ~i B * O2. Cerinta rezulta,CCa: x-2 x +I z +IwQ. b) det(A + xB) = x + 1 x - 2 x + 1:E• x+1 x+1 x-2

x-2 x+1 x-r I x-2 x+J x+I

x - 2 X + 1 = 3x x + 1 x - 2 X + 13x 3x

x+I

3x::J~ -3~ =3x 0~ 0ex:w"'" ultima coloana din precedentele doua), Obtinem x = O.c::i• c) Avem AB = 03 = BA, deci matricele comuta, Cu binomul lui Newton, (A + B)" =wis An + C~An-IB + ... + C;-IABn

-1 + B" =An + B", tennenii intennediari fiind nuli.ee

~ 2. a) 1= X(X2 -I) -1 , deci restul impartirii lui/la X2 -1 este polinomul r = -1

! b) Daca xt este rndlicinli a polinomului f, k = 1,2,3 ,atunci x; - xt

-I = 0 ¢:> x; = xt

+ I ,de undeZc: rezulta cli x~ + xi + xi = XI+ x2 + ~ + 3 = 3~

c) I(xi +x2) = f(-~) = -xi +~ -I = -<xi -~ -1)-2 =-/(x3)-2 = -2.

o x+I

-3 x + 1 = 27x; (am adunat liniile la ultima linie; am dat factor comun ~i am scazuto 1

•

subiectullll I

I tru ori e xelR b) f"(x) =eX +--2 ,Vx>-I,deci/esteconvexli.1.a)I'(x)=ex-x+l,pen onc. (x+I)

. . cat are deoarece f" > 0 . Cum 1'(0) = 0 , rezulta tabelul de variatie:.1Funct1a/' este stnct cresca 0 ,c, x 1 0 +00

f'(x) ----------0 ++++++++++O "'+00I(x) +00 ..-

Deoarecej{O) = 0, rezultlij{x) ~ 0, Vx > -1. 3

2. a) rI(x) dx = In(x + I) I~- lnx I~= In3 -ln2 -ln2 + lnl = In3 -ln4 = In"4'

1

J33 3 1 3dx _ J3 1. =!!.._!!..+_I __ I= ~+_I __ l.

b) (l(x2) dx = ( x2 + 1 dx - ( x2 - arctg x II + X I 3 4.J3 I2.J3

c) ~ I(x}it = In(x + 1)1: -lnxl'!. = In(a + 1) -In 1: a -lna + ln~ = lna - lna - lna = -lna. Rezulta./!. a aa

lnc = I,decia=e.

Testul24Subiedull

1 _1_= 2+J2 =-(1+ J2)e(-2,-I) ,deci [--d-] =-2.2. Xv =-; ~ -; =2 ~m=-4.• J2-2 2-4 2 ,,2-2

. .. 313(3'2)3_6.5.4.2=404. Sunt 7 tenneni, eel din mijloc este T, = C6' V L. - 1.2.3 .

2 sin2 a _ sin2 a 0,36 _ 96. tg a= cos2a -1-sin2a = 0,64 -16'

3 x =-!!..+2k7r ,k e Z.• 2

5. VI- v2 = -7 + 2 J ; I VI- v2 I= -..Ii+4 = vis .

Subiedulll

[0 0 1]

1. a) A2 = 0 0 0 , rangA2 = 1.

o 0 0 3

b) Avem u, -A)(h + A + A3) =h + A + A2 -A _A2 _A3 =h _A3 =hi de~a:~~~ t; 03,

c) Inversamatricei/3+Aesteh-A+A2,de oar ece(h+A)(h-A+A )= 3 - 3·

. -1±i.J32.a)!t=X+X+1.Avem6=-3~1 XI•2= 2

bl/: =X + X + I = (X + X+ I)(X -X+ 1) =!t(X -X+ 1). Catul esteX -X+ I.'1J2 . _ Cum 3 -1 avem'c)!t divide/" ¢:> In(xI) = 0 ,deoarece In e lR(X] ~l x2 = XI' XI -, .

lx~+ XI+ 1= 0, daca n = 3k + 1,keN. este demonstrate.f.( )- 2n+ n + I = X + x2 + I = 0 daca n = 3k + 1, keN. CerintaXI -XI XI I I ,

n 1+ 1+ 1* 0, daca 3 divide n

iI

<V

~::Ew_I _ + ... + _1_. Ultima sumli are !C2n + I 2n+1 ::E

•339

2n terrneni, fiecare mai mare decat _1_ declo a _ a > 2' ._1_ ==1. 'Itn ~ l.2n+1 ' 2 •.• 1 2" - 2"+1 2 '

b) a2"==(a, - a2_, ) + (a2-, - a2-, ) + '" + (a2, - a2,) + a2 ~ t + t + ... + t + 1+ t ==1+ 1,'Itn ~ 1.. .

n-Iori

c) Avem n ==i"lh' ~2[Jog,·], deci an ~ a"'Ioo,"1~ 1+ [log2 n] ~ 1+ log2 n -1 ==1+ log2 n~ co 2 2 2'

deoarece sirul (a ) ~I este strict crescator, Cum lim log, n ==00, rezulta ca lim a ==00 .n n n-+oo n-+oo n

\In ~ 4,

2. a) De exemplu F: R ~ R ,F(x) ==arctgr.

R 2)' x2

II If I x2

dx I 1( IR I) 1( 1 1 I 2b) .£. arctgxdx==-arctgx -- --==-._-- 1--- dx==---+-arctgxl ==~2 2 0 2 0 1+ x2 2 4 2 0 1+ x2 8 2 2 0 4'o

c) r x3 f'(x) dx ==x3 f(x) II - r (x3)' f(x) dx ==1_3 r~ dx ==1_3 (1- arctg x) II ==31(-10.b 0 .b 2 .b1+x 2 0 4

Testul25Subiectull1. Avem IO

lg7 ==7, deci 100lg

7 ==(101g 7i ==49 EN. 2. Punctul de maxim este abscisa vfufului

~ Xv ==__ 2_== 1.3. j{x) ==j(y)<=>X3+ 1 ==/ + 1 <=>X3-/ ==0 <=>(x-Y)V +xy+ I) ==0 <=>x==ysau~ 2(-1)

~ x? + xy +1==o. Cum x? + xy +1==0 <=>x? +1+ 2(x + y)2 ==0 ~ X ==Y ==0, rezulta cerinta. Altemativ,~ f '(x) ==3x2 ~ 0, decifstrict crescatoare. 4. CI

20-10 ==45 -10 ==35.

..c S.BC: y-3== 5-3 <=> <=>2x+3y-13==0.Distantaeste 13.1+2.1-131==_8_.ci! x- 2 -1-2 ,N+ 22 .J13Q.

5 6. 2R == AB ==1Q. ~ R ==~U sinc.J3 .J3 ..i Subiectulll~ 1. a) detA ==I. b) B "*°2,3si liniile lui B sunt proportionale ~ range ==I.

~ C)AVem£I==[~ ~I ~lj'deCiX==BA-I==(1 -23J.:::> 0 0 1 -I 2 -3V'"w 2. a) ZIZ2Z3==-(-I) ==1.z~ b) Cum I ZI1·1Z21·1Z31==1 ~i I ZI I, I Z2I , IZ3I ~ 1 , rezulta I ZI I ==IZ2I ==I z31==1.15 c) Polinomul are coeficienti reali si grad impar, deci are eel putin 0 radacina reala, de moduli, adica 1a"!' sau -1. Cumj{O) ==-I < 0 ~i limf(x) ==00 rezultaj{l) ==0 ~ 1 + a + b - 1 ==0 <=>a + b ==O.x-+«>.~ SubiectullllV

~ 1. a) f'(x)==-~_1. b) limf(x)==lim(1-lnx)==00+00==00.o x x x-+O x-+O X~ c) Deoarece f' < 0, functia este strict descrescatoare, deci injectiva, Cum lim f(x) ==-00 siz x-+oo

; I!n?f(x) ==00, din continuitatea luif rezulta ca imaginea functiei este R , deci functiaj" este surjectiva.

Ca urmare, exista un unic e E (0,00) astfel incat fee) ==0 <=>c-Ine ==1 .•40

2. a) .( ~ x 2 dx ==-~ 4 - x2 I: ==--J3 + 2 .4-x

r x r ( . x)' . xl· 2 X II _1.(!!...)2 _ 1(2b) .lJf(x)'arcsin"2dx==.lJ arcsill"2 'arcsill"2dx=="2arcsill"2 0 - 2 6 -72'

c) Cu schimbarea de variabila I ==-x, dt ==-dr, avem fJ(x2) dx ==- rf«-I/) dl == 1f(/2) dz .

Testul26

Subiectull . .1. Fie z==a +bi, a, b E R .Avem a + bi + 2(a- bl) ==9i <=>3a ==0 si -b ==9 <=>a =: 0, b ==-9, deci z= -91.2. x2 - 3x + 2 ==x + 1 <=>x? - 4x + 1 ==O. Cum ~ ==16 - 4 ==12 > 0, rezulta cennta.

3. 3 + 2J2 ==(l + J2)2 , deci x ==2. 4. Sunt 25 ==32 submultimi ale lui M ~i C; ==10 cu 3 elemente.

10 5 XA+XB+XC 4 YA+YB+YC -3Probabilitatea este - == - • S. xG 3 ~ Xc == ; YG 3 ~ Yc - .32 16

1+ .J3t (a + IE.) == tg a + tg 1(/ 3 == _2__ == 1+ 2.J3 == 8 + 5.J3 .

6. g 3 1- tga tg1( / 3 I _ .J3 2 - .J32

Subiectulll

1. a) det(A+IA)==I~ ~1==-4· b) A2==(~ ~J.A2_A==(~ ~)==I2'

. _ (a bJ. AB == (a + c b + dJ si BA == (a + b aJ, deci b == c si a == b + d. Atuncic) FIe B - , avem b ~ c + d cc d a

B == (b: d ~ J si detB == d'- + bd - b2• Daca detB == 0, aratam ca b == d == 0, adica B == O2, Presupunem

., .,. 2 . _b+.Js.b==I±.Js.b.cumca d'- - db - b2 == O. Ca ecuape ill d, discrurunantul este ~ == 5b , decl d - 2 2

b, d E IQ , deducem b == d ==o. in conc\uzie rangE"* I.2. a) Fie I E M si x E R . Avemj{x - I) ==j{(x - I) + I) ==j{x), deci -I EM.. < +.b) Fie Ii>12 E M si x E R . Dinj{x) ==j{x+ II) ==j{x + II - (2) rezulta II - 12 E M, deci M - (R, ).c) De exemplu, functia parte fractionara.

Subiectulllla lim f(x) == lim arctg x == 1(/ 4 ==!.£. b) f'(x) == arctg x + ~ -I , \I x E R .

1. i) x-+Ix3 -1 x-+Ix2 + X + 1 3 12 x + 1f(x) x 1 1( . I' (f() 1() limx(arctgx-IE.)_IE..c) limf(x)==oo,Lim--==lim-=-arctgx==-~lx~ x-2x == HOC> 2 2

X-+CiO x-eec X x-eec X 2

arctg x - !!... _1 -2 . x2 . (f() _ IE.x) == -1 _ IE.,Deoarece li 2 == lim l±.L == - hm -- == -1 rezulta ca lim x 2 2x..! 1 x-+«> 1 x-+«>1+ x2 x-+«>

X -7deci dreapta de ecuatie Y ==!!...x-I -!!... este asimptota oblica a graficului catre +00.

2 2

3

2. a)!x:: 4 dx = !(1- X2: 4) dx = 1- 4 .~ arctg ~ [ = 1- 2 arctg ~ .

b) !~dx=.!. !(x4+2)'dx=.!.In(X4+2)1' =...!..In1.X4 + 2 4 X4 + 2 4 0 4 2 .

k

c) a. = ~t(): a(j,6.,<) , adica suma Riemann asoci ••• functiei I, [0,1]-> R,/(x) =---"-1=' Ii + 4 x2 + 4 '

n

di .. .. A (0 1 2 n 1) . . . kVIZluml u. = < - < - < ...< - = ~l sistemului de puncte intermediare ';' - - k -1 An n n 1-n' -,no ~adar

lim a. = r f(x) dx , deci sirul e convergent.n-+ao .1

Testul27Subiectull

3 a,1.a2 = 2, as = 16, => q = - = 8 => q = 2.

a2

2. p..+!L=p2+q2 = (p+q)2_2pq =36-6=10qp pq pq 3 .

1!_1! 2k k 1!•..• 3. x +"4 - 2" + 1!, e Z => x = "4 + 2k1! , k e Z . 4. Sunt 26 = 64 de submultimi. Nu convin cele

w~ formate doar cu numere pare, ~i anume submultimile multimii {2, 4, 6}. Acestea sunt 23 = 8, deci

~ raman 64 - 8 = 56 de submultimi. 5. AB· AC = 4·4 -cos BAG = 16· cos60° = 16 . .!. = 8.Q 2

sin 2 a tg2 a II9 _ 1sin2 a + cos" a = 1+ tg2a = 1+ II9 -TO .

u.:•

x

•42

--.rwl-oo /' 0 /' (max) ~

Asadar, x = 1 este singurul punct de extrem (minim) al functieij"

(\

2x ~/-I 1 1 I· .2. a) 1

1= r_-

2dx=I-2 d/= In/+-) =1n2+--1=1n2--,cuschimbaredevanabile/=

.b (x + I) 1 1 I 2 2

x+l,dt=dx.

n t +21 +1 = rx'(x2+2x+l)dx=rx'dx=_I_.

v .+2 .+1 • .b (x + 1)2 .b n + 1

x" 1c) Avem In ~ 0, deoarece --2 ~ 0, '<:Ixe [0, 1] si n ~ I. Atunci 0::; 1. ::;--, de unde limi = 0 .(x+l) n+1 .-+'" •

Testul28subiectull

(I+ i)2 1-2i -1. .1. Z=--2-= =l,decl Re a= Il . 2.xt+x2=5,xtx2=2,decixt+x2-xtx2=3.l-i 2

3.j(x) = ft.y) ~ x>+ x = l + y ~ (Xt - y)(x + Y + 1) = 0 ~ x = y, deoarece x + y + 1 > 0 pentru orice

x e[O 1] 4.C50 =~. 2C50=2.~=100.~=~ ce bui,y ,. 100 50!. 50! ' 99 49!. 50! 50 49!. 50! 50!. 50! ' ea ce tre uta arlitat.

5.IDA+ABI=IDBI=DB=2. 6. Avem x=51! ,deci tg2x=tg51! =tg(21!-!!..)=-tg!!..=-fi.6 3 3 3

Subiectul "1 a a2 1 a a2 1 a a2

1.a) tJ. = 1 b b2 0 b-a b2 _a2 =(b-a)(c-a)· 0 b+a = (b - a)(c - a)(c - b).

1 C c2 0 c-a c2 _a2 0 c+a

b) Deoarece a, b, c sunt distincte, rezultli ca numerele b -a, c - a si c - b sunt nenule si deci tJ. * O.Cerinta rezultli din teorema lui Cramer.c) Polinomul f(t) = x + ty + t2z - 13 are radacinile distincte a, b. C. Din relatiile lui Viete rezultli z = a

+ b + c,y=-ab-bc-ca,x = abc.

2.a) Avem solutiile x = 3 ~i x = 9.b) Daca x2 = 1, atunci x e U(ZI2) = {I, 5, 7, 9} . Toate cele 4 numere verificli ecuatia.

A A A A 10 A A

c) Daca x" = 1, atunci x e U(ZI2)' deci x2 = 1. Atunci xlO = 1 ,deci x" = 1~ x . x = 1~ x = 1 .

Subiectul III1. a) Functia f e continua, deci nu are asimptote verticale, lim f(x) = 0, deci dreapta y = 0 este

_T-io±«>

asimptotli orizontala a graficului spre ±ro.1 2

b) f'(x) = m ~ ,deci 1'(0) = m . Rezulta m =1.(l+x)

c) Avem f'(x) = 0 ~ x = ± I. Pentru m > 0, alclituim tabloul de variatie al functieif:

x -<Xl - 1 1 +00 Din tabel, deducem ca l!(x)l::; Im2

1, '<:Ix e JR ,f'(x) -- --- 0 +++ 0 --- --

m m deci valorile cautate sunt m e [-2, 2].f(x) 0 ~ 2 /' 2 \., 0

2.a) F(I)= ff(t)dt =(~+et) /' =.l+e_1 =e-1.003 3

b) Avem F(x) = (~+ et) /x = eX + x

3-I. F' = f > 0 , deci F este strict crescatoars, lim F(x) = ao

2 0 3 x ..••., ,

lim F(x) = --a:> , deci F(lR) = lR . Functia F este injectiva ~i surjectiva, deci este inversabilaX-+-a) •

c) Cu schimbarea de variabila t =yl(X) avemx =F(t), dx =j{t) dt, p-I(O) = 0 si P-I(e-l) = I de .3 ' CI

.-1 ,,(.-tlf P-I(x)dx= f tf(t)dt= !tf(t)dt= !t3dt+ !tetdt= .1+tetf - !etdt=.1+e_et/1 =~.o ,'(0) 4 0 4 0 4

Testul29Subiectull

1. V64 = 4 , IglOO = 2 ~i Jfi > Jl6 = 4 , deci IglOO < V64 < Jfi .2.d = 3

2- 4·4 < 0, deci 4~ + 3x + I > 0, '<;IxE lR. 3. x + I = tg!!" => x + I = I => x = 04 .

4 C2 n(n -I) d . 2 ()• n =--2-' eCI 2n+270=n -n~n n-3 =18·15,deunde n=18.

S. ii . v = I . 2 - 3 . I = -I < 0, deci unghiul vectorilor este obtuz.

2 AB2+Ac2 BC2 25+4936 .6.ma 2 --4-= -2--"4=37-9=28,decl ma=2J7.

u.:• Subiectulll'j 1.a) detA(x) = cos2x + sin2x = I.s~ (COSXCOSY-SinXSiny -sinycosx-sinxcosy OJ (COS(X+ y) -sin(x+ y) 0]3 b) A(x)A(y)= sinycosx+sinxcosy cosxcosy-sinxsiny ° = sin(x+y) cos(x+y) ° =A(x+y).

. ° ° I ° 01~

~ c) Cum A(x) . A(-x) ~ A« - x) ~ A(O) ~ 1" atunci (A(xW' ~ A( -x) ,x E IR .deci ( A ( { )r~A( _{)A.

~ 2. a) Ecuatia se scrie x(~ + x- 13) = O.Rezulta z, = 0 ~i ~ + x- 13 = O. x = -l± Ji05; , 2,3 4 .

~ b) ml2

+ x; + xi = (x, + x2 + XJ)2- 2(X,X2 + x,XJ+ X2X3) = (_.1)2 _ 2. -13 =.1 + 13 = 53z 2 2 4 4'~ca: c) Cum X,X2XJ = - m2 ' rezulta XJ= - m, de unde _ m

3+ m2 + 13m + m = 0 adica _m3 + m2

~ 2 4 4 2 '~ + 30m = O. Obtinem ml = 0 sau m2 - m - 30 = 0, de unde m2 = -5 si m3 = 6. Cazul m = 0 nu convine,a conform lui a). Daca m = -5, avem X3 = -% ~i 2x3 + ~ - 13x _ 5 = (2x _ 5)(~ + 3x

~ + I), rndacinile polinomului ~ + 3x + I satisfac X,X2 = 1. Daca m = 6, avem X3 = -3 ~i U + ~ _! -13x - 5 = (x + 3)(~ - 5x + 2), cu aceeasi remarca,Z SubiectulllJ-e~

•1. a) Avem f'ex) = 1_ < 0, '<;Ix>0, decifeste strict descrescatoare pe (000)x(x+l) , .

b) Dreapta y = 0 este asimptota orizontala, deoarece lim f(x) = 0, iar dreapta x = 0 este asimptotax ..••.,

verticala, intruciit lip1f(x) = +00. Fiind continua pe (0,00) ,fnu admite alte asimptote verticale.••0

,\ f(l) + f(2) + ... +f(n) = In(l.l.i ..... ~. n + I) = In(n + I) => lim(f(l) + f(2) + ... + fen») = 00.c, I 2 3 n -I n •...•.,

2.a) rlnxdx=xlnxl> r x(lnx)'dx=e- r dx=e-(e-I)=l.

b) r eXf'(x) dx = eXf(x) I: - r (ex)'f(x) dx = e' - r eXf(x) dx => r eX(f(x) + f'(x» dx = e" .

Ic) ff(x)dx=xlnxl:- f dx=-tlnt-(I-t)=-I+t-tlnt.Cum~tlnt=~~t =~ II =0,

,>0 ,>0 I '>0-(2

rezultii lim(-I + t -tint) = -I.,~o

Testul30Subiectull1.1 z 1= -19 + 16 = 5. 2. Rezolvam ecuapaj{x) = 0 => ~ - 3x + 2 = 0 => x, = I ~i X2 = 2. Punctele de

logs 2x I I 2 deci . .intersectie suntA(I, 0hi B(2, 0). 3.Avem log2S2x = -- = - ogs x, eCI ecuatia se sene:logs 25 2

2 logsX = logs2x ~ log~ = logs2x ~ ~ = 2x, deci x = 2, pnand cont ca x > O. 4. C; = ~: ~:~ = 35 ;

~ = 6·5 = 30 => C; - ~ = 5. 5. Panta dreptei d, este ml = 112. Panta dreptei d2 este mz = -a. Din ml

= m2 obtinem a = _.1 . 6. Din sinx + cosx = I rezulta sin2x + 2 sinx cosx + cos2x = I => sin 2x = O.2

Subiectulll

1.a) detA = 3(1 -a). b) Pentru a *' I, rangA = 3. Daca a = I, I~I ~ I*'o implica rangA = 2. Deci a = 1.

c) £' =_I_.A• =.l.[~3 ~2 ~Il.detA 3 -3 I 2

2.a) f = X2(X2 + I) - X + I = g ·(X2 + I) - X + I. Restul impartirii luiflag este -X + I.

I I I I X,X2XJ + X,X2X4 + X,XJX4 + X2XJX4 -1- Ib) -+-+-+-= - - .x, x2 X3 x4 X,X2X3X4 I

c) Pentru orice a E R , avem a" - a + I> 0 , deci f(a) = a4 + (a2 - a + I) > 0 . Ca unnare,f nu arenicio radacina reala,

Subiectul JII

1.a) lim Inx = lim~ = I = f{l) , de unde rezulta cerinta.x ..••1 x-I x ..••1 I

.1-1b) lim f(x) - f{l) = lim In x - x + I = lim-x-- = _.1 . De aici rezulta ~i caf este derivabila in x = I

••••• 1 x -I x ..••, (x _1)2 •...•1 2(x -I) 2

c) Avem I'(x) x-I-xlnx V I(x -1/ ' x ~ I, x > 0, si F(I) = -2' Considerarn functia g: (0,oo]~ IR,

definita prin g(x) = x -1- xlnx . Avem g'(x) = -Inx si, din tabloul x 0~~~~--~I~~~~de variatie alaturat, deducem cll g(x) < 0 pentru orice x E (0,1) u(1,co] f '(x) + + + + + 0 _ _ __si, in consecinta'/'(x) < 0, "Ix> O. f(x) - 1/'0 \.

2.a) 1Xdx=i../I

=..!.,decigEM b) rh(X)dx=X3/1 +X2/1 +a=..!.+..!.+a·h M _ ~2 0 2 .I> 3 2 3 2 ' E ~ a - --o 0 3 .

c) Fief E M Atunci If(x)dx=..!.= r xdx~ r (f(x)-x)dx=O Conform t . d2.1>.1> . eoremei e medie,

exista c E [0, 1] astfel incatj(c) - c = 0, ceea ce trebuia aratat,

Testul31Subiectull

1.Q I 2 12

1. Avem a=(iOY/3=23, b=43=23 ~i ab=23 =24. Cum c=!4=2,avemab=c4• 2.Cumf

este strict crescatoare, 1mf = [1(1),/(2) ] = [3,5]. 3. (%J = (%r-I

~ x = -x -I ~ x = _..!. .

4. Fie n numarul elementelor lui M Avem 2"..1 submultimi de cardinal impar, deci 2"..1= 32 ~ n = 6.

5. AB + A C = 2 AD, D fiind mijlocul laturii Be. Cum AD = AB . sin 60° = .J3 . .J3 = 1. rezulta2 2' L4

I AB + AC 1=3. 6. sin(x + n) = -sinx ~ sinx sin(x + 1t)= -sin2x ~ 0, "Ix E lR ....:• Subiectullli1••) A'=[~ ~ ~]'A3=03' b) A'A'=[~ ~ ~].[~ ~ ~]=[~~ ~]~irangAAI=2.o 000 000010000i c) Daca exista BE M3(C) CUF= A, atunci AB = BA, deoarece AB = B2 . B = eJ = B .F= BA. Notand

l~ B = [: ~ :], avem AB = [: ~ ;], BA = [~ : ~], deci x = u = v = 0, a = y = t, b = z ~:E uvt 000 Ouvs! B=[ ~ ~ nAvem det-i =Oo>de~=O=> det8=00>.=0 Obtinem B' =[~ ~ ~]'A~ !.a) ~uma coeficientilor poli~omului ~stej(l) = (I - 2)10- 1 - 2 = -2.~ ~ PollDomul are gradul 100, tar coeficientul lui A'" este 0, deci suma radacinilor este O.•••• c) f = (g + X)IO -X _ 2 - 10 CI 9X 9 9 10it d . -g + 109 +".+ClOgX +X -X-2= g.(g9+Cllog8X+ ... +C~OX9+1)~ eCI g If.!:eII:oe!It

Subiectullll

I

1. a) limf(x) = lim..!.. = lim....!..= o.x-eec X-+0::1 e" x-eeo eX

b) Avem f'(x) - -x -x (I ) -x .- e - x e = - x e . Denvata se anuleaza o

x -00 1

f'(x) + + + + + 0

f(x) -00 /' \.e

6

in x = I;din tabelul de variatie alaturat, rezulta cerinta.

c) Prin inductie, cum f'(x)=(-I)I(x-l)e-X si j<"+ll(X) = (f<"l(x»' = (-I)" e-X-(-I)"(x-n)e-X =

= (-I)n+I(x - (n + I» e-x , rezulta conc1uzia.

2 a) ! = If.-Ldx = I{ .!._1.+ 9 )dx = (X2 - 3x + 2. In(2x+ 3))11

= -..!.+2.Jn~ .• 2 0 2x + 3 ~l2 4 4(2x + 3) 4 4 8 0 2 8 3

n u +31 = rx"(2x+3) dx= xn+

1II =_1_

"n+1 n.l> 2x + 3 n + Ion + I

"+1 x"c) Deoarece 0 s x s I, avem O~_x--~--~O~! ~! Atunci 5! >2! +3! >5!:I 2x + 3 nx + 3 n+1 n . n - n+1 n - "+1

~5! ~_1_~5! I~ _n_~n!n~..!.~ limn!n=..!.n n+1 "+ 5(n+l) 5 HOO 5

Testul32Subiectull

1. I z I= -I 2 .1= b=.J2 .2. Avemj(x) =y ~ ~ - x - 6 = 0, de unde x = -2 ~i x = 3. Punctele sunt1+1 ,,1+1

A(-2, -2) ~i B(3, 3). 3. log93 = ~; log, 2 = ~ ~ XII2= 2 ~ x = 4. 4. Suma este (1 + 1)10= 210, sau

~o + C:o+ ... + C:g = iO . 5.Ecuatia dreptei BC este y -I = x -I ~ x -I = 2(y -I) ~ x - 2y + 1= 0 .2-1 3-1

A.. I' 11-2·0+11 2 c . (1!) (1! ( 1!))Inaltimea dID A are ungimea .JI + 4 =.J5' 6. um SID X + "4 = cos "2 - x + "4 =

=cos({-x), rezulta sin (x + {)cos( {-x) = = sin2(x+{) ~ 0, "Ix E s .

Subiectulll

1. a) Fie X =(x y) ,x, Y E n. Avem AX =(6X 6Y+4X)=XA.o x 0 &

b)A2=(3: ::).12A=C: ~~).36I2=(3: 306)~A2_12A+36h=(~ ~)=02.

c) Avem B E M, deoarece AB = (F + B)B = B3 + F = B(B + F) = BA, deci 3x, y E R, B = (~ ~).

Rezulta B2 = (X2 2XY) , B2 + B = (X2 + x 2xy + Y) , adica ~ + x 6, 2xy +o x2 0 x2 +x

. 4. (2 4/5). 4. (-3 -4/5)+y=4.0btlDemx=2, y=S ~I B= 0 2 ,apOlx=-3, y=-S ~I B= 0 -3 .

••2. a) Fie x, y E M ~ 3p, q E Q cu x = COSp1t+ i sinp1t, Y = cosq1t + i sinq1t ~ xy = ~

•= cos(p + q)1t + i sin(p + q)1t. Cump + q E Q, rezultaxy EM'b) Inmultirea este asociativa, elementul neutru este 1 = cos 0 . 1t+ i sinO· 1t E M (pentru ca 0 E Q ), iar iinversul elementului x E M este X-I =.1 = COSpx - isin pst = cos( - p)1! + i sine- p)1! E M (pentru cll

x

p e Q ). De aici rezulta cerinta.

c) Fie p, q e Q. Avem de demonstrat ca fl.p + q) = fip) . j{q), ceea ee revine la identitateacos(p + q)1t + i sin(p + q)1t = (cos pt: + i sinp1t)(cos q1t + i sinq1t).

Subiectullll

1. a) Evident XI =~~4; X.+I =(X._4)2+4~4, ':.In~ l,decixn~4, ':.In~ 1.

b) X.+I - X. = x; - 8x. + 20 - X;_I + 8x._1 - 20 = (x. - x._I)(x. + x._1 - 8) , n ~ 2. Cum

Xn + Xn-I - 8 ~ 0, rezulta ca Xn+1- Xn are acelasi semn cu Xn - Xn-I , deci, inductiv, cu X2 _ X

(1)2 I 9 I·Cum X2 = 4+"2 = 4+4" <"2 = XI rezulta Xn+1-Xn s 0, '<In~ I.

c) Conform teoremei lui Weierstrass, sirul este convergent. Notam / = lim an : Trecand la limitn-+«l La

obtinem P - 9/ + 20 = 0 => / = 4 sau / = 5. fusa x. ~ XI = 2. => / ~ 2. => / = 4 .2 2

2. a) Derivata primitivei este I> 0, deci primitiva este strict crescatoare, de unde rezulta injectivitatea.

b) Cu schimbarea de variabila t = sinx, dt = cosx dx avem [/2 co~x dx = arctg(sin X)II =!!....1+ sin ' X 0 4

oIA ·2 sin2x tg2x . I+tg2xc/ vem sm X = . 2 2 = --- , deci I(x) = . Atunci

sin X + cos X I + tg2X 1+ 2 tg2 X

iil [14 _ 1 [14 (tgx)' 1 r dt 1 IIe: I(x) dx -"2 2 I dx = "2.b --I = r: arctg(tF2) = ~ . arctg f2 .:;;;: tg x+- t2 +- ,,2 0 ,,2~ 2 2ou.:. Testul33

Subiectul "I -2 I

1. a) !l= a I -2 =5a+4.-I 3 I

-2nul: 1

3

1 05

-2 1 =4b+3+2-b=3b+5=> b=-3·1 b

x = (1+ 2a a), y = (1+ 2b b) .2. a) Fie X; Y eM=> exista a, b E (-1, (0) astfel incat -2a 1- a -2b 1- b

(I+2(a+b+ab) a+b+ab)XY= eM,deoareceab+a+b=(a+l)(b+I)-I e(-I (0)

-2(a+b+ab) 1-2(a+b+ab) , .

b) Notand u(a)=(I+2a a), am aratat cli U(a)· U(b) = U(a + b + ab), '<la, b >-1. lnmu1tirea-2a I-a

este asociativa, are elementul neutru 12 = U(O) E M (pentru ca 0> -I), iar inversa matricei U(a) este

U ( __ a_) EM, deoarece __ a_ > -r.I+a I+a

c) Observant j(a) = U(a - I). Functia este inversabila, deoarece U(x) = U(y) ~ X = Y sia e (0, (0) ~ a - I e (-I, (0). Functia j este morfism, deoarecej(ab) = U(ab - 1) ~ij(a) j{b) == U(a-I) U(b-I)= U(a-I +b-l +(a-l)(b-I» = U(ab-I).

Subiectullll

al/'(x)=2x(x+I)-(x2-2) x2+2x+2,'<IxelR.

1. / (x+l)2 (x+li

b) lim I(x) = 00, lim I(x) = I si lim(f(x) - x) = Iim -2 - X = -I , deci y = x-I este asimptota oblicaX-+aJ x-+oo x x-+oo x-JotO X + 1

spre +00. lim I(x) =.=!. = -00 , deci x = -1 este asimptota verticala. Functia este continua, deci nu mais ...•-l +0

admite alte asimptote verticale.c) Cerinta revine la rezolvarea ecuatieif'(x) = 2, x E (-I, (0). Avem ~ + 2x + 2 = U + 4x + 2 <=>~ ~ + 2x = 0 => X = O.

[

/22. a) A + B = dx = 1! / 2 . b) Cu schimbarea de variabila t =!!...- x avem dt = -<Ix si

2

Sin(!!...- t)A = _{ 2 dt = r/2 cost dt = B .

12sin (~ _ t) + cos (~ _ t) cos t + sin t

c) Din punctele anterioare rezulta A = 1tI4.

Testul34Subiectull1. a) Avem 20b = (20) b = 3b = 4, deci ab = 2.2. Cautam a, b e lR astfel clij(x) =ax + b, x e lR . Avem

j(0) = 2 => b = 2;j(4) = 4a + b = -4 => 4a = -6 => a = -~ . Atunci I(x) = -~x + 2 ~i 1(1) = ~ .

3. X +!!...= arctg 1+ kn , k e Z => x = kn, k e Z. 4. Sunt 9 elemente in produsul cartezian. Verifies4

1 ..perechile (2, 3) si (3, 2). Probabilitatea este 2/9. s. Panta dreptei date este -3· Panta perpendicularel

este 3 ~i ecuatia este y = 3x. AB2 + AC2 _ BC2

2AB·AC25 + 64-49 = 1., deei A = 600.

2·5·8 26. eosA

Subiectul "

I • (2 -I] (3 3J (14-a 8-5]1.a)detC=I, C- =C = . b) AC= , CB= =AC.-3 2 3 2 21-18 12-10

c) Pentru n = I ~i din AC = CB obtinern B = C-'AC. Atunei B" = (C-'AC)" = C-'AC- C-'AC ... C-'AC =C-'M ... A C = C-'A"C, Vn ~ I.

2. a) p=)(l()(l + 3X+ 3) +)(l +aX+ b = ()(l + 1)/+ (a-3)X+ b- 3, deei a = b = 3.

b) (x, x2i + + (X3 x4i 3(X,2+ xi + xi + x:) - 2(X1X2 + ...+ -XJX4)

= 3(x, + ...+ X4)2 -8(X,X2 + + xJx4) = 3(-3)2 -8·4 = -5.

c) Daca toate radacinile ar fi reale, atunci (x, + X2)2+ ...+ (X3- X4)2~ 0, contradictie.

Subiectullll1. a)f' (x) = e<+ I > 0, deci Ieste strict crescatoare.

b) Avem Iim/(x) = 00, lim I(x) = --00. Din continuitatea functiei I rezulta j{ IR ) = IR , deci I estex-+oo X-+--<Xl

surjectiva.

c) Din punctul a) rezulta bijectivitatea functiei.r. deci I este inversabila.

de unde, pentru ca j{0) = 2 deducem (r'), (2) = _1_ = 1. .1'(0) 2

Avem if'y (j(x)) ·f'(x) = I,

~1&1

~ r/2 I . 1"2 1iC 2. a) .b.J dx=arcslllx 0 =-.:!) l-x2 6

; b) Notand 10I -x', "'0 -ze dr, avem !X~I-x' ~-H,fi "'0 H'''' dl 01;' I: o~

f c) Subgraficul este un sfert din cercul unitate: y = .J1- x2 ~; = I _ x2 ~ x2 + ; = I. Aria este !!...a 4u;; Testul35z~ Subiectull~~ 1.a,=8,alO=71~ SIO=8+71'1O=79.5=395.• 2

::t 2.j{x) = g(x) ¢:> 3x2 - 4x + 7 = O. Cum 6 = 16 - 4·3·7 < 0, ecuatia nu are solutii.~Z 3. cos(x-!!")=COS(2X+!!") ¢:> X-!!..=2x+!!..+2k1i k E Z sau X-!!"=-2x-!!"+2k1i k E Z.oC 2 3 2 3' 2 3 'III

! Obtinem XE{_5; + 2k1i 1 kEZ}uL~ + 2~1i 1 kEZ}.ci

.:. 4. Avem C,2= H = 21 . n2 - 4n - 21 = 0 n E N ~ n = 7o 2' , .

~ S. Punctul 0 este roijlocul diagonalelor AC ~i BD, deci OA + OC = OB + OD = 0, de unde rezulta! concluzia.

~ 6. Inaltimea din A este egala cu JI6 - 9 = J7 , deci S = 3J7 . Cum p = 7, rezulta r = §.. = 3J7 .~ p 7

•50

~~~;::~:~ +12 . [ ~ ) + b [~IJ + [=~J = [~J' deci ab) Daca punctul pea, b) apartine tuturor eeJor 3 drepte, atunci a -3 m -I 0

. ., a rimelor doua. Rezulta 6 = 0, deci m = 4.treia coloana din 6 este combinatie liniara p ( 1 1 J

O d oarece rang 2 -1 = 2 . Sistemul este omogen,ente avem 6 *' , ec) Daca dreptele nu sunt concur , -3m

tibil determinat, cu unica solutie (0, 0, 0). ) ( t:compa 1 (+b.J2 b . c+d,,2

_ a ~l y=2. Fie X, Y E M ~ 3a, b, c, d E Q astfel ca X - 0 a _ b.J2 0

_ (a + c + (b + d).J2 b + d ) EM, deoarece a + c, b + d E Q .a) X + Y - 0 a + c - (b + d).J2

(ac+ 2bd+ (ad + bc).J2 ab+bc )EM, pentrucaac+2bd,ad+bc EQ.

b) XY= 0 ac+2bd-(ad+bc).J2., . a drnite elementul neutru O2 E M (pennc) Adunarea matricelor este operatic asociativa ~l cornutatrv , a . ..

. (-a - b.J2 -b) EM. inmu1tirea matricelor este operane asociativa = b = 0 E Q ) ~l -X = -a + b.J2 A •

o 1 b - 0) Cum M este inchisaI tul neutru hEM (pentru a = , - .distributive fata de adunare, ~u e emencele doua operatii, rezulta cennta.

Subiectullll11]) "(0) -loa-I

1.a) I~(x)=azloa-I, VXEA ~ Ja -. • (aZ _1.)=00Z • Z I)- lim x --II deoarece lim E- = 00 , rezulta ~(a - x - - Z-+'" X xb) Pentru a > , z ..••cc X

). I +00 Pentru a E (0, 1), a,lim f(x) = lim (aZ -1-1. = 00, deci graficul nu are asimptote a .

z ••••ec x x ••••'" X X • .X e +00 Rezulta a E (0, 1).• Z 0 d . - -x - I este asimptota spr .lim(f(x) + x + 1)= lim a = , eCIy - . IUl'Fermat rez

z-+OO d .. Dill teoremax ..••eo _ E IR x = 0 este punct e mlDlm.c) Deoarece Io(x) ~ 10(0) - 0, Vx ,f~(O) = 0 ~ lox = I ~ a = e.

Nota.Aveme<~x+ 1, Vx E IR.

2. a) I, = rSin~dx=-2cOS~1: =2.

x [0 1t] i sin ~ -1 :5: 0 .r· nx(. ~-I)dx:5:0 deoarece sin-~O,VXE , ~ 2b) I - I = Sill - Sill , 2

"+, n 2 2 . ., .or irul este converge. "x 0 '"' [0 1t] ~ 1~O.Fiind descrescator ~i marginit inferi , ~c) Avem Sill "2 ~ , vX E, "

Testul36

Subiectull1.B = {I, 2, 3,4,6, 12} =>A -B = {5}. 2. Ecuatia ./{x) = x se serie Ix-21=x-4. Daca x ~ 2,

ecuatia devine x - 2 = x - 4, ~i nu are solutii. Daca x < 2, ecuatia devine 2 - x = x - 4 => x = 3. Punetuleste A(3, 3). 3. Avem 32x

+1 = 3· 9x => 32x

+1 + 9x = 4 ·9x

• Ecuatia se serie 4 . ~ = 36 ~ ~ = 9, deei x =1.

" C"-I gali . C"-I C7 1 7 1 24.Deoarece C~ -C9 = 9 ,e tatea se sene 9 = 9 => n- = saun- = => n= 8 saun=3.

5. Punetul 0(0, 0) apartine dreptei d., Distanta dintre drepte este distanta de la 0 la d2: x - y + 1 = 0,

adica 10-0+11 =_1_.~e+(_1)2 J2

6. BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cos A = 19 => BC = Jl9 => 2R = ~C => R = .Jlj = .Jfi .smA •..••3 3

Subiectulll

(-2 -2.J3) (-8 0 J1.a) A2 = t: ; A3 = =-812,2•..••3 -2 0 -8

b) Deoareee A6 = 64 h, avem AS. J... A = 12 , deei inversa matrieei AS este J... A .64 64

e) Avem detr = detA =4, deci detX= ±2. Daca detX= 2, atunciX - (Tr X). X+ 2h = O2.eumx =A,

rezulta (TrX)X =X2 -212 =( ~ ~) => (TrX)2=6 =>trX= ±J6 deunde X =± h(~ ~).Daca detX = -2, atunci (Tr X) .X = X - 2 li = (-1 -.J3) => (Tr X)2 = -2, ecuatie tarn solutii in IR .

.J3 -I

2.a) XIX2+ X2X3+ XJXI= 3.b) Daca « XI> X2,X3, atunci 2x2 = XI + X3 => 3X2= XI + X2+ X3= 6 => X2= 2. Atuncij(2) = 0, deci 8 - 24+ 6 + m = 0 => m = 10.

e) Avem X2 = xiq, X3 = xil. Din 6 = xl(1 + q + l), 3=x~q(l+q+l), rezulta xlq=~ =>

=> x2 = 1. . Atunci I (1.) = 0 deci 1._1 + 1 + m = 0 => m = -1. .2 2' 822 8

Subiectullll

l.a) I'(x) = 1+ 1. > 0, Vx> 0, decij'este strict crescatoare.X

b)j{l) = 1 > 0, 1(;) =; -1 < 0 . Din continuitatea functieij'rezulta cerinta.

.\ 1(1) I() n(n+l) . n(n+l) 1 In n! Inn .c) + 2 +···+/(n)=--+In n!. Avem hm--2-=-;n!~nn=> 0~-2-~- si.cum

2 , ..•., 2n 2 n n

!~Inn = 0, rezulta lim In~! = 0 . Limita este egala cu 1. . (Altemativ, folositi lema Stolz-Cesaro).00 n n-too n 2

2.a) I(x) = 1.-+ => f/(x) dx = Inx 14 -1.ln(x2 + 1) 14 = 1.(5 In 2 -InI7) .X X +1 I 2 1 2

b) Notand t =~, dt = 2x dx, avem f X l(x2) dx = t f I(t) dt = ~(5In2 -InI7).

Testul37

Subiectull1. Z2 =.!. _1. + ..fj i= _.!. + ..fj i; z =.!. - .J3 i => Z2+ Z = 0 e IR . 2. Este necesar ~i suficient ca

44222 22

d ~ 0 ~ 1- 4m ~ 0 ~ m e [±,oo). 3. Fie y e [1, (0). ecuatiajix) = yare solutia X = ~y -1 e IR, deci

f e surjectiva. 4. Tk+1 = ctoo.J3k e Q ~ k e par, deci k e {O, 2, ..., l00}. Sunt 51 de termeni.

5.4=I+b=>b=7; a=2+4 =>a=3=>a+b=10.2 2

_1_+_1_ -.L6. t (x+!£)= tgx+ tgtrl6 =.J3 .J3 .J3 =.J3.

g 6 1- tg X tgtr / 6 1_1 ~3 3

1

1 =0.

-2

3"-1 + 1 3"-1 3,-1 1 0 3"-1

det(/3 + A") = (3" + 1) 3"-1 3"-1 + 1 3"-1 = (3" + 1) 0 1 3"-1 = 3" + 1 => 3" + 1= 82 => n = 4.

1 I 1 0 0 1

e) Cautam X e IR astfel incat{I3 + A){I3 + xA) = 13 ~ 13+ A + xA + xA2 = 13~ A + xA + 3xA = 03 ' de

unde (4x + I)A = 0 => X = -± . lnversa este 13- ±A . Altemativ, (/3 + Arl = det(/~ + A) . (13+ A)" .

82. a) Avem a - 4b = 0, 5b = 1 => b=~,a=~, care verifica -5b = -1, a+4b=S ~i

d + 9b2 = 1, deci matricea apartine lui G.

b) Fie X; Y e G => 3a, b, c. d e IR astfel incat d + 9Jl = c2 + 9Jl = 1 siX _ (a - 4b 5b) ,

- -5b a+4bi

(C-4d 5d) (ac-9bd-4(ad+bC) 5(ad+ bc) )eG deoarece I

Y= -5d c+4d . Avem XY= -5(ad+bc) ac-9bd+4(ad+bc)' ><v

(ac - 9bd)2 + 9(ad + bd = (a2 + 9b2)(c2 + 9d2) = 1. ~e) lnmultirea este bine definita pe G, este asociativa, are elementul neutru h e G (pentru a = 1, b =0), ~

. . • _I 1 (a+4b -5b)_ (a+4b -5b )eG. !;(iar inversul elementului X este X = a2 + 9b2 5b a _ 4b - 5b a - 4b ~

•35~

Subiedullll

1 .• I'() 1 x ,J;2;i+x ri:«a) x = +.J 2 = 12""-: >0,deoarece.Jx2+1>"X2=IXI~-X.

X +1 v x: + 1

1'(x) . .Jx2 +1-~x_/(x)

b) f'(x) = ~~ rex) = 2 R7l ¢:) (x2 + I) I"(x) ="x2 +1 X +1

= f'(x).J x2 + 1 - X f'(x) = f'(x)· ~ I'(x) , de unde rezulta cerinta,x+ x2 +1 I(x)

c) lim/(x) =00, lim I(x) = lim(I+~X2 ~IJ=2, lim(f(x)-2x)= lim(.Jx2 +I-x)=x-to<l) x-+oo x x-eee X X-+<O X-+Q)

= lim ~ = 0 , deci y = 2x este asimptota graficului spre +00.x-eee x2 + 1+x

1 1 1 12.a) I(x) = =--- ~ I(x)dx= (In(x+I)-ln(x+2»II = 21n2-ln3(x + I)(x + 2) x+1 x+2 o·

b) Notamt=lnx, dt=1.dx.Atunci r/(lnx) dz = r l(t)dt=2ln2-ln3.X x 1

c) Conform teoremei de medie, exista c; E [n, n + I] astfel ca [+1 I(x) dx = I(cn) .

iit Din n s; Cn::;; n + 1 rezulta I::;;cn ::;;1+1., de unde lim c, = 00 ~i lim Cn = I. Ca urmare~ n n n-+oo a-eec n '

i:>Q...;•

'S Testul38~a Subiedull~ 1·IAuBI+IAnBI=IAI+IBI~IAnBI=4:>~ 2. Xy = -1 = -~ , deci a = 2; Yy = 1- a + b = b -I ~ b = 2 . Atunci 2a + b = 6.

=auD.

~. 3. li~ = 1 ~ I~ = ±l. Rezulta ~ = 10 sau x2 = 1.. de unde x E { 10 10 __ 1__ I_}10' -vlU,vW, JIO'JIO .

:> 4S tC4fun" . 4~ • un 5 ctu stnct crescatoare ~i Cs functii strict descrescatoare. in total 2 C; = 10 .

~ s. Dreptele d, ~i d2 se intersecteaza in punctul (-I, -I). Atunci -I - a + I = 0 ~ a = O.

i 6. C= 180° - 30° -75° = 75° si sinC = sin 75° J6 +.Ji ~ R =-4f!- = 2(J6 -.Ji)~ 4 2smCa~ Subiectullle~ 1. a) X4 = (: ~J = BX. b) Demonstram prin inductie dupa n. Evident, BI = (~ 2; 1J. Din

~. Bn+

1= s: .B = (01

21nJ. '(01

2J (I 2(n + I)J: 1 = 0 1 ' n EN·, rezulta cerinta.

•354

c) Avem A =XIBX~ AIOO= ~X-JBX).:.(X-JBX~=X-JBJOOX. Din detX= 2 ~i X·=(~l ~lJdelOOori

obtinemX-l=t{~1 ~lJ.deci AJoo=H~l ~IJ(~ 2~0)(~ ~J=H~;:3 ~;~IJ.2. a) 1= (2X -I)· (X2 - X -I)+ 4; catul este X2 - X -I ,iar restul4.b) Din I = 2(X - x,)(X - X2)(X - X3) deducem .f{1) = 2(1 - x,)(1 - x2)(1 - X3). Pe de alta parte

.f{1) = 2 - 3 - 1 + 5 = 3, deci (l-x,)(I-X2)(I-X3) =t.

c) Din f' =_1_+_1_+_1_ rezulta _1_+_1_+_1_= /'(1) = 6-6-1 =_1..I X -XI X -x2 X -~ X-XI x-x2 x-~ /(l) 3 3

Subiedullil1. a) f'(x) = 1+ cosx ~ 0, Vx E lR . Deoarece multimea zerourilor functiei f' este fermata doar din

puncte izolate: f'(x) = 0 ¢:) X = (2k + 1)1t, k E Z , rezulta ca functia / este strict crescatoare.b) Avem X -I::;; /(x)::;; X + I, Vx E lR , de unde rezulta ca lim = ±<Xl. Functia este continua, deci

x~±-o

/(lR) = R , adicaj" este surjective.

c) Cum X-I ::;;I(x) ::;;X + 1 , Vx> 0, rezulta lim I(x) = I.Functia g(x) = .f{x) - X = sinx nu are limitaX X x x-eec X

la +00, deoarece x; = mt ~oo, g(xn) = 0 ~O si Yn =f+mr~oo, g(Yn)=I~I.

Rezulta ca / nu are asimptote catre +00. Analog, se arata ca I nu are asimptote catre -00. Dincontinuitate rezulta ca/nu are asimptote verticale .

r12 sin 2x I" 11</22. a) 12 = -.-dx=2 cosxdx=2sinx 0 =2.SillX

b) Cum sin(n + 2)x - sin nx = 2 sin 2x cos 2n + 2 x, rezulta In+2- In = 2 r cos(n + I)x dx =2 2

2 . ( I) 1"12 2· (n + 1)Jl'=--Slll n+ Xo = --Slll---.

n+1 n+1 2

. . n+1 '71 •• (n+I)Jl' 0 Ded ~X I I I r/2dx Jl'c) Daca n e unpar, atunci -- E tL" ~l sm--- =. ucem \AI 1= 3 = ... = 2013 = = - .222

Testul39

Subledull1. De exemplu x = -Ji + I, deoarece .Ji +x = 1E Q *.2. Functiaj" este crescatoare pe intervalul [xy = - ~ , + 00) . Trebuie ca - ~ ::;;2 , deci m ~ -8.

3. f = arcsin f .Functia arcsin: [-I, I] ~ lR este crescatoare, deci x E [ -1, f] .4. 5! = 120 ~i 6! = 720; rezulta n E {I, 2, 3, 4, 5}.

s. Mijlocul segmentului BC este Me; 1, 1~ 4) = M( 1,%). Mediana din A are lungimea

6. Avem st < 4 < 3; , deci punctul de coordonatli 4 pe cercul trigonometric este situat In al treilea

cadran. Rezulta sin4 < O.

Subiectulll

II 0 I .1. a) detA = 0 ~i 0 1 = 1.0 0 , deci rangA = 2.

b) A2 = [~ ~ ~]; A) = [~ ~ ~]. Din A3 = uA2 + vA obtinem 4 = 2u + v, I= u + v, de unde u = 3,202 404

v=-2.

c) X = A' = [ ~ ~ ~I], caci adjuncta matricei A veri fica relatia A· A' = A' . A = (det A) . I) = 0) .

-1 0 1

2. a) X-I dividef ~ fil) = O.Deoarecefil) = 4 + m obtinem m =-4.b) Cum 1 este radacina, avemf = (X -1)(X2 - 5X + 4). Obtinem XI =X2 = 1, x3 = 4.c) Daca r este riidacina dubla, atunci fir) = /,(r) = O. Din /,(r) = 3; - 12r + 9 = 3(r - I)(r - 3) seobtine r = I, pentru care m = -4, sau r = 3, pentru care dinf(3) = 0, rezulta m = O. Asadar, m E {O,-4} ....I

!AI

~ Subiectullll

SE 1 ,Iii f(x)-f(I) Ii ~+I decij" derivabi A::::l • a/ m = m a -- = +<xl, eCI nu este erivabila (la dreapta) ill X = 1.C x->I x-I x->I x-I

x>1 x>Iu:· lim (X_l)2 decij" d . bil A--2 = +<xl, eCI nu este enva I a ill X = -1.x->-I (X + 1)

lim "-..f-,-(X.t....)--'f~('--....!-I)x->-I x-(-I)

~-e~::::lo b) f'(x) = 3x

2-2x-I (x-I)(3x+I) = 3x+I , V'xER -{-I, I}.

I..} 3 ~(x -I)4(x + 1)2 3 ~(x -I)4(x + 1)2 3 ~(x -I)(x + 1)2

c) Derivata se anuleazli in X = -113 ~i are semnul trinomului 3r - 2x - 1 = (x - I)(3x + 1). Dupa cumse. v.ede ~i din tabloul de variatie, punctul X = 1/3 este punct de maxim local, iar X = 1 este punct demmim local, deoarece f este continua.

~· X -<X) -1 1::::l 3u~ f'(x) ++++ +++ 0 --- I ++++

~ f(x) /' 0 /' 2ifi -, 0 /'ffi 3d 2. a) 1(3,3)= !x2(1_X)2 dx= l\x2 -2x) +x4)dx= 1.._1+1..=...!....• 1 3 4 5 30

!AIis b) Cu substitutia t = 1 - x, avem I(P, q) = - r (1- W-1tq-1 dt = = r tq-I(1- ty-I dt = I (q, p) .~~ c) Integrand prin parti, avem I(p,q)= x

P.(I-X)q-'I' -! xP {q-I)(1-x)q-2(-I)dx=

Z PopcC. -0 q-I r p 2 q-l

~ - + -- 1X (1- xr dx = -- I(P + 1,q -1) , de unde rezulta cerinta.p p

•S6

Testul40

Subiectull1. Intersectia este vida daca ~i numai daca 0 + 1 s; 0 sau 0 ~ 1. Rezulta 0 E (-1, 1).2. Cautam 0, b, eE R , a= 0, astfel incatj'(x) = ax2 + bx + e, XE R .AvemfiO) = e~ e=O, fil) =0+ b + e ~ a+ b = 1 ~ifix) =4a+ 2b + e ~ 2a+ b =4. Obtinem e e, 3

2 'b = -2, e = 0 si fix) = 3x - 2x, X E R .3. Avem 2 sinx cosx = 2cos2x ~ cosx = 0 sau sinx = cosx ~ cosx = 0 sau tgx = 1 ~

~ xE{~+k7r1 kEZ}U{~+k7r1 kEZ}.

4. Tk+1 = C: (X))6-k -( ~ J = C; .X18-4k . Din 18 - 4k = 2 rezulta k = 4; coeficientullui r este C: = 15 .

S. AB=2T+2], AB=2../2; AC=-2T+3], AC=m.Avem AB·AC=-4+6=2;pedealtll.

parte, AB· AC = 2../2· m·cosIiAC . Rezulta cosIiAC = b.-.,,26

6. Avem !!.. < 2 < 7r< 4 < 37r , deci cos2 < 0, cos4 < 0 si cos2 . cos4 > O.2 2

Subiectulll

1. a) AvemdetA =-1, A,=[~I ~ ~I]'deci A-I=[~ ~ ~1].o -1 0 0 1 0

b) Pentru n = 2, egalitatea este evidenta. Pentru n = 3, aratam ca A3 - A = A2 - h. intr-adevar,

A2=[~ ~ ~], A)=[~ ~ ~] ~i A3- A2 - A + t, = 03, Daca pentru un n ~ 2 avem

001 010

An - Alt-2 = A2 - h, prin inmultire cu A rezulta Am-, - AIt-' = A3 - A = A2 - h, ceea ce probeaza cerinta,c) Avem AlOO - A98 = A2 - h, A98 - A96 = A2 - h, ..., A2 - h = A2 - h. Adunand cele 50 de egalitati

obtinem A 100 - h = 50(A2 - h), de unde A'OO = 50A2 - 49 I) = [~ 510 500].

o 0 1

2. Fie X, Y E M ~ 3a, b. e, d E Q astfel incat X = ( : 3:), Y = ( ; 3:).

a) X_y=(a-e 3(b-d))EM,deoarecea-e,b-dEQ.b-d 3(a-e)

(ae+3bd 3(be+ad))

b) XY = EM, deoarece ae + 3bd, be + ad E Q .be+ad ac+sbd

c) Din punctul a) rezulta ca (M, + ) e subgrup al grupului aditiv M2(Q) . Inmultirea este bine definitll.

pe M, conform punctului b). In plus, este asociativa, distributiva fata de adunare si adrnite elementul ••,neutru 12=(1 O)EM,pentrua=I,b=o.lnverSamatriCeiXeste X-I =-2-1-2 (a -3b) care!o 1 a -3b -b a :

II

apartine lui M deoarece ~, ~ E Q; a se tine cont ca a, b E Q implica ~ - 3b2 *' 0, :a-~ a-~ •

deoarece J3 j!: Q . Cerinta este demonstrata .

35

Subiectullll

b) f'(x) = 4(x3 - 6x), x E IR . Din tabloul de variatie, -16,0,.J6 sunt punctele de extrem ale functieij.

x -<Xl -16 0 J6 +00

f'(x) ---- 0 +++0--- 0 ++++

f(x) ~ - 35 / 1 ~ - 35 /

c) f"(x) = 4(3x2 - 6) = 12(x2 - 2) = 12(x - ..fi)(x +..fi). Derivata a doua se anuleaza in -..fi ~i ..fi sischimba semnul in jurul acestor puncte, deci sunt puncte de inflexiune ale functieij.

2 a) ~f(x)· f'(x)dx = f2(X) II = f2(1) - f2(0) = 2-1 =.1.• .lJ 2 0 2 2 2

b) V =7r £f2(X)dx=7r £(x2 +l)dx= 7r (~ +x) I~=17r·

c) Aria este S = ~f(x) dx= £x'l"(x) dx =x.";x+lI1

-Lx. ~ dx =..fi -£ X~l dx=.lJ 0 V x2 + 1 x2 + 1

=..fi -S+ln(x+)x2 +1) II,deci S =.1(..fi +In(l+..fi)).o 2

~::::;)ou•::;)Zcii~~•::;)~IUZ

i~ci•IU

Izc~

•358

Matematica pentru examenul de bacalaureat M1

Documents

Transcript of Matematica pentru examenul de bacalaureat M1