1

7/17/2019 1

http://slidepdf.com/reader/full/1563db8b2550346aa9a961526 1/8

9

CAPITOLUL 1

CORPUL NUMERELOR REALE

1) Mulţimea numerelor raţionale

Mulţimea numerelor raţionale este notată cu:

Q = {n

m | m∈Z si n∈ N*}

şi în această mulţime există unele proprietăţi şi operaţii cunoscute, care vor fi trecuteîn revistă.

a) Ordonarea numerelor raţionale se obţine cu ajutorul relaţiei „strict mai mare”

(>) şi avem următoarele proprietăţi: 1o) Pentru fiecare pereche de numere raţionale a şi b are loc numai una dinrelaţiile:

a = b, a > b, b > a;2o) Din a > b si b > c ⇒a > c (tranzitivitatea);3o) Dacă a > b atunci există c astfel încât a > c şi c> b; (intre 2 numere raţionale există o infinitate de numere raţionale)

Relaţia „strict mai mic” (<) se introduce ca relaţie opusă, adică: a < b ⇔ b > a.

Această relaţie are aceleaşi proprietăţi ca relaţia (>). b) Adunarea si scăderea numerelor raţionale

Pentru orice două numere raţionale a şi b există un unic element raţional numit sumalui a si b , notat cu:

c = a + b.

Această operaţie are următoarele proprietăţi:4o) a + b = b + a (comutativitatea);5o) (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitatea);6o) a + 0 = a (elementul neutru este zero);

7o

) a + (-a) = 0 (elementul opus a lui a este (-a)).Mulţimea Q înzestrată cu această operaţie devine grup comutativ ⇔ (Q,+) grup

abelian.Operaţia de scădere a două numere se defineşte ca operaţie de adunare cuajutorul opusului, adică:

a – b = a + (-b)O proprietate care arată legătura relaţiei (>) cu adunarea este: 8o) a > b ⇒ (∀) c∈Q avem a + c > b + c9o) a > b ⇒ -a < -b

Modulul unui numar rational se defineste astfel:

7/17/2019 1


10

10o) |a|=

<−

=

>

0

00

0

a pentrua

a pentru

a pentrua

O alta proprietate care face legatura intre adunare si relatia (>) este:

110) Dacă

>

>

d c

ba ⇒a + c > b + d

c)

Înmulţirea şi împărţirea a două numere raţionale

Pentru orice pereche de numere a şi b există un număr unic numit produsul lui acu b, care se notează a ⋅ b şi are proprietăţile: 12o) a ⋅ b = b ⋅ a (comutativitatea înmulţirii); 13o) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (asociativitatea înmulţirii); 14o) (∃) elementul neutru faţă de înmulţire notat cu 1 astfel încât a ⋅ 1 = a, pentru

(∀) a∈Q;

15o) (∃) elementul invers notat cu a-1 =a

1 astfel încât a ⋅

a

1 = 1.

Împărţirea a două numere se introduce cu ajutorul inversului, adică a împărţit la b≠ 0 se scrie:

b

a = a ⋅

b

1.

Următoarele proprietăţi arată legătura între operaţiile de adunare şi înmulţire: 16o) (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (distributivitatea înmulţirii faţă de adunare la

dreapta);

17o) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (distributivitatea la stânga).

Proprietăţile 12o ÷ 15o arată că Q cu operaţia de înmulţire are o structură degrup abelian adica (Q, ⋅ ) grup abelian, iar dacă ţinem cont de 16o si 17o rezulta

(Q, + , ⋅ ) este corp abelian.

Alte proprietăţi ale lui Q fac legătura între operaţia de înmulţire şi relaţia (>): 18o) a > b şi c > 0 ⇒a ⋅ c > b ⋅ c;

19

o

) a > b şi c < 0⇒

a ⋅ c < b ⋅ c.Cu ajutorul operaţiilor se poate arăta că dacă a > b rezulta:

a >2

ba + > b

proprietate care spune că între două numere raţionale se află o infinitate de numereraţionale.

20o) Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul raţional c > 0, există un numărnatural mai mare decât c.

7/17/2019 1


11

2) Mulţimea numerelor reale

În afară de mulţimea numerelor raţionale mai întâlnim şi alte numere care nu suntraţionale, cum ar fi: 2 , 3 , π, e, … Aceste numere au o infinitate de zecimale dar care

nu sunt periodice, adică nu pot fi puse sub formanm cu m∈Z si n∈N*. Introducerea

acestor numere care se numesc “iraţionale” se poate face în doua moduri:a) Cu ajutorul teoriei tăieturii în mulţimea numerelor raţionale;

b) Cu ajutorul limitelor de şiruri de numere raţionale. Pentru prima dată a fost introdus numărul real de către matematicienii Dedekind şi

Cantor când au emis teoria tăieturii în mulţimea numerelor raţionale. În cele ce urmează va fi expusă definiţia numărului real cu ajutorul teoriei limitelor

de şiruri de numere raţionale.

Definiţie:Fie {xn}n∈N un şir convergent cu termini raţionali (x n∈Q pentru (∀) n∈N). Se

numeşte număr real, numărul:x =

∞→nlimxn

iar mulţimea numerelor reale este:R = {x | (∃) {xn}n∈N ⊂ Q şir convergent, x =

∞→nlim xn}.

Observaţii: a) Mulţimea R conţine pe Q, pentru că (∀ ) a ∈Q, atunci considerăm şirul x n = a

(∀ ) n∈N care este şir constant şi evident că∞→n

limxn = a.

b) Mulţimea R conţine toate numerele iraţionale. Pentru demonstraţia acesteiafirmaţii considerăm pentru exemplificare numărul iraţional x = 2 care este un numărcu o infinitate de zecimale şi este neperiodic. Ne interesează să găsim un şir de numereraţionale convergent care are ca limită numărul real x = 2 . Cum numărul: x = 2 =1,414213562… are o infinitate de zecimale şi este neperiodic, atunci pentru a găsi un şir de numere naturale convergent definit în felul următor:

x0 = 1

x1 = 1,4 =1014

x2 = 1,41 =100

141

x3 = 1,414 =1000

1414

.

.

.

Evident că şirul este monoton crescător (xn < xn+1, (∀) n∈N) şi care este mărginit,deci există limita şirului şi evident că:

7/17/2019 1


12

∞→nlim xn = 2 .

Deci, este evident că pentru orice număr real există cel puţin un şir convergent denumere raţionale a cărui limită să fie acel număr real. În mulţimea R se definesc celedouă operaţii adunarea şi înmulţirea numerelor reale ca o extensie a operaţiilor de

adunare şi înmulţire a numerelor raţionale, adică oricare ar fi x, y ∈ R, atunci existăşirurile de numere raţionale {xn}n∈N ⊂Q si {yn}n∈N ⊂Q convergente cu:

x =∞→n

limxn şi y =∞→n

limyn

Definim:

x + ydef

=∞→n

lim ( xn + yn) (adunarea numerelor reale x şi y) şi

x ⋅ ydef

=∞→n

lim ( xn ⋅ yn) (înmulţirea numerelor reale x şi y).

Observaţie. Aceste două operaţii au fost introduse cu ajutorul teoremelor următoare:

∞→nlimxn + ∞→n

lim yn = ∞→nlim ( xn + yn)

∞→nlimxn ⋅

∞→nlimyn =

∞→nlim ( xn ⋅ yn).

Este evident că (R, +, ⋅ ) este corp, fiind verificate axiomele 4o ÷ 7o, 12o ÷ 17o de lanumere raţionale. Pentru exemplificare considerăm axioma 5o pe care o verificăm.

Oricare ar fi x, y, z ∈R, atunci există şirurile convergente de numere raţionale: {xn}n∈N ⊂Q, {yn}n∈N ⊂Q, {zn}n∈N ⊂Q

cu:x =

∞→nlim xn; y =

∞→nlimyn; z =

∞→nlim zn,

atunci să arătam că este verificată axioma asociativităţii:5oo) (x + y) + z = x + (y + z).

Dar (x +y) + z = (∞→n

lim xn +∞→n

limyn) +∞→n

lim zn =∞→n

lim xn + (∞→n

limyn +∞→n

lim zn) = x + (y + z)

datorită asociativităţii adunării în Q.

O imagine intuitivă a mulţimii numerelor reale ar putea fi dată în felul următor. CumN⊂Z⊂Q⊂R, atunci mulţimea Z ar reprezenta „stâlpii” unui gard inf init, mulţimea Q arreprezenta „scândurile” gardului, iar mulţimea numerelor iraţionale ar umple goluriledintre scânduri şi ar transforma gardul într -un perete infinit şi continuu. Cu aceastăimagine a lui R lucrăm noi cu dreapta reală.

O întrebare esenţială care se pune ar fi următoarea: În mulţimea R, numerele raţionale sunt mai multe decât numerele iraţionale?

Răspunsul la această întrebare nu poate fi dat fără o tratare a infiniţilor.

3) Cardinalul numerelor reale

Definiţie: Numim cardinalul unei mulţimi X şi se notează cu:

card X = numărul elementelor mulţimii X.

7/17/2019 1


13

Teoremă: Două mulţimi X şi Y pentru care card X = card Y ⇔ (∃) f: X →Y cu f bijectivă.

O tratare completă a cardinalului mulţimilor N, Z, Q şi R a f ost făcută pentru primadată de Cantor şi Dedekind. Mulţimea numerelor naturale N este o mulţime infinită care

poate fi numărată. Ei au notat acest cardinal al lui N cu 0 (alef zero – prima literă dinalfabetul ebraic – notaţie făcută în cinstea poporului lor), adică card N = 0

şi reprezintă infinitul de tip numărabil .Una din proprietăţile importante ale acestui infinit este:

0 + 0 = 0 (*)O demonstraţie a acestei proprietăţi poate fi făcută cu ajutorul teoremei prezentată

mai sus. Mulţimea numerelor naturale este formată din mulţimea numerelor pare şimulţimea numerelor impare. Dacă notăm cu:

P mulţimea numerelor naturale pare şiIn mulţimea numerelor impare, unde:P = {2n | n ∈N} şi In = {2n + 1 | n∈N}

atunci:

N = P ∪ In si P ∩ In = ∅.

Fie f 1 : N →P cu: f 1(n) = 2n pentru (∀) n∈N care evident este o bijecţie,atunci:

card N = card P = 0.

Fie f 2 :N → In cu: f 2(n) = 2n + 1 pentru (∀) n∈N este la fel o bijecţie,

atunci: card N = card In = 0.

Cum

N = P∪ In şi P∩ In = ∅

rezultă că avem:card N = card P + card In ⇔ 0 = 0 + 0. (*)

O problemă interesantă legată de această proprietate a lui 0 este următoarea. Unhotel avea o infinitate numărabilă de camere care la ora 2200 era ocupată de turişti (facemobservaţia că în fiecare cameră stă un singur om). La ora 2201 a mai sosit o infinitatenumărabilă de alţi turişti. Cum a procedat recepţionerul să cazeze atât turiştii aflaţi înhotel cât şi pe cei sosiţi mai târziu?

Proprietatea (*) poate fi scrisă la cazul general: 0+ 0+ …+ 0 = 0

Dacă mulţimea N are cardinalul 0, atunci Z care conţine pe N câte elemente are?Răspunsul la această întrebare este dat de corespondenţa bijectivă:

ϕ : N→Z cu

ϕ(2n) = n pentru (∀) n∈N

ϕ(2n+1) = -(n+1) pentru (∀) n∈N*

7/17/2019 1


14

atunci avem:card N = card Z = 0

adică mulţimea Z are tot 0 elemente cât şi submulţimea ei N.

Aceasta este o altă proprietate a mulţimilor infinite, adică o submulţime infinită are

tot atâtea elemente cât are şi mulţimea dată. Cum N⊂Z⊂Q, atunci se punea întrebarea cât este card Q?Cantor şi Dedekind au considerat mulţimea Q+ a numerelor raţionale pozitive pe

care au aranjat-o sub forma unui şir în felul următor:M={1̂ , 2̂ , 3̂ , …, p̂ ,…} unde:

p̂ =

n

m | m∈ N şi n∈ N* astfel încât m + n = p şi fracţian

m să nu mai apară într -o clasă

anterioară}atunci:

1̂=

10 = {0}

2̂ =

1

1,

2

0 = { }1

3̂=

1

2,

2

1,

3

0 =

2,2

1

4̂ =

1

3,

2

2,

3

1,

4

0 =

1

3,

3

1

.

.

.Atunci mulţimea:

M =

.......,1

3,

3

1,2,

2

1,1,0 .

Este evident că: M ≅ Q+, si:card M = card Q+

În plus între M şi N există următoarea funcţie bijectivă dată de corespondenţaf : N →M, dată de ta belul:

....33

12

2

110

....654321

atunci:card Q+ = card M = card N = 0

şi evident că avem: card Q = card Q+ = 0,

adică Q are tot atâtea elemente cât N.

7/17/2019 1


15

Cum N⊂Z⊂Q⊂R, se pune întrebarea cât este card R?Pentru început considerăm funcţia bijectivă:

tg : R→

−

2,

2

π π

apoiϕ1 : (0, 1)→

−

2,

2

π π

cu:

ϕ1(x) = πx -2

π

care este evident funcţie bijectiva, atunci

ϕ3 : (0, 1) R→

cu

ϕ3(x) = ϕ1(tg x) = π·tg x -2π

este bijecţie şi avem: card (0, 1) = card R.

Deci intervalul (0, 1) are tot atâtea elemente ca R. Presupunând că intervalul (0, 1) aravea 0 elemente, adică mulţimea (0, 1) poate fi aranjată sub forma unui şir, care poate finumărat, de forma:

M1 = {x1, x2, x3, ……., xn, ……..}care să conţină toate elementele din (0, 1), atunci acest şir se poate scrie ca un tablou cu o

infinitate de linii şi coloane, adică:

x1 = 0, a11 a12 a13…….a1n…….x2 = 0, a21 a22 a23…….a2n…….x3 = 0, a31 a32 a33…….a3n…….

.

.

.

xn = 0, an1 an2 an3…….ann…….

.

.

unde aij ∈{0, 1, 2, ……., 9} cu j ∈N* reprezintă zecimalele numărului x j pentru (∀)

i∈N*.Deci M1 cuprinde toate numerele reale din intervalul (0, 1), atunci numărul:

x0 = 0, 11a , 22a , ……., nna , ……

cu iia ≠ aii pentru (∀) i∈ N* este tot un număr din (0, 1) care nu se află în mulţimeaM1, pentru că dacă x0 ar coincide cu xn, atunci şi zecimala de ordin n care este nn

a ar

coincide cu ann (imposibil). Evident că este fals, atunci presupunerea făcută că intervalul(0, 1) ar putea fi numărată este falsă, deci cardinalul intervalului (0, 1) este mult mai mare

decât 0.Cantor şi Dedekind au notat acest cardinal al intervalului (0, 1) cu C,

7/17/2019 1


16

adică: card (0, 1) = card R = C

şi reprezintă infinitul de tip continuu- nenumărabil şi evident că: 0 < C.

Folosind funcţia bijectivăϕ3 : (0, 1) → (a, b)cu

ϕ3(x) = (b – a)x + aatunci:

card (a, b) = card (0, 1) = card R,adică orice interval de forma (a, b) ⊂R cu a < b are tot atâtea elemente ca R.Proprietatea (*) din multimea numerelor rationale Q are echivalentul in R:

C = C +C

În matematică s-a notat infinitul cu simbolul ∞ care poate avea diferite înţelesuri dela caz la caz. Dacă avem şirul {xn}n∈N şi calculăm∞→n

limxn, este de fapt corect să se scrie

0

limℵ→n

xn pentru că n parcurge mulţimea numerelor naturale care este o mulţime discretă şi

are card N = 0.

În cazul în care se calculează∞→ x

lim f(x) cu x∈R, atunci ar trebui să se scrieC x→

lim f(x),

deoarece x parcurge o submulţime continuă din R.

1

Documents

Transcript of 1