141_148

CAPITOLUL 4

TRANSFORMĂRI DE STARE ALE AGENŢILOR

TERMODINAMICI

4.1. Transformări de stare reversibile ale gazelor perfecte

Putem da multe exemple din care se trage concluzia că din cauza

fenomenelor disipative niciodată în natură un fenomen nu este perfect re-

versibil. Totuşi, pentru transformările de stare, presupunem într -o primă

aproximaţie că sunt transformări reversibile. Când însă pierderile sunt apre-

ciabile cum este cazul curgerilor în imediata apropiere a pereţilor, unde fre-

carea între straturi este foarte mare, nu mai au loc transformări reversibile.

Transformările de stare (transformări termodinamice) pot fi închise sau

deschise. Ne vom referi mai întâi la transformările închise care au ca ecuaţie

de bază expresia primului principiu al termodinamic ii pentru sisteme închise:

q = du + l = du + pdv [J/kg] (4.1)

Transformările deschise se bazează pe ecuaţia primului principiu al

termodinamicii scrisă pentru sisteme deschise:

q = dh – vdp + d dw

gz2

2

( ) [J/kg] (4.2)

4.1.1. Transformări de stare reversibile, particulare, ale gazelor perfecte

Pe parcursul desfăşurării unei transformări de stare revesibile, particu-

lară, un parametru de stare (p, V, T) rămâne constant sau este îndeplinită o

condiţie precizată; se presupune că pe durata transformării masa de gaz este

constantă, iar căldura specifică a gazului depinde numai de temperatura şi

natura gazului.

Transformările uzuale care prezintă interes practic sunt:

a) Transformarea izocoră (V = ct.)

b) Transformarea izobară (p = ct.)

c) Transformarea izotermă (T = ct.)

d) Transformarea adiabată (Q = 0)

e) Transformarea politropă (se modifică p, V, T, dar valoarea

căldurii specifice rămâne constantă: cn = ct.)

4. TRANSFORMĂRI DE STARE ALE AGENŢILOR TERMODINAMICI 138

Aceste transformări vor fi analizate separat în două situaţii: când trans-

formarea este închisă sau deschisă.

4.1.1.1. Transformări de stare reversibile, particulare, închise

Pentru fiecare transformare vom preciza legătura între parametrii de

stare, reprezentarea ei în diagrama p–v şi T–s, schimbul de lucru mecanic şi

căldură cu mediul exterior variaţia energiei interne şi a entalpiei agentului

termodinamic.

a) Transformarea izocoră

Pe parcursul acestei transformări volumul de gaz perfect studiat, rămâne

constant: V = ct., dV = 0. Dacă considerăm un proces de încălzire izocoră a

unei cantităţi oarecare de gaz perfect de la T1 la T2 (fig. 4.1) atunci prin îm-

părţirea ecuaţiilor termice de stare scrise pentru starea 1 şi 2 obţinem:

p

p

T

T

p

T

p

T

mR

Vct1

2

1

2

1

1

2

2

; . sau d

d

p

T

p

T

Transformările gazelor perfecte vor fi reprezentate în diagramele p–v şi

T–s într-o zonă situată în dreapta curbei limită a vaporilor (x = 1).

În diagrama p–v, transformarea izocoră va fi o dreaptă verticală; pentru

a stabili alura ei în domeniul vaporilor puternic supraîncălziţi al diagramei T -

s se consideră primul principiu al termodinamicii din care combinat cu prin-

cipiul doi se obţine:

q = du + pdv; q = Tds

ds = cv

dT

T;

2

1 2

1

1

2

lnd

T

T

vmvT

T

T

T

cT

Tcs

Fig. 4.1 – Transformarea izocoră în diagrama p–v şi T–s.

v[m3/kg]

139

Deci în acest domeniu izocorele vor fi curbe logaritmice cu panta:

T

s

T

cv v

Deoarece cv < cp, izocorele vor fi mai înclinate decât izobarele (fig.4.1.).

Lucrul mecanic schimbat de agentul termodinamic cu mediul exterior:

L1–2= pdVV

V

1

2

0 [J] (4.3)

sau pentru un kg de gaz: l1–2= 0d2

1

V

V

vp [J/kg]

Din fig.4.1 se observă că aria de sub curba transformării (dreapta 12)

este egală cu zero. Schimbul de căldură cu mediul exterior:

Q1–2 = mcvm

T

T

T T nC

T

T

T TM V

2

1

2 1

2

1

2 1( ) ( ), [J] (4.4)

Pentru un kg de gaz:

q1–2=cvm

T

T

T T

2

1

2 1( ) [J/kg]

Deoarece T2 – T1 = t2 – t1, relaţiile de mai sus devin:

Q1–2=mcvm

t

t

t t nC

t

t

t tM V

2

1

2 1

2

1

2 1( ) ( ), [J] (4.5)

q1,2=cvm

t

t

t t

2

1

2 1( ) [J/kg] (4.6)

Din ecuaţia primului principiu: q = du + pdv, deoarece v = ct., rezultă că

schimbul de căldură într-o transformare izocoră este egal cu variaţia energiei

interne a sistemului termodinamic respectiv:

q1–2 = u2 – u1 = cvm

T

T

T T

2

1

2 1( ) [J/kg] (4.7)

Transformarea 1–2 are loc cu aport de căldură, în diagrama T–s se obţine:

4.1 TRANSFĂRMĂRI DE STARE REVERSIBILE ALE GAZELOR PERFECTE


q T ss

s

a

b

1 2 d aria 12ba

Temperatura medie termodinamică la care are loc aportul de căldură se

obţine din relaţia:

Tm=q

s s

T s

s sb a

s

s

b a

a

b

1 2

d

Pentru o cantitate „m” kg de gaz perfect relaţia (4.7) devine:

Q1–2 = U2 – U1 = mcvm )( 12

1

2

TT

T

T

[J] (4.8)

Variaţia entalpiei gazului perfect se obţine din relaţiile:

H H H mc

T

T

T Tpm 2 1

2

1

2 1( ) [J] (4.9)

h h h c

T

T

T Tpm 2 1

2

1

2 1( ) [J/kg] (4.10)

b)Transformarea izobară

Pentru „m” kg de gaz perfect supuse unui proces de încălzire izobară (p

= ct., dp = 0) de la starea 1 la starea 2 (fig. 4.2), prin împărţirea ecuaţiilor te r-

mice de stare obţinem:

V

V

T

T

V

T

V

T

mR

pct

V

V

T

T

1

2

1

2

1

1

2

2

; .;d d

În diagrama p–v, transformarea izobară va fi o dreaptă orizontală, iar în

diagrama T–s va fi o curbă logaritmică, deoarece similar ca la transformarea

izocoră se poate scrie:

q = dh – vdp; q = Tds

Fig. 4.2 – Transformarea izocoră în diagrama p–v şi T–s.

141

ds = cpdT

T; s c

T

T

T

Tpm

2

1

2

1

ln

În domeniul gazelor perfecte panta izobarelor este dată de relaţia:

T

s

T

cp p


2

1

)(d 1221

V

V

VVpVpL (4.11)

Pentru un kg de gaz obţinem:

l1–2= p v p v vv

v

d ( )2 1

1

2

[J/kg]

Valorile lui L1–2 şi l1–2 se pot calcula şi astfel:

L1–2=p(V2–V1)=mR(T2–T1),

respectiv

l1–2 = p(v2 – v1) = R(T2 – T1) [J/kg]

Căldura schimbată cu mediul exterior:

Q1–2=mcpm

T

T

T T nC

T

T

T TM P

2

1

2 1

2

1

2 1( ) ( ), [J] (4.12)

q1–2 =cpm

T

T

T T c

t

t

t tpm

2

1

2 1

2

1

2 1( ) ( ) [J/kg] (4.13)

Grafic în diagrama T–s valoarea lui q1–2 este dată de aria 12ba.

Din ecuaţia primului principiu:

q = dh – vdp

pentru p = ct. se obţine: q = dh

h2 – h1 = cpm )( 12

1

2

TT

T

T

(4.14)

H2 – H1 = mcpm )( 12

1

2

TT

T

T

[J] (4.15)



Din relaţiile 4.12–4.15 se observă că schimbul de căldură cu mediul ex-

terior, într-o transformare izobară este dat de variaţia entalpiei gazului.

Variaţia energiei interne într-o transformare izobară se calculează cu relaţiile:

u = u2 – u1 = cvm

T

T

T T

2

1

2 1( ) [J/kg] (4.16)

U = U2 – U1 = mcvm

T

T

T T

2

1

2 1( ) [J] (4.17)

Din ecuaţia primului principiu al termodinamicii:

q = cpdT = du + pdv

se observă că pentru o transformare izobară închisă căldura schimbată cu me-

diul exterior serveşte atât la modificarea energiei interne (T2>T1) a gazului cât

şi la producerea de lucru mecanic (fig.4.2.).

c) Transformarea izotermă

Dacă menţinem T = ct. în cursul unei destinderi a „m” kg de gaz perfect,

între starea 1 şi starea 2 (fig.4.3), prin împărţirea ecuaţiilor de stare pentru

cele două stări obţinem:

p V

p V

1 1

2 2

1 ; p1V1=p2V2=ct.; pV=ct.

Relaţia pv = ct. reprezintă în diagrama p–v o hiperbolă echilateră; pe măsură ce ne depărtăm de originea sistemului de coordonate valoarea nu-merică a izotermelor creşte (T3 > T1 = T2).


L1–2 = p VV

V

d

1

2

; pV = mRT; p =mRT

V

Fig. 4.3 – Transformarea izotermă în diagrama p–v şi T–s.

b

d

c

a

143

L1–2=mRT V

VmRT

V

VV

Vd

1

22

1

ln [J] (4.18)

Pentru un kg de gaz obţinem:

l1–2 = RT1ln v

v

2

1

= 2,3 RT1lgv

v

2

1

[J/kg] (4.19)

Din fig.4.3 se observă că ariile A12dc = Aa21b, adică lucrul mecanic tehnic

este dat de relaţia (4.18). Ţinând cont de ecuaţia primului principiu al

termodinamicii: Q = dU + pdV, cu dU = mcvmdT = 0 obţinem:

Q1–2 = L1–2 = mRT1lnV

V

2

1

=p1V1lnp

p

1

2

[J] (4.20)

sau:

q1–2 = l1–2 = RT1lnp

p

1

2

[J/kg]

În diagrama T–s valoarea lui q1–2 este dată de relaţia:

q T s T s ss

s

b a

a

b

1 2 d ( ) aria 12ba

Deci schimbul de căldură cu mediul exterior este dat de valoarea lucru-

lui mecanic şi anume:

– Dacă gazul se destinde producând „N1” Jouli atunci pentru a menţine

T = ct. el primeşte din exterior o cantitate de căldură de „N1” jouli.

– Dacă gazul este comprimat, se consumă din exterior „–N2” Jouli, pen-

tru a menţine T = ct., gazul trebuie răcit extrăgând din el o cantitate de căldură

egală cu „–N2” Jouli.

Pentru transformarea izotermă, ca şi la energia internă, variaţia en tal-

piei este nulă: dH = mcpm dT = 0, deoarece dT = 0.

d) Transformarea adiabată

Într-o transformare adiabată schimbul de căldură între sistemul te r-modinamic studiat şi mediul exterior , este nul (q = 0). Din principiul doi al termodinamicii q = Tds rezultă că s = ct., deci o transformare adiabată re-versibilă se mai numeşte şi transformare izentropă.

Pentru a stabili ecuaţia transformării adiabate vom scrie ecuaţia primu-

lui principiu al termodinamicii pentru sisteme închise:

Q = dU + pdV; Q = 0

mcvdT + pdV = 0 (4.21)

Ţinând cont că cv =1

1kR

şi din ecuaţia termică de stare pV = mRT prin

diferenţiere obţinem: pdV + Vdp = mRdT, relaţia (4.21) devine:

p V V p

kp V

d dd

10



relaţie care prin împărţire cu pV devine:

d dp

pk

V

V 0 (4.22)

Prin integrarea relaţiei (4.22), dacă k = ct. obţinem:

pV k = ct. (4.23)

Pentru două stări 1 şi 2 relaţia (4.23) se scrie:

p

p

V

V

k

2

1

1

2

sau

k

v

v

p

p

2

1

1

2 (4.24)

Ecuaţia (4.23) a fost stabilită în anul 1823 de fizicianul francez Poisson şi se

numeşte ecuaţia lui Poisson; în diagrama p – V această relaţie reprezintă o

hiperbolă neechilateră (fig.4.4).

Din principiul al doilea al termodinamicii: q = Tds deoarece q = 0, rezultă ds

= 0, s = ct.; deci în diagrama T – s o transformare adiabată reversibilă va fi

reprezentată prin o dreaptă verticală: s = ct.

Pentru a stabili o relaţie de legătură între mărimile de stare V şi T, din

relaţia (4.22) se scade ecuaţia termică de stare scrisă sub formă diferenţială:

d dp

pk

V

V 0

d d dp

p

V

V

T

T

(k – 1)d dV

V

T

T ;

d dT

Tk

V

V ( )1 0 (4.25)

Relaţia (4.25) prin integrare devine:

TV k–1

= ct. (4.26)

Fig. 4.4 – Transformarea adiabată în diagrama p–V şi T–s.

141_148

Documents

Transcript of 141_148