1.4 PROBLEME REZOLVATE - elth.pub.rocazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/probleme... · 19...

17

1.4 PROBLEME REZOLVATE

1.1.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.1.R-a, în care se cunosc E1= E2 =E3=6V,

J=2A, R1=R4=1, R2=1/2, R3=2/3. Să se determine valoarea intensităţii curentului electric prin rezistenţa R4 folosind

metoda transfigurărilor electrice.

Fig. 1.1.R-a

Pentru a putea determina valoarea intensităţii curentului electric prin rezistenţa R4 va

trebui să reducem schema la un singur circuit electric ce conţine rezistorul respectiv. Pentru a realiza acest lucru vom folosi teoremele de echivalenţă dintre generatoarele de

tensiune şi curent, precum şi relaţiile de conexiune dintre rezistenţele electrice. Astfel, laturile ce conţin E1 şi R1, respectiv E2 şi R2, pot forma o singură sursă de

tensiune E12 în serie cu o singură rezistenţă R12 care la rândul său este înseriată cu o rezistenţă R3 aşa cum se poate observa din figurile Fig. 1.1.R-b, respectiv Fig. 1.1.R-c:

Fig. 1.1.R-b Fig. 1.1.R-c

În baza relaţiilor de echivalenţă a surselor reale de tensiune şi a conexiunii rezistenţelor,

vom avea:

18

131V2 312123

21

2112

21

211212 RRR

RRRRR

RRREREE

În cele ce urmează vom echivala sursa de curent aflată în conexiune paralel cu latura ce

conţine sursa E12 şi rezistenţa R12 cu o sursă de tensiune conform teoremelor de echivalenţă (ilustrată în Fig. 1.1.R-d) obţinând astfel circuitul echivalent din Fig. 1.1.R-e.

Fig. 1.1.R-d Fig. 1.1.R-e

Prin urmare, valoarea intensităţii sursei de energie va fi V412123 EJREe . În aceste condiţii valoarea intensităţii curentului electric căutat va fi, în baza schemei

echivalente dată de Fig. 1.1.R-e:

A61234

44

RREE

I e

1.2.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.2.R-a, în care se cunosc E4=100V, E5

=160V, J=10A, R2=R5=20, R3=R4=10, R6=30. Se cer: a) Să se scrie ecuaţiile corespunzătoare teoremelor lui Kirchhoff. b) Să se determine intensităţile curenţilor prin laturile circuitului folosind metoda curenţilor

de contur (ciclici). c) Să se verifice bilanţul puterilor. d) Să se calculeze tensiunea UBD între punctele B şi D pe două căi diferite şi să se arate că nu

depinde de “drum”. e) Să se rezolve circuitul utilizând metoda potenţialelor la noduri. f) Să se determine elementele generatoarelor echivalente de tensiune şi curent între punctele

B şi D ale circuitului. g) Determinaţi curentul prin rezistorul R6 folosind teorema lui Thevenin. h) Ce valoare ar trebui să aibă rezistenţa R6 pentru ca puterea absorbită de aceasta să fie

maximă ? Care ar fi puterea maximă transferată în acest caz?

19

Fig.1.2.R-a Fig.1.2.R-b

Circuitul prezintă N= 4 noduri şi L= 6 laturi. Prin urmare vom avea N-1=3 ecuaţii prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Ar trebui să avem şi L-N+1 =3 ecuaţii pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, dar datorită

faptului că circuitul prezintă şi NJ =1, o sursă ideală de curent, ecuaţiile corespunzătoare teoremei a doua a lui Kirchhoff vor fi numai două (L-N+1-NJ=2).

Prin urmare I1=J=10 A. Am ales în mod arbitrar sensul de parcurgere al curentului prin fiecare latură precum şi

sensul de parcurgere al celor două bucle obţinând:

Kirchhoff I:

0)(0)(0)(

35

632

24

IJICIIIBJIIA

Kirchhoff II

5566334II

4466224I

)(O)(O

IRIRIREIRIRIRE

Ecuaţiile de mai sus reprezintă un sistem de 5 ecuaţii cu 5 necunoscute compatibil

determinat ce are ca soluţii curenţii prin laturile circuitului exceptând curentul I1 a cărui intensitate este J.

Numeric se obţin următoarele valori:

A4A;2A;6A;8A;4A;10 654321 IIIIII

Metoda curenţilor ciclici Pentru a aplica metoda curenţilor ciclici avem mai întâi sensurile curenţilor de contur ca

în Fig 1.2.R-c:

20

Fig.1.2.R-c Metoda curenţilor ciclici. Fig.1.2.R-d Metoda potenţialelor la noduri

Ecuaţiile prin această metodă vor fi:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

EIRIRIREIRIRIREIRIRIR

Deoarece 33R , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu

A10'3 JI .

Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.2.-c) vom avea:

V.160V;100;10;60

;20;30;60

5'24

'1

3322365322

231136211246211

EEEERRRRRRR

RRRRRRRRRR

Cu aceste valori se obţine sistemul:

A10A2

A6

1601006030

1002003060 '3'

2

'1

'2

'1

'2

'1

I

II

IIII

Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.2.R-c pe care determinăm în funcţie de

curenţii ciclici :

A.4;A2;A6

A;8;A4;A10'2

'16

'25

'14

'3

'23

'3

'12

'31

IIIIIIIIIIIIIII

21

Bilanţul puterilor Pentru a putea efectua bilanţul puterilor trebuie să cunoaştem tensiunea la bornele sursei

de curent gU care reprezintă tensiunea între punctele A şi C. Putem determina această tensiune aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe traseul

ABCA, astfel:

V16003322 gg UIRIRU

Puterea consumată (absorbită), respectiv debitată (generată):

W1880W1880

5544

266

255

244

233

222

JUIEIEPIRIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP , ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. Tensiunea între punctele B şi D. Vom calcula tensiunea între punctele B şi D pe căile ABDA, respectiv CBDC, folosind a

doua teoremă a lui Kirchhoff:

V120

V120

5533555335

4422444224

IRIREUIRUIREABDAIRIREUIRUIREABDA

BDBD

BDBD

Se obţine aceeaşi valoare pentru tensiune, indiferent de calea aleasă pentru calculul

acesteia. Metoda potenţialelor la noduri Alegând ca potenţial de referinţă nodul D (Fig.1.2.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc

IVGVGVGIVGVGVGIVGVGVG

În care '

3'

2'

1 ;; VVV reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă D.

Conductanţele vor fi:

22

.A18;A0;A0

S203111

S;1011S;

6011111

S;01S;2011 S;

203111

5

5'3

'2

4

4'1

5333

33223

63222

31132

211242

11

RE

JIIRE

JI

RRG

RGG

RRRG

GGR

GGRR

G

scscsc

Se va obţine sistemul de ecuaţii în care necunoscutele reprezintă potenţialele nodurilor 1,

2 şi 3 '3

'2

'1 ;; VVV .

V200V120

V40

18203

201

0101

6011

201

0201

203

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'2

'1

'2

'1

VVV

VV

VVV

VV

Curenţii prin fiecare latură se determină aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe

fiecare latură cunoscându-se potenţialele între care este cuprinsă fiecare latură:

A4A;2A;6

A;8A;4A;10

6

'2

65

'35

54

'14

4

3

'3

'2

32

'2

'1

21

RVI

RVE

IR

VEI

RVV

IR

VVIJI

Se poate obţine acum mult mai uşor tensiunea la bornele sursei de curent

V160'3

'3 VVU g .

Se pot prezenta grafurile curenţilor şi tensiunilor pentru circuitul dat (Fig.1.2.R-e):

Fig.1.2.R-e. Grafurile curenţilor şi tensiunilor.

23

Generatoarele echivalente între punctele B şi D. Pentru a putea determina elementele generatoarelor echivalente între punctele B şi D va

trebui mai întâi să deteminăm tensiunea între cele două puncte. Acesta este simplu de apreciat din relaţia:

V1200'266 VIRU BD

Rezistenţa echivalentă a circuitului între punctele B şi D se determină prin pasivizarea

circuitului Fig.1.2.R-f.

Fig.1.2.R-f Fig.1.2.R-g

Rezistenţa echivalentă este prin urmare dată de conexiunea paralel dintre: grupul R2, R4

conectate în serie, grupul R3, R5 conectate în serie şi rezistenţa R6. RBD va fi:

10111

65342 RRRRRRBD

Generatorul echivalent de tensiune va fi compus dintr-o sursă de tensiune de valoare

V120BDU în serie cu o rezistenţă 10BDR . Generatorul echivalent de curent este compus dintr-o sursă de curent de valoare

A12 BDBDBD RUJ , în paralel cu rezistenţa 10BDR . Valoarea curentului prin R6 utilizând teorema lui Thevenin Pentru a determina curentul prin rezistenţa R6 folosind această metodă va trebui să

eleminăm din schema circuitului rezistenţa R6 determinând generatorul echivalent de tensiune între punctele B şi D pentru noul circuit format (tensiunea 0BDU , respectiv 0BDR ).

Apoi în baza teoremei lui Thevenin se determină curentul căutat. Circuitul după eleminarea rezistenţei R6 va deveni (Fig.1.2.R-h):

24

Fig.1.2.R-h Fig.1.2.R-i

Pentru a determina tensiunea 0BDU trebuie mai întâi determinaţi curenţii 2I si

4I deoarece curentul A101 JI . Având în vedere noua structură a circuitului, o metodă foarte uşoară de rezolvare a

circuitului o reprezintă metoda curenţilor ciclici în care avem doar două bucle şi un curent ciclic cunoscut A10'

1 JI :

'2

'222

'121

'1

'212

'111

EIRIREIRIR

Prima ecuaţie este echivalentă cu A10'1 JI

30)(60 321221543222 RRRRRRRRR V6054'2 EEE

Soluţia sistemului este A4 A;10 '

2'1 II .

Deci, curenţii reali prin laturile circuitului, având sensurile alese ca în Fig.1.2.R-h vor fi:

A.4A 6 A;10 '24

'1

'22

'11 IIIIIII

Putem calcula tensiunea 0BDU aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff pe traseul ABDA:

V180442240440224 IRIREUIRUIRE BDBD

Rezistenţa echivalentă 0BDR reprezintă rezistenţa circuitului pasivizat între punctele B şi

D. Aşa cum se poate observa din Fig.1.2.R-i ea se compune din conexiunea paralel a

gruprurilor de rezistenţe R2 şi R4 respectiv R3 şi R5 aflate în serie.

15))((

3232

32320 RRRR

RRRRRBD

25

Prin urmare, generatorul de tensiune între punctele B şi D este format din generatorul de tensiune de valoare 0BDU în serie cu rezistenţa 0BDR .

Pentru a determina curentul prin rezistenţa R6 vom conecta această rezistenţă la bornele generatorului format: Fig.1.2.R-j.

Fig.1.2.R-j

A460

06

RRU

IBD

BD

Prin urmare valoarea intensităţii curentului ce străbate rezistenţa R6 este aceeaşi cu cea determinată prin celelalte metode. Este deci o verificare a justeţii acestei valori.

Transferul maxim de putere Transferul maxim de putere se obţine conform teoremei de transfer maxim a puterii, în

cazul în care valoarea rezistenţei R6 are aceeaşi valoare ca şi rezistenţa 0BDR , adică în momentul în care 1506 BDRR .

În acest caz, curentul prin rezistenţă va fi: A62 0

00

BD

BD

RU

I , iar puterea este

W5404 0

202

00max BD

BDBD R

UIRP .

1.3.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.3.R-a, în care se cunosc E4=10V,

E5= E6=9V, J=1A, R1=R2=R3= R4= R5= R6=1. Se cer: a) Să se scrie ecuaţiile corespunzătoare teoremelor lui Kirchhoff. b) Să se determine intensităţile curenţilor prin laturile circuitului folosind metoda curenţilor

de contur (ciclici). c) Să se verifice bilanţul puterilor. d) Să se calculeze tensiunea UAC între punctele A şi C pe două cai diferite şi să se arate că nu

depinde de “drum”. e) Să se rezolve circuitul utilizând metoda potenţialelor la noduri. f) Să se determine elementele generatoarelor echivalente de tensiune şi curent între punctele

A şi B ale circuitului. g) Determinaţi curentul prin rezistorul R1 folosind teorema lui Thevenin. h) Ce valoare ar trebui să aibă rezistenţa R1 pentru ca puterea absorbită de aceasta să fie

maximă ? Care ar fi puterea maximă transferată în acest caz ?

26

Fig.1.3.R-a Fig.1.3.R-b

Circuitul prezintă N= 4 noduri şi L= 7 laturi. Prin urmare vom avea N-1=3 ecuaţii prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Ar trebui să avem şi L-N+1 =4 ecuaţii pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, dar

datorită faptului că circuitul prezintă şi NJ =1, o sursă ideală de curent, ecuaţiile corespunzătoare teoremei a doua a lui Kirchhoff vor fi numai două (L-N+1-NJ=3).

Prin urmare, I=J=10 A. Am ales în mod arbitrar sensul de parcurgere al curentului prin fiecare latură precum şi

sensul de parcurgere al celor două bucle obţinând (Fig.1.3.R-b):

Kirchhoff I:

0)(0)(

0)(

324

251

16

IIICIIIBIIJA

Kirchhoff II

33444III

3322555II

66115565I

)(O)(O)(O

IRIREIRIRIRE

IRIRIREE

Ecuaţiile de mai sus reprezintă un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute compatibil

determinat ce are ca soluţii curenţii prin laturile circuitului exceptând curentul I a cărui intensitate este J.

Numeric se obţin următoarele valori:

A1A0A;1A;4A;6A;2A;1 654321 IIIIIII

Metoda curenţilor ciclici Pentru a aplica metoda curenţilor ciclici avem mai întâi sensurile curenţilor de contur

ca în Fig 1.3.R-c:

27

Fig.1.3.R-c Metoda curenţilor ciclici. Fig.1.3.R-d Metoda potenţialelor la noduri


'4

'444

'343

'242

'141

'3

'434

'333

'232

'131

'2

'424

'323

'222

'121

'1

'414

'313

'212

'111

EIRIRIRIREIRIRIRIREIRIRIRIR

EIRIRIRIR

Deoarece 44R , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu A1'

4 JI . Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.3.-c) vom avea:

V.10V;9V;00;2

;0;1;31;0;1;3

4'35

'265

'1

43344333

42243322353222

6414131135211265211

EEEEEEERRRRR

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR


A1A4A2

A1

10293

013'4

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'2

'1

'2

'1

IIII

IIIII

II

Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.3.R-c pe care determinăm în funcţie de

curenţii ciclici :

28

A1A;0;A1;A4

A;6;A2;A1'4

'4

'16

'2

'15

'34

'3

'23

'22

'11

IIIIIIIIIIIIIIIII

Bilanţul puterilor Pentru a putea efectua bilanţul puterilor trebuie să cunoastem tensiunea la bornele sursei

de curent gU care reprezintă tensiunea între punctele A şi 0. Putem determina acestă tensiune aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, astfel:

9V666666 IREUUIRE gg

Puterea consumată (absorbită), respectiv debitată (generată):

W58W58

665544

266

255

244

233

222

211

JUIEIEIEPIRIRIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP , ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. Tensiunea între punctele A şi C. Vom calcula tensiunea între punctele B şi D pe căile AOCA, respectiv ABCA, folosind a

doua teoremă a lui Kirchhoff:

V30

V3

22112211

3366633666

IRIRUUIRIRABCAIRIREUIRUIREAOCA

BDBD

BDAC

Se obţine prin urmare aceeaşi valoare pentru tensiune indiferent de calea aleasă pentru

calculul acesteia. Metoda potenţialelor la noduri Alegând ca potenţial de referinţă nodul O (Fig.1.3.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc


În care '

3'

2'

1 ;; VVV reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă D.

Conductanţele corespunzătoare vor fi:

29

.A10;9A;A10

3S111

1S;1S;3111

S;01S;11 2S;111

4

4'3

5

5'2

6

6'1

43233

23223

52122

31131

211261

11

REI

RE

IRE

JI

RRRG

RGG

RRRG

GGR

GGRR

G

scscsc

Se va obţine sistemul de ecuaţii în care necunoscutele reprezintă potenţialele nodurilor 1,

2 şi 3 '3

'2

'1 ;; VVV .

V6V8V9

10393

102

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'2

'1

'2

'1

VVV

VVVVV

VV



A1A0A;1A;4

A;6A;2A;1

6

'16

65

'25

54

'34

4

3

'3

32

'3

'2

21

'2

'1

1

JIR

VEI

RVE

IR

VEI

RV

IR

VVI

RVVI

Se poate obţine acum mult mai uşor tensiunea la bornele sursei de curent V9'

1 VU g . Se pot prezenta grafurile curenţilor şi tensiunilor pentru circuitul dat (Fig.1.2.R-e):

Fig.1.2.R-e. Grafurile curenţilor şi tensiunilor.

30

Generatoarele echivalente între punctele A şi B. Pentru a putea determina elementele generatoarelor echivalente între punctele A şi B va

trebui mai întâi să determinăm tensiunea între cele două puncte. Acest lucru se poate aprecia din relaţia:

V1'2

'111 VVIRU AB

Rezistenţa echivalentă a circuitului între punctele B şi D se determină prin pasivizarea

circuitului Fig.1.3.R-f.

Fig.1.2.R-f Fig.1.2.R-g

Rezistenţa echivalentă este dată de conexiunea paralel dintre R3, R4 notată cu R34 , în

serie cu R2 formând astfel R234, care se află în paralel cu R5 alcătuind rezistenţa R2345; aceasta se află în serie cu R6. Tot ansamblul este în paralel cu R1.

58

53

23;

21

62345234565234

52342345

23423442

4334

RRRRR

RRR

RRRRR

RRR

138

123456

123456

RRRR

RAB

Generatorul echivalent de tensiune va fi compus dintr-o sursă de tensiune de de valoare

V120ABU în serie cu o rezistenţă 138ABR . Generatorul echivalent de curent este compus din o sursă de curent de valoare

A813 ABABAB RUJ , în paralel cu rezistenţa 138BDR . Valoarea curentului prin R1 utilizând teorema lui Thevenin Pentru a determina curentul prin rezistenţa R1 folosind această metodă, va trebui să

eleminăm din schema circuitului rezistenţa R1 determinând generatorul echivalent de tensiune între punctele A şi B pentru noul circuit format (tensiunea 0ABU respectiv 0ABR ).

Apoi în baza teoremei lui Thevenin se determină curentul căutat. Circuitul, după eleminarea rezistenţei R1, va deveni (Fig.1.2.R-h):

31

Fig.1.3.R-h Fig.1.3.R-I

Pentru a determina tensiunea 0ABU trebuie să determinăm curentul 5I (curentul

A106 JI pentru cazul de faţă) apoi aplicând teorema lui Kirchhoff pe traseul ABOA putem evalua cu uşurinţă tensiunea căutată.

Având în vedere noua structură a circuitului, o metodă foarte uşoară de determinare a

curentului I5, este metoda transfigurărilor electrice. Putem forma un generator echivalent de tensiune format de E4 şi R4 în paralel cu

rezistenţa R3, care este conectat în serie cu E4, R4 şi R2. Se poate determina apoi uşor valoarea curentului I5:

58

21V5

3425

3455

43

4334

43

3434 RRR

EEI

RRRR

RRR

REE

Putem acum calcula tensiunea 0ABU aplicând a doua teorema a lui Kirchhoff pe traseul

ABOA din schema din Fig.1.3.R-h.

V5

13556560550656 IRJREEUIRUJREE BDAB

Rezistenţa echivalentă 0ABR reprezintă rezistenţa circuitului pasivizat între punctele A şi

B. Aşa cum se poate observa din Fig.1.3.R-i ea reprezintă rezistenţa R23456 calculată la

punctul anterior.

58

23456R

32

Generatorul de tensiune între punctele A şi B este format din generatorul de tensiune de valoare 0ABU în serie cu rezistenţa 0ABR .

Pentru a determina curentul prin rezistenţa R1 vom conecta această rezistenţă la bornele generatorului format: Fig.1.2.R-j.

Fig.1.2.R-j

A110

06

RRU

IAB

AB

Prin urmare valoarea intensităţii curentului ce străbate rezistenţa R1 este aceeaşi cu cea determinată prin celelalte metode.

Este deci o verificare a justeţii acestei valori.

Transferul maxim de putere Transferul maxim de putere se obţine conform teoremei de transfer maxim a puterii, în

cazul în care valoarea rezistenţei R1 are aceeaşi valoare ca şi rezistenţa 0ABR , adică în

momentul în care 58

01 ABRR .

Curentul prin rezistenţă va fi A1613

2 0

00

AB

AB

RU

I , iar puterea este

W160169

4 0

202

00max AB

ABAB R

UIRP .

1.4.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.4.R-a, în care se cunosc E1=10V, E2 =4V,

E3=2V, E4 =6V, J=2A, R1=1, R2=2, R3=3, R4=4, R5 =5. Se cer: a) Curenţii prin fiecare latură a circuitului utilizând atât metoda curenţilor ciclici cât şi

metoda potenţialelor la noduri. b) Valoarea puterilor consumate şi debitate de circuit.

Fig.1.4.R-a

33

Metoda curenţilor ciclici Pentru a aplica metoda curenţilor ciclici avem mai întâi sensurile curentilor de contur

ca în Fig 1.4.R-b.

Fig.1.4.R-b Metoda curenţilor ciclici. Fig.1.3.R-c Metoda potenţialelor la noduri


'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111


Deoarece 33R , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu A2'3 JI .

Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.4.-b) vom avea:

V;10V;6;4;6

;7)(;4;8

42'2431

'1

432234222

4331134211243211

EEEEEEERRRRRR

RRRRRRRRRRR


A2A3

A4

10864

61448 '3'

2

'1

'2

'1

'2

'1

I

II

IIII

Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.4.R-b pe care determinăm în funcţie de

curenţii ciclici :

34

.A2;A1

A;2;A3;A4'35

'1

'3

'24

'3

'13

'22

'11

IIIIIIIIIIIII

Tensiunea la bornele sursei de curent gU se poate determina folosind teorema a doua a

lui Kirchhoff pe traseul ABCA:

V41551155111 EIRIRUUIRIRE gg

Metoda potenţialelor la noduri Alegând ca potenţial de referinţă nodul O (Fig.1.4.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc


În care '3

'2

'1 ;; VVV reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de

referinţă O . Conductanţele corespunzătoare vor fi:

.A2

19;2A;A322

S20391111

S;511S;

5111

S;11S;01 S;34111

4

4

2

2

1

1'3

'2

6

6

1

1'1

542133

53223

522

131132112

3111

RE

RE

RE

IJIJRE

RE

I

RRRRG

RGG

RG

RGGGG

RRG

scscsc

Se va obţine prin urmare sistemul de ecuaţii în care necunoscutele reprezintă potenţialele

nodurilor 1, 2 şi 3 '3

'2

'1 ;; VVV .

V2V8V4

190394209

1034

'3

'2

'1

'3

'2

'1

'3

'2

'3

'1

VVV

VVVVV

VV



35

A;2A;1

A;2A;3A;4

54

'34

4

3

'13

32

'32

21

'1

'31

1

JIR

VEI

RVE

IR

VEI

RVVE

I


V4'2

'1 VVU g .

Bilanţul puterilor Puterea consumată (absorbită), respectiv debitată(generată):

W70W70

44332211

255

244

233

222

211

JUIEIEIEIEPIRIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. 1.5.R Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.5.R-a, în care se cunosc E=1V, E3 =2V,

J=3A, R1= R2= R4=1, R3=2. Se cer: c) Curenţii prin fiecare latură a circuitului utilizând atât metoda curenţilor ciclici cât şi

metoda potenţialelor la noduri. d) Valoarea puterilor consumate şi debitate de circuit.

Fig.1.5.R-a

36

Metoda curenţilor ciclici Pentru a aplica metoda curenţilor ciclici avem mai întâi sensurile curenţilor de contur

ca în Fig 1.5.R-b.

Fig.1.5.R-b Metoda curenţilor ciclici. Fig.1.5.R-c Metoda potenţialelor la noduri


'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111


Deoarece 33R , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu A3'

3 JI . Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.4.-b) vom avea:

V;3V;2;1;3

;2;3)(;5

3'23

'1

432234322

413113432112432111

EEEEERRRRRR

RRRRRRRRRRRRR

Se obţine sistemul:

A3A1

A1

3333

2635 '3'

2

'1

'2

'1

'2

'1

I

II

IIII

Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.4.R-b pe care determinăm în funcţie de

curenţii ciclici :

37

A1.A1

A;2;A1;A2

23'2

'3

'14

'1

'23

'12

'3

'11

IIIIIIIIIIIIIII

Am notat cu I intensitatea curentului electric ce străbate sursa de tensiune E; el se

determină uşor aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul C de exemplu. Tensiunea la bornele sursei de curent gU se poate determina folosind teorema a doua a

lui Kirchhoff pe traseul AOBA:

V30 44114411 IRIRUUIRIR gg

Metoda potenţialelor la noduri Alegând ca potenţial de referinţă nodul O (Fig.1.4.R-d) vom avea:

'3

'333

'232

'131

'2

'323

'222

'121

'1

'313

'212

'111

sc

sc

sc


În care '

3'

2'

1 ;; VVV reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă O.

Datorită alegerii potenţialului de referinţă, valoarea potenţialului din a treia ecuaţie este echivalentă cu V1'

3 EV . Conductanţele corespunzătoare vor fi:

.A1;2A;A3

S2311

S;211S;

23111

S;11S;01 2S;111

3

3'3

3

3'2

'1

3233

33223

4322

231132112

2111

RE

IJRE

IJI

RRG

RGG

RRG

RGGGG

RRG

scscsc

Se va obţine prin urmare sistemul de ecuaţii în care necunoscutele reprezintă potenţialele

nodurilor 1 şi 2 :; '2

'1 VV

38

V1V1

V22

21

23

312'

3'2

'1

'2

'1

V

VV

V

V



A;1A;1

A;2A;1A;2

4

'2

4

3

3'

2'

33

2

'3

'1

21

'1

1

IRVI

REVV

IR

VVI

RV

I


V3'2

'1 VVU g .

Bilanţul puterilor Puterea consumată (absorbită), respectiv debitată (generată):

W14W14

33

244

233

222

211

JUIEEIPIRIRIRIRP

gd

c

Cum dc PP ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută.

1.4 PROBLEME REZOLVATE - elth.pub.rocazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/probleme... · 19...

Documents

Transcript of 1.4 PROBLEME REZOLVATE - elth.pub.rocazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/probleme... · 19...