Bazele aşchierii şi generării suprafeţeloring.ugal.ro/Resurse/MENUS/Facultate/IFR/BAGS.pdf ·...

Bazele aşchierii şi generării suprafeţelor

Universitatea “Dunărea de Jos”


ş.l. dr. ing. Teodor Virgil

Galaţi - 2008

Departamentul pentru Învăţământ la Distanţă şi cu Frecvenţă Redusă

Facultatea de Mecanică Specializarea Inginerie Economică şi Industrială Anul II / IFR


1

CUPRINS

CUPRINS.............................................................................................................................................1 METODA FUNDAMENTALĂ –GOHMAN- PENTRU STUDIUL SUPRAFEŢELOR ÎN ÎNFĂŞURARE .............................................................3

1.1. Profilarea sculelor de tip cremalieră .........................................................................................5 1.2. Profilarea sculelor de tip cuţit-roată..........................................................................................6 1.3. Profilarea sculelor de tip cuţit-rotativ .......................................................................................8

METODA TRAIECTORIILOR PLANE ............................................................................................9 2.1. Fundamentarea metodei ............................................................................................................9 2.2. Generarea cu scula cremalieră ................................................................................................11 2.3. Generarea cu cuţit-roată ..........................................................................................................13 2.4. Generarea cu cuţite rotative ....................................................................................................15 2.5. Linii de contact........................................................................................................................16

Suprafeţe asociate unor axoide în rulare ............................................................................................17 3.1. Algoritmul de calcul pentru scula de tip cremalieră ...............................................................18

3.1.1. Scula-cremalieră pentru profil de tip segment de dreaptă ......................................18 3.1.2. Scula-cremalieră pentru profil de tip arc convex de cerc .......................................19 3.1.3. Scula-cremalieră pentru profil de tip arc concav de cerc .......................................20 3.1.4. Scula-cremalieră pentru profil cunoscut în mod discret (neanalitic)......................21

3.2. Algoritmul de calcul pentru scula de tip cuţit-roată................................................................22 3.2.1. Scula cuţit-roată pentru profil de tip segment de dreaptă .......................................22 3.2.3. Scula cuţit-roată pentru profil de tip arc convex de cerc........................................24 3.2.4. Scula cuţit-roată pentru profil de tip arc concav de cerc ........................................25 3.2.5. Scula cuţit-roată pentru profil cunoscut în mod discret (neanalitic) ......................26

3.3. Algoritmul de calcul pentru scula de tip cuţit rotativ .............................................................28 3.3.1. Scula cuţit rotativ pentru profil de tip segment de dreaptă.....................................28 3.3.2. Scula cuţit rotativ pentru profil de tip arc concav de cerc ......................................29 3.3.3. Scula cuţit rotativ pentru profil de tip arc concav de cerc ......................................30 3.3.4. Scula cuţit rotativ pentru profil cunoscut în mod discret (neanalitic) ....................30

3.4. Traiectorii de interferenţă........................................................................................................31 PROFILAREA SCULELOR PENTRU GENERAREA SUPRAFEŢELOR ELICOIDALE ...........32

4.1. Algoritm specific pentru profilarea sculei cilindro-frontală ...................................................32 4.2. Algoritmizarea profilării sculelor de tip disc pentru generarea suprafeţelor elicoidale..........35 4.3. Algoritmizarea profilării sculelor cilindrice pentru generarea suprafeţelor elicoidale ...........38 4.4. Algoritmizarea profilării sculelor “în vârtej”..........................................................................40 4.5. Algoritmizarea profilării sculei inelară tangenţială ................................................................42

MODELAREA ERORILOR LA GENERAREA SUPRAFEŢELOR PRIN RULARE ...................45 5.1. Algoritmizarea modelării erorilor geometrice la generarea cu scula-cremalieră....................45 5.2. Algoritmizarea modelării erorilor la generarea cu scula cuţit-roată .......................................46 5.3. Algoritmizarea modelării erorilor la generarea cu scula cuţit rotativ .....................................47

APLICAŢII ........................................................................................................................................49 6.1. Scula-cremalieră pentru profil elementar de tip segment de dreaptă......................................49 6.2. Scula-cremalieră pentru profil elementar de tip arc de cerc ...................................................50 6.3. Scula-cremalieră pentru profil cunoscut în formă discretă .....................................................51 6.4. Cuţit-roată pentru generarea unui profil elementar de tip segment de dreaptă .......................52 6.5. Cuţit-roată pentru generarea unui profil elementar de tip arc de cerc ....................................52


2

6.6. Cuţit-roată pentru profil evolventic cunoscut în formă discretă .............................................53 6.7. Scula cuţit rotativ pentru generarea unui profil de tip niplu......................................54

6.8. Scula cuţit rotativ pentru prelucrarea unui şurub cu bile ........................................................55 6.9. Profilarea sculei cilindro-frontală pentru prelucrarea unei suprafeţe elicoidale cu generatoare compusă din segmente de dreaptă .................................56 6.10. Profilarea sculei cilindro-frontală pentru prelucrarea unei suprafeţe elicoidale cu generatoare compusă din arc de cerc şi segment de dreaptă .............57 6.11. Scula-disc pentru prelucrarea unei suprafeţe cu secţiune axială compusă din segmente de dreaptă..................................................................................................58 6.12 Scula-disc pentru prelucrarea unei suprafeţe cu secţiune axială compusă din arc de cerc şi segment de dreaptă .............................................................................60 6.13. Scula cilindrică pentru prelucrarea profilului unui filet cu generatoare axială compusă din segmente de dreaptă .......................................................................................61 6.14. Modelarea erorii geometrice a flancului canelurilor dreptunghiulare generate cu scula cremalieră ..........................................................................................................63 6.15. Modelarea erorilor unui alezaj profilat, generat cu scula cuţit-roată ....................................63 6.15. Modelarea erorii de generare a unui filet trapezoidal generat cu scula cuţit rotativ.............64

Capitolul I Metoda fundamentală Gohman pentru studiul suprafeţelor în înfăşurare

Bazele aşchierii şi generării suprafeţelor 3

METODA FUNDAMENTALĂ –GOHMAN- PENTRU STUDIUL SUPRAFEŢELOR ÎN ÎNFĂŞURARE

Metoda cinematică, cunoscută şi sub denumirea de metoda Gohman, se bazează pe o interpretare cinematică a condiţiei de determinare a curbelor caracteristice ale suprafeţelor în mişcare. În baza cinematicii maşinii-unelte, se pot stabili legăturile pe care le execută elementele finale ale lanţurilor cinematice ale maşinii-unelte.

Se consideră următoarele sisteme de referinţă: xyz este sistemul de referinţă fix; XYZ –sistem de referinţă mobil, solidar cu suprafaţa

S. Examinând mişcarea suprafeţei S, solidară cu

sistemul de referinţă mobil XYZ, în raport cu un reper fix (vezi fig. 1.8), mişcarea absolută a acesteia este descrisă de transformarea

Tx X aα= ⋅ + , (1.1) în care:

( )ikα α τ= este matricea de transformare ortogonală între versorii axelor sistemului mobil XYZ faţă de cel fix, xyz;

( ) ( )ia a τ τ= —matricea asociată vectorului 01r , cu τ -parametrul timp.

Mişcarea „inversă” este descrisă de transformarea ( )X x aα= − (1.2)

care, evident, conduce la dependenţele

( )

( )( )

X X u, ;

Y Y u, ;

Z Z u, .

τ

τ

τ

=

=

=

(1.3)

Admiţând că forma suprafeţei S, în sistemul de referinţă mobil este ( )F X ,Y ,Z 0= (1.4)

atunci, familia de suprafeţe S, generată în mişcarea (1.2), în funcţie de parametrul τ, este de forma ( )F X ,Y ,Z , 0τ = . (1.5) Caracteristica C pe suprafaţa S este dată de sistemul de ecuaţii:

( )

x y z

F x,y,z, 0;dx dy dzC : F F F F ;d d d

constant.

τ

τ

τ τ ττ

= ′ = + +

=

(1.6)

Condiţia a doua din sistemul (1.6) poate fi interpretată ca fiind produsul scalar a doi vectori: { }x y zN F ,F ,FΣ =

r, (1.7)

reprezentând normala la suprafaţa S în sistemul de referinţă fix, şi

Fig. 1.1. Sisteme de referinţă

Metoda Gohman pentru studiul suprafeţelor în înfăşurare Capitolul I

4 Bazele aşchierii şi generării suprafeţelor

dx dy dzv , ,d d dτ τ τ

=

r (1.8)

echivalent vectorului viteză în mişcarea absolută a punctului curent al suprafeţei S. Deci, din punct de vedere cinematic, un punct de pe suprafaţa S aparţine curbei caracteristice

numai dacă în acel punct normala la suprafaţa S este perpendiculară pe vectorul viteză în mişcarea absolută executată de suprafaţă.

În acest caz, sistemul de ecuaţii (1.6) poate fi adus la forma

( )F x,y,z, 0;

C : N v 0;constant.

Σ

τ

τ

= ⋅ = =

r r (1.9)

Utilizarea metodei Gohman poate fi aplicată şi pentru profilarea sculelor care generează prin înfăşurare de tipul:

-cremalieră (vezi figura 1.2); -cuţit-roată pentru prelucrarea diverselor tipuri de suprafeţe: arbori profilaţi (figurq 1.3.a), alezaje

profilate, suprafeţe poliforme, suprafeţe poliexcentrice (figura 1.3.b) etc; - cuţit rotativ pentru generarea suprafeţelor profilate (arbori profilaţi, filete, roţi de lanţ etc.)

Fig. 1.3.a. Cuţit-roată pentru Fig. 1.3.b. Cuţit-roată pentru prelucrarea prelucrarea unui arbore hexagonal unei suprafeţe poliexcentrice

Fig. 1.2. Profilul sculei-cremalieră pentru generarea unui arbore canelat



1.1. Profilarea sculelor de tip cremalieră Rularea suprafeţei cilindrice de rază Rr pe planul de rulare al cremalierei presupune existenţa, în

orice moment, a egalităţii r 1Rλ ϕ= ⋅ , (1.10)

reprezentând condiţia de rulare a celor două centroide, C1 şi C2, fig. 1.4.

Se definesc sistemele de referinţă: xyz ca fiind sistem de referinţă fix, cu originea în O; XYZ –sistem de referinţă mobil, solidar cu suprafaţa S, având la momentul iniţial axele suprapuse peste cele ale sistemului de referinţă fix; ξηζ -sistem de referinţă mobil, solidar cu suprafaţa S, având la momentul iniţial axa ξ suprapusă axei x.

Originile sistemelor de referinţă mobile XYZ şi ξηζ se găsesc, în momentul iniţial, în punctele O şi O1, definite în sistemul de referinţă fix de matricele

0

a 00

= şi rR

b 00

−= , (1.11)

Mişcarea absolută a sistemului de referinţă mobil XYZ şi, solidar cu acesta, a suprafeţei Σ este descrisă de transformarea

( )T3x Xω ϕ= ⋅ , (1.12) în care ϕ este unghiul de rotaţie în jurul axei Z.

De asemenea, sistemul XYZ execută şi o mişcare de translaţie în jurul axei η, cu respectarea condiţiei (1.10), ocupând după deplasare poziţia ξ η ζ′ ′ ′ ,

x bξ= + ; rb R 0λ= − − . (1.13) Astfel, mişcarea relativă a unui punct, din spaţiul definit de sistemul de referinţă mobil XYZ faţă de

sistemul solidar cremalierei, este descrisă de ( )T3 X bξ ω ϕ= ⋅ − , (1.14) mişcare în care, definindu-se ecuaţiile suprafeţei Σ,

( )

( )( )

X X u,v ;: Y Y u,v ;

Z Z u,v .Σ

===

(1.15)

Se determină familia ( )ϕΣ în sistemul de referinţă al cremalierei,

( )( )( )( )

u,v, ;: u,v, ;

u,v, ,ϕ

ξ ξ ϕΣ η η ϕ

ζ ζ ϕ

===

(1.16)

Înfăşurătoarea familiei de suprafeţe ( )ϕΣ reprezintă flancul cremalierei. Din (1.14), se poate stabili transformarea de coordonate care descrie mişcarea sistemului de

referinţă al cremalierei, faţă de sistemul mobil XYZ, ( ) [ ]3X bω ϕ ξ= ⋅ + . (1.17)

Fig. 1.4. Generarea cu scula-cremalieră



Condiţia de înfăşurare, N R 0Σ ϕ⋅ =r r

, se poate determina calculând matricea Rϕ , având în vedere (1.17), în forma (având semnificaţia de viteză)

( ) [ ] ( )3 3dX dR b bd dϕ λ

λω ϕ ξ ω ϕ

ϕ ϕ= = ⋅ + + ⋅ ⋅&& . (1.18)

Cunoscute fiind viteza şi normala, condiţia de înfăşurare va putea fi adusă la forma ( ) ( )r X r yY u,v R sin N X u,v R cos N 0ϕ ϕ− ⋅ − + ⋅ = , (1.19)

care, asociată familiei ( )ϕΣ , permite determinarea ecuaţiilor parametrice ale suprafeţei flancului cremalierei —în acest caz, ecuaţiile unei suprafeţe cilindrice— prin eliminarea unuia dintre parametrii variabili, în forma

( )( )( )

u, ;S : u, ;

u, .

ξ ξ ϕη η ϕζ ζ ϕ

===

(1.20)

NX şi NY reprezintă parametrii directori ai normalei la Σ în sistemul de referinţă XYZ. Notă Se defineşte suprafaţa de angrenare ca fiind locul geometric al punctelor de contact

între suprafaţa sculei—S şi suprafaţa de generat Σ, în sistemul de referinţă fix. În sistemul de referinţă fix, suprafaţa de angrenare are forma:

( )3x X ;S.A.

N R 0.Σ ϕ

ω ϕ = ⋅ ⋅ =

r r (1.21)

1.2. Profilarea sculelor de tip cuţit-roată În cazul prelucrării cu scule de tipul cuţitelor-roată mişcarea de rulare are loc între două suprafeţe

cilindrice de rotaţie de raze Rrp, pentru semifabricat, şi respectiv Rrs, pentru sculă (vezi fig. 1.5.). Dacă se notează cu ϕ1 şi ϕ2 parametrii unghiulari

ai mişcărilor de rotaţie, atunci, din condiţia rulării fără alunecare a celor două axoide de raze Rrs şi Rrp, se poate defini raportul de transmitere

rp21 rs

Ri

Rϕϕ

= = . (1.22)

Se definesc sistemele de referinţă, figura 1.5: -xyz este sistem de referinţă fix, având axa z

suprapusă axei de rotaţie a semifabricatului; -x0y0z0 —sistem de referinţă fix, având axa z0

suprapusă axei de rotaţie a sculei; -XYZ —sistem de referinţă mobil, solidar cu

semifabricatul; -ξηζ —sistem de referinţă mobil, solidar cu scula. Distanţa între axele z şi z0, măsurată în

lungul axei x0 este 12 rp rsA R R= + . (1.23) Suprafaţa Σ (suprafaţa semifabricatului) va

avea, în sistemul de referinţă XYZ, ecuaţiile parametrice Fig. 1.5. Generarea cu scula cuţit-roată



( )

( )( )

X X u,v ;: Y Y u,v ;

Z Z u,v .Σ

===

(1.24)

Suprafaţa Σ execută o mişcare de rotaţie de unghi ϕ1, descrisă de transformarea ( )T3 1x Xω ϕ= ⋅ , (1.25) ce are ca semnificaţie mişcarea absolută a unui punct din spaţiul XYZ faţă de sistemul de referinţă

fix. Similar, sistemul ξηζ execută o mişcare de rotaţie de unghi ϕ2 ( )T0 3 2x ω ϕ ξ= − ⋅ , (1.26)

care reprezintă mişcarea absolută a suprafeţei periferice primare a sculei faţă de sistemul x0y0z0. Poziţia sistemelor de referinţă fixe este definită de transformarea de coordonate 0x x a= − (1.27)

cu matricea 12A

a 00

−= .

Din cele două mişcări absolute şi transformarea (1.27), se pot determina mişcările relative: ( ) ( )T3 2 3 1 X aξ ω ϕ ω ϕ = − ⋅ ⋅ − , (1.28)

reprezentând mişcarea semifabricatului faţă de suprafaţa periferică primară a sculei şi, respectiv, ( ) ( )T3 1 3 2X aω ϕ ω ϕ ξ = ⋅ − ⋅ + , (1.29)

mişcarea suprafeţei periferice primare a sculei faţă de semifabricat. În mişcarea semifabricatului faţă de sistemul ξηζ, se determină familia de suprafeţe

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1 2 1 2 12 2

1 2 1 2 12 2

X u,v cos Y u,v sin A cos ;: X u,v sin Y u,v cos A sin ;

Z u,v .ϕ

ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕΣ η ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ζ

= + − + += + + + +=

(1.30)

Înfăşurătoarea familiei de suprafeţe (1.30), în ansamblul de mişcări prezentat anterior prezentat, constituie suprafaţa periferică primară a sculei —S.

În acest caz particular, condiţia de înfăşurare are forma ( ) ( ) ( ) ( )12 1 X 12 1 Y1 i Y u,v i A sin N 1 i X u,v i A cos N 0.ϕ ϕ+ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = (1.31)

Suprafaţa periferică primară a sculei va fi determinată din sistemul de ecuaţii (1.30) căruia i se asociază ecuaţia (1.31). În acest mod este posibilă eliminarea unuia dintre parametrii variabili u sau v obţinându-se ecuaţiile suprafeţei periferice primare ale sculei, în forma principială,

( )( )( )

1

1

1

u, ;S : u, ;

u, .

ξ ξ ϕη η ϕζ ζ ϕ

===

(1.32)

În cele mai multe cazuri se poate accepta ca muchie aşchietoare secţiunea transversală suprafeţei periferice primare a sculei:

( )1u, 0ζ ϕ = . (1.33) Suprafaţa de angrenare va fi determinată de sistemul de ecuaţii:

( )T3 1x X ;S.A.

N R 0.Σ ϕ

ω ϕ = ⋅ ⋅ =

r r (1.34)



1.3. Profilarea sculelor de tip cuţit-rotativ Generarea în cazul cuţitelor rotative poate fi asimilată generării inverse cu scula cremalieră. În acest

caz planul de generare al semifabricatului rulează pe cilindrul de rulare al sculei, cilindru de rază Rrs. Condiţia de rulare presupune existenţa egalităţii rsRλ ϕ= ⋅ . (1.35) Sistemele de referinţă au următoarele poziţii relative:

xyz ca fiind sistem de referinţă fix, cu originea în O;

XYZ –sistem de referinţă mobil, solidar cu suprafaţa S, având la momentul iniţial axele suprapuse peste cele ale sistemului de referinţă fix;

ξηζ -sistem de referinţă mobil, solidar cu suprafaţa S, având la momentul iniţial axa ξ suprapusă axei x.

Între sistemele de referinţă mobile şi sistemul de referinţă fix xyz există mişcările absolute de tipul

( )T3x ω ϕ ξ= ⋅ (1.36) şi, respectiv,

x X a= + . (1.37) Din ecuaţiile (1.36) şi (1.37), se pot determina

mişcările relative ale sistemelor de referinţă mobile. Astfel, mişcarea relativă a sculei, în spaţiul asociat semifabricatului, este

( )[ ]3 X aξ ω ϕ= + . (1.38) Mişcarea semifabricatului în spaţiul sculei este ( )T3X aω ϕ ξ= ⋅ − . (1.39) Se poate considera că semifabricatul are în sistemul de referinţă propriu ecuaţiile:

( )( )( )

X X u,v ;Y Y u,v ;Z Z u,v .

Σ===

(1.40)

Forma particulară a condiţiei de înfăşurare devine ( ) ( )rs X YY u,v R N X u,v N 0ϕ− + ⋅ ⋅ + ⋅ = . (1.41) Ca şi în cazurile precedente, suprafaţa de angrenare poate fi determinată de sistemul de ecuaţii:

x X a;

S.A.N R 0.Σ ϕ

= + ⋅ =

r r (1.42)

Notă Metoda GOHMAN (1876), bazată pe cinematica relativă a suprafeţelor în înfăşurare, dă o

exprimare mai simplă a condiţiilor de înfăşurare. Metoda este universală prin caracterul său de aplicabilitate şi simplifică substanţial calculele, dar, conduce la manipularea unor ecuaţii matriceale cu mulţi termeni.

Fig. 1.6. Generarea cu scula cuţit rotativ

Capitolul II Metoda traiectoriilor plane


METODA TRAIECTORIILOR PLANE

2.1. Fundamentarea metodei Metoda este fundamentată pe teorema din geometria analitică pentru determinarea unei familii de

curbe plane depinzând de un parametru. Utilizarea acesteia presupune acceptarea următoarei definiţii: Se numeşte înfăşurătoare a familiei de curbe (CΣ)φ o curbă CS care satisface condiţiile:

a. pentru fiecare punct al curbei CS, se poate indica o curbă unică a familiei care să conţină acel punct, ca punct ordinar şi care să aibă, în acel punct, un contact de ordin 1 cu CS;

b. pentru fiecare curbă a familiei (CΣ)φ se poate indica un punct ordinar al ei care să aparţină curbei CS. În acest punct, cele două curbe au contact de ordin, cel puţin, 1;

c. nici o curbă a familiei (CΣ)φ să nu aibă un arc comun cu curba CS, vezi şi figura 2.1.

În această idee, dacă se consideră în planul Z 0= o familie de curbe (CΣ)φ având ecuaţia analitică:

f ( X ,Y , ) 0ϕ = , (2.1) în care f(X, Y, φ) este o funcţie regulată de ordin cel puţin 1, în

raport cu toate argumentele, atunci, coordonatele tuturor punctelor înfăşurătoarei CS ale acestei familii satisfac ecuaţiile:

f ( X ,Y , ) 0;f '( X ,Y , ) 0,

ϕϕ

==

(2.2)

în sensul că, pentru oricare punct de coordonate (X, Y) aparţinând înfăşurătoarei CS se poate găsi un număr a, astfel încât (X, Y, a) să fie o soluţie a sistemului de ecuaţii (2.2).

În mod similar, pentru o exprimare parametrică a familiei de curbe (CΣ)φ:

( )( )

X X u, ;( C )

Y Y u, ,Σ ϕϕϕ

==

(2.3)

coordonatele punctelor înfăşurătoarei CS satisfac sistemul de ecuaţii:

( )

( )Su u

X X u, ;

C : Y Y u, ;X Y .X Yϕ ϕ

ϕ

ϕ

=

=

′ ′=

′ ′

(2.4)

În baza acestor relaţii se pot imagina algoritmi care să permită abordarea problematicii legate de profilarea sculelor care generează prin înfăşurare: generarea suprafeţelor asociate unui cuplu de axoide în rulare (scula-cremalieră, cuţitul-roată, cuţitul rotativ); profilarea sculelor mărginite de suprafeţe periferice primare de revoluţie pentru generarea suprafeţelor elicoidale (scula-disc; scula cilindro-frontală, scula cilindrică ş.a.); profilarea sculelor care generează prin metoda înfăşurării cu contact punctiform (scula-melc).

Astfel, se elaborează o metodică ce permite determinarea familiilor de curbe de tipul (CΣ)φ, reprezentând traiectorii ale punctelor de pe profilurile semifabricatelor sau poziţii succesive ale unei curbe plane aparţinând semifabricatelor, în mişcarea relativă faţă de sculă.

Fig. 2.1. Înfăşurătoarea familiei de curbe plane

Metoda traiectoriilor plane Capitolul II


În mod similar, problema spaţială a suprafeţelor în înfăşurare - problema de speţa a II-a, (generarea vârtejurilor de suprafeţe cu scula-melc) va primi o soluţie, în baza aceluiaşi principiu al înfăşurătoarei unei familii de curbe plane.

Dacă se consideră cunoscut un ansamblu de centroide în rulare (C1, C2), figura 2.2, şi profilul de generat (reprezentând o secţiune transversală a suprafeţei elicoidală sau cilindrică, a vârtejului de suprafeţe), asociat uneia din centroide, fie Σ acesta:

( )( )

X X u ;Y Y u ,

Σ==

(2.5)

cu u parametru variabil, atunci, în mişcarea relativă determinată de parametrii unghiulari de mişcare a centroidelor, φ1 şi φ2 se determină o familie de profiluri exprimată prin:

( )( )

1 2

1 2

u, , ;( )

u, , .ϕξ ξ ϕ ϕ

Ση η ϕ ϕ

==

(2.6)

Cele două centroidele aflându-se în rulare, între parametrii de mişcare se stabileşte o legătură de forma

( )2 2 1ϕ ϕ ϕ= , (2.7) care, cel mai adesea, cel puţin pentru procedeele uzuale de generare (cremaliera, cuţitul-roată, cuţitul rotativ) reprezintă o dependenţă liniară, de forma

2 1iϕ ϕ= , (2.8) i fiind raportul de transmitere (de obicei fiind o mărime constantă).

În mişcarea de rulare a celor două centroide, punctul curent de pe profilul Σ (profil aparţinând unui vârtej de profiluri asociat uneia dintre centroide) descrie o traiectorie Ti de tip cicloidal în spaţiul centroidei asociate.

Ansamblul acestor traiectorii determină o familie de curbe plane a căror înfăşurătoare este determinată din punct de vedere analitic.

Se enunţă teorema: Înfăşurătoarea unui profil asociat unei centroide,

aparţinând unui cuplu de centroide în rulare este înfăşurătoarea familiei de traiectorii descrise de punctele acesteia în spaţiul asociat centroidei în rulare.

În acest fel, ecuaţiile (2.6) pot fi interpretate ca fiind traiectoriile punctelor aparţinând profilului Σ, generate în mişcarea relativă a celor două centroide, vezi fig. 2.3.

Familia de traiectorii:

( )( )

1

1

u, ;( )

u, .ϕξ ξ ϕ

Ση η ϕ

==

= (2.9)

permite determinarea înfăşurătoarei, dacă ecuaţiilor (2.9) li se asociază condiţia

1 1

u u .ϕ ϕ

ξ ηξ η

′ ′=

′ ′ (2.10)

Ansamblul ecuaţiilor (2.9) şi (2.10) reprezintă profilul înfăşurătoarei - S, privit ca fiind curba înfăşurătoare a traiectoriilor plane ale punctelor aparţinând curbei Σ, în mişcarea relativă, de rulare, a celor două centroide - C1 şi C2.

Este evident că, în funcţie de tipul celor două centroide în rulare (cercuri, cerc şi dreaptă) precum şi de poziţia relativă a acestora, traiectoriile pot fi epicicloide, hipocicloide sau cicloide, pentru toate situaţiile amintite întâlnindu-se forme normale alungite sau scurtate ale acestor curbe.

Fig. 2.2. Centroide în rulare



Se prezintă, în cele ce urmează, o demonstraţie a enunţului teoremei, precum şi aplicarea acesteia la generarea cu scule cremalieră, cuţite-roată şi cuţite rotative.

2.2. Generarea cu scula cremalieră Se prezintă, în fig. 2.4. ansamblul celor două centroide în rulare precum şi sistemele de referinţă

asociate acestora: C1 este centroida asociată vârtejului de profiluri Σ

de generat. C2 -centroida asociată sculei cremalieră. xyz -sistem de referinţã fix, având axa Z suprapusã

axei de rotaţie a centroidei C1. XYZ -sistem mobil solidar centroidei C1. ξηζ-sistem mobil solidar centroidei C2 a sculei

cremalieră. Sunt definiţi parametrii de mişcare λ şi ϕ între care

există condiţia de rulare: rRλ ϕ= ⋅ . (2.11) Sistemele de referinţă, solidare celor două centroide,

descriu mişcările absolute: ( )T3x Xω ϕ= ⋅ (2.12)

reprezentând mişcarea unui punct din spaţiul XYZ faţă de xyz şi x aξ= + (2.13)

cu rR

a0λ

−= − , reprezentând mişcarea unui punct din spaţiul ξηζ faţă de xyz.

Fig. 2.3. Familia traiectoriilor punctelor aparţinând profilului Σ

Fig. 2.4. Generarea cu scula cremalieră



Ansamblul mişcărilor absolute (2.12) şi (2.13), determină mişcarea relativă ( )T3 X aξ ω ϕ= ⋅ − (2.14) Acum, dacă în transformarea (2.14), prin matricea X se înţelege locul geometric al punctelor

aparţinând profilului Σ, în spaţiul XYZ, atunci după dezvoltare ecuaţia (2.14) poate fi privită ca reprezentând ecuaţiile traiectoriilor punctelor aparţinând lui Σ faţă de sistemul de referinţă al centroidei asociate.

Deci, acceptând că locul geometric al punctelor aparţinând lui Σ este de forma

( )

( )X X u ;

:Y Y u ,

Σ==

(2.15)

reprezentând un profil plan, cu u variabil atunci din (2.14), prin dezvoltare se ajunge la exprimarea:

rr

Rc o s s i n XRs i n c o s Y

ξ ϕ ϕϕη ϕ ϕ

−−= ⋅ −

− ⋅ (2.16)

Astfel, după dezvoltare, transformarea (2.16) reprezintă ecuaţiile traiectoriilor punctelor aparţinând

lui Σ faţă de spaţiul ξη.

( ) ( ) ( )( ) ( )r

r

X u cos Y u sin R ;T :

X u sin Y u cos R .Σ ϕξ ϕ ϕη ϕ ϕ ϕ

= − += + + ⋅

(2.17)

Ecuaţiile (2.17) reprezintă, principial ecuaţiile de tip cicloidal, în spaţiul ξη. Conform teoremei enunţate, înfăşurătoarea acestor traiectorii este profilul căutat —profilul

sculei-cremalieră. Condiţia geometrică pentru determinarea unei familii de curbe depinzând de un parametru, în

principiu

( ) ( )( )u, ;

T :u, ,Σ ϕ

ξ ξ ϕη η ϕ

==

(2.18)

este (2.19)

u u .ϕ ϕ

ξ ηξ η

′ ′=

′ ′ (2.19)

Dacă, acum, se acceptă ca fiind cunoscută condiţia Gohman N R 0Σ ϕ⋅ =

r r, (2.20)

în care: NΣr

este normala la profilul Σ, vector exprimat din (2.17), pentru ϕ=0;

Rϕr

este vectorul viteză în mişcarea (2.17).

În acest fel, cei doi vectori sunt definiţi în acelaşi sistem de referinţă ξη şi în acelaşi punct (punct aparţinând profilului Σ).

Dacă, acum, se acceptă că, principial, normala la Σ are exprimarea

u u u u

i j kN 0 i j

0 0 1Σ ξ η η ξ′ ′ ′ ′= = ⋅ − ⋅

rr r

r r r, (2.21)

iar vectorul Rϕr

, ca vector viteză (din (2.17) pentru u=cst.) are parametrii directori

R i jϕ ϕ ϕξ η′ ′= ⋅ + ⋅r

(2.22) atunci, condiţia Gohman (2.20) capătă forma



u u 0ϕ ϕη ξ ξ η′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ = (2.23) identică cu condiţia (2.19), ceea ce era de demonstrat.

În consecinţã, ansamblul ecuaţiilor

( ) ( ) ( )( ) ( )

u u

X u cos Y u sin RrT

X u sin Y u cos RrΣ ϕ

ϕ ϕ

ξ ϕ ϕη ϕ ϕ ϕ

ξ ηξ η

= − += + − ⋅

′ ′=

′ ′

(2.24)

permite eliminarea unuia dintre cei doi parametri, reprezentând înfăşurătoarea familiei de traiectorii (TΣ)ϕ adică profilul sculei cremalieră —S în principiu de forma:

( )( )

;S

.ξ ξ ϕη η ϕ

==

(2.25)

Linia de angrenare Linia de angrenare este definită ca fiind locul geometric al punctelor de contact între cele două

profiluri conjugate în sistemul de referinţă fix şi se determină, în plan, asociind la una dintre mişcările absolute (ale semifabricatului Σ sau a sculei S) condiţia de înfăşurare, în forma (2.19).

Astfel, pentru scula cremalieră, linia de angrenare este definită de ansamblul de ecuaţii:

( )T3

u u

x X ;L.A.:

0,ϕ ϕ

ω ϕξ η η ξ

= ′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ =

(2.26)

sau în forma dezvoltată:

( ) ( )( ) ( )

u u

x X u cos Y u sin ;L.A.:

y X u sin Y u cos ;

0.ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ξ η ξ η

= − = −

′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ =

(2.27)

în care X(u), Y(u) sunt ecuaţiile parametrice ale profilului Σ de generat (2.15) în ξ(u,v), η(u,v) sunt date de ecuaţiile (2.17).

2.3. Generarea cu cuţit-roată În mod similar, se poate da o rezolvare a problemei generării prin înfăşurare şi pentru cazul în care

ambele centroide în rulare sunt cercuri —generarea cu cuţite-roatã. În fig. 2.5, sunt prezentate centroidele şi sistemele de referinţă asociate acestora. Se definesc sistemele de referinţă: xyz şi x0y0z0 sunt sisteme de referinţã fixe, având originile suprapuse centrelor celor două centroide

C1 şi C2; XYZ sistem mobil, solidar vârtejului Σ (centroidei C1); ξηζ sistem mobil, solidar sculei cuţit-roată (centroidei C2); Mişcările de generare sunt mişcări de rotaţie de parametri ϕ1 şi ϕ2, între care există relaţia: rp 1 rs 2R Rϕ ϕ⋅ = ⋅ (2.28)

reprezentând condiţia de rulare a celor două centroide. Mişcările absolute ale sistemelor XYZ şi ξηζ sunt date transformările ( )T3 1x Xω ϕ= ⋅ (2.29)

şi ( )T0 3 2x ω ϕ ξ= − (2.30)



Având în vedere, poziţia relativă a celor două sisteme de referinţă fixe (fig. 2.5.a)

120-A

x x a; a0

= − = . (2.31)

Se poate defini mişcarea relativã a spaţiului XYZ faţă de ξηζ în forma ( ) ( )T3 2 3 1 X Aξ ω ϕ ω ϕ = − ⋅ ⋅ − (2.32) Acum dacă în (2.32) prin matricea X se înţelege matricea formată cu totalitatea punctelor aparţinând

spaţiului XY, ce formează locul geometric Σ

( )

( )X X u ;

:Y Y u ,

Σ==

(2.33)

cu u variabil, atunci după dezvoltare, ţinând seama de (2.33) ecuaţia matriceală (2.32) va reprezenta familia de traiectorii ale punctelor aparţinând profilului Σ faţă de spaţiul ξηζ —spaţiul asociat cuţitului-roată:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 1

11 1 12 1

X u cos 1 i Y u sin 1 i A cos iT

X u sin 1 i Y u cos 1 i A sin iΣ ϕξ ϕ ϕ ϕη ϕ ϕ ϕ

= ⋅ + − ⋅ + + ⋅= ⋅ + + ⋅ + + ⋅

(2.34)

în care 12

i ϕϕ

= raportul de transmisie.

Asociind acestor ecuaţii condiţia (2.19), în care derivatele parţiale sunt date de (2.34), ansamblul de ecuaţii (2.19), (2.34) reprezintă profilul cuţitului-roată, în principiu de forma:

( )( )

1

1

Sξ ξ ϕη η ϕ

==

(2.35)

În mod absolut similar, se rezolvă şi problema în cazul contactului interior al celor două centroide cuţit-roată de interior (vezi fig. 2.5.b).

Familia de traiectorii, în acest caz, este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 1

11 1 12 1

X u cos 1 i Y u sin 1 i A cos iT

X u sin 1 i Y u cos 1 i A sin iΣ ϕξ ϕ ϕ ϕη ϕ ϕ ϕ

= ⋅ − − ⋅ − + ⋅= ⋅ − + ⋅ − − ⋅

(2.36)

ecuaţii cărora asociindu-le condiţia de înfăşurare (2.19) determină înfăşurătoarea familiei (TΣ)ϕ1 adică, profilul cuţitului-roată pentru interior.

Linia de angrenare În mod similar generării cu scula cremalieră, pentru generarea cu cuţite-roată, linia de angrenare

este definită de ansamblul de ecuaţii:

Fig. 2.5. Generarea cu cuţit-roată a). Angrenare exterioară b). Angrenare interioară



( )T3

u 1 u 1

x X ;L.A.:

0,ϕ ϕ

ω ϕξ η η ξ

= ′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ =

(2.37)

păstrându-se semnificaţia anterioară a matricei X şi considerând ξ(u,v), η(u,v) date de (2.34) sau (2.36), pentru generarea cu cuţite-roată de interior.

2.4. Generarea cu cuţite rotative Sistemele de referinţă îşi păstrează semnificaţiile

(vezi şi fig. 2.6). Profilul de generat Σ este solidar centroidei C1, în

mişcarea de translaţie. -Rr

x X a; a -Rr0

ϕ= + = ⋅ (2.38)

Centroida C2 şi odată cu acesta, cuţitul-rotativ execută o mişcare de rotaţie de parametru unghiul ϕ, descrisă de transformarea

( )T3x ω ϕ ξ= ⋅ . (2.39) Astfel, mişcarea relativã a spaţiului XYZ faţã de ξηζ

este datã de ( )[ ]3 X aξ ω ϕ= + (2.40) Dacă în (2.40) prin matricea X se înţelege locul geometric al punctelor reprezentând profilul de

generat Σ, în forma:

( )

( )X X u ;

:Y Y u ,

Σ==

(2.41)

cu u variabil, atunci după dezvoltare, ecuaţiile (2.40) reprezintă familia de traiectorii (TΣ)ϕ:

( )( ) ( )

( ) ( )X u Rrs cos Y u Rrs sin ;

TX u Rrs sin Y u Rrs cos ,Σ ϕ

ξ ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ ϕ

= − − − ⋅ ⋅ == − − + − ⋅ ⋅

(2.42)

Înfăşurătoarea familiei de traiectorii (TΣ)ϕ se obţine asociind ecuaţiilor (2.42) condiţia (2.19) această înfăşurătoare reprezentând profilul cuţitului-rotativ.

Linia de angrenare Linia de angrenare la generarea cu cuţite-rotative este definită de:

(vezi 2.26)

(vezi 2.13)u u

x X a; L.A.:

0, ϕ ϕξ η η ξ= +′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ =

(2.43)

în care ξ(u,v) şi η(u,v) sunt date de (2.42). Nota În cazul exprimării locurilor geometrice Σ în forma unor suprafeţe (cilindrice cu generatoarea

paralelă cu axa Z), noţiunea de linie de angrenare trebuie schimbată cu noţiunea de suprafaţă de angrenare. Matricele X, au în acest caz semnificaţii care, în principiu, depind de doi parametri u şi t.

( )( )( )

X X u ;: Y Y u ;

Z Z u .Σ

===

(2.44)

Astfel, suprafeţele de angrenare au principial ecuaţii de forma:

Fig. 2.6. Generarea cu cuţit rotativ



( )( )

u u

x x u, ;S.A.: y y u, ;

z t;

0.ϕ ϕ

ϕϕ

ξ η η ξ

===

′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ =

(2.45)

(Vezi de exemplu ecuaţiile (2.27), pentru scula cremalieră).

2.5. Linii de contact Se definesc liniile de contact între cele două suprafeţe conjugate (caracteristicile) ca fiind locul

geometric al punctelor aparţinând suprafeţelor conjugate, în care acestea admit o normală comună (suprafeţele sunt tangente).

În acest sens, în cazul generării cu scula-cremalieră, dacă suprafaţa Σ de generat, cilindrică, are ecuaţii de forma (2.44) atunci din (2.13), rezultă familia de suprafeţe Σ în principiu de forma:

( )( )( )u, ;

: u, ;t.

ϕ

ξ ξ ϕΣ η η ϕ

ζ

===

(2.46)

Linia de contact (linia de tangenţă între Σ şi S —flancul cremalierei) se obţine asociind ecuaţiilor (2.46) condiţia de înfăşurare (2.19) şi, de asemenea, condiţia ϕ=const.

Astfel, linia de contact —caracteristica— are ecuaţiile:

( )( )

( )

,S

u u

u, ;L : u, ;

t;

;

const. 0 .

Σ

ϕ ϕ

ξ ξ ϕη η ϕζ

ξ ηξ η

ϕ ϕ

===

′ ′=

′ ′

= =

(2.47)

Notă 1. În situaţia în care Σ este o suprafaţă cilindrică linia de contact LΣ,S este o dreaptă paralelă cu generatoarea suprafeţei Σ. 2. În cazul în care Σ este un profil plan, ecuaţiile (2.47) se reduc la un punct —punctul de tangenţă a celor două profiluri conjugate.

( )( )

,Su u

u, ;u, ;

M :0;

const.

Σϕ ϕ

ξ ξ ϕη η ϕξ η η ξϕ

==′ ′ ′ ′⋅ − ⋅ ==

(2.48)

Modalitatea de interpretare a mişcărilor relative între suprafeţele (profilurile) asociate unor cupluri de centroide în rulare ca determinând familii de traiectorii ale punctelor aparţinând profilurilor Σ (de generat) reducând problema la o problemă plană (în planul transversal generatoarelor suprafeţelor cilindrice de generat) permite utilizarea unei condiţii geometrice de înfăşurare condiţia (2.19)).

S-a demonstrat (vezi paragraful 2) echivalenţa condiţiei (2.19) cu condiţia cunoscută Gohman. Condiţia de înfăşurare are avantajul unei exprimări simple, uşor de reţinut şi mai ales, uşor de

aplicat. Mai mult, reprezentarea grafică a familiei traiectoriilor poate elimina, în multe situaţii practice

erorile datorate în primul rând, punctelor singulare de pe profilurile în înfăşurare.

Capitolul III Suprafeţe asociate unor axoide în rulare


SUPRAFEŢE ASOCIATE UNOR AXOIDE ÎN RULARE

În baza metodei traiectoriilor plane au fost elaboraţi algoritmii pentru profilarea sculelor de tip cremalieră, cuţit-roată şi cuţit rotativ.

Având în vedere multitudinea de forme pe care le poate lua profilul de generat, pentru fiecare dintre aceste scule algoritmul de calcul este prevăzut cu posibilitatea de a face calculul distinct pentru pofil de tip segment de dreaptă şi pentru profil de tip arc de cerc.

Practica construcţiei profilurilor generabile prin înfăşurare, în baza metodei rulării, arată că sunt necesare, în multe situaţii (profilurile melcilor pompelor elicoidale, profilurile melcilor compresoarelor elicoidale) a se genera profiluri care, deşi au calitatea de a putea fi exprimate în forme analitice conduc la ecuaţii complexe, uneori greu de utilizat.

Mai mult, pe astfel de profiluri complexe, apar zone în care profilurile sunt rezultatul unui proces de înfăşurare a unui alt profil conjugat acestuia, lucru ce conduce la moduri complexe de exprimare a profilurilor pieselor de generat.

Ca urmare pentru aceste situaţii se impune realizarea unei metodologii bazate pe o modalitate de exprimare “discretă” a profilurilor în înfăşurare ca modalitate generală, capabilă a descrie, prin metoda traiectoriilor cicloidale, o diversitate de profiluri, inclusiv profiluri analitice complexe

sau chiar a profilurilor neanalitice. Se propune o reprezentare discretă a profilurilor bazată

pe liniarizarea segmentelor de curbă între două puncte succesive ale acestora, figura 3.1, în care Mi, Mi+1, Mi+2 sunt puncte succesive determinate în lungul acestei curbe.

Dacă în sistemul de referinţă XY, propriu profilului de generat, sunt definite coordonate “discrete” ale acestuia în forma unei matrice de tipul

1 1

2 2

1 1

i i

i i

n n

X YX Y

X YX Y

X Y

+ +

Σ =M

M

(3.1)

în care

( ) ( )2 21 1i i i iX X Y Y ε+ +− + − < (3.2)

cu ε suficient de mic, atunci, conform ideii enunţate, arcul de curbă între punctele Mi (Xi, Yi) şi Mi+1 (Xi+1, Yi+1) poate fi liniarizat ca în figura 3.2.

Se defineşte, în lungul segmentului MiMi+1 variabila u astfel că ecuaţiile segmentului MiMi+1 devin:

Fig. 3.1. Liniarizarea segmentelor de curbă

Fig. 3.2. Segment de dreaptă înlocuitor

Suprafeţe asociate unor axoide în rulare Capitolul III


cos ;

sin .i i

i i

X X uY Y u

β

β

= +

= − (3.3)

cu

11

.i iii i

Y Ytg

X Xβ +

+

−=

− (3.4)

Cu o astfel de reprezentare a profilului de generat, aplicarea metodei familiei de traiectorii cicloidale devine relativ simplă.

3.1. Algoritmul de calcul pentru scula de tip cremalieră La realizarea fiecărui calcul, utilizatorul trebuie să precizeze dacă profilul pentru care urmează să se

realizeze calculul este de tip segment sau arc. 3.1.1. Scula-cremalieră pentru profil de tip segment de dreaptă În figura 3.3 sunt reprezentate sistemele de referinţă şi profilul de generat. xyz este sistemul de referinţă fix, având originea în centrul de rotaţie al piesei şi axa z suprapusă

axei de rotaţie a acesteia; XYZ— sistem de referinţă mobil, solidar cu piesa, a

cărui origine coincide cu originea sistemului de referinţă fix şi cu axa Z sprapusă axei z;

ξηζ— sistem de referinţă mobil, solidar cu scula, având în momentul iniţial axa ξ suprapusă axei x.

Profilul de generat (segmentul AB ) este cunoscut prin coordonatele punctelor sale extreme.

În acest caz, unghiul α (vezi fig. 4.1) va avea valoarea

B AB A

Y YarctgX X

α −

= − . (3.5)

Lungimea segmetului va fi

( ) ( )2 2B A B Ad X X Y Y= − + − (3.6) Ca parametru ce descrie profilul va fi considerată

mărimea u, definită ca distanţă măsurată în lungul profilului de la punctul A până la punctl curent M.

Valorile extreme pentru u vor fi:

(corespunzator punctului )


;.

min

max

A

B

u 0 u d

=

= (3.7)

Având în vedere cele de mai sus, profilul Σ va avea ecuaţiile

AA

X X u cos ;:

Y Y u sin .α

Σα

= −= +

(3.8)

În mişcarea de rulare (2.4) va fi generată familia de profiluri

( ) ( )( )A A r

A A r

X cos Y sin u cos R ;:

X sin Y cos u sin R .ϕξ ϕ ϕ α ϕ

Ση ϕ ϕ α ϕ ϕ

= − − + += + − + + ⋅

(3.9)

Pentru determinarea condiţiei de înfăşurare este necesar să se calculeze derivatele parţiale

Fig. 3.3. Cremaliera petru segment de dreaptă



( )( )

( )( )

u

u

A A

A A r

sin ;

cos ;

X sin Y cos u sin ;

X cos Y sin u cos R .ϕ

ϕ

ξ α ϕ

η α ϕ

ξ ϕ ϕ α ϕ

η ϕ ϕ α ϕ

′ = − +

′ = − +

′ = − − + +

′ = − − + +

(3.10)

Dacă se înlocuiesc ecuaţiile (3.10) în condiţia de înfăşurare (2.9) se obţine forma specifică a acestei condiţii,

( )( )

( )( )

A A

A A r

sin X sin Y cos u sincos X cos Y sin u cos R

α ϕ ϕ ϕ α ϕα ϕ ϕ ϕ α ϕ

− + − − + +=

− + − − + +, (3.11)

sau, după efectuarea calculelor

A Ar

u X cos Y sinarcsinRα α

ϕ α − −

= −

, (3.12)

formă sub care va fi utilizată în program condiţia de înfăşurare. Profilul sculei cremalieră va fi determinat asociind ecuaţiilor (3.9) condiţia (3.12). Pentru calculul liniei de angrenare se determină familia de profiluri generată în mişcarea (2.2), de

către profilul Σ, în sistemul de referinţă fix xyz, familie care va avea ecuaţiile

( ) ( )( )A A

A A

x X cos Y sin u cos ;:

y X sin Y cos u sin .ϕϕ ϕ α ϕ

Σϕ ϕ α ϕ

= − − −= + + −

(3.13)

Conform ecuaţiilor (2.17) linia de angrenare este obţinută din sistemul

( )( )

A A

A A

A A

r

x X cos Y sin u cos ;y X sin Y cos u sin ;

L.A.:u X cos Y sinarcsin .

R

ϕ ϕ α ϕ

ϕ ϕ α ϕ

ϕ ϕϕ α

= − − −

= + + −

− −= −

(3.14)

3.1.2. Scula-cremalieră pentru profil de tip arc convex de cerc Se utilizează aceleaşi sisteme de referinţă ca şi în cazul precedent (vezi fig. 3.4).

Profilul de generat este cunoscut prin coordonatele centrului arcului de cerc, raza arcului şi coordonatele punctelor extreme ale acestui arc. În plus se cunoaşte şi faptul că este un arc convex.

În cazul profilurilor de tip arc de cerc este avantajos să fie considerat ca parametru ce descrie profilul unghiul la

centru între verticala ce trece prin centrul cercului şi punctul curent M (fie v acest unghi).

Ecuaţiile profilului Σ vor fi

00

X X r cosv;:

Y Y r sinv,Σ

= −= +

(3.15)

cu X0, Y0 coordonatele centrelor arcului de cerc. În mişcarea de rulare (2.4) va fi generată familia de

traiectorii

Fig. 3.4. Cremalieră pentru arc convex de cerc



( ) ( )( )0 0 r

0 0 r

X cos Y sin r cos v R ;:

X sin Y cos r sin v R .ϕξ ϕ ϕ ϕ

Ση ϕ ϕ ϕ ϕ

= − − − += + + − + ⋅

(3.16)

Derivatele parţiale vor fi

( )( )

( )( )

v

v

0 0

0 0 r

r sin v ;

r cos v ;

X sin Y cos r sin v ;

X cos Y sin r cos v R .ϕ

ϕ

ξ ϕ

η ϕ

ξ ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ ϕ

′ = −

′ = −

′ = − + − −

′ = − − − +

(3.17)

Cu acestea, condiţia de înfăşrare devine

0 0r

X sinv Y cosvarcsin vR

ϕ +

= +

. (3.18)

Profilul sculei cremalieră este dat de ansamblul ecuaţiilor (3.16) şi (3.18). Linia de angrenare este determinată asociind familiei de profiluri din sistemul de referinţă fix

condiţia de înfăşurare (3.18). Familia de profiluri determinată de (3.15) în mişcarea (2.2) are ecuaţiile:

( ) ( )( )0 0

0 0

x X cos Y sin r cos v ;:

y X sin Y cos r sin v .ϕϕ ϕ ϕ

Σϕ ϕ ϕ

= − − −= + + −

(3.19)

Linia de angrenare, determinată în conformitate cu (2.17) va fi dată de sistemul de ecuaţii

( )( )

0 0

0 0

0 0

r

x X cos Y sin r cos v ;y X sin Y cos r sin v ;

L.A.:X sinv Y cosvarcsin v.

R

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= − − −

= + + −

+= +

(3.20)

3.1.3. Scula-cremalieră pentru profil de tip arc concav de cerc Sistemele de referinţă utilizate sunt identice cu cele prezentate în paragrafele 1.1 şi 1.2.

Profilul care trebuie generat este cunoscut prin poziţia centrului arcului de cerc C(X0,Y0), raza arcului şi punctele sale extreme. De asemenea se cunoaşte faptul că arcul de cerc este concav (vezi fig. 34.5).

Ca parametru ce descrie arcul de cerc se ia unghiul v (vezi şi paragraful 1.2).

Ecuaţiile profilului Σ sunt:

00

X X r cosv;:

Y Y r sinv,Σ

= += +

(3.21)

Familia de traiectorii generată în mişcarea (2.4) are forma

( ) ( )( )0 0 r

0 0 r

X cos Y sin r cos v R ;:

X sin Y cos r sin v R .ϕξ ϕ ϕ ϕ

Ση ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + + += + + + + ⋅

(3.22)

Fig. 3.5. Cremalieră pentru arc concav de cerc



Prin derivarea ecuaţiilor (3.22) după parametrii v şi ϕ se obţin:

( )( )

( )( )

v

v

0 0

0 0 r

r sin v ;

r cos v ;

X sin Y cos r sin v ;

X cos Y sin r cos v R .ϕ

ϕ

ξ ϕ

η ϕ

ξ ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ ϕ

′ = − +

′ = +

′ = − − − +

′ = − + + +

(3.23)

care duc la condiţia de înfăşurare sub forma specifică

0 0r

X sinv Y cosvarcsin vR

ϕ − +

= −

. (3.24)

Muchia aşchietoare a sculei este dată de sistemul de ecuaţii (3.22) şi (3.24). Pentru acest tip de profil linia de angrenare are forma

( )( )

0 0

0 0

0 0

r


L.A.:X sinv Y cosvarcsin v.

R

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= − + +

= + + +

− += −

(3.25)

3.1.4. Scula-cremalieră pentru profil cunoscut în mod discret (neanalitic) Este cunoscută cinematica procesului de generare cu scula cremalieră a unui profil solidar

centroidei C1, figura 3.5 şi exprimat în formă discretă. Familia de traiectorii va avea ecuaţiile:

1 11 1

coscos sinsinsin cos

i i

i i

X u RrpY u Rrp

βϕ ϕξβϕ ϕη ϕ

+− −= ⋅ −

− − ⋅ (3.26)

sau, după dezvoltare:

[ ] [ ][ ] [ ]

i 1 1

i 1 1

X cos cos sin sin ;

X cos sin sin cos .i i i

ii i i

u Y u RrpT

u Y u Rrpϕξ β ϕ β ϕη β ϕ β ϕ ϕ

= + − − += + − − + ⋅

(3.27)

Familia de traiectorii Tiϕ, pentru u-variabil între limitele:

( ) ( )

min

2 2max 1 1

0;

,i i i i

u

u X X Y Y+ +

=

= + + − (3.28)

înfăşoară profilul sculei cremalieră. Determinarea profilului sculei-cremalieră impune asocierea la ecuaţiile (3.27)—familia de

traiectorii— a condiţiei de înfăşurare (2.9), care, ţinând seama de definiţiile:

Fig. 3.5. Scula-cremalieră. Sisteme de referinţă



( )( )

[ ] ( )[ ] ( )

cos ;

sin ;

sin cos sin ;

cos sin cos ,

u i

u i

i i i

i i i

X Y u

X Y u Rrϕ

ϕ

ξ ϕ β

η ϕ β

ξ ϕ ϕ ϕ β

η ϕ ϕ ϕ β

′ = +

′ = −

′ = − − − −

′ = − + − +

(3.29)

poate fi adusă la forma: ( )i i i i iu X cos Y sin Rr cos 0β β ϕ β+ − + − = (3.30) În acest fel, ansamblul ecuaţiilor reprezentând traiectoriile plane Tiϕ (3.27) şi condiţia de înfăşurare

specifică (3.58) şi definiţia (3.1) a profilului de generat Σ reprezintă profilul sculei cremalieră generatoare.

3.2. Algoritmul de calcul pentru scula de tip cuţit-roată La realizarea fiecărui calcul, utilizatorul trebuie să precizeze dacă profilul pentru care urmează să se

realizeze calculul este de tip segment sau arc. 3.2.1. Scula cuţit-roată pentru profil de tip segment de dreaptă În figura 3.11 sunt reprezentate sistemele de referinţă şi profilul de generat. xyz este sistemul de referinţă fix, având originea în centrul de rotaţie al piesei şi axa z suprapusă

axei de rotaţie a acesteia; x0y0z0 este sistemul de referinţă fix, având originea în centrul de rotaţie al sculei şi axa z suprapusă

axei de rotaţie a acesteia; XYZ— sistem de referinţă mobil, solidar cu piesa, a cărui origine coincide cu originea sistemului de

referinţă fix şi cu axa Z suprapusă axei z; ξηζ— sistem de referinţă mobil, solidar cu scula, cu originea în centrul de rotaţie al sculei şi cu axa

ζ suprapusă axei z0. Profilul de generat (segmentul AB ) este cunoscut prin coordonatele punctelor sale extreme.

În acest caz, unghiul α (vezi fig. 3.11) va avea valoarea dată de ecuaţia (3.5), iar lungimea segmentului de dreaptă va fi dată de (3.6).

Fig 3.11. Generarea cu scula cuţit-roată a). prin angrenare exterioară b). prin angrenare interioară



Ca parametru ce descrie profilul va fi considerată mărimea u, definită ca distanţă măsurată în lungul profilului de la punctul A până la punctul curent M.

Valorile extreme pentru u vor fi:



;.

min

max

A

B

u 0 u d

=

= (3.31)

Având în vedere cele de mai sus, profilul Σ va avea ecuaţiile

AA

X X u cos ;:

Y Y u sin .α

Σα

= −= +

(3.32)

În mişcarea de rulare (2.4) va fi generată familia de profiluri

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

A 1 A 1

1 12 1

A 1 A 1

1 12 1

X cos 1 i Y sin 1 i

u cos 1 i A cos i ;:

X sin 1 i Y cos 1 i

u sin 1 i A sin i .

ϕ

ξ ϕ ϕ

α ϕ ϕΣ

η ϕ ϕ

α ϕ ϕ

= ± − ± −

− − ± + ± = ± + ± +

+ − ± + ±

(3.33)

Pentru determinarea condiţiei de înfăşurare este necesar să se calculeze derivatele parţiale

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1

u 1

u 1

A 1 A 1

1 12 1

A 1 A 1

1 12 1

cos 1 i ;

sin 1 i ;

1 i X sin 1 i 1 i Y cos 1 i

1 i u sin 1 i iA sin i ;

1 i X cos 1 i 1 i Y sin 1 i

1 i u cos 1 i iA cos i .

ϕ

ϕ

ξ α ϕ

η α ϕ

ξ ϕ ϕ

α ϕ ϕ

η ϕ ϕ

α ϕ ϕ

′ = − − ± ′ = − ± ′ = − ± ± − ± ± +

+ ± − ± ± ′ = ± ± − ± ± −

− ± − ± ±

m

m

(3.34)

Dacă se înlocuiesc ecuaţiile (3.10) în condiţia de înfăşurare (2.9) se obţine forma specifică a acestei condiţii,

2

11arctan βϕ α

β

−= +

, (3.35)

unde

( )A A12

1 i X cos Y sin ui A

β α α±

= ⋅ − + +± ⋅

. (3.36)

Notă: În ecuaţiile precedente, semnul de sus corespunde angrenării exterioare iar cel de jos angrenării interioare.

Profilul sculei cremalieră va fi determinat asociind ecuaţiilor (3.9) condiţia (3.12). Pentru calculul liniei de angrenare se determină familia de profiluri generată în mişcarea (2.2), de

către profilul Σ, în sistemul de referinţă fix xyz, familie care va avea ecuaţiile

( ) ( )( )1A 1 A 1 1

A 1 A 1 1

x X cos Y sin u cos ;:

y X sin Y cos u sin .ϕϕ ϕ α ϕ

Σϕ ϕ α ϕ

= − − −= + + −

(3.37)

Conform ecuaţiilor (2.17) linia de angrenare este obţinută din sistemul



( )( )

A 1 A 1 1

A 1 A 1 1

2

1

x X cos Y sin u cos ;y X sin Y cos u sin ;

L.A.:1arctan ,

ϕ ϕ α ϕ

ϕ ϕ α ϕ

βϕ α

β

= − − −

= + + −

−= +

(3.38)

cu β dat de (3.36).

3.2.3. Scula cuţit-roată pentru profil de tip arc convex de cerc Se utilizează aceleaşi sisteme de referinţă ca şi în cazul precedent (vezi fig. 3.12).

Profilul de generat este cunoscut prin coordonatele centrului arcului de cerc, raza arcului şi coordonatele punctelor extreme ale acestui arc. În plus se cunoaşte şi faptul că este un arc convex.

În cazul profilurilor de tip arc de cerc este avantajos să fie considerat ca parametru ce descrie profilul unghiul la centru între verticala ce trece prin centrul cercului şi punctul curent M (fie v acest unghi).

Ecuaţiile profilului Σ vor fi

00

X X r cosv;:

Y Y r sinv,Σ

= −= +

(3.39)

cu X0, Y0 coordonatele centrelor arcului de cerc. În mişcarea de rulare (2.22) va fi generată

familia de traiectorii

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

0 1 0 1

1 12 1

0 1 0 1

1 12 1

X cos 1 i Y sin 1 i

r cos v 1 i A cosi ;:

X sin 1 i Y cos 1 i

r sin v 1 i A sini ,

ϕ

ξ ϕ ϕ

ϕ ϕΣ

η ϕ ϕ

ϕ ϕ

= ± − ± −

− − ± + ⋅ = ± + ± +

+ − ± ± ⋅

(3.40)

unde

rprs

Ri

R= . (3.41)

Derivatele parţiale vor fi

Fig. 3.12. Generarea unui profil de tip arc convex de cerc



( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1

v 1

v 1

0 1 0 1

1 12 1

0 1 0 1

1 12 1

r sin v 1 i ;

r cos v 1 i ;


1 i r sin v 1 i iA sini ;


1 i r cos v 1 i iA cosi .

ϕ

ϕ

ξ ϕ

η ϕ

ξ ϕ ϕ

ϕ ϕ

η ϕ ϕ

ϕ ϕ

′ = − ± ′ = − ± ′ = − ± ± − ± ± −

− ± − ± − ⋅ ′ = ± ± − ± ± −

− ± − ± ± ⋅

(3.42)

Cu acestea, condiţia de înfăşurare devine

( ) ( )0 0112

X sinv Y cosv i 1arcsin v

iAϕ

+ ⋅ ±= +

. (3.43)

Notă: În ecuaţiile precedente, semnul „+”corespunde angrenării exterioare iar „–” angrenării interioare.

Profilul sculei cuţit-roată este dat de ansamblul ecuaţiilor (3.16) şi (3.18). Linia de angrenare este determinată asociind familiei de profiluri din sistemul de referinţă fix

condiţia de înfăşurare (3.18). Familia de profiluri determinată de (3.15) în mişcarea (2.19) are ecuaţiile:

( ) ( )( )10 1 0 1 1

0 1 0 1 1

x X cos Y sin r cos v ;:

y X sin Y cos r sin v .ϕϕ ϕ ϕ

Σϕ ϕ ϕ

= − − −= + + −

(3.44)

Linia de angrenare, determinată în conformitate cu (2.27) va fi dată de sistemul de ecuaţii

( )( )

( ) ( )

0 1 0 1 1

0 1 0 1 1

0 01

12


L.A.:X sinv Y cosv i 1

arcsin v.iA

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= − − −

= + + −

+ ⋅ ±= +

(3.45)

3.2.4. Scula cuţit-roată pentru profil de tip arc concav de cerc Sistemele de referinţă utilizate sunt identice cu cele prezentate în paragrafele 1.1 şi 1.2.

Profilul care trebuie generat este cunoscut prin poziţia centrului arcului de cerc C(X0,Y0), raza arcului şi punctele sale extreme. De asemenea se cunoaşte faptul că arcul de cerc este concav (vezi figura 3.13).

Ca parametru ce descrie arcul de cerc se ia unghiul v (vezi şi paragraful 1.2).

Ecuaţiile profilului Σ sunt:

00

X X r cosv;:

Y Y r sinv,Σ

= += +

(3.46)


Fig. 3.13. Generarea unui profil de tip arc concav de cerc



( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

0 1 0 1

1 12 1

0 1 0 1

1 12 1

X cos 1 i Y sin 1 i

r cos v 1 i A cosi ;:

X sin 1 i Y cos 1 i

r sin v 1 i A sini ,

ϕ

ξ ϕ ϕ

ϕ ϕΣ

η ϕ ϕ

ϕ ϕ

= ± − ± +

+ + ± + ⋅ = ± + ± +

+ − ± ± ⋅

(3.47)

cu i dat de (3.41). Prin derivarea ecuaţiilor (3.22) după parametrii v şi ϕ1 se obţin:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

1

v 1

v 1

0 1 0 1

1 12 1

0 1 0 1

1 12 1

r sin v 1 i ;

r cos v 1 i ;


1 i r sin v 1 i iA sini ;


1 i r cos v 1 i iA cosi .

ϕ

ϕ

ξ ϕ

η ϕ

ξ ϕ ϕ

ϕ ϕ

η ϕ ϕ

ϕ ϕ

′ = − + ± ′ = + ± ′ = − ± ± − ± ± −

− ± + ± ⋅ ′ = ± ± − ± ± +

+ ± + ± ± ⋅

m (3.48)

care duc la condiţia de înfăşurare sub forma specifică

( ) ( )0 0112

X sinv Y cosv i 1arcsin v

iAϕ

− + ⋅ ±= −

. (3.49)

Muchia aşchietoare a sculei este dată de sistemul de ecuaţii (3.22) şi (3.24). Pentru acest tip de profil linia de angrenare are forma

( )( )

( ) ( )

0 1 0 1 1

0 1 0 1 1

0 01

12


L.A.:X sinv Y cosv i 1

arcsin v.iA

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= − + +

= + + +

− + ⋅ ±= −

(3.50)

3.2.5. Scula cuţit-roată pentru profil cunoscut în mod discret (neanalitic) În mod similar cu cele prezentate anterior şi profilarea sculelor de tip cuţit-roată, pentru generarea

unor profiluri Σ definite discret (vezi (3.1)), poate fi tratată prin metoda liniarizării locale a profilurilor de generat (vezi figura 3.1 şi relaţiile (3.3) şi (3.4))



Fig. 3.14. Discretizarea profilurilor neanalitice la prelucrarea cu cuţit-roată

a). prin angrenare exterioară b). prin angrenare interioară În acest fel, ţinând seama de cinematica specifică procesului de generare cu cuţite roată: ( )T3 1x Xω ϕ= , (3.51) ( )T0 3 1x ω ϕ ξ= − , (3.52)

120A

x x a; a0

−= − = , (3.53)

se defineşte mişcarea relativă

( ) ( )T3 2 3 1 X aξ ω ϕ ω ϕ = − − , (3.54) prin care se determină familia de traiectorii ale punctelor profilului Σ faţă de sistemul de referinţă al cuţitului-roată —familia de traiectorii cicloidale,

i i2 2 1 1 12i2 2 1 1

X u coscos sin cos sin AY u sinsin cos sin cos 0

βϕ ϕ ϕ ϕξβϕ ϕ ϕ ϕη

+− − −= ⋅ ⋅ − −

(3.55)

sau, după dezvoltări: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1i 1 i 1 1 i 12 1

ii 1 i 1 1 i 12 1

X cos 1 i Y sin 1 i u cos 1 i A cosi ;T

X sin 1 i Y cos 1 i u sin 1 i A sini ,ϕξ ϕ ϕ ϕ β ϕ

η ϕ ϕ ϕ β ϕ

= + − + + + − + = + + + + + − +

(3.56)

cu 21

i ϕϕ

= raportul de transmitere.

Asociind ecuaţiilor (3.56) condiţia de înfăşurare (2.9) care poate fi adusă la forma ( ) ( ) ( ) ( )i i i i 12 1 i1 i X cos 1 i Y sin 1 i u iA cos 0β β ϕ β+ − + + + + − = (3.57)

ansamblul acestor ecuaţii reprezintă profilul cuţitului-roată, evident pentru u variind, incremental, între limitele definite de condiţiile (3.7).poate fi adusă la forma

( )cos sin cos 0i i i i iu X Y Rrβ β ϕ β+ − + − = (3.58) În acest fel, ansamblul ecuaţiilor reprezentând traiectoriile cicloidale Tiϕ (3.27) şi condiţia de

înfăşurare specifică (3.58) şi definiţia (3.1) a profilului de generat Σ reprezintă profilul sculei cremalieră generatoare.



3.3. Algoritmul de calcul pentru scula de tip cuţit rotativ Generarea cu scula cuţit rotativ poate fi considerată inversul generării cu scula de tip cremalieră. 3.3.1. Scula cuţit rotativ pentru profil de tip segment de dreaptă

În figura 3.18 sunt reprezentate sistemele de utilizate.

xOy este sistemul de referinţă fix, cu originea în centrul cercului de rulare al sculei;

XO1Y— sistem de referinţă mobil, solidar cu piesa, având la momentul iniţial axa X suprapusă axei x;

ξOη— sistem de referinţă mobil, solidar cu scula, având la momentul iniţial axele ξ şi η suprapuse axelor x şi respectiv y.

Segmentul AB , reprezentând profilul de generat este cunoscut prin coordonatele punctelor A şi B.

Ecuaţiile segmentului AB sunt

AA

X X u cos ;:

Y Y u sin .α

Σα

= −= +

(3.59)

cu α dat de relaţia (vezi fig. 4.18)

B AA B

Y YarctgX X

α−

=−

. (3.60)

Parametrul ce descrie profilul este distanţa u, măsurată în lungul profilului de la punctul A până la punctul curent M.

În acest caz valorile extreme pentru u vor fi:

minmax

u 0;u d ,

=

= (3.61)

unde

( ) ( )2 2A B A Bd X X Y Y= − + − . (3.62) Mişcarea relativă între centroida piesei şi centroida sculei respectă condiţia de rulare (2.1). În mişcarea de rulare se generează familia de profiluri

( ) ( ) ( )( ) ( )A A rs

A A rs

X cos Y sin u cos R cos sin ;:

X sin Y cos u sin R sin cos .ϕξ ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ ϕ

Ση ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ ϕ

= − − + − += − + + + + −

(3.63)

Scrierea condiţiei de înfăşurare în forma (2.9) presupune calculul derivatelor parţiale

( )( )

( )( )

u

u

A A rs

A A rs

cos ;

sin ;

X sin Y cos u sin R cos ;

X cos Y sin u cos R sin .ϕ

ϕ

ξ α ϕ

η α ϕ

ξ ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ

′ = − +

′ = +

′ = − − + + −

′ = − − + + +

(3.64)

Fig. 3.18. Generarea cu cuţitul rotativ a unui segment de dreaptă



Acestea determină condiţia de înfăşurare în forma specifică:

A Ars

X cos Y sin uR sinα α

ϕα

− + += . (3.65)

Profilul cuţitului rotativ se obţine asociind ecuaţiilor (3.63) condiţia (3.65).

Linia de angrenare se determină asociind condiţia de înfăşurare ecuaţiilor familiei de profiluri ( )ϕΣ în mişcarea (2.28)

( ) A rsA rs

x X u cos R ;:

y Y u sin R ,ϕα

Σα ϕ

= − −= + −

(3.66)

obţinându-se sistemul de ecuaţii

A rs

A rs

A A

rs

x X u cos R ;L.A.: y Y u sin R ;

X cos Y sin u .R sin

αα ϕ

α αϕ

α

= − −= + −

− + +=

(3.67)

3.3.2. Scula cuţit rotativ pentru profil de tip arc concav de cerc Se utilizează următoarele sisteme de referinţă (vezi fig. 3.19): xOy este sistemul e referinţă fix cu originea în centrul cercului de rulare al sculei; XO1Y —sistem de referinţă mobil, solidar cu piesa; ξOη —sistem de referinţă mobil, solidar cu scula. Profilul de generat este definit prin poziţia centrului arcului de cerc, raza sa şi poziţia punctelor sale

extreme. În plus este cunoscut faptul că arcul respectiv este concav. Parametrul ce descrie acul de cerc este unghiul v (vezi fig. 3.19). Ecuaţiile profilului Σ în sistemul de referinţă asociat piesei sunt

00

X X r cosv;:

Y Y r sinv.Σ

= += +

(3.68)


( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 rs

0 0 rs

X cos Y sin r cos v R cos sin ;:

X sin Y cos r sin v R sin cos .ϕξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Ση ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= + − + − += − + + + + −

(3.69)

Pentru determinarea condiţiei de înfăşurare este necesară calcularea derivatelor parţiale

( )( )

( )( )

v

v

0 0 rs

0 0 rs

r sin v ;

r cos v ;

X sin Y cos r sin v R cos ;

X cos Y sin r cos v R sin .ϕ

ϕ

ξ ϕ

η ϕ

ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

′ = +

′ = +

′ = − + + + −

′ = − − + + +

(3.70)

Înlocuind ecuaţiile (3.70) în condiţia (2.9) se determină forma specifică a condiţiei de înfăşurare

0 0rs

X sinv Y cosv .R cosv

ϕ+

= (3.71)

Linia de angrenare va avea ecuaţiile

Fig. 3.19. Profil de tip arc concav de cerc



0 rs

0 rs

0 0

rs

x X r cosv R ;L.A.: y Y r sinv R ;


ϕ

ϕ

= + −= + −

+=

(3.72)

3.3.3. Scula cuţit rotativ pentru profil de tip arc concav de cerc Sistemele de referinţă utilizate au aceeaşi semnificaţie ca în paragrafele 3.1 şi 3.2.

Profilul de trebuie generat este cunoscut prin poziţia centrului arcului de cerc, raza acestui arc şi punctele sale extreme. De asemenea se cunoaşte faptul că este un arc de cerc convex.

Ecuaţiile profilului vor fi

00

X X r cosv;:

Y Y r sinv.Σ

= −= +

(3.73)

În mişcarea (2.30) se generează familia de traiectorii ( )ϕΣ cu ecuaţiile

( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 rs

0 0 rs

X cos Y sin r cos v R cos sin ;:

X sin Y cos r sin v R sin cos .ϕξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Ση ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= + − − − += − + − − + −

(3.74)

Derivatele parţiale ale funcţiilor ξ(v,ϕ) şi η(v,ϕ) sunt

( )( )

( )( )

v

v

0 0 rs

0 0 rs

r sin v ;

r cos v ;

X sin Y cos r sin v R cos ;

X cos Y sin r cos v R sin .ϕ

ϕ

ξ ϕ

η ϕ

ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

′ = −

′ = −

′ = − + − − −

′ = − − − − +

(3.75)

Condiţia de înfăşurare are forma specifică

0 0rs


ϕ− +

= (3.76)

În conformitate cu (2.35) linia de angrenare este dată de sistemul de ecuaţii

0 rs

0 rs

0 0

rs

x X r cosv R ;y Y r sinv R ;

L.A.:X sinv Y cosv .

R cosv

ϕ

ϕ

= − −= + −

− +=

(3.77)

3.3.4. Scula cuţit rotativ pentru profil cunoscut în mod discret (neanalitic)

Fig. 3.20. Profil de tip arc convex de cerc



Sistemele de referinţă precum şi parametrii mişcărilor (λ şi ϕ) sunt prezentate în figura 3.21. Mişcarea relativă a celor două centroide C1 şi C2,

este dată de ( )[ ]3 X aξ ω ϕ= + . (3.78) În acest fel, ţinând seama de (4.3), se determină

familia de traiectorii:

( )

( )( )

( )( )

1

i i

1 i

rsi

i i

i

rs

X cos Y sin u cos

R cos sin ;T

X sin Y cos u sin

R sin cos .

ϕ

ξ ϕ ϕ

ϕ β

ϕ ϕ ϕ

η ϕ ϕ

ϕ β

ϕ ϕ ϕ

= + +

+ + −

− +

= − + −

− + +

+ −

(3.79)

Condiţia de înfăşurare specifică (vezi (2.9)) este

i i i irs i

X cos Y sinu R sin 0

β β

ϕ β

− +

+ + = (3.80)

Ansamblul de ecuaţii (3.79)şi (3.80) reprezintă pentru profilul exprimat discret (3.1), profilul

înfăşurător al flancului dintelui cuţitului rotativ.

3.4. Traiectorii de interferenţă. Există posibilitatea ca în puncte ale profilului definit de matricea (3.1) să apară variaţii bruşte ale

tangentei la profil, sau

i i 1i i 1

tg tgtg tg

β β

β β+

+

>>

Profilarea sculelor pentru generarea suprafeţelor elicoidale Capitolul IV


PROFILAREA SCULELOR PENTRU GENERAREA SUPRAFEŢELOR ELICOIDALE

Generarea suprafeţelor elicoidale cilindrice şi de pas constant cu scule mărginite de suprafeţe periferice primare de revoluţie poate fi analizată şi prin metoda curbelor generatoare plane.

Pentru situaţiile cunoscute (generarea cu sculă cilindro-frontală, generarea cu scula-disc, generarea cu scule materializând suprafeţe cilindrice) facem observaţia că, în toate situaţiile, contactul între suprafaţa periferică primară a sculei şi suprafaţa de generat se poate examina şi ca o problemă plană, în secţiunile transversale axelor de rotaţie ale sculelor, sau pentru cazul particular al suprafeţelor cilindrice într-un plan conţinând “generatoarea” acesteia, figura 4.1.

În acest fel, profilurile ΣT, reprezentând secţiunea suprafeţei Σ cu planurile T (planurile transversale)

înfăşoară, în acest plan, curbe ale suprafeţelor periferice primare ale sculelor, permiţând determinarea punctelor de tipul MΣ,S aparţinând curbelor caracteristice-curbele de tangenţă între suprafaţa Σ şi suprafaţa periferică primară a sculelor.

4.1. Algoritm specific pentru profilarea sculei cilindro-frontală Se definesc sistemele de referinţă şi poziţia

relativă a sculei cilindro-frontale şi a suprafeţei elicoidale de generat.

Astfel, XYZ este sistemul de referinţă ataşat sculei cilindro-frontală.

Axa Ar

a sculei este suprapusă axei X. Dacă se defineşte planul transversal T, aflat la

distanţa H faţă de planul ZY, intersecţia acestui plan cu suprafaţa Σ de generat determină o curbă plană ΣT.

Fie suprafaţa elicoidală cilindrică de axă Vr

şi parametru elicoidal p –Σ– definită prin ecuaţiile parametrice:

Fig. 4.1. Curbele de intersecţie ale suprafeţelor elicoidale -ΣT (curbele generatoare) cu planul “T”.

Fig. 4.2. Scula cilindro-frontală

Capitolul IV Profilarea sculelor pentru generarea suprafeţelor elicoidale


( )

( )( )

X X u ;

Y Y u ;

Z Z u .

Σ

=

=

=

(4.1)

cu u şi v parametrii variabili. Secţiunea transversală a suprafeţei Σ, cu planul ( ) cu variabil H X u,v H , = , (4.2)

principial, determină o curbă plană ΣT de ecuaţii:

( )( )T

Y Y u ;

Z Z u ,Σ

=

= (4.3)

condiţia (4.2) fiind echivalentă cu o dependenţă de tipul ( )v v u= . (4.4) În mişcarea de rotaţie a curbei ΣT în jurul axei A

r,

( )T

T1X XΣω ϕ= , (4.5)

în care ( )( )

T

HX Y u

Z uΣ =

sau, dezvoltat,

X 1 0 0 HY 0 cos sin Y( u )Z 0 sin cos Z( u )

ϕ ϕϕ ϕ

= − ⋅ , (4.6)

se descrie familia curbelor generatoare de tipul ΣT:

( )TX H ;Y Y( u ) cos Z( u ) sin ;Z Y( u ) sin Z( u ) cos .

ϕΣ ϕ ϕ

ϕ ϕ

== ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅

(4.7)

Înfăşurătoarea familiei de curbe (ΣT)ϕ reprezintă profilul suprafeţei periferice primare, în planul H. Condiţia de înfăşurare, specifică metodei traiectoriilor plane de generare

ţinând seama de forma ecuaţiilor (4.7), devine:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

u u u u

u u u u

Y cos Z sin Y sin Z cosY sin Z cos Y cos Z sin

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

′ ′ ′ ′− +=

− − − (4.8)

care, prelucrată ulterior, conduce la forma: ( ) ( ) ( ) ( )u u u uY Y Z Z 0′ ′⋅ + ⋅ = (4.9) Este evident, forma (4.9) este identică cu forma condiţiei de înfăşurare a “metodei distanţei

minime” şi echivalentă cu cea a celorlalte metode cunoscute (vezi cap. 1). Ansamblul ecuaţiilor (4.7) şi (4.9), pentru diferitele mărimi ale parametrului H, în lungul axei X, în

aşa fel încât să se acopere porţiunea utilă a suprafeţei Σ, (Hmin≤H≤Hmax) determină curba caracteristică pe suprafaţa Σ-CΣ,S. Curba caracteristică

Curba caracteristică a suprafeţelor S şi Σ se determină din sistemul de ecuaţii:



variabil,

,S

-

X X( u,v );Y Y( u,v );Z Z( u,v ).

C

H X( u ); HY Y Z Z 0,

Σ

Σ = = = =

′ ′⋅ + ⋅ =

(4.10)

ca locul geometric al punctelor de tangenţă între Σ şi S, figura 4.3.

Principial, curba caracteristică, comună suprafeţelor Σ şi S, se prezintă în forma:

,S

X X( v );C Y Y( v );

Z Z( v ).Σ

===

(4.11)

Secţiunea axială Din punct de vedere tehnologic, cunoaşterea curbei

caracteristice nu este întru-totul satisfăcătoare, curba caracteristică fiind o curbă strâmbă şi realizarea unui tăiş

al unei scule aşchietoare, în această formă, are multe inconveniente (tehnică de măsurare dificilă, geometrie a tăişului variabilă).

Se impune, astfel, cunoaşterea pe suprafaţa S a unei curbe plane care să poată constitui fie profilul de control al acesteia, fie profilul sculei de ordinul doi (cuţitul profilat de strunjit).

Această curbă este secţiunea axială SA – vezi şi figura 4.4.

Cunoscând ecuaţiile parametrice ale curbei caracteristice (4.11), secţiunea axială a suprafeţei S se determină din considerentul că, în planurile transversale,

( - variabil)X H H= , (4.12) punctele M şi N de pe curba caracteristică şi

respectiv secţiunea axială se află la distanţe egale de axa Ar

. Deci, ecuaţiile parametrice ale secţiunii axiale

(profilul sculei de ordinul doi) sunt:

i

2 2

H X( v );

R Y ( v ) Z ( v ).

=

= + (4.13)

Notă Problema profilării sculei cilindro-frontale se

poate rezolva, în mod similar, şi pentru o poziţie disjunctă a axelor A

r şi V

r, situaţie mai rar utilizată dar nu cu totul particulară.

Prin “scula de ordinul doi” se înţelege scula cu care se prelucrează suprafaţa periferică primară a sculei cilindro-frontale (de exemplu, profilul cuţitului de strunjit), generatoarea unui corp abraziv de revoluţie.

Fig. 4.3. Curba caracteristică

Fig. 4.4. Secţiunea axială (profilul sculei de ordinul doi)



4.2. Algoritmizarea profilării sculelor de tip disc pentru generarea suprafeţelor elicoidale

În mod similar cu cele prezentate la generarea cu scula cilindro-frontală, se examinează, în cele ce urmează, modalitatea de generare cu scule de tip disc (scule mărginite, de asemenea, de suprafeţe periferice primare de revoluţie) figura 4.6.

Suprafaţa periferică primară a sculei-disc —S— se determină din condiţia de fi reciproc înfăşurătoare suprafeţei Σ— suprafaţa elicoidală de generat.

Contactul între cele două suprafeţe se defineşte în plane perpendiculare pe axa sculei-disc, planele T. Intersecţia planelor T cu suprafaţa Σ determină pe aceasta curbele ΣT, care, în mişcarea de rotaţie în jurul axei sculei-disc, înfăşoară un cerc paralel al acesteia –cercul de rază R. Determinarea mărimii razei

Fig. 4.6. Contactul între suprafaţa elicoidală şi suprafaţa de revoluţie

Fig. 4.7. Sisteme de referinţă



acestui cerc paralel aparţinând suprafeţei S pentru diferitele poziţii ale planului transversal T reprezintă principala problemă în profilarea suprafeţei periferice primare a sculei-disc.

Se definesc sistemele de referinţă (vezi figura 4.7): XYZ, este sistemul solidar cu suprafaţa elicoidală de generat, suprafaţa Σ de axa V

r şi parametru

elicoidal p; X1Y1Z1- sistem solidar cu axa sculei disc, axa A

r aflată la distanţa a de axa V

r a suprafeţei

elicoidale. În sistemul XYZ, ecuaţiile parametrice ale suprafeţei Σ sunt:

X X( u,v );Y Y( u,v );Z Z( u,v ).

Σ===

(4.14)

cu u şi v parametrii variabili. Planul transversal axei A

r a sculei-disc, plan paralel cu planul X1Y1, intersectează suprafaţa Σ după

curba ΣT. Astfel, dacă se acceptă ecuaţia planului transversal: variabil1Z H ; (H- )= (4.15)

şi ţinând seama de ecuaţiile parametrice ale suprafeţei elicoidale Σ, care prin transformarea de coordonate:

1

1

1

X 1 0 0 X( u,v ) aY 0 cos sin Y( u,v ) 0Z 0 sin cos Z( u,v ) 0

α αα α

− = ⋅ − −

, (4.16)

sunt raportate la sistemul de referinţă solidar sculei-disc:

1

1

1

X X( u,v ) a;Y Y( u,v )cos Z( u,v )sin ;Z Y( u,v )sin Z( u,v )cos .

α αα α

= −= += − +

(4.17)

Se ajunge la forma Y( u,v )sin Z( u,v )cos Hα α− + = . (4.18) Ansamblul ecuaţiilor (4.17) şi (4.18) determină, în sistemul X1Y1Z1, curba TΣ , secţiunea plană a

suprafeţei elicoidale, de ecuaţii:

1 1T1 1

X X ( u );:

Y Y ( u ).Σ

==

(4.19)

În mişcarea de rotaţie în jurul axei Z1

( )1

T1 3 1 1

X ( u )X Y ( u )

Hω ϕ= , (4.20)

sau, dezvoltat, în forma

1 1 1 1

1 1 1 1

1

X cos sin 0 X ( u )Y sin cos 0 Y ( u )Z 0 0 1 H

ϕ ϕϕ ϕ

−= ⋅ , (4.21)

este descrisă familia de curbe generatoare:



( )1 1 1 1 1

T 1 1 1 1 11

1

X X ( u )cos Y ( u )sin ;Y X ( u )sin Y ( u )cos ;Z H .

ϕ

ϕ ϕΣ ϕ ϕ

= −= +=

(4.22)

Înfăşurătoarea acestei familii de curbe generatoare (4.22) este cercul paralel al suprafeţei S, din planul T.

Ansamblul ecuaţiilor (4.17) şi (4.18) reprezintă, pe suprafaţa Σ, curba caracteristică - CΣ,S –curba de contact, pentru o exprimarea a condiţiei de înfăşurare, în baza metodei traiectoriilor plane de generare:

( )( )( )

( ) variabil

1 1

1 1

1 1S

1

1 1 1 1

X X u,v ;Y Y u,v ;Z Z u,v ;CZ u,v H ; (H- );

X X Y Y 0,

Σ

===

=′ ′⋅ + ⋅ =

(4.23)

sau, în formă principială:

( )

( )( )

1 1

S 1 1

1 1

X X u ;C Y Y u ;

Z Z u .Σ

===

(4.24)

Şi în acest caz, este necesară determinarea unei curbe plane pe suprafaţa de revoluţie —S— a sculei, reprezentând profilul sculei de ordinul doi, figura 4.8.

Astfel, secţiunea axială a suprafeţei S, pornind de la cunoaşterea curbei caracteristice CΣS (4.24) este descrisă de ecuaţiile:

( )

( ) ( )1

A 2 21 1

H Z u ;S

R X u Z u ,

=

= + (4.25)

din considerentul că cele două puncte M şi N se află pe acelaşi cerc. Definirea poziţiei axei sculei-disc

Mărimile a şi α pot fi definite ca fiind constante ale procesului de generare. Mărimea a este suma între raza minimă pe suprafaţa de generat Rip şi raza exterioară a sculei-disc

Res. Unghiul α reprezintă unghiul elicei corespunzătoare cilindrului exterior al suprafeţei de generat,

es

2 ptg2 R

πα

π= ; (4.26)

p –parametru elicoidal al suprafeţei de generat.

Fig. 4.8. Secţiunea axială a suprafeţei periferice



4.3. Algoritmizarea profilării sculelor cilindrice pentru generarea suprafeţelor elicoidale

Se consideră ca fiind posibilă examinarea contractului între suprafaţa elicoidală Σ şi suprafaţa cilindrică S —suprafaţa periferică primară a sculei de rabotat a suprafeţei elicoidale— într-un plan T care conţine generatoarea suprafeţe

Bazele aşchierii şi generării suprafeţeloring.ugal.ro/Resurse/MENUS/Facultate/IFR/BAGS.pdf ·...

Documents

Transcript of Bazele aşchierii şi generării suprafeţeloring.ugal.ro/Resurse/MENUS/Facultate/IFR/BAGS.pdf ·...