7/24/2019 118929606-MAthcad

1/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

2/91

CHIINU -2002

Ministerul nvmntului al Republicii Moldova

Universitatea Tehnic a Moldovei

Catedra Rezistena Materialelor

V !"#"$

R%&'(T%$)" M"T%R'"#%#*RCU M"T+C",

2

2

7/24/2019 118929606-MAthcad

3/91

C+'-'$.UUTM2002

"utorii acestei lucrri /iau propus s pun la dispoziia celorinteresai cuno/tine minime necesare despre posibilitile1perormanele /i manevrarea pachetului de pro3rame M"T+C", /i

e4emple de aplicare ale lui pentru rezolvarea problemelor deRezistena Materialelor5rezentul material didactic se adreseaz studenilor /i

doctoranzilor de la toate acultile Universitii Tehnice aMoldovei

Redactor responsabil6pro univ1 dr hab Vasile Marina

7/24/2019 118929606-MAthcad

4/91

UTM1 2002

7

7

7/24/2019 118929606-MAthcad

5/91

re!a

n anii 8090 ai secolului trecut pentru rezolvarea unei problemematematice cu a:utorul calculatorului era necesar de a scrie1veriica sinta4a /i semantica1 de a testa /i de a pune ;n uncie unpro3ram ;n unul din limba:ele de pro3ramare!"('C1

7/24/2019 118929606-MAthcad

6/91

este accesibil /i savanilor1 /i in3inerilor1 /i studenilor1 /i elevilor,in aceast cauz el se mai nume/te Dsupercalculator de buzunarE

#ucrarea de a ;/i propune s oere cititorului cuno/tineiniiale despre lucrul cu pro3ramul M"T+C",1 ce constituieconinutul primei pri1 /i aplicarea lui pentru rezolvareaproblemelor de Rezistena Materialelor ;n partea a doua a lucrrii

Modul de lucru cu pro3ramul este prezentat pas cu pas1 astel cas ie accesibil /i celor care nu au pre3tire /i e4perien ;ndomeniul utilizrii calculatoarelor

5rima parte conine prezentarea 3eneral a pro3ramului1

trecerea ;n revist a comenzilor principale cuprinse ;n meniulprincipal1 tipuri de date /i uncii1 reprezentri 3raice1 calculesimbolice1 procesorul de te4te1 redactarea /i imprimarearezultatelor1 derivare /i inte3rare analitic /i numeric1 rezolvareaecuaiilor al3ebrice /i diereniale

n partea a doua1 pentru consolidarea cuno/tinelor obinute /iprezentarea practic a posibilitilor /i acilitilor oerite de acestpro3ram se rezolv o serie de probleme tradiionale ale cursului deRezistena materialelor1 ce de obicei constituie coninutullucrrilor 3raice de calcul1 /i probleme netradiionale1 care nu sepropun spre rezolvare din cauza comple4itii /i volumului decalcul numeric manual e4cesiv de mare

n aceast lucrare se ace doar o iniiere ;n M"T+C",1 pentrua arta posibilitile de calcul /i u/urina cu care el se manevreaz* descriere mai amnunit poate i 3sit ;n sutele de cri

dedicate acestui pro3ram

"utorii

7

7/24/2019 118929606-MAthcad

7/91

@ '$')'%R% $ M"T+C",

1.1 PREZENTAREAPROGRAMULUI5achetul de pro3rame M"T+C", este destinatsoluionrii problemelor matematice1 att numeric1 ct /isimbolic /i este elaborat /i comercializat de companiaMath Soft Inc.(SUAB "cesta se poate instala pe oricecalculator personal ocupnd @8 M! spaiu pe discRuleaz sub sistemul operaional Windows 95,9,!"""

n raport cu alte produse similare1 menionate anterior1se remarc prin simplitate /i pretenii hardreduse5osibilitile /i acilitile oerite de ultima versiuneM"T+C", 200@sunt6 %4presiile matematice se tasteaz a/a cum le scriem

pe hrtie6 linia racional DFD1 diereniereadx

xdy )(1

inte3rarea 1 calculul limitei unciei )(lim xfax 1 etcG Redactarea1 veriicarea sinta4ei1 compilarea /i

calculul se eectueaz simultan1 ce esenialsimpliic rezolvarea problemelor ,e e4emplu1 ;nprocesul rezolvrii problemei se poate construi3raicul unei uncii1 analiza creia ne poate a:uta laevidenierea 3re/elilor sau la determinarea

urmtorilor pa/i pentru soluionarea problemeiG Rezolvarea numeric1 iar ;n unele cazuri /i analitic

a ecuaiilor /i sistemelor de ecuaii al3ebrice liniare/i neliniare ?pn la 200 ecuaiiBG

Rezolvarea ecuaiilor diereniale obi/nuite liniare /ineliniare de dierite ordineG

Rezolvarea unor ecuaii diereniale cu derivate

parialeG

H

7/24/2019 118929606-MAthcad

8/91

5rocesorul 3raic permite realizarea 3raic a liniilor1supraeelor1 i3urilor spaiale ;n coordonate

carteziene1 polare1 cilindrice /i sericeG %4istena procesorului de te4te permite creareaarticolelor1 rapoartelor1 lucrrilor de curs 3ata depublicareG

7/24/2019 118929606-MAthcad

9/91

!ara de titluG !ara de meniuri ?i#e, 'dit, -iew, Insert, ormat,

Math, Smbo#ics, Window, e#$)G !ara cu instrumente StandardG !ara cu instrumente de ormatareormatting !ara operaiilor matematice Math ?vertical1 la

e4tremitatea stn3 a ecranuluiBG

7/24/2019 118929606-MAthcad

10/91

eectuat cu mouseul sau cu tastaA#t1 tastele s3ei /itasta 'nter ":ustarea lor este intuitiv clar /i

asemntoare cu a:ustarea altor aplicaii ce activeaz subsistemul operaional Windows Comenzile care nu suntdisponibile ;n momentul dat sunt de culoare 3ri"ara cu instru#ente Stadard$ %ara de !or#atareFormatting1 %ara o&eraiilor #ate#atice Math,dubleaz comenzile sau blocurile de comenzi cele mairecvent utilizate ale meniului principal ,esenele de pebutoanele acestor bare indic operaiile /i aciunile care

vor i eectuate /i sunt intuitiv clare'ereastra de editare ocup cea mai mare parte aecranului "ici se rezolv /i se redacteaz problema'niial semnul ?loculB de ;nserare a caracterelor areorma unei cruce mici de culoare ro/ie1 care ladeschiderea documentului se al ;n partea stn3asus aerestrei de editare ?i3 @B ,eplasarea semnului de

;nserare se eectueaz cu tastele s3ei V putei deplasa/i cu tastele ab sau 'nter 5uin mai la dreapta decentrul erestrei de editare observai o linie vertical caredelimiteaz pa3inile des/urate pe orizontal ,acdeplasai semnul de ;nserare pe vertical ;n :os veiobserva linii orizontale1 care delimiteaz pa3inile pevertical ,eplasrile rapide ;n cadrul documentului sepot eectua cu a:utorul barelor de derulare situate ;n

partea de :os /i din dreapta erestrei de editare 5a3iniledin e4trema stn3 a erestrei sunt pa3ini de baz aledocumentului1 iar celelalte se olosesc pentru comentariisau sunt pri ale documentului care nu este necesar s leeditm ,e e4emplu1 unele calcule intermediare1 carepot i destul de voluminoase(inia de stareconine inormaii despre starea actual apro3ramului ,ac sistemul nu eectueaz nici o operaie

=

7/24/2019 118929606-MAthcad

11/91

ea ai/eaz mesa:ul +ress 0 for e#$ ?tasteaz

7/24/2019 118929606-MAthcad

12/91

44

d 7000=

la apariia /ablonului inte3ralei deinite ,accompletm poziiile marcate /i eectum c#ic1 pe

butonul DKE al paletei DCa#cu#atorE sau direct petastatur1 obinem6

Trecerea de la o poziie marcat la alta se ace cu tastaLTab sau c#ic1stn3a cu mouseul pe poziia dorit,ac e4ecutai c#ic1pe inte3rala numai ce calculat vei

observa c e4presia este ;ncadrat ;ntrun dreptun3hinumit re3iune de lucru Vizualizarea mai evident are3iunilor de lucru se poate eectua cu comanda -iewegionsa meniului'dit n acest caz undalul ecranuluidevine de culoare 3ri1 iar re3iunea de lucru de culoarealb 5oziia re3iunii de lucru ;n cadrul documentuluieste determinat de un punct ce se observ ;n parteastn3 a re3iunii de lucru

@0

7/24/2019 118929606-MAthcad

13/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

14/91

c#ic1 pe butonul din dreapta sus a iecrei paleteUtilizatorii avansai de obicei nu olosesc paletele ;n

procesul de lucru

7/24/2019 118929606-MAthcad

15/91

'nte3ral deinit

d L(hitOL

7/24/2019 118929606-MAthcad

16/91

Transponareavectorului sau

matricei

LCtrlOLW

Vectorizare ?e4empluB LCtrlOL

Transportarea uneipri a e4presiei pe

urmtorul rnd

a b+

..?e4empluB LCtrlOL%nter

Crearea re3iunii dete4t

LE

Calculele ;n M"T+C", se e4ecut de la stn3a ladreapta /i de sus ;n :os "stel1 poziiile re3iunilor delucru ;n cadrul documentului determin consecutivitateaeecturii calculelor@ (electm M"K^P#2 /i ai/m rezultatul

1.3 OPERATORIDEDEFINIREIOPERATORIDECALCUL(emnul D K E scris pe hrtie1 ;n dependen de conte4t1are sensuri dierite6 el poate deini o uncie1 poateatribui unei variabile sau parametru o valoare sau ctevavalori ?vector sau matriceB1 poate ai/a valoarea uneivariabile1 uncii1 vector sau matrice1 poate ;nsemna

eectuarea evalurii unei e4presii1 sau e3alul ;ntroecuaie %vident c pro3ramul M"T+C", trebuie s;nelea3 ce se are ;n vedere5entru deiniri /i atribuiri se utilizeaz operatorul D6KE1care se obine pe ecran cu tasta L 6 1 pentru ai/ri /ievaluri operatorul D K E1 se obine cu tasta L K 1pentru ecuaii operatorul D *D1 se obine cu combinaiade taste LCtrl O L K "ce/ti operatori se pot ai/a /ide pe paletele DCa#cu#atorE / i D/oo#eanE ?i3 B

@7

7/24/2019 118929606-MAthcad

17/91

*bservai c semnul e3al pentru ecuaie este maiaccentuat dect semnul e3al pentru ai/are

,up cum sa menionat calculele ;n M"T+C", seeectueaz de la stn3a la dreapta /i de sus ;n :os ,eci1deinirea datelor iniiale trebuie s se ac ;nainte de ascrie relaiile /i ecuaiile de calcul ,ar ;n unele cazurieste comod de a scrie datele iniiale dup relaiile decalcul M"T+C",ul posed un a/a operator D_D1numit operator de deinire 3lobal (e obine tastndL(hit O L 1 sau de pe paleta D'6a#uationE

,einirea astel eectuat este valabil pe ;ntre3documentul Cu alte cuvinte1 calculul se poate eectua;nainte de deinire "plicarea acestor operatori va devenimai clar din e4emplele prezentate ulterior

1.4 CALCULULEXPRESIILORARITMETICEIALGEBRICE"/a dar1 ;n a avem ecranul M"T+C", cu denumirea

implicit a documentului DUntit#ed 0E 5entru ;nceputvom da denumire primului nostru document /i ;l vomsalva 5entru asta eectum urmtorii pa/i6 deplasmcursorul mouselui pe bara de meniuri1 eectum c#ic1pemeniuli#e1 ale3em opiunea Sa6e:;n ereastra aprutSa6e ale3em dosarul doritG ;n cmpul i#e ;ameintroducem numele i/ierului1 s zicem D%4@E1 /ieectum c#ic1pe butonul Sa6e ,ocumentul a obinut

denumire /i este salvat %ste bine s ale3ei ormatulpa3inii /i s stabilii mar3inile ei 5entru asta eectuaicomandai#e, +age Setu$ 5e ecran va aprea ereastrade dialo3 +age Setu$ ?

7/24/2019 118929606-MAthcad

18/91

,eplasail puin mai :os /i spre dreapta cu tastele s3ei5entru a vedea mai bine re3iunile de lucru e4ecutai

c#ic1 pe meniul -iew /i ale3ei opiunea egions%cranul a devenit de culoare 3ri "cum suntem pre3tiipentru a eectua primele calcule

7/24/2019 118929606-MAthcad

19/91

selectat punctul zecimal /i cira D @ D observai ccornierul sa e4tins pe tot numrul1 astel de parc ;l

susine Cu tasta L!ac`spase se /ter3 semnele dininteriorul cornierului1 iar cu tasta L,elete dine4teriorul lui (chimbarea orientrii cornierului sepoate ace cu tasta L'nsert

2 (electai operatorul L O de la tastier sau de pepaleta DCa#cu#atorE "i obinut pe ecran6

"psai consecutiv L 1 L (hit O L 1 L 2 "cum cursorul se al pe poziia e4ponentei 5entrua cobor; de pe aceast poziie apsai tasta de spaiuL (pace Cursorul sa e4tins pe termenul 2

7 (electai L 1 L 1 L H "psai de trei ori L(pace Cursorul sa e4tins pe toat e4presia

H (electai L Q 1 L 1 L (hit O L W 1 L O 1 L Ctrl O L 5e ecran a aprut /ablonul rdcinii deordin superior "psai consecutiv L 9 1 L Tab 1 L

8 %4tindei cursorul pe tot numitorul prin apsareatastei L(pace de dou ori (electai L $umitorul sa ;ncadrat ;n paranteze "psai L Tab Cursorul a cuprins /i parantezele (electai L P 1L 2

9 ,eclan/m procesul de calcul cu tasta L K 1 sau cubutonul DKE de pe paleta DCa#cu#atorE "m obinut6

@9

7/24/2019 118929606-MAthcad

20/91

= "psai L %nter pentru a prsi re3iuneamatematic de lucru (emnul de ;nserare sa deplasat

;n :osA Tuturor numerelor ;n M"T+C", le este asociatimplicit stilul de ormatare DConstantsE1 cruia larndul su ;i este asociat ontul DTimes $eRomanE /i dimensiunea D@0E #e vedei ;n baraDormattingE1 ;n partea de sus a ecranului

@0 "cest stil poate i modiicat de utilizator %ectuaic#ic1Istn3a pe s3eata de derulare a dimensiunii

ontului Dont Si

7/24/2019 118929606-MAthcad

21/91

tgaen

Xn

*ln*2

sin 234/34

1

+

==

1

unde aKH /i K0@ ,up cum am menionat calculele ;n M"T+C", se

ac de la stn3a la dreapta /i de sus ;n :os ,eci1pentru a determina valoarea mrimii f este necesar;n prealabil de atribuit parametrilor DaE /i DE valorinumerice "plicm operatorii de deinire local(tabilim cu mouseul sau cu tastele s3ei poziiasemnului de ;nserare1 de unde vom ;ncepe a eectuacalculele "psm consecutiv La1 L(hit O L61LH1 LTab ,in paleta alabetului 3rec D2ree1Eapsm DE1 apoi L(hit OL61 L1 L01 LP1 Ld1Le1 L3 "m obinut6

2 "tribuim mrimii DfE valoarea e4presiei din parteadreapta a semnului De3alE "psm L(hit OL41L(hit OL61 /i din paleta DCa#cu#usE butonul

sumei (electai Ls1 Li1 Ln1 L(hit OL?1 Ln1 LP1 dinpaleta D>ree`E butonul DgE1 L(pace1 LQ1 L21L(hit OLB1 LTab1 Ln1 LTab1 L@1 LTab1L71 L(pace 5ro3ramul recunoa/te unele dinconstantele matematice inclusiv DgE /i DeE 5utei sv convin3ei de acest lucru1 dac ai/ai valorile lor5entru toate unciile ar3umentul trebuie ;ncadrat ;n

paranteze

@A

7/24/2019 118929606-MAthcad

22/91

7 "psai LP1 Le1 L(hit OL1 L1 LQ1 L75entru a selecta termenul doi este necesar de a

e4tinde cornierul de selecie pe tot primul termen"psai de trei ori tasta L(pace ,up aceastaintroducem operatorul DOE1 iar de pe paleta

H 'ntroducem La1 L(hit OL1 L2 5entru a luacubul lo3aritmului natural e4tindem cornierul deselecie pe tot lo3aritmul apsnd de dou ori tastaL(pace (electm L(hit O L1 L "psmL(pace1 LP1 butonul tan3entei DtanE de paletaDCa#cu#atorE1 litera DE de pe paleta D2ree1E /iL%nter

8 "i/m valoarea mrimii f 5entru aceasta stabilimo poziie nou a semnului de ;nserare /i selectm

L(hit OL41 LK "m obinut6

9 Toate calculele pro3ramul M"T+C", le ace cue4actitatea de @8 cire semniicative 'mplicitormatul de ai/are pe ecran /i de editare a

20

7/24/2019 118929606-MAthcad

23/91

rezultatelor numerice prevede trei cire zecimale,ar el poate i oarte simplu modiicat %ectuai

dubluc#ic1 cu butonul stn3 al mouselui pe oricerezultat numeric 'mediat apare ereastra esu#tormat 'n cmpul D;umber of decima# $#acesE?numrul de cire zecimaleB stabilii e4actitatea deai/are dorit 5entru mrimea f am stabilite4actitatea ma4im de @H cire zecimale *bservaic pro3ramul propune cteva ormate 1care suntindicate ;n caseta de dialo3 DeneralE "ceast ereastr propune;nc cteva opiuni ncercaile Modiicareaormatului numeric poate i realizat nu numai local?pentru un sin3ur rezultatB1 dar /i 3lobal ?pentru toaterezultatele numerice din documentB %ectuai c#ic1undeva ;n aara re3iunilor de lucru (electaicomanda e

7/24/2019 118929606-MAthcad

24/91

"m obinut6

%4emplu 3 Valorile numerice ;n calculele in3inere/tisunt urmate de uniti de msur M"T+C",ul

permite ;n unele cazuri lucrul cu unitile de msurUnitile de msur se ale3 /i pot i vizualizate dinereastra de dialo3Insert Unit?

7/24/2019 118929606-MAthcad

25/91

Unitile de msur pot i ;nserate nu numai de latastatur1 dar /i din ereastraInsert Unit

;

7/24/2019 118929606-MAthcad

26/91

8 n ultima re3iune de lucru stabilii cornierul deselecie pe poziia marcat din dreapta ?cu tastele

s3ei sau c#ic1 cu butonul stn3 al mouseluiB(electai L`1 L$1 L%nter Rezultatul va i ai/at;n `$ ,ac nu v sunt pe plac zerourile care apar ;nrezultat1 chemai ereastra esu#t ormat /ideselectai opiunea Show trei#ing

7/24/2019 118929606-MAthcad

27/91

L!ac`(pase %ectuai c#ic1pe la mi:locul spaiuluiliber obinut "psai opiunea e4t egion al

meniuluiInsert 5e ecran va aprea re3iunea de te4t1iar semnul de ;nserare se va transorma ;ntro linievertical de culoare ro/ie 5rocesorul de te4te poatei chemat /i cu tasta LE (electm te4tul 'mplicitpentru re3iunile de te4t se stabile/te stilul D;orma#Ecruia ;i este ata/at ontulAria#cu dimensiunea 0"Modiicail dup dorin Cu prere de ru1procesorul nu permite selectarea literelor speciice

alabetului romn 5entru a prsi re3iunea de te4teectuai c#ic1;n aara re3iunii Cu tasta L%nter setrece la un rnd nou ;n re3iunea de te4t actual

,ac dorii s /ter3ei simultan cteva re3iuni de lucru1ima3inaiv un dreptun3hi ;n care se ;ncadreaz aceste

re3iuni "psai butonul stn3 al mouselui ;n colulstn3asus al dreptun3hiului ima3inat1 inndul apsat1deplasail ;n colul drept:os %liberai butonul Toatere3iunile selectate se vor ;ncadra ;n dreptun3hiuri culinii ;ntrerupte "cum1 dac amplasai s3eata mouselui ;n interiorul uneia din aceste re3iuni1 ea setransorm ;ntro palm deschis "psai butonul stn3

al mouselui /i inndul apsat deplasai re3iunile

2H

7/24/2019 118929606-MAthcad

28/91

selectate ;ntro poziie nou 'ar /ter3erea se ace oartesimplu6 apsai tasta L,elete

1.5 VARIABILEIRIVARIABILEINDICEUn /ir ordonat de numere ;n orm de pro3resiearitmetic identiicat printrun nume se nume/tevariabil /ir1 care se deine/te cu sinta4a6Variabil _ir:=val_ini ial ,val_urm toare..val_ inalRaia pro3resiei este e3al cu dierena dintre valoarea

urmtoare /i valoarea iniial%4emplu (electai L`1 L(hit O L61 L01 L11 L01L1 LH1 LG1 L21 L%nter Variabila /ir este deinit?i3 8B "i observat c pentru a obine operatorul /iruluiDE se tasteaz LG "i/ai valorile variabilei /ir cutastele L`1 LK ?i3 8BVariabila /ir care const din numere naturale

consecutive ?raia este @ sau I@B se nume/te variabilindice ?range 6ariab#eB /i se deine/te cu sinta4a6Variabil _in"i#e:=val_ini ial ..val_inal

7/24/2019 118929606-MAthcad

29/91

LG sau cu butonul DmnE de pe paletaMatri41 valoareainal LH /i prsii re3iunea de lucru cu tasta L%nter

"i/ai valorile variabilei indice cu tastele Li /i LK?i3 8B( admitem c avei nevoie de a deini un /ir de numeresau e4presii arbitrare Cu a:utorul variabilei indice sepoate deini o astel de variabil denumit variabilindexatcu urmtoarea sinta46Variabilvariab_in"i#e:=e$%resie_1,e$%resie_2,&e$%resie_'

sau pentru iecare valoare a indicelui aparte6variabil _ valoare_variabil _in"i#e :=e$%resie5oziia indicelui variabilei inde4ate se obine cu tastaL\ ntre valorile /irului se tasteaz L1%4emplu ?i3 8B (electai numele variabilei Lz1cobori pe poziia indicelui inerior cu tasta L\1selectai numele variabilei indice Li care este de:adeinit1 operatorul de deinire L(hit OL61 introduceinumerele sau e4presiile dorite separndule prin vir3ule"psai L%nter Variabila inde4at este deinitntre variabilele /ir /i variabilele inde4ate e4ist odeosebire calitativ Variabila inde4at are o sin3urvaloare pentru o valoare concret a indicelui "psaiLz1 L\1 L@1 LK "i obinut Dz@K@@E Valoare avariabilei /ir este tot /irul de numere sau e4presii /i de

aceea nu se poate accesa o valoare sin3ular a ei$u se poate scrie DM6Ki@E1 deoarece DME este ovariabil obi/nuit1 iar DiE este o variabil indice

Totodat1 dac vom deini o variabil inde4at DMiE cue4presia Di2O@E1 pro3ramul nu va avea obiecii

29

7/24/2019 118929606-MAthcad

30/91

*bservai c avem acces la iecare valoare a variabileiinde4ate

Valorile unei variabile inde4ate sunt ;ntocmaicomponentele vectorului cu acela/i nume (electai LM/i operatorul de evaluare LK Vei obine /ase numerenumite componente ale vectorului1 aran:ate pe vertical/i ;ncadrate ;n paranteze rotun3ite n M"T+C",orma des/urat a vectorilor /i matricelor se prezint;n paranteze rotun3ite -ase /i nu cinci componente alevectorului se datoreaz aptului1 c implicit toate

variabilele indice se inizializeaz cu valoarea D0E1indierent de valoarea iniial introdus ,eci implicitprima component a oricrui vector are indicele D0E /idac aceast valoare ?/i urmtoareleB nu sunt deinite ;nvariabila indice1 componentele corespunztoare alevectorului vor i ai/ate cu valorile D0E ?vezi /i i3 8B

*ri3inea indicilor poate i schimbat cu constantapro3ramului *R'>'$1 care implicit are valoarea D0E

"tribuim acestei constante valoarea iniial D@E avariabilei indice DiE *binem6

2=

7/24/2019 118929606-MAthcad

31/91

5rezena unei variabile inde4ate ;ntro e4presie

presupune evaluarea acelei e4presii pentru iecarevaloare din /ir ;n cadrul unui proces iterativ

1.6 FUNCIIIREPREZENTRIGRAFICEn M"T+C", unciile se deinesc cu urmtoareasinta46

nume_un# ie(ar1,ar2,&):=e$%resie"r3umenii sunt parametri ormali1 care pot i variabilenumerice1 vectori1 matrice sau alte uncii Tipul

e4presiei deine/te tipul valorilor unciei6 numeric1vectorial sau matricealCalculul valorii unei uncii ;ntrun punct se ace;nlocuind parametrii ormali cu valori actuale /ieectund evaluarea ,ac ar3umentele sunt deinite cuvariabile /ir sau variabile inde4ate1 evaluarea unciei vaurniza /irul valorilor corespunztoare unciei,eosebesc uncii standard ;n M"T+C", ?apro4imativ2H0B /i uncii deinite de utilizator ,e obicei numele

2A

7/24/2019 118929606-MAthcad

32/91

?identiicatorulB unciei se selecteaz de la tastatur1 dardac lai uitat sau nul cunoa/tei v putei olosi de

ereastra de dialo3 Insert unction1care se ai/eaz cucomandaunctional meniului principalInsert

"le3ei din lista unction Categor tipul unciei1 din

listaunction ;amenumele unciei /i apsai butonulInsert n ereastra de editare1 ;n locul semnului de;nserare va aprea /ablonul unciei selectate Completaipoziiile marcate /i ai/ai rezultatul cu tasta LK"psai butonul semnului de ;ntrebare ;n ereastraInsertunction/i vei obine inormaii despre uncia curent?;n limba en3lezBCele mai uzuale cate3orii de uncii standard sunt6

7/24/2019 118929606-MAthcad

33/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

34/91

D4E Cu tasta LTab trecei pe poziia marcat de lami:locul a4ei verticale /i selectai de pe tastatur numele

unciei cu indicarea ar3umentului1 de e4emplu sin(4)"psai L%nter pentru a prsi re3iunea de lucru "iobinut 3raicul acestei uncii ,ac ;n prealabil naiprecizat intervalul ar3umentului pro3ramul ;l stabile/teimplicit ;ntre D@0E /i DO@0E ,ar putei sl modiicai%ectuai c#ic1 ;n re3iunea 3raicului Valorile ma4ime /iminime ale ar3umentului /i unciei1 care pot imodiicate sunt ;ncadrate ;n corniere mici

*bservai c poate i modiicat /i domeniul variabileiindependente /i domeniul valorilor unciei 5oziionaicornierul de ;nserare cu un c#ic1sau cu tastele s3ei peaceste valori limite /i schimbaile,reptun3hiul e4terior al re3iunii 3raice conine ctevapoziii marcate1 cu a:utorul crora putei schimbadimensiunile ei

2

7/24/2019 118929606-MAthcad

35/91

5e una /i aceea/i re3iune 3raic pro3ramul permitetrasarea 3raicelor ctorva uncii 5entru aceasta1 dup

denumirea primei uncii introducei vir3ula /i selectaiurmtoarea uncie1de e4emplu cos(4)"m obinut desenulce urmeaz?re3iunea esteactivat /i suntvizibile marca:ele

de redimensionare/i limitelemodiicate ale ar3umentului /i uncieiB ,ac prsiizona de lucru marca:ele /i limitele nu vor i vizibileTraseul unciei cos(4)este prezentat cu linie ;ntreruptde culoare albastr %ste posibil c ormatul 3raicelornu v convine %ectuai c#ic1 cu butonul dreapta almouselui pe re3iunea 3raic1 din meniul conte4tualaprut e4ecutai c#ic1stn3a pe opiunea ormat 5eecran se va deschide ereastra ormatting Current#Se#ected >?@ +#ot1 care conine patru seciuni 'mplicit sedeschide prima seciune>?@ A4es *piunile ce apar ;naceast seciune au urmtoarele semiicaii6

7/24/2019 118929606-MAthcad

36/91

Current# Se#ected >?@ +#ot1 care conine patru seciuni'mplicit se deschide prima seciune>?@ A4es *piunile

ce apar ;n aceast seciune au urmtoarele semiicaii6&og Sca#eI a4e lo3aritmice ?limitele a4elor trebuie sie pozitiveBG2rid &ines I permite trasarea unei reele de liniiverticale /i orizontaleG ;umbered I apar etichete ;ndreptul marca:elor a4elor de coordonateG Autosca#e Iautoscalarea limitelor a4elorG Show Mar1ers I permiteobinerea a dou perechi de linii verticale /i orizontale

pentru evidenierea unor puncte speciice ale 3raiculuiGAuto 2ridI autoreea ?implicit este selectatB"ctivai opiunea 2rid &ines ,ezactivai opiuneaAutosca#e n cmpurile;umber of 2ridsintroducei1 dee4emplu cira D7E pentru a4a D4E /i D8E pentru a4a D[E,inA4es St#ebiai opiunea 2rossed "psai butonul

DBDEFGHE?dacesteinstalatversiunearusWindows

B "m

obinutormatuldin i39

7

7/24/2019 118929606-MAthcad

37/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

38/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

39/91

5entru trace 0 stabilii Smbo#?oSsB1 &ine?solidB1Co#or?bl`B1 $e?solidB /i 3rosimea liniei Weight?2B1 iar

pentru trace 2 I $e?barB1 Co#or?bl`B "psai butonulD*jE "i/ai valorile unciei sin?4B "i obinut3raicul din i3 A ,ac ale3ei pasul ?raiaB de calcul aar3umentului1 destul de mic1 cu opiunea bar se potha/ura dia3ramele eorturilor interioare ;n cursul deRezistena Materialelor ?i3@0B

7/24/2019 118929606-MAthcad

40/91

"ctivai 3raicul (tabilii cursorul mouselui ;n re3iunea3raicului %ectuai c#ic1 dreapta n meniul aprut1

selectai opiunea oom Cu aceasta putei obinedetalierea unei poriuni de 3raic'normaii suplimentare despre trasarea 3raicelorunciilor le oer meniule#$al pro3ramuluin mecanic recvent se aplic unciile standard dincate3oria unciilor discontinue ?+iecewise ContinuousB#e vom deini6k?4B I uncia +eviside1 ?uncie treapt unitar sau

uncie ;ntreruptorB care are valoarea @1 dac 40 /ivaloarea 01 dac 4L0?i1:B I tensorul simetric al lui Cronec`er Returneazvaloarea @1 dac i K : /i 0E ;n celelalte cazuri?i1:1`B I tensorul antisimetric de ordinul trei #eviCivita Returneaz 0E1 dac cel puin doi indici sunte3aliG @ I dac ?i1:1`B deinesc o permutare parG @ dac ?i1:1`B deinesc o permutare impar

5entru trasarea +ra!icului unei su&ra!eeprocedai ;nelul urmtor6

@ (criei uncia de cel puin dou variabileindependente

=

7/24/2019 118929606-MAthcad

41/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

42/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

43/91

*piunile propuse sunt incluse ;n opt seciuni Trecei dela o seciune la alta prin eectuarea unui c#ic1 pe

etichetele lor (electai opiunile dorite /i apsai butonulA$$# Comanda va i imediat e4ecutat>raicele plane pot i construite nu numai ;ncoordonate carteziene orto3onale dar /i ;n coordonate

polare

%ste posibil /i prezentarea 3raicelor ;n ormparametric

7/24/2019 118929606-MAthcad

44/91

'ntroducei numele uncieiderivat urmat deoperatorul de deinireG

"psai butonul primei derivate sau butonulderivatei de ordin superior din paleta CalculusEG Completai

poziiile marcate cunumele unciei dederivat1 variabila ;nraport cu care se acederivarea1 ordinul

derivatei?daccalculai derivata de ordin mai mare ca unitateaB,eplasarea de la o poziie marcat la alta seeectueaz cu tasta LTab

Calculai derivatele unciei pentru unele valori alear3umentului

Cu a:utorul procesorului simbolic

calculul derivatelor ?/i ainte3ralelorB se poate eectua /ianalitic "ccesul la acest procesorse ace cu paleta ([mbolicE saucu comenzile meniului

([mbolicsE5rezentm cteva e4emple de calcul simbolic aderivatelor Consecutivitatea aciunilor6

@ "psai butonul derivatei de ordinul unu a paleteiCalculusEG

2 Completai poziiile marcateG "psai butonul s3eat ([mbolic %valuationE al

paletei ([mbolicEG7 "psai tasta L%nter 'mediat vei obine uncia

derivat%ste re3retabil aptulc procesorul numeric

72

7/24/2019 118929606-MAthcad

45/91

/i procesorul simbolic acioneaz independent /i astelrezultatele calculelor simbolice nu pot i evaluate

numeric%ste posibil de a calcula /i derivate de ordin superior"plicai butonul respectiv al paletei CalculusE

(e pot calcula /i derivate pariale5entru a aplica semnul derivatei pariale1 eectuai c#ic1?dreapta pe uncia care se deriveaz /i din meniule4ploziv ale3ei consecutiv comanda -iew*eri6ati6eAs, +artia# *eri6ati6e

'nte3rarea se eectueaz ;n acela/i mod ca /idierenierea

7/24/2019 118929606-MAthcad

46/91

#imitele de inte3rare pentru calculul inte3ralei deinite

pot i nu numai numere dar /i variabile /i chiar uncii%ste posibil de a calcula inte3rale duble /i inte3rale

triple

77

7/24/2019 118929606-MAthcad

47/91

Machetele lor se obin simplu6 apsai de dou orirespectiv de trei ori butoanele inte3ralelor de pe paletaCalculusE

1." VECTORIIMATRICE* totalitate de numere1 simboluri1 uncii ordonate senume/te matrice ,e obicei matricele constau din linii /i

coloane Matricea cu o sin3ur coloan se nume/tevector Componentele matricei se noteaz cu indici5rimul indice arat linia1 iar al doilea coloana laintersecia crora se al elementul respectiv,einirea unei matrice se ace ;n elul urmtor6

'ntroducei numele matricei urmat de operatorulde deinire pe care ;l obinei cu tasta L6G

"psai butonul matricei din paleta Matri4E 5eecran va i ai/at ereastra Matri4EG

7H

7/24/2019 118929606-MAthcad

48/91

'ntroducei numrul de linii ?owsB /i de coloane?Co#umnsB necesare1

"psaiInsertE Vai ai/atmachetamatricei

Completaipoziiile

marcate Trecei de la o poziie la alta cu tasta Lab

sau eectuai clic` pe poziia dorit cu mouseulMatricea este deinit

"ccesul la elementele matricei se ace ;n elul urmtor6 (electai numele matriceiG "psai tasta L\ Cursorul sa deplasat pe

poziia indicelui 'ntroducei numrul liniei?prima linie are

numrul 0WB ;n care se al elementul cutat1vir3ul /i numrul coloanei?prima coloan arenumrul 0WB 5entru a ;ncepe numerotarea liniilor/i coloanelor cu alt numr1 schimbai valoareaconstantei pro3ramului *R'>'$ cu valoareadoritWG

'ntroducei operatorul de evaluare cu tasta LKValoarea componentei va i ai/at pe ecranG

78

7/24/2019 118929606-MAthcad

49/91

Vectorii se deinesc ;n acela/i mod Unica deosebire estec ;n ereastra Matri4E numrul de coloane trebuie s

ie @,ac numrul

de linii /icoloane estemai mare ca@H ereastraMatri4E numai poate iolosit nacest caz estenecesar de acrea matriceaprinintermediulvariabilelor/ir 5rin douvariabile /ir

se anun dimensiunile liniilor /i coloanelor Tuturorcomponentelor matricei i se atribuie valori zero?ai1:K0B

79

7/24/2019 118929606-MAthcad

50/91

Componentelor nenule li se d valori (e ai/eazmatricea ?dac este necesarB 'mplicit se ai/eaz doar

primele @H linii /i @H coloane Cu barele de derulare de:os /i din dreapta putei ai/a orice componente Maimult ca att putei ai/a matricea ;n ;ntre3ime cu a:utorulmarca:elor ce ;ncon:oar matricea ,ac eectuai unc#ic1dreapta pe matrice1 selectai comanda+ro$erties/i;n ereastra aprut apsai butonulontputei mri saumic/ora ontul valorilor componentelor 5entruormatarea rezultatelor ai/ai ereastra e

7/24/2019 118929606-MAthcad

51/91

5entru calculul valorilor proprii /i a vectorilor propriiale unei matrice se olosesc o serie de uncii predeiniteei+envals,T I returneaz un vector ale cruicomponente sunt valorile proprii ale matricei "n4nGei+envecs,TI returneaz o matrice ce conine vectoriiproprii normalizai la lun3ime unitar corespunztorivalorilor proprii ale matricei "n4n Coloana nE a

matricei returnate este vectorul propriu corespunztorvalorii proprii nE obinute cu uncia ei+envals)

7A

7/24/2019 118929606-MAthcad

52/91

ei+envec,T$tI returneaz un vector propriu asociat cuvaloarea proprie t a matricei T Vectorul propriu este

normalizat la lun3ime unitarV reamintim c ;n M"T+C", se aplic dou tipuri deindici ineriori6 indicite4t care se includ ;n document cuaplicarea tastei L /i indici matematici care se includ ;ndocument cu tasta L\ sau cu butonul 4nE al paleteiMatri4E Valoarea indicelui matematic evideniazcomponenta corespunztoare a vectorului sau a matricein documentul recent prezentat indicii ineriori @121

sunt indici matematici

H0

7/24/2019 118929606-MAthcad

53/91

5ot i eectuate /i operaii simbolice cu matrice

1.# CALCULESIMBOLICEn M"T+C", este ;ncorporat un procesor destinatcalculelor simbolice (pre deosebire de calculelenumerice eectuate cu o oarecare eroare1 evaluareae4presiilor cu procesorul simbolic este e4actCalculele simbolice se pot ace ;n dou moduri6

@ cu instrumentele paletei Smbo#icG2 cu comenzile meniului Smbo#ics

(e olose/te ;n ma:oritatea cazurilor paleta Smbo#ic1 dare4ist situaii1 cnd este mai comod de aplicat comenzilemeniului Smbo#ics.

H@

7/24/2019 118929606-MAthcad

54/91

5entru;nceput

vomstudia

aplicarea instrumentelor paletei Smbo#ic %valuareasimbolic cea mai simpl se ace ;n elul urmtor6(criei e4presia ce va i evaluat simbolicG apsaibutonul evalurii simbolice ?s3eataB de pe paletaSmbo#icG apsai tasta L%nter 'mediat obineirezultatul ,ac procesorul nu poate evalua e4presia eava i returnat ;n orma sa iniial n acest caz trebuie s

aplicai comenzile paletei,ac termenii e4presiei conin numai racii ordinare /i

numere ;ntre3i rezultatul va i racie ordinarG dac

H2

7/24/2019 118929606-MAthcad

55/91

e4presia va conine /i termeni ;n orm zecimalrezultatul va i racie zecimal cu 20 de cire

semniicative 5entru a mic/ora numrul de ciresemniicative procedai astel6 scriei sau eectuai c#ic1pe e4presieG apsai butonulf#oat al paletei Smbo#icG scriei ;n locul poziiei marcate numrul dorit de

cireG

apsai tasta L%nter5entru a descompune ;n actori?factorB1des/ura?e4$andB1 simpliica e4presiile al3ebriceprocedai ;n acela/i mod (in3ura deosebire este aceea1c ;n ma:oritatea cazurilor este necesar de a /ter3epoziia marcat /i vir3ula ce apare dup apsarea

butonului comenziin unele cazuri este necesar de a eectua cteva operaiiasupra unei e4presii %4ecutaile consecutiv una dupalta Rezultatele se vor des/ura ;ntro sin3ur linie1care poate i destul de lun3 5entru a documentalucrarea este comod de a realiza consecutivitatea decomenzi ;ntrun sin3ur corp

H

7/24/2019 118929606-MAthcad

56/91

5rocedai ;n elul urmtor6 scriei e4presia sau eectuai c#ic1pe eaG apsai butonul primei comenzi de pe paleta

Smbo#icG ;ndeplinii consecutiv celelalte comenziG /ter3ei ?dac este necesarB poziiile marcate /i

vir3uleleG apsai tasta L%nter

%valuarea unei e4presii ce conine parametri se poateeectua dup cum urmeaz6

H7

7/24/2019 118929606-MAthcad

57/91

(ubstituirea parametrilor ;n e4presii se poate ace /i maiele3ant6Cu comanda So#6e a paletei Smbo#ics se pot obinesoluii analitice a unor ecuaii al3ebrice /i chiardiereniale5entru ecuaii al3ebrice de 3rad mai mare ca 2 soluiile

sunt laborioase /i de obicei nu pot i olosite ;n calculelein3inere/ti5entrucalculesimboliceintermediarecare nu vor

HH

7/24/2019 118929606-MAthcad

58/91

i documentate se pot aplica comenzile meniuluiSmbo#ic

5rocedai ;n elul urmtor6@ (criei e4presia care va i evaluatG2 Cuprindei cu cursorul de selecie ?cornierul

albastruB toat e4presia1 o parte a ei sau numaivariabila ;n raport cu care se ace operaiaG

"le3ei din meniul ([mbolic comanda care doriiso eectuaiG

'mplicit rezultatul este ai/at puin mai :os de e4presie

%ectuai urmtorul e4emplu de simpliicare a uneie4presii al3ebrice #a dreapta sunt scrise comenzile care

sunt ;ndeplinite asupra e4presiei din stn3a6Rezultatul evalurii poate i ai/at /i la dreapta e4presieiiniiale cu sau r comentarii 5entru asta ai/aiereastra de dialo3 '6a#uation St#e cu comanda

'6a#uation St#e... a meniului Smbo#ic (tabiliiopiunile ori

7/24/2019 118929606-MAthcad

59/91

?"i/area comentariilorB. Urmtoarele evaluri vor ie4ecutate ;n corespundere cu opiunile stabilite ?

7/24/2019 118929606-MAthcad

60/91

ecuaiilor ?So#6eB1 descompunerea ;n serii ?'4$and toseriesB

5entru a realiza aceste operaii este necesar ;n prealabils evideniai variabila ;n raport cu care ea se va acen caz contrar operaiile solicitate nu vor i accesibile

1.1$ ECUAIIALGEBRICENELINIARE*rice ecuaie cu o sin3ur necunoscut poate i scris ;nelul urmtor6

?4B K 0

Rdcina ecuaiei este valoarea variabilei $pentru caree4presia ($)se anuleaz " rezolva o ecuaie ;nseamna determina numrul de rdcini /i valorile acestoran M"T+C",1 /i ;n alte softuri destinate calculelormatematice1 ecuaiile se rezolv cu metode iterative?apropierea de rdcina ecuaiei prin apro4imaiisuccesiveB1 ;ncepnd cu o valoare oarecare a variabilei1

stabilit de utilizatorMetodele iterative1 numite /i metode numerice de calcul1obin soluia ?soluiileB ecuaiei cu o oarecareapro4imaie1 /i nu e4act1 cum suntei obi/nuii so acein M"T+C", apro4imaia de calcul este determinatde constantele T*# /i CT*# al sistemului 'mplicitvalorile acestor constante sunt 0100@ Modiicarea lor se

ace din

ereastrade dialo3Math

H=

7/24/2019 118929606-MAthcad

61/91

%$tions1 care se ai/eaz cu comanda %$tions ameniuluiMath

,ac rdcina calculat a unei ecuaii este de e4emplu$=11 aceasta de loc nu ;nseamn c rdcina e4acteste ;n limitele,++1,1.,e apt1 se rezolv ecuaia ($) = - #a iecareiteraie se calculeaz e4presia ?4B /i se compar cuT*# ,ac ?4B T*#1 valoarea actual a variabilei vai ai/at ;n calitate de rdcin n caz contrar1 va i

3enerat o nou iteraie1 pn cnd se satisaceine3alitatea 5entru a ;ncepe procedura de calcul estenecesar de a da o valoare iniial variabilei ,e obicei sepropune ca aceast valoare s ie ;n vecintatea rdciniia/teptate "stel1 ;nainte de rezolvare1 ecuaia trebuieanalizat calitativ Un a:utor esenial ;n acest proces esteposibilitatea trasrii 3raicului unciei ($) /ilocalizarea rdcinilor5entru rezolvarea unei ecuaii liniare sau neliniare seolose/te uncia

root(($),$)unde6 ($)I uncia1 ce determin ecuaiaG $I variabila1 ;n raport cu care rezolv ecuaia"ceast uncie returneaz o sin3ur valoare a variabilei

$pentru care

($) devinemai mic ca- 5entrucalcululrdcinilor

HA

7/24/2019 118929606-MAthcad

62/91

unei ecuaii ;n orm polinomial este mai corect de aaplica uncia

%ol0roots(v)1 care returneaz toate rdcinile ecuaiei1inclusiv cele comple4e ?i3@7B "ici1 v este vectorulcoeicienilor polinomului 5entru alte tipuri de ecuaiineliniare aceast uncie nu poate i aplicat /i suntemnevoii s cutm soluiile dorite cu uncia rootintuitiv1 sau prin analiza suplimentar a ecuaiei1 sau ;ncel mai prost caz prin scanarea pe tot domeniul devariaie a variabilei

5entru rezolvarea unui sistem de ecuaii sau inecuaiineliniare se olose/te uncia

in"($,0,,...),unde $,0,,...I necunoscutele sistemului1 ce determino sin3ur rdcin a sistemului de ecuaii

5rocedura de rezolvare cuprinde pa/ii urmtori6@ (tabilirea valorilor iniiale a variabilelor /i unciilorcare vor i incluse ;n ecuaii2 (crierea cuvntului iven

7/24/2019 118929606-MAthcad

63/91

7 (e

calculeaz vectorul rezultatului ?rdciniiB sistemului cuuncia in".H (e ai/eaz vectorul rezultatului /i componentele lui1dac este necesar8 ,ac nu ai obinut soluia necesar1 sau pentru aobine alte soluii1 schimbai valorile iniiale aleproblemei Rspunsul la ;ntrebarea cte soluii aresistemul de ecuaii neliniare este o problem destul de

diicil /i poate i rezolvat doar prin analiza calitativ asistemului sau prin scanarea variabilelor iniiale pe totdomeniul de variaie ale lor

8@

7/24/2019 118929606-MAthcad

64/91

Cre/terea preciziei calculelor se poate obine prinmic/orarea valorii constantei T*# /i CT*# %cuaiile

pot i scrise /i a/a6n acest e4emplu1 sistemul de ecuaii are dou soluii1 iar;n cel precedent /aseW ncercai s le determinaiCu procedura ivenin"se pot rezolva /i sisteme de

ecuaii ce conin restricii de variaie a variabilelor

#a rezolvarea ecuaiilor neliniare deseori apar situaii1

cnd procedurile root/i ivenin"nu 3sesc sau nusunt ;n stare s 3seasc soluii ,e e4emplu1 ecuaia dini3 @H are dou rdcini1 dar dac stabilim valoareainiial a variabilei $ = 11 procedura ivenin" nu3se/te nici una Rezultatul se ai/eaz cu culoare ro/ie/i apare urmtorul mesa:6 ;o so#ution was found. rchanging the guess 6a#ue or the 6a#ue of %& or

C%&.. ?(oluia nu a ost 3sit (chimbai valoareainiial sau valorile T*# sau CT*#B

82

7/24/2019 118929606-MAthcad

65/91

7/24/2019 118929606-MAthcad

66/91

$eton "le3erea metodei de rezolvare se ace automat5entru veriicarea soluiei obinute1 sau dac nu obinei

nici o soluie1 putei schimba metoda de rezolvare%ectuai c#ic1dreapta pe uncia in"G din meniul careapare ale3ei opiunea ;on#inear /i din submeniumetoda doritCu procedura ivenin"poate i rezolvat un sistem depn la 200 ecuaii

1.11ECUAIIALGEBRICELINIAREUn sistem de necuaii al3ebrice liniare cu nnecunoscuteare urmtoarea orm dezvoltat6

?@B

unde ai: ?iK@1nG :K@1nGB I coeicienii necunoscutelorG 4:I necunoscutele sistemuluiG biI termenii liberi ai sistemului(istemul ?@B poate i prezentat /i ;n orm matriceal6 AxKb ?2B"ici A I matricea coeicienilor sistemului cu

dimensiunile nn1 x I vectorul necunoscutelor cudimensiunea n1 bI vectorul termenilor liberi cu aceea/idimensiuneMatricea " se nume/te sin3ular1 dac determinantul eieste zero ?6A6=B n cursul de al3ebr liniar sedemonstreaz1 c dac matricea A coeicienilorsistemului de ecuaii ?@B nu este sin3ular1 sistemul de

ecuaii are o sin3ur soluie n acest caz ecuaiile

87

a@@ 4@ a@2 42+ + a@n 4n+ b@a2@ 4@ a22 42+ + a2n 4n+ b2

an@ 4@ an2 42+ + ann 4n+ bn

7/24/2019 118929606-MAthcad

67/91

sistemului sunt independente1 iar sistemul estecompatibil

,ac matricea " este sin3ular /i vectorul termenilorliberi nu este nul ?bq0B1 sistemul de ecuaii ?@B naresoluii /i se nume/te incompatibil,ac bK01 sistemul de ecuaii ?@B se nume/te omo3en1;n caz contrar neomo3en5entru rezolvarea sistemelor de ecuaii al3ebriceM"T+C", propune cteva instrumente6

@ procedura ivenin"G

2 uncia lsolve cu operaii matriceale directe

5rocedura ivenin" este cea mai clar1 dar estecomod doar pentru sisteme cu un numr mic de ecuaii5entru sisteme mari de ecuaii se olosesc operaiidirecte matriceale sau uncia lsolve

8H

7/24/2019 118929606-MAthcad

68/91

5entru calculul numeric cu procedura ivenin" estenecesar de a indica valori arbitrare iniiale ale

variabilelor1 iar pentru calcul simbolic nu este necesar

7/24/2019 118929606-MAthcad

69/91

,ac sistemul de ecuaii al3ebrice este omo3en /imatricea coeicienilor A este sin3ular1 sistemul are oininitate de soluii "ceste soluii sunt ininitatea devectori coliniari cu vectorul propriu al matricei A1 carecorespunde valorii proprii e3al cu zero

1.12ECUAIIDIFERENIALE%cuaiile1 ce conin uncia necunoscut sub semnul

derivatei se numesc ecuaii diereniale ,eosebescecuaii diereniale obi/nuite /i cu derivate pariale1liniare /i neliniare1 omo3ene /i neomo3ene1 cu condiiiiniiale /i cu condiii la limit 5ro3ramul M"T+C",rezolv ma:oritatea ecuaiilor obi/nuite cu condiiiiniiale ?a/a numita problema lui Cauch[B1 multe ecuaiiobi/nuite cu condiii la limit1 /i chiar unele ecuaii cu

derivate pariale n timpul apropiat se a/teapt apariia

89

7/24/2019 118929606-MAthcad

70/91

pe pia a unei versiuni noi a pro3ramului cu posibilitiavansate de rezolvare a ecuaiilor diereniale

7/24/2019 118929606-MAthcad

71/91

ecuaia Ultimul ar3ument este opional ?poate s nu ieindicatB (emnul derivatelor /i e3alul lo3ic se introduc

cu a:utorul paletelor CalculusE /i /oo#eanE?i3 B(emnul derivatei ] E se include cu combinaia de tasreLCtrl OL

7/24/2019 118929606-MAthcad

72/91

alturat este prezentat rezolvarea ecuaiei1 care descriemi/carea oscilatorie liber a pendulului matematic ;n

cazul deplasrilor mari "ici I este un3hiul de devierea pendulului de la poziia vertical,e obicei1 rezolvarea ecuaiilor diereniale neliniarenecesit cuno/tine a enomenului1 care este studiat#ipsa acestor cuno/tine deseori conduce la mesa:ulCould not find a solutionE ?(oluia nu este 3sitB* metod alternativ de rezolvare a ecuaiilordiereniale cu condiii iniiale este eectuat cu uncia

r1!i2ed1 care este util la rezolvarea sistemelor deecuaii diereniale obi/nuite %ste interesant aptul1 cecuaia de ordinul nE poate i redus la un sistem de nE

90

7/24/2019 118929606-MAthcad

73/91

ecuaii de ordinul @ "plicm aceast uncie pentrurezolvarea problemei prezentat ;n i3 @8

"ici1 *(4,y) este uncia1 care determin sistemul dedou ecuaii 3]K,?413B la care este redus ecuaia din i3@8 'ntervalul de inte3rare este ;ntre 0 /i 01 y0 estevectorul condiiilor iniiale Meste numrul de pa/i ;ncare este divizat intervalul de inte3rare pentru a rezolvaproblema Rezultatul este o matrice cu dimensiunile?MO@B?nO@B1 n este ordinul ecuaiei iniiale ,aceectuai c#ic1pe matricea rezultat1 avei acces la toate

elementele ei 5rima coloan prezint valorilear3umentului1 a doilea I valorile unciei1 /i a treilea Ivalorile primei derivate Tot aici sunt prezentate3raicele unciei /i a portretului azic al ecuaiei,up cum am menionat pro3ramul M"T+C",permite de a rezolva /i unele ecuaii diereniale cucondiii la limit

7/24/2019 118929606-MAthcad

74/91

$, $1I punctele de ;nceput /i sr/it al intervalului deinte3rareG

are aceea/i semniicaie ca /i ;n uncia r1!i2edGlou"I vector1 cu toate condiiile iniiale ?de la captulstn3 B necesare Valorile necunoscute sunt valorile de;ncercare ale vectorului vGs#ore I vector1 de aceea/i dimensiune cu vectorul v

7/24/2019 118929606-MAthcad

75/91

09999=5*$cu urmtoarele condiii la limit60()=, 099()=2, 0(2)=3, 09(2)=4

'ntervalul de inte3rare este de la ,2; ,eci $= /i$1=2 #a captul stn3 nu sunt cunoscute dou condiiiiniiale ,eci1 vectorul v va conine dou valori de

;ncercare?prima apro4imaieB1 v/i v1 "ceste valori pot

9

7/24/2019 118929606-MAthcad

76/91

i arbitrare sau ;n apropierea celor a/teptate

7/24/2019 118929606-MAthcad

77/91

proprii de vibraie ale barelor 5entru rezolvarea acestorprobleme se olosesc acelea/i uncii sbval/i bvalit

n calitate de e4emplu vom studia lamba:ul unei baredrepte simplu rezemate cu ri3iditatea la ;ncovoiereconstant dea lun3ul barei #un3imea barei este @m5roblema se reduce la rezolvarea ecuaiei dierenialeomo3ene de ordinul doi6

099 *0 = "ici1 I parametrul?necunoscutB1 care determin oracriticG 0($)I uncia deplasrilor

5entru aceast problem condiiile la limit sunt6 0()= /i 0(1) = %cuaiile diereniale liniare omo3ene se caracterizeazprin aptul1 c6

@ unciile 0($) se determin numai pn la oconstant arbitrar aditiv ne e3al cu zeroG

2 problema are soluii nenule numai pentru un /irininit de valori discrete a parametrului .

"stel1 problema trebuie rezolvat cu trei condiii6 doucondiii iniiale /i o valoare a parametrului . ,ardeoarece uncia 0($) se determin doar pn la oconstant1 valoarea derivatei ei la captul stn3 al bareipoate i luat arbitrar1 de e4emplu e3al cu unitatea"cum pentru a satisace condiia de la captul drept vomvaria parametrul W

$otm60= 0, 01= 09, 02= .

"lctuim sistemul de trei ecuaii609 = 01

019= 02*0029 = .

5arametrul este constant pentru orice $/i deciderivata lui este zero "cum aplicm pentru calculul lui

9H

7/24/2019 118929606-MAthcad

78/91

uncia sbval1 a/a cum am procedat ;n e4emplulprecedent6

(criem valorile ar3umentului 40 /i 4@G"plicm parametrului o valoare iniial arbitrar ;napropiere de zero1 pentru a obine prima valoare proprie?Reamintim1 c problema are o ininitate de valoripropriiBG,einim inciile ($,0), loa"/i s#oreGCalculm cu uncia sbvalprima valoare proprie .

98

7/24/2019 118929606-MAthcad

79/91

5entru a determina uncia proprie care corespunde

primei valori proprii aplicm uncia r

7/24/2019 118929606-MAthcad

80/91

Cteva e4emple de rezolvare a problemelor de valoriproprii le 3sii ;n compartimentul 'igen6a#ues and

'igenfunctionE a centrului de resurse?esourse CenterBdin meniule#$

7/24/2019 118929606-MAthcad

81/91

nume/te nete

7/24/2019 118929606-MAthcad

82/91

n rezultat vor i ai/ate compartimentele Centrului deresurse ?

7/24/2019 118929606-MAthcad

83/91

"ici vom prezenta doar un e4emplu de interpolareliniar a datelor /i unele saturi 3enerale

#a dimensionarea barelor drepte solicitate la lamba:este necesar cunoa/terea dependenei coeicientului dereducere a tensiunii admisibile de coeicientul dezveltee a barei =. ( ) "ceast dependen esteprezentat ;n orm de tabel ,eci dependena estediscret i(i) %ste mai comod de a o avea ;n ormcontinu 5entru oel tabelul conine 2= perechi dedate ,ac deinii datele printro matrice1 /ablonul

creia se va crea cu comandaInsert, Matri41 matricea vaocupa un spaiu mare pe ecran /i pe hrtie? daca vei doriso documentaiB %ste posibil de a rezolva aceastproblem 5rocedai ;n elul urmtor6

@ %4ecutai comandaInsert, Com$onent..5e ecranva i ai/at ereastra Com$onent Wi

7/24/2019 118929606-MAthcad

84/91

tastele L%nter ?;n :osB /i LTab ?la dreaptaB ,einimprima coloan cu denumirea $ ?nu WB1 iar a doua

coloan cu 0 ?nu WB 4 /i [ sunt vectori cu 2= decomponente iecare "i/m ace/ti vectori ;n ormtransponat n i3 @9 sunt vizibile doar ultimelecomponente ale lor1 dar dac eectuai c#ic1pe ei aveiacces la toate elementele

7/24/2019 118929606-MAthcad

85/91

ar3umentului sunt necesare pentru a deosebi datelediscrete de cele continue Trasm datele iniiale ?$i,0iB /i

3raicul unciei obinute ( ) 5entru a eectua alte tipuri de analiz a datelor olosiiesourse Center.

1.14PROGRAMAREM"T+C", este destinat celor1 care doresc s rezolveprobleme matematice r a cunoa/te pro3ramarea ,ar1pentru probleme complicate sau pentru automatizarea

unor proceduri1 elaboratorii de laMicrosoftau creat unlimba: de pro3ramare mic1 dar destul de inteli3ent /isimplu ;n aplicare*peratorii acestui limba: sunt indicai ;n paleta+rogramming ?i3 B %i pot i introdu/i ;n liniile depro3ram numai prin apsarea butoanelorcorespunztoare a acestei palete (electarea manual va

conduce la mesa:e de eroare #iniile de cod seobin simplu6 prin apsarea butonului Add&ine -ter3erea liniilor se ace cu comenzile*e#ete /i /ac1 S$ase de la tastier1 ;ndependen de poziia /i orientarea semnului de;nserare ?cornierul de culoare albastrB Una

din noiunile de baz a limba:uluieste noiunea de variabil local

Variabila local se deine/te /i i seatribuie valoare cu butonul Eal paletei +rogrammingE/i estevizibilE numai ;n interiorulcorpului pro3ramului n e4emplul

prezentat variabila #E se calcul cu a:utorul unuipro3ram care const din dou linii de cod n prima linievariabilei locale aE i se atribuie valoarea 3E n linia adoua variabilei locale bE i se atribuie valoarea a5E

=

7/24/2019 118929606-MAthcad

86/91

,e obicei1 rezultatul ultimei linii a pro3ramului esteatribuit variabilei sau unciei care deine/te pro3ramul

5uin mai sus de pro3ram a ost deinit variabila3lobal cu acela/i nume a@1 dar cu valoarea 2E 5uinmai :os de pro3ram am ai/at valoarea variabilei a@,eci1 variabila local a@ este vizibilE numai ;ninteriorul pro3ramului "cela/i lucru este valabil /ipentru variabila b@#iniile de cod sunt comode pentru deinirea unciilor cudiscontinuiti

"ici este aplicat operatorul i de pe paleta

+rogramming5entru eectuarea calculelor de rezisten a construciiloreste necesar de a determina ma4imul 3lobal al uncieide o sin3ur variabil pe un interval al ar3umentuluiM"T+C",ul are dou uncii de calcul a valorilorma4imale Aa$imie /i a valorilor minimaleAinimie ,ar1 cu re3ret1 ele determin doar valorile

e4tremale locale

7/24/2019 118929606-MAthcad

87/91

$oi vom aplica metoda cea mai simpl ?este posibil cea s ie /i cea mai si3urB6 metoda scanrii unciei pe

tot intervalul cercetat cu un pas oarte mic Memorareatuturor valorilor unciei ;ntrun vector Cu unciapredeinit ma$ determinm valoarea ma4im avectorului obinut1 care /i este ma4imul 3lobal alunciei ?;n sens al3ebricB pe intervalul ?a,bB 5ro3ramuleste prezentat ;n e4emplul ce urmeaz

=H

7/24/2019 118929606-MAthcad

88/91

"ici se aplic operatorii or /i brea

7/24/2019 118929606-MAthcad

89/91

2 "5#'C")''

TRANSFORMRILINIAREDECOORDONATE

7/24/2019 118929606-MAthcad

90/91

A

@

0

0

cos

( )

0

sin

( )

:=

7/24/2019 118929606-MAthcad

91/91

ANALIZASTRIIDETENSIUNI'N(URULUNUIPUNCTMATERIAL(tarea de tensiuni ;n :urul unui punct al corpului este determinat

de tensorul tensiunilor T1 cu matricea Tij ?i1:K@1B raportat lasistemul de coordonate cartezian /i orto3onal $1,$2,$3.( se determine6

@ invarianii tensorului tensiunilor TG2 tensiunile principale /i supraeele principale ale tensorului

tensiunilor TG vectorul tensiunii tcare acioneaz pe supraaa deinit de

vectorul normalei e4terioare n Kni*ei /i trece prin acestpunctG

7 tensorul seric T0 /i deviatorul tensiunilor al tensoruluiT

H ;n ce stare se al materialul6 reversibil?elasticB sauireversibil?plasticB ;n acest punct1 dac materialul esteo el 3 ?(T"( =09@B cu limita de elasticitate 0=25 ABa (e va aplica criteriul de rezisten 6on Mises

?criteriul ener3iei poteniale speciice de variaie a ormeiBG8 supraaa caracteristic a tensorului Te