1. FACTORUL TIMP.pdf

Note de curs la Economia energeticii

9

1 FLUXURILE DE NUMERAR ŞI VALORILE ACESTORA

11 Factorul timp şi fluxurile de numerar

111 Fructificarea şi tehnica actualizării banilor

Introducere

Un proiect sau o activitate economică de regulă cuprinde un interval de

timp relativ icircndelungat Cheltuielile cu investiţia se realizează icircntr-o

perioadă de timpsbquo iar veniturile se obţin icircn altă perioadă Este important ca

icircn calculele tehnico-economice şi cele economico-financiare să se ţină

seama de faptul că cheltuielileveniturile reprezintă valori dispersate icircn timp

şi că timpul nemijlocit influenţează valorile sumelor de bani implicate

Factorul timp reflectă fenomenul schimbării valorii unei unităţi

monetare (um) icircn timp un leu astăzi nu este echivalent cu un leu

disponibil macircine şi viceversa Un ban deţinut astăzi este mai valoros decacirct

cel deţinut la un moment de timp t icircn viitor deoarece banul de astăzi

fiind investit pacircnă la momentul t poate aduce un cacircştig suplimentar

Axa timpului Procesele economice studiate se desfăşoară icircntr-o perioadă

de timp (perioadă de studiu) pentru care timpul după necesitate poate fi

cuantificat icircn ani luni zile ore Adesea icircn scopul simplificării analizei se

acceptă ca originea axei timpului să corespundă momentului (0) ce

marchează icircnceputul perioadei de studiu (fig 11)

0 1 2 t T timpti ti+1 tfti-1

Figura 11 Axa timpului cuantificată

Icircn această lucrare vom opera cu axa timpului segmentată pe ani ndash anul

1 2 hellip t hellip T sau anul ti ti+1 tf -1 tf Aici ti reprezintă primul an al

perioadei de studiu iar T şi tf ultimul an De menţionat că prin T adesea

vom nota şi durata perioadei de studiu


10

Cheltuielileveniturile aferente unei activităţi economice icircn caz general

sunt dispersate icircn timp atacirct pe anii perioadei de studiu cacirct şi icircn interiorul

fiecărui an Pentru un an concret fie notat prin t valoarea totală a

cheltuielilorveniturilor icircn mod convenţional poate fi integrată şi ulterior

plasată la icircnceputul anului t la mijlocul sau la sfacircrşitul acestuia Pe viitor

vom accepta ipoteza că cheltuielileveniturile asociate anului t icircntotdeauna

sunt plasate pa axa timpului la sfacircrşitul anului respectiv (fig 12)

0 1 2 t T timp

Ct

Figura 12 Plasarea unei cheltuieli anuale pe axa timpului

Fenomenul fructificării banilor

Vom considera cazul plasării unei sume de bani spre fructificare pe un cont

bancar (fig 13) Fie că momentul actual icircn fig 13 se identifică cu sfacircrşitul

anului 0 Mai jos vom considera două cazuri particulare

PT

timp0 1 2 t T

P0

Pt

Figura 13 Creşterea banilor pe un cont de depozit

Cazul 1 Suma de bani P0 este plasată la anul 0 pe un cont bancar la rata

dobacircnzii bancare i pe termen de T ani


11

Peste un an la finele anului 1 pe cont vom avea suma P1 care include

suma iniţială P0 şi dobacircnda corespunzătoare d1

P1 = P0 + d1 sau P1 = P0 middot(1+i) unde d1 = P0 middot i

La finele anului 2 deja vom deţine suma P2 P2 = P1 + d2 sau

P2 = P0 middot (1+ i)2 unde d2 = P1 middot i

La un an intermediar t vom avea suma Pt unde Pt = Pt-1 + dt sau

Pt = P0 middot (1+ i)t dt = Pt-1 middot i

La sfacircrşitul perioadei de fructificare vom avea suma PT

PT = PT-1 + dT sau PT = P0 middot (1+ i)T unde dT = PT-1 middot i (11)

Cazul 2 Fie că suma de bani Pt ce dorim a fi fructificată este plasată nu la

momentul 0 ci la finele unui an arbitrar t pe axa timpului (fig 13)

Valoarea acestei sume la sfacircrşitul anului T deci peste (T ndash t) ani va fi

PT = Pt middot (1+ i) T- t

(12)

Exemplu Fie Pt = 100 um i = 10 t = 4 T = 8

PT = 100 middot (1+ 01)8-4

= 100 middot 146 = 146 um

Acest proces de creştere a banilor icircn timp este cunoscut sub denumirea de

fructificare Valoarea obţinută icircn urma fructificării unei sume de bani se

numeşte valoare finală sau valoare viitoare (eng - final value sau future

value рус - наращенное значение)

De la fenomenul fructificării se desprind cele două afirmaţii precum că ndash

timpul icircnseamnă bani şi

banul face ban

Icircn expresiile (11) şi (12) multiplicatorii (1+i)T

şi (1+i)T-t

poartă

denumirea de factori (coeficienţi) de fructificare sau compunere sau

capitalizare


12

Tehnica actualizării banilor

Acum vom formula problema altfel fie că la un moment de timp T icircn viitor

pe un cont de depozit la bancă vom deţine o sumă de bani PT (fig 13) se

icircntreabă - care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la un careva

an anterior anului T

Vom căuta răspunsul pentru două cazuri

Cazul 1 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul 0

deci cu T ani icircn urmă

Răspunsul rezultă din expresia (11)

T

0 TP = P 1+i sau -T

0 TP = P 1+i (13)

Cazul 2 Care să fi fost valoarea sumei depuse spre fructificare la anul t

deci cu (T-t) ani icircn urmă

Din (12) obţinem

T-t

t TP = P 1+i sau - (T-t)

t TP = P 1+i (14)

Exemplu Fie PT = 150 um i = 10 T = 8 t = 4

Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)

= 150 middot 11- 4

= 1024 um

Readucerea unei sume de bani de la un moment icircn viitor la un alt moment

anterior este numită actualizare Valoarea recalculată este cunoscută ca

valoarea actuală sau valoarea actualizată (eng - present value sau

descounted value рус - приведенное sau десконтированное значение)

Icircn expresiile (13) şi (14) multiplicatorii (1+i)-T

şi (1+i)ndash(T-t)

poartă

denumirea de factori (coeficienţi) de actualizare sau de discontare


13

Mişcarea banilor pe axa timpului generalizare

Icircn baza celor expuse mai sus putem concluziona

o sumă de bani icircşi schimbă valoarea icircn timp

o sumă de bani formal poate fi mişcată pe axa timpului atacirct icircn

direcţia + (spre viitor) cacirct şi - (dinspre viitor)sbquo efectuacircnd

recalculările respective

mişcarea banilor pe axa timpului

spre + conduce la creşterea valorii (proces de fructificare)sbquo

spre - conduce la micşorarea valorii acestora (actualizare)

fructificarea reprezintă un proces realsbquo pe cacircnd actualizarea ndash

o tehnică de recalculare

Care este necesitatea actualizării valorilor

La faza de proiectare sau planificaresbquo fie identificată cu prezentulsbquo se

operează cu viitorul - se fac previziunisbquo calculesbquo etc Proiectarea unui

obiectiv presupune evaluarea şi compararea ulterioară a mai multor

variantesoluţii privind realizarea şi funcţionarea acestuia Variantelesbquo de

regulăsbquo se deosebesc atacirct după valoarea sumară a investiţiei şi modului de

eşalonare a acesteiasbquo cacirct şi după valoarea cheltuielilor anuale de producţie

Cum pot fi comparate asemenea variante din punct de vedere al costului

sumar - Doar prin actualizarea (raportarea) tuturor cheltuielilor

(investiţionalesbquo operaţionale) la unul şi acelaşi moment de timp (notat icircn

această lucrare prin θ)


14

112 Fluxul de numerar şi valorile acestuia noţiuni generale

O consecutivitate de cheltuieli şisau venituri aferentă unui proces

economic ce are loc pe parcursul unei perioade determinate de timp

(fig 14-15) reprezintă un flux de numerar (eng - cash-flow рус - поток

наличностей) Icircn literatura de specialitate de limbă romacircnă pentru un flux

de numerar pe larg se aplică şi termenul de cash-flow [3]

Fluxurile cu cheltuielileveniturile atribuite sfacircrşitului de an sunt numite

fluxuri de numerar ordinare (eng - ordinary cash-flows)

Icircn unele cazuri avem de a face cu cash-flow-uri la care cheltuielile

veniturile se referă icircn mod natural la icircnceputul anului (plata chiriei

primele de asigurare etc) aceste fluxuri se numesc fluxuri de numerar

speciale (eng - due cash-flows)

De fiecare dată cacircnd va apărea necesitatea de a opera cu cash-flow-uri

speciale mai icircntacirci de toate ele vor fi transformate icircn fluxuri ordinare

Un flux de numerar descris de o funcţie este numit flux regularizat

(ordonat)

Un flux de numerar este caracterizat de trei valori

bull valoarea nominală

bull valoarea prezentă (sau actuală sau actualizată) şi

bull valoarea finală

Mai jos sunt prezentate modalităţile de calcul ale acestora

Fluxul de cheltuieli (fig 14)

Valoarea nominală a unui flux de cheltuieli CTN (Cheltuielile Totale

Nominale) reprezintă suma cheltuielilor anuale Ct pe o perioadă de timp

considerată (perioadă de studiu)

f

i

t

t

t t

CTN C

(15)

unde ti şi tf reprezintă primul şi ultimul an al perioadei de studiu


15

Valoarea prezentă a unui flux de cheltuieli CTA (Cheltuielile Totale

Actualizate) se determină prin icircnsumarea valorilor actualizate ale

cheltuielilor anuale Ct

f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t

reprezintă factorul de actualizare

i şi θ - rata şi anul de actualizare

ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF

θ Figura 14 Un flux de cheltuieli

Valoarea finală a fluxului de cheltuieli CTF (Cheltuielile Totale Finale) se

determină prin icircnsumarea valorilor finale ale cheltuielilor anuale Ct

f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t

reprezintă factorul de fructificare

Valoarea finală urmează a fi plasată pe axa timpului icircntotdeauna la sfacircrşitul

ultimului an al fluxului de numerar Valoarea actuală este raportată la anul

θ ales icircn prealabil (vezi 113) Valoarea nominală nu variază icircn timp şi ea

poate fi asociată oricărui an

Fluxul de venituri (fig 15)

Absolut similar se determină valorile unui flux de venituri

Valoarea nominală a unui flux de venituri anuale Vt (icircncasări intrări)


16

T

t

t 1

VTN V

(18)

unde Vt reprezintă venitul anului t

T - ultimul an al perioadei de studiu

0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA

Figura 15 Un flux de venituri

Valoarea prezentă a fluxului de venituri

Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)

Valoarea finală a fluxului

T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)

Fluxul de numerar al unui proiect investiţional

Fluxul de numerar al unui proiect de investiţii poate avea o structură

simplă precum cea prezentată icircn fig 16 sau complexă - fig 17

ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt

Figura 16 Cel mai simplu flux al unui proiect investiţional


17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf

Figura 17 Cash-flow-ul unui proiect complex

Notaţiile din figurile 16-17 reprezintă

I - costul investiţiei

Vt - venitul brut (icircncasarea) al anului t

Ct - cheltuielile operaţionale ale anului t

VNt - venitul net al anului t

Icircn caz general valoarea prezentă (eng - Net Present Value - NPV) a fluxului

de numerar al unui proiect investiţional se determină cu formula

f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)

CFA = VTA ndash CTA (112)

unde VTA reprezintă venitul total brut actualizat

Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)

CTA - cheltuielile totale actualizate

f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)

Valoarea finală a fluxului de numerar al unui proiect de investiţii

f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18

Fluxul mixt ndash caz general (fig 18)

Un flux mixt de numerar sau un cash-flow mixt reflectă două fluxuri

fluxul de intrări ce se referă la orice formă de venituri şi

fluxul de ieşiri care se referă la orice formă de cheltuieli

ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ

Figura 18 Un flux de numerar mixt

Pentru fiecare an t al perioadei de studiu valoarea cash-flow-ului CFt

se determină prin deducerea cheltuielilor din veniturile respective -

CFt = Vt - Ct Este evident că pentru unii ani CFt poate deţine

valori pozitive iar pentru alţi ani ndash negative

Formulele de calcul pentru cele trei valori ale fluxului sunt

Valoarea nominală - f

i

t

t

t t

CFN CF

(116)

Valoarea prezentă - f

i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)

Valoarea finală - f

i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)

Icircn cazul icircn care factorul timp este neglijat (i = 0) ndash valoarea prezentă şi

valoarea finală converg către valoarea nominală

CFA = CFF = CFN (119)


19

113 Alegerea anului de actualizare

La evaluarea eficienţei economice a proiectelor investiţionale precum şi la

compararea tehnico-economică a soluţiilor (variantelor) de proiect se cere

de a cunoaşte valorile actualizate ale cheltuielilor şi veniturilor pe termen

lung

Actualizarea tuturor cheltuielilor şi veniturilor se efectuează la unul şi

acelaşi moment de timp (an) numit an de actualizare şi notat prin θ

Anul poate fi ales arbitrar variaţia lui va conduce la variaţia

cheltuielilorveniturilor pentru proiectele considerate Icircnsă este important

de remarcat că alegerea anul nu afectează nici icircntr-un fel alegerea

variantei optime

Este dorit ca să corespundă anului luării deciziei finale cu privire la

finanţarea proiectului respectiv Icircn aşa felsbquo costul actualizat al proiectului

va exprima costul la zi - un cost sesizabil Icircn cazul icircn care drept an de

actualizare este ales un an icircndepărtat de anul luării decizieisbquo indicatorii

economico-financiari actualizaţi vor exprima valori mai puţin sesizabile şi

mai mult abstracte

Deseori alegerea anului se face din alt raţionament - de a simplifica

formulele de calcul a valorilor actualizate Spre exemplusbquo icircn cazul icircn care

cheltuielile anuale operaţionale şisau veniturile anuale sunt constante este

binevenit ca să reprezinte anul precedent primului an de funcţionare a

obiectivului ( =0)

Să reţinemsbquo că valoarea actualizată a unei sume de bani ce aparţine anului

coincide cu valoarea ei nominală


20

12 Anuitatea şi perpetuitatea

121 Anuitatea şi valorile ei

Anuitatea (eng - annuity рус - аннуитет) reprezintă un flux de cheltuieli

sau venituri constante şi prezente la fiecare interval de timp t al perioadei

de studiu (fig 114)

Valorile unui flux de cheltuieli constante

Mai jos vom considera un caz particular ce ţine de un flux de cheltuieli

constante pentru care vor fi prezentate formulele de calcul ale valorilor

fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF

Figura 114 Un flux de cheltuieli anuale constante (o anuitate)

şi cele două valori ale acestuia ndash CTA şi CTF

Valoarea nominală CTN a fluxului de cheltuieli anuale constante Can

pe o perioadă de studiu de T ani (fig 114) se determină cu formula

CTN = Can ∙ T (120)

Valoarea finală CTF a anuităţii se determină cu formula

TT t

an

t 1

CTF C (1 i)

sau printr-un calcul direct ndash CTF = Can middot kFA (121)

unde kFA reprezintă factorul valorii cumulative a anuităţii

(eng - The Uniform Series Compound Amount Factor)

TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21

Valoarea actuală CTA a fluxului de cheltuieli constante se determină

conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)

sau printr-un calcul direct - an PACTA C k (123)

unde kPA reprezintă factorul valorii actualizate a anuităţii

(eng - The Uniform Series Present Worth Factor) ndash T

t

PA

t 1

k (1 i)

(124)

O altă interpretare a factorului kPA este prezentată icircn paragr 123

Icircn fig 115 este ilustrată operaţiunea de actualizare a unui flux de cheltuieli

constante

Pentru T = 3 ani i = 10 şi = 0 avem

3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani

Figura 115 Ilustrarea calculului CTA pentru o anuitate

Dacă valoarea nominală a fluxului de cheltuieli constituie 3Can atunci valoarea

prezentă - 249Can şi valoarea finală - 331Can După cum era de aşteptat a

rezultat că CTA le CTN le CTF


22

122 Perpetuitatea

Perpetuitatea (eng - perpetuity рус - бессрочный аннуитет) reprezintă

o anuitate cu o durată infinită (T infin)

Valoarea nominală precum şi valoarea finală a perpetuităţii tind

către + infin

CTN = infin şi an FACTF = C k (125)

Valoarea actuală a perpetuităţii

an PACTA = C k (1 i) (126)

iar pentru θ = 0 avem

an PA CTA = C k sau anCTA = C i (127)


23

123 Semnificaţia factorilor cumulativi ai unei anuităţiperpetuităţi

Luarea icircn consideraţie a factorului timp prin recalcularea duratei T

Pentru fluxul de cheltuieli anuale constante (anuitate) considerat in

paragraful precedent (fig 114) formulele obţinute de calcul a celor trei

valori sintetice sunt

CTF = Can middot kFA CTA = Can middot kPA şi CTN = Can ∙ T

Dacă comparăm primele două expresii cu a treia uşor se poate de observat

că parametrii kFA şi kPA au semnificaţia unor durate de timp aici numite

durate bdquorecalculaterdquo ale perioadei de studiu

Astfel am putea scrie

CTF = Can middot TiT (128) CTA = Can middot TiT (129) şi CTN = Can ∙ T (130)

unde T iT şi

T iT reprezintă valori recalculate ale duratei calendaristice a

perioadei de studiu aceste durate pot fi numite respectiv

T iT - durata bdquofructificatărdquo şi T iT - durata bdquoactualizatărdquo ale perioadei de

studiu de T ani calendaristici

Expresiile generale de calcul pentru cele două durate recalculate sunt

T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)

Formulele (131)-(132) exprimă suma elementelor unei progresii

geometrice pentru care pot fi aplicate formule de calcul direct astfel

expresiile (131)-(132) se transformă icircn (133)-(134)

TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)

Pentru o perpetuitate (Trarrinfin) uşor de observat că durata fructificată

tinde către infinit - iT rarrinfin iar durata actualizată iT tinde către o

valoare limită iT = 1 i


24

Din expresiile de mai sus rezultă

CTA CTF = TiT TiT (135)

Ţinacircnd cont de relaţia ce leagă valoarea actuală şi valoarea finală a unui

flux de numerar (CTA = CTF ∙(1+i)-T

) din (135) obţinem

TiT = TiT ∙ (1+i)-T

(136)

Icircn figura 116 este adusă interpretarea grafică a noţiunii de durată

actualizată a perioadei de T ani calendaristici

Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T

Figura 116 Diagrama cheltuielilor actualizate (a) şi celor echivalente (b)

Icircn expresiile (128)-(129) durata T iT reflectă icircn mod sintetic doi factori

durata calendaristică a perioadei de studiu T şi rata de actualizare i

Pentru o perioadă de studiu stabilită T cu cacirct rata de actualizare i este mai

mare cu atacirct

bull durată actualizată este mai mică iar diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare

bull durată fructificată este mai mare şi diferenţa icircntre T şi T iT este mai mare


25

Icircn cazul neglijării factorului timp (i = 0) atacirct durata actualizată cacirct şi durata

fructificată converg către durata calendaristică T iT şi T iT rarr T

Important de menţionat că icircn formulele (128)-(129) factorul timpsbquo atacirct sub

aspectul fructificăriisbquo cacirct şi cel al actualizăriisbquo este luat icircn consideraţie

nu cum se obişnuieşte prin corecţia cheltuielilor dar prin substituirea

duratei reale calendaristice cu o durată echivalentă (fructificată

sau actualizată)

O asemenea interpretare a factorului timp permite a simplifica considerabil

formulele de calcul pentru diverşi indicatori precum şi a oferi mai multă

claritate şi sens acestora Astfel formulele de calcul atacirct a lui CTA cacirct şi

CTF reprezintă produsul cheltuielilor anuale la numărul de ani (recalculat)

al perioadei de studiu (vezi (128)-(129))

Posibilitatea integrării factorului timp icircn durata recalculată T iT

alimentează ideea icircnglobării tuturor factorilor evolutivi ai unui proces

economic (evoluţia volumului producţiei evoluţia preţurilor etc)

icircn durata recalculată a perioadei de studiu (vezi para 132)

Inversul lui T iT reprezintă factorul de recuperare a capitalului (FRC)

FRC = i T1 (1 i) (137)

El arată cacirct trebuie plătit anual pentru a asigura achitarea unui icircmprumut de

o unitate monetară icircn T ani cu dobacircnda compusă aplicată pe suma

neachitată


26

13 Fluxurile cu evoluţii regularizate şi valoarea prezentă a lor

131 Descrierea evoluţiei unui flux de numerar

Dinamica fluxului de cheltuieli de-a lungul perioadei de studiu fie pentru o

sursă de energie poate fi cauzată de mai mulţi factori precum

escaladarea preţurilor la combustibili la materiale etc

creşterea continuă a costului forţei de muncă

degradarea icircn timp a capacităţii de producţie

creşterea consumului de combustibil icircn urma degradării fizice a

instalaţiilor energetice şi altele

Pentru creşterea preţurilor icircn literatura de specialitate este aplicat termenul

de escaladare icircnsă el nu poate fi folosit spre exemplu pentru creşterea

consumului specific de combustibil de-a lungul perioadei de viaţă a

instalaţii energetice sau pentru creşterea capacităţii de producţie a acesteia

Iată de ce pe viitor ne vom referi icircn general la evoluţia icircn timp a unui sau

mai multor parametriindicatori

Evoluţia icircn timp a unui sau mai multor factori de obicei este descrisă de

funcţii exponenţiale simple (fig 119)

0t t

t 0y y 1 r

icircn care yt reprezintă valoarea parametrului considerat icircn anul t t = 1hellipT

y0 - o valoare cunoscută pentru un an t0 numit an de referinţă

Frecvent t0 este acceptat egal cu zero icircn acest caz - t

t 0y y 1 r

Rata r va deţine valori pozitive icircn cazul creşterii iar negative icircn cazul

descreşterii

132 Integrarea factorului timp şi dinamicilor icircn durata

perioadei de studiu

Vom considera un flux de cheltuieli anuale icircn creştere Ct t =1hellipT descris

de o funcţie exponenţială - t

t 0C C (1 k) (138)

icircn care C0 este valoarea de referinţă iar k rata creşterii anuale (fig 119)


27

Pentru fluxul considerat vom determina valorile CTA şi CTF

CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t

Figura 119 Un flux de cheltuieli cu creştere exponenţială

Valoarea actuală a fluxului icircn caz general se calculă cu formula

Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)

iar ţinacircnd cont de expresia (138) putem scrie

Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)

sau icircn final Tx0CTA C T (140)

unde T xT

reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (actualizată) la

rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)

x - o rată de actualizare generalizată care reflectă factorul timp

şi creşterea cheltuielilor pe durata de studiu

11+x ( i) (1 k) (142)

k - rata creşterii anuale a cheltuielilor

i - rata de actualizare (costul capitalului)


28

Este cunoscut faptul că actualizarea conduce la diminuarea valorilor

numerice ale fluxurilor (multiplicare la coeficientul (1+i)-t) pe cacircnd

escaladarea la rata k - la creştere (multiplicare la coeficientul (1+k)t) Icircn

funcţie de raportul celor două rate (i şi k) vom avea o rată x pentru care

conform expresiei (141) va rezulta o valoare T xT ce poate fi mai mică

egală sau mai mare decacirct durata calendaristică (nominală) T a perioadei de

studiu Ca urmare icircn cazul considerat pentru CTA putem avea CTA lt =

gt CTN unde CTN = C0 middot T

Din expresia (142) este uşor de observat că atunci cacircnd efectele generate

de factorul timp pe de-o parte şi de escaladarea cheltuielilor Ct pe de altă

parte se compensează (i = k) rezultă - x = 0 şi respectiv T xT = T iar

CTA = CTN = C0 middot T

Valoarea finală a fluxului icircn caz general se determină T

T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)

unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu recalculată (fructificată) la

rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)

Icircn final o relaţie importantă şi utilă

TTx TxT = T (1+i)

Din cele prezentate mai sus rezultă că formulele de calcul ale valorilor

prezente şi finale chiar şi pentru un flux de cheltuieli icircn creştere rămacircn a fi

extrem de simple şi clare ndash acestea reprezintă produsul cheltuielilor anuale

cunoscute pentru un an de referinţă la numărul de ani (recalculat) al

perioadei de studiu


29

Important de menţionat că icircn cazul icircn care valoarea de referinţă a

cheltuielilor este cunoscută nu pentru anul 0 ci pentru un careva alt an t icircn

formulele (140) şi (144) icircn loc de C0 vom aplica Ct middot (1+k)-t

Duratele T xT şi T xT rezultă icircn urma ajustării duratei calendaristice a

perioadei de studiu T la factorul timp inflaţie şi creştereadiminuarea

cheltuielilor de-a lungul anilor

133 Fluxurile de numerar complexe

Un flux de numerar complex include un ansamblu de fluxuri ndash constante icircn

creşteredescreştere etc (vezi fig 120)

Pentru determinarea valorilor actuale şi finale ale fluxurilor complexe se

recomandă -

a identifica grupurile de cheltuielivenituri omogene

a substitui icircn mod echivalent fiecare grupflux printr-o singură

platăicircncasare prin determinarea valorilor ei actuale şi finale

a determina valorile actuală şi finală pentru fluxul nou creat

Exemplu Pentru fluxul de cheltuieli din figura 120 a determina valoarea

actualizată (CTA) şi valoarea fructificată (CTF) unde θ = 0 şi T = 10

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10

Figura 120 Flux de numerar complex

Icircn exemplul dat se disting patru fluxuri de cheltuieli

fluxul I - fluxul de cheltuieli cu investiţia eşalonate pe anii

perioadei de execuţie

fluxul II - fluxul de cheltuieli operaţionale pe perioada anilor 1-5

caracterizat de o creştere exponenţială la rata k

fluxul III - fluxul de cheltuieli operaţionale constante pe perioada anilor 6-8


30

fluxul IV - fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale - C9 şi C10

Pentru fiecare grup de cheltuieli identificat se determină valorile actualizate

şi fructificate (fig 121)

I Fluxul de cheltuieli cu investiţia

Valoarea actuală a acestui flux se determină cu formula

0θ-t

I t

t=-(d-1)

CTA = I (1+i) = I1 middot (1+i)2 + I2 middot (1+i) + I3


0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10

II Fluxul de cheltuieli operaţionale cu evoluţie exponenţială

Valoarea actuală

1TxII 1CTA = C (1 k) T

unde C1 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale asociată

anului 1

T xT - durata recalculată (actualizată) a perioadei fluxului de cheltuieli cu

evoluţie exponenţială (T = 5 ani)

TTxT 1 (1 x) x

x - rata de actualizare generalizată care reflectă atacirct factorul timp cacirct

şi creşterea cheltuielilor pe perioada considerată de 5 ani

x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală

-1TxII 1CTF = C (1 k) T

unde T xT

reprezintă durata recalculată (fructificată) a perioadei de

5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII

Figura 121 Fluxul de numerar simplificat

III Fluxul de cheltuieli operaţionale constante

Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T

unde Can reprezintă valoarea anuală a cheltuielilor constante Can = C6-8

T iT - durata actualizată a perioadei fluxului constant de cheltuieli

(T = 3 ani) la rata i

TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT

reprezintă durata fructificată a perioadei de 3 ani la rata i

TTiT (1 i) -1 i

III Fluxul non-uniform de cheltuieli operaţionale

Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C

Icircn final se determină valoarea actuală a fluxului nou creat (fig 121)

5

I II IV IIICTA = CTA CTA + CTA CTA (1 i)


32

şi valoarea finală a lui 5 2

II III I IVCTF = CTF (1+i) CTF (1 i) CTF CTF

14 Nivelarea fluxurilor de numerar

141 Ce reprezintă un flux nivelat

Unele metodologii existente de evaluare a eficienței economice a

proiectelor energetice (inginerești) presupun nivelarea fluxurilor de

cheltuieli și venituri [5] precum sunt Cheltuielile Anuale Nivelate (CAN) şi

Venitul Brut (anual) Nivelat (VBN)

Un flux nivelat reprezintă un flux de cheltuieli sau venituri constante şi

prezente la fiecare interval de timp t al perioadei de nivelare (fig 122)

I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)

Figura 122 Un flux de cheltuieli anuale nivelate

142 Modalităţile de nivelare a fluxurilor

Mai jos sunt prezentate trei modalităţi ce privesc nivelarea fluxurilor de

numerar

Modalitatea 1 Nivelarea fluxurilor neuniforme

Se determină valoarea actualizată a fluxului de numerar (cheltuieli) care

mai apoi se raportează la durata actualizată a perioadei de nivelare

(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)

unde CAN reprezintă cheltuielile anuale nivelate


T iT - durata actualizată a perioadei de studiu de T ani


33

De regulă perioada de nivelare corespunde perioadei operaţionale T

I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)

Figura 123 Fluxul real de cheltuieli (a) substituit de o singură plată (b) sau

de un flux imaginar cu o valoare anuală CAN constantă (c)

Modalitatea 2 Nivelarea fluxurilor exponenţiale

Vom considera un flux de cheltuieli caracterizat de o creştere exponenţială

(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT

1 t Thellip hellip ani0

Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT

Figura 124 Nivelarea unui flux cu creştere exponenţială pe durata de T ani

Valoarea actuală a acestui flux se calculă cu formula

Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)

Care ţinacircnd cont de expresia (147) se transformă icircn

Tx0CTA C T (149)

unde T xT reprezintă durata perioadei de studiu actualizată la rata x

x = (1+i)(1+k) - 1

Cheltuielile anuale ale fluxului nivelat

TiCAN CTAT (150)


34

sau substituind CTA icircn expresia (150) cu (149) obţinem

Tx Ti0CAN C T T (151)

unde C0 reprezintă valoarea de referinţă a cheltuielilor anuale raportată la

anul 0

T xT - durata recalculată a perioadei de studiu determinată la rata x

T iT - durata actualizată a perioadei de T ani

Dacă notăm FN = Tx TiT T (152)

rezultă 0CAN C FN (153)

Raportul Tx TiT T icircn expresia (151) reprezintă aşa numitul Factor de

Nivelare (FN) a fluxului de numerar respectiv

Tx TiFN = T T

Uşor de observat că dacă fluxul inițial nu evoluează icircn timp ceea ce

icircnseamnă că T x T iT T atunci conform (152) avem - FN = 1 iar

CAN = C0 Factorul de nivelare a unui flux de numerar ne arată de cacircte ori

valoarea anuală nivelată CAN este mai mare decacirct valoarea reală C0 a

acestuia icircn anul de referinţă t0

Modalitatea 3 Icircn situaţia icircn care fluxul de numerar iniţial pe perioada

operaţională este constant (fig 125) nivelarea poate fi efectuată prin

substituirea investiţiei I de către o serie de plăţi anuale constante CI ce se

vor suprapune cheltuielilor anuale

CAN = Can + CI (154)

unde CI reprezintă cheltuielile anuale cu rambursarea creditului - CI = ITiT

iar 1TiT - factorul de rambursare a creditului

hellip t 3210 t aniT

Can

3 hellip t 210 t aniT

Can

I CAN

a) b)

CI

Figura 125 Nivelarea unui flux cvasi-constant pe durata de T ani


35

143 Determinarea ratei de actualizare

Aspecte generale

Rata isbquo icircn formulele (11) - (12) are semnificaţia dobacircnzii unitare anuale

Deci sub aspectul economic i exprimă profitul obţinut la sfacircrşitul anului

icircn urma investirii productive a unui leu la icircnceputul anului respectiv Din

acest punct de vedere rata i reprezintă un indicator de rentabilitatesbquo ce

caracterizează capacitatea investiţiilor de a aduce profit

Icircn calculele tehnico-economice ce presupun evaluarea unor indicatori

sintetici cum sunt venitul net actualizatsbquo cheltuielile totale actualizatesbquo

durata de recuperare a investiţiilor şi alţii rata i reprezintă un instrument

de actualizare a eforturilor şi efectelor economicesbquo un coeficient icircntr-o

operaţiune fictivă de readucere a valorilor dispersate icircn timp la unul şi

acelaşi moment

Alegerea ratei de actualizare pentru evaluarea eficienţei proiectelor

investiţionale constituie o problemă Valoarea ratei i variază de la un

proiect la altul şi se schimbă icircn timp Ea depinde de multipli factori cum

sunt starea financiară a investitoruluisbquo rata dobacircnzii bancaresbquo structura şi

valorile impozitelorsbquo riscul posibil icircn desfăşurarea activităţii economicesbquo

inflaţiasbquo rentabilitatea obiectivelor similaresbquo etc Alegerea potrivită a ratei

de actualizare este icircn competenţa investitorului

Rata de actualizare ca şi rata de escaladare a preţurilor poate fi determinată

cu- şi fără includerea efectelor inflaţiei

Icircn caz general am putea scrie ndash

(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)

unde i reprezintă rata de actualizare ib ndash costul capitalului şi rinf - rata

inflaţiei

Atunci cacircnd icircn calcule este aplicată rata aparentă de actualizare i toate

valorile prezente determinate reprezintă valori deflatate ce corespund

anului de referinţă Aceasta ar icircnsemna spre exemplu că dacă rata reală

de actualizare este de 10 rata inflaţiei pe termen lung este de 6


36

valoarea actualizată la anul 2015 icircn valuta constantă a anului 2015 a 100 euro

disponibili icircn anul 2020 este de 464 euro [100euro∙(110∙106)-5

]

Rata i icircn formula (155) ar putea include şi impactul riscului economic

existent exprimat printr-o rată de risc rrisc Icircn acest caz am avea

(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)

Icircn exemplul enunţat mai sus pentru o rată de risc de 5 valoarea celor

100 euro ai anului 2020 se transformă icircn 363 euro - valoare prezentă icircn anul

2015

Rata i de regulă se stabileşte la nivelul aşa numitei rate minime atractive şi

se determină conform expresiei

i = rb + rinf + rrisc (157)

unde rbank reprezintă rata dobacircnzii bancaresbquo cerută icircn mod curent pentru

creditele bancare (costul capitalului icircmprumutat)

rinf - rata previzibilă a inflaţiei

rrisc - rata riscului (o marjă de siguranţă de 12 pe an pentru a acoperi

riscul faţă de situaţiile ce n-au putut fi luate icircn consideraţie)

Uşor de observat că expresia (157) rezultă din (156) icircn urma anulării

produselor - rbank middot rinf rbank middot rrisc rinf middot rrisc şi rbank middot rinf middot rrisc ce

reprezintă valori neglijabile

Rata de actualizare ar fi să fie superioară ratei de rentabilitate icircn sectorul

respectiv Valorile ratei i utilizate icircn calculele curente pentru proiectele

energetice sunt icircntre 1012 Se obişnuieşte să se considere valoarea i

constantă pentru durata de studiu

De remarcatsbquo că includerea factorului de risc icircn expresia (155) aduce la

creşterea ratei de actualizare ceea ce va favoriza variantele cu o investiţie

mai mică


10

Cheltuielileveniturile aferente unei activităţi economice icircn caz general

sunt dispersate icircn timp atacirct pe anii perioadei de studiu cacirct şi icircn interiorul

fiecărui an Pentru un an concret fie notat prin t valoarea totală a

cheltuielilorveniturilor icircn mod convenţional poate fi integrată şi ulterior

plasată la icircnceputul anului t la mijlocul sau la sfacircrşitul acestuia Pe viitor

vom accepta ipoteza că cheltuielileveniturile asociate anului t icircntotdeauna

sunt plasate pa axa timpului la sfacircrşitul anului respectiv (fig 12)

0 1 2 t T timp

Ct

Figura 12 Plasarea unei cheltuieli anuale pe axa timpului

Fenomenul fructificării banilor

Vom considera cazul plasării unei sume de bani spre fructificare pe un cont

bancar (fig 13) Fie că momentul actual icircn fig 13 se identifică cu sfacircrşitul

anului 0 Mai jos vom considera două cazuri particulare

PT

timp0 1 2 t T

P0

Pt

Figura 13 Creşterea banilor pe un cont de depozit

Cazul 1 Suma de bani P0 este plasată la anul 0 pe un cont bancar la rata

dobacircnzii bancare i pe termen de T ani


11














(12)


PT = 100 middot (1+ 01)8-4

= 100 middot 146 = 146 um







banul face ban


şi (1+i)T-t

poartă


capitalizare


12










T

0 TP = P 1+i sau -T

0 TP = P 1+i (13)



Din (12) obţinem

T-t


t TP = P 1+i (14)


Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)

= 150 middot 11- 4

= 1024 um






şi (1+i)ndash(T-t)

poartă



13
























14
















(ordonat)










f

i

t

t

t t

CTN C

(15)



15




f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t



ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF




f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t










16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


11














(12)


PT = 100 middot (1+ 01)8-4

= 100 middot 146 = 146 um







banul face ban


şi (1+i)T-t

poartă


capitalizare


12










T

0 TP = P 1+i sau -T

0 TP = P 1+i (13)



Din (12) obţinem

T-t


t TP = P 1+i (14)


Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)

= 150 middot 11- 4

= 1024 um






şi (1+i)ndash(T-t)

poartă



13
























14
















(ordonat)










f

i

t

t

t t

CTN C

(15)



15




f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t



ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF




f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t










16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


12










T

0 TP = P 1+i sau -T

0 TP = P 1+i (13)



Din (12) obţinem

T-t


t TP = P 1+i (14)


Pt = 150 middot (1+ 01)-(8-4)

= 150 middot 11- 4

= 1024 um






şi (1+i)ndash(T-t)

poartă



13
























14
















(ordonat)










f

i

t

t

t t

CTN C

(15)



15




f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t



ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF




f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t










16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


13
























14
















(ordonat)










f

i

t

t

t t

CTN C

(15)



15




f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t



ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF




f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t










16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


14
















(ordonat)










f

i

t

t

t t

CTN C

(15)



15




f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t



ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF




f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t










16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


15




f

i

tt

t

t t

CTA C (1 i)

(16)

unde (1+i)θ-t



ti ti+1 tf-1 tf ani

Cti+1 Ctf-1 CtfCti

ti-1

CTACTF




f

i

tT t

t

t t

CTF C (1 i)

(17)

unde (1+i)T-t










16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


16

T

t

t 1

VTN V

(18)



0 1 2 t T ani

V1 V2 VTVt

VTFVTA



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(19)


T

1t

tT

t i)(1VVTF (110)




ani0 1 2 t

I

T

VNan

Vt

Ct

VNt



17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


17

0 1 2 t T

VNt

Vt

Ct

ani

I1

I2

I3

-1-2

ti ti+1 tf









f

i

tθ t

t t t

t = t

CFA (V I C ) (1 i) sau (111)



Tθ t

t

t 1

VTA V (1 i)

(113)


f

i

tθ t

t t

t = t

CTA (I + C ) (1 i) (114)


f

i

tT- t

t t t

t = t

CFF (V - I - C ) (1 i) (115)


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


18





ti ti+1 t tf ani

CFti+1 CFt CFtf

Ct

Vt

tf -1

CFti

ti-1

CFACFF

CFtf-1

θ








i

t

t

t t

CFN CF

(116)


i

tθ t

t

t = t

CFA CF (1 i) (117)


i

tT-t

t

t = t

CFF CF (1 i) (118)





19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


19





lung






variantei optime






mai mult abstracte





obiectivului ( =0)




20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


20





de studiu (fig 114)




fluxului respectiv

Can

ani0 1 2 t T

CTACTF





CTN = Can ∙ T (120)


TT t

an

t 1

CTF C (1 i)




TT t

FA

t 1

k (1 i)

(122)


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


21


conform expresiei

Tt

an

t 1

CTA C (1 i)




t

PA

t 1

k (1 i)

(124)



constante


3

θ- t

an an PA

t = 1

CTA = C 1+i = C k = 249 ∙ Can

(1+i)-1 = 11-1 = 091

(1+i)-2 = 11-2 = 083

(1+i)-3 = 11-3 = 075

CTA = 249 Can

091 Can

083 Can

075 Can

091 Can

083 Can

075 Can

Can = const

0 1 2 3 ani






22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


22

122 Perpetuitatea




către + infin



an PACTA = C k (1 i) (126)




23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


23












unde T iT şi






T

T tTi

t 1

T (1 i)

(131) şi T

tTi

t 1

T (1 i)

(132)




TTiT (1 i) 1 i

(133) şi TTiT 1 (1 i) i (134)





24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


24







(136)



Ct

1 32 Tt

Ct

0CTA C T

ani1 2 Tani

b)a)

0

1

(1 )T

t

t

CTA C i

0 (1 ) tC i

0C

1C

3C

2C

tC

TC

0C

0CTN C T





mare cu atacirct




25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


25







sau actualizată)











FRC = i T1 (1 i) (137)



neachitată


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


26


















0t t

t 0y y 1 r




t 0y y 1 r


descreşterii


perioadei de studiu



t 0C C (1 k) (138)



27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


27


CTACT

CTF

C2

t ani0 1 2 t T

C0

C1

t-1

Ct-1

Ct = Ct-1 (1+k)

Ct

Ct = C0 (1+k)t



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (139)


Tθ-t

0

t=1

CTA C (1+x)


unde T xT


rata x

T- t T

Tx

t=1

T (1+x) 1 (1 x) x (141)



11+x ( i) (1 k) (142)




28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


28














T-t

t

t=1

CTF C (1+i) (143)

sau Tx0CTF = C T

sau T T

Tx0CTF C T (1 i) CTA (1 i) (144)


rata x T

T-t TTx

t=1

T (1+x) = (1 x) 1 x (145)


TTx TxT = T (1+i)





perioadei de studiu


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


29











recomandă -







0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

C1

I1

I2

-1-2

I3

5 6 7

C5

C6-8C9

C10









30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


30






0θ-t

I t

t=-(d-1)



0T-t

I t

t=-(d-1)

CTF = I (1+i) = I1 middot (1+i)12

+ I2 middot (1+i)11

+ I3 middot (1+i)10


Valoarea actuală



anului 1



TTxT 1 (1 x) x



x = (1+i)(1+k) - 1

Valoarea finală


unde T xT


5 ani


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


31

TTxT (1 x) -1 x

0 1 2 3 4 8 9 10 t ani

CTAI

5 6 7

CTAIII

CTAII

CTAIV

CTACTF

CTFI

CTFIV

CTFIICTFIII



Valoarea actuală

TiIII anCTA = C T




TTiT 1 (1 i) i

Valoarea finală

TiIII anCTF = C T

unde T iT


TTiT (1 i) -1 i


Valoarea actuală

-9 10

IV 9 10CTA = C (1+i) C (1 i)

Valoarea finală

1

IV 9 10CTF = C (1+i) C


5



32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


32











I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)




numerar




(fig 123)

CAN = CTA TiT (146)





33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


33


I1

3210 t ani-1

I2

C2C1

C3Ct CT

hellip t T 0

CTA

t ani 3210 t ani

CAN

Thellip t

a) b) c)





(fig 124) - t

t 0C C (1 k) (147)

TT


Cmed CAN

C0 C0 C1

Ct

CT



Tθ-t

t

t=1

CTA C (1+i) (148)


Tx0CTA C T (149)


x = (1+i)(1+k) - 1


TiCAN CTAT (150)


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


34




anul 0







Tx TiFN = T T














Can


Can

I CAN

a) b)

CI



35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


35


Aspecte generale











acelaşi moment











(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf) (155)


inflaţiei






36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică


36



]



(1 + i) = (1 + ib)∙(1 + rinf)∙(1 + rrisc) (156)



2015


















mai mică

1. FACTORUL TIMP.pdf

Documents

Transcript of 1. FACTORUL TIMP.pdf