1

CENTRUL DE EXCELENŢĂ PROF. IOVAN DELIA CLASA a X – a COLEGIUL TEHNIC HENRI COANDA TIMIȘOARA 10.11.2012

TEMA: PUTERI SI RADICALI. OPERATII CU NUMERE REALE

PUTERI CU EXPONENT RATIONAL

Fie a, b ∈ ��∗ , m, n ∈ Q.

1) a0 = 1

2) a1 = a

3) am ∙ an = am+n

4) ��� = am – n

5) (am)n = amn

6) (a∙ )n =an ∙ bn

7) �� ��= ��

�

8) a- n = ���

9) Pentru (∀) a > 1, am < an ⇔ m < n

10) Pentru (∀) a ∈ ( 0, 1) , am < an ⇔ m > n.

PROPRIETATILE RADICALILOR

Daca a ≥0, b≥0 si m,n ∈ N - {0, 1}, avem:

1) �a ∙ b� = �a� ∙ �b�

2) �� � = ���

� � , b≠ 0

3) �a�� = a

4) �a� ∙ b� = a �b�

5) � �a� �� = �a��

6) �a� = �a��∙�

7) �a� � = �a�∙�

8) a < b ⇒ �a� < �b�

9) �a�� = a��

2

CENTRUL DE EXCELENŢĂ PROF. IOVAN DELIA CLASA a X – a COLEGIUL TEHNIC HENRI COANDA TIMIȘOARA 10.11.2012

Reamintim formulele de calcul prescurtat necesare rationalizarii numitorilor

(a - b)(a + b) = a2 – b2

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

Formula radicalilor dublii ( a, b ≥0, a# − b ≥ 0 )

a + �b = ��� ��&' # + ��' ��&' #

a − �b = ��� ��&' # - ��' ��&' #

Exercitii propuse:

1) Scrieti sub forma de puteri ale lui 2 ;

a) �( ∙ �8�*���# ∙ (0,5)'# ∙0,25 b) .�0,125�12 3�(1 ∙ 512'�

2) Sa se aduca la forma cea mai simpla expresiile

a) 24& ∙ �22 ∙ ��*#5 b) ��#��* ∙ 4�2& ∙ ��7��#8 ∙ 16* c) �#�2& ∙ 7:�&(�&;∙ *<�&

d) ������2=2 e)

�& ��2� �� � ��2= f) ��a 5 − �b5 � >.� ��& 2

��2 5 ∙� 5 3# + �4? &4&

�?= @

g) > �� �� = ' � = �& + �

� �� = � � = �&@ ∙ � �' ��'� �'#

3) Sa se ordoneze crescator numerele:

a) �5 , �65 , �82 b) {�2}, {�3}, {�5} c) [�−492

], [-�80= ], [- �32]

4) Sa se determine x ∈ � astfel incat sa fie definite expresiile:

a) �4C − C# b) � DD&'E2 c) � '#D&

D&' #1=

d) �(D�()(*'D)FDF= + � �#' FDF?

e) � �FDF'*2 + � FD��F#1' D&=

f) � �C + 2?G44H2G2GI4

5) Sa se determine tripletele (x, y, z) ∈ J × J × J pentru care are sens expresia

L1 + �1 + C + M + N4I&OHG&4I&PHO&4I&GHP&

3

CENTRUL DE EXCELENŢĂ PROF. IOVAN DELIA CLASA a X – a COLEGIUL TEHNIC HENRI COANDA TIMIȘOARA 10.11.2012

6) Sa se arate ca:

a) L13 − 30�2 − 9 − 4�2 + L13 + 30�2 + 9 + 4�2 ∈ Q

b) 9 + 4�52 + 9 − 4�52 = 3

c) 54 + 30�32 + 54 − 30�32 = 6

7) Calculati E(a) = Q − 1 + 2�Q − 2 + Q − 1 − 2�Q − 2 ,pentru a ∈ [2, 3]

8) Rationalizati:

a) # *��# b)

��*2 c) ��#2 ' � d)

��(2 ' �#2 e) ��#12 ' ��R2 � �(2 f)

��7�2 � �8#2 � ( g) ��*= � �#= h)

��(2 ��#

9) Calculati:

a) 2 + �3 ∙ �2 + 2 + �3 ∙ �2 − 2 + �3 b)

���� �# + ��#� �* + ��*� �( + ... + ��#R��� �#R�#

c) ���2 � �#2 � �(2 +

��(2 � �<2 � �E2 + … + ��T&2 � T(T��)2 � (T��)&2

10) Fie a, b, c cifre nenule distincte si fie x = 0, Q()UUUUUUUUU + 0, (V)UUUUUUUUU + 0, V(Q)UUUUUUUUU . Sa se determine x stiind ca x ∈ Q.

11) Sa se determine numarul tripletelor (x, y, z) formate din cifre nenule distincte astfel incat

a) �C, M(N)UUUUUUUUU + M, N(C)UUUUUUUUU + N, C(M)UUUUUUUUU ∈ Q b) C, (MN)UUUUUUUUU + M, (NC)UUUUUUUUU + N, (CM)UUUUUUUUU ∈ Q

12) Stiind ca numarul radicalilor din scrierea numerelor a si b este 2012, unde

a = L2 + �2 + 2 + ⋯ + �2 , b = L6 + �6 + 6 + ⋯ + �6 , sa se determine partea intreaga a acestor

numere.