1.3. LEGI DE DISTRIBUIE SAU DE LEGI DE REPARTIIE

Autor: Daniela FLOREA

Modelarea matematic a fenomenelor descrise de variabilele aleatoare este realizat cu ajutorul:

distribuiilor de tip discret: binomial, Poisson, binomial-negativ, geometric;

distribuiilor de tip continuu: uniform, normal, exponenial, Erlang, etc.

1.3.1. Legi de distribuie ale variabilelor aleatoare discrete

1.3.1.1. Distribuia binomial

O variabil aleatoare X are o distribuie binomial urmtoarea distribuie:P( X = x)= Cnx px (1 p)n x

unde:

x =1, 2, ...,

de parametrii p i n are

,

n - parametrul distribuiei binomiale, poate lua valori din mulimea numerelor naturale;p funcia de probabilitate, 0 p 1 . Ne reamintim c:

x=n!

Cn.

x! (n x)!

O variabil aleatoare binomial poate fi interpretat ca suma celor n experimente alternative de parametru p.

Caracteristicile de baz ale acestei legi sunt prezentate sintetic n tabelul 1.1.

Tabelul 1.1: Caracteristicile distribuiei binomiale

CaracteristicaNotaieRelaia de calculObservaii

P( X = x)=Cnx p x (1 p)nx

MediaM( X ) xn pM( X )> D2 (X )

DispersiaD2 ( X ) D 2n p (1 p)

Determinarea

2X

D( X ) Xnp(1 p)parametrilor p i n

Abaterea standardcunoscnd media i

Coeficientul deCX2(1 p)/ npdispersia

x 2X

variaiep =x

Eroarea standard =Xx 2

Nn =2

Nx X

NumrulN =2

observaiilorX

2

1.3.1.2. Distribuia Poisson

O variabil aleatoare X are o distribuie binomial definit de relaia:

P( X = x)= x e , x!unde:

x =1, 2, ...,

- parametrul distribuiei binomiale, egal cu media i dispersia variabilei aleatoare;

e baza logaritmului natural.

Figura 1.1: Distribuia Poisson

Caracteristicile de baz ale acestei legi sunt prezentate sintetic n tabelul 1.2.

Tabelul 1.2. Caracteristicile distribuiei Poisson

CaracteristicaNotaieRelaia de calculObservaii

P( X = x)= x e

x!

MediaM( X ) x

DispersiaD2 ( X ) D2 2XM( X )= D2 (X )

Abaterea standardD( X ) XDeterminarea

parametrilor p i n

Coeficientul de21cunoscnd media i

dispersia

variaieCX = x = 2X

X

Eroarea standard =

N

NumrulNN =2

observaiilorX

2

1.3.1.3. Distribuia binomial-negativ

O variabil aleatoare X are o distribuie binomial de parametrii p i k are urmtoarea distribuie:P( X = x)= C k+1 pk (1 p)x ,

x k 1

unde:

x =1, 2, ...,

k - parametrul distribuiei binomial-negative, poate lua valori din mulimea numerelor naturale mai mari dect 1; p funcia de probabilitate, 0 p 1

Figura 1.2: Distribuia binomial negativ

Un caz particular al distribuiei binomial-negativ, corespunde parametrului k=1, distribuia este cunoscut ca distribuia geometric.Caracteristicile de baz ale acestei legi sunt prezentate sintetic n tabelul urmtor.

Tabelul 1.3: Caracteristicile distribuiei binomial negative

CaracteristicaNotaieRelaia de calculObservaii

P( X = x)= Cxk+1k 1 pk (1 p)xk(1 p)

MediaM( X ) x

pM( X )< D2 (X )

DispersiaD2 ( X ) D2 2Xk(1 p)Determinarea

p2parametrilor p i

D( X ) X1n cunoscnd

Abaterea standardk(1 p)media i

pdispersia

Coeficientul deCX21x

p =2

variaiek(1 p)X

x 2

= X

Eroarea standardk =2

NX x

NumrulNN =2

observaiilorX

2

1.3.1.4. Distribuia geometric

O variabil aleatoare X are o distribuie geometric de parametru p i are urmtoarea form:P(X = x)= p (1 p)x ,

unde:

x =1, 2, ..., p funcia de probabilitate, 0 p 1 .

Caracteristicile de baz ale acestei legi sunt prezentate sintetic n tabelul 4.

Tabelul 1.4. Caracteristicile distribuiei geometrice

CaracteristicaNotaieRelaia de calculObservaii

P( X = x)= p (1 p)x

MediaM( X ) x(1 p)

pM( X )< D2 (X )

D2 ( X ) D2 2X(1 p)

DispersiaDeterminarea

p2parametrilor p i n

D( X ) X1(1 p)cunoscnd media i

Abaterea standarddispersia

px

Coeficientul de21p =2

CXX

variaie(1 p)x 2

Eroarea standard =Xk =2

X x

N

NumrulNN =2

observaiilorX

2