CAPITOLUL 11. INTEGRALE CURBILINII 147

11.4 Independenta de drum a integralelor curbilinii

11.27 Constatand n prealabil ca expresia de sub semnul integrala este o diferentiala ex-acta, sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii, n care s-au specificat numai capetelecurbei de integrare:

1) I =(1,3)(2,1)

y dx+ x dy. 2) I =(2,0)(0,2)

y2exdx+ 2yexdy.

3) I =(2,3)(1,1)

(x+ 3y) dx+ (3x+ y) dy. 4) I =(2,1)(0,0)

2xy dx+ x2dy.

R: 1) Cum P (x, y) = y, Q (x, y) = x si Px =Qy = 1, rezulta ca valoarea integralei

nu depinde de curba rectificabila cu capetele n punctele (2, 1) si (1, 3). Fie A1 (2, 1),A2 (1, 1) si A3 (3, 1). Alegem pentru integrare curba simpla C = C1 C2, n care C1 areca imagine segmentul A1A2 paralel cu axa Ox, iar C2 are ca imagine segmentul A2A3paralel cu axa Oy, avand reprezentarile parametrice:

(C1){x = t,y = 1, t [2,1] , (C2)

{x = 1,y = t, t [1, 3] .

Obtinem: I =C y dx+x dy =

C1 y dx+x dy+

C2 y dx+x dy =

12 dt+

31dt = 1. Se

observa usor ca functia U (x, y) = xy este o primitiva a expresiei diferentiale y dx+x dy,adica dU = dx+ x dy si deci I = U (1, 3) U (2, 1) = 1.

2) I = 4. 3) I = 412 . 4) I = 4.

11.28 Constatand n prealabil ca expresia de sub semnul integrala este o diferentiala ex-acta, sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii, n care s-au specificat numai capetelecurbei de integrare:

1) I =(5,12)(3,4)

x dx+y dyx2+y2 . 2) I =

(9,1)( 12 ,2)

12

yx dx+

12

xy dy.

3) I =(3,2)(1,2)

y2

(xy)2 dx x2

(xy)2 dy. 4) I =(3,0)

( 13 ,2)

y1+xy dx+

x1+xy dy.

R: 1) I = ln 135 . 2) I = 2. 3) I = 4. 4) I = ln 3.

11.29 Constatand n prealabil ca expresia de sub semnul integrala este o diferentiala ex-acta, sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii, n care s-au specificat numai capetelecurbei de integrare:

1) I =(2,3,1)(1,1,0)

yz dx+ xz dy + xy dz. 2) I =(2,1,3)

(1,1,2)x dx y2dy + z dz.

3) I =(3,4,5)(0,0,0)

x dx+y dy+z dzx2+y2+z2

. 4) I =(0,3,4)

(1,2,2)x dx+y dy+z dz

(x2+y2+z2)32.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 11. INTEGRALE CURBILINII 148

R: 1) Cum: P (x, y, z) = yz, Q (x, y, z) = xz, R (x, y, z) = xy, avem:

R

y=Q

z= x,

P

z=R

x= y,

Q

x=P

y= z,

deci expresia de sub semnul integrala este o diferentiala exacta si integrala curbilinie nudepinde de drum. Fie A1 (1, 1, 0), A2 (2, 1, 0), A3 (2, 3, 0), A4 (2, 3, 1). Alegem pentruintegrare curba simpla C = C1C2C3, n care C1 are ca imagine segmentul A1A2 paralelcu axa Ox, C2 are ca imagine segmentul A2A3 paralel cu axa Oy, C3 are ca imaginesegmentul A3A4 paralel cu axa Oy, avand reprezentarile parametrice:

(C1) x = t,y = 1,

z = 0,t [1, 2] , (C2)

x = 2,y = t,z = 0,

t [1, 3] , (C3) x = 2,y = 3,

z = t,t [0, 1] .

Obtinem: I = 2

10 dt+

31

0 dt+ 1

06 dt = 6. 2) I = 103 . 3) I = 5

2. 4) I = 215 .

11.30 Constatand n prealabil ca expresia de sub semnul integrala este o diferentiala ex-acta, sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii, n care s-au specificat numai capetelecurbei de integrare:

1) I =(5,3,1)(7,2,3)

yz dx+zx dy+xy dz(xyz)2 . 2) I =

(2,2,2)(1,1,1)

y2z2dx+2x2z dy+2x2y dz(2x+yz)2

.

3) I =(2,6,3)

(1,3,1)yz dx+

xz dy xyz2 dz. 4) I =

(2,2,4)(1,1,5)

z (dx+ dy)(x+y)dzx2+y2+z2+2xy .

R: 1)I = 92 . 2) I = 23 . 3) I = 7. 4) I = pi2 .

11.5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii

11.31 Sa se calculeze, cu ajutorul integralei curbilinii, aria domeniului plan marginitde:

1) Elipsa: x = a cos t, y = b sin t, t [0, 2pi].2) Astroida: x = a cos3 t, y = a sin3 t, t [0, 2pi).3) Cardioida: x = a (2 cos t cos 2t), y = a (2 sin t sin 2t), t [0, 2pi].4) Foliul lui Descartes: x = 3at1+t3 , y =

3at2

1+t3 , t (0,).

R: 1) Deoarece x dy y dx = ab dt, avem A = 12 2pi

0ab dt = piab.

2) Deoarece x dy y dx = 3a4 sin2 2t dt, avem A = 3a2

8

2pi0

sin2 2t dt = 3pia2

8 . 3)A = 6pia2. 4) A = 3a22 .

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Elemente de teoria spatiilor metriceSpatii metriceMultimea numerelor reale

Siruri si seriiSiruri de numere realePrincipiul contractieiSiruri n RpSerii de numere realeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Limite de functiiLimita unei functii reale de o variabila realaLimita unei functii de o variabila vectoriala

Functii continueContinuitatea functiilor reale de o variabila realaContinuitatea uniforma a functiilor de o variabilaContinuitatea functiilor de o variabila vectoriala

Derivate si diferentialeDerivata si diferentiala functiilor de o variabilaProprietati ale functiilor derivabileDerivatele si diferentiala functiilor de n variabile

Functii definite implicitFunctii definite implicit de o ecuatieFunctii definite implicit de un sistem de ecuatiiTransformari punctualeDependenta si independenta functionalaSchimbari de variabile

Extreme pentru functii de mai multe variabilePuncte de extrem pentru functii de mai multe variabileExtreme pentru functii definite implicitExtreme conditionate

Siruri si serii de functiiSiruri de functii realeSerii de functii Serii de puteriSerii Taylor

Elemente de geometrie diferentialaCurbe planeCurbe n spatiuSuprafete

Integrala Riemann si extinderiPrimitive. Integrala nedefinitaIntegrala definitaIntegrale impropriiIntegrale cu parametri

Integrale curbiliniiLungimea unui arc de curbaIntegrale curbilinii de primul tipIntegrale curbilinii de tipul al doileaIndependenta de drum a integralelor curbiliniiCalculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii

Integrale multipleIntegrala dublaAria suprafetelorIntegrala de suprafata de primul tipIntegrale de suprafata de tipul al doileaIntegrala tripla

Ecuatii diferentiale ordinareEcuatii diferentiale de ordinul ntiAlte ecuatii integrabile prin metode elementareEcuatii diferentiale de ordin superiorEcuatii carora li se poate micsora ordinul

Ecuatii si sisteme diferentiale liniareSisteme diferentiale liniare de ordinul ntiSisteme diferentiale liniare cu coeficienti constantiEcuatii diferentiale liniare de ordinul nEcuatii de ordinul n cu coeficienti constantiEcuatia lui Euler