CÂTEVA DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI BISECTOAREI

(clasa a VII-a) Într-un triunghi o bisectoare determină pe latura opusă două segmente proporţionale cu laturile ce formează unghiul.

Soluţia I. Fie CE || AD unde E ∈ [BA T.Th.⇒

BD BADC AE

= (1)

Din AD || CE şi AC secantă ⇒ m( DAC) = m( ACE) = x (alterne

interne) (2), iar din AD || CE şi BE secantă ⇒ m( BAD) = m( BEC)

= x (corespondente) (3). Dar m( BAD) = m( DAC) = x (ip.) (4).

Din (2), (3) şi (4) ⇒ m ACE) = m( ACE) = x ⇒ ¿ACE isoscel ⇒

⇒ [AE] ≡ [AC] (5). Din (1) şi (5) ⇒ BD ABDC AC

= .

Soluţia II. Dacă BE ⊥ AD şi CF ⊥ AD ⇒ BE || CF (sunt perpendi-

culare pe aceeaşi dreaptă T.F.A.⇒ ¿BED ~ ¿CFD ⇒ BD BE

DC CF= (1)

¿ABE ~ ¿ACE (dreptunghice şi au câte un unghi ascuţit cogruent)

⇒ BE ABCF AC

= (2). Din (1) şi (2) ⇒ BD ABDC AC

= .

Soluţia III. Fie DE || AB, E ∈ [AC T.Th.⇒ BD AE

DC EC= (1)

Din DE || AB şi AD secantă ⇒ BAD ≡ ADE (alterne inter-

ne) (2) şi BAD ≡ DAC (din ipoteză) (3) deci DAE ≡

≡ ADE ⇒ ¿ADE isoscel ⇒ [BE] ≡ [AE] (4). Din DE || AB

⇒ ¿EDC ~ ¿ABC ⇒ DE ECAB AC

= ⇔DE ABEC AC

= ⇒BD ABDC AC

= .

Soluţia IV. Fie E intersecţia bisectoarei [AD cu cercul circumscris triunghiului ABC. Rezultă ABEC patrulater inscriptibil deci

m( BAE) = m( BCE) = x = 12⋅m( BE ) (1). Analog m( EAC) =

= m( EBC) = x = 12⋅m( EC ) (2) ⇒ ¿EBC isoscel ⇒ [BE] ≡ [CE]

Din (1) şi D1 ≡ D3 (opuse la vârf) ⇒ ¿ABD ~ ¿CED ⇒

⇒AB BDCE DE

= ⇒ AB DECEBD⋅

= (4). Analog ¿ACD ~ ¿BED ⇒

⇒ AC DCBE DE

= ⇒ AC DEBEDC⋅

= (5). Din (3), (4) şi (5) ⇒ AB DE AC DEBD DC⋅ ⋅

= ⇒

B D C

E

A

x

x

x x

D

x x

A

CD F

E

BD C

E

A

x x

x

× ×

B

E

C

A

D

O

x

1 2 3 4 x

x

x

(3)

2

⇒ AB ACBD DC

= ⇔ BD ABDC AC

= .

Soluţia V. Dacă DE || AC, e ∈ [AB] şi DF || AB, F ∈ [AC] şi din BAD ≡ DAC ⇒ patrulaterul AEDF este romb ⇒

[DE] ≡ [DF] (1). Din DF || AB şi AC secantă ⇒ m( DFC) =

= m( BAC) = 2x (corespondente) (2), iar din DF || AB şi

BC secantă ⇒ ABC ≡ FDC (corespondente) (3) şi

DE || AC, AB secantă ⇒ BED ≡ BAC (corespondente) (4).

Din (2) şi (4) ⇒ BED ≡ DFC (5). Din (3) şi (5) ⇒ ¿BED ~ ¿DFC ⇒

⇒ BD BE DEDC DF FC

= = (6). DF || AB T.F.A.⇒ ¿DFC ~ ¿BAC ⇒ DF FC

AB AC= ⇔ DF AB

FC AC= (7)

Din (1), (6) şi (7) ⇒ BD ABDC AC

= .

Soluţia VI. Fie BF ⊥ AD (1) E ∈ [AD, BF ∩ AC = {F} şi MF || BC, M∈[AD. Din (1) şi [AD bisectoare ⇒ ¿ABF isoscel (o bisectoare este şi înălţime) ⇒ [AF] ≡ [AB] (2) şi [BE] ≡ ≡ [EF] (3). Din MF || BC şi BF secantă ⇒ DBE ≡ MFE (alterne interne) (4). Din (3) şi (4) ⇒ ¿BED ≡ ¿FEM ⇒

⇒ [BD] ≡ [MF] (5). Deoarece MF || BCT.F.A.⇒ ¿AMF ~ ¿ADC

⇒ MF AFDC AC

= cu (2) şi (5) ⇒ BD ABDC AC

= .

Soluţia VII. Fie DE || AB, E ∈ [AC] şi AF || BC, F ∈ [DE] ⇒ ⇒ ABDF paralelogram ⇒ [BD] ≡ [AF] (1). Din DE || AB T.Th.⇒ BD AE

DC EC= (2). Din AF || BC

T.F.A.⇒ ¿AEF ~ ¿CED ⇒

⇒ AE AF EFEC DC ED

= = (3). Din DE || AB T.F.A.⇒ ¿DEC ~ ¿BAC

⇒ DE ECAB AC

= ⇔ DE ABEC AC

= (4). Din (1), (2), (3) şi (4) ⇒ BD ABDC AC

= .

Soluţia VIII. Fie BE || AD şi DE || AC; AB ∩ DE = {F}. Din

DF || AC T.Th.⇒

BD BFDC FA

= (1). Tot din DF || AC T.F.A.⇒ ¿BDF ~

~ ¿ BCA ⇒ DF BFAC AB

= ⇔ AB BFAC FD

= (2).

Dar BAD ≡ DAC şi EDA ≡ DAC (alterne interne) ⇒

⇒ FAD ≡ FDA ⇒ ¿FAD – isoscel ⇒ [FA] ≡ [FD] (3). Din (1) (2) şi (3) ⇒

⇒ BD ABDC AC

= .

2xBD C

F

A

x x

x x 2x E

BD C

F

A

x x

\ E M

≡ ≡

||

|| \

BD C

E

A

x x

2x

F 2x

BD C

F

A

x x

x

E =

=

3

Soluţia IX. Construim trapezul isoscel ABCF cu AF || BC, [CF] ≡ [AB] (1). Fie E ∈ [AC] astfel încât [AE] ≡ [AB] (2). În ¿ABD respectiv ¿AED avem: [AB] ≡ [AE] (3); BAD ≡

≡ DAE (ipoteză) [AD] latură comună ⇒ ¿ABD ≡ ¿AED ⇒

⇒ [BD] ≡ [DE] (4) şi ABD ≡ AED (5). Cum ABCF

trapez ⇒ ACB ≡ FAC (alterne interne) (6) şi DEC ≡ AFC (au acelaşi suplement) (7)

⇒ ¿DEC ~ ¿CFA ⇒ DE DCFC AC

= ⇔ DE FCDC AC

= (1) şi (4)⇒ BD AB

DC AC= .

Soluţia X. Folosind faptul că orice punct de pe bisectoarea unui unghi este la egală distanţă de laturile unghiului, construim DE ⊥ AB, DF ⊥ AC ⇒[DE] ≡ [DF] (1) (E∈[AB], F∈[AC]).

Avem 12ABD AB DE∆ = ⋅A (2) şi 1

2ADC AC DF∆ = ⋅A (3).

Calculând raportul ariilor ⇒ ABD

ADC

ABAC

∆

∆

=AA

(4). Şi dacă

ducem AM ⊥ BC (M∈BC) ⇒

1212

ABD

ADC

BD AM BDDCDC AM

∆

∆

⋅= =

⋅

AA

(5). Din (4) şi (5) ⇒ BD ABDC AC

= .

Soluţia XI. Dacă E ∈ [AD astfel încât [BE] ≡ [BD] (1) ⇒ ⇒ ¿BDE isoscel ⇒ m( BED) = m( BDE) = y ⇒

⇒ m( AEB) = m( ADC) = 180° − y şi cum m( BAD) =

= m( DAC) = x ⇒¿AEB~¿ADC ⇒ BE ABDC AC

= ⇔BD ABDC AC

= .

Soluţia XII. Fie E ∈ [AD astfel încât [AB] ≡ [BE] (1) ⇒ ⇒ ¿BAE isoscel, deci m( BAE) = m( BEA) = x. Dar

m( BEA) = m EAC) = x (şi având poziţia de alterne interne)

⇒ BE || AC T.F.A.⇒ ¿BDE ~ ¿CDA ⇒ BD BE

DC AC= şi (1) ⇒

⇒ BD ABDC AC

= .

− „ − „ − „ − Prof. Roşu Ion

Şcoala Dobrogostea, com. Merişani jud. Argeş

BD CE

A

x x

y

F

= = =

y

BD

C

F

A

x x

E

M

BD

C

A

x x

E

/ y y

\

BD

C

A

x x

E

− x

−