Post on 02-Apr-2015
1. ELEMENTE DE TEORIA
PROBABILITĂŢILOR
1.1. Evenimente
Definiţie 1.1.1. Realizarea practică a unui
ansamblu de condiţii bine precizat poartă numele de
experienţă sau probă.
Definiţie 1.1.2. Prin eveniment vom înţelege
orice rezultat al unei experienţe despre care putem spune
că s-a realizat sau că nu s-a realizat, după efectuarea
experimentului considerat. Evenimentele se pot clasifica
în: evenimente sigure; evenimente imposibile,
evenimente aleatoare.
Definiţie 1.1.3. Evenimentul sigur este
evenimentul care se produce în mod obligatoriu la
efectuarea unei probe şi se notează cu E.
Definiţie 1.1.4. Evenimentul imposibil este
evenimentul care în mod obligatoriu nu se produce la
efectuarea unei probe şi se notează cu .
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.1.5. Evenimentul aleator este
evenimentul care poate sau nu să se realizeze la
efectuarea unei probe şi se notează prin litere mari A, B,
C, …, sau prin litere mari urmate de indici Ai, Bi,….
Definiţie 1.1.6. Evenimentul contrar
evenimentului A se notează Ā şi este evenimentul ce se
realizează numai atunci când nu se realizează
evenimentul A.
Definiţie 1.1.7. Un eveniment se numeşte:
1) elementar dacă se realizează ca rezultat al
unei singure probe; se notează cu e.
2) compus dacă acesta apare cu două sau mai
multe rezultate ale probei considerate.
Definiţie 1.1.8. Mulţimea tuturor evenimentelor
elementare generate de un experiment aleator se numeşte
spaţiul evenimentelor elementare şi se notează cu E. E
poate fi finit sau infinit.
Observaţie 1.1.9. O analogie între evenimente
şi mulţimi permite o scriere şi în general o exprimare mai
comode ale unor idei şi rezultate legate de conceptul de
6
Elemente de teoria probabilităţilor
eveniment. Astfel, vom înţelege evenimentul sigur ca
mulţime a tuturor evenimentelor elementare, adică:
şi orice eveniment compus ca o
submulţime a lui E. De asemenea, putem vorbi despre
mulţimea tuturor părţilor lui E pe care o notăm prin P(E),
astfel că pentru un eveniment compus A putem scrie, în
contextul analogiei dintre evenimente şi mulţimi, că
sau .
Exemplul 1.1.10. Fie un zar, care are cele şase
feţe marcate prin puncte de la 1 la 6. Se aruncă zarul pe o
suprafaţă plană netedă. Dacă notăm cu ei = evenimentul
"apariţia feţei cu i puncte", , atunci spaţiul
evenimentelor elementare ataşat experimentului cu un zar
este dat prin E={e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 }.
Evenimentul sigur E este "apariţia feţei cu un
număr de puncte 6".
Evenimentul imposibil este "apariţia feţei cu 7
puncte".
1.2. Relaţii între evenimente
7
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.2.1. Spunem că evenimentul A
implică evenimentul B şi scriem , dacă realizarea
evenimentului A atrage după sine şi realizarea
evenimentului B.
Observaţie 1.2.2. şi rezultă
- proprietatea de tranzitivitate a relaţiei de implicare.
Dacă A, B, C sunt evenimente aleatoare asociate
unei experienţe, au loc relaţiile:
i)
ii)
iii)
Definiţie 1.2.3. Spunem că evenimentele A şi B
sunt echivalente (egale) dacă avem simultan şi
.
Definiţie 1.2.4. Prin reunirea evenimentelor A şi
B vom înţelege evenimentul notat care se
realizează odată cu realizarea a cel puţin unuia dintre
evenimentele A şi B.
Observaţie 1.2.5. Dacă notăm prin K mulţimea
evenimentelor asociate unui experiment aleator avem:
8
Elemente de teoria probabilităţilor
1.
(comutativitatea);
2.
(asociativitatea);
3. Dacă şi (evident
, , şi ).
Definiţie 1.2.6. Prin intersecţia evenimentelor A
şi B vom înţelege evenimentul notat care se
realizează dacă ambele evenimente se realizează.
Observaţie 1.2.7. Au loc relaţiile următoare:
1.
(comutativitatea)
2.
(asociativitatea)
3. Dacă şi atunci
(evident , , şi ).
4. .
Definiţie 1.2.8. Spunem că evenimentele A şi B
sunt incompatibile dacă , adică realizarea lor
simultană este imposibilă, şi spunem că sunt compatibile
9
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
dacă , adică este posibilă realizarea lor
simultană. Evenimentele A şi B sunt contrare unul altuia
dacă şi , adică realizarea unuia constă
din nerealizarea celuilalt.
Definiţie 1.2.9. Se numeşte diferenţa
evenimentelor A şi B, evenimentul notat A-B care se
realizează atunci când se realizează evenimentul A şi nu
se realizează evenimentul B.
Observaţie 1.2.10. Evident avem
şi .
Au loc relaţiile lui De Morgan: şi
şi respectiv generalizările
; .
Teorema 1.2.11. Dacă evenimentele A, B, C, D
K, atunci sunt adevărate următoarele afirmaţii:
i) A – B = A – (A B)
ii) A – B = (A B) – B
iii) A = (A – B) (A B)
iv) (A – B) (B – A) =
v) A B = A [B - (A B)]
10
Elemente de teoria probabilităţilor
vi) A (B – C) = (A B) - (A C)
vii) (A – B) (C – D) = (A C) – (B
D)
Definiţie 1.2.12. Evenimentele A şi B sunt
dependente dacă realizarea unuia depinde de realizarea
celuilalt şi sunt independente dacă realizarea unuia nu
depinde de realizarea celuilalt.
O mulţime de evenimente sunt independente în
totalitatea lor dacă sunt independente câte două, câte trei
etc.
Pentru evenimentele independente în totalitatea
lor vom folosi şi denumirea de evenimente independente.
Dacă sunt evenimentele elementare
corespunzătoare unei experienţe atunci mulţimea
poartă numele de eveniment total (este
echivalentă cu evenimentul sigur).
1.3. Câmp de evenimente
11
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.3.1. O mulţime K de evenimente
formează un câmp de evenimente dacă satisface
axiomele:
i)
ii) şi .
Observaţie 1.3.2.
1. Notăm câmpul de evenimente [E,K].
2. Evident şi .
3. Dacă atunci .
4. Dacă într-o probă mulţimea evenimentelor
este infinită atunci câmpul de evenimente corespunzător
[E,K] are proprietatea:
şi
Definiţie 1.3.3. Într-un câmp de evenimente
[E,K], evenimentele , , formează un sistem
complet de evenimente (sau o partiţie a câmpului) dacă:
i)
ii)
12
Elemente de teoria probabilităţilor
Observaţie 1.3.4. Evenimentele elementare ,
corespunzătoare unei probe formează un sistem
complet de evenimente care se mai numeşte sistem
complet elementar.
Propoziţie 1.3.5. Dacă atunci
câmpul de evenimente corespunzător conţine 2n
evenimente.
Demonstraţie:
Pentru un experiment de n rezultate elementare
şi prin urmare pentru un eveniment sigur E compus din n
evenimente elementare, vom avea diverse evenimente
compuse din acestea după cum urmează:
– evenimente compuse din câte zero
evenimente elementare
– evenimente compuse din câte un eveniment
elementar
– evenimente compuse din câte două
evenimente elementare
– - - - - - - - - - - - - - - - -
13
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
– evenimente compuse din câte k evenimente
elementare
– evenimente compuse din câte n evenimente
elementare
şi prin urmare, numărul total de evenimente ale lui K este
egal cu
1.4. Câmp de probabilitate
Definiţia axiomatică a probabilităţii 1.4.1. Fie
[E,K] un câmp de evenimente. Se numeşte probabilitate
pe mulţimea K o funcţie care satisface
axiomele:
i)
ii) P(E)=1
iii) A, B şi
.
Definiţie 1.4.2. Se numeşte câmp de
probabilitate tripletul {E, K, P} unde E este evenimentul
total, K=P(E) iar P o probabilitate pe K.
14
Elemente de teoria probabilităţilor
Observaţie 1.4.3. În cazul în care câmpul de
evenimente [E,K] este infinit (K este infinită)
probabilitatea P definită pe K satisface axiomele:
i)
ii) P(E)=1
iii) dacă
I-o mulţime de indici cel mult
numărabilă.
Propoziţie 1.4.4. Au loc relaţiile:
1.
2.
3. dacă
Demonstraţie:
1) Din relaţiile E = E şi E = aplicând
axioma iii) din definiţia probabilităţii avem P(E) = P(
E) = P() + P(E) şi rezultă P() = 0
2) Din relaţiile şi aplicând
axioma iii) din definiţia probabilităţii avem
15
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
adică şi
rezultă
3) Demonstrăm prin inducţie matematică
Pentru n = 2 P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) relaţia
este adevărată conform axiomei iii) din definiţia
probabilităţii.
Presupunem relaţia adevărată pentru n – 1
evenimente, adică
şi demonstrăm pentru n
evenimente
dacă s-a folosit ipoteza de inducţie şi s-a ţinut seama că
Definiţia clasică a probabilităţii 1.4.5.
Probabilitatea unui eveniment A este egală cu raportul
dintre numărul evenimentelor egal probabile favorabile
evenimentului A şi numărul total al evenimentelor egal
probabile.
16
Elemente de teoria probabilităţilor
Altă formulare: probabilitatea unui eveniment
este raportul între numărul cazurilor favorabile
evenimentului şi numărul cazurilor posibile.
Observaţie 1.4.6.
1) Conform acestei definiţii nu putem stabili
probabilitatea unui eveniment ce aparţine unui câmp
infinit de evenimente.
2) Definiţia clasică se aplică numai atunci când
evenimentele elementare sunt egal posibile.
Exemplul 1.4.7. Considerăm experienţa de
aruncare a unui zar. Evenimentele elementare sunt egal
posibile şi avem 6 cazuri posibile. Notăm cu A
evenimentul "apariţia unei feţe cu număr par de puncte
" numărul cazurilor favorabile evenimentului A este 3.
Deci .
Exemplul 1.4.8. Dintr-o urnă cu 15 bile
numerotate de la 1 la 15 se extrage o bilă la întâmplare.
Se consideră evenimentele:
A = obţinerea unui număr prim;
B = obţinerea unui număr par;
17
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
C =obţinerea unui număr divizibil prin
3.
Să calculăm probabilităţile acestor evenimente.
Rezolvare:
În această experienţă aleatoare numărul total al
cazurilor posibile este 15.
Pentru A numărul cazurilor favorabile este 6,
adică {2, 3, 5, 7, 11, 13}, deci .
Pentru B numărul cazurilor favorabile este 7,
adică {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, deci .
Pentru C, numărul cazurilor favorabile este 5,
adică { 3, 6, 9, 12, 15}, deci .
1.5. Reguli de calcul cu probabilităţi
P1) Probabilitatea diferenţei: Dacă şi
atunci
P(B-A)=P(B)-P(A)
Demonstraţie:
18
Elemente de teoria probabilităţilor
Din relaţiile B = A (B - A) şi A (B - A) =
aplicând axioma iii) avem
P2) Probabilitatea reunirii (formula lui
Poincaré):
Dacă atunci
.
Demonstraţie:
Din relaţiile şi
aplicând axioma iii) avem
dacă s-a folosit P1.
Generalizare:
Dacă A1,A2,…An sunt evenimente compatibile
atunci
19
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
P3) Probabilităţi condiţionate: Dacă
atunci raportul îl numim probabilitatea lui A
condiţionată de B şi notăm PB(A) sau .
Demonstraţie:
Arătăm că satisface axiomele
probabilităţii:
i) deoarece şi
ii)
iii) Fie A1 şi A2 K şi . Avem
, dacă .
Observaţie 1.5.1.
1) Oricărui câmp de evenimente [E,K] îi putem
ataşa un câmp de probabilitate condiţionat {E, K, PB}.
20
Elemente de teoria probabilităţilor
2) - formula de calcul a
intersecţiei a două evenimente dependente. Are loc o
generalizare: dacă A1, A2, …An sunt evenimente
dependente atunci
3) Dacă evenimentele A şi B sunt independente
atunci PB(A)=P(A) şi - formula
de calcul a intersecţiei a două evenimente independente.
Generalizare:
Dacă A1, A2, …An sunt evenimente
independente atunci .
4) Dacă evenimentele A şi B se condiţionează
reciproc şi atunci
.
P4) Probabilitatea reunirii evenimentelor
independente. Dacă A1, A2, …An sunt evenimente
independente, atunci:
21
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Demonstraţie:
Folosind relaţiile lui De Morgan
şi faptul că Ai sunt evenimente
independente implică
P5) Inegalitatea lui Boole: A1, A2, …An, sunt
evenimente dependente atunci
Demonstraţie:
Verificăm inegalitatea din enunţ prin inducţie
matematică.
Pentru n = 2 avem
dacă
şi rezultă
relaţia este adevărată.
22
Elemente de teoria probabilităţilor
Presupunem inegalitatea adevărată pentru n-1
adică
şi
demonstrăm pentru n.
Avem succesiv
dacă s-a ţinut seama de ipoteza de inducţie.
P6) Formula probabilităţii totale: Dacă A1¸A2, …
An este un sistem complet de evenimente [E, K] şi X
atunci P(X)=
Demonstraţie:
Din ipoteza că Ai, este un sistem complet
de evenimente rezultă că
Deoarece avem că
23
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Avem succesiv
P7) Formula lui Bayes: Dacă A1, A2, …An este
un sistem complet de evenimente al câmpului [E, K] şi
atunci:
PX(Ai)= ,
Demonstraţie:
Deoarece şi
avem
, deci
dacă s-a
folosit formula probabilităţii totale.
24
Elemente de teoria probabilităţilor
Exemplul 1.5.2. Cele 26 de litere ale
alfabetului, scrise fiecare pe un cartonaş, sunt introduse
într-o urnă. Se cere probabilitatea ca extrăgând la
întâmplare de 5 ori câte un cartonaş şi aşezându-le în
ordinea extragerii să obţinem cuvântul LUCIA.
Rezolvare:
Notăm prin X evenimentul căutat, deci de a
obţine prin extrageri succesive cuvântul LUCIA, de
asemenea notăm prin A1 = evenimentul ca la prima
extragere să obţinem litera L; A2 = evenimentul ca la a
doua extragere să obţinem litera U; A3 = evenimentul ca
la a treia extragere să obţinem litera C; A4 = evenimentul
ca la a patra extragere să obţinem litera I; A5 =
evenimentul ca la a cincea extragere să obţinem litera A.
Atunci evenimentul X are loc dacă avem
.
Rezultă:
Exemplul 1.5.3. Dacă probabilitatea ca un
automobil să plece în cursă într-o dimineaţă friguroasă
25
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
este de 0,6 şi dispunem de două automobile de acest fel,
care este probabilitatea ca cel puţin unul din automobile
să plece în cursă într-o dimineaţă friguroasă?
Rezolvare:
Dacă notăm prin A1 şi A2 evenimentele ca
primul respectiv, al doilea automobil să plece în cursă şi
prin X evenimentul căutat, deci ca cel puţin unul dintre
automobile să plece în cursă, avem: , iar
),
deoarece evenimentele şi sunt compatibile (cele
două automobile pot să plece în cursă deodată). Cum P(
) = P( ) = 0,6, iar evenimentele şi sunt
independente între ele (plecarea unui automobil nu
depinde de plecarea sau neplecarea celuilalt), deci P(
) = P( = . Se obţine că P(X) = 0,6
+ 0,6 - = 0,84.
Exemplul 1.5.4. Trei secţii ale unei întreprinderi
depăşesc planul zilnic de producţie cu
26
Elemente de teoria probabilităţilor
probabilităţile de respectiv 0,7; 0,8 şi 0,6. Să se calculeze
probabilităţile evenimentelor:
A - cel puţin o secţie să depăşească planul
de producţie.
B - toate secţiile să depăşească planul de
producţie.
Rezolvare:
Fie evenimentul ca secţia să depăşească
planul de producţie.
Avem: A = , deci
P(A) = P =
= 1- (1-0,7)(1-0,8)(1-0,6) =
.
B = şi ţinând seama de independenţa
evenimentelor, avem:
P(B) =
.
Exemplul 1.5.5. O presă este considerată că
satisface standardul de fabricaţie dacă trei caracteristici
27
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
sunt satisfăcute. Dacă aceste caracteristici A, B şi C sunt
satisfăcute cu probabilităţile P(A) = , P(B) = şi
P(C) = , atunci probabilitatea ca să fie satisfăcute toate
trei caracteristicile se poate evalua cu formula lui Boole.
Astfel se poate scrie:
P( adică P(
.
Exemplul 1.5.6. Un sortiment de marfă dintr-o
unitate comercială provine de la trei fabrici diferite în
proporţii, respectiv de la prima fabrică, de la a doua
fabrică şi restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele
trei fabrici satisfac standardele de fabricaţie în proporţie
de 90%, 95% şi respectiv 92%. Un client ia la întâmplare
o bucată din sortimentul de marfă respectiv.
a) Care este probabilitatea ca produsul să
satisfacă standardele de fabricaţie?
28
Elemente de teoria probabilităţilor
b) Care este probabilitatea ca produsul să fie
defect şi să provină de la prima fabrică?
Rezolvare:
a) Notăm cu şi evenimentele ca
produsul cumpărat să fie de la prima, a doua, respectiv a
treia fabrică. Aceste trei evenimente formează un sistem
complet de evenimente şi au probabilităţile P(
şi . Dacă A este
evenimentul că produsul cumpărat de client satisface
standardele de fabricaţie, atunci P(A P(
şi P( . Folosind formula
probabilităţii totale se obţine:
b) Folosind formula lui Bayes, avem:
P(
29
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
=
1.6. Scheme clasice de probabilitate
Sub această denumire se pot întâlni câteva
experimente-model care conduc la calculul rapid al
probabilităţilor unor evenimente care se produc sau apar
în condiţii analoage celor ce definesc experimentele-
model. Cu alte cuvinte, pot fi calculate anumite
probabilităţi pe baza unor formule sau scheme de calcul,
indiferent de natura experimentului considerat, fără a mai
recurge de fiecare dată la procedeele greoaie sugerate de
formula dată de definiţia clasică.
Schema lui Bernoulli cu bila întoarsă
(binomială) 1.6.1.
Se aplică în cazul în care se fac repetări
independente ale unui experiment şi la fiecare repetare se
are în vedere apariţia unui eveniment bine precizat. Se
30
Elemente de teoria probabilităţilor
cere determinarea probabilităţii ca din n repetări ale
experimentului, evenimentul considerat să apară de k ori.
Modelul probabilistic se realizează printr-o urnă
ce conţine bile de două culori (albe şi negre). Se extrag
bile din urnă una câte una, fiecare bilă se reintroduce în
urnă după constatarea culorii. Se cere determinarea
probabilităţii ca din n bile extrase, k să fie de culoare
albă.
Fie evenimentul ca la extragerea de rang i să
se obţină o bilă albă şi evenimentul ca la extragerea de
rang i să se obţină o bilă neagră. Dacă în urnă se află N
bile, din care a = bile albe şi b = bile negre, avem p =
P( şi P( , evident p+q=1. Notăm cu
evenimentul ca după n extrageri să obţinem de k
ori bilă albă şi apoi de n-k ori bilă neagră, avem:
P(
.
31
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Dacă X este evenimentul ca din cele n bile
extrase exact k să fie albe, avem: P(X) =
.
Această probabilitate se mai notează P(n,k) =
, p+q=1.
Observaţie 1.6.2.
1) Dacă se consideră formula binomului lui
Newton:
, deci P(n,k)
este coeficientul lui din dezvoltarea binomială
, de aici şi denumirea de schema binomială.
2)
Schema multinomială 1.6.3.
Este o generalizare a schemei binomiale. Fie o
urnă ce conţine N bile de s culori, şi numărul
bilelor de culoare , i = , iar . Se fac n
32
Elemente de teoria probabilităţilor
extrageri succesive cu revenirea bilei în urnă. Fie X
evenimentul ca în cele n extrageri să obţinem bile de
culoare . Se cere P(X) = .
Notăm evenimentul ca la o extragere să obţinem bila
de culoare , atunci:
,
unde
Schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă
(hipergeometrică) 1.6.4.
Se consideră o urnă care conţine bile de două
culori: a bile albe şi b bile negre. Se extrag bile din urnă,
una câte una, fără întoarcerea bilelor extrase înapoi în
urnă. Se cere să se determine probabilitatea ca din n bile
extrase k să fie de culoare albă şi n-k de culoare neagră.
Există posibilităţi de a lua n bile din totalul
de a+b bile câte sunt în urnă la început. Numărul
posibilităţilor de a lua k bile albe din cele a existente la
33
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
început în urnă este , iar pentru a lua n-k bile negre din
cele b bile negre ce se află în urnă la început este ,
deci P(n,k) = , unde şi .
Generalizare:
În urnă se află bile de r culori, adică bile de
culoarea 1, bile de culoarea 2 etc. bile de culoarea r
şi se extrag n bile fără întoarcerea bilei extrase în urnă.
Se cere probabilitatea P(n; ca din cele n bile
extrase să se obţină bile de culoarea 1, bile de
culoarea 2 etc. Avem:
, cu
Schema lui Poisson 1.6.5.
Se aplică în cazul în care se fac repetări
independente ale unui experiment şi la fiecare repetare se
are în vedere un anumit eveniment, eveniment ce apare,
în general, cu probabilităţi diferite la repetări de rang
34
Elemente de teoria probabilităţilor
diferit. Se cere să se determine probabilitatea ca din n
repetări ale experimentului, evenimentul considerat să
apară de k ori.
Modelul probabilistic se obţine cu ajutorul unui
sistem de n urne care conţin bile de două culori, albe şi
negre, în proporţii diferite, în general. Se ia câte o bilă
din fiecare urnă şi se cere probabilitatea P(n,k) de a
obţine k bile albe din cele n extrase.
Notăm cu probabilitatea de a extrage bilă albă
din urna de rang i şi cu probabilitatea de a extrage bilă
neagră din urna de rang i, unde
Avem că P(n,k) este coeficientul lui din dezvoltarea
polinomului: .
Schema lui Pascal (binomială cu exponent
negativ) 1.6.6.
Se aplică în cazul în care se fac repetări
independente ale unui experiment şi la fiecare repetare
evenimentul considerat apare cu aceeaşi probabilitate.
Vrem să determinăm probabilitatea ca până la cea de-a n-
35
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
a apariţie a evenimentului considerat să se fi realizat
contrarul evenimentului considerat de k ori.
Modelul probabilistic se realizează printr-o urnă
cu bile de două culori, albe şi negre. Se extrag bile din
urnă cu întoarcerea bilei extrase după ce s-a notat
culoarea ei. Vom spune că avem "succes", dacă s-a
obţinut bila albă şi "insucces", dacă s-a obţinut bila
neagră. La fiecare repetare, "succes" apare cu
probabilitatea p şi "insucces" apare cu probabilitatea q=1-
p. Vrem să determinăm probabilitatea P(n,k) ca la
apariţia celui de-al n-lea "succes" să se fi obţinut k
"insuccese". Notăm evenimentul că la apariţia celui
de-al n-lea "succes" s-au obţinut k "insuccese". Atunci
, unde = evenimentul ca în
primele n+k-1 repetări să se obţină n-1 "succese" şi k
"insuccese", iar = evenimentul ca la repetarea de
rang n+k să avem "succes". Avem P(
, dar P( iar P(
se calculează conform schemei binomiale, adică
36
Elemente de teoria probabilităţilor
. Rezultă că: P(n,k) =
.
Observaţie 1.6.7.
1) Din proprietatea de complementaritate a
combinărilor, avem: .
2) P(n,k) se obţine ca şi coeficientul lui din
dezvoltarea lui
, deci seria binomială; de aici şi denumirea de schema
binomială cu exponent negativ.
3) Dacă n=1, adică dacă se cere probabilitatea ca
la apariţia primului "succes" să se fi produs k
"insuccese", avem P(1,k) = . În acest caz particular,
se obţine schema geometrică, deoarece P(1,k) este
coeficientul lui
din seria geometrică, adică
37
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Exemplul 1.6.8. O unitate hotelieră se consideră
că este normal ocupată dacă cel puţin 80% din
capacitatea sa este utilizată. Dintr-un studiu statistic s-a
obţinut că probabilitatea ca hotelul să fie normal ocupat
într-o zi este p = . Vrem să calculăm probabilitatea ca
unitatea hotelieră să fie normal ocupată în cinci zile din
cele şapte zile ale unei săptămâni.
Rezolvare:
Calculul acestei probabilităţi se face cu schema
lui Bernoulli cu bila întoarsă, unde n=7, k=5; p= şi q =
1-p = . Astfel se obţine că:
P(7,5) =
Exemplul 1.6.9. Piesele produse de o maşină
sunt supuse la două teste independente. Probabilităţile ca
o piesă să treacă aceste teste sunt respectiv şi . Să se
calculeze probabilitatea ca din 5 piese luate la întâmplare,
38
Elemente de teoria probabilităţilor
2 să treacă ambele teste, 1 numai primul test, 1 numai al
doilea test, iar una să nu treacă nici un test.
Rezolvare:
Această probabilitate se calculează cu schema
multinomială, unde n=5, s=4, , iar
întrucât testele sunt independente, avem că:
Astfel, putem scrie: P(5; 2,1,1,1) =
.
Exemplul 1.6.10. Într-un lot de 50 de piese, 10
sunt defecte. Se iau la întâmplare 5 piese. Vrem să
calculăm probabilitatea ca trei piese din cele cinci să nu
fie defecte.
Rezolvare:
Această probabilitate se calculează cu schema
lui Bernoulli cu bila neîntoarsă, unde a+b=50; a=40,
b=10, n=5 şi k=3. Avem P(5;3) = .
39
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Exemplul 1.6.11. Patru trăgători trag asupra
unei ţinte. Primul atinge ţinta cu probabilitatea , al
doilea cu probabilitatea , al treilea cu probabilitatea ,
iar al patrulea cu probabilitatea . Care este
probabilitatea ca ţinta să fie atinsă exact de 3 ori?
Rezolvare:
Evenimentele = trăgătorul "i" atinge ţinta; i =
1,2,3,4 sunt independente şi:
.
Probabilitatea ca din aceste patru evenimente să se
realizeze trei şi unul nu, este coeficientul lui din
dezvoltarea polinomului: Q(x) =
, adică:
40
Elemente de teoria probabilităţilor
Exemplul 1.6.12. Doi jucători sunt angrenaţi
într-un joc format din mai multe partide. Primul jucător
câştigă o partidă cu probabilitatea p = şi o pierde cu
probabilitatea q = 1-p = . Să se calculeze probabilitatea
că:
a) prima partidă câştigată de primul jucător să se
producă după cinci partide pierdute;
b) a treia partidă câştigată de primul jucător să
se producă după un total de şase partide pierdute.
Rezolvare:
a) Se aplică schema geometrică. Prin urmare,
probabilitatea cerută este dată de P(1,5) = p =
.
b) Se utilizează schema lui Pascal, unde n=3,
k=6, p= , q= . Astfel, probabilitatea cerută este:
41
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
P(3,6) =
Exemplul 1.6.13. Într-o cutie sunt 12 bile
marcate cu 1; 8 sunt marcate cu 3 şi şase sunt marcate cu
5. O persoană extrage la întâmplare din cutie 4 bile. Să se
calculeze probabilitatea ca suma obţinută să fie cel mult
13.
Rezolvare:
Dacă notăm cu A evenimentul ca suma obţinută
de cele patru bile să fie cel mult 13, atunci evenimentul
contrar este evenimentul ca suma să fie cel puţin 14.
Se vede că suma maximă ce se poate obţine este =
20.
De asemenea, avem că
Alte posibilităţi de a obţine suma cel puţin 14
din patru bile nu există. Aşadar, pentru a obţine suma 14,
trebuie luate două bile marcate cu 5 din cele şase
existente, una marcată cu 3 din cele opt şi una marcată cu
1 din cele 12, respectiv una marcată cu 5 şi 3 marcate cu
3.
42
Elemente de teoria probabilităţilor
Folosind schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă
cu 3 stări se obţine că:
.
Analog, avem că:
;
.
Avem că:
P( ) = , de unde
P(A) = 1-P( = 1- = .
1.7. Variabile aleatoare discrete
43
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
În ciuda faptului că după repetarea unui
experiment de un număr mare de ori intervine o anumită
regularitate în privinţa apariţiei unor rezultate ale
acestuia, nu se poate preciza niciodată cu certitudine care
anume dintre rezultate va apare într-o anumită probă. Din
acest motiv cuvântul sau conceptul „aleator” trebuie
înţeles sau gândit în sensul că avem de-a face cu
experimente sau fenomene care sunt guvernate de legi
statistice (atunci când există un anumit grad de
incertitudine privind apariţia unui rezultat sau reapariţia
lui) şi nu de legi deterministe (când ştim cu certitudine ce
rezultat va apare sau nu). Pentru ca astfel de experimente
sau fenomene să fie cunoscute şi prin urmare studiate,
sunt importante şi necesare două lucruri şi anume:
1. rezultatele posibile ale experimentului,
care pot constitui o mulţime finită, infinită
sau numărabilă sau infinită şi nenumărabilă;
2. legea statistică sau probabilităţile cu care
este posibilă apariţia rezultatelor
experimentului considerat.
44
Elemente de teoria probabilităţilor
În linii mari şi într-un înţeles mai larg, o mărime
care ia valori la întâmplare sau aleatoriu dintr-o mulţime
oarecare posibilă se numeşte variabilă aleatoare (sau
întâmplătoare). Se poate da şi o definiţie riguroasă.
Definiţie 1.7.1. Fie câmpul de probabilitate {E,
K, P}. Numim variabilă aleatoare de tip discret o
aplicaţie X:ER care verifică condiţiile:
i) are o mulţime cel mult numărabilă de valori;
ii)
Observaţii 1.7.2.
1) Dacă K=P(E) atunci ii) este automat
îndeplinită;
2) Dacă o variabilă ia un număr finit de valori
vom spune că este variabilă aleatoare simplă.
Definiţie 1.7.3. Numim distribuţia sau repartiţia
variabilei aleatoare X de tip discret, tabloul
unde xi, sunt valorile pe care le ia
X iar pi este probabilitatea cu care X ia valoarea x i adică
pi = P(X = xi ), mulţimea I putând fi finită sau cel
mult numărabilă.
45
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Observaţii 1.7.4.
1) Evenimentele (X = xi ) formează un sistem
complet de evenimente şi .
2) Se obişnuieşte ca valorile variabilei să se
noteze în ordine crescătoare adică
3) Variabila aleatoare pentru care mulţimea
valorilor este un interval finit sau infinit pe axa
numerelor reale este variabilă aleatoare continuă.
4) Forma cea mai generală a unei variabile
aleatoare aparţinând unei clase de variabile aleatoare de
tip discret se numeşte lege de probabilitate discretă.
Definiţie 1.7.5. Spunem că variabilele aleatoare
X şi Y care au respectiv distribuţiile şi
sunt independente dacă
P(X = xi , Y = yj) = P(X = xi ) P(Y = yj),
Definiţie 1.7.6. Fie variabilele aleatoare X, Y
care au respectiv distribuţiile şi
46
Elemente de teoria probabilităţilor
atunci variabila aleatoare sumă X+Y,
produs şi cât (dacă ) vor avea
distribuţiile
, unde
pij = P(X = xi, Y = yj) (i,j)
Definiţie 1.7.7. Se numeşte
a) produs al variabilei aleatoare X cu
constanta a variabila aleatoare
b) putere a variabilei aleatoare X de
exponent k, k Z , variabila aleatoare
cu condiţia ca operaţiile ,
, să aibă sens.
Observaţie 1.7.8. Au loc relaţiile
şi
47
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Dacă variabilele X,Y sunt independente atunci
Definiţie 1.7.9. Numim funcţie de repartiţie
ataşată variabilei aleatoare X funcţia F:RR, definită
prin F(x)=P(X<x), adică F(x)= .
Proprietăţi ale funcţiei de repartiţie 1.7.10.
1.
2. avem:
Demonstraţie:
Avem succesiv
dacă s-a ţinut seama de relaţia şi s-a
folosit probabilitatea diferenţei.
48
Elemente de teoria probabilităţilor
dacă s-a folosit relaţia demonstrată anterior.
3.
Demonstraţie:
4.
Demonstraţie:
5. (F este continuă la
stânga)
Exemplul 1.7.11. Se consideră variabila
aleatoare discretă . Care este
probabilitatea ca X să ia o valoare mai mică sau egală cu
3?
49
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Rezolvare:
Pentru ca X să fie o variabilă aleatoare trebuie
ca şi . Se obţine soluţia
acceptabilă Se calculează probabilitatea cerută
prin intermediul evenimentului contrar şi anume
sau
.
Exemplul 1.7.12. Se dau variabilele aleatoare
independente:
; .
a) Să se scrie distribuţia variabilei 2XY.
b) Pentru ce valori ale lui c avem:
Rezolvare:
50
Elemente de teoria probabilităţilor
Pentru ca X şi Y să fie variabile aleatoare se
impun condiţiile:
şi apoi :
, rezultă valorile acceptabile
şi q = 0. Deci variabilele aleatoare au repartiţiile:
; . Avem :
a)
b) , deci P(X + Y
= c)> corespunde situaţiei P(X + Y = 0) = adică c
= 0.
Exemplul 1.7.13. Variabila aleatoare X cu
distribuţia următoare:
51
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
, are funcţia de repartiţie:
Graficul funcţiei de repartiţie este:
1.8. Vector aleator bidimensional de tip
discret
Definiţie 1.8.1. Fie câmpul de probabilitate
{E,K,P}. Spunem că U=(X,Y) este vector aleator
52
F(x)
x211/2
1
2/3
1/6
YX
Elemente de teoria probabilităţilor
bidimensional de tip discret dacă aplicaţia U:E
verifică condiţiile:
i) are o mulţime cel mult numărabilă de valori;
ii) .
Definiţie 1.8.2. Numim distribuţia sau repartiţia
vectorului aleator (X,Y) de tip discret tabloul:
unde
(
sunt
valori
le pe
care
le ia
vecto
rul
aleat
or
53
y1……………yj……………
p11……………p1j……………
pi1……………pij……………
………………………………
x1
xi
….
……
……
...
…..
.
…..
.
……
…
……
…
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
(X,Y)
, iar
).
Definiţie 1.8.3. Numim funcţie de repartiţie
ataşată vectorului aleator bidimensional funcţia F: ,
definită prin:
F(x,y) = P(X<x, Y<y), .
Proprietăţile funcţiei de repartiţie a unui
vector aleator bidimensional de tip discret 1.8.4.
1. .
2. dacă a<b şi c<d, atunci
.
3. F(x,y) este nedescrescătoare în raport cu
fiecare argument.
54
Elemente de teoria probabilităţilor
4.
.
5. F(x,y) este continuă la stânga în raport cu
fiecare argument.
Observaţie 1.8.5. Dacă (X,Y) are funcţia de
repartiţie F, iar variabilele X şi Y au funcţiile de repartiţie
şi respectiv , atunci:
şi .
Exemplul 1.8.6. Se consideră vectorul aleator
discret (X,Y) cu repartiţia dată în tabelul:
55
YX 2 6
0,20 0,10
0,05 0,15
0,45 0,05
1
3
4
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
a) să se determine repartiţia variabilelor X,Y,
X+Y;
b) să se stabilească dacă X şi Y sunt
independente sau nu;
c) să se calculeze .
Rezolvare:
a) Variabila X are repartiţia:
X: , unde
, adică
X: .
Analog, variabila Y are repartiţia Y: ,
unde
56
Elemente de teoria probabilităţilor
, adică Y:
.
Avem: X+Y:
.
b) Pentru verificarea independenţei variabilelor
X,Y, efectuăm un control, de exemplu:
P(X=1) P(Y=2) = , iar
P[(X=1) (Y=2)] = . Cum 0,21 0,20, deducem
că X şi Y sunt dependente.
c) F(
=P(X=1,Y=2) +P(X=3,Y=2) = 0,20+0,05 = 0,25.
1.9. Variabile aleatoare de tip continuu
Definiţie 1.9.1. Fie variabila aleatoare X având
funcţia de repartiţie , vom spune că X este variabilă
57
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
aleatoare de tip continuu dacă funcţia de repartiţie se
poate reprezenta sub forma:
F(x) = .
Funcţia se numeşte densitate de
probabilitate a variabilei aleatoare X.
Propoziţie 1.9.2. Au loc afirmaţiile:
1) .
2) F'(x) = a.p.t. pe R.
3) P(a X<b) = .
4) .
Observaţie 1.9.3.
1. Pentru o variabilă de tip continuu P(X=a)= 0,
deci P(a X<b) = P(a<X<b) = P(a = P(a<X<b) =
.
2.
, deci când este mic avem P(x .
58
Elemente de teoria probabilităţilor
Definiţie 1.9.4. Fie vectorul aleator (X,Y) având
funcţia de repartiţie F, spunem că (X,Y) este un vector
aleator de tip continuu, dacă funcţia de repartiţie F se
poate pune sub forma:
F(x,y) = ,
iar funcţia se numeşte densitate de probabilitate
a vectorului aleator (X,Y).
Observaţie 1.9.5. Dacă este densitate de
probabilitate pentru (X,Y), iar şi densităţi de
probabilitate pentru X, respectiv Y au loc:
1) .
2) a.p.t. pe .
3) P((X,Y) .
4) .
5) ;
.
59
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.9.6. Spunem că variabilele aleatoare
de tip continuu X şi Y sunt independente dacă F(x,y) =
, .
Aplicaţie 1.9.7. Funcţia
este densitate de
probabilitate dacă şi
ceea ce implică ecuaţia în k, ,
verificată pentru .
În acest caz funcţia de repartiţie va fi
şi deducem de asemenea că funcţiile de repartiţie
marginale sunt, respectiv,
60
Elemente de teoria probabilităţilor
;
1.10. Exemple de legi de probabilitate de
tip continuu
Teorema 1.10.1. X şi Y sunt independente
Demonstraţie:
Presupunem că variabilele aleatoare X şi Y sunt
independente, atunci F(x, y) = FX(x) FY(y). Derivăm
această relaţie în raport cu x şi respectiv y, rezultă că
Afirmaţia inversă rezultă din:
61
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Obţinem că X, Y sunt variabile aleatoare independente.
Teorema 1.10.2. Fie vectorul aleator (X, Y)
cu densitatea de probabilitate şi densitatea de
probabilitate a variabilei aleatoare
Z=X+Y, atunci , .
Demonstraţie:
Scriem funcţia de rapartiţie FZ a variabilei
aleatoare Z.
Domeniul de integrare pe care se ia integrala
dublă este . Avem
care prin derivare conduce
la:
Observaţie 1.10.3.
1) Dacă X,Y sunt independente, atunci:
.
62
Elemente de teoria probabilităţilor
2) Dacă U= , atunci
.
3) Dacă , atunci
.
Teorema 1.10.4. Fie variabila aleatoare X cu
densitatea de probabilitate şi funcţia monotonă
g:R→R. Atunci variabila aleatoare Y=g(X) are densitatea
de probabilitate dată prin:
.
Demonstraţie:
Presupunem că g este strict crescătoare şi avem:
Prin derivare se obţine că:
Deoarece g este crescătoare, avem g/>0, deci
63
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Exemplul 1.10.5. Se consideră variabila
aleatoare X de tip continuu, care are densitatea de
probabilitate unde . Să se
determine:
a) parametrul real a;
b) funcţia de repartiţie a variabilei
aleatoare X;
c) probabilităţile
Rezolvare:
a) Deoarece funcţia este o densitate de
probabilitate, rezultă că
.
Avem:
Rezultă: 2a=1, de unde .
b) folosind densitatea de probabilitate avem:
64
Elemente de teoria probabilităţilor
Dacă
.
Dacă x>0, atunci F(x) =
.
c) Folosind funcţia de repartiţie avem:
.
A doua probabilitate este o probabilitate
condiţionată, deci
unde
65
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Se obţine: .
Exemplul 1.10.6. Se consideră funcţia
.
a) să se arate că f(x) nu este o densitate de
probabilitate.
b) să se modifice f(x) astfel încât noua funcţie
să fie o densitate de probabilitate.
c) să se calculeze probabilitatea şi
Rezolvare:
a) Analizând cele două condiţii ale unei densităţi
de probabilitate se obţine:
1)
2) , deci f(x)
nu este o densitate de probabilitate.
66
Elemente de teoria probabilităţilor
b) Dacă modificăm funcţia f(x), mai precis,
definim , atunci
obţinem care este o densitate de probabilitate.
c) Pentru a calcula probabilităţile cerute se poate
proceda în două moduri:
1) folosind funcţia de repartiţie F(x). Această
funcţie este:
De aici
2) folosind densitatea de probabilitate adică
67
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
1.11. Caracteristici numerice asociate
variabilelor aleatoare
Fie un câmp de probabilitate şi
o variabilă aleatoare. În afara informaţiilor
furnizate de funcţia de repartiţie sau chiar de
repartiţia probabilistă (discretă sau continuă
ale unei variabile aleatoare X, de un real folos teoretic şi
practic sunt şi informaţiile pe care le conţin anumite
caracteristici numerice (valoarea medie, dispersia,
abaterea medie pătratică sau diverse alte momente) ale lui
X despre această variabilă aleatoare.
Valoarea medie (speranţa matematică)
Definiţie 1.11.1.Fie variabila aleatoare X cu
distribuţia . Se numeşte valoare medie,
caracteristica numerică .
Observaţii 1.11.2.
1) Dacă I este finită, valoarea medie există.
2) Dacă I este infinit numărabilă, M(X) există
când seria care o defineşte este absolut convergentă.
68
Elemente de teoria probabilităţilor
Definiţie 1.11.3. Fie variabila aleatoare X de tip
continuu , . Se numeşte valoarea
medie a variabilei X, caracteristica numerică
. Valoarea medie există atunci
când integrala improprie care o defineşte este
convergentă.
Proprietăţile valorii medii 1.11.4. Au loc
afirmaţiile :
1)
2) M(X + Y) = M(X) + M(Y)
3) X,Y independente M(X Y) = M(X) M(Y)
Demonstraţie:
a) Fie variabilele aleatoare de tip discret X, Y
având repartiţiile
1. Avem
69
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
dacă variabila are repartiţia şi
.
2. Variabila X+Y are repartiţia
,
Rezultă
dacă s-au folosit relaţiile şi
3. Variabila XY are repartiţia
dacă X şi Y sunt independente.
Avem
70
Elemente de teoria probabilităţilor
b) Presupunem ca X şi Y sunt variabile aleatoare
de tip continuu.
1. Dacă notăm prin Y = aX + b, a 0, atunci
conform teoremei 3.10.4. în cazul particular Y = aX + b,
a 0, se obţine că
, pentru orice x R.
Avem:
de unde prin schimbarea de variabilă u = (x – b)/a, dx =
adu, obţinem
2. Dacă notăm prin Z = X + Y, variabila care are
densitatea de probabilitate , iar densitatea de
probabilitate a vectorului (X, Y) o notăm prin , atunci:
Schimbăm ordinea de integrare, apoi schimbarea
de variabilă
71
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
x – u = t, dx = dt, şi obţinem
3. Dacă notăm prin V =X Y, care are densitatea
de probabilitate , iar densitatea de probabilitate a
vectorului (X, Y) o notam prin , atunci
Schimbăm ordinea de integrare, apoi facem
schimbarea de variabilă x / u = t, dx = udt, şi
obţinem:
Dispersia
Definiţie 1.11.5. Se numeşte dispersia (varianţa)
variabilei aleatoare X, caracteristica numerică
iar se
numeşte abatere medie pătratică.
72
Elemente de teoria probabilităţilor
În mod explicit, dispersia are expresia
, , dacă X este o
variabilă aleatoare discretă sau
, dacă X este o variabilă
aleatoare continuă.
Dispersia este un indicator numeric al gradului
de împrăştiere (sau de dispersare) a valorilor unei
variabile aleatoare în jurul valorii medii a acesteia.
Proprietăţile dispersiei 1.11.6.
a)
b)
c) X,Y independente
Demonstraţie:
a)
dacă s-a făcut un calcul formal.
73
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
b) Folosind proprietăţile valorii medii şi definiţia
dispersiei avem:
c) Dacă X, Y independente avem
. Calculăm
dacă s-a ţinut seama că
Aplicaţia 1.11.7. Dacă X este o variabilă
aleatoare discretă
atunci deducem că:
74
Elemente de teoria probabilităţilor
Aplicaţia 1.11.8. Dacă X este variabilă aleatoare
continuă
,
atunci deducem că:
,
Momente
Definiţie 1.11.9. Se numeşte moment iniţial
(obişnuit) de ordin k al variabilei aleatoare X,
caracteristica numerică
75
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Observaţie 1.11.10. Pentru k=1 avem
iar pentru k=2,
Dacă X este variabilă de tip discret având
repartiţia , atunci
Dacă X este variabilă de tip continuu
atunci
Definiţie 1.11.11. Se numeşte moment centrat
de ordin k al variabilei aleatoare X, caracteristica
numerică , adică
Observaţie 1.11.12. Pentru k=1 avem , iar
pentru k=2,
76
Elemente de teoria probabilităţilor
Teorema1.11.13. Între momentele centrate şi
momentele iniţiale există următoarea relaţie:
.
Demonstraţie:
Avem
Observaţie 1.11.14. În statistica matematică se
utilizează de regulă primele patru momente centrate:
.
Definiţie 1.11.15. Se numeşte momentul iniţial
de ordinul (r,s) al vectorului aleator (X,Y) caracteristica
numerică , adică
77
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.11.16. Se numeşte moment centrat
de ordin (r,s) al vectorului aleator (X,Y), caracteristica
numerică
, adică
Observaţie 1.11.17.
Corelaţie sau covarianţă
Definiţie 1.11.18. Se numeşte corelaţia sau
covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y, caracteristica
numerică
Observaţie 1.11.19.
1)
78
Elemente de teoria probabilităţilor
Dacă X, Y independente , dar nu
şi reciproc.
,
oricare ar fi variabilele aleatoare Xi şi Yj şi oricare ar fi
constantele reale ai şi bj, ,
, oricare ar fi X şi Y.
Definiţie 1.11.20. Se numeşte coeficient de
corelaţie relativ la variabilele aleatoare X şi Y
caracteristica numerică
r(X, Y)=
Observaţie 1.11.21.
1) X, Y independente reciproc nu
este adevărat;
2) Spunem că X,Y sunt necorelate dacă r(X,Y)
=0
Proprietăţi:
a)
79
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
b)
c)
Observaţie 1.11.21. În practică se mai spune că:
1) X şi Y sunt pozitiv perfect corelate dacă
;
2) X şi Y sunt negativ perfect corelate dacă
;
3) X şi Y sunt puternic pozitiv (sau negativ)
corelate dacă
(sau
);
4) X şi Y sunt slab pozitiv (sau negativ) corelate
dacă (sau );
Marginile valorice decizionale fiind alese convenţional.
Aplicaţie 1.11.22. Fie (X,Y) un vector aleator
discret a cărui repartiţie probabilistă este dată de tabelul
de mai jos.
Calculaţi coeficientul de corelaţie r(X,Y).
Y
X-1 0 1 2 pi
80
Elemente de teoria probabilităţilor
-1 1/6 1/12 1/12 1/24 9/24
0 1/24 1/6 1/12 1/24 8/24
1 1/24 1/24 1/6 1/24 7/24
qj 6/24 7/24 8/24 3/24 1
Rezolvare:
Pe baza formulelor corespunzătoare, deducem
imediat:
81
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Observaţie 1.11.23. Coeficientul de corelaţie
reprezintă prima măsură a corelaţiei sau
gradului de dependenţă în sens clasic. Introdusă de către
statisticianul englez K. Pearson în anul 1901 ca rod al
colaborării acestuia cu antropologul englez F. Galton
(care a avut prima idee de măsurare a corelaţiei sub
denumirea de variaţie legată), această măsură a gradului
de dependenţă a fost criticată încă de la apariţiei ei pentru
diverse motive, printre care şi aceea că:
1) este dependentă de valorile
vectorului aleator şi ca urmare nu este
82
Elemente de teoria probabilităţilor
aplicabilă pentru cazul variabilelor aleatoare
necantitative;
2) nu este precisă în cazul
independenţei şi al necorelării deoarece dacă
nu există un răspuns categoric (în
sensul independenţei sau necorelării);
3) nu poate fi extinsă la mai mult de
două variabile aleatoare sau chiar la doi sau
mai mulţi vectori aleatori, fapte cerute de
practică.
Dacă la prima obiecţie a dat chiar K. Pearson un
răspuns, pentru celelalte două obiecţii nu s-au dat
răspunsuri clare decât după apariţia în 1948 a teoriei
matematice a informaţiei, rezultate remarcabile în acest
sens obţinând şcoala românească de matematică sub
conducerea lui Silviu Guiaşu introducând măsurile
entropice ale dependenţei dintre variabile aleatoare şi
vectori aleatori (în anii 1974-1978) cu o largă
aplicabilitate teoretică şi practică.
83
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
În ciuda tuturor criticilor ce i s-au adus,
coeficientul de corelaţie clasic (sau coeficientul Galton-
Pearson) este cel mai frecvent utilizat în practică şi,
pentru că este cel mai simplu în utilizare.
Definiţie 1.11.24. Fiind dat vectorul aleator
, se numeşte valoare medie
a acestuia şi se notează cu , dacă există, vectorul n-
dimensional ale cărui componente sunt valorile medii ale
componentelor lui Z adică:
.
Se numeşte matrice de covarianţă (sau de
corelaţie) a vectorului Z şi se notează prin , dacă
există, matricea
Observaţie 1.11.25.
a) Pentru cazul unui vector aleator
bidimensional, a nu se face confuzie între
media produsului componentelor X şi Y, care
84
Elemente de teoria probabilităţilor
este şi media vectorului care
este .
b) Uneori matricea de corelaţie
se mai notează şi cu .
c) Desfăşurat matricea de covarianţă
are forma:
şi ca urmare a proprietăţilor corelaţiei, constatăm că
matricea este simetrică.
d) Pornind de la definiţia coeficientului de
corelaţie şi de la matricea de corelaţie, dacă
toate componentele lui Z sunt neconstante,
atunci putem introduce matricea
coeficienţilor de corelaţie a cărei formă
dezvoltată este:
85
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Ambele forme ale matricei de corelaţie a
vectorului aleatoriu Z reprezintă de fapt tabele ale
măsurării gradului de dependenţă dintre componentele lui
Z, considerate două câte două.
Aplicaţie 1.11.26. Fie variabilele aleatoare:
; ;
a căror repartiţie comună notată , , este:
; ; ; ;
; ; ; .
Să se determine repartiţiile bidimensionale şi
unidimensionale ale vectorului aleator tridimensional
şi matricele de corelaţie şi .
Rezolvare:
Avem imediat repartiţiile bidimensionale
86
Elemente de teoria probabilităţilor
; pentru
;
pentru
;
pentru
şi ca urmare putem scrie următoarele tabele de repartiţie
bidimensionale:
X2
X1
1 3 pi
X3
X1
2 4 pi
X3
X2
2 4 qi
-1 1/8 1/8 ¼ -1 3/32 5/32 1/4 1 3/16 5/16 1/2
1 3/8 3/8 ¾ 1 3/16 9/16 3/4 3 3/32 13/32 1/2
qj 1/2 1/2 1 rk 9/32 23/32 1 rk 9/32 21/32 1
87
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
din care se observă şi repartiţiile unidimensionale
(repartiţiile variabilelor aleatoare considerate X1, X2, X3).
Din aceste tabele deducem prin calcul imediat:
; ;
; ;
; ;
; ; ;
; ; ;
; ;
;
şi ca urmare putem scrie matricele de corelaţie:
88
Elemente de teoria probabilităţilor
şi
constatând că X1 şi X2 sunt independente în timp ce între
X3 şi X1 sau X3 şi X2 există o anumită dependenţă chiar
dacă nu este puternică.
Alte caracteristici numerice
Definiţie 1.11.27. Se numeşte mediana unei
variabile aleatoare X, caracteristica numerică Me care
verifică relaţia:
Observaţie 1.11.28.
1. Dacă F este funcţia de repartiţie şi este
continuă atunci se determină din ecuaţia F(Me) .
2. Dacă atunci se ia
89
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.11.29. Se numeşte valoare modală
sau modul a variabilei aleatoare X orice punct de maxim
local al distribuţiei lui X (în cazul discret) respectiv al
densităţii de probabilitate (în cazul continuu).
Observaţie 1.11.30. Dacă există un singur punct
de maxim local spunem că legea lui X este unimodală
altfel o numim plurimodală.
Definiţie 1.11.31. Se numeşte asimetria
(coeficientul lui Fischer) variabilei aleatoare X
caracteristica numerică definită prin .
Definiţie 1.11.32. Se numeşte exces al variabilei
aleatoare X, caracteristica numerică definită prin
.
Observaţie 1.11.33.
1) Dacă e<0 atunci graficul distribuţiei are un
aspect turtit şi legea se numeşte platicurtică.
2) Dacă e>0 atunci graficul distribuţiei are un
aspect ascuţit şi legea va fi numită leptocurtică.
90
Elemente de teoria probabilităţilor
3) Dacă e = 0 atunci repartiţiile sunt
mezocurtice.
Definiţia 1.11.34. Dacă X este o variabilă
aleatoare cu funcţia de repartiţie , se numesc
cuartile (în număr de trei) ale lui X (sau ale repartiţiei lui
X) numerele , şi cu proprietăţile:
Observăm că .
Exemplul 1.11.35. Se consideră variabila
aleatoare .
Să se calculeze: M(X), M(3X), M(4X-2),
.
Rezolvare:
91
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
;
;
;
Exemplul 1.11.36. Să se calculeze valoarea
medie şi dispersia variabilei aleatoare care are densitatea
de probabilitate
Rezolvare:
Observăm că:
Ţinând seama de definiţie avem:
92
Elemente de teoria probabilităţilor
Exemplul 1.11.37. Fie vectorul aleator (X,Y) cu
densitatea de probabilitate
Se cere:
a) să se determine constanta k;
b) să se determine densităţile marginale;
c) să se cerceteze dacă X şi Y sunt independente
sau nu;
d) să se calculeze coeficientul de corelaţie între
X şi Y.
Rezolvare:
a) din condiţiile
.
Deci
b)
93
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
c) X şi Y nu sunt independente deoarece:
d)
Deci
94
Elemente de teoria probabilităţilor
.
Se obţine:
Exemplul 1.11.38. Se ştie că, dacă două
variabile aleatoare X şi Y sunt independente, atunci
coeficientul lor de corelaţie este nul. Reciproca nu este
adevărată. Iată un vector aleator discret (X,Y), în care X
şi Y sunt dependente şi totuşi .
95
Y -1 1 2X
0
1
2
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
0
Rezolvare:
Calculăm repartiţiile marginale:
;
Avem:
, M(XY)=1
96
Elemente de teoria probabilităţilor
Exemplul 1.11.39. Fie X o variabilă aleatoare
care are densitatea de probabilitate definită prin:
.
a) Să se determine modulul şi mediana
b) Să se calculeze momentul de ordin k, ..
Rezolvare:
a) Conform definiţiei, M0 este valoarea pentru
care adică adică există o
infinitate de valori modale situate pe segmentul (0,2). Me
se determină din ecuaţia .
Cum
.
b) .
1.12. Funcţia caracteristică. Funcţia
generatoare de momente
Definiţie 1.12.1. Fie câmpul de probabilitate
şi variabilele aleatoare X şi Y definite pe E cu
97
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
valori reale. Se numeşte variabilă aleatoare complexă
, , iar valoarea medie a acesteia notată
cu este dată de relaţia dacă
mediile şi există.
Observaţie 1.12.2. Dacă X este o variabilă
aleatoare expresia , defineşte
de asemenea o variabilă aleatoare şi
Definiţie 1.12.3. Fie X o variabilă aleatoare
reală. Se numeşte funcţia caracteristică a lui X o funcţie
dată de relaţia , care
explicit poate fi scrisă sub forma
Propoziţia 1.12.4. Funcţia caracteristică are
următoarele proprietăţi:
1) şi
2) Dacă Xj, sunt variabile aleatoare
independente în totalitate cu funcţiile caracteristice
98
Elemente de teoria probabilităţilor
, atunci funcţia caracteristică a
variabilei aleatoare sumă este
3) Dacă , a şi b R, atunci
4) Dacă X admite momente iniţiale de orice
ordine atunci funcţia caracteristică admite derivate de
orice ordin şi are loc relaţia
Demonstraţie:
1) şi
dacă X este
de tip discret şi
dacă X este de tip continuu.
2) Având în vedere proprietăţile valorii medii,
putem scrie că
99
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
3) Tot ca urmare a proprietăţilor mediei avem:
4) Observăm că
şi rezultă
Observaţie 1.12.5. Folosirea relaţiei de la
punctul 4) este recomandabilă doar atunci când
calcularea momentelor este mai comodă prin această
relaţie decât pornind direct de la definiţia acestora.
Aplicaţie 1.12.6.
1) Dacă atunci
2) Dacă , atunci
100
Elemente de teoria probabilităţilor
3) Dacă , atunci
Definiţie 1.12.7. Fie X o variabilă aleatoare
reală definită pe câmpul de probabilitate . Se
numeşte funcţie generatoare de momente, dacă există,
funcţia , dată de relaţia
care explicit poate fi scrisă sub forma
cu condiţia existenţei expresiilor corespunzătoare.
Propoziţia 1.12.8. Funcţia generatoare de
momente are următoarele proprietăţi:
1)
2) Dacă Xj, , sunt independente în
totalitate şi au funcţiile generatoare , ,
atunci funcţia generatoare a variabilei aleatoare
este
101
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
3) Dacă , a şi b R, atunci
4) Dacă X admite momente iniţiale de orice
ordin, atunci funcţia generatoare admite derivate de orice
ordin în punctul zero şi ,
Aplicaţie 1.12.9.
1) Dacă atunci
2) Dacă , , atunci
, dacă
iar în caz contrar nu există.
3) Dacă , , ,
atunci
102
Elemente de teoria probabilităţilor
;
;
1.13. Repartiţii clasice
În teoria probabilităţilor şi în aplicaţiile acesteia
se întâlnesc clase de variabile aleatoare de tip discret.
Forma cea mai generală a unei variabile aleatoare
aparţinând unei clase se numeşte lege de probabilitate de
tip discret.
Repartiţii clasice discrete
Repartiţia binomială (Bernoulli) 1.13.1.
Spunem că variabila aleatoare discretă X
urmează legea binomială dacă repartiţia asociată ei are
forma
, unde , iar
103
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Într-adevăr sunt îndeplinite condiţiile din definiţia unei
funcţii de probabilitate, adică avem:
1)
2)
Observaţie 1.13.2. Repartiţia binomială este
generată de schema urnei cu două stări şi cu bila revenită
(schema urnei lui Bernoulli).
Teorema 1.13.3. Dacă X este o variabilă
aleatoare discretă ce urmează legea binomială, atunci:
M(X) = np şi D2(X) = npq.
Demonstraţie:
Din definiţia valorii medii avem:
Considerăm relaţia:
pe care o derivăm în raport cu t şi obţinem:
104
Elemente de teoria probabilităţilor
iar pentru
t=1
avem
Pentru a calcula dispersia folosim formula de calcul:
Derivăm în raport cu t relaţia (*)şi obţinem
iar pentru t = 1, rezultă n (n - 1) p2 = M(X2) - M(X),
adică M(X2) = n2p2 - np2 + np = n2p2 + npq, iar dispersia
este D2(X) = n2p2 + npq - (np)2 = npq.
Observaţia 1.13.4. Funcţia caracteristică a unei
variabile aleatoare discrete X ce urmează legea binomială
este: .Într-adevăr din calcul avem că:
Observaţia 1.13.5. Calculul momentelor
105
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
se poate face prin intermediul
funcţiei caracteristice astfel:
Repartiţia hipergeometrică 1.13.6.
Spunem că variabila aleatoare X de tip discret
urmează urmează
legea hipergeometrică, dacă are distribuţia
Verificarea condiţiilor unei funcţii de
probabilitate este imediată şi avem:
1)P(n,k)=
2)
dacă s-a avut în vedere relaţia lui Vandermonde şi anume
.
106
Elemente de teoria probabilităţilor
Teorema 1.13.7. Dacă X este o variabilă
aleatoare discretă ce urmează legea hipergeometrică
atunci:
unde N=a+b , p= .
Demonstraţie:
Conform relaţiei de definiţie a valorii medii
avem
M(X)=
=
dacă s-a avut în vedere relaţia lui Vandermonde şi relaţia
Pentru a calcula dispersia, folosim formula de
calcul unde
107
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
=
dar k(k-1) iar k
deci M
=
dacă s-a avut în vedere relaţia lui Vandermonde. Se
obţine
D
=
Repartiţia Poisson 1.13.8.
Spunem că variabila aleatoare X de tip discret
urmează legea lui Poisson, dacă are distribuţia
108
Elemente de teoria probabilităţilor
X:
Funcţia satisface condiţiile unei funcţii de
probabilitate şi anume:
1)P
2)
dacă s-a avut în vedere dezvoltarea , x R
Teorema 1.13.9. Valoarea medie şi dispersia
variabilei aleatoare X ce urmează legea lui Poisson sunt
egale cu ,adică M(X)=D2(X)= .
Demonsraţie:
Avem
M(X)
Calculăm
109
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
M(X 2)=
=
=
Obţinem
Observaţia 1.13.10. Funcţia caracteristică
asociată unei variabile aleatoare X ce urmează legea lui
Poisson este
Într-adevăr avem
110
Elemente de teoria probabilităţilor
Teorema 1.13.11. Dacă variabila aleatoare X
urmează legea binomială, adică are distribuţia
X:
şi dacă p=p ,astfel încăt np atunci pentru n ,X
urmează legea lui Poisson, adică
=
Observaţia 1.13.12. Legea lui Poisson mai este
cunoscută şi sub numele de legea evenimentelor rare,
deoarece se întâlneşte în cazul evenimentelor cu
probabilitate de apariţie mică .
Repartiţia geometrică 1.13.13.
Spunem că variabilă aleatoare X urmează legea geometrică, dacă are distribuţia:
111
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
X: k=1,2,3,… unde p(k)=pq
,k=1,2,3,…
Probabilitatea P(k) satisface condiţiile:
1) P(k)=pq , k=1,2,…
2)
unde am avut în vedere seria geometrică convergentă
Teorema 1.13.14. Dacă variabila aleatoare X
urmează legea geometrică atunci M(X)= şi D2(X)=
.
Demonstraţie:
Avem
M(X)=
=
.
112
Elemente de teoria probabilităţilor
Calculăm
M(X
=
=
= p(q = .
Obţinem D
.
Observaţia 1.13.15. Funcţia caracteristică
asociată unei variabile aleatoare X ce urmează legea
geometrică este:
.
Într-adevăr avem
113
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
=
.
Repartiţia binomială cu exponent negativ
1.13.16.
Spunem că variabila aleatoare X de tip discret
urmează legea binomială cu exponent negativ , dacă are
distribuţia
.
Sunt îndeplinite condiţiile unei funcţii de
probabilitate
1) P(-n,k)=C
2)
dacă s-a ţinut seama de dezvoltarea lui Abel şi anume
114
Elemente de teoria probabilităţilor
(1+q)
.
Teorema 1.13.17. Dacă X este o variabilă
aleatoare discretă care urmează legea binomială cu
exponent negativ atunci M(X)= şi
Demonstraţie:
Avem M(X)=
=p .
Pentru calculul dispersiei folosim formula de calcul
Avem
115
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Obţinem
.
Observaţia 1.13.18. Funcţia caracteristică
asociată unei variabile aleatoare X ce urmează legea
binomială cu exponent negativ este:
.
Într-adevăr
116
Elemente de teoria probabilităţilor
Repartiţii continue
Repartiţia uniformă(rectangulară) 1.13.19.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
uniformă pe intervalul [a,b],dacă are densitatea de
probabilitate
Observaţia 1.13.20. Din graficul funcţiei
densitate de probabilitate se constată că într-adevăr
, astfel definită, satisface condiţiile unei funcţii densitate
de probabilitate
1)
2)
117
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Observaţia 1.13.21. Funcţia de repartiţie a
variabilei aleatoare ce urmează legea uniformă are
expresia:
F(x)=
Într-adevăr:
- dacă
- dacă
118
0 a b x
Elemente de teoria probabilităţilor
- dacă
Graficul funcţiei de repartiţie are forma:
Teorema 1.13.22. Dacă X este o variabilă
aleatoare uniform repartizată pe intervalul [a,b]
Atunci:
Demonstraţie:
Avem
Dispersia o calculăm folosind formula de calcul
119
0 a b x
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Avem
, avem valoarea mediană egală cu
valoarea medie .
Observaţia 1.13.23.
a)Din simetria graficului funcţiei densitate de
probabilitate, în raport cu valoarea medie
, avem valoarea mediană egală cu
valoarea medie.
b)Tot cu ajutorul graficului se observă că
valoarea modală nu există.
Repartiţia exponenţială negativă 1.13.24.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
exponenţială de parametru , dacă are densitatea de
probabilitate:
120
Elemente de teoria probabilităţilor
Evident această funcţie satisface condiţiile:
1)
2)
Observaţia 1.13.25. Funcţia de repartiţie pentru
variabila aleatoare X ce urmează legea exponenţială de
parametru este:
Teorema 1.13.26. Dacă variabila aleatoare X
urmează legea exponenţială de parametru ,atunci:
Demonstraţie:
Avem
.
Calculăm:
121
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Obţinem
.
Observaţia 1.13.27.
a)Funcţia caracteristică asociată unei variabile
aleatoare X ce urmează legea exponenţială are expresia
Într-adevăr avem
b)Deoarece avem
folosind relaţia
Repartiţia normală 1.13.28.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
normală (legea lui Gauss)de parametri
dacă are densitatea de
probabilitate
122
Elemente de teoria probabilităţilor
În mod evident avem:
1)
2)
dacă s-a făcut schimbarea de variabilă
.
Teorema 1.13.29. Dacă X este o variabilă
aleatoare ce urmează legea normală de parametri
şi
Demonstraţie:Avem
.
123
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Se face schimbarea de variabilă
.
Rezultă
Deci cei doi parametri de care depinde
distribuţia normală sunt valoarea medie şi abaterea medie
pătrată asociată variabilei aleatoare X ce urmează legea
normală.
Observaţia 1.13.30. Curba ce reprezintă
graficul densităţii de probabilitate se numeşte curba lui
Gauss(sau clopotul lui Gauss).
124
Elemente de teoria probabilităţilor
Analiza acestui grafic ne conduce la concluziile:
funcţia este simetrică faţă de dreapta de
ecuaţie x=m
în x=m funcţia admite un maxim egal cu
punctele de abscisă
sunt puncte de inflexiune.
Observaţia 1.13.31. Dacă variabila aleatoare X
urmează legea normală ,atunci funcţia de
repartiţie F este dată de relaţia
şi are graficul
125
0 m x
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Dacă se face schimbarea de variabilă
se obţine
este funcţia lui Laplace. Funcţia lui Laplace are valorile
tabelate pentru argumente pozitive .Dacă x<0 atunci
126
0
1
xm
Elemente de teoria probabilităţilor
Observaţia 1.13.32. Dacă parametrii m şi au
valorile 0 respectiv 1, atunci spunem că X urmează legea
normală şi normată sau legea normală redusă.
Teorema 1.13.33. Dacă X este o variabilă
aleatoare ce urmează legea normală ,
Demonstraţie:
Avem
Repartiţia gamma 1.13.34.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
gamma cu parametri a,b>0 dacă are densitatea de
probabilitate
127
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
unde este funcţia lui Euler de speţa a doua, adică
.
Evident sunt îndeplinite condiţiile:
1)
2)
În cazul particular
Observaţia 1.13.35. Funcţia de repartiţie a unei
variabile aleatoare ce urmează legea gamma are expresia
cunoscută sub denumirea de funcţia gamma incompletă.
Observaţia 1.13.36. Funcţia caracteristică
asociată unei variabile aleatoare ce urmează legea gamma
are expresia
Într-adevăr
128
Elemente de teoria probabilităţilor
dacă s-a făcut schimbarea de variabilă
Momentele de ordin k, se obţin
folosind relaţia
În particular , găsim
Repariţia beta 1.13.37.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
beta cu parametri a,b>0, dacă are densitatea de
probabilitate
unde B(a,b)este funcţia lui Euler de speţa întâi, adică
129
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
cunoscută sub numele de funcţia beta incompletă.
Evident sunt îndeplinite condiţiile:
1)
2)
Observaţia 1.13.38. Funcţia de repartiţie
asociată unei variabile ce urmează legea beta are
expresia:
Observaţia 1.13.39. Expresia momentelor de
ordin k pentru o variabilă aleatoare cu repartiţia beta, se
obţine prin calcul direct şi anume:
130
Elemente de teoria probabilităţilor
În particular se obţine
Repartiţia (hi-pătrat) 1.13.40
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
(hi-pătrat), dacă are densitatea de probabilitate:
unde ,iar şi poartă numele de numărul
gradelor de libertate.
În mod evident avem:
1)
131
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
2)
dacă s-a făcut schimbarea de variabilă
.
Observaţia 1.13.41. Legea numită şi legea
Helmert-Pearson este un caz particular al legii gamma,
anume, pentru .
Observaţia 1.13.42. Expresia momentelor de
ordin k pentru o variabilă aleatoare X având repartiţia
(hi-pătrat) se obţine astfel:
În particular se obţine
132
Elemente de teoria probabilităţilor
Observaţia 1.13.43. Funcţia de repartiţie
asociată unei variabile aleatoare X ce urmează legea
(hi-pătrat)este de forma
unde q sunt probabilităţi de forma
şi ele au semnificaţia prezentată în desenul
133
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Karl Pearson a editat tabele pentru funcţia de
repartiţie corespunzătoare unei variabile aleatoare ce
urmează distribuţia .
Repartiţia Student(Gosset) 1.13.44.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
Student cu n grade de libertate, dacă are densitatea de
probabilitate
Sunt verificate condiţiile unei densităţi de
probabilitate, adică
1) în mod evident
2)
134
0
Elemente de teoria probabilităţilor
dacă s-a făcut schimbarea de variabilă şi
s-au folosit relaţiile
Observaţia 1.13.45. Dacă n=1, atunci densitatea
de probabilitate capătă forma ,
adică se obţine densitatea de probabilitate
corespunzătoare repartiţiei Cauchy standard.
Observaţia 1.13.46. Întrucât densitatea de
probabilitate este o funcţie pară, valoarea medie a unei
variabile aleatoare ce urmează legea Student este nulă.
De asemenea momentele obişnuite de ordin impar sunt
nule.
Pentru momentele obişnuite de ordin par avem:
135
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
unde s-a făcut schimbarea de variabilă
De aici pentru p=1 avem
Repartiţia Fisher-Snedecor(repartiţia Fs)
1.13.47.
Spunem că variabila aleatoare X urmează legea
Fisher-Snedecor dacă are densitatea de probabilitate
136
Elemente de teoria probabilităţilor
unde s,r>0.
Sunt verificate condiţiile unei densităţi de
probabilitate adică
1) în mod evident
2)
unde s-a făcut schimbarea de variabilă
Observaţia 1.13.48. Pornind de la definiţia
momentului de ordin k, avem:
137
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Particularizând pe k se obţine
1.14. Şiruri de variabile aleatoare.
Legea numerelor mari. Teoreme limită.
Definind noţiunea de variabilă aleatoare, se
constată fără dificultate că nu se poate şti înaintea
efectuării unei experienţe care vor fi valorile pe care le
poate lua variabila aleatoare asociată experienţei. Cu o
anumită probabilitate se poate spune dacă va apare sau nu
una dintre valorile acestei variabile aleatoare. Cu toate
acestea, aşa cum se poate vedea pe baza unor teoreme
138
Elemente de teoria probabilităţilor
devenite deja celebre, se demonstrează că în condiţii
puţin restrictive media aritmetică a unui număr suficient
de mare de variabile aleatoare îşi pierde caracterul
aleator. În practica statistică un astfel de rezultat teoretic
este remarcabil. Acesta este reprezentat de câteva
teoreme ale calculului probabilităţilor cunoscute
împreună sub denumirea de lege a numerelor mari.
Termenul de lege a numerelor mari a fost folosit
prima dată de către matematicianul francez D. Poisson în
1837 deşi, cu mai bine de un secol mai devreme,
matematicianul elveţian J. Bernoulli, unul dintre
fondatorii calculului probabilităţilor, pusese în evidenţă
acţiunea legii numerelor mari cu o referire la repartiţia
normală. În anul 1867 matematicianul rus P. Cebîşev a
prezentat riguros matematic legea numerelor mari în
condiţii generale, ocazie cu care inegalitatea lui Cebîşev
s-a dovedit un rezultat remarcabil şi extrem de util.
Inegalitatea lui Cebîşev 1.14.1. Dacă variabila
aleatoare X are o valoare medie şi dispersie atunci
are loc inegalitatea
139
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
sau inegalitatea
echivalentă cu aceasta .
Demonstraţie:
Presupunem că X este o variabilă aleatoare de
tip continuu, având densitatea de probabilitate .
Atunci
unde , deoarece ,
avem că . Deci, avem
Am obţinut că , rezultă
Folosind probabilitatea evenimentului contrar se obţine şi
cealaltă formă a inegalităţii:
140
Elemente de teoria probabilităţilor
Definiţie 1.14.2. Spunem că şirul de variabile
aleatoare converge în probabilitate la variabila
aleatoare X şi notăm avem
.
Definiţie 1.14.3. Spunem că şirul de variabile
aleatoare converge în medie de ordin k la
variabila aleatoare X şi notăm
.
Definiţie 1.14.4. Spunem că şirul de variabile
aleatoare converge în repartiţie la variabila
aleatoare X şi notăm unde
Fn şi F sunt funcţiile de repartiţie ale variabilelor
aleatoare Xn şi X, iar convergenţa are loc pentru orice
punct de continuitate al funcţiei F.
Observaţie 1.14.5.
1)
2)
141
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Definiţie 1.14.6. Spunem că şirul de variabile
aleatoare urmează legea numerelor mari dacă
pentru orice avem
adică
.
Teorema lui Markov 1.14.7. Dacă şirul
de variabile aleatoare verifică condiţia
atunci acesta urmează legea
numerelor mari.
Demonstraţie:
Folosind inegalitatea lui Cebîşev pentru
variabila avem pentru > 0,
142
Elemente de teoria probabilităţilor
şi prin trecere la limită se obţine că > 0
.
Teorema lui Cebîşev 1.14.8. Dacă şirul
de variabile aleatoare independente două câte
două, au dispersiile egal mărginite (adică -
finit) atunci şirul urmează legea numerelor mari.
Demonstraţie:
Avem
când
n şi conform teoremei lui Markov rezultă că
urmează legea numerelor mari.
Observaţie 1.14.9.Dacă
.
143
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Acest rezultat explică de ce, în practică, putem
face afirmaţii asupra unei populaţii statistice pe baza unei
selecţii sau a unui sondaj având un volum de observaţii
mic în raport cu acela al întregii populaţii. Explicaţia are
la bază faptul că selecţia implică un număr de măsurători
suficient prin el însuşi. Din acest punct de vedere se
apreciază că teorema lui Cebîşev se află la baza teoriei
selecţiei şi afirmaţia nu este exagerată.
De asemenea, rezultă că între comportarea
fiecărei variabilei aleatoare şi a mediei aritmetice a
acestora există o mare deosebire în sensul că deşi nu
putem preciza ce valoare va lua fiecare dintre variabilele
aleatoare considerate, suntem în măsură să afirmăm cu o
probabilitate apropiată de unu ce valoare va lua media
aritmetică a acestor variabile aleatore. Aşadar, media
aritmetică a unui număr suficient de mare de variabile
aleatoare cu dispersii mărginite îşi pierde caracterul de
variabilă aleatoare.
Teorema lui Poisson 1.14.10. Dacă într-un şir
de repetări independente ale unui experiment
144
Elemente de teoria probabilităţilor
probabilitatea apariţiei unui eveniment A la repetarea de
rang n este pn atunci
şi unde m este numărul apariţiilor lui A în primele n
repetări.
Demonstraţie:
Considerăm Xk variabila care indică apariţia
evenimentului A la repetarea de rang k a experimentului
unde ,
Variabilele Xk sunt independente două câte două
şi au dispersiile egal mărginite.
, iar şi conform teoremei lui Cebîşev rezultă că
şirul urmează legea numerelor mari.
Teorema lui Bernoulli 1.14.11. Dacă într-un şir
de repetări independente ale unui experiment
probabilitatea apariţiei unui eveniment A este p la fiecare
145
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
repetare, atunci unde m
reprezintă numărul apariţiilor lui A în primele n repetări
ale experimentului.
Teorema lui Liapunov 1.14.12. Fie şirul de
variabile aleatoare independente pentru care
există momentele centrate de ordinul trei şi
, atunci şirul de
variabile aleatoare unde
converge în repartiţie la o
variabilă aleatoare ce urmează legea normală N(0,1)
adică .
Observaţie 1.14.13.
146
Elemente de teoria probabilităţilor
1) Problema limită este problema determinării
legii de probabilitate a variabilei aleatoare Zn, când
.
2) Teorema limită este teorema care rezolvă o
problemă limită.
3) Dacă legea de probabilitate limită este legea
normală atunci avem teorema limită centrală.
Teorema Lindeberg-Levy 1.14.14. Dacă şirul
de variabile aleatoare independente sunt identic
repartizate (urmează aceeaşi lege de probabilitate) şi
există
atunci şirul de variabile aleatoare
, converge
147
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
în repartiţie la o variabilă aleatoare ce urmează legea
normală redusă N(0,1) adică
.
Teorema Moivre – Laplace 1.14.15. Dacă
variabila aleatoare X urmează legea binomială, adică
P(n,k)=P(X=k)= p+q=1, atunci pentru
a<b avem sau
.
Demonstraţie:
Fie variabilele aleatoare Xk,
independente şi identic repartizate atunci
, , şi conform
teoremei 3.15.14 avem că variabila
148
Elemente de teoria probabilităţilor
urmează legea
N(0,1)dacă n .
Avem şi
prin urmare
Observaţie 1.14.16.
1) Deoarece X=k, k=1,2,…,n se obişnuieşte să
se scrie
.
149
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
2) Folosind funcţia lui Laplace
avem
.
3)
Exemplul 1.14.17. Fie variabila aleatoare X
având repartiţia
. Să se
determine valoarea exactă a probabilităţii
precum şi o margine inferioară a
acesteia.
Rezolvare:
Valoarea exactă se obţine astfel:
150
Elemente de teoria probabilităţilor
Pentru marginea inferioară se aplică inegalitatea lui
Cebîşev cu .
Deci
Exemplul 1.14.18. Se efectuează 800 de probe
independente. În 200 din ele probabilitatea apariţiei unui
rezultat aşteptat a fost 0,5; în 400 de probe această
probabilitate a fost 0,4; iar în restul probelor a fost 0,3.
Să se determine marginea inferioară a probabilităţii ca
abaterea absolută a frecvenţei relative de apariţie a
evenimentului de la media probabilităţilor să nu
depăşească 0,04.
Rezolvare:
Se aplică teorema lui Poisson pentru n=800 şi
.
adică
151
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Exemplul 1.14.19. Se cunoaşte că o unitate de
desfacere a produselor alimentare poate deservi zilnic un
număr de 3000 clienţi. Ştiind că un client care intră în
unitate devine cumpărător cu probabilitatea p=0,7 să se
calculeze probabilitatea ca:
a) numărul cumpărătorilor să fie
cuprins între 1800 şi 2400;
b) numărul cumpărătorilor să fie mai
mic decât 2150;
c) ce stoc zilnic trebuie asigurat astfel
încât riscul de a rămâne clienţi fără produs să fie de 3 ‰.
Rezolvare:
a)Numărul cumpărătorilor X este o variabilă
aleatoare ce urmează legea binomială cu parametrii
n=3000 şi p=0,7. Se cunoaşte că M(X)=np=2100 iar
Folosind inegalitatea lui Cebîşev obţinem:
sau
152
Elemente de teoria probabilităţilor
Dacă se ia rezultă
De asemenea, se poate folosi teorema Moivre-Laplace
adică:
b) Folosim din nou teorema Moivre-Laplace şi
avem:
c) Fie s stocul zilnic. Vor rămâne clienţi fără
produse dacă X>s, adică P(X>s)=0,003;
dar
153
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
deci s=2170.
Exemplul 1.14.20.Se consideră şirul de
variabile aleatoare , unde
.
Să se verifice dacă şirul de variabile aleatoare se
supune legii numerelor mari.
Rezolvare:
Calculăm
154
Elemente de teoria probabilităţilor
şi conform teoremei lui Markov şirul urmează legea
numerelor mari.
Exemplul 1.14.21. Fie şirul de variabile
aleatoare independente, care au distribuţiile
, atunci şirul urmează legea
numerelor mari.
Rezolvare:
Avem iar
dacă
iar . Prin urmare
adică dispersiile sunt egal mărginite şi conform teoremei
lui Cebîşev avem că şirul considerat urmează legea
numerelor mari.
155
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
1.15. Exerciţii rezolvate
1.Un student solicită o bursă de studii la 3
universităţi. După trimiterea actelor necesare, acesta
poate obţine bursă de la universitatea i (Ui) sau nu ,
1 ≤ i ≤ 3 . Scrieţi evenimentele ce corespund
următoarelor situaţii :
a)primeşte o bursă ;
b)primeşte cel mult o bursă ;
c)primeşte cel puţin o bursă ;
d)primeşte cel puţin două burse.
Rezolvare:
a) Bursa primită poate fi de la prima universitate,
caz în care celelalte nu-i acordă bursă, sau de la a doua,
caz în care prima şi a treia nu-i acordă bursă, sau de la a
treia, caz în care primele două nu-i acordă bursă. Avem
astfel evenimentul
.
156
Elemente de teoria probabilităţilor
b)Avem două variante : studentul nu primeşte
nici o bursă sau studentul primeşte o bursă. Obţinem
evenimentul
.
c) Evenimentul poate fi scris ca reuniunea a trei
evenimente : studentul primeşte o bursă, două burse, trei
burse. Astfel , unde
,
iar .
d)Avem . Altfel, evenimentul D este
contrar evenimentului B, deci
.
2.Într-un grup de studenţi aflaţi în excursie se
găsesc 6 fete şi 9 băieţi. Se aleg la întâmplare doi studenţi
pentru a cerceta traseul. Care este probabilitatea ca cei
doi să fie :
a)băieţi ;
b)fete ;
c)un băiat şi o fată ;
d)cel puţin un băiat ;
157
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
e)primul băiat şi a doua fată ;
f)de acelaşi sex.
Rezolvare:
Notăm cu A1 şi A2 evenimentele alegerii unui
băiat la prima, respectiv a doua alegere. La primul punct
avem de calculat probabilitatea . Întrucât a
doua alegere depinde de prima avem :
,
deoarece alegând un băiat mai rămân în grup 14 studenţi
între care 8 băieţi. Evenimentul de la punctul b) se scrie
astfel : . Deci
.
Evenimentul de la punctul c) este
aşadar
, sunt
incompatibile)
Dar ,
158
Elemente de teoria probabilităţilor
iar
de unde .
Am obţinut şi probabilitatea evenimentului de la
punctul e) . Evenimentul de la punctul d) se
exprimă astfel : .
El este contrar evenimentului : , prin
urmare
. Evenimentul de la
ultimul punct f) este
. Cum
cele două evenimente sunt
incompatibile şi deci
.
3.La un examen de licenţă participă mai mulţi
absolvenţi, între care numai trei din străinătate.
Probabilitatea ca primul student să promoveze este ¾,
159
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
probabilitatea ca al doilea să promoveze este 4/5, iar
pentru al treilea 5/6. Să se determine probabilităţile ca :
a)toţi cei trei studenţi să promoveze;
b)cel puţin unul să promoveze examenul.
Rezolvare:
Fie Ai evenimentul promovării examenului de
către studentul i, i=1,2,3. Evenimentul de la punctul a)
este , iar de la punctul b) este
. Evenimentele Ai sunt independente
(rezultatele celor 3 studenţi nedepinzând unul de
celelalte), deci
.
Folosind proprietăţile probabilităţii avem :
160
Elemente de teoria probabilităţilor
Ţinând seama de independenţa evenimentelor Ai
, i=1,2,3, avem:
4.Din mai multe controale asupra activităţilor
a trei magazine se apreciază că în proporţie de 90%,
80%, 70%, cele trei magazine au declarat marfa vândută.
La un nou control, comisia de control solicită 50 de
documente privind activitatea comercială: 20 de la primul
magazin, 15 de la al doilea, 15 de la al treilea. Dintre
acestea se alege unul la întâmplare pentru a fi verificat:
a)Cu ce probabilitate documentul ales este
corect (înregistrat)?
b)Constatând că este corect, cu ce
probabilitate el aparţine primului magazin?
Rezolvare:
a) Notăm cu A1, A2, A3 evenimentul ca
documentul controlat să provină de la primul, al doilea şi
161
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
respectiv al treilea magazin. Avem astfel
.
Fie A evenimentul ca documentul controlat să
fie corect. Atunci A / A1, A / A2, A / A3 reprezintă
evenimentul ca documentul controlat să fie corect ştiind
că el provine de la primul, al doilea, al treilea magazin.
Prin urmare : P(A/A1)=0,90; P(A/A2)=0,80;
P(A/A3)=0,70 . Cum {A1, A2, A3} este un sistem complet
de evenimente
aplicând formula probabilităţii totale avem :
b)Aplicând formula lui Bayes avem :
.
162
Elemente de teoria probabilităţilor
(A1/A reprezintă evenimentul ca documentul
controlat să provină de la primul magazin ştiind că a fost
corect).
5.La un supermarket s-a făcut un sondaj
printre clienţii acestuia, punându-li-se trei întrebări la
care să răspundă prin DA sau NU. S-a constatat că
răspunsul DA la prima, a doua respectiv a treia întrebare
a fost de 60%, 80% respectiv 70%. Care este
probabilitatea ca un client să dea :
a)trei răspunsuri DA?
b)trei răspunsuri NU?
c)două răspunsuri DA şi unul NU?
d)cel mult două răspunsuri DA?
e)primele două răspunsuri NU?
f)primul răspuns DA şi încă unul DA?
Rezolvare:
a) Suntem în condiţiile schemei lui Poisson
(presupunând că răspunsurile sunt independente unul de
celălalt) cu 3 urne şi cu probabilităţile : p1 = 0,6; q1 = 0,4;
p2 = 0,8; q2 = 0,2; p3 = 0,7; q3 = 0,3. Astfel probabilitatea
163
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
ca să avem 3 răspunsuri DA este coeficientul lui x3 din
polinomul (p1x + q1)(p2x + q2)(p3x + q3) adică
pa = p1p2p3 = 0,6 ∙0,8∙0,7 = 0,336.
b) Probabilitatea să avem trei răspunsuri NU
este coeficientul lui x0 (termenul liber) din polinomul de
mai sus, adică
q1q2q3 = 0,4 ∙0,2∙0,3 = 0,024.
c) În acest caz probabilitatea este coeficientul lui
x2 din acelaşi polinom, adică p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 =
0,6∙0,8∙0,3 +
+ 0,6∙0,2∙0,7 + 0,4∙0,8∙0,7 = 0,452.
d)Evenimentul dat este reuniunea a trei
evenimente incompatibile două câte două, respectiv de a
da 0, 1, 2 răspunsuri DA, deci probabilitatea sa este suma
coeficienţilor lui x0, x1, x2 din polinomul de la punctul a).
Avem
pd = q1q2q3 + (p1q2q3 +q1p2q3 + q1q2p3) + (p1p2q3 +
p1q2p3 + q1p2p3) = = 0,024 + 0,188 + 0,452 = 0,664.
164
Elemente de teoria probabilităţilor
Astfel, evenimentul nostru este contrar
evenimentului de la punctul a), deci pd = 1 – pa = 1 –
0,336 = 0,664.
e) Putem reduce schema lui Poisson la 2 urne cu
probabilităţile :
p1 = 0,6; q1 = 0,4; p2 = 0,8; q2 = 0,2.
Probabilitatea cerută este coeficientul lui x0 din
polinomul (p1x + q1)(p2x + q2), adică
q1q2 = 0,08. Astfel, evenimentul dat este
intersecţia a două evenimente independente cu
probabilităţile q1 respectiv q2, de unde probabilitatea
cerută este produsul q1q2.
f) Evenimentul este reuniunea evenimentelor
“numai primul şi al doilea răspuns DA ” şi “numai
primul şi al treilea răspuns DA”, care sunt incompatibile,
deci probabilitatea evenimentului dat este suma
probabilităţilor celor două, adică pf = p1p2q3 + p1q2p3 =
0,228.
165
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
6.La o bancă s-a constatat că din 100 de credite
acordate, 10 sunt neperformante. Dacă se acordă 5
credite, care este probabilitatea ca:
a) toate să fie neperformante?
b) toate să fie performante?
c) numai 4 să fie performante?
d) cel puţin 4 să fie performante?
Rezolvare:
Suntem în condiţiile schemei lui Bernoulli cu
două culori, unde
p = 0,9 şi q = 1-p =0,1 considerând bile albe
creditele performante, iar bile negre cele neperformante.
Vom obţine astfel:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
7.Într-un partid parlamentar sunt 10 deputaţi şi 5
senatori. Se ia la întâmplare un grup de 5 parlamentari ai
166
Elemente de teoria probabilităţilor
partidului respectiv, pentru a forma o comisie. Cu ce
probabilitate grupul conţine:
a) 3 deputaţi şi 2 senatori;
b) numai deputaţi;
c) numai senatori;
d) cel mult 2 senatori;
e) cel puţin un deputat.
Rezolvare:
Suntem în condiţiile schemei hipergeometrice cu
2 culori, unde
a = 10, b = 5 şi n = 5. Vom avea:
a) ;
b) ;
c) ;
167
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
d)
;
e) sau altfel
.
8.Probabilitatea ca un agent comercial să vândă
un anumit produs este 0,3. Dacă acesta oferă produsul
spre vânzare pe rând la 4 magazine cu ce probabilitate el
vinde produsul:
a) la primul magazin;
b) la al doilea magazin;
c) la ultimul magazin;
d) cel mult la al treilea magazin.
Rezolvare:
Suntem în condiţiile schemei geometrice cu p =
0,3 ( se presupune că agentul poate vinde produsul unui
singur magazin). Prin urmare avem:
168
Elemente de teoria probabilităţilor
a) P1 = pq1-1 = 0,3 ;
b) P2 = pq2-1 = pq = 0,3 ∙0,7 = 0,21 ;
c) P4 = pq4-1 = pq3 = 0,3 ∙(0,7)3 = 0,1029 ;
d)Pd =P1+P2+P3=p + pq + pq2 = p(1+q+q2) =
0,3(1+0,7+0,49)=0,657
9.Fie variabilele aleatoare independente :
şi .
Să se scrie variabilele aleatoare : 2X, Y2, X+Y,
XY, 2X+3Y, X/Y, max(X,Y), .
Rezolvare:
Probabilităţile corespunzătoare valorilor lui 2X,
Y2, sunt aceleaşi cu cele corespunzătoare lui X şi
respectiv Y. Avem:
,
, .
.
169
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Deoarece X şi Y sunt independente avem că pij = piqj,1 ≤
i, j ≤ 3 .
De exemplu
.
Obţinem
adică
.
Analog
de unde
.
Cum 2X şi 3Y au repartiţiile
170
Elemente de teoria probabilităţilor
,
,
obţinem repartiţia lui 2X + 3Y :
.
La fel obţinem:
,
.
10.Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete
ale căror repartiţii probabiliste comună (pij ) şi marginale
(pi) şi (qj) sunt date în tabelul următor :
X \ Y -1 0 1 pi
-1 1/8 1/12 1/6 3/8
1 1/24 1/4 1/3 5/8
qj 1/6 1/3 1/2 1
171
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
a)Să se scrie variabilele aleatoare X şi Y.
b)Să se precizeze dacă X şi Y sunt
independente.
c)Să se scrie variabilele X + Y , X ∙ Y, X2, Y2,
Y/X .
Rezolvare:
a)Din tabelul de repartiţie de mai sus deducem
că
şi .
b)Dacă X şi Y ar fi independente atunci
,
ceea ce nu are loc întrucât .
c)Deoarece
,
obţinem
172
Elemente de teoria probabilităţilor
,
,
.
Repartiţiile lui X2 şi Y2 rezultă imediat din cele
ale lui X şi Y:
, .
11.Fie variabila aleatoare discretă
.
a)Să se determine p.
b)Să se calculeze funcţia de repartiţie a lui X.
c)Să se calculeze probabilităţile:
Rezolvare:
a)Trebuie să avem p + p2 + p + p2 + p2 = 1 şi p ≥
0. Rezultă
173
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
3p2 + 2p = 1 şi p ≥ 0, adică p = 1/3.
b)Cum F(x) = P(X<x) rezultă că F(x) = 0 dacă x
≤ 1,
F(x) = p = 1/3 dacă x ,
F(x) = P(X=1) + P(X=2) = p + p2 = 4/9 dacă x
,
F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = p + p2 + p
= 7/9 dacă x ,
F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = p
+ p2 + p + p2 = 8/9 dacă x şi F(x) = 1 dacă x > 5 .
Deci :
c)Avem
174
Elemente de teoria probabilităţilor
P(X<1) = P(Φ) = 0,
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=4/9,
P(X>4)=P(X=5)=1/9,
P(1,5<X<3,2)=P(X=2)+P(X=3)=4/9,
P(X≥2,1)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5/9,
P(1,5<X≤3/2<X<4)=P(X=2 sau X=3 / X=3) =
P(X=3/X=3) =1.
12.Determinaţi constanta a pentru ca funcţia
f dată mai jos să fie densitate de repartiţie şi apoi să se
determine funcţia de repartiţie corespunzătoare. Să se
calculeze mediana, cuantilele şi valoarea modală a
variabilei aleatoare X având densitatea de probabilitate
ρ(x):
Rezolvare:
175
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Avem , de unde
sau
. Rezultă a = 4/3 şi deci
Întrucât F este continuă vom avea F(x) =
F(x+0) , , deci
şi , adică
. Aceasta se realizează pentru
, de unde .
Aşadar . Se observă că
F(1/2)=1/4 deci
176
Elemente de teoria probabilităţilor
rezultă din F(x)=3/4, adică , de
unde .
Deoarece ρ este crescătoare pe [0,1/2] şi
descrescătoare pe (1/2,2], x=1/2 este punct de maxim
(singurul), prin urmare .
13.Să se determine variabilele aleatoare
independente
şi
,
ştiind că M(X)=2 şi M(Y)=7. Să se calculeze
apoi M(2X+3Y), D2(X), D2(Y) şi D2(2X+3Y).
Rezolvare:
Deoarece X este o variabilă aleatoare trebuie să
avem p+2p+3p+4p=1, adică p=1/10. Atunci
M(X)=x∙p+(x+1)∙2p+(x+2)∙3p+
(x+3)∙4p=10px+20p=x+2.
177
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Cum M(X)=2 rezultă că x = 0.
Analog q+q2+q2=1, adică 2q2+q-1=0, de unde
q=1/2. Rezultă că
M(Y)=y∙q+2y∙q2+3y∙q2= . Cum M(Y)=7
avem că y=4. Tablourile de repartiţie ale lui X şi Y vor fi
, .
Folosind proprietăţile mediei avem
M(2X+3Y)=M(2X)+M(3Y)=2M(X)
+3M(Y)=2∙2+3∙7=25.
Pentru calcularea dispersiilor avem nevoie să
calculăm mediile lui X2 şi Y2. Acestea au tablourile de
repartiţie
, ,
astfel că
şi
178
Elemente de teoria probabilităţilor
. Atunci
D2(X)=M(X2)-M(X)2=5-4=1 şi D2(Y)=M(Y2)-
M(Y)2=60-49=11.
Cum X şi Y sunt independente, rezultă că şi 2X
şi 3Y sunt independente şi avem
D2(2X+3Y)=D2(2X)+D2(3Y)=4D2(X)
+9D2(Y)=4∙1+9∙11=103.
14.Să se determine variabilele aleatoare X şi Y
ale căror repartiţii sunt date incomplet în tabelul de mai
jos, ştiind că M(X)=17 şi D2(Y)=1. Să se calculeze apoi
M(XY) şi D2(X-Y).
X \ Y -b 0 b pi
a 1/5 1/10
a2 2/5 3/5
qj 1/5
Rezolvare:
179
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Deoarece p1+p2=1 rezultă că . Mai
departe
p11+p12+p13=p1, adică , deci
. Cum
p13+p23=q3 rezultă că . Dar
p21+p22+p23=p2, adică . Din
p11+p21=q1 şi p22+p12=q2, rezultă că şi .
Obţinem astfel
, . Astfel
, adică 3a2+2a-85=0, de unde
a1=5, a2=-17/3. Deoarece
şi
180
Elemente de teoria probabilităţilor
, rezultă că
.
Din ipoteză D2(Y)=1, astfel că , adică .
Din tabloul repartiţiei comune (pij) avem
şi
Astfel
.
Dacă a=5 M(XY)=-5/7, iar dacă a=-17/3
M(XY)=17/21. Pentru calcularea dispersiei lui X-Y,
avem nevoie de:
181
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Pentru a=5, b=10/7 avem M(X-Y)= şi
,
deci .
15.Să se determine parametrii care apar în
repartiţiile următoare şi să se calculeze apoi M(X) şi
D2(X), X fiind o variabilă aleatoare, având repartiţia
respectivă:
a) ;
b) ;
182
Elemente de teoria probabilităţilor
c)
Rezolvare:
a)Din condiţia rezultă că
Atunci
Astfel D2(X)=M(X2)-M(X)2=24-9=15.
b) Din condiţia rezultă că
183
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
. Atunci
,
.
Astfel
.
c)Din condiţia rezultă că
Cum numai a=1 convine, astfel că :
,
184
Elemente de teoria probabilităţilor
.
16.Fie vectorul aleator (X,Y) cu X, Y variabile
aleatoare independente, a cărui densitate de probabilitate
este
. Să se determine:
a)funcţia de repartiţie corespunzătoare;
b) .
Rezolvare:
a) Avem , deci
. Rezultă că
.
Atunci
185
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
b)
17.Fie vectorul aleator (X,Y) cu densitatea de
probabilitate
a) Să se determine constanta a.
b) Să se calculeze funcţia de repartiţie F(x,y) şi
funcţiile marginale FX(x) şi FY(y).
Rezolvare:
a) Avem , adică
, rezultă că de unde .
b) Avem .
Dacă x < 0 sau y < 0, atunci f(x,y)=0 şi deci
F(x,y)=0.
Dacă x > 1 şi y > 2, atunci F(x,y)=1.
Dacă (x,y) avem
186
Elemente de teoria probabilităţilor
.
Dacă x şi y > 2 avem
.
Dacă x > 1 şi y obţinem
.
Astfel
Funcţiile de repartiţie marginale sunt
187
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
18.Fie vectorul aleator (X,Y) având densitatea
de probabilitate
Să se calculeze:
a) P(X<1,Y<1), P(X+Y<1), P(X+Y≥2),
P(X≥1/Y≥1), P(X<2Y), P(X=n) ;
b) Funcţia de repartiţie F(x,y) şi funcţiile de
repartiţie marginale FX(x), FY(y);
c) Densităţile de repartiţie marginale ρX(x),
ρY(y);
d) Momentele obişnuite de ordin (k,s) ;
e) Corelaţia variabilelor X şi Y.
Rezolvare :
a)
188
Elemente de teoria probabilităţilor
,
, P(X=Y)=0.
b) Avem .
189
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Dacă x > 0 sau y < 0 ρ(x,y)=0, deci F(x,y)=0.
Dacă x ≥0 şi y ≥0 avem
.
Funcţiile de repartiţie marginale sunt
şi
.
c) Densităţile de probabilitate marginale
şi sunt derivatele funcţiilor de repartiţie
marginale:
,
.
d)
,
190
Elemente de teoria probabilităţilor
unde este funcţia gama a
lui Euler şi are proprietatea că pentru
.
e) Avem
.
19.Fie (X,Y) un vector aleator discret a cărui
repartiţie probabilistă este dată în tabelul de mai jos. Să
se calculeze coeficientul de corelaţie r(X,Y) şi să se scrie
ecuaţiile dreptelor de regresie.
X \ Y -1 0 1 2 pi
-1 1/10 1/5 1/10 0 2/5
0 1/20 0 1/10 1/20 1/5
1 1/10 1/10 1/20 3/20 2/5
qj 1/4 3/10 1/4 1/5 1
Rezolvare:
Pe baza formulelor corespunzătoare, deducem
imediat:
191
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
,
,
,
,
.
Ecuaţiile dreptelor de regresie sunt :
192
Elemente de teoria probabilităţilor
, .
20.Să se determine funcţia caracteristică şi
funcţia generatoare de momente şi apoi să se calculeze,
pornind de la acestea, momentele şi , pentru
următoarele variabile aleatoare :
a) ;
b) .
Rezolvare :
a) Avem
şi
.
Primele două derivate ale acestor funcţii sunt :
, )4(4
1)( 2" itit
X eet ,
193
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
,
.
Obţinem
,
, de unde
şi
.
b)
,
194
Elemente de teoria probabilităţilor
.
Obţinem A = 1 - t2A , adică A = şi B =
.
Astfel .
Apoi
.
Primele două derivate sunt
,
52
23"
)1(
210146)(
t
ittittX
,
,
.
Obţinem
195
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
şi
.
1.16. Probleme propuse
1. Se aruncă o monedă de patru ori. Fie A
evenimentul ca marca să apară de două ori, B
evenimentul ca marca să apară cel puţin o dată, C
evenimentul ca marca să apară la aruncarea a doua. Să se
determine:
a) spaţiul E al probelor;
b) probele care favorizează respectiv
apariţiile evenimentelor A, B, C;
c) evenimentele
A-B, B-A, A-C,;
d) probabilităţile evenimentelor de la
punctele precedente.
196
Elemente de teoria probabilităţilor
2. Un client cumpără dintr-un magazin patru
articole de îmbrăcăminte. Fie A1, A2, A3, A4 respectiv
evenimentele ca primul, al doilea, al treilea şi al patrulea
articol să nu conţină defecţiuni. Să se exprime cu ajutorul
acestor evenimente, următoarele evenimente:
a) nici un articol nu prezintă defecţiuni;
b) cel puţin un articol prezintă defecţiuni;
c) exact un aricol prezintă defecţiuni;
d) exact două articole prezintă defecţiuni;
e) cel mult două articole prezintă defecţiuni.
3. Un lacăt are un cifru din patru cifre. Să se
calculeze probabilitatea de a ghici cifrul lacătului dacă:
a) lacătul funcţionează perfect;
b) ultima cifră, din cauza unei defecţiuni nu
trebuie să coincidă cu ultima cifră a
combinaţiei considerate;
c) prima şi ultima cifră nu trebuie să coincidă
cu prima şi respectiv ultima cifră a
combinaţiei considerate.
197
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
4. La o conferinţă de presă participă 7 ziarişti
străini şi 17 ziarişti autohtoni (8 femei şi 9 bărbaţi).
Ştiind că la conferinţa de presă vor pune întrebări 6
ziarişti luaţi la întâmplare din cei 24 prezenţi, se cere
probabilitatea ca întrebările să fie puse de:
a) 2 ziarişti străini şi 4 autohtoni;
b) 2 ziarişti străini şi 4 autohtoni (2 femei şi
2 bărbaţi);
c) 1 ziarist străin şi 5 autohtoni (2 femei şi 3
bărbaţi).
5. Piesele produse de o maşină prezintă rebut în
procente 2%. Pentru controlul calităţii produselor, se iau
la întâmplare 10 piese.
Să se calculeze probabilitatea ca:
a) nici o piesă să nu fie defectă;
b) cel mult două piese să fie defecte.
6. Se ştie că un magazin de cosmetice are acelaşi
număr de clienţi bărbaţi, respectiv femei. Se consideră
primii 12 clienţi ai magazinului dintr-o zi fixată. Să se
calculeze probabilitatea ca dintre cei 12 clienţi:
198
Elemente de teoria probabilităţilor
a) patru să fie femei;
b) să fie cel mult patru femei.
7. Se aruncă un zar de 15 ori. Să se calculeze
probabilitatea ca de 5 ori să apară un număr prim, de 8
ori să apară un număr compus şi de 2 ori apară faţa cu un
punct.
8. La o loterie s-au vândut 85 de bilete loto, din
care o persoană a cumpărat 10 bilete. Ştiind că din 85
bilete 3 sunt câştigătoare, să se calculeze probabilitatea
ca persoana care a cumpărat cele 10 bilete:
a) să nu fi câştigat;
b) să aibă un bilet câştigător;
c) să aibă cel puţin un bilet câştigător.
9. Într-un magazin de autoservire, pe un raft se
află 10 ciocolate care costă respectiv 1 mie de lei, 3 mii
de lei, 5 mii de lei şi 10 mii de lei. O persoană ia la
întâmplare 5 ciocolate. Să se determine probabilitatea ca
suma plătită să fie de 25 mii de lei.
10. Se aruncă 5 zaruri, din care unul are o faţă
colorată în alb şi celelalte în negru, altul are două feţe
199
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
colorate în alb şi celelalte în negru, altul are trei feţe
colorate în alb şi celelalte în negru, altul are patru feţe
colorate în alb şi celelalte în negru, iar altul are cinci feţe
colorate în alb şi celelalte în negru. Să se calculeze
probabilitatea ca :
a) să se obţină pe trei din cele cinci zaruri
culoarea albă;
b) să se obţină cel puţin pe două zaruri
culoarea albă.
11. Se ştie că trei din patru clienţi care intră într-
o unitate alimentară fac cumpărături de la unitatea
respectivă. Să se calculeze probabilitatea ca:
a) primul cumpărător să apară după trei
clienţi care au părăsit magazinul fără să
cumpere nimic din unitatea respectivă;
b) până la al doilea cumpărător doi clienţi să
nu fi efectuat cumpărături.
12. Zece aparate de acelaşi tip sunt date în
folosinţă, trei provenind de la unitatea U1, cinci de la
unitatea U2, iar duoă de la unitatea U3. Se supun aceste
200
Elemente de teoria probabilităţilor
aparate unei probe de verificare. Cele care provin de la
unitatea U1 trec proba cu probabilitatea 0.9, cele de la U2
cu probabilitatea 0.75 iar cele de la U3 cu probabilitatea
0.85. Se ia un aparat la întâmplare şi se cere
probabilitatea ca:
a) aparatul să treacă proba de verificare;
b) aparatul să provină de la U1 dacă se ştie că
a trecut proba de verificare.
13. Consumul zilnic de energie electrică într-o
unitate comercială este normal cu probabilitatea p=0.8.
Fie X numărul zilelor din săptămână când consumul este
normal. Să se scrie distribuţia varialbilei aleatoare X.
14. Se aruncă o monedă de trei ori. Se notează
cu X şi Y respectiv numărul apariţiilor mărcii în cele trei
aruncări şi numărul maxim de mărci consecutive apărute
în cele trei aruncări. Să se scrie distribuţiile:
a) variabilelor aleatoare X şi Y;
b) vectorului aleator (X,Y);
c) variabilelor aleatoare X+Y, XY.
201
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
15. La o librărie s-au primit 10 exemplare dintr-
o carte, din care 4 prezintă mici defecţiuni. Trei
cumpărători iau la întâmplare câte o carte din cele 10. Fie
X numărul cărţilor cu defecţiuni vândute celor trei
cumpărători. Să se scrie distribuţia variabilei aleatoare X
şi funcţia de repartiţie corespunzătoare variabilei
aleatoare X, iar apoi să se reprezinte grafic funcţia de
reprtiţie.
16. O persoană cumpără pe rând bilete de loz în
plic până când obţine un bilet câştigător. Ştiind că un
bilet este câştigător cu probabilitatea p=0.1 şi notând cu
X numărul biletelor necâştigătoare cumpărate, să se scrie
distribuţia variabilei aleatoare X şi funcţia de repartiţie
ataşată variabilei aleatoare X.
17. Variabila aleatoare X de tip continuu are
densitatea de probabilitate: ,
unde A este o constantă reală. Să se determine:
a) constanta reală A;
b) funcţia de repartiţie corespunzătoare;
202
Elemente de teoria probabilităţilor
c) probabilităţile P( ) şi P(0X
X ).
18. Variabila aleatoare X urmează legea normală
N(0,1). Să se determine densităţile de probabilitate
respectiv pentru variabilele aleatoare Y = X3 şi Z = X.
19. O persoană doreşte să deschidă un lacăt şi
are n chei, dintre care numai una se potriveşte. Pentru
aceasta, încearcă la întâmplare deschiderea lacătului cu
aceste chei. Fie X numărul de încercări pentru
deschiderea lacătului. Să se scrie distribuţia variabilei
aleatoare X, iar apoi să se calculeze valoarea medie şi
dispersia variabilei aleatoare X, dacă:
a) cheile încercate se pun împreună cu
celelalte;
b) cheile încercate se înlătură.
20. Se consideră vectorul aleator (X,Y) cu
densitatea de probabilitate: . Să se determine:
a) constanta reală A;
203
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
b) densităţile de probabilitate X, Y pentru
variabilele aleatoare X, Y;
c) probabilităţile P(0 X , 0 Y ) şi
P(X Y ).
21. La patru unităţi alimentare din oraş se poate
găsi zilnic pâine proaspătă cu probabilităţile p1=0.8,
p2=0.9, p3=0.95 şi respectiv p4=0.85. Fie X numărul
unităţilor alimentare din cele patru la care se găseşte
pâine proaspătă într-o zi fixată. Să se determine:
a) distribuţia variabilei aleatoare X;
b) valoarea medie, dispersia, abaterea medie
pătratică, mediana şi modul variabilei
aleatoare X.
22. Fie (X,Y) coordonatele unui punct luminos
ce reprezintă o ţintă pe un ecran radar circular şi care
urmează legea uniformă pe domeniul D =
(x,y)R2x2+y2 r2. Să se determine valoarea medie şi
dispersia distanţei Z = de la centrul ecranului
până la punctul luminos.
204
Elemente de teoria probabilităţilor
23. Variabila aleatoare X urmează legea beta. Să
se calculeze momentele iniţiale, iar apoi valoarea medie,
dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare
X.
24. Fie punctul a = (0,1) fixat şi punctul aleator
X = (0,1), care urmează legea uniformă pe intervalul
(0,1). Să se determine corelaţia dintre X şi distanţa Z =
X-a de la X la a, iar apoi să se determine valoarea lui a
pentru care variabilele aleatoare X şi Z sunt necorelate.
25. Folosind inegalitatea lui Cebîşev, să se arate
că
P(0X2(m+1)) ,
dacă variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate
.
26. Probabilitatea ca o persoană să găsească loc
la un hotel este p = 0.8. În decursul unei luni de zile, la
hotelul respectiv s-au prezentat 4000 de persoane. Fie X
numărul persoanelor care au găsit loc la hotel din totalul
de 4000. Să se determine probabilitatea ca:
205
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
a) numărul persoanelor care au găsit loc la
hotel să fie cuprins între 3000 şi 3400;
b) numărul persoanelor care au găsit loc la
hotel să nu depăşească 3000;
c) numărul persoanelor care nu au găsit loc
la hotel să fie mai mic decât 500.
27. Probabilitatea ca o persoană să fie admisă la
examenul de şofer amator este p=0.75. Într-o lună se
prezintă un număr de n candidaţi la acest examen. Să se
determine numărul n astfel încât să putem afirma cu o
probabilitate cel puţin 0.95 că frecvenţa relativă a
promovaţilor să se abată de la probabilitatea p = 0.75 mai
puţin de 0.01 utilizând atât inegalitatea lui Cebîşev cât şi
teorema Moivre-Laplace.
28. Probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare
să fie defectă este p = 0.01. Sunt testate 100 de piese. Să
se evalueze probabilitatea ca:
a) cel puţin 5 piese să fie defecte;
b) mai puţin de 5 piese să fie defecte;
206
Elemente de teoria probabilităţilor
c) numărul pieselor defecte să fie cuprins
între 5 şi 10.
29. Probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare
să fie defectă este p = 0.1. Un lot de piese este respins
dacă conţine cel puţin 10 piese defecte. Să se determine
numărul de piese ce trebuie testate pentru ca un lot să fie
respins cu probabilitatea 0.87.
30. Să se arate că şirul (Xn)n1 de variabile
aleatoare independente, care au distribuţiile X :
urmează legea numerelor mari.
31. Fie variabilele aleatoare independente:
şi
Să determine variabilele aleatoare: X+Y; X-Y; XY; X2;
Y2; X3; Y3; 2X; 3Y; 2X+3Y; 3Y-2X; .
32. Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete
ale căror repartiţii probabiliste comune şi
unidimensionale şi sunt date în tabelul de mai
jos:
207
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Y
X-1 0 1 2 pi
-1 1/12 1/24 1/24 1/48 3/16
1 1/48 1/24 1/48 1/24 1/8
2 1/48 1/3 1/6 1/6 11/16
qj 1/8 5/12 11/48 11/48 1
a) Scrieţi variabilele aleatoare X şi Y;
b) Precizaţi dacă variabilele aleatore X şi Y
sunt independente sau nu şi justificaţi
răspunsul;
c) Scrieţi variabilele aleatoare: X+Y; X-Y;
XY; ; X2; Y3;
3X-2Y;
33. Fie variabilele aleatoare independente:
208
Elemente de teoria probabilităţilor
şi
a) Calculaţi M(X), M(X2), D2(X), M(Y),
M(Y2) şi D2(Y);
b) Care dintre următoarele mărimi pot fi
calculate şi care nu şi de ce?
M(2X+3Y); D2(2X+3Y); M(X2+Y);
D2(X2+Y);
M(X2+Y2); D2(X2+Y2); M(XY).
c) Calculaţi mărimile de la punctul b) pentru
care răspunsul este favorabil.
34. Să se determine, în fiecare caz, variabila
aleatoare X şi apoi să se calculeze M(X) şi D2(X).
a) , xN, p > 0, q > 0
b) , xN, a > 0, b > 0
209
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
c) , x[0,1], aR
d) , x[0,1], aR
e) , aR, xR
f) , xR,
, aR
35. Fie variabilele aleatoare discrete:
şi
Dacă şi , să se
determine repartiţia comună a vectorului aleatoriu (X,Y)
în funcţie de . Calculaţi apoi coeficientul de
corelaţie şi precizaţi dacă există valori ale lui
pentru care X şi Y să fie independente.
210
Elemente de teoria probabilităţilor
36. Fie un vector aleatoriu continuu cu
densitatea de repartiţie
, a > 0
a) Determinaţi densitatea de repartiţie
şi densităţile de repartiţie
marginale corespunzătoare şi
;
b) Calculaţi coeficientul de corelaţie
.
37. Calculaţi funcţia caracteristică şi funcţia
generatoare de momente pentru fiecare dintre variabilele
aleatoare:
a)
b)
c)
211
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
d) ,
şi apoi verificaţi dacă momentele obţinute pe cale directă
coincid cu cele obţinute cu ajutorul acestor funcţii.
38. Verificaţi dacă funcţiile următoare definesc
repartiţii ale unor variabile aleatoare discrete şi apoi
calculaţi M(X) şi D2(X) pentru fiecare dintre ele.
a)
b)
c)
39. Să se afle funcţia caracteristică a variabilei
aleatoare X caracterizată prin densitatea de probabilitate
.
212
Elemente de teoria probabilităţilor 213