Teorema lui Sylvester

Marian Tache

Liceul Teoretic W. ShakespeareTimisoara

February 6, 2015

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 1 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 2 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD :

OD = 12

(OB + OC

).

Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12

(OB + OC

).

Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12

(OB + OC

).

Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS :

OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12

(OB + OC

).

Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS =

= OA + 2OD = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12

(OB + OC

).

Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE :

OE = 12

(OA + OC

).

Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12

(OA + OC

).

Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12

(OA + OC

).

Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ :

OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12

(OA + OC

).

Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ =

= OB + 2OE = OB + OA + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12

(OA + OC

).

Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Asadar, S = S ′ = H ⇒ OH = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 5 / 10

Teorema lui Sylvester

Theorem

Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:

OH = OA + OB + OC .

Proof.

Asadar, S = S ′ = H ⇒ OH = OA + OB + OC .

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 5 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Dreapta lui Euler

Theorem

Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 6 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Dreapta lui Euler

Theorem

Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 7 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Dreapta lui Euler

Theorem

Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.

Proof.

Din teorema lui Sylvester avem: OH = OA + OB + OC

Din faptul ca G este centrul de greutate avem: 3OG = OA + OB + OCRezulta OH = 3OG , adica O,G ,H coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 8 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Dreapta lui Euler

Theorem

Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.

Proof.

Din teorema lui Sylvester avem: OH = OA + OB + OCDin faptul ca G este centrul de greutate avem: 3OG = OA + OB + OC

Rezulta OH = 3OG , adica O,G ,H coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 8 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Dreapta lui Euler

Theorem

Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.

Proof.

Din teorema lui Sylvester avem: OH = OA + OB + OCDin faptul ca G este centrul de greutate avem: 3OG = OA + OB + OCRezulta OH = 3OG , adica O,G ,H coliniare.

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 8 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 1

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .

Proof.

Din proprietatea centrului de greutate avem:

MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.Pentru M = H se obtine: HA + HB + HC = 3HG

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 1

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .

Proof.

Din proprietatea centrului de greutate avem:MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.

Pentru M = H se obtine: HA + HB + HC = 3HG

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 1

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .

Proof.

Din proprietatea centrului de greutate avem:MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.Pentru M = H se obtine:

HA + HB + HC = 3HG

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 1

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .

Proof.

Din proprietatea centrului de greutate avem:MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.Pentru M = H se obtine: HA + HB + HC = 3HG

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 2

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.

Proof.

Din consecinta precedenta avem:

HA + HB + HC = 3HG = 3 · 23HO = 2HO

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 2

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.

Proof.

Din consecinta precedenta avem:HA + HB + HC = 3HG =

3 · 23HO = 2HO

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 2

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.

Proof.

Din consecinta precedenta avem:HA + HB + HC = 3HG = 3 · 23HO =

2HO

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10

Teorema lui Sylvester - consecinte

Consecinta 2

Theorem

Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.

Proof.

Din consecinta precedenta avem:HA + HB + HC = 3HG = 3 · 23HO = 2HO

Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10