Post on 12-Aug-2015
description
Lect. univ. dr. Nicoleta CARAGEA
STATISTICĂ ECONOMICĂ
Copyright © Mustang, 2012
Nicoleta CARAGEA
STATISTICĂ ECONOMICĂ
Editura Mustang
5
CUPRINS
Ghid de studiere a cursului...............................................................................................8
Scopul cursului .................................................................................................................8
Structura cursului .............................................................................................................8
Studiul cursului .................................................................................................................9
Oportunităţi.......................................................................................................................9
Alte intrumente pentru studiu .........................................................................................10
Unitatea de studiu 1. INDICII STATISTICI ....................................................................11
1.1. Metoda indicilor ...................................................................................................12
1.2. Tipuri de indici .....................................................................................................13
1.3. Indicii individuali...................................................................................................14
1.4. Teste grilă............................................................................................................15
1.5. Pobleme propuse ................................................................................................17
Unitatea de studiu 2. INDICII DE GRUP .......................................................................20
2.1. Indicii de grup - prezentare generală ...................................................................20
2.2. Indicii agregaţi .....................................................................................................21
2.2.1. Indicele agregat al variabilei complexe.........................................................21
2.2.2. Indicii agregaţi ai factorilor............................................................................22
2.3. Teste grilă............................................................................................................24
2.4. Probleme propuse ...............................................................................................31
Unitatea de studiu 3. SISTEMELE DE PONDERARE LASPEYRES ȘI PAASCHE.....33
3.1. Indicele Laspeyres...............................................................................................33
3.1.1. Indicele Laspeyres - calculat pentru variabila calitativă ................................33
3.1.2. Indicele Laspeyres - calculat pentru variabila cantitativă..............................34
3.2. Rata de modificare Laspeyres .............................................................................34
3.2.1. Rata de modificare a variabilei calitative ......................................................34
3.2.2. Rata de modificare a variabilei cantitative ....................................................34
3.3. Sporul absolut al variabilei complexe în sistemul de ponderare Laspeyres.........35
3.4. Indicele Paasche .................................................................................................36
3.4.1. Indicele Paasche al variabilei calitative ........................................................36
3.4.2. Indicele Paasche al variabilei cantitative ......................................................36
3.5. Rata de modificare Paasche................................................................................37
3.5.1. Rata de modificare a variabilei calitative ......................................................37
3.5.2. Rata de modificare a variabilei cantitative ....................................................37
3.6. Sporul absolut al variabilei complexe în sistemul de ponderare Paasche ...........37
3.7. Teste grilă............................................................................................................38
6
3.8. Probleme propuse ...............................................................................................45
Unitatea de studiu 4. INDICELE FISHER. INDICELE EDGEWORTH ..........................48
4.1. Indicele Fisher .....................................................................................................48
4.2. Indicele Edgeworth ..............................................................................................49
4.3. Teste grilă............................................................................................................50
Unitatea de studiu 5. METODE DE ANALIZĂ FACTORIALĂ ......................................56
5.1. Metoda substituţiei în lanţ ....................................................................................56
5.2. Metoda restului nedescompus.............................................................................57
5.2.1. Atribuirea restului în proporţii egale..............................................................57
5.2.2. Atribuirea proporţională a restului.................................................................58
5.3. Teste grilă............................................................................................................59
Unitatea de studiu 6. INDICII CALCULAŢI CA MEDIE A INDICILOR INDIVIDUALI ...62
6.1. Specific ................................................................................................................62
6.2. Indicele Laspeyres calculat ca medie a indicilor individuali .................................63
6.3. Indicele Paasche calculat ca medie a indicilor individuali ....................................65
6.4. Teste grilă............................................................................................................68
6.5. Probleme propuse ...............................................................................................73
Unitatea de studiu 7. INDICII VALORILOR MEDII........................................................77
7.1. Indicele cu structură variabilă ..............................................................................78
7.2. Indicele cu structură fixă ......................................................................................79
7.2.1. Indicele Laspeyres .......................................................................................79
7.2.2. Indicele Paasche ..........................................................................................80
7.3. Indicele modificărilor structurale ..........................................................................81
7.3.1. Indicele Laspeyres .......................................................................................81
7.3.2. Indicele Paasche ..........................................................................................82
7.4. Descompunerea pe factori a sporului variabilelor medii ......................................83
7.5. Teste grilă............................................................................................................85
7.6. Probleme propuse ...............................................................................................87
Unitatea de studiu 8. ANALIZA EVOLUŢIEI ÎN TIMP A FENOMENELOR ECONOMICO-FINANCIARE .............................................................................................90
8.1. Serii cronologice ..................................................................................................90
8.2. Exemple de serii cronologice...............................................................................91
8.3. Reprezentarea grafică a seriilor cronologice .......................................................92
8.4. Teste ...................................................................................................................94
Unitatea de studiu 9. Indicatorii seriilor cronologice .................................................97
9.1. Media seriilor cronologice....................................................................................98
9.1.2. Media cronologică.............................................................................................98
7
9.2. Probleme rezolvate............................................................................................101
9.3. Probleme propuse: ............................................................................................103
Unitatea de studiu 10. Analiza seriilor de timp .........................................................105
10.1. Componentele seriilor cronologice.................................................................105
10.2. Trendul...........................................................................................................107
10.3. Interpolarea şi extrapolarea ...........................................................................108
Unitatea de studiu 11. PROBLEME PROPUSE .........................................................110
8
Ghid de studiere a cursului
Scopul cursului
Cursul îşi propune să ofere, în primul rând studenţilor care se pregătesc să devină
specialişti în domeniul economic şi financiar, cunoştinţele necesare pentru
înţelegerea şi familiarizarea cu sistemul indicatorilor statistici, precum şi cu
principalele instrumente şi metode de analiză statistică, în vederea utilizării
acestora în activitatea practică. De asemenea, prin conţinutul de idei teoretice şi al
utilităţii practice, lucrarea se adresează tuturor celor care doresc să-şi
îmbogăţească cunoştinţele în acest domeniu.
În dezvoltarea sa, statistica a împrumutat metode şi tehnici din alte domenii şi, la
rândul ei, a pătruns în alte discipline devenind în mare măsură o ştiinţă de graniţă.
Au apărut astfel statistica matematică, statistica fizică, statistica socială, statistică
biologică, statistica economică, statistica financiară etc. După un proces istoric
îndelungat de afirmare ca metodă de cunoaştere a realităţii economico-sociale,
statistica a devenit o componentă indispensabilă a vieţii economice, la nivel micro
şi macroeconomic. Evoluţia sa continuă şi în prezent, ca răspuns la solicitările din
ce în ce mai complexe şi mai diversificate ale mediului economico-social.
Structura cursului
Durata medie de studiere a cursului este de aproximativ 30 de ore. Cursul este
structurat în 12 unităţi de studiu, iar durata de asimilare a fiecărei unităţi este de
circa 2-2,5 ore.
Secţiunea I – Introducere
Secţiunea II – Cursuri
Secţiunea III – Aplicaţii
Secţiunea IV – Examen
Pentru evaluarea finală este necesară parcurgerea tuturor lecţiilor şi efectuarea
exerciţiilor practice rezolvate şi propuse spre rezolvare.
9
Studiul cursului
Este de dorit să studiaţi uităţile de studiu din manual. Totodată sunteţi invitaţi să
răspundeţi la întrebările de autoevaluare, să efectuaţi lucrările şi exerciţiile practice.
Dacă într-o anumită unitate de studiu se regăsesc referinţe către alte resurse şi
materiale tipărite sau în format electronic, pe Internet, vă recomandăm să le
parcurgeţi.
Fiecare secţiune începe prin prezentarea cunoştinţelor, competenţelor şi abilităţilor
de care studenţii vor dispune după parcurgerea acesteia. Aceste informaţii de
început au drept scop formarea unei imagini despre ceea ce studenţii vor învăţa pe
parcursul secţiunii.
Pentru testarea parţială a cunoştinţelor asimilate, cursul pune la dispoziţie, la
sfârşitul fiecărei secţiuni, o serie de întrebări, teste şi exerciţii practice.
În cazul în care există neclarităţi în ceea ce priveşte înţelegerea conceptelor
prezentate, sau dificultăţi în rezolvarea aplicaţiilor propuse spre rezolvare, studenţii
se vor adresa cadrelor didactice şi tutorilor, la curs şi la activităţile de
seminar/activităţile asistate.
Examenul final
Verificarea finală constă:
• într-un test grilă cu răspunsuri multiple şi
• din elaborarea şi prezentarea în ziua testării finale a unui proiect.
Timpul de studiu individual, recomandat înainte de examenul final, este de circa o
săptămână, în care studenţii revizuiesc materialele studiate şi exerciţiile propuse şi
bibliografia recomandată.
Oportunităţi
După încheierea programului de studii, acest curs vă oferă accesul pe piaţa forţei
de muncă, în ocupaţii din domeniul financiar1, de exemplu:
• Specialişti în sistemul financiar-bancar;
• Agenţi în activitatea financiară şi comercială;
• Inspectori şi agenţi financiari;
1 Conform Clasificării Ocupaţiilor din România (COR)
10
• Funcţionari în activităţi financiare;
• Conducători în servicii de administraţie şi financiare;
• Asistenţi de cercetare în domeniul financiar-bancar.
Câştigul pe care l-aţi putea obţine din practicarea acestor meserii se poate situa în
intervalul:
200 – 1000 Euro pe lună.
Alte intrumente pentru studiu
• La prezentul curs se adaugă suportul electronic pe CD şi web site-ul
http://www.elearning.ueb.ro/
• Atât pe CD, cât şi pe site-ul dedicat disciplinei de Statistică economică puteţi
găsi alte aplicaţii foarte utile în aprofundarea cunoştinţelor acumulate din cursul
tipărit.
11
Unitatea de studiu 1. INDICII STATISTICI Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• definirea conceptului de indice statistic
• clasificarea indicilor statistici
• prezentarea indicilor individuali
Conţinut Metoda indicilor
Tipuri de indici
Indicii individuali
Întrebări şi teste grilă
Probleme propuse
În practică se întâlnesc deseori forme de analiză comparativă a unor fenomene economice
şi sociale, înregistrate în unităţi de timp sau spaţiu diferite. Astfel, spunem că în anul 2009,
societatea comercială X a realizat în luna iulie 2009 un profit net de 1,2 ori mai mare decât
valoarea programată pentru această lună, sau judeţul Braşov a realizat o producţie de 1,5
ori mai mare decât judeţul Vrancea; sau că în trimestrul al II-lea al anului 2009, Produsul
Intern Brut (PIB) reprezintă 80% din valoarea înregistrată în acelaşi trimestru al anului
precedent. De asemenea, indicii preţurilor, inflaţia, s-au bucurat întotdeauna de interes,
chiar şi din partea publicului larg, care a văzut în ei un mod de caracterizare, de oglindire a
realităţii cotidiene, alături de indicele puterii de cumpărare sau indicele nivelului de trai.
În această secţiune vom vedea care este metodologia de calcul a indicilor, ca măsură a
variabilităţii fenomenelor - la nivel individual şi agregat - regulile de construire a indicilor de
grup, cum se poate identifica şi măsura efectul influenţei factorilor ce acţionează asupra
fenomenelor complexe.
12
1.1. Metoda indicilor
Indicii sunt o măsură a variaţiei relative a fenomenelor, variaţie care poate fi observată şi
analizată după criterii de spaţiu, timp şi în funcţie de un anumit sistem de referinţă. Metoda
indicilor este o metodă de analiză statistică a variaţiei unui fenomen complex, având drept
scop cuantificarea modificării în timp sau a diferenţierii în spaţiu a nivelului şi structurii
acestuia, precum şi a factorilor care contribuie la această variaţie.
Fenomenele economice şi financiare se manifestă după conţinutul lor ca fenomene simple
sau complexe, rezultate din acţiunea aditivă sau multiplicativă a mai multor factori.
Studiul mai aprofundat al modificărilor fenomenelor economice, deşi a fost o preocupare
din cele mai vechi timpuri, a fost abordat într-o manieră ştiinţifică pe la mijlocul secolului al
XVIII-lea.
Putem vorbi de noţiunea de „indice" la începutul secolului al XVIII-lea, într-un studiu al unui
episcop anglican, privind evoluţia preţurilor în Anglia între anii 1440 şi 1700.
Indicele este un număr relativ rezultat din compararea valorilor unui indicator statistic în
diferite perioade sau momente de timp sau în spaţii diferite, oferind o măsură a variaţiei
unui fenomen în timp sau în spaţiu. Indicele este rezultatul unui raport între două niveluri
ale unui indicator:
11/0
0
yI
y=
unde y1 reprezintă nivelul actual, iar y0 nivelul de referinţă.
Indicatorul utilizat în comparaţie poate măsura un fenomen simplu, un aspect sau altul al
unui fenomen complex sau poate reprezenta măsura unui fenomen complex.
Nivelul care se constituie în bază de comparaţie, trebuie să fie un nivel reprezentativ în
dezvoltarea fenomenului reflectat. Deoarece indicii compară prin raport două niveluri
diferite ale aceluiaşi fenomen, înseamnă că numărătorul şi numitorul au aceeaşi unitate de
măsură, şi deci indicele este adimensional, nu depinde de unitatea de măsură a
fenomenului pentru care s-a calculat. Indicele se exprimă în coeficienţi sau în procente. El
arată de câte ori (de cât la sută) nivelul comparat al fenomenului este mai mare sau mai
mic decât nivelul ales ca bază de comparaţie al fenomenului.
Pentru ca indicii calculaţi să aibă un conţinut real, se impune ca: datele iniţiale pe baza
cărora s-a calculat indicele să fie complete, obţinute dintr-o observare totală (în cazul în
13
care ele provin dintr-o observare parţială trebuie asigurată reprezentativitatea faţă de
întreg); numărătorul şi numitorul să aibă valori reale; diferenţa dintre numărătorul şi
numitorul indicelui să fie egală cu modificarea absolută a fenomenului respectiv.
Metoda indicilor permite măsurarea variaţiei fenomenului complex şi a componentelor
acestuia, precum şi evaluarea contribuţiei fiecărei componente, a fiecărui factor la variaţia
fenomenului.
1.2. Tipuri de indici
Datorită numărului mare şi varietăţii indicilor statistici, se impune o sistematizare a
acestora, după următoarele criterii:
În funcţie de caracteristica în raport cu care se face comparaţia se pot deosebi:
• indicii dinamicii, utilizaţi pentru caracterizarea variaţiei în timp, pentru a măsura
modificarea unui fenomen într-o perioadă faţă de o perioadă de referinţă;
• indicii teritoriali, utilizaţi pentru analiza variaţiei în spaţiu, pentru a compara nivelul
pe care îl înregistrează un fenomen în diferite unităţi teritoriale (ţări, regiuni, judeţe,
localităţi), arătând de câte ori este mai mare valoarea înregistrată de o variabilă
într-o anumită unitate teritorială decât cea înregistrată într-o unitate de referinţă;
• indicii planului, care compară nivelul planificat al unui indicator pentru perioada
curentă cu nivelul înregistrat de acelaşi indicator în perioada de referinţă (indicele
sarcinii de plan) şi nivelul efectiv realizat în perioada curentă cu nivelul planificat
(indicele realizării planului);
• indicii categoriali, utilizaţi pentru analiza comparativă a unui fenomen şi a factorilor
diferenţierii acestuia pe categorii.
În funcţie de sfera de cuprindere a analizei indicii se împart în două categorii:
• indicii individuali, denumiţi şi elementari sau simpli;
• indicii de grup, denumiţi şi indici sintetici.
Indicii individuali măsoară variaţia în timp sau spaţiu a unui singur element, de exemplu a
valorii, a volumului şi a preţurilor producţiei unui produs omogen. Indicii de grup măsoară
sintetic variaţia pentru o mulţime de elemente, un grup eterogen de elemente ale căror
caracteristici sunt neînsumabile.
14
În cele ce urmează, problematica indicilor va fi dezvoltată prin evidenţierea relaţiilor dintre
indicii individuali ai unui fenomen complex şi ai factorilor care îi determină evoluţia şi, în
special, prin tratarea complexă a indicilor de grup şi utilizarea acestora pentru
descompunerea pe factori a variaţiei unui fenomen complex.
1.3. Indicii individuali
Indicii individuali se calculează ca raport între nivelul actual şi cel de referinţă:
11/0
0
xi
x=
Dacă indicatorul analizat (y) măsoară un fenomen complex, determinat de doi factori2 (x şi
f), adică y = xf, atunci indicele are forma:
1 1 11/0
0 0 0
y x fi
y x f= =
Se observă că indicele fenomenului complex reprezintă un produs al indicilor celor doi
factori:
1 1 1 11/0 1/0 1/0
0 0 0 0
x f x fi i (x) i (f )
x f x f= = × = ×
Astfel, variaţia unui unui fenomen complex poate fi caracterizată pentru un singur element
cu ajutorul a trei indici – indicele fenomenului analizat şi cei doi indici ai factorilor. În cazul
în care analiza priveşte un grup de n elemente, indicii individuali formează un sistem
format din 3n indici3.
Exemple:
• Dinamica profitului net ( nP ) este determinată de dinamica ratei rentabilităţii
economice4 ( reR ) şi de evoluţia capitalului permanent ( permK ):
1/0 n 1/0 re 1/0 permi (P ) i (R ) i (K )= ⋅
• Dinamica profitului net ( nP ) mai poate fi determinată de dinamica ratei rentabilităţii
financiare5 ( rfR ) şi de evoluţia capitalului propriu ( prK ):
2 De obicei, unul din factori este considerat calitativ sau intensiv, celălalt fiind tratat ca factor cantitativ sau extensiv. 3 Dacă fenomenul este determinat de k factori, atunci sistemul este format din kn indici individuali. 4 Rata rentabilitatii economice = [Beneficiu net / Capital permanent] X 100 5 Rata rentabilitatii financiare = [Beneficiu net / Capital propriu] X 100
15
1/0 n 1/0 rf 1/0 pri (P ) i (R ) i (K )= ⋅
• Dinamica valorii vânzărilor (v) la un singur produs este determinată de dinamica
preţului produsului (p) şi de modificarea cantităţii vândute (q), întrucât v = p X q. În
acest caz:
1/0 1/0 1/0i (v) i (p) i (q)= ⋅
• Dinamica producţiei (Q) unei întreprinderi este determinată de dinamica
productivităţii muncii (w) şi de evoluţia consumului de muncă (T):
1/0 1/0 1/0i (Q) i (w) i (T)= ⋅
• Dinamica fondului de salarii aferent unei categorii de salariaţi (S) este rezultatul
evoluţiei salariilor realizate (s) şi a modificării numărului de salariaţi (N):
1/0 1/0 1/0i (S) i (s) i (N)= ⋅
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Definiţi indicii statistici.
2. Prezentaţi formula de calcul a indicilor statistici.
3. Prezentaţi tipurile de indici, în funcţie de caracteristica în raport cu care se face
comparaţia.
4. Ce categorii de indici cunoaşteţi, după sfera de cuprindere?
5. Prezentaţi formula de calcul a indicelui, dacă indicatorul analizat măsoară un fenomen
complex, determinat de doi factori.
1.4. Teste grilă
1. Într-un studiu al unui episcop anglican, privind evoluţia preţurilor în Anglia, se
aminteşte de noţiunea de „indice", la începutul secolului
a. al XVII-lea
b. al XVIII-lea
c. al XV-lea
d. al IX-lea
e. al XVI-lea
Alegeţi varianta corectă.
16
2. Indicele:
a. este un număr relativ rezultat din compararea valorilor unui indicator statistic
în diferite perioade sau în diferite momente de timp
b. este un număr relativ rezultat din compararea valorilor unui indicator statistic
în spaţii diferite
c. oferă o măsură a variaţiei unui fenomen în timp sau în spaţiu
d. este rezultatul unui raport între două niveluri ale unui indicator
e. toate variantele de mai sus.
Alegeţi varianta corectă.
3. Indicele:
a. două niveluri diferite ale aceluiaşi fenomen, înseamnă că numărătorul şi
numitorul au aceeaşi unitate de măsură, şi deci indicele este adimensional
b. se poate exprima sub formă de coeficient
c. se poate exprima sub formă procentuală
d. nu depinde de unitatea de măsură a fenomenului pentru care s-a calculat
e. toate variantele de mai sus.
Alegeţi varianta corectă.
4. În funcţie de caracteristica în raport cu care se face comparaţia se pot deosebi:
a. indicii planului, care compară nivelul planificat al unui indicator pentru
perioada curentă cu nivelul înregistrat de acelaşi indicator în perioada de
referinţă (indicele sarcinii de plan) şi nivelul efectiv realizat în perioada
curentă cu nivelul planificat (indicele realizării planului);
b. indicii categoriali, utilizaţi pentru analiza comparativă a unui fenomen şi a
factorilor diferenţierii acestuia pe categorii.
c. indicii teritoriali, utilizaţi pentru analiza variaţiei în spaţiu, pentru a compara
nivelul pe care îl înregistrează un fenomen în diferite unităţi teritoriale (ţări,
regiuni, judeţe, localităţi), arătând de câte ori este mai mare valoarea
înregistrată de o variabilă într-o anumită unitate teritorială decât cea
înregistrată într-o unitate de referinţă;
17
d. indicii dinamicii, utilizaţi pentru caracterizarea variaţiei în timp, pentru a
măsura modificarea unui fenomen într-o perioadă faţă de o perioadă de
referinţă;
e. toate variantele de mai sus.
Alegeţi varianta corectă.
5. În funcţie de sfera de cuprindere a analizei indicii se împart în:
a. indici teritoriali şi indicii dinamicii;
b. indici individuali şi indici de grup;
c. indici ai dinamicii, utilizaţi pentru caracterizarea variaţiei în timp, pentru a
măsura modificarea unui fenomen într-o perioadă faţă de o perioadă de
referinţă şi indici statici;
d. indici categoriali şi indicii planului;
e. indici ai planului şi indici de grup.
Alegeţi varianta corectă.
1.5. Pobleme propuse
1. Se cunosc următoarele date privind cantităţile de produse vândute de firma M şi
preţurile de vânzare corespunzăzoare:
Cantităţi vândute Preţuri unitare, lei Produse UM
0t 1t 0t 1t
A tone 120 100 250 280
B mp 1020 900 24 60
C bucăţi 240 300 2000 2400
D kg 2800 3000 60 150
Să se calculeze indicii individuali ai preţurilor, ai volumului fizic şi ai valorii produselor
vândute.
2. Se cunosc următoarele date privind evoluţia salariilor plătite de firma M celor patru
categorii de angajaţi:
Salariul nominal brut,
lei lunar
Numărul
de salariaţi
Categoria de
salariaţi
septembrie decembrie septembrie decembrie
A 1400 1650 20 18
18
B 1750 1900 100 80
C 1910 2000 50 60
D 2200 2100 150 180
Să se calculeze indicii individuali ai salariilor, ai efectivului de salariaţi şi ai fondului de
salarii aferent fiecărei categorii;
3. Se cunosc indicii individuali de creştere a salariilor în iunie faţă de martie şi
structura fondului de salarii în martie şi iunie:
Structura fondului de salarii, % Categorii de
salariaţi
Indicii individuali ai
salariilor, %
iunie/martie
martie iunie
A 106 43 38
B 115 12 20
C 126 20 22
D 120 25 20
Total - 100 100
Să se calculeze:
a. nivelurile salariilor individuale in martie şi iunie;
b. indicii individuali de creştere a salariilor în decembrie faţă de martie, iunie şi
septembrie, în ipoteza în care toate salariile individuale au fost în septembrie cu
21% mai mari decât în iunie.
4. Un magazin a vândut frigidere şi maşini de spălat în cantităţile şi la preţurile
următoare:
Cantităţi vândute (bucăţi) Preţuri (lei/bucată)
0t 1t 0t 1t
Frigidere 120 150 700 910 Masini de spălat 500 1000 950 1040
Să se calculeze
a. indicii individuali ai preţurilor, ai volumului fizic şi ai valorii produselor vândute.
b. indicii individuali de creştere a preţurilor în 2t faţă de 1t , în ipoteza dublării tuturor
preţurilor individuale în 2t faţă de 0t .
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Richard Koch – Dicţionar de management i finan e, Ed. Teora, 2004
19
� Ion Stancu – Finanţe, Ed. Economică, Bucureşti, 2006
� Georgeta Vintilă – Gestiunea financiară a întreprinderii, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2006
Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
Raspunsuri la intrebari 1. b 2. e 3. e 4. e 5. b
20
Unitatea de studiu 2. INDICII DE GRUP Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• prezentarea indicilor de grup
• calculul indicilor agregaţi
Conţinut
Prezentare generală
Indicele agregat al variabilei complexe
Indicii agregaţi ai factorilor
Întrebări şi teste grilă
Probleme propuse
2.1. Indicii de grup - prezentare generală
Indicii de grup au valoare de medie, măsurând variaţia medie pentru ansamblul de
elemente care compun obiectul analizei. De exemplu, rata inflaţiei reprezintă ritmul de
creştere a preţurilor tuturor bunurilor şi serviciilor de consum, o medie a ritmurilor
înregistrate de preţurile tuturor componentelor consumului populaţiei, iar indicele salariului
mediu este o medie a indicilor de creştere a milioane de salarii din economia naţională.
Indicii de grup reprezintă instrumente deosebit de utile atât pentru analiza în dinamică (în
timp) a diferitelor aspecte ale activităţii unei firme, cât mai ales pentru determinarea unor
indicatori sintetici relevanţi pentru analiza evoluţiilor la nivel macroeconomic.
Indicii de grup cei mai frecvent utilizaţi sunt:
• indicii agregaţi;
21
• indicii calculaţi ca medii ale indicilor individuali;
• indicii calculaţi ca raport a două mărimi medii.
2.2. Indicii agregaţi
Indicii agregaţi sunt indicii calculaţi ca raport între două agregate rezultate din însumarea
valorilor pe care le înregistrează o variabilă complexă pentru toate elementele care
compun fenomenul analizat; variabilă complexă ale cărei valori sunt determinate de doi
sau mai mulţi factori (de exemplu, valoarea totală a vânzării mai multor produse,
determinată de preţurile tuturor produselor şi de cantităţile vândute din fiecare produs).
Se calculează mai mulţi indici agregaţi:
• indicele agregat al variabilei complexe ( y1/0I );
• câte un indice agregat pentru fiecare factor; în cazul a doi factori, se va calcula:
� un indice pentru factorul calitativ/intensiv ( x1/0I ) şi
� unul pentru factorul cantitativ/extensiv ( f1/0I ).
Evident, fiecărui indice i se poate asocia o rată a modificării (R1/0) şi un spor absolut (∆1/2),
sporul absolut fiind un indicator de bază pentru aplicarea metodelor de determinare a
influenţei factorilor asupra dinamicii fenomenului analizat.
2.2.1. Indicele agregat al variabilei complexe
Dacă sfera analizei cuprinde un număr determinat (n) unităţi/categorii de unităţi şi - pentru
fiecare - nivelul variabilei complexe este egal cu produsul factorilor:
i i iy x f=
Atunci, pentru întreg ansamblul de unităţi, mărimea variabilei complexe este:
n n
i i ii 1 i 1
Y y x f= =
= =∑ ∑
Prin urmare, indicele agregat al variabilei complexe are forma:
n
1i 1iy 1 i 11/0 n
00i 0i
i 1
x fY
IY
x f
=
=
= =
∑
∑
22
sau, în expresie procentuală:
n
1i 1iy 1 i 11/0 n
00i 0i
i 1
x fY
I (%) 100Y
x f
=
=
= = ×
∑
∑
Este de menţionat faptul că, în decursul istoriei economice, indicele agregat al variabilei
complexe a fost calculat din necesitatea de a găsi o măsură a variaţiei preţurilor la nivelul
unei economii, într-o perioadă determinată de timp, fiind cunoscut sub denumirea de
indice agregat al preţurilor.
Rata de creştere/scădere a variabilei complexe se calculează scăzând unitatea din
indicele agregat sau 100 din indicele exprimat procentual:
y y1/0 1/0R I 1= −
Sau:
y y1/0 1/0R (%) I (%) 100= −
iar sporul absolut ca diferenţă între cele două niveluri ale variabilei:
n ny1/0 1i 1i 0i 0i
i 1 i 1
x f x f= =
∆ = −∑ ∑
În continuare, pentru simplificarea notaţiilor, în toate formulele operatorul n
i 1=
∑ este înlocuit
cu ∑ renunţându-se şi la indicele i din notaţia variabilelor.
2.2.2. Indicii agregaţi ai factorilor
Calculul indicilor agregaţi ai factorilor, adică al indicilor care măsoară creşterea sau
scăderea pe care o înregistrează factorul calitativ x şi factorul cantitativ f, în medie pentru
toate unităţile statistice, nu poate fi făcută pe baza sumei nivelurilor înregistrate de
variabilele x şi f, niveluri care nu sunt însumabile. Nu pot fi însumate, de exemplu,
cantităţile exprimate în kilograme cu cele exprimate în litri, sau cu cele exprimate în bucăţi,
iar însumarea preţurilor unor produse exprimate în unităţi de măsură diferite nu are sens
(chiar dacă preţurile sunt exprimate în mii lei).
23
Soluţia adoptată în acest caz este ponderarea nivelurilor înregistrate de variabila calitativă
x, atât în perioada curentă cât şi în perioada de referinţă, cu niveluri constante ale
variabilei cantitative f şi, reciproc, ponderarea nivelurilor variabilei f cu niveluri constante
ale variabilei x. Care trebuie să fie însă nivelurile constante utilizate ca ponderi, nivelurile
din perioada de bază sau cele din perioada curentă ? Răspunsul la această întrebare este
foarte important, deoarece rezultatele diferă (uneori foarte mult) în funcţie de soluţia
aleasă.
Alegerea modalităţii de ponderare a preocupat pe mulţi statisticieni, au fost propuse mai
multe sisteme de ponderare, însă nici unul dintre ele nu este perfect, nu există argumente
decisive în favoarea alegerii unuia sau altuia. Alegerea celui mai bun sistem de ponderare
rămâne una dintre problemele nerezolvate ale statisticii.
Principalele sisteme de ponderare, denumite după statisticienii care le-au propus, sunt:
• Laspeyres6, care utilizează, ca ponderi, nivelurile (sau structurile, în cazul altor
tipuri de indici de grup) din perioada de referinţă;
• Paasche7, care utilizează, ca ponderi, nivelurile (sau structurile) din perioada
curentă.
Au fost propuse şi formule de ponderare care combină, în diverse modalităţi, nivelurile din
ambele perioade (Fischer8 şi Edgeworth9).
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Definiţi indicii de grup.
2. Care sunt cei mai frecvent utilizaţi indici de grup?
3. Definiţi indicii agregaţi.
4. Ce tipuri de indici agregaţi cunoaşteţi?
5. Prezentaţi formula de calcul a indicelui agregat al variabilei complexe, în expresie
procentuală şi sub formă de coeficient.
6. Prezentaţi formula de calcul a sporului absolute al variabilei complexe.
7. Ce înţelegeţi prin indicia agregaţi ai factorilor variabilei complexe?
8. Ce sisteme de ponderare se pot utiliza la construirea indicilor sintetici?
9. Prezentaţi diferenţa între sistemele de ponderare Laspeyres şi Paasche.
6 Étienne Laspeyres, statistician german (1834 – 1913) 7 Hermann Paasche, economist german (1831 – 1925) 8 Irving Fischer, economist american (1867-1947) 9 Francis Ysidro Edgeworth, statistician irlandez (1845-1926)
24
10. Care sunt sistemele de ponderare, derivate din combinarea, în diverse modalităţi, a
nivelurilor înregistrate de factori în ambele perioade?
2.3. Teste grilă
1. Indicii de grup cei mai frecvent utilizaţi sunt:
a. indicii calculaţi ca medii ale indicilor individuali
b. indicii agregaţi
c. indicii variabilei simple
d. indicii calculaţi ca raport a două mărimi medii
e. a+b+d.
Alegeţi varianta corectă.
2. Indicii agregaţi sunt:
a. indicii formaţi prin însumarea indicilor simpli
b. Indicii formaţi prin înmulţirea indicilor simpli
c. variabile complexe ale căror valori sunt determinate de doi sau mai mulţi
factori
d. indicii calculaţi ca raport între două agregate, rezultate din însumarea
valorilor pe care le înregistrează o variabilă complexă pentru toate
elementele care compun fenomenul analizat
e. variabile complexe, formate din doi factori.
Alegeţi varianta corectă.
3. Se calculează mai mulţi indici agregaţi:
a. indicele agregat al variabilei complexe
b. indicele agregat al variabilei simple
c. câte un indice agregat pentru fiecare factor
d. a+c
e. a+b.
25
Alegeţi varianta corectă.
4. În cazul în care variabila complexă este formată din doi factori, se calculează:
a. un indice pentru factorul calitativ ( x1/0I ) şi unul pentru factorul cantitativ ( f
1/0I )
b. un indice pentru factorul intensiv ( x1/0I ) şi unul pentru factorul extensiv ( f
1/0I ).
c. un indice pentru factorul calitativ ( x1/0I ) şi unul pentru factorul extensiv ( f
1/0I ).
d. un indice pentru factorul intensiv ( x1/0I ) şi unul pentru factorul cantitativ ( f
1/0I ).
e. toate variantele de mai sus.
Alegeţi varianta corectă.
5. Principalele sisteme de ponderare, denumite după statisticienii care le-au propus,
sunt:
a. Laspeyres
b. Paasche
c. Samuelson
d. Edgeworth
e. Fischer
Cere variantă nu este corectă?
6. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea economică şi capitalul permanent,
înregistrate în cazul unui lanţ de magazine din oraşul M:
x
Rentabilitatea economică (%)
f
Capitalul permanent (mii lei)
0t 1t 0t 1t
M1 15,2 16,7 1795 1876
M2 24,4 24,2 234 239
M3 18,5 20,1 4456 4357
Să se determine indicele agregat al profitului net ( n re permP R K= ⋅ ):
a. 1,02
b. 1,08
c. 1,80
26
d. 1,78
e. 1,18
Alegeţi varianta corectă.
7. Un magazin de panificaţie comercializează patru sortimente de pâine. În tabelul de
mai jos sunt prezentate preţurile şi cantităţile vândute în perioada curentă ( 1t ) şi în
perioada de bază ( 0t ):
x
preţul (lei)
f
cantitatea (buc.)
0t 1t 0t 1t
S1 0,7 1,2 3795 5876
S2 1,0 1,1 234 239
S3 1,3 1,4 1795 1876
S4 2,1 2,2 334 339
Cifra de afaceri (CA q p= × ) a crescut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de
bază ( 0t ), în medie, cu:
a. 20,3%
b. 80,3%
c. 19,7%
d. 20,7%
e. -80,3%
Alegeţi varianta corectă.
8. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea financiară10 şi capitalul propriu,
înregistrate în cazul a două firme din cadrul unui concern:
10 Rata rentabilităţii financiare este un indicator important în aprecierea performanţelor economico–financiare ale întreprinderii atât în cadrul diagnosticului intern cât şi în analizele solicitate de partenerii externi. Dacă rata rentabilităţii economice exprimă remunerarea capitalului investit făcând referire numai la activitatea de exploatare, rata rentabilităţii financiare cuantifică remunerarea capitalului propriu prin prisma tuturor celor trei tipuri de activităţi: exploatare, financiară şi extraordinară.
27
x
Rentabilitatea financiară (%)
f
Capitalul propriu (mii lei)
0t 1t 0t 1t
A 23,1 22,7 950 1879
B 21,4 24,2 2340 1239
Să se determine rata de modificare a profitului net ( n rf prP R K= ⋅ ):
a. 0,85%
b. 8,50%
c. 85,0%
d. 58,0%
e. 5,80%.
Alegeţi varianta corectă.
9. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea economică şi capitalul permanent,
înregistrate în cazul unui lanţ de magazine cash and carry:
x
Rentabilitatea economică (%)
f
Capitalul permanent (mii lei)
0t 1t 0t 1t
F1 15,2 16,7 1795 1876
F2 24,4 24,2 234 239
F3 18,5 20,1 4456 4357
Să se determine sporul absolut al profitului net ( n re permP R K= ⋅ ):
a. 7892,1 mii lei
b. 9259,9 mii lei
c. 9259,1 mii lei
d. 7682,1 mii lei
e. 1239,9 mii lei.
28
Alegeţi varianta corectă.
10. În tabelul de mai jos sunt prezentate preţurile şi cantităţile vândute de un magazin
alimentar, în perioada curentă ( 1t ) şi în perioada de bază ( 0t ):
x
preţul (lei)
f
cantitatea (kg)
0t 1t 0t 1t
Produs 1 2,1 2,4 95 76
Produs 2 1,3 1,7 234 239
Produs 3 3,5 4,1 795 876
Cifra de afaceri (CA q p= × ):
a. a crescut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, de
1,3 ori
b. a crescut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, de
2,1 ori
c. a rămas constantă
d. a scăzut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, de
2,1 ori
e. a scăzut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, de
1,3 ori.
Alegeţi varianta corectă.
11. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea financiară şi capitalul propriu:
x
Rentabilitatea financiară (%)
f
Capitalul propriu (mii lei)
0t 1t 0t 1t
A 23,1 22,7 950 1879
29
B 21,4 24,2 2340 1239
Să se determine indicele agregat al profitului net ( n rf prP R K= ⋅ ):
a. 100,85%
b. 118,50%
c. 185,05%
d. 158,01%
e. 5,80%.
Alegeţi varianta corectă.
12. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea economică şi capitalul permanent,
înregistrate în cazul a trei firme din oraşul M.
x
Rentabilitatea economică (%)
f
Capitalul permanent (mii lei)
0t 1t 0t 1t
F1 25,2 26,7 2795 3876
F2 24,4 24,2 1234 2239
F3 28,5 30,1 4456 4357
Să se determine rata de modificare a profitului net ( n re permP R K= ⋅ ):
a. 260,9%
b. -26,9%
c. 26,9%
d. 126,9%
e. -26,6%
Alegeţi varianta corectă.
13. Indicii de grup nu se pot calcula ca:
a. sub formă de medie a indicilor individuali
b. sumă a indicilor individuali
c. raport a două medii
d. sub formă de agregat
30
e. ca medii a indicilor individuali
Alegeţi varianta corectă.
14. Un magazin alimentar comercializează patru tipuri de produse. În tabelul de mai jos
sunt prezentate preţurile şi cantităţile vândute în perioada curentă ( 1t ) şi în perioada
de bază ( 0t ):
x
preţul (lei)
f
cantitatea
0t 1t 0t 1t
p1 5 6 795 576
p2 10 11 34 39
p3 13 14 175 186
p4 21 22 34 39
Cifra de afaceri (CA q p= × ) a crescut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de
bază ( 0t ), în medie, cu:
a. 10,3%
b. a rămas constantă
c. 1,007%
d. 0,588%
e. a scăzut.
Alegeţi varianta corectă.
15. În tabelul de mai jos sunt prezentate date privind volumul fizic al producţiei (Q) şi
costurile unitare (c), pentru două linii de producţie, în perioada curentă ( 1t ) şi în
perioada de bază ( 0t ):
c
costul unitar
(lei)
Q
Volumul producţiei
(tone)
31
0t 1t 0t 1t
p1 5 6 795 576
p2 10 11 34 39
Costul total al producţiei (C Q c= × ):
a. a scăzut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, la
90%
b. a rămas constantă
c. a scăzut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, cu
90%
d. a crescut în perioada curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, la
90%
e. a crescut.
Alegeţi varianta corectă.
2.4. Probleme propuse
1. Un magazin a vândut televizoare în cantităţile şi la preţurile următoare:
Cantităţi vândute (bucăţi) Preţuri (lei/bucată)
0t 1t 0t 1t
TV Samsung 120 150 1700 1910 TV Sony 500 1000 3950 4040 Să se calculeze
a. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al valorii vânzărilor.
2. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea economică şi capitalul permanent,
înregistrate în cazul a trei firme din cadrul unui concern:
x
Rentabilitatea economică (%)
f
Capitalul permanent (mii lei)
0t 1t 0t 1t
32
F1 25,2 26,7 2795 3876
F2 24,4 24,2 1234 2239
F3 28,5 30,1 4456 4357
Să se determine:
a. indicele agregat, rata de modificare şi sporul absolut al profitului net;
b. indicii individuali de creştere a capitalului permanent.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Richard Koch – Dicţionar de management i finan e, Ed. Teora, 2004
� Ion Stancu – Finanţe, Ed. Economică, Bucureşti, 2006
� Georgeta Vintilă – Gestiunea financiară a întreprinderii, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2006
Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/ http://www.insse.ro
Raspunsuri la intrebari 1. e 2. d 3. d 4. e 5. c 6. b 7. b 8. a 9. c 10. a 11. a 12. c 13. b 14. d 15. a
33
Unitatea de studiu 3. SISTEMELE DE PONDERARE LASPEYRES ȘI PAASCHE
Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• prezentarea indicelui, a sporului absolut şi a ratei de modificare în sistemul de
ponderare Laspeyres
• prezentarea indicelui, a sporului absolut şi a ratei de modificare în sistemul de
ponderare Paasche
Conţinut
Indicele Laspeyres
Rata de modificare Laspeyres
Sporul absolut al variabilei complexe în sistemul de ponderare Laspeyres
Indicele Paasche
Rata de modificare Paasche
Sporul absolut al variabilei complexe în sistemul de ponderare Paasche
Întrebări şi teste grilă
Probleme propuse
3.1. Indicele Laspeyres
3.1.1. Indicele Laspeyres - calculat pentru variabila calitativă
Indicele Laspeyres, calculat pentru variabila calitativă, este un indice derivat din indicele
agregat al variabilei complexe, în care valorile variabilei x din perioada curentă (x1) şi din
perioada de bază (x0) sunt înmulţite cu valorile variabilei cantitative din perioada de bază
(f0):
1 0x1/0
0 0
x fI (L)
x f=∑∑
Exprimat procentual, indicele Laspeyres al variabilei calitative are forma:
34
1 0x1/0 %
0 0
x fI (L) 100
x f= ×∑∑
Se observă că numărătorul formulei de calcul al indicelui reprezintă valoarea care ar fi
înregistrată de variabila complexă y dacă variabila cantitativă f ar rămâne la nivelul din
perioada de bază.
3.1.2. Indicele Laspeyres - calculat pentru variabila cantitativă
Indicele Laspeyres al variabilei cantitative f presupune ponderarea valorilor acesteia - din
perioada curentă şi de bază – cu valorile variabilei calitative din perioada de bază:
0 1f1/0
0 0
x fI (L)
x f=∑∑
Exprimat procentual, indicele Laspeyres al variabilei cantitative are forma:
0 1f1/0 %
0 0
x fI (L) 100
x f= ×∑∑
3.2. Rata de modificare Laspeyres
3.2.1. Rata de modificare a variabilei calitative
Rata de creştere/scădere, calculată în sistemul de ponderare Laspeyres pentru variabila
calitativă, se determină astfel:
1 0 0 0x1/0
0 0
x f x fR (L)
x f
−=∑ ∑
∑
1 0 0 0x x1/0 1/0
0 0 0 0
x f x fR (L) I (L) 1
x f x f= − = −∑ ∑∑ ∑
Exprimată procentual, rata de modificare Laspeyres a variabilei calitative are forma:
1 0 0 0x1/0 %
0 0
x f x fR (L) 100
x f
−= ×∑ ∑
∑
x x1/0 % 1/0 %R (L) I (L) 100= −
3.2.2. Rata de modificare a variabilei cantitative
Rata de creştere/scădere, calculată în sistemul de ponderare Laspeyres pentru variabila
calitativă, se determină după formula:
35
0 1 0 0f f1/0 1/0
0 0
x f x fR (L) I (L) 1
x f
−= = −∑ ∑
∑
0 1 0 0f f1/0 1/0
0 0 0 0
x f x fR (L) I (L) 1
x f x f= − = −∑ ∑∑ ∑
În exprimare procentuală, rata de creştere/scădere a variabilei cantitative are forma:
f f1/0 % 1/0 %R (L) I (L) 100= −
3.3. Sporul absolut al variabilei complexe în sistemul de ponderare Laspeyres
Diferenţa dintre numărătorul şi numitorul formulei de calcul al indicelui agregat al variabilei
x reprezintă sporul absolut al variabilei complexe determinat de factorul calitativ:
y/x1/0 1 0 0 0(L) x f x f∆ = −∑ ∑
a cărui pondere în sporul absolut total al variabilei complexe este:
y/xy/x 1/01/0 % y
1/0
(L)(L) 100
∆∆ = ×
∆
Sporul absolut al variabilei complexe y determinat de modificarea factorului cantitativ:
y/f1/0 0 1 0 0(L) x f x f∆ = −∑ ∑
şi ponderea lui în sporul total al variabilei complexe:
y/ fy/ f 1/01/0 % y
1/0
(L)(L) 100
∆∆ = ×
∆
Analiza formulelor de calcul ale indicilor Laspeyres ai celor două variabile relevă faptul că
aceştia nu satisfac testul de reversibilitate a factorilor, care presupune ca produsul indicilor
factorilor să fie egal cu indicele variabilei complexe11 :
x f y1/0 1/0 1/0I (L) I (L) I⋅ ≠
11 1 0 0 1 1 1x f y
1/0 1/0 1/00 0 0 0 0 0
x f x f x fI (L) I (L) I
x f x f x f⋅ = ⋅ ≠ =
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
36
De asemenea, suma sporurilor absolute determinate de cei doi factori nu este egală cu
sporul absolut al variabilei complexe şi, evident, nici suma ponderilor sporurilor
determinate de cei doi factori nu este egală cu 100%:
y/x y/f y1/0 1/0 1/0(L) (L)∆ + ∆ ≠ ∆ 12
y/x y/ f1/0 % 1/0 %(L) (L) 100%∆ + ∆ ≠
3.4. Indicele Paasche
3.4.1. Indicele Paasche al variabilei calitative
Indicele Paasche al variabilei calitative x se calculează prin ponderarea valorilor acesteia
(x1 şi x0) cu valorile variabilei cantitative din perioada curentă (f1):
1 1x1/0
0 1
x fI (P)
x f=∑∑
Sau:
1 1x1/0 %
0 1
x fI (P) 100
x f= ×∑∑
Numitorul formulei de calcul al indicelui reprezintă valoarea agregată care ar fi fost
înregistrată de variabila complexă y în perioada de bază, dacă variabila cantitativă f ar fi
avut şi în această perioadă valorile din perioada curentă.
3.4.2. Indicele Paasche al variabilei cantitative
Acest indice agregat se calculează prin ponderarea valorilor înregistrate de această
variabilă în perioada curentă şi în perioada de bază (f1 şi f0) cu valorile variabilei calitative
din perioada curentă (x1):
1 1f1/0
1 0
x fI (P)
x f=∑∑
Sau:
1 1f1/0 %
1 0
x fI (P) 100
x f= ×∑∑
12
y/x y/ f y1/0 1/0 1/0
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
(L) (L)
( x f x f ) ( x f x f ) x f x f
∆ + ∆ ≠ ∆
− + − ≠ −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
37
3.5. Rata de modificare Paasche
3.5.1. Rata de modificare a variabilei calitative
1 1 0 1x x1/0 1/0
0 1
x x1/0 % 1/0 %
x f x fR (P) I (L) 1
x f
R (P) I (P) 100
−= = −
= −
∑ ∑∑
3.5.2. Rata de modificare a variabilei cantitative
1 1 1 0f f1/0 1/0
1 0
f f1/0 % 1/0 %
x f x fR (P) I (L) 1
x f
R (P) I (P) 100
−= = −
= −
∑ ∑∑
3.6. Sporul absolut al variabilei complexe în sistemul de ponderare Paasche
Sporul absolut al variabilei y datorat modificării variabilei x şi ponderea acestuia în sporul
total :
y/x1/0 1 1 0 1(P) x f x f∆ = −∑ ∑
y/xy/x 1/01/0 % y
1/0
(P)(P) 100
∆∆ = ×
∆
Sporul absolut al variabilei y datorat modificării variabilei f şi ponderea lui în sporul total:
y / f1/0 1 1 1 0
y / fy / f 1/01/0 % y
1/0
(P) x f x f
(P)(P) 100
∆ = −
∆∆ = ×
∆
∑ ∑
Şi în sistemul de ponderare Paasche produsul indicilor celor două variabile-factori (x şi f)
diferă de indicele variabilei complexe (y) :
x f y1/0 1/0 1/0I (P) I (P) I⋅ ≠
38
iar suma sporurilor absolute determinate de modificarea variabilelor x şi f diferă de sporul
absolut total al variabilei y :
y/x y/f y1/0 1/0 1/0
y/x y/f1/0 % 1/0 %
(P) (P) ;
(P) (P) 100%.
∆ + ∆ ≠ ∆
∆ + ∆ ≠
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Prezentaţi formula de calcul a indicelui Laspeyres corespunzător variabilei
calitative.
2. Care este formula indicelui Laspeyres, pentru calculul variabilei cantitative?
3. Prezentaţi formula de calcul a ratei de modificare Laspeyres a variabilei calitative.
4. Care este formula ratei de modificare Laspeyres, pentru calculul variabilei
cantitative?
5. Prezentaţi formula de calcul a sporului absolut Laspeyres al variabilei complexe,
determinat de modificarea variabilei calitative.
6. Prezentaţi formula de calcul a indicelui Paasche corespunzător variabilei calitative.
7. Care este formula indicelui Paasche, pentru calculul variabilei cantitative?
8. Prezentaţi formula de calcul a ratei de modificare Paasche a variabilei calitative.
9. Care este formula ratei de modificare Paasche, pentru calculul variabilei
cantitative?
10. Prezentaţi formula de calcul a sporului absolut Paasche al variabilei complexe,
determinat de modificarea variabilei calitative.
3.7. Teste grilă
1. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea economică şi capitalul permanent
( n re permP R K= ⋅ ), înregistrate la nivelul economiei naţionale, în trei sectoare de
activitate:
x
Rentabilitatea economică (%)
f
Capitalul permanent (mii lei)
0t 1t 0t 1t
39
Agricultură 15,2 16,7 1795 1876
Industrie 24,4 24,2 234 239
Transporturi 18,5 20,1 4456 4357
Să se determine indicele agregat al factorului calitativ (al rentabilităţii economice), conform
sistemului de ponderare Laspeyres ( re re1 perm0R1/0 %
re0 perm0
R KI (L) 100
R K= ×∑∑
):
a. 10,85%
b. 108,5%
c. 1,85%
d. 18,5%
e. 185,5%.
Alegeţi varianta corectă.
2. Indicele agregat al ratei dobânzii este egal cu 105%. Care este semnificaţia
economică a rezultatului?
a. Rata dobânzii a crescut în anul curent ( 1t ), în medie, la 105%, faţă de anul
de bază ( 0t )
b. Rata dobânzii a crescut în anul curent ( 1t ), în medie, cu 105%, faţă de anul
de bază ( 0t )
c. Rata dobânzii a crescut în anul curent ( 1t ), în medie, de 105 ori, faţă de anul
de bază ( 0t )
d. a+b
e. a+c.
Alegeţi varianta corectă.
3. Rata de creştere a capitalurilor proprii corespunzătoare tuturor firmelor din oraşul S
este egală cu 11%. Care este semnificaţia economică a rezultatului?
a. Capitalurile proprii au crescut în anul curent ( 1t ), în medie, la 11%, faţă de
anul de bază ( 0t )
40
b. Capitalurile proprii au crescut în anul curent ( 1t ), în medie, cu 11%, faţă de
anul de bază ( 0t )
c. Capitalurile proprii au crescut în anul curent ( 1t ), în medie, de 1,1 ori, faţă de
anul de bază ( 0t )
d. Capitalurile proprii au crescut în anul curent ( 1t ), în medie, de 11 ori, faţă de
anul de bază ( 0t )
e. a+c+d
Alegeţi varianta corectă.
4. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea financiară ( n rf prP R K= ⋅ ) şi
capitalul propriu:
x
Rentabilitatea financiară (%)
f
Capitalul propriu (mii lei)
0t 1t 0t 1t
A 23,1 22,7 950 1879
B 21,4 24,2 2340 1239
Să se determine indicele agregat al capitalului propriu, conform sistemului de ponderare
Laspeyres ( prK rf0 pr11/0 %
rf 0 pr0
R KI (L) 100
R K= ×∑∑
):
a. 97,08%
b. 118,50%
c. 85,05%
d. 98,07%
e. 85,80%.
Alegeţi varianta corectă.
5. Conform sistemului de ponderare Laspeyres, rata de modificare a productivităţii
muncii ( 1 0w1/0
0 0
w NI (L)
w N=∑∑
), calculată pentru trei echipe de muncitori, este egală cu:
41
w0 w1 N0 N1
Echipa 1 70 75 120 125
Echipa 2 80 90 145 125
Echipa 3 100 120 125 120
a. 20%
b. 13%
c. 14%
d. 15%
e. 80%
Alegeţi varianta corectă.
6. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea economică şi capitalul permanent,
înregistrate în cazul a două firme din cadrul unui concern:
x
Rentabilitatea economică (%)
f
Capitalul permanent (mii lei)
0t 1t 0t 1t
F1 15,2 16,7 1795 1876
F2 24,4 24,2 234 239
Să se determine sporul absolut al profitului net ( n re permP R K= ⋅ ), determinat de modificarea
capitalului permanent, conform sistemului de ponderare Laspeyres
( Pn/Kperm1/0 re0 perm1 re0 perm0(L) R K R K∆ = −∑ ∑ ):
a. 108,5 mii lei
b. 1,85%
c. 11,84%
d. 185,5 mii lei
e. 1184,4 mii lei.
Alegeţi varianta corectă.
42
7. Se cunosc următoarele date privind rentabilitatea financiară şi capitalul propriu,
înregistrate în cazul a două firme din oraşul N:
x
Rentabilitatea financiară (%)
f
Capitalul propriu (mii lei)
0t 1t 0t 1t
A 23,1 22,7 950 1879
B 21,4 24,2 2340 1239
Să se determine modificarea absolută a profitului ( n rf prP R K= ⋅ ) datorată variaţiei
capitalului propriu, conform sistemului de ponderare Paasche
( prPn/K1/0 rf1 pr1 rf1 pr0(P) R K R K∆ = −∑ ∑ ):
a. -9999,5
b. 5555,9
c. -5555,9
d. 9999,5
e. nici o variantă un este corectă.
Alegeţi varianta corectă.
8. Se cunosc următoarele date privind viteza de rotaţie a activelor13 şi valoarea medie
a activelor circulante, înregistrate în cazul a două firme din oraşul M:
x
viteza de rotaţie
f
valoarea medie a activelor circulante
(mii lei)
0t 1t 0t 1t
A 33 22 3950 4879
B 21 24 2340 3239
13 Viteza de rotaţie a activelor este un indicator sintetic, calitativ, de eficienţă în care se reflectă toate schimbările intervenite în activitatea de exploatare şi cea financiară a întreprinderii. VRA caracterizează procesul de aprovizionare şi producţie, reducerea costurilor, scurtarea ciclului de producţie şi a perioadei de desfacere şi încasare a producţiei. Numărul de rotaţii este egal cu raportul între cifra de aferi și valoarea medie a activelor circulante (VRA=CA/AC)
43
Să se determine indicele agregat al vitezei de rotaţie (CA VRA AC= × ), conform
sistemului de ponderare Paasche ( 1 1VRA1/0 %
0 1
VRA ACI (P) 100
VRA AC
×= ×
×
∑∑
):
a. 80,8%
b. 79,8%
c. -20%
d. 67,8%
e. 45,9%
Alegeţi varianta corectă.
9. Se cunosc următoarele date privind viteza de rotaţie a activelor şi valoarea medie a
activelor circulante, înregistrate în cazul a patru firme de producţie din cadrul
aceluiaşi concern:
x
viteza de rotaţie
f
valoarea medie a activelor circulante
(mii lei)
0t 1t 0t 1t
F1 23 24 2341 2345
F2 11 10 1123 1345
F3 33 22 3950 4879
F4 21 24 2340 3239
Să se determine rata de modificare a vitezei de rotaţie (CA VRA AC= × ), conform
sistemului de ponderare Paasche ( 1 1VRA1/0 %
0 1
VRA ACR (P) 100 100
VRA AC
×= × −
×
∑∑
):
a. 80,8%
b. 14,4%
c. -14,4%
d. 17,8%
e. -45,9%
44
Alegeţi varianta corectă.
10. Determinaţi indicele Laspeyres al preţurilor produselor electrocasnice
( 1 0p1/0
0 0
p qI (L)
p q=∑∑
), comercializate de magazinul XX, cunoscând următoarele
elemente :
p0 p1 q0 q1
Frigidere 428 653 15 16
Maşini de spălat 850 1005 20 30
Cuptoare cu microunde
212 347 50 75
a. 1,388
b. 1,883
c. 0,883
d. 0,388
e. 1,383
Alegeţi varianta corectă.
11. Conform sistemului de ponderare Paasche, rata de creştere a cantităţilor de
produse ( 1 1 1 0q1/0
1 0
p q p qR (P) 100
p q
−= ×∑ ∑
∑), comercializate de magazinul XX, calculată
pentru datele din tabelul de mai jos,este egală cu:
u.m. p0 p1 q0 q1
Ulei litri 428 653 150 160
Zahăr kg 850 1005 200 300
Pâine bucăţi 2,1 3,4 5000 7500
a. 32,5%
b. -32,5%
c. 83,0%
d. 36,5%
e. 1,30%
Alegeţi varianta corectă.
45
12. Conform sistemului de ponderare Laspeyres, indicele de modificare a productivităţii
muncii ( 1 0w1/0
0 0
w NI (L)
w N=∑∑
), calculat pentru trei echipe de muncitori, este egal cu:
w0 w1 N0 N1
Echipa 1 70 75 120 125
Echipa 2 80 90 145 125
Echipa 3 100 120 125 120
a. 120%
b. 113%
c. 114%
d. 115%
e. 80%
Alegeţi varianta corectă.
13. Cine a propus un sistem de ponderare cu folosirea ponderilor din perioada de bază:
a. Paasche
b. Edgeworth
c. Fischer
d. Edgeworth şi Marshall
e. Laspeyres
Alegeţi varianta corectă.
14. Indicele preţurilor de consum se poate calcula ca un indice de tip:
a. Paasche
b. Laspeyres
c. Fischer
d. indice al valorii
e. indice al volumului fizic.
Alegeţi varianta corectă.
3.8. Probleme propuse
1. Se cunosc următoarele date privind cantităţile de produse vândute de firma M şi
preţurile de vânzare corespunzăzoare:
Produse UM Cantităţi vândute Preţuri unitare, lei
46
martie septembrie martie septembrie
A tone 1203 1004 250 280
B mp 120 900 24 60
C bucăţi 540 900 2000 2400
D kg 2800 3000 60 150
Să se calculeze:
a. indicii individuali ai preţurilor, ai volumului fizic şi ai valorii produselor vândute;
b. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al valorii vânzărilor;
c. indicele agregat şi rata de creştere a preţurilor după formulele Laspeyres şi
Paasche;
d. indicele agregat şi ritmul de creştere a volumului fizic al vânzărilor după formulele
Laspeyres şi Paasche şi Fischer.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
2. Se cunosc următoarele date privind evoluţia salariilor plătite de firma F celor patru
categorii de angajaţi:
Salariul nominal brut,
lei lunar
Numărul
de salariaţi
Categoria de
salariaţi
septembrie decembrie septembrie decembrie
A 1400 1650 20 18
B 1750 1900 100 80
C 1910 2000 50 60
D 2200 2100 150 180
Să se calculeze:
a. indicii individuali ai salariilor, ai efectivului de salariaţi şi ai fondului de salarii aferent
fiecărei categorii;
b. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al fondului de salarii;
c. indicele agregat şi rata de creştere a salariilor după formulele Laspeyres şi
Paasche;
d. indicele agregat şi ritmul de creştere a volumului forţei de muncă utilizate
(efectivului de salariati), după formulele Laspeyres şi Paasche;
e. salariul mediu la nivelul firmei în septembrie şi decembrie;
47
f. indicele de creştere şi sporul - absolut şi relativ - al salariului mediu în decembrie
faţă de septembrie;
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007.
� Petrescu S., Diagnostic economic-financiar. Metodologie. Studii de caz, Ed. Sedcom Libris, 2004
� Hada T., Finanţarea agenţilor economici din România, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca, 2004
Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/ http://www.insse.ro http://www.imf.org/external/pubs/ft/scr/2009/cr09183.pdf http://epp.eurostat.ec.europa.eu/tgm/table.do?tab=table&language=en&pcode=teicp000&tableSelection=1&plugin=1
Raspunsuri la intrebari 1. b 2. a 3. b 4. a 5. c 6. e 7. c 8. a 9. c 10. a 11. d 12. c 13. e 14. b
48
Unitatea de studiu 4. INDICELE FISHER. INDICELE EDGEWORTH
Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• prezentarea indicelui, a sporului absolut şi a ratei de modificare în sistemele de
ponderare Fischer şi Edgeworth
Conţinut
Indicele Fischer
Indicele Edgeworth
Întrebări şi teste grilă
4.1. Indicele Fisher
Indicele Fisher, denumit şi indicele ideal al lui Fisher14, utilizează o combinaţie a două
sisteme de ponderare, fiind construit ca medie geometrică a indicilor Laspeyres şi
Paasche:
1 0 1 1x1/0
0 0 0 1
x f x fI (F)
x f x f= ×∑ ∑∑ ∑
Unde:
1 0 x1/0
0 0
x fI (L)
x f=
∑∑
14 Irving Fisher (1867-1947), statistician, matematician şi economist american, a analizat 134 formule de indici, propunând un indice considerat « ideal » întrucât satisface mai multe teste de calitate.
49
1 1 x1/0
0 1
x fI (P)
x f=
∑∑
Indicele lui Fischer poate fi scris sub forma unei medii geometrice a celor doi indici
agregaţi:
x x x1/0 1/0 1/0I (F) I (L) I (P)= ×
pentru variabila calitativă x;
0 1 1 1f1/0
0 0 1 0
f f f1/0 1/0 1/0
x f x fI (F)
x f x f
I (F) I (L) I (P)
= ×
= ×
∑ ∑∑ ∑
pentru variabila cantitativă f.
4.2. Indicele Edgeworth
Indicele Edgeworth15, calculat pentru variabila calitativă x, este un indice în care ponderile
sunt formate din media valorilor variabilei cantitative f din perioada curentă şi din perioada
de bază16:
1 1 0x1/0
0 1 0
1x (f f )
2I (E)1
x (f f )2
× +
=
× +
∑
∑
Indicele poate fi scris şi sub forma:
1 1 0x1/0
0 1 0
x (f f )I (E)
x (f f )
× +=
× +
∑∑
Indicele Edgeworth, calculat pentru variabila cantitativă f, este un indice în care ponderile
sunt formate din media valorilor variabilei calitative x din perioada curentă şi din perioada
de bază:
15 Cunoscut și sub denumirea de indice Marshall-Edgeworth 16 Prin simplificare, în formula indicelui este cuprinsă numai suma celor două valori ale variabilei f.
50
1 0 1f1/0
1 0 0
(x x ) fI (E)
(x x ) f
+ ×=
+ ×
∑∑
În practica statistică există încă probleme legate de alegerea şi folosirea ponderilor la
elaborarea indicilor sintetici. Alegerea şi folosirea sistemelor de ponderare trebuie să se
facă în mod diferenţiat, ţinând seama de conţinutul indicatorului de comparat, de natura
datelor existente în evidenţa curentă şi de posibilitatea de a stabili o analogie între
descompunerea pe factori a modificării absolute şi relative.
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Definiţi indicele lui Fisher.
2. Prezentaţi formula de calcul a indicelui Fischer pentru variabila calitativă x.
3. Prezentaţi formula de calcul a indicelui Fischer pentru variabila cantitativă f.
4. Definiţi indicele lui Edgeworth.
5. Prezentaţi formula de calcul a indicelui Edgeworth pentru variabila calitativă x.
6. Prezentaţi formula de calcul a indicelui Edgeworth pentru variabila cantitativă f.
4.3. Teste grilă
1. Conform sistemului de ponderare Fisher, indicele de creştere a productivităţii
muncii ( 1 0 1 1w1/0
0 0 0 1
w N w NI (F)
w N w N= ×∑ ∑∑ ∑
), calculat pentru trei echipe de muncitori, este
egal cu:
w0 w1 N0 N1
Echipa 1 70 75 120 125
Echipa 2 80 90 145 125
Echipa 3 100 120 125 120
a. 120,9%
b. 113,9%
c. 115,1%
d. 1,13%
e. 17,0%
Alegeţi varianta corectă.
51
2. Cine a propus un sistem de ponderare cu folosirea ponderilor din perioada curentă:
a. Paasche
b. Edgeworth
c. Fischer
d. Edgeworth şi Marshall
e. Laspeyres
Alegeţi varianta corectă.
3. Determinaţi indicele Edgeworth al preţurilor ( 1 0 1p1/0
0 0 1
p (q q )I (E)
p (q q )
+=
+
∑∑
), comercializate
de magazinul XX, cunoscând următoarele elemente :
p0 p1 q0 q1
Produs 1 428 653 15 16
Produs 2 850 1005 20 30
Produs 3 212 347 50 75
a. 1,883
b. 0,883
c. 388,4%
d. 138,9%
e. 138,4%
Alegeţi varianta corectă.
4. Se cunosc următoarele date privind viteza de rotaţie a activelor şi valoarea medie a
activelor circulante, în cazul a patru firme din industria lemnului:
VRA
viteza de rotaţie
AC
valoarea medie a activelor circulante
(mii lei)
0t 1t 0t 1t
A 33 22 3950 4879
B 21 24 2340 3239
C 42 34 789 989
D 22 25 4567 3456
52
Să se determine indicele agregat Fisher al vitezei de rotaţie, utilizând formula de calcul
1 0 1 1VRA1/0 %
0 0 0 1
VRA AC VRA ACI (F) 100
VRA AC VRA AC
× ×= × ×
× ×
∑ ∑∑ ∑
:
a. 80,8%
b. 89,8%
c. -20%
d. 89,4%
e. 45,9%
Alegeţi varianta corectă.
5. Dacă indicele agregat Edgeworth al activelor circulante este egal cu 75%, spunem
că:
a. valoarea medie a activelor circulante a crescut, în medie, cu 75%
b. valoarea medie a activelor circulante a scăzut, în medie, cu 75%
c. valoarea medie a activelor circulante a scăzut, în medie, la 75%
d. valoarea medie a activelor circulante a scăzut de 7,5 ori
e. valoarea medie a activelor circulante a crescut de 7,5 ori.
Alegeţi varianta corectă.
6. Un magazin de panificaţie comercializează patru sortimente de pâine. În tabelul de
mai jos sunt prezentate preţurile şi cantităţile vândute în perioada curentă ( 1t ) şi în
perioada de bază ( 0t ):
p
preţul (lei)
q
cantitatea (buc.)
0t 1t 0t 1t
S1 0,7 1,2 3795 5876
S2 1,0 1,1 234 239
S3 1,3 1,4 1795 1876
S4 2,1 2,2 334 339
53
Conform sistemului de ponderare Edgeworth, cantităţile au crescut în perioada
curentă ( 1t ) faţă de perioada de bază ( 0t ), în medie, cu:
a. 20,3%
b. 80,3%
c. 19,7%
d. 20,7%
e. 39,2%
Alegeţi varianta corectă.
7. Se cunosc următoarele date privind cantităţile de produse vândute de firma M şi
preţurile de vânzare corespunzăzoare:
Cantităţi vândute Preţuri unitare, lei Produse UM
iunie septembrie iunie septembrie
A tone 1203 1004 250 280
B mp 120 900 24 60
Să se calculeze indicele agregat al preţurilor după formula Fisher
1 0 1 1p1/0 %
0 0 0 1
p q p qI (F) 100
p q p q
× ×= × ×
× ×
∑ ∑∑ ∑
:
a. 96%
b. 14%
c. 196%
d. -96%
e. -14%
Alegeţi varianta corectă.
8. Se cunosc următoarele date privind evoluţia salariilor plătite de firma F celor patru
categorii de angajaţi:
Categoria de Salariul nominal brut,
lei lunar
Numărul
de salariaţi
54
salariaţi septembrie decembrie septembrie decembrie
C1 1400 1650 20 18
C2 1750 1900 100 80
C3 1910 2000 50 60
C4 2200 2100 150 180
Să se calculeze rata de creştere a salariilor după formula Edgeworth
1 0 1s1/0
0 0 1
s (N N )I (E)
s (N N )
+=
+
∑∑
a. 98%
b. 99%
c. 100%
d. 101%
e. 102%
Alegeţi varianta corectă.
9. Se cunosc următoarele date privind evoluţia salariilor plătite de firma F celor două
categorii de angajaţi:
Salariul nominal brut,
lei lunar
Numărul
de salariaţi
Categoria de
salariaţi
mai iunie mai iunie
C1 4500 5150 20 18
C2 1750 1900 100 80
Conform sistemului de ponderare Fischer:
( 1 0 1 1N1/0 %
0 0 0 1
N s N sR (F) 100 100
N s N s
× ×= × × −
× ×
∑ ∑∑ ∑
):
a. volumului forţei de muncă utilizate a crescut, în medie, cu 30,4%
b. volumului forţei de muncă utilizate a scăzut, în medie, cu 30,4%
c. volumului forţei de muncă utilizate a rămas constant
d. volumului forţei de muncă utilizate a crescut, în medie, la 30,4%
e. volumului forţei de muncă utilizate a scăzut, în medie, la 30,4%
Alegeţi varianta corectă.
55
10. Cine a propus un sistem de ponderare cu folosirea mediei variabilei cantitative din
perioada curentă şi cea de bază:
a. Paasche
b. Edgeworth
c. Fischer
d. Fischer şi Edgeworth
e. Laspeyres
Alegeţi varianta corectă.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007. Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
Raspunsuri la intrebari 1. b 2. a 3. e 4. d 5. c 6. e 7. a 8. e 9. b 10. b
56
Unitatea de studiu 5. METODE DE ANALIZĂ FACTORIALĂ
Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• descompunerea pe factori a sporului variabilei complexe prin metoda substituţiei în
lanţ
• descompunerea pe factori a sporului variabilei complexe prin metoda restului
nedescompus
Conţinut
Metoda substituţiei în lanţ
Metoda restului nedescompus
Întrebări şi teste grilă
Descompunerea pe factori a sporului absolut al indicatorului care măsoară fenomenul
complex înseamnă să se calculeze cât din sporul absolut al variabilei complexe este
determinat de factorul calitativ şi cât de factorul cantitativ.
Descompunerea pe factori se realizează prin două metode :
• metoda substituţiei în lanţ;
• metoda restului nedescompus.
5.1. Metoda substituţiei în lanţ
Medoda se bazează pe calculul sporurilor absolute ale variabilei complexe sub influenţa
fiecărui factor, utilizându-se sisteme de ponderare diferite: în principal, sistemul Paasche
pentru variabila calitativă şi Laspeyres pentru variabila cantitativă, astfel:
y/x y/ f y1/0 1/0 1/0(P) (L)∆ + ∆ = ∆
y/x y/ f1/0 % 1/0 %(P) (L) 100%.∆ + ∆ =
57
Conform acestor formule, în termeni absoluţi, contribuţia variabilei calitative/intensive x la
evoluţia variabilei complexe y egală cu y/x1/0 (P)∆ , iar contribuţia variabilei cantitative/
extensive f este egală cu y/f1/0 (L)∆ .
y/x1/0 %(P)∆ şi y/f
1/0 %(L)∆ arată câte procente din variaţia variabilei complexe revin fiecăruia din
cei doi factori.
5.2. Metoda restului nedescompus
Metoda este denumită şi metoda influenţelor izolate ale factorilor, presupune utilizarea
aceluiaşi sistem de ponderare (Laspeyres) pentru ambii factori.
Suma sporurilor determinate de cei doi factori, evaluate în acelaşi sistem de ponderare,
diferă însă de sporul total al variabilei complexe:
y/x y/f y1/0 1/0 1/0(L) (L)∆ + ∆ ≠ ∆
diferenţa dintre această sumă şi sporul total al variabilei y, denumită rest nedescompus,
fiind considerată ca determinată de influenţa comună a celor doi factori:
y y/x y/ f y /x f1/0 1/0 1/0 1/0(L) (L) ∩ ∆ − ∆ + ∆ = ∆
Acest rest se poate atribui celor doi factori :
• în proporţii egale sau
• proporţional cu sporul calculat în sistem Laspeyres sau Paasche.
5.2.1. Atribuirea restului în proporţii egale
Dacă restul se atribuie factorilor în proporţii egale, contribuţia fiecăruia din cei doi factori
la sporul absolut al variabilei se calculează astfel:
y/x fy/x y/x 1/01/0 1/0
y/x fy /f y /f 1/01/0 1/0
(L)2
(L)2
∩
∩
∆∆ = ∆ +
∆∆ = ∆ +
Ceea ce în termeni relativi înseamnă:
58
y/xy/x 1/01/0 y
1/0
y/fy/ f 1/01/0 y
1/0
(%) 100
(%) 100
∆∆ =
∆
∆∆ =
∆
5.2.2. Atribuirea proporţională a restului
Dacă restul nedescompus se atribuie factorilor proporţional cu contribuţia acestora la
sporul absolut al variabilei y, calculată direct în sistem Laspeyres, atunci partea ce revine
fiecărui factor din sporul total al variabilei complexe este egală cu :
y/xy/x y/x y/x f 1/01/0 1/0 1/0 y/x y/ f
1/0 1/0
y/ fy/f y/ f y /x f 1/01/0 1/0 1/0 y/x y/f
1/0 1/0
(L)(L)
(L) (L)
(L)(L)
(L) (L)
∩
∩
∆∆ = ∆ + ∆
∆ + ∆
∆∆ = ∆ + ∆
∆ + ∆
care în expresie relativă se determină prin raportare la sporul total al variabilei y.
Principalul dezavantaj al aplicării metodei substituţiei în lanţ este acela că tot sporul
datorat influenţei comune a celor doi factori este atribuit implicit unuia dintre ei.
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Ce înţelegeţi prin descompunerea pe factori a sporului absolut?
2. Ce metode se pot folosi la descompunerea pe factori a variaţiei unui fenomen
complex?
3. Ce reprezintă restul nedescompus?
4. Prezentaţi formulele de calcul în cazul analizei influenţei factorilor pe baza metodei
substituţiei în lanţ.
5. Ce reprezintă y/x1/0 %(P)∆ şi y/f
1/0 %(L)∆ în formula de calcul pentru metoda substituţiei în
lanţ?
6. Care este principalul dezavantaj al aplicării metodei substituţiei în lanţ, faţă de
metoda restului nedescompus?
59
7. Prezentaţi formulele de calcul în cazul analizei influenţei factorilor pe baza metodei
restului nedescompus, în situaţia în care acest rest se atribuie proporţional cu
contribuţia factorilor.
8. Prezentaţi formulele de calcul în cazul analizei influenţei factorilor pe baza metodei
restului nedescompus, în situaţia în care acest rest se atribuie factorilor în proporţii
egale.
9. Ce reprezintă y/x f1/0
∩∆ în cazul analizei influenţei factorilor pe baza metodei restului
nedescompus?
10. Cum mai este denumită metoda restului nedescompus ?
5.3. Teste grilă
1. Medoda substituţiei în lanţ se bazează pe:
a. calculul sporurilor absolute şi relative ale variabilei complexe sub influenţa
fiecărui factor, utilizându-se acelaşi sisteme de ponderare;
b. calculul sporurilor absolute ale variabilei complexe sub influenţa fiecărui
factor, utilizându-se sisteme de ponderare diferite: în principal, sistemul
Paasche pentru variabila calitativă şi Laspeyres pentru variabila cantitativă;
c. calculul indicilor variabilei complexe sub influenţa fiecărui factor,
utilizându-se acelaşi sisteme de ponderare;
d. calculul sporurilor relative ale variabilei complexe sub influenţa fiecărui
factor, utilizându-se sisteme de ponderare diferite: în principal, sistemul
Paasche pentru variabila calitativă şi Fisher pentru variabila cantitativă;
e. calculul sporurilor medii ale variabilei complexe sub influenţa fiecărui factor,
utilizându-se sisteme de ponderare diferite: în principal, sistemul Paasche
pentru variabila calitativă şi Laspeyres pentru variabila cantitativă.
Alegeţi varianta corectă.
2. În descompunerea unui fenomen complex, metoda restului nedescompus, spre
deosebire de metoda substituţiei în lanţ este mai corectă pentru că:
a. ţine seama de natura calitativă sau cantitativă a factorului izolat;
b. izolează numai factorul calitativ la nivelul perioadei de bază;
c. izolează numai factorul cantitativ la nivelul perioadei curente;
60
d. operează atât cu modificări absolute cât şi cu modificări relative;
e. nu atribuie tot sporul datorat influenţei comune a celor doi factori implicit
unuia dintre ei
Alegeţi varianta corectă.
3. Metoda influenţelor izolate ale factorilor, presupune utilizarea aceluiaşi sistem de
ponderare pentru ambii factori:
a. Paasche
b. Laspeyres
c. Fisher
d. Roegen
e. Edgeworth
Alegeţi varianta corectă.
4. În metoda restului nedescompus, restul se poate atribui celor doi factori:
a. în proporţii egale sau proporţional cu sporul calculat în sistem Laspeyres sau
Paasche;
b. în proporţii egale sau proporţional cu sporul calculat în sistem Fisher sau
Paasche;
c. numai în proporţii egale cu sporul calculat în sistem Laspeyres sau Paasche;
d. exclusiv proporţional cu sporul calculat în sistem Laspeyres sau Paasche;
e. proporţional cu sporul calculat în sistem Laspeyres sau Edgeworth.
Alegeţi varianta corectă.
5. În cazul metodei restului nedescompus:
a. suma sporurilor determinate de cei doi factori, evaluate în acelaşi sistem de
ponderare, diferă de sporul total al variabilei complexe;
b. produsul sporurilor determinate de cei doi factori, evaluate în acelaşi sistem
de ponderare, diferă de sporul total al variabilei complexe;
c. suma sporurilor determinate de cei doi factori, evaluate în acelaşi sistem de
ponderare, este egal cu sporul total al variabilei complexe;
61
d. produsul sporurilor determinate de cei doi factori, evaluate în acelaşi sistem
de ponderare, este egal cu sporul total al variabilei complexe;
e. suma sporurilor determinate de cei doi factori, evaluate în sisteme de
ponderare diferite, este egal cu sporul total al variabilei complexe;
Alegeţi varianta corectă.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Anghelache, C., Bugudui, E., Gresoi, S. şi Niculescu, E. 2006. Statistică aplicată, Bucureşti, Editura Economică.
� Buzilă, Al. 2006. Statistic. Interdependenţe, dinamica şi contrbuţia factorilor, Editura Alma Mater, Sibiu.
� Crecană, C. 2006. Analiză economico-financiară, Bucureşti, Editura Economică.
� Isaic-Maniu, Al. (coord.), Pecican, E., Ştefănescu, D., Vodă, V.Gh. şi Wagner, P. 2003. Dicţionar de statistică generală, Bucureşti, Editura Economică.
� Voineagu, V. 2004. Statistică Economică, Bucureşti, Editura Tribuna Economică Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
Raspunsuri la intrebari 1. b 2. e 3. b 4. a 5. a
62
Unitatea de studiu 6. INDICII CALCULAŢI CA MEDIE A INDICILOR INDIVIDUALI
Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• descrierea algoritmului de calcul a indicilor sintetici calculaţi ca medie a indicilor
individuali
Conţinut Importanţa indicilor sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali
Indicele Laspeyres calculat ca medie a indicilor individuali
Indicele Paasche calculat ca medie a indicilor individuali
Probleme propuse
Întrebări şi teste grilă
6.1. Specific
Indicii sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali se calculează ori de câte ori nu
există suficiente informaţii pentru calculul indicilor agregaţi. Indicii de grup se pot forma fie
ca medie aritmetică ponderată, fie ca medie armonică ponderată a indicilor individuali, în
funcţie de datele iniţiale cunoscute.
Indicii sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali reprezintă o categorie de indici de
grup utilizaţi în evaluări la nivel macroeconomic: la măsurarea inflaţiei (indicii preţurilor de
consum) şi a dinamicii producţiei industriale.
Această categorie de indici sintetici se aplică atunci când se cunosc indicii individuali ai
unei variabile x (sau dacă aceştia sunt mai uşor de calculat şi mai convenabil de utilizat
decât valorile variabilei) şi valorile sau structura unei variabile complexe y, care poate fi
exprimată ca produs al variabilei x şi al unei alte variabile f (de exemplu, dacă se cunosc
indicii preţurilor pe produse sau grupe de produse şi valoarea vânzărilor, care poate fi
63
exprimată ca produs al preţurilor şi cantităţilor vândute, sau cheltuielile pentru cumpărare
de produse, de asemenea un produs al preţurilor şi cantităţilor).
Indicii sintetici sa calculează ca medie ponderată a indicilor individuali, în care ponderile
sunt nivelurile variabilei complexe sau ponderile pe care diferitele elemente, grupe sau
categorii le deţin în valoarea agregată a acesteia. Formulele de calcul al indicilor medii
derivă din formulele indicilor agregaţi şi diferă în funcţie de sistemul de ponderare.
6.2. Indicele Laspeyres calculat ca medie a indicilor
individuali
Indicele agregat Laspeyres al variabilei x poate fi transformat, astfel încât să se obţină
acelaşi indice agregat, calculat ca medie a indicilor individuali.
De exemplu, indicele Laspeyres al variabilei calitative se scrie sub forma:
1 0x1/0
0 0
x fI (L)
x f=∑∑
Însă, printr-un artificiu de calcul:
1x0 01/0 0 0x 0
1/00 0 0 0
xx f
i x fxI (L)
x f x f= =
∑ ∑∑ ∑
indicele Laspeyres al variabilei calitative poate fi calculat pe baza formulei:
x1/0 0x
1/00
i yI (L)
y=∑∑
Prin urmare, indicele de grup (mediu) al variabilei x se poate calcula ca medie aritmetică
ponderată a indicilor individuali, în care ponderile sunt formate din valorile variabilei
complexe din perioada de bază y0.
64
În expresie procentuală, indicele sintetic se poate calcula fie înmulţind cu 100 indicele
determinat mai sus :
x1/0 0x
1/0 %0
i yI (L) 100
y= ×∑∑
fie făcând media ponderată a indicilor individuali exprimaţi procentual x1/0i (%) :
x1/0 0x
1/0 %0
i (%)yI (L)
y=∑∑
Rata sau ritmul de modificare a variabilei x este şi în acest caz:
x x1/0 % 1/0 %R (L) I (L)= -100
De asemenea, dacă se cunoaşte structura variabilei agregate (ponderile fiecărui element
sau grup de elemente în total):
, yy 100
y= ×
∑ şi
" yy
y=
∑
Unde "y reprezintă structura variabilei complexe agregate ( y∑ ), adică ponderea pe care
fiecare element yi o deţine în valoarea agregată.
În acest caz, indicele mediu se poate calcula şi pe baza formulelor mediei aritmetice
ponderate în care ponderile sunt formate din indicatorii de structură, astfel:
x ,1/0 0x
1/0
i yI (L)
100=∑
x x ,,1/0 1/0 0I (L) i y= ∑
În mod similar, indicele sintetic al variabilei cantitative f se calculează ca medie a indicilor
individuali ai acestei variabile, ponderaţi cu valorile variabilei complexe din perioada de
bază (y0) sau cu indicatorii relativi de structură a variabilei agregate din perioada de bază:
f1/0 0f
1/00
i yI (L)
y=∑∑
65
f1/0 0f
1/0 %0
i yI (L) 100
y= ×∑∑
sau
f1/0 0f
1/0 %0
i (%)yI (L)
y=∑∑
De asemenea, dacă se cunoaşte structura variabilei agregate, indicele sintetic al variabilei
cantitative f se calculează după formula:
f ,1/0 0f
1/0
i yI (L)
100=∑
f f ,,1/0 1/0 0I (L) i y=∑ .
6.3. Indicele Paasche calculat ca medie a indicilor
individuali
Indicele agregat Paasche al variabilei calitative x poate fi tranformat pentru a obţine o
formă care cuprinde indicii individuali, astfel:
1 1 1 1x1/0
00 11 1
1
x f x fI (P)
xx fx f
x
= =∑ ∑∑ ∑
1 1 1x1/0
1 1 1x x1/0 1/0
x f yI (P)
1 1x f y
i i
= =∑ ∑
∑ ∑
1x1/0
1x1/0
yI (P)
1y
i
=∑
∑
Se observă că indicele Paasche este o medie armonică ponderată a indicilor individuali,
ponderile fiind formate de valorile variabilei complexe înregistrate în perioada curentă,
y1 = x1f1
În formă procentuală, indicele Paasche se calculează după una din următoarele formule:
66
1x1/0 %
1x1/0
yI (P) 100
1y
i
= ×∑
∑
1x1/0 %
1x1/0
yI (P)
1y
i (%)
=∑
∑
Media armonică a indicilor individuali poate fi calculată şi prin utilizarea structurii pe
componente a variabilei complexe agregate,
' 11
1
yy 100
y= ×
∑
şi
" 11
1
yy
y=
∑
astfel:
x1/0
'1x
1/0
100I (P)
1y
i
=
∑
x1/0
''1x
1/0
1I (P)
1y
i
=
∑
Indicele Paasche al variabilei cantitative f se calculează în acelaşi mod, ca medie
armonică ponderată a indicilor individuali care măsoară dinamica variabilei cantitative,
ponderile fiind date de:
1. nivelul înregistrat de variabila complexă y:
1f1/0
1f1/0
yI (P)
1y
i
=∑
∑
pentru indicele calculat sub formă de coeficient,
67
1f1/0 %
1f1/0
yI (P) 100
1y
i
= ×∑
∑
şi
1f1/0 %
1f1/0
yI (P)
1y
i (%)
=∑
∑
pentru indicele calculat sub formă procentuală, şi
2. de structura pe elemente a variabilei agregate, y’ şi y”
f1/0
'1f
1/0
100I (P)
1y
i
=
∑
f1/0
"1f
1/0
1I (P)
1y
i
=
∑
pentru indicele calculat pe baza datelor de structură.
Indicele agregat Fischer, atât cel al variabilei calitative x, cât şi cel al variabilei cantitative f,
se calculează astfel:
x1/0 0 1x x x
1/0 1/0 1/00
1x1/0
i y yI (F) I (L) I (P)
1y yi
= × = ×∑ ∑∑ ∑
f1/0 0 1f f f
1/0 1/0 1/00
1f1/0
i y yI (F) I (L) I (P)
1y yi
= × = ×∑ ∑∑ ∑
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Prezentaţi importanţa indicilor sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali.
68
2. Care este formula de calcul pentru indicele agregat Laspeyres al variabilei x, în
cazul în care se cunosc indicii individuali ai variabilei calitative?
3. Prezentaţi formula de calcul pentru indicele agregat Laspeyres al variabilei calitative
x, în cazul în care se cunoaşte structura variabilei complexe?
4. Care este formula de calcul pentru indicele agregat Laspeyres al variabilei
cantitative f, în cazul în care se cunosc indicii individuali ai variabilei cantitative?
5. Prezentaţi formula de calcul pentru indicele agregat Laspeyres al variabilei
cantitative f, în cazul în care se cunoaşte structura variabilei complexe?
6. Prezentaţi formula de calcul pentru indicele agregat Paasche al variabilei cantitative
f, sub formă procentuală în cazul în care se cunoaşte structura variabilei complexe?
7. Care este formula de calcul pentru indicele agregat Paasche al variabilei calitative
x, dacă se cunoaşte nivelul înregistrat de variabila complexă y?
8. Care este formula de calcul pentru indicele agregat Fisher al variabilei calitative x,
dacă se cunoaşte nivelul înregistrat de variabila complexă y?
6.4. Teste grilă
1. Indicii sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali sunt, în general, utilizaţi în
evaluări:
a. la nivel microeconomic;
b. la nivel macroeconomic;
c. la măsurarea inflaţiei;
d. la măsurarea dinamicii producţiei industriale;
e. la determinarea indicilor preţurilor de consum.
Care dintre întrebări un este corectă?
2. Categoria indicilor sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali se aplică atunci
când se cunosc:
a. valorile unei variabile simple x şi valorile variabilei complexe y;
b. structura unei variabile simple x şi valorile variabilei complexe y;
69
c. indicii individuali ai unei variabile simple x şi indicii individuali ai unei variabile
complexe y;
d. indicii individuali ai unei variabile x şi valorile sau structura unei variabile
complexe y;
e. structura unei variabile simple x şi structura variabilei complexe y.
Alegeţi varianta corectă.
3. Indicii sintetici sa calculează ca medie ponderată a indicilor individuali, în care
ponderarea se realizează pe baza:
a. nivelurilor variabilei simple;
b. nivelurilor variabilei complexe şi a nivelurilor variabilei simple;
c. indicilor variabilei complexe;
d. nivelurilor variabilei complexe sau a ponderilor pe care diferitele elemente le
deţin în valoarea agregată a acesteia;
e. indicilor variabilei simple.
Alegeţi varianta corectă.
4. Se cunosc următoarele date privind indicii preţurilor pe principalele componente ale
consumului şi structura cheltuielilor băneşti de consum pe aceste componente în
trimestrul I şi II, anul t:
Structura cheltuielilor de consum
(%)
Indicii preţurilor pe componente
în trim II faţă de trim I (%)
Trim I Trim II
Produse alimentare 135,7 41,3 42,2
Mărfuri nealimentare 133,1 31,8 30,7
Servicii 135,4 26,9 27,1
Să de calculeze indicele sintetic Laspeyres al preţurilor în trimestrul II faţă de trimestrul
I, anul t:
a. 134,2%
b. 134,8%
c. 143,8%
70
d. 43,8%
e. 183,4%.
Alegeţi varianta corectă.
5. Se cunosc următoarele date privind rata dobânzii şi structura creditelor, pentru o
bancă comercială (BC):
Structura creditelor (%) Tipul creditului Rata dobânzii, pe componente
în anul t1 faţă de t0 (%) Trim I Trim II
Credit pentru locuinţe 8,8 41,3 42,2
Credit auto 9,5 31,8 30,7
Credit pentru nevoi
personale
10,2 26,9 27,1
Să de calculeze rata de creştere (Laspeyres) a ratei dobânzii în anul t1 faţă de t0:
a. 109,4%
b. 8,0%
c. 78%
d. 90%
e. 9,4%.
Alegeţi varianta corectă.
6. Se cunosc următoarele date privind evoluţia preţurilor a trei grupe de produse
vândute de firma Y, precum şi volumul încasărilor pentru cele trei grupe de
produse:
Grupe de
produse
Indicii de creştere a Volumul încasărilor (mii lei)
preţurilor în t1 faţă t0 (%) t0 t1
Grupa I 150 1600 2800
Grupa II 180 2400 5000
Grupa III 170 3400 6000
Să se calculeze rata de creştere a preţurilor în t1 faţă de t0, conform sistemului de
ponderare Paasche:
a. 68,1%
71
b. 36,2%
c. 78,9%
d. 120,5%
e. 68,8%.
Alegeţi varianta corectă.
7. Se cunosc următoarele date privind indicii productivităţii muncii pe principalele
categorii de muncitori şi structura producţiei pe aceste componente în trimestrul I şi
II, anul t:
Structura producţiei (%) Indicii productivităţii muncii
în trim II faţă de trim I (%) Trim I Trim II
Muncitori calificaţi 90,7 28 30
Muncitori necalificaţi 121,1 72 70
Să de calculeze indicele sintetic Laspeyres al productivităţii muncii în trimestrul II faţă
de trimestrul I, anul t:
a. 112,6%
b. 122,8%
c. 22,8%
d. 12,8%
e. 122,5%.
Alegeţi varianta corectă.
8. Se cunosc următoarele date privind evoluţia preţurilor a trei grupe de materii prime
achiziţionate de firma Y, producătoare de băuturi alcoolice, precum şi volumul
cheltuielilor pentru cele trei grupe de produse:
Grupe de produse Indicii de creştere a Volumul cheltuielilor (mii lei)
preţurilor în t1 faţă t0 (%) t0 t1
porumb 120 23600 28400
cartofi 180 22400 25000
sfeclă de zahăr 90 4400 6000
Să se calculeze indicele sintetic Paasche al preţurilor în t1 faţă de t0:
72
a. 124,3%
b. 134,3%
c. 133,4%
d. 142,3%
e. 34,3%.
Alegeţi varianta corectă.
9. Se cunosc următoarele date privind indicii productivităţii muncii pe principalele
categorii de muncitori şi structura producţiei pe aceste componente în trimestrul I şi
II, anul t:
Structura producţiei (%) Indicii productivităţii muncii
în trim II faţă de trim I (%) Trim I Trim II
Muncitori calificaţi 100,7 38 31
Muncitori necalificaţi 101,1 62 69
Să de calculeze indicele sintetic Fischer al productivităţii muncii în trimestrul II faţă de
trimestrul I, anul t:
a. 98,99%
b. 88,99%
c. 91,99%
d. 99,98%
e. 100,9%.
Alegeţi varianta corectă.
10. Se cunosc următoarele date privind indicii productivităţii muncii pentru două echipe
de muncitori şi structura producţiei pe aceste componente în trimestrul I şi II, anul t:
Structura producţiei (%) Indicii productivităţii muncii
în trim II faţă de trim I (%) Trim I Trim II
Echipa 1 120,7 56 60
Echipa 2 111,1 44 40
Să de calculeze indicele sintetic Laspeyres al productivităţii muncii în trimestrul II faţă
de trimestrul I, anul t:
73
a. 16,5%
b. 123,9%
c. 115,2%
d. 116,5%
e. 120,9%.
Alegeţi varianta corectă.
6.5. Probleme propuse
1. Se cunosc următoarele date privind rata dobânzii şi structura creditelor, pentru o
bancă comercială (BC):
Structura creditelor (%) Tipul creditului Rata dobânzii, pe componente
în anul t1 faţă de t0 (%) Trim I Trim II
Credite pentru locuinţe 7,8
34,5
33,4
Credite auto
6,5
23,3
21,4
Credite ipotecare
7,2
24,5
22,4
Credite pentru locuinţe, cu ipotecă
5,7 17,7 22,8
Să de calculeze rata de creştere a ratei dobânzii în anul t1 faţă de t0, cu ajutorul
formulelor Laspeyres şi Paasche:
2. Se cunosc următoarele date privind evoluţia preţurilor a două grupe de produse
vândute de firma X, precum şi volumul încasărilor pentru cele două grupe de
produse:
Grupe de
produse
Indicii de creştere a Volumul încasărilor (mii lei)
preţurilor în t1 faţă t0
(%)
t0 t1
Grupa I 150 1600 2800
Grupa II 180 2400 5000
Să se calculeze:
74
a. indicele sintetic Laspeyres şi rata de creştere a preţurilor în t1 faţă de t0;
b. indicele sintetic Paasche şi rata de creştere a preţurilor în t1 faţă de t0;
c. indicele Fisher în t1 faţă de t0;
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
3. Se cunosc indicii individuali de creştere a preţurilor în 2008 faţă de 2007 (în %) şi
structura valorii vânzărilor în 2008 faţă de 2007:
Produse Indicii individuali Structura vânzărilor, %
ai preţurilor, %
2007=100
2007 2008
A 100 22 10
B 110 20 20
C 150 48 58
D 200 10 12
Total - 100 100
Să se calculeze:
a. indicele sintetic şi rata de creştere a preţurilor în 2008 faţă de 2007, pe baza
formulelor Laspeyres, Paasche şi Fischer;
b. indicii individuali de creştere a preţurilor in 2009 faţă de 2007, în ipoteza dublării
tuturor preţurilor îndividuale în 2009 faţă de 2007;
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
4. Se cunosc următoarele date privind evoluţia salariilor plătite de o firmă celor patru
categorii de angajaţi:
Salariul nominal brut,
lei lunar
Numărul
de salariaţi
Categoria de
salariaţi
septembrie decembrie septembrie decembrie
Categoria A 1400 1650 20 18
Categoria B 1750 1900 100 80
Categoria C 1910 2000 50 60
Categoria D 2200 2100 150 180
Să se calculeze:
a. indicii individuali ai salariilor, ai efectivului de salariaţi şi ai fondului de salarii aferent
fiecărei categorii;
75
b. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al fondului de salarii;
c. indicele agregat şi rata de creştere a salariilor după formulele Laspeyres, Paasche,
Fischer si Edgeworth;
d. indicele agregat şi ritmul de creştere a volumului forţei de muncă utilizate
(efectivului de salariaţi), după formulele Laspeyres, Paasche şi Fischer;
Se cunosc, de asemenea, indicii individuali de creştere a salariilor în iunie faţă de martie şi
structura fondului de salarii în martie şi iunie:
Structura fondului de salarii, % Categorii de
salariaţi
Indicii individuali ai
salariilor, %
iunie/martie
martie iunie
Categoria A 106 43 38
Categoria B 115 12 20
Categoria C 126 20 22
Categoria D 120 25 20
Total - 100 100
Să se calculeze:
a. indicele sintetic şi rata de creştere a salariilor în iunie faţă de martie, pe baza
formulelor Laspeyres, Paasche şi Fischer;
b. nivelurile salariilor individuale in martie şi iunie;
c. indicii individuali de creştere a salariilor in decembrie faţă de martie, iunie şi
septembrie, în ipoteza în care toate salariile individuale au fost în septembrie de cu
21% mai mari decât în iunie;
d. indicele sintetic şi rata de creştere a salariilor în septembrie faţă de iunie şi în
decembrie faţă de martie.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Anghelache, C., Bugudui, E., Gresoi, S. şi Niculescu, E. 2006. Statistică aplicată,
Bucureşti, Editura Economică.
� Buzilă, Al. 2006. Statistic. Interdependenţe, dinamica şi contrbuţia factorilor, Editura
Alma Mater, Sibiu.
76
� Crecană, C. 2006. Analiză economico-financiară, Bucureşti, Editura Economică.
� Isaic-Maniu, Al. (coord.), Pecican, E., Ştefănescu, D., Vodă, V.Gh. şi Wagner, P. 2003.
Dicţionar de statistică generală, Bucureşti, Editura Economică.
� Voineagu, V. 2004. Statistică Economică, Bucureşti, Editura Tribuna Economică
Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/ http://www.bnro.ro
Raspunsuri la intrebari 1. a 2. d 3. d 4. b 5. e 6. e 7. a 8. b 9. d 10. d
77
Unitatea de studiu 7. INDICII VALORILOR MEDII Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
• determinarea indicilor valorilor medii
• descompunerea pe factori a sporului variabilelor medii
Conţinut Indicele cu structură variabilă
Indicele cu structură fixă
Indicele modificărilor structurale
Descompunerea pe factori a sporului variabilelor medii
Întrebări şi teste grilă
Indicii valorilor medii se utilizează ori de câte ori se pune problema caracterizării variaţiei
unei caracteristici, a cărei valoare se formează la nivel de grupă sau de colectivitate totală,
sub formă de medie. Acest tip de indici sunt folosiţi pentru a caracteriza evoluţia unor
variabile calculate ca medii ponderate x (preţ mediu, salariu mediu, productivitate medie a
muncii, cost unitar mediu etc),
xfx
f=∑∑
precum şi a factorilor care determină modificarea mediei: modificarea valorilor variabilei
pentru care se calculează media x (preţuri, salarii individuale, productivitate individuală
etc.) şi modificarea structurii f (cantităţi produse sau vândute din diferite sortimente sau în
diferite unităţi, număr de salariaţi din diferite categorii etc).
Acest tip de indici de grup se utilizează pentru variabile calitative / intensive şi, evident,
numai în cazurile în care nivelurile variabilei cantitative utilizate ca ponderi sunt
însumabile.
Se calculează trei indici sintetici din această categorie:
78
• indicele valorii medii, denumit şi indice cu structură variabilă, întrucât reflectă
atât modificarea valorilor variabilei calitative x, cât şi variaţia structurii;
• indicele cu structură fixă, care măsoară variaţia medie a variabilei x;
• indicele modificărilor structurale.
7.1. Indicele cu structură variabilă
Indicele cu structură variabilă se calculează ca raport al valorii medii a variabilei în
perioada curentă şi a valorii medii a aceleiaşi variabile în perioada de bază:
1 1 0 0SV 11/0
0 1 0
x f x fxI :
x f f= =
∑ ∑∑ ∑
SV SV1/0 1/0I (%) I 100= ×
Rata de modificare a valorii medii derivă din indicele exprimat procentual:
SV SV1/0 1/0R (%) I (%) 100= −
iar sporul absolut al valorii medii este:
1 1 0 0SV1/0 1 0
1 0
x f x fx x
f f∆ = − = −
∑ ∑∑ ∑
Dacă valorile variabilei cantitative f utilizate în calculul mediei nu sunt disponibile, fiind
cunoscute numai datele referitoare la ponderea fiecărei categorii/grupe în nivelul agregat
al variabilei, f’ şi f”, nivelul mediu al variabilei x se calculează conform formulelor:
xf 'x
100=∑ sau x xf "=∑
Indicele cu structură variabilă determinat pe baza acestor medii va avea forma:
' '1 1 0 0SV
1/0
x f x fI :
100 100=∑ ∑
sau
"1 1SV
1/0 "0 0
x fI
x f=∑∑
SV SV1/0 1/0I (%) I 100= ×
79
rata de modificare:
SV SV1/0 1/0R (%) I (%) 100= −
şi sporul absolut al valorii medii:
' '1 1 0 0SV
1/0
x f x f
100 100∆ = −
∑ ∑
sau
SV " "1/0 1 1 0 0x f x f∆ = −∑ ∑ .
7.2. Indicele cu structură fixă
Indicele cu structură fixă măsoară variaţia medie a variabilei calitative x, fiind egal cu
indicele agregat calculat pentru variabila x şi cu indicele calculat ca medie a indicilor
individuali ai variabilei x. Indicele cu structură fixă se determină ca raport al valorilor medii
ale variabilei x din perioada curentă şi din perioada de bază, calculate cu ponderi
constante, fie cele din perioada de referinţă, fie cele din perioada curentă. În funcţie de
sistemul de ponderare aplicat se calculează indicele cu structură fixă Laspeyres şi
Paasche.
7.2.1. Indicele Laspeyres
Indicele cu structură fixă Laspeyres presupune calculul valorilor medii ale variabilei x din
ambele perioade la structura din perioada de bază, utilizând nivelurile variabilei cantitative
f din perioada de bază:
1 0 0 0SF1/0
0 0
x f x fI (L) :
f f=∑ ∑∑ ∑
sau indicatorii relativi de structură ai perioadei de referinţă: ' '
1 0 0 0SF1/0
x f x fI (L) :
100 100=∑ ∑
"1 0SF
1/0 "0 0
x fI (L)
x f=∑∑
Diferenţa dintre mediile care formează cei doi termeni ai raportului,
80
1 0 0 0SF1/0
0 0
x f x f(L)
f f∆ = −
∑ ∑∑ ∑
' '1 0 0 0SF
1/0
x f x f(L)
100 100∆ = −
∑ ∑
sau
SF " "1/0 1 0 0 0(L) x f x f∆ = −∑ ∑
reprezintă sporul variabilei medii x determinat de modificarea valorilor individuale ale
variabilei x, a cărui pondere în sporul total al mediei este: SF
SF 1/01/0 % SV
1/0
(L)(L) 100
∆∆ =
∆
7.2.2. Indicele Paasche
Indicele cu structură fixă Paasche presupune calculul valorilor medii ale variabilei x din
ambele perioade la structura din perioada curentă, utilizând nivelurile variabilei cantitative f
din perioada curentă:
1 1 0 1SF1/0
1 1
x f x fI (P) :
f f=∑ ∑∑ ∑
sau mărimile relative de structură ale variabilei cantitative aferente perioadei curente:
' '1 1 0 1SF
1/0
x f x fI (P) :
100 100=∑ ∑
"1 1SF
1/0 "0 1
x fI (P)
x f=∑∑
În toate formulele de mai sus, cel de-al doilea termen al raportului reprezintă nivelul care
ar fi fost înregistrat de media variabilei x în perioada de bază, dacă structura variabilei
cantitative ar fi fost similară cu cea din perioada curentă.
Aplicând sistemul de ponderare Paasche, sporul absolut al mărimii medii x determinat de
modificarea valorilor individuale ale variabilei x se calculează după formulele:
81
1 1 0 1SF1/0
1 1
x f x f(P)
f f∆ = −
∑ ∑∑ ∑
' '1 1 0 1SF
1/0
x f x f(P)
100 100∆ = −
∑ ∑
sau
SF " "1/0 1 1 0 1(P) x f x f∆ = −∑ ∑
Ponderea acestuia în sporul total al mediei este:
SFSF 1/01/0 % SV
1/0
(P)(P) 100
∆∆ =
∆.
7.3. Indicele modificărilor structurale
Indicele modificărilor structurale măsoară variaţia structurii variabilei cantitative f,
determinându-se ca raport al valorilor medii ale variabilei x din perioada curentă sau din
perioada de bază, calculate cu ponderile din perioada curentă şi din perioada de referinţă.
Dacă se calculează din media valorilor lui x din perioada de bază indicele este în sistem
Laspeyres, iar dacă se calculează prin raportarea mediilor variabilei x din perioada curentă
calculate la structurile din perioada curentă şi din perioada de bază, indicele este în sistem
Paasche.
7.3.1. Indicele Laspeyres
Formulele de calcul ale indicelui Laspeyres al modificărilor structurale cuprind valorile
variabilei x din perioada de bază, ponderate cu valorile absolute ale variabilei cantitative f
din cele două perioade:
0 1 0 0MS1/0
1 0
x f x fI (L) :
f f=∑ ∑∑ ∑
sau cu indicatorii relativi de structură ai celor două perioade:
' '0 1 0 0MS
1/0
x f x fI (L) :
100 100=∑ ∑
82
"0 1MS
1/0 "0 0
x fI (L)
x f=∑∑
Sporul absolut al variabilei medii x sub influenţa modificării structurii se calculează ca
diferenţă între cei doi termeni ai raportului:
0 1 0 0MS1/0
1 0
x f x f(L)
f f∆ = −
∑ ∑∑ ∑
,
' '0 1 0 0MS
1/0
x f x f(L)
100 100∆ = −
∑ ∑
sau
MS " "1/0 0 1 0 0(L) x f x f∆ = −∑ ∑
iar ponderea lui în sporul total al mediei:
MSMS 1/01/0 % SV
1/0
(L)(L) 100
∆∆ =
∆.
7.3.2. Indicele Paasche
Indicele Paasche al modificărilor structurale presupune utilizarea valorilor variabilei x din
perioada curentă, astfel:
1 1 1 0MS1/0
1 0
x f x fI (P) :
f f=∑ ∑∑ ∑
' '1 1 1 0MS
1/0
x f x fI (P) :
100 100=∑ ∑
"1 1MS
1/0 "1 0
x fI (P)
x f=∑∑
Sporul absolut al mediei sub influenţa modificărilor structurale se calculează conform
uneia dintre următoarele relaţii:
1 1 1 0MS1/0
1 0
x f x f(P)
f f∆ = −
∑ ∑∑ ∑
,
' '1 1 1 0MS
1/0
x f x f(P)
100 100∆ = −
∑ ∑
83
sau
MS " "1/0 1 1 1 0(P) x f x f∆ = −∑ ∑
şi ponderea lui în sporul total:
MSMS 1/01/0 % SV
1/0
(P)(P) 100
∆∆ =
∆.
7.4. Descompunerea pe factori a sporului variabilelor medii
Descompunerea pe factori a sporului variabilelor medii, în vederea determinării contribuţiei
celor doi factori – modificarea valorilor variabilelor pentru care se calculeză media şi
modificarea structurii colectivităţii la care se referă media – la variaţia mediei, se poate
realiza pe baza celor două metode utilizate şi în descompunerea sporului variabilelor
agregate:
• metoda substituţiei în lanţ;
• metoda restului nedescompus.
Metoda substituţiei în lanţ presupune însumarea celor două componente ale sporului
variabilei medii calculate în sisteme de ponderare diferite: de obicei, sporul cu structură
fixă Paasche şi sporul determinat de modificarea structurii Laspeyres:
SF MS SV1/0 1/0 1/0(P) (L)∆ + ∆ = ∆
SF MS1/0 % 1/0 %(P) (L) 100%∆ + ∆ = .
În acest fel, primului factor – modificarea valorilor variabilei x - i se atribuie sporul cu bază
fixă Paasche, iar celui de-al doilea factor – modificarea structurii – i se atribuie sporul
determinat de modificările structurale calculat în sistem Laspeyres.
Metoda restului nedescompus presupune calculul celor două componente ale sporului
variabilei medii în acelaşi sistem de ponderare (de obicei, Laspeyres) şi împărţirea
restului, adică a sporului determinat de influenţa comună a celor doi factori:
84
SF MS SV SF MS1/0 1/0 1/0 1/0[ (L) (L)]∩
∆ = ∆ − ∆ + ∆
în proporţii egale sau proporţional cu cele două sporuri calculate în sistem Laspeyres.
In cazul împărţirii restului în proporţii egale, contribuţia celor doi factori la sporul variabilei
medii se determină conform următoarelor relaţii:
SF MSSF SF 1/01/0 1/0
SF MSMS MS 1/01/0 1/0
(L)2
(L)2
∩
∩
∆∆ = ∆ +
∆∆ = ∆ +
pentru contribuţia în termeni absoluţi, şi
SFSF 1/01/0 SV
1/0
MSMS 1/01/0 SV
1/0
(%) 100
(%) 100
∆∆ =
∆
∆∆ =
∆
pentru contribuţia în expresie procentuală.
În cazul atribuirii proporţionale a sporului determinat de influenţa comună a factorilor,
contribuţia fiecărui factor, în termeni absoluţi, se calculează pe baza formulelor care
urmează, iar contribuţia procentuală se determină, la fel ca şi în cazul metodei substituţiei
în lanţ.
SFSF SF SF MS 1/01/0 1/0 1/0 SF MS
1/0 1/0
MSMS MS SF MS 1/01/0 1/0 1/0 SF MS
1/0 1/0
(L)(L)
(L) (L)
(L)(L)
(L) (L)
∩
∩
∆∆ = ∆ + ∆
∆ + ∆
∆∆ = ∆ + ∆
∆ + ∆
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Ce tipuri de indici ai valorilor medii cunoaşteţi?
2. Definiţi indicele cu structură variabilă.
85
3. Prezentaţi formula de calcul pentru sporul variabilei medii x , determinat de
modificarea valorilor individuale ale variabilei x.
4. Care sunt metodele de descompunere pe factori a sporului variabilei medii?
5. În ce constă metoda substituţiei în lanţ, utilizată pentru descompunerea pe factori a
sporului variabilelor medii?
6. Prezentaţi formula de calcul pentru indicele Paasche cu structură fixă.
7. Prezentaţi formula de calcul pentru indicele Laspeyres al modificărilor structurale.
8. Definiţi indicele cu structură fixă.
9. Prezentaţi metoda restului nesdescompus, pentru descompunerea pe factori a
sporului variabilelor medii.
10. Prezentaţi formula de calcul pentru indicele Paasche al modificărilor structurale.
7.5. Teste grilă
1. Indicii valorilor medii sunt:
a. indicele valorii medii;
b. indicele cu structură variabilă;
c. indicele cu structură fixă;
d. indicele modificărilor structurale;
e. indicele variabilei complexe.
Care dintre variante nu este corectă?
2. Pentru patru departamente ale unei societăţi comerciale, se cunosc date privind
salariile şi numărul de salariaţi, înregistrate pentru luna mai:
mai
Categoria de
salariaţi
Salariul nominal
brut,
(lei lunar)
Numărul
de salariaţi
D1 900 10
D2 1550 110
D3 1710 40
D4 2800 15
Să se determine salariul mediu la nivelul firmei în luna mai:
a. 1234,2 lei lunar
86
b. 1656,6 lei lunar
c. 2567,3 lei lunar
d. 13256,6 lei lunar
e. 1657,6 lei lunar.
Alegeţi varianta corectă.
3. Indicele cu structură variabilă se calculează:
a. ca produs între valoarea medie a variabilei în perioada curentă şi valoarea
medie a aceleiaşi variabile în perioada de bază;
b. ca raport al valorii medii a variabilei în perioada curentă şi a valorii medii a
aceleiaşi variabile în perioada de bază;
c. ca raport al valorii absolute a variabilei în perioada curentă şi a valorii
absolute a aceleiaşi variabile în perioada de bază;
d. ca rădăcină pătrată între valoarea medie a variabilei în perioada curentă şi
valoarea medie a aceleiaşi variabile în perioada de bază;
e. ca diferenţă între valoarea medie a variabilei în perioada curentă şi valoarea
medie a aceleiaşi variabile în perioada de bază.
Alegeţi varianta corectă.
4. Se cunosc următoarele date privind distribuţia unei echipe de muncitori după
productivitatea muncii, exprimată după numărul de piese realizate lunar de un
muncitor:
Număr de piese/muncitor Număr de muncitori
martie mai martie mai
50 55 8 9
60 70 20 16
Productivitatea medie a muncii în luna martie este:
a. 3,5 piese/muncitor
b. 4,9 piese/muncitor
c. 55 piese/muncitor
d. 57,1 piese/muncitor
e. 50 piese/muncitor.
Alegeţi varianta corectă.
87
5. Pentru patru departamente ale unei societăţi comerciale, se cunosc date privind
salariile şi numărul de salariaţi, înregistrate pentru luna august:
ianuarie septembrie
Categoria de
salariaţi
Salariul nominal
brut,
(lei lunar)
Salariul nominal
brut,
(lei lunar)
Numărul
de salariaţi
Numărul
de salariaţi
D1 900 950 10 11
D2 1550 1560 110 100
D3 1710 1790 40 30
D4 2800 2900 15 11
În septembrie faţă de luna ianuarie, salariul mediu la nivelul firmei:
a. A rămas constant
b. A scăzut, în medie, la 80%
c. A crescut, în medie, de două ori
d. A scăzut, în medie, de două ori
e. A crecut cu 10%.
Alegeţi varianta corectă.
7.6. Probleme propuse
6. Pentru patru filiale ale unei societăţi comerciale, se cunosc date privind salariile şi
numărul de salariaţi:
Salariul nominal brut,
lei lunar
Numărul
de salariaţi
Categoria de
salariaţi
septembrie decembrie septembrie decembrie
F1 1400 1650 20 18
F2 1750 1900 100 80
F3 1910 2000 50 60
F4 2200 2100 150 180
Să se determine:
a. salariul mediu la nivelul firmei în septembrie şi decembrie;
b. contribuţia celor doi factori - salariile şi efectivul de salariaţi - la modificarea
absolută a fondului de salarii, calculată în valoare absolută şi procentual, după
metoda restului nedescompus şi după metoda substituţiei în lanţ.
88
c. indicele de creştere şi sporul - absolut şi relativ - al salariului mediu în decembrie
faţă de septembrie;
d. indicele şi rata de creştere a salariilor în decembrie faţă de septembrie şi sporul
absolut al salariului mediu sub influenţa modificării salariilor individuale, după
formulele Laspeyres şi Paasche;
e. indicele şi rata modificării structurii pe categorii a efectivului de salariaţi şi sporul
absolut al salariului mediu în aceeaşi perioadă sub influenţa modificării structurii,
după formulele Laspeyres şi Paasche;
f. contribuţia (în valoare absolută şi procentual) a celor doi factori - creşterea salariilor
individuale şi modificarea structurii efectivului de salariaţi - la modificarea absolută a
salariului mediu în decembrie faţă de septembrie, după metoda substituţiei în lanţ şi
după metoda restului nedescompus.
7. Se cunosc următoarele date privind productivitatea muncii (producţia industrială ce
revine pe un salariat) în patru ramuri ale industriei:
Ramura Productivitatea muncii, mii lei
lunar/salariat
Numărul de salariaţi, mii
persoane
t0 t1 t0 t1
A 27 32 300 220
B 40 85 150 190
C 56 76 100 80
D 57 58 50 67
Să se calculeze:
a. indicii individuali ai productivităţii muncii, ai efectivului de salariaţi şi ai volumului
producţiei aferenţi fiecărei ramuri;
b. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al producţiei industriale;
c. indicele agregat şi rata de creştere a productivităţii muncii după formulele
Laspeyres, Paasche, Fischer si Edgeworth;
d. indicele agregat şi ritmul de creştere a volumului forţei de muncă utilizate
(numărului de salariaţi), după formulele Laspeyres, Paasche şi Fischer;
e. contribuţia celor doi factori - productivitatea muncii şi efectivul de salariaţi - la
modificarea absolută a volumului producţiei industriale, calculată în milioane
89
lei şi procentual, după metoda restului nedescompus şi după metoda
substituţiei în lanţ.
8. Se cunosc următoarele date privind distribuţia unei echipe de muncitori după
productivitatea muncii, exprimată după numărul de piese realizate lunar de un
muncitor:
Număr de piese/muncitor Număr de muncitori
mai septembrie mai septembrie
100 155 18 19
70 80 20 22
Să se determine:
a. productivitatea medie a muncii în lunile mai şi septembrie;
b. contribuţia celor doi factori - modificarea productivităţii individuale şi modificările
structurale - la sporul productivităţii medii, în număr de piese şi procentual, după
metoda substituţiei în lanţ .
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Anghelache, C., Bugudui, E., Gresoi, S. şi Niculescu, E. 2006. Statistică aplicată, Bucureşti, Editura Economică.
� Buzilă, Al. 2006. Statistic. Interdependenţe, dinamica şi contrbuţia factorilor, Editura Alma Mater, Sibiu.
� Crecană, C. 2006. Analiză economico-financiară, Bucureşti, Editura Economică.
� Isaic-Maniu, Al. (coord.), Pecican, E., Ştefănescu, D., Vodă, V.Gh. şi Wagner, P. 2003. Dicţionar de statistică generală, Bucureşti, Editura Economică.
� Voineagu, V. 2004. Statistică Economică, Bucureşti, Editura Tribuna Economică
Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
Raspunsuri la intrebari 1. e 2. b 3. b 4. d 5. a
90
Unitatea de studiu 8. ANALIZA EVOLUŢIEI ÎN TIMP A FENOMENELOR ECONOMICO-FINANCIARE
Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
definirea seriilor cronologice de momente şi de intervale; exemplificarea seriilor cronologice de momente şi de intervale şi a elementelor care le diferenţiază reprezentarea seriilor cronologice – tipuri de grafice
Conţinut Caracterizarea generală a seriilor cronologice Exemple Reprezentarea grafică a seriilor cronologice
8.1. Serii cronologice
Seria cronologică, denumită şi serie de timp sau serie dinamică, este constituită dintr-un
set de valori înregistrate de o variabilă la anumite momente sau în perioade succesive de
timp. Seria cronologică arată variaţia în timp a volumului populaţiei sau a nivelului
caracteristicii.
Seria cronologică este formată din două şiruri de valori : unul care defineşte timpul
(momentul sau perioada la care se referă datele), notat cu t = 1, 2, 3, ….., n, şi unul
reprezentat de valorile variabilei, notate cu yt (adică y1, y2,….., yn). În tabelele de
prezentare a seriilor cronologice sunt precizate întotdeauna – la subiect sau predicat –
momentele sau perioadele concrete la care au fost înregistrate valorile variabilei.
În funcţie de tipul variabilelor observate, seriile cronologice sunt de momente sau de
intervale.
Seriile de momente, numite şi serii de stoc, sunt serii formate din valori înregistrate la
anumite momente, echidistante în timp, şi se referă la variabile de stoc, cum sunt:
numărul salariaţilor, valoarea mijloacelor fixe, volumul obiectelor de inventor etc., la
începutul sau sfârşitul anului, trimestrului, lunii etc.; volumul disponibilităţilor băneşti
depuse în bănci; soldul balanţei de plăţi externe; nivelul stocurilor de materii prime şi
materiale sau de produse finite.
91
Seriile de intervale se referă la variabile de flux, cuprinzând valori rezultate din cumularea
nivelurilor înregistrate de fenomenul studiat pe parcursul unei întregi perioade (zi, decadă,
lună, trimestru, an); de exemplu, volumul sau valoarea producţiei industriale lunare, nivelul
anual al produsului intern brut, cifra de afaceri şi cheltuielile înregistrate într-un an.
Valorile unei serii de intervale pot fi însumate, obţinându-se volumul total înregistrat de
caracteristică în perioada acoperită de seria cronologică. Însumarea valorilor unei serii de
momente este însă lipsită de sens.
Seriile cronologice – de momente sau de intervale - pot să fie formate din:
• mărimi absolute (exprimate în unităţi naturale sau valorice), reprezentând
indicatori primari (de volum) sau derivaţi (de tipul mărimilor medii sau al celor de
intensitate);
• mărimi relative de structură, de coordonare sau ale dinamicii (indici, ritmuri),
exprimate procentual sau sub formă de coeficienţi.
8.2. Exemple de serii cronologice
1. Tabelul care urmează cuprinde două serii de momente, referitoare la soldul contului
curent, în perioada 1991-2007, conform balanţei de plăţi.
Soldul contului curent în perioada 2000-2007
(la sfârşitul anului)
(mil. Euro)
Sold
2000 -1494 2001 -2488 2002 -1623 2003 -3060 2004 –5099 2005 -6888 2006 -10156 2007 -16677
Sursa: Balanţa de plăţi, Anuarul Statistic al României, 2008
2. Tabelul următor cuprinde două serii de intervale, referitoare la cifra de afaceri a
două firme. Este evident faptul că, spre deosebire de seria de momente ai cărei
termeni nu pot fi însumaţi, în cazul seriilor referitoare la cifra de afaceri, suma
92
termenilor reprezintă volumul total al încasărilor celor două firme din perioada 1999-
2008.
Cifra de afaceri în perioada 1999-2008
Firma A
Firma B
(mii lei) (mii Euro) 1999 1456 199 2000 1234 223 2001 1456 245 2002 1345 211 2003 1750 200 2004 1608 194 2005 1168 213 2006 1281 219 2007 1442 228 2008 1577 246 Total 14317 2178
Cifra de afaceri anuală reprezintă un indicator primar absolut, exprimat în unităţi de
măsură naturale şi obţinut în urma centralizării datelor privind volumul veniturilor (lunare)
realizate de cele două firme.
8.3. Reprezentarea grafică a seriilor cronologice
Reprezentarea grafică a seriilor cronologice se realizează cu ajutorul cronogramei sau
historiogramei, grafic în sistemul de de coordonate rectangulare, în care pe abscisă sunt
reprezentate momentele sau perioadele de timp, iar pe ordonată valorile seriei.
De obicei, cronogramele cu care sunt reprezentate seriile de momente sunt grafice cu linii
(Fig 8.1), iar cele care reprezintă seriile de intervale sunt grafice cu benzi sau coloane (Fig
8.2).
Figura 8.1. Creditul contului curent, la sfârşitul anului
Sursa: Balanţa de plăţi, Anuarul Statistic al României, 2008
93
Figura 8.2. Cifra de afaceri în perioada 1999-2008
Un tip special de grafic, utilizat în special pentru seriile care prezintă oscilaţii periodice,
este diagrama polară, graficul “radar”, construit cu ajutorul reţelelor radiale, cu linii sau
suprafeţe (Fig. 8.3).
Figura 8.3. Evoluţia indicelui preţurilor de consum (Anul 1990=100)
Sursa: Anuarul statistic al României, 2008
94
Întrebări pentru verificarea cunoştinţelor acumulate (autoevaluare)
1. Definiţi seriile cronologice.
2. Tipologia seriilor cronologice. Exemple.
3. Cum pot fi reprezentate grafic seriile cronologice?
4. Care sunt principalele deosebiri între seriile de momente şi cele de intervale?
8.4. Teste
1. Seriile cronologice – de momente sau de intervale - pot să fie formate din:
a. mărimi absolute, reprezentând indicatori primari sau derivaţi;
b. mărimi relative de structură;
c. mărimi absolute (exprimate în unităţi naturale sau valorice);
d. mărimi de coordonare sau ale dinamicii, exprimate procentual sau sub formă
de coeficienţi;
e. toate afirmaţiile de mai sus.
Alegeţi varianta corectă.
2. Valorile unei serii de intervale:
a. pot fi însumate, obţinându-se volumul total înregistrat de caracteristică în
perioada acoperită de seria cronologică;
b. nu pot fi însumate, deoarece sunt exprimate sub formă procentuală;
c. nu pot fi însumate, deoarece însumarea nu are sens;
d. pot fi însumate, dacă sunt mai mici decât 100;
e. nu pot fi însumate, deoarece sunt exprimate în unităţi naturale.
Alegeţi varianta corectă.
3. Însumarea valorilor unei serii de momente:
a. este întotdeauna egală cu 100%;
b. nu se realizează, deoarece este însă lipsită de sens;
95
c. se recomandă în cazul mărimilor absolute;
d. a + c
e. este recomandată în cazul în care seria este formată din indicatori primari.
Alegeţi varianta corectă.
4. Care dintre seriile de mai jos este o serie de intervale:
a. Rata rentabilităţii financiare pentru o firmă X, în perioada ianuarie-decembrie,
anul t;
b. Cheltuielile financiare ale firmei X în perioada ianuarie-decembrie, anul t;
c. Ponderea cheltuielilor cu dobânzile în totalul cheltuielilor finaciare unei firme
X, în perioada ianuarie-decembrie, anul t;
d. Ponderea cheltuielilor curente în totalul cheltuielilor unei firme X, în perioada
ianuarie-decembrie, anul t;
e. a+c+d.
Alegeţi varianta corectă.
5. Care dintre seriile de mai jos sunt serii de momente:
a. Viteza de rotaţie a activelor circulante pentru o firmă X, în perioada ianuarie-
decembrie, anul t;
b. Cheltuielile financiare ale firmei X în perioada ianuarie-decembrie, anul t;
c. Ponderea cheltuielilor cu dobânzile în totalul cheltuielilor finaciare unei firme
X, în perioada ianuarie-decembrie, anul t;
d. Ponderea cheltuielilor de personal în totalul cheltuielilor curente ale unei
firme X, în perioada ianuarie-decembrie, anul t;
e. a+c+d.
Alegeţi varianta corectă.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Isaic-Maniu, A., Mitruţ, C., Voineagu, V., Statistică, Editura Universitară, Bucureşti, 2004
� Baron, T., Biji, E., Statistică teoretică şi economică, EDP, Bucureşti, 1996
96
Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
Raspunsuri la intrebari 1.e 2.a 3.b 4.b 5.e
97
Unitatea de studiu 9. Indicatorii seriilor cronologice Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
- caracterizarea evoluţiei în timp a fenomenelor economice şi sociale cu ajutorul
indicatorilor seriilor cronologice;
- calculul mediei unei serii cronologice
Conţinut
Media seriilor cronologice
Media aritmetică
Media cronologică
Probleme rezolvate
Probleme propuse
Analiza statistică a seriilor cronologice se realizează prin:
- calculul unor indicatori statistici cu caracter descriptiv;
- descompunerea seriilor pe componente, cunoscută şi sub denumirea de analiza
seriilor de timp.
Rezultatele analizei pot servi la elaborarea de prognoze privind evoluţia viitoare a
fenomenului analizat, prin extrapolarea tendinţei şi a caracteristicilor evoluţiei acestuia în
perioada la care se referă seria cronologică.
Este important de precizat însă că aplicarea metodelor de analiză şi, mai ales,
extrapolarea rezultatelor acesteia presupun respectarea unor condiţii referitoare la
calitatea seriilor de date. Acestea privesc, în primul rând, omogenitatea seriei şi asigurarea
comparabilităţii în timp a datelor sub aspectul definirii şi al metodei de măsurare a
indicatorului. De asemenea, pentru ca rezultatele analizei să fie relevante pentru
aprecierea caracteristicilor evoluţiei fenomenului analizat şi pentru ca extrapolarea să fie
98
posibilă, este necesar ca seriile să fie suficient de lungi, să cuprindă un număr mare de
observaţii.
Caracterizarea evoluţiei în timp a fenomenelor economico-financiare presupune calculul
unor indicatori statistici cu caracter descriptiv. Indicatorii utilizaţi în acest scop sunt:
- media
- indicatorii dinamicii.
9.1. Media seriilor cronologice
Media seriei cronologice reprezintă nivelul mediu al variabilei, ordinul de mărime care
caracterizează variabila în cursul unei perioade. În analiza seriilor cronologice se utilizează
două tipuri de medii, în funcţie de tipul seriilor: în cazul seriilor de intervale se aplică media
aritmetică, iar în cazul seriilor de momente se aplică un tip special de medie, şi anume
media cronologică.
9.1.2. Media cronologică
Media cronologică este o medie aritmetică, simplă sau ponderată, a mediilor aritmetice
simple a valorilor înregistrate de variabilă în momentele care marchează începutul şi
sfârşitul fiecăruia dintre intervalele cuprinse între momentele seriei.
Media aritmetică a unei serii de intervale măsoară nivelul pe care îl înregistrează variabila
în medie pe parcursul intervalului de timp unitar (an, lună etc.) şi se calculează prin
raportarea sumei valorilor variabilei la numărul de valori, adică la numărul de intervale
unitare acoperite de termenii seriei:
n
tt 1
yy
n=
=
∑
Exemplu: Se cunoaşte Produsul Intern Brut17, în perioada 2000-2007.
17 Calculat conform Metodologiei SEC 1995
99
Tabel 9.1. Produsul Intern Brut, în perioada 2000-2007
t PIB
(mil. lei preţuri curente)
2000 3582,6 2001 5210,9 2002 6974,9 2003 9084,0 2004 11413,5 2005 13362,8 2006 15967,6 2007 19164,7
Sursa: Anuarul Statistic al României, 2008
PIB mediu anual din perioada 2000-2007 se calculează prin raportarea volumului total al
produsului intern brut realizat în întreaga perioadă la numărul de ani ai perioadei, astfel:
t PIB
(mil. lei preţuri curente)
2000 3582,6 2001 5210,9 2002 6974,9 2003 9084,0 2004 11413,5 2005 13362,8 2006 15967,6 2007 19164,7 total 84761,0
84761y 10595,12
8= = mil. lei preţuri curente.
Algoritmul de calcul al mediei cronologice
Dacă y1, y2, ….., yn reprezintă valorile înregistrate în momentele t = 1, 2, ……, n, atunci
nivelul mediu al variabilei în intervalul dintre primul şi al doilea moment este:
1 21
y yy
2+
=
în intervalul dintre al doilea şi al treilea moment:
2 32
y yy
2
+=
100
iar în intervalul dintre penultimul şi ultimul moment:
n 1 nn 1
y yy
2−
−
+=
Media cronologică se calculează ca medie aritmetică a acestor medii parţiale. Dacă
intervalele dintre momentele succesive ale seriei sunt egale sau pot fi considerate egale
(un an, un trimestru, o lună etc.), se aplică media aritmetică simplă a mediilor parţiale ( iy ),
rezultând media cronologică simplă, astfel:
1 2 n 1CR
y y ..... yy
n 1−
+ + +=
−
Prin dezvoltarea acestei relaţii se obţine formula de calcul al mediei cronologice simple:
2 31 2 n 1 n
CR
y yy y y y.....
2 2 2yn 1
−++ +
+ + +
=−
sau:
1 n2 3 n 1
CR
y yy y ..... y
2 2yn 1
−+ + + + +
=−
.
Dacă intervalele dintre momentele seriei nu sunt egale, în situaţiile în care înregistrarea nu
se face cu o anumită periodicitate sau dacă o parte dintre valori nu sunt disponibile, se
calculează media cronologică ponderată. În acest caz, calculul mediei mediilor parţiale
se face cu ajutorul mediei aritmetice ponderate, ponderarea făcându-se pe baza lungimii
intervalelor (ti) aferente fiecăreia dintre mediile parţiale ( iy ):
1 1 2 2 n 1 n 1CR
1 2 n 1
y t y t ..... y ty
t t ..... t− −
−
+ + +=
+ + +.
Se obţine astfel formula de calcul al mediei cronologice ponderate:
2 31 2 n 1 n1 2 n 1
CR1 2 n 1
y yy y y yt t ..... t
2 2 2yt t ..... t
−
−
−
++ ++ + +
=+ + +
,
care poate fi scrisă şi sub altă formă, astfel:
101
2 31 1 2 n 2 n 1 n 11 2 3 n 1 n
CR1 2 n 1
t tt t t t t ty y y ...... y y
2 2 2 2 2yt t ..... t
− − −
−
−
++ ++ + + + +
=+ + +
.
9.2. Probleme rezolvate
1. Se cunosc următoarele date privind numărul şomerilor, înregistrat în 2004 şi 2008:
Numărul şomerilor înregistraţi (la sfârşitul lunii) - mii persoane -
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
2004 1103 1184 1183 1154 1133 1122 1114 1075 1074 1064 1091 1130
2008 … …. 820 … 798 759 … … … 764 756 720
Se mai cunosc următoarele informaţii:
- la sfârşitul lunii decembrie 2003 numărul şomerilor a fost de 1025 mii persoane;
- la sfârşitul lunii decembrie 2007 numărul şomerilor a fost de 840 mii persoane.
Numărul mediu de şomeri din luna ianuarie 2004 este de:
ian.2004
1025 1103y 1064
2+
= = mii persoane,
cel din februarie 2004 de:
feb.2004
1103 1184y 1143,5
2+
= = mii persoane,
cel din trimestrul I acelaşi an de:
trim.I.2004
1025 11831103 1184 33912 2y 1130,3
4 1 3
+ + +
= = =−
mii persoane,
iar numărul mediu din anul 2004 este de:
2004
1025 11301103 1184 1183 1154 1133 1122 1114 1075 1074 1064 1091
2 2y13 1
+ + + + + + + + + + + +
=−
2004
13374,5y 1114,5
12= = mii persoane.
Numărul mediu de şomeri din trimestrul I al anului 2008, pentru care se cunosc numai
valorile de la începutul lunii ianuarie (sfârşitul lunii decembrie 2007) şi de la sfârşitul lunii
martie, se calculează ca medie a acestor valori:
102
trim.I.2008
840 820y 830
2+
= = mii persoane,
cel din semestrul I al anului 2008 se calculează ca medie cronologică ponderată:
sem.I.2008
3 3 2 2 1 1840 820 798 759 4886,52 2 2 2y 814,4
3 2 1 6
+ +× + × + × + ×
= = =+ +
mii persoane;
de asemenea, cel aferent întregului an 2008:
2008
3 3 2 2 1 1 4 4 1 1 1 1840 820 798 759 764 756 720
2 2 2 2 2 2 2y3 2 1 4 1 1
+ + + + +× + × + × + × + × + × + ×
=+ + + + +
2008
9430,5y 785,9
12= = mii persoane.
2. În anul 2008, firma X a înregistrat urmatoarele niveluri ale producţiei:
mii tone
mii tone
mii tone
mii tone
Ianuarie Februarie
Martie
16435 18446 19684
Aprilie Mai
Iunie
17622 19435 17546
Iulie August
Septembrie
15256 - -
Octombrie Noiembrie Decembrie
18648 -
12641
• Să se calculeze:
a. Producţia medie lunară în trimestrul I şi II;
b. Producţia medie lunară în semestrul al II-lea şi pe întreg anul 2008, dacă în
decembrie 2007, nivelul producţiei a fost de 18325 mii tone.
Producţia medie lunară în trimestrul I:
trim.I.2008
16435 18446 19684y 18188,3
3+ +
= = mii tone.
Producţia medie lunară în trimestrul al II lea:
trim.I.2008
17622 19435 17546y 18201
3+ +
= = mii tone.
Producţia medie lunară în semestrul al II-lea:
sem.II.2008
1 1 3 3 2 217546 15256 18648 12641 985462 2 2 2y 16424,3
1 3 2 6
+ +× + × + × + ×
= = =+ +
mii
tone;
Producţia medie lunară în 2008:
103
2 0 0 8
1 1 1 1 1 1 1 1 11 8 3 2 5 1 6 4 3 5 1 8 4 4 6 1 9 6 8 4 1 7 6 2 2
2 2 2 2 2y1 1 1 1 1 1 1 3 2
1 1 1 1 1 3 3 2 21 9 4 3 5 1 7 5 4 6 1 5 2 5 6 1 8 6 4 8 1 2 6 4 1
2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 3 2
2 0 8 1 0 3, 51 7 3 4 1, 9 m iito n e
1 2
+ + + +× + × + × + × + ×
= ++ + + + + + + +
+ + + +× + × + × + × + ×
= =+ + + + + + + +
= =
9.3. Probleme propuse:
1. Se cunoaşte evoluţia contului curent în perioada 2000-2007.
(mil. Euro)
Credit Debit
2000 14716 16210
2001 17088 -
2002 19474 21097
2003 20940 -
2004 25533 -
2005 31680 38568
2006 38700 -
2007 46075 62752
Sursa: Balanţa de plăţi, Anuarul Statistic al României, 2008
• Să se calculeze:
a. Creditul mediu anual
b. Debitul mediu anual.
Evoluţia contului financiar în perioada 2000-2007 (la sfârşitul anului)
(mil. Euro)
contul financiar
Credit Debit Sold
2000 5890 4526 1364
2001 7414 5848 1566
2002 8574 6176 2398
104
2003 9265 5982 3283
2004 15353 11650 3703
2005 36512 30624 5888
2006 45769 36212 9557
2007 66154 49700 16454
21.4 CURSUL DE SCHIMB MEDIU ANUAL DE REFERINŢĂ AL MONEDEI NAŢIONALE, FAŢĂ DE
PRINCIPALELE VALUTE
ANNUAL AVERAGE REFERENCE EXCHANGE RATE OF NATIONAL CURRENCY, AS AGAINST
MAIN CURRENCIES
lei / dolar SUA lei / euro Anii
lei / USD lei / euro
Years
1999 1,5333 1,6296 1999
2000 2,1693 1,9956 2000
2001 2,9061 2,6027 2001
2002 3,3055 3,1255 2002
2003 3,3200 3,7556 2003
2004 3,2637 4,0532 2004
2005 2,9137 3,6234 2005
2006 2,8090 3,5245 2006
2007 2,4383 3,3373 2007
Sursa: Banca Naţională a României.
Source: National Bank of Romania.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Isaic-Maniu, A., Mitruţ, C., Voineagu, V., Statistică, Editura Universitară, Bucureşti, 2004
� Baron, T., Biji, E., Statistică teoretică şi economică, EDP, Bucureşti, 1996 Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
105
Unitatea de studiu 10. Analiza seriilor de timp Autori: - Lect.univ. Nicoleta CARAGEA, Universitatea Ecologică din Bucureşti, Bucureşti, Sector 5,
bd.Vasile Milea nr.1G, e-mail: nicolcaragea@gmail.com
Obiective
analiza seriilor de timp;
determinarea trendului;
interpolarea şi extrapolarea.
Conţinut Componentele seriilor cronologice
Analiza seriilor de timp constă în descompunerea seriilor pe componente şi punerea în
evidenţă a relaţiilor cantitative dintre componente, relaţii care reflectă modelul de
dezvoltare a fenomenului măsurat cu ajutorul seriei cronologice şi care servesc la
prognoza evoluţiei viitoare a acestuia.
10.1. Componentele seriilor cronologice
Analiza seriilor de timp împarte seriile cronologice în patru componente definite în principal
de modul în care diferiţi factori acţionează asupra evoluţiei fenomenului analizat:
trendul sau tendinţa generală;
variaţiile sezoniere;
variaţiile ciclice;
variaţiile aleatoare.
Trendul şi variaţiile sezoniere şi ciclice sunt componente cu caracter sistematic.
Trendul sau tendinţa generală reprezintă mişcarea care se produce pe termen lung în
serie, caracterizată prin rate constante ale modificării sau rate care prezintă variaţii mici de
la o perioadă la alta. Trendul este componenta determinată de acţiunea permanentă a
unor factori de importanţă majoră. În cazul consumului de carburant pentru automobile, de
exemplu, se poate identifica o tendinţă de creştere pe termen lung, datorită creşterii
numărului de autoturisme aflate în circulaţie, precum şi a volumului mărfurilor transportate.
106
Variaţiile sezoniere sunt variaţii care se produc faţă de tendinţa generală în anumite
perioade ale fiecărui an, înregistrându-se numai în cazul seriilor formate din valori care se
referă la intervale mai mici de un an: trimestrial, lunar, săptămânal. Variaţiile sezoniere se
produc sub influenţa unor factori care acţionează numai în anumite perioade sau
acţionează diferit de la o perioadă la alta a anului. De exemplu, consumul de carburant
este mai mare vara, când activitatea de transport auto este mai intensă, şi este mai redus
iarna, când condiţiile de transport sunt mai dificile.
Variaţiile ciclice sunt variaţii cu caracter periodic, ca şi cele sezoniere. Ele se produc la
intervale mai mari de un an şi pot fi observate fie în seriile formate din valori anuale, fie în
seriile formate din valori trimestriale sau lunare.Variaţiile ciclice sunt determinate de factori
care acţionează ciclic cu o periodicitate de 2-3, 5-6, 9-10 şi chiar mai mulţi ani. Consumul
de carburant poate fi supus unor variaţii ciclice, având în vedere faptul că într-o economie
aflată în declin activitatea de transport se restrânge, în timp ce creşterea economică
antrenează şi dezvoltarea trensportului.
Variaţiile întâmplătoare se produc sub influenţa unor factori aleatori, a căror acţiune nu
se realizează cu regularitate în timp. Ele reprezintă acea componentă a variaţiei, care are
loc dincolo de tendinţa generală şi variaţiile cu caracter periodic, fiind denumită şi
perturbaţie sau variaţie reziduală. Consumul de carburant poate să scadă la un moment
dat, de exemplu, ca reacţie imediată la majorarea preţului sau să crească în cazul
majorării tarifelor la transportul feroviar.
Relaţia dintre valorile efective ale variabilei care formează seria cronologică (yt) şi
componentele seriei poate fi formalizată cu ajutorul unui model aditiv sau multiplicativ.
Modelul aditiv al seriei cronologice presupune însumarea valorilor trendului (yt’) cu
abaterile sezoniere ale valorilor seriei faţă de trend (si), cu abaterile ciclice (cj) şi cu
abaterile întâmplătoare (pt), astfel:
yt = yt’ + si + cj + pt. (6.45)
Utilizarea acestui model pentru prognoză, adică pentru determinarea valorii
probabile/teoretice a variabilei în perioada / momentul t = n + m, presupune:
extrapolarea trendului, adică a valorii acestuia în perioada (anul, trimestrul, luna) de prognoză;
adunarea la această valoare a abaterii sezoniere corespunzătoare perioadei respective;
107
adunarea la rezultatul obţinut a abaterii ciclice corespunzătoare fazei de ciclu în care se află perioada de prognoză.
Astfel, nivelul previzionat al variabilei se va calcula după cum urmează:
ji
'
mnmn csyy ++++++++====++++++++
. (6.46)
Modelul multiplicativ este construit pe ideea multiplicării valorilor trendului (yt’) cu indicii
sezonieri (ks(i)), cu indicii variaţiilor ciclice (kc(j)) şi cu indicii variaţiilor întâmplătoare (kp(t)),
astfel:
yt = yt’ ×××× ks(i) ×××× kc(j) ×××× kp(t). (6.47)
Este important de menţionat că nu toate seriile conţin toate cele patru componente. Este
posibil ca o variabilă să nu aibă variaţii sezoniere sau ciclice, astfel încât aceste
componente lipsesc din model. Există şi variabile staţionare care nu prezintă un trend, o
tendinţă de creştere sau de scădere, situaţie în care valorile trendului sunt înlocuite în
model de media seriei ( y ).
În cele ce urmează, capitolul se concentrează asupra determinării trendului.
10.2. Trendul
Determinarea trendului sau a tendinţei generale înseamnă calculul acelor valori care s-ar
fi înregistrat dacă în evoluţia fenomenului analizat nu ar fi intervenit şi influenţa factorilor
sezonieri, ciclici şi aleatori. Determinarea trendului este denumită şi ajustare, valorile
acestuia fiind definite ca valori ajustate18.
Calculul valorilor trendului poate fi realizat prin metode mecanice sau analitice. Metodele
mecanice– metoda sporului mediu şi metoda indicelui mediu – presupun luarea în
considerare în evaluare numai a valorilor aflate la începutul şi sfârşitul seriei, ignorând
valorile intermediare. Metodele analitice – metoda mediilor mobile şi funcţiile de
ajustare - se întemeiază pe utilizarea tuturor valorilor seriei.
6 Ajustarea este un procedeu de prelucrare a seriilor cronologice care prezintă variaţii mari de la o perioadă la alta. Ajustarea este
menită să elimine variaţiile sezoniere şi pe cele aleatoare, astfel încât să fie mai uşor de observat trendul şi variaţiile ciclice. În seriile
fără oscilaţii ciclice, ajustarea înseamnă de fapt determinarea trendului. În literatura de specialitate de limbă engleză, această
operaţiune de prelucrare a seriilor cronologice este denumită « smoothing », adică « netezire ».
108
10.3. Interpolarea şi extrapolarea
Interpolarea şi extrapolarea sunt operaţiuni care tehnic se realizează în acelaşi mod, pe
baza aceloraşi metode ca şi ajustarea.
Interpolarea constă în estimarea valorii corespunzătoare unei unităţi de timp (an, lună
etc.) aflate în interiorul perioadei acoperite de seria cronologică, utilizându-se în general,
pentru completarea seriilor de timp care nu cuprind valori aferente tuturor unităţilor de timp
ale perioadei. Dacă, de exemplu, lipsesc informaţiile necesare cunoaşterii producţiei de
ulei comestibil din anul 1997, dar se cunoaşte nivelul înregistrat în ceilalţi ani ai perioadei
1990-2000, pe baza valorilor cunoscute şi a metodelor de determinare a trendului –
metoda sporului mediu, metoda indicelui mediu şi funcţiile de ajustare – se poate estima o
valoare posibilă şi pentru anul 1997, valoare aferentă unităţii de timp t = 8 din modelele de
ajustare19.
Extrapolarea reprezintă unul dintre cele mai utilizate şi eficiente procedee de prognoză,
constând în estimarea uneia sau mai multor valori ale variabilei corespunzătoare unor
unităţi de timp aflate în afara perioadei acoperite de seria cronologică, în special unora
viitoare, mai mult sau mai puţin îndepărtate de această perioadă. Extrapolarea presupune
calculul acelei valori a trendului care corespunde lui t = n + m, unde m măsoară orizontul
prognozei, distanţa în timp între ultimul termen al seriei şi unitatea de timp pentru care se
face extrapolarea.
Extrapolarea poate fi făcută prin metoda sporului mediu şi cea a indicelui mediu, precum şi
cu ajutorul funcţiilor de regresie.
Astfel, dacă sporul absolut mediu calculat pentru întreaga perioadă acoperită de seria
cronologică este
1n
yy 1n
−
−=∆∆∆∆ ,
atunci nivelul înregistrat de trend în perioada/momentul t = n + m poate fi calculat
conform relaţiei:
∆∆∆∆)(, 1mnyy 1mn −++=+
sau a relaţiei:
∆∆∆∆myy nmn +=+
, .
19 Evident, dintre valorile atribuite variabilei t la calculul parametrilor funcţiilor de ajustare va lipsi t = 8, valoarea atribuită lui t aferent anului 1996 fiind t = 7, iar cea atribuită lui t aferent anului 1998 fiind 9.
109
Conform metodei indicelui mediu, valoarea trendului în perioada / momentul t = n+m se
obţine pe baza relaţiei:
1mn
1mn iyy −+
+= )(,
sau a relaţiei:
m
nmn iyy )(,=
+.
Utilizând ecuaţia liniară, relaţia se calcul al valorii extrapolate este:
bmnay mn )(,++=
+, dacă t = 1, 2, …..,n, şi
bm2
1nay mn )(,
+−
+=+
(dacă seria este impară) sau
bm21nay mn )(,+−+=
+ (dacă seria este pară),
în cazul în care lui t i se atribuie simetric valori negative şi pozitive.
În fine, extrapolarea pe baza funcţiei semilogaritmice presupune calculul valorii trendului în
perioada / momentul t = n + m conform relaţiei:
)ln(, mnbay mn ++=+
.
Bibliografie recomandată
� Molnar M., Caragea-Hrehorciuc N., Statistică, Editura BREN, Bucureşti, 2007
� Isaic-Maniu, A., Mitruţ, C., Voineagu, V., Statistică, Editura Universitară, Bucureşti, 2004
� Baron, T., Biji, E., Statistică teoretică şi economică, EDP, Bucureşti, 1996 Resurse Internet
http://www.ueb.ro http://www.elearning.ueb.ro/
110
Unitatea de studiu 11. PROBLEME PROPUSE
3. Un magazin a vândut frigidere şi maşini de spălat în cantităţile şi la preţurile următoare:
Cantităţi vândute (bucăţi) Preţuri (lei/bucată) 2005 2006 2005 2006 Frigidere 120 150 700 910 Masini de spălat 500 1000 350 540
Să se calculeze:
b. indicii individuali ai preţurilor, ai volumului fizic şi ai valorii produselor vîndute;
c. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al valorii vânzărilor;
d. indicele agregat Paasche al preţurilor, rata de creştere şi contribuţia preţurilor la creşterea valorii vânzărilor, în milioane lei şi procentual;
e. indicele agregat Laspeyres al volumului fizic al vânzărilor, rata de creştere şi contribuţia cantităţilor la creşterea valorii vânzărilor, în milioane lei şi procentual;
f. indicii Fisher şi Edgeworth ai preţurilor.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
2. Se cunosc următoarele date privind evoluţia preţurilor a două grupe de produse vândute de firma MARA, precum şi structura încasărilor pentru cele două grupe de produse:
Indicii de creştere a preţurilor
Structura încasărilor, %
în 2006 faţă 2005, % 2005 2006 Detergenţi 180 60 55 Materiale de construcţie 200 40 45
Să se calculeze:
a. indicele sintetic Laspeyres şi rata de creştere a preţurilor în 2006 faţă de 2005;
b. indicele sintetic Paasche şi rata de creştere a preţurilor în 2006 faţă de 2005;
c. indicele Fisher în 2006 faţă de 2005;
d. indicele sintetic Laspeyres al preţurilor în 2006 faţă de 2005, dacă preţurile detergenţilor au crescut în 2006 faţă de 2005cu 25%, iar al materialelor de construcţie cu 50%.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
111
3. Se cunosc următoarele date privind evoluţia preţurilor a două grupe de produse vândute de firma XXL, precum şi volumul încasărilor pentru cele două grupe de produse:
Indicii de creştere a Volumul încasărilor (mii lei) preţurilor în 2006 faţă 2005 (%) 2005 2006 Ţesături 150 1600 2800 Confecţii 180 2400 5000
Să se calculeze:
d. indicele sintetic Laspeyres şi rata de creştere a preţurilor în 2006 faţă de 2005;
e. indicele sintetic Paasche şi rata de creştere a preţurilor în 2006 faţă de 2005;
f. indicele Fisher în 2006 faţă de 2005;
g. indicele Paasche de de creştere a preţurilor în 2005 faţă de 2004, dacă preţurile ţesăturilor au crescut în 2005 faţă de 2004 cu 18 %, iar al confecţiilor cu 30%.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
4. Se cunosc următoarele date privind indicii preţurilor pe principalele componente ale consumului şi structura cheltuielilor băneşti de consum pe aceste componente în 2005 şi 2006:
Structura cheltuielilor de consum (%)
Indicii preţurilor pe componente
în 2006 faţă de 2005 (%) 2005 2006 Produse alimentare 135,7 41,3 42,2 Mărfuri nealimentare 133,1 31,8 30,7 Servicii 135,4 26,9 27,1
Să de calculeze:
a. indicele sintetic Laspeyres al preţurilor în 2006 faţă de 2005şi rata inflaţiei;
b. indicele sintetic Paasche al preţurilor în 2006 faţă de 2005şi ritmul aferent;
c. indicele sintetic Fisher al preţurilor în 2006 faţă de 2005;
d. indicele sintetic Laspeyres al preţurilor în 2007 faţă de 2005 şi 2006, dacă în 2007 se estimează o creştere a preţurilor produselor alimentare cu 15,8%, ale mărfurilor nealimentare cu 18,8%, iar ale serviciilor cu 21,0%;
e. indicele sintetic Paasche al preţurilor în 2007 faţă de 2005 şi 2006, dacă în 2007 preţurile produselor alimentare vor creşte cu 15,8%, ale mărfurilor nealimentare cu 18,8%, iar ale serviciilor cu 21,0%, în condiţiile în care în 2007 ponderea produselor alimentare va fi cu 2,2 puncte procentuale mai mică decât în 2006, iar ponderea serviciilor va rămâne la acelaşi nivel.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
112
5. Se cunosc următoarele date privind dinamica salariilor a două categorii de salariaţi din întreprinderea "X" şi structura fondului de salarii:
Structura fondului de salarii (%)
Indicii individuali ai salariilor
în 2005 faţă de 2004 (%) 2005 2006 Strungari 120 67,2 50,9 Ingineri 210 32,7 49,1
Să se calculeze:
a. indicele sintetic Laspeyres şi rata de creştere a salariilor în 2006 faţă de 2005;
b. indicele sintetic Paasche şi ritmul de creştere a salariilor în 2006 faţă de 2005;
c. indicele sintetic Fisher şi rata de creştere a salariilor în 2006 faţă de 2005;
d. salariile celor două categorii în 2006 ştiind că în 2005 salariul realizat de strungari a fost de 950 lei lunar, iar cel realizat de ingineri a fost de 2700 mii lei;
e. numărul strungarilor şi al inginerilor în 2005 şi 2006, dacă în 2006 fondul de salarii a fost de 34374 lei lunar, cu 68,1% mai mare decât în 2005;
f. contribuţia creşterii salariilor şi a efectivului de salariaţi la sporul absolut al fondului de salarii în 2006 faţă de 2005.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
6. Se cunosc următoarele date privind distribuţia unei echipe de muncitori după productivitatea muncii, exprimată prin numărul de piese realizate lunar de un muncitor:
martie mai Număr de piese /
muncitor Număr
de muncitori Număr de piese /
muncitor Număr
de muncitori 50 10 55 9 60 15 70 16
Să se calculeze:
f. indicele volumului producţiei realizate în mai faţă de martie;
g. contribuţia celor doi factori – modificarea productivităţii şi a numărului de muncitori – la modificarea producţiei realizate;
h. productivitatea medie a muncii în lunile martie şi mai;
i. indicele, ritmul de creştere şi sporul absolut al productivităţii medii în mai faţă de martie;
j. indicele sintetic Paasche şi ritmul de creştere a productivităţii;
k. indicele Laspeyres şi ritmul modificării structurii muncitorilor după numărul de piese;
l. contribuţia celor doi factori - modificarea productivităţii individuale şi modificările structurale - la sporul productivităţii medii, în număr de piese şi procentual, după metoda substituţiei în lanţ;
m. indicele de creştere a productivităţii medii în iulie faţă de mai şi martie, dacă jumătate din salariaţi au realizat câte 60 de piese şi jumătate câte 65 de piese.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
113
7. Se cunosc următoarele date privind dinamica productivităţii muncii şi structura producţiei pe cele trei grupe de activităţi din industrie:
Structura producţiei industriale (%)
Indicii productivităţii muncii în 2006
faţă de 2000 (%) 2000 2006 Industria extractivă 143,3 6,9 5,6 Industria prelucrătoare 130,6 80,5 79,4 Energie elecrtică şi termică, gaze şi apă 74,2 12,6 14,6
Să se calculeze:
a. indicele sintetic Laspeyres şi rata de creştere a productivităţii muncii în industrie în 2006 faţă de 2000;
b. indicele sintetic Paasche şi ritmul de creştere al productivităţii muncii în industrie în 2006 faţă de 2000;
c. indicele sintetic Fisher şi rata de creştere a productivităţii muncii în industrie în 2006 faţă de 2000;
d. indicele sintetic Paasche şi rata de creştere a productivităţii muncii în industrie în 2006 faţă de 2005, dacă indicele de creştere a productivităţii muncii în 2005 faţă de 2000 a fost de 123,6% în industria extractivă, 113,1% în industria prelucrătoare şi 71,7% în industia energiei;
e. indicele sintetic Laspeyres şi rata de creştere a productivităţii muncii în 2005 şi în 2007 faţă de 2000, dacă acesta a crescut în 2007 faţă de 2006 cu 4,8% în industria extractivă, cu 1,6% în industria prelucrătoare şi cu 0,4% în industia energiei.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
8. Se cunosc următoarele date privind cantităţile de produse vândute de firma "M" şi preţurile de vânzare corespunzăzoare:
Cantităţi vândute Preţuri unitare, lei Produse UM 2005 2006 2005 2006
A tone 120 100 250 280 B mp 1020 900 24 60 C bucăţi 240 300 2000 2400 D kg 2800 3000 60 150
Să se calculeze:
e. indicii individuali ai preţurilor, ai volumului fizic şi ai valorii produselor vândute;
f. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al valorii vânzărilor;
g. indicele agregat şi rata de creştere a preţurilor după formulele Laspeyres, Paasche, Fischer şi Edgeworth;
h. indicele agregat şi ritmul de creştere a volumului fizic al vânzărilor după formulele Laspeyres, Paasche şi Fischer;
114
i. contribuţia fiecărui factor - preţurile şi volumul fizic - la modificarea absolută a valorii vânzărilor, calculată în mii lei şi procentual, după metoda substituţiei în lanţ şi după metoda restului nedescompus.
Se cunosc, de asemenea, indicii individuali de creştere a preţurilor în 2005 faţă de 2006 (în %) şi structura valorii vânzărilor în 2005 faţă de 2006:
Produse Indicii individuali Structura vânzărilor, % ai preţurilor, %
2005=100 2005 2006
A 100 22 10 B 110 20 20 C 150 48 58 D 200 10 12
Total - 100 100
Să se calculeze:
c. indicele sintetic şi rata de creştere a preţurilor în 2006 faţă de 2005, pe baza formulelor Laspeyres, Paasche şi Fischer;
d. nivelul preţurilor în 2005 şi 2006;
e. indicii individuali de crestere a preţurilor in 2007 faţă de 2006, în ipoteza dublării tuturor preţurilor îndividuale în 2007 faţă de 2005;
f. indicele sintetic şi rata de creştere a preţurilor în 2007 faţă de 2006 şi în 2008 faţă de 2005.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.
9. Se cunosc următoarele date privind evoluţia salariilor plătite de firma "M" celor patru categorii de angajaţi:
Salariul nominal brut, lei lunar
Numărul de salariaţi
Categoria de salariaţi
septembrie decembrie septembrie decembrie A 1400 1650 20 18 B 1750 1900 100 80 C 1910 2000 50 60 D 2200 2100 150 180
Să se calculeze:
a. indicii individuali ai salariilor, ai efectivului de salariaţi şi ai fondului de salarii aferent fiecărei categorii;
b. indicele agregat, rata de creştere şi sporul absolut al fondului de salarii;
c. indicele agregat şi rata de creştere a salariilor după formulele Laspeyres, Paasche, Fischer si Edgeworth;
d. indicele agregat şi ritmul de creştere a volumului forţei de muncă utilizate(efectivului de salariati), după formulele Laspeyres, Paasche şi Fischer;
e. contribuţia celor doi factori - salariile şi efectivul de salariaţi - la modificarea absolută a fondului de salarii, calculată în mii lei şi procentual, după metoda restului nedescompus şi după metoda substituţiei în lanţ.
f. salariul mediu la nivelul firmei în septembrie şi decembrie;
115
g. indicele de creştere şi sporul - absolut şi relativ - al salariului mediu în decembrie faţă de septembrie;
h. indicele şi rata de creştere a salariilor în decembrie faţă de septembrie şi sporul absolut al salariului mediu sub influenţa modificării salariilor individuale, după formulele Laspeyres şi Paasche;
i. indicele şi rata modificării structurii pe categorii a efectivului de salariaţi şi sporul absolut al salariului mediu în aceeaşi perioadă sub influenţa modificării structurii, după formulele Laspeyres şi Paasche;
j. contribuţia (in mii lei si procentual) a celor doi factori - creşterea salariilor individuale şi modificarea structurii efectivului de salariaţi - la modificarea absolută a salariului mediu în decembrie faţă de septembrie, după metoda substituţiei în lanţ şi după metoda restului nedescompus.
Se cunosc, de asemenea, indicii individuali de creştere a salariilor în iunie faţă de martie şi structura fondului de salarii în martie şi iunie:
Structura fondului de salarii, % Categorii de salariaţi
Indicii individuali ai salariilor, % iunie/martie
martie iunie
A 106 43 38 B 115 12 20 C 126 20 22 D 120 25 20
Total - 100 100
Să se calculeze:
e. indicele sintetic şi rata de creştere a salariilor în iunie faţă de martie, pe baza formulelor Laspeyres, Paasche şi Fischer;
f. nivelurile salariilor individuale in martie şi iunie;
g. indicii individuali de crestere a salariilor in decembrie faţă de martie, iunie şi septembrie, în ipoteza în care toate salariile individuale au fost în septembrie de cu 21% mai mari decât în iunie;
h. indicele sintetic şi rata de creştere a salariilor în septembrie faţă de iunie si in decembrie faţă de martie.
Să se precizeze semnificaţia rezultatelor.