Post on 08-Feb-2020
22.02.2016
1
În cazul în care perturbaţia v(t) (zgomotul) influenţează
puţin mărimea de ieşire y(t) (raport zgomot/semnal
nesemnificativ), aceasta poate fi ignorată în controlul
procesului tehnologic; atunci când performanţele impuse
mărimii de ieşire sunt de nivel ridicat trebuie luată în
considerare şi calea prin care se propagă perturbaţia spre
ieşire, deci este necesar şi modelul matematic al căii de
zgomot.
În acest caz evoluţia mărimii de ieşire poate fi determinată
dacă se cunosc modelele celor două căi (de control şi de
zgomot), semnalul de intrare u(t) şi caracteristicile statistice
ale zgomotului v(t).
1.Proprietăţile statistice ale semnalelor aleatoare
• Densitatea de probabilitate şi funcţia de repartiţie
Pentru un semnal aleator x(t), fig.2.5.a, se numeşte
densitate de probabilitate si se noteaza
cu f(x), probabilitatea ca acest semnal să aibă o
anumită valoare x într-o durată de timp T0
])(Pr[)( xtxxf (2.39)
Se observă că f(x) este proporţională cu numărul de
intersecţii ale semnalului x(t) cu orizontala corespunzătoare
valorii x , fig.2.5.b. Funcţia de repartiţie F(x) reprezintă probabilitatea
ca semnalul x(t) să aibă valoarea mai mică decât x ,
respectiv ])(Pr[)( xtxxF (2.40)
Funcţia de repartiţie are proprietăţile:
a) F (- ) = 0 , F ( ) = 1;
b) Este o funcţie monotonă nedescrescătoare,
mărginită şi continuă cel puţin la stânga.
22.02.2016
2
0
2
8
6
4
-2 2 4 6 x
g(x)=kf(x)
0
2
4
-2
x(t)
T0
t
a.
Fig. 2.5
Dacă funcţia de repartiţie este continuă atunci
dx
xdFxfdxxfxF
)()(;)()(
(2.41)
unde f(x) este densitatea de probabilitate.
Pentru că funcţiile f(x), F(x) sunt greu de manevrat,
caracterizarea unui semnal aleator poate fi făcută prin
intermediul momentelor
b. Valori medii statistice
Valoarea medie statistică sau momentul de ordinul 1,
numită şi speranţa matematică, pentru un semnal aleator
x(t) se defineşte prin
1 )()( dxxxfxxdFm (2.42)
)()(lim)(0
xFxxFxdFx
unde (2.43)
reprezintă probabilitatea ca x(t) să fie cuprins între limitele x
şi x + x , pentru x 0 . S-a înlocuit dF(x) cu f(x)dx ,
în (2.42).
22.02.2016
3
Momentul de ordinul k al semnalului aleator x(t) se
defineşte prin
dxxfxxdFxxEm kkkk )()()( (2.44)
Momentul centrat de ordinul k al semnalului aleator
x(t) se calculează cu relaţia
dxxfExxdFExExEM kx
kx
kxk )(][)(][])[( )()()(
(2.45)
Momentul centrat de ordinul 2 al semnalului aleator x(t)
se numeşte dispersia acestui semnal
)()]([)]([)]([ 22 xdFxExxExMtxD (2.46)
Pentru două semnale aleatoare x(t) şi y(t), cu valorile medii
E(x), respectiv E(y), se numeşte funcţie de covariaţie
momentul de ordinul al doilea
xyyEyxExEtytx ))]())(([()](),(cov[(2.47)
Pentru semnalul x(t) funcţia de covariaţie este
2))(()](),(cov[ xxx txDtxtx (2.48)
Cu ajutorul funcţiilor şi se defineşte densitatea de
probabilitate normală sau clopotul lui Gauss fig.2.6.
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf(2.49)
în care : = E(x), 2 = D [x(t)], - < < ; 0 < < ;
- < x < .
Se observă că densitatea de probabilitate normală este
simetrică faţă de ordonată şi prezintă o valoare maximă
pentru x = 0.
c. Valori medii temporale
Valoarea medie temporală a unui semnal x(t)
22.02.2016
4
se determină cu relaţia
T
TTdttx
Ttx )(
2
1lim)( (2.50)
x 0
f(x)
Fig. 2.6
Valoarea medie pătratică temporală a unui semnal x(t)
se determină cu relaţia
T
TTdttx
Ttx )(
2
1lim)( 22
(2.51)
În relaţiile (2.50), (2.51) pentru intervalul de timp T limitele de
integrare pot fi considerate şi de la 0 la T , sau de la – T/2 la T/2.
Pentru că integralele din ecuaţiile (2.50), (2.51)
adesea nu se pot calcula analitic, se utilizează metode
numerice de aproximare a acestora
N
NkekTx
Ntx )(
12
1)(
N
NkekTx
Ntx )(
12
1)( 22
(2.53)
unde Te este perioada de eşantionare, 2N+1 numărul de
eşantioane.
Funcţia de autocorelaţie a unui semnal x(t) reprezintă
valoarea medie temporală a produsului x(t)x(t+). Ea se
numeşte şi valoare medie de al doilea ordin
tdtxtxT
txtxRT
TTxx
)()(
2
1lim)()()( (2.54)
care se poate aproxima numeric
22.02.2016
5
)()(12
1)(
N
Nkeexx kTxkTx
NR (2.55)
cu Te 0, N ; Intervalul de timp se numeşte
timp de corelare şi evident < T, în (2.54) şi > Te în
(2.55).
Valoarea funcţiei de autocorelare reprezintă o măsură a
gradului de previzibilitate ca valoarea semnalului x(t+) să fie
egală cu x(t). Funcţia de autocorelaţie prezintă proprietăţile:
T
TTxx txdttx
TR )()(
2
1lim)0( 22
)()();0())( RxxRRR xxxxxx
(2.56)
evidenţiate şi în graficul din fig. 2.7.
Funcţia de intercorelaţie a două semnale aleatoare x(t), y(t)
reprezintă valoarea medie temporală a produsului x(t)y(t + )
0
Fig. 2.7
T
TTxy dttytx
TtytxR )()(
2
1lim)()()( (2.57)
şi se poate determina numeric, pentru Te 0 , N , > Te
)()(12
1)(
N
Nkeexy kTykTx
NR (2.58)
Funcţia de intercorelaţie are proprietăţile
)0()0()( );()( );0()0( yyxxxyyxxyyxxy RRRRRRR (2.59)
22.02.2016
6
d. Densitatea spectrală
Densitatea spectrală a unui semnal x(t) este transformata
Fourier a funcţiei de autocorelaţie Rxx() a acestuia
deRRFS jxxxxxx )()()( (2.60)
Ştiind funcţia de densitate spectrală din (2.60) se poate
determina funcţia de autocorelaţie
deSR jxxxx )(
2
1)(
(2.61)
Transformata Fourier a funcţiei de intercorelaţie defineşte
funcţia densitate interspectrală a două semnale x(t) şi y(t).
deRRFjS jxyxyxy
)()()( (2.62)
Se consideră
dttxtxdttxtxT
RT
TTxx )()()()(
2
1lim)(
(2.63)
Înlocuid Rxx() din (2.63) în relaţia (2.60) se obţine
dedttxtxS jxx ))()(()( (2.64)
Se fac schimbările de variabile t = , t + = şi se
înlocuiesc în (2.64). Se consideră că t este constant când
variază. Se obţine
)()(
; )()()()()(
)()()(
2
)(
txFjX
jXjXjXdexdex
ddexxS
jj
jxx
(2.65)
Deci densitatea spectrală a unui semnal x(t) este egală
cu pătratul modulului transformatei Fourier a acestuia
22.02.2016
7
)()(2
jXSxx (2.66)
Se consideră un sistem dinamic cu funcţia de transfer
H(s), respectiv cu funcţia pondere h(t)=L-1{H(s)}. Ţinând
seama că h(t)=0 , pentru t < 0 , mărimea de ieşire este
dtuhdtuhty )()()()()(0
(2.67)
Valoarea medie statistică a lui y(t) este
.)(
)]([)())()(())((00
constdhm
dtuEhdtuhEtyEm
u
y
(2.68)
Funcţia de autocorelaţie a mărimii de ieşire se determină cu relaţia
(2.69). Ţinând seama de relaţiile (2.57), (2.67) funcţia de
intercorelaţie dintre mărimea de intrare u(t) şi mărimea de
ieşire y(t) a sistemului dat se calculează cu relaţia
0 00 0
0 0
00
)()()()()()()(
)()()()(
)()()()()]()([)(
ddRhhddtutuEhh
ddtutuhhE
dtuhdtuhEtytyER
uu
yy
0
)()()()()()()(
)()()()()()(
dRhdRhdtutuEh
dtuhtuEtytuER
uuuu
uy
adică dRhR uuuy )()()(
0
(2.70) (M9)
Relaţia (2.70) se numeşte ecuaţia Wiener –Hopf şi
constituie clasa de modele (M9).
22.02.2016
8
Din (2.70) rezultă că funcţia de intercorelaţie Ruy(τ) este
definită de integrala de convoluţie dintre funcţia pondere
şi funcţia de autocorelaţie a intrării, similar relaţiei între
mărimea de ieşire y(t) şi mărimea de intrare u(t), conform
modelului (M2).
Modelul (M9) este de asemenea un model continuu
neparametric al unui sistem liniar stocastic. În cazul
sistemelor liniare în timp discret ecuaţia Wiener-Hopf devine,
prin discretizarea timpului
)()()(0
ikRihkR uu
k
iuy
(2.71)
În domeniul complex un sistem stocastic poate fi
caracterizat prin intermediul densitătilor spectrale
(interspectrale) ale mărimilor de intrare-ieşire. Se aplică
transformata Fourier în relaţiile (2.69), (2.70) şi se obţine:
)()()()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
2
)(
uuuu
wjuu
jj
wjuu
juu
jyyyyyy
SjHSjHjH
dwewRdehdeh
dwddewRhh
dddeRhh
deRRFS
adică densitatea spectrală a mărimii de ieşire Syy() este proporţională
cu modulul răspunsului la frecvenţă a sistemului /H(j)/ şi cu densitatea
spectrală Suu() a semnalului de intrare.
)()()(2
uuyy SjHS
(2.72)
dedRh
deRRFjS
juu
juyuyuy
))()((
)()()(
(M10.a)
22.02.2016
9
)()()()(
)()( )(
uuwj
uuj
wjuu
SjHdwewRdeh
dwdewRh
adică densitatea interspectrală intrare-ieşire Suy(j) este
proporţională cu răspunsul la frecvenţă H(j) şi cu densitatea
spectrală a intrării Suu()
)()()( uuuy SjHjS (2.73) (M10.b)
Ecuaţia (2.73) se numeşte ecuaţia Wiener – Hincin, care
face parte din clasa de modele (M10).
În cazul unui sistem liniar stocastic fig.2.3b, intervine
pertubaţia aleatoare v(t). Dacă se presupune că semnalele
u(t) şi v(t) nu sunt corelate, adică
0)()(2
1lim)(
tdtvtu
TR
T
TTuv (2.74)
şi ţinând seama că y(t) se calculează în acest caz cu relaţia
)()()()(0
tvdtuhty
(2.75)
funcţia de intercorelaţie intrare-ieşire va rezulta tot în forma
(2.70):
0
)()()()()(
)()()()()(
()()()(
)()()(
dRhRdRh
tvtuEdtutuEh
tvdtuhtuE
tytuER
uuuvuu
uy
(2.76)
Pentru un sistem stocastic modelul nu poate fi utilizat pentru
a calcula valorile instantanee ale ieşirii, ci numai pentru a
determina unele proprietăţi (caracteristici)
statistice ale acestuia
22.02.2016
10
Dacă perturbaţia v(t) este proces aleator raţional, aceasta poate
fi considerată ca fiind mărimea de ieşire a unui filtru raţional
stabil, fig.2.8 a cărui mărime de intrare este un semnal
aleator e(t). Filtru
stabil
e(t) v(t)
Fig. 2.9
2.2.3.2. Modele stocastice monovariabile continue de
tip intrare-ieşire Pentru un sistem liniar monovariabil continuu stocastic
ecuaţia diferenţială este
m
j
jj
n
i
ii tvtubtya
0
)(
0
)( )()()( (2.77)
Pentru perturbaţia (zgomotul) v(t) se alege un model
similar părţii deterministe a sistemului (2.77), de forma
0
)(
0
)( )()( tectvdr
(2.78)
Aplicând transformata Laplace, pentru condiţii iniţiale nule din
ecuaţia (2.77) se obţine
)(
)()(
)(
)()()()(
00
0
sP
sVsU
sP
sQ
sa
sVsU
sa
sb
sYn
i
ii
n
i
ii
m
j
jj
(2.79)
Din ecuaţia (2.78) se obţine
)()()()( 1
0
0sEsHsE
sd
sc
sVr
(2.80)
Înlocuind (2.80) în (2.79) se obţine
)(
)()( ; )()()()()(
1
11sP
sHsHsEsHsUsHsY (2.81)
22.02.2016
11
unde H(s) este funcţia de transfer a părţii deterministe, )(1sH
este funcţia de transfer a filtrului, H1(s) este funcţia de transfer
a căii perturbaţie – ieşire.
H(s)
H1(s)
U(s) +
+
E(s)
Ys
Yv
Y(s)
Fig. 2.9
Ecuaţia (2.81) se poate reprezenta prin schema bloc din
fig. 2.9 , în care Ys (s) este componenta deterministă a
mărimii de ieşire din sistem, iar Ve(s)=Yv(s) este componenta
mărimii de ieşire datorată perturbaţiei (zgomotului E(s))
)(
)()()()()(
)(
)()( 1
1sP
sEsHsEsHsY
sP
sVsV ve
2.2.3.3. Modele stocastice monovariabile de tip intrare-
ieşire în timp discret
În timp discret partea deterministă a unui sistem
monovariabil se reprezintă printr-o ecuaţie cu diferenţe
)()()()( 11 kuqBkyqA (2.82)
unde q-1 este operatorul de întârziere cu un pas.
Dacă perturbaţia este un proces aleator cu densitate
spectrală raţională, v(k) este ieşirea unui filtru raţional stabil cu
funcţia de transfer discretă )( 11
qH la intrarea căruia se aplică
un zgomot alb e(k) , fig.2.10.a, atunci
)(
)()( ; )()(1)(
1
1
qA
kvkvkeqHkv e
(2.83)
22.02.2016
12
u(k)
e(k) v(k)
+
e(k)
u(k) y(k) + ve(k)
y(k) +
+
a.
C
b Fig. 2.10.
Ţinând seama că partea deterministă are funcţia de transfer
discretă H(q-1) , din fig. 2.10.c rezultă un model cu diferenţe
din clasa de modele (M11).
)()()()()( 11
1 keqHkuqHky (2.81) (M11)
Modelul (M11) se obţine dintr-un model stocastic discret
corespunzător modelului continuu (2.77) în care se înlocuieşte
v(k) din (2.83)
)()()()()(
)()(
)()(
)(
)()(
)()()()()()()()()(
11
1
1
11
1
1
11
111
keqHkuqHky
keqA
qHku
qA
qBky
keqHkuqBkvkuqBkyqA
Filtrele H(q-1), H1(q-1) sunt funcţie de vectorul parametrilor .
Forma generală a unui model cu diferenţe, conform
fig.2.3.a este
)()(
)()(
)(
)()()(
1
1
1
11 ke
qD
qCku
qF
qBkyqA
(2.85) (M12)
e(k)
u(k) +
+
y(k)
)D(q
)C(q1
1
)F(q
)B(q1)
1
)A(q
11
Fig. 2.11
care este ilustrată în fig.2.11.
Zgomotul e(k) are dispersia
22 )]([ keE
22.02.2016
13
În acest model polinoamele A(.), B(.), C(.), D(.), F(.), care
au respectiv gradele na, nb, nc, nd, nf sunt definite astfel
nbnb
nbnb
nana
nana
qbqbqbqB
qaqaqaqA
)1(1
11
1
)1(1
11
1
.... )(
.... 1)(
nfnf
nfnf
ndnd
ndnd
ncnc
ncnc
qfqfqfqF
qdqdqdqD
qcqcqcqC
)1(1
11
1
)1(1
11
1
)1(1
11
1
.... 1)(
.... 1)(
.... 1)((2.86)
vectorul parametrilor fiind
] ... ... ... ... ... [ 2121212121T
nfndncnbna fffdddcccbbbaaa
Comparând modelele (M11) şi (M12) din relaţiile (2.84),
respectiv (2.85), se constată că
)()(
)()( ;
)()(
()(
11
11
111
)11
qDqA
qCqH
qFqA
qBqH (2.87)
Existenţa polilor comuni (zerourile polinomului A(q-1)) arată
faptul că perturbaţia acţionează undeva în interiorul sistemului.
Dacă gradul na al polinomului A(q-1) este zero, atunci cele două
căi sunt complet separate, efectul lor manifestându-se direct
asupra ieşirii.
Cazuri particulare
1. Cazul 1, nc = nd = nb = nf = 0 ; deoarece pentru nb = 0
rezultă B(q-1) 0 în acest caz modelul general se reduce la
] ... [ ; )()()( 211 T
naaaakekyqA (2.88)
(M13)
un model autoregresiv (AR) din clasa de modele (M13)
2. Cazul 2, na = nb = nf = nd = 0 ; se obţine un model de medie alunecătoare (MA),din clasa de modele (M14).
] ... [ ; )()()( 211 T
ncccckeqCky (2.89)
(M14)
22.02.2016
14
3. Cazul 3, nb = nf = nd = 0 ; se obţine un model
autoregresiv şi de medie alunecătoare (ARMA), din clasa
de modele (M15).
] ... ... [ ; )()()()( 212111 T
ncna cccaaakeqCkyqA (2.90) (M15)
4. Cazul 4, nf = nc = nd = 0 ; se obţine un model
autoregresiv controlat (sau cu mărimi exogene) – (ARX),
din clasa de modele (M16).
] ... ... [ ; )()()()()( 212111 T
nbna bbbaaakekuqBkyqA (2.91) (M16)
5. Cazul 5, nd = nf = 0 ; se obţine un model autoregresiv
şi de medie alunecătoare cu mărimi exogene - (ARMAX),
din clasa de modele (M17).
] ... ... ... [
; )()()()()()(
212121
111
Tncnbna cccbbbaaa
keqCkuqBkyqA
(2.92) (M17)