8/19/2019 Lucrarea 18 Rom

1/5

  1

Lucrarea delaborator Nr.18.

Determinarea vitezei sunetului în aer

Scopul lucr ării: determinarea vitezei sunetului în aer prin metoda compunerii oscilaţiilor reciproc perpendiculare.

 Aparate şi accesorii: oscilograf electronic, generator de ton, difuzor, microfon, banc optic. Noţiuni teoretice (vezi paragrafele 2.9 şi 3.1).

2.9. Compunerea oscilaţiilor reciproc perpendiculare

Să  studiem mişcarea compusă  a unui punct material, care participă  concomitent la două  mişcărioscilatorii reciproc perpendiculare de aceeaşi perioadă. Alegem originea sistemului de referinţă astfel cafaza iniţială  a oscilaţiilor în direcţia axei  X   să  fie egală  cu zero. În acest caz ecuaţiile oscilaţiilor îndirecţiile axelor X  şi Y  se vor scrie sub formă de

t  x x m   ⋅= cos , ( )α ω    +⋅= t  y y m cos , (2.29)

unde α   este diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii. Să determinăm ecuaţia traiectoriei, pe care semişcă punctul, luând parte la ambele oscilaţii. Pentru aceasta din ecuaţia (2.29) eliminăm timpul t  şi ca

rezultat obţinem ecuaţia:α α  2

2

2

2

2

sincos2

=−+mmmm  y x

 xy

 y

 y

 x

 x, (2.30)

care reprezintă  ecuaţia unei elipse cu axele orientate arbitrar. Să  examinăm câteva cazuri particulare:

Când α =0  şi  π α  =  , elipsa degenerează în dreptele:  x x

 y y

m

m=   şi  x x

 y y

m

m−= . În primul caz punctul

efectuează oscilaţii armonice de-a lungul dreptei situate în cadranele 1 şi 3 (fig.2.9a), iar în cazul al 2-leaîn cadranele 2 şi 4 (fig.2.9b).

Fie 2π α    ±= , atunci ecuaţia (2.30) ia forma: 12

2

2

2

=+mm  y

 y

 x

 x Prin urmare, în acest caz corpul se

mişcă  pe o elipsă  redusă  la axele de coordonate, semiaxele elipsei fiind egale cu amplitudinilecorespunzătoare ale oscilaţiilor. Dacă  amplitudinile sunt egale, atunci elipsa se transformă  într-ocircumferinţă.

Cazul 2π α  =   corespunde mişcării corpului pe elipsă  (circumferinţă) în sens orar: cazul

2π α    −=  corespunde mişcării corpului în sens antiorar (fig.2.9c).

b c

 

Fig. 2.9

Dacă  frecvenţele oscilaţiilor reciproc perpendiculare care se compun nu sunt egale, atuncitraiectoria mişcării punctului material reprezintă curbe complicate, numite figuri Lissajoux. Aceste figurisunt trasate în fig. (2.10) pentru câteva cazuri particulare. Se constată  că  cu cât raportul frecvenţeloroscilaţiilor care se compun este mai aproape de unitate, cu atât mai complicate sunt figurile Lissajoux.

8/19/2019 Lucrarea 18 Rom

2/5

  2

 Fig.2.10

3.1. Noţiuni generale

Procesul propagării oscilaţiilor în spaţiu, care se manifestă  prin transferul energiei acestuia, senumeşte proces ondulator sau undă . Dacă oscilaţiile sunt armonice, atunci undele corespunzătoare senumesc monocromatice. 

Unda este longitudinală , dacă direcţia oscilaţiilor coincide cu direcţia propagării, şi transversală,dacă direcţia oscilaţiilor este perpendicular ă pe direcţia de propagare.

Se disting următoarele tipuri de unde: elastice, electromagnetice şi unde pe suprafaţa lichidelor.Unde elastice  sau mecanice se numesc deformaţiile mecanice care se propagă  într-un mediu elastic.Undele elastice se pot propaga numai în mediu material. Mişcarea oscilatorie a unei particule a substanţei

se transmite particulelor învecinate datorită  atracţiei şi respingerilor particulelor şi astfel apare undaelastică. În acest proces particulele nu sunt transportate de undă, ele numai oscilează în jurul poziţiilor deechilibru. Undele elastice pot fi atât transversale, cât şi longitudinale. Undele elastice transversale pot luanaştere şi se pot propaga numai în corpurile solide, în care e posibilă deformaţia de alunecare. Undeleelastice longitudinale pot apărea şi se pot propaga atât în corpuri solide, cât şi în lichide şi gaze. Undeleelastice cu frecvenţele cuprinse în intervalul 16-20000 Hz sunt percepute de organul auditiv al omului şisunt numite unde sonore  sau acustice.  Undele electromagnetice reprezintă  un câmp electromagneticvariabil care se propagă  în spaţiu. Undele electromagnetice sunt transversale şi se pot propaga atât înmedii materiale, cât şi în vid.

Frontul undei este locul geometric al punctelor din spaţiu, la care au ajuns oscilaţiile către

momentul t  şi reprezintă o suprafaţă  ce separ ă  spaţiul deja antrenat în procesul ondulatoriu de acela încare oscilaţiile încă nu au apărut.

Viteza cu care se propagă frontul undei în spaţiu se numeşte viteza de fază.Suprafaţa de undă  se numeşte locul geometric al punctelor ce oscilează  în aceeaşi fază. Spre

deosebire de frontul undei, suprafaţa de undă este nemişcată. În funcţie de forma suprafeţei de undă există unde plane, sferice, cilindrice etc. Frontul undei plane este un plan, al undei sferice - o sfer ă.

Lungime de undă  se numeşte distanţa parcursă de undă în decursul unei perioade T  sau distanţadintre cele mai apropiate puncte care oscilează în aceeaşi fază:

ν λ  /vvT   == , (3.1)

unde: v  - viteza de fază a undei, v = 1/T  - frecvenţa oscilaţiilor.

Perturbaţia S  a mediului sau a câmpului în punctul dat al spaţiului este determinată de poziţia ei (deexemplu, de coordonata x) faţă de sursa de oscilaţii şi de momentul t  de observaţie. Oscilaţiile ajunse în

 punctul din spaţiu cu coordonata x vor avea loc după legea:

( ) ( )v xt S t  xS  m /cos,   −= , (3.2) 

unde: S m , este amplitudinea oscilaţiei, - frecvenţa ciclică, t  - timpul măsurat de la începutul oscilaţiilorsau

( ) ( )kxt cosS t  , xS  m   −⋅= . (3.3) 

unde λ π  / 2k  =  este numit numărul de undă . Ecuaţia (3.2) sau (3.3) reprezintă ecuaţia undei progresive

 plane ce se propagă de-a lungul axei x. Viteza de fază a acestei unde este: 

k dt 

dxv

  ω == . (3.4) 

Ecuaţia undei plane ce se propagă în sens opus se va scrie sub formă:

8/19/2019 Lucrarea 18 Rom

3/5

  3

( ) ( )v xt S t  xS  m /cos,   +=   ω  , (3.5)sau

( ) ( )kxt cosS t  , xS  m   +⋅= . (3.6) 

Fazele 1   , şi 2ϕ   ale oscilaţiilor în două puncte din spaţiu cu coordonatele x1 şi x2 sunt:

11 kxt  +⋅=ϕ   şi 22 kxt  −⋅=ω   iar diferenţa lor:

( )  x2

 x xk  1212   ∆λ 

π ϕ ϕ ϕ ∆   =−=−= ,

adică 

 x2

∆λ 

π ϕ ∆   = . (3.7)

Ecuaţia oricărei unde este soluţia ecuaţiei diferenţiale:

2

2

22

2

2

2

2

2 1

t 

S 

v z

S 

 y

S 

 x

S 

δ 

δ 

δ 

δ 

δ 

δ 

δ 

δ =++ , (3.8)

numite ecuaţia de undă , unde  x, y, z  sunt coordonatele punctului în care se produce perturbaţia ; v  -viteza de fază a undei.

Vitezele de fază  ale undelor elastice şi electromagnetice ce se propagă  într-un mediu sunt

dependente de proprietăţile acestuia.

Fig. 3.1În spaţiu se pot propaga concomitent oscilaţii de la diverse surse. Experienţele ne demonstrează, că 

diverse sisteme de unde se propagă în spaţiu independent unele de altele şi fiecare undă excită oscilaţii în punctul de observaţie independent de alte unde. Drept rezultat se efectuează  o oscilaţie compusă  care poate fi reprezentată  ca suma oscilaţiilor excitate de către toate undele. Acesta este principiulsuperpoziţiei (suprapunerii) undelor. Dacă  sursele de undă  oscilează  cu frecvenţe egale, au aceleaşidirecţii de oscilaţii şi faze egale sau o diferenţă constantă a fazelor, atunci astfel de surse şi undele emisede ele se numesc coerente. În urma suprapunerii undelor coerente are loc o redistribuire în spa ţiu aenergiei. Fenomenul redistribuirii în spaţiu a energiei undelor coerente în urma suprapunerii acestora senumeşte interferenţă. 

3.2. Unde staţionareUndele staţionare reprezintă un caz particular de interferenţă a două unde plane cu amplitudini egale

care se propagă în direcţii opuse:( )kxt cosS S  m1   −⋅=   ω  , ( )kxt cosS S  m2   +⋅=   ω  .

Oscilaţia rezultantă în punctul cu coordonata x este egală cu suma oscilaţiilor S 1 şi S 2 :

( ) t coskxcosS 2S S S  m21   ⋅=+= , (3.9)

sau

t cos x2

cosS 2S  m   ⋅ 

  

 =   ω 

λ 

π . (3.10)

Ecuaţia (3.10) reprezintă ecuaţia undei plane staţionare de amplitudine

 x2

cosS 2S  m stat  λ 

π 

= . (3.11)În expresia (3.11) se vede ca amplitudinea undei staţionare S  stat   este o funcţie de coordonată. În

toate punctele ale căror coordonate satisfac condiţia:

8/19/2019 Lucrarea 18 Rom

4/5

  4

 ,n x2

π λ 

π ±=   ( )K2 ,1 ,0n = , (3.12) 

amplitudinea este maximă şi egală cu 2S. Astfel de puncte sunt numite antinoduri ale undei staţionare. În punctele cu coordonatele care satisfac condiţia:

π λ 

π  

  

 +±=

2

1n x

2, (n=0,1,2...),  (3.13) 

amplitudinea oscilaţiilor este nulă. Astfel de puncte se numesc noduri  ale undei staţionare. Dincondiţiile (3.12) şi (3.13) se obţin coordonatele antinodurilor:

2n xantinod λ 

±= , (3.14)

22

1 x xnod 

λ  

  

 +±= . (3.15)

Distanţa dintre două antinoduri succesive este egală cu distanţa dintre două noduri succesive şi esteegală cu 2 / λ   , distanţa dintre un antinod şi un nod învecinat este egală cu 4 / λ   (vezi fig.3.2).

Toate punctele ce se află între două noduri vecine oscilează în aceeaşi fază, iar punctele ce se află de diferite păr ţi ale nodului - în faze opuse. În fig. 3.2 sunt reprezentate trei stări ale punctelor antrenate înoscilaţiile undei transversale staţionare separate prin intervale de timp egale cu T/4. 

Fig. 3.2

Săgeţile indică mărimea şi sensul vitezelor diferitelor puncte la momentul t+T/4, când ele trec prin poziţia de echilibru. Undele staţionare nu transportă energie.

 Montajul experimental şi metoda de măsurare

Oscilaţiile electrice de o anumită  frecvenţă acustică produse de generatorul de ton (GT) se aplică concomitent la difuzorul D (fig.3.11) şi la intrarea x a oscilografului (OE).

Fig.3.11

Undele sonore de la difuzorul  D se transmit prin aer la microfonul  M. Ajungând la microfon, ele pun membrana în mişcare oscilatorie. Ca urmare, în microfon iau naştere oscilaţiile de la generatorul deton aplicată la difuzor şi oscilograf. Oscilaţiile electrice ce apar în microfonul M  se aplică la intrarea Y  aoscilografului electronic. Aşadar, în oscilograf are loc compunerea oscilaţiilor reciproc perpendiculare

 provenite de la generator (GT)  şi  microfon (M).  Dacă  diferenţa de fază  a oscilaţiilor reciproc perpendiculare care se compun variază  între limitele de la 0 la 2π  ,atunci traiectoria punctului materialoscilant se modifică, preluând succesiv formele prezentate mai jos în fig.3.12.

8/19/2019 Lucrarea 18 Rom

5/5

  5

 

Fig.3.12

După aspectul şi poziţia traiectoriei se poate determina diferenţa de fază  a două oscilaţii reciproc perpendiculare.

Fasciculul electronic, participând la două  mişcări oscilatorii reciproc perpendiculare de aceeaşifrecvenţă  de-a lungul axelor x şi y, descrie pe ecran diferite traiectorii.

În cazul studiat aici forma traiectoriei este determinată de diferenţa de fază a oscilaţiilor electrice provenite de la microfon şi generatorul de ton. Diferenţa de fază, la rândul sau, depinde de distanţa ∆xdintre difuzor şi microfon (vezi formula (3.7)). Degenerarea elipsei într-un segment de dreaptă  are locatunci când  ,...2 , ,0   π π ϕ ∆   =  ceea ce corespunde lui  ,... ,2 /  ,0 x   λ λ ∆   = . 

Prin urmare, distanţa cea mai mică dintre două poziţii succesive ale microfonului, pentru care elipsa

se transformă într-un segment de dreaptă, este egală cu o jumătate din lungimea de undă sonora în aer.Aşadar, măsurând lungimea de undă a sunetului λ  în aer, folosind relaţia (3.1) poate fi determinată vitezasunetului.

 Modul de lucru

1.  Se cuplează instalaţia la reţea şi aşteptăm 1-2 min până se încălzeşte.2.  Se poziţionează microfonul la distanţa minimă de difuzor.3.  Se fixează frecvenţa generatorului la indicaţia profesorului.4.  Se îndepărteză uniform microfonul de la difuzor şi notăm toate poziţiile microfonului atunci când

elipsa de pe ecranul oscilografului se transformă într-o dreaptă (vezi fig. 3.12).5.  Se repetă punctul 4 pentru cel puţin încă două frecvenţe.6.  Se calculează valoarea medie a lungimei de undă pentru fiecare frecvenţă în parte.

7. 

Utilizând expresia ν λ ⋅=v  se calculează viteza de fază a undei sonore în aer.8.  Se estimează erorile absolută şi relativă şi se scrie rezultatul final sub forma vvv med    ∆±=  

№  v x1  x2  x3  x4   λ1  λ2   λ3   λсред  ϑ   ε    ϑ ∆  123med * * * * * * * * *

 Întrebări de control

1. 

Explicaţi noţiunea de undă. Ce reprezintă unda sonor ă?2.  Care unde se numesc longitudinale, unde transversale?3.  Daţi definiţia frontului de undă şi a suprafeţei de undă.4.  Daţi definiţia vitezei de fază.5.  Ce este lungimea de undă?6.  Scrieţi relaţia dintre viteza undei, frecvenţa şi lungimea de undă.7.  În ce constă principiul superpoziţiei undelor?8.  Explicaţi procesul compunerii oscilaţiilor reciproc perpendiculare. Scrieţi ecuaţia traiectoriei oscilaţiei

rezultante.9.  Ce mărimi fizice determină forma şi dimensiunile traiectoriei rezultante (elipsei)? În ce condiţii elipsa

degenerează în circumferinţă, în dreaptă?