Formule matematice cls. v viii in doua pagini

gfdgdfggdfgdfgdgggd

Mulţimi de numereN-naturale 3210Z-icircntregi 12904

Q-raţionale )4(326345

R-reale )4(326345

Numere iraţionale 27 N Z Q R

-Număr par (cu soţ) 0246810hellipau forma 2k-Număr impar (fără soţ) 1357911hellipau forma 2k+1-Pătratul lui 7 este 7

2=49 cubul lui 2 este 2

-Pătrat perfect-este egal cu pătratul unui număr natural014916-Cub perfect-este egal cu cubul unui număr natural01827hellip-Număr prim-care se divide numai cu 1 şi cu el icircnsuşi235711hellip-Număr compus-care nu este prim 46891516hellip-Numere pozitive +12345 Numere negative minus23minus225minus0(54)-Opusul lui 35 este minus35 Inversul lui 35 este

yxxy 10 cbaabc 10100

-Divizorii lui 18 1236918 218 sau 318 -Multiplii lui 18 0183654hellip-Cel mai mare divizor comun (812)=4-Cel mai mic multiplu comun [812]=24

-Dacă a=2537

2 şi b=2

657atunci a şi b au cmmdc

egal cu 25

7 iar cmmmc 2637

-cacircţi divizori naturali are un numărdacă n=25

atunci nrdivizorilor lui n este (5+1) (1+1)(2+1)=36Criterii de divizibilitate-cu 2dacă numărul are ultima cifră 0246 sau 8-cu 3dacă suma cifrelor se divide cu 3-cu 4dacă nr format din ultimele 2 cifre se divide cu 4-cu 5dacă numărul are ultima cifră 0 sau 5-cu 9 dacă suma cifrelor se divide cu 9-cu 10dacă numărul are ultima cifră 0-cu 25dacă nrformat din ultimele 2 cifre se divide cu 25

Calcule elementare 5minus8=minus3 minus4minus3=minus7 minus7+2=minus5 minus7+9=2 minus5minus(minus2)=minus5+2=minus3 minus(aminusb+c)=minusa+bminusc3(minus5)=minus15 minus4(+2)=minus8 (minus2)(minus3)=6 8 (minus4)=minus2 (minus8)(minus1)=8 (minus3)2

=9 (minus3)3=minus27 (minus1)7

=minus1 (minus1)4=1

15=1 8

1=8 (minus7)1

=minus7 30=1 (minus6)0

=1 07=0 2

1723=2

1353=5

12 (2n)

3 minus3n2n3

=minus6n4

61 )3)2

749 555 623 21212 5x+2x=7x 2yminus9y=minus7yminusb+2b=b minus3n2minus5n2=minus8n2

a+a=2acc=c2

Eliminări de paranteze +(minus5+xminusy)= minus5+xminusy minus(aminusb+3)=minusa+bminus3 3(2n -7)=6nminus21 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (x2minus3)(xminus4)=x3minus4x2minus3x+12

Scoaterea factorilor de sub radical 737963

Raţionalizarea numitorului2

Fracţiib

a a-numărătorb-numitor

-subunitare92

23 (numitorulgtnumărătorul)

-supraunitare2

24 (numitorulltnumărătorul)

-echiunitare2

24 (numitorul=numărătorul)

-ireductibile-care nu se pot simplifica92

-reductibile-care se pot simplifica30

25 se simplifică cu 5

-echivalente64

se recunosc astfel34=26

Fracţii etajate

Transformarea fracţiilor zeci male icircn fracţii ordinare-finite

345453

2072070

-periodice simple9

52)5(2

73)73(0

-periodice mixte900

131351)5(131

7731)31(70

Mulţimi -aparţine -nu aparţine -inclusă -includeФ-mulţimea vidă-Cardinal al unei mulţimi-cacircte elemente are acea mulţime-Mulţimi disjuncte-care nu au elemente comuneOperaţii cu mulţimiDacă A=1234şi B=345atunci

-reuniunea AUB=12345-intersecţia AcapB=34-diferenţa AminusB=12-produsul cartezian AxB=(11)(13)hellip

Procent

7 din 300= 213001007

RaportRaportul dintre 2 şi 3 este

ProporţieEste o egalitate de douărapoarte

32 Numerele

2346 se numesc termeniiproporţiei3 şi 4 sunt meziiiar 2 şi 6 sunt extremiiProprietatea fundamentală aunei proporţiiprodusulmezilor este egal cu produ-sul extremilor

Formule de calcul(a+b)

2+2ab+b

(aminusb)2=a

2minus2ab+b2

(a+b)(aminusb)=a2minusb2

3=(a+b)(a

2minusab+b2)

a3minusb3

=(aminusb)(a2+ab+b

(a+b+c)2=a

2+2ab+2bc+2ac

(a+b)3=a

2b+3ab

(aminusb)3=a

3minus3a2b+3ab

2minusb3

Medii-aritmetică

-armonică

-aritmetică ponderată a numerelor 10 şi 9avacircnd ponderile 3 şi 5este

-geometrică (proporţională) xym g

Inegalitatea mediilor agh mmm

Descompunerea expresiilor icircn factoria)Prin factor comunx

3minus5x2=x

2(x-5) (nminus4)5

+(nminus4)4=(nminus4)4

(nminus4+1)b)Prin formuley

2minus25=(yminus5)(y+5) 9x2minus6x+1=(3xminus1)2

c)Prin grupări de termeni2n

2+7n+7=2n

2(n+1)+7(n+1)=(n+1)( 2n

x2+6x+8=x

2+4x+2x+8=x(x+4)+2(x+4)=(x+4)(x+2)

Comparăriminus9ltminus7 minus5lt2 minus23lt0

Sistem de axey

minus3 MOx-axa absciselorOy-axa ordonatelorM(5minus3) 5 şi minus3 sunt coordonatelepunctului MNumărul 5 este abscisaiar minus3 este ordonata punctului M

Ecuaţia de gradul doiax

2+bx+c=0se află Δ (delta)Δ=b2minus4acDacă Δ este negativecuaţia nu are soluţii realeDacă Δ 0soluţiile sunt

Dacă x1 şi x2 sunt soluţiileecuaţiei ax2

+bx+c=0atunci

ax2+bx+c=a(xminus x1)(xminusx2)

FuncţiifArarrB (citim ldquofuncţia fdefinită pe A cu valori icircn Brdquo)A-domeniul de definiţieB-domeniul de valori-funcţie liniară (de gradul I) esteo funcţie de forma f(x)=ax+bdeexf(x)=3xminus5Reprezentare graficăFie fRrarrR f(x)=3xminus5x 1 2

f(x) minus2 1

minus2

-Coordonatele punctului deintersecţie a graficului cu axa Oxse află rezolvacircnd ecuaţia f(x)=0iar cu axa Oy calculacircnd f(0)-Intersecţia graficelor a 2 funcţiifg se află cu ecuaţia f(x)=g(x)

Unităţi de măsură Volum Capacitate Masă TimpLungime Suprafaţă 5 msup3=5000 dmsup3 1 l=1 dmsup3 4 kg=4000 g 1 oră=60 minute3 m=30 dm 7 msup2=700 dmsup2 003 cmsup3=30 mmsup3 3 l=3000 ml 05 dag=5 g 1 minut=60 secunde07 m=70 cm 005 msup2=500 cmsup2 005 kmsup3=50 hmsup3 03 dal=3 l 7 cg=70 mg 1 deceniu=10 ani2 km=2000 m 2 kmsup2=200 hmsup2 1 dmsup3=1000 cmsup3 02 hl=20 l 2 hg=200 g 1 secol=100 ani35 cm=35 mm 1 ar=1 damsup2=100 msup2 1 msup3=10 9 mmsup3 125 ml=0125 l 623 g=623 dg 1 mileniu=1000 ani27 dam=027 hm 1 ha=1 hmsup2=100 ari 3 mmsup3=0003 cmsup3 007 kl=70 l 3 t=3000 kg frac14 ore=15 minute13 mm=013 cm 002 ha =2 ari= 200 msup2 025 damsup3=250 msup3 3 cl=03 dl 34 dg=034 g frac12 ore=30 minute

Sisteme de ecuaţiia)Rezolvare cu metoda substituţiei

11)4(2

b) Rezolvare cu metoda reducerii

Unghiuri-adiacente au acelaşi vacircrf şi o latură comună-opuse la vacircrf sunt congruente-complementare două unghiuri care au suma 90ordm

-complementul unghiului de 20ordmeste unghiul de 70ordm-suplementare două unghiuri care au suma 180ordm

-suplementul unghiului de 20ordmeste unghiul de 160ordm-unghi alungitcare are 180ordm-unghi nul care are 0ordm-unghiuri icircn jurul unui punct au suma 360ordm

-unghi propriucare nu este nici alungitnici nul-unghi ascuţit are măsura mai mică de 90 ordm-unghi drept are măsura 90ordm-unghi obtuz are măsura mai mare de 90ordm-unghiuri alterne interne1 şi 7 2 şi 8-unghiuri alterne externe3 şi 5 4 şi 6-unghiuri corespondente 1 şi 5 2 şi 63 şi 74 şi 8-Dacă dreptele sunt paraleleaceste perechi de unghiuri sunt congruente şi reciproc

Linii importante icircn triunghi1Bisectoarea-icircmparte un unghi icircn două unghiuri congruentesunt concurente icircn I centrul cercului icircnscris

2Mediatoarea-perpendiculară pe mijlocul unei laturi sunt concurente icircn Ocentrul cercului circumscris-la triunghiul obtuzunghicO este icircn exterior-la triunghiul dreptunghicO este icircn mijlocul

ipotenuzei

3Icircnălţimea-perpendiculara dintr-un vacircrf pe latura opusăsunt concurente icircn H -la triunghiul obtuzunghicH este icircn exterior ortocentrul

4Mediana-uneşte un vacircrf cu mijlocul laturii opusesunt concurente icircn Gcentrul de greutate

-centrul de greutate este la 13 de bază şi 23 de vacircrf

Teoreme importante-suma unghiurilor unui triunghi este 180ordm-suma unghiurilor unui patrulater este 360ordm

-unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente-icircntr-un triunghi isoscelbisectoarea unghiului de la vacircrf este şi mediană icircnălţimemediatoare

-icircntr-un triunghi dreptunghic mediana din vacircrful unghiului drept este jumătate din ipote- nuză

-icircntr-un triunghi dreptunghic care are un unghi de 30ordmcateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză

Numai icircn Δ dreptunghic-teorema icircnălţimii

DCBDAD -teorema catetei

BCBDAB -teorema lui Pitagora

ABsup2+ACsup2=BCsup2

-teorema lui Thalesdacă EFBC

-teorema fundamentală a asemănării dacă EFBCatunci ΔAEF~ΔABC adică

-raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare

-teorema bisectoarei icircn orice Δdacă AD este bisectoare

-unghiul la centru ltAOB are măsura egală cu a arcului cuprins icircntre laturi-unghiul icircnscris icircn cerc ltAMB are măsura jumătate din a arcului cuprins icircntre laturi

-raza este perpendiculară pe tangentă-unghiul format de o tangentă cu o coardă este jumătate din arcul subacircntins de coardă-diametrul perpendicular pe o coardă icircnj umătăţeşte şi coarda şi arcul-unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil suntsuplementare ltA+ltC=180ordmltB+ltD=180ordm-icircntr-un patrulater inscriptibilunghiul format de odiagonală cu o latură este congruent cu unghiul format decealaltă diagonală cu latura opusă

-teorema celor trei perpendiculare

-Cilindrul V=πRsup2h AL=2πRG AT=AL+2AB

-Conul3

AL=πRG AT=AL+AB

-unghiul sectorului obţinut prin desfăşurareG

-Trunchiul de con )(3

22 RrrRh

AL=πG(R+r) AT=AL+AB+Ab

-Sfera3

A=4πRsup2

Linia mijlocie icircn triunghi-uneşte mijloacele a două laturi Este paralelă cu a treia latură şi este jumătate din aceasta

Linia mijlocie icircn trapez-uneşte mijloacele laturilor neparalele Este paralelă cu bazele şi este egală cu media lor aritmetică

Trigonometriesinus=copipcosinus=caliptangenta=copcal cotangenta=calcop

sin 30ordm= 21 sin 45ordm= 22 sin 60ordm= 23

cos 30ordm= 23 cos 45ordm= 22 cos 60ordm= 21tg x=sin xcos x sinsup2x+cossup2x=1cos x=sin(90ordmminusx) ctg x=tg(90ordmminusx)

Ariivolume şi alte formule-Triunghi

sin uabA

formula lui Heron2

_))()((cba

pundecpbpappA

-triunghiul echilateral4

icircnălţimea triunghiului echilateral2

-triunghiul dreptunghic2

21 ccA

icircnălţimea triunghiului dreptunghicip

cch 21

-raza cercului icircnscris icircn triunghip

Ar raza cercului circumscris triunghiului

-Paralelogram A=bh Dreptunghi A=Ll (sau bh) Romb2

(sau bh) pătrat A=lsup2

-diagonala pătratului 2ld Trapez2

)( hbBA

Cerc L=2πRA=πRsup2 πasymp314

-Poligon regulatapotema an=Rcos 180n latura ln=2Rsin 180n unghiul u=(nminus2)180n-Prisma V=ABh aria laterală=suma ariilor feţelor laterale AT=AL+2AB

-diagonala paralelipipedului dreptunghic 222 cbad diagonala cubului 3ld -Piramida

hAV B aria laterală=suma ariilor feţelor laterale AT=AL+AB

-apotemă=icircnălţimea unei feţe lat erale

-Trunchiul de piramidă )(3 bBbB AAAAh

V aria laterală=suma ariilor feţelor laterale

AT=AL+AB+Ab httpsorinborodiyeahostcom