Ministerul Educaiei i Cercetrii tiinifice Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2015 Proba E. c)

Matematic M_mate-info Varianta 9

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. I. FELADAT (30 pont)

5p 1. Adottak a 1 2 3z i= + s 2 1 3z i= komplex szmok. Igazold, hogy 1 2z z+ vals szm. 5p 2. Szmtsd ki az ( )( )1f g rtket, ahol :f , ( ) 1f x x= s :g , ( ) 3g x x= . 5p 3. Oldd meg a vals szmok halmazn a 4 64 0x = egyenletet! 5p 4. Mennyi annak a valsznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott ktjegy termszetes szm,

oszthat legyen 7-tel. 5p 5. Az xOy derkszg koordinta-rendszerben adott az 4 1y x= + egyenlet d egyenes s az

( )2,0A pont. Hatrozd meg az A ponton thalad d -vel prhuzamos egyenes egyenlett! 5p 6. Igazold, hogy ( ) ( )sin sin cos cos 1x x x xpi pi = , brmely x vals szm esetn!

II. FELADAT (30 pont)

1. Adottak az 1 0 10 1 01 0 1

A

=

s ( )0 0

00 0

x

B x x xx

=

mtrixok, ahol x vals szm.

5p a) Igazold, hogy det 0A = 5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )3A B x B x A B x + = , brmely x vals szmra! 5p c) Hatrozd meg azokat az x vals szmokat, amelyekre ( ) ( ) ( ) ( )2 2B x B x B x B x x = + .

2. Adott az 3 22 2f X X X m= + + , polinom, ahol m vals szm. 5p a) Igazold, hogy ( )0f m= . 5p b) Ha 1m = , igazold, hogy ( )1 2 3

1 2 3

1 1 1 4x x xx x x

+ + + + =

, ahol 1 2,x x s 3x az f polinom

gykei! 5p c) Igazold, hogy az f polinom nem minden gyke vals!

III. FELADAT (30 pont)

1. Adott az :f , ( ) 22 11x xf xx x

+=

+ + fggvny.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( )( )( )222 1 1

'

1

x xf xx x

+=

+ +, x .

5p b) Hatrozd meg az f fggvny grafikus kphez az f fggvny grafikonjnak az 0x = abszcisszj pontjban hzott rintjnek egyenlett.

5p c) Szmtsd ki a ( )( )lim xx

f x+

hatrrtket!

2. Adott az :f , ( ) 2xf x e x= fggvny. 5p a) Igazold, hogy ( )( )

1

02 1f x x dx e+ =

5p b) Hatrozd meg az f fggvnynek azt az F primitvjt, melyre ( )1 3F e= . 5p c) A [ ]: 0,1g , ( ) ( )g x f x= fggvny grafikus kpt megforgatjuk az Ox tengely krl.

Igazold, hogy a keletkezett forgstest trfogata ( )23 196 epi .