CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...

CURS 5: Matrici. Determinanti

22 noiembrie 2019

Thm. Regula lui Laplace

(dezvoltarea dupa maimulte linii)

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);

b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.

Corolar:

a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n

∑j=1

aijAij ;

b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n

∑i=1

aijAij ;

c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1

detAA∗.

Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n,

iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

a) Dezvoltarea dupa linia i :

detA =n

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

b) Dezvoltarea dupa coloana j :

detA =n

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In

In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0.

In acest caz A−1 = 1detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

Corolar:

∑j=1

aijAij ;

∑i=1

aijAij ;

detAA∗.

6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Urmatoarele transformari efectuate

ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A,

se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:

a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele

a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;

b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii

cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;

c) Adunarea unei linii la alta linie.

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii

la alta linie.

O matrice patratica E ∈Mn(K)

se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara

daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E

se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din

matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In

prinaplicarea unei transformari elementare.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K)

a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii,

revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A

la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii

El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K)

corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii.

Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,

revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei

A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane

Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K)

corespunzatoare transformarii.

De exemplu:

A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam

ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)

corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la

stanga cu matricea elementara El obtinem:

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] ∈M2,3(K).

Daca dorim sa efectuam

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

ın A transformarea elementara pe linii,

adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2,

consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara

de linii El ∈M2(K)

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii

El ∈M2(K)

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

corespunzatoare transformarii:

El = [1 01 1

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

] adunand linia L1 la linia L2.

Inmultind matricea A la

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

stanga cu matricea elementara

El obtinem:

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

Thm(de obtinere

a inversei prin transformarielementare pe linii:)

Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.

Thm(de obtinere a inversei prin transformari

elementare pe linii:)

Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)

Daca A ∈Mn(K)

este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.

Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila,

atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.

Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare

pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.

Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In],

care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.

Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B]

si ın acestcaz B = A−1.

EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata);

ora 9-11;

Sala Aula Instalatii;

structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;

1 problema ”Relatii binare”;

1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;

1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’

1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;

EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;

structura examen

4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;

structura examen 4 probleme tip seminar,

curs sauT.A.;

structura examen 4 probleme tip seminar, curs sau

CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...

Documents

Transcript of CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...

GHID DE SUPRAVEGHERE ȘI DIAGNOSTIC A ILI/ARI/SARI ȘI ...

Matrici Si Determinanti

Cercetare Ari Protejate

Tablouri bidimensionale (matrici) · Consultatii Facultatea de Matematică și Informatică Pop Andreea, Molnar Arthur 1 Tablouri bidimensionale (matrici) Numere prime in spirala

Stabilirea Tipurilor Si Dotarilor Din Posturilor de Transform Are

Print pozitie registru - Piatra-Olt · 2015-12-18 · Cap 4.a Suprafata arabila cultivata pe raza localitatii Cultura Cod rand 2015 2016 2017 2018 2019 ha ari ha ari ha ari ha ari

Referat La Matematica Matrici Si Determinanti

Tablouri bidimensionale (matrici) · Sa se scrie un program care citeste de la tastatura un sir de matrici cu m linii si n coloane (1

21 - Predicarea Care Transform A

BIMICMCOai - BCU Clujdocumente.bcucluj.ro/web/bibdigit/periodice/bisericasis...tos, împreună cu salutarea noastră arhierească: Pe temeiul ari. 9 din lege şi ari. 132 şi 134 din

55516044 Metode de Conservare a Branzeturilor Si Transform a Rile Bio Chi Mice

Puteri de matrici

matrici 9E

Matrici si Materiale de Armare

Reprezent‚ari neliniare »si operat»ii punctuale pentru …imag.pub.ro/common/staff/cflorea/CFlorea_tezaDoct.pdfReprezent‚ari neliniare »si operat»ii punctuale pentru ^‡mbun‚at‚at»irea

Forma Scara Redusa a Unei Matrici, Transformari Matriciale

MATRICI, SIRURI SI ECUATII PELL Determinarea sirurilor ...matestn.ro/mate/PhotoMate/Matrici siruri si ec Pell/Matrici siruri ec Pell.pdf · Observatie 1.4.11.: Solutiile ecuatiei

ARI-L1 Packet Tracer

Per or Ari Paradox is Te

Reg Lement Ari