CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...

CURS 5: Matrici. Determinanti

22 noiembrie 2019

Thm. Regula lui Laplace

(dezvoltarea dupa maimulte linii)

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.

a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n

∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;

(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);

b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.

Corolar:

a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n

∑j=1

aijAij ;

b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n

∑i=1

aijAij ;

c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1

detAA∗.

Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)

Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;

(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n,

iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);


Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:

a) Dezvoltarea dupa linia i :

detA =n

∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;

b) Dezvoltarea dupa coloana j :

detA =n

∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;

c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In

In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1

detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;

c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0.

In acest caz A−1 = 1detAA∗.


Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.


∆i1,...,ipj1,...,jp

Ai1,...,ipj1,...,jp

;



Corolar:


∑j=1

aijAij ;


∑i=1

aijAij ;


detAA∗.

6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:

Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.

O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.


Urmatoarele transformari efectuate

ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A,

se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:

a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele

a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;

b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii

cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;

c) Adunarea unei linii la alta linie.


Thm.



Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii

la alta linie.


Thm.





Thm.




O matrice patratica E ∈Mn(K)

se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

Thm.




O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara

daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

Thm.




O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E

se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

Thm.




O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din

matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.

Thm.




O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In

prinaplicarea unei transformari elementare.

Thm.





Thm.





Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K)

a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii,

revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A

la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii

El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K)

corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii.

Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,

revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei

A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane

Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.




Thm.

Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K)

corespunzatoare transformarii.




Thm.


De exemplu:

Fie

A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam

ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)

corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1

] obtinuta din

I2 = [1 00 1

] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la

stanga cu matricea elementara El obtinem:

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23

] ∈M2,3(K).

Daca dorim sa efectuam



] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23


ın A transformarea elementara pe linii,

adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)


] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23


ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2,

consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)


] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23


ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara

de linii El ∈M2(K)


] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23


ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii

El ∈M2(K)


] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23



corespunzatoare transformarii:

El = [1 01 1

] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1

]

adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la


El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1

] adunand linia L1 la linia L2.

Inmultind matricea A la


El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1

] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea

A la


El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1


stanga cu matricea elementara

El obtinem:

El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

De exemplu:

Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23




] obtinuta din

I2 = [1 00 1



El ⋅A = [a11 a12 a13

a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]

.

Thm(de obtinere

a inversei prin transformarielementare pe linii:)

Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.

Thm(de obtinere a inversei prin transformari

elementare pe linii:)


Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)



Daca A ∈Mn(K)

este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.


Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila,

atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.


Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare

pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.


Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In],

care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.


Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B]

si ın acestcaz B = A−1.

EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata);

ora 9-11;

Sala Aula Instalatii;

structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;

1 problema ”Relatii binare”;

1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;

1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’

1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;

EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;









structura examen

4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;







structura examen 4 probleme tip seminar,

curs sauT.A.;







structura examen 4 probleme tip seminar, curs sau

T.A.;





CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...

Documents

Transcript of CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa...