Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Curs 13Extremele functiilor de mai multe variabile

Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"

Iasi 2014

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

DefinitieFie functia f : D → R, unde D ⊆ Rp, si a ∈ D.

(i) Punctul a se numeste punct de maxim local al functiei f dacaexista exista o vecinatate V a punctului a astfel încât

f (x)− f (a) ≤ 0, ∀x ∈ V ∩ D.

(ii) Punctul a se numeste punct de minim local al functiei f dacaexista o vecinatate V a punctului a astfel încât

f (x)− f (a) ≥ 0, ∀x ∈ V ∩ D.

(iii) Punctele de maxim si minim local se numesc puncte deextrem local.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

ObservatiePunctul a este punct de extrem local daca exista o vecinatate Va punctului a astfel încât diferenta

f (x)− f (a)

sa pastreze semn constant sau sa fie nula pe V ∩ D.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

DefinitieFie D ⊆ Rp o multime deschisa, a ∈ D si f : D → R o functiediferentiabila în a.Punctul a ∈ D se numeste punct critic (stationar) pentru functiaf daca toate derivatele partiale de ordinul întâi ale functiei f seanuleaza în a, adica

∂f∂xi

(a) = 0, ∀i = 1,2, ...,n.

ObservatiePunctul a ∈ D este punct critic pentru f daca si numai daca

df (a) = 0.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Teorema lui Fermat pentru functii de mai multe variabileFie D ⊆ Rp o multime deschisa, a ∈ D si f : D → R.Daca:

• f este diferentiabila în a si

• a este punct de extrem local pentru f ,

atunci a este punct critic pentru f .

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

DemonstratieVom demonstra teorema în cazul p = 2.

Fie a = (x0, y0) ∈ D un punct de maxim local pentru functia f .

Deci, exista o vecinatate V a punctului (x0, y0) astfel încât

f (x , y)− f (x0, y0) ≤ 0, ∀ (x , y) ∈ V ∩ D.

Fara a restrânge generalitatea, putem considera V ⊆ D,întrucât multimea D este o multime deschisa.În particular, are loc

f (x , y0)− f (x0, y0) ≤ 0, ∀x ∈ V1,

unde V1 este restrictia vecinatatii V pentru y egal y0, deci ovecinatate a punctului x0.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Rezulta ca functia de o singura variabila g : V1 → R, definitaprin

g (x) = f (x , y0) ,

satisface inegalitatea

g (x)− g (x0) ≤ 0, ∀x ∈ V1,

adica x0 este punct de maxim pentru g.

Cum g este derivabila în x0, conform Teoremei lui Fermatrezulta ca

g′ (x0) = 0.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Dar

g′(x0) = limx→x0

g(x)− g(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x , y0)− f (x0, y0)

x − x0

=∂f∂x

(x0, y0).

În concluzie, am obtinut∂f∂x

(x0, y0) = 0.

Analog, se arata ca∂f∂y

(x0, y0) = 0.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

ObservatieTeorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale uneifunctii diferentiabile se gasesc printre punctele sale critice,adica printre solutiile sistemului

∂f∂x1

(x1, x2, ..., xp) = 0...

∂f∂xp

(x1, x2, ..., xp) = 0.

ObservatieReciproca acestei teoreme este falsa. Nu orice punct critic estepunct de extrem, cum se poate vedea din exemplul urmator.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Exemplu

Fie functia f : R2 → R, definita prin

f (x , y) = x2 − y2.

Avem∂f∂x

(x , y) = 2x ,∂f∂y

(x , y) = −2y si obtinem ca punctul

(0,0) este punct critic. Dar, în (0,0) functia nu are nici minimlocal, nici maxim local, deoarece

f (x ,0) = x2 ≥ 0 = f (0,0) ,

f (0, y) = −y2 ≤ 0 = f (0,0) .

DefinitieUn punct critic care nu este punct de extrem se numeste punctsa.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Conditii suficiente pentru ca un punct critic al unei functii de maimulte variabile sa fie punct de extrem:

Teorema

Fie D ⊆ Rp multime deschisa, f ∈ C2 (D) si a ∈ D punct criticpentru f .Daca forma patratica d2f (a) este:

(i) pozitiv definita, atunci a este punct de minim local;

(ii) negativ definita, atunci a este punct de maxim local;

(iii) nedefinita, atunci a nu este punct de extrem (a este punctsa).

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Exercitiu

Sa se afle punctele de extrem ale functiei f : R3 → R, definitaprin

f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z.

Solutie. Aflam mai întâi punctele critice ale functiei f . Pentruaceasta rezolvam sistemul

∂f∂x

(x , y , z) = 0∂f∂y

(x , y , z) = 0

∂f∂z

(x , y , z) = 0

echivalent cu

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

2x + 2 = 02y + 4 = 02z − 6 = 0.

Deci, avem un singur punct critic: M0 (−1,−2,3) .

Pentru a stabili daca M este punct de extrem, vom apela ladiferentiala de ordinul doi în punctul M0.În acest scop calculam valorile derivatelor de ordinul doi înacest punct.

∂2f∂x2 (x , y , z) = (2x + 2)′x = 2, deci

∂2f∂x2 (−1,−2,3) = 2,

∂2f∂y2 (x , y , z) = (2y + 4)′y = 2, deci

∂2f∂y2 (−1,−2,3) = 2,

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

∂2f∂z2 (x , y , z) = (2z − 6)′z = 2, deci

∂2f∂z2 (−1,−2,3) = 2,

∂2f∂x∂y

(x , y , z) = (2y + 4)′x = 0, deci∂2f∂x∂y

(−1,−2,3) = 0,

∂2f∂x∂z

(x , y , z) = (2z − 6)′x = 0, deci∂2f∂x∂z

(−1,−2,3) = 0,

∂2f∂y∂z

(x , y , z) = (2z − 6)′y = 0, deci∂2f∂y∂z

(−1,−2,3) = 0.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Atunci

d2f (−1,−2,3) (h) = 2h21 + 2h2

2 + 2h23 = 2

(h2

1 + h22 + h2

3

)> 0

pentru orice h = (h1,h2,h3) 6= (0,0,0) .

Deci, d2f (−1,−2,3) este o forma patratica pozitiv definita.

Prin urmare, punctul M0 (−1,−2,3) este punct de minim local.

Valoarea minima locala este

fmin = f (−1,−2,3) = −4.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Teorema

Fie D ⊆ Rp o multime deschisa, f ∈ C2 (D) si a ∈ D un punctcritic pentru f . Fie H matricea hessiana a functiei f în punctul a,adica

H =

[∂2f

∂xi∂xj(a)

]1≤i,j≤n

,

si ∆1,∆2, ...,∆p minorii principali ai matricei.(i) Daca numerele ∆1,∆2, ...,∆p sunt strict pozitive, atunciforma patratica d2f (a) este pozitiv definita si a este punct deminim local.(ii) Daca numerele −∆1,∆2, ..., (−1)p ∆p sunt strict pozitive,atunci forma patratica d2f (a) este negativ definita si a estepunct de maxim local.(iii) Daca numerele ∆1,∆2, ...,∆p sunt nenule si nu satisfacconditiile de la punctele (i) sau (ii), atunci a nu este punct deextem.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

ExercitiuSa se gaseasca punctele de extrem ale functiei

f : R3 → R, f (x , y , z) = x2 + 3y2 + 2z2 − 2xy + 2xz.

Solutie. Determinam punctele critice ale functiei f , rezolvândsistemul:

∂f∂x

(x , y , z) = 0∂f∂y

(x , y , z) = 0

∂f∂z

(x , y , z) = 0,

echivalent cu 2x − 2y + 2z = 0

6y − 2x = 04z + 2x = 0.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Solutia unica a sistemului este x = y = z = 0, deci O (0,0,0)este singurul punct critic al functiei f .

Calculam derivatele partiale de ordinul al doilea pentru a stabilidaca acesta este punct de extrem.Avem:

∂2f∂x2 (x , y , z) = 2,

∂2f∂x∂y

(x , y , z) = −2,∂2f∂x∂z

(x , y , z) = 2,

∂2f∂y2 (x , y , z) = 6,

∂2f∂z2 (x , y , z) = 4,

∂2f∂y∂z

(x , y , z) = 0

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

În punctul O (0,0,0) avem:

∂2f∂x2 (0,0,0) = 2,

∂2f∂x∂y

(0,0,0) = −2,∂2f∂x∂z

(0,0,0) = 2,

∂2f∂y2 (0,0,0) = 6,

∂2f∂z2 (0,0,0) = 4,

∂2f∂y∂z

(0,0,0) = 0.

Prin urmare, minorii matricei hessiene sunt:

∆1 = 2, ∆2 =

∣∣∣∣ 2 −2−2 6

∣∣∣∣ = 8, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣2 −2 2−2 6 02 0 4

∣∣∣∣∣∣ = 8.

Deoarece ∆1,∆2,∆3 > 0, forma patratica d2f (0,0,0) estepozitiv definita si O (0,0,0) este punct de minim local al functieif .

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Teorema

Fie D ⊆ R2 multime deschisa, f ∈ C2 (D) , a ∈ D punct criticpentru f . Notam

A =∂2f∂x2 (a) , B =

∂2f∂x∂y

(a) , C =∂2f∂y2 (a) .

Daca:

1) B2 − AC < 0 si A > 0, atunci a este punct de minim local;

2) B2 − AC < 0 si A < 0, atunci a este punct de maxim local;

3) B2 − AC > 0, atunci a nu este punct de extrem.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Observatie

Daca B2 − AC = 0, nu putem afirma nimic despre punctul a.

În unele cazuri este punct de extrem al functiei f , în alte cazurinu este punct de extrem.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Exercitiu

Sa se gaseasca punctele de extrem ale functiei f : R2 → R,definita prin

f (x , y) = x3 + y3 + 3xy .

Solutie. Observam ca f ∈ C2 (R2) .Aflam punctele critice, rezolvând sistemul:

∂f∂x

(x , y) = 3x2 + 3y = 0∂f∂y

(x , y) = 3y2 + 3x = 0,

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Solutiile sistemului sunt punctele O (0,0) si M (−1,−1) .

Verificam în continuare daca aceste puncte critice sunt punctede extrem.Calculam derivatele partiale de ordinul doi.

∂2f∂x2 (x , y) =

∂

∂x

(∂f∂x

)(x , y) =

(3x2 + 3y

)′x

= 6x ,

∂2f∂x∂y

(x , y) =∂

∂x

(∂f∂y

)(x , y) =

(3y2 + 3x

)′x

= 3,

∂2f∂y2 (x , y) =

∂

∂y

(∂f∂y

)(x , y) =

(3y2 + 3x

)′y

= 6y .

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Pentru punctul critic O (0,0) avem

A =∂2f∂x2 (0,0) = 0, B =

∂2f∂x∂y

(0,0) = 3,

C =∂2f∂y2 (0,0) = 0.

DeciB2 − AC = 9 > 0,

rezulta ca punctul O (0,0) nu este punct de extrem.

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Pentru punctul critic M (−1,−1) avem

A =∂2f∂x2 (−1,−1) = −6, B =

∂2f∂x∂y

(−1,−1) = 3,

C =∂2f∂y2 (−1,−1) = −6.

DeciB2 − AC = 9− 36 = −27 < 0.

Cum A < 0, rezulta ca punctul M (−1,−1) este punct de maximlocal.Valoarea maxima locala este

fmax = f (−1,−1) = 1.