Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs...

Puncte critice. Puncte de extrem Criterii de stabilire a naturii unui punct critic Extremele functiilor de doua variabile

Curs 13Extremele functiilor de mai multe variabile

Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"

Iasi 2014


DefinitieFie functia f : D → R, unde D ⊆ Rp, si a ∈ D.

(i) Punctul a se numeste punct de maxim local al functiei f dacaexista exista o vecinatate V a punctului a astfel încât

f (x)− f (a) ≤ 0, ∀x ∈ V ∩ D.

(ii) Punctul a se numeste punct de minim local al functiei f dacaexista o vecinatate V a punctului a astfel încât

f (x)− f (a) ≥ 0, ∀x ∈ V ∩ D.

(iii) Punctele de maxim si minim local se numesc puncte deextrem local.


ObservatiePunctul a este punct de extrem local daca exista o vecinatate Va punctului a astfel încât diferenta

f (x)− f (a)

sa pastreze semn constant sau sa fie nula pe V ∩ D.


DefinitieFie D ⊆ Rp o multime deschisa, a ∈ D si f : D → R o functiediferentiabila în a.Punctul a ∈ D se numeste punct critic (stationar) pentru functiaf daca toate derivatele partiale de ordinul întâi ale functiei f seanuleaza în a, adica

∂f∂xi

(a) = 0, ∀i = 1,2, ...,n.

ObservatiePunctul a ∈ D este punct critic pentru f daca si numai daca

df (a) = 0.


Teorema lui Fermat pentru functii de mai multe variabileFie D ⊆ Rp o multime deschisa, a ∈ D si f : D → R.Daca:

• f este diferentiabila în a si

• a este punct de extrem local pentru f ,

atunci a este punct critic pentru f .


DemonstratieVom demonstra teorema în cazul p = 2.

Fie a = (x0, y0) ∈ D un punct de maxim local pentru functia f .

Deci, exista o vecinatate V a punctului (x0, y0) astfel încât

f (x , y)− f (x0, y0) ≤ 0, ∀ (x , y) ∈ V ∩ D.

Fara a restrânge generalitatea, putem considera V ⊆ D,întrucât multimea D este o multime deschisa.În particular, are loc

f (x , y0)− f (x0, y0) ≤ 0, ∀x ∈ V1,

unde V1 este restrictia vecinatatii V pentru y egal y0, deci ovecinatate a punctului x0.


Rezulta ca functia de o singura variabila g : V1 → R, definitaprin

g (x) = f (x , y0) ,

satisface inegalitatea

g (x)− g (x0) ≤ 0, ∀x ∈ V1,

adica x0 este punct de maxim pentru g.

Cum g este derivabila în x0, conform Teoremei lui Fermatrezulta ca

g′ (x0) = 0.


Dar

g′(x0) = limx→x0

g(x)− g(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x , y0)− f (x0, y0)

x − x0

=∂f∂x

(x0, y0).

În concluzie, am obtinut∂f∂x

(x0, y0) = 0.

Analog, se arata ca∂f∂y

(x0, y0) = 0.


ObservatieTeorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale uneifunctii diferentiabile se gasesc printre punctele sale critice,adica printre solutiile sistemului

∂f∂x1

(x1, x2, ..., xp) = 0...

∂f∂xp

(x1, x2, ..., xp) = 0.

ObservatieReciproca acestei teoreme este falsa. Nu orice punct critic estepunct de extrem, cum se poate vedea din exemplul urmator.


Exemplu

Fie functia f : R2 → R, definita prin

f (x , y) = x2 − y2.

Avem∂f∂x

(x , y) = 2x ,∂f∂y

(x , y) = −2y si obtinem ca punctul

(0,0) este punct critic. Dar, în (0,0) functia nu are nici minimlocal, nici maxim local, deoarece

f (x ,0) = x2 ≥ 0 = f (0,0) ,

f (0, y) = −y2 ≤ 0 = f (0,0) .

DefinitieUn punct critic care nu este punct de extrem se numeste punctsa.


Conditii suficiente pentru ca un punct critic al unei functii de maimulte variabile sa fie punct de extrem:

Teorema

Fie D ⊆ Rp multime deschisa, f ∈ C2 (D) si a ∈ D punct criticpentru f .Daca forma patratica d2f (a) este:

(i) pozitiv definita, atunci a este punct de minim local;

(ii) negativ definita, atunci a este punct de maxim local;

(iii) nedefinita, atunci a nu este punct de extrem (a este punctsa).


Exercitiu

Sa se afle punctele de extrem ale functiei f : R3 → R, definitaprin

f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z.

Solutie. Aflam mai întâi punctele critice ale functiei f . Pentruaceasta rezolvam sistemul

∂f∂x

(x , y , z) = 0∂f∂y

(x , y , z) = 0

∂f∂z

(x , y , z) = 0

echivalent cu


2x + 2 = 02y + 4 = 02z − 6 = 0.

Deci, avem un singur punct critic: M0 (−1,−2,3) .

Pentru a stabili daca M este punct de extrem, vom apela ladiferentiala de ordinul doi în punctul M0.În acest scop calculam valorile derivatelor de ordinul doi înacest punct.

∂2f∂x2 (x , y , z) = (2x + 2)′x = 2, deci

∂2f∂x2 (−1,−2,3) = 2,

∂2f∂y2 (x , y , z) = (2y + 4)′y = 2, deci

∂2f∂y2 (−1,−2,3) = 2,


∂2f∂z2 (x , y , z) = (2z − 6)′z = 2, deci

∂2f∂z2 (−1,−2,3) = 2,

∂2f∂x∂y

(x , y , z) = (2y + 4)′x = 0, deci∂2f∂x∂y

(−1,−2,3) = 0,

∂2f∂x∂z

(x , y , z) = (2z − 6)′x = 0, deci∂2f∂x∂z

(−1,−2,3) = 0,

∂2f∂y∂z

(x , y , z) = (2z − 6)′y = 0, deci∂2f∂y∂z

(−1,−2,3) = 0.


Atunci

d2f (−1,−2,3) (h) = 2h21 + 2h2

2 + 2h23 = 2

(h2

1 + h22 + h2

3

)> 0

pentru orice h = (h1,h2,h3) 6= (0,0,0) .

Deci, d2f (−1,−2,3) este o forma patratica pozitiv definita.

Prin urmare, punctul M0 (−1,−2,3) este punct de minim local.

Valoarea minima locala este

fmin = f (−1,−2,3) = −4.


Teorema

Fie D ⊆ Rp o multime deschisa, f ∈ C2 (D) si a ∈ D un punctcritic pentru f . Fie H matricea hessiana a functiei f în punctul a,adica

H =

[∂2f

∂xi∂xj(a)

]1≤i,j≤n

,

si ∆1,∆2, ...,∆p minorii principali ai matricei.(i) Daca numerele ∆1,∆2, ...,∆p sunt strict pozitive, atunciforma patratica d2f (a) este pozitiv definita si a este punct deminim local.(ii) Daca numerele −∆1,∆2, ..., (−1)p ∆p sunt strict pozitive,atunci forma patratica d2f (a) este negativ definita si a estepunct de maxim local.(iii) Daca numerele ∆1,∆2, ...,∆p sunt nenule si nu satisfacconditiile de la punctele (i) sau (ii), atunci a nu este punct deextem.


ExercitiuSa se gaseasca punctele de extrem ale functiei

f : R3 → R, f (x , y , z) = x2 + 3y2 + 2z2 − 2xy + 2xz.

Solutie. Determinam punctele critice ale functiei f , rezolvândsistemul:

∂f∂x

(x , y , z) = 0∂f∂y

(x , y , z) = 0

∂f∂z

(x , y , z) = 0,

echivalent cu 2x − 2y + 2z = 0

6y − 2x = 04z + 2x = 0.


Solutia unica a sistemului este x = y = z = 0, deci O (0,0,0)este singurul punct critic al functiei f .

Calculam derivatele partiale de ordinul al doilea pentru a stabilidaca acesta este punct de extrem.Avem:

∂2f∂x2 (x , y , z) = 2,

∂2f∂x∂y

(x , y , z) = −2,∂2f∂x∂z

(x , y , z) = 2,

∂2f∂y2 (x , y , z) = 6,

∂2f∂z2 (x , y , z) = 4,

∂2f∂y∂z

(x , y , z) = 0


În punctul O (0,0,0) avem:

∂2f∂x2 (0,0,0) = 2,

∂2f∂x∂y

(0,0,0) = −2,∂2f∂x∂z

(0,0,0) = 2,

∂2f∂y2 (0,0,0) = 6,

∂2f∂z2 (0,0,0) = 4,

∂2f∂y∂z

(0,0,0) = 0.

Prin urmare, minorii matricei hessiene sunt:

∆1 = 2, ∆2 =

∣∣∣∣ 2 −2−2 6

∣∣∣∣ = 8, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣2 −2 2−2 6 02 0 4

∣∣∣∣∣∣ = 8.

Deoarece ∆1,∆2,∆3 > 0, forma patratica d2f (0,0,0) estepozitiv definita si O (0,0,0) este punct de minim local al functieif .


Teorema

Fie D ⊆ R2 multime deschisa, f ∈ C2 (D) , a ∈ D punct criticpentru f . Notam

A =∂2f∂x2 (a) , B =

∂2f∂x∂y

(a) , C =∂2f∂y2 (a) .

Daca:

1) B2 − AC < 0 si A > 0, atunci a este punct de minim local;

2) B2 − AC < 0 si A < 0, atunci a este punct de maxim local;

3) B2 − AC > 0, atunci a nu este punct de extrem.


Observatie

Daca B2 − AC = 0, nu putem afirma nimic despre punctul a.

În unele cazuri este punct de extrem al functiei f , în alte cazurinu este punct de extrem.


Exercitiu

Sa se gaseasca punctele de extrem ale functiei f : R2 → R,definita prin

f (x , y) = x3 + y3 + 3xy .

Solutie. Observam ca f ∈ C2 (R2) .Aflam punctele critice, rezolvând sistemul:

∂f∂x

(x , y) = 3x2 + 3y = 0∂f∂y

(x , y) = 3y2 + 3x = 0,


Solutiile sistemului sunt punctele O (0,0) si M (−1,−1) .

Verificam în continuare daca aceste puncte critice sunt punctede extrem.Calculam derivatele partiale de ordinul doi.

∂2f∂x2 (x , y) =

∂

∂x

(∂f∂x

)(x , y) =

(3x2 + 3y

)′x

= 6x ,

∂2f∂x∂y

(x , y) =∂

∂x

(∂f∂y

)(x , y) =

(3y2 + 3x

)′x

= 3,

∂2f∂y2 (x , y) =

∂

∂y

(∂f∂y

)(x , y) =

(3y2 + 3x

)′y

= 6y .


Pentru punctul critic O (0,0) avem

A =∂2f∂x2 (0,0) = 0, B =

∂2f∂x∂y

(0,0) = 3,

C =∂2f∂y2 (0,0) = 0.

DeciB2 − AC = 9 > 0,

rezulta ca punctul O (0,0) nu este punct de extrem.


Pentru punctul critic M (−1,−1) avem

A =∂2f∂x2 (−1,−1) = −6, B =

∂2f∂x∂y

(−1,−1) = 3,

C =∂2f∂y2 (−1,−1) = −6.

DeciB2 − AC = 9− 36 = −27 < 0.

Cum A < 0, rezulta ca punctul M (−1,−1) este punct de maximlocal.Valoarea maxima locala este

fmax = f (−1,−1) = 1.

Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs...

Documents

Transcript of Curs 13 Extremele functiilor de mai multe variabilemath.etc.tuiasi.ro/alazu/AM1-curs/c13-AM1.pdfCurs...