CURS 1- CAP. IINTRODUCERE ÎN METODELE NUMERICE

I.1. Proceduri matematice

ÎNTREBĂRI

Care sunt procedurile matematice cărora le vom prezenta-dezvolta metode numerice?

Cum se aplică procedurile matematice în probleme reale?

De ce sunt necesare şi când se aplică metodele numerice ataşate procedurilor matematice?

PROCEDURI MATEMATICE

1. ecuaţii neliniare 2. derivare 3. sisteme de ecuaţii

liniare 4. aproximarea funcţiilor 5. integrarea funcţiilor 6. ecuaţii diferenţiale

Pb. Mingea plutitoare

Decolarea rachetei Decolarea rachetei Decolarea rachetei Butoiului Crimei

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- ECUAŢII NELINIARE-

Pb. 1. Fiind dată o minge plutitoare de diametru d=0,11m, să se determine lungimea porţiunii din minge x ce se află sub apă ştiind că mingea pluteşte pe apă şi are greutatea specifică de 0,6.

r

R

x

R-x

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- ECUAŢII NELINIARE-

Înlocuiesc (3) în (2) => volum corp scufundat

Egalez (4) =(1) => ec.

!!!! TEMA 1.1

r

R

x

R-x

Modelul matematic al problemei conduce la ecuaţia neliniară de gradul 3:

Cum? Legea lui Arhimede:

(1)

Volum sferă: Volum calotă

sferică: (2)

T. Pitagora în tr. dr. (3)

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- ECUAŢII NELINIARE-

Rezolvarea ecuaţiei neliniare –metodă analitică

unde

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- ECUAŢII NELINIARE-

Rezolvarea ecuaţiei neliniare –metodă analitică

Care este adâncimea bilei în apă? R: cum: =>

METODE NUMERICE PT. ECUAŢII NELINIARE

M.N. de partiţionare: metoda înjumătăţirii intervalului metoda secantei

M.N. succesive: metoda tangentei (Newton-Raphson)

CÂND SE APLICĂ M.N.? Când nu se cunosc metode analitice de rezolvare

a ecuaţiilor neliniare

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- DERIVAREA FUNCŢIILOR-

Pb.2. Care este acceleraţia la momentul t=7 sec. a unei rachete care decolează cu viteza dată de formula

acceleraţia:

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- DERIVAREA FUNCŢIILOR-

Pb. 3. Care este acceleraţia la momentul t=7 sec. a unei rachete cunoscând vitezele rachetei la diferite momente după decolare:

Prin ce metodă analitică pot determina acceleraţia? ec. pantei ce trece prin A şi B:

acceleraţia:

METODE NUMERICE PT. DERIVATA FUNCŢIILOR

M.N. de aproximare a funcţiei – interpolarea I. polinomială clasică I. Lagrange I. Newton I. spline

apoi derivez expresia obţinută în procesul de interpolare

CÂND SE APLICĂ M.N.? Când nu se cunoaşte expresia funcţiei ci doar

valori ale ei în anumite puncte

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- SISTEME LINIARE-

Pb. 4. Care este acceleraţia la momentul t=7 sec. a unei rachete cunoscând vitezele rachetei la diferite momente după decolare:

Prin ce altă metodă analitică pot determina expresia vitezei? presupun: A,B,C sunt pe graficul fc. viteză, adică

v(5)=324,7779; v(8)=554,5006 ; v(12)=916,4080 =>

sistemul:

soluţia:

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- SISTEME LINIARE-

!!! TEMA 1.2: Folosind Matlab, să se det. sol. sistemului

Soluţie: folosiţi următoarele comenzi Matlab:

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- SISTEME LINIARE-

Expresia vitezei este:

Derivez:

Acceleraţia la momentul t=7 sec. este:

METODE NUMERICE PT. SISTEME LINIARE Întrebare: (ACURATEŢEA METODEI)

Care metodă analitică oferă soluţia satisfăcătoare? Panta: Sistem:

Metode exacte: Crammer, Gauss, descompunere LU

Algoritmi cu nr. finit de paşi Metode iterative: Gauss-Seidel

Permit determinarea sol. sist. cu o acurateţe precizată

CÂND SE APLICĂ M.N.? când sistemele sunt de dimensiuni f. mari când se doreşte aproximarea sol. cu o acurateţe

precizată când se doreşte algoritmizarea metodei cu efort minim

de calcul

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-

Pb.5. Să se determine volumul unui butoi de vin ştiind că raza cercului său median este R=40cm, raza cercului de la baza este r=30cm, înălţimea lui este de h=1m, iar curbura secţiunii axiale este în exterior. metoda analitică: butoi=corp obţinut prin

rotirea în jurul axei OX a parabolei ce vârful V(0;40) şi capetele A(50;30), A’(-50;30).

volum butoi: , unde f este parabola

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-

Cum determin ecuaţia parabolei?

ştim: ec. parabolei cu vârful

este: (1)

determin focarul: A, V sunt peparabolă => înlocuiesc în (1) şi

obţin2p=-250 deci ec. parabolei este:

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-

Calculez volumul butoiului:

Valoarea Transformarea:

Volum butoi:

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

- INTEGRALA DEFINITĂ A FUNCŢIILOR-

!!! TEMA 1.3: Folosind Matlab, să se calculeze integrala

Soluţie: folosiţi următoarele comenzi Matlab:

METODE NUMERICE PT. INTEGRALA DEFINITĂ

M.N. – aproximarea integralei definite a unei funcţii (formule de cuadratură) Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda Romberg

CÂND SE APLICĂ M.N.? când nu se cunoaşte expresia funcţiei de

integrat, ci doar valori ale funcţiei în anumite puncte.

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

-ECUAŢII DIFERENŢIALE- Pb.7. Să se determine momentul la care s-a

comis o crimă, ştiind că temperatura corpului victimei la momentul descoperii crimei a fost de 80F iar după o oră a fost de 75F. Se presupune temperatura corpului victimei în momentul decesului ca fiind de 98,6F şi se cunoaşte temperatura constantă a camerei în care s-a comis crima 70F .

Not: t-momentul prelevării temperaturii victimei = timpul

scurs de la deces la prelevare T(t)=80F (27C) –temp. corp la momentul t T(t+1)=75F (24C) –temp. corp după încă o oră T(0)=98,6F (37C) –temp. corp la momentul

descoperirii victimei Tf=70F (21C) –temp. const. în cameră

Se cere: t=?

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

-ECUAŢII DIFERENŢIALE-

Modelul matematic al problemei foloseşte: Legea de răcire a fluidelor a lui Newton:

1. Rezolv ecuaţia diferenţială cu variabile separabile: separ variabilele:

integrez: => =>

impun cond: =>

expresia temp:

PROCEDURI MATEMATICE ÎN PROBLEME REALE

-ECUAŢII DIFERENŢIALE-

2. Determin coeficientul de schimb de căldură din

expresia temperaturii folosind datele problemei: împart la şi obţin

logaritmez:

3. Determin t:

de la momentul prelevării primelor

probe

METODE NUMERICE PT. ECUAŢII DIFERENŢIALE

M.N: Metoda Euler Metoda Runge-Kutta

CÂND SE APLICĂ M.N.? când soluţiile ecuaţiilor diferenţiale sunt

complicat de determinat

CONCLUZII

Rezolvarea modelului matematic produs de problemele reale necesită stăpânirea unui bagaj însemnat de cunoştinţe matematice şi fizice;

A.N. este ramura matematicii care face legătura între zona abstractă a matematicii pure şi zona în care se rezolvă (cu calculatorul) problemele concrete, practice.