Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si...

Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si procese aleatoare

Corina Naforniţă

TIMISOARA - 2008

Problema 1. Mulţimile A, B, C sunt submulţimi ale mulţimii ( ){ }, : 0 1 si 0 1S x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ . Ele

se definesc prin: ( ){ }, : 1/ 2, 0 1A x y x y= ≤ ≤ ≤ , ( ){ }, : 1/ 2, 0 1B x y x y= ≥ ≤ ≤ şi

( ){ }, : 0 1, 1/ 2 C x y x y= ≤ ≤ ≤ . Determinaţi grafic ( )CA B C∪ ∩ .

Rezolvare

Figura 1.1

Problema 2. Dacă mulţimea { }, ,S A B C= conţine trei evenimente elementare, care sunt toate evenimentele posibile? Rezolvare Se ştie că sunt 32 2 8N = = evenimente posibile. Ele sunt:

{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ } , , , , ,A B C A B A C B C A B C∅ .

*** Problema 3. Dacă A B⊂ determinaţi { }P B A . Explicaţi rezultatul. Rezolvare

{ } { }{ }

P ABP B A

Aşa cum se vede şi din figură: A B AB A= =∩ şi deci { } { }P AB P A= .

În consecinţă { } 1, daca P B A A B= ⊂ .

Figura 3.1

Dacă evenimentul A s-a produs, cum A B⊂ , rezultă că s-a produs, implicit, şi evenimentul B. De aici { } 1P B A = .

*** Problema 4. Un punct ( )0,1x∈ este ales la întâmplare. Probabilitatea ca el să cadă într-un interval de lungime l este 1l l= . Ştiind că s-a produs evenimentul 1 2x ≥ , determinaţi probabilitatea ca 7 8x ≥ . Rezolvare

7 1 7 77 1 78 2 8 8

11 18 2 422 2

P x x PP x x

⎧ ⎫ ⎧ ⎫≥ ≥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭≥ ≥ = = = =⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Problema 5. Un sistem de comunicaţii digitale transmite unul din următoarele niveluri continue: -1, 0, 1 . Ca urmare a zgomotului din canal, apar erori. Probabilităţile acestor erori sunt: 1/ 8 când se transmite -1, sau 1 şi 3 / 4 când se transmite 0 .

{ } { } { }1 31 1 , 0 .8 4

P eroare P eroare P eroare− = = =

Dacă probabilităţile apriorice de transmitere a celor trei niveluri sunt: { } { }1 1 1 4P P− = =

şi { }0 1 2P = , determinaţi probabilitatea medie statistică a erorii de transmisie. Repetaţi

calculul şi pentru { } { } { }1 0 1 1 3P P P− = = = . Rezolvare

{ } { } { } { } { } { }1 1 0 0 1 1eP P eroare P P eroare P P eroare P− − + += .

Pentru primul caz:

11 1 3 1 1 1 1 3 78 4 4 2 8 4 16 8 16eP ⋅ + ⋅ + ⋅ = + == .

Pentru al doilea caz:

2 11 3 1 1 18 4 8 3 3e eP P⎛ ⎞+ + ⋅ = <⎜ ⎟

⎝ ⎠= .

Se vede că transmiterea unui zero cauzează un număr mare de erori. În al doilea caz probabilitatea de transmitere a unui zero este mai mică, ceea ce explică şi rata mai redusă a erorilor.

*** Problema 6. Arătaţi că avem relaţiile:

{ } { } { } { }{ } { } { }{ } { } { }

) cov , cov , ; cov , cov ,

) cov , cov , cov ,

cov , cov , cov ,

i X cY c X Y cX Y c X Y

ii X X Y X Y X Y

X Y X X Y Y X

Rezolvare

{ } { }( ) { }( ){ }{ }( ) { }( ){ }{ }( ) { }( ){ }

) cov ,

X Y X Y

i X cY E X E X cY E cY

E X E X cY cE Y

cE X E X Y E Y

= − −

La fel se demonstrează şi perechea ei.

{ } { }( ) { }( ){ }{ }( ) { }( ) { }{ }{ }( ){ } { }( ) { }( ){ }

{ } { }

) cov ,

cov , cov ,

X Y X X Y

X Y X X Y X Y

ii X X Y E X E X X Y E X Y

E X E X X E X Y E Y

E X E X E X E X Y E Y

X X X Y

+ = − + − +

= − − + −

= − + − −

La fel se demonstrează şi perechea ei.

*** Problema 7. Două v.a. (variabile aleatoare) X şi Y sunt corelate, având

{ }cov ,X Y cunoscută. Pentru decorelare putem transforma cuplul X ,Y în cuplul W, Z cu:

{ }{ }

1 0 cov ,

1 cov ,W X X Y

aZ a Y X X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Calculaţi { }cov ,W Z şi arătaţi că s-a produs decorelarea. Rezolvare

a) Avem:

{ } { } { } { }{ } { }{ }{ } { } { }

cov , cov , cov , cov ,

cov , cov ,

cov , cov , cov , 0

W XZ aX Y

W Z X aX Y X aX X Y

a X X X Y

X YX X X Y

= + = +

= − + =

Cum covarianţa mutuală este nulă, cele două v.a. W şi Z sunt necorelate.

b) Fie: 1 0

, si 1

X WY Z a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Avem V U si T= =V GU C GC G

{ } { }{ } { }

{ } { } { } { }{ } { } { }

{ } { } { } { }2

cov , cov ,1 0 1;

cov , cov ,1 0 1

dar cov , cov ,

cov , cov , 1

cov , cov , cov , cov , 0 1

cov , cov , cov , =

cov , cov , cov , 2 cov , c

X X X Y aY X Y Ya

X Y Y X

X X X Y aa X X X Y Y Y a X Y

X X a X X X Y

a X X X Y a X X a X Y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦

{ }ov ,Y Y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Obţinem:

{ } { } { }cov , cov , cov , 0W Z X Y a X X= + = . Problema 8. Calculaţi pentru v.a. Y :

2Y si YY YE Eμ σ

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

= = unde Y Y- Y= μ

cunoscând că:

2 ; si XXX

XY E X Eμ μ σσ

⎧ ⎫−= = ⎨ ⎬

⎩ ⎭= unde X XX μ−=

Rezolvare

{ } { }1 1 0X X X X

X X X X X XE Y E X E Xμ μ μ μ

σ σ σ σ σ σ⎧ ⎫

= − = − = − =⎨ ⎬⎩ ⎭

adică 0Yμ = .

( ){ }222

X- XY Y-0

1 1 = X 1

E E E E

⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

μσ σ

σσ σ

ceeace însemnă că 2 1Yσ = . ***

Problema 9. Arătaţi că dacă , si fiind constanteY aX b a b= + , pentru

,0 1X Ya ρ> = , iar pentru ,0 1X Ya ρ< = − .

Rezolvare. Avem: { } { } { }cov , cov , cov ,X aX b a X X X b+ = + Dar:

{ } { }( ) { }( ){ }{ }( )( ){ }

X b E X E X b E b

E X E X b b

= − −

aşa că rezultă: { } { }{ } { }{ } { } { }2

cov , cov ,

X aX b a X X

Disp X X X

Disp Y Disp aX b a Disp X

Conform definiţiei: { }

{ } { }{ }

{ }{ }{ }

cov , cov ,

cov , sgn

X YX Y a X X

Disp X Disp Y a Disp X

X Xa aa Disp X

= ⋅ =

Problema 10. In tabel se defineşte un cuplu de v.a. discrete, X şi Y, ce pot lua valorile 0 şi 1 fiecare. Calculaţi: { } { } { } { } { } X,Y, , cov , , , si X YE X E Y X Y Disp X Disp Y ρ .

Y→ X ↓

j=0 j=1 { }XP i

i=0 { },10,08X YP = { },

10,18X YP = + => 1 1 1

8 8 4+ =

i=1 { },11,04X YP = { },

11,12X YP = + => 1 1 3

4 2 4+ =

{ }YP j

1 1 38 4 8

1 1 58 2 8

Rezolvare

{ } { }

X X Yj

P i P i j i

P j P i j j

Valorile se dau în tabel. Vom verifica corectitudinea sa:

1 1 1 1, 1, corect8 8 4 2

1 3 1, corect4 4

3 5 1, corect8 8

X Yi j

= + + + =

∑ ∑

{ } { } { }

, , ,0 0

1, 1,12

X X Xi

Y Y Yj

X Y X Y X Yi j

E X iP i P

E Y jP j P

E XY ijP i j P

∑∑

{ } { } { } { },cov , ,

1 3 5 1 2 4 8 32

X Y X YX Y E X Y E X E Y= −

= − ⋅ =

{ } { } { } { }

212 2 2

9 3 9 3116 4 16 16

X X Xi

Disp X E X E X i P i

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

− = − ==

{ } { } { } { }

212 2 2

25 5 25 15164 8 64 64

Y Y Yj

Disp Y E Y E Y j P j

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

− = − ==

{ }{ } { },

1 1cov , 132 32 0,149

3 15 3 5 3 516 64 32

X YX Y

Disp X Disp Yρ = = = = =

Problema 11. In tabel se dă repartiţia unui cuplu de v.a. X şi Y ce pot lua doar valorile 0 şi 1. Determinaţi repartiţiile marginale, { } { }, X YP i P j şi coeficientul de corelaţie, ,X Yρ .

Y→ X ↓

j=0 j=1

i=0 { },30,08X YP = { },

10,18X YP =

i-1 { },11,08X YP = { },

31,18X YP =

Rezolvare

{ } { } { } { }1 1

, ,0 0

, , 0,1 ; , , 0,1 . X X Y Y X Yj i

P i P i j i P j P i j j= =

= = = =∑ ∑

{ } { }

3 1 1 1 3 10 ; 1 ;8 8 2 8 8 23 1 1 1 3 10 ; 1 ;8 8 2 8 8 2

= + = = + =

{ } { } { } { } { } { }

{ } { } { }

0 01 1

, , ,0 0

1 11 ; 1 ;2 2

3, 1,18

X X X Y Y Yi j

X Y X Y X Yi j

E X iP i P E Y jP j P

E XY ijP i j P

= = = = = =

∑ ∑

∑∑

{ } { } { } { },3 1 1cov ,8 4 8X Y X YX Y E XY E X E Y= − = − =

{ } { } { } { } { } { }1 1

2 2 2 2

1 11 ; 1 ;2 2X X X Y Y Y

i jE X i P i P E Y j P j P

= == = = = = =∑ ∑

{ } { } { }

1 1 1 ;2 42

Disp X E X E X

Disp Y E Y E Y

= − = − =

{ }{ } { },

1cov , 18 ;

21 14 4

X YX Y

Disp X Disp Yρ = = =

Ca verificare:

{ }1 1

3 1 1 3, 18 8 8 8X Y

i jP i j

= == + + + =∑∑ , corect.

Problema 12. In tabel se dă repartiţia a două v.a. X şi Y , ce pot lua fiecare, valorile 1, 2 şi 3. In căsuţe sunt înscrise valorile probabilităţilor { }, ,X YP i j . Determinaţi { }/Y XP j i . Sunt cele două v.a. X şi Y independente statistic?

Y→ X ↓

j=1 j=2 j=3

i=1 110

i=2 120

i=3 310

Rezolvare

{ } { }{ }

, ,X YY X

P i jP j i

adică:

{ } { } { }

{ } { }

1 1 2 4, , 1, 2,3; 1 ;10 10 10 10

1 1 1 2 3 1 1 4 2 ; 3 ;20 20 10 10 10 20 20 10

X X Y Xj

P i P i j i P

== = = + + =

= + + = = + + =

{ } { }{ } { } { }

, ,/ /

11, 1,1 1101 , 1,2,3; 11 ;41 1 4

1,2 1,31 110 10 2 1 ; 3 1 ;4 41 4 1 210 10

X Y X YY X Y X

P j PP j j P

P PP P

= = = = =

= = = = = =

{ } { }{ } { } { }

, ,/ /

12, 2,1 1202 , 1,2,3; 1 2 ;22 2 4

2,2 2,31 120 102 2 ; 3 2 ; 2 22 4 2 210 10

X Y X YY X Y X

P j PP j j P

P PP P

= = = = =

= = = = = =

{ } { }{ } { } { }

, ,/ /

33, 3,1 3103 , 1,2,3; 1 3 ; 43 3 4

3,2 3,31 120 202 3 ; 3 3 ; 4 43 8 3 810 10

X Y X YY X Y X

P j PP j j P

P PP P

= = = = =

= = = = = =

Avem deci:

{ } { } { }

{ } { }

1 1 3 9, , j 1,2,3; 1 ;10 20 10 20

1 1 1 4 2 1 1 7 2 ; 3 ;10 20 20 20 10 10 20 20

Y X Y Yi

P j P i j P

== = = + + =

= + + = = + + =

Pentru ca cele două v.a. X şi Y să fie statistic independente ar fi necesar ca:

{ } { }/ , 1,2,3.YY XP j i P j i= ∀ =

Dar { }/1 1 11 este , ,4 4 2Y XP j ⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭

, în timp ce { } 9 4 7 este , ,20 20 20YP j ⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭

şi deci X şi Y nu

sunt statistic independente.

Problema 13. Poate fi

{ }, ,

1 2 3 2

0,1,2,3,...1 1 1, , 0,1,2,3,...8 2 4

1,0,1,

kP k k k k

= → ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = → ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −

o funcţie de repartiţie a masei probabiliste pentru vectorul aleator: T

1 2 3 ?X X X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X Rezolvare Condiţiile sunt:

1) { }, ,1 2 3 1 2 3 1 2 3, 0, ,, ,X X XP k k k k k k≥ ∀ ∀ ∀ , care este evident indeplinită, şi

2) { }, ,1 2 31 2 3

1 2 3, 1,X X Xk k k

P k k k =∑∑∑ ,

suma fiind efectuată pentru toate valorile posibile ale variabilelor ki .

În cazul de faţă:

1 2 1 2

3 1 2 1 2

0 0 0 0

1 1 1 1 1 138 2 4 8 2 4

3 1 1 3 4 2 11 18 8 31 12 4

k k k k

k k k k k=−

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Concluzia este că { }, ,1 2 3 1 2 3,,X X XP k k k dată poate fi o repartiţie.

Problema 14. Matricea de covarianţă a vectorului 1 2 3, ,T

X X X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X este

1 0 10 2 21 2 4

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

XC . Verificaţi că matricea XC dată poate fi o matrice de covarianţă.

Determinaţi apoi coeficienţii de corelaţie între componentele vectorului:

1 2 2 3 3 1, , ,, , X X X X X Xρ ρ ρ .

Rezolvare

XC are o formă de matrice simetrică, cu elementele de pe diagonală (dispersii) pozitive.

Rămâne să vedem dacă este pozitiv semidefinită. Calculăm determinanţii:

1 0 1 1 0 01 0 2 2

2 0, 0 2 2 0 2 2 6 4 2 00 2 2 3

1 2 4 1 2 3= > = = = − = >

XC este deci simetrică şi pozitiv definită, deci poate fi matrice de covarianţă. Elementele

de pe diagonală sunt 2 2 21 2 31 2 4, , .σ σ σ= = =

{ }1 2cov 0,X X = (linia 1-a, coloana a 2-a)

1 2, 0X Xρ = (necorelate)

2 3, 2 2

cov 2 1 0,7072 4 2

σ σ= = = =

{ }3 1

3 1, 2 2

cov 1 124

σ σ= = = .

Problema 15. Vectorul aleator 1 2 TX X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X are media [ ]3 4 T=Xμ şi matricea de

covarianţă 2 11 2⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

XC . Vectorul aleator X se transformă în vectorul aleator

1 2 TY Y⎡ ⎤= ⎣ ⎦Y , conform regulii: 1 1 2 1 2; Y YX X X+= = . Determinaţi Yμ , YC şi

1 2Y ,Yρ .

Rezolvare

Avem: 1 1

1 01 1

Y XY X⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

sau =Y GX .

{ } { }

{ }1 2

1 22 2 3

1 0 3 3 3;

1 1 4 7 7

1 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 =

1 1 1 2 0 1 3 3 0 1 3 6

2 6 cov ,

Y Y Y Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Y A X μ

Rezultă deci: { }1 2

2 23 3 0,866.

22 6cov ,

Y YY Y

Y Y= = = ≅

Problema 16. Vectorul 1 2, TX X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X are matricea de covarianţă

4 11 4⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Determinaţi matricea de transformare G care conduce la decorelarea componentelor vectorului =Y GX .

Rezolvare

Se determină vectorii proprii ai matricei XC .

( ) ( )2

4 1det 4 1 0

1 4sau 4 1 5 3

λλ λ

λλ λ λ

−− = = − − =

− = ± = =

X uC I

2 21111 12 11 12

v1 1 0 v v si v v 1

v1 1 0

− =⎡ ⎤⎣ ⎦− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⇒ = + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

X uC I v 0λ

Rezultă

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 221 22

21 22 21 22

uv1 1 0

v1 1 0

1 1v v si v +v =1 v v 2 2

λ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤− = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⇒ = − = = −

XC I v 0.

Matricea modală este:

1 11 112 2

1 1 1 122 2

1 111 12

1 1 4 1 1 11 11 1 1 4 1 12 2

5 5 1 11 3 3 1 12

10 0 5 01 0 6 0 32

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Considerăm matricea:

1 111 12

T ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Ea defineşte transformarea care conduce la decorelarea componentelor 1Y şi 2Y :

1 2 1 2

05 3 Y Y Y Y

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

YC VC V

σ σ ρ

Problema 17. Determinaţi constanta c , astfel încât ( ) ( )1 5 , 5g x c x x= − < şi zero în rest, să fie o densitate de probabilitate.

Rezolvare Trebuie ca 0p ≥ , condiţie ce este îndeplinită pentru 0c > , iar aria de sub curbă trebuie să fie unitară. Funcţia ( )g x este reprezentată în figura 17.1, pentru 0c > . Aria aria de sub curbă este 5c . Impunem 5 1c = şi rezultă 1 5c = .

Figura 17.1

Problema 18. Dacă X este o v.a. cu repartiţie gaussiană, de medie nulă şi dispersie

2 1Xσ = determinaţi { }3P X > . Dacă Y este o v.a. cu distribuţie laplaciană şi dispersie

unitară, 2 1Yσ = , determinaţi { }3P Y > .

Rezolvare

{ } ( )

3 3 1,35 10

1 13 222

1 7,18 102

P Y e dx e d x

∞ ∞− −

− −

> = ≅ ⋅

= = ⋅

∫ ∫

Se vede că { } { }3 3P Y P X> > > “coada” distribuţiei Laplace fiind mai accentuată ca a distribuţiei normale.

Problema 19. Fie ( )2, X μ σ∼ N . Arătaţi că { } b aP a X b Q Qμ μσσ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Rezolvare

{ }( )2

P a X b e dx

b ae du

b aQ Q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∗ ∗

−−

≤ ≤ =

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

μσπ

μ μφ φσ σ

μ μσ σ

a bQ Q− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

μ μσ σ

Problema 20. Dacă v.a. X este repartizată exponenţial, cu parametrul λ ,

( ) , 00, 0

Xe xp x

λλ −⎧ ≥⎪= ⎨<⎪⎩

, determinaţi ( )Yp y , dacă 4 1Y X= + .

Rezolvare Transformarea este dată de ( ) 4, 1y g x y x= = + .

Funcţia inversă este ( ) ( )1 41 1x g y y−= = − cu derivata: ( ) ( )1 3

0.dg yy

−−= − ≥

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 34 4

, 1 0 0, 1 0

, 1 4 1

dg yp y p g y

e y xy x

e yp y y

−−

− − ⋅ −

− −

⎧⎪ ≥ ≥= ⎨⎪ < <⎩⎧

>⎪⎪= ⎨ −⎪

≤⎪⎩

Problema 21. Determinaţi transformarea g, astfel încât ( ) [ ], 0,1X g U U= ∼ U , să aibă densitatea de probabilitate din figură:

Figura 21.1

Rezolvare

( ) ( ) ( )

2 20 0 0

2 1 2 2xx x

F x p t dt t dt t t x x

F u dt u

= = − = − = −

∫ ∫

( ) { } ( ) { } { } { }2 2 2

2 - - 2 0 11X UF x P X x F u P U u P X x P U u

x x u x x u x u

= ≤ = ≤ ≤ = ≤

= + = −= ±

Dar ( )0,1x∈ şi deci ( )21 1 , 0,1x u u= − − ∈ . Prin urmare, 21 1X U= − − . Dacă se generează un număr aleator uniform distribuit între 0 şi 1, cu relaţia stabilită se generează X cu densitatea de probabilitate, ( ) ,Xp x din figură.

Problema 22. Dacă [ ]0,1X ∼ U determinaţi ( )Yp y pentru 3Y X= .

Rezolvare

( ) ( ) [ ] [ ]( )

13 1 3

0,1 0,1

y g x x y y x y

x gg −

= = = ∈ ⇒ ∈

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2

1 11 0,13

d yp y p g y y y

g− −−= = ⋅ ⋅ = ∈

Problema 23. Un detector permite trecerea componentei continue şi a valorilor pozitive. Dacă la intrarea sa se aplică o tensiune ( )2, X μ σ∼ N , care este puterea medie a

semnalului de ieşire?

Figura 23.1

Rezolvare

{ } ( )

{ } { }

E Y y p y dy

x p x dx

E Y E X

Problema 24. O densitate de probabilitate de tipul mixtură între o distribuţie Dirac, ( ) ,xδ şi o distribuţie gaussiană pentru 0x > este:

( ) ( ) ( ) ( )222 1, 01 1 ;

0, 02 2

p x x e x xx

u uσδπσ

− >⎧= + = ⎨ <⎩

Determinaţi puterea medie a v.a. X şi daţi o interpretare fizică pentru X.

Rezolvare

{ } ( )22

0 2 2 2

xxE X x dx e dxσδ

πσσ σ

∞ ∞ −= +

∫ ∫

Densitatea de repartiţie este corespunzătoare detectorului, ( )12

xδ fiind componenta

continuă (mai precis repartiţia ei).

Problema 25. Pentru mixtura gaussiană X, cu ( )( ) ( )1 12 2

2 21 1 1 12 22 2

Xp x e e− +− −

= +π π

determinaţi media şi dispersia. Schiţaţi ( )Xp x .

Rezolvare

( ) ( )1 2 1 21 1 1, 1 si 1, 12 2

X X X X X= −+ ∼ ∼N N

Figura 25.1

( ) { } { }

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1 12 2 2 2

1 12 22 2

1 1 1 1

1 1 1 1 02 2 2 2

1 12 2 2 2

1 1 1 1 2 22 2

1 1 2 2 22 2

E X E X E X

E X x e e dx

x e dx x e dx

σ μ σ μ

− +∞ − −

−∞

− +∞ ∞− −

−∞ −∞

+ = + + = +

= + = − =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ + ⋅ =

∫ ∫

Problema 26. Dacă [ ],X a a−∼ U determinaţi { }, 0P X γ γ> > . Determinaţi o limită

superioară pentru { }P X γ> folosind inegalitatea lui Cebîşev. Pentru 2a = trasaţi

{ }P X γ> şi limita.

Rezolvare { } { } { } a P X P X P X≤ < = < − + >γ γ γ γ

Figura 26.1

{ }2 3 2

ax x aE X dxaa a−

= = =−∫

Se vede că:

{ } ( ) 1 2 1 , 02

P X a aa a

> = − ⋅ ⋅ = − < ≤γγ γ γ

Cum { } 0 daca X a P X aγ γ≤ ⇒ > = >

{ } 1 , 0

aP X a

⎧ − < ≤⎪> = ⎨⎪ >⎩

γ γγ

Conform inegalităţii lui Cebîşev, cu 2 2 / 3X aσ = avem:

{ }2 2

2 23XP X aσ

γγ γ

> ≤ =

Figura 26.2

După cum se vede, limita dată de inegalitatea lui Cebîşev este mult acoperitoare.

Problema 27. Dacă v.a. X şi Y au repartiţia mutuală ( )2 2

1 , 1,

0, in restX Y

x yp x y π

⎧ + ≤⎪= ⎨⎪⎩

schiţaţi ( ), ,X Yp x y şi determinaţi 12

P X⎧ ⎫≤⎨ ⎬⎩ ⎭

Rezolvare

Figura 27.1

Figura 27.2

21/2 1 1/2

0 0 01/2

1 1 44 12

11 1 arcsin din tabelele de integrare2 2

1/ 2 1/ 211 1 arcsin0 02 2

1 1 1 1 3 1 arcsin4 4 2 2 8 12

1 4 3 42 8

xP X dx dy x dx

xx dx x x

−⎧ ⎫≤ = ⋅ = −⎨ ⎬⎩ ⎭

− = − +

= − + = +

⎧ ⎫≤ = ⋅ +⎨ ⎬⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

π1 3 0,61

12 3 2⋅ = + ≅π

Problema 28. Determinaţi repartiţiile marginale pentru vectorul aleator [ ] ,TX Y ale

cărui componente au o repartiţie mutuală normală cu media [ ]1 2 T şi matricea de

covarianţă 3 00 2⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Rezolvare

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 2 1 22 3 2 3 2 3 2 3

1 0 1 1 21 1 1 2 131 2 ;212 2 3 2 2 3 20

1 1 12 6 2 3 2 2

x y x y

p x p y

x x yx yx yy

p e e e− − − −

− − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ − − −⎡ ⎤ − −⎡ ⎤− − − = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦=

= = ⋅

π π π

Repartiţiile marginale sunt ( ) ( )21,3 si 2,2X ∼N N . Se vede că X şi Y sunt necorelate şi statistic independente.

Problema 29. Dacă în vectorul XY⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, X şi Y au densitatea de repartiţie mutuală

1 2 12 1 2

−⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

∼ N , determinaţi densitatea de repartiţie mutuală pentru WZ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

unde 1 12 3

W XZ Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦G

Rezolvare Avem:

{ }{ }

1 1 1 32 3 2 8

E WE Z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

W,Z X,Y

1 1 2 1 1 22 3 1 2 1 3

1 1 1 2 2 51 4 1 3 5 14

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

C GC G

Problema 30. Dacă 1 2 11 1 2

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∼ N , determinaţi media şi dispersia pentru

Z X Y= + .

Rezolvare { } { } { }{ } { } { } { }

, 1 1 2

2cov , 2 2 2 1 6X Y X YE X Y E X E Y

Disp X Y Disp X Disp Y X Y

+ = + = + =

+ = + + = + + ⋅ =

Problema 31. Vectorul XY⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

are matricea de covarianţă X,Y2 11 2⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

C . Găsiţi matricea

G astfel încât GX să aibă componentele decorelate.

Rezolvare

( ) ( )2

2 12 1 0

1 2 1 3

λ λλ

−− = = − − =

11 11 2 21 11 12

v v1 1 0 v v 1

v v1 1 0λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = = + =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦uC I

11 12 11 12

21 21 2 2u2 21 22

11 1 1v v v v sau 12 2 2

v v1 1 0 v v 1

v v1 1 0

⎡ ⎤= − ⇒ = = − = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = = + =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

21 22 21 22 2

11 1v v v v sau 12 2

1 11 1 12

⎡ ⎤= ⇒ = = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦1

unde V este matricea modală. Se ia: 1 111 12

T −⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦=G V

Ca verificare:

1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 2 1 1 3 3 1 12 2

2 0 1 01 0 6 0 32

T − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Noua matrice de covarianţă arată că vectorul GX , cu matricea de covarianţă de mai sus, are componentele necorelate.

Problema 32. Dacă 0 2 0

,0 0 2

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∼ N determinaţi { }2P X Y+ > .

Rezolvare

{ } { } { }

[ ] [ ]Z X,Y

2 0 1 11 1 2 2 4

0 2 1 1T

E X Y E X E Y

X XZ X Y

+ = + =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

C GC G

Cum matricea se reduce la un scalar, rezultă că 2 4Zσ = . Prin urmare ( )0, 4Z ∼ N . Avem deci:

{ } ( )2 02 1 0,1592

P Z Q Q−⎛ ⎞> = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 33. Pentru a genera două v.a. gaussiene standard (de medie nulă şi dispersie unitară) folosind calculatorul, se pot utiliza transformările Box-Mueller, definite prin:

( )( )

[ ]2ln cos 2

, 0, 12 ln sin 2

W X YX Y

= −∼ U

X şi Y fiind statistic independente şi uniform distribuite în [ ]0, 1 . Arătaţi că afirmaţia este corectă.

Rezolvare

Punem:

2 22 2

2 ln cos 2 ; Z= 2ln sin 2

ZZ = 2ln sau =exp2

W X Y X Y

WW X X

π π= − −

⎧ ⎫++ − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

x e+−

= şi 2z tgw

π= , adică 12

zy arctgwπ

şi apoi:

( )( ) 2

2 2 2 2

1,1 1,

2 21 1

w z w zwe ze

zx yw ww zz zw w

+ +− −⎡ ⎤− −⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥−=⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

valoareaabsoluta

determinant

2 2 2 2

2 22 2

1 1, ,

, 1 1 1det, 2 2

w z w z

w z X Y

zx y we ew z z z

x yp p g w z h w z

+ +− −

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦

Dar: [ ] [ ]0, 1 si 0, 1X Y∼ ∼U U aşa că ( ), , 1X Yp ⋅ ⋅ = . Rezultă că:

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2,

1 1 1,2 2 2

w z w z

W Z W Zp w z e e e p w p zπ π π

+− − −⋅ == =

Cele două v.a. W şi Z sunt statistic independente şi repartizate normal, standard

( ), 0, 1W Z ∼ N . ***

Problema 34. Repartiţia mutuală a două v.a. X şi Y este:

( )( )

,2 , 0 si 0, 0, in rest

X Ye x y xp x y− +⎧⎪ ≥ ≤ ≤= ⎨

⎪⎩

Determinaţi ( )/Y Xp y x .

Rezolvare

( ) ( )( )

,X YY X

p x yp y x

( ) ( )

( ) ( ),0 0

0, 2 2

y yx xX X Y

x xp x p x y dy e e dy e e

p x e e

− −− −

− −

∫ ∫

Rezultă:

( ) ( )/2 , 0 si 0

xY X x xe e ep y x x x y

− −−

−− −= = ≥ ≥ ≥−−

Problema 35. Dacă repartiţia mutuală a v.a. X şi Y este ( ) ( ),

2 , , 0,1 ,

0, in restX Yx x y

p x y⎧ ∈

= ⎨⎩

determinaţi { }1 2 0P Y X> = . Rezolvare

( )1/2

/1 0 02 Y XP Y X p y dy

∞⎧ ⎫> = =⎨ ⎬

⎩ ⎭ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )

X YX X Y

Y Xp x y

p Y X p x p x y dyp x

p x xdy x

−∞= =

şi deci:

( )/2 1 , 0,12Y X

xp x yx= ∈=

Rezultă că: 1

1 10 12 2

P Y X dy⎧ ⎫> = = ⋅ =⎨ ⎬

⎩ ⎭∫

*** Problema 36. Dacă [ ]0,1X ∼ U şi ( ) [ ]0,Y X x x= ∼ U determinaţi repartiţia mutuală a

celor două v.a. , ( ), , X YP x y precum şi repartiţia marginală ( )YP y .

Rezolvare Avem:

( ) ( ) ( )

/0 11 1, 1 ; 0 1

11 1ln 0 ln ln

xp x y p y x p x

p y dx x yyx y

< <= = ⋅ =

= = = − =∫

Problema 37. Pentru v.a. 1 2 3Y X X X= + + , determinaţi: { }a) si b) Disp YYμ , ştiind că pentru vectorul aleator X avem:

1 2 3 , cu

1 112 4

1 11 2 3 si 1 2 21 1 14 2

X X X= ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X μ C

. Rezolvare

{ } { } { } { }1 2 3 1 2 3 6E Y E X E X E X= + + = + + =

{ } { }{ }{ }

21 2 3

1 13 3

1 1 1 1 1 1 1 1 12 4 2 2 4 2

i ji j

a Disp Y E Y E X X X

⎧ ⎫⎪ ⎪= = + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∑

suma tuturor elementelor din matricea de covarianţă, C .

) Y= 1 1 1

1 112 4 1

1 1 1 1 1 1 12 2

11 1 14 2

17 7 7 7 11 2 1 24 4 4 4 2

⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

şi cum este un singur element, el este dispersia v.a. Y.

Problema 38. Dacă ( )1 2

X⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

u0 I∼ σ , determinaţi { }2 2 21 2P X X R+ > .

Rezolvare Din forma matricei de covarianţă, 2σ uI , se deduce necorelarea v.a. 1 2 si X X . Avem:

( )2 2

2 21 1 2

1 2 22

1 010 1 2

x x xx x

p x y e+−

⎡ ⎤⎡ ⎤=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

{ }( ){ }

{ }( )

2 2 21 2 1 2

2 2 2 21 2 2

2 2 21 2

2 2 2 21 2 2

cos ; sin ; ;

x x x x R

P X X R e dxdy

x r x r x x r dxdy rdrd

P X X R e rdrd

d e rdr

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

−∞

= = + = =

+ > = =

∫∫

θ θ θ

θπσ

2 12 2

−−

= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

σσπ

πσσ

Problema 39. Dacă ( ) { }2 2 2

1 2 3 1 1 1, , unde ,,Y X X X diag σ σ σ= =+ + X 0 C C∼ N ,

determinaţi densitatea de repartiţie pentru Y . Rezolvare Cum 1 2 3 , ,X X X sunt gaussiene şi statistic independente (C are o formă diagonală) iar Y depinde liniar de iX , rezultă că şi Y este repartizată gaussian. Este suficient să-i determinăm media şi matricea de covarianţă. Avem:

{ } { } { }

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

0 0 11 1 1 0 0 1

E X E X E X

= + + =

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ σ σ σ σ σ

adică

( )2 2 2 2

1 2 32 2 21 2 30,

σ σ σ σ

σ σ σ

+ +∼ N .

Problema 40. Determinaţi media şi dispersia v.a. Y, ( )12

1 ; 0,12i i

iY U U

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

−∑ ∼ U ,

termenii iU fiind identic distribuiţi şi independenţi statistic (IID).

Rezolvare

( ) { }

( ) ( )

1 112 12 12

1 1 1 1 1 2 4 3 4 12

1 1 1 02 2 2

1 1 12 12

i ii i i

E U Disp U x dx

E Y E U

Disp Y Disp U DispU

= = − = − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫= − = = =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ ∑

∑ ∑ ∑

Problema 41. Procesul IID, [ ]X n , are repartiţia ( ) ( )x

Xp x e u x−= . Determinaţi

[ ] [ ] [ ]{ }0 1, 1 1, 2 1P X X X> > > .

Rezolvare Cum eşantioanele [ ] [ ] [ ]0 , 1 , 2X X X sunt statistic independente:

[ ] [ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }0 1, 1 1, 2 1 0 1 1 1 2 1P X X X P X P X P X> > > = > > >

Cum sunt şi identic distribuite:

[ ] [ ] [ ]{ } { }( )

0 1, 1 1, 2 1 1

1 0,05 x

P X X X P X

∞ −

> > > = >

= ≅= ∫

Problema 42. Un proces aleator IID, [ ]X n , se transformă în procesul aleator

[ ] [ ]2Y n X n= . Este şi [ ]Y n un proces IID ?

Rezolvare

Dacă [ ] [ ] [ ]X 0 , X 1 , X 2 ,....sunt statistic independente, atunci sunt statistic independente şi

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )X 0 , X 1 , X 2g g g . Dacă eşantioanele din X au aceeaşi repartiţie, iar ( )g ⋅ este aceeaşi pentru toate eşantioanele, atunci şi repartiţiile eşantioanelor din Y sunt identice (vezi relaţia de transformare). Răspunsul este, deci, DA !

Problema 43. Arătaţi că procesul [ ] [ ], 0 1nX n a n aU= < < , unde [ ]nU este un

zgomot alb, gaussian, de medie nulă şi dispersie 2Uσ , nu este staţionar.

Rezolvare

[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } 0n nX n E X n E a n a E nU Uμ = = = = ,

deci este o constantă ; staţionaritatea mediei este asigurată.

{ }{ }

1 2 1 2 1 2

C n n E X n X n E a U n a U n

a E U n U n

⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −⎡ ⎤⎣ ⎦σ δ

Se observă că 1 2 1 2,X XC n n C n n≠ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ şi deci procesul nu este staţionar.

Problema 44. Fie procesul de mediere alunecătoare [ ] [ ]1

iX n U n i

== −∑ , unde [ ]U n

este un proces de tip zgomot alb, gaussian, de medie nulă şi dispersie 2Uσ . Determinaţi

coeficientul de corelaţie, 0 , 1X X⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ρ . Care este comportamentul său asimptotic, adică

atunci când ?N →∞

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ }

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]{ }1 1

cov 0 , 1 0 , 1

E X n E U n iN

X X E X X

E U i U jN N

E U i U jN

− −

= =⎡ ⎤⎣ ⎦

− −

= − =

⎧ ⎫⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= − −

∑ ∑

∑∑

[ ]1 1

20, 1 1, 2 2, 3 2, 1

1 1 1 ... 1

i j i j i j i N j N

− −

= =− +

= = = = = = = − = −

= − +

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠−

∑∑

[ ]{ } [ ]{ }

[ ] [ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }

2 20 0

cov 0 , 1

Disp X n Disp U n iNN N

Disp X Disp X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −

= == − = =

−−

∑ ∑ σσ

Atunci când N →∞ , 0 , 1 1X Xρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

→ , arătând că cele două eşantioane sunt tot mai

puternic corelate.

Problema 45. Un proces aleator [ ]Y n este o sumă dintre un proces alb, gaussian, de

medie nulă şi dispersie 2Uσ , [ ]X n , şi o sinusoidă deterministă:

[ ] [ ] ( )0 01sin 2 0,2

Y n X n f n fπ ⎛ ⎞= + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Determinaţi media şi covarianţa pentru procesul [ ]Y n .

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ } { }( )( ){ }{ }

1 2 1 0 1 2 0 2

sin 2 sin 2

, sin 2 sin 2

E Y n E X n E f n f n

C n n E Y n f n Y n f n

E X n X n

= − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

Problema 46. Un proces aleator [ ] [ ] [ ]0 1 1X n a U n a U n= + − este definit pentru

n−∞ < < ∞ , 0a şi 1a fiind constante, iar [ ]U n este un proces aleator IID, de medie nulă

şi dispersie 2Uσ . Este [ ]X n un proces aleator în sens larg (WSS) ? Dacă da, determinaţi

pentru el media şi secvenţa de autocorelaţie.

Rezolvare [ ]U n şi [ ]1U n − au aceeaşi distribuţie, deoarece [ ]U n este un proces IID. În consecinţă,

cu 0a şi 1a constante, [ ]X n va fi un proces cu distribuţia identică a eşantioanelor şi deci şi staţionar. Avem:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ }

[ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ }

0 1 0 1

20 0 1

20 1 1

E X n a E U n a E U n

E X n X n k E a U n a U n a U n k a U n k

E a U n U n k a a U n U n k

E a a U n U n k a U n U n k

= + − =

+ = + − + + + −

= + + − +

+ + − + − + −

= [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ]{ } ( )

2 2 2 2 20 0 1 1

2 2 20 1

1 1U U U

a k a a k k a k

Disp X n a a

σ σ σ

δ δ δ δ+ + + − +

Problema 47. Un proces sinusoidal are forma [ ] ( )0 0cos2 , 0, 0.5X n A f n fπ= ∈ iar A

este o v.a. cu repartiţia normală, ( )0,1A ∼ N (amplitudinea odata fixată, procesul se

derulează cu amplitudine constantă; în altă experienţă ea se schimbă însă). Este [ ]X n un proces aleator staţionar în sens larg (WSS)? Dacă da, determinaţi media şi secvenţa de autocorelaţie a procesului.

Rezolvare

[ ]{ } { }

{ } { }( ) ( )

1 2 0 1 0 2

0 2 1 0 2 1

cos 2 0

cos 2 cos 2

1 cos 2 cos 22

E X n E A f n

E X n X n E A f n f n

f n n f n n

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦

Cum secvenţa de autocorelaţie a procesului nu este o funcţie numai de ( )2 1n n k− = ,

procesul [ ]X n nu este WSS (staţionar în sens larg). Oricum, media şi autocorelaţia sunt determinate.

Problema 48. Un proces aleator staţionar în sens larg, [ ]X n , are [ ]{ }0 1E X = şi

secvenţa de covarianţă 1 2 2 1, 2Xc n n n nδ= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Determinaţi secvenţa de autocorelaţie a

procesului. Desenaţi secvenţa [ ]Xr k .

Rezolvare Cum procesul este staţionar în sens larg, e necesar să avem [ ] .E X n cst⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ceea ce conduce la:

[ ] [ ]0 1X E X n E Xμ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Secvenţa de autocorelaţie se poate determina cunoscând covarianţa: [ ] [ ] [ ]2 12X X Xr k c k kμ δ= + +=

Figura 48.1

Problema 49. Procesul aleator [ ]X n constă din două v.a. statistic independente:

[ ] ( )( )

0,1 ; par0,1 ; impar

n⎧⎨⎩

Este procesul staţionar în sens larg (WSS) ? Este procesul strict staţionar? Rezolvare

[ ]( )

( ) [ ]

( ){ } ( )( ){ }

0,1 0, par, 0 .

3, 3 0, impar

2 33, 3 1; 0,1 1

E nE X n n const

Disp Disp

μ⎧ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ = =⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ ⎡ ⎤− =⎪ ⎣ ⎦⎩

− = = =

Cum eşantioanele sunt necorelate [ ] [ ]Xr k kδ= şi deci procesul [ ]X n este staţionar în

sens larg. Cum 0 1X Xp p⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

≠ , spre exemplu, [ ]X n nu este strict staţionar.

Problema 50. Procesele [ ]X n şi [ ]Y n sunt, fiecare, staţionare în sens larg (WSS).

Fiecare eşantion din [ ]X n este independent de fiecare eşantion din [ ]Y n . Este

[ ] [ ] [ ]Z n X n Y n= + un proces WSS ?

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ } ( )

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ }

. . procesele sunt WSS

E X n cst E Y n cst

r E Z n Z n k E X n Y n X n k Y n k

r k r k E X n Y n k E Y n X n k

r k r k E X n Y n

μ μ μ

= = = =

= + = + + +

= + + + + +

[ ] [ ] X Yr k r k= +

Cum Zr este funcţie numai de k şi media este constantă, adică [ ]Z n este un proces WSS.

Problema 51. Un proces aleator este definit prin [ ] [ ]X n AU n= unde A este o v.a.

normală, ( )20, AA σ∼ N , iar [ ]U n este un zgomot alb, de medie nulă şi dispersie 2Uσ .

Variabila aleatoare A este independentă de toate eşantioanele [ ]U n . Determinaţi

densitatea spectrală de putere (PSD) a procesului [ ]X n .

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ }[ ] [ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }{ } [ ] [ ]{ }

E X n E AU n E A E U n

r k E X n X n k

E AU n AU n k

E A E U n U n k

kσ σ δ

Dar [ ] ( )1n f↔δF

aşa că [ ] ( ) 2 2 .X X UAr k S f cstσ σ↔ = =F

Procesul este deci un „zgomot alb”, având densitatea spectrală de putere, PSD, constantă cu frecvenţa.

Problema 52. Determinaţi densitatea spectrală de putere pentru procesul aleator

[ ] [ ] [ ]1 , , 2

X n n n nU U⎛ ⎞= −∞ < < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

fiind un zgomot alb, de medie nulă şi

dispersia 2Uσ .

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ }

[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]2

1 1 1 = k 2 2 2

n n k n k

E X n E n

E X n X n k E n n k

U U σ δ+ +

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

şi nu depinde numai de k. Procesul nu este staţionar şi deci noţiunea de densitate spectrală de putere nu are sens. Ea există (PSD) numai dacă procesul este WSS.

Problema 53. Determinaţi densitatea spectrală de putere a procesului aleator [ ] [ ] [ ]0 1 0 11 unde si X n a U n a U n a a= + − sunt constante, iar [ ]U n este un

zgomot alb, de medie nulă şi dispersie 2Uσ .

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ }

[ ] [ ] [ ] [ ]

0 1 0 12 2 2 2 20 0 1 0 1 1

1 1U U U

E X n a E U n a E U n

E X n X n k E a U n a U n a U n k a U n k

a k a a k a a k a kσ δ σ δ σ δ δ

= + − =

+ = + − + + + −

= + + + − +

adică:

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]2 2 2 2 20 1 0 1 0 11 1X U U Ur k a a k a a k a a kσ σ σδ δ δ= + + + −+

Se cunosc perechile Fourier:

[ ] ( )

1 0.5, 0.5

δ −

+ ∈ −

Densitatea spectrală de putere este transformata Fourier a procesului staţionar în sens larg (WSS). Se ţine seama de perechile Fourier de mai sus şi rezultă:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 20 1 0 1

2 2 2 20 1 0 1 2 cos2 , 0.5, 0.5

j f j fX U U

S f a a a a e e

a a f a a f

π πσ σ

σ π σ

−= +

= + ∈ −

Problema 54. Un proces [ ]X n este definit prin [ ] [ ] , -X n U n n= + ∞ < < ∞μ , unde

[ ]U n este un zgomot alb, de medie nulă şi dispersie 2Uσ . Determinaţi secvenţa de

autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere. Reprezentaţi şi grafic autocorelaţia şi PSD.

Rezolvare

[ ]{ } [ ]{ }E X n E U n μ μ= + =

[ ] [ ] [ ]{ } [ ]( ) [ ]( ){ }[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ]

r k E X n X n k E U n U n k

E U n U n k E U n E U n k

μ μ μ

σ μδ

= + = + + +

= + + + + +

[ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( )2 2 2 2

1 , 0.5, 0.5

r k k f

μ δ μ δσ σ↔ ∈ −

= ↔+ +

Figura 54.1

Problema 55. Un proces aleator are densitatea spectrală de putere ( ) 1 cos 2XS f fπ= + .

Determinaţi [ ]Xr k şi ( )XS f . Reprezentaţi grafic [ ]Xr k şi ( )XS f .

Rezolvare

( )2 2

1 cos 2 12

j f j f

Xe eS f f

π ππ

−+= + = +

Transformata Fourier inversă este funcţia de corelaţie:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 11 12 2Xr k k k kδ δ δ= + + + −

Figura 55.1

Problema 56. Un proces aleator are densitatea spectrală de putere

2 4112

j f j fXS f e eπ π− −= + + . Determinaţi secvenţa de autocorelaţie a procesului şi

reprezentaţi-o grafic.

Rezolvare Ştim că 2z z z∗= ⋅ . În consecinţă:

( ) 2 4 2 4

2 2 4 4 2 2

4 2 2 4

1 11 12 2

9 1 1 1 1 4 2 2 2 29 1 3 3 1 4 2 2 2 2

j f j f j f j fX

j f j f j f j f j f j f

j f j f j f j f

S f e e e e

e e e e e e

e e e e

π π π π

π π π π π π

π π π π

− −

− − −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + + + + +

= + + + +

Luând transformarea Fourier inversă în timp discret, obţinem:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )9 1 3 2 2 1 14 2 2Xr k n n n n nδ δ δ δ δ= + + − + + −

Figura 56.1

Problema 57. O sinusoidă definită în timp continuu are ca fază iniţială o v.a. ( ) ( ) ( ) ( )0,2 , cos 2 , ,X t ft fπ πΘ = + Θ ∈ −∞ ∞∼ U (se măsoară în Hz). Determinaţi

funcţiile mediei şi autocorelaţiei procesului ( )X t .

Rezolvare Avem:

( ) ( )1 , 0, 22

pθ θ θ ππ

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

21 1cos 2 sin 202 2

1cos 2 cos 22

1 1 1 cos2 cos 2 2 2 cos24 4 2

t E X t ft d ft

R E X t X t ft f t d

f d f t d f

= = + = +

= + = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

= + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

πμ π θ θ π θ

τ τ π θ π τ θ θπ

π τ θ π τ θ θ π τπ π

Problema 58. Un proces aleator continuu are densitatea spectrală de putere

( ) ( ), unde ,f

XS f e f−

= ∈ −∞ ∞ şi se măsoară în Hz. Determinaţi puterea medie a semnalului, în banda 10 Hz 100 Hz÷ .

Rezolvare

( )100

10 100 5

1002 2 9,08 10 90,8f f

medP e d f e e e W W− − − − −== = − ⋅ =∫ μ

Problema 59. Un SLIT având funcţia de transfer ( ) 1 21z z z− −= − −H filtrează un

zgomot alb în timp discret, cu media nulă şi dispersia 2Uσ . Determinaţi secvenţa de

autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere pentru semnalul discret de la ieşirea sistemului. Reprezentaţi grafic [ ]Xr k şi ( )XS f .

Rezolvare

Figura 59.1

[ ]U n fiind zgomot alb, are autocorelaţia [ ] [ ]2

U Ur k kσ δ= şi PSD ( ) 2U US f σ= .

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) ( )

22 2 4 2

2 4 2 4 2

3 2cos4 , 0.5, 0.5

j f j fX U U

j f j f j f j fX U

j f j fU

S f f S f e e

S f e e e e

π π π π

− −

= = − −

= − − − −

= − −

= − ∈ −

Transformata Fourier inversă a PSD este secvenţa de autocorelaţie:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 23 2 2X Ur k k k kδ δ δ σ= − + − −

Figura 59.2 si 59.3

Problema 60. Sinusoida [ ] ( ) [ ]cos 2 0,25 , 0,2X n nπ π= ⋅ ⋅ + Θ Θ ∼ U , se aplică la

intrarea sistemului ( ) 1 21 21z b z b z− −= − −H . Determinaţi 1 2, b b astfel încât sinusoida să

fie rejectată de la ieşirea sistemului.

Rezolvare La 0,25f = (frecvenţă digitală) este necesar să avem ( )2 0,25 0je π ⋅ =H . Deoarece

π= , impunem condiţia 1 2 1 22

1 11 0 1 0 b b b j bj j

− − = ⇒ + + = şi rezultă 1 0b = , şi

2 1. b = − Sistemul ( ) 21z z−= +H va bloca (rejecta) sinusoida de frecvenţă (digitală) 0,25.

Problema 61. Un proces aleator [ ]X n , staţionar în sens larg, este definit de ecuaţia cu

diferenţe finite [ ] [ ] [ ] [ ]0.5 1 0.5 1X n X n U n U n= − + − − , [ ]U n fiind un zgomot alb de

medie nulă şi dispersie 2Uσ . Determinaţi secvenţa de autocorelaţie şi densitatea spectrală

de putere a procesului [ ]X n .

Rezolvare Dacă se aplică transformarea Z ecuaţiei cu diferenţe finite obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )1 10.5 0.5X z X z z z z zU U− −= ⋅ − ⋅+ ,

de unde:

( ) ( )( ) [ ] [ ]

( ) ( )

1 0.5 1; 1 0.5

1 si deci , un zgomot alb.X U

X z zz X n U nU z z

−−

= = = =−

= = σ

Prin transformare Fourier inversă obţinem autocorelaţia procesului:

[ ] [ ]2X Ur k kσ δ= .

Problema 62. La ieşirea unui SLIT se generează procesul [ ] [ ] [ ]1X n U n U n= − − .

Procesul [ ]U n are densitatea spectrală de putere ( ) ( )1 cos 2 , 0.5,0.5US f f fπ= − ∈ − .

Determinaţi secvenţa de autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere a procesului [ ]X n . Rezolvare

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

22 2 2

1 cos2 1 1

2 2 2cos2

2 1 cos2 1 cos2 2 1 cos2

1 cos42 1 2cos2 cos 2 2 1 cos22

3 4cos2 c

j f j f j fU

j f j f j f

X zX z U z z U z z z

S f f e e e

e e e f

S f f f f

fS f f f f

− −

= − = = −

= − = − −

= − + = −

= − − = −

+⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

π π π

ππ π π

os4 fπ

Dar, PSD se poate pune sub forma:

( ) [ ]cos 2X Xk

S f r k fkπ∞

=−∞= ∑

şi, prin identificare, obţinem:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4 10 3; 1 1 2; 2 22 2X X X X Xr r r r r= = − = − = − = − =

restul valorilor fiind nule. Se poate deci scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 12 2 1 3 2 1 22 2Xr k n n n n nδ δ δ δ δ= + − + + − − + −

Problema 63. Un proces aleator care are densitatea spectrală de putere

( ) 22

1 0.5X j f

S fe−

=− π

, trebuie filtrat cu un SLIT, pentru a produce un proces aleator

[ ]Y n de tip zgomot alb, cu dispersia 2 4Yσ = . Determinaţi ecuaţia cu diferenţe finite pentru filtrul cerut.

Rezolvare

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 22 2

2 2 2 2

1 0.5 1 0.5

j fY X Y

j fj f

j f j f

j f j f j f j f

j f j f j f

S f e S f

e e e e

− −

= − −

= − = −

π π π π

π π π

Rezultă că funcţia de transfer ( )zH a sistemului este:

( ) ( )( )

12 Y zz z

X z−= − =H

se determină acum ecuaţia cu diferenţe finite:

( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]

Y z X z z X z

Y n X n z X n

= − −

Problema 64. Un SLIT în timp continuu are funcţia pondere ( ) , 00, 0e

h−⎧ ≥

= ⎨<⎩

τ ττ

τ. La

intrarea sistemului se aplică un zgomot alb, de medie nulă şi având dispersia 0 2N . Determinaţi densitatea spectrală de putere de la ieşirea sistemului, ( )YS f . Schiţaţi

( )YS f .

Rezolvare

Zgomot de la intrare fiind alb, funcţia sa de autocorelaţie este ( ) ( )02X

Nr τ δ τ= , şi deci:

( ) ( ) ( )0 02 2X X

N Nr S f= =↔τ δ τ

Exponenţiala cauzală are spectrul:

( ) ( )

1, 00, 0

1 , , masurata în Hz.1 2

e u fj f

≥⎧= ⎨ <⎩

∈ −∞ ∞+

aşa că:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 21 2;

1 2 1 2Y X

H f S f H f S fj f f

= = =+ +π π

Figura 64.1

Problema 65. Un SLIT în timp continuu are răspunsul la impuls ( )1, 00, in rest

t Th t

< <⎧= ⎨⎩

La intrarea sa se aplică un zgomot alb cu dispersia 0 2N . Determinaţi şi schiţaţi densitatea spectrală de putere a procesului de ieşire ( )Y t . Rezolvare

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sin 2 sin22 ; 2

sin adica 2

Tj f j fT

N Nr S f

Tf fTh t u t u t T e T e ff fT

fTH f TfT

N T fTS f H f S f S ffT

− −

= − − ↔ = ∈

τ δ τ

π ππ π

Figura 65.1

Problema 66. Un circuit RC trece jos, are răspunsul în frecvenţă:

RCH f fj f

= ∈+

şi filtrează un zgomot alb având funcţia de autocorelaţie ( ) ( )02X

Nr τ δ τ= . Determinaţi

puterea totală a procesului Y , de la ieşirea filtrului.

Rezolvare Densitatea spectrală de putere a zgomotului alb de la intrarea sistemului este:

( ) 0 2XS f N=

Răspunsul în frecvenţă al sistemului fiind:

( ) ( )00

2 1 1; , ,2 2 1 2

fH f f f

f j f j f f RCπ

π π π= = = ∈ −∞ ∞

se determină densitatea spectrală de putere a procesului de la ieşirea filtrului:

( )( )

S ff f

Puterea totală a procesului de la ieşire rezultă integrând PSD:

( )0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1 1 v arctgv2 2 21 v1

2 2 2 2 4 4

YN N f N f

P df df f

N f N f N f NRC

π ππ π

∞ ∞

−∞ −∞

∞= = =

−∞++

⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si...

Documents

Transcript of Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si...

Teoria grafurilor Capitolul 5 - competentedigitale.ro · Teoria grafurilor Reprezentarea grafurilor Traversarea grafurilor Implementări sugerate Probleme propuse Soluţiile problemelor

Probleme de matematica - Clasa 12 - Consolidare - Lucian ... de... · — Exercitii probleme de licatii, Ed. Albatros, 1987 i probleme), Ed. Adria — Editura Mediamira, teoria grupurilorfinite,

Corina Portofoliu

TEORIA ELASTICITATII PROBLEME

Licenta Buna Corina

INTRODUCERE LA TEORIA FIINŢEI - institutuldefilosofie.ro de teoria... · probleme generale Teoria Fiinţei reprezintă partea centrală a Filosofiei pentadice, care face legătura

Prezentare Pirvu Corina

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţiicazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/probleme... · Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii X.2. PROBLEME REZOLVATE R10.1. Pentru

Descopera cum sa - patriafonduri.ro · teoria jocurilor, teoria celor doi este aplicabila unor probleme precum distributia noilor medici catre spitale, studentilor catre universitati

Prof. Dr. CORINA GĂLEŞANU

Probleme de Logica si Teoria Multimilor

· 1. BRANDI CESARE, Teoria restaurarii, Editura Meridiane, Bucuresti, 1996 2. NICOLESCU CORINA, Muzeologie generala, Editura Didactica si 3. MOOLDOVEANU AUREL, Conservarea preventiva

Licenta Marin Corina

TEORIA INFORMAŢIEI ŞI A CODĂRII Culegere de probleme 2009

Ronxana Traducere Salvat Corina

FUZIUNEA - Corina&Isa

Corina Minulescu

Bozedean Corina - Limba Franceza

Corina Kirmici Abstract

Teoria Elasticitatii - Culegere de Probleme