Post on 25-Sep-2019
© 2014
Clasa a VI-a ♦ Matematică ♦ RăspunsuriSăptămâna 1Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 1, 3, 4, 6, 12
0, 3, 6, 12 3, 6, 9, 18 riglei;
drepte compas
b) 0, 4, 8, 12 0
0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,
15, 18
compasului; cercuri riglă şi echer
c) 0, 5 0, 4, 8, 12 {1, 2} echerului;
unghiuririglă, echer şi
compasPartea a II-a1. a) 1 | 1, 1 | 3, 1 | 8, 1 | 10, 1 | 11, 2 | 8, 2 | 10, 5 |10. b) 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35.
2. a) D6 = {1, 2, 3, 6}. Mulţimea divizorilor unui număr natural este finită. b) M5 = {0, 5, 10, 15, 20, ..., 5n, ... }. Mulţimea multiplilor unui număr natural este infinită. c) Da.3. a) Prin translaţia unui pătrăţel. b) Cu ajutorul compasului am desenat 4 semicercuri. c) Am desenat trei semicercuri.
Săptămâna 2Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 0, 10, 20, 100 18 F C, F, G patrulatere
b) 0, 2, 10, 18, 20, 100 19 + x A A, B,
respectiv D B, C, I
c) 0, 5, 10, 15, 20, 85 1 F E, H E, H
Partea a II-a1. a) 999, respectiv 102; b) 100 002.
2. a) Trebuie să avem 2 + 5 + x multiplu de 3, adică 7 + x = M3. Găsim x Î {2, 5, 8}, iar numerele căutate sunt 252, 255, 258. b) 9996. c) 105.
3. a) B = {, , , , }. b) C = {}.
c) D = {, }. d) E = Æ.
Săptămâna 3Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) A 1 şi 16
0, respec-tiv 1 şi
numărul însuşi
B, D, E, G A, B, C, D, A', B', C', D'.
b) F 2, 4, 8, 16 doi H
AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D',
D'A', AA', BB', CC', DD'.
c) A falsă trei paralelipiped dreptunghic
ABCD, A'B'C'D', ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D'.
Partea a II-a1. a) Numărul prim trebuie să fie par; singurul număr care convine este 2. Celălalt termen al sumei este 2005. b) Numărul se scrie N = 10n + 1, adică N
n
=100 01... cifre . Pentru n = 3,
obţinem N = 1001 care se divide cu 11, 13 şi 7. Răspunsul este nu.2. a) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}; b) B = {41, 43, 47, 53, 59}; c) C = {77, 78, 80, 81; 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90}.
© 2014
3. a) Figura 1 → paralelipiped dreptunghic, figura 2 → cub.
b)
Săptămâna 4Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 22 · 32 2, 3, 6 23 · 32 · 72 concurente C
b) 3 · 37 divide 52 · 132 paralele E
c) 25 · 53 · 7 produsul 1 necoplanare [BC, A; [BC, D
Partea a II-a1. a) 56 2 73= ⋅ , 81 34= ; c.m.m.d.c. (56, 81) = 1, deci numerele 56 şi
81 sunt prime între ele. b) 12 2 33= ⋅ , deci 2x nu trebuie să fie divizibil cu 2 şi 3. Găsim x Î {3, 5, 9}.2. a) 21x trebuie să fie divizibil cu 2 şi cu 3. Deci x Î {0, 6}. b) 2007 = 3 2232 ⋅ . c) Avem 6 posibilităţi: 2007 = 1 · 2007; 2007 = 3 · 669; 2007 = 9 · 223; 2007 = 223 · 9; 2007 = 669 · 3; 2007 = 2007 · 1.3. a) Semiplanul [dB are în comun cu dreapta g semidreapta [AB. b)
A BC sau CA B.
c) Ax
BD.
d) Nu. Dacă AB + BC = AC, punctele A, B, C ar fi trebuit să fie coliniare.
Săptămâna 5Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 6, 12, 18, 24, 30 22 · 53 · 3 4 congruente 10
b) divide 180 6,5 mijlocul 5
c) 36 420 5,8 [AB] = [EF] 3
Partea a II-a1. a) Numărul căutat trebuie să fie multiplu de 2 3 5 73 2, , , adică multiplu de 2 3 5 7 25203 2⋅ ⋅ ⋅ = . Un multiplu de 2520 cuprins între 5000 şi 6000 este 5040. b) n c r= ⋅ +20 1 , 0 ≤ r < 20; n c r= ⋅ +18 2 , 0 ≤ r < 18;
n c r= ⋅ +15 3 , 0 ≤ r < 15. Rezultă n r c− = ⋅20 1 , n r c− = ⋅18 2, n r c− = ⋅15 3, deci n r− este cel mai mic multiplu comun al numerelor 20, 18 şi 15. Obţinem n r n r− = ⇒ = +180 180 . Impunând condiţia r ¹ 0, convine r = 1, deci n = 181.
2. a) n c c c n c c= ⋅ + ≤ < = ⋅ ≤ <17 0 17 18 0 17, . , . Deci Numerele căutate sunt {216, 234, 252, 270, 288}. b) Ştim că:
a b a b
a ba b
, ,
,, ; .
( ) ⋅[ ] =
( ) =
⇒ [ ] = = ⋅ ⋅ ⋅
210
1210 210 2 3 5 7
Găsim a = 10, b = 21. c) 270 < N < 340; N este multiplu de 5; 6; 12; 15. C.m.m.m.c. [5; 6; 12; 15] = 60. Multiplul de 60 cuprins între 270 şi 340 este 300. Deci sunt 300 de participanţi.
3. a) Vezi figura.
d E A O B E'
3 3
3
22
−
−
−
D−C
Fx
− −
b) 2 situaţii. c) Vezi figura. d) [OC] º [OF] şi [OA] º [OB].
© 2014
Săptămâna 6
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) două semidrepte care au aceeaşi origine 5 42
ACD 70
b) vârful unghiului 7 396 nul 36
c) unghi alungit 6 432 M şi N 77
Partea a II-a1. i) Int COA; ii) Æ; iii) Int COB.2. n – 7 24; n – 7 42; n – 7 63, deci n – 7 = [24, 42, 63] = 504 şi n = 511.3. n = 100 ab + cd = 104 ab = 13 · 8 · ab , deci n 13.
Săptămâna 7
Partea I Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) unghi ascuţit 1,25 2 40° 1
1500000
b) 180° 0,5 8 120 km
c) măsura mai mare de 90° 4 12 7 cm
Partea a II-a 1. a = 18, b = 24; 2. m(AOC) = 55º, m(COD) = 127º; m(BOD) = 162º.3. 7a = 8b, deci a 8, a = 8k, k ∈ ; 7 · 8k = 8b; b = 7k; (a, b) = k. Din (a, b) · [a, b] = a · b, obţinem k = 4; a = 32 b = 28.
Săptămâna 8
Partea I Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) proporţie 6 4 62° 22' 9'' 2
b) extremilor 30 75 93° 7' 10'' 3
c) procentual 0 60 16° 7' 27'' 195'
Partea a II-a1. x = 4;2. a) 12 fete; b) numărul băieţilor reprezintă 150% din numărul fetelor; c) 12 = 80% din (18 – x), x = 3, trebuie să plece 3 băieţi.
3. m( A ) + m( B ) = 89º2′35′′; m( A ) – m( B ) = 53º25′33′′; m
m
A
B
( )( )
= 4 .
Săptămâna 9
Partea I Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)
vârful comun, o latură comună, iar celelalte
două laturi situate de o parte şi de alta a dreptei ce conţine latura comună
59,4 15 37° 13' 83° 28'
b) împarte unghiul în două unghiuri congruente
45 20 135° 41° 44'
c) unghiuri suplementare 32 40 67° 30' 138° 16'
Partea a II-a 1. a = 25; b = 33,(3); c = 50.2. a) P1 = 25% din P2; b) A1 = 6,25% din A2.3. 90º – m(A) = 25% din (180º – m(A)) şi m(A) = 60º
© 2014
Săptămâna 10
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)
dacă una creşte (descreşte) de un anumit număr de ori,
cealaltă creşte (descreşte) de acelaşi număr de ori
adevărul 21 0 48°
b) laturile lor formează două perechi de semidrepte opuse
40 22 240 132°
c) congruente 280 3
1175 90°
Partea a II-a
1. a b c
8 12 21= = a = 8c a = 8k; c = 21k; k = 5 şi atunci a = 40,
c = 105, b = 60.2. m( BOF ) = 180º – m( DOF) = 50º, m(BOC) = 100º, m(AOB) = 80º.3. m(A′OC) = 38º; m(DOC) = 128º.
Săptămâna 11Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) A 3 32
45º 74º
b) F 7b52
90º 290º
c) A a = 15, b = 6 2312
135º 270º
Partea a II-a1. a) 54; 36; b) 72; 60; 482. a) 1500; 1000; 600; b) 40% c) 8
15
2
.
3. a) 60º; b) 120º; c) m(COF) = 180º; d) 60 · 6 = 120 · 3 = 360.
Săptămâna 12
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) A 120 25 dreptunghic 24 cmb) F 6 7 echilateral 36 mmc) A 25 12 isoscel 180 m
Partea a II-a1. a) 36º; 54º; b) 18; 27;2. a) 9; 12; 15; b) 6; 4; 3; c) 2 ore 24 minute.3. a) isoscel; b) 18 cm; c) 0,25 d) isoscel (obtuzunghic).
Săptămâna 13
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 512
7 240 DAC sau EAB 60º
b) 2360
1727
480 90º 120º
c) 15
7,(7) 480 6 720º
Partea a II-a
1. a) 1325
; b) 925
. 2. a) 67
; b) 37
; c) 37
; 3. a) (A); b) (F); c) (A); d) (A).
© 2014
Săptămâna 14Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 44 436
4 L.U.L U.L.U
b) 200 2,5 6 U.L.U L.U.Lc) 20 2 20 L.U.L L.U.L
Partea a II-a1. a) 60 km; b) 5,4 cm;2. a) 45 zile; b) 26 zile; c) 10 zile;3. a) L.U.L; b) L.U.L; c) U.L.U; d) (L.L.L);
Săptămâna 15Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 14
0,(3)0; 0,(18);
0,1(8); 32
; 105
;
două un-ghiuri sunt
drepteAB = AC
b) 252
3,44 0; 102
două un-ghiuri sunt
opuse la vârf
AM este bisectoarea BAC
c) 18
90,5 Æ B º C B º C
Partea a II-a
1. b) 5
6;
175
33;
2 a) x Î {1; 2; 4; 8} b) x Î {0; 1; 3; 2; 22; 5; 45; 11; 91; 68; 137; 275}3. a) (F); b) (A); c) (A); d) 4 reciproce dintre care 2 false.
Săptămâna 16Partea I
1. a) 1
20
3
25
2
15< < ; b) n∈{ }7 8, ; c) 12738
127391< şi 456789
4567881> ⇒
⇒ cea mai mare este 456789
456788.
2. a) 3000; b) 2; c) 23
66.
3. a) n∈{ }2 3; ; b) F;
c) 1440
3240
4
9
4
9
4
94 9 13 24 13 55 2 3 4
= =
+ = < < ⇒ ∈{ } ⇒
; ;
, , ,
a
aa a a a a
Fracţiile sunt: 8
18
12
27
16
36; ; .
4. a) ∆ ≡ ∆OBA OCD; b) BA CD[ ] ≡ [ ]; c) C B≡ .5. (a, 3); (b, 4); (c,2).
Partea a II-a1. a) 3 3
33
11
33 3
| abc a b c
ab bc ca a b c a b cab bc ca
⇒ + +( )+ + =
+ +( ) = + +
⇒ + +
33∈.
b) S
S
= + + + +
= + + + + =+ +
7
501
14
501
21
501
1169
501
7 14 21 1169
501
7 1 2 3
...
... ++ +( )
= ⋅ ⋅⋅
= ⋅ = ⋅ =
...
.
167
501
7 167 168
2 501
7 84
37 28 196
84
3
28
S
© 2014
2. a) A
A
= + + + + = + + + +
= ⋅
⋅
0 1 0 2 0 3 2 91
10
2
10
3
10
29
1029 30
2
1
, , , ... , ...
110
29 15
10
435
10
87
2
1
0 2 3
1
0 3 4
1
1 9 20
12
103
13
= ⋅ = =
=⋅
+⋅
+ +⋅
=⋅
+B, ,
...,
1104
11910
20
10
2 3
10
3 4
10
19 2010
1
2
1
3
1
3
1
4
⋅+ +
⋅
=⋅
+⋅
+ +⋅
= ⋅ − + −
...
...B ++ + −
= ⋅ −
= ⋅ =
...
.
1
19
1
20
101
2
1
2010
9
20
9
2B
b) B X
AA B X X B A
X X
− = ⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ −
⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = −
1
2929 29 29 29
29 299
2
87
229
261 87
2⇒⇒ ⋅ = ⇒ =29
174
23X X .
3. b) ∆
∆[ ] ≡ [ ]
≡
[ ] ≡ [ ]
EAB
DAC
AB AC
A A
EA AD
1 2 (opuse la vârf) ⇒
LUL ∆ ≡ ∆ ⇒
⇒ [ ] ≡ [ ]EAB DAC
EB DC c)
∆
∆[ ] ≡ [ ][ ] ≡ [ ][ ] ≡ [ ]
EBC
DCB
EB DC
BC BC
EC BD
(se dă)
⇒ ∆ ≡ ∆LLL
EBC DCB
(demonstrat)
(sumă de segmente
congruente)
Săptămâna 17Partea I
1. a) 1
60; b) 998
3
500; c) n∈{ }1 2 4; ; .
2. a) 11
12; b) 2
5; c) 5.
3. a) x = 7; b) y = 9; c) 9
2.
4. a) concurente; 90º; b) o singură perpendiculară; c) 0.5. a) dreptunghic; b) ∆ ≡ ∆BDM CEM ; c)d dB AM C AM; ; .( ) = ( )
Partea a II-a1. a) 100 1 100 2 100 3 100 100 100 200 0−( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅ −( ) ⋅ ⋅ −( ) =... ... .
b) ab ba
a bab
a b
a bab ab
++
⋅ =
+( )+
⋅ = ⇒ ⋅ =
2
2
1452
111452 121 11452 12⇒ =ab .
2. 3
2 10 2 3
3
2 1
7
3090 14 7
90 14 7 2 45 7 3 5
a
b
a
ba b
a b a b+
= ( ) ⇒+
= ⇒ = + ⇒
− = ⇒ − = ⇒
,
: , 77 3 5 45
3 5
5 45
23
1007 2 23 8
b a
a x
a ax x
+ = ⇒
⇒+( )
+= ⇒ + = ⇒ =
,
,.
3. b) ∆
∆
[ ] ≡ [ ] ( )≡ °+
[ ] ≡ [ ] ( )
AMC
ANB
AM AN
MAC NAB
AB AC
ipoteza
ipoteza
(90complementar)
⇒LUL
A
B C
P
M N
⇒
∆ ≡ ∆ ⇒ [ ] ≡ [ ]AMC ANB MC NB
c) ∆
∆[ ] ≡ [ ]
≡
[ ] ≡ [ ]
MAB
NAC
AM AN
MAB NAC
AB AC
(ipoteză)
(diferenţă de ≡ ) ⇒ ∆ ≡ ∆LUL
MAB NAC
(ipoteză)
© 2014
d) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡
∆ ≡ ∆ ⇒ ≡
MAB NAC MBA NCA
AMC ANB ACM ABN
∆
∆≡
[ ] ≡ [ ]≡
MBC
NCB
MBC NCB
BC BC
MCB NBC
(sumă de ≡ ) ⇒ ∆ ≡ ∆
⇒ ≡
ULUMBC NCB
BMC CNB (diferenţă de ≡ )
Săptămâna 18Partea I
1. a) 1
3; b)
323
450; c) x = 1, 2.
2. a) 2
3; b) 400
11; c) A =
23
53
29
59; .
3. a) x y= =5 3127 254; ; b) z = 2381; c) x < z < y.
4. a) mediatoarea; b) la intersecţia mediatoarelor; c) P∆ =ABD 20cm .
5. a) centrul cercului înscris în triunghi; b) egal depărtat; c) 30º.Partea a II-a
1. a) 1
2
4
6
8
10
1994
1996
2000
5000
8
20
1
2
4
6
4
+ + + +
⋅ −
=
= +
...\
++ + +
⋅ −
= ≠8
10
1994
1996
2
5
2
50 1...
⇒ Propoziţia este falsă.
b)
9 5
3
2
15
5 9
113
2 1 2 3 20
15
44523
220 21
215
4
45
/ /
/
...x x
xx
−
−=
+ + + +( )
=⋅ ⋅
⇒ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒
⇒ =
3
2
20 21
15
2
1528
210
4 7
3
x
x .
2. a) x x x
y
= + ( ) ⋅ ⇒ = +
⋅ ⇒ =
= +
⋅
0 2 0 0 2 92
10
2
909 2
3
9
3
90
90
1
, ,
11
33
90
90
113⇒ = ⋅ ⇒ =y y .
b) xyz
z z z
9
23 9 5 9 4⇒ +( ) ⇒ = . z - cifră
3. a) m m
m m
AOB COA x
x
x AOB COA
( ) = ( ) =
+ ° = °
= ° ⇒ ( ) = ( ) = °
2 130 360
2 230 115 .
b) [OD - bisectoare ⇒ ( ) = °
( ) = ( ) + ( ) =
= ° + ° = °
m
m m m
BOD
AOD AOB BOD
65
115 65 180 ⇒ [OD şi [OA sunt opuse.
c) [OE bisectoarea AOB AOE EOB⇒ ( ) = ( ) = ° ′m m 57 30
m =180 m 180 57 30 =122 30DOE AOE ( ) ° − ( ) = ° − ° ′ ° ′ .
Săptămâna 19
Partea I
1. a) 8; b) 1
23; c) 5
2.
2. a) x = 7; b) y = 15
26; c) 182
15.
3. a) 1; b) x = 1
7; c)
11
a= .
4. i) a) BE DC[ ] ≡ [ ] ; b) ∆ ≡ ∆AME AND . ii) PA PB PC PD[ ] ≡ [ ] ≡ [ ] ≡ [ ]
© 2014
5. a) m BAC( ) = °150 ; b) 60º; c) 45º.
Partea a II-a1.x
x
x
x
+ =+ +
+ +⋅ ⇒ + =
⋅13
92799
12299
4510
9100
223
26071
18299
2607
45
11/
:55 10
10
100
32
23
118299
2607
5223
118299
2607
1583
⋅ + +
⇒
⇒ + =⋅
+⇒ + =
⋅x
x
x
x⇒⇒ + = ⋅ ⋅
⇒ + = ⇒ =
x
x
x
xx
1 182
99
3
1582607
191
1
90
91
33 79
79
.
2. a)
A
A
= −
⋅ −
⋅ −
⋅ ⋅ −
= −
21
32
2
32
3
32
10
3
21
3
...
⋅ −
⋅ −
⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ −
22
32
3
32
6
32
10
3... ... ⇒⇒
⇒ =
= −
⋅ +
⋅ −
⋅ +
⋅ ⋅
A
B
0
11
21
1
21
1
31
1
31
.
... −−
⋅ +
⋅ −
⋅ +
1
981
1
981
1
991
1
99
B
B
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
1
2
3
2
2
3
4
3
96
97
98
97
97
98
99
98
98
99
100
99
50
99
...
.
b) A
B= 0.
3. a) ∆ ≡ ∆ ⇒ [ ] ≡ [ ]MBC NCB BN CM
A
B C
M NP
)) ((
b) ∆ ≡ ∆ ⇒ ( ) ≡ ( )⇒ ∆ ⇒ [ ] ≡ [ ]
MBC NCB NBC MCB
PBC BP PC
m m
isoscel
c) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡APB APC BAP PAC
Săptămâna 20Partea I
1. a) 4
9; b) x = 5; c) 7.
2. a) 1
2
51
; b) 5
3; c) 155; 93; 62.
3. a) 72; b) n = 3
2, propoziţia este adevărată c) 6.
4. a) m B1 110( ) = °; b) m D1 130( ) = °; c) x = 80º.
5. a) m A2 75( ) = °; b) m C1 75( ) = °; c) m D2 75( ) = °.
Partea a II-a
1. a) F n
F
n n n n n n
n n n n n n= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅≥
=
+ +
+ + + +3 5 3 5 6 3 5
2 3 3 4 2 62
3
1 2
2 1 1 1 1,
nn n
n n
n
n
n
nn
⋅ + +( )⋅ + + ⋅( )
= ⋅⋅
= ≥−
5 3 5 6
2 3 2 3 4 3
5 34
2 17
5
22
2
2
2
2 2 1,
b) x = 2.
2. a) A
A A
B
= ⋅ + +
= + +( ) ⇒ = ⋅
= + + +
6 2 2 2
2 24 2 1 27 2
1 2 2
2002 2001 2000
2000 2000
2 .... .+ = −2 2 11999 2000
b) 81
1
81 27 2
23
2000
2000x
A
B xx=
+⇒ = ⋅ ⇒ = .
3. a) Se demonstrează că ∆ ≡ ∆MBN CBA şi ∆ ≡ ∆CQP CBA . b) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ( ) ⇒MBN CBA BMN BCA MN AC alterne interne .
c) ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ( ) ⇒CQP CBA QPC BAC PQ AB alterne interne .
© 2014
Săptămâna 21Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)13
6
17
28
43
20singură 20°
b)9
20,075
14
45suplementare 20°
c)1
141,2
55
36paralele 40°
Partea a II-a1. a) 12,5 + 5x = 45 − 3x (5p) 8x = 32,5 x = 4,0625
b) 53 4
5
10
236 0 4
1
92
53 4
5
1
− −
⋅ +
( )
⋅ =
− −
⋅
x
x
: ,
00
236 0 4 18
53 4
5
10
236 8
53 4
5
23
53 4
+
( ) =
− −
⋅ + =
− − =
−
: .
x
x
x ===
2
2x
(15p)
53 4
5
10
236 0 4
1
92
53 4
5
1
− −
⋅ +
( )
⋅ =
− −
⋅
x
x
: ,
00
236 0 4 18
53 4
5
10
236 8
53 4
5
23
53 4
+
( ) =
− −
⋅ + =
− − =
−
: .
x
x
x ===
2
2x
2. a) Suma dată de bunici reprezintă 1
6
3
4
1
8⋅ = din preţul taberei. (5p)
b) Fiul plăteşte:
3
4272 204
1
6204 34
272 204 34 34
⋅ =
⋅ =
− +( ) = lei.
(5p)
3. Realizarea figurii.
12
1
21
2
) )) )
) )
)A
B C
D
E
F
a) m m m
m m (alt. int.)
B B A
DE AB B D
1 2
1 1
( ) = ( ) = ( )⇒ ( ) = ( )
m m (coresp.)
A D
D D
( ) = ( )
⇒ ≡
2
1 2
(5p)
b) m m m
m m (alt. int.)
B B D
EF BD D E
1 2 1
1 1
( ) = ( ) = ( )⇒ ( ) = ( )
m m (coresp.)
B E
E E
2 2
1 2
( ) = ( )
⇒ ≡
(5p)
Sãptămâna 22Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) {0; 2; 4} −3 A 64° 62°
b) {−5; −3; 0; 2; 4} 3 A 32° 119°
c) 0 5 0 11
23 18, ; ; ; ,( )
F 94° 121°
© 2014
Partea a II-a1. Punctul egal depărtat de A(−2) şi B(4) este M(1). Simetricele lor faţă de origine sunt: A′(2), B′(−4) şi M′(−1).
− − − − − − − − −
−4 −2 0−1 1 2 4
B' A M' M A' B
2. a) i) 5 > 2; ii) 2006 = 2006; iii) 0 < 13; iv) |a| > 0; v) |−a| < |a + 1|, " a Î b) x Î {−6; −5; −4; −3; −2; 2; 3; 4; 5; 6}.3. Realizarea figurii. a) m(ACB) = 60° DE || BC ⇒ m(CDE) = m(DCB) = 30° (alterne interne) m(BDR) = 131°. b) m(BFD) = m(BCA) = 60° (corespondente) ⇒ DF || AC.
Săptămâna 23Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) −5 −23; −5; −4; 0; 2; 7; 10; 16 {−1; 1; 2} exteriorul 6
b) mic 16; 3; 1; 0; −2; −3; −5; −10 {−1; 0; 1} 5 12
c) falsă 21 9 0,5 4,8
Partea a II-a1. Pentru a < 0 avem: | | ; | |a a a a− = − − = −3 3 2 2 (6p) 3 2 2 5− + − + =a a a . (4p)2. a) Reprezentarea corectă a punctelor. (5p)
b) AABC =5 4
210
⋅ = u2. (4p)
c) Reprezentarea grafică a simetricelor. (2p) Simetricul lui A faţă de C are coordonatele (7, −3). (2p) Simetricul lui B faţă de axa ordonatelor are coordonatele (−1, −2) (2p)
3. a) Transcrierea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) Triunghiul MNC este dreptunghic isoscel, deci m(MNC) = 45°. (5p)
c) AABC = BM NC⋅ =2
25
2 cm2 . (5p)
d) Aria noului triunghi devine egală cu 12 cm2, deci se micşorează. (5p)
Săptămâna 24Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) −22 10 −14 50° 4
b) 3996 −1 −1 70° 4
c) 10 0 0 105° 7
Partea a II-a
1. a = ⋅ =12 13
278; (4p); b = + + + =1 1 1 26...
de 26 ori (4p); a > b. (2p)
2. a) A = {4; −2}; (2p) B = {−2; −1; 0; 1; 2}; (2p) C = {1; 2; 3}; (2p) A È B = {−2; −1; 0; 1; 2; 4}; (2p) B Ç C = {1; 2}. (2p) b) A È B È C = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; (2p) − 2 + (− 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7. (3p) AB AC
AC AB
BAB CAC
BAB CACBB CC
BAB
LUL=′ = ′
′ ≡ ′
⇒ ′ ≡ ′ ⇒
′ = ′′ ≡
AACC′
3. a) (8p)
© 2014
b) BB CC BG CG
AB AC
AG AG
ABG ACG BAG CAGLLL
′ = ′ ⇒ ===
⇒ ≡ ⇒ ≡ . (7p)
A
B C
G
C' B'
Săptămâna 25Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 0 −12 18 mediatoarea
b) 14 −9 102 două 5
c) −6 49 −84 o infinitate 3
Partea a II-a1. a) [− (9 − 4) − 8] − 9 + 10 = −13 − 9 + 10 = −12 (5p) b) − − − − = −1 1 1 1003
1003
... (5p)
2. a) |x − 1| = 2 Þ x − 1 = 2 Þ x = 3 (2p) sau x − 1 = −2 x = −1 (2p) A = {−1; 3} (1p) |x − 1| − 1 = 2 |x − 1| = 3 Þ x = 4 sau x = −2 (2p) |x − 1| − 1 = −2 |x − 1| = −1 (F) (2p) B = {−2; 4} (1p) b) A Ç B = Æ. (5p)3. a) OM ^ AB şi AC ^ AB OM êê AC (2p) ON ^ AC şi AB ^ AC ON êê AB (2p)
Þ m(MON) = m(BAC) = 90° (1p) b) AB mediatoarea (OM) (AM) º (AO) (2p)
A
B
C
M
N
O MAB º BAO (2p) AC mediatoarea (ON) (AO) º (AN) (2p) OAC º CAN (2p) (AM) º (AN) (1p) m(MAN) = 2 · 90° = 180° punctele M, A şi N sunt coliniare. (1p)
c) G centrul de greutate al DABC OG
AO= 1
3 (2p)
G′ centrul de greutate al DMON AG
AO
′= 1
3 (2p)
AG′ = G′G = GO. (1p)
Săptămâna 261. a) 22; b) +120; c) 320; d) –81; e) –120; f) 0.2. a) –56; b) –120.3. a) 12; b) 30; c) 1.4. Cazul I: m(<A) = 70º m(<B) = m(<C) = 55º; Cazul II: m(<B) = m(<C) = 70º m(<A) = 40º.5. ∆ABC isoscel, AD ^ BC [BD] º [DC] (1) A
B C
MN
D
∆ABC isoscel <B º <C (2) m(<BND) = m(<CMD) = 90º m(<BDN) = = m(<CDM) (3) Din (1), (2) şi (3) ∆BDN º ∆CDM (U.L.U.) [BN] º [CM] [AN] º [AM] ∆AMN isoscel.6. a) [AM] º [AN] ∆ANM isoscel
−
−−
−−
−)) A
B C
M N b) BN = AN + AB}[BN] º [MC] MC = AM + AC ∆MAB º ∆NAC (L.U.L.) [MB] º [NC] ∆ABC isoscel m(<ABC) = m(<ACB) } ∆AMN isoscel m(<AMN) = m(<ANM) <BAC º <NAM (opuse la vârf) <NMC º <MCB (alterne interne) MN êê BC.
© 2014
Săptămâna 271. a) –4; b) 9; c) –4; d) –9; e) –1; f) 0; g) 16; h) 6; i) 12; j) 25; k) –28; l) 52.2. a) 0; b) 0; c) 1; d) –10; e) –146.3. a) –71; b) 28; c) –15; d) –559; e) 362; f) 714;4. a) [BM bisectoare <ABM º <MBC
)
A
B C
M
))
m(<MAB) = m(<ABM) = 36° ∆MAB isoscel b) m(<C) = 72°; m(<MBC) = 36° m(<BMC) = 72° BM = BC ∆BMC isoscel.
5. a) AM ^ BQ şi [BM] º [MQ]
)))))) )
−
−
)−)−
A
B C
QR
MN ⇒ ∆ABQ isoscel b) AN ^ RC şi [NC] º [NR] ⇒ ∆ACR isoscel c) ∆AMQ º ∆ANR (I.U.)6. a) P∆ABC = AB + BC + AC = 32 cm. b) ∆ABC isoscel m(<B) = m(<C) = 50° m(<A) = 80°. c) ∆ACD º ∆ABD (L.U.L.) AD ^ BC A
B CD
E
d) A ABCAD BC= ⋅ =
248 cm2
e) D mijlocul [BC]; DE êê AB
⇒ DE linie mijlocie
⇒ DEAB= =2
5 cm P∆DEC = 6 + 5 + 5 = 16 cm.
Săptămâna 281. a) –9; b) 8; c) 16; d) –1; e) 0; f) 1; g) –16; h) 25; i) 1; j) –125; k) –324; l) 169; m) –23; n) 7; o) 27; p) 1.
2. a) 35; b) (–4)6; c) (–2)15; d) (–5)10; e) –2007; f) (–11)2 = 121.3. a) 510 > 220 pentru că 220 = (22)10 = 410; b) –16 < 16; c) (23)4 < (32)4 84 < 94; d) –9 < –8.4. ∆ABC echilateral A
B CM
NP
[AM bisectoarea <A <CAM º <MAB [BN bisectoarea <B <CBN º <ABN [CP bisectoarea <C <ACP º <BCP ∆CAM º ∆BAM º ∆ABN º ∆CBN º º ∆BCP º ∆ACP (U.L.U.)
[MB] º [MC] º [CN] º [NA] º [AP] º [PB].5. a) [BP bisectoarea <B <ABP º <CBP A
B CN
P
))
∆ABP º ∆CBP (L.U.L.) BP ^ AC ⇒ P mijlocul lui [AC] b) P mijlocul lui [AC], PN êê AB ⇒ PN linie mijlocie N mijlocul lui [BC]
⇒ PNAB
NCBC
PCAC= = = ⇒
2 2 2, ,
∆PNC echilateral;
c) PNAB BC
PN BN NC= = ⇒ ≡ ≡2 2
[ ] [ ] [ ].
6. a) AM
AB
AN
ACMN BC
BM
AB
BM
AB
BP
BCMP AC
= = ⇒
= ⇒ = = ⇒
3
4
3
41
4
1
4
; ;
;
A
B C
N
P
M
b)
c) ∆ABC echilateral m(<A) = 60° şi [AM] º [AN] ∆AMN echilateral; d) m(<B) = 60° şi [BM] º [BP] ∆BMP echilateral.
Săptămâna 291. a) 1; b) –1; c) –48; d) –97; e) –1; f) –8; g) 9; h) 41; i) –1. j) 2; k) 0; l) 0.
© 2014
2. a) 65; b) 33; c) 33.3. a) –8; b) –1.4. a) ∆ABC echilateral }AM ^ BC M mijlocul [BC]
A
B CM
N PO
− − (( b) ∆ABC echilateral }CP ^ AB [CP bisectoare
AM ^ BC }∆OBC isoscel [OB] º [OC] (1) M mijlocul [BC] BN ^ AC }∆OAC isoscel [AO] º [OC] (2) N mijlocul [AC] CP ^ AB }∆AOB isoscel [AO] º [OB] (3) P mijlocul [AB] c) Din (1), (2) şi (3) [AO] º [OB] º [OC] (4) ∆ABC echilateral ∆ONC º ∆OMC º ∆BOM º ∆BOP º ∆POA º ∆AON [OM] º [ON] º [OP]
d) NM linie mijlocie NMAB=2
.
MP linie mijlocie PMAC=2
.
PN linie mijlocie PNBC=2
.
[MN] º [MP] º [PN] ∆MNP echilateral.5. BD = 4 BC = 8 cm P∆ABC = 3BC = 24 cm.6. ∆ABC echilateral
A
B CM
N a) AM ^ BC [MC] º [MB]} [NC] º [MC]} N mijlocul [AC] m(<C) = 60º ∆NMC echilateral. b) [MN] º [NC] }[MN] º [AN] ∆AMN isoscel Dar [NC] º [NA] c) M mijlocul [BC]}MN linie mijlocie MN êê AB. N mijlocul [AC]
Săptămâna 301. a) 6; b) 10; c) 1; d) 0.2. x = –33; y = 3; x : y = –11; x · y = –99.3. a) x = –100 : (–4) = 25; b) 10ax + 3bx – 4xc = (–8) · 25 = –200.
4. a b c d a b c d
a
b
2 3 4 6 2 3 4 6
360
1524
2 24 48
3 24
= = = = + + ++ + +
= ° = °
= ⋅ ° = °
= ⋅ ° =
772
4 24 96
6 24 144
°
= ⋅ ° = °
= ⋅ ° = °
c
d
5. P∆ABD = 24 cm BD = 8 cm } PABCD = 8 · 2 + 10 · 2 = 36 cm P∆BCD = 28 cm BC = 10 cm
6. m(<B) = 56°; m(<A) = 56 106
2
+ = 81°
m(<D) = 360° – (56 + 106 + 81) m(<D) = 117°.
Săptămâna 31Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) −1 −2 1 echilateral 80
b) –2 1 0 egale 125º
c) –2; –1 –2007 \ {3} 90º 26º14′30′′
Partea a II-a1. a) (F); b) (A);
2. a) –3; b) Æ; c) x
y
z
− − − −− − − −
8 4 4 2 1
1 2 1 1 2
1 1 2 4 4
.
3. a) 15º; b) 30º, 75º, 75º; c) 15º; d) 16 cm.
© 2014
Săptămâna 32Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 1 Æ paralelogram 45º 8
b) –41 x = 0 sau y = 0 42u2 135º isoscel
c) 7 x = 0 şi y = 0 7u 4 cm2 echilateral
Partea a II-a1. a) –4 şi –12; b) 1338 şi 3345. 2. a) –2; b) –2007; c) –4; –2 şi 0.3. a) 72 cm; b) DMA º EFA (corespondente); suma bazelor este
24 cm. c) MCD º CMF pentru că sunt dreptunghice cu o catetă 8 cm şi ipotenuza de 16 cm (I.C); d) Dacă AAMD = s, avem AEAF = 9s, AEBF = 3s, AABCD = 4s.
Săptămâna 33Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 115300 5,(1) 5 60º romb
b) 99 5 6 32 cm 60 cm2
c) 540 9 2007 120º 0,5
Partea a II-a1. a) 14; b) 59. 2. a) Suma celor două numere va fi divizibilă cu 13 şi se obţine 110(b + c) 13; b) Dacă a = d atunci 10bc 13. Dacă bc 13 b + c ≠ 13; c) Dacă 1 ≤ a ≤ 9 atunci 2 ≤ d ≤ 8; 16 ≤ a + b + c + d ≤ 30.3. a) m(A) = 135º, m(B) = 45º ; c) 135º; d) 112º30′.
Săptămâna 34Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 1 1 sau –1 20 59º 45º
b) 0 y < 0 12 isoscel 90º
c) 11 · 101 –4 20 120º 112º30′
Partea a II-a1. a) 4214; b) 0.
2. a) x Ï ; b) –4 sau –5; c) a
b
5 25 1
1 1 9
− −− −
.
3. a) ∆ABP º ∆BCM º ∆ACN (L.U.L); b) Fie H – ortocentrul triunghiului ABC. Avem ∆HBM º ∆HCN º ∆HAP (L.U.L);
Săptămâna 35Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 12 40 0,05 30º 2,5
b) 18 120 1,6 25 2,5
c) 150 4500 10 1,5 7,5
Partea a II-a1. a) 10; b) 511.2. a) 371000;
b) a b a a a b a b− = − ≥ ≤ − + + = =2 20 0 0 0, , , ;
c) x = 7.3. a) m(B) = m(C) = 72º; b) 108º; c) 108º; d) FAB º ABE (alt. int.) şi AFB º EBC (corespondente)
© 2014
Săptămâna 36Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 1,(7) 8 0, –2, 3 90º 135º
b) 5 0 –3 12 cm 21,6
c) –2008 ±5 Æ 1,5 la intersecţia diagonalelor
Partea a II-a1. a) 6n · 10 Î M10; b) 20.2. a) 62,5; b) 7; c) 13.3. a) 30 cm; b) 96 cm2; c) 29 cm; d) 34 cm.