APLICAŢII NUMERICE

Ce egalitate remarcabilă se poatededuce din figura de mai jos?

1

Ce egalitate remarcabilă se poatededuce din figura de mai jos?

2

Ce egalitate remarcabilă se poatededuce din figura de mai jos?

3

Utilizate cu abilitate de cei care le cunosc, egalităţile remarcabile învăţate în gimnaziu oferă posibilitatea efectuării în minte, rapid, a unor calcule care la prima vedere păreau că necesită îndelungi calcule scrise sau cu calculatorul de buzunar.

a(b+c)=ab+ac

(a+b)2= a2+2ab+b2

(a–b)2= a2–2ab+b2

(a+b)(a–b)=a2–b2

Utilizaţi egalităţile amintitepentru a calcula:

1

Indicaţii

Soluţii

322–282

12,52–12,42

652 –162

7292–2 729 724+7242

0,152+2 0,15 0,85+0,852

Indicaţii

322–282=(32–28)(32+28)

12,52–12,42=(12,5–12,4)(12,5+12,4)

652–162= (65–16)(65+16)

7292–2 729 724+7242=(729–724)2

0,152+20,15 0,85+0,852 = (0,15+0,85)2

Soluţii

322–282=(32–28)(32+28) =460 = 240

12,52–12,42=(12,5–12,4)(12,5+12,4)

=0,124,9=2,49

652–162= (65–16)(65+16)

= 8149=97=63

7292–2729724+7242=(729–724)2

=52=25

0,152+2 0,15 0,85+0,852= (0,15+0,85)2

= 12=1

Utilizaţi egalităţile amintite şi:

2

Indicaţii

Soluţii

• Descompuneţi în factori primi numărul 391.

• Arătaţi că numărul a=224–223–222 este pătrat perfect.

• Demonstraţi că b=257+513 se divide cu 30.

• Scrieţi numărul 47 ca o diferenţă de pătrate.

Indicaţii

• 391=400–9

• a=224–223–222=222(22–21–20)

• b=257+513=(52)7+513

• 47=471

Soluţii

• 391=400–9

=202–32=(20–3)(20+3)=17 23

• a=224–223–222=222(22–21–20)

= 222(4–2–1)=222=(211)2=este p. p.

• b=257+513=(52)7+513

=514+513=513(5+1)=513 6=512 30

• 47=1 47=(24–23)(24+23)=242–232

Calculaţi lungimile de laturinotate cu litere, din figurile:

3

Soluţii

x2= 372–122=(37–12)(37+12)=2549=(5 7)2

x=35

y2= 852–842=(85–84)(85+84)=1169=132

y=13

Demonstraţi egalităţilede mai jos:

4

15,5 – 12,5 5

21,5 – 6,5 5

123456789 – 123456788 123456790 = 1

Soluţii

15,5 – 12,5 3 28 5

21,5 – 6,5 15 28 5

Notăm x = 123456789 şi obţinem:

123456788 = x–1

123456790 = x+1

x2 – (x–1)(x+1) = x2– (x2–1) = x2–x2+1 = 1

„Am atârnat de undiţă cârlig MINCIUNA,şi am înfipt ADEVĂRUL drept momeală”

W. Shakespeare

„Raţionamentele” următoare ne conduc la concluzii absurde.

Cercetaţi şi încercaţi să găsiţi

greşelile strecurate.

„Demonstraţia” următoare arată că 2=35

Dacă două numere au acelaşi pătrat, atunci ele sunt sau egale, sau opuse.

„Demonstraţia” următoare arată căorice număr este egal cu dublul lui.

6

• Avem egalitatea: a2–b2 = (a–b)(a+b)

• Înlocuim pe b cu a: a2–a2 = (a–a)(a+a)

• Scoatem a factor comun: a(a–a) = (a–a)(a+a)

• Simplificăm prin a–a: a = a+a

• Obţinem: a = 2a

Este indian de origine şi mai are nouă fraţi. Dacă se desparte de ei, nu-i face pielea o para. Dacă se alătură la dreapta oricărui frate, îi sporeşte munca de zece ori.

Total fără „putere” în adunare şi „atotputernic” în înmulţire, zero nu poate fi împărţitor, împărţirea cu zero este interzisă.