Post on 06-Dec-2015
description
49
2.3. DERIVABILITATE (RECAPITULARE)
Definiţia 1: Fie [ ] R→baf ,: continuă şi fie ( )bax ,0 ∈ . Spunem că f este
derivabilă în punctul def
x ⇔0 există, este unică şi finită limita :
( ) ( ) ( )0
00
'
0
limxx
xfxfxfxx
notatie
−−
=====→
(1).
Limita poartă numele de derivată a funcţiei f în punctul 0x şi are notaţia
( )0' xf sau ( )0x
dxdf .
Interpretare geometrică: Reprezentând grafic funcţia ( )xff = pe [ ]ba, , în sistemul cartezian xOy, atunci avem:
( ) ( )( ) ( )
ACBAOAOBxxxOAxOB
BCAABBxfxfAAxfBBxf
==−=−==
=−=−==
''''';'
''';'
0
0
0
0
Atunci raportul: ( ) ( ) ( )xtg
ACBC
xxxfxf
α==−−
0
0 (2)
Trecând la limită relaţiile (1)+(2) avem:
0x x
y
x
A
B
C
A’ B’
α Xα
50
( ) ( ) ( ) ( ) αα tgtgACBC
xxxfxfxf xxxxxxx
===−−
=→→→ 000
limlimlim0
00
' , unde α este unghiul
format de sensul pozitiv al axei Ox (dreapta AC) cu tangenta la grafic în punctul ( )00 , yxA . Concluzie: Derivata unei funcţii f în punctul 0x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul ( )( )00 , xfx , adică ( ) αtgxf =0
' . Observaţii:
1. ( ) αtgxf =0'
2. Cum limita (1) trebuie să fie unică, atunci trebuie să avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0
0
0
0
00
'
00
000
limlimlimxx
xfxfxx
xfxfxx
xfxfxfxxxx
xxxxxx −
−=
−−
=−−
=>→
<→→
(4).
Dar ( ) ( ) ( )0
00
'
00
limxx
xfxfxfxxxxs −
−=
<→
reprezintă panta tangentei la stânga
lui Error! Bookmark not defined. 0x , iar
( ) ( ) ( )0
00
'
00
limxx
xfxfxfxxxxd −
−=
>→
reprezintă panta tangentei la dreapta lui
Error! Bookmark not defined. 0x . Din relaţia (4) rezultă relaţia ( ) ( )0
'0
' xfxf ds = (5), care este importantă pentru înţelegerea noţiunii de derivată. 3. Dreapta sub formă explicită baxy += are panta αtga = .
x
y
y=ax+b
O
α
51
Dreapta sub formă generală 0=++ cbyax adusă la forma canonică
0, ≠−−= bbcx
bay are panta
batg −=α .
4. Pentru ca tangenta la graficul funcţiei ( )xfy = în punctul 0x să aibă panta m dată trebuie ca să fie îndeplinită condiţia: ( ) mxf =' (6).
5. Fiind dată o dreaptă sub forma baxy += şi o funcţie f pentru care se cere să se determine un punct 0x astfel ca tangenta la grafic să fie paralelă cu dreapta, trebuie pusă condiţia: ( ) axf =' (7).
6. Orice funcţie care este derivabilă în 0x este şi continuă în 0x . Reciproca nu este totdeauna adevărată, adică există funcţii care sunt continue în 0x şi care nu sunt derivabile în 0x .
Exemplu: Funcţia ( ) xxf = cu RR →:f este evident continuă în 00 =x , dar nu este derivabilă pentru că:
( )
<−≥
=0,
0,xx
xxxf , atunci ( )
<−≥
=0,1
0,1'
xx
xf şi ( ) ( ) 1010 '' =≠−= ds ff .
7. Pentru ca funcţiile ( )xfy 11 = şi ( )xfy 22 = să fie tangente în 0x ,
trebuie ca graficele celor două funcţii să treacă prin acelaşi punct ( )00 , yxA şi să aibă tangentele egale, adică să satisfacă condiţiile:
Error! Bookmark not defined.( ) ( )( ) ( )
=
=
0'20
'1
0201
xyxy
xyxy
(8)
x
y
O
),( 00 yxA
)(11 xfy =
)(22 xfy =
52
8. Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei ( )xfy = în punctul 0x este
( ) ( ) ( )( )00'
0: xxxfxfyT −=− (9). 9. Ecuaţia normalei la graficul funcţiei ( )xfy = în punctul 0x este
( ) ( ) ( ) ( )00
'0
1: xxxf
xfyN −−=− (10).
Panta tangentei este ( )0
' xfm = . Panta normalei este ( ) mxf
m 11
0'
' −=−= .
Aceste două pante sunt legate de relaţia 01' =+⋅mm , care reprezintă condiţia de ortogonalitate a tangentei şi a normalei.
Definiţia 2: Fie [ ] R→baf ,: ; ( )bax ,0 ∈ este un punct de maxim local pentru funcţia f dacă ( ) ( )0xfxf ≤ pentru ( ) x∀ în vecinătatea punctului 0x (
0xx V∈ ). Definiţia 3: Punctul 0x este punct de minim local pentru funcţia f dacă ( ) ( )0xfxf ≥ pentru ( )
0xx V∈∀ .
x
y
O
y=f(x)
(T)
(N)
53
10. Teorema Fermat: Dacă [ ] R→baf ,: este derivabilă în ( )bax ,0 ∈ şi dacă 0x este punct de extrem, atunci ( ) 00
' =xf . Reciproca acestei teoreme nu este totdeauna adevărată, adică dacă
( ) 00' 0 xxf ≠>= este punct de extrem.
Contraexemplu: Funcţia RR →:f cu ( ) 3xxf = are ( ) 00' =f , dar punctul 00 =x nu este punct de extrem.
Definiţia 4: Pentru o funcţie ( )xfy = , un punct 0x care are ( ) 00
' =xf spunem că este punct staţionar. Determinarea punctelor de extrem (faţă de cele staţionare) se face cu ajutorul semnului derivatei. a)
x 0x f’(x) + 0 - f(x)
Max 0x este punct de maxim
b)
x 0x f’(x) - 0 + f(x)
Min
3xy =
54
0x este punct de minim
c) x 0x
f’(x) - 0 - f(x)
staţionar 0x este punct staţionar d)
x 0x f’(x) + 0 + f(x)
staţionar
0x este punct staţionar
11. Dacă 0x este punct de maxim (minim) şi maximul (minimul) funcţiei f în 0x este a , atunci avem condiţiile:
( )( )
==
axfxf
0
0' 0
(12).
Definiţia 5: Funcţia [ ] R→baf ,: continuă este derivabilă pe ( )ba, dacă este derivabilă în fiecare punct ( )bax ,0 ∈ , adică în ( ) ( )bax ,0 ∈∀ , avem
îndeplinite condiţiile: ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( )
=
==
0'
0'
000
xfxfbxfxfxfa
ds
ds (13).
Definiţia 6: Funcţia [ ] R→baf ,: este de clasă n ( [ ]
nbaCf ,∈ ) dacă este continuă,
are derivate de orice ordin până la ordinul n inclusiv şi fiecare derivată este continuă. Definiţia 7:
55
Funcţia [ ] R→baf ,: este indefinit derivabilă (nedefinit derivabilă) dacă este continuă, are derivată de ordin n continuă pentru ( ) *N∈∀ n .
12. Funcţiile elementare sunt funcţii indefinit derivabile. Teoremele analizei matematice Teorema Fermat: Fie [ ] R→baf ,: o funcţie derivabilă şi ( )bax ,0 ∈ punct de extrem pentru funcţia f , atunci ( ) 00
' =xf (sau altfel spus, în orice punct de extrem derivata se anulează). Teorema Rolle: Fie [ ] R→baf ,: . Dacă:
a) f este continuă pe [ ]ba, b) f este derivabilă pe ( )ba, c) ( ) ( )bfaf =
Atunci ( ) ( )bac ,∈∃ astfel încât ( ) 0' =cf . 13. Teorema lui Rolle spune că dacă f este continuă, derivabilă şi
( ) ( )bfaf = , atunci ( ) ( )bac ,∈∃ pentru care panta tangentei este zero sau punctul c este punct de extrem.
14. Consecinţa teoremei lui Rolle: Dacă funcţia f este un polinom de grad n , ( ) ( )xPxf n= şi dacă 1x şi 2x sunt două rădăcini consecutive ale ecuaţiei ( ) 0=xPn , atunci [ ] [ ]21 ,, xxba ≡ şi aplicăm teorema lui Rolle pentru că ( ) ( )xPxf n= este funcţie elementară (continuă şi derivabilă) şi ( ) ( ) ( ) ( ) 02121 ==== xPxPxfxf nn . Deci rezultă că există ( )21 , xxc∈ astfel ca ( ) ( ) 0'' == cPcf n . Altfel spus, această consecinţă afirmă că între două rădăcini consecutive ale funcţiei polinomiale există cel puţin o rădăcină a derivatei (una, trei, ... rădăcini ale derivatei – vezi figurile a, b)
x
y
O 1x c 1x 2x 1c 2c
2x 3c
y
x
56
15. Reciproca consecinţei: Între două rădăcini consecutive ale dervatei unei funcţii polinomiale există cel mult o rădăcină a funcţiei. Fie 1c şi 2c două rădăcini consecutive ale ecuaţiei ( ) 0' =xf . Dacă ( ) ( ) 021 <⋅ cfcf , atunci există ( )210 ,ccx ∈ astfel încât:
( ) 00 =xf (14). Dacă ( ) ( ) 021 >⋅ cfcf , atunci între cele două rădăcini ale derivatei nu există nici o rădăcină a funcţiei sau are un număr par de rădăcini. Teorema Lagrange: Fie [ ] R→baf ,: . Dacă:
a) f este continuă pe [ ]ba, b) f este derivabilă pe ( )ba,
atunci ( ) ( )bac ,∈∃ astfel încât ( ) ( ) ( )cfab
afbf '=−− (15).
Consecinţele teoremei Lagrange: În condiţiile prezentate la teorema Lagrange avem:
)1C Dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀> , atunci f este crescătoare ( ) ( ) ( )( )2121 avem xfxfbxxa <<<<∀ .
x
y
O 1c 2c
(c) (d)
1c
2c x
57
)2C Dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀< , atunci f este descrescătoare ( ) ( ) ( )( )2121 avem xfxfbxxa ><<<∀ . )3C Dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀= , atunci ( ) cxf = (constantă) ⇔ Dacă o
funcţie are derivata nulă pe un interval, atunci ea este constantă. )4C Dacă ( ) ( ) ( ) ( )baxxgxf ,'' ∈∀= , atunci ( ) ( ) cxgxf += (Dacă două
funcţii au derivatele egale pe un interval, atunci ele diferă printr-o constantă). Tipuri importante de probleme: Tip 1 Să se calculeze derivata funcţiilor folosind tabelul de derivare a funcţiilor simple şi compuse. Tema 3.1. Funcţii algebrice:
1. 324 34 −+−= xxxy
2. 335
32
23 −+⋅−⋅= xxxy
3. 42 5,031
41 xxxy −+−=
4. axy
25−=
5. 22
4
babaxy
+
+=
6. 3 44 xxy ⋅=
7. 43 2 xxb
xay
⋅−= , x>0.
8. 2dxc
bxay++
=
Funcţii trigonometrice:
9. xxy cos3sin5 += 10. xctgxtgy −=
58
11. xxxxy
cossincossin
−+
= , 0cossin ≠− xx
12. xarcctgxarctgy += 13. xctgxy = 14. xxy arccosarcsin +=
Funcţii exponenţiale şi logaritmice:
15. xexy += 7 16. ( ) xexy 1−=
17. 2x
eyx
=
18. xey x cos⋅= 19. xarcctgxarctgxy −= 20. xxy arccosarcsin ⋅= 21. xey x arcsin⋅=
22. x
xyln
2
= , 1≠x
23. 3
ln3
3 xxxy −⋅=
24. xaxxy aa loglnlogln ⋅−⋅= , x>0 25. xxy arcsin2 ⋅= 26. xxy arccos=
Funcţii compuse:
27. ( )112531 xxy ++= 28. 2
5 xey −⋅= 29. xy arcsin1+=
30. 2
51x
y =
31.
=
2
1arcsinx
y , 0≠x
32. xxy 22 10⋅= 33. ( )xy arccos= , x>0 34. ( )xxy 2sin=
59
35.
=
xarctgy 1
36. xey arccos=
37. xxarcctgy
−+
=11
38. ( )72ln += xy 39. ( )21ln xy −= 40. ( )xxy x arccos4sin53ln −+= 41. ( ) ( )xarctgxarctgy lnln −=
42. m
n
n
bxabxay
−+
=
43. ( )xxey x 3cos3sin3101
−= −
44.
= xctg
y1
3 45. 2xn axy −⋅= 46. ( )cbxaxy ++= 2ln 47. xaxy coscos ⋅= 48. ( )22ln xaxy ++= 49. ( )22ln xaxaxy +++=
50. xaxxaxy
−+
++=
22
22
ln
Tip 2. Calculul derivatelor de ordin superior al funcţiilor A) Calculul derivatelor de ordin superior al funcţiilor elementare
60
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )xxf
xxfaxfexf
baxxfbax
xf
baxxf
xxf
x
x
αα
α
α
α
α
α
α
cossin
ln
1,
,
8
7
6
5
4
3
2
1
===
=
+=+
=
∈+=
∈=
R
R
Observaţii: Pentru a determina derivata de ordin n a funcţiei f , se calculează
'""' ,, fff , apoi se „ghiceşte” derivata de ordinul n şi în final se demonstrează prin inducţie. Procedând astfel se obţine:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) nn
nn
xnnn
xnn
n
nnnn
n
nnn
nnn
nn
nxxf
nxxf
aaxf
exfbax
anxfaxf
baxanxf
baxanxf
xnxf
απα
απα
α
α
ααα
ααα
α
α
α
α
⋅
⋅+=
⋅
⋅+=
⋅⋅=
⋅=
+⋅−−
=⋅=
+⋅⋅−
=
+⋅⋅+−−=
⋅+−−=
−−
+
−
−
2cos
2sin
ln
!11
!1
11
11
)(8
)(7
)(6
)(5
1)1(
3)(
4
1)(
3
)(2
)(1
Tema 3.2. Să se calculeze ( )xy n)( pentru funcţiile:
1. xy sin= 2. ( )xy 2cos=
61
3. xey 3−= 4. ( )xy += 1ln
5. 1
1+
=x
y
6. x
xy−+
=1
1
7. xy 2sin= 8. ( )32ln += xy
9. 6116
123 +++
=xxx
y
B) Calculul derivatelor de ordin superior al produsului a două funcţii elementare
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xgxfC
xgxfCxgxfCxgxfC
xgxfCxgxfCxgxf
nnn
kknkn
nn
nn
nn
n
k
kknkn
n
)()0(
)()()2()2(2')1(1
)0()(0
0
)()()(
⋅⋅++
+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅=⋅⋅=⋅
−−−
=
−∑
reprezintă forumula lui Leibnitz de derivare a produsului. Remarcă: ( ) ( )xfxf =)0( Tema 3.3. Să se calculeze )(ny pentru funcţiile:
1. xexy 22 ⋅= 2. xexy ⋅= 3. xexy 33 −⋅= 4. ( ) xxy cos1 2−=
5. xxy +
=1 , 0>x
6. xxy ln3 ⋅= , 0>x Exemplu: Fie ( ) xexxF 22= . Se cere ?)( =nF
62
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(2)0(2'"2)3(23"2)2(22
'2)1(21)0(2)(20
0
)(2)(2)(22)(
nxnn
nxn
nxn
nxn
nxn
n
k
kknxkn
nxn
xeCxeCxeC
xeCxeCxeCxexF
⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅=
−−
−
=
−∑
Considerăm pe post de funcţie ( ) xexf 2= , care are ( )( ) xkk exf 2)( 2 ⋅= , iar pe post de funcţie ( ) 2xxg = . Atunci: ( )( )( )( )( )( )( )( ) 3,0
2"2
)(
'
2)0(
≥=
==
=
kxg
xgxxg
xxg
k
Înlocuind obţinem: ( ) =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −− 22222 222211220)( xn
nxn
nxn
nn eCxeCxeCxF
( )[ ]1442 222 −++⋅= − nnnxxe xn Tip 3. Calculul derivatelor funcţiilor ( ) ( )xvxu Din tabelul de derivare a funcţiilor compuse avem:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )**ln
*''
'1'
xuaaa
xuxuxuxuxu ⋅⋅=
⋅⋅= −αα α
Derivata funcţiei ( ) ( )xvxu se poate obţine după schema următoare:
( ) ( ) ( ) '1'(*)
(**)
'
|
'
|
' ln uuvuvuuuu vvctv
vctu
vv ⋅⋅+⋅⋅==+= −==
Tema 3.4. Să se calculeze )(ny pentru funcţiile:
1. xxy =
2. 2xxy =
3. x xy = 4. xxy = 5. xxxy = 6. xxy sin= 7. ( ) xxy sincos= 8. ( )xxarctgy =
63
Tip 4. Formula lui Taylor Fie [ ]
1,+∈ nbaCf (este de clasă n+1 dacă funcţia este continuă şi are
derivate până la ordinul n+1 toate continue) cu [ ] R→baf ,: şi fie ( )bax ,0 ∈ , atunci există ( )xx ,0∈ζ astfel încât să avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn
n
Rxxn
xfxxxfxxxfxfxf +−++−⋅+−⋅+= 00
)(2
00
00
'
0 !!2"
!1 (16)
unde
( )( ) ( ) ( ) 1
01
0
)1(
!1++
+
−⋅=−⋅+
= nnn
n xxkxxn
fR ξ (17)
reprezintă restul Lagrange, cu ( )( )!1
)1(
+=
+
nfk
n ξ constantă.
Observaţie: Dacă ∞→n , atunci 0→nR . Caz particular: Pentru 00 =x , atunci formula lui Taylor se mai numeşte şi formula lui Mac Laurin, care devine
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
nn
Rxn
fxfxffxf +++++=!0
!20
!100 2
"'
(18),
cu ( )( )
1)1(
1
!1+
++
+=⋅= n
nn
n xn
fxkR ξ şi ( )x,0∈ξ .
Observaţii:
1. Formula lui Taylor (Mac Laurin) este foarte utilizată la calculul limitelor de funcţii şi la rezolvarea unor inegalităţi.
2. Formula lui Taylor (Mac Laurin) aproximează o funcţie cu un polinom de grad n în vecinătatea punctului 0x .
Exemplu: Să se dezvolte după formula lui Mac Laurin funcţia ( ) xexf 2−= în vecinătatea punctului 00 =x cu 2=n . Soluţie:
64
Formula lui Mac Laurin pentru 2=n este:
( ) ( ) ( ) ( )2
2"'
!20
!100 Rxfxffxf +++= , unde ( ) 3
)3(3
2 !3xfxkR ξ
=⋅= cu
( )x,0∈ξ . Calculăm derivatele funcţiei:
( ) ( ) xx exfexf 2"2' 4;2 −− =−= şi ( ) ( ) ( ) 40;20;10 "' =−== fff .
Atunci 322
!2421 xkxxe x ⋅++−=− care reprezintă formula lui Mac Laurin
pentru ( )xf . Tema 3.5. Să se calculeze următoarele limite folosind formula lui Mac Laurin (Taylor).
1. ( )0;22lim 02
22
0==
−+−
→xn
xee xx
x
2. ( ) ( )0;322sin21lnlim 03
2
0==
+−+→
xnx
xxxx
3. ( )0;3sinlim 030==
−→
xnx
xxtgx
4. ( )0;311lim 03
3 3
0==
−+→
xnxx
x
5.
+−
∞→ xxx
x
11lnlim 2
Indicaţie:
Se face o schimbare de variabilă t
x 1= , după care se foloseşte formula
lui Mac Laurin pentru 00 =t şi 2=n . Exemplu:
Să se calculeze limita 2
22
0
2limxee xx
x
−+=
−
→ folosind formula lui Mac
Laurin. Soluţie:
65
Considerăm funcţia ( ) 222 −+= − xx eexf pe care o dezvoltăm după formula lui Mac Laurin în vecinătatea lui 00 =x cu 2=n . Calculăm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 80;44;00;22;00 "22"'22' =+==+−== −− feexffeexff xxxx
Scriind formula lui Mac Laurin: ( ) ( ) ( ) ( ) 32"'
!20
!100 xkxfxffxf ⋅+++= .
Prin înlocuire avem ( ) 3232 4!2
8 xkxxkxxf ⋅+=⋅+= .
Atunci ( ) 44limlim2lim2
32
0202
22
0=
⋅+==
−+=
→→
−
→ xxkx
xxf
xee
xx
xx
x , unde
( ) ( )x,0∈∃ ξ unde ( ) ( )
!3
3 ξfk = .
Tip 5. Regula lui L’Hospital
I. Cazul
∞∞
00
( )( )
( )( )xgxf
xgxf
xxxx '
'00
00
limlim→
∞∞→== dacă ( ) 0lim
0
=→
xfxx
şi ( ) 0lim0
=→
xgxx
sau ( ) ±∞=→
xfxx 0
lim şi
( ) ±∞=→
xgxx 0
lim .
II. Cazul ∞⋅0
( ) ( ) ( )
( )xg
xfxgxfxxxx 1
limlim00 →→
=⋅
Se aplică ( I ) dacă ( ) 0lim0
=→
xfxx
şi ( ) ±∞=→
xgxx 0
lim .
III. Cazul ∞−∞ Dacă ( ) ( ) ∞=∞=
→→xgxf
xxxx 00
lim,lim , atunci
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )00
1
11
limlim00
=
⋅
−=−
→→
xgxf
xfxgxgxfxxxx
(se aplică I ).
66
IV. Cazul ∞∞ ∞ 1;;0;0 00 Se notează cu ( ) ( )xg
xxxfL
0
lim→
= .
Atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )xg
xfxfxgxfLxxxx
xg
xx 1lnlimlnlimlnlimln
000
0
→
∞⋅
→→==⋅== (se aplică I ).
Tema 3.6.
1. xxx
x 2sincos1lim
3
0
−→
2. x
xxx 2
3
0 sincoscoslim −
→
3. 20
cossinlim2
xxxxe x
x
−−→
4. axxe
xaxx 2sinlim
2
0 −→
5.
2
33limsinsin
2
2
ππ
−
−→ x
xx
x
6. x
xx
x2sin3
00
lim>→
7. xe x
xx
lnlim1
00
⋅−
>→
8. ( ) 11
11
1lim −
>→
− x
xx
ex
9. xtg
xx
x00
lim>→
10. ( )x
ex x
xx
−+
>→
1
00
1lim
11. x
x axax
−+
∞→lim
Exemplu:
Să se calculeze limita xxx
x 2sincos1lim
3
0
−=
→ .
Soluţie:
67
Cum limita ne dă un caz de excepţie 00 aplicăm regula lui
L’Hospital şi avem
( )( )
( )( )
43
2sin42cos22cos2cos3sincos6lim
2cos22sinsincos3lim
2cos22sinsincos3lim
2sincos1lim
2sincos1lim
32
0
'
'2
0
00
2
0'
'3
0
3
0
=−++−
=
=+
⋅==
+⋅
=−
=−
=
→
→→→→
xxxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx
xxx
x
xxxx
Deci 43
= .
Tip 6. Determinarea extremelor funcţiilor Punctele de extrem cât şi valorile extreme sunt date de derivata funcţiei împreună cu semnul ei. Fie 0x un punct în care ( ) 00
' =xf , atunci 0x se numeşte punct staţionar. Pentru a verifica dacă 0x este punct de extrem, atunci trebuie studiat semnul derivatei în jurul acestui punct. a) Dacă derivata ( )xf ' are următorul tabel de variaţie:
x 0x f’(x) ----------------------------------------0++++++++++++++++++++++++ f(x)
Min atunci 0x este punct de minim, iar valoarea minimă este ( )0min xf= cu
( ) 00' =xf .
b)Dacă derivata ( )xf ' are următorul tabel de variaţie:
x 0x
f’(x) ++++++++++++++++++++++++0---------------------------------------- f(x)
Max atunci 0x este punct de maxim, iar valoarea maximă este
68
( )0max xf= cu ( ) 00' =xf .
c) Dacă derivata ( )xf ' are următorul tabel de variaţie:
x 0x f’(x) ----------------------------------------0----------------------------------------- f(x)
staţionar sau
x 0x f’(x) +++++++++++++++++++++++0++++++++++++++++++++++++ f(x)
staţionar atunci 0x este punct staţionar. Tema 3.7. Să se determine punctele de extrem, cât şi
( ){ }fxxfyf lui domeniulin afla se|Im == pentru următoarele funcţii: 1. ( ) 32 36
1 +−= xxxf 2. ( ) xxxf sincos32 += 3. ( ) xxxf cossin3 +=
4. ( )
≥
<−=
− 0,0,
24 xexxx
xfx
5. ( )1
532
2
5 +++
=x
xxxf
6. Fie ( ) ( )( ) R∈−−= babxaxxxf ,,,αα .
a) Să se afle a şi b astfel încât ( )xf să admită 34
=x ca punct de
minim şi 6=x ca punct de maxim. b) Să se afle α astfel încât maximul lui f să fie 7.
7. Fie ( ) 0,1
22
2
≠+
+−= a
xbaxxxf .
69
a) Să se arate că există două puncte ale graficului f în care tangenta este paralelă cu Ox şi produsul absciselor acestor puncte este egal cu -1.
b) Să se determine a şi b astfel încât ( ) 21 =f şi ( ) 02' =f .
8. Fie ( ) R∈++++
= dcbadcxxbaxxxf ,,,,
22
2
2
.
Să se determine a, b, c, d astfel încât funcţia să aibă pentru 1−=x un maxim egal cu 2, iar pentru 1=x un minim egal cu 4.
9. Să se determine punctele de maxim şi minim pentru:
( )( )
>−+
≤+=
3,3ln
3,13
102
xex
xx
xxf
Exemplu: Să se determine punctele de extrem, cât şi fIm pentru funcţia
( )1
532
2
5 +++
=x
xxxf .
Soluţie: Determinăm punctele staţionare rezolvând ecuaţia ( ) 0'
5 =xf
echivalent cu ( )( )
=
−=⇒=−+⇔=
++−−
=
313
038301
383
2
12
22
2'
5 x
xxx
xxxxf
x ∞− -3 1/3 ∞+
f’(x) ---------------------------0++++++++++++0------------------------------- f(x)
1 Min Max 1
Deci ( )2
1131max;
213min =
==−= ff şi 31 −=x este punct de minim,
iar 31
2 =x este punct de maxim local.
Cum 5f este funcţie elementară şi ( ) 1lim =±∞→
xfx
, atunci
[ ]
==
211'
21maxmin,Im f .
70
Tip 7. Identităţi Pentru demonstrarea identităţilor de funcţii se folosesc consecinţele teoremei Lagrange.
)1C Dacă [ ] R→baf ,: este continuă şi derivabilă şi dacă ( ) 0' =xf pentru ( ) ( )bax ,∈∀ , atunci ( ) cxf = (constant) ( ) ( )bax ,∈∀ .
)2C Dacă [ ] R→bagf ,:, sunt continue şi derivabile pe ( )ba, şi în plus ( ) ( )xgxf '' = , atunci ( ) ( ) ( ) ( )baxcxgxf ,∈∀+= (Dacă două funcţii au
derivatele egale, atunci el;e diferă printr-o constantă. Tema 3.8. Să se demonstreze că:
1. ( ) ( )∞∈∀=+− ,0,2
11arccos
2
2
xxarctgxx
2.
−≤−≥
=
+
+1,
1,1
2arcsin22 x
xxxxarctg
ππ
3. ( )0,1,arccos1arcsin 2 −∈=+− xxx π
4.
−<−
−>=
+−
+1,
43
1,4
11
x
x
xxarctgxarctg
π
π
5. ( )
−∈=−++
22'
22,
2312arcsinarccos3arcsin 2 xxxxx π
Exemplu:
Să se demonstreze că
−≤−≥
=
+
+1,
1,1
2arcsin22 x
xxxxarctg
ππ
.
Soluţie:
71
Considerând funcţia f cu ( )
+
+=21
2arcsin2xxxarctgxf , atunci
( ) ( )( ) ( )
( )( ) 22
2
2222
2
2'
1112
12
11
121
2xx
xxxx
xx
xf−⋅+
−+
+=
−+
−+
+= .
Explicitând modulul găsim că ( )( ] [ )
( )
−∈+
∞∪−∞−∈=
1,1,1
4,11,,0
2
'
xx
xxf
Cum ( ) 0' =xf pentru ( ] [ )∞∪−∞−∈ ,11,x , atunci aplicând 1C găsim că
( ) ( ) ( ]( ) [ )
∞∈∀−∞−∈∀
=,1,(const)
1,,(const)
2
1
xkxk
xf
Determinarea constantelor 1k şi 2k se face particularizând pe x , astfel pentru:
( ) ( ) π−=
−+−=−=⇒−=
22arcsin1211 1 arctgfkx şi
( ) ( ) π=
+==⇒=
22arcsin1211 2 arctgfkx .
Deci
−≤−≥
=
+
+1,
1,1
2arcsin22 x
xxxxarctg
ππ
.
Tip 8. Inegalităţi (Metode) Pentru demonstrarea unei inegalităţi se poate aplica una din metodele:
)1M Consecinţa I a teoremei Lagrange care spune: dacă ( ) ( ) ( ) ( )xfbaxxf ⇒∈∀> ,0' crescătoare ( ) ( ) ( )2121 xfxfbxxa <⇒<<<∀⇔ . )2M Consecinţa a II-a a teoremei Lagrange care spune: dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0' ∈∀< ( )xf⇒ descrescătoare ( ) ( ) ( )2121 xfxfbxxa >⇒<<<∀⇔ . )3M Formula lui Taylor. )4M Teorema Lagrange.
72
)5M Dacă 0x este punct de maxim local pentru f , atunci ( ) ( ) ( )
00 xVxxfxf ∈∀≥ . )6M Dacă 0x este punct de minim local pentru f , atunci
( ) ( ) ( )00 xVxxfxf ∈∀≥ .
)7M Inegalitatea Jenssen: dacă ( ) ( ) ( )baxxf ,0" ∈∀> , atunci ( ) ( ) ( ) ( )baxxxfxfxxf ,,
22 212121 ∈∀
+≤
+ .
Tema 3.9. Să se demonstreze:
1. ( ) ( )+∞∈∀<+
,0;1 2
xxarctgx
x
2. ( )
∈∀+>
2,0;
3
3 πxxxxtg
3. 2
0;sinsin π<<≤−≤− baabab
4. 2
0;coscos 22
π<<≤
−<−<
− bababatgbtg
aab
5. 0,1 ≠+> xxex
6.
∈<
45,0,sincos πxxxx
7. ( ) ( )2,00,2,2 2 ∪−∈> xxx
8. ( )1,0,6
arcsin3
∈+> xxxx
9. 2
0,coscos π<<<−≤− baabab
10. ( ) ( ) 1,0,11 >>>⋅−<−<⋅− −− pbaapbababpba pppp
11. abb
baba
aba
<<−
≤≤− 0,ln
12. ( ) R∈∀+
≤+
212 ,,
2
2121
xxeeexxxx
13. ( ) ( ) 0,1
1ln >∀+
>+ xx
xx
73
Exemplu:
Să se demonstreze că xarctgx
x<
+ 21 pentru ( ) 0>∀ x .
Soluţie: Dacă folosim metoda 1M , atunci inegalitatea poate fi pusă sub forma
echivalentă 01 2
>+
−x
xxarctg pentru ( ) 0>∀ x şi considerăm funcţia
( )21 x
xxarctgxf+
−= pentru care
( )( ) ( )
( ) 0,011
11
122
2
22
2
2' >∀>
+=
+−
−+
= xx
xxx
xxf .
Deci ( ) ( ) 00' >∀> xxf adică f este crescătoare ( ) ∞<<<∀⇔ 210 xx avem ( ) ( )21 xfxf < .
Alegem 01 =x şi 02 >= xx , atunci ( ) ( )21
00x
xxarctgxff+
−<⇔<
21 xxxarctg+
>⇔ pentru ( ) 0>∀ x (c.c.t.d.).
Dacă folosim 4M , alegem funcţia [ ] R→xf ,0: cu ( ) tarctgtf = pentru [ ]xt ,0∈ , care este continuă şi derivabilă, atunci ( ) ( )xc ,0∈∃ astfel ca ( ) ( ) ( )
2'
11
00
cxxarctgcf
xfxf
+=⇔=
−− cu ( )xc ,0∈ .
Cum 22
2222
11
1111100
cxxcxcxc
+<
+⇒+<+<⇒<<⇒<<
222 11
11
11
xxxarctg
xcxxarctg
+>⇒
+>
+=⇒ , adică
( ) 0,1 2
>∀+
> xx
xxarctg (c.c.t.d.).
Tip 9. Graficele funcţiilor Pentru trasarea graficului unei funcţii ( )xfy = se parcurg următoarele etape: I. Domeniul de definiţie
74
1. Stabilirea domeniului maxim de definiţie. 2. Stabilirea perioadei funcţiei ( )xf . 3. Stabilirea punctelor unde se anulează modulul şi explicitarea funcţiei
( )xf . 4. Intersecţia cu Ox. 5. Intersecţia cu Oy 6. Semnul funcţiei (dacă este funcţie raţională) şi rezultă asimptotele
verticale. 7. Limitele funcţiei la capetele domeniului de definiţie (stabilirea
asimptotelor orizontale, dacă are). II. Derivata I
1. Se calculează ( )xf ' 2. Se rezolvă ecuaţia ( ) kxxxxf ,,,0 21
' ⇒= 3. Semnul funcţiei ( )xf ' 4. Se calculează ( ) ( ) ( )lxfxfxf ,,, 21 5. Dacă 0x este punct unde se anulează modulul, atunci se calculează
( )0' xf s şi ( )0
' xfd . III. Derivata a II-a (opţional)
1. Se calculează ( )xf " 2. Se rezolvă ecuaţia ( ) ''
2'1
" ',,0 kxxxxf ⇒= 3. Semnul funcţiei ( )xf "
IV. Asimptote
1. Asimptote verticale → vezi I 2. Asimptote oblice (dacă nu are asimptote orizontale)
Pentru −∞→x , atunci 11 nxmy += , unde ( ) ( )( )xmxfnxxfm
xx 111 lim;lim −==−∞→−∞→
.
Pentru ∞→x , atunci 22 nxmy += , unde ( ) ( )( )xmxfnxxfm
xx 222 lim;lim −==∞→∞→
.
V. Tabelul cu valorile colectate
x
76
( ) ( )( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )2
11
5222
1
11
12arcsin
1ln11
11
11
592
42
411
1
14
13
12
2
11
2
2
10
29
8
2
2
7
6
5
12
4
2
3
3
2
2
221
−=
+−
=
−+=
−=
+−
=
+
=
+=
+−
=
+−
=
+−
=
+=
−−
=
−=
−−=
xexf
xx
xf
xxf
xx
xf
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
exxxf
xxxxf
xxxf
xxxf
x
x