Post on 10-Aug-2015
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea, altele decat cele ce folosesc inductia matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1)
S=2
)1( +nn
2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n
S=n2
3. S=1 + x + x2
+…+ xxn 2−
+ xn 1−
+ xn
Sx= xxxxxnn ++++ −+ 13
....2
Sx-S = 11−+
xn
S(x-1) = 11−+
xn
S=( xn 1+
-1)/( x -1)
4. S=12
+22
+32
+…+n2
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
12
=1
22
=1+3
32
=1+3+5
…………………………….
k2
=1+3+5+…+(2k-1)
…………;…………………..
1
n2
=1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1)
Adunand membru cu membru obtinem: S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1) Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:
(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2k2
+k,atunci:
S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2(12
+22
+ 32
+…+n2
)+(1+2+3+…+n)
3S=(n+1).n2
+n(n+1)/2
6S=2.(n+1).n2
+n.(n+1)
6S=n(n+1)(2n+1)
S=6
)12)(1( ++ nnn
5. S=2.1
1+3.2
1+4.3
1+…+ )1(
1
+nn
Se demonstreaza usor ca: )1(
1
+nn =n
1-
1
1
+n⇒
S=1
1-2
1+2
1-3
1+…+
n
1-
1
1
+n=1
1-
1
1
+n=
1+nn
Generalizare: )( knn
k
+ =n
1-
kn +1
Aplicatii:a) Calculati suma cifrelor numarului:x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.Numarul x se mai poate scrie:
x=10-1+102
-1+103
-1+…+102008
-1=(10+102
+103
+…+102008
-1=
=(10+102
+103
+…+102008
)-2008=10(1+10+102
+…+102007
)-2008=
=10.110
1102008
−−
-2008=10.9
99..999-2008=10.111…11-2008=111…1109102.In rezultat apare de
2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.Generalizare: Pentru a calcula: S=a+aa +aaa +…+ aaaa ... se calculeaza:
9
a(9+99+999+…+99…9)
b)Calculati: S=4.1
3+9.4
5+16.9
7+…+
1849.1764
85
Se foloseste relatia: )( knn
k
+ =n
1-
kn+1
si avem:
S=1
1-4
1+4
1-9
1+9
1-16
1+…+
1764
1-1849
1=1849
1848
2
c)Sa se calculeze: S= )1.(1
1
+k + )12)(1(
1
++ kk + )13)(12(
1
++ kk +…+ )1](1)[(
1
++− nkkn
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si obtinem:
Sk= )1.(1 +kk
+ )12)(1( ++ kk
k+ )13)(12( ++ kk
k+…+ )1](1)1[( ++− nkkn
k=
=1
1-
1
1
+k+
1
1
+k-
12
1
+k+
12
1
+k-
13
1
+k+…+ 1)1(
1
+− kn -1
1
+nk=
=1
1-
1
1
+nk=
1
11
+−+
nk
nk=
1+nk
nk,de unde:S=
1+nk
n.
d)Aratati ca numarul :
N=1+2+22
+23
+…+22006
nu este patrat perfect.
Calculand N obtinem: N=22007
-1
U(22007
-1)=U(U(22007
)-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8 rezulta N nu este
patrat perfect.e)Sa se calculeze suma:
S=12
+32
+52
+…+ )12(2−n
Se porneste de la )12(2−n =4.n
2-4.n+1 avem:
12
=4.12
-4.1+1
32
=4.22
-4.2+1
52
=4.32
-4.3+1
…………………….
)12(2−n =4.n
2-4n+1
Adunand membru cu membru obtinem:
S=4(12
+22
+32
+…+n2
)-4(1+2+3+…+n)+n=
= 4.6
)12)(1( ++ nnn-4.
2
)1( +nn+n=
3
)12)(1(2 ++ nnn-2n(n+1)+n=
=3
3)1(6)12)(1(2 nnnnnn ++−++=
=3
)3662424(2 +−−+++ nnnn n =
3
)14(2 −nn
.
f) Calculati:
S=22
+42
+62
+…+20082
.Suma mai poate fi scrisa:
3
S= )1.2(2
+ )2.2(2
+ )3.2(2
+…+ )1004.2(2
=22
.12
+22
.22
+22
.
32
+…+
+22
.10042
=22
(12
+22
+32
+…+10042
)=6
2009.1005.1004.4=1004.670.2009.
g) Calculati: S=22
+62
+102
+…+40142
.Suma se mai scrie:
S= )1.2(2
+ )3.2(2
+ )5.2(2
+…+ )2007.2(2
=22
.12
+22
.32
+ …+
+22
.20072
=4(12
+32
+…+20072
)=3
)1.4(1004.4 10042 −
=
3
)1(1004.4 20082 −
=3
2009.2007.1004.4=4.1004.669.2009
h) S=1+21
1
++
321
1
+++…+
2008...321
1
++++=1+ 2/)3.2(
1+ 2/)4.3(
1.. 2/)2009.2008(
1=
=1+3.2
2 +4.3
2+…+
2009.2008
2=1+2( +
3.2
1
4.3
1+…+
2009.2008
1)=
=1+2(2
1-3
1+3
1-4
1+…+
2008
1-2009
1)=1+2(
2
1-2009
1)=1+
2009
2007=4009
4016.
i) S=1+x
1+x2
1+x3
1+…+xn
1. Suma se mai poate scrie:
S=
xxx
n
nnx 1...
1 ++++ −
=)1(
11
−−+
xxxn
n
Aratati ca numarul:
x=3
122 +− nn -
32
2242 +− nn
-…-
310
2242 +− nn
este patrat perfect.
Numarul poate fi scris: x=3
)1(2−n -
3)1(
2
22 −n
-…-
3)1(
10
22 −n
=
= )1(2−n (3
1- 32
2-…-310
2)= )1(
2−n )[3
1- 32
2(1+3
1+32
1+…+38
1)]=
= )1(2−n (3
1-32
2.
33
8
9
.2
1−)= )1(
2−n (
33
10
91
3
1 −− )= )1(
2−n .310
1=patrat
perfect. j) Calculati :S=3+7+11+…+8035.
4
Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu rest si constatam:3=4.0+37=4.1+311=4.2+3……………….8035=4.2008+3 S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+
+2009.3=2
2009.2008.4+6027=4016.2009+6027=2009.4019
Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesare parcurgerea urmatoarelor etape: _stabilirea numarului de termeni ai sumei; _identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termenii sumei; _identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecare termen in parte
5