111900774 53670441 Calculul Unor Sume in Gimnaziu
5
Calculul unor sume in gimnaziu Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea, altele decat cele ce folosesc inductia matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri. Calculul unor sume de numere 1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1) S= 2 ) 1 ( + n n 2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n S= n 2 3. S=1 + x + x 2 +…+ x x n 2 - + x n 1 - + x n Sx= x x x x x n n + + + + - + 1 3 . ... 2 Sx-S = 1 1 - + x n S(x-1) = 1 1 - + x n S=( x n 1 + -1)/( x -1) 4. S= 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie: 1 2 =1 2 2 =1+3 3 2 =1+3+5 ……………………………. k 2 =1+3+5+…+(2k-1) …………;………………….. 1
-
Upload
vasile-kushnir -
Category
Documents
-
view
70 -
download
3
Transcript of 111900774 53670441 Calculul Unor Sume in Gimnaziu
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea, altele decat cele ce folosesc inductia matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1)
S=2
)1( +nn
2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n
S=n2
3. S=1 + x + x2
+…+ xxn 2−
+ xn 1−
+ xn
Sx= xxxxxnn ++++ −+ 13
....2
Sx-S = 11−+
xn
S(x-1) = 11−+
xn
S=( xn 1+
-1)/( x -1)
4. S=12
+22
+32
+…+n2
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
12
=1
22
=1+3
32
=1+3+5
…………………………….
k2
=1+3+5+…+(2k-1)
…………;…………………..
1
n2
=1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1)
Adunand membru cu membru obtinem: S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1) Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:
(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2k2
+k,atunci:
S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2(12
+22
+ 32
+…+n2
)+(1+2+3+…+n)
3S=(n+1).n2
+n(n+1)/2
6S=2.(n+1).n2
+n.(n+1)
6S=n(n+1)(2n+1)
S=6
)12)(1( ++ nnn
5. S=2.1
1+3.2
1+4.3
1+…+ )1(
1
+nn
Se demonstreaza usor ca: )1(
1
+nn =n
1-
1
1
+n⇒
S=1
1-2
1+2
1-3
1+…+
n
1-
1
1
+n=1
1-
1
1
+n=
1+nn
Generalizare: )( knn
k
+ =n
1-
kn +1
Aplicatii:a) Calculati suma cifrelor numarului:x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.Numarul x se mai poate scrie:
x=10-1+102
-1+103
-1+…+102008
-1=(10+102
+103
+…+102008
-1=
=(10+102
+103
+…+102008
)-2008=10(1+10+102
+…+102007
)-2008=
=10.110
1102008
−−
-2008=10.9
99..999-2008=10.111…11-2008=111…1109102.In rezultat apare de
2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.Generalizare: Pentru a calcula: S=a+aa +aaa +…+ aaaa ... se calculeaza:
9
a(9+99+999+…+99…9)
b)Calculati: S=4.1
3+9.4
5+16.9
7+…+
1849.1764
85
Se foloseste relatia: )( knn
k
+ =n
1-
kn+1
si avem:
S=1
1-4
1+4
1-9
1+9
1-16
1+…+
1764
1-1849
1=1849
1848
2
c)Sa se calculeze: S= )1.(1
1
+k + )12)(1(
1
++ kk + )13)(12(
1
++ kk +…+ )1](1)[(
1
++− nkkn
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si obtinem:
Sk= )1.(1 +kk
+ )12)(1( ++ kk
k+ )13)(12( ++ kk
k+…+ )1](1)1[( ++− nkkn
k=
=1
1-
1
1
+k+
1
1
+k-
12
1
+k+
12
1
+k-
13
1
+k+…+ 1)1(
1
+− kn -1
1
+nk=
=1
1-
1
1
+nk=
1
11
+−+
nk
nk=
1+nk
nk,de unde:S=
1+nk
n.
d)Aratati ca numarul :
N=1+2+22
+23
+…+22006
nu este patrat perfect.
Calculand N obtinem: N=22007
-1
U(22007
-1)=U(U(22007
)-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8 rezulta N nu este
patrat perfect.e)Sa se calculeze suma:
S=12
+32
+52
+…+ )12(2−n
Se porneste de la )12(2−n =4.n
2-4.n+1 avem:
12
=4.12
-4.1+1
32
=4.22
-4.2+1
52
=4.32
-4.3+1
…………………….
)12(2−n =4.n
2-4n+1
Adunand membru cu membru obtinem:
S=4(12
+22
+32
+…+n2
)-4(1+2+3+…+n)+n=
= 4.6
)12)(1( ++ nnn-4.
2
)1( +nn+n=
3
)12)(1(2 ++ nnn-2n(n+1)+n=
=3
3)1(6)12)(1(2 nnnnnn ++−++=
=3
)3662424(2 +−−+++ nnnn n =
3
)14(2 −nn
.
f) Calculati:
S=22
+42
+62
+…+20082
.Suma mai poate fi scrisa:
3
S= )1.2(2
+ )2.2(2
+ )3.2(2
+…+ )1004.2(2
=22
.12
+22
.22
+22
.
32
+…+
+22
.10042
=22
(12
+22
+32
+…+10042
)=6
2009.1005.1004.4=1004.670.2009.
g) Calculati: S=22
+62
+102
+…+40142
.Suma se mai scrie:
S= )1.2(2
+ )3.2(2
+ )5.2(2
+…+ )2007.2(2
=22
.12
+22
.32
+ …+
+22
.20072
=4(12
+32
+…+20072
)=3
)1.4(1004.4 10042 −
=
3
)1(1004.4 20082 −
=3
2009.2007.1004.4=4.1004.669.2009
h) S=1+21
1
++
321
1
+++…+
2008...321
1
++++=1+ 2/)3.2(
1+ 2/)4.3(
1.. 2/)2009.2008(
1=
=1+3.2
2 +4.3
2+…+
2009.2008
2=1+2( +
3.2
1
4.3
1+…+
2009.2008
1)=
=1+2(2
1-3
1+3
1-4
1+…+
2008
1-2009
1)=1+2(
2
1-2009
1)=1+
2009
2007=4009
4016.
i) S=1+x
1+x2
1+x3
1+…+xn
1. Suma se mai poate scrie:
S=
xxx
n
nnx 1...
1 ++++ −
=)1(
11
−−+
xxxn
n
Aratati ca numarul:
x=3
122 +− nn -
32
2242 +− nn
-…-
310
2242 +− nn
este patrat perfect.
Numarul poate fi scris: x=3
)1(2−n -
3)1(
2
22 −n
-…-
3)1(
10
22 −n
=
= )1(2−n (3
1- 32
2-…-310
2)= )1(
2−n )[3
1- 32
2(1+3
1+32
1+…+38
1)]=
= )1(2−n (3
1-32
2.
33
8
9
.2
1−)= )1(
2−n (
33
10
91
3
1 −− )= )1(
2−n .310
1=patrat
perfect. j) Calculati :S=3+7+11+…+8035.
4
Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu rest si constatam:3=4.0+37=4.1+311=4.2+3……………….8035=4.2008+3 S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+
+2009.3=2
2009.2008.4+6027=4016.2009+6027=2009.4019
Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesare parcurgerea urmatoarelor etape: _stabilirea numarului de termeni ai sumei; _identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termenii sumei; _identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecare termen in parte
5
