7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica
1/6
Probleme de Analiz Matematic
I. S se studieze natura urmtoarelor serii numerice:
1.
= ++
16
23
1
35
n n
nn (convergent: se aplic criteriul compara iei cu seria armonic
generalizat sau criteriul raportului).
2.
=
+
1
2
7
3
nn
nn(convergent: se aplic criteriul raportului).
3.
=
+
1
2 32ln
n
n
n (convergent: se aplic criteriul radicalului).
.
= ++++
13
23
2132
n nnnn (divergent: se arat c ( ) !2lim = nn a " unde 2
1323
23
++++=
nnnnan )
5. ( )
=
1
1
3
121
nn
n n (convergent: se aplic criteriul lui #ei$niz).
6.
=
+1
3
23
nn
n
n
(convergent: se aplic criteriul radicalului).
7.
= +1 21
n nn (convergent: se aplic criteriul compara iei cu seria armonic
generalizat).
%. ( )n
n
n n
=
1
1 (convergent: se aplic criteriul radicalului).
&. ( )
=
1 5
1n
n
n n (convergent: se aplic criteriul lui #ei$niz).
1!.
=
+++
1
1.........
2
11
n
na " "!>a (se aplic criteriul logaritmului i se 'ace discu ia dup valorile lui a
11. ")..().........().().........(
1
= ++++
n ndbdbbndadaa a" b" d!. (se aplic criteriul aa$e* +u,amel i se 'ace o
discu ie -n raport cu a i b.
12.
= +1 32
n n
n (divergent: se aplic criteriul raportului sau se arat c ( ) "!lim = nn a unde
7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica
2/6
32
+=
n
nan )
II. S se determine mul imea de convergen pentru urmtoareler serii de puteri:
1. /)2(1
2
=
++n
nxnn (raza de convergen a acestei serii de puteri este R01" iar mul imea
de convergen este ( )1"1=A
2. /7
32
1
=
+
n
n
n x
n (raza de convergen a acestei serii de puteri este R07" iar mul imea de
convergen este ( )7"7=A
3. /23
32
!
n
n
xn
n
= ++
(raza de convergen a acestei serii de puteri este R01" iar mul imea de
convergen este ( )1"1=A
.( ) n
n
n
xn
n
=
++
13
1
2ln (raza de convergen a acestei serii de puteri este R0 + " iar mul imea
de convergen este R.
5. /321
1
n
nnn
xn
=
(raza de convergen a acestei serii de puteri este R06" iar mul imea de
convergen este ( )6"6=A
6.( )
/21
1
1
n
n
nn
xn
=
(raza de convergen a acestei serii de puteri este R0 21 " iar mul im
de convergen este
=
2
1"
2
1A
7. /3
12
3
2
!2
n
n
nx
n
=
+ (se 'ace su$stitu ia
3
12 = x
y . entru seria -nyse o$ ine raza de
convergen 2
1=R i mul imea de convergen
=
2
1"
2
1yA . entru seria ini ial
(-n raport cux, se o$ ine mul imea de convergen
=
5"
1xA
%. /535
1
1
5 n
nn xn
n +
=+ (se 'ace su$stitu ia 5 3 = xy . entru seria -nyse o$ ine raza de
convergen =R i mul imea de convergen RAy = . ul imea de convergen a serie ini iale este de asemenea aa real" adic R.
III. S se calculeze derivatele par iale de ordinul I ale urmtoarelor 'unc ii
7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica
3/6
1. ": 2 RRf ( ) ( ) yxyxyxf ++= 2" 2
2. ": 2 RRf ( ) ( )
+++=
13sin"
2
2 2
x
yarctgyxeyxf yx
3. ": 2
RRf ( ) 1ln" 12
+++= yxxyxf
. ": 3 RRDf ( )
=z
xezyxf xy
ln""
5. ": 3 RRDf ( ) xzy zyxzyxf 2"" +=
6. ": 2 RRDf ( )
+
=22
22
arcsin"yx
yxyxf
7. ": 2 RRDf ( ) ( ( )yxyxyxyxf 23"32" 32 +++= " unde este
di'eren ia$il pe 2RD%. ": 3 RRDf ( ) ( )""")32("" 32 zxyzxyzyxzyxf += unde este
di'eren ia$il pe 3RD
&. ": 3 RRDf ( ) ( )""""" zxzyzyxxyzzyxf +++= unde este
di'eren ia$il pe 3RD
1!. ": 3 RRDf ( ) ( )"2
1ln""
23
2
2
zxyzy
xxzyxf +
++
+=
unde este di'eren ia$il pe .RD
I4. S se calculeze di'eren ialelele de ordinul al II*lea" ale urmtoarelor 'unc ii :
1. ": 2 RRf ( ) ( )32cos3" += yxyxf
2. ": 2 RRf ( ) ( ) ( )1ln1ln" 22 +++= xyyxyxf
3. ": 3 RRf ( ) ( ) yzzyxzyxf ++= 3222 2""
. ": 3 RRf ( ) ( )"sin"" 3 cbyaxzyxf ++= ."" Rcba
4. S se determine punctele de etrem pentru urmtoarele 'unc ii :
1. ": 2 RRf yxxyxyxf 12153)"( 23 +=
7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica
4/6
2. ": 2 RRf xyyxyxyxf += 22)"(
3. ": 3 RRDf xy
z
x
yxzyxf
)"".(
22
+++=
. ": 3 RRDf )()ln()"".( 222 zyxzyxzyxf ++++=
5. ": 3 RRf ")"".( xyzzyxf = cu legturile !5=++ zyx i .!%=++ yzxzxy
6. ": 3 RRf .)"".( 222 zxxyzyxzyxf +++=
7. ": 2 RRf 3!1!6)"( 22 ++= xyyxyxf " cu legtura 3=+ yx .
4I. S se calculeze urmtoarele integrale improprii
1.
!
cos xdx
2.
!
sin xdxe x
3.
!cos xdxe x
. +
1
12 23xx
dx
5. !"1!
>
dxxe nx
6.
+!3 )1( xx
dx
7.
1
!3 31 x
dx
%.
+!1 xx
dx
&.
!
23 2
dxxe x
1!.
+1
2 x
dx
4III. S se calculeze urmtoarele integrale cur$ilinii
7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica
5/6
1. ( )dsyyC
2 unde este cur$a a crei reprezentare parametric este
:
==2
"!/cos1/sin
ttyttx
2. C
yds unde este arcul de para$ol de ecua ie pxy 22 = cuprins -ntre punctele de
interse ie cu para$ola de ecua ie !/22 >= ppyx .
3. ( ) +C
dsyxz 22 unde este cur$a a crei reprezentare parametric este
: [ ]1"!""sin"cos === ttzttyttx .
. +C
xdyexdx unde : ( ) [ ]1"!"1"1ln +=+= ttytx
5. +C
ydyxdxxy 222 unde este arcul elipsei .!"!"!1
2
2
2
2
=+ yxb
y
a
x
6. ( )( )
( )
++3"2
1"!
222xydydxyx
7. S se arate c integrala ( ) ( )dzzxxydydxxzAB
++ 232 .n particular s se
calculeze integrala" atunci cnd 8(*1"!"2) i 9(1"1"3).
%. ara$ola de ecua ie 2
1 xy = " intersecteaz semiaele O i O-n puncteleA i B. S
calculeze integrala ( ) ( )dyyxdxxyOABO
++ 12
&. +C
xdyydx unde este ptratul cu vr'urile -n punctele O(!"!)"A(2"!)"B(2"2)
i C(!"2).
I;. S se calculeze urmtoarele integrale du$le:
1. ( )dxdyyxyD
+ 232 tiind c domeniul Dreprezint intersec ia dintre para$olele
de ecua ii 21 5)( xxy = i 2
2 )( xxy =
7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica
6/6
2. ( )dxdyxyxD
+ 22 3 tiind c domeniul Deste determinat de intersec ia para$olei
de ecua ie ( ) 213 = xy i dreapta de ecua ie 3=y
3. D
xydxdy " unde + reprezint dreptung,iul cu vr'urile -n punctele O(!"!)"A(2"!)"
B(2"3)" C(!"3).
. ( ) "dxdyyxID
+= unde ( ) }1" 2 += yxRyxD
5.( )
+
D
yx dxdye "22 33
unde ( ) &" 222 += yxRyxD
6. D
ydxdyx "2 tiind c domeniul Deste determinat de inegalit ile 21 xy i
.21 xy
7. D
ydxdy " unde ( ){ }yxyxRyxD += "" 222
%. D
dxdyy
x"
2
2
unde ( )
=== 21""1
" 2 xxyx
yRyxD
&. +D
dxdyyx "22
( ) 16" 222 += yxRyxD
1!. +D
dxdyyx "2516 22 ( )
+= 1
1625
"22
2 yxRyxD
11. S se calculeze aria domeniului planDdeterminat de interse ia dreptei
de ecua ie xy= cu para$ola de ecua ie 2xy= .
Indica ie: aria( D) 0 D
dxdy
Top Related