Probleme de Analiza Matematica

7/25/2019 Probleme de Analiza Matematica

1/6

Probleme de Analiz Matematic

I. S se studieze natura urmtoarelor serii numerice:

1.

= ++

16

23

1

35

n n

nn (convergent: se aplic criteriul compara iei cu seria armonic

generalizat sau criteriul raportului).

2.

=

+

1

2

7

3

nn

nn(convergent: se aplic criteriul raportului).

3.

=

+

1

2 32ln

n

n

n (convergent: se aplic criteriul radicalului).

.

= ++++

13

23

2132

n nnnn (divergent: se arat c ( ) !2lim = nn a " unde 2

1323

23

++++=

nnnnan )

5. ( )

=

1

1

3

121

nn

n n (convergent: se aplic criteriul lui #ei$niz).

6.

=

+1

3

23

nn

n

n

(convergent: se aplic criteriul radicalului).

7.

= +1 21

n nn (convergent: se aplic criteriul compara iei cu seria armonic

generalizat).

%. ( )n

n

n n

=

1

1 (convergent: se aplic criteriul radicalului).

&. ( )

=

1 5

1n

n

n n (convergent: se aplic criteriul lui #ei$niz).

1!.

=

+++

1

1.........

2

11

n

na " "!>a (se aplic criteriul logaritmului i se 'ace discu ia dup valorile lui a

11. ")..().........().().........(

1

= ++++

n ndbdbbndadaa a" b" d!. (se aplic criteriul aa$e* +u,amel i se 'ace o

discu ie -n raport cu a i b.

12.

= +1 32

n n

n (divergent: se aplic criteriul raportului sau se arat c ( ) "!lim = nn a unde


2/6

32

+=

n

nan )

II. S se determine mul imea de convergen pentru urmtoareler serii de puteri:

1. /)2(1

2

=

++n

nxnn (raza de convergen a acestei serii de puteri este R01" iar mul imea

de convergen este ( )1"1=A

2. /7

32

1

=

+

n

n

n x

n (raza de convergen a acestei serii de puteri este R07" iar mul imea de

convergen este ( )7"7=A

3. /23

32

!

n

n

xn

n

= ++

(raza de convergen a acestei serii de puteri este R01" iar mul imea de


.( ) n

n

n

xn

n

=

++

13

1

2ln (raza de convergen a acestei serii de puteri este R0 + " iar mul imea

de convergen este R.

5. /321

1

n

nnn

xn

=

(raza de convergen a acestei serii de puteri este R06" iar mul imea de


6.( )

/21

1

1

n

n

nn

xn

=

(raza de convergen a acestei serii de puteri este R0 21 " iar mul im

de convergen este

=

2

1"

2

1A

7. /3

12

3

2

!2

n

n

nx

n

=

+ (se 'ace su$stitu ia

3

12 = x

y . entru seria -nyse o$ ine raza de

convergen 2

1=R i mul imea de convergen

=

2

1"

2

1yA . entru seria ini ial

(-n raport cux, se o$ ine mul imea de convergen

=

5"

1xA

%. /535

1

1

5 n

nn xn

n +

=+ (se 'ace su$stitu ia 5 3 = xy . entru seria -nyse o$ ine raza de

convergen =R i mul imea de convergen RAy = . ul imea de convergen a serie ini iale este de asemenea aa real" adic R.

III. S se calculeze derivatele par iale de ordinul I ale urmtoarelor 'unc ii


3/6

1. ": 2 RRf ( ) ( ) yxyxyxf ++= 2" 2

2. ": 2 RRf ( ) ( )

+++=

13sin"

2

2 2

x

yarctgyxeyxf yx

3. ": 2

RRf ( ) 1ln" 12

+++= yxxyxf

. ": 3 RRDf ( )

=z

xezyxf xy

ln""

5. ": 3 RRDf ( ) xzy zyxzyxf 2"" +=

6. ": 2 RRDf ( )

+

=22

22

arcsin"yx

yxyxf

7. ": 2 RRDf ( ) ( ( )yxyxyxyxf 23"32" 32 +++= " unde este

di'eren ia$il pe 2RD%. ": 3 RRDf ( ) ( )""")32("" 32 zxyzxyzyxzyxf += unde este

di'eren ia$il pe 3RD

&. ": 3 RRDf ( ) ( )""""" zxzyzyxxyzzyxf +++= unde este

di'eren ia$il pe 3RD

1!. ": 3 RRDf ( ) ( )"2

1ln""

23

2

2

zxyzy

xxzyxf +

++

+=

unde este di'eren ia$il pe .RD

I4. S se calculeze di'eren ialelele de ordinul al II*lea" ale urmtoarelor 'unc ii :

1. ": 2 RRf ( ) ( )32cos3" += yxyxf

2. ": 2 RRf ( ) ( ) ( )1ln1ln" 22 +++= xyyxyxf

3. ": 3 RRf ( ) ( ) yzzyxzyxf ++= 3222 2""

. ": 3 RRf ( ) ( )"sin"" 3 cbyaxzyxf ++= ."" Rcba

4. S se determine punctele de etrem pentru urmtoarele 'unc ii :

1. ": 2 RRf yxxyxyxf 12153)"( 23 +=


4/6

2. ": 2 RRf xyyxyxyxf += 22)"(

3. ": 3 RRDf xy

z

x

yxzyxf

)"".(

22

+++=

. ": 3 RRDf )()ln()"".( 222 zyxzyxzyxf ++++=

5. ": 3 RRf ")"".( xyzzyxf = cu legturile !5=++ zyx i .!%=++ yzxzxy

6. ": 3 RRf .)"".( 222 zxxyzyxzyxf +++=

7. ": 2 RRf 3!1!6)"( 22 ++= xyyxyxf " cu legtura 3=+ yx .

4I. S se calculeze urmtoarele integrale improprii

1.

!

cos xdx

2.

!

sin xdxe x

3.

!cos xdxe x

. +

1

12 23xx

dx

5. !"1!

>

dxxe nx

6.

+!3 )1( xx

dx

7.

1

!3 31 x

dx

%.

+!1 xx

dx

&.

!

23 2

dxxe x

1!.

+1

2 x

dx

4III. S se calculeze urmtoarele integrale cur$ilinii


5/6

1. ( )dsyyC

2 unde este cur$a a crei reprezentare parametric este

:

==2

"!/cos1/sin

ttyttx

2. C

yds unde este arcul de para$ol de ecua ie pxy 22 = cuprins -ntre punctele de

interse ie cu para$ola de ecua ie !/22 >= ppyx .

3. ( ) +C

dsyxz 22 unde este cur$a a crei reprezentare parametric este

: [ ]1"!""sin"cos === ttzttyttx .

. +C

xdyexdx unde : ( ) [ ]1"!"1"1ln +=+= ttytx

5. +C

ydyxdxxy 222 unde este arcul elipsei .!"!"!1

2

2

2

2

=+ yxb

y

a

x

6. ( )( )

( )

++3"2

1"!

222xydydxyx

7. S se arate c integrala ( ) ( )dzzxxydydxxzAB

++ 232 .n particular s se

calculeze integrala" atunci cnd 8(*1"!"2) i 9(1"1"3).

%. ara$ola de ecua ie 2

1 xy = " intersecteaz semiaele O i O-n puncteleA i B. S

calculeze integrala ( ) ( )dyyxdxxyOABO

++ 12

&. +C

xdyydx unde este ptratul cu vr'urile -n punctele O(!"!)"A(2"!)"B(2"2)

i C(!"2).

I;. S se calculeze urmtoarele integrale du$le:

1. ( )dxdyyxyD

+ 232 tiind c domeniul Dreprezint intersec ia dintre para$olele

de ecua ii 21 5)( xxy = i 2

2 )( xxy =


6/6

2. ( )dxdyxyxD

+ 22 3 tiind c domeniul Deste determinat de intersec ia para$olei

de ecua ie ( ) 213 = xy i dreapta de ecua ie 3=y

3. D

xydxdy " unde + reprezint dreptung,iul cu vr'urile -n punctele O(!"!)"A(2"!)"

B(2"3)" C(!"3).

. ( ) "dxdyyxID

+= unde ( ) }1" 2 += yxRyxD

5.( )

+

D

yx dxdye "22 33

unde ( ) &" 222 += yxRyxD

6. D

ydxdyx "2 tiind c domeniul Deste determinat de inegalit ile 21 xy i

.21 xy

7. D

ydxdy " unde ( ){ }yxyxRyxD += "" 222

%. D

dxdyy

x"

2

2

unde ( )

=== 21""1

" 2 xxyx

yRyxD

&. +D

dxdyyx "22

( ) 16" 222 += yxRyxD

1!. +D

dxdyyx "2516 22 ( )

+= 1

1625

"22

2 yxRyxD

11. S se calculeze aria domeniului planDdeterminat de interse ia dreptei

de ecua ie xy= cu para$ola de ecua ie 2xy= .

Indica ie: aria( D) 0 D

dxdy

Probleme de Analiza Matematica

Documents

Transcript of Probleme de Analiza Matematica