CLASA a XII-a - neutrino.ro · Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a Etapa Judet˘ean a/a...
1
Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a/a Sectoarelor Municipiului Bucure¸ sti, 16 martie 2019 CLASA a XII-a Problema 1. Fie n un num˘ ar natural nenul ¸ si fie G un grup finit de ordin n. O funct ¸ie f : G → G are proprietatea (P), dac˘a f (xyz )= f (x)f (y)f (z ), oricare ar fi x, y, z din G. (a) Dac˘ a n este impar, ar˘ atat ¸i c˘a orice funct ¸ie care are proprietatea (P) este un endomorfism al lui G; (b) Dac˘ a n este par, r˘ amˆ ane adev˘ arat˘ a concluzia de la punctul (a)? Gazeta Matematic˘ a Problema 2. Fie n un num˘ar natural nenul¸ si fie f : [0, 1] → R o funct ¸ie integrabil˘ a. Ar˘ atat ¸ic˘aexist˘aunpunct c ˆ ın intervalul ˆ ınchis 0, 1 - 1 n , astfel ˆ ıncˆ at Z c+ 1 n c f (x)dx =0 sau Z c 0 f (x)dx = Z 1 c+ 1 n f (x)dx. Problema 3. Fie G un grup finit ¸ si fie x 1 , ..., x n o enumerare a elementelor sale. Consider˘ am matricea (a ij ) 1≤i,j ≤n , unde a ij =0,dac˘a x i x -1 j = x j x -1 i ,¸ si a ij = 1, ˆ ın caz contrar. Determinat ¸i paritatea num˘ arului ˆ ıntreg det(a ij ). Problema 4. Fie a un num˘ ar real, a> 1. Determinat ¸i numerele reale b ≥ 1 astfel ˆ ıncˆat lim x→∞ Z x 0 (1 + t a ) -b dt =1. Timp de lucru 4 ore. Fiecare problem˘ a este notat˘ a cu 7 puncte.
Transcript of CLASA a XII-a - neutrino.ro · Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a Etapa Judet˘ean a/a...
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana/a Sectoarelor Municipiului Bucuresti, 16 martie 2019
CLASA a XII-a
Problema 1. Fie n un numar natural nenul si fie G un grup finit de ordin n.O functie f : G → G are proprietatea (P), daca f(xyz) = f(x)f(y)f(z), oricare ar fix, y, z din G.
(a) Daca n este impar, aratati ca orice functie care are proprietatea (P) este unendomorfism al lui G;
(b) Daca n este par, ramane adevarata concluzia de la punctul (a)?
Gazeta Matematica
Problema 2. Fie n un numar natural nenul si fie f : [0, 1]→ R o functie integrabila.Aratati ca exista un punct c ın intervalul ınchis
[0, 1− 1
n
], astfel ıncat∫ c+ 1
n
c
f(x) dx = 0 sau
∫ c
0
f(x) dx =
∫ 1
c+ 1n
f(x) dx.
Problema 3. Fie G un grup finit si fie x1, . . ., xn o enumerare a elementelor sale.Consideram matricea (aij)1≤i,j≤n, unde aij = 0, daca xix
−1j = xjx
−1i , si aij = 1, ın caz
contrar. Determinati paritatea numarului ıntreg det(aij).
Problema 4. Fie a un numar real, a > 1. Determinati numerele reale b ≥ 1 astfelıncat
limx→∞
∫ x
0
(1 + ta)−b dt = 1.
Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.
