Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.
1
Examenul de bacalaureat 2012 Proba E. c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. DeterminaŃi numărul elementelor mulŃimii { }| 1| 24A x x= ∈ + ≤ℤ .
5p 2. DeterminaŃi coordonatele punctelor de intersecŃie a dreptei 2 1y x= − cu parabola 22 3 1y x x= − + .
5p 3. RezolvaŃi, în mulŃimea numerelor reale, ecuaŃia 3 1 7 1x x+ = + .
5p 4. Se consideră mulŃimea { }1,2, ,10A = … . DeterminaŃi numărul de submulŃimi cu 3 elemente ale
mulŃimii A, submulŃimi care conŃin exact 2 numere impare.
5p 5. DeterminaŃi ecuaŃia mediatoarei segmentului [ ]AB , unde ( )1, 2A − şi ( )3,4B .
5p 6. Ştiind că 0,2
xπ ∈
şi
1cos2
3x = , calculaŃi sin x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuaŃii
2
2
2
0
0
0
x my m z
mx m y z
m x y mz
+ + =
+ + = + + =
, unde m∈ℝ .
5p a) DeterminaŃi valorile lui m pentru care determinantul matricei sistemului este nul.
5p b) ArătaŃi că, pentru nicio valoare a lui m , sistemul nu are o soluŃie 0 0 0( , , )x y z cu 0 0 0, ,x y z
numere reale strict pozitive.
5p c) ArătaŃi că rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m∈ℝ .
2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie ( )1
12
x y x y xy= + − +∗ .
5p a) VerificaŃi dacă legea de compoziŃie ,,
,,* este asociativă.
5p b) ArătaŃi că legea de compoziŃie ,,
,,* admite element neutru.
5p c) RezolvaŃi ecuaŃia 3x x x =∗ ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcŃia ( ) 3: , 3 2f f x x x→ = − +ℝ ℝ .
5p a) CalculaŃi ( )
lim( )x
f x
f x→+∞ −.
5p b) DemonstraŃi că funcŃia f este descrescătoare pe intervalul [ ]1,1− .
5p c) DeterminaŃi m∈ℝ pentru care ecuaŃia ( )f x m= are trei soluŃii reale distincte.
2. Se consideră şirul ( )1 2
1 0, (1 )
nn nnI I x dx
≥= −∫ .
5p a) CalculaŃi 2I .
5p b) DemonstraŃi că şirul ( )1n n
I≥
este convergent.
5p c) DemonstraŃi că ( ) 12 1 2n nn I nI −+ = , pentru orice 2n ≥ .
Top Related