Model Baca Laure Atm 12012
1
Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare Probă scrisă la Matematică Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. 1 Examenul de bacalaureat 2012 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. DeterminaŃi numărul elementelor mulŃimii { } | 1| 24 A x x = ∈ + ≤ ℤ . 5p 2. DeterminaŃi coordonatele punctelor de intersecŃie a dreptei 2 1 y x = − cu parabola 2 2 3 1 y x x = − + . 5p 3. RezolvaŃi, în mulŃimea numerelor reale, ecuaŃia 3 1 7 1 x x + = + . 5p 4. Se consideră mulŃimea { } 1, 2, ,10 A = … . DeterminaŃi numărul de submulŃimi cu 3 elemente ale mulŃimii A, submulŃimi care conŃin exact 2 numere impare. 5p 5. DeterminaŃi ecuaŃia mediatoarei segmentului [ ] AB , unde ( ) 1, 2 A − şi ( ) 3, 4 B . 5p 6. Ştiind că 0, 2 x π ∈ şi 1 cos 2 3 x = , calculaŃi sin x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. Se consideră sistemul de ecuaŃii 2 2 2 0 0 0 x my mz mx my z mx y mz + + = + + = + + = , unde m ∈ ℝ . 5p a) DeterminaŃi valorile lui m pentru care determinantul matricei sistemului este nul. 5p b) ArătaŃi că, pentru nicio valoare a lui m , sistemul nu are o soluŃie 0 0 0 ( , , ) x y z cu 0 0 0 , , x y z numere reale strict pozitive. 5p c) ArătaŃi că rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m ∈ ℝ . 2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie ( ) 1 1 2 x y x y xy = + − + ∗ . 5p a) VerificaŃi dacă legea de compoziŃie ,, ,, * este asociativă. 5p b) ArătaŃi că legea de compoziŃie ,, ,, * admite element neutru. 5p c) RezolvaŃi ecuaŃia 3 x x x = ∗ ∗ . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcŃia ( ) 3 : , 3 2 f f x x x → = − + ℝ ℝ . 5p a) CalculaŃi ( ) lim ( ) x f x f x →+∞ − . 5p b) DemonstraŃi că funcŃia f este descrescătoare pe intervalul [ ] 1,1 − . 5p c) DeterminaŃi m ∈ ℝ pentru care ecuaŃia ( ) f x m = are trei soluŃii reale distincte. 2. Se consideră şirul ( ) 1 2 1 0 , (1 ) n n n n I I x dx ≥ = − ∫ . 5p a) CalculaŃi 2 I . 5p b) DemonstraŃi că şirul ( ) 1 n n I ≥ este convergent. 5p c) DemonstraŃi că ( ) 1 2 1 2 n n n I nI − + = , pentru orice 2 n ≥ .
description
Model Baca Laure Atm 12012
Transcript of Model Baca Laure Atm 12012
Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la Matematică Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.
1
Examenul de bacalaureat 2012 Proba E. c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. DeterminaŃi numărul elementelor mulŃimii { }| 1| 24A x x= ∈ + ≤ℤ .
5p 2. DeterminaŃi coordonatele punctelor de intersecŃie a dreptei 2 1y x= − cu parabola 22 3 1y x x= − + .
5p 3. RezolvaŃi, în mulŃimea numerelor reale, ecuaŃia 3 1 7 1x x+ = + .
5p 4. Se consideră mulŃimea { }1,2, ,10A = … . DeterminaŃi numărul de submulŃimi cu 3 elemente ale
mulŃimii A, submulŃimi care conŃin exact 2 numere impare.
5p 5. DeterminaŃi ecuaŃia mediatoarei segmentului [ ]AB , unde ( )1, 2A − şi ( )3,4B .
5p 6. Ştiind că 0,2
xπ ∈
şi
1cos2
3x = , calculaŃi sin x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuaŃii
2
2
2
0
0
0
x my m z
mx m y z
m x y mz
+ + =
+ + = + + =
, unde m∈ℝ .
5p a) DeterminaŃi valorile lui m pentru care determinantul matricei sistemului este nul.
5p b) ArătaŃi că, pentru nicio valoare a lui m , sistemul nu are o soluŃie 0 0 0( , , )x y z cu 0 0 0, ,x y z
numere reale strict pozitive.
5p c) ArătaŃi că rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m∈ℝ .
2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie ( )1
12
x y x y xy= + − +∗ .
5p a) VerificaŃi dacă legea de compoziŃie ,,
,,* este asociativă.
5p b) ArătaŃi că legea de compoziŃie ,,
,,* admite element neutru.
5p c) RezolvaŃi ecuaŃia 3x x x =∗ ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcŃia ( ) 3: , 3 2f f x x x→ = − +ℝ ℝ .
5p a) CalculaŃi ( )
lim( )x
f x
f x→+∞ −.
5p b) DemonstraŃi că funcŃia f este descrescătoare pe intervalul [ ]1,1− .
5p c) DeterminaŃi m∈ℝ pentru care ecuaŃia ( )f x m= are trei soluŃii reale distincte.
2. Se consideră şirul ( )1 2
1 0, (1 )
nn nnI I x dx
≥= −∫ .
5p a) CalculaŃi 2I .
5p b) DemonstraŃi că şirul ( )1n n
I≥
este convergent.
5p c) DemonstraŃi că ( ) 12 1 2n nn I nI −+ = , pentru orice 2n ≥ .
