1
MATEMATICI SPECIALE Prof. univ. dr. Gheorghe BARBU
2
1. Obiectivul disciplinei
Prezentarea, cunoaşterea şi însuşirea elementelor de bază şi a tehnicilor calcul privind funcţii complexe, transformări integrale, funcţii speciale, probabilităţi şi grafuri.
2. Desfăşurarea disciplinei Curs : 3 ore / săptămână. Seminar: / săptămână.
3. Programa analitică a cursului
I. Funcţii complexe------------------------------------------------------------------15 ore 1. Numere complexe------------------------------------------------------3 ore
Corpul numerelor complexe Planul complex Proprietăţile algebrice ale numerelor complexe Completarea planului complex Structura metrică şi topologică a planului complex Funcţii complexe de variabilă reală
2. Funcţii complexe de variabilă complexă-------------------------9 ore
Limite Continuitate Derivabilitate----------------------------------------2 ore Funcţii elementare----------------------------------1 oră Integrarea funcţiilor complexe -------------------3 ore Serii de funcţii complexe--------------------------3 ore
3. Teoria reziduurilor şi aplicaţii-------------------------------------3 ore
II. Transformări integrale---------------------------------------------------------------6 ore
Transformarea Fourier-------------------------------------- 2 ore Transformarea Laplace------------------------------------- 2 ore Aplicaţii--------------------------------------------------------2 ore
III. Funcţii speciale----------------------------------------------------------------------3 ore
Funcţiile lui Euler: Gama şi Beta-------------------------------2 ore Funcţii Bessel------------------------------------------------------1 oră
3
IV. Elemente de teoria pobabilităţilor------------------------------------------9 ore
Câmpuri de evenimente---------------------------------3 ore Variabile aleatoare. Caracteristici numerice----------3 ore Repartiţii clasice de probabilitate----------------------3 ore
V. Elemente de teoria grafurilor---------------------------------------------------6 ore
Grafuri neorientate--------------------------------------1 oră Grafuri orientate-----------------------------------------1 oră Algoritmi pentru determinarea fluxurilor optime---2ore Drumul critic-------------------------------------------- 1 oră Aplicaţii---------------------------------------------------1 oră
VI. Elemente de teoria aşteptării ---------------------------------------------------------------3 ore
Model general cu sosiri poissoniene şi timp de servire exponenţială--2 ore Tipuri de modele de aşteptare-----------------------------------------------1 oră
4. Bibliografie [1] Gheorghe Barbu, Matematici speciale. Note de curs., Tipografia Universităţii din Piteşti, 1992. [2] Gheorghe Barbu, Anca Barbu, Camelia Gheldiu, Probleme de matematici speciale, Tipografia Universităţii din Piteşti, 1993. [3] Gheorghe Barbu, Maria Jaică, Modele ale cercetării operationale, Editura Universităţii din Piteşti, 1999. [4] Gheorghe Sabac, Matematici speciale, vol.I-II, Editura Didactică şi Pedagogică, 1984 [5] Valter Rudner, Cornelia Nicolescu, Probleme de matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982. [6] Marin Nicolae Popescu, Matematici speciale, Editura Universităţii din Piteşti, 2002. [7] Gheorghe Mihoc, N. Micu, Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Didactică if Pedagogică, Bucureşti, 1980. 5. Evaluare Prezenţă la curs-----------------------------------------------------------------------------10 % Prezenţă activă la seminar-----------------------------------------------------------------10% Verificare periodică------------------------------------------------------------------------30% Temă de casă--------------------------------------------------------------------------------20% Examen final--------------------------------------------------------------------------------30%
4
Cursul nr. 1 Matematici speciale CAPITOLUL I FUNCŢII COMPLEXE 1. Numere complexe 1.1. Construcţia numerelor complexe Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr, având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n să aibă n soluţii în noua mulţime. Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea R2 = R×R = {(x,y) / x, yR}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) (x1, y1) • (x2, y2) = (x1x2 – y1y2, x1y2 + y1x2) Definiţie. Mulţimea R 2 înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus formează corp, numit corpul numerelor complexe, ale cărui elemente se numesc numere complexe: C = (R2, +, •) Observaţie. (R2, +, •) este corp comutativ, axiomele verificâdu-se imediat, ţinând cont de proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire a numerelor reale. Adunarea are proprietăţile:
asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C
există elementul neutru faţă de adunare, 0=(0,0) şi avem:
z+0=0+z , z C
pentru orice z=(x,y) C există opus lui
–z not (–x, –y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0
comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C
Înmulţirea are proprietăţile:
asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C
există elementul neutru faţă de înmulţire, 1=(1,0) şi avem:
z.1=1.z=0 , z C
5
pentru orice z=(x,y)C–{(0,0)} există inversul lui notatz1 sau z-1 astfel ca
z.z-1=z-1.z=1 care se mai poate scrie (x,y)•(x’,y’) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:
0''1''
xyyxyyxx
cu soluţia 22'yx
xx
şi 22'yx
yy
pentru (x,y) (0,0);
comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C
Demonstraţiile : temă pentu seminar. Forma algebrică a unui număr complex este z = x + i y, unde x este partea reală şi se notează x = Re z, y este partea imaginară şi se notează y = Im z, iar i este unitatea imaginară, i 2 = - 1. Simbolul z identificând orice număr complex se numeşte variabilă complexă. Mulţimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:
C = { x + i y | x, y R, i 2 = -1
Definiţie. Dacă z=x+iy este un număr complex, atunci:
conjugatul său, notat cu z se defineşte ca fiind iyxz ;
modulul său, notat cu |z| este numărul real nenegativ 22 yx .
Propoziţie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate următoarele proprietăţi:
1. 2121 zzzz , 2121 zzzz , zz
2. Re z = 2
zz , Im z = izz
2
3. 2zzz , 21
z
zz , z 0 , nn zz , nN
4. z = z z R
5. zz , zz , zz , R
6. 2121 zzzz , 2
1
2
1zz
zz
, 2z 0 , 2121 zzzz
2121 zzzz , 2121 zzzz
7. zzz Re , zzz Im
zzzz ImReRe , zzzz ImReIm
6
Demonstraţiile proprietăţilor algebrice 1 – 7: temă pentru seminar. 1.2. Planul complex Numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o axă pe care am fixat o origine şi o unitate de măsură. Dacă asociem fiecărei punct al dreptei (d) abscisa sa, se obţine o funcţie bijectivă de la punctele acestei drepte în mulţimea numerelor reale. Un număr complex z = x + i y este determinat de două numere reale x şi y. Dacă raportăm mulţimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistem de axe de coordonate ortogonale xOy cu originea în O, aplicaţia definită pe C cu valori în (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C în punctul M(x, y) este o bijecţie.
Punctul M se numeşte imaginea numărului complex z = (x, y) în planul (P), iar z se numeşte afixul lui M. Definiţia. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin funcţia bijectivă definită mai sus se numeşte planul complex. 1.3. Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe Fie z = x + i y un număr complex şi M(x,y) imaginea sa geometrică. Notăm cu
zOMr , iar cu unghiul format de axa reală pozitivă cu vectorul OM. Atunci
x
y
O
M(x,y)
( P )
7
Forma trigonometrică a numărărului complex z se scrie astfel:
z = r(cos ө + i sin ө)
unde r = |z| = 22 yx este modulul numărului complex, iar ө este unghiul făcut de
direcţia pozitivă a axei Ox cu vectorul OM , numit argumentul lui z. Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ө ' = ө + 2 π sau ө " = ө - 2π precum şi orice unghi de forma : ө + 2 k π, cu kZ. De aici rezultă că argumentul unui număr complex dat nu este unic, având o infinitate de valori ce diferă între ele printr-un multiplu de 2 π. Mulţimea argumentelor lui z se notează cu Arg z şi are forma: Arg z = { ө | ө = arg z +2kπ , kZ } Determinarea lui arg z se face ţinând seama de cadranul în care se află numărul complex. Exemple. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = i2
323 . Să se determine r, arg
z, Arg z şi să se scrie forma trigonometrică pentru fiecare.
Definiţie. Unghiul (0, 2 ) (sau ),( ), măsurat între direcţia pozitivă a axei Ox şi
direcţia vectorului OM , care se determină în mod unic ca soluţie a sistemului format din
ecuaţiile zx
cos şi zy
sin (z 0), se numeşte argumentul principal al lui z şi se
notează zarg .
Observaţii: 1. arg((0,0)) este nedeteminat
2. toate unghiurile θ ce determină direcţia vectorului OM se notează prin Arg z = arg
z+2kπ, kZ şi se numeşte argumentul lui z. În baza celor prezentate anterior rezultă forma trigonometrică a unui număr complex zC–{(0,0)}:
z = r (cos θ + i· sin θ), unde
Im z y M(x, y) |z| ө O x Re z
x=|z| cos ө y=|z| sin ө
8
22 yxzr
şi
θ =
)'semiaxa(0si0,2/3)semiaxa(0si0,2/
)semiaxa(0si0,0
)IVcadranul(0si0,arctg2
)'semiaxasauIIIsau IIcadranul(0,arctg
)Icadranul(0,,arctg
OyyxOyyx
Oxyx
yxxy
Oxxxy
yxxy
Propoziţie. Pentru orice numere complexe z1=r1(cosθ1 + i·sinθ1), z2=r2(cosθ2 + i·sin θ2) şi z = r(cos θ + i·sin θ) au loc relaţiile: 1. z1· z2 = r1r2·[cos(θ1+θ2)+ i·sin(θ1+θ2)]
2. 2
1
2
1rr
zz
·[cos(θ1–θ2)+ i·sin(θ1–θ2)]
3. z n = r n (cos nθ + i·sin nθ) , Nn Pentru r = 1 se obţine formula lui Moivre: (cos θ + i·sin θ)n = cos nθ + i·sin nθ
4. 1,0,2sin2cos
nkn
kin
krz nn
Exemple. 1. Să se calculeze (1 + i )100
2. Să se găsească valorile lui z pentru care z5 = - 32 şi să se figureze în planul complex aceste valori.
3. Pentru orice n N* să se rezolve ecuaţia 111
n
zz .
4. Să se găsească modulul, argumentul şi să se scrie sub formă trigonometrică, numerele
iiz
11
1 , 62 )31( iz .
5. Să se transcrie în coordonate complex conjugate ),( zz exuaţiile:
2 x + y = 5 , x2 + y2 = 10 1.4. Completarea planului complex cu punctul infinit În afară de reprezentarea numerelor complexe ca puncte ale planului complex, în multe situaţii este utilă reprezentarea lor geometrică, ca puncte ale unei sfere. Se consideră în
O
y’
y
x’ x I II
III IV
9
spaţiul de coordonate (u, v, w), un plan de coordonate (x, y), unde u=x, v=y (planul complex). Se consideră o sferă tangentă la planul complex în punctul corespunzător numărului complex 0 (originea).
Fie N punctul de pe sferă diametral opus lui O(polul nord). Fie M 1 un punct de pe sferă
distinct de N. Vom asocia punctului M 1 punctul M din plan în care dreapta NM 1
intersectează planul. Reciproc, unui punct M din plan îi vom asocia punctul M 1de pe sferă
în care dreapta MN intersectează sfera. Corespondenţa astfel realizată (între punctele
planului complex şi punctele sferei) se numeşte proiecţie stereografică. Când punctul M 1
se mişcă pe sferă şi se apropie de N, punctul din planul complex se depărtează, iar atunci
când M 1 coincide cu N, dreapta MN devine paralelă cu planul complex, ceea ce înseamnă
că punctul N nu are corespondent în planul complex. Dacă punctului N îi asociem punctul infinit şi reciproc, atunci se realizează o bijecţie între punctele de pe sferă şi planul complex.
Notăm }{ CC mulţimea numerelor complexe astfel completată, obţinând planul
complex compactificat sau planul lui Gauss. Prin definiţie, punctul de compactificare îl vom numi punctul infinit al planului lui Gauss. Introducerea lui s-a făcut prin proiecţie stereografică. Relaţii algebrice ale numerelor complexe cu z+=+z= , z C z.= .z= , z C–{0} 0
z , z C ,
0z , z C–{0}
10
1.5. Structura metrică şi topologică a planului complex Propoziţie. Aplicaţia d: C×CR, definită prin
d(z1, z2) = |z1–z2| , z1, z2 C este o metrică (distanţă) pe C. Demonstraţie: 1. d(z1, z2) = 0 |z1–z2| = 0 z1 – z2 = 0 z1 = z2 , z1, z2 C 2. d(z1, z2) = |z1 – z2| = |z2 – z1| = d(z2, z1) , z1, z2 C 3. d(z1, z3) = |z1 – z3| = |(z1 – z2) + (z2 – z3)| |z1 – z2| + |z2 – z3| = d(z1, z2) + d(z2, z3) , z1,
z2 C Definiţie. Mulţimea C pe care s-a definit metrica d se numeşte spaţiu metric, notat (C, d) Observaţie. Distanţa d coincide cu distanţa euclidiană pe R2. Fie z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 , atunci
d(z1,z2)=|z1-z2|=|(x1+iy1)–(x2+iy2)|=|(x1–x2)+i(y1–y2)| = 221
221 )()( yyxx
care reprezintă distanţa euclidiană dintre două puncte din plan, de coordonate (x1,y1) şi (x2,y2).
Definiţie. Fie z 0 C, z 0 . Mulţimea Δ(z0; r)={zC ; |z–z0|<r} se numeşte disc deschis
cu centrul în z0 şi de raza r (r>0) sau vecinătate deschisă a lui z 0 .
w
N
M’
M
v=y
u=x
11
Definiţie. Mulţimea Γ(z 0 ,r)={ z |zC , |z-z 0 |=r } se numeşte frontiera discului Δ(z0; r).
Adăugând discului frontiera sa se obţine discul închis. Definiţie. Mulţimea Δ(z0; r) ={zC ; |z–z0| r} se numeşte vecinătate închisă a punctului z0 sau disc închis.
Pe mulţimea C, relativ la metrica d, se poate introduce o topologie τ d .
Pentru a da o topologie pe o mulţime trebuie să vedem care este familia mulţimilor deschise. Definiţie. O clasă τ de submulţimi ale unei mulţimi X se numeşte topologie pe X, dacă verifică următoarele trei axiome:
1) Ф,Xτ
2) Dacă D1 , D 2 τ atunci şi D1 D2τ
3) Dacă D i τ pentru orice i aparţinând unei mulţimi arbitrare de indici I,
atunci Ii
Di
τ.
Definiţie. Cuplul (X,τ) se numeşte spaţiu topologic.
Definiţie. O mulţime V, VC se numeşte vecinătate a unui punct z 0 C dacă există discul
Δ(z 0 ,r), astfel încât Δ(z 0 ,r)V.
Definiţie. Mulţimea Δ(z0; r1, r2) = {zC; r1 < |z – z0| < r2} se numeşte coroana circulară centrată în z0 de raze r1 şi r2, unde r1, r2 > 0. Definiţie. Punctul z0C se numeşte punct interior mulţimii EC, dacă z0E şi există o
vecinătate VE a lui z 0 conţinută în întregime în E.
Mulţimea tuturor punctelor interioare lui E se noteaza cu E .
Definiţie. Mulţimea EC se numeşte mulţime deschisă dacă orice punct al său este punct interior. Observaţie. Orice reuniune finită de mulţimi deschise şi orice intersecţie finită de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. Mulţimea C este deschisă. Definiţie. Complementara mulţimii E este mulţimea C\E a tuturor punctelor care nu sunt în E. Se notează cu CE.
Observaţie. Un punct z 0 este exterior mulţimii E dacă există o vecinătate a sa conţinută în
întregime în CE. Definiţie. Mulţimea E este închisă dacă complementara sa este deschisă. Definiţie. Punctul z0C se numeşte punct aderent mulţimii EC dacă în orice vecinatate V a lui z0 există cel puţin un punct al mulţimii E. Mulţimea tuturor punctelor aderente multimii E se numeşte închiderea lui E şi se notează cu E . Definiţie. Mulţimea E se numeşte închisă dacă E = E .
12
Obsrevaţie. Mulţimile C şi Φ sunt închise şi deschise. Definiţie. Punctul z0C se numeşte punct de acumulare pentru mulţimea EC dacă în
orice vecinătate V a lui z0 există cel puţin un punct din E diferit de z 0 , zE–{z0} ((V–
{z0})E ). Mulţimea tuturor punctelor de acumulare ale lui E se numeşte derivata lui E şi se noteaza cu E (evident 'EEE ) Definiţie. Punctul z0C este punct frontieră al mulţimii EC dacă în orice vecinătate a lui z0 există puncte z z0 ce aparţin lui E şi puncte z z0 ce nu aparţin lui E. Mulţimea tuturor punctelor frontieră ale lui E se numeşte frontiera mulţimii E şi se
notează cu E (evident EEE C ).
Definiţie. Punctul z 0 se numeşte punct izolat al mulţimii E dacă există o vecinătate a lui
z 0 astfel încât Δ(z 0 ,r)\{z 0 }E=Φ.
Definiţie. Mulţimea E, EC este marginită dacă există discul Δ(0;r) astfel încat EΔ(0;r). Altfel se numeşte nemarginită. Definiţie. O mulţime închisă şi mărginită se numeşte mulţime compactă.
Definiţie. O mulţime deschisă EC se numeşte conexă dacă oricare ar fi z 1 ,z 2 E, ele pot
fi unite printr-o curbă continuă conţinută în E. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă a cărei frontieră este formată dintr-o singură curbă, se numeşte domeniu simplu conex. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă a cărei frontieră este formată din două sau mai multe curbe, se numeşte domeniu multiplu conex. Un domeniu multiplu conex se poate trensforma în domeniu simplu conex dacă se efectuează un anumit număr de tăieturi. Definiţie. Se numeşte tăietură o operaţie prin care se îndepărtează din domeniul respectiv acele puncte situate pe o curbă conţinută în domeniu şi care reuneşte două puncte de pe frontiere diferite, una interioară şi alta exterioară.
A B
z1 .
. z2
C
D = A U B nu este conexă C este conexă
13
Exemple. Fie A= { z C | |z| < 1 } , B = { z C | | z | > 1 } 1. Care este frontiera lui A ? 2. Ce fel de mulţimi sunt A şi B ? 3. Daţi exemplu de mulţime închisă. 4. Care din mulţimile de mai sus sunt conexe ? 5. Daţi exemplu de mulţime care nu este conexă.
2. Funcţii complexe de variabilă reală
Definiţie.. Fie ER. Se numeşte funcţie complexă de variabilă reală, aplicaţia mulţimii E de numere reale în corpul C al numerelor complexe:
f : ER C Notând cu t argumentul funcţiei, valoarea funcţiei în punctul t va fi un număr complex şi se va scrie:
f(t)=z(t)=x(t)+i y(t), tE Deci o funcţie complexă de variabilă reală este determinată de o pereche ordonată
x=x(t), y=y(t), tE de funcţii reale de variabilă reală.
Definiţia. Spunem că numărul complex l este limita funcţiei f în punctul de acumulare t 0
al lui E, dacă ε>0 δ(ε)>0, astfel încât pentru |t-t 0 |<δ, t E \ t 0 , avem |f(t)-l|<ε.
Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia complexă de variabilă reală f(t) să
aibă limită în punctul t 0 E este ca în acel punct să aibă limită funcţiile reale x(t) şi y(t),
tE.
Definiţie. Spunem că funcţia complexă de variabilă reală f este continuă în punctul t 0 E,
dacă ε>0 δ(ε)>0, astfel încât pentru |t-t 0 |<δ, t E , avem |f(t)-f(t 0 )|<ε.
Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia complexă de variabilă reală f(t) să fie
continuă în punctul t 0 E este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie continue în punctul t 0 E.
Definiţie. Spunem că funcţia f(t) este derivabilă în punctul t 0 E, dacă există
0
limtt
0
0 )()(tt
tftf
şi este finită.
Propoziţie. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţia complexă de variabilă reală f să fie derivabilă într-un punct este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie derivabile în acel punct.
f )()()(' 000 tyitxt
14
Definiţie. Diferenţiala funcţiei f în punctul t 0 E este numărul complex df(t 0 )= f (t 0 )dt
sau df(t)= x (t)dt+i 'y (t)dt.
Definiţie. Fie f : [a,b]RC o funcţie reală de variabilă complexă, continuă f(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] 2.1. Integrala funcţiei complexe de variabilă reală se defineşte astfel:
b
a
b
a
b
a
dttyidttxdttf )()()(
Observaţie. Multe dintre proprietăţile integralelor funcţiilor reale se păstrează şi în cazul integralelor funcţiilor complexe de variabilă reală, astfel:
1. Dacă f,g:[a,b] C sunt integrabile pe [a,b], atunci şi αf+βg este integrabilă pe [a,b], oricare ar fi α,β C.
b
a
b
a
b
a
dttgdttfdttgtf )()()]()([
2. Dacă f:[a,b] C este integrabilă pe [a,b], atunci oricare ar fi c[a,b], f este
integrabilă pe [a,c]şi pe [c,b] :
b
a
c
a
b
c
dttfdttfdttf )()()(
3. Dacă f:[a,b] C este integrabilă pe [a,b], atunci
b
a
a
b
dttfdttf )()(
4. Dacă f:[a,b] C este continuă pe [a,b], atunci f şi |f| sunt integrabile pe [a,b] şi
avem:
b
a
b
a
dttfdttf |)(||)(|
5. Dacă funcţia F(t) este o primitivă a funcţiei f:[a,b] C,
15
CdttFdttf )()( atunci b
a
aFbFdttf )()()( , ceea ce înseamnă ca se poate aplica
formula lui Newton-Leibniz.
Definiţie. Fie x(t) şi y(t) două funcţii definite pe [a,b] cu valori în R. Mulţimea punctelor Г din planul complex definită astfel: Г={z | z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] } luate în ordinea în care se obţin când parametrul t parcurge intervalul [a,b] crescând de la a la b, se numeşte curbă continuă, iar z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] reprezintă ecuaţia curbei. Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă netedă dacă admite o reprezentare de forma:
z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] unde x,y ],[1 baC
ceea ce înseamnă că z(t) este continuă şi 0)(' tz .
Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă netedă pe porţiuni dacă este formată dintr-un număr finit de curbe netede. Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă închisă dacă oricare ar fi o reprezentare a sa de forma: z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] x(a)=x(b), y(a)=y(b) Definiţie. O curbă Г se numeşte curbă simplă, dacă oricare ar fi o reprezentare a sa
z(t)=x(t)+iy(t), t[a,b] are propriettea )()(),()( 2121 tytytxtx dacă 021 tt oricare ar fi
].,[, 21 batt
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare
16
Cursul nr. 2 Matematici speciale 3. Funcţii complexe de variabilă complexă Fie D un domeniu simplu conex, DC. Definiţie. Spunem că am definit o funcţie complexă de variabilă complexă pe D cu valori în C, f : DCC dacă am dat o lege de corespondenţă care asociază fiecărui element din D, unul sau mai multe elemente din C. Dacă se notează cu z=x +iyD variabila funcţiei, atunci valoarea funcţiei în punctul z va fi numărul complex : w=f(z)=u(x,y) +iv(x,y), zDC unde funcţiile reale u(x,y)=Re f(z) , v(x,y)=Im f(z) reprezintă partea reală, respectiv imaginară a funcţiei complexe f.
Dacă notăm cu C z planul complex în care z=x+iy şi cu C w planul complex în care
w=u+iv, funcţia complexă w=f(z) asociază punctului M(z) din planul C z punctul N(w) din
planul C w .
Se poate spune că funcţia complexă defineşte o corespondenţă între planele C z şi C w prin
transformarea punctuală u(x,y)=Re z, v(x,y)=Im z.
Im w Im z
M(z)
N(w)
w=f(z)
Re z Re w
17
3.1. Limite şi continuitate Topologia planului complex fiind de fapt topologia spaţiului euclidian bidimensional R 2 , noţiunile de limită şi continuitate se extind cu uşurinţă şi în complex. Definiţii. Fie z0 punct de acumulare al mulţimii EC. Funcţia f : EC are limita l în punctul z0 (se scrie lzf
zz
)(lim
0) dacă este îndeplinită una din următoarele afirmaţii
echivalente:
1. pentru orice 0 există ),( 0z astfel încat Ez)( cu proprietatea 0<|z–z0|< avem
|f(z)–l|< . 2. pentru orice V vecinătate a lui l există U vecinătate a lui z0 astfel încât
UEz )( avem f(z)V.
3. pentru orice şir (zn)nE cu 0lim zznn
, şirul (f(zn))n este convergent şi lzf nn
)(lim .
Există variante obişnuite ale definiţiilor care corespund cazului l = ∞ sau z0 = ∞. De asemenea, se menţin rezultatele privind limita unei sume, a unui produs, etc., ca la funcţii reale. Propoziţie. Fie z0 = x0 + iy0 un punct de acumulare al mulţimii EC şi funcţia f:EC, f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Atunci 21)(lim
0illlzf
zz
dacă şi numai dacă ),(lim
),(),(1
00yxul
yxyx
şi ),(lim),(),(
200
yxvlyxyx
.
Definiţie. Fie z0E un punct de acumulare al mulţimii EC. Funcţia f : EC se numeşte continuă in z0 dacă )()(lim)( 0
0zfzf
zz
.
Definiţie. Se spune că funcţia f :EC este continuă în punctul z 0 E dacă oricare ar fi
ε>0, există un δ(ε)>0 astfel încât pentru orice z E cu proprietatea că |z-z 0 |< δ(ε) să avem
|f(z)-f(z0)|<ε.
Propoziţie. Dacă f(z)=u(x,y)+i v(x,y), atunci continuitatea funcţiei f în z 0 este echivalentă
cu continuitatea funcţiilor u=Re f(z), v=Im f(z) în punctul (x 0 ,y 0 ).
Definiţie. Funcţia f :EC este mărginită pe E dacă există 0<M< astfel încât |f(z)|M,
zE.
18
3.2. Derivabilitate Definiţie. Fie DC domeniu şi z0D. Functia f : DC este derivabilă (monogenă) în z0
dacă )()()(
lim)( 0not
0
0
0zf
zzzfzf
zz
(sau )()()(
lim)( 0not
000
zfh
zfhzfh
) şi este finită.
Observaţie. h este un număr complex arbitrar, z 0 +hD, iar limita respectivă nu depinde
de modul în care h0. Definiţia 47. O funcţie f : DC derivabilă în orice punct din D se numeşte olomorfă (analitică) pe D. Observaţie. O funcţie derivabilă într-un punct se numeşte monogenă în acel punct. Observaţie. O funcţie este olomorfă într-un punct dacă există o vecinătate a punctului respectiv astfel încât funcţia să fie monogenă în fiecare punct din acea vecinătate. Teoremă. Fie f,g : DCC două funcţii complexe de variabilă complexă. Dacă f şi g
sunt monogene într-un punct z0D, atunci şi funcţiile f, f g, fg, f/g (g(z 0 ) 0) sunt
monogene în acest punct şi între derivatele lor există relaţiile : 1. ),(])([ 00
zfzf zz C
2. )()(])()([ 000zgzfzgzf zz
3. )()()()(])()([ 00000zgzfzgzfzgzf zz
4. 0)(,)]([
)()()()(]
)()([ 02
0
00000
zgzg
zgzfzgzfzgzf
zz
Demonstraţiile nu diferă de cazul funcţiilor reale de variabilă reală. Teoremă. Fie D 1 , D 2 C două domenii şi f : D 1 D 2 , g :D
2C. Dacă f este monogenă
într-un punct z 10 D şi g este monogenă în punctul 2000 ),( Dwzfw , atunci funcţia
compusă h=g0h este monogenă în z 0 şi avem :
)())(()()(])([ 00000
zfzfgzfwgzh zz
Demonstraţiile : temă de seminar.
Teorema lui Cauchy-Riemann. Fie f : D C C, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Daca f este
monogenă în z0D, atunci există xu ,
yu ,
xv ,
yv într-o vecinatate a punctului z0 = x0 + iy0
şi satisfac condiţiile:
19
),(),(
),(),(
0000
0000
yxxvyx
yu
yxyvyx
xu
(condiţiile de monogenitate Cauchy-Riemann)
Reciproc, dacă funcţiile u(x,y) şi v(x,y) admit derivate partiale de ordinul I în raport cu x şi y într-o vecinătate a punctului z0, continue în z0 şi satisfac condiţiile Cauchy-Riemann, atunci f este monogenă în z0 şi avem:
),(),(),(),()( 000000000 yxyuiyx
yvyx
xviyx
xuzf
Demonstraţie:
“”(necesitatea) Cum funcţia f este monogena, atunci )()()(
lim)( 00
0
0zf
zzzfzf
zz
.
)()(),(),(),(),(
lim)()(
lim)(00
0000
0
00
00 yyixxyxivyxuyxivyxu
zzzfzfzf
zzzz
=
=)()(
),(),(lim
)()(),(),(
lim00
00
00
00
00 yyixxyxvyxv
iyyixxyxuyxu
zzzz
Presupunând că 0zz pe o paralelă la axa reală ( y = y0, 0xx ) rezultă că
0
000
0
0000
),(),(lim
),(),(lim)(
00
00 xx
yxivyxvi
xxyxuyxu
zf
yyxx
yyxx
),(),()( 00000 yxxviyx
xuzf
(1.1)
Analog, presupunând că 0zz pe o paralelă la axa imaginară Oy ( x = x0, 0yy )
rezultă că
)(
),(),(lim
)(),(),(
lim)(0
000
0
0000
00
00 yyi
yxvyxvi
yyiyxuyxu
zfxx
yyxx
yy
),(),(),(),(1)( 000000000 yxyvyx
yuiyx
yvyx
yu
izf
(1.2)
Din relaţiile (1.1) şi (1.2) rezultă că
),(),(),(),()( 000000000 yxyuiyx
yvyx
xviyx
xuzf
de unde se obţine
20
),(),(
),(),(
0000
0000
yxxvyx
yu
yxyvyx
xu
“”(suficienţa) Cum u şi v admit derivate partiale de ordinul I continue în (x0, y0), din formula creşterilor finite rezultă că
),()(),()(),(
)(),(
)(),(),(
),()(),()(),(
)(),(
)(),(),(
201000
000
000
201000
000
000
yxyyyxxxy
yxvyy
xyxv
xxyxvyxv
yxyyyxxxy
yxuyy
xyxu
xxyxuyxuunde
funcţiile 2121 ,,, tind la zero când 0zz (adica 0xx şi 0yy ).
)()()],(),([),(),()()(
00
0000
0
0yyixx
yxvyxviyxuyxuzz
zfzf
= )()(
),()(),()(),()(),()(
00
2010000000
yyixx
yxyyyxxxyxyuyyyx
xuxx
+
+)()(
),()(),()(),()(),()(
00
2010000000
yyixx
yxyyiyxxxiyxyvyyiyx
xvxxi
=
)()(
),()(),()(),()(),()(
00
000000000000..
yyixx
yxyuyyiyx
xvxxiyx
yvyyiyx
xuxx
RC
+
+ )()(
),(),()(),(),()(
00
220110yyixx
yxiyxyyyxiyxxx
=
=)()(
),()(),()(),()(),()(
00
000000000000
yyixx
yxxvyyiyx
xvxxiyx
xuyyiyx
xuxx
+
+ )()(
),(),()(),(),()(
00
220110yyixx
yxiyxyyyxiyxxx
=
= ),( 00 yxxu + i ),( 00 yx
xv + ),(),( 11
0
0 yxiyxzzxx
+ ),(),( 22
0
0 yxiyxzzyy
.
21
Cum 000 )Re( zzzzxx , 000 )Im( zzzzyy şi ),(lim 10
yxzz
=
= ),(lim 20
yxzz
= ),(lim 1
0yx
zz
= ),(lim 2
0yx
zz
= 0 rezultă că
),(),()()(
lim 00000
0
0yx
xviyx
xu
zzzfzf
zz
ceea ce demonstrează că funcţia f este monogenă în punctul z0 şi că
),(),(),(),()( 0000...
00000 yxyuiyx
yvyx
xviyx
xuzf
RCcond
.
Propoziţie. Orice funcţie monogenă într-un punct este continuă în acel punct. Reciproca nu este adevărată.
Exemplu. Funcţia f(z)= z este continuă în orice punct z 0 dar nu este monogenă.
Consecinţă. Dacă o funcţie olomorfă într-un domeniu D are derivate nulă, atunci ea este constantă în domeniul D. Observaţie. Ca o consecinţă a teoremei Cauchy-Riemann se poate determina o funcţie olomorfă pe un domeniu, când i se cunoaşte doar partea reală sau doar partea imaginară. Observaţie. Funcţiile monogene f(x,y) = u(x, y) + i·v(x, y) pot fi scrise sub forma w = f(z) observând că w = f(z) = u(z,0) + i·v(z,0), adică în expresia funcţiei în parametri x şi y luăm y = 0 şi înlocuim x cu z. Exemple. 1. Să se determine constantele a, b, c, d astfel încât funcţia
f(x,y) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2) să fie olomorfă pe C. Scrieţi expresia funcţiei folosind variabila z.
2. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că
u(x,y) = ye x cos şi f(0) = 1.
3. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că
v(x,y) = 2 ye x sin şi f(0) = 0.
3.3. Funcţii complexe elementare
Funcţiile complexe elementare sunt extensii la mulţimea C a funcţiilor definite pe R. Funcţia putere: f: CC, f(z)= zn (nN) f(z) = zn = [r(cos+i· sin )]n = r n (cos nθ + i·sin nθ) = rncos nθ + i·rnsin nθ Funcţia polinomială: f: CC, f(z)= anzn + an-1zn-1 + … + a1z1 + a0 (nN, a0, a1,…, anC, an 0) este olomorfă pe C, iar derivata sa are aceeaşi formă ca în cazul funcţiilor reale.
22
Funcţia raţională: f:{zC / Q(z) 0}C, f(z)=)()(
zQzP este olomorfă pe tot domeniul
{zC / Q(z) 0}, iar derivata sa are aceeaşi formă ca în cazul funcţiilor reale.
Funcţia radical de ordin n: f: CC, f(z) = n z (nN, n2)
f(z) = 1,0,2
sin2
cos)sin(cos
nkn
kin
krirz nnn .
Funcţia radical nu este olomorfă pe tot planul C.
Funcţia exponentială: f: CC, f(z) = ze
f(z) = ze = iyxe = iyx ee = )sin(cos yiye x = yeiye xx sincos .
Funcţia exponentială este olomorfă pe C, iar zz ee
; în plus, este periodică de perioada
principală i2 , pentru că )2( izf = ize 2 = iz ee 2 = )2sin2(cos ie z = ze = f(z).
Funcţia logaritmică: f: C–{0}C, f(z) = ln z
f(z) = ln z = )ln( )2( kier = ln r + ln )2( kie = ln r + )2( ki , unde kZ.
Funcţia putere generalizată: f: CC, f(z)= z (C)
f(z) = z0
z ze ln =
)2(ln kierebia
)]2([ln)( kirbiae =
= )2(ln kbrae · ]ln)2([ rbkaie =
= )2(ln kbrae · rbkairbka ln)2(sinln)2(cos
Funcţii circulare (sinus şi cosinus):
2cos
2sin
iziz
iziz
eez
ieez
, C z)( (formulele lui Euler)
Funcţii hiperbolice:
2
2zz
zz
eezch
eezsh, C z)(
23
Proprietăţi: 1. cos iz = ch z
sin iz = i · sh z ch iz = cos z sh iz = i · sin z
2. Funcţiile circulare şi hiperbolice sunt olomorfe pe C şi au derivatele: (cos z)’ = – sin z (sin z)’ = cos z (ch z)’ = sh z (sh z)’ = ch z
3. Funcţiile circulare au perioada principală 2 , iar cele hiperbolice i2 . 4. Pentru oricare ar fi z1, z2, zC se pot demonstra relaţiile:
cos(z1 + z2) = cos z1·cos z2 – sin z1·sin z2 sin(z1 + z2) = sin z1·cos z2 + sin z2·cos z1 sin2z + cos2z = 1 sin 2z = 2·sinz·cos z cos 2z = cos2z – sin2z ch(z1 + z2) = ch z1·ch z2 + sh z1·sh z2 sh(z1 + z2) = sh z1·ch z2 + sh z2·ch z1 ch2 z – sh2 z = 1 sh 2z = 2 · sh z · ch z ch 2z = ch2 z + sh2 z
Demonstraţiile: temă pentru seminar. Exemple. Să se aducă sub forma A+iB expresiile :
ei , sh 2i , ch (2+3i) , cos(1–i) , ln(1+i) , ie Temă de casă nr.2
1. Să se determine constantele a şi b astfel încât funcţia f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)
să fie olomorfă pe C. 2. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că
u(x,y) = x3 – 3y2x – 2y şi f(0) = 0. 3. Să se determine funcţia olomorfă (pe C) f = u + iv ştiind că
v(x,y) = x2 – y2 + xy şi f(0) = 0. 4. Calculaţi
(1+i)25, 31 ie , ln(-2+2i), ln(4i-3), i
i
31ln , 2i , ii 1)31( , ii , sin(1+i),
tg(1-2i), ch(4i-3)
24
Cursul nr. 3 Matematici speciale 3.4 Integrarea funcţiilor complexe de variabilă complexă Fie f : DCC şi o curbă de lungime finită ГD, netedă sau netedă pe porţiuni, iar f continuă pe Г, ale cărei ecuaţii parametrice sunt date de x=x(t), y=y(t), t[a,b].
Luăm pe Г o diviziune prin punctele .,.......,, 10 bzzza n
Pe fiecare arc ce uneşte z 1k cu z k (1kn) alegem un punct k .
Formăm sumele :
S ))((),,( 11
kk
n
kknn zzfdf
Notăm : max{|
nd |}1 kk zz
Dacă
0
))((lim),,(lim 11
nd
k
n
kkknn zzfdfS
există, indiferent de alegerea punctelor k pe arcele de curbă ce unesc punctele kk zz ,1 ,
spunem că f esteintegrabilă de-a lungul curbei Г între a şi b şi se notează limita cu
dzzf )(
sau b
a
dzzf .)(
Notăm cu f(z)=u(x,y)+i v(x,y)
kkkkkkkkk
kkkkkkkk
iyxzyyixxzz
iyxyxivyxuf
),(
),,(),()(
111
0
))((lim),,(lim 11
nd
k
n
kkknn zzfdfS
=
))())(,(),(( 111
kkkkkkk
n
kk yyixxyxivyxu =
25
dxyxvdyyxuidyyxvdxyxu
xxyxvyyyxuiyyyxvxxyxu kkkkkkkkkkkkkkk
n
kk
),(),(),(),(
))])(,())(,(())(,())(,([ 11111
Exemplu. Să se calculeze
dzz de la z=0 la z=4+2i de-a lungul curbei Г dată de z=t 2 +i t.
3.4.1. Proprietăţi ale integralei complexe
1. Dacă f(z) şi g(z) sunt integrabile pe Г , atunci
dzzgdzzfdzzgzf )()())()((
se numeşte liniaritatea integralei complexe în raport cu funcţia, , C.
2.
dzzfdzzf )()(
schimbarea orientării pe drumul de integrare sau pe curba de integrare conduce la schimbarea semnului valorii integralei. 3.
21 1 2
)()()( dzzfdzzfdzzf
aditivitatea integralei complexe la drum. Г 1 , Г 2 fiind două arce succesive.
4. Fie z=g(ξ) continuă de ξ=u+i v. Presupunem că, curbei Г în planul z, îi corespunde curba Г ' în planul ξ şi că derivata g ' (ξ) este continuă pe Г ' . Atunci
dggfdzzf )())(()(
5. izz
dz 20
rzz |:| 0
6. Lungimea drumului de integrare Г : z=z(t), t[a,b] este dată de formula :
b
a
dttzL |)(|)(
7. Fie DC şi un arc de curbă D , netedă sau netedă pe porţiuni şi f :DC continuă pe Г. Fie L(Г) lungimea arcului de curbă Г şi M=sup|f(z)|. În aceste condiţii avem : zГ
26
)(|)(| MLdzzf
3.4.2. Teorema fundamentală a lui Cauchy
Dacă : a) D este un domeniu simplu conex, DC,
b) f :DC , f C ' (D)
atunci
,0)( dzzf oricare ar fi curba Г simplă, închisă, netedă sau netedă pe porţiuni,
situată în întregime în D. Demonstraţie : Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy
vdxudyivdyudxdzzf )(
Integralelor din membrul doi le aplicăm formula lui Green-Riemann :
dxdyyP
xQQdyPdx
D
)(
Unde Г este frontiera domeniului compact D ' , iar P,Q sunt continue, cu derivate
parţiale xQ
yP
, continue pe D .
Aplicarea formulei lui Green-Riemann este posibilă deoarece
yvi
yu
ixvi
xuzf
(1)( )
Deoarece f C ' (D) rezultă că u,v C ' (D) if se obţine:
dxdyyu
xvvdyudx
D
)(
, DDD
dxdyyv
xuvdxudy
D
)(
27
Aplicând condiţiile lui Cauchy-Riemann integralelor duble din membrul doi, ele vor fie egale cu zero şi teorema este demonstrată. Definiţie. O mulţime deschisă şi conexă a cărei frontieră este formată din mai multe curbe se numeşte multiplu conexă. Definiţie. O mulţime deschisă şi multiplu conexă se numeşte domeniu multiplu conex. Observaţie. În cazul în care domeniul este multiplu conex se utilizează generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.
3.4.3. Generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy. Dacă :
a) D este un domeniu multiplu conex delimitat de curba Г 0 în exterior şi curbele
Г k (k=1,n) în interior, netede sau netede pe porţiuni, care sunt frontiere ale
unor domenii mărginite D k D ;
b) f :DC , f este olomorfă pe D, atunci:
0 1 2
)(......)()()(n
dzzfdzzfdzzfdzzf
Demonstraţie : Fie nCCC .,,.........21, arce de curbă ce realizează n tăieturi în domeniul D,
unind respectiv un punct de pe n ..,,........., 21 cu un punct de pe 0 , astfel încât
oricare două din arcele nCCC .,,.........21, nu se intersectează.
După efectuarea tăieturilor cu ajutorul arcelor nCCC .,,.........21, , domeniul D se transformă
într-un domeniu simplu conex, funcţia f fiind olomorfă pe D se poate aplica teorema lui Cauchy. Frontiera Г a domeniului D simplu conex este dată de :
0 1 1 1
)()(.....)()()(........)()()(
................ 1110
n n nC C C C
nnn
dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf
CCCC
Ţinând seama că
k kC C
dzzfdzzf )()( iar
0)( dzzf
Se obţine :
0 1
0)(.............)(n
dzzfdzzfdzzf
28
Rezultă:
0 1
)(..................)()(n
dzzfdzzfdzzf
Observaţie. Sensul pozitiv de parcurgere al unei curbe închise este sensul în care deplasându-ne de-a lungul curbei, domeniul delimitat de aceasta rămâne în partea stângă. Consecinţa teoremei lui Cauchy. Dacă :
a) D este un domeniu simplu conex : b) L
1,L 2 D sunt două arce de curbă simple, netede sau netede pe porţiuni
care au aceleaşi extremităţi z 0 şi z şi sunt orientate de la z 0 la z ;
c) f :DC, f este olomorfă pe D,
atunci
1 2
)()(L L
dzzfdzzf
3.4.4. Formula integrală a lui Cauchy. Teorema. Dacă:
a) D este un domeniu simplu conex; b) f : DCC, f olomorfă pe D, atunci oricare ar fi curba Г situată în întregime în
D, netedă sau netedă pe porţiuni si oricare ar fi ,z fiind domeniul mărginit de
Г, are loc formula :
dtzt
tfi
zf
)(
21)(
cunoscută sub numele de formula integrală a lui Cauchy. Demonstraţie : Domeniul Δ fiind o mulţime deschisă, rezultă că oricare ar fi z
există un disc ),(1 rz cu centrul în z şi rază r, suficient de mică astfel încât, împreună
cu frontiera γ , să fie inclus în Δ.
Fie ),(\ 1 rz . Frontiera Γ şi γ sunt orientate pozitiv, adică în sens trigonometric.
Considerăm funcţia :
:,)()( gzt
tftg C olomorfă în (delimitat de Γ şi γ) dublu
conex şi conform teoremei generalizate a lui Cauchy avem :
29
0)()(
dzzgdzzg sau
dtzt
tfdtzt
tf )()(
Ţinând seama de continuitatea funcţiei f în punctul z, avem :
ztdtzfdt
ztzftfdt
ztzfzftfI )()()()()()(
Dar )(2)()(,2 zifzt
zftfIizt
dt
Trebuie demonstrat că integrala I0 când r0.
Funcţia f fiind continuă în punctual z, rezultă că dacă oricare ar fi ε>0, există un δ(ε)>0 astfel încât pentru orice Dt cu proprietatea că |t-z|< δ(ε) să avem |f(t)-f(z)|<ε.
Dacă r< )( pentru orice t , avem:
rzt
zftfzt
zftf
|||)()(||)()(|
)(,22||||||
|)()(||)()(|
rr
dtr
dtzt
zftfdtzt
zftf 0
Rezultă că 00)()(lim
ztzftf
r , deci dtzttf
iI
izfzifI
)(21
21)()(2
Observaţie. Formula integrală a lui Cauchy este consecinţă directă a teoremei integrale a lui Cauchy, obţinând o relaţie foarte importantă între valorile funcţiei pe frontiera domeniului şi valorile funcţiei în interiorul domeniului. Cu alte cuvinte, dacă funcţia f este olomorfă pe un domeniu şi i se cunosc valorile pe o curbă, formula integrală a lui Cauchy ne permite să calculăm valorile funcţiei f în orice punct din interiorul acelei curbe. Această proprietate este specifică funcţiilor de variabilă complexă. Exemplu. Să se calculeze :
cbzaz
dzI 2
30
Unde Г este o curbă simplă, închisă, netedă sau netedă pe porţiuni care nu conţine
punctele 21 , zz soluţii ale ecuaţiei az 2 +bz+c=0.
Exemplu. Să se calculeze integrala :
I= dzizz
z
iz 2|| )3(
cos
3.4.5. Integrala de tip Cauchy Definiţie. Fie f : EC o funcţie complexă continuă pe mulţimea deschisă EC şi un arc de curbă neted sau neted pe porţiuni, ГE. Funcţia :
F(z)= dtzt
tf
)( , z C
se numeşte integrala de tip Cauchy. Teoremă. Funcţia F(z) (integrala de tip Cauchy) este monogenă în orice punct zC\Г, iar derivata sa se obţine derivând sub semnul de integrare în raport cu z:
)(zF dtzttf
2)(
)( , z C
Demonstraţie : Fie D=C\Γ , Dz un punct arbitrar, ,(z ) un disc cu centrul în z şi
raza ρ suficient de mică astfel încât acest disc împreună cu frontiera sa γ să fie inclus în D.
Fie z+h ).,( z Calculăm diferenţa:
dtzthzt
tfhdttfzthzt
dtzt
tfdthzt
tfzFhzF
))((
)()()11()()()()(
Folosim identitatea:
)()()(
1))((
122 ztzth
ztzthzt
dthztzt
tfhdtzttf
hzFhzF
)()()(
)()()()(
22
31
Trebuie demonstrat că a doua integrală din membrul doi tinde către zero când h tinde către zero. Ţinând seama de faptul că f(t) este continuă pe mulţimea E, rezultă f(t) continuă pe arcul de curbă Г conţinut în E. Un arc de curbă este format dintr+o mulţime de puncte închisă. O funcţie continuă pe o mulţime închisă este mărginită. Fie M=sup|f(t)| t
Deoarece t şi ),,( hzhz avem || zt .
Dar |||||||| hhzthzt
)(|)|(
||
||)(|)(||||
))()(||||
)()()(|
2
222
Lh
Mh
dthztzt
tfhdthztzt
tfhdthztzt
tfh
0)()()()()(lim0
)()()(lim 22
h
dtzttfzF
hzFhzFdt
hztzttfh
Teoremă. Dacă :
a) D este un domeniu simplu conex : b) f : DCC este olomorfă pe D; c) Г este o curbă simplă închisă, netedă sau netedă pe porţiuni, situată în întregime în D, împreună cu domeniul mărginit a cărui frontieră este; atunci (oricare ar fi curba Г) funcţia f este indefinite derivabilă (admite derivate de orice ordin) pe D if avem:
zdt
zttf
inzf n
n ,)()(
2!)( 1
)(
Demonstraţie : Conform formulei integrale a lui Cauchy:
zdtzt
tfi
zf ,)(
)(21)(
Aplicăm teorema precedentă funcţiei )(21 tf
i se obţine :
32
zdtzttf
izf ,
)()(
21)( 2
Derivând sub semnul integralei, avem :
zdtzttf
izf ,
)()(
2!2)( 3
Prin inducţie, repetând acest raţionament, se obţine:
zdt
zttf
inzf n
n ,)()(
2!)( 1
)(
n fiind un număr natural, arbitrar, rezultă că funcţia f este indefinit derivabilă. Exemplu. Să se calculeze integrala:
I= dzzz
z
z 3|1|
3 )5()2(
Temă de casă nr. 3
1. Să se calculeze 2|:|,)3( 2
zdzzz
2. Să se calculeze integralele :
dzzz
z
zdzdz
ize
zzz
z
1|1|
22||
23|| )3()1(
)4
sin(,
1,
2
, dzizz
z
iz 2 )3(
sin , dzz
z
z 1
2 9
33
Cursul nr. 4 Matematici speciale 3.5 Reprezentarea funcţiilor complexe prin serii
Definiţie. Se numeşte serie de numere complexe suma
......211
n
nn zzzz ,
unde znC, n≥1.
Definiţie. Se spune că o serie numerică este convergentă şi are suma S dacă şirul sumelor
parţiale converge către S ( SSnn
lim)( , unde Sn = z1 + z2 + … + zn => Sz
nn
1
convergentă). Altfel se numeşte divergentă. Observaţie. Condiţia necesară ca o serie să fie convergentă este ca 0lim
n
nz
( 0lim nn
z => serie divergentă)
Propoziţie. Seria
1nnz , cu zn = xn + iyn este convergentă şi are suma S = X + iY dacă şi
numai dacă seriile reale
1nnx şi
1nny sunt convergente şi au suma X, respectiv Y.
Definiţia 53. Fie (fn)n≥1 un şir de funcţii complexe, fn : DC→C. Se numeşte serie de
funcţii complexe suma
1nnf .
O clasă importantă de serii de funcţii o constituie seriile de puteri numite şi serii întregi. Definiţie. Se numeşte serie de puteri o serie de forma
...)(...)()()( 00
2020100
nn
n
nn zzczzczzcczzc ,
unde z0, z, cnC pentru n≥0. 3.5.1 Seria Taylor Definiţe. Fie f :DC→C o funcţie olomorfă pe D şi z0D un punct arbitrar. Seria
34
...)(...)()()( 00
2020100
nn
n
nn zzczzczzcczzc
unde
!
)( 0)(
nzfc
nn
se numeşte seria Taylor a funcţiei f în jurul lui z0. Pentru z0=0 seria se numeşte serie Mac-Laurin. Teorema. Fie f :DC→C o funcţie olomorfă pe D şi z0D.
Fie ),( 0 rz un disc deschis cu centrul în z0 raza r>0, a cărui frontieră o notăm cu .
Dacă discul D , , atunci seria Taylor a funcţiei f în jurul punctului z0 este
convergentă pe şi oricare ar fi z din interiorul acestui disc are loc egalitatea :
nn
k
nn
czzzfnzz
zfzz
zfzf )(........)(!
)(......)(
!1)()(
000
)(00
00
unde
)(!
10
)( zfn
c nn , z
Demonstraţie.
În mod firesc se pune întrebarea dacă seria
00
0)(
)(!
)(
n
nn
zzn
zf este convergentă şi spre
cine converge.
Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri
00 )(
n
nn zzc , există un număr real
],0[ R numit rază de convergenţă astfel încât seria converge în discul Rz şi diverge
în exteriorul său.
n n
nc
R
lim
1 sau 1
lim
n
nn c
cR .
Exemplu: Să se determine raza de convergenţă ale seriei
0
3
)!3()!(
n
nzn
n
Definiţie. Orice funcţie olomorfă pe C se numeşte funcţie întreagă.
35
Observaţii:
Funcţiile polinomiale, exponenţiale, hiperbolice şi circulare sunt întregi.
Seria Taylor a unei funcţii întregi în jurul oricărui punct din D are raza de
convergenţă R = ∞. Exemplu. Funcţia f:C→C, f(z) = ez este olomorfă pe C şi deci admite dezvoltare în serie
Taylor în jurul oricărui punct din C. Cum 0)(,)()( nezf zn rezultă că
ze = 0ze + 0!1
0 zezz +…+ 0!0 z
ne
nzz +…
Pentru z0=0 se obţine
ze = 1 + !1z +
!2
2z +…+!n
zn+…, z)( C.
Observatie. Analog se obţin dezvoltările în serie Mac-Laurin a altor funcţii întregi
sin z = z – !3
3z + !5
5z + … + )!12(
)1(12
nz n
n +…, z)( C
cos z = 1 – !2
2z + !4
4z + … + )!2(
)1(2
nz n
n +…, z)( C
sh z = z + !3
3z + !5
5z + … + )!12(
12
nz n
+…, z)( C
ch z = 1 + !2
2z + !4
4z + … + )!2(
2
nz n
+…, z)( C
Exemplu. Fie f:C→C, f(z) = z3 – 2z2 + 3z – 1. Să se dezvolte funcţia f în serie Taylor în jurul lui z0 = –2. Seriile geometrice:
z1
1 = 1 + z + z2 + … + zn + … , pentru 1z
z1
1 = 1 – z + z2 – … + (-1)nzn + … , pentru 1z .
Exemplu. Dezvoltaţi funcţia f:C→C, f(z) = 221
1
z în serie Mac Laurin.
3.5.2 Serii Laurent Fie f: }{ 0 RzzrzD →C olomorfă pe D si z0D.
Definiţie. Se numeşte serie Laurent a funcţiei f centrată în z0 o serie de forma
36
n
nnn
nnn zzczzcc
zzc
zz
czzc
taylorianapartea0010
principalapartea
0
1
00 ...)(...)(
)(...
)(...)(
unde
dt
zztf
ic nn
)()(
21
0.
Unei serii Laurent i se asociază două serii de funcţii :
nn
nczz
1
0 )( care se numeşte partea principală
şi
nn
nczz
0
0 )( care se numeşte partea tayloriană.
Definiţie. Seria Laurent este convergentă într-un punct z0 din C dacă partea principala şi partea tayloriană sunt convergente în punctul z0. Suma unei serii Laurent, convergentă într-un punct z este egală cu suma părţii principale, la care se adaugă suma părţii tayloriene.
Suma unei serii Laurent este convergentă pe o coroană circulară ),,( 210 rrz şi suma sa este
olomorfă pe această coroană circulară. Teoremă. Fie f :DC→C o funcţie olomorfă pe D şi z0D un punct arbitrar. Fie Δ(z0; r Fie }{),,( 201210 rzzrCzrrz o coroană circulară cu centrul în şi z0 raze
0, 21 rr ale cărei frontiere le notăm cu 21 , . Dacă discul închis 21 este inclus
în D, atunci funcţia f admite o dezvoltare în serie Laurent, convergentă pe acestă coroană şi oricare ar fi z în interiorul ei are loc egalitatea :
n
nn zzczf )()( 0 ,
unde
!
)( 0)(
nzfc
nn sau dt
zttf
ic nn
10 )()(
21
fiind un cerc cu centrul în z0 şi de rază ].,[ 21 rrr
37
Exemplu. Dezvoltaţi funcţia f(z) = 3)2( ze z
în serie Laurent în jurul lui z0 = 2.
Exemplu. Să se dezvolte în serie de puteri ale lui z în jurul lui z0 = 0 funcţia f:C–{2, 3}→C,
f(z) = )3)(2(
1 zz
.
în coroana circulară 2< z <3
3.6. Singularităţile unei funcţii complexe
Fie f : E→C, E o mulţime deschisă din C, EC.
Definiţie. Punctul 0z C se numeşte punct ordinar pentru f dacă există o vecinătate
),( 0 rz {zC,│z-z0│<r} a lui z0 în care f este olomorfă.
De aici se desprinde concluzia că dacă f este olomorfă pe un domeniu DE, toate punctele domeniului sunt puncte ordinare ale funcţiei.
Definiţie. Punctul 0z C se numeşte punct singular izolat al lui f dacă există un număr
real r>0 astfel încât f este olomorfă în coroana circulară {zC, 0 <│z-z0│< r}, dar nu este definită sau nu este monogenă în z0. În ceea ce priveşte natura punctelor singulare izolate ale funcţiei f, există trei posibilităţi:
1) Punctul singular izolat 0z C se numeşte punct singular aparent (înlăturabil,
eliminabil) al lui f dacă },0{)()(lim)(0
finitlzfzz
.
De exemplu, pentru funcţia f(z)=z
zsin punctul z =0 este singular aparent, pentru că
în acest punct funcţia nu este definită, pe C-{0} funcţia este olomorfă, iar },0{1)(lim
0
zfzz
.
2) Punctul singular izolat 0z C se numeşte punct singular esenţial al funcţiei f dacă
nu există )(lim0
zfzz
.
De exemplu, pentru funcţia f(z)=2/1 ze punctul z=0 este punct singular esenţial
pentru că funcţia nu este definită în punctul z=0, este olomorfă pe C-{0} şi cum
38
)(lim0
zfxz
z
=2/1
0lim xx
e
= ee 0/1 , iar )(lim0
zfiyz
z
=2)/(1
0lim iyy
e
= 00/1 ee
rezultă că nu există )(lim0
zfzz
.
3) Punctul singular izolat 0z C se numeşte pol de ordinul k al funcţiei f dacă
)(lim0
zfzz
şi },0{)()(lim 00
zfzz kzz
.
De exemplu, pentru funcţia f(z)=)1(
1zz
punctele z=0 şi z=1 sunt poli de ordinul I
(poli simpli) pentru că funcţia nu este definită în aceste puncte, este olomorfă pe C-
{0, 1} şi 01)(lim
0zf
z,
01)(lim
1zf
z,
},0{11
1lim)()0(lim0
10
z
zfzzz
, iar },0{11lim)()1(lim1
11
z
zfzzz
.
Definiţie. O funcţie f se numeşte meromorfă într-un domeniu, dacă în acel domeniu nu are alte singularităţi decât poli.
De exemplu, funcţia f(z) =23
12 zz
este meromorfă (z=1 şi z=2 sunt poli simpli şi nu are
alte singularităţi). Observaţie. în cazul în care funcţia complexă este definită în planul complex Rz ,
punctul de la ∞ constituie un punct singular izolat al funcţiei date. În ceea ce priveşte natura punctului ∞ ca punct singular izolat pentru o funcţie f, studiul său se reduce la
studiul punctului z=0 pentru funcţia
zf 1 .
Exemplu: Fie funcţia f(z) =134
72
5
zzz . Să se studieze natura punctului ∞.
Tema de casă nr. 4
1. Să se determine raza de convergenţă a seriilor 0n
nz , respectiv 0 !
1
n
nzn
.
2. Să se dezvolte în serie Taylor în jurul originii (serie Mac-Laurin) f(z) = ln (1+z). 3. Să se dezvolte în serie Laurent în jurul originii funcţiile
39
21
2
)(z
ezfz
, z
zzf cos1)(2
, z
zzf sh)(3 .
4.Dezvoltaţi în serie Laurent funcţia f(z) =)2)(1(
1zz
pe domeniile a) 1<│z│<2,
b) │z│<1 şi c) │z│>2.
5. Dezvoltaţi în serie Laurent funcţia f(z) =)3)(1(
1 zz
pe domeniile a) 1<│z│<3,
b) │z│<1 şi c) │z│>3.
6. Dezvoltaţi în serie Laurent functia f(z) =)4)(1( 22 zz
z pe domeniul 1<│z│<2.
7. Determinaţi singularităţile următoarelor funcţii
a) f(z) = ze /1 ( z = 0 este punct singular esenţial)
b)f(z) = )1(
1zz
e z
(z = 0 este punct singular apparent, z = 1 este pol simplu)
c)f(z) = )1(
zz
iz (z = 0 şi z = i sunt poli simpli)
d)f(z) = 1
14 z
(z = ±1 şi z=±i sunt poli simpli)
e)f(z) = ze (z = ∞ este punct singular esenţial)
f)f(z) = 1
2
zz (z = ∞ este pol simplu)
40
Cursul nr. 5 Matematici speciale 3.7. Teoria reziduurilor şi aplicaţii
3.7.1. Calculul reziduului umei funcţii Fie f : D→C, E o mulţime deschisă din C, DC. Dacă z0 este un punct singular izolat al funcţiei f, atunci există o coroană circulară cu centrul în z0, 0<│z-z0│< r în care funcţia f este olomorfă, ceea ce înseamnă că poate fi dezvoltată în serie Laurent :
n
nn zzczf )()( 0
Definiţie. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul z0 şi se notează rez(f, z0) numărul definit de relaţia :
rez(f, z0)=
dzzfi
)(21
unde Γ este uncerc cu centrul în 0z situat în coroana circulară de rază r 0, , parcurs
în sens pozitiv.
Teoremă. Fie f : D→C o funcţie olomorfă pe D, cu excepţia punctului singular izolat 0z ,
atunci calculul reziduului funcţiei f în punctul 0z se poate face astfel :
1) rez(f,z 0 )=c 1
unde c-1 este coeficientul lui 0
1zz
din dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f pe 0<│z-
z0│< r.
2) rez(f, z0) = )1(0 )()(lim
)!1(1
0
kkzz
zfzzk
dacă z = z0 este un pol al funcţiei f şi k este ordinul său de multiplicitate ( f (0) = f şi 0!=1).
3) rez(f, z0) = )()(
0
0
zhzg
, dacă 0z este un pol al funcţiei f şi f se poate scrie ca un cât de
două funcţii f=g/h, 0)( 0 zg .
Exemple: 1) Calculaţi Rez(f, 0) pentru f(z) = ze /1 .
41
2) Calculaţi reziduurile funcţiei f(z) = )1)(1( 2 zz
z .
3) Calculaţi reziduurile funcţiei f(z) = 22
2
)1( zz în punctele sale singulare.
În situaţia punctului ∞, f este olomorfă pe exteriorul unui disc de rază oricât de mare.
Notăm cu R frontiera discului de rază R oricât de mare, cu centrul în origine, ∆(0,R).
Orientarea acestei frontiere se face de aşa manieră încât parcurgând-o, exterioruldiscului rămâne în stânga, adică invers decât orientarea normală, motiv pentru care se notează cu
Γ R .
Definiţie. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul ∞ şi se notează cu rez (f, ∞)
coeficientul lui 1z din dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în vecinătatea punctului
de la infinit, luat cu semn schimbat (– c–1). O altă definiţie :
rez(f,∞)= R
dzzfi
)(21
sau rez(f,∞)= - R
dzzfi
)(21
Transformarea z1
duce exteriorul discului de rază R în interiorul discului de rază R1 ,
ambele centrate în 0.
De asemenea, z1
duce punctul z=0 în punctul ∞ şi punctul ∞ în z=0.
Calculul reziduului în punctul de la ∞ al lui f(z) se reduce la calculul reziduului în
punctul 0 al funcţiei ).1(1)( 2 fg
Exemplu. Calculaţi Rez (f, ∞) pentru f (z) = zez
z 31
3
.
Teorema reziduurilor. Fie f : D→C şi Γ o curbă simplă închisă, netedă sau netedă pe porţiuni, inclusă în întregime în D. Dacă f este olomorfă pe D, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate a1, a2, …, an situate în domeniul D , ∆ fiind delimitat de frontiera Γ care nu trece prin nici-unul din aceste puncte, atunci
n
kkafzidzzf
1),(Re2)(
42
Demonstraţie: Punctele a1, a2, …, an fiind singulare izolate din domeniul D , rezultă
că putem construe cercurile k având centrele în a k if razele kr sufficient de mici astfel
încât ,jk i,j=1,2,…,n ceea ce înseamnă că nu au puncte commune.
Notăm cu k discurile determinate de k . Funcţia f este olomorfă pe n
kk
1
\
şi putem
aplica teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe :
1 2
)(.......)()()( n
dzzfdzzfdzzfdzzf
Conform definiţiei reziduului se obţine :
),(2),(.......),(),([2)(1
21
n
kkn afreziafrezafrezafrezidzzf
Observaţii. 1. Teorema reziduurilor poate fi considerată ca o consecinţă a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe. 2. Teorema reziduurilor prezintă mare importanţă deoarece reduce calculul unor integrale la calculul unor reziduuri, care de cele mai multe ori nu prezintă dificultăţi. 3. În cazul când numărul punctelor singulare izolate ale funcţiei f este foarte mare, aplicarea teoremei reziduurilor poate conduce la calcule laborioase. În această situaţie se poate calcula reziduul funcţiei f în punctul ∞. Consecinţă. Dacă f are în tot planul complex numai un număr finit de puncte singulare izolate, atunci suma tuturor reziduurilor acestei funcţii este nulă
0),(Re),(Re1
n
kkafzfz .
Demonstraţie : Fie Δ un disc cu centrul în origine şi de rază suficient de mare astfel încât să conţină toate punctele singulare izolate ale funcţiei f.
Considerăm un cerc Г cu centrul în origine şi cu raza R> R 0 . Conform teoremei
reziduurilor, avem :
),(2)(1
n
kkafrezidzzf
dar
0),(),(),()(21
1
n
kkafrezfrezfrezdzzf
i
43
Exemplu. Calculaţi integrala: 31
22 )5)(1(z zzzdz .
3.7.2. Aplicaţii ale teoriei reziduurilor la calculul unor integrale
1) Calculul integralelor de forma :
2
0
)sin,(cos dRI , unde R este o funcţir
raţională, ),(),(),(
yxQyxPyxR , P,Q fiind două polinoame, iar Q(x,y) 0 pe
}1|),{( 22 yxyx , ceea ce înseamnă că Q nu se anulează în nici-un punct de pe cercul
unitate. Reprezentarea cercului unitate este dată de :
sincos
yx
]2,0[
ceea ce înseamnă că ].2,0[,sincos ieiz
Când parcurge intervalul z],2,0[ descrie cercul cu centrul în origine şi cu raza 1,
│z│=1, o singură dată în sens direct, ceea ce înseamnă că vom calcula integrala pe, reprezentând cercul unitate.
Se face schimbarea de variabilă iez . Rezultă că zi
ln1 => dz
izd 1
.
cos θ = 2
ii ee =z
zzz2
12
/1 2
sin θ = iee ii
2
=iz
zi
zz2
12
/1 2
.
Integrala devine:
I =
1
22 12
1,2
1
z
dziziz
zz
zR
Această integrală, în ipoteza că polii funcţiei f(z) nu sunt pe cercul │z│=1(ei se află fie în discul unitate, fie în exteriorul său), conform teoremei reziduurilor, avem :
I= ||),,(21)(1
1k
kk
z
zzfrezii
dzzfi
<1
44
Exemplu. Calculaţi integrala
d2
0cos2sin1
2)Calculul integralelor de forma: dxxQxP
)()( =
0Im),(Re2
kzkzfzi
unde P(x) şi Q(x) sunt două polinoame care îndeplinesc condiţiile: Q(x) 0, x R, P(x) şi Q(x) sunt prime între ele, iar între gradele celor două polinoame există relaţia grad P(x)+2grad Q(x).
Exemplu. Calculaţi integrala
32 )1(xdx .
3) Calculul integralelor de forma: dxxfe xi
)( =
0Im
)),((Re2z
kxi zxfezi ,
Ţinând seama de faptul că xixe xi sincos , avem:
dxxfxidxxfxdxxfe xi )(.sin)(.cos)(
unde
I1 =
dxxfedxxfx xi )(Re)(cos
şi
I2 =
dxxfedxxfx xi )(Im)(sin .
Lema lui Jordan. Dacă f este o funcţie olomorfă în C, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate situate în semiplanul superior şi sunt îndeplinite condiţiile : |)(|sup
0Im,||
)( zfzrz
rM
0)(lim
rMr
atunci R , λ>0 , 0)(lim
dzezf zi
r
unde Г este un semicerc de rază r din semiplanul superior, centrat în origine.
45
Teoremă. Dacă f satisface condiţiile lemei lui Jordan, atunci R , λ>0, există
dxxfe xi )(
există şi avem :
]),([Re2)(1
k
n
k
zixi zzfezidxxfe
unde kz sunt puncte singulare izolate ale funcţiei f situate în semiplanul superior.
Demonstraţie. Prin ipoteză, f satisface condiţiile lemei lui Jordan, ceea ce înseamnă că există R>0, suficient de mare astfel încât domeniul delimitat de conturul C conţine toate punctele singulare izolate ale funcţiei f : C=Γ [-R,R] În baza teoremei reziduurilor :
]),([Re2)(1
n
ik
zi
C
zi zzfezidzzfe
]),([Re2)()()(
1k
n
k
ziziR
R
xi
C
zi zzfezidzzfedxxfedzzfe
Conform lemei lui Jordan, avem : 0)(lim
dzzfe zi
r
)),((Re2)()(1
lim k
n
k
zixiR
R
xi
rzzfezidxxfedxxfe
Observaţie. Cu ajutorul acestei teoreme se poate calcula integrala Laplace :
I = dxaxx
22
cos
Exemplu. Calculaţi integrala
dx
xxx
22 )1(sin .
Teorema semireziduului. Dacă f este o funcţie olomorfă în C, cu excepţia unui număr finit de puncte singulare izolate a1, a2, …, an situate în semiplanul superior şi a unor poli simpli x1, x2, …, xm de pe axa reală, dacă sunt îndeplinite condiţiile lemei lui Jordan, atunci are loc formula:
46
m
kk
n
kk xfziafzidzzf
11
),(Re),(Re2)(
Demonstraţie : Considerăm un semicerc de rază R>0 situat în semiplanul superior, astfel încât toate punctele singulare ale funcţiei f, cu Im z>0 , să se afle în semicercul de rază R cu centrul în origine. Fie Γ conturul acestui semicerc. Aplicând teorema reziduurilor, avem :
),(Re2)(........)()(.......)()(
0Im|| 1
1
1
zRz
x
R
R
x
n
kk
m m
afzidzzfdzzfdxxfdxxfdzzf
unde m ,,.........21 , sunt semicercurile de rază δ (care nu se intersectează) cu centrele în
punctele x1, x2, …, xm.
Presupunând că
0Im,||
0)(zRz
dzzf când R→∞, obţinem :
k
dzzfafzidxxfm
k
n
kk
)(),(Re2)(
1 01lim
Notăm cu r k =Rez(f,x k ), ceea ce înseamnă că
)]()[(lim zfkr xzkxz
k
Pentru δ suficient de mic, avem : |)()(| kk rzfxz dacă 0Im,|| , zzxz kk
Vom arăta că
00)(lim
kk xz
dzrdzzfk
Calculăm diferenţa :
||],,0[,:
|||)()(|
|)()(
||)(|0
ki
kk
k
kk
k
kk
kk
xzexz
dzxz
rzfxzdzxz
rzfxzxz
dzrdzzfkk k
Obţinem : Exemplu. Cu ajutorul teoremei semireziduului se potate calcula integrala (improprie) Poisson :
I = dxx
x
0
sin
47
Tema de casă nr.5 1. Calculaţi reziduurile următoarelor funcţii în punctele lor singulare:
a) f(z)= 2
/1
)1( ze z
b) f(z)= zez 11
3 2. Calculaţi următoarele integrale:
a) I= 2
2 )1)(1(z
dzzz
z , b) I=
2/12
sin1
z
dzz
z , c) I=
)4)(9( 22 xxdx
d) I=
2
0cos35
d , e) I=
dx
xxxx
102sin
2 f) I=
dx
xxxx204
2cos2
48
Cursul nr. 6 Matematici speciale
Transformarea Fourier
Serii Fourier
Definiţie. O funcţie f:R→R se numeşte periodică dacă *)( R T astfel încât
R x)( , ).()( xfTxf
Exemple. Funcţia constantă are ca perioadă orice număr. Funcţiile sinx şi cos x
au perioadele 2π, 4π, 6π, …
Observaţie. Având în vedere că orice multiplu întreg de T (kT, k Z ) este de
asemenea perioadă pentru f, cea mai mică perioadă pozitivă T>0 se numeşte
perioada principală a funcţiei f.
Propoziţie. Dacă )(xf este periodică de perioadă T, atunci )( xf este periodică
de perioadă T/α.
Demonstraţie.
)()()]([ xfTxfTxf
Exemplu. Funcţiile sin x şi cos x sunt periodice, de perioadă 2π, funcţiile sin nx
şi cos nx au perioada 2π/n, iar perioada comună a funcţiilor {sin nωx, cos
nωx} Nn este 2π/ω.
Propoziţie. Fie f:R→R periodică de perioadă T, integrabilă pe R, atunci
R)( avem:
TTdxxfdxxf
0)()(
Definiţie. Se numeşte serie trigonometrică, o serie de forma:
49
)sincos(2 1
0 kxbkxaa
kkk
unde kk baa ,,0 sunt numere reale.
Propoziţie. Dacă f:R→R este o funcţie integrabilă pe R, periodică de perioadă
2π, care poate fi reprezentată printr-o serie trigonometrică
)sincos(2
)(1
0 kxbkxaa
xfk
kk
atunci coeficienţii kk baa ,,0 se calculează cu formulele :
2
00 ,)(1 dxxfa
2
0
,cos)(1 nxdxxfan
2
0
sin)(1 nxdxxfbn
Definiţie. Seria trigonometrică a funcţiei )(xf ai cărei coeficienţi se calculează
cu ajutorul formulelor de mai sus se numeşte serie Fourier.
Observaţie. Ţinând seama de faptul că integrala unei funcţii periodice de
perioadă 2π este aceeaşi pe orice interval de lungime 2π, coeficienţii kk baa ,,0
pot fi calculaţi şi astfel :
,)(1
0 dxxfa
,cos)(1 nxdxxfan
Integrala Fourier
Fie f : R → R o funcţie care nu este periodică. Funcţia f nu poate fi
reprezentată printr-o serie Fourier pe axa reală.
Teoremă. Dacă funcţia f : R → R îndeplineşte următoarele condiţii :
a) f ese monotonă pe poţiuni ;
b) f este mărginită ;
50
c) f este continuă, având cel mult un număr finit de puncte de
discontinuitate de prima speţă ;
d) în oricare punct ξ de discontinuitate, valoarea funcţiei se calculează
astfel :
2
)0()0()(
fff
e) f este absolut integrabilă pe R,
atunci funcţia )(xf poate fi reprezentată astfel :
dtdetfxf xti )()(21)(
care se numeşte foma complexă a integralei Fourier a funcţiei )(xf .
Dacă notăm:
dtetfF ti
)(
21)(
atunci
deFxf xi
)(21)(
Definiţie. Funcţia )(F se numeşte transformata Fourier (directă) a funcţiei
)(xf , iar )(xf se numeşte inversa transformatei Fourier.
Dacă funcţia )(xf este pară, se obţine :
0
cos)(2)( tdttfFc
xdFxf c cos)(2)(0
Definiţie. Funcţia )(cF se numeşte transformata Fourier prin cosinus a funcţiei
)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin cosinus.
51
Dacă funcţia )(xf este impară, se obţine :
0
sin)(2)( tdttfFs
xdFxf s sin)(2)(0
Definiţie. Funcţia )(sF se numeşte transformata Fourier prin sinus a funcţiei
)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin sinus.
Exemple.
1. Să se calculeze transformata Fourier a funcţiei
ax
axxf
,0
,1)(
Transformata Fourier a funcţiei )(xf este
adtedtetfF
a
a
titi sin221)(
21)(
, 0
2. Să se calculeze transformata Fourier a funcţiei
xx
xf ,4
1)( 2 R
Transformata Fourier a funcţiei )(xf este
222 22
)2,(Re221)(
eifzidtt
eFti
3. Să se calculeze transformatele Fourier prin cosinus şi sinus ale funcţiei
.,)( Rxexf x
00
cos2cos)(2)( tdtetdttfF xc
00
sin2sin)(2)( tdtetdttfF xs
52
200 1
122)sin(cos2)()(
idteedttteiFF tittsc
2112)(
cF , 212)(
sF
4. Să se determine funcţia )(F ştiind că
0
sin)( xexdF , unde 0x
Ecuaţia poate fi scrisă sub forma :
xexdxF
0
2sin)(2
Aplicând inversa transformatei Fourier prin sinus, se obţine:
tdteF t
sin2)(0
Proprietăţi ale transformatei Fourier Propoziţia 1. Transformarea Fourier directă este liniară. RccxfFcxfFcxfcxfcF 2122112211 ,)],([)]([)]()([
Demonstraţie.
)]()([ 2211 xfcxfcF
dtetfcdtetfcdtetfctfc tititi
)(
2)(
2))()((
21
22
11
2211
)]([)]([ 2211 xfFcxfFc
Propoziţia 2. Transformarea Fourier directă are proprietatea de translaţie.
)]([)]([ xfFehxfF hi h R
Demonstraţie.
dtehtfhxfF ti
)(
21)]([
Se face substituţia htv şi se obţine :
53
)]([)(21)(
21)]([ )( xfFedvevfedvevfhxfF hivihihvi
Propoziţia 3. Pentru orice Ra , are loc relaţia :
)(||
1)]([a
Fa
axfF
Demonstraţie.
Pentru a>0 facem substiuţia atv şi se obţine:
)(1)(2
1)(21)(
21)]([
aF
advevf
aadvevfdteatfaxfF a
viavi
ti
Pentru a<0, avem :
)(1)(2
1)(21)(
21)]([
aF
advevf
aadvevfdteatfaxfF a
viavi
ti
Propoziţia 4. Pentru orice număr real oarecare h, are loc relaţia :
)()]([ hFxfeF ixh
Demonstraţie.
)()(21)(
21)]([ )( hFdtetfdtetfexfeF hittiithixh
Propoziţia 5. Pentru k întreg şi pozitiv are loc relaţia:
dtetftidFd tik
k
k
k
)(
2)(
Demonstraţie.
dtetfF ti
)(
21)(
dtettfidtetfdd
ddF titi
)(
2))(
21()(
54
Presupunem, prin inducţie, că este adevărată pentru k-1
dtetftid
Fd tikk
k
k
)(
2)( 1
1
1
1
şi demonstrăm pentru k
dtetftidtetftidd
dFd
dd
dFd tik
ktik
k
k
k
k
k
)(
2))(
2())(()( 1
1
1
1
Definiţie. Se numeşte produs de convoluţie al funcţiilor )(xf şi )(xg , integrala :
dyygyxfxh )()()(
Propoziţia 6. Tranfomarea Fourier a produsului de convouţie a funcţiilor )(xf
şi )(xg este dată de
)()(2])()([ GFdyygyxfF
unde )]([)( xfFF şi )]([)( xgFG
Demonstraţie.
)()(2)(21)()(
21(2
))()((21))()((
21)(
21)]([
)(
)(
FGdtevtfdvevg
dtdveevgvtfdtedvvgvtfdtethxhF
vtivi
vivtititi
55
Tema de casă nr. 6
1. Să se calculeze transformatele Fourier ale funcţiilor :
Rxaexg xa ,0,)( ||
Raaax
xexha
,0,)( 22
2. Să se calculeze transformatele prin sinus şi cosinus ale funcţiei
3. Să se determine funcţia )(tf din ecuaţia :
0
)(cos)( tdttf
unde
1-x , 0<x<1 )(x 0 , x 1
0 dacă -∞<x<0 f(x)= 1 dacă 0<x<d 0 dacă d<x<∞
xcos ax 0 )(xf 0 ax
56
Cursul nr. 7 Matematici speciale
Transformata Laplace
În fizică şi în diferite domenii tehnice se foloseşte adeseori o corespondenţă
între două mulţimi de funcţii: o primă mulţime numită clasa originalelor şi o a
doua mulţime formată cu imaginile lor obţinute printr-o anumită transformare.
Această corespondenţă prezintă interes dacă este biunivocă şi dacă unor
operaţii din prima mulţime le corespund în a doua mulţime operaţii mai simple.
Definiţie. Fie f: R→R/C. Dacă are sens integrala improprie cu
parametrul p C, 0)Re( p
dtetfpF pt
0
)()(
atunci F se numeşte transformata Laplace a funcţiei f şi se notează cu
)()]([ ptfL .
Exemplu. Să se calculeze, folosind definiţia, transformata Laplace a funcţiei
axf )( R/C.
0 0 0)]([
pa
peadteadteapaL
ptptpt
Definiţie. Funcţia f : R→C se numeşte funcţie original dacă satisface
condiţiile:
a) f(t) = 0 pentru t<0 (adică mărimea fizică este studiată pentru t≥0, în rest este
nulă sau fără interes);
57
b) f(t) este continuă pe porţiuni (adică pentru t≥0 este continuă cu excepţia
unui mulţimi cel mult numărabil de puncte în care are discontinuităţi de
speţa întâi);
c) | f(t) ate | M , pentru M>0, t> 0t , unde a, M, 0t R (adică f are o creştere
exponenţială, a numindu-se indicele de creştere al funcţiei original).
Observaţie. Condiţia de creştere exponenţială ( ip ) se scrie sub forma :
a
MdteMdteeMdtetfdtetf tatatptpt
0
)(
000|||)(||)(|
ultima integrală fiind convergentă pentru ap )Re( .
În baza criteriului comparaţiei pentru integrale improprii, va rezulta
convergenţa absolută şi uniformă a integralei care defineşte pe )()]([ ptfL .
Exemplu. Cea mai simplă funcţie original este funcţia unitate Heaviside
0,10,2/1
0,0)(
tt
ttf .
Alte exemple de funcţii original: funcţia constantă, funcţia putere, funcţia
exponenţială, funcţiile circulare şi hiperbolice.
Exemplu. Funcţia 2
)( xexf nu are creştere exponentială pentru că att ee 2 este
nemărginită pentru ,t a ; deci nu poate fi considerată funcţie original.
Exemplu. Funcţia btetf )( , cu bR/C are creştere exponenţială, deoarece
se poate alege RtMeeetfRtMba attbat ,1|)(|,1),Re( )Re(0
bp
dtedteepeL tbpptbtbt
1)]([0
)(
0
ceea ce ănseamnă că imaginea funcţiei bte este bp
1 .
Propoziţie. Cu funcţiile original se pot face următoarele operaţii:
58
suma a două funcţii original este tot o funcţie original;
produsul dintre o funcţie original şi o constantă complexă este de
asemenea o funcţie original;
produsul a două funcţii original este tot o funcţie original.
Definiţie.Transformata Laplace a unei funcţii original (care există) se numeşte
funcţie imagine.
În acest mod s-a definit o corespondenţă între două mulţimi: una numită clasa
originalelor şi o a doua formată cu imaginile lor obţinute printr-o anumită
transformare.
Teoremă.Transformata Laplace a unei funcţii original f există şi este o funcţie
olomorfă în semiplanul Re p > a, unde a este indicele de creştere al funcţiei
original f; derivata sa se obţine din definiţie derivând sub semnul de integrare.
Proprietăţile transformatei Laplace
Propoziţia 1 (liniaritatea). Dacă f1 (t), f2 (t) , t R sunt două funcţii original,
atunci )( c1, c2 C are loc relaţia :
))](([))](([))](()([ 22112211 ptfLcptfLcptfctfcL
Demonstraţie. dttfctfceptfctfcL pt )]()([))](()([ 221102211
))](([))](([)()( 22110 220 11 ptfLcptfLcdttfecdttfec ptpt
Propoziţie 2 (teorema asemănării). Dacă f(t), t R este o funcţie original,
atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaţia :
aptfL
apatfL )]([1))]({[
59
Demonstraţie:
duufeaa
duufedtatfepatfLu
ap
auptau
pt )(1)()())](([000 =
aptfL
a)]([1
Propoziţia 3 (teorema întârzierii). Dacă f(t), t R este o funcţie original,
atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaţia :
))](([))](([ ptfLepatfL pa
Demonstraţie:
a
uufaupuatpt dueufdteatfpatfL0,0)()(
0)()())](([
= ))](([)()(00
ptfLedueufedueeuf papupapapu
.
Propoziţia 4 (teorema deplasării) Dacă f(t), t R este o funcţie original, atunci
oricare aC ar fi are loc relaţia :
))](([))](([ aptfLptfeL at
Demonstraţie: ))](([)()())](([0
)(0
aptfLdttfedtetfeptfeL tapptatat
Propoziţia 5 (teorema derivării originalului) Dacă f(t), t R este o funcţie
original şi f ' (t) există şi este funcţie original, atunci are loc relaţia :
)0()]([))](('[ ftfLpptfL
Demonstraţie: 000
)()(|)()('))](('[ dttfeptfedttfeptfL ptptpt
= )0())](([)()0()(lim0
0
fptfLpdttfepfetfe ptppt
t, deoarece:
taattptpt eMeeMetfetf )(|||)(||)(| ,
iar pentru > a se obţine 0|)(|lim
ptetft
0)(lim
ptetft
În general, dacă f (t) admite derivate de ordin n şi toate sunt funcţii
original, atunci:
)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL
Demonstraţia se face folosind metoda inducţiei.
60
Propoziţia 6 (teorema derivării imaginii). Dacă f(t), t R este o funcţie
original, atunci
')))](([())](([ ptfLptftL ,
În general,
)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL , pentru orice n≥1
Demonstratie: 0 0
'' )())(()))](([( dtetftdttfeptfL ptpt
= ))](([)(0
ptftLdtetft pt
0
220
2'' )1()()))](([( dtetdtetptfL ptpt
Pentru derivata de ordinul n se obţine:
)()))](([( nptfL ))](([)1()()1(0
ptfLdtetft nnptnn
Propoziţia 7 (teorema integrarii originalului) Dacă f(t), t R este o funcţie
original, atunci
))](([1)()(0
ptfLp
pduufLt
şi
))](([1])(.......[ 10
10
20
10
23
ptfLp
duufdududuL n
uuu
n
t
n
n
Demonstratie: Notăm t
duuftf0
1 )()( şi se obsrevă că 0)0(),()( 11 ftftf
Si aplicând propoziţia 5 se obţine :
)0())](([))](([ 11 fptfLpptfL sau ))](([1)]([)]([ 1 ptfLpp
tfLtfL
Presupunând proprietatea adevărată pentru n-1 şi notând
))](([)1( 22 ptftL
61
10
10
20
1 )(.........)(23
duufduduufuuu
nn
n
obţinem:
)(1
)())](([1
0
pFp
duufepufLnnn
pun
n
şi
))](([1))](([])([
0
ptfLpp
pufLduufL n
nn
t
n
Propoziţia 8 (teorema integrării imaginii). Dacă f(t), t R este o funcţie
original, atunci
pdqqtfLp
ttfL ))](([)()(
Demonstraţie: Fie
)()()()()( limlim pzdqqFdqqFpGz
z
pp z
De aici rezultă că )()( pFpG . Fie g(t) originalul funcţiei G(p). Ţinând seama
că ))](([)( pttgLpG şi ))](([)( ptfLpF , iar )()( pFpG avem )()( tfttg şi deci
ttftg )()( , de unde rezultă că )]()([)( p
ttfLpG .
Definiţie. Se numeşte produs de convoluţie a două funcţii original f(t) şi g(t),
t R , cărora li se aplică transformarea Laplace, esxpresia :
t
duugutftgf0
)()())((
Observaţe. Produsul de convoluţie este comutativ : ))(())(( tfgtgf .
Propoziţia 9(teorema produsului de convoluţie). Dacă f(t) şi g(t), t R sunt
două funcţii original, atunci ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL
62
Demonstraţie. Notăm:
0
)()( dtetfpF pt şi dtetgpG pt
0
)()(
dtpGetfpGpF pt
0
)()()()(
Conform propoziţiei 3, avem:
detgptgLpGe ppt
0
)())](([)(
Prin înlocuire în relaţia de mai sus, se obţine:
detgdttfpGpF p
0 0
)()()()(
Se poate schimba ordinal de integrare şi avem:
0 0
)()()()( dttgtfdepGpF p
g(t) fiind funcţie original, avem 0)( tg pentru t şi se obţine:
))(()()()()(0 0
gfdttgtfdttgtf
ceea ce înseamnă că
degfduugufdedttgtfdedttgtfde pppp
000 0 00 0
))(()()()()()()(
Deci
degfpGpF p
0
))(()()(
Rezumând:
1) (liniaritate)
L[c1f1(t) + c2 f2(t)](p) = c1L[f1(t)](p) + c2 L[f2(t)](p)
63
2) (teorema asemănării)
L[f(at)](p) =
aptfL
a)]([1
3) (teorema întârzierii)
))](([))](([ ptfLepatfL pa
4) (teorema deplasării)
))](([))](([ aptfLptfeL at
5) (teorema derivării originalului)
)0()]([))](('[ ftfLpptfL
)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL
6) (teorema derivării imaginii) ')))](([())](([ ptfLptftL
)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL
7) (teorema integrarii originalului)
)]([1)()(0
pfLp
pduufL
8) (teorema integrării imaginii)
pdqqtfLp
ttfL ))](([)()(
9) (teorema produsului de convoluţie) ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL
Transformatele Laplace ale unor funcţii elementare:
papaL )]([
64
1!)]([
nn
pnptL
appeL at
1)]([
22)]([sinap
aptaL
; 22)]([cosap
pptaL
22)](sh[ap
apatL
; 22)](ch[ap
pptaL
21)]([
appetL at
;
1!)]([
n
atn
apnpetL
222 )(2]sin[
apaptatL
; 222
22
)()](cos[
apappattL
22)()](sin[
appteL at ; 22)(
)](cos[
apappteL at
Demonstraţiile : temă pentru seminar.
Calculul inversei transformatei Laplace
În unele situaţii este utilă determinarea din formula
dttfepF pt )()(0
a funcţiei f(t). Pentru aceasta vor fi prezentate trei metode.
1. Utilizarea proprietăţii de liniaritate
Fie
)()()( 211 pFcpFcpF
unde )(1 pF şi )(2 pF sunt imaginile (transformatele) unor funcţii )(1 tf respectiv
)(2 tf , cunoscute.
Funcţia original f(t) se obţine astfel:
65
)()()( 2211 tfctfctf
Deoarece
)()()()]([)]([)]()([)]([ 2211)(22)(11)(2211)( pFpFcpFctfLctfLctfctfcLtfL pppp
Observaţie. Determinarea funcţiei original f (t) când se cunoaşte imaginea sa
F(p) se poate face prin dezvoltare expresiei funcţiei în fracţii simple şi
recunoaşterea transformatelor uzuale.
Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii 4
)( 2
pppF .
2. Formula lui Mellin-Fourier
În condiţii destul de generale, relaţia :
F(p)= dttfe pt )(0
ca ecuaţie integrală în funcţia necunoscută f(t) admite o soluţie unică.
Definiţie. Se spune că funcţia f(t) definită pe un interval [a,b] este derivabilă pe
porţiuni dacă există o diviziune
bttttta nii ........................ 110
astfel încât f(t) este derivabilă în fiecare interval ),( 1 ii tt şi există limitele
laterale ).0(),0( ii tftf
Teoremă. Dacă funcţia f: R→C îndeplineşte următorele condiţii :
a) f(t)=0, t 0
b) f(t) este derivabilă pe porţiuni
c) există s 0 real, 00 s astfel încât tsetf 0|)(| este mărginită pentru t0
66
atunci, în punctele în care f(t) este continuă, valorile ei sunt date de formula
lui Mellin-Fourier :
f(t) = pepFi
ptia
iad)(
21
, pentru p = a + iσ şi a >s0 (1)
unde F(p) este transformarea Laplace a funcţiei f(t).
Observaţie. Integrala din formula (1) se poate calcula cu ajutorul reziduurilor :
f(t)= ]),([Re kk
pt ppFez
unde kp sunt singularităţi ale lui F(p) din semiplanul Re p<a.
Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii 4
)( 2
pppF .
3. Formula lui Heaviside
Teoremă. Dacă )()()(
pQpPpF este o funcţie raţională, unde grad P < grad Q, iar Q
are rădăcinile simple diferite de zero p1, p2, …, pn, atunci originalul funcţiei
F(p) se poate determina direct cu formula :
n
k
tp
k
k kepQpPtf
1' )(
)()( (2)
Exemplu. Determinaţi funcţia original f(t) a imaginii )9()1(
)7()( 22
2
pppppF .
Consecinţă. Dacă una din rădăcinile simple este nulă, adică Q(p) = p·C(p),
atunci
Q’(p) = C(p) + pC’(p) => Q’(0) = C(0) şi Q’(pk) = pk·C’(pk) şi deci
n
k
tp
kk
k kepCp
pPCPtf
2' )(
)()0()0()( (2’)
(formula lui Heaviside)
67
Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii )1(
12)( 2
ppppF .
Teoremă. Dacă )()()(
pQpPpF este funcţie raţională, unde grad P ≤ grad Q–2, iar
Q are rădăcinile p1, p2, …, pn, cu ordinele de multiplicitate k1, k2, …, kn, atunci
originalul funcţiei F(p) se poate determina direct cu formula:
n
kk
pt pepFtf1
,)(zRe)( (3)
Exemplu. Determinaţi funcţia original a imaginii 32 )2(1)(
pp
pF .
Aplicaţii ale transformării Laplace
1. Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaţii/sisteme de ecuaţii diferenţiale
cu coeficienţi constanţi
Fie ecuaţia:
)(.......)1(1
)( tfyayay nnn
cu condiţiile iniţiale:
1)1(
1'
,0 )0(,,.........)0()0( n
n yyyyyy
Se cere determinarea funcţiei necunoscute y=y(x), x>0, de clasă C n [0,∞], care
să fie soluţie a ecuaţiei diferenţiale şi să satisfacă condiţiile iniţiale. Problema
astfel formulată reprezintă o problemă Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de
mai sus.
În ipoteza că că f(t) este definită pe [0,∞] şi are imagine, aplicând
transformarea Laplace se obţine :
))](([)](.......[ )1(1
)( ptfLpyayayL nnn
68
sau
))](([)]([.......)]([)]([ )1(1
)( ptfLpyLapyLapyL nnn
Aplicând propoziţia 5 se obţine:
)0(.......)0()0()]([)]([ 121)( nnnnn yypyppyLppyL
…………………………………………………..
)0(.........)0()0()]([][ )1(21)( kkkkk yypyppyLpyL
………………………………………………….. )0()]([][ ypypLyL
Notând
ypyL )]([ şi )()]([ pFtfL
se obţine:
)()(......).........().......( 11212
11
01
1 pFyapyapapyapapy nnnnn
nnn
Cu notaţiile:
11
21
10
21
.........)........()(
..........)(
nnnn
nnn
yapapypQapappP
relaţia de mai sus devine: )()()( pFpQpPy
de unde
)]()([)(
1 pQpFpP
y
Soluţia ecuaţiei este
)]([)( 1 pyLty
Exemple. Să se rezolve ecuaţia :
teyy 34 cu condişiile iniţiale 0)0(,0)0( yy
69
2. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Voltera
Definiţie. O ecuaţie în necunoscuta y(t) de forma :
t
tfduuyutkty0
)()()()(
unde k(t-u) şi f(t) sunt funcţii date se numeşte ecuaţie integrală de tip Voltera.
Norând :
L(y(t))=Y(p), L(k(t))=K(p), L(f(t))=F(p)
şi aplicând ecuaţiei Propoziţia 9, se obţine : Y(p)+K(p)Y(p)=F(p)
de unde rezultă că
)(1
)()(pK
pFpY
, ceea ce înseamnă că ))(()( 1 pYLty
Exemplu. Să se rezolve ecuaţia integrală de tip Voltera :
t
ut tduuyety0
cos)()(
3. Studiul circuitului R.L.C.
Considerăm un circuit electric care are legate în serie un rezistor ( având ca
parametru rezistenţa R), o bobină ( cu inductanţa L )
şi un condensator ( cu capacitatea C).
70
Notăm cu )(tq sarcina variabilă pozitivă de pe placa condensatorului şi cu )(tE
tensiunea cu care se alimentează circuitul. Datorită alimentării în circuit apare
un curent de intensitate variabilă )(ti şi conform legilor lui Kirchoff, circuitului
R.L.C. îi corespunde ecuaţia:
CtqtRi
dttdiLtE )()()()(
Ţinând seama de faptul că dt
tdqti )()( ecuaţia de mai sus devine:
0,)(1)()()( tdiC
tRidt
tdiLtE
care este o ecuaţie integrală în necunoscuta )(ti . Această ecuaţie poate fi
transformată într-o ecuaţie diferenţială de ordinul doi în raport cu sarcina )(tq ,
astfel:
)()()()(2
2
tECtq
dttdqR
dttqdL
cu condiţiile iniţiale: 000 )0(|,)0( iidtdqqq t
Presupunând că 2
2
,),(),(dt
qddtdqtqtE sunt funcţii original, ecuaţia de mai sus se poate
rezolva aplicând transformarea Laplace:
)()(2
2
)]([])()()([ pp tELCtq
dttdqR
dttqdLL
L C )(tq )(tq )(ti R )(tE
71
Notăm: qtqL p )()]([ , EtEL p )()]([ şi se obţine:
RqLipLqECRpLpq 0002 )/1(
sau
)/1
()( 20001
CRpLpRqLipLqE
Ltq
Tema de casă nr. 7
1. Calculaţi următoarele transformate Laplace:
)](2[ pL , )]([ 3 ptL , )]([ 2 peL t , )](2[sin ptL , )](3[cos ptL
)](3sh[ ptL , )](2ch[ ptL , )]([ 3 petL t , )]([ 45 petL t
]3sin[ ttL ; )](2cos[ pttL , )](2sin[ 3 pteL t ; )](3cos[ 2 pteL t
4. Determinaţi funcţiile original ale următoarelor imagini:
)1)(1(
1)(,)4)(1(
)( 2
2
2
ppp
pppFpp
ppF
3. Rezolvaţi ecuaţia diferenţială x''(t) – 5x'(t) + 6x(t) = te , cunoscând
condiţiile iniţiale x(0) = –1, x'(0) = 1.
4. Rezolvaţi ecuaţia diferenţială x''(t) – 4x'(t) + 4x(t) = sin t, cunoscând
condiţiile iniţiale x(0) = 1, x'(0) = 2.
72
Cursul nr. 8 Matematici speciale
Funcţiile lui Euler
Funcţia gamma
Definiţie. Se numeşte funcţie gamma sau funcţia lui Euler de speţa a doua,
integrala:
dtetz tz
0
1)( , iyxz , 0Re xz
Teoremă. Funcţia )(z este olomorfă pe domeniul Re z > 0 şi verifică relaţia
funcţională:
)()1( zzz
Demonstraţie. Se ştie că
))lnsin()ln(cos(1lnln)1(1 tyityteet xtiytxz
unde
dttyetyxv
dttyetyxu
tx
tx
)lnsin(),(
)lncos(),(
0
1
0
1
Funcţiile u şi v admit derivate parţiale de ordinul întâi pe domeniul Re z > 0 şi
acestea se obţin derivând sub semnul de integrare:
dttytetyv
xu tx )lncos()ln(
0
1
dttytetyu
xv tx )lnsin()ln(
0
1
73
Condiţiile lui Cauchy-Riemann fiind îndeplinite, rezultă că funcţia Γ=u+iv este
olomorfă pentru Re z > 0 .
Folosind metoda integrării prin părţi pentru expresia funcţiei Г(z+1) se obţine:
)()1(0
10
0
zzdtetzetdtetz tztztz
Observaţie. Relaţia )()1( zzz descrie o proprietate fundamentală a funcţiei
gamma, esenţială pentru calculul valorilor acestei funcţii.
1|)1(00
tt edte
!)!1.()()1(....................................
!2!1.2)2(2)3(
!11.1)1(1)2(
nnnnnn
Pentru 21
z , efectuând substituţia 2t se obţine integrala Poisson:
det
dte t
00
2
2)21(
Notăm
dxdyedyedxeI yxyx
0 0
)(
00
2 2222
Se trece la coordonate polare: sin,cos ryrx şi se obţine
)21(
24|
2|
00
2
00 0
2 222
2
dxeerdrdeI xr
r
74
Pe baza acestui rezultat putem calcula alte valori ale funcţiei gamma:
nnnnnnnn 22!
)!2()21(
21)......
23)(
21()
21()
21()
21(
Relaţia )()1( zzz se poate scrie sub forma )1(1)( zz
z şi se poate utiliza la
calculul valorilor funcţiei gamma pentru valori negative ale argumentului:
)
21)....(
23)(
21(
)21(
....)
23)(
21(
)25(
21
)23(
)21(
nnnn
n
n
nn
)!2(!2)1()
21(
2
nnn
nn
O altă proprietate importantă este dată de
z
zz
sin)1()(
Care se numeşte formula complementelor.
Funcţia beta
Definiţie. Se numeşte funcţie beta sau funcţia lui Euler de prima speţa,
integrala:
dtttqpB qp 11
0
1 )1(),( , Re p > 0, Re q > 0
Funcţia B(p,q) este simetrică în argumentele p şi q: B(p,q)=B(q,p)
ceea ce este evident dacă se face schimbarea de variabilă t=1-v
),()1()1(),( 11
0
110
1
1 pqBdvvvdvvvqpB pqqp
Funcţia beta se poate exprima cu ajutorul funcţiei gamma, astfel: )(/)()(),( qpqpqpB
75
Pentru a demonstra această formulă, considerăm produsul:
dyyedxxeqp qypx 1
0
1
0
)()(
Efectuând schimbările de variabilă 2tx şi 2vy în cele două integrale, se
obţine:
dvyedtteqp qvpt 12
0
12
0
22
4)()(
sau
dxdyyxeqp qpyx 1212
0 0
)( 22
4)()(
Trecând în coordonate polare, avem:
sincos
ryrx
,
20,0 r , rdrddxdy
Şi formula precedentă se poate scrie astfel:
ddrreqp qpqpr 122
0
121)(2
0
sincos4)()(2
Efectuând în prima integrală substituţia tr 2 , se obţine:
)(21
21 1
0
1)(2
0
2
qpdttedrre qptqpr
Efectuând în a doua integrală substituţia 2cosx , avem
),(21)1(
21sincos 1
1
0
1122
0
12 qpBdxxxd qpqp
se obţine ),()()()( qpBqpqp
şi formula este demonstrată.
Exemple. Calculaţi integralele :
76
dxxx 1
0
2 , dxxx
02 )1(
Funcţia zeta a lui Riemann
Funcţia zeta a lui Riemann se poate defini astfel:
prin sumă
1
1)(n
sns , Re s > 1
prin integrală dxex
ss x
s
0
1
1)(1)( , Re s > 1
prin produs infinit
Funcţii Bessel
Definiţie. Se numesc funcţii Bessel sau funcţii cilindrice soluţiile ecuaţiei:
0)( 222 yxyxyx
unde ν este un parametru real sau complex.
Soluţiile ecuaţiei se pot exprima cu ajutorul funcţiilor elementare dacă
nn ,21 Z.
Pentru rezolvarea ecuaţiei se caută soluţii de forma: i
ii
r xaxxy
0
)( unde
exponentul r şi coeficienţii ia se determină din condiţia ca soluţia să verifice
ecuaţia.
Dacă derivăm de două ori expresia soluţiei se obţine:
……………………………………………………………………
Alegând )1(2
10
a
77
se obţine 012 ka , )1()1(2
)1(22
kk
a k
k
k
Rezultatul înlocuirii coeficienţilor în expresia soluţiei se numeşte funcţie
Bessel de prima speţă, de ordinul ν şi se notează cu )(xJ . Pentru r= ν
k
k
k xkk
xJ 2
0)
2(
)1()1()1()(
Pentru r=- ν
k
k
k xkk
xJ 2
0)
2(
)1()1()1()(
Se poate demonstra (utilizând criteriul lui D’Alembert) că cele două serii care
definesc funcţiile lui Bessel de prima speţă sunt convergente.
Teorema1. Dacă Z atunci funcţiile Bessel de prima speţă )(),( xJxJ sunt
liniar independente şi pot fi obţinute prin particularizarea constantelor 21 ,cc din
expresia :
)()()( 21 xJcxJcxy
Observaţie. Pentru 0x , 0)( xJ şi )(xJ , ceea ce înseamnă că nu se pot
exprima liniar una în funcţie de cealaltă.
Teorema 2. Între funcţiile Bessel de prima speţă există relaţia :
nxJxJ nn
n ),()1()( Z
Teorema 3. Funcţiile Bessel de prima speţă verifică următoarele relaţii de
recurenţă
)()]([ 1 zJzzJzdzd
, )()]([ 1 zJzzJz
dzd
Definiţie. Funcţia
,21,
sin)(cos)(
)( nzJzJzy Z
78
se numeşte funcţie Bessel de speţa a doua.
Funcţia )(zy ca funcţie liniară de soluţii ale ecuaţiei Bessel este şi ea o soluţie a
acestei ecuaţii. Limita funcţiei )(zy pentru m , m Z este de asemenea
soluţie a ecuaţiei.
sin)(cos)(
)()( limlimzJzJ
zyzymm
m
Se poate demonstra că )(zy este independentă de )(zJ şi Z, soluţia
generală a ecuaţiei Bessel este
)()()( 21 zyczJczy
Teorema 4. Funcţiile Bessel de prima speţă satisfac următoarele relaţii de
recurenţă :
1. )()()( 1 zzJzJzJz
2. )()()( 1 zzJzJzJz
3. )()()(2 11 zJzJzJz
4. )()()(2 11 zJzJzJ
Expresiile funcţiilor Bessel pentru unel valori particulare ale indicilor
k
k
k xkk
xJ 2
0)
2(
)1()1()1()(
Pentru ν=0 şi ν=1 se obţine:
......)6.4.2()4.2(2
1)( 2
6
2
4
2
2
0 zzzzJ
......)!4!.3.2!3!.2.2!2.2
1(2
)( 6
6
4
4
2
2
1 zzzzzJ
79
Cunoscând expresiile funcţiilor )(),( 10 xJxJ , cu ajutorul relaţiei de recurenţă
)()()(2 11 zJzJzJz
Se pot calcula expresiile funcţiilor de indici întregi mai mari ca 1 şi mai mici
ca 0.
Pentru 21
se obţine:
212
021 )
2(
)23()1(
)1()(
k
k
k z
kkzJ
unde
12)12...(5.3.1)
21(
21)....
231)(
211()
211()
23(
k
kkkkk
122)!12()
23(!)
23()1(
k
kkkkk
Rezultă
0
12
21 )!12(
)1(2)(k
kk
xkz
zJ
Analog pentru 21
212
021 )
2(
)21()1(
)1()(
k
k
k z
kkzJ
unde
k
kkkk 222...5.3.1)
21(
21)....
23)(
21()
21(
k
kkkkk 22)!2()
21(!)
21()1(
După efectuarea înlocuirilor se obţine:
0
2
21 !2
)1(2)(k
k
kk
kz
zzJ
80
Se observă că zJ (21 ) şi )(
21 zJ
reprezintă seriile funcţiilor sinx şi cosx , ceea ce
înseamnă că putem scrie:
zz
zJ sin2)(21
, zz
zJ cos2)(21
Folosind formula de recurenţă
)()()(2 11 zJzJzJz
pentru valori ale lui 21
şi 21
se pot calcula )(23 zJ şi )(
23 zJ
.
Tema de casă nr. 8
Calculaţi integralele:
1.
03 )1( xx
dx cu substituţia t
tx
1
şi se obţine 3
sin
2.
026
2
)1( xdxx cu substituţia
ttx
1
6 şi se obţine 12
3. xdxx2
0
24 cossin
cu substituţia tx 2sin se obţine 5123
4.
1
03 2 )1()1( xxxdx cu substituţia
ttx
21
se obţine 3 23
2
5. dxxx 2
0
3 38 cu substituţia tx 33 se obţine 39
16
6. Calculaţi )(23 zJ şi )(
23 zJ
.
Top Related