Lucrarea nr. 3

1

Aplicaţie: Studiul regimului tranzitoriu la pornirea acţionării cu motor de curent continuu Aplicaţia are ca scop studiul regimului tranzitoriu la pornirea motorului de curent continuu cu excitaţie separată.

Ecuaţiile acţionării cu motor de curent continuu sunt următoarele:

dtikM

ke

bdtdJM

edtdiLRiu

unde: u - tensiunea de alimentarea a înfăşurării rotorului R - rezistenţa înfăşurării indusului L – inductivitatea înfăşurării indusului i – curentul prin înfăşurare e - tensiunea electromotoare k - constanta motorului - fluxul - viteza de rotaţie a arborelui - poziţia unghiulară a arborelui motorului M – cuplul dezvoltat de motor J - momentul de inerţie al motorului b – coeficient de atenuare al sistemului mecanic Se va rezolva următorul sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul I.

Lucrarea nr. 3

2

Jbi

Jk

dtd

Lki

LR

Lu

dtdi

Date numerice: u = 24 V; R = 1 ; L = 0.5 H; J = 0.01 kgm2/s2 b = 0.1 Nms; k = 0.01Nm/A Se va studia evoluţia celor doi parametri (curentul şi viteza) atunci când se modifică succesiv şi combinat valorile pentru tensiunea de alimentare şi momentul de inerţie J. Sursa MATLAB (function m-file) function xder = mcc(t,x) u=24; L=0.5; R=1;k=0.01; J=0.01;b=0.1; xder(1,:)=u/L-R/L*x(1)-k/L*x(2); xder(2,:)=k/J*x(1)-b/J*x(2); xder(3,:)=x(2); end Sursa MATLAB (m-file) %Aplicatie - reg. tranz. la pornirea actionarii cu motor de curent continuu x0=zeros(3,1); [t,x]=ode45(@mcc,[0, 3],x0); plot(t,x(:,2)) Rezultat – variatia in timp a vitezei de rotatie a arborelul

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

Lucrarea nr. 3

3

Aplicaţie: Timpul de topire al unui fir fuzibil Un fir fuzibil, cu diametrul d şi lungime l, are în momentul iniţial o temperatură care variază liniar între valorile A şi B la cele două extremităţi, moment în care este supus unui curent electric de intensitatea I. Firul este izolat termic, iar în procesul tranzitoriu de încălzire extremităţile rămân la temperatura iniţială. Temperatura de topire a firului este t. Să se scrie un program de studiu al regimului termic tranzitoriu şi să se determine timpul de topire al firului pentru datele numerice: = 8900 kg/m3 , c = 400 J/kgC, = 0.025 10-6 m, = 390 W/ mC, d = 0.3 mm, I = 100 A, l = 0.04 m, A = 20 C, B = 100 C, t = 1090 C.

I

x

i=1 2 3 N+1N i-1 i i+1A B

A Bd

Ecuaţia conducţiei termice:

pgraddivt

c

Noţiuni recapitulative :

Operatorul nabla kz

jy

ix

După cum acest operator se aplică unui scalar sau unui vector, se deosebesc trei situaţii distincte (de fapt trei operatori diferenţiali diferiţi): gradientul, rotorul şi divergenţa. Gradientul unui scalar u notat cu simbolul grad u sau u este un vector, care în sistemul de coordonate cartezian se scrie sub forma:

kzuj

yui

xuu

Divergenţa unui vector kwjwiww zyx

notată cu simbolul ww

div este un scalar, de forma:

zw

yw

xww zyx

Rotorul unui vector kwjwiww zyx

este un câmp vectorial egal cu:

ky

wx

wj

xw

zwi

zw

yw

wwwzyx

kji

wwrot xyzxyz

zyx

uzu

yu

xuuu

2

2

2

2

2

2

graddiv

Operatorul de ordinul doi se numeşte laplacian.

Lucrarea nr. 3

4

Temperatura tranzitorie ),( tx a firului satisface ecuaţia:

2

21x

ptt

c

42

22 16

dIJp

unde , c , şi sunt densitatea, căldura specifică, conductivitatea termică şi rezistivitatea electrică ale materialului firului p – densitatea volumică a puterii de efect Joule Funcţia ),( tx satisface condiţia iniţială:

0)0,( x , pentru orice lx 0 şi condiţiile la limite:

BA tlt ),( ,),0( , pentru orice 0t Noţiuni recapitulative : Derivata de ordinul I a unei funcţii:

xxxuxxu

xxxuxu

xxuxxuxu

xxx

2

)()(lim)()(lim)()(lim)(000

Aproximările discrete ale derivatei :

huu

xxuu

xu jj

jj

jjj

1

1

1)( - diferenţe finite progresive (la dreapta)

huu

xxuu

xu jj

jj

jjj

1

1

1)(

- diferenţe finite regresive (la stânga)

huu

xxuu

xu jj

jj

jjj 2)( 11

11

11

- diferenţe finite centrale

211 2

)(h

uuuxu jjj

j

Forma în diferenţe finite a ecuaţiei pentru o divizare în N intervale echidistante, este :

2

)(1

)()(1

)(1 21h

pt

ki

ki

ki

ki

ki

(1)

unde

(k)1i

(k)i

)(1 , , k

i sunt temperaturile în nodurile i-1, i şi i+1 la momentul de timp tk )1( k

i - temperature în nodul i la momentul de timp tk+1 = tk + t

Nlh - pasul reţelei de divizare a firului

Lucrarea nr. 3

5

Cu notaţiile 2ht

c

şi c

pt

, relaţia (1) se rescrie sub forma:

)(1

)()(1

)1( 21 ki

ki

ki

ki

(2) Această relaţie permite determinarea valorilor temperaturii în toate nodurile Ni ,...,3,2 la momentul de timp 1kt , atunci când sunt cunoscute temperaturile la momentul de timp anterior

kt . Algoritmul de integrare numerică prin schema cu diferenţe finite este următorul:

1. se alege numărul N al paşilor de discretizare a firului şi pasul de timp t 2. se calculează valorile )1(

i ale temperaturii la primul pas de timp tt 1 , pe baza câmpului termic iniţial care se consideră că variază liniar între cele două temperaturi A şi B

3. se calculează succesiv valorile )1( ki ale temperaturii, k = 1, 2, 3, …, pe baza relaţiei (2)

la momentele de timp ... ,3 ,2 32 tttt 4. timpul de topire este timpul pentru care temperatura maximă în lungul firului a atins

valoarea t Observaţii:

Deoarece s-a folosit o metodă explicită soluţia este stabilă şi convergentă pentru

21

2 h

t

Funcţionarea corectă a programului depinde de fineţea divizării firului şi de corelarea mărimii pasului de timp cu intensitatea curentului

Sursa MATLAB (m-file) %Aplicatie - timpul de topire al unui fir fuzibil lambda=390; ro=0.025e-6;gamma=8900;c=400; d=0.3e-3;l=0.04; I=100; %intensitatea curentului TA=20; TB=100; Tt=1090; p=16*ro*I^2/(pi^2*d^4); N=10; dt=2e-6; h=l/N; A=lambda/(gamma*c); B=lambda/(gamma*c)*dt/h^2; D=p*dt/(gamma*c); T(1:N+1)=TA+(TB-TA).*(0:N)'/N; Tmax=max(TA); timp=0; while (Tmax-Tt)<=0 timp=timp+dt; T(1)=TA; T(N+1)=TB; for i=2:N T(i)=D+B*T(i-1)+(1-2*B)*T(i)+B*T(i+1); end Tmax=max(T) end timp