Lectii de Analiza Matematica
Georgescu Constantin
2
Cuprins
Prefata 7
1 Notiuni preliminare 91.1 Elemente de logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Multimi si functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Multimi indexate si siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Relatii binare. Multimi ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Monotonia functiilor si a sirurilor . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Multimea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Numere cardinale. Multimi numarabile . . . . . . . . . . . . . 24
2 Structuri fundamentale ale analizei matematice 292.1 Spatii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Analiza topologica a unei multimi . . . . . . . . . . . . 312.1.3 Convergenta si continuitate ın spatii topologice . . . . 32
2.2 Spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Multimi specifice spatiilor metrice . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Convergenta si continuitate ın spatii metrice . . . . . . 362.2.4 Principiul contractiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Spatii cu masura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Masura Lebesque ın Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Siruri de numere reale 453.1 Siruri de numere reale; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Moduri de prezentare a unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Clase de siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Siruri monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
4 CUPRINS
3.3.2 Siruri marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.4 Siruri fundamentale (Cauchy) de numere reale . . . . . 61
4 Serii numerice 63
4.1 Notiuni generale despre serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Operatii cu serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Criterii de convergenta pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni oarecare 67
4.3.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi 69
5 Siruri si serii de functii 79
5.1 Siruri de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Sir de functii; multime de convergenta . . . . . . . . . 79
5.1.2 Convergenta simpla; convergenta uniforma . . . . . . . 79
5.1.3 Criterii de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.4 Transferul de marginire, continuitate, derivabi-litate siintegrabilitate de la un sir de functii la limita sa . . . . 84
5.2 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.1 Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Criterii de convergenta uniforma pentru serii . . . . . . 86
5.2.3 Transferul de continuitate, derivabilitate si integrabil-itate pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.4 Cazuri particulare de serii de functii . . . . . . . . . . 88
6 Functii de mai multe variabile reale 97
6.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile . . . . 97
6.2.1 Convergenta sirurilor ın Rn . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Limita functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . 99
6.2.3 Continuitatea functiilor de mai multe variabile . . . . . 103
6.3 Derivate partiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4 Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile . . . . . . 110
6.5 Interpretare economicaa derivatelor partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.6 Derivatele si diferentialele functiilor compuse . . . . . . . . . . 120
6.7 Formula lui Taylor pentru functii de mai multe variabile . . . 126
6.8 Extremele functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . 129
6.8.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.8.2 Extreme cu legaturi (conditionate) . . . . . . . . . . . 137
CUPRINS 5
7 Extinderi ale integralei Reimann 1437.1 Integrala Riemann - Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2 Integrale improprii (generalizate) . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2.1 Criterii de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3.2 Proprietati ale integralelor cu parametru . . . . . . . . 1587.3.3 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . 163
7.4 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8 Calculul integralelor multiple 1718.1 Calculul integralelor duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.2 Calculul integralelor triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.3 Schimbari de variabile ın integrale multiple . . . . . . . . . . . 180
9 Teste de autoevaluare si evaluare 1839.1 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2 Test de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6 CUPRINS
Prefata
Abordarea stiintifica actuala a fenomenelor tehnice, economice si stiitificetot mai complexe, impune o pregatire matematica superioara si riguroasa, acelor chemati sa se ocupe de analiza acestor fenomene.
Prezentul curs, Lectii de Analiza Matematica se adreseaza studentilordin primul an de la facultatile cu profil tehnic, economic si o pot utiliza cu fo-los si studentii facultatilor de matematica. Cuprinde continutul matematic,de baza conform cu programa analitica actuala.
In general notiunile prezentate sunt ınsotite de exercitii complet rezolvate.Se prezinta de asemenea un test de autoevaluare, constand din exercitii com-plet rezolvate si un test de evaluare, care cuprinde exercitii nerezolvate ce sepot rezolva usor de cel care a parcurs ıntreaga lucrare.
Autorul multumeste, ın mod deosebit, celor care si-au adus contributialor cu gandul, cu vorba sau cu fapta, la aparitia acestei lucrari.
Multumim de asemenea, celor care vin cu sugestii pentru ınbunatatireaacestei lucrari.
AutorulPitesti octombrie 2006
7
8 CUPRINS
Capitolul 1
Notiuni preliminare
1.1 Elemente de logica
1.1 Definitie. Un enunt despre care se cunoaste ca este adevarat sau fals,ınsa nu si una si alta simultan, se numeste propozitie.
Vom nota propozitiile cu p, q, r, ... si multimea propozitiilor cu P .Pe multimea P definim aplicatia v : P → 0, 1,
v(p) =
1, daca p este adevarata;0, daca p este falsa.
,
numita functia valoare de adevar. Tot pe multimea propozitiilor se de-finesc unele functii speciale numite operatori logici. Astfel avem operatorii:
a)negatie: k : P → P , ∀p ∈ P , kp (se citeste non p sau negatia lui p)este o propozitie adevarata cand p este falsa si falsa cand p este adevarata.
b) disjunctie: ∨ : P × P → P (∨ se citeste ′′sau′′)c) conjunctie: ∧ : P × P → P (∧ se citeste ′′si′′)d) implicatie: →: P × P → P (→ se citeste ′′implica′′)e) echivalenta: ↔: P × P → P (↔ se citeste ′′echivalent′′).Cu ajutorul acestor operatori logici, din propozitii simple p, q, ... se pot
forma propozitii compuse. De exemplu, daca p, q,∈ P, formam propozitiakp (non p), p ∨ q (p sau q), p ∧ q (p si q), p → q (p implica q), p ↔ q (pechivalent cu q. Valorile de adevar ale acestor propozitii sunt date ın tabelulurmator:
p q kp p ∨ q p ∧ q p → q p ↔ q p → qdef≡ kp ∨ q
1 1 0 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 1 0 10 0 1 0 0 1 1 1
9
10 Capitolul 1. Notiuni preliminare
Propozitia p → q se mai citeste ′′daca p atunci q′′, iar propozitia p ↔ qse mai citeste ′′ p daca si numai daca q′′.
Daca propozitia p → q este adevarata, vom scrie p ⇒ q si vom spune cap este o conditie suficienta pentru q sau ca q este conditie necesarapentru p. Altfel spus propozitia care implica se numeste conditie suficientapentru propozitia implicata, iar propozitia implicata se numeste conditienecesara. pentru propozitia care implica.
Daca propozitia p ↔ q este adevarata, vom scrie p ⇔ q si vom citi ca peste conditie necesara si suficienta pentru q si invers.
O propozitie compusa , care este adevarata oricare ar fi valoarile de adevarale propozitiilor componente, se numeste tautologie.
1.2 Propozitie: Fie p, q ∈ P . Atunci avem tautologiile:
a) p ↔ p (legea reflexivitatii);
b) p ∨ p; p ∧ p ↔ p (legea idempotentei) - comutativitate;
c) p ∨ (kp) (principiul tertiului exclus) - asociativitate;
d) kkp ↔ p (principiul dublei negatii) - distributivitate;
e)k(p ∨ q) ↔ (kp) ∧ (kq)k(p ∧ q) ↔ (kp) ∨ (kq)
(principiul dualitatii) - Legile lui De Mor-
gan;
f) (p → q) ↔ (kp → kq) (legea contrapozitiei,) de aceasta lege depinddemonstratiile prin reducere la absurd (reductio ad absurdum).
1.3 Definitie. O propozitie care depinde de una sau mai multe variabilese numeste predicat (functia propozitionala). El se noteaza p(x) (predicateunare), p(x, y) (predicate binare), p(x, y, z) (ternare),...
Pe langa operatori logici mentionati ın matematica mai intervin alti oper-atori dintre care cei mai importanti sunt cuantificatorul univeral (notatcu ∀ si se citeste ′′oarecare sau oricare′′) si cuantificatorul existential (no-tat ∃ si se citeste ′′exista′′). Cu ajutorul acestor doi cuantificatori, dintr-unpredicat unar p(x), putem forma propozitii noi. De exemplu
(∀x) p(x), ( se citeste ,,oricare ar fi x, p(x)”);
(∃x) p(x), ( se citeste ,,exista x, a.ı. p(x)”);
si tautologiile, care sunt tot propozitii
(∀x)p(x) ⇒ ∃x)p(x);
k(∀x, p(x)) ⇒ (∃x), kp(x);
k(∃x, p(x)) ⇒ (∀x), kp(x).
1.2. Multimi si functii 11
Din predicate binare p(x, y) putem forma propozitii, cum ar fi:
(∀x)(∀y), p(x, y) ⇒ (∀y)(∀x), p(x, y);
(∃x)(∃y), p(x, y) ⇒ (∃y)(∃x), p(x, y);
k(∀x, ∃y, p(x, y)) ⇒ (∃x)(∀y), k(p(x, y));
De aici deducem urmatoarea regula practica: ,,prin negare cuantifica-torul universal (∀) se transforma ın cuantificator existential (∃) si invers,iar propozitia p ın propozitia kp”.
Fiind date propozitiile p(x1, x2, . . . , xn), q(x1, x2, . . . , xn), din teorema
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn)
putem forma urmatoarele teoreme
q(x1, x2, . . . , xn) ⇒ p(x1, x2, . . . , xn), (teoema reciproca);
kp(x1, x2, . . . , xn) ⇒ kq(x1, x2, . . . , xn), (teoema contrara);
kq(x1, x2, . . . , xn) ⇒ kp(x1, x2, . . . , xn, (reciproca contrarei).
Datorita tautologiei (p −→ q) ←→ (kq −→ kp), teorema directa
p(x1, x2, . . . , xn) ⇒ q(x1, x2, . . . , xn)
este echivalenta cu teorema
kq(x1, x2, . . . , xn) ⇒ kp(x1, x2, . . . , xn),
i.e. cu contrara reciprocei sale. Pe aceasta echivalenta se bazeaza metodademonmstratiei prin reducere la absurd. Aceasta metoda este foarte utilaın matematica, deoarece demonstratia teoremei directe este ınlocuita cudemonstratia contrarei reciprocei sale.
1.2 Multimi si functii
a) Multimi: Notiunea de multime este una dintre notiunile fundamentalesi cele mai des folosite ın matematica moderna. Dupa Georg Coutor (1845-1918), creatorul teoriei multimilor, se numeste multime ′′o colectie de obiectebine determinate si distincte ale intuitiei sau gandirii noastre, considerate caun tot′′. Obiectele considerate se numesc elementele multimii.
12 Capitolul 1. Notiuni preliminare
De regula multimile se noteaza cu literele mari ale alfabetului latin (A,B,C, ...), iar elementele lor cu litere mici ale alfabetului latin (a, b, c, ...). DacaA este o multime si x un element al sau, vom scrie x ∈ A si vom citi ′′xapartine lui A′′. Daca x nu se gaseste ın A, atunci vom scrie x 6∈ A si vomciti ′′x nu apartine lui A′′.
O multime poate fi data:
i)sintetic - numind individual elementele sale, adica A = a, b, c, ...;ii) analitic - specificand o proprietate pe care o au doar elementele sale,
adica A = x|P (x).Tinand seama de cum se poate defini o multime putem scrie: φ = , φ =
x|x 6= 0.O multime cu un numar finit de elemente se numeste multime finita.
In caz contrar se numeste multime infinita. Pentru cateva multimi carevor fi des utilizate se folosesc notatii speciale:
i) N (sau N) - multimea numerelor naturale; N = 0, 1, 2, ..., n, ..., N∗ -multimea numerelor naturale nenule; N∗ = 0, 1, 2, ..., n, ...,
ii) Z - multimea numerelor ıntregi; Z = ...−n, ...,−2,−1, 0, 1, 2, ..., n, ...iii) Q - multimea numerelor rationale Q =
m
nm,n ∈ Z, n 6= 0
iv) R - multimea numerelor reale;
v) C - multimea numerelor complexe;′′=′′ - Doua multimi A si B sunt egale (coincid) (si vom scrie A = B)
daca si numai daca sunt formate din aceleasi elemente. Daca A si B nu suntegale, si vom scrie A 6= B si vom citi ′′A diferit B′′.
′′ ⊂′′ si ′′ ⊆′′ - Daca A si B sunt doua multimi, spunem ca A estesubmultime a lui B, ( A este inclusa ın B si vom scrie A ⊂ B, respectivA ⊆ B sau B include A si vom scrie B ⊇ A) daca orice element al multimiiA este si element al multimii B. Multimea vida este submultime a oricareimultimi.
1.3 Multimi indexate si siruri
Fie I o multime nevida, pe care o numim multime de indici. Fie deasemenea o multime arbitrara X 6= φ si f : I → X o functie definita prinf(i) = xi, ∀i ∈ I. Multimea xi|i ∈ I, chiar daca are si elemente egale,constituie imaginea lui I prin f si se numeste multime indexata (dupai ∈ I). Desi multimea indexata xi|i ∈ I este considerata, ca o submultimea lui X, avand elemente ce pot coincide, ea trebuie identificata cu functiaf : I → X.
1.3. Multimi indexate si siruri 13
Fie acum m ∈ N, fixat si multimea Nm = n ∈ N|n ≥ m. Daca I = Nm,atunci multimea indexata xn|n ∈ I se numeste sir infinit (pe scurt sir)de elemente din X, notat ın mod uzual xnn≥m sau (xn)n≥m. Elementulxn ∈ xn|n ∈ I se va numi termenul de rang n al sirului xnn≥m. Prinurmare sirul xnn≥m poate fi considerat ca fiind functia f : Nm → X definitaprin f(n) = xn (functia f se poate numi functia generatoare a sirului) saumultimea indexata xn|n ≥ m, multime care poate avea si elemente egale.Cel mai adesea m ∈ 0, 1.
Orice submultime infinita, a multimii indexate xn|n ≥ m, notata ingeneral prin xnk
|k ∈ N, se numeste subsir al sirului xnn≥m si care semai noteaza de regula xnk
k≥0 sau (xnk)k≥0. Multimea xnk
|k ∈ N, poatesi ea sa aiba elemente egale. Mai mult, multimea xn|n ≥ m si implicitxnk
|k ≥ 0 pot avea chiar toate elementele egale. In acest caz sirul xnn≥m
se numeste sir constant.Daca elementele multimii X sunt multimi sau submultimi ale unei multimi
T 6= φ, atunci multimea indexata Ai|i ∈ I cu I multime de indici, senumeste familie de multimi respectiv familie de submultimi ale lui T si senoteaza uzual (Ai)i∈I .
a) Fie (Ai)i∈I o familie de multimi. Multimile∪i∈I
Ai := x|(∃)i ∈ I, x ∈ Ai,∩i∈I
Ai := x|(∀)i ∈ I, x ∈ Ai,
se numesc reuniunea, respectiv intersectia familiei (Ai)i∈I .b) Se numeste partitie a unei multimi M 6= φ o familie de multimi (Ai)i∈I
cu:1) Ai ∈ P(M), Ai 6= φ, (∀)i ∈ I,2) Ai ∩ Aj = φ, (∀)i, j ∈ I cu I 6= j,
astfel ıncat∪i∈I
Ai = M.
c) Se numeste acoperire a multimii M 6= φ, o familie (Bk)k∈K astfel ıncat(∀)x ∈ M, (∃)k ∈ K astfel ıncat x ∈ BK , deci M ⊆
∪k∈K
BK .
Daca (Ai)i∈I este o familie de multimi, atunci multimea∏i∈I
Ai :=
f : I →
∪i∈I
Ai
∣∣∣∣f(i) ∈ Ai, (∀)i ∈ I
(= X
i∈IAi
)se numeste produs cartezian sau produs direct al familiei (Ai)i∈I .
Pentru fiecare f ∈∏i∈I
Ai si i ∈ I, imaginea xi = f(i), a lui i prin f, se
numeste coordonata de ordin i a lui f. Astfel putem scrie:∏i∈I
Ai = (ai)i∈I |ai ∈ Ai, (∀)i ∈ I
14 Capitolul 1. Notiuni preliminare
Daca Ai = A, (∀)i ∈ I, atunci produsul cartezian∏i∈I
Ai = AI . In partic-
ular, daca I = 1, 2, ..., n, atunci notam∏i∈I
Ai = A1 × A2 × ... × An = (x1, x2, ..., xn)|xi ∈ Ai, (∀)i ∈ I.
Daca I = N, ın loc de AI se va scrie A∞. Pentru A = R vom scrieRn := (x1, x2, ..., xn)|xi ∈ R, (∀)i ≥ 1.
Fie i0 ∈ I. Functia pi0 :∏i∈I
Ai → Ai0 . Functia pi0 se numeste i0 - proiectia
canonica a produsului cartezian∏i∈I
Ai pe multimea Ai0 . Formulele lui de
Morgan raman valabile si pentru familiile de multimi.In teoria multimilor se admite urmatoarea axioma.′′Daca (Ai)i∈I este o familie nevida de multimi nevide, atunci
∏i∈I
Ai 6= Φ
′′ numita axioma alegerii. Altfel formulata: ′′Pentru orice familie (Ai)i∈I
de multimi nevide exista o multime B astfel ca B ∩ Ai sa fie multime cu unsingur element pentru orice i ∈ I.′′
1.4 Relatii binare. Multimi ordonate
1.4 Definitie. Fie A si B doua multimi nevide. O submultime ρ ⊂ A×Bse numeste relatie binara ıntre A si B.
Daca elementul (a, b) ∈ ρ, unde a ∈ A si b ∈ B spunem ca ′′a este ınrelatia ρ cu b′′ si notam aρb. Cand B = A o relatie binara ρ ıntre A si Ase numeste simplu relatie binara pe multimea A.
1.5 Exemple: 1. Fie A 6= φ, o multime oarecare. Multimea ∆ =(a, a)|a ∈ A (diagonala multimii A) este o relatie binara pe A.
2. Relatia de simetrie fata de un punct O ın multimea p unctelor dinplan. P ′ este simetricul lui P fata de O, daca O este mijlocul segmentului(PP ′).
3. Relatia de paralelism ın multimea dreptelor din plan. Dreptele a si bsunt paralele daca a ∩ b = φ sau a = b.
4. Relatia de incluziune ın multimea P(M) a partilor unei multimi M.5. Relatia de implicatie logica ıntre propozitii ıntr-o teorie matematica.
Propozitia p implica propozitia q(p → q) daca din faptul ca p este adevaratarezulta ca q este adevarata.
6. Fie A = 1, 2, 3, 4 si ρ o relatie binara pe A definita astfel:
ρ = (m,n) ∈ A × A|m < n.
1.4. Relatii binare. Multimi ordonate 15
1.6 Definitii: O relatie ρ pe o multime M 6= φ se numeste:
a) reflexiva, daca xρx, (∀)x ∈ M (vezi ex. 1,3,4,5);
b) ireflexiva, daca xρx ⇒ x 6= y (xρx, (∀)x ∈ M);
c) simetrica, daca xρy ⇒ yρx, (∀)x, y ∈ M (ex. 2,3);
d) antisimetrica, daca xρy si yρx ⇒ x = y, (∀)x, y ∈ M (ex. 4,6);
e) tranzitiva, daca xρy si yρx ⇒ xρz, (∀)x, y, z ∈ M (ex. 1,3,4,5);
f) de ordine, daca este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva;
g) de ordine stricta, daca este ireflexiva si tranzitiva;
h) de ordine totala, daca xρx sau yρx, (∀)x, y ∈ M ;
i) de ordine partiala, daca nu este totala;
e′) de echivalenta, daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva.
1.7 Definitie. Submultimea: ρa = x ∈ M |zρa se numeste clasa deechivalenta a elemntului a ∈ M, fata de relatia de echivalenta ρ din M,sau clasa de echivalenta elementului a modulo ρ.
1.8 Teorema. Fie ρ o relatie de echivalenta pe M 6= φ. Atunci :
ρx = ρy ⇔ xρy.
Demonstratie: ′′ ⇒′′ evident.
′′ ⇐′′ fie a ∈ ρx ⇒ aρxdar xρy
⇒ a ∈ ρy ⇒ ρx ⊂ ρy.
Analog se gaseste ρy ⊂ ρx. Si apoi este clar ca ρx = ρy.
1.9 Definitie. Fie M 6= φ si ρ o relatie de echivalenta pe M fata de ρ senumeste multimea factor (multimea cat) a multimii M fata de relatia ρ si senoteaza M/ρ.
1.10 Teorema. Fie M 6= φ si ρ o relatie de echivalenta pe M. Atunciavem:
1) M/ρ ⊂ P(M)
2) M/ρ este o partitie pentru M (M =∪
a∈Sρ
ρa, unde Sρ face parte dintr-o
singura clasa de echivalenta).
Demonstratie. 1) evident
2) ρa ∩ ρb = φ (∀)a, b ∈ M cu a 6= b (exercitiu). M =∪
a∈Sρ
ρa (evident).
1.11 Definitie. O multime A 6= φ, pe care s-a definit o relatie de ordinenotata de regula ′′ ≤′′ se numeste multime ordonata sau lant si se noteaza(A,≤). Daca relatia este de ordine totala (partiala) atunci multimea A estetotal (partial) ordonata. Orice submultime A′ ⊆ A, A multime ordonata,atunci A′ u relatia indusa de ′′ ≤′′ este o multime ordonata.
16 Capitolul 1. Notiuni preliminare
1.12 Exemple: 1) Fie T 6= φ. (P(T ),⊆) este o multime ordonata. DacaT are cel putin doua elemente, atunci (P(T ),⊂) nu este multime total ordo-nata;
2) (N,≤) este total ordonata (n ≤ m :⇔ (∃)p ∈ N cu n + p = m);
3) (Q,≤) este total ordonata
(m
n≤ p
q:⇔ mq ≤ np
)1.13 Definitie. Fie M 6= φ, (M,≤) - multime ordonata si X ⊂ M.
1) Un element a ∈ M este un minorant al multimii X daca a ≤x, (∀)x ∈ X.
Un element b ∈ M este un majorant al multimii X daca a ≤b, (∀)x ∈ X.
2) O multime care poseda majoranti si minoranti se numeste margi-nita.
3) Un minorant (respectiv majorant) al multimii X care apartine lui Xse numeste prim element, cel mai mic element sau minim (respectivultim element, cel mai mare element sau maxim) al lui X si se noteazacu min A (respectiv max A).
4) Cel mai mic majorant (respectiv cel mai mare minorant) al multimii Xse numeste margine superioara (respectiv margine inferioara a multimiiX si se noteaza sup X si respectiv inf X.
1.14 Definitie. O multime ordonata (M,≤) se numeste latice, dacapentru orice doua elemente a, b ∈ X exista maxa, b si mina, b. O laticese numeste completa daca orice submultime nevida a sa are superior si inferiorın X. O multime ordonata (A,≤) se zice inductiva daca orice submultime asa total ordonata are un majorant.
1.5 Monotonia functiilor si a sirurilor
1.15 Definitie. Fie (A,≤), (B,≤) doua multimi ordonate. O aplicatie
f : A −→ B se zice crescatoare daca (∀) x, y ∈ A cu x ≤ y ⇒ f(x) ≤f(y); f se zice strict crescatoare (izotona) daca (∀) x, y ∈ A cu x < y ⇒f(x) < f(y); f se zice descrescatoare daca (∀) x, y ∈ A cu x < y ⇒ f(y) ≤f(x); f se zice strict descrescatoare daca (∀) x, y ∈ A cu x < y ⇒ f(y) <f(x);
Asadar, f este strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) daca sinumai daca este crescatoare (respectiv descrescatoare) si injectiva.
1.16 Definitie. Fie (A,≤) o ordonata si un sir xnn≥0 de elemente dinA.
1.6. Multimea numerelor reale 17
Sirul xnn≥0 se numeste crescator (respectiv descrescator) daca si nu-mai daca functia sa generatoare este crescatoare (respectiv descrescatoare).Astfel spus avem:
Sirul xnn≥0 este crescator ⇔ xn ≤ xn+1, (∀)n ≥ 0.Sirul xnn≥0 este descrescator ⇔ xn+1 ≤ xn, (∀)n ≥ 0.Sirul xnn≥0 se numeste strict crescator (respectiv strict descrescator)
daca si numai daca functia asociata este strict crescatoare (respectiv strictdescrescatoare). Astfel spus avem:
Sirul xnn≥0 este strict crescator ⇔ xn < xn+1, (∀)n ≥ 0.Sirul xnn≥0 este strict descrescator ⇔ xn+1 < xn, (∀)n ≥ 0.
1.17 Remarca. In loc de f crescatoare (respectiv descrescatoare) semai utilizeaza si f monoton crescatoare (respectiv monoton descrescatoare).Functia f este monotona, daca f este monoton crescatoare sau monotondescrescatoare. Functia f este strict monotona daca f este strict crescatoaresau f este strict descrescatoare. Aceleasi observatii sunt si pentru siruri.
1.6 Multimea numerelor reale
Multimea numerelor reale este multimea de baza ın ıntreaga analiza mate-matica. Conceptul de numar real este cunoscut ınca din antichitate. Definitiariguroasa a numerelor reale a fost data abia ın a doua jumatate a secoluluial XIX-lea de catre Weiostrass, Dedekind, Cantor, Meray, etc.
Exista mai multe moduri de a defini multimea Ranumerelorreale. Sepoate defini multimea N a numerelor naturale (cu axiomele lui Peano). Cuajutorul lui N se defineste, prin extensiune, multimea Z a numerelor ıntregi,care se extinde apoi la multimea Q, a numerelor rationale. Asadar N ⊆ Z ⊆Q. Multimea Q, desi este corp ordonat, este destul de saraca ın proprietati.De exemplu, ecuatia x2 − 2 = 0 nu are solutii ın Q. Apare deci nevoia dea extinde, ın continuare si multimea Q. Acest lucru poate fi realizat ın maimulte moduri:
- cu ajutorul sirurilor Cauchy de numere rationale (constructia lui Cantor)∗
- cu ajutorul taieturilor (constructia lui Dedekind)∗∗
- cu ajutorul fractiilor zecimale etc ...∗∗∗
De fiecare data se obtine un corp complet ordonat K, K ⊇ Q. Cel maimic dintre aceste corpuri este corpul numerelor reale notat R. Aceasta estecalea naturala de a defini multimea R.
Exista, ınsa, un procedeu de definire a multimii R, mai putin natural,dar mai economic si mai usor de retinut. Se va defini ınca de la ınceputmultimea R a numerelor reale ca fiind un corp complet ordonat K, deci o
18 Capitolul 1. Notiuni preliminare
multime abstracta ınzestrata cu anumite proprietati (axiome), dupa care vomdefini pe N, Z si Q ca fiind submultimi particulare ale lui R.
Prin urmare primul procedeu are la baza afirmatia: ′′Exista o multime denumere naturale (definita cu axiomele lui Peano)′′, iar al doilea procedeu arela baza afirmatia: ′′Exista un corp complet ordonat′′. Din punct de vederematematic cele doua afirmatii sunt echivalente.
1.18 Definitie. O multime nevida K pe care s-au definit doua legi decompozitie ,,+” si ,,·”, si relatia binara ≤, avand proprietatile:
a) (K, +, ·) corp comutativ;b) (K,≤) este multime total ordonata;
c) x, y ∈ K si x ≤ y ⇒⟨
x + z ≤ y + z, (∀)z ∈ K;xz ≤ yz, (∀)z ∈ K cu z ≥ OK .
(aceasta
conditie arata compatibilitatea ıntre structura algebrica a lui K si relatia deordine pe K), se numeste corp ordonat si se noteaza (K, +, ·,≤).
1.19 Definitie. Un corp ordonat (K, +, ·,≤) ın care (∀) submultime6= φ,majorata a sa poseda margine superioara (i. e. (∀)φ 6= A ⊆ K, A majorata⇒ (∃ sup A)) se numeste corp complet ordonat.
Intr-un corp complet ordonat K, ′′Orice submultime minorata a lui Kare margine inferioara.′′
1.20 Definitie. Un corp complet ordonat se numeste sistem (corp) denumere reale si se noteaza cu R; un element x ∈ R se numeste numarreal.
1.21 Definitie. Multimea numerelor naturale este cea mai micasubmultime N ⊆ R cu: 0 ∈ N; (∀)x ∈ N ⇒ 1 + x ∈ N. Multimea Z :=N ∪ (−N∗) se numeste multimea numerelor ıntregi, iar multimea Q =m
n; m,n ∈ Z, n 6= 0
se numeste multimea numerelor rationale. R \ Q
se numeste multimea numerelor irationale.
Reguli de calcul pe R. x − y := x + (−y);x
y:= x · y−1, y 6= 0.
NotatiiR+ := x ∈ R|x ≥ 0 multimea numerelor reale nenegative;R− := x ∈ R|x ≤ 0 multimea numerelor reale nepozitive;R∗ := x ∈ R|x 6= 0; multimea numerelor reale negative.Intervale[a, b] := x ∈ R|a ≤ x ≤ b interval ınchis cu extremitatile a si b.(a, b) := x ∈ R|a < x < b interval deschis cu extremitatile a si b.[a, b) := x ∈ R|a ≤ x < b intervale semideschise.(a, b] := x ∈ R|a < x ≤ b intervale semideschise.[a,−∞) := x ∈ R|x ≥ a.(a,−∞) := x ∈ R|x ≥ a.(−∞, a] := x ∈ R|x ≤ 0.
1.6. Multimea numerelor reale 19
(−∞, a) := x ∈ R|x ≤ 0.P + r > 0, I(x, r) = (x − r, x + 2) se numeste interval centrat ın x.1.22 Definitie. Pentru orice interval I cu originea ın a si extremitatea
b, numarul b − a numeste lungimea intervalului I si se noteaza `(I), adica`(I) = b − a.
1.23 Definitie. Functia | · | : R −→ R+, |x| := maxx,−x
|x| =
−x, x < 0;0, x = 0;x, x > 0
se numeste functia modul (norma).
Proprietati:
m1|x| ≥ 0, (∀) x ∈ R.|x| = 0 ⇔ x = 0.
m2 |x + y| ≤ |x| + |y|, (∀)x, y ∈ R.m3 |xy| ≤ |x| · |y|, (∀)x, y ∈ R
Prin inductie se poate verifica usor ca
∣∣∣∣ n∑i=1
∣∣∣∣ ≤ n∑i=1
|xi|
1.24 Definitie. Functia d : R × R → R+, d(x, y) = |x − y|, (∀)(x, y) ∈R × R se numeste functia distanta (distanta euclidiana).
Se verifica imediat ca au loc proprietatile:
D1d(x, y) ≥ 0, (∀) x, y ∈ R.d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
D2 d(x, y) = d(y, x), (∀)x, y ∈ R.D3 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), (∀)x, y, z ∈ R1.25 Observatie. |x| = d(x, 0).1.26 Propozitie. Orice submultime B ⊂ R, minorata, are margine
inferioara (adica exista inf B).Demonstratie. Multimea −B := −x|x ∈ B = x|x ∈ B va fi ma-
jorata deci exista sup(−B) (adica are margine superioara) si cum inf B =− sup(−B) (se verifica usor) avem ca exista inf B.
1.27 Observatie. Fie A ⊂ R si m = inf A, M = sup A. Pentru m avemproprietatile:
1) m ≤ x, (∀)x ∈ A (adica m este minorant pe A);2) (∀)ε > 0, (∃)y ∈ A astfel ıncat m ≤ y < m + ε. (m este cel mai mare
minorant).Pentru M, avem proprietatile:1) M ≥ x, (∀)x ∈ A (adica M este majorant pentru A);2) (∀)ε > 0, (∃)y ∈ A astfel ıncat M− ε < y ≤ M (M este cel mai mic
majorant).1.28 Teorema. (∀)x, y ∈ R, x > 0, (∃)n ∈ N∗, nx ≥ y.Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd ca (∀), n ∈ N∗,
nx < y. Atunci submultimea A = 0, x, 2x, 3x, ... al lui R ar fi majorata de
20 Capitolul 1. Notiuni preliminare
y si fiindca R este un corp complet ordonat ∃ ξ = sup A. Din proprietatealui ′′ sup′′ mentionata mai sus avem ca pentru ε = x exista puncte din A ınintervalul (ξ − x, ξ]. Deci (∃) p ≥ 1 a. ı. ξ − x < px ≤ ξ ⇒ ξ < (p + 1)x.Aceasta inegalitate este falsa, caci ξ = sup A si (p + 1)x ∈ A. Prin urmarepresupunerea facuta este falsa. Deci teorema este demonstrata.
Teorema se numeste proprietatea lui Arhimede. O alta forma a pri-prietatii lui Arhimede este data de Corolar 1.
1.29 Corolar 1. Pentru ∀y ∈ R, ∃n0 ∈ Z a. ı. n0 ¿ y < n0 + 1 (Altfel:Orice numar real este cuprins ıntre doua numere ıntregi consecutive)
Demonstratie. Fie y ∈ R. Cazul 1. Conform cu proprietatea lui Arhimedepentru x = 1 si y, (∃)n ∈ N si r · 1 ≥ y. Fie p cel mai mic n cu aceasta pro-prietate (∃?) da pentru ca n este dat, proprietatea lui Arhimede este falsa.
Daca y ∈ N, n0 = y. Daca y 6∈ N, n0 = p − 1 si ⇒ c.c.t.d.
Cazul 2. y < 0 ⇒ −y > 0 si conform cu cazul 1 ∃ q ∈ N a. ı.q ≤ −y < q + 1 ⇒ −q − 1 < y ≤ −q.
1.30 Corolar 2. Fie a ∈ R, a ≥ 0 fixat. Daca pentru (∀) ε > 0, rationalavem a < ε, atunci, ın mod necesar, a = 0.
Demonstratie. Daca a > 0, se aplica teorema de mai sus, pentru x = a >0 si y = 1. deci (∃) n ∈ N∗ a. ı. na ≥ 1. Conform ipotezei corolarului avem
pentru ε =1
2n, a <
1
2n⇒ na <
1
2. Deci a > 0 nu se poate. Prin urmare
a = 0.
1.31 Corolar 3. (Lema de densitate a lui Q ın R) (∀) a, b ∈ R (a<b)=⇒
(∃) c ∈ Q a. ı. a < c < b (adica ∃ c ∈ Q ∩ (a, b)) (ıntre orice doua numerereale exista cel putin un numar rational.)
Demonstratie. Sit. 1. a, b ∈ R \ Q.
Pentru x = b−a si y = 1, conform cu proprietatea lui Arhimede, ∃ n ∈ Na. ı. n(b − a) ≥ 1 ⇒ a ≤ b − 1
n(1).
Pentru nb ∈ R, conform Corolar 1, ∃ k0 ∈ Z a.ı. k0 ≤ nb < k0 + 1 ⇔k0
n≤ b <
k0 + 1
n(2)
Din (1) si (2) avem:
a ≤ b − 1
n<
k0
n≤ b ⇔ a <
k0
n≤ b ⇒ c =
k0
n∈ Q.
Sit. 2. a, b ∈ Q ⇒ c =a + b
2∈ Q.
Sit. 3. a, b ∈ R \ Q si b ∈ Q.
Din (1) avem a ≤ b − 1
n< b.
1.6. Multimea numerelor reale 21
Sit. 4. a ∈ Q si b ∈ R \ Q.x = b − a,y = 1,
⇒ ∃ n ∈ N a.ı. n(b − a) ≥
1 ⇒ a < b − 1
n< b.
1.32 Teorema. (lema intervalelor incluse). Fie I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃In ⊃ ... un sir descrescator de intervale ınchise si marginite ın R, In =[an, bn], n ≥ 0. Atunci intersectia
∩n≥0
In 6= φ.
Demonstratie. Asadar, au loc inegalitatile.
A = a0, a1, a2, ..., ap, ... si B = b0, b1, b2, ..., bp, ....
Cum b0 este majorant pentru A si a0 minorant pentru B, exista ξ = sup Asi η = inf B. Deoarece ap ≤ bq (∀) p, q ≥ 0 ⇒ ξ ≤ bq (∀) q ≥ 0 ⇒ ξ ≤ η.
Vom dovedi ca∩
In are cel putin un element. Fie t ∈ [ξ, η]. Atuncian ≤ ξ ≤ η ≤ bn, (∀) n ≥ 0, deci t ∈ In, (∀) n ≥ 0 ⇒ t ∈ In. deci
∩n≥0
In 6= φ.
1.33 Observatie. 1) Este esentiala conditia ca In sa fie ınchis (∀) n ≥ 0.
Daca In =
(0,
1
n
]avem In ⊃ In+1(∀) n ≥ 1 si totusi
∩n≥0
In 6= φ.
2) In teorema de mai sus, cum `(In) ≥ 0 (∀) n ≥ 0, avem (∃) inf `(In).Daca introducem ipoteza suplimentara ca inf `(In) = 0, atunci
∩n≥0
In are un
singur element. Intr-adevar daca ar fi c si c′ ∈∩
n≥0
In, atunci am avea ca
|c − c′| ≤ `(In) oricare n ≥ 0. In conformitate cu ultimul corolar |c − c′| =0 ⇒ c = c′.
Dreapta reala, bijectia lui Descartes: Fiind data o dreapta d pe cares-a ales o origine O, un sens de parcurgere pozitiv si o unitate de lungime, sestabileste o concordanta µ : G −→ R (G - multimea punctelor de pe dreapta)bijectiva (numita bijectia lui Descartes) prin care oricarui punct P ∈ G i seasociaza un numar real x, numit abscisa lui P. Deci µ(P ) = x. Convenindsa spunem ca sensul pozitiv pe d este de la stanga la dreapta, pe G se poatestabili o relatie de ordine astfel: P < Q :⇔ P la stanga lui Q. Bijectiaµ pastreaza ordinea adica P < Q ⇔ µ(P ) < µ(Q). Daca P si Q sunt douapuncte de abscise, respectiv x si y, d(P,Q) = d(x, y) = |x−y|; d(P,O) = |X|.Punctele aflate la stanga originii au abscise negative. Prin aceasta bijectie,de o importanta uniciala pentru analiza si geometrie, punctele se identificaprin numere si invers.
Dreapta reala ıncheiata: Unul dintre conceptele cu care opereaza anal-iza matematica este acela de infinit. Vom adauga multimii numerelor realedaca noi elemente care vor juca rolul ′′elementelor de la infinit′′.
22 Capitolul 1. Notiuni preliminare
1.34 Definitie. Multimea R = R ∪ −∞ ∪ +∞ se numeste dreaptareala ıncheiata daca elementele −∞ si +∞ nu apartin lui R si sunt satisfacuteurmatoarele conditii:
1.35 Terminologie: (∀) x ∈ R se numeste numar real finit.Elementul (−∞) ∈ R se numeste minus infinit.Elementul (+∞) ∈ R se numeste plus infinit.1) −∞ < a < +∞ (∀) a ∈ R;2) a + ∞ = +∞ + a = +∞, (∀) a ∈ R;3) a + (−∞) = (−∞) + a = −∞, (∀) a ∈ R;
4) +∞ · a =
+∞, daca a > 0 ın R−∞, daca a < 0 ın R (= a · (+∞));
5) (−∞) · a =
+∞, daca a < 0 ın R−∞, daca a > 0 ın R (= a · (−∞));
Nu se pot defini +∞ + (−∞); 0 · ∞; 0 · (−∞);∞∞
, etc.
1.36 Observatie. 1) In multimea R se definesc intervalele ca ın multimeaR. Sa remarcam egalitatile: R = (−∞, +∞); R = [−∞, +∞];
2) Pastrand ordinea de pe R, multimea R fara ca operatiile algebrice safie peste tot definite.
1.7 Multimea numerelor complexe
Consideram produsul cartezian R×R pe care definim operatiile de adunaresi ınmultire astfel:
(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)(x1, y1) · (x2, y2) := (x1 · x2 − y1 · y2, x1 · y2 + x2 · y1)
In raport cu aceste operatii R × R este corp comutativ numit corpulnumerelor complexe, notat prin C. Orice element al lui C se numeste numarcomplex.
deoarece corpul (R, +, ·) este izomorf cu subcorpul (R × 0, +, ·) al cor-pului numerelor complexe (se va defini f : R −→ R × 0, f(x) = (x, 0)).Prin urmare numarul real x se poate identifica cu numarul complex (x, 0)si invers. Asadar se poate scrie (x, 0) = x. Notand i = (0, 1), orice numarcomplex z = (x, y) se poate scrie z = (x, 0)+(y, 0) = x+iy. Deci orice numarcomplex z admite reprezentarea z = x + iy; x se numeste partea reala a luiz si se noteaza Rez si se citeste ′′real de z′′; iy se numeste parte imaginaraa la z, iar y se numeste coeficientul partii imaginare si se noteaza Imz carese citeste ′′imaginar de z′′. Doua numere complexe z si z′ sunt egale daca si
1.7. Multimea numerelor complexe 23
numai daca Rez = Rez′ si Imz = Imz′. Prin calcul se gaseste ca i2 = −1 sau
i =√−1 (uneori pentru evitarea unor confuzii
√−1
not= j). Daca z = x + iy,
numarul complex z = x − iy se numeste conjugatul complex al lui z. Severifica usor ca:
1. z = z 4.
(1
z
)2. z1 + z2 = z1 + z2 5. x = Rez =
1
2(z + z)
3. z1 · z2 = z1 · z2 6. y = Imz =1
2i(z − z).
Numerele reale fiind reprezentate geometric pe o axa, numerele complexese reprezinta ın plan folosind un sistem de axe rectangulare.
Punctul P (x, y) se numeste imaginea geometrica a numarului complexz = z+ iy, iar numarul complex z = z+ iy se numeste afixal punctul P (x, y).Intre multimea numerelor complexe C si punctele din plan exista o bijectie side aceea punctele din plan se vor identifica numerele complexe. Deci ın loc sazicem punctul P (x, y), spunem punctul z = (x, y). Unghiul ϕ pe care ıl facesemiaxa pozitiva Ox cu semidreapta care uneste punctul (0,0) cu punctul(x, y) 6= (0, 0) se numeste argumentul numarului complex z = (x, y), iarnumarul real pozitiv |z| =
√x2 + y2 se numeste modulul numarului complex
z. Cum x = |z| cos ϕ∗ si y = |z| sin ϕ∗ avem ca z = |z|(cos ϕ∗ + i sin ϕ∗) ceeace constituie forma trigonometrica a numarului complex z, unde ϕ∗ = argz ∈[0, 2π) numit argumentul redus al numarului complex. ϕ∗ = arctan
y
x+ kπ
unde
k =
0, daca P ∈ Cadranului I;1, daca P ∈ Cadranului II sau Cadranului III;2, daca P ∈ Cadranului IV,
sau
ϕ∗ =
0, daca P ∈ Ox+ ;π
2, daca P ∈ Oy+ ;
π, daca P ∈ Ox− ;3π
2, daca P ∈ Oy− ,
ϕ∗ se mai numeste si valoare principala a lui Arg z.Numarul arg z este unic determinat.Numarul Arg z = arg z + 2kπ|k∈Z nu este unic determinat.
Proprietati: 1) |z1 · z2| = |z1| · |z2| si
∣∣∣∣z1
z2
∣∣∣∣ =|z1||z2|
, z2 6= 0;
2) x = Rez ≤ |z|, y = Imz ≤ |z|, |z| ≤ |x| + |y| = |Rez| + |Imz|;3) |z1 + z2| = |z1| + |z2|; ||z1| − |z2|| = |z1| − |z2| (∀) z1, z2 ∈ C.
24 Capitolul 1. Notiuni preliminare
1.8 Numere cardinale. Multimi numarabile
1.37 Definitie. Fie T clasa tuturor multimilor. Multimile A,B ∈ Tse zic cardinal echivalente (echipotente sau ca au aceeasi putere) si se scrieA ∼ B daca exista o bijectie f : A −→ B (din A ∼ B ⇔ (∃) f : A −→ B).
1.38 Teorema. Relatia de echipotenta este o relatie de echivalenta pe T.
Demonstratie. 1) ′′∼′′ este reflexiva: A ∼ A, (∀)A ∈ T 1A : A →A, (1A(x) = x)
2) ′′∼′′ este simetrica: A ∼ B → B ∼ A. Daca A ∼ B :⇔ (∃)f : A →B fiind bijectie, ⇒ (∃)f−1 : B → A este bijectie, ⇒ B ∼ A.
3) exercitiu.
1.39 Definitie. Orice element al multimii T/ ∼ se numeste numar car-dinal.
Cardinalul multimii A se noteaza cardA sau |A|. In conformitate cu ces-a spus la clasele de echivalenta avem ca:
a) cardA =cardB ⇔ A ∼ B;
b) cardA ≤cardB ⇔ (∃) B1 ⊆ B astfel ıncat A ∼ B1.
Daca A este finita (infinita) atunci cardA este finit (transfinit). Pentru omultime finita A1, cardA = numarul de elemente ale multimii A.
1.40 Definitie. O multime A se zice:
(i) numarabila (notam card A = χ0) daca ea este cardinal echivalentacu N; deci χ0 =cardN (χ0 se citeste alef zero) se mai numeste si cardinalulnumarabilului. Spunem ca A este de puterea numarabilului.
(ii) cel mult numarabila (notam cardA ≤ χc sau cardA) daca ea estefinita sau numarabila.
(iii) de puterea continuului (notam cardA = χc sau cardA) daca ea esteechipotenta cu multimea numerelor reale.
Daca A este infinita, atunci χ0 ≤cardA, adica χ0 este primul numarcardinal transfinit.
1.41 Lema 1. a) Elementele oricarei multimi numarabile sunt termeniiunui sir, b) Multime atermenilor unui sir este cel mult numarabila.
Demonstratie. a) Fie A numarabila ⇒ (∃)f : N → Abij. Dar f : N → A
genereaza multimea indexata xn|n ∈ N fbij= A ⇔ xnn∈N = A.
b) Fie sirul xnn≥0. Multimea termenilor sirului poate fi finita, infinita.Daca este infinita, avem x0, x1, x2, ... ∼ N ⇒ x0, x1, ..., xn, ... numarabila.
1.42 Lema 2. Orice submultime A a lui N este cel mult numarabila.
Demonstratie. Ideea demonstratiei este:
1) A finita ⇒ A cel mult numarabila.
1.8. Numere cardinale. Multimi numarabile 25
2) A infinita ⇒ (∃)
a1 ∈ Aa2 ∈ A \ a1− −−−−−−−−−−−−−−−−−−an ∈ A \ a1, a2, ..., an, ...− −−−−−−−−−−−−−−−−−−
(s-a
folosit axioma lui Zermelo - axioma a alegerii).
Astfel se obtine D = a1, a2, ..., an, ... numarabila.
Deci D ⊆ A ⊂ N si cum N, D numarabile ⇒ A numarabila.
1.43 Lema 3. Fie A 6= φ si B o multime cel mult numarabila. Preimag-inile printr-o functie f : A → B surj, a elementelor lui B constituie opropozitie pentru multimea A (obs. ın loc de ′′surj, a elementelor lui B′′) sepoate lua:′′ a elementelor lui f(A)′′.
Demonstratie. (exercitiu) (direct sau folosind relatia: x ∼ ydef⇔ (∃) t ∈ B
a.ı. x, y ∈ f(t).)
1.44 Observatie. Preimaginile oricarei doua elemente din B, prin fsunt disjuncte.
1.45 Lema 4. a) Daca f : A −→ N este injectiva, atunci A este cel multnumarabila;
b) Daca f : N −→ B este surjectiva, atunci B este cel mult numarabila.
Demonstratie.
a) Functia f : A −→ f(A), f1(x) = f(x), (∀) x ∈ A este bijectie. DeciA si f(A) au aceeasi putere, si cum f(A) ⊂ N, este cel mult numarabila(conform cu Lema 2) avem ca A este cel mult numarabila.
b) Consideram multimea C = ξy|ξy = min f(y), (∀)y ∈ B. In confor-mitate cu observatia de mai sus, avem ca C are elementele diferite doua catedoua. Functia f2 : C −→ B, prin f2(ξy1 = y) este bijectie (rezulta din felulcum s-a definit multimea C si functia f2.) Deci C si B sunt echipotente. DarC ⊂ N ⇒ C cel mult numarabila. Deci B este cel mult numarabila.
1.46 Lema 5. Fie f : A −→ B.
a) Daca f injectiva si B numarabila, atunci A cel mult numarabila;
b) Daca f surjectiva si A numarabila, atunci B cel mult numarabila.
Demonstratie. a) B numarabila ⇒ (∃) g : B −→ N bijectie. Cum
f inj⇒ g f : A −→ NinjLema 4a)
=⇒ A cel mult numarabila.
b) A numarabila ⇒ (∃) h : N −→ A bijectiva. Cum f surjectiva ⇒f h : N −→ Bsurj
Lema 1.45b)=⇒ B cel mult numarabila.
1.47 Lema 6. Produsul cartezian N × N este multime numarabila.
Demonstratie. Fie f : N × N −→ N, f(a, b) = a +(a + b)(a + b + 1)
2. Se
arata ca f este injectiva si conform cu Lema 4/a), avem N2 ×N numarabila.
26 Capitolul 1. Notiuni preliminare
1.48 Lema 7. Daca A si B sunt multimi numarabile, atunci A × Bnumarabila.
Demonstratie. Daca A numarabila (∃) f : A −→ N, bijectiva. Daca Bnumarabila (∃) g : B −→ N bijectiva. definim F : A×B −→ N×N, f(a, b) =(f(a), g(b)). Se arata ca f este bijectie (exercitiu). Deci A × B echipotentacu N × N. Si conform cu Lema 1.47 avem ca A × B este numarabila. A × B
1.49 Teorema. Reuniunea unei familii numarabile de multimi numarabileeste numarabila.
Demonstratie. Fie Aii∈I familia numarabila de multimi numarabile.Deci (∀) i ∈ I, (∃) ϕi : N −→ Ai bijectie. Definim ψ : N×N −→
∪i∈I
Ai, prin
ψ(m,n) = ϕi(m). Aratam ca ψ este surjectie fie y =∪i∈I
Ai ⇒ (∃) i0 ∈ I a.ı
y ∈ Ai0 si cum ϕi0 : N −→ Ai0bij⇒ pentru y ∈ Ai0 (∃) p ∈ N a.ı. ϕi0(p) = y,dar ϕi0(p) = ψ(p, i0) ⇒ (∀) y ∈
∪i∈I
Ai, (∃) (p, i0) ∈ N×N a.ı ϕi0(p) = y ⇒ ψ
surjectie ⇒ . Functia f se poate defini si astfel: f(a, b) = 2a · 3b.Lema1.46b)
=⇒∪i∈I
Ai
1.50 Corolar. a) Reuniune finita de multime numarabila este multimeanumarabila.
b) Reuniune numarabila de multimi finite este cel mult numarabila.
1.51 Teorema. Multimile Z si Q sunt numarabile.
Demonstratie. Fie A = n|n ∈ N∗ si B = N. Se observa ca Z = A ∪ B.Cum A si B sunt numarabile, conform corolarului de mai sus, avem ca Z =
A∪B este numarabila (Definim: ϕ : N −→ Z, ϕ(n) =
n
2, n par;
−n + 1
2, n impar.
sau ψ : Z −→ N, ψ(z) =
2z, z ≥ 0;−2z − 1, z < 0.
)
Se arata ca ϕ sau ψ este bijectie si rezulta ca Z este numarabila.
Definim acum f : Z × N∗ −→ Q, f(m,n) =m
n. Se arata usor ca f este
surjectie. Conform cu Lema 1.48 Z×N∗ este numarabila si conform cu Lema2.46 , Q este numarabila.
1.52 Teorema. Multimea numerelor reale nu este numarabila.
Demonstratie. Presupunem ca este numarabila. Deci
R = x1, x2, x3, ..., xn, ....
Si cum orice numar real z admite o scriere zecimala z = z0, z1z2z3...zi ∈
1.8. Numere cardinale. Multimi numarabile 27
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9(∀) i ≥ 1, avem ca:
x1 = a1, b11b
12b
13...
x2 = a2, b21b
22b
23...
x3 = a3, b31b
32b
33...
..........................
.
Consideram numarul real y = 0, y1y2y3... cu yi 6= bii , (∀)i ≥ 1. Cum yeste numar real ⇒ y ∈ x1, x2, x3, ... ⇒ (∃) p ≥ 1 si y = xp. Daca y = xp,va trebui ca zecimalele de pe locul p sa fie egale, adica yp = bb
b, contradictiecu .... lui y. Daca exista un numar real y 6∈ x1, x2, x3, .... Prin urmare Rnu este numarabila.
1.53 Corolar. a) Orice interval (α, β), α < β, nu este multime numarabila;b) R \ Q nu este multime numarabila.
Demonstratie. a) f : (α, β) −→ R, f(x) =1
x − α+
1
x − βeste bijectie;
b) R = Q ∪ (R \ Q).Daca R \ Q numarabila ⇒ Q ∪ (R \ Q) numarabila ⇒ R numarabila,
contradictie. Deci R \ Q nu este numarabila.1.54 Observatie. Q numarabila si R\Q nenumarabila ⇒cardQ <card(R\
Q), exista ′′mai putine′′ numere rationale decat numere irationale.
28 Capitolul 1. Notiuni preliminare
Capitolul 2
Structuri fundamentale aleanalizei matematice
Vom prezenta ın acest paragraf cateva notiuni de baza privind spatiiletopologice, spatiile metrice si vom defini spatii Banach.
2.1 Spatii topologice
Spatiul topologic este unul din cele mai simple spatii ın care se pot defininotiunile de convergenta a unui sir, de limita si de continuitate a unei functii.
2.1.1 Definitii. Exemple
2.1 Definitie. Fie X 6= φ. Spunem ca τ ⊆ P(X),este o topologie pe Xdaca:
(t1) φ,X ∈ τ,
(t2) (Dα)α∈Λ ⊂ τ ⇒∪
α∈Λ
Dα ∈ τ , unde Λ este o familie oarecare de indici
(i.e. Λ este o multime cel mult numarabila sau nenumarabila),
(t3) D1, D2 ∈ τ ⇒ D1 ∩ D2 ∈ τ.
Perechea (X, τ) se numeste spatiu topologic, iar elementele lui τ senumesc multimi deschise ale lui X ın raport cu topologia τ.
Axiomele (t2) si (t3) arata ca τ este ınchisa la reuniune oarecare, respectivınchisa la intersectie finita.
Topologia τ ınzestreaza pe X cu structura topologica.
29
30 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
2.2 Definitie. Fie (X, τ) un spatiu topologic. O multime F ⊂ X senumeste ınchisa daca C F este deschisa. O multime V ⊂ X se numestevecinatate a lui a ∈ X daca exista D ∈ τ astfel ıncat a ∈ D ⊂ V.
Evident ca, ıntr-un spatiu topologic X, vecinatatea unui punct poate fimultime deschisa sau multime ınchisa si ca o multime D ⊂ X este deschisa(i.e D ∈ τ) daca si numai daca este vecinatate pentru oricare dintre punctelesale.
In cele ce urmeaza vom nota V(a) multimea vecinatatilor lui a si Vmultimea V \ a, daca V ∈ V(a). V se numeste vecinatate punctataa lui a.
2.3 Exemple. 1. X = R este spatiu topologic ın raport cu o topologienotata τR si numita topologia uzuala a lui R. Definim mai ıntai elementelelui τR (i.e. multimile deschise ale lui R) si apoi aratam ca τR este o topologiepe R.
2.4 Definitie. O multime D ⊂ R este deschisa (si notam D ∈ DesR)daca:
∀x ∈ D, ∃)r > 0a. ı.(x − r, x + r) ⊂ D.
Vom nota I(x, r) = (x − r, x + r) si citim interval deschis de centru x siraza r > 0 sau interval centrat ın x de raza r. Aici notiunea de raza esteimproprie, dar se pastreaza denumirea specifica spatiului metric.
2.5 Lema. (R, τR) este spatiu topologic, unde τR = D ⊂ R|D ∈desR ∪ ∅.
Demonstratie (exercitiu).2. X = R este spatiu topologic ın raport cu topologia uzuala τR care se va
defini ca o extindere a lui τR. Consideram mai ıntai V(−∞) = [−∞, x)|x ∈R, V(+∞) = (y, +∞]|y ∈ R, multimea vecinatatilor lui −∞ si respectiv+∞ si apoi se procedeaza ca ın exemplul 1.3, dupa cum urmeaza.
2.6 Definitie. O multime D ⊂ R este deschisa daca are forma D = A∪Bunde A ∈ τR si B ∈ φ, [−∞, x), (y, +∞]|x, y ∈ R.
2.7 Lema. (R, τR) este spatiu topologic unde τR =A ⊂ R|A ∈ DesR
.
Demonstratie (exercitiu).3.X = C2.8 Propozitie. Daca (X, τ) spatiu topologic si b ∈ X, avem:(1) U, V ∈ V(b) si V ∩ U ∈ V(b);(2) U ∈ V(b) si V ⊃ U ⇒ V ∈ V(b).Demonstratie: (1) U ∈ V(b) ⇒ ∃D1 ∈ τ cu b ∈ D1 ⊂ U si la fel
V ∈ V(b) ⇒ ∃D2 ∈ τ cu b ∈ D2 ⊂ V. De aici rezulta ca D1 ∩ D2 ∈ τ sib ∈ D1 ∩ D2 ⊂ U ∩ V. Deci U ∩ V ∈ V(b).
(2) U ∈ V(b) ⇒ ∃D ∈ τ cu b ∈ D ⊂ U. Si cum U ⊂ V, rezulta ca ∃D ∈ τcu b ∈ D ⊂ V. Deci V ∈ V(b).
2.1. Spatii topologice 31
2.9 Definitie. Un spatiu topologic (X, τ) se numeste spatiu separatın sens Hausdorf) daca ∀x, y ∈ X cu x 6= y, ∃U ∈ V(x) si V ∈ V(y) a.ı.U ∩ V = φ.
2.1.2 Analiza topologica a unei multimi
In aceasta sectiune vom prezenta principalele puncte si multimi de puncteimportante ıntr-un spatiu topologic X.
Fie (X, τ) spatiu topologic si A ⊂ X.
2.10 Definitie. Spunem ca b ∈ A este punct interior al lui A dacaA ∈ V(b) (i.e. b este punct interior al lui A daca exista D ∈ τ a.ı. b ∈ D ⊂ A).
MultimeaA = x ∈ X|x punct interior lui A (notata uneori si cu Int A) se
numeste multimea punctelor interioare lui A.
Daca A = (2, 5] atunciA = (2, 5), iar daca A = 1, 2, 3, . . . ⇒
A = φ.
2.11 Definitie. Spunem ca b ∈ X este punct exterior al lui A daca
b ∈_
CA. Multimea, ExtA = t ∈ X|t este exterior multimii A, se numestemultimea punctelor exterioare multimii A sau exteriorul multimiiA.
Pentru A = (−∞, 3) ∪ [5, 7) ⊂ R, ExtA = (3, 5) ∪ (7, +∞),, iar pentruA = 1, 3, ExtA = (−∞, 1) ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞).
2.12 Definitie. Spunem ca b ∈ X este punct frontiera al lui A daca
b /∈A ∪ ExtA (i.e. punctul frontiera nu este nici interior, nici exterior).
Multimea, ∂A = t ∈ X|t punct frontiera a lui A (notata uneori si cu Fr Ase numeste frontiera multimii A.
Pentru A = (−∞, 1) ∪ (1, 3) ∪ (5, 7) ⊂ R ⇒ ∂A = 1, 3, 5, 7, iar dacaA ⊂ R, atunci ∂A = −∞, 1, 3, 5, 7. Pentru A = 1, 3 ⇒ ∂A = A.
2.13 Definitie. Spunem ca b ∈ X este punct de acumulare (saupunct limita) al multimii A daca A ∩ V 6= φ, ∀V ∈ V(b). Multimea A′ =t ∈ X|t punct de acumulare al lui A se numeste multimea punctelorde acumulare ale lui A.
2.14 Definitie. Spunem ca b ∈ X este punct izolat al lui A daca∃V ∈ V(b) a.ı. V ∩ = φ. Multimea izol A = t ∈ X|t punct izolat al lui Ase numeste multimea punctelor izolate ale luiA.
Se observa ca izol A ⊂ A.
2.15 Definitie. Spunem ca b ∈ X este punct aderent al multimii Adaca A∩V 6= φ, ∀V ∈ V(b). Multimea A = x ∈ X|x punct aderent al lui Ase numeste multimea punctelor aderente ale multimii A.
32 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
2.16 Observatie. ∂A = A ∩ CA. Aceasta relatie foloseste uneori cadefinitie a frontierei lui A.
Daca A = 1, 2, 3 ∪ [4, 7) ⊂ R, atunci A = 1, 2, 3 ∪ [4, 7], A′ = [4, 7] siizol A = 1, 2, 3.
Din acest exemplu se observa ca: A ⊆ A, A 6⊂ A′ si A′ ⊆ A.2.17 Definitie. Fie (X, τ) spatiu topologic. Multimea G ⊂ X se numeste
compacta daca ın orice acoperire cu deschisi a lui G (o familie (Ai)i∈I ⊂P(X) este acoperire a lui G, daca G ⊂
∪i∈I
Ai), exista o subacoperire finita
a sa.Vom nota K(X) = G ⊂ X|G compacta. De exmplu, ın sptiu topologic
(R, τR), elementele lui K(R) sunt intervale ınchise sau reuniuni de intervaleınchise.
2.1.3 Convergenta si continuitate ın spatii topologice
2.18 Definitie. Fie X 6= φ. O functie f : Nk → X unde Nk = n ∈N|n ≥ k, k fiind un numar natural fixat (ın mod uzual k ∈ 0, 1), senumeste sir cu elemente din X si se noteaza (an)n≥k. Pentru ca an ∈ X,∀n ≥ k vom scrie (an)n≥k ⊂ X. Cand k este subınteles se scrie simplu (an)n
si respectiv (an)n ⊂ X.Pentru un sir (an)n≥1, an se numeste termenul general al sirului ,
iar A = a1, . . . , an, . . . multimea termenilor sai, care este diferita demultimea valorilor termenilor sai.
Daca n0 < n1 < . . . < nk < . . . , atunci sirul (ank)k≥0 se numeste subsir
al sirului (an)n.Daca nk = k, ∀k ∈ N, atunci subsirul (ank
)k coincide cu sirul (an)n.2.19 Definitie. Fie (X, τ) spatiu topologic. Sirul (xn)n ⊂ X este con-
vergent ın X (sau ın raport cu topologia τ) daca ∃a ∈ X cu proprietatea:
∀V ∈ V(a), ∃nV ∈ N a. ı. xn ∈ V, ∀n ≥ nV . (2.1)
Relatia (2.1) este echivalenta cu: sirul (xn)n este convergent catre a siscriem xn → a sau ca are limita a (si scriem a = lim
n→∞xn).
Numarul a se numeste limita sirului (xn)n iar numarul natural nV
reprezinta pragul de la care ıncolo toti termenii sirului se gasesc ın vecinatateaV. Vom nota, de asemenea, CX multimea sirurilor convergente ın X.
Un sir care nu este convergent ın X se numeste sir divergent . Deci,sirul (xn)n este divergent ın X daca nici un element al lui X nu este limitasa.
2.1. Spatii topologice 33
2.20 Propozitie. In orice spatiu topologic separat limita unui sir, dacaexista, este unica.
Demonstratie. Presupunem ca ∃(xn)n ⊂ X care are doua limite. Deci∃a, b ∈ X cu a 6= b a.ı. xn → a si xn → b. Pentru ca a 6= b, rezulta ca∃U ∈ V(a) si V ∈ V(b) a.ı. U ∩ V = φ. Din convergenta sirului (xn)n catrea si b rezulta ca exista na si nb ∈ N a.ı. xn ∈ U ∀n ≥ na si xn ∈ V, ∀n ≥ nb.Deci xn ∈ U ∩ V, ∀n ≥ max(na, nb). Contradictie cu U ∩ V = φ.
2.21 Definitie. Fie (X, τ) si (Y, ρ) spatii topologice si f : A ⊂ X → Y.(1) Spunem ca f are limita λ ∈ Y ın punctul x0 ∈ A′ si scriem
λ = limx→x0
f(x) daca ∀V ∈ V (λ), ∃U ∈ V (x0) a.ı. f(x) ∈ V, ∀x ∈ U ∩A. Cele
spuse aici se pot schita astfel:
Daca spatiu metric (Y, ρ) este separat, atunci limita functiei f ın x0 esteunica (exercitiu).
(2) Spunem ca f este continua ın x0 ∈ A daca ∀V ∈ V(f(x0)), ∃U ∈V(x0) a.ı. f(U) ⊂ V.
Precizati deosebirea si asemanarea dintre punctele (1) si (2) ale Definitiei2.21.
Se observa ca f este continua ın x0 ∈ A daca x0 ∈ izolA si daca limx→x0
f(x) =
f(x0) cand x0 ∈ A′ ∩ A. Daca f nu este continua ın x0 ∈ A, spunem ca feste discontiua ın x0.
(3) Spunem ca f este continua pe A daca f este continua ın ∀ x0 ∈ A.Prezentam fara demonstratie urmatoarea teorema de caracterizare a functiilor
continue.2.22 Teorema. Fie (X, τ), (Y, ρ) spatii topologice si funtia f : X → Y.
Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(1) f continua pe X;(2) ∀ D ∈ des(Y ) ⇒ f−1(D) ∈ des(X) (i. e. imaginea reciproca a
oricarui deschis din Y este un deschis din X);(3) ∀F ρ - ınchis ⇒ f−1(F ) τ - ınchis (i. e. imaginea reciproca a oricarui
ınchis din Y este un ınschis din X).
34 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
2.2 Spatii metrice
2.2.1 Definitii. Exemple
2.23 Definitie. Fie X o multime nevida. Orice aplicatie
d : X × X → R+
cu proprietatile urmatoare:(m1)d(x, y) = 0 ⇔ x = y(m2)d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;(m3)d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X; se numeste distanta sau
metrica ın X.Perechea (X, d) se numeste spatiu metric.2.24 Exemple: 1 X = R si d(x, y) = |x − y|. Este usor de verificat ca
d este o metrica (se aplica proprietatile modulului).2 X = Rn si d(x, y) =
√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ... + (xn − yn)2 ∀ x =
(x1, . . . , xn) si y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn.Aratam ca d este o metrica pe Rn. Conditiile (m1) si (m2) sunt evidente.
In ceea ce priveste axioma (m3) (numita si inegalitatea triunghiului), vomfolosi inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz(
n∑i=1
aibi
)2
≤n∑
i=1
a2i
n∑i=1
b2i . (2.2)
Vom lua ın (2)xi − yi = ai si yi − zi = bi
de undexi − zi = ai + bi i = 1, n.
Cu aceste precizari, avem:
d2(x, z) =n∑
i=1
(xi − zi)2 =
n∑i=1
(ai + bi)2 =
n∑i=1
a2i + 2
n∑i=1
aibi +n∑
i=1
b2i ≤
≤n∑
i=1
a2i + 2
√n∑
i=1
a2i
n∑i=1
b2i +
n∑i=1
b2i =
(√n∑
i=1
a2i +
√n∑
i=1
b2i
)2
= (d(x, y) + d(y, z))2.
De aici rezulta:d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
3. Fie (X, || ||) un spatiu normat. Atunci aplicatia d : X × X →R+, d(x, y) = ||x − y|| este o metrica ın X.
2.2. Spatii metrice 35
Din axiomele normei (n1), (n2) si (n3) ([5], 2.106) rezulta ca d este ometrica ın X.
De aici rezulta ca orice spatiu normat este un spatiu metric.
2.2.2 Multimi specifice spatiilor metrice
Fie (X, d) un spatiu metric si a ∈ X si r ∈ R∗+.
2.25 Definitie. Multimea: B(a, r) = x ∈ X|d(a, x) < r se numestebila deschisa de centru a si raza r ; multimea S(a, r) = x ∈ X|d(a, x) =r se numeste sfera de centru a si raza r ; multimea B(a, r) = x ∈X|d(a, x) ≤ r se numeste bila ınchisa de centru a si raza r . DeciB(a, r) = B(a, r) ∪ S(a, r).
2.26 Definitie. Multimea D ⊂ X este marginita daca ∃x ∈ X si r > 0a.ı. D ⊂ B(x, r).
2.27 Definitie. O multime D ⊂ X este deschisa daca pentru ∀x ∈D, ∃r > 0 a.ı. B(x, r) ⊂ D.
2.28 Propozitie. Daca (X, d) este un spatiu metric atunci ∃τd ⊂ P (X)a.ı. (X, τd) este spatiu topologic.
Demonstratie. Consideram τd = D ⊂ X | D deschis ın X si aratamacum ca τd este o topologie pe X; conform, cu definitia 1.1.
(t1) este evident verificata.(t2) Fie (Di)i∈I o familie oarecare de elemente din τd si vrem sa aratam ca∪
i∈I
Di ∈ τd. Daca x ∈∪i∈I
Di, atunci ∃ i0 ∈ I a.ı. x ∈ Dio. Dio fiind deschisa
∃ r > 0 a.ı. B(x, r) ⊂ Dio. Cum Dio ⊂∪i∈I
Di rezulta ca B(x, r) ⊂∪i∈I
Di.
Deci∪i∈I
Di ∈ τd.
(t3) Fie D1, D2 ∈ τd si aratam ca D1 ∩ D2 ∈ τd. Fie a ∈ D1 ∩ D2.Atunci a ∈ Di ∈ τd ⇒ ∃ri > 0 a.ı. x ∈ B(a, ri) ⊂ D, i = 1, 2. Rezultax ∈ B(a, r) ⊂ D1 ∩ D2, r = minr1, r2. Deci D1 ∩ D2 ∈ τd.
Din 1.28 se observa ca orice spatiu metric poate fi ınzestrat cu o structuratopologica. Deci (Rn, de), care este un spatiu metric unde de este cu distantaeuclidiana, este si spatiu topologic.
2.29 Remarca. In spatiul metric (Rn, de), multimea G ⊂ X este com-pacta daca si numai daca G este ınchisa si marginita.
36 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
2.2.3 Convergenta si continuitate ın spatii metrice
Vom prezenta ın aceasta sectiune definitiile convergentei sirurilor, limitei sicontinuitatii functiilor ın spatii matrice (X, d).
2.30 Definitie. Fie (X, d) spatiu metric. Spunem ca sirul (an)n ⊂ Xeste convergent ın X daca ∃x0 ∈ X cu proprietatea:
∀ε > 0, ∃nε ∈ N a. ı. d(an, x0) < ε,∀n ≥ nε,
si vom scrie x0 = limn→∞
an.
In orice spatiu metric, limita unui sir este unica.2.31 Teorema (de caracterizare a limitei unei functii).Fie (X, d), (Y, ρ) spatii metrice, A ⊂ X, f : A → Y, b ∈ A′ si ` ∈ Y.
Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(a) ` = lim
x→bf(x) (ın sensul Definitiei 2.21, (1));
(b) ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, a) > 0 a.ı. ∀x ∈ A\b cu d(x, a) < δ ⇒ρ(f(x), `) < ε (definitia cu ′′ε si δ′′);
(c) ∀(xn)n ⊂ A\b cu xn → b ⇒ f(xn) → ` (definitia cu siruri).2.32 Teorema (de caracterizare a continuitatii ıntr-un punct).Fie f : A ⊂ (X, d) → (Y, ρ), b ∈ A un punct fixat. Atunci sunt echivalente
urmatoarele afirmatii:(a) f continua ın b (ın sensul Definitiei 2.21, (2));(b) ∀ε > 0,∃δ = δ(ε, b) > 0 a.ı. ∀x ∈ A cu d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(b)) <
ε (definitia continuitatii cu ′′ε − δ′′);(c) ∀(xn)n≥0 ⊂ X, xn → a ⇒ f(xn) → f(a) (definitia continuitatii cu
siruri).2.33 Definitie. Functia f : (X, d) → (Y, ρ) este continua pe A ⊂ X
daca f este continua ın ∀x ∈ A.2.34 Definitie. Fie (X, d) si (Y, ρ) spatii metrice si f : A ⊂ X → Y.(a) Functia f se numeste uniform continua pe A daca ∀ε > 0,∃δ =
δ(ε) > 0 a.ı. ∀x′, x′′ ∈ A cu d(x′, x′′) < δ ⇒ ρ(f(x′), f(x′′)) < ε.In 2.31 (b) si 2.32 (b), δ depinde si de ε si de a, pe cand ın 2.34, δ depinde
doar de ε.Prezentam ın teorema ce urmeaza, fara demonstratie, proprietatile de
baza ale functiilor uniform continue.2.35 Teorema. (1) O functie continua pe o multime compacta este
marginita si ısi atinge marginile pe acea multime.(2) O functie continua pe o multime compacta este uniform continua pe
acea multime.(3) O functie continua transforma o multime compacta tot ıntr-o multime
compacta.
2.2. Spatii metrice 37
Aceste proprietati sunt adevarate ın orice spatiu metric, deci si pe R.Demonstratiile prezentate pe R se mentin si ın spatiu metric ınlocuind mod-ulul cu distanta.
2.36 Definitie. Fie (X, d) un spatiu metric si (an)n ⊂ X. Spunem casirul (an)n este sir fundamental sau sir Cauchy daca:
∀ε > 0,∃nε ∈ N a.ı. d(an, am) < ε, ∀n,m ≥ nε (2.3)
sau∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. d(an+p, an) < ε, ∀n ≥ nε si p ≥ 1 (2.4)
Aceasta definitie a fost data de Cauchy. Pe baza ei, el a precizat o conditiede convergenta pentru siruri, care foloseste doar termenii sirului.
In Sectiunea 2.3.4 sunt prezentate unele proprietati de baza pentru sirurileCauchy de numere reale.
2.37 Definitie. Un spatiu metric(X, d) se numeste spatiu metric com-plet , daca orice sir Cauchy cu elemente din X este un sir convergent ın X.
Deoarece orice spatiu normat este un spatiu metric se poate vorbi despatii normate complete.
2.38 Definitie. Un spatiu normat si complet ca spatiu metric (cudistanta data de norma) se numeste spatiu Banach .
2.39 Remarca. Daca notam ST - multimea spatiilor topologice, SM -multimea spatiilor metrice (care sunt si spatii topologice), SN - multimeaspatiilor normate (care sunt si spatii vectoriale si spatii metrice) si SB -multimea spatiilor Banach (care sunt si spatii normate), atunci avem ST ⊃SM ⊃ SN ⊃ SB. In aceasta lucrare noi am considerat doar aceste spatiifundamentale, pe care le-am considerat ın mod deosebit necesare pentruprezentarea lucrarii.
2.2.4 Principiul contractiei
2.40 Definitie. O functie T : (X, d) −→ (Y, ρ) se numeste contractie daca∃c ∈ (0, 1) a. ı.
ρ(T (x1), T (x2)) ≤ cd(x1, x2), ∀x1, x2 ∈ X. (2.5)
Constanta c mentionata ın Definitia (2.5) ca si ∀c′ ∈ [c, 1) (caci verifica
relatia (2.5)), poate fi considerata o constanta a contractiei ϕ.2.41 Lema (contractiei). Fie ϕ : (X, d) −→ (X, d) o contractiei si
x0 ∈ X fixat. Atunci ∃c ∈ (0, 1) astfel ıncat pentru sirul (xn = ϕ(xn−1))n≥1
avem ca:1.d(xn, xn+1) ≤ rcn, ∀n ≥ 0;
38 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
2.d(xn, xn+p) <r
1 − c· cn, ∀p, n ∈ N;
3. este sir Cauchy,unde r = d(x0, x1).
Demonstratie. Deoarece ϕ este contractie, atunci ∃c ∈ (0, 1) astfel ıncatd(ϕ(a)ϕ(b)) ≤ cd(a, b)∀a, b ∈ X.
1. p(n) : d(xn, xn+1) ≤ rcn, ∀n ≥ 0 si prin inductie rezulta c.c.t.d.2. d(xn, xn+p) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+1) + ... + d(xn+p−1, xn+p)
1 ≤≤ rcn + rcn+1 + ... + rcn+p−1 = rcn(1 + c + ... + cp−1) =
= rcn · 1 − cp
1 − c<
r
1 − c· cn
3. Trebuie aratat ca: ∀ε > 0,∃nε ∈ N a. ı. d(xn, xn+p) < ε, ∀ p ≥ 1.
Fie ε > 0. Pe nε ıl determinam din conditiar
1 − ccn ≤ ε, (caci apoi
folosind 2 va rezulta ca d(xn, xn+p) < ε)
r 6= 0. ⇔ cn ≤ r
1 − c⇒ n lg c ≤ lg
ε(1 − c)
r≥
lg ε(1−c)r
lg csi luand
nε =
[lg ε(1−c)
r
lg c
]+ 1 avem
r
1 − ccn ≤ ε(∀) n ≥ nε si cum d(xn, xn+p) <
r
1 − ccn(∀)n ≥ 0 si p ≥ 1 ⇒ d(xn, xn+p) < ε (∀) n ≥ nε si (∀)p ≥ 1.
Deci (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N a.ı. d(xn, xn+p) < ε, (∀)n ≥ nε si p ≥ 0, adicaxn este un sir Cauchy.
2.42 Teorema lui Bonach de punct fix (principiul contractiei). Oricecontractie a unui spatiu metric complet are un punct fix unic.
Demonstratie. Demonstrsm mai ıntai existenta punctului fix. Fie (X, d)spatiu metric complet si T : X → X o contractie a sa. Consideram sirulxn = T (xn−1)n≥1, x0 ∈ X, fixat. Conform cu 3 din lema anterioaraxnn≥0 este sir Cauchy si (X, d) fiind spatiu metric complet rezulta ca xneste convergent. Deci (∃)ξ ∈ X a. ı. xn −→ ξ ⇔ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ Na. ı. d(xn, ξ) < ε, (∀)n ≥ nε, dar d(T (xn) → T (ξ)) ≤ cd(xn, ξ) ⇒ (∀)ε >0, (∃) nε ∈ N a. ı. d(T (xn) → T (ξ)) ≤ cε < ε, (∀)n ≥ nε ⇒ T (xn) →T (ξ), xn+1 → ξ.
Deci sirul xn are doua limite T (ξ) si ξ. Cum limita sirului este unica,rezulta ca T (ξ) = ξ.
Pentru unicitate consideram ξ si η a. ı. T (ξ) = ξ si T (η) = η. Atuncid(ξ, η) = d(T (ξ), T (η)) ≤ cd(ξ, η) ⇒ (1 − c)d(ξ, η) ≤ 0 ⇒ d(ξ, η) ≤ 0 sid(ξ, η) ≥ 0 ⇒ d(ξ, η) = 0 ⇒ ξ = η. c.c.t.d.
Observatie la 2. d(xn, xn+p) ≤ rcn
1 − c− rcn cp
1 − cfacem pe p −→ ∞ ⇒
limp→∞
xn+p = ξ si se obtine: d(xn, ξ) ≤ rcn
1 − c⇒ xn aproximeaza pe ξ (punctul
2.3. Spatii cu masura 39
fix) al aplicatiei, o eroare mai mica decat rcn
1 − c< ε, ıncepand de la ηε =[
1
lg c· lg ε(1 − c)
r
]+ 1. Deci sirul xn aproximeaza pe ξ. De aceea se mai
numeste sirul aproximatiilor succesive.Aplicatii. Sa se rezolve ecuatia 1 + arctanx = 2x.
2.3 Spatii cu masura
2.3.1 Definitii si exemple
2.43 Definitie. a) Fie φ 6= Ω si A ⊂ P(Ω). A se numeste σ - algebra(sau corp borelian) pe Ω daca:
1) A ∈ A ⇒ CA ∈ A;
2) ∀ Ann∈N ⊂ A ⇒∞∪
n=1
An ∈ A.
b) Daca A este o σ - algebra pe Ω, atunci perechea (Ω,A) sau pe scurtΩ, se numeste spatiu masurabil si elementele lui A se numesc multimimasurabile ın Ω (sau A -masurabile).
2.44 Definitie. Fie (Ω,A) un spatiu masurabil si (T, τ) un spatiu topo-logic. O functie f ∈ F(Ω, T) se numeste functie masurabila daca pentru∀B ∈ τ, f−1(B) ∈ A.
Pentru functiile masurabile se pot demonstra proprietatile:1) f, g : Ω −→ K, K ∈ R,C masurabile, rezulta f + g, fg masurabile;2) A ⊂ Ω masurabila daca si numai daca χA masurabila, (unde χA ∈
F(Ω,R) (sau χA ∈ F(Ω, 0, 1), 0, 1 fiind spatiu topologic cu topologiadiscreta))
3) Daca limn→∞
fn = f (limita punctuala) si fnn≥0 ⊂ F(Ω, T) este un sir
de functii masurabile, atunci f este masurabila.2.45 Definitie. Fie (Ω,A) un spatiu masurabil. O aplicatie µ : A −→
[0, +∞] se numeste masura pe Ω daca1) µ(∅) = 0, µ(E) ≥ 0, ∀E ∈ A,
2) ∀En ⊂ A astfel ıncat Ei ∩ Ej = ∅ ∀i 6= j, seria numerica∞∑
n=1
µ(En)
este convergenta ın R si µ(∞∪
n=1
En) =∞∑
n=1
µ(En).
Proprietatea 2) a definitiei de mai sus, se numeste numarabil aditivi-tate .
2.46 Definitie. Daca (Ω,A) este un spatiu masurabil si µ o masura peΩ, atunci tripletul (Ω,A, µ) se numeste spatiu cu masura . Un spatiu cu
40 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
masura (Ω,K, µ), cu µ(Ω) = 1 se numeste camp de probabilitate si ınacest caz masura se numeste probabilitate .
Daca Ω este finita, nevida si A = P(Ω), definim µ(A) =cardA
cardΩ, iar
(Ω,P , µ) se numeste spatiu Laplace . Se verifica imediat ca µ este o masurasi µ(Ω) = 1. Acest exemplu constituie modelul ′′clasic′′ al teoriei proba-bilitatilor discrete.
Pana aici au fost prezentate cateva notiuni abstracte legate de masura sispatiu cu masura. In continuare vom defini un exemplu de spatiu cu masura.
2.3.2 Masura Lebesque ın Rn
2.47 Definitie. Fie ai, bi ∈ R, ai < bi, ∀i = 1, n. Spunem ca multimea:1) P = (a1, b1)×(a2, b2)×. . .×(an, bn) se numeste paralelipiped deschis
de dimensiune n;2) P = [a1, b1]× [a2, b2]× . . .× [an, bn] se numeste paralelipiped ınchis
de dimensiune n.Multimea vida este un paralelipiped. Pentru cazurile n ∈ 1, 2 denu-
mirea de paralelipiped pare fortata, dar se urmareste o terminologie unitara.2.48 Definitie. Daca P este un paralelipiped (ınchis sau deschis) ın Rn,
atunci numarul
µ(P) :=n∏
i=1
(bi − ai)
se numeste masura lui P.2.49 Definitie. O multime A ⊂ Rn care se scrie ca reuniunea unui
numar finit de paralelipipede disjuncte doua cate doua, se numeste multimeelementara .
Vom nota cu E clasa multimilor elementare ın Rn. Deci A ∈ E , dacaA = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pr, cu Pi paralelipipede a. ı. i 6= j ⇒ Pi ∩ Pj = ∅.
Pentru ∀A ∈ E , definim masura ei ca fiind
µ(A) =r∑
i=1
µ(Pi),
unde A = P1∪ . . .∪Pr. Definitia masurii multimilor elementare este corecta.Intr-adevar daca P1 ∪ . . . ∪ Pr si P′
1 ∪ . . . ∪ P′s sunt doua descompuneri ın
paralelipipede disjuncte doua cate doua, ale lui A (i.e. A = P1 ∪ . . . ∪ Pr =P′
1 ∪ . . . ∪ P′s), atunci
µ(A) =r∑
i=1
µ(Pi) =s∑
j=1
µ(P ′j).
2.3. Spatii cu masura 41
Daca n = 1, 2, 3, . . . , µ reprezinta lungimea, aria sau volumul multimii A.2.50 Observatii. 1) Orice paralelipiped este o multime elementara si
masura sa ca paralelipiped, coincide cu masura sa ca multime elementara.2)Daca A,B ∈ E atunci A ∪ B, A − B, A ∩ B ∈ E .3) ∀A ∈ E si ∀ε > 0, ∃F,G ∈ E , F ınchisa si G deschisa astfel ıncat:
F ⊂ A ⊂ G si µ(G) − ε ≤ µ(A) ≤ µ(F ) + ε.
Aceasta ultima proprietate poarta numele de regularitate a masuriiµ,.
4) masura µ : E −→ [0, +∞) a multimilor elementare are proprietatea
de finit aditivitate (adica: µ
(n∪
i=1
Ai
)=
n∑i=1
µ(Ai), unde Ai ∈ E , i = 1, n
sunt disjuncte doua cate doua) si finit subaditivitate (adica µ
(n∪
i=1
Bj
)≤
m∑i=1
µ(Bj).)
2.51 Definitie. Pentru ∀D ∈ P(Rp) consideram
A0c(D) =
(An)n|(An)n ⊂ E ∩ desRp, D ⊂
∪n
An
multimea acoperirilor lui D cu multimi deschise si elementele din Rp.Aplicatia µ∗ : P(Rp) −→ [0, +∞] definita prin
µ∗(D) = inf
∑n
µ(An)|(An)n ⊂ A0c(D)
, ∀D ∈ P(Rp)
(i. e. marginea inferioara a tuturor sumelor∑n
µ(An) dupa toate acoperirile
(An)n ale lui D cu multimi deschise si elementare din Rp) se numeste masuraexterioara a multimii D.
2.52 Teorema. Masura µ∗, definita ın Definitia 2.48, are proprietatile:1) ∀E ⊂ Rp, µ∗(E) ≥ 0;2) ∀E1, E2 ⊂ Rp cu E1 ⊂ E2 ⇒ µ∗(E1) ≤ µ∗(E2).3) ∀A ∈ E ⇒ µ∗(A) = µ(A);
4) µ∗(∞∪1
En) ≤∞∑1
µ∗(En).
Demonstratie. 3) Fie A ∈ E si ε > 0. Masura µ fiind regulata ∃F siG ∈ E cu F ınchisa si G deschisa a.ı F ⊂ A ⊂ G, µ(G) − ε ≤ µ(A) (1)si µ(A) ≤ µ(F ) + ε (2). Din (1) rezulta ca (1) ⇒ µ(G) ≤ µ(A) + ε. CumA ⊂ G,G deschisa si elementara, rezulta ca µ∗(A) ≤ µ(A). (3)
42 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
Multimea F ⊂ A fiind ınchisa rezulta ca este compacta. Fie acum
(An)n ⊂ A0c(A). Atunci ∃(Ank
)k=1,m a.ı. F ⊂m∪
k=1
Anksi apoi avem succe-
siv µ(F ) ≤ µ
(m∪
k=1
Ank
)=
m∑k=1
µ(Ank) ≤
∞∑n=1
µ(An) ≤ inf∞∑
n=1
µ(An) + ε =
µ∗(A) + ε. Din µ(F ) ≤ µ∗(A) + ε si din (2) gasim µ(A) ≤ µ∗(A) + 2ε. Cumε este arbitrar, rezulta ca µ(A) ≤ µ∗(A) (4)
Din (3) si (4) rezulta ca µ∗(A) = µ(A). Deci µ∗|E = µ.
4) Fie E =∞∪
n=1
En. Daca ∃n cu µ∗(En) = +∞, atunci µ∗(E) ≤∞∑
n=1
µ∗(En)(=
∞).Deci presupunem ca µ∗(En) < ∞, ∀n. Fie ε > 0. Pentru fiecare En exista
un sir
Ank⊂ A0
c(A) . a.ı. si∞∑
k=1
(µ(Ank)) ≤ µ∗(En) + ε
2n (din proprietatea
marginii inferioare).Din cele de mai sus rezulta ca E ⊂
∪n,p Anp (Anpnp este o familie de
multimi elementare deschise) si avem:
µ∗(E) ≤∑
n
∑p
µ(Anp) ≤∞∑
n=1
µ∗(En + ε).
Cum ε > 0 este arbitrar, deducem:
µ∗(E) ≤∞∑
n=1
µ∗(En)
adica proprietatea de subadivitate este probata.In continuare vom pune ın evidenta o σ - algebra ′′cat mai mare′′ pe care
µ∗ sa fie o masura (deci numarabil aditiva).2.53 Definitie. Spunem ca sirul de multimi (An)n ⊂ Rp converge catre
A ⊂ Rp (si notam An −→ A) daca
limn−→∞
µ∗(An∆A) = 0.
Notam B = A ∈ Rp|∃(An)n ⊂ E ∩ DnR cu An −→ A .2.54 Definitie. O submultime E ⊂ Rp este masurabila Lebesque
daca ∃(Ai)i∈I ⊂ B, I c. m. n, a. ı E =∪i∈I
Ai.
Notam L = E ∈ P(Rp)|E masurabila Lebesgue .2.55 Definitie. Aplicatia µ : L −→ [0, +∞] definita prin µ(E) =
µ∗(E), ∀E ∈ L (i. e. µ = µ∗|L) se numeste masura Lebesque.
2.3. Spatii cu masura 43
in urmare aratat ca tripletul (Rn,A(µ), µ) este un spatiu cu masura,masura numindu-se masura Lebesque.
Printre proprietatile masurii Lebesgue mentionam:1) Orice multime A ⊂ Rp, deschisa (sau ınchisa) este masurabila Lebesgue
(∈ L);2) Orice multime compacta K ⊂ Rn, este masurabila Lebesgue si mai
mult µ(K) < ∞;3) Daca A ∈ L, atunci ∀ε > 0. ∃ (F ınchisa si G deschisa) cu F ⊂ A ⊂ G
astfel ıncat µ(G − A) < ε si µ(A − F ) < ε (regularitate).4) Pentru ∀A ∈ A(µ) avem:
µ(A) = infG
µ(G)|G ⊃ A, G deschisa ,
µ(A) = supG
µ(K)|G ⊃ A, K multime compacta .
44 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice
Capitolul 3
Siruri de numere reale
3.1 Siruri de numere reale; exemple
In 2.18 este data definitia sirului cu elemente ıntr-o multime oarecareX. Daca se ia X =R se obtine definitia sirului de numere reale. In cele ceurmeaza pentru sirul de numere reale vom spune doar sir.
3.1 Exemple de siruri:
1. (an)n≥0, an =n
n + 1;
2. (bn)n≥1, bn = (−1)n 1
2n;
3. (an)n≥1, an = n;4. (an)n≥0, an = 2n + n2;5. (an)n≥0, an = 7,∀n ≥ 0;6. 1, 2, 1, 2, . . .3.2 Exemple de subsiruri: Sirurile:1. 2, 4, 6, . . . , 2n, . . . ;2. 3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . . ;3. 12, 22, 32, . . . , n2, . . . ;4. 21, 22, 23, . . . , 2n, . . . ;5. 101, 102, . . . , 10n, . . . ;
sunt toate subsiruri ale sirului 1, 2, 3, . . . , n, . . . .
3.2 Moduri de prezentare a unui sir
Deoarece sirul este un caz particular de functie, modurile de definire aleunei functii se aplica si pentru definirea unui sir.
45
46 Capitolul 3. Siruri de numere reale
(a) Siruri definite descriptiv. De exemplu, sirul (xn)n≥1 definit prin x1 =1, x2 = 2, x3 = 22, . . . , xn = 2n−1, . . . .
(b) Siruri definite analitic (i.e. cu ajutorul unei formule). Acest modpermite sa se gaseasca orice termen din sir. Fie de exemplu, sirul (xn)n≥0,
unde xn este dat prin formula xn = (−1)n+1 +1
3n, ∀n ∈ N. Astfel se pot
calcula, de pilda, x0 = 0, x1 =4
3, x2 = −8
9, . . . , x7 = 1 +
1
37, si asa mai
departe.(c) Siruri definite recurent. O relatie care exprima orice termen xn al
sirului (xn)n≥0, de la un rang oarecare n0 ıncolo, prin k(1 ≤ k ≤ n0 − 1)dintre termenii precedenti (i.e. pentru n ≥ n0, xn se exprima prin termeniixn−k, . . . , xn−1, k ≥ 1) se numeste formula de recurenta a sirului .
Sa consideram sirul (xn)n≥1, x1 = 1, x2 = 2, xn = xn−2 + xn−1, ∀n ≥ 3.De aici se poate calcula iterativ orice termen al sirului. De exemplu x3 =x1 + x2 = 1 + 2 = 3, x4 = x2 + x3 = 2 + 3 = 5, si asa mai departe.
3.3 Clase de siruri
3.3.1 Siruri monotone
3.3 Definitie. Un sir (an)n≥0 este:(a) crescator, daca a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . (sau an ≤ an+1,∀n ≥ 0).(b) descrescator daca a0 ≥ a1 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (sau an ≥ an+1, ∀n ≥ 0).(c) strict crescator, daca a0 < a1 < . . . < an < . . . (sau an < an+1, ∀n ≥
0)(d) strict descrescator, daca a0 > a1 > . . . > an > . . . (sau an >
an+1, ∀n ≥ 0)3.4 Exemple:1. 3, 3, 4, 4, 5, . . . sir crescator;2. 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, . . . sir crescator;3. 0, 0,−1,−3,−3,−7, . . . sir descrescator;4. 1, 2, . . . , n, . . . sir strict crescator;
5. −1,−1
2, . . . ,− 1
n, . . . sir strict crescator;
6. −1,−2, . . . ,−n, . . . sir strict descrescator;
7. 1,1
2, . . . ,
1
n, . . . sir strict descrescator.
Atat sirurile crescatoare cat si cele descrescatoare se numesc siruri mono-tone , iar cele strict crescatoare si strict descrescatoare se numesc strictmonotone . Orice sir strict monoton este si monoton.
3.3. Clase de siruri 47
Exemple de siruri care nu sunt monotone:
1. 1,−2,−3,−4, 5, 2, . . .
2. 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .
In general pentru a studia monotonia unui sir (an)n≥0 se compara diferentaa doi termeni consecutivi (de regula cand an este o suma de termeni) cu 0sau raportul (de regula cand an este un produs de factori) cu 1. In acestultim caz trebuie sa se aiba ın vedere semnul lui an. Sunt cazuri cand se potaplica ambele procedee. Atunci se alege unul din ele.
3.5 Exemple. Sa se studieze monotonia sirurilor: 1. (an)n≥0, an =n
n + 1, ∀n ≥ 0;
2. (an)n≥1, an = n(n + 1),∀n ≥ 1.
Rezolvare: 1. In acest caz se pot folosi ambele procedee. Vom calculadiferenta:
an+1 − an =n + 1
n + 2− n
n + 1=
(n + 1)2 − n(n + 2)
(n + 1) (n + 2)=
1
(n + 1) (n + 2)> 0
Deoarece an+1 − an > (i.e. an+1 > an), ∀n ≥ 0, rezulta ca sirul (an)n≥0
este strict crescator. In acest caz, pentru cercetarea monotoniei, se poatecompara si raportul a doi termeni consecutivi cu 1.
2. Aici se prefera ın primul rand raportul a doi termeni cosecutivi. Deci,
an+1
an
=(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)=
n + 2
n= 1 +
2
n> 1.
Deoarece an+1
an> 1, ∀n ≥ 1 si termenii sirului sunt pozitivi rezulta an+1 >
an, ∀n ≥ 1. Deci sirul (an) este strict crescator.
3.3.2 Siruri marginite
Fie (an)n un sir de numere reale si A = a1, a2, . . . multimea termenilorsai.
Definitia 2.26 se aplica si multimii A, a termenilor sirului (an)n. Si sepoate spune ca sirul (an)n este marginit daca multimea termenilor sai estemarginita. Adaptand pe 2.26 la R avem:
3.6 Definitie. Orice numar m ∈ R (respectiv µ ∈ R) cu m ≤ an
(an ≤ µ), ∀n, se numeste minorant (respectiv majorant) al sirului (an).
Din definitia de mai sus rezulta ca un sir (an) este marginit daca si numaidaca exista µ > 0 astfel ıncat sa avem |an| < µ, ∀n ∈ N.
48 Capitolul 3. Siruri de numere reale
Cel mai mare minorant al lui A (i.e. inf A) este cel mai mare minorant alsirului (an)n (notat inf an). Cel mai mic majorant al lui A (i.e. sup A) estecel mai mic majorant al sirului (an)n (notat sup an).
Spunem ca sirul (an)n este marginit: daca multimea A este marginita, saudaca are cel putin un minorant si un majorant, sau daca ∃m,µ ∈ R a.ı. m ≤an ≤ µ,∀n ∈ N. Numerele inf A si sup A se numesc marginea inferioaraa sirului (an)n (si se va nota inf an), respectiv marginea superioara asirului (an)n (si se va nota supan).
Un sir care nu este marginit se numeste sir nemarginit (i.e. sirul(a)n este nemarginit daca si numai daca ∀µ ≥ 0, ∃p ∈ N a.ı. |ap| > µ).Nemarginirea poate fi inferioara daca inf an = −∞ (si ın acest caz spunem casirul (an)n este nemarginit inferior) sau superioara daca sup (an) = +∞(si ın acest caz spunem ca sirul (an) este nemarginit superior). Daca infan = −∞ si supan = +∞ sirul (an) este nemarginit inferior si superior, pescurt nemarginit.
Pentru orice sir (an)n exista x0 = infan si y0 = supan, cu x0, y0 ∈ R. Dindefinitia lui infan si, respectiv sup an, rezulta ca:
(a) numarul x0 are proprietatile:
1. x0 ≤ an,∀n ≥ 0 (i.e. x0 este minorant al sirului (an)n);
2. ∀ε > 0,∃p ∈ N a.ı. ap < x0 + ε (i.e. x0 este cel mai mareminorant).
(b) numarul y0 are proprietatile:
1. an ≤ y0,∀n ≥ 0, (i.e. y0 este majorant al sirului (an)n);
2. ∀δ > 0, ∃q ∈ N a.ı. y0−δ < aq (i.e. y0 este cel mai mic majorant).
Daca notam m = (an)n ⊂ R|(an)n marginit, atunci se poate verificafara dificultate ca (m , +, ·) este spatiu vectorial peste R (′′+′′ - adunareasirurilor si ′′·′′ - ınmultirea cu scalari a sirurilor). In plus ∀(an)n si (bn)n ∈ matunci (anbn)n ∈ m .
3.7 Exemple. 1. Orice sir constant 2, 2, 2, . . . . . . este marginit (an =2,∀n ≥ 0 si se ia m = 2 = µ si rezulta m ≤ an ≤ µ∀n ≥ 0).
2. Sirul 0, 12, 2
3, .... este marginit
(0 ≤ an =
n
n + 1≤ 1
). In acest caz inf
an = 0 si sup an = 1.
3. Sirul (an)n, an = n, ∀n ≥ 0 este marginit inferior (infan = 0) sinemarginit superior (sup an = +∞).
4. Sirul (an)n : −1,−2, . . . ,−n, . . . este nemarginit deoarece inf an =−∞. Sirul dat este majorat sup an = −1 dar nu este minorat (inf an = −∞).
5. Sirul (an)n : 0, 1, 0, 2, 0, 3, . . . , 0, n, . . . nu este marginit deoarece nueste majorat (i.e. sup an = +∞).
3.3. Clase de siruri 49
3.3.3 Siruri convergente
3.3.3.1. Definitii si exemple
Daca se face ın 2.19 respectiv 2.30, X = R se obtine definitia topo-logica si respectiv definitia metrica pentru convergenta unui sir de nu-mere reale. Spre deosebire de definitia topologica 2.19, care ramane nemod-ificata, definitia mertrica 2.30 devine:
3.8 Definitie. Spunem ca sirul (an)n ⊂ R este convergent daca existax0 ∈ R cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃nε ∈ N, a.ı. |an − x0| < ε, ∀n ≥ nε.
3.9 Definitie. Spunem ca sirul (an)n ⊂ R are limita +∞ daca ∀ε >0, ∃nε ∈ N a.ı. an > ε, ∀n ≥ nε.
Pentru sirul de umere reale (an)n, faptul ca an → x0, cand n → ∞ (i.e.lim
n→∞an = x0) se poate schita uneori astfel:
3.10 Exemplu: Sa se verifice ca sirul cu termenul general an =n
2n + 1,
are limita1
2si sa se determine rangul ıncepand cu care termenii sirului difera
de1
2cu mai putin de
1
100.
Rezolvare. Fie ε > 0. Pentru a gasi pe nε din definitia 2.8 se rezolva
inecuatia
∣∣∣∣an − 1
2
∣∣∣∣ < ε. Astfel obtinem:
∣∣∣∣ n
2n + 1− 1
2
∣∣∣∣ < ε ⇔ 1
4n + 2< ε ⇔ 4n + 2 >
1
ε⇔ n >
1 − 2ε
4ε.
Se alege nε =
[1 − 2ε
4ε
]+1 (aici [a] reprezinta partea ıntreaga a lui a); de
regula nε se ia ca fiind cel mai mic numar natural care verifica:
∣∣∣∣an − 1
2
∣∣∣∣ < ε.
Daca ε =1
100, atunci nε =
1 − 2 · 1
100
4 · 1
100
+ 1 =
[49
50· 25
]+ 1 =
[49
2
]+
1 = 25.
50 Capitolul 3. Siruri de numere reale
Deci sirul difera de1
2cu mai putin de
1
100, ıncepand de la termenul a25.
Altfel spus ın afara vecinatatii
(1
2− ε,
1
2+ ε
), ε =
1
100, se gasesc 24 termeni
ai sirului considerat.
Un sir care nu este convergent se numeste sir divergent . Deci sirul(an)n este divergent daca nici un numar real nu este limita sa. Prin negareaDefinitiei 2.19 obtinem urmatorul rezultat: Sirul (an)n este divergent dacasi nu mai daca, oricare x0 ∈ R, exista V ∈ V(x0) ın afara careia se afla oinfinitate de termeni ai sirului.
3.11 Exemplu: 1. Sirul 1, 2, 3, . . . , n, . . . are limita x0 = ∞ /∈ R. Decieste divergent ın R.
2. (an)n, an = (−1)n +2n + 3
n + 1nu are limita, deci este divergent.
Sirul din exemplul 1. este convergent ın R, τR) pentru ca x0 = ∞ ∈ R.Deci un sir poate fi convergent ın raport cu o topologie si divergent ın raportcu o alta topologie. Altfel spus convergenta este raportata la o topologie.
Daca notam CR = (an)n ⊂ R|(an)nconvergent ın R, atunci (CR, +·)este un R spatiu vectorial (′′+′′ si ′′·′′ au aceeasi semnificatie ca ın sectiunea2.3.2.). Multimea CR este ınchisa si fata de ınmultirea sirurilor.
3.3.3.2. Limite de siruri
Puncte limita ale unui sir. Spunem ca x0 ∈ R este punct limita alsirului (an)n daca ın orice vecinatate a lui x0 se gasesc o infinitate de termeniai sirului.
Un punct limita nu este ıntotdeauna limita sirului.
Pe multimea Sub(an), a subsirurilor sirului (an)n, convergente ın R, con-sideram relatia , ,∼′′
(xnk)k ∼ (yn′
k)k′ ⇔ lim
k→∞xnk
= limk′→∞
yn′k. (3.1)
Deoarece , ,∼′′ este o relatie de echivalenta, rezulta ca multimea Sub(an)/ ∼constitue o partitie (desfacere) pentru sirul (an)n. Fiecare clasa de echivalentacorespunde unui punct limita al sirului dat. Deci pentru gasirea punctelorlimita a unui sir, punem mai ıntai ın evidenta partitia corespuzatoare sirului.
3.12 Exemple: 1. Pentru sirul (an)n, an =n + 1
2n + 3, n ≥ 0, x0 =
1
2, este
punct limita al sirului.
2. Multimea punctelor limita ale sirului (an)n, an = (−1)n 18+sin
(n
π
2
), n ≥
0 este
−9
8,1
8,7
8
.
3.3. Clase de siruri 51
Orice punct limita al sirului (an)n este limita a unui subsir al sau. Astfel
avem ca: −9
8este limita subsirului (a4n+3)n;
1
8este limita subsirurilor (a4n)n
si (a4n+2)n;7
8este limita subsirului (a4n+1)n.
3. Fie (rn)n sirul numerelor rationale Q. Se cunoaste ca pentru ∀x ∈R ∃(rnk
)k ⊂ Q a.ı. rnk→ x cand k → ∞. Deci pentru sirul (rn)n exista o
infinitate nenumarabila de puncte limita.Pentru un sir (an)n notam:(1) L(an) = x0 ∈ R|x0 este punct limita al sirului (an)n;(2) lim an, si o numim limita superioara a sirului (an)n;(3) lim an, si o numim limita inferioara a sirului (an)n.Numerele lim an si lim an ∈ R se mai numesc si limite extreme ale
sirului.
In 2.12, 1. lim an =1
2= lim an, iar ın 2.12, 2. lim an =
7
8si lim an =
−9
8.
Din definitiile pentru lim si lim rezulta urmatoarele proprietati imediate:(1)card(Sub(an)/ ∼) = card(L(an))(2) lim an, lim an ∈ L(an);(3) sup L(an) = lim
n→∞sup an si inf L(an) = lim
n→∞inf an;
(4) daca (an)n /∈ CR inf an ≤ lim an < lim an ≤ sup an;(5) daca (an)n ∈ CR, atunci lim an = lim an;(6) daca (an)n ⊂ R este nemarginit superior, atunci lim an = +∞;(7) daca (an)n ⊂ R este nemarginit inferior, atunci lim an = −∞.Daca un sir are un singur punct limita, atunci el este limita sa, asa cum
este ın exemplul 3.12, 1. In acest caz, sirul este convergent si de aceea arelimita unica (vezi 1.20).
Operatii cu limite de siruri. Fie (an)n, (bn)n ∈ CR cux = limn→∞
an si
y = limn→∞
bn. Daca x∗y are sens si an∗bn are sens ∀n ∈ N, atunci limn→∞
(an∗bn) =
( limn→∞
an)∗( limn→∞
bn) unde ′′∗′′ ∈ +,−, ·, :, ↑ (ridicare la putere). In gen-
eral, daca exista limn→∞
an si limn→∞
bn, si ( limn→∞
an)∗( limn→∞
bn) are sens, atunci
limn→∞
(an∗bn) = ( limn→∞
an) ∗ ( limn→∞
bn) cand an ∗ bn are sens ∀n ≥ 0.
In multimea R apar operatii cu ±∞. De aceea, prin conventie se pune:±∞±∞ = ±∞; a±∞ = ±∞+a = ±∞, ∀a ∈ R; a ·∞ = ∞·a = +∞ dacaa > 0 si a ·∞ = ∞· a = −∞ daca a < 0; ∞·∞ = ∞; (−∞) · (−∞) = +∞;∞(−∞) = (−∞) · ∞ = −∞; ∞∞ = ∞ si a∞ = ∞ daca a > 1; ∞−∞ = 0 si
a−∞ = 0 daca a > 1;
(1
a
)∞
= 0 daca a > 1; 0∞ = 0, ∞α = ∞ si ∞−α = 0
52 Capitolul 3. Siruri de numere reale
daca α > 0. Ca urmare a operatiilor cu limite de siruri din CR, apar scrieri
de forma: ∞ − ∞; 0 · (±∞);±∞±∞
; 1±∞, ∞0, 00. Aceste operatii se mai
numesc operatii fara sens (sau nedeterminari).Trecerea la limita ın inegalitati. Fie (an)n ∈ CR si β ∈ R.3.13 Propozitia 1. Daca ∃ n0 ∈ N a.ı. an ≤ β, ∀n ≥ n0 atunci
limn→∞
an ≤ β.
Demonstratie. Notam x = limn→∞
an si aratam ca x ≤ β. Presupunem
x > β. Din x = limn→∞
an avem ca ∀ ε >, ∃nε ∈ Nε a.ı. |an − x| < ε, ∀n ≥ nε.
Deci ∀ ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı.
x − ε < an, ∀n ≥ nε (3.2)
Cum x > β rezulta ca ∃r > 0 a.ı. β = x − r. Luand ın (3.2) ε = robtinem β = x − r < an, ∀n ≥ nr. Aceasta ultima relatie si ipoteza arataca avem simultan β < an si an ≤ β ∀n ≥ n1 = max(nr, n0) ceea ce este ocontradictie. Rezulta ca lim
n→∞an ≤ β.
Analog se arata ca ′′Daca ∃n0 ∈ N a.ı. α ≤ an, ∀n ≥ n0, atunci α ≤lim a′′
n.3.14 Observatie: Daca an < β, ∀n ≥ 0, nu rezulta ca lim
n→∞an < β ci
limn→∞
an ≤ β.
3.15 Propozitia 2. Fie (an)n si (bn)n ∈ CR.. Daca ∃n0 ∈ N a.ı.an ≤ bn ∀n ≥ n0, atunci lim
n→∞an ≤ lim
n→∞bn.
Demonstratie: Notam x = limn→∞
an. si y = limn→∞
bn. Presupunem prin
absurd ca x > y. Atunci exista t ∈ R a.ı. x > t > y (de exemplu, t =x + y
2).
Asa ca mai sus, din t < limn→∞
an ⇒ ∃n0 ∈ N a.ı. t < an ∀n ≥ n0 si din t >
limn→∞
an ⇒ ∃n′0 ∈ N a.ı. bn < t∀n ≥ n′
0. Deci bn < an ∀n ≥ n1 = max(n0, n′0)
Rezulta contradictie cu ipoteza. Prin urmare x ≤ y.
3.3.3.3. Criterii de convergentaCriteriul cu subsiruri. Fie (an)n ⊂ R si A = a0, a1, . . . multimea
termenilor sirului.3.16 Propozitie. Sirul (an)n este convergent daca si numai daca lim
an = liman.Demonstratie: Daca sirul este convergent atunci card A′ = 1, i.e. liman =
liman. Daca liman = liman, atunci card A′ = 1 si deci (an)n convergent.Folosind subsirurile, criteriul de convergenta de mai sus se poate enunta
astfel:
3.3. Clase de siruri 53
Sirul (an)n este convergent daca exista o desfacere a sa ın subsiruri careau acelasi punct limita.
Altfel spus, sirul (an)n este divergent daca are cel putin doua subsiruri culimite diferite.
3.18 Exemple: 1. Fie (an)n, an = (−1)n 1
n+
1
2. Se observa ca subsirurile
s1 = (a2n)n si s2 = (a2n+1)n constituie o desfacere a lui (an)n. Atat s1 cat si
s2 au ca punct limita pe1
2. Deci sirul (an) este convergent.
2. Daca exista doua subsiruri ale sirului (an)n cu puncte limita diferiteatunci sirul (an)n este divergent. Fie, spre exemplu, sirul (an)n, an =
(−1)n 1
2+
2n + 1
3n + 7. Subsirurile (a2n)n si (a2n+1)n au puncte limita diferite
(primul7
6si al doilea
1
6). Prin urmare sirul (an)n este divergent.
Criteriul bazat pe existenta limitei. Fie (an)n ⊂ R. Uneori este mai simplusa se calculeze x0 = lim
n→∞an decat sa dovedim convergenta conform definitiei
cu ”ε”. De aceea, pentru a dovedi convergenta putem folosi urmatoarea3.19 Propozitie: Sirul (an)n ⊂ R este convergent daca si numai daca
exista x0 = limn→∞
an, si x0 ∈ R.
Demonstratie: (an)n convergent ın R ⇔ ∃x0 ∈ R cu proprietatea ∀ε >0, ∃nε ∈ N, a.ı. |an − x0| < ε, ∀n ≥ nε ⇔ ∃x0 ∈ R a.ı. x0 = lim
n→∞an.
Criterii de comparatie. Fie (an)n ⊂ R.3.20 Propozitie: 1. Daca exista x0 ∈ R si (bn)n ⊂ R+ cu bn → 0
a.ı. |an − x0| ≤ bn, ∀n ≥ n0 (n ∈ N, fixat), atunci (an)n este convergent silim
n→∞an = x0.
2. Daca exista (un)n un sir cu limn→∞
un = ∞ a.ı. an ≥ un, ∀n ≥ n0 (n0 ∈N, fixat), atunci lim
n→∞an = ∞.
3. Daca exista (vn)n un sir cu limn→∞
vn = −∞ a.ı. an ≤ vn ∀n ≥ n0 (n0 ∈N, fixat), atunci lim
n→∞an = −∞.
Demonstratie. 1. Fie ε > 0 arbitrat fixat. Deoarece bn → 0, existan′
ε ∈ N a.ı. bn < ε, ∀n ≥ n′ε. Prin urmare, ∀ε > 0, ∃nε = max(n0, n′
ε) ∈ Na.ı. |an − x0| < ε, ∀n ≥ nε.
2. Conform cu 2.9, deoarece un → ∞, ∀ε > 0, ∃n′ε ∈ N a.ı. un >
ε, ∀n ≥ n′ε. Deci ∀ε > 0, ∃nε = max(n0, n′
ε) ∈ N a.ı. an > ε, ∀n ≥ nε.Rezulta ın baza lui 2.9 ca an → ∞.
3. Se procedeaza analog punctului 2..
3.21 Observatii: 1. Uneori este bine sa se ia ın 2.20, 1. bn =1
n, ∀n ≥ 1.
Deci se urmareste sa se ajunga la |an − x0| <1
n, ∀n ≥ 1.
54 Capitolul 3. Siruri de numere reale
2. Daca |an| ≤ bn, ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N, fixat) si daca limn→∞
bn = 0, atunci
limn→∞
an = 0.
3.22 Exemple. (a) Fie (an)n, an =1
2+
1
n2 + 1∀n ≥ 0, (b) (an)n, an =
(n2 +√
n) · cos (2n)
n4 + 2, n ≥ 1.
Sa se arate ca limn→∞
an =1
2, ın cazul (a) si lim
n→∞an = 0, ın cazul (b).
Rezolvare: (a)
∣∣∣∣an − 1
2
∣∣∣∣ =1
n2 + 1<
1
n, conform 3.20, 1, rezulta lim
n→∞an =
1
2; (b) |an| =
n2 +√
n
n4 + 2n|cos (2n)| ≤ n2 +
√n
n4 + 2n→ 0 ⇒ an → 0.
Criteriul lui Weierstrass. Acest criteriu se refera la convergenta sirurilormonotone.
3.23 Teorema. Fie (an)n ⊂ R.1) Daca sirul (an)n este crescator si majorat, atunci el este convergent
(catre marginea sa superioara, i.e. lim an = sup an).2) Daca sirul (bn)n este descrescator si minorat, atunci el este convergent
(catre marginea sa inferioara i.e. limn→∞
bn = inf bn).
Demonstratie. 1) Daca sirul (an)n este majorat, multimea A = a0, a1, . . .este majorata. Rezulta ca exista x0 = sup A. Atunci, din definitie, pen-tru ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N a.ı. an0 > x0 − ε. Cum sirul (an)n este crescator,rezulta ca an ≥ an0 ∀n ≥ n0, i. e. an > x0 − ε, ∀n ≥ n0. Si cuman ≤ x0 = sup A, ∀n ∈ N, rezulta ca |an − x0| < ε, ∀n ≥ n0. Prin ur-mare ∀ε > 0, ∃nε = n0 ∈ N a.ı. |an − x0| < ε, ∀n ≥ nε. Deci sirul (an)n
converge catre x0 = sup A.2) Se procedeaza analog.3.24 Exemplu. Sa se studieze, folosind 2.23, convergenta sirurilor: 1.
(an)n, an = 2 − 3
n + 1∀n ≥ 0 si 2. (bn)n, bn = 2 +
3
n + 1∀n ≥ 0.
Rezolvare. 1. Evident ca (an)n este crescator si an = 2− 3
n + 1< 2 ∀n ≥
0. Avem sup an = 2 si deci lim an = 2.
2. Sirul (bn)n este descrescator
(bn+1 − bn =
3
n + 2− 3
n + 1< 0, ∀n ≥ 0
)si marginit inferior de 2, i.e. bn = 2 +
3
n + 1> 2 ∀n ≥ 0. Avem inf bn = 2 si
deci limn→∞
bn = 2.
3.25 Observatii: 1. Orice sir monoton este convergent ın R, dar esteposibil sa nu fie convergent ın R (convergenta ın raport cu topologia uzuala).
2. Un sir monoton este convergent ın R daca si numai daca este marginit.
3.3. Clase de siruri 55
•Alte rezultate privind convergenta sirurilor
3.26 Lema. Fie A ⊂ R, nevida si y0 = sup A. Atunci exista (bn)n ⊆ Aa.ı. lim
n→∞bn = y0. In plus , daca A este majorata, atunci (bn) ∈ CR.
Demonstratie. Daca A este majorata, y0 ∈ R. Atunci pentru ∀n ∈
N∗, ∃bn ∈(
y0 −1
n, y0
]∩ A. Deci |bn − y0| <
1
n∀n ∈ N∗. In acest caz
(bn) ∈ CR si limn→∞
bn = y0. Daca A nemajorata, atunci pentru ∀n ∈ N∗, ∀r >
0, ∃bn ∈ (r, +∞] ∩ A. Deci bn > r, ∀n ∈ N∗, ∀r > 0, lim bn = +∞ si(bn) /∈ CR.
3.27 Lema. Fie A ⊂ R, nevida si x0 = inf A. Atunci exista (an)n ⊆ Aa.ı. lim
n→∞an = x0. In plus, daca A este minorata, atunci (an) ∈ CR.
Demonstratie. Se procedeaza ca ın 2.26.
3.28 Lema. (Lema lui Cesaro). Orice sir marginit de numere realecontine cel putin un subsir convergent.
Demonstratie. Fie sirul (an)n ⊂ R marginit. Atunci multimea A =a0, a1, a2, . . . este marginita.
Metoda 1. Folosind direct 2.26 sau 2.27 rezulta ceea ce trebuia demon-strat.
Metoda 2. Cum A este marginita, ∃m si µ ∈ R a.ı. I = [m, µ] ⊃ A.De asemenea, exista sirul y0 = inf A, y1 = inf(A\a0), . . . . . . . . . , yk =inf(A\a0, . . . , ak−1), . . . Sirul (yn)n este marginit ((yn)n ⊂ I)) si crescator(pentru ca E ⊂ F ⇒ inf F ≤ inf E) si conform 2.23, rezulta ca este conver-gent. Daca (yn)n ⊂ A, atunci acesta este subsirul cautat. Daca (yn)n 6⊂ A,atunci ∃yp ∈ A. Cum yp = inf(A\a0, . . . , ap−1) rezulta, conform cu 2.27,ca ∃(zk)k ⊂ A\a0, . . . , ap−1 a.ı. lim
k→∞zk = yp, i.e. (zk)k este un subsir cov-
ergent al sirului (an)n Si astfel lema este demonstrata.
3.3.3.4. Calcularea limitelor de siruri
Siruri tip. (a) Siruri de forma (an)n, an = qn, ∀n ∈ N, q numar real fixat.
Se poate usor arata ca: limn→∞ an =
nu exista, daca q ≤ −1,
0 daca − 1 < q < −1,
1 daca q = 1,
∞ daca q > 1.
Deci (an = qn)n este convergent daca si numai daca −1 < q ≤ 1.
3.29 Exemple: 1. Fie (an)n, an =
(1
7
)n
. Pentru ca,1
7∈ (−1, 1) atunci
limn→∞
an = 0. 2.
(3
2
)n
→ ∞ pentru ca3
2> 1; 3. lim
n→∞
(−3
2
)n
nu exista
56 Capitolul 3. Siruri de numere reale
pentru ca−3
2≤ −1.
(b) Siruri de forma (P (n))n, unde P este functia polinominala realaP (x) = a0x
k + a1xk−1 + . . . + ak−1x + ak, cu a0 6= 0. Sirul (P (n))n are
termenul general
P (n) = a0nk + a1n
k−1 + . . . + ak−1n + ak, n ≥ 0.
Evident ca pentru n ≥ 1 avem:
P (n) = nk(a0 +
a1
n+ ... +
ak
nk
).
Se observa ca sirulaj
nj→ 0 ∀j = 1, k.
Deci:
limn→∞
P (n) = a0 limn→∞
nk = a0 · ∞ =
+∞, a0 > 0−∞, a0 < 0
Deci, limita unui polinom este egala cu limita termenului de grad maxim.Daca gradP = 0 (i.e. P = c), atunci lim
n→∞P (n) = c.
3.30 Exemple: 1. Se da sirul (an)n, an = n3 − 76n. Sa se calculezelim
n→∞an.
limn→∞
an = limn→∞
(n3 − 76n) = limn→∞
n3
(1 − 76n
n3
)= ∞.
2. Sa se calculeze limn→∞
(3n − 12n4 + 5n2).
limn→∞
(3n − 12n4 + 5n2) = limn→∞
n4
(3
n3− 12 +
5
n2
)= −12 · ∞ = −∞.
(c) Siruri de forma(
P (n)Q(n)
)n, unde P si Q functii reale polinominale.
Daca,P (x) = a0x
k + a1xk−1 + . . . + ak si
Q(x) = b0xj + b1x
j−1 + . . . + bj
cu a0 6= 0 6= b0, atunci:
limn→∞
P (n)
Q(n)=
(
sg. na0
b0
)· ∞, gr. P > gr. Q
0, gr. P < gr. Qa0
b0
, gr. P = gr. Q
3.3. Clase de siruri 57
3.31 Exemple: 1. limn→∞
2n2 − 7
3n2 − 5n + 2=
2
3; 2. lim
n→∞
3n2 − 2n
5n − 7n3 + 2= 0;
3. limn→∞
(n + 2)3 + (n − 2)3
−5n= −∞; 4. lim
n→∞
5n2 − 2n + 7n3 − 1
3n + 5n2 − 2= ∞.
(d) Siruri de forma(an =
√n + 1 −
√n)
n.
limn→∞
, an = limn→∞
(√n + 1 −
√n)
= limn→∞
(√n + 1 −
√n) (√
n + 1 +√
n)
√n + 1 +
√n
=
= limn→∞
1√n + 1 +
√n
= limn→∞
1
√n
(√1 +
1
n+ 1
) = 0.
(e) Siruri de forma
(an =
(1 +
1
un
)un)
n≥0
cu un → ∞; limn→∞
an = e.
Teoreme (criterii) pentru calcularea limitelor de siruri.3.32 Propozitie (criteriul clestelui). Fie sirul (an)n ⊂ R. Daca exista
(xn)n, (yn)n ∈ CR cu limn→∞
xn = limn→∞
yn = λ si xn ≤ an ≤ yn, oricare ar fi
n ≥ n0(n0 ∈ N, fixat), atunci limn→∞
an = λ.
Demonstratie. Cazul λ ∈ R. Din ipoteza 0 ≤ an−xn ≤ yn−xn ∀n ≥ n0 siyn−xn → 0. Conform 2.21, 2 rezulta an−xn → 0, i.e. lim
n→∞an = lim
n→∞xn = λ.
Cazul λ = +∞. Pentru ca xn → ∞, rezulta an → ∞.Cazul λ = −∞. Pentru ca yn → −∞, rezulta ca an → −∞.3.33 Exemplu. Sa se determine lim an daca:
an =1√
n2 + 1+
1√n2 + 2
+ ... +1√
n2 + n, n ≥ 1.
Se observa ca:n√
n2 + n≤ an ≤ n√
n2 + 1si pentru ca lim
n→∞
n√n2 + n
=
limn→∞
n√n2 + 1
= 1.
Din criteriul clestelui rezulta limn→∞
an = 1.
3.34 Propozitie (criteriul raportului). Fie sirul (an)n, an > 0 ∀n ≥ 0
a.ı. exista limn→∞
an+1
an
= r. Daca (1) r < 1, atunci limn→∞
an = 0, iar daca (2)
r > 1, atunci limn→∞
an = ∞.
Demonstratie. (1) Daca r < 1, rezulta ca ∃q a.ı. r < q < 1. Pentru
ca limn→∞
an+1
an
< q rezulta ca ∃n0 ∈ N, a.ı.an+1
an
< q ∀n ≥ n0 sau an+1 <
q · an ∀n ≥ n0, sau ınca an0+k < qk · an0 ∀k. Cum qk · an0
k→∞→ 0, rezultalim
n→∞an = 0.
58 Capitolul 3. Siruri de numere reale
(2) Se demonstreaza analog.3.35 Exemple: Sa se calculeze lim
n→∞an daca:
1 an =n
2n; 2 an =
2n
n!; 2 an = nqn(q ∈ (−1, 1)).
In fiecare din cazurile 1, 2 si 3 se aplica criteriul raportului si se gasesteca lim
n→∞an = 0.
3.36 Propozitie (Lema lui Stolz-Cesaro). Fie (xn)n si (yn)n ⊂ R a.ı.:(a) 0 < y0 < y1 < . . . < yn < . . . si yn → ∞,
(b) daca exista λ = limxn+1 − xn
yn+1 − yn
∈ R, atunci exista limn→∞
xn
yn
si este egala
cu `.Demonstratie: Cazul ` ∈ R. Atunci din conditia (b) obtinem
∀ε > 0, ∃nε ∈ N a. ı.
∣∣∣∣xn+1 − xn
yn+1 − yn
− λ
∣∣∣∣ < ε, ∀n ≥ nε.
De aici rezulta:
(λ − ε)(yn+1 − yn) < xn+1 − xn < (λ + ε)(yn+1 − yn), ∀ n ≥ nε.
Scriem aceste inegalitati pentru nε, nε +1, . . . , k si adunandu-le obtinem:
(` − ε)(yk − ynε) < xk − xnε < (` + ε)(yk − ynε), ∀k > nε.
In aceasta ultima relatie se ımparte cu yk si rezulta:
(λ − ε)
(1 − ynε
yk
)<
xk
yk
− xnε
yk
< (` + ε)
(1 − ynε
yk
).
Pentru k → ∞ obtinem:
(λ − ε) ≤ limk→∞
xk
yk
≤ λ + ε
si cum ε > 0 este oarecare, rezulta limk→∞
xk
yk
= λ.
Cazul λ = +∞. Din ipoteza (b) rezulta:
∀ε > 0, ∃nε ∈ N,xn+1 − xn
yn+1 − yn
> ε, ∀n ≥ nε.
De aici rezulta xn+1 − xn > ε(yn+1 − yn), ∀n ≥ nε si apoi ca mai sus se
gaseste xk+1 − xnε > ε(yk+1 − ynε),∀k ≥ nε, de undexk
yk
> ε +xnε
yk
− ε · ynε
yk
.
Deci limk→∞
xk
yk
≥ ε, ∀ε > 0, i.e. limn→∞
xn
yn
= ∞.
3.3. Clase de siruri 59
Cazul λ = −∞ se trateaza analog.
3.37 Observatie. Conditia (a) se poate scrie mai general sub forma:yn 6= 0, ∀n ≥ 0, yn)n strict monoton si nemarginit.
3.38 Corolar. Fie(
n√
an
)n
cu an > 0 ∀n ≥ 0. Daca exista limn→∞
an+1
an
∈ R
atunci exista limn→∞
n√
an ∈ R si limn→∞
n√
an = limn→∞
an+1
an
.
Demonstratie (exercitiu).
3.39 Aplicatii: Utilizand lema lui Stolz-Cesaro sa se arate ca:
(a) limn→∞
1
n
n∑k=1
ln k = +∞ (f) limn→∞
nn√
n!= e
(b) limn→∞
1
n
n∑k=1
1
ln k= 0 (g) lim
n→∞
ln n
n= 0
(c) limn→∞
1
n
n∑k=1
1
kln k = 0 (h) lim
n→∞
1
n√
n
n∑k=1
√k =
2
3
(d) limn→∞
1
n
n∑k=1
1
k= 0 (i) lim
n→∞
1
np+1
n∑k=1
kp =1
p + 1, p ∈ N
(e) limn→∞
1√n
n∑k=1
1√k
= 2 (k) limn→∞
n
(1p + 2p + ... + np
np+1− 1
p + 1
)=
1
2p ∈ N
Rezolvari :
(a) limn→∞
1
n
n∑k=1
ln k = limn→∞
n∑k=1
ln k
n= (se aplica 2.36 pentru xn =
n∑1
ln k si
yn = n) = limn→∞
ln 1 + ... + ln n + ln(n + 1) − ln 1 − ln 2 − ... − ln n
n + 1 − n= lim
n→∞
ln (n + 1)
1=
∞.
(b) limn→∞
1
n
n∑2
1
ln k= lim
n→∞
1
ln 2+ ... +
1
ln n+
1
ln(n + 1)− 1
ln 2− ... − 1
ln n
n + 1 − n=
0.
(c) limn→∞
1
n
n∑1
1
kln k = lim
n→∞
n∑1
1
kln k +
1
n + 1ln(n + 1) −
n∑1
1
kln k
n + 1 − n= 0.
(d) limn→∞
1
n
n∑k=1
1
k= lim
n→∞
1
1+ ... +
1
n+
1
n + 1− 1
1− ... − 1
nn + 1 − n
= 0.
60 Capitolul 3. Siruri de numere reale
(e) limn→∞
1√n
n∑1
1√k
= limn→∞
1√1
+ ... +1√n
+1√
n + 1− 1√
1− ... − 1√
n√n + 1 −
√n
=
limn→∞
1√n + 1
· 1√n + 1 −
√n
= limn→∞
√n + 1 +
√n√
n + 1= ... = 2.
(f) Notam an =n
n√
n!si avem ln an =
n ln n −n∑1
ln k
n.
Acum calculam: limn→∞
ln an = limn→∞
n ln n −n∑1
ln k
n=
= limn→∞
(n + 1) ln(n + 1) − ln(n + 1) − n ln n
n + 1 − n= lim
n→∞
n [ln (n + 1) − ln n]
1=
limn→∞
ln
(1 +
1
n
)n
= ln e = 1. Deci limn→∞
an = e.
(g) limn→∞
ln n
n= lim
n→∞
ln (n + 1) − ln n
n + 1 − n= lim
n→∞ln
(1 +
1
n
)= 0.
(h) limn→∞
1
n√
n
n∑1
√k = lim
n→∞
√1 + ... +
√n +
√n + 1 −
√1 − ... −
√n
(n + 1)√
n + 1 − n√
n=
= limn→∞
√n + 1(√
n + 1 −√
n) (√
(n + 1)2 +√
n(n + 1) +√
n2) =
= limn→∞
n + 1 +√
n(n + 1)
2n + 1 +√
n(n + 1)=
2
3.
(i) limn→∞
1
np+1
n∑1
kp = limn→∞
1p + 2p + ... + np + (n + 1)p − 1p − 2p − ... − np
(n + 1)p+1 − np+1=
limn→∞
np + C1pn
p−1 + ...
C1p+1n
p + C2p+1n
p−1 + ...=
1
C1p+1
=1
p + 1.
(k) limn→∞
n
(1p + 2p + ... + np
np+1− 1
p + 1
)= lim
n→∞
(p + 1) (1p + ... + np) − np+1
np(p + 1)=
1
p + 1lim
n→∞
(p + 1) (1p + ... + np) − np+1
np= (∗) .
Punem xn = (p + 1)(1p + . . . + np) − np+1 si y = np → ∞.Atunci xn+1 − xn = (p + 1)[1p + . . . + np + (n + 1)p] − (n + 1)p+1 −
p + 1)(1p + . . . + np) + np+1 = (p + 1)(n + 1)p − (n + 1)p+1 + np+1 = p +1)np + (p + 1)C1
pnp−1 + (p + 1)C2
pnp−2 + . . . − np+1 − C1
p+1np − C2
p+1np−1 −
C3p+1n
p−2−. . .+np+1 =
[p(p + 1) − (p + 1)p
2
]np−1+... =
1
2p(p+1)np−1+... si
yn+1−yn = (n+1)p−np = np+C1pn
p−1+. . .−np = C1pn
p−1+. . . = pnp−1+. . . .
3.3. Clase de siruri 61
Acum calculam: limn→∞
xn+1 − xn
yn+1 − yn
= limn→∞
1
2p(p + 1)np−1 + ...
p, np−1 + ...=
1
2(p + 1)
(∗) =1
p + 1· 1
2(p + 1) =
1
2.
Intotdeauna cand se aplica lema lui Stolz-Cesaro trebuie sa se puna ınevidenta sirurile (xn)n si (yn)n. Apoi se urmaresc conditiile (a) si (b). Deci,
trebuie sa se calculeze limn→∞
xn+1 − xn
yn+1 − yn
si, daca este cazul, se gaseste limn→∞
xn
yn
.
3.3.4 Siruri fundamentale (Cauchy) de numere reale
3.40 Definitie: Un sir (an)n ⊂ R se numeste sir fundamental sausir Cauchy daca
∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |an − am| < ε, ∀n,m ≥ nε (3.3)
sau:∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |an+p − an| < ε, ∀n ≥ nε si p ≥ 1. (3.4)
Se observa ca Definitia 3.40 se obtine din Definitia 1.36 ınlocuindu-sedistanta dintr-un spatiu metric oarecare cu modulul (care este distanta ınspatiul metric R).
3.41 Propozitie. (1) Orice sir fundamental este marginit ;(2) Daca un sir fundamental de numere reale are un punct limita, atunci
el este convergent ;(3) Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir
fundamental (criteriul lui Cauchy de convergenta).Demonstratie: (1) Fie (an)n un sir fundamental. Luam, ın (1), ε = 1.
Atunci gasim numarul natural n1 = n(ε). Tot ın (1) luam m = n1 si obtinem:
|an − an1 | < 1, ∀n ≥ n1
sauan1 − 1 < an < an1 + 1, ∀n ≥ n1.
Daca luamm = mina1, a2, . . . , an1−1, an1 − 1µ = maxa1, a2, . . . , an1−1, an1 + 1
Atunci m ≤ anleµ, ∀n ∈ N. Deci sirul (an)n este marginit.(2) Fie (an)n un sir fundamental si (ank
)k un subsir al sau convergent.
62 Capitolul 3. Siruri de numere reale
Fie ε > 0. Deoarece (an)n este sir fundamental atunci ∃nε ∈ N a.ı.:
|an − am| < ε/2, ∀n,m ≥ nε.
Deoarece (ank)k este convergent, ∃x0 ∈ R cu proprietatea ca pentru ε dat
mai sus ∃k′ε ∈ N a.ı. |ank
− x0| < ε/2, ∀k ≥ k′ε.
Fie k′′ε ∈ N cel mai mic k, a.ı. nk ≥ nε, si kε = max(k′
ε, k′′ε ). Deci
nk ≥ nε ∀k ≥ kε.Din
|an − x0| ≤ |an − ank| + |ank
− x0|, ∀k ∈ N
si din
k ≥ kε ⇒∣∣∣∣ k ≥ k′
ε ⇒ |ank− x0| < ε/2
k ≥ k′ε ⇒ nk ≥ nε, si cumn ≥ nε ⇒ |an − ank
| < ε/2
rezulta |an − x0| < ε∀n ≥ nε.(3) Fie (an)n sir convergent. Atunci exista x0 ∈ R a.ı.:
∀ε > 0, ∀nε ∈ N cu |an − x0| < ε/2, ∀n ≥ nε. (3.5)
Pentru n, m ≥ nε avem:
|an − am| ≤ |an − x0| + |x0 − am| < ε/2 + ε/2 = ε. (3.6)
Si de aici rezulta ca sirul este fundamental.Reciproc, sirul fiind fundamental, conform cu (1), este marginit. Apoi
conform cu lema lui Cesaro, sirul contine un subsir convergent. Si de aici, pebaza lui (2), rezulta ca sirul considerat este convergent.
Deci pentru studiul convergentei se pot folosi doar termenii sirului.3.42 Remarca. Propozitia 3.41 desi a fost prezentata pentru siruri de
numere reale, afirmatiile (1) si (2) sunt adevarate ın orice spatiu metric, iarafirmatia (3) este adevarata ın orice spatiu metric complet.
Capitolul 4
Serii numerice
4.1 Notiuni generale despre serii
4.1 Definitie. Fie sirul (an)n ⊂ R si sirul (An)n cu
An = a0 + a1 + . . . + an, ∀n ∈ N. (4.1)
Perechea A : ((an)n, (An)n) formata cu sirurile (an)n si (An)n se numesteseria asociata sirului (an)n sau serie numerica cu termenul general
an, pe scurt serie , si se noteaza prin∑n≥0
an,∞∑
n=0
an sau∑
an unde simbolul∑nu are ıntotdeauna semnificatia cunoscuta (i.e. aceea de ınsumare), desi
uneori seria A :∑
an se citeste: seria ,,suma“ de an. Sirul (an)n se numestesirul termenilor seriei A si an se numeste termenul de rang n alseriei , iar sirul (An)n se numeste sirul sumelor partiale ale seriei . Ter-menul de rang n al sirului (An)n i.e. An, se numeste suma partiala derang n .
4.2. Remarca. Peste tot ın acest paragraf pentru seria∑
an vomıntelege ca are numele A si sirul sumelor partiale (An)n.
Seria A :∑
an se mai poate da si prin expresia
a0 + a1 + . . . + an + . . .
fara ca semnul ′′+′′ sa aiba neaparat sensul de adunare.4.3. Definitie. Seria
∑an se numeste convergenta (si vom nota uneori∑
an (C)) daca sirul sumelor partiale (An)n este convergent (i.e. (An)n ∈CR). In caz contrar (i.e. (An)n /∈ CR) seria
∑an se numeste divergenta (si
vom nota uneori∑
an (D)).
63
64 Capitolul 4. Serii numerice
Deci putem scrie S = Sc ∪ Sd unde S este multimea seriilor, Sc si Sd
multimea seriilor convergente respectiv divergente.Numarul S = lim
nAn ∈ R, daca exista, se numeste suma seriei
∑an.
Pentru serii convergente suma S ∈ R, iar pentru serii divergente suma S =±∞ sau nu exista. Daca S nu exista, seria
∑an se numeste oscilanta .
Prin natura unei serii se ıntelege felul ei de a fi din punct de vedereal convergentei. Deci, a determina natura unei serii ınseamna a stabili dacaseria este convergenta sau divergenta.
4.4. Observatie. Pentru ∀A, B ∈ S definim relatia ′′ ∼′′ astfel:A ∼ B :⇔ A si B au aceeasi natura. Evident ca ′′ ∼′′ este o relatie de
echivalenta pe S. Atunci S/ ∼= Sc, Sd.4.5. Serii importante: 1.Sa se studieze natura seriei G :
∞∑n=0
ρn, ρ ∈ R,
numita serie geometrica .Rezolvare: Natura seriei este natura sirului sumelor partiale. Astfel cal-
culam:
Gn = ρ0 + ρ1 + . . . + ρn =
1 − ρn+1
1 − ρ, ρ 6= 1
n + 1, ρ = 1
Deci avem:
limn
Gn =
1
1 − ρ, daca |ρ| < 1
∞, daca ρ ≥ 1
nu exista, daca ρ ≤ −1
si S =
1
1 − ρ, daca |ρ| < 1
∞, daca ρ ≥ 1.
unde S este suma seriei.Prin urmare seria
∑n
ρn este convergenta daca |ρ| < 1 si divergenta ın
rest.2.Seria armonica (generalizata)
Hα :∞∑
n=0
ρn, ρ ∈ R, α ∈ R
. Pentru α = 1 se obtine seria armonica.4.6. Exercitii. Folosind 3.3. sa se precizeze natura seriilor:
1)∑n≥1
1
4n2 − 1; 2)
∑n≥1
1
n2 + n; 3)
∑n≥1
(−1
2
)n
; 4)∑n≥1
(2
3
)n
;
5)∑n≥0
2
7n+2; 6)
∑n≥0
2n + 3n
6n; 7)
∑n≥1
(13√
n− 1
3√
n + 1
)8)
∑n≥0
2n + 1
n!;
9)∑n≥0
(3√
n + 1 − 3√
n)
si unde este cazul sa se precizeze suma seriei.
4.2. Operatii cu serii 65
4.7. Propozitie. Fie seria A :∞∑
n=0
an si p un numar dat. Atunci seriile
A, A′ :∞∑
n=p+1
an si A′′ :∞∑
n=p
an − p au aceeasi natura .
Demonstratie. Daca (An)n si (A′n = ap+1 + . . . + ap+n)n sunt respectiv
sirurile sumelor partiale ale seriilor A si A′, atunci avem relatia: An+p =Ap + A′
n, ∀n ≥ 0. Din aceasta relatie rezulta ca sirurile (An) si (A’n) auaceeasi natura si deci A ∼ A′. Notam m = n − p si se gaseste ca A′′ ∼ A. Siastfel propozitia este demonstrata.
4.8. Observatie. Natura unei serii nu se modifica prin adaugarea (saueliminarea) unui numar finit de termeni la (respectiv din) termenii sai. InPropozitia 4.7, seria A′′ este de fapt, seria A scrisa sub o alta forma.
4.9. Definitie. Suma seriei A′ :∞∑
n=p+1
an, atunci cand exista, se numeste
restul de ordinul p al seriei A :∞∑
n=0
an si se noteaza cu Rp. Deci:
Rp = ap+1 + ap+2 + . . .
(=
∞∑n=p+1
an
). (4.2)
4.10.Teorema. Sirul resturilor (Rn)n, al unei serii convergente∑
an
este convergent catre zero.Demonstratie. Seria fiind convergenta are o suma S ∈ R si avem S =
An + Rn. De aici Rn = S − An. Trecand la limita cu n → ∞ se obtinelim
nRn = 0.
4.11. Definitie. Seria∑
an este absolut convergenta (si notam∑
an
(AC)) daca seria∑
|an| (i.e. seria modulelor) este convergenta.4.12. Definitie. O serie
∑n≥0
an ın care produsul a oricaror doi termeni
consecutivi este negativ (i.e. an · an+1 < 0 ∀n ≥ 0) se numeste serie alter-nanta .
O serie alternanta are forma∑n
(−1)nxn.
4.2 Operatii cu serii
Fie seriile A :∑n
xn si B :∑n
yn ∈ Sc
4.13. Definitie. Seriile A + B :∑n
xn + yn, AB :∑n
tn, tn = x0yn + ... +
xny0, se numesc suma si respectiv produsul (Cauchy al) seriilor A si B, iarseria λA :
∑n
λxn, λ ∈ R este produsul dintre seria A si numarul real λ.
66 Capitolul 4. Serii numerice
4.13. Propozitie. Daca seriile A,B ∈ Sc au sumele σA, respectiv σB,atunci seriile A + B, λA ∈ Sc si au sumele σA+B = σA + σB si σλA = λσA.
Demonstratie. Daca notam (σSn )n sirul sumelor partiale ale seriei S ∈
A,B,A + B, λA avem ca σAn → σA si σB
n → σB. Atunci
σA+Bn = σA
n + σBn → σA + σB = σA+B, σλA
n = λσAn → λσA = σλA.
4.14. Consecinta. Seria∑
(an − bn) ∈ Sc si are suma A − B.Demonstratie. In 3.13, punctul (2) se face λ = −1 si apoi se aplica punctul
(1).4.15. Observatie. Din faptul ca seria
∑(xn + yn) (respectiv seria∑
(xn − yn)) ∈ Sc, nu rezulta ca seriile∑
xn si∑
yn ∈ Sc.
Intr-adevar, pentru seriile∞∑
n=0
xn =∞∑
n=0
(−1)n si∞∑
n=0
yn =∞∑
n=0
(−1)n+1 care
sunt divergente, rezulta∑
(xn + yn) =∑
0 = 0 convergenta.Rezultatul 4.13 cat si 4.14 raman adevarate si cand seriile
∑xn si
∑yn
sunt divergente cu sumele A,B ∈ R, daca A ± B si λA au sens.Aplicatie: Fie seriile A :
∑n
xn si B :∑n
yn ∈ Sc cu
xn =
1, n = 0−
(32
)n, n ≥ 1
yn =
1, n = 0(
32
)n(2n + 2−n+1), n ≥ 1
Se cere:a). sa se determine natura seriilor A,B;b). sa se calculeze produsul A . . . B;c). sa se precizeze daca produsul a doua serii divergente poate fi o serie
convergenta.4.16. Consecinta. Sc ımpreuna cu operatiile definite mai sus este un R
spatiu vectorial.
4.3 Criterii de convergenta pentru serii
Pentru a cerceta natura unei serii nu se poate folosi ıntotdeauna definitiaconvergentei (i.e. 3.3). De aceea, se folosesc conditii echivalente cu Definitia4.3 sau conditii suficiente de convergenta, numite criterii de convergenta.
4.3. Criterii de convergenta pentru serii 67
4.3.1 Criterii de convergenta pentru serii cu termenioarecare
4.17. Teorema (Criteriul general de convergenta al lui Cauchy).
Fie seria A :∑
an. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(a) Seria A este convergenta;
(b) ∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |an+1 +an+2 + . . .+an+p| < ε, ∀n ≥ nε si p ≥ 1;
(c) ∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |an+1 + an+2 + . . . + am| < ε, ∀m > n ≥ nε.
Demonstratie. (a) ⇔ (An)n convergent ⇔ (An)n sir Cauchy.
Pe de o parte (An)n sir Cauchy ⇔ ∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |An+p − An| <ε, ∀n ≥ nε si p ≥ 1. Deci (a) ⇔ (b).
Pe de alta parte (An)n sir Cauchy ⇔ ∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |Am −An| <ε, ∀m > n ≥ nε. Deci (a) ⇔ (c)
4.18. Observatie. 1. Pentru p = 1, din (b), se obtine an → 0. Deci,′′daca seria este convergenta, atunci lim
nan = 0′′, ceea ce este echivalent
cu ′′daca limn
an 6= 0, atunci seria∑
an este divergenta′′. Aceasta ultima
afirmatie constituie criteriul necesar de convergenta . Altfel spus, oserie al carui termen general nu tinde la zero este divergenta. Reciproca nueste adevarata. Adica nu orice serie al carei termen general tinde la zero,este convergenta. Prin urmare, criteriul necesar de convergenta nu este sisuficient pentru convergenta.
2. Practic, criteriu general de convergenta, se aplica mai greu dar areo importanta fundamentala, caci din el se deduc toate celelalte criterii deconvergenta.
4.19. Teorema. Orice serie absolut convergenta este convergenta.
Demonstratie. Fie seria∑n
an(AC). Atunci∑n
|an| (C). Conform 3.17
avem: ∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. ||an+1| + |an+2| + . . . + |an+p|| < ε, ∀n ≥ nε sip ≥ 1. Deci |An+p − An| ≤ |an+1| + . . . + |an+p| < ε, ∀n ≥ nε si p ≥ 1.
Rezulta (An)n sir Cauchy. Prin urmare, (An)n este sir convergent, deunde
∑n
an (C).
4.20. Definitie. O serie convergenta, care nu este absolut convergenta,se numeste serie semiconvergenta .
Din cele de mai sus rezulta urmatoarea diagrama:
68 Capitolul 4. Serii numerice
4.21. Teorema. (Criteriul lui Abel - Dirichlet) Fie seria∑
an. Dacaexista sirurile (xn)n si (bn)n ⊂ R a.ı. an = xn · bn, ∀n ≥ 0, atunci seria dataeste convergenta daca se verifica una din urmatoarele afirmatii :
(a) Sirul
(Bn =
n∑k=1
bk
)n
este marginit si sirul (xn)n este monoton si
convergent la zero.
(b) Seria∑n≥0
bn este convergenta si sirul (xn)n este monoton si marginit.
Demonstratie. Fara a micsora generalitatea consideram sirul (xn)n de-screscator cu xn ≥ 0 ∀n ≥ 0.
(1) Vom folosi criteriul general de convergenta si faptul ca (bj = Bj −Bj−1, j = n + 1,m). Pentru m,n ∈ N cu m > n avem: |an+1 + . . . + am| =|bn+1xn+1 + . . . + bmxm| = |(Bn+1 − Bn)xn+1 + (Bn+2 − Bn+1)xn+2 + . . . +(Bm − Bm−1)xm| = | − Bnxn+1 + Bn+1(xn+1 − xn+2) + . . . + Bm−1(xm−1 −xm) + Bmxm| ≤ |Bn| · xn+1| + |Bn+1| · |xn+1 − xn+2| + . . . + |Bm−1| · |xm−1 −xm| + |Bm| · |xm|
Cum (Bn)n este marginit ⇒ ∃M > 0 a.ı. |Bn| ≤ M ∀n ≥ 0. Apoi pentruca (xn)n este descrescator, avem |xi − xi+1| = xi − xi+1, i = n + 1, m − 1.Astfel rezulta: |an+1 + . . . + am| ≤ xn+1M + M(xn+1 − xn+2) + M(xn+2 −xn+3) + . . . + M(xm−1 − xm) + Mxm = 2Mxn+1.
Deoarece xn → 0, avem ca
∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |xn| < ε/(2M) ∀n ≥ nε.
Deci, ∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. |an+1 + . . . + am| < ε, ∀m > n ≥ nε.
Rezulta ca seria∑
an este convergenta.
(2) Din ipoteza sirul (xn)n≥0 este convergent. Deci, ∃y ∈ R, a.ı. xn−y →0. Conform punctului (a) seria Σ(xn−y)bn este convergenta. Atunci, ın bazapropozitiei 3.13, seria Σ(xn − y)bn + Σybn (= Σan) este convergent.
4.22. Corolar (criteriul lui Leibniz ). Seria alternanta∑
(−1)ntn esteconvergenta daca sirul (tn)n≥0 este descrescator si convergent la zero.
Demonstratie. Se aplica 3.21 punctul (1) pentru bn = (−1)n si xn =tn ∀n ≥ 0.
4.3. Criterii de convergenta pentru serii 69
4.23. Exemplu. Sa se studieze natura seriei∑n≥1
(−1)n+1 1
n. Se aplica
criteriul lui Leibniz pentru tn =1
n. Sirul (tn)n este descrescator si convergent
la zero. Deci seria data este convergenta.
4.3.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termenipozitivi
4.24. Definitie. O serie∑n≥0
an, cu an ≥ 0, ∀n ≥ 0 se numeste serie cu
termeni pozitivi .Vom nota S+(S+∗) multimea seriilor de numere reale cu termeni pozitivi
(strict pozitivi).Criteriul marginirii.4.25. Teorema. Fie seria A :
∑n≥0
an ∈ S+. Atunci seria A este conver-
genta daca si numai daca (An)n este marginit.Demonstratie. Fie seria A convergenta. Atunci sirul (An)n este conver-
gent si, de aici, rezulta ca (An)n este marginit.Fie acum (An)n marginit si pentru ca (An)n este si crescator (A ∈ S+),
rezulta (An)n este convergent. Deci A este serie convergenta.O serie divergenta cu termenii pozitivi are suma +∞.4.26. Definitie. Fie seria A :
∑an ∈ S+. O serie B :
∑bn ∈ S+ cu
proprietatea ca ∃c > 0, si ∃n0 ∈ N a.ı. an ≤ cbn, ∀n ≥ n0 s.n. serie majorantaa seriei A. Analog se defineste si o minoranta pentru seria A.
Criterii de comparatie.4.27. Teorema (Primul criteriu al comparatiei).Fie A :
∑an ∈ S+.
a) Daca exita B :∑
bn ∈ S+, o majoranta a seriei A, atunciBconv. ⇒ Aconv.;
a) Daca exita C :∑
bn ∈ S+, o minoranta a seriei A, atunciCdiv. ⇒ Adiv.
Demonstratie. (a) Seria B convergenta ⇒ sirul (Bn)n convergent ⇒ sirul(Bn)n marginit ⇒ sirul (An)n marginit ⇒ seria A convergenta.
(b) Deoarece p → q ⇔eq →ep, avem ca punctul (b) este echivalent cu(a).
Din teorema de mai sus rezulta: maj.conv. ⇒ min.conv. si min.div. ⇒maj.div
Acest criteriu de comparatie are si o alta formulare data de4.28. Corolar (Al doilea criteriu al comparatiei).
70 Capitolul 4. Serii numerice
Fie A :∑
an ∈ S+. Daca exita B :∑
bn ∈ S+, o majoranta a seriei A,
a.ı.∃` = limn
an
bn
∈ R atunci :
(a) pentru ` ∈ R∗ ⇒ A ∼ B;(b) pentru ` = 0, avem:B convergenta ⇒ A convergenta,(c) pentru ` = ∞, avem:B divergenta ⇒ A divergenta.Demonstratie. (a) Din ipoteza rezulta ca ` > 0 si ca:
∀ε > 0, ∃n0 = n ε ∈ N a. ı. ` − ε <an
bn
< ` + ε, ∀n ≥ n0. (∗)
Luand acum ε =`
2obtinem:
`
2bn < an <
3`
2bn, ∀n ≥ n0.
Din aceasta ultima relatie si din 4.27 rezulta 4.28 punctul (a).(b) Avem λ = 0. Luam ın (∗), ε = 1 si obtinem an < bn, ∀n ≥ n0.
Conform cu 4.27 punctul (a) rezulta (b1) si din 4.27 punctul (b) rezulta (b2).
(c) Din λ = ∞, rezultabn
an
→ 0 si conform (b) rezulta (c1) si (c2).
Acest criteriu se mai numeste si criteriul de comparatie cu limita .4.29. Corolar (Al treilea criteriu al comparatiei).
Fie A :∑
an si B :∑
an ∈ S+. Daca ∃ n0 ∈ N a.ı.an+1
an
≤ bn+1
bn
, ∀n ≥n0, atunci:
seria B convergenta ⇒ seria A convergenta;seria A divergenta ⇒ seria B divergenta.Demonstratie. Din inegalitatea ipotezei obtinem
bn
an
≤ bn+1
an+1
pentru ∀n ≥ n0,
adica,bn0
an0
≤ bn0+1
an0+1
≤ ... ≤ bn
an
≤ ....n ≥ n0.
Notand c =an0
bn0
> 0, deducem an ≤ cbn, ∀n ≥ n0.
Se aplica acum primul criteriu al comparatiei si rezulta ceea ce trebuiademonstrat.
4.30. Observatie. Criteriile de mai sus ne dau posibilitatea de a stabilinatura unei serii comparand-o cu o alta serie a carei natura o cunoastem. Deobicei, pentru comparare se folosesc seria geometrica (prezentata la 3.5) siseria armonica generalizata (vezi 4.33).
4.3. Criterii de convergenta pentru serii 71
Criteriul condensarii.4.31. Teorema. Fie A :
∑an ∈ S+ si A′ :
∑a′
n o serie obtinutadin seria A printr-o grupare oarecare a termenilor sai (cu pastrarea ordinii).Atunci seriile A si A′ au aceeasi natura.
Demonstratie. Se observa ca (A′n)n este un subsir al sirului (An)n.
Daca seria A este convergenta, atunci (An)n este convergent. Rezulta ca(A′
n)n este convergent. Deci seria A′ este convergenta.Daca seria A′ este convergenta, atunci (A′
n)n este sir convergent si estesubsir al sirului crescator (An)n.
Pentru ca sirul (An)n este crescator si are subsirul convergent (A′n)n,
rezulta ca sirul (An)n este convergent. Deci, seria A este convergenta.4.32. Teorema (Criteriul condensarii). Fie A :
∑an ∈ S+ ın care sirul
(an)n este descrescator. Atunci seria∑
an este convergenta, daca si numaidaca seria
∑2na2n este convergenta (i.e.
∑an ⊇
∑2na2n).
Demonstratie. Din seria∑
an obtinem prin grupari de termeni, seriile∑a′
n si seria∑
a′′n astfel:∑
a′n = a1︸︷︷︸
a′1
+ (a2 + a3)︸ ︷︷ ︸a′2
+ (a4 + . . . + a7)︸ ︷︷ ︸a′3
+ . . . + (a2n−1 + . . . + a2n−1)︸ ︷︷ ︸a′
n
+ . . .
∑a′′
n = (a1 + a2)︸ ︷︷ ︸a′′1
+(a3 + a4)︸ ︷︷ ︸a′′2
+(a5 + . . . + a8)︸ ︷︷ ︸a′′3
+. . .+(a2n−1+1 + . . . + a2n)︸ ︷︷ ︸a′′
n
+. . .
Se observa ca 2n−1a2n ≤ a′′n, ∀n ≥ 1. Daca seria
∑an este convergenta,
atunci (conform 4.31) si seria∑
a′′n este convergenta. De aici, pe baza primu-
lui criteriu al comparatiei (4.27) rezulta ca seria∑
2n−1a2n este convergenta.Acum se observa ca a′
n ≤ 2n−1a2n−1 , ∀n ≥ 1. Daca seria∑
2na2n esteconvergenta, conform primului criteriu al comparatiei(4.27), avem ca seria∑
a′n este convergenta. Si conform 4.31, seria
∑an este convergenta.
4.33. Aplicatie. Folosind criteriul condensarii sa se studieze natura
seriei H(α) :∞∑1
1
nαcu α ∈ R (seria armonica generalizata sau seria
lui Riemann).
Rezolvare. Pentru α < 0 termenul general al seriei,1
nαnu tinde la zero,
iar pentru α = 0, termenul general al sirului sumelor partiale fiind egal cu nnu tinde la zero. Deci seria H(α < 0) ∈ Sd. Consideram, acum α > 0. Din
criteriul condensarii (4.32) avem ca seria∞∑1
1
nαare aceeasi natura cu seria
∞∑1
(2n · 1
2nα
)≡
∞∑1
1
2(α−1)n≡
∞∑1
(1
2α−1
)n
. Dar aceasta (din urma) este
72 Capitolul 4. Serii numerice
seria geometrica∑
ρn cu ρ =1
2α−1> 0. Deci:
pentru ρ ∈ (0, 1), i.e. pentru α − 1 > 0, seria este convergenta;
pentru ρ ∈ [1, +∞), i.e. pentru α − 1 ≤ 0, seria este divergenta.
Prin urmare, seria H(α ≤ 1) este divergenta, iar seria H(α > 1) esteconvergenta.
4.34. Remarca. Pentru α = 1 avem seria∞∑1
1
nnumita seria armonica
care evident este divergenta. In schimb, seria∞∑1
(−)n 1
neste convergenta, dar
nu este absolut convergenta. Deci, seria∞∑1
(−)n 1
neste un exemplu de la serie
semiconvergenta.
4.35. Exercitiu. Sa se studieze natura seriilor:
(a)∑n≥0
1
n2 + 1, (b)
∑n≥1
n
n2 + n + 1, (c)
∑n≥1
1
n
(√n + 1 −
√n − 1
), (d)∑
n≥2
1
n ln n.
Rezolvare. (a) Petru ca1
n2 + 1<
1
n2si pentru ca
∑ 1
n2∈ Sc rezulta,
conform 4.27, ca∑n≥0
1
n2 + 1∈ Sc;
(b) Din1
2n<
n
n2 + n + 1si din
∑ 1
n∼
∑ 1
2n, ca la (a), rezulta ca∑
n≥1
n
n2 + n + 1∈ Sd.
(c) Observam ca1
n
(√n + 1 −
√n − 1
)=
2
n(√
n + 1 +√
n − 1) <
1
n√
n=
1
n3/2. Din
∑ 1
n3/2∈ Sc ⇒
∑n≥1
1
n
(√n + 1 −
√n − 1
)∈ Sc.
(d) Conform cu 4.32,∑n≥2
1
n ln n∼
∑n≥2
2n 1
2n ln 2n≡ 1
ln 2·∑n≥2
1
n∈ Sd. Deci
∑n≥2
1
n ln n∈ Sd.
Criteriul radacinii (sau criteriul radical) al lui Cauchy.
4.36. Teorema. Fie A :∑
an ∈ S+.
Daca ∃n0 ∈ N si λ ∈ (0, 1) a.ı. n√
an ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci A esteconvergenta;
Daca n√
an ≥ 1 pentru o infinitate de termeni, atunci seria A este diver-genta.
Demonstratie. (a) Din n√
an ≤ λ, ∀n ≥ n0, rezulta an ≤ λn. Cum seria
4.3. Criterii de convergenta pentru serii 73
∞∑1
λn este convergenta, pe baza primului criteriu de comparatie, deducem ca
∞∑1
an este convergenta.
(b) Daca Daca n√
an ≥ 1 pentru o infinitate de termeni, atunci an ≥ 1pentru o infinitate de termeni. Deci, sirul (an)n nu este convergent catre 0.Rezulta, pe baza criteriului necesar de convergenta (4.18), ca seria A estedivergenta.
Acest criteriu se poate enunta si cu ajutorul limitelor.4.37. Corolar. Fie A :
∑an ∈ S+ a.ı. lim
n
n√
an = λ. Atunci:
(a) daca λ < 1, seria A este convergenta;(b) daca λ > 1, seria A este divergenta;(c) daca λ = 1, criteriul nu se aplica.Demonstratie: (a) lim
n
n√
an = λ rezulta ca
∀ε > 0, ∃nε ∈ N a.ı. | n√
an − λ| < ε, ∀n ≥ nε. (4.3)
Pentru ε <1 − λ
2, deducem n
√an < λ + ε, (λ + ε < 1), ∀n ≥ nε ceea
ce conduce, pe baza lui 3.27 si 3.5, la concluzia ca seria A :∑
an esteconvergenta.
(b) Din (3), pentru ε <λ − 1
2, gasim 1 < λ− ε < n
√an, ∀n ≥ nε. De aici,
tot ın baza lui 4.27. si 3.5, deducem ca seria A :∑
an este divergenta.
(c) λ = 1 se gaseste atat pentru serii∑
an ∈ Sc (e.g.∑n≥1
1
n2) cat si
pentru serii∑
an ∈ Sd (e.g.∑n≥1
1
n). De aceea, spunem ca ın acest caz este
incertitudine (i.e. pentru λ = 1, nu putem trage nici o concluzie asupraseriei).
4.38. Remarca. Daca limn
n√
an nu exista atunci se ia λ = limn
n√
an ın
3.37.Acest criteriu se mai numeste si criteriul radacinii cu limita.Criteriul cu limita (ın general cel din 3.37) se foloseste de regula cand an
are forma (. . .)n.
4.39. Aplicatii: 1 Sa se precizeze natura seriei∞∑1
en
3n
(n
n + 2
)n2
.
Rezolvare. Deoarece termenul general al seriei se poate scrie sub forma(. . . )n, se recomanda folosirea criteriului radacinii. Astfel avem: n
√an =
e
3
(n
n + 2
)n
=e
3· 1(
1 +2
n
)n → e
3· 1
e2,deci: lim
n
n√
an =1
3e< 1.
74 Capitolul 4. Serii numerice
Rezulta ca seria este convergenta.
2 Cercetati convergenta seriei∞∑1
(1√
n(n + 1) − n
)n
.
Rezolvare. Forma termenului general impune folosirea, ın primul rand, acriteriului radacinii. Astfel calculam:
n√
an =1
√n
(√n + 1 −
√n) =
√n + 1 +
√n√
n=
√1 +
1
n+ 1.
Deci, limn
n√
an = 2 > 1. Rezulta ca seria este divergenta.
3 Precizati daca se poate stabili natura seriei∞∑1
(3n2 − 5n + 7
2n + n2 − 1
)n
· 1
3n
prin criteriul radacinii.
Rezolvare. Calculam mai ıntai n√
an =1
3· 3n2 − 5n + 7
2n + n2 − 1.
De aici, limn
n√
an =1
3· 3 = 1.
Pentru ca limn
n√
an = 1 nu se poate preciza natura seriei folosind criteriul
radacinii.4.40. Teorema (Criteriul raportului-al lui D’ Alambert).Fie A :
∑an ∈ S+∗. Atunci:
(a) daca ∃ n0 ∈ N si λ ∈ (0, 1) a.ı.an+1
an
≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci seria
A ∈ Sc.
(b) daca ∃ n0 ∈ N a.ı.an+1
an
≥ 1, ∀n ≥ n0, atunci seria A ∈ Sd.
Demonstratie. (a) Dinan+1
an
≤ λ, ∀n ≥ n0 deducem:
an0+1 ≤ λ, an0
an0+2 ≤ λ, an0+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .an0+p ≤ λ, an0+p−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
de unde an0+p ≤ λp, an0 , ∀p ≥ 1. Si cum seria∞∑p1
λp an0 este convergenta (fiind
seria geometrica) rezulta ca seria∞∑
n=n0+1
an este convergenta. Deci seria∞∑
n=1
an
este convergenta.(b) Din ipoteza rezulta 0 < an ≤ an+1, ∀n ≥ n0.Deci, sirul (an)n este crescator si toti termenii strict pozitivi. Rezulta ca
limn→∞
an 6= 0. Prin urmare, seria A este divergenta.
4.3. Criterii de convergenta pentru serii 75
Acest criteriu se enunta si cu ajutorul limitelor extreme ale raportuluian+1
an
.
4.41 Corolar (Criteriul raportului cu limita). Fie A :∑
an ∈ S+∗.Atunci:
(a) daca limn
an+1
an
< 1, seria este convergenta,
(b) daca limn
an+1
an
> 1, seria este divergenta.
Demonstratie. Fie µ = limn
an+1
an
si λ = limn
an+1
an
.
(a) Pentru ca µ < 1, ∃(α, β) ∈ V(µ) cu β < 1, ın afara careia se gasesc
cel mult un numar finit de termeni ai sirului
(an+1
an
)n
. Deci, ∃n0 ∈ N a.ı.
∀n ≥ n0,an+1
an
≤ β < 1. Conform criteriului raportului (4.40) rezulta ca
seria A este convergenta.
(b) Deoarece λ > 1, ∃(u, v) ∈ V(λ)cu1 < u, ın care se afla un numar
infinit de termeni ai sirului
(an+1
an
)n
. Deci ∃n0 ∈ N a.ı. 1 < u ≤ an+1
an
, ∀n ≥
n0. De aici, pe baza criteriului raportului (3.40), deducem ca seria A estedivergenta.
Daca sirul
(an+1
an
)n
este convergent atunci 4.41 este echivalent cu
4.42. Corolar. Fie seria A :∑
an ∈ S+∗ si λ = limn
an+1
an
.
(a) Daca λ < 1, atunci seria A este convergenta.
(b) Daca λ > 1, atunci seria A este divergenta;
(c) Daca λ = 1, criteriul nu se aplica.
Demonstratie. Refacem demonstratia din 3.41 pentru λ = µ si obtinem(a) si (b)
(c). Daca limn
an+1
an
= 1, acest criteriu nu se poate folosi pentru a sta-
bili natura seriei∑
an. De exemplu, aplicand 3.42 seriei∑ 1
n(care este
divergenta) si seriei∑ 1
n2(care este convergenta) se gaseste ca λ = 1.
4.43. Observatie. Criteriul raportului nu poate fi folosit pentru ademonstra ca seria geometrica cu ρ < 1 este convergenta, deoarece ın demon-strarea criteriului s-a folosit seria geometrica.
4.44. Aplicatie. Folosind criteriul raportului sa se cerceteze naturaseriilor:
1.∑n≥0
1
n!, 2.
∑n≥1
2 · 7 · 12 · ... · (5n − 3)
5 · 9 · 13 · ... · (4n + 1), 3.
∑n≥0
2n + 3
n + 7.
76 Capitolul 4. Serii numerice
Rezolvare. 1. limn
an+1
an
= limn
1
n + 1= 0 < 1. Deci, seria
∑ 1
n!∈ Sc.
2. limn
an+1
an
= limn
5n + 2
4n + 5=
5
4> 1. Deci, seria
∑n≥1
2 · 7 · 12 · ... · (5n − 3)
5 · 9 · 13 · ... · (4n + 1)∈
Sd.
3. limn
an+1
an
= limn
(2n + 5) (n + 7)
(n + 8) (2n + 3)= 1. Pe baza acestui criteriu nu putem
preciza natura seriei∑n≥0
2n + 3
n + 7. De fapt, ın primul rand, trebuia sa observam
ca2n + 3
n + 7→ 2 6= 0 si apoi ın baza criteriului necesar de convergenta gaseam
ca seria de la 3 este divergenta.4.45. Teorema (Criteriul lui Raabe-Duhamel). Fie A :
∑an ∈ S+∗.
(a) Daca ∃n0 ∈ N si λ > 1 a.ı. n
(an
an+1
− 1
)≥ λ, ∀n ≥ n0 atunci seria
A ∈ Sc.
(b) Daca ∃n0 ∈ N a.ı. n
(an
an+1
− 1
)≤ 1, ∀n ≥ n0 atunci seria A ∈ Sd.
Demonstratie. In baza lui 3.8, putem presupune ca n0 = 1.(a) Din ipoteza deducem λan+1 ≤ nan − nan+1 ∀n ≥ 1(= n0).De aici
λa1 ≤ λa1
λa2 ≤ a1 − a2
λa3 ≤ 2a2 − 2a3
λa4 ≤ 3a3 − 3a4
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .λan ≤ (n − 1)an−1 − (n − 1)an
Prin adunarea acestor relatii obtinem: λAn ≤ λa1 +a1 +a2 + . . .+an−1−(n − 1)an, de unde
(λ − 1)An ≤ λa1 − nan ≤ λa1
Rezulta An ≤ λ
λ − 1a1.
Pe baza criteriului marginirii, deducem ca seria A este convergenta.(b) Din ipoteza rezulta nan − nan+1 ≤ an+1, ∀n ≥ 1.
De aici,an+1
an
≥ n
n + 1=
1
n + 11
n
, ∀n ≥ 1.
Conform criteriului trei de comparatie, avem A ∼∑ 1
n. Deci seria A ∈ Sd.
4.3. Criterii de convergenta pentru serii 77
4.46. Corolar (Criteriul lui Raabe-Duhamel cu limita). Fie seria A :∑an ∈ S+∗ a.ı. ∃λ = lim
nn
(an
an+1
− 1
).
(a) Daca λ > 1, atunci seria A este convergenta;
(b) Daca λ < 1, atunci seria A este divergenta;
(c) Daca λ = 1, atunci nu se poate preciza natura seriei A.
Demonstratie. Fie (α, β) ∈ V(λ) cu 1 /∈ (α, β) si α 6= 1. In aceastavecinatate, ıncepand de la un rang ıncolo, se gasesc toti termenii sirului[n
(an
an+1
− 1
)]n
. Deci
(a) pentru λ > 1, rezulta n
(an
an+1
− 1
)≥ α > 1, ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N,
fixat);
(b) pentru λ < 1, rezulta n
(an
an+1
− 1
)≤ β ≤ 1;
(In cazul (a), vecinatatea (α, β) s-a luat a.ı. α > 1 iar ın cazul (b),vecinatatea (α, β) s-a luat a.ı. β ≤ 1).
Deoarece ın fiecare din cazurile ((a) sau (b)) sunt ındeplinite conditiiledin 3.45, rezulta ceea ce trebuia demonstrat la punctele (a) si (b).
(c) pentru λ = 1, criteriul nu se aplica.
4.47. Remarca. In practica, ın general, criteriului lui Raabe - Duhamel
se aplica ın forma 3.46. Daca, ınsa, nu exista limn
n
(an
an+1
− 1
)atunci se
poate utiliza forma data ın
4.48. Corolar.Fie A :∑
an ∈ S+∗, λ = limn
(an
an+1
− 1
)si µ =
limn
n
(an
an+1
− 1
).
(a) Daca λ > 1, seria A este convergenta;
(b) Daca µ < 1, seria A este divergenta;
(c) Daca λ ≤ 1 sau µ ≥ 1 natura seriei nu poate fi precizata.
4.49. Aplicatie. Folosind criteriului lui Raabe-Duhamel sa se cercetezenatura seriilor
1.∑n≥1
2 · 7 · 12 · ... · (5n − 3)
5 · 9 · 13 · ... · (4n + 1), 2.
∑n≥0
2
n (n + 1).
Rezolvare. 1. limn
n
(an
an+1
− 1
)= lim
nn
(4n + 5
5n + 2− 1
)= lim
nn−n + 3
5n + 2=
−∞ < 1. Deci seria data la 1. este divergenta.
78 Capitolul 4. Serii numerice
2. limn
n
(an
an+1
− 1
)= lim
nn
2
n(n + 1)2
(n + 1)(n + 2)− 1
= limn
n
(n + 2
n− 1
)=
limn
2n
n= 2 > 1. Deci seria de la 2. este convergenta.
Pentru serii cu termeni pozitivi mai exista si alte criterii care depasescscopul acestei lucrari.
4.50. Remarca. Criteriile de convergenta pentru serii cu termeni pozi-tivi constituie drept criterii de convergenta absoluta pentru serii cu termenioarecare.
Capitolul 5
Siruri si serii de functii
5.1 Siruri de functii
5.1.1 Sir de functii; multime de convergenta
5.1. Definitie: Fie A ⊂ R. O functie f : N → F(A,R) se numeste sirde functii si se noteaza (fn)n≥0 (sau (fn)n sau ınca (fn)).
Se observa ca fn : A → R, ∀n ∈ N.5.2. Definitie. Punctul a ∈ A se numeste punct de convergenta
pentru sirul de functii (fn)n definit pe A daca sirul numeric (fn(a))n esteconvergent.
Multimea Ac = a ∈ A| |a punct de convergenta pentru sirul (fn)n≥0 senumeste multime de convergenta a sirului (fn)n.
5.3. Observatie. ∀a ∈ Ac ⇒ ∃λa ∈ R a.ı. fn(a) → λa. Deci se poatedefini o functie
f : Ac → R, f(a) = λa
(= lim
n→∞fn(a)
)(5.1)
5.1.2 Convergenta simpla; convergenta uniforma
rezulta ca pentru ∀a ∈ Ac avem: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N a.ı. ∀n ≥ n0 ⇒ |fn(a) −f(a)| < ε. la schimbarea lui a?
Raspuns : Pentru unele siruri de functii n0 = n(ε) (i.e. n0 nu depinde depunctul a), pe cand pentru altele, n0 = n(ε, a) (i.e. n0 depinde de punctula).
5.4. Definitie. Daca n0 = n(ε, a), f se numeste limita punctuala(sau simpla) a sirului (fn). In acest caz se spune ca sirul (fn)n≥0 converge
punctual (sau simplu) pe Ac catre f si se noteaza astfel: fnc.p.−→ f (sau
79
80 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
fnc.s.−→ f). In loc de c.p. (sau c.s.) se scrie uneori ′′p′′ (sau ′′s′′). Aceasta
este convergenta simpla .Daca n0 = n(ε), f se numeste limita uniforma a sirului (fn)n.In acest caz spunem ca sirul (fn)n converge uniform pe Ac catre f ,
notat fnc.u.−→ f (sau fn
n−→ f). Aceasta este convergenta uniforma .Notam Ap submultimea punctelor lui A, ın care sirul (fn)n este conver-
gent punctual si cu Au submultimea punctelor lui A, pe care sirul (fn)n esteuniform convergent. Evident ca Ap = Ac si Au ⊆ Ac.
5.5. Observatii. (a) Din cele de mai sus desprindem ca:(i) f este limita simpla a sirului (fn)n pe Ap (notat fn
s−→ f) :⇔ ∀a ∈Ap, ∀ε > 0, ∃n0 = n(ε, a) ∈ N a.ı. pentru ∀n ≥ n0|fn(a) − f(a)| < ε;
(ii) f este limita uniforma a sirului (fn) pe Au (notat fnu−→ f) :⇔
∀ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a.ı. pentru ∀n ≥ n0|fn(a) − f(a)| < ε, ∀a ∈ Au.sau:(i′) fn
s−→ f pe Ap :⇔ ∀a ∈ Ap, fn(a) → f(a);
(ii′) fnu−→ f pe Au :⇔ fn(a) → f(a), ∀a ∈ Au.
sau ınca:(i′′) fn
p−→ f pe o multime M ⊂ R :⇔ ∀a ∈ M, fn(a) → f(a)(ii′′) fn
u−→ f pe o multime M ⊂ R :⇔ fn(a) → f(a), ∀a ∈ M.(b) Pentru aceste definitii se pot considera urmatoarele schite:
1. In fig. 1, Ap = a si segmentul AB = a × [f(a) − ε, f(a) + ε].Graficele functiilor fn, cu n ≥ n0 = n(ε, a) intersecteaza segmentul AB, iarcelelalte (i.e. graficele functiilor fn cu n < n0) nu se intersecteaza cu AB.
2. In fig. 2, Ap = a, b; AB = a × [f(a) − ε, f(a) + ε] si CD =b × [f(b) − ε, f(b) + ε]. Deoarece segmentele AB si CD difera ca pozitiesi eventual ca marime, rezulta ca n′
0 = n(ε, a) 6= n′′0 = n(ε, b).
3. In fig. 3, Ap = [a, b][α, β]. Pentru fiecare punct din [a, b], n0 se poatemodifica chiar daca ε ramane fixat .
5.1. Siruri de functii 81
4. In fig. 4, Ap = Au = [α, β]. Pentru ε fixat toate segmentele AB, auaceeasi lungime, i.e. pentru ε fixat, n0 este acelasi pentru orice punct din[a, b].
Se observa ca Ap poate fi o multime discreta (e.g. 1 si 2, un interval(e.g. 3 si 4) sau poate fi reuniunea unei multimi discrete cu unul sau maimulte intervale .
Convergenta punctuala se refera la un punct, indiferent ca Ap este intervalsau multime discreta. Aceasta este o proprietate punctuala.
Convergenta uniforma se refera la o multime (discreta,continua sau re-uniuni de astfel de multimi) . Aceasta este o proprietate globala.
(c) Cele doua feluri de convergenta sunt diferite. In definitia convergenteipunctuale numarul n0(= n(ε, a)) depinde de ′′ε′′ si de punctul ′′a′′, pe cand ındefinitia convergentei uniforme n0(= n(ε)) depinde doar de ε. Convergentapunctuala se refera pe rand la punctele lui Ac, pe cand convergenta uni-forma se refera deodata la toata multimea (de convergenta) Au, lucru pus ınevidenta prin pozitia lui n0 fata de afirmatia ∀a ∈ Au (la convergenta punc-tuala n0 apare dupa ∀a ∈ A, pe cand la convergenta uniforma este invers).
In convergenta uniforma sirurile (fn(a))n≥0, ∀a ∈ A sunt ′′egal convergente′′
sau ′′la fel de repede convergente′′ (n0 depinzand doar de ε), pe cand laconvergenta simpla ′′nu sunt egal convergente′′ sau ′′nu sunt la fel de repedeconvergente′′ (n0 depinzand de ε si de punctul a).
5.6. Propozitie: Convergenta uniforma implica convergenta punctuala.Demonstratie. (Evident).5.7. Exemple: (a) Se considera sirul de functii (fn)n≥1, fn = xn, x ∈
[0, 1]. Se cere:1.functia limita si multimea de convergenta;2. sa se studieze convergenta uniforma a sirului dat pe multimea de
convergenta si sa se mentioneze Ap si Au.Rezolvare: 1. Fie x ∈ [0, 1], atunci
limn→∞
fn(x) = limn→∞
xn =
0, x ∈ [0, 1) ;1, x = 1.
Deci Ac = [0, 1] si functia limita (punctuala) este
f : Ac → R, f(x) =
0, x ∈ [0, 1) ;1, x = 1.
2. Se studiaza uniform convergenta pe Ac. Pentru aceasta cercetam dacaeste ındeplinita definitia uniform convergentei:
∀ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a.ı. pentru n ≥ n0 ⇒ |fn(x) − f(x)| < ε, ∀x ∈ Ac.
82 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
Fie ε > 0 si pentru determinarea lui n0 rezolvam inecuatia |fn(x)−f(x)| <ε.
|fn(x) − f(x)| =
|xn − 0| , x ∈ [0, 1)|1 − 1| , x = 1
=
xn, x ∈ (0, 1)0, x ∈ 0, 1 .
Pentru x ∈ (0, 1) ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε ⇔ |xn| < ε ⇔ n ln x < ln ε ⇒ n >ln ε
ln x> 0 (se ia ε < 1)
Rezulta ca pentru
x ∈ 0, 1 ⇒ n0 = 1
x ∈ (0, 1) ⇒ n0 =
[ln ε
ln x
]+ 1
, depinde si de ε si de
x.Multimea Ap = [0, 1], iar Au = [0, a], ∀a ∈ [0, 1) (daca a ∈ [0, 1) ⇒
|fn(a) − f(a)| = an → 0).
5.1.3 Criterii de convergenta
Deoarece convergenta simpla a sirului de functii (fn)n≥0 catre functia frevine, pentru fiecare x ∈ A, la convergenta sirului de numere (fn(x)) catrenumarul f(x), criteriile de convergenta de la sirurile de numere se aplica siın acest caz.
5.8. Definitie: Sirul de functii (fn)n se numeste sir uniform Cauchydaca (fn(x))n este sir Cauchy ∀x ∈ A.
Pentru convergenta uniforma prezentam urmatoarele criterii:5.9. Criteriul I (Cauchy). Fie sirul (fn) ⊂ F(A,R). Sirul (fn) este
uniform convergent pe A ⇔ (fn) este sir uniform Cauchy pe A.Demonstratie: ′′ ⇒′′ (fn) uniform convergent pe A ⇒ ∃f ∈ F(A,R) a.ı.
fpu−→A
f ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N a.ı. |fp(x)−f(x)| <ε
2∀p ≥ n0. Atunci pentru
m,n ≥ n0 si x ∈ A, avem:
|fn(x) − fm(x)| ≤ |fn(x) − f(x)| + |f(x) − fm(x)| <ε
2+
ε
2= ε.
Deci sirul (fn(x)) sir Cauchy ∀x ∈ A.′′ ⇐′′ (fn(x)) sir Cauchy ∀x ∈ A ⇒
∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N a.ı. |fn(x) − fm(x)| < ε, ∀n,m ≥ n0. ∀x ∈ A (5.2)
Pentru x ∈ A arbitrar fixat, (fn(x)) este un sir de numere reale convergent(fiind sir Cauchy). Deci pentru ∀x ∈ A, ∃ un numar f(x) a.ı. fn(x) → f(x)i.e. fn
s−→ f. Trecand la limita ın (5.2), (n arbitrat fixat) cu m → ∞,obtinem:
5.1. Siruri de functii 83
∀ ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a.ı. |fn(x) − f(x)| < ε, ∀n ≥ n0 si ∀x ∈ A.Deci, fn
u−→A
f.
5.10. Criteriul II. Fie sirul (fn)n ⊂ F(A, R). si f ∈ F(A,R+) functialimita sa. Daca ∃ (ϕn) ⊂ F(A, R+) astfel ıncat :
(a) ϕnu−→ 0 si (b) |fn(x) − f(x)| ≤ ϕn(x), ∀n ≥ 1 si ∀x ∈ A, atunci
fnu−→ f.
5.11. Caz particular: Fie sirul (fn)n ⊂ F(A, R) si f ∈ F(A, R).functia limita sa. Daca ∃(an) ⊂ R+ a.ı.:
(a) |fn(x) − f(x)| ≤ an ∀n ∈ N, ∀x ∈ A; (b) an → 0 atunci fnu−→ f.
Rezulta luınd ın 5.10, ϕn(x) = an.
5.12. Aplicatie: A = [0, 2π]; fn(x) =sin nx
n; f(x) = 0.
5.13. Criteriul III. Fie A ⊂ R, f ∈ mA si (fn) ⊂ mA. Atunci
fnu−→ f ⇔ lim
n→∞||fn − f || = 0
(||f || = sup
x∈A|f(x)|
).
Demonstratie: fnu−→ f :⇔ ∀ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a.ı. |fn(x)−f(x)| <
ε, ∀n ≥ n0, ∀x ∈ A.
Dar |fn(x)−f(x)| < ε, ∀x ∈ A ⇔ supx∈A
|fn(x)−f(x)| < ε ⇔ ||fn−f || < ε;
⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N a.ı. ||fn − f || < ε ∀n ≥ n0 ⇔ limn→∞
||fn − f || = 0.
5.14. Algoritm. Studiul convergentei punctuale si convergentei uni-forme pentru un sir (fn)n ⊂ F(A,R) se poate realiza dupa urmatoareaschema:
Etapa I. Se calculeaza f(x) = limn→∞
fn(x) si se determina multimea Ac (i.e.
multimea elementelor x ∈ A pentru care aceasta limita exista si este finita).
Etapa II. Rezulta fns−→ f pe Ac. Se calculeaza εn = ||fn − f || =
supx∈Ac
|fn(x)−f(x)| folosind eventual tabloul de variatie al functiei fn(x)−f(x)
pe multimea Ac.
Etapa III. Daca εn → 0 atunci fnu−→ f pe Ac. Daca εn 9 0 convergenta
nu este uniforma.
4.15. Observatie. Daca A = [a, b], asa cum am vazut mai sus, pentrufn
u−→ f se poate da o interpretare geometrica sugestiva: ∀ε > 0, ın ′′tubul′′
delimitat de graficele functiilor f − ε, f + ε, ıncepand de la un anumit rang,sunt situate toate graficele functiilor fn (vezi figura 4 din 5.1.2.).
5.16. Exemple: 1. Fie A = [0, 1] si fn(x) = xn, n ≥ 1.
Etapa I: f(x) = limn→∞
fn(x) =
0, x ∈ [0, 1)1, x = 1
. Deci Ac = A.
Etapa II: fns−→ 0; εn = ||fn − 0|| = sup
x∈Ac
|xn − 0| = 1 9 0.
Etapa III: εn 9 0 ⇒ fnu9 f. Dar fn
u−→ f pe [0, r], ∀r ∈ [0, 1), deoarece
84 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
εn = rn → 0.
2. A = [−2, 2], fn(x) =x + n
n + 1.
Etapa I: f(x) = limn→∞
fn(x) = 1, ∀x ∈ A; Ac = A.
Etapa II: εn = ||fn − f || = supx∈Ac
∣∣∣∣x + n
n + 1− 1
∣∣∣∣ = supx∈Ac
∣∣∣∣x − 1
n + 1
∣∣∣∣ =3
n + 1.
Etapa III: εn → 0 ⇒ fn(x)u
f(x) ∀x ∈ A si f(x) = 1, ∀x ∈ A.
5.1.4 Transferul de marginire, continuitate, derivabi-litate si integrabilitate de la un sir de functii lalimita sa
5.17. Teorema (transferul de marginire, continuitate si integrabilitate).Fie A ⊂ R, fn, f ∈ F(A,R) ∀n ≥1. Daca fn
u−→ f pe A, atunci avem:(a) (fn)n ⊂ mA ⇒ f ∈ mA;(b) (fn)n ⊂ C0(A) ⇒ f ∈ C0(A);(c) fn integrabila pe A = [a, b], ∀n ≥ 1 ⇒ (c1)f integrabila pe [a, b] si
(c2)
b∫
a
fn(x)
n
convergent si limn←∞
b∫a
fn(x)dx =b∫
a
limn→∞
fn(x)dx
(=
b∫a
f(x)dx
).
Demonstratie. (a) Daca (fn)n ⊂ mA, atunci
∃M > 0 a.ı. |fn(x)| ≤ M ∀n ≥ 1 ∀x ∈ A (5.3)
fnu−→ f pe A ⇔
∀ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a. ı. n ≥ n0 ⇒ |fn(x)−f(x)| <ε
3, ∀x ∈ A (5.4)
Pentru ε = 1,
∃n1 = n(1) ∈ N a.ı. n ≥ n1 ⇒ |fn(x)− f(x)| <1
3, ∀x ∈ A. (4.4′)
Din (6.3) si (5.4′), pentru n ≥ n1 obtinem:
|f(x)| ≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x)| <1
3+ M ∀x ∈ A, deci f ∈ mA.
b) Fie a ∈A si (xk) ⊂ A cu xk → a. Cum fn0 este continua ın a, pentruε > 0 din relatia (5.4) avem:
∃k(ε) ∈ N a. ı. |fn0(xk) − fn0(a)| <ε
3∀k ≥ k(ε) (5.5)
5.1. Siruri de functii 85
Folosind (5.4) ın care se ia n = n0 si apoi pe rand x = xk si x = a, si (5.5)rezulta: |f(xk)−f(a)| ≤ |f(xk)−fn0(xk)|+|fn0(xk)−fn0(a)|+|fn0(a)−f(a)| <ε
3+
ε
3+
ε
3= ε.
Deci ∀ε > 0, ∃k(ε) ∈ N a. ı |f(xk) − f(a)| < ε ∀k ≥ k(ε), i.e. f(xk) →f(a) ⇔ f continua ın a. Prin urmare f ∈ C0(A).
(c) (c1) Vom folosi criteriul lui Lebesgue de integrabilitate. Reimann (i.e.f : [a, b] → R este integrabila pe [a, b] ⇔ f marginita pe [a, b] si multimeapunctelor de discontinuitate a lui f este de masura Lebesgue zero e.g. omultime cel mult numarabila este de masura Lebesgue zero i.e. neglijabila).Pentru ∀n ≥ 1, fn este integrabila pe [a, b]. Rezulta fn ∈ m[a,b] si Bn = x ∈[a, b]|fn discontinua ın x este cel mult numarabila. Conform (a) ⇒ f ∈ mA.Si cum B = x ∈ [a, b]|f discontinua ın x ⊂
∪n≥1
Bn, rezulta B este cel mult
numarabila. Deci f este integrabila pe [a, b].
(c2)fnu−→ f ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a.ı. |fn(x)−f(x)| <
ε
b − a∀n ≥
n0 si ∀x ∈ A. De aici rezulta:∣∣∣∣∫ b
a
fn(x)dx −∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|fn(x) − f(x)| dx < ε ∀n ≥ n0.
Deci ∀ε > 0, ∃n0 = n(ε) ∈ N a.ı.∣∣∣∫ b
afn(x)dx −
∫ b
af(x)dx
∣∣∣ < ε, ∀n ≥ n0.
Prin urmare: limn→∞
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
afdx si cum f(x) = lim
n→∞fn(x) ⇒ (c2).
5.18. Corolar. Spatiile mA, C0([a, b]) si L([a, b],R) (spatiul functiilorintegrabile) sunt spatii Banach relativ la norma ||fn||u = sup
x∈A|f(x)|, A ∈
K(R2).
5.19. Teorema (transferul de derivabilitate)
Fie (fn)n ⊂ C1([a, b]) si fns−→ f. Atunci avem:
(a)f ∈ C1([a, b])
(b)f ′n → f ′ (i.e. lim
n→∞f ′
n(x)) =(
limn→∞
fn(x))′
.
Demonstratie. Conform cu Leibniz-Newton, rezulta:∫ x
a
fn′(t)dt = fn(x) − fn(a), ∀n ≥ 0 si ∀x ∈ [a, b].
Pentru n → ∞ (si din fns−→ f) ⇒ lim
n→∞
∫ x
af ′
n(t)dt = f(x) − f(a).
Dar fn′u−→ g ⇒ lim
n→∞
∫ x
afn′(t)dt =
∫ x
alim
n→∞fn′(t)dt =
∫ x
ag(t)dt ⇒∫ x
ag(t)dt = f(x) − f(a) ∀x ∈ [a, b].
86 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
Cum f ′n ∈ C0([a, b]) si f ′
nu−→ g ⇒ g ∈ C0([a, b]) ⇒
∫ x
ag(t)dt = f(x)−f(a)
este derivabila ⇒
f derivabila pe [a, b]g = f ′ pe [a, b]
Prezentam fara demonstratie urmatorul rezultat.
4.20. Teorema 3 (de aproximare). Fie f ∈ C0([a, b]). Atunci
(1) ∃(Pn)n un sir de functii poligonale a.ı. Pnu−→ f ;
(2) ∃(Rn)n un sir de functii polimoniale a.ı. Rnu−→ f ;
(3) ∃(Sn)n un sir de functii ın scara a.ı. Snu−→ f.
5.2 Serii de functii
5.2.1 Definitii
1. Fie sirul de functii (fn)n ∈ mA si A un interval din R. PerecheaF : (fn), (Fn) unde Fn(x) = f1(x) + . . . + fn(x), ∀x ∈ A si ∀n ≥ 0se numeste serie de functii si se noteaza cu
∑n≥0
fn(x) si citim seria cu
termenul general fn(x). Termenul de rang n al sirului (Fn(x))n se numestesuma partiala de rang n a seriei F .
2. Multimea de convergenta a sirului (Fn)n se numeste multimea deconvergenta a seriei F .
3. Seria F este punctual (uniform) convergenta pe A daca sirulde functii (Fn) este punctual (respectiv uniform) convergent pe A.F (x) = lim
n→∞Fn(x), daca exista, se numeste suma seriei de functii F .
5.21. Observatie. Orice serie de functii uniform convergenta pe A estepunctual convergenta pe A. Reciproca nu este adevarata (de exemplu:pe[0, 1], seria
∑n≥1
(xn+1 − xn) este punctual convergenta dar nu este uniform
convergenta ).
5.2.2 Criterii de convergenta uniforma pentru serii
5.22.Teorema (Weierstrass).Fie A ∈ K(R), seria F :∑n≥0
fn, fn ∈
mA∀n ≥ 1.
Daca exista o serie∑n≥0
an ∈ S+, convergenta a.ı. |fn(x)| ≤ an ∀n ≥
n0 (n0 ∈ N, fixat) si ∀x ∈ A atunci seria F este uniform convergenta pe A.
5.2. Serii de functii 87
Demonstratie: |fn(x)| ≤ an ∀x ∈ A, n ≥ n0 ⇒ ||fn||u = supx∈A
|f(x)| ≤
an ∀n ≥ n0. Cum seria numerica∑n≥0
an este convergenta rezulta(vezi 4.27)
ca seria numerica∑n≥0
||fn|| este convergenta. Deci seria∑n≥0
fn este absolut
convergenta ın spatiul Banach (mA, || · ||u). Deoarece, ıntr-un spatiu Ba-nach, absolut convergenta implica convergenta, rezulta ca seria
∑n≥0
fn este
convergenta ın mA; ınsa convergenta ın mA implica convergenta uniforma peA(||fn − f || → 0 ⇒ fn
u−→ f). Deci∑n≥0
fn este uniform convergenta pe A.
5.23. Exemplu. Fie seria∑n≥0
fn(x), fn : R → R, fn(x) =sin nx
n
2
∀n ≥
1. Sa se arate ca seria data este uniform convergenta pe R.
Indicatie: Se aplica 5.22 pentru an =1
n2. Se pot aplica si criteriile de
convergenta uniforma de la siruri.
5.2.3 Transferul de continuitate, derivabilitate si inte-grabilitate pentru serii
5.24. Teorema (transferul de continuitate si integrabilitate). Fie (fn)n ⊂C0([a, b]). Daca seria F :
∑n≥0
fn este uniform convergenta, atunci
(1) F (x) =∑n≥0
fn(x) ∈ C0([a, b]);
(2)b∫
a
∑n≥0
fn(x)dx =∑n≥0
b∫a
fn(x)dx (∫
comuta cu Σ).
Demonstratie. (1) Seria F fiind uniform convergenta rezulta ca sirulFn(x) =
n∑k=0
fn(x)
n
este uniform convergent. Deci, ∃ F (x) = limn→∞
Fn(x),
(Fnu→ F ). Conform cu 4.17, F ∈ C0 ([a, b]) ⇒ (1). Tot din 4.17 rezulta
limn→∞
b∫a
Fn(x)dx =b∫
a
limn→∞
Fn(x)dx =b∫
a
F (x)dx ⇒ sirul
b∫
a
Fn(x)dx
n
este
convergent si cumb∫
a
Fn(x)dx =b∫
a
n∑k=1
fk(x)dx =n∑
k=1
b∫a
fk(x)dx. Rezulta ca
sirul
n∑
k=1
b∫a
fk(x)dx
n
este convergent si ın plus limn→∞
n∑k=1
b∫a
fk(x)dx =b∫
a
f(x)dx
i.e. (2).5.25. Observatie. Punctul (2) arata ca orice serie uniform convergenta
de functii continue pe [a, b], poate fi ′′integrata termen cu termen′′ pe acel
88 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
interval.
5.26. Teorema (transferul de derivabilitate) Fie seria F :∑n≥0
fn cu
(fn)n ⊂ C1([a, b]). Atunci :
(1) Suma punctuala a seriei F este de clasa C1([a, b]);
(2) Seria poate fi derivata termen cu termen (i.e.
(∑n≥0
fn
)′
=∑n≥0
f ′n).
Demonstratie: Vom folosi 5.19. Seria∑
fn este punctual convergenta ⇔(Fn)n punctal convergent ⇒ ∃ F : [a, b] → R a.ı. Fn
p−→ F. Seria∑
f ′n
este uniform convergenta ⇔ (F ′)n uniform convergent ⇒ ∃ G : [a, b] → R
a.ı. F ′n
p−→ G. Conform cu 5.19 rezulta ca F ∈ C1([a, b]) si G = F ′ ceea cedemonstreaza teorema.
5.2.4 Cazuri particulare de serii de functii
4.2.4.1. Serii de puteri
O clasa importanta de serii de functii o constituie seriile de puteri.
5.27. Definitie. Fie (an)n ⊂ R. O serie de functii∑n≥0
fn(x), unde
fn : R → R, fn(x) = anxn, ∀x ∈ R si ∀n ≥ 0 se numeste serie de puteri(sau serie ıntreaga) centrata ın x = 0, pe scurt serie de puteri , iartermenii sirului (an)n se numesc coeficientii seriei de puteri date.
5.28. Observatie: 1. O serie de puteri este unic determinata de sirul(an)n≥0 al coeficientilor sai;
2. Se pot considera serii de puteri de forma generala∑n≥0
an(x − x0)n cu
x0 ∈ R, numite serii de puteri centrate ın x0. Facand abstractie denotatia variabilei, cele doua forme sunt echivalente:
∑anxn
x=t−x0−→t=x+x0←−
∑an(t − x0)
n
De aceea, ın cele ce urmeaza, vom urmari ın principal seriile de putericentrate ın x0 = 0.
3 Seriile de puteri constituie o generalizare a functiilor polinomiale si oparticularizare a seriilor de functii. Astfel, alaturi de proprietatile generalepe care le au seriile functii, au si unele proprietati speciale, care le apropiemult de functiile polinomiale (de exemplu: suma unei serii de puteri estefunctie indefinit derivabila).
5.2. Serii de functii 89
5.29. Exemple:∑n≥0
xn;∑ xn
n!;
∑nnxn;
∑n
(1 − x
3 + x
)n
sunt serii de
puteri, dar∑
(n · 2x + 1)n nu este o serie de puteri.5.30. Propozitie. Multimea de convergenta a unei serii de puteri este
nevida.Demonstratie. x0 = 0 este punct de convergenta al seriei
∑n≥0
anxn deoarece
sirul sumelor partiale este (Xn = a0)n, care este convergent.5.31. Teorema lui Abel.Pentru orice serie de puteri
∑n≥0
anxn ∃R ∈
[0, +∞] astfel ıncat :(a) seria este absolut convergenta pentru orice x cu |x| < R;(b) seria este divergenta pentru orice x cu |x| > R;(c) ∀ r ∈ (0, R), seria este uniform convergenta pentru orice x cu |x| ≤
r (chiar mai mult, seria este uniform convergenta pe orice compact din(−R,R)).
Demonstratie. Notam Ac = x0 ∈ R|∑
anxn0 ∈ Sc.
Daca seria este convergenta doar ın x = 0, se ia R = 0 si teorema estedemonstrata.
Presupunem ca seria de puteri are cel putin un punct de convergentax0 6= 0. Deci, seria numerica
∑anx
n0 este convergenta. Rezulta ca termenul
general al seriei anxn0 tinde catre zero. Deci, ∃M > 0 a.ı. |anxn
0 | < M, ∀n ≥0. Fie x ∈ (−|x0|, |x0|). Atunci avem:
|anxn| =
∣∣∣∣anxn0 · xn
xn0
∣∣∣∣ = |anxn0 | ·
|x|n
|x0|n< M ·
(|x||x0|
)n
.
Dar seria∑
M
(|x||x0|
)n
este seria geometrica cu ratia|x||x0|
< 1.
Conform criteriului de comparatie rezulta ca seria∑
|anxn| este conver-
genta pentru x∈ (−|x0|, |x0|) si deci∑
anxn este absolut convergenta pe
(−|x0|, |x0|).Deoarece ∀ x0 ∈ Ac, avem (−|x0|, |x0|) ⊂ Ac. Afirmam ca R = supAc
verifica punctele (a), (b) si (c). Intr-adevar:(a) Fie x ∈ (−R,R) fixat arbitrar. Deci, |x| < R. Atunci ∃ x0 ∈ Ac
a.ı. |x| < x0 < R. Prin urmare seria data este absolut convergenta ın x (dinx0 ∈ Ac si din |x| < x0, rezulta ca seria Σ|anxn| este convergenta). Pentru cax a fost arbitrar ın (-R, R), rezulta ca seria
∑n
anx este absolut convergenta
pe (−R,R).(b) Daca R = +∞, atunci seria nu are puncte de divergenta, fiind, con-
form cu (a), absolut convergenta pe (−∞, +∞). In acest caz conditia de la(b) este de prisos.
90 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
Daca R < +∞, fie x a.ı. |x| > R, arbitrar fixat. Daca x ∈ Ac, atunci∀ y, |x| > |y| ar fi punct de convergenta ceea ce este ın contradictie cu definitialui R. Asadar pentru ∀ x cu |x| > R, seria data este divergenta.
(c) Fie r ∈ (0, R). Evident ca r este punct de convergenta absoluta i.e.seria de numere pozitive
∑n
|anrn| =∑n
|an| rn este convergenta. Si cum
pentru ∀ x ∈ [−r, r] avem |anxn| = |an||xn| ≤ |an|rn, rezulta, conform 5.22,ca seria
∑n
anxn este uniform convergenta pe [−r, r]. Si astfel teorema este
demonstrata.5.32. Observatie. 1. Daca seria
∑n
anxn este convergenta ın x0,
atunci ea este absolut convergenta pe (−|x0|, |x0|). Daca seria este diver-genta ın x1 atunci ea este divergenta pe R\[−|x0|, |x0|]. Prima afirmatieeste demonstrata ın 4.31. Pentru afirmatia a doua presupunem ca ar existax2 ∈ R\[−|x0|, |x0|] a.ı. seria numerica
∑n
anxn2 este convergenta. Conform
cu prima afirmatie urmeaza ca seria numerica∑n
anxn este absolut conver-
genta pe (−|x2|, |x2|) si pentru ca x1 ∈ (−|x2|, |x2|) rezulta ca x1 este punctde convergenta pentru seria data. Contradictie, si astfel rezulta ca afirmatiaa doua este adevarata. Aceste doua afirmatii pot ınlocui afirmatiile (a) si (b)din 5.31.
2. Cele spuse ın teorema lui Abel se pot schita astfel:
3. Daca R ∈ (0,∞), teorema lui Abel nu precizeaza natura seriei deputeri ın punctele x ∈ −R,R. In cele doua puncte natura seriei este fieaceeasi, fie diferita. Daca seria este absolut convergenta ın (±R), atunci esteabsolut convergenta si ın (∓R). Deci este posibil ca −R si R ∈ Ac. Rezultaca Ac ∈ (−R,R), (R,R], [−R,R), [−R,R].
5.33. Definitie. Numarul R din teorema lui Abel se numeste razade convergenta a seriei de puteri , iar intervalul (−R,R) se numesteintervalul de convergenta al seriei de puteri .
Determinarea razei de convergenta pentru o serie de puteri5.34. Teorema (Cauchy-Hadamard). Fie
∑n≥0
anxn o serie de puteri cu
raza de convergenta R. Daca exista ρ = limn→∞
n√
|an|, atunci
R =
0, dacaρ = +∞1/ρ, dacaρ ∈ (0, +∞)+∞, dacaρ = 0
5.2. Serii de functii 91
Demonstratie. Pentru x0 ∈ R arbitrar fixat, se aplica seriei∑n
|anxn0 |
criteriul radacinii. Daca exista ρ = limn
n√|an|, atunci lim
n
n√|anxn
0 | = ρ |x0| .Conform criteriului radacinii avem (pentru ρ ∈ (0, +∞)):
• daca ρ|x0| < 1 (i.e. x0 ∈ (−1/ρ, 1/ρ)), atunci seria este absolut conver-genta ın x0;
• daca ρ|x0| > 1 (i.e. |x0| > 1/ρ), atunci seria este divergenta ın x0.
5.35. Observatie. Uneori pentru calculul lui ρ se foloseste formula
ρ = limn
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ (regula lui d’Alambert). Raza e convergenta se calculeaza
conform 4.34. Se poate folosi si relatia R = limn→∞
∣∣∣∣ an
an+1
∣∣∣∣ .
5.36. Aplicatii. Sa se calculeze intervalele de convergenta pentru seriile:
1.∑n
1
n!xn, 2.
∑n
n!xn, 3.∑n
2n
(n + 1)3xn, 4.∑ (−2)n − 3n
nxn
Rezolvare. 1. an =1
n!, ρ = lim
n→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
1
(n + 1)!1
n!
= 0 ⇒ R = +∞
si intervalul de convergenta este (−∞, +∞).
2. an = n!; ρ = limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = +∞ ⇒ R = 0; intervalul de convergenta
este redus la un punct.
3. an =2n
(n + 1)3 ; ρ = limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = 2 ⇒ R =1
2si intervalul de
convergenta este
(−1
2,1
2
).
4. an =(−2n) − 3n
n, ρ = 3 lim
n→∞
n
n + 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(−2
3
)n+1
− 1(−2
3
)n
− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3 ⇒ R =1
3si
itervalul de convergenta este
(−1
3,1
3
).
Pentru seriile de la 3 si 4 sa se cerceteze convergenta si ın punctele −Rsi R (exercitiu).
5.2.4.2. Serii Taylor
5.37. Definitie: Fie f : I = [a, b] → R(a < b), o functie de clasa C∞ si
92 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
x0 ∈ (a, b) un punct fixat. Seria de puteri centrata ın x0
Tf (x0) :∑n≥0
an(x − x0)n, (5.6)
ın care an =f (n)(x0)
n!se numeste seria Taylor atasata functiei f ın
punctul x 0.Daca x0 = 0, seria (5.6), (i.e. Tf (0),) se numeste seria Mac Laurin
atasata functiei f si se scrie:
∑n≥0
f(n)(0)
n!xn, (5.7)
5.38. Observatie: Aceste serii, fiind serii de puteri, convergenta lor sestudiaza cu teoremele specifice seriilor de puteri.
5.39. Definitie: Suma partiala a seriei Taylor atasata functiei f ınpunctul x0
Tn(x) = f(x0) +f ′ (x0)
1!(x − x0) + ... +
f(n)(x0)
n!(x − x0)
n (5.8)
se numeste polinom Taylor de ordin n atasat functiei f ın punctulx0 iar
Rn(x) = f(x) − Tn(x) ∀x ∈ I (5.9)
se numeste rest Taylor de ordin n .5.40. Observatie: 1.
f(x) = Tn(x) + Rn(x) ∀x ∈ I (5.10)
2. Se stie ca Ac nu coincide ın mod necesar cu I. Se pune ıntrebarea: In ceconditii seria Taylor coincide cu functia f si pe ce multime?
3. Din formula (5.10) rezulta ca polinomul Tn(x) aproximeaza valoareafunctiei f ın x, restul Rn(x) este eroarea facuta prin aceasta aproximare. Deaceea este necesara o reprezentare cat mai convenabila a restului formulei luiTaylor. Dam fara demonstratie urmatoarea:
5.41. Teorema (teorema restului). Fie f : I → R, α, x ∈ I, α 6= xarbitrar fixate. Daca f este de n + 1 derivabila pe I, atunci pentru oricep ∈ N, ∃ξ ıntre x si α a.ı.
Rn(x) =(x − α)p(x − ξ)n−p+1
n!p· f (n+1)
(ξ) (restul lui Schlomlich-Roche) (5.11)
5.2. Serii de functii 93
Pentru p = 1 se obtine:
Rn(x) =(x − α)p(x − ξ)n
n!p· f (n+1)
(ξ) (restul Cauchy), (5.12)
iar pentru p = n + 1 se obtine:
Rn(x) =(x − α)n+1
(n + 1)!· f (n+1)
(ξ) (restul lui Lagrange). (5.13)
5.42. Observatie: Punctul intermediar ξ depinde atat de α si x cat side n si p. Asadar, ın formula lui Cauchy, punctul ξ este diferit de cel dinformula lui Lagrange.
5.43. Teorema (de reprezentare a functiilor de clasa C∞,prin serii Tay-lor).
Fie f ∈ C∞(I,R) si x0 ∈ (a, b) fixat. Daca ∃ M > 0 cu |f (k)(x)| ≤M ∀k ∈ N si ∀ x ∈ V ∈ V(§′), atunci seria Taylor asociata functiei f ınjurul lui x0 este uniform convergenta pe I si suma sa este f(x) i.e.
f(x) =∑n≥0
f (n)(x0)
n!(x − x0)
n, ∀x ∈ I (5.14)
Demonstratie. Fie x ∈ I arbitrar fixat. Conform 4.41, ∃ ξ ıntre x0 si x
a.ı. Rn(x) =(x − x0)
n+1
(n + 1)!f (n+1) (ξ) .
De aici si din (5.9) rezulta: |f(x) − Tn(x)| = |Rn(x)| =
=
∣∣∣∣(x − x0)n+1
(n + 1)!f (n+1)(ξ)
∣∣∣∣ =|x − x0|n+1
(n + 1)!· |fn+1(ξ)| ≤ (b − a)n+1
(n + 1)!· M ∀ x ∈ I.
Cum seria numerica∑n≥0
(b − a)n+1
(n + 1)!M este convergenta (se aplica, de exemplu,
criteriul raportului), rezulta(b − a)n+1
(n + 1)!M → 0. Atunci f(x) = lim
n→∞Tn(x)
(limita uniforma, caci ||f −Tn|| → 0) i.e. f(x) =∑k≥0
(x − x0)k
k!f (k)(x0) ∀ x ∈
I. Aceasta formula reprezinta dezvoltarea ın serie Taylor, ın jurul lui x0, afunctiei f(x).
5.44. Observatie. Daca, ın 5.43, se ia x0 = 0 se obtine dezvoltarea ınserie Mac Laurin a functiei f(x), i.e.
f(x) =∑n≥0
f(n)(0)
n!xn (5.15)
94 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
5.45. Aplicatii. 1. Fie functia f : R → R, f(x) = ex. Se cere:(a) Sa se dezvolte functia data, ın serie Mac Laurin si sa se stabileasca
multimea de convergenta.
(b) Sa se calculeze1√e
cu trei zecimale exacte.
Rezolvare. (a) Functia f este indefinit derivabila. Astfel avem f (n)(x) =ex ∀n ≥ 0 si apoi f (n)(0) = 1. Inlocuind ın (5.10) se obtine
ex = 1 +x
1!+ ... +
xn
n!+ Rn(x), ∀ x ∈ R
unde Rn(x) =xn+1
(n + 1)!eξ este restul sub forma lui Lagrange, iar ξ este
un punct ıntre 0 si x. Pentru ca |Rn(x)| =|xn+1|
(n + 1)!eξ ≤ |x|n+1
(n + 1)!e|ξ| ≤
|x|n+1
(n + 1)!e|x|, rezulta lim
n→∞Rn(x) = lim
n→∞
|x|n+1
(n + 1)!e|x| = 0. Deci,
ex = 1 +x
1!+ ... +
xn
n!+ ...
(=
∑n≥0
1
n!xn
), ∀ x ∈ R. (5.16)
Multimea de convergenta este (−∞, +∞).
(b) Deoarece1√e
= e−1
2 , se impune calcularea lui e−1
2 din expresia lui
lim ex sub forma de serie. Se vor folosi primii n termeni ai seriei (6.16), unden se determina din conditia ca eroarea Rn(−1/2) sa fie mai mica decat 0,001.Deci, avem:
∣∣∣∣Rn(−1
2)
∣∣∣∣ < 0, 001 ⇔
∣∣∣∣∣∣∣(−1
2)n+1
(n + 1)!
∣∣∣∣∣∣∣ eξ <1
1000, ξ ∈ (−1
2, 0) ⇔ 2n+1(n + 1)! >
> 1000(eξ < 1).
De aici se gaseste ca n = 4 este cel mai mic n pentru care
∣∣∣∣Rn(−1
2)
∣∣∣∣ <
0, 001. Deci
e−1
2 ∼= T4(−1
2) = 1 + (−1
2)1
1!+ (−1
2)2 1
2!+ (−1
2)3 1
3!+ (−1
4)2 1
4!= 0, 606
este verificat.
5.2. Serii de functii 95
2. Sa se dezvolte ın serie Mac Laurin functia f : R → R, f(x) = cosxRezolvare: Deoarece functia f(x) este indefinit derivabila i se poate cal-
cula derivata de orice ordin . Astfel avem f (n)(x) = cos(x + n
π
2
)∀n ≥ 0
(s-a folosit formula sin α = − cos(α +
π
2
). Rezulta
f (n)(0) = cos(n
π
2
), ∀n ≥ 0, i.e. f (n)(0) =
(−1)k, n = 2k0, n = 2k + 1
Deci
cos x = 1 − x2
2!+
x4
4!− ... + (−1)n x2n
(2n)!+ ... (5.17)
Seria este convergenta pentru ∀x ∈ R (are raza de convergenta R = +∞).Analog se obtine
sin x =x
1!− x3
3!+
x5
5!− ... + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ ... (5.18)
Seria este convergenta pentru ∀ x ∈ R (are raza de convergenta R = +∞).3. Sa se dezvolte serie Taylor functia f : (−1, +∞) → R, f(x) =
ln(1 + x) ın jurul punctului a ∈ (−1, +∞) :Rezolvare. Functia este indefinit derivabila pe (−1, +∞). Se obtine suc-
cesiv f(a) = ln (1 + a) , f ′(a) =1
1 + a, f”(a) =
−1
(1 + a)2, . . . , f (n)(a) =
(−1)(n−1) (n − 1)!
(1 + a)n, ...
Seria asociata functiei f(x) = ln(1 + x) ın jurul lui a este
ln(1 + a) +∑n≥1
(−1)n−1 1
n(1 + a)nt(x − a)n
Notand t = x − a, se obtine raza de convergenta
R = limn→∞
∣∣∣∣ an
an+1
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(−1)n−1
n (1 + a)n
(−1)n
(n + 1) (1 + a)n+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1 + a) limn→∞
n + 1
n= 1 + a
Deci,
ln (1 + x) = ln (1 + a) +x − a
1 + a− (x − a)2
2 (1 + a)2 + . . . + (−1)n−1 (x − a)n
n (1 + a)n + . . .
96 Capitolul 5. Siruri si serii de functii
pentru ∀ x ∈ (−1, 1 + 2a).4. Sa se dezvolte ın serie Mac Laurin functia
f : (−1, +∞) → R, f(x) = (1 + x)a, a ∈ R\N
Rezolvare. Functia este indefinit derivabila si avem
f (n)(x) = a(a − 1) . . . (a − n + 1)(1 + x)a−n, ∀ n ∈ N.
Seria asociata functiei data este
1 +a
1!x +
a(a − 1)
2!x2 + . . . +
a(a − 1) − (a − n + 1)
n!xn + . . .
si se numeste seria binominala (pentru a ∈ N se obtine dezvoltarea binomuluilui Newton).
Se gaseste usor raza de convergenta este R = 1 si intervalul de convergenta(- 1,1) pe care avem
(1 + x)a = 1 +a
1!x +
a(a − 1)
2!x2 + . . . +
a(a − 1) . . . (a − n + 1)
n!xn + . . .
5. In Analiza complexa se demonstreaza ca
ez = 1 +1
1!z +
1
2!z2 + . . . +
1
n!zn + . . . ∀ z ∈ C.
Daca luam aici z = ix si z = −ix obtinem
eix = 1+ix
1!+
i2x2
2!+. . .
inxn
n!+. . . =
(1 − x2
2!+
x4
4!− . . .
)+i
(x
1!− x2
3!+ . . .
)
e−ix =
(1 − x2
2!+
x4
4!− . . .
)− i
(x
1!− x2
3!+ . . .
).
Tinand seama de exemplul (5.17) si (5.18) avem:
eix = cos x + i sin xe−ix = cos x − i sin x
De aici rezulta formulele
sin x =eix − e−ix
2i, cos x =
eix + e−ix
2
Aceste formule se numesc formulele lui Euler pentru functiile sin si cos.
Capitolul 6
Functii de mai multe variabilereale
6.1 Definitii si exemple
6.1 Definitie. O functie f : A ⊂ Rn → R,
A 3 (x1, x2, . . . , xn) −→ f(x1, . . . , xn) ∈ R (6.1)
se numeste functie reala de n variabile reale . Uneori ın loc de f(x1, . . . ,xn) se scrie f(x), unde x = (x1, . . . , xn) ∈ A.
Functia f definita mai sus este o functie scalara deoarece valorile salesunt numere reale. Pe lınga functiile scalare, se ıntalnesc si functii ale carorvalori sunt vectori (i.e. elemente din Rp, p ≥ 2). Mai precis sunt functiif : A ⊂ Rn → Rp prin care elementului
A 3 (x1, x2, . . . , xn) −→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fp(x1, . . . , xn)) ∈ Rp (6.2)
O astfel de functie se numeste functie vectoriala de variabila vecto-riala . Functiile fi : A ⊂ Rn → R, i = 1, p sunt functii scalare definite ın(6.1) si se numesc componentele reale ale functiei vectoriale f .
In cele ce urmeaza vom considera, ın general, functii f : A ⊂ R2 → R.
6.2 Limita si continuitatea functiilor de mai
multe variabile
In aceasta sectiune vom particulariza la R2 cele prezentate ın sectiunile1.1.3 si 1.2.3 cu privire la limita si continuitatea functiilor.
97
98 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.2.1 Convergenta sirurilor ın Rn
Se cunoaste ca Rp are o structura de spatiu metric ın raport (de exemplu)cu metrica euclidiana de.
Daca (xn)n este un sir din Rp, atunci termenul general al sirului are formaxn = (x1
n, x2n, ..., xp
n), unde (xin)n, i = 1, p sunt siruri de numere reale si se
numesc componentele sirului (xn)n. Un astfel de sir se va mai nota si subforma (x1
n, x2n, ..., xp
n)n, iar un sir din R2 ıl vom scrie (xn, yn)n.6.2 Propozitie (de caracterizare a sirurilor din Rp). Fie (xn)n, xn =
(x1n, . . . , xp
n) ∀ n ≥ 0, un sir din Rp. Atunci avem:(a) Sirul (xn)n este marginit ın Rpdaca si numai daca sirul (xi
n)n estemarginit ın R, ∀ i = 1, p.
(b) Sirul (xn)n este sir Cauchy ın Rpdaca si numai daca, ∀ i = 1, p, sirul(xi
n)n este sir Cauchy ın R.(c) Sirul (xn)n ∈ CRpdaca si numai daca, ∀ i = 1, p, (xi
n)n ∈ CR, si ınplus
limn
xn = (limn
x1n, ..., lim
nxp
n) (6.3)
Demonstratie: (a) ′′ ⇒′′, Daca sirul (xn)n este marginit ın Rp, atunci∃ r > 0 a.ı. (xn)n ⊂ B(0, r). Deci, d(0, xn) < r ∀ n ≥ 0. Folosind definitia
distantei euclidiene avemp∑
i=1
(xin−0)2 < r2, ∀ n ≥ 0, de unde |xi
n| < r ∀ n ≥ 0.
i.e. (xin)n marginit ∀ i = 1, p.
′′ ⇐′′ . Sirul (xin)n este marginit ∀ i = 1, p. Atunci ∀ i = 1, p ∃ Mi > 0 a.ı.
|xin| ≤ Mi ∀ n ≥ 0. De aici avem:
d(0, xn) =
[p∑
i=1
(xin)2
] 12
≤
(p∑
i=1
M2i
) 12
=notM ∀ n ≥ 0.
Deci sirul (xn)n este marginit.(b) ′′ ⇒′′ . Deoarece (xn)n este sir Cauchy avem ∀ε > 0, ∃ nε ∈ N a.ı.
d(xm, xn) < ε, ∀ m,n ≥ nε. Apoi ∀ i = 1, p rezulta.
d(xim, xi
n) = |xim − xi
n| ≤
(p∑
j=1
(xjm − xj
n)2
) 12
= d(xm, xn).
Rezulta ca pentru ∀ i = 1, p d(xim, xi
n) < ε, ∀ m,n ≥ nε. Deci, pentru∀ i = 1, p sirul (xi
n)n este sir Cauchy.′′ ⇐′′ . Din ipoteza, conform definitiei, pentru ∀ i = 1, p avem:
∀ ε > 0, ∃ niε ∈ N a.ı. d(xi
m, xin) <
ε√
p∀ m,n ≥ ni
ε.
6.2. Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile 99
De aici rezulta: d(xm, xn) =
[p∑
i=1
(xim − xi
n)2
]1
2<
[p∑
i=1
(ε√
p
)2]1
2= ε.
Luand nε = maxi=1,p
(niε), rezulta (xn)n este sir Cauchy.
(c) ′′ ⇒′′ . Pentru ca (xn)n ∈ CRp ∃ a = (a1, . . . , ap) ∈ Rp cu proprietatea:
∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a.ı. d(a, xn) < ε, ∀ n ≥ nε.
Deoarece pentru ∀ i = 1, p, |xin − ai| ≤ d(a, xn) < ε, ∀ n ≥ nε.
Rezulta ca sirul (xin)n este convergent, ∀ i = 1, p.
′′ ⇐′′ . Daca ∀ i = 1, p (xin)n ∈ CR, ∃ ai ∈ R cu proprietatea:
∀ ε > 0, ∃ niε ∈ N a.ı. |xi
n − ai| <ε
p, ∀ n ≥ nε
Notam a = (a1, a2, . . . , ap) si , nε = maxniε, i = 1, p. Avem
d(a, xn) ≤p∑
i=1
|ai − xin| <
p∑i=1
ε
p= ε, ∀ ≥ nε = max
i(ni
ε).
Deci, ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a.ı.d(a, xn) < ε, ∀ n ≥ nε, i.e. sirul (xn)nCR.Pentru ca a = lim
nxn si ai = lim
nxi
n, i = 1, p, din a = (a1, a2, . . . , ap)
obtinem relatia (6.3)
6.3 Exemplu: Consideram sirul (xn)n ⊂ R3, xn =
(n√
n,
(n
n + 1
)n
, 3−n
).
Pentru ca toate componentele lui (xn)n sunt siruri convergente avem xn →(1,
1
e, 0
).
6.2.2 Limita functiilor de mai multe variabile
Fie A ⊂ R2 si f : A → R.6.4 Definitia(cu ε si δ). Spunem ca functia f are limita ın punctul
(a, b) ∈ A′ daca exista λ ∈ R cu proprietatea:
∀ ε > 0, ∃δ0 = δ(ε) > 0 a.ı. (x, y) ∈ Acu |x − a| < δ0 si |y − b| < δ0 ⇒ |f(x, y) − λ| < ε.
(6.4)
In locul relatiilor (6.4) se mai scrie λ = limx→ay→b
f(x, y) sau λ = lim(x,y)→(a,b)
f(x, y).
Aceasta limita se numeste limita (globala a) functiei f(x, y) ın punctul(a, b).
100 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.5 Aplicatie. Folosind definitia, sa se arate ca: lim(x,y)→(−1,3)
(2x+3y) = 7.
Rezolvare. Fie ε > 0 si urmeaza sa gasim pe δ0 = δ(ε), conform Definitiei6.4, vom folosi ultima inegalitate din (6.4, i.e.
|f(x, y) − λ| < ε. (6.5)
Astfel avem succesiv
|f(x, y) − λ| = |2x + 3y − 7| = |2(x + 1) + 3(y − 3)| ≤≤ 2|x − (−1)| + 3|y − 3| < 2δ0 + 3δ0 = 5δ0.
Pentru a avea inegalitatea (6.5) se impune conditia 5δ0 ≤ ε. Deci se poate
lua (de exemplu) δ0 =ε
5. Rezulta, ın baza Definitiei 6.4, care este verificata,
ca lim(x,y)→(−1,3)
(2x + 3y) = 7.
6.6 Definitie. (definitia limitei cu siruri). Spunem ca f are limita λ ∈ Rın punctul (a, b) ∈ A′ daca
∀ (xn, yn)n ⊂ A\(a, b), cu, (xn, yn) → (a, b) ⇒ f(xn, yn) → λ. (6.6)
i.e. λ = limn
f(xn, yn).
6.7 Aplicatie. Folosind Definitia 5.6, sa se calculeze lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2.
Rezolvare. Fie (xn, yn) ∈ R\(0, 0) cu (xn, yn) → (0, 0).∣∣∣∣x3n + y3
n
x2n + y2
n
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣xnx2
n
x2n + y2
n
+ yny2
n
x2n + y2
n
∣∣∣∣ ≤≤ |xn|
x2n
x2n + y2
n
+ |yn|y2
n
x2n + y2
n
≤ |xn| + |yn| → 0
si de aici rezulta ca lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2= 0.
6.8 Observatie: In baza Definitiei 5.6, putem spune ca: functia f nuare limita ın punctul (a, b) ∈ A′ daca ∃, λ1 6= λ2 ∈ R, cu proprietatea ca∃ (x′
n, y′n)n si (x′′
n, y′′n)n ⊂ A′\(a, b) cu (x′
n, y′n) → (a, b) si (x′′
n, y′′n) →
(a, b) a.ı. f(x′n, y′
n) → λ1 si f(x′′n, y
′′n) → λ2.
6.9 Aplicatie. Sa se arate ca functia
f(x, y) =
2x + y
x + 2y, x + 2y 6= 0
0, x + 2y = 0
6.2. Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile 101
nu are limita ın punctul (0, 0) ∈ R2.
Rezolvare: Fie sirurile
(1
n,
1
2n
)n≥1
si
(1
2n,
1
n
)n≥1
. Evident ambele
siruri au limita (0, 0). In continuare, avem:
f
(1
n,
1
2n
)=
2 · 1
n+
1
2n1
n+
1
n
→(4 + 1)
1
22
=5
4⇒ f
(1
n,
1
2n
)→ 5
4= λ1
f
(1
2n,1
n
)=
1
n+
1
n1
2n+ 2 · 1
n
→ 25
2
=4
5⇒ f
(1
2n,1
n
)→ 4
5= λ2
Cum `1 =5
46= 4
5= `2 rezulta ca functia f nu are limita ın punctul (0, 0).
Remarca. Definitiile 5.4 si 5.6 sunt echivalente (vezi 1.31).6.10 Definitie. Fie f : A ⊂ R → R2 si (a, b) ∈ A′. Numerele λ12, λ21 ∈
R definite prin
λ12 = limx→a
limy→b
f(x, y) si λ21 = limy→b
limx→a
f(x, y) (6.7)
se numesc limitele iterate (sau limitele repetate) ale functiei f ın punctul(a, b) .
6.11 Propozitie. Daca exista limita globala si una din limitele iterate,atunci aceste limite sunt egale.
6.12 Consecinte:(a) Daca exista toate cele trei limite, atunci acesteasunt egale ıntre ele.
(b) Daca limitele iterate sunt diferite, atunci limita globala nu exista.(c) Daca exista doar una din limitele λ, λ12, λ21, nu rezulta ca exista si
celelalte doua.
6.13 Aplicatii. 1. Fie f : A → R, f(x, y) =x + y
3x + 2yunde A =
(x, y) ∈ R2|x + 2y 6= 0. Sa se calculeze limitele iterate ale functiei f ınorigine si sa se cerceteze existenta limitei globale ın punctul (0, 0).
Rezolvare: λ12 = limx→0
limy→0
f(x, y) = limx→0
(limy→0
x + y
3x + 2y
)= lim
x→0
x
3x=
1
3,
λ21 = limy→0
limx→0
f(x, y) = limy→0
(limx→0
3x + y
x + 2y
)= lim
y→0
y
2x=
1
2
Deci limitele iterate ale functiei f(x, y) ın punctul (a, b) = (0, 0) existadar sunt diferite (i.e. λ12 6= λ21). Din aceasta cauza, limita globala nu exista.
102 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Pentru partea a doua a exercitiului folosim 5.9. Fie, de aceea, sirurile(1
n,
1
n
)n≥1
si
(2
n,
1
n
)n≥1
care tind catre punctul (0, 0). De aici, rezulta
ca limn→∞
f
(1
n,1
n
)=
2
5si lim
n→∞f
(2
n,1
n
)=
1
4. Deci, limita globala nu exista.
2. Sa se arate ca functia
f(x, y) =
xy
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
are ın punctul (0, 0) limitele iterate egale, dar limita globala nu exista.Rezolvare: lim
x→0limy→0
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = lima→0
0 = 0. Analog se gaseste
ca limy→0
limx→0
f(x, y) = 0. Deci, limitele iterate sunt egale.
Fie sirul (xn, yn = mxn)n,m ∈ R si xn → 0. Deci, (xn, yn) → (0, 0).
Se gaseste ca f(xn, yn) = ... =m
1 + m2, ti rezulta ca lim
n→∞f(xn, yn) =
m
1 + m2
depinde de dreapta y = mx pe care sirul (xn, yn) tinde catre (0, 0). Prinurmare lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) nu exista.
2. Sa se calculeze, daca exista, limita globala si limitele iterate pentrufunctia f : R2 → R unde
f(x, y) =
0, x · y = 0
(x + y) sinπ
xcos
π
y, x · y 6= 0
Rezolvare: Fie a, b ∈ R2 cu a · b = 0. Pentru a = 0 si b 6= 0 se gasette ca
limx→0
limy→b
f(x, y) = limx→0
(limy→b
(x + y) sinπ
xcos
π
y
)= b · cos
π
blimx→0
sinπ
x
Deoarece limx→0
sin πx
nu exista, rezulta ca limx→0
limy→0
f(x, y) nu exista.
Analog se dovedeste ca limy→0
limx→0
f(x, y) nu exista.
Deoarece |f(x, y)| = |x + y|∣∣∣sin π
x
∣∣∣ ∣∣∣∣sin π
y
∣∣∣∣ ≤ |x + y| rezulta ca
lim(x,y)→(0,0)
|f(x, y)| ≤ lim(x,y)→(0,0)
|x + y| = 0. Deci lim(x,y)→(0,0)
|f(x, y)| = 0.
6.14. Observatii.(a) Limitele iterate pot exista sau nu independent unade alta. Atunci cand exista, nu sunt ıntotdeauna egale (vezi aplicatia 1 din5.13).
(b) Se poate ıntampla ca limitele iterate sa fie egale, fara ca limita globalasa existe (vezi aplicatia 2 din 5.13) .
(c) Sunt situatii cand exista limita globala fara ca limitele iterate sa existe(vezi aplicatia 3 din 5.13).
6.2. Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile 103
6.2.3 Continuitatea functiilor de mai multe variabile
Fie A ⊂ R2, f : A → R si (a, b) ∈ A.6.15 Definitie. Spunem ca functia f(x, y) este continua ın punctul (a, b)
dacalim
(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b). (6.8)
Prin analogie cu Definitiile 6.4 si 6.6, avem:6.16 Definitie. Functia f(x, y) este continua ın punctul (a, b) daca este
verificata una din conditiile (vezi 1.32):• Daca (a, b) ∈ A ∩ A′
(1) ∀ε > 0, ∃δ0 = δε(a, b) > 0 a.ı. ∀ (x, y) ∈ A cu
|x − a| < δ0,|y − b| < δ0,
⇒
|f(x, y) − f(a, b)| < ε;(2) ∀(xn, yn)n ⊂ A\(a, b) cu (xn, yn) → (a, b) ⇒ f(xn, yn) → f(a, b).• Daca (a, b) ∈ A\A′ atunci f este continua ın (a, b).6.17 Exercitiu. Fie functia
f(x, y) =
x2y
x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Se cere sa se arate ca f(x, y) este continua pe R2\(0, 0).Rezolvare: Fie (α, β) ∈ R2\(0, 0) si (xn, yn)n a.ı. (xn, yn) → (α, β).Deoarece (α, β) 6= (0, 0) se poate presupune ca ∃ no ∈ N a.ı. (xn, yn) 6=
(0, 0), ∀ n ≥ n0.
Astfel avem: f(xn, yn) =x2
nyn
x4n + y2
→ α2 · βα4 + β2
= f(αβ).
Deci, functia f(x, y) este continua ın orice punct (α, β) ∈ R2\(0, 0).6.18 Definitie. Fie f : A ⊂ R2 → R si (a, b) ∈ A un punct fixat.Daca functia
h1 : pr1A → R, h1(x) = f(x, b) (6.9)
este continua ın punctul a, atunci spunem ca functia f(x, y) este continuapartial ın raport cu variabila x Analog se defineste continuitateapartiala a lui f(x,y) ın raport cu variabila y . Daca functia f(x, y)este continua ın punctul (a, b) spunem uneori, ca este continua ın raport cuansamblul variabilelor sale sau ca este continua total .
Continuitatea totala a functie f(x, y), implica continuitatea partiala. Re-ciproca nu este adevarata, i.e. continuitatea partiala ın raport cu fiecarevariabila, nu implica continuitatea totala. Exercitiul ce urmeaza exemplificaacest lucru.
104 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.19 Exercitiu. Fie functia
f(x, y) =
xy
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Sa se arate ca functia f(x, y) este continua partial ın punctul (0, 0), darnu este continua total.
Rezolvare: Deoarece f(x, 0) = 0 si f(0, y) = 0 avem:
limx→0
f(x, 0) = f(0, 0) = limy→0
f(0, y).
Deci, functia f(x, y) este continua partial ın raport cu fiecare variabila.Fie familia de siruri (xn, λxn)n, λ ∈ R∗ unde xn → 0. Atunci: f(xn,
λxn) = ... =λ
1 + λ2. Deci, lim
nf(xn, λxn) =
λ
1 + λ2. Pentru ca aceasta limita
depinde de parametru λ, rezulta ca lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) nu exista. Prin urmare
f(x, y) nu este continua ın (0, 0).Definitia uniform continuitatii prezentata ın 1.34, aici are forma:6.20 Definitie. Spunem ca functia f(x, y) este uniform continua pe
multimea A daca ∀ε > 0, ∃δ0 = δ(ε) > 0 a.ı. ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ A cu|x1 − y1| < δ0 si |x2 − y2| < δ0 ⇒ |f(x2, y2) − f(x1, y1)| < ε.
Daca f este uniform continua ın raport cu fiecare variabila, nu rezulta caea este uniform continua. Exemplul ce urmeaza arata acest lucru.
6.21 Aplicatie. Sa se arate ca functia f ∈ A → R, A = [−1, 1]× [−2, 3]
f(x, y) =
xy
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
este uniform continua ın raport cu fiecare variabila dar nu este uniform con-tinua.
Rezolvare: Petru ∀ y0 ∈ [−2, 3] arbitrar fixat, functia x → f1(x, y0),definita pe compactul [−1, 1] este continua, deci uniform continua (vezi 1.35).
De asemenea, pentru ∀ x0 ∈ [−1, 1] arbitrar fixat, functia partiala y →f2(x0, y), definita pe compactul [−2, 3] este continua, deci uniform continua.Dar functia f nu este continua ın origine, si deci nu este uniform continua.
6.22 Remarca. Proprietatile functiilor continue prezentate ın 1.35, sepastreaza si pentru functii vectoriale.
6.3 Derivate partiale.
6.3. Derivate partiale. 105
Fie f : A ⊂ R2 → R si (a, b) ∈ A.6.23 Definitie. Spunem ca functia f este derivabila partial ın raport
cu x, ın punctul (a,b), daca limx→a
f(x, b) − f(a, b)
x − aexista si este finita. Vom
nota aceasta limita, cu f ′x(a, b) sau
∂f
∂x(a, b) si o vom numi derivata partiala
de ordinul ıntai a functiei f ın raport cu x, ın punctul (a,b).Deci,
∂f
∂x(a, b) = lim
x→a
f(x, b) − f(a, b)
x − a(6.10)
Spunem ca functia f este derivabila partial ın raport cu y ın punctul
(a, b) daca limy→b
f(a, y) − f(a, b)
y − bexista si este finita. Vom nota aceasta limita,
cu f ′y(a, b) sau
∂f
∂y(a, b) si o vom numi derivata partiala de ordinul ıntai
a functiei f n raport cu y, ın punctul (a,b).Deci,
∂f
∂y(a, b) = lim
y→b
f(a, y) − f(a, b)
y − b(6.11)
Daca functia f este derivabila partial ın raport cu x (respectiv cu y)ın fiecare punct al lui A, spunem ca este derivabila partial ın raport cu x(respectiv cu y), pe A.
6.24 Observatie. Derivata partiala a functiei f , ın raport cu x esteidentica cu derivata functiei reale de o variabila reala h1 definita de (5.9).Analog se poate spune despre derivata partiala a functiei f , ın raport cu y.
In general, avem6.25 Definitie. Functia f : A ⊂ Rn → R este derivabila partial ın
raport cu xi ın punctul z0 = (a1, a2, . . . , an) ∈ A daca
limxi→ai
f(a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an) − f(a1, ..., ai−1, ai, ai+1, ..., an)
xi − ai
exista si este finita. Aceasta limita se noteaza:
f ′xi
(a1, ..., an) sau∂f
∂xi
(a1, ...an).
Deci,∂f
∂xi
(a1, ...an) =
= limxi→ai
f(a1, ..., ai−1, xi, ai+1, ..., an) − f(a1, ..., ai−1, ai, ai+1, ..., an)
xi − ai
. (6.12)
106 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Daca f admite derivate partiale ın raport cu fiecare dintre variabilele
sale ın z0, vectorul derivatelor partiale
(∂f
∂x1
(z0) , ...,∂f
∂xn
(z0)
)se numeste
gradientul functiei f ın punctul z0 si se noteaza ∇f(z0) sau gradzof si seciteste nabla de f ın z0 sau gradient lui f ın z0. Deci
∇f(z0) =
(∂f
∂x1
(z0) , ...,∂f
∂xn
(z0)
)(6.13)
Functia vectoriala f : Rn → Rp, f(x) = (f1(x), . . . , fp(x)), x = (x1, . . . xp)este derivabila ın raport cu xi, i = 1, n daca fj(x) este derivabila partial ınraport cu xi, ∀ j = 1, p. Pentru functia vectoriala f, se defineste matricea
Jacobi Jf =
(∂fi
∂xj
)i = 1, nj = 1, p
, si daca n = p se defineste iacobianul lui
f, notat |Jf | sauD (f1...fn)
D (x1...xn), ca fiind determinantul matricei Jf . Deci
det(Jf ) =D (f1...fn)
D (x1...xn). (6.14)
6.26 Observatie: 1. Din definitie rezulta ca atunci cand calculamderivata partiala ın raport cu x (respectiv cu y), variabila y(respectiv x)este considerata constanta; i.e. derivam ca si cum am avea o singura vari-abila. Observatia ramane valabila si pentru functii reale cu mai mult de douavariabile.
2. Regulile de derivare partiala sunt aceleasi ca pentru derivarea functiilorde o variabila reala.
3. Gradientul lui f se mai numeste si derivata (globala) a functiei f sise poate scrie
f ′(x) =
(∂f
∂x1
(x) , ...,∂f
∂xn
(x)
), (6.15)
iar jacobiana functii vectoriale f : Rn→Rp, reprezinta derivata (globala) a sa.
Decif ′(x) = Jf (x) (6.16)
6.27 Aplicatie. Sa se calculeze derivatele partiale, aplicand definitia,pentru urmatoarele functii, ın punctul indicat.
1. f : R2 → R, f(x, y) = sin(xy), (a, b) =(π
2, 1
);
2. f : A → R, f(x, y) =√
xy, A = (x, y) ∈ R2|xy > 0, (a, b) = (1, 2);3. f : R2\(0, y)|y ∈ R → R, f(x, y) = ey/x, (a, b) = (−1, 2);4. f : R3 → R, f(x, y, z) =
√x2 + y2 + z2, (a, b, c) = (−1, 0, 3).
6.3. Derivate partiale. 107
Rezolvare: 1. Calculam∂f
∂x
(π
2, 1
)= lim
x→π
2
f (x, 1) − f(π
2, 1
)x − π
2
=
= lim
x→π
2
sin x − sinπ
2
x − π
2
= lim
x→π
2
2 sinx − π
22
· cosx +
π
22
x − π
2
= 0
∂f
∂y
(π
2, 1
)= lim
y→1
f(π
2, y
)− f
(π
2, 1
)y − 1
= limy→1
sinπ
2y − sin
π
2y − 1
=
= limy→1
2 sinπ
4(y − 1) · cos
π
4(y + 1)
y − 1= 0.
2.∂f
∂x(1, 2) = lim
x→1
f (x, 2) − f (1, 2)
x − 1= lim
x→1
√2x −
√2
x − 1= lim
x→1
√2√
x + 1=
√2
2
∂f
∂y(1, 2) = lim
y→2
f (1, y) − f (1, 2)
y − 2= lim
y→2
√y −
√2
y − 2= lim
y→2
1√
y +√
2=
√2
4.
3.∂f
∂x(−1, 2) = lim
x→−1
f (x, 2) − f (−1, 2)
x + 1= lim
x→−1
e2/x − e−2
x + 1=
= limt→−1
e2t − e−2
1/t + 1= lim
t→−1
(t · e−2 e2(t+1) − 1
t + 1
)=
−2
e2
∂f
∂y(−1, 2) = lim
y→2
f (−1, y) − f (−1, 2)
y − 2= lim
y→2
e−y − e−2
y − 2=
= limy→2
(−e−y ey−2 − 1
y − 2
)=
1
e2.
4.∂f
∂x(−1, 0, 3) = lim
x→−1
f (x, 0, 3) − f (−1, 0, 3)
x + 1= lim
x→−1
√x2 + 9 −
√10
x + 1=
= limx→−1
x2 − 1
(x + 1)(√
x2 + 9 +√
10) =
−√
10
10
∂f
∂y(−1, 0, 3) = lim
y→0
f (−1, y, 3) − (−1, 0, 3)
y − 0= lim
y→0
√y2 + 10 −
√10
y= 0
∂f
∂z(−1, 0, 3) = lim
z→3
f (−1, 0, z) − f (−1, 0, 3)
z − 3= lim
z→3
√z2 + 1 −
√10
z − 3=
= limz→3
z2 − 9
(z − 3)(√
z2 + 1 +√
10) =
3√
10
10.
108 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.28. Definitie: Fie f : A ⊂ R2 → R derivabila partial ın raport cux, respectiv cu y, pe A. Daca derivatele partiale de ordinul ıntai, f ′
x(x, y) sif ′
y(x, y) definite pe A, sunt la rındul lor derivabile partial ın raport cu x siy, derivatele lor partiale se numesc derivate partiale de ordinul doi alelui f, si se noteaza:
∂2f
∂x2:=
∂
∂x
(∂f
∂x
)(= f ′′
x2(x, y)) ;∂2f
∂y∂x:=
∂
∂y
(∂f
∂x
) (= f ′′
yx
)∂2f
∂x∂y:=
∂
∂x
(∂f
∂y
) (= f ′′
xy
);
∂2f
∂y2:=
∂
∂y
(∂f
∂y
) (= f ′′
y2
)6.29. Aplicatii. 1. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul unu si
doi pentru functia f : R2 → R, f(x, y) = ln(1 + x2 + y2).
Rezolvare:∂f
∂x(x, y) =
∂
∂x(1 + x2 + y2)
1 + x2 + y2=
2x
1 + x2 + y2;
∂f
∂y(x, y) =
∂
∂y(1 + x2 + y2)
1 + x2 + y2=
2y
1 + x2 + y2.
∂2f
∂x2(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂x(x, y)
)=
∂
∂x
(2x
1 + x2 + y2
)=
=
∂
∂x(2x) · (1 + x2 + y2) − 2x · ∂
∂x(1 + x2 + y2)
(1 + x2 + y2)2=
=2(1 + x2 + y2) − 2x · 2x
(1 + x2 + y2)2=
2 − 2x2 + 2y2
(1 + x2 + y2)2=
2(1 − x2 + y2)
(1 + x2 + y2)2.
∂2f
∂y2(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂y
(2y
1 + x2 + y2
)=
=2(1 + x2 + y2) − 2y · 2y
(1 + x2 + y2)2=
2(1 + x2 − y2)
(1 + x2 + y2)2.
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂x
(2y
1 + x2 + y2
)=
= 2y · ∂
∂x
(1
1 + x2 + y2
)= 2y ·
− ∂
∂x(1 + x2 + y2)
(1 + x2 + y2)2
= − 4xy
(1 + x2 + y2)2.
Derivatele∂2f
∂x∂ysi
∂2f
∂y∂xse numesc derivate partiale mixte de or-
dinul doi ale functiei f .Daca derivatele partiale de ordinul doi ale functiei admit mai departe
derivate partiale ın raport cu x si y se pot defini derivate partiale de
6.3. Derivate partiale. 109
ordin trei :
∂3f
∂x3=
∂
∂x
(∂2f
∂x2
);
∂3f
∂y3=
∂
∂y
(∂2f
∂y2
)si derivatele mixte de ordin trei:
∂3f
∂x2∂y=
∂
∂x
(∂2f
∂x∂y
);
∂3f
∂x∂y2=
∂
∂x
(∂2f
∂y2
)si analog celelalte.
2. Pentru functia f : R2 → R, f(x, y) = x3y − x2y2, sa se calculeze:∂2f
∂x∂y;
∂2f
∂y∂x;
∂3f
∂x3;
∂3f
∂x∂y2.
Rezolvare:∂f
∂x(x, y) = 3x2y − 2xy2;
∂f
∂y= x3 − 2x2y
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂x(x3 − 2x2y) = 3x2 − 4xy
∂2f
∂y∂x(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂x(x, y)
)=
∂
∂y(3x2y − 2xy2) = 3x2 − 4xy
∂2f
∂x2(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂x(x, y)
)=
∂
∂x(3x2y − 2xy2) = 6xy − 2y2
∂3f
∂x3(x, y) =
∂
∂x
(∂2f
∂x2(x, y)
)=
∂
∂x(6xy − 2y2) = 6y
∂2f
∂y2(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂y(x3 − 2x2y) = −2x2
∂3f
∂x∂y2(x, y) =
∂
∂x
(∂2f
∂y2(x, y)
)=
∂
∂x(−2x2) = −4x
3. Calculati iacobiana functiei f : R2 → R3, f(x, y) = (2x3+y+2z,−1+3z − 2yz + z2, 3x2y − 5y2z + 2xz2).
6.30 Definitie: Functia f se zice de clasa Cr pe A ⊂ R2 (si notamf ∈ Cr(A)) daca, pe A, functia f este continua si derivatele sale partiale deordin 0 ≤ k ≤ r exista si sunt continue.
Daca f ∈ C0(A), functia f este continua pe A.Daca f ∈ C∞(A) spunem ca functia f este indefinit derivabila .
In aceste exemple se observa∂2f
∂x∂y=
∂2f
∂y∂x. Aceste derivate partiale
mixte de ordinul al doilea nu sunt egale ıntotdeauna.
110 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.31. Criteriul lui Schwarz. Fie (a, b) ∈ A, AdesR2. Daca f ∈C2(V ), V ∈ V(a, b), atunci
∂2f
∂x∂y(z0) =
∂2f
∂y∂x(z0), ∀z0 ∈ V. (6.17)
Aratati ca functia
f(x, y) =
xy(x2 − y2)
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
nu verifica criteriul lui Schwarz.
6.4 Diferentiabilitatea functiilor de mai multe
variabile
Fie A ∈ desRn, z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ A si z0 = (a1, a2, . . . , an) ∈ A.Notam:
Ez0(A) = ϕ : A → R| limz→z0
ϕ(z) = 0, A = A\z0 (6.18)
6.32. Definitie. Spunem ca functia f : A → R este diferentiabila ınpunctul z0 daca ∃Tz0 ∈ L(Rn, R), a.ı.
limz→z0
f(z) − f(z0) − Tz0(z − z0)
||z − z0||= 0, (6.19)
unde || · || este norma euclidiana din Rn. Expresia Tz0(z − z0) se numestediferentiala (tare sau Frechet) a functiei f ın punctul z0, iar aplicatialiniara Tz0 se numeste derivata (tare sau Frechet) a functiei f ın punctulz0 si se noteaza, ın general, prin dfz0 sau df(z)(z0; z − z0).
6.33 Lema. Functia f este diferentiabila ın punctul z0 daca si numaidaca ∃Tz0 ∈ L(Rn, R), si ∃ϕ ∈ Ez0(A) a.ı. pentru ∀ z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ Aavem
f(z) = f(z0) + Tz0(z − z0) + ||z − z0|| · ϕ(z) (6.20)
Demonstratie:(exercitiu)Functia f este diferentiabila pe multimea A daca este diferentiabila ın
oricare z ∈ A. Daca f ∈ C1(A), se mai spune ca functia f este continuudiferentiabila pe A.
6.4. Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile 111
6.34 Lema. Cu notatiile de mai sus avem ca, daca functia f estediferentiabila ın punctul z0 atunci aplicatia R liniara Tz0 este unic deter-minata prin relatia (6.20).
Demonstratie:(exercitiu)6.35 Lema. 1)∀ T ∈ L(Rn, R), ∃λi ∈ R a.ı
T (z) =n∑
i=1
λizi (6.21)
2) Orice aplicatie liniara T este diferentiabila si ın plus avem
d T (z)(z0; z − z0) = T (z − z0) (6.22)
Demonstratie: 1) In spatiul vectorial Rn/R) consideram baza B = e1, e2,
. . . , en. Atunci pentru ca ∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn se scrie x =n∑
i=1
xiei,
notam λi = T (ei) si rezulta relatia (6.21).2)Rezulta din faptul ca orice aplicatie liniara T verifica relatia
T (z) = T (z0) + T (z − z0) (6.23)
De aici rezulta ca diferentiala unei aplicatii liniare nu depinde de punctulın care se calculeaza.
Folosim relatia (6.21) ın relatia (6.20) si avem6.36 Cosecinta.Functia f este diferentiabila ın punctul z0 daca si numai
daca ∃λi ∈ R, ∃ϕ ∈ Ez0(A) a.ı. pentru ∀ z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ A avem
f(z) = f(z0) +n∑
i=1
λi(zi − ai) + ||z − z0|| · ϕ(z) (6.24)
6.37 Propozitie. Daca functia f : A → R este diferentiabila ın z0,atunci ea este continua ın z0.
Demonstratie: Functia f fiind diferentiabila ın z0, avem relatia (6.18).Trecand la limita cu z → z0 ın aceasta relatie, se obtine lim
z→z0
f(z) = f(z0)
ceea ce ınseamna ca functia f este continua ın z0.6.38 Propozitie. Functia f : A → R este diferentiabila ın z0 daca si
numai daca este derivabila partial ın raport cu fiecare variabila.Demonstratie: Pentru i arbitrar fixat, luam ın relatia (6.24) z = (a1, . . .
. . . , ai−1, zi, ai+1, . . . an) si obtinem:
f(a1, ..., ai−1, zi, ai+1, ..., an) − f(a1, ..., ai−1, ai, ai+1, ..., an)
zi − ai
=
= λi +|zi − ai|zi − ai
ϕ(a1, ..., ai−1, zi, ai+1, ..., an)
112 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
si pentru calim
zi→ai
ϕ(a1, ..., ai−1, zi, ai+1, ..., an) = 0
rezulta:
limzi→ai
f(a1, ..., ai−1, zi, ai+1, ..., an) − f(a1, ..., ai−1, ai, ai+1, ..., an)
zi − ai
= λi
Deoarece λi ∈ R, i = 1, n rezulta ca f este derivabila partial ın raport cufiecare variabila.
Presupunem acum, ca6.39 Observatie. 1). Din Propozitia 6.38 rezulta ca, pentru coeficientii
λi, i = 1, n ai relatiei (6.24) avem
λi =∂f
∂zi
(z0). (6.25)
Astfel relatia (6.24) devine
f(z) = f(z0) +n∑
i=1
∂f
∂zi
(z0)(zi − ai) + ||z − z0|| · ϕ(z) (6.26)
si avem pentru diferentiala functiei f relatia
df(z)(z0; z − z0) =n∑
i=1
∂f
∂zi
(z0)(zi − ai) (6.27)
2). Daca acceptam prin definitie ca ,,functia f(x1, x2, . . . , xn), f : A ∈desRn → R, este derivabila (global) daca este derivabila partial ın raport cufiecare variabila”, atunci Propozitia 6.38 se poate enunta si astfel: ,,Functiaf este diferentiabila daca si numai daca este derivabila (global)”.
6.40 Lema. Cu notatiile de mai sus avem
dzi(z0; z − z0) = zi − ai, i = 1, n (6.28)
Demonstratie: Deoarece ∀i = 1, n, zi = pri(z) si din faptul ca pri esteaplicatie liniara, avem dzi(z0; z − z0) = dpri(z)(z0; z − z0) = pri(z − z0) =zi − ai.
6.41 Observatii.1) Relatia (6.28) se poate scrie si sub forma
dzi(z − z0) = zi − ai, i = 1, n.
Cu alte cuvinte avem ca dzi : Rn → R, dzi = pri, i = 1, n. Argumentulacestei functii este numit crestere a variabilei z de la z0.
6.4. Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile 113
2) Componenta zi a lui z = (z1, z2, . . . , zn) nu este constanta. Ea este lafel de variabila ca si z.
3) Daca z = (x, y) si z0 = (a, b), atunci
dx((x, y) − (a, b)) = x − a dy((x, y) − (a, b)) = y − b (6.29)
4) Folosind relatia (6.28) ın formula (6.27) obtinem
df(z)(z0; z − z0) =n∑
i=1
∂f
∂zi
(z0) · dzi(z0; z − z0), ∀ z ∈ Rn. (6.30)
Deoarece z este arbitrar avem:
df(z)(z0; ∗) =n∑
i=1
∂f
∂zi
(z0) · dzi(z0; ∗), ∀ z ∈ Rn. (6.31)
Cum z0 a fost arbitrar fixat, formula de mai sus devine
df(z) =n∑
i=1
∂f
∂zi
(z) · dzi (6.32)
si ea este diferentiala functiei f care depinde de z.Daca notam dz =t (dz1, dz2, . . . , dzn) si tinem seama de relatia (6.15),
gasim ca (6.32) se mai scrie sub forma
df(z) = f ′(z)dz (6.33)
Diferentiala df(z) a functiei f este un vector ın R− spatiu vectorialL(Rn, R), ın care B = dzi(= pri) | i = 1, n este o baza. Relatia (6.32),arata ca ın aceasta baza, expresia vectoriala a diferentialei este
df(z) =
(∂f
∂z1
(z) , ...,∂f
∂zn
(z)
)dz(= f ′(z)dz). (6.34)
unde dz = (dz1, ..., dzn). Relatia (6.34) motiveaza, ıntr-un fel, denumirea dederivata (globala) pentru diferentiala unei functii. Este bine sa se observe carelatiile (6.33) si (6.34) nu sunt ın contradictie.
Pentru n = 1, formula (6.32) se scrie
df(x) = f ′(x)dx (6.35)
6.42 Aplicatie. Fie f(x) = lnx, f : (0,∞) → R. Sa se calculeze df(x)ın punctul x0 = 3, de 4. Folosim relatia (6.33), si avemdf(x)(3; 4) = f ′(3)dx(3; 4) = 1
3.4 = 4
3.
114 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.43 Observatii. 1). Pentru ca ϕ ∈ Ez0(A) putem scrie:
f(z) − f(z0) ≈n∑
i=1
∂f
∂zi
(z0) · (zi − ai) (6.36)
Diferenta zi−ai se numeste cresterea variabilei i, iar diferenta f(z)−f(z0) se numeste cresterea functiei f corespunzatoare cresterilor zi −ai, i = 1, n. Cresterea functiei f ın raport cu cresterile zi−ai, i = 1, n), con-form cu (6.36), poate fi aproximata prin diferentiala functiei f , ın punctul z0.Deci diferentiala functiei f , ın punctul z0, reprezinta partea liniara a cresteriifunctiei f corespunzatoare punctului z0. Cu alte cuvinte, diferentiala df(z0),a functiei f ın z0, este o functie liniara de modificarile zi − ai. Relatia (6.36)se poate scrie si sub forma f(z) − f(z0) ≈ df(z)(z0; z − z0).
2). Este bine sa se faca deosebire ıntre df(z)−difentiala functiei f (z esteargumentul lui f), df(z) : A → L(Rn,R)
A 3 z0 → df(z)(z0; ∗) ∈ L(Rn,R)
definita prin relatia (6.32) si aplicatia df(z)(z0; ∗) : Rn → R,
Rn 3 h → df(z)(z0; h) ∈ R),
definita prin relatia (6.31) si care este diferentiala (de ordinul ıntai a )functiei f, ın punctul z0.
Expresia df(z)(z0; h), z0 ∈ A, h ∈ Rn), se citeste ,, diferentiala lui f ınpunctul z0, de h”. Argumentul h al aplicatiei liniare df(z)(z0; ∗), reprezintacresterea arbitrara z − z0, a lui z0(h = z − z0), iar hi reprezinta crestereazi − ai, corespunzatoare lui ai (i.e. hi = zi − ai).
Daca interpretam ın mod formal) pe ∂f ca un produs simbolic ıntre ∂ sif, ın membrul drept al relatiei (6.32) se poate da factor comun f (tot formal),ın membrul drept, si obtinem
df(z) =
(n∑
i=1
∂
∂zi
dzi
)f(z) (6.37)
Relatia (6.37) permite sa punem ın evidenta operatoruld : Difer(A,R) → F(A,L(Rn,R)),
d∗ =n∑
i=1
∂∗∂zi
dzi (6.38)
numit operator diferentiala , unde Difer(A,R) = f : A → R | fdiferen-tiabila peA. Acest operator permite calcularea diferentialelor de ordin su-perior.
6.4. Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile 115
6.44 Definitie. Fie k ≥ 2, k ∈ N. Spunem ca functia f : A → R, A ∈desRn, este diferentiabila de k ori ın punctul z0 ∈ A, daca toatederivatele partiale de ordin k − 1 ale lui f exista pe V unde, V ∈ V(z0) sisunt diferentiabile ın z0.
Functia f este diferentiabila de k ori pe A daca este diferentiabila de kori ın ∀ z ∈ A.
Daca f este diferentiabila de k ori ın z0, atunci toate derivatele partiale deordin k exista ın z0, iar ordinea de derivare ın z0, pana la ordinul k inclusiv,nu conteaza.
Diferentiala de ordinul k se defineste recurent prin relatia:
dkf(z) = d(dk−1f(z)). (6.39)
Din aceasta ultima relatie si (6.37) avem ca :(a) diferentiala de ordinul k, a functiei f , ıntr-un punct arbitrar este
dkf(z) =
(n∑
i=1
∂
∂zi
dzi
)(k)
f(z); (6.40)
(b) diferentiala de ordinul k, a functiei f, ın punctul z0 este
dkf(z)(z0; ∗) =
(n∑
i=1
∂∗∂zi
dzi
)(k)
· f(z0); (6.41)
(c) valoarea diferentialei de ordinul k, a functiei f, ın z0, pentru o cresterearbitrara este
dkf(z)(z0; z − z0) =
(n∑
i=1
∂∗∂zi
· (zi − ai)
)(k)
f(z0). (6.42)
In cele de mai sus, exponentul (k) arata ca se dezvolta suma din paranteza,ın mod formal dupa regula binomului lui Newton si apoi se ınmultestetot formal cu f, folosind conventia(
∂
∂zi
)(j)
=∂j
∂zji
si∂
∂zi
· ∂
∂zj
=∂2
∂zi∂zj
, i, j = 1, n (6.43)
Pentru k = 2 ın (6.41), se obtine diferentiala de ordinul doi a unei functiif : A ∈ desRn → R de clasa C2 pe A, ın z0 ∈ A,
d2f(z) =n∑
i,j=1
∂2f
∂zi∂zj
(z)dzidzj. (6.44)
116 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Aceasta este o functionala patratica, a carei matrice
H(z) =
(∂2f(z)
∂zi∂zj
)i,j=1,n
(6.45)
se numeste matricea hessiana a functiei f.
Petru n = 3, H(z) =
∂2f
∂z21
(z)∂2f
∂z∂1 z2
(z)∂2f
∂z1∂z3
(z)
∂2f
∂z2∂z1
(z)∂2f
∂z22
(z)∂2f
∂z2∂z3
(z)
∂2f
∂z3∂z1
(z)∂2f
∂z3∂z2
(z)∂2f
∂z23
(z)
,
unde z = (z1, z2, z3) ∈ A si derivatele mixte sunt egale.6.45 Aplicatie. Sa se calculeze hessiana pentru functia f : R3 →
R, f(x, y, z) = x3yz2 − 3xyz + 2yz − x − 6y − 7z.Rezolvare. Se observa ca prima linie a hesianei se obtine prin derivarea
gradientului lui f ın raport cu x. Analog pentru linia a doua se deriveaza ınraport cu y si pentru linia a treia se deriveaza ın raport cu z
Astfel gasim mai ıntai f ′(z) =
(∂f
∂x(x, y, z) ,
∂f
∂y(x, y, z) ,
∂f
∂z(x, y, z)
)=
(3x2yz2 − 3yz − 1, x3z2 − 3xz − 6, 2x3yz − 3xy − 7) si apoi
Hf (x, y, z) =
6xyz2 3x2z2 − 3z 6x2yz − 3y3x2z2 − 3z 0 2x3z − 3x6x2yz − 3y 2x3z − 3x 2x3y
.
6.46 Observatii: 1. In cele ce urmeaza, consideram ca nu mai estenecesar sa mentionam ın notatia diferentialei si argumentul functiei. Deci ınloc df(z)(z0; z − z0) vom utiliza notatia df(z0)(z − z0), notatie justificata deObservatia 6.43 2). Am preferat acele notatii deoarece le-am considerat maisugestive.
2. Adesea, conform traditiei, ın loc de df(z0)(z − z0) se scrie df(z0)(si uneori df(z0)(z)). De exemplu, pentru z0 = (a, b) si z = (x, y), ın locde df(a, b)((x, y) − (a, b))(= df(a, b)(x − a, y − b)), se scrie df(a, b). Astfelnotatia df(a, b) apare ın doua ipostaze. Pe de o parte df(a, b) este functia cereprezinta diferentiala functiei f, ın punctul (a, b) si ın acest caz, ın expresialui df(a, b) se gaseste dx si dy, adica avem formula
df(a, b) =∂f
∂x(a, b) dx +
∂f
∂y(a, b)dy (6.46)
Pe de alta parte df(a, b) este valoarea diferentialei functiei f, ın (a, b), aplicatacresterii arbitrare (u, v) = (x, y)− (a, b). In acest caz ın expresia lui df(a, b),
6.4. Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile 117
ın locul lui dx si dy, apare u = x − a si respectiv v = y − b, adica
df(a, b)(u, v) =∂f
∂x(a, b)(dx)(u, v) +
∂f
∂y(a, b)dy(u, v) =
=∂f
∂x(a, b)u +
∂f
∂y(a, b)v, (6.47)
sau
df(a, b)((x, y) − (a, b)) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b). (6.48)
Prin urmare, deosebirea este evidenta, caci ın primul caz df(a, b) este o funtieia carei expresie este o combinatie liniara de functiile dx si dy, iar ın al doileacaz df(a, b) este valoarea functiei-numita diferentiala lui f, ın (a, b) - calculataın punctul (x, y)− (a, b), care va fi o combinatie liniara de x− a si y − b(veziObservatia 6.43,2)).
3. Functia f : I ∈ desR → R este diferentiabila ın a ∈ I daca si numaidaca exista ϕ ∈ Ea(I) a.ı.:
f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) + (x − a)ϕ(x), ∀ x ∈ I . (6.49)
Aceasta formula, reprezinta formula lui Taylor de ordinul ıntai.3. Notiunile de derivabilitate si diferentiabilitate sunt echivalente.4. Regulile de derivare se pastreaza si pentru diferentiale:
d(u + v) = du + dvd(αu) = αdud(uv) = vdu + udv
du
v=
vdu − udv
v2
(6.50)
unde u si v sunt functii derivabile.Pentru calculul diferentialei unei functii diferentiabile se poate folosi for-
mula (6.35) sau regulile (6.50) urmate de formula (6.35).
Aplicatie. Fie f : (−∞, 1) ∪ (1, +∞) → R, f(x) =x + 1
x − 1.
Din formula (6.35) avem:
df(x) = dx + 1
x − 1=
(x + 1
x − 1
)′
dx = ... =−2
(x − 1)2dx.
Urmand regulile de diferentiere (6.50) avem:
df(x) = dx + 1
x − 1=
(x − 1) · d(x + 1) − (x + 1) · d(x − 1)
(x − 1)2=
−2
(x − 1)2dx.
118 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
5. Deoarece diferentiala functiei f : I → R este o aplicatie liniara, grafi-cul sau este o dreapta ce trece prin originea sistemului hOz, z = df(a)(h).Ecuatia dreptei fiind z = f ′(a) · h, ea are coeficientul unghiular egal cuf ′(a), deci paralela cu tangenta la graficul functiei y = f(x) (ın punctulM0(a, f(a))) din figura de mai jos.
Relatia de aproximatie (6.36), aici are forma:
f(a + h) − f(a) ≈ dfa(h), a + h ∈ I
Aceasta egalitate aproximativa, exprima faptul ca segmentele PN si MNsunt aproximativ egale.
6.47 Exemplu. Pentru functia f : R2 → R, f(x, y) = x2−y2−3xy(x+y)sa se calculeze diferentiala de ordinul ıntai si doi, ın punctul (1,2) cat sivalorile lor pentru cresteri arbitrare.
Rezolvare . Mai ıntai calculam:∂f
∂x(x, y) = 2x − 6xy − 3y2;
∂f
∂y(x, y) = −2y − 3x2 − 6xy
∂2f
∂x2(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂x(x, y)
)=
∂
∂x
(2x − 6xy − 3y2
)= 2 − 6y
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂x
(−2y − 3x2 − 6xy
)= −6x − 6y
∂2f
∂y2(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂y
(−2y − 3x2 − 6xy
)= −2 − 6x
• Diferentiala de ordinul ıntai ın punctul curent este :
df(x, y) =∂f(x, y)
∂xdx +
∂f(x, y)
∂ydy
(sau, df =
∂f
∂xdx +
∂f
∂ydy
)i.e. df(x, y) = (2x−6xy−3y2)dx+(−2y−3x2−6xy)dy, iar ın punctul (1,2)
df(1, 2) = (2x−6xy−3y2
∣∣∣∣x=1y=2
dx+(−2y−3x2−6xy
∣∣∣∣x=1y=2
dy = −22dx−19dy
• Diferentiala de ordinul ıntai ın punctul (1,2), de (x, y) − (1, 2) estedf(1, 2)((x, y) − (1, 2)) = −22(dx)((x, y) − (1, 2)) − 19(dy)((x, y) − (1, 2)) =−22(x − 1) − 19(y − 2)
6.5. Interpretare economica a derivatelor partiale 119
• Diferentiala de ordinul doi, ın punctul curent:
d2f =
(∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)(2)
·f =
[(∂
∂x
)2
dx2 + 2∂
∂x· ∂
∂ydx dy +
(∂
∂y
)2
dy2
]·f.
Conventional avem:
(∂
∂x
)2
=∂2
∂x2si
∂
∂x· ∂
∂y=
∂2
∂x∂y. Deci:
d2f =
(∂2
∂x2dx2 + 2
∂2
∂x∂ydx dy +
∂2
∂y2dy2
)·f =
∂2f
∂x2dx2+2
∂2f
∂x∂ydx dy+
∂2f
∂y2dy2
• Diferentiala de ordinul doi, ın punctul (1, 2) este:
d2f(1, 2) =∂2f
∂x2(1, 2) · dx2 + 2
∂2f
∂x∂y(1, 2) · dx · dy +
∂2f
∂y2(1, 2)dy2 =
= (2 − 6y)
∣∣∣∣x=1y=2
dx2 + 2(−6x − 6y)
∣∣∣∣x=1y=2
dxdy + (−2 − 6x)
∣∣∣∣x=1y=2
dy2 =
= −10dx2 − 36dxdy − 14dy2,
iar valoarea diferentialei de ordinul doi ın (1,2) pentru o crestere arbitraraeste
d2f(1, 2)(x, y) = −10 · ((dx) ((x, y) − (1, 2)))2 − 36 · dx)((x, y) − (1, 2))··(dy)((x, y) − (1, 2)) − 14 · ((dy) ((x, y) − (1, 2)))2 = −10(x − 1)2−−36(x − 1)(y − 2) − 14(y − 2)2
6.5 Interpretare economica
a derivatelor partiale
Fie A ∈ desR si f : A → R o functie care admite derivate partiale de
ordin ıntai∂f
∂xi
, i = 1, n.
Derivata partiala∂f
∂xj
arata variatia functiei f la o crestere foarte mica
∆xj a variabilei xi, cand toate celelalte variabile raman constante. Aceastaderivata partiala se numeste valoare marginala sau viteza de variatiea lui f ın raport cu variabila xi.
6.48 Exemplu. Fie (Xi)i=1,n n marfuri ce se vand la preturile (pi)i=1,n ,
pe o piata externa unde consumatorii au gusturi si venituri date. In aceasta
120 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
situatie, cantitatea Yi din marfa Xi ceruta pe piata, este functie de preturiletuturor marfurilor considerate mai sus, i.e.
Yi = fi(p1, p2, . . . , pn), i = 1, n
Presupunem ca aceasta functie este derivabila partial ın raport cu toatevariabilele sale.
Derivata partiala∂fi
∂pi
arata viteza cu care scade cererea (se considera
cazul cererii normale) pentru marfa Xi, cand pretul creste (ın acest caz∂fi
∂pi
<
0).
Derivata partiala∂fj
∂pk
reprezinta viteza de variatie a cererii pentru marfa
Xj cand pretul pk (al marfii Xk) creste. Analog se interpreteaza derivata
partiala∂fk
∂pj
. Daca∂fj
∂pk
> 0 si∂fk
∂pj
> 0, cererea pentru una dintre marfurile
Xj si Xk creste odata cu pretul celeilalte marfi. In acest caz se spune ca
marfurile Xj si Xk sunt concurente. Daca∂fj
∂pk
< 0 si∂fk
∂pj
< 0, cererea pentru
una din marfuri si pretul celeilalte marfi au directii de variatie inverse. Inacest caz, se spune ca marfurile sunt complementare.
Daca functia f este o functie de productie, iar variabilele x1, . . . , xn sunt
factorii utilizati, atunci derivata partiala∂f
∂xi
masoara eficienta utilizarii
unei unitati suplimentare din factorul xi, cand toti ceilalti factori raman
neschimbati. In acest caz∂f
∂xi
se numeste randamentul marginal core-
spunzator factorului xi.
6.6 Derivatele si diferentialele functiilor com-
puse
Fie A ∈ desR si B ∈ desR2. Consideram functiile u : A → B1 ⊆ R,v : A → B2 ⊂ R a.ı. B1 × B2 ⊆ B si ϕ : B → R.
6.6. Derivatele si diferentialele functiilor compuse 121
6.49 Teorema. Daca u, v ∈ C1(A) si ϕ ∈ C1(B,R) atunci functia F (x) =ϕ(u(x), v(x)) ∈ C1(A,R) si
F ′(x) =∂ϕ
∂uu′(x) +
∂ϕ
∂vv′(x). (6.51)
Demonstratie. Fie x0 ∈ A arbitrar fixat si notam u(x0) = a si v(x0) = b.Deoarece ϕ ∈ C1(B,R), rezulta ca ϕ este diferentiabila pe B si deci si ın(a, b) ∈ B. Deci, ∃ω ∈ ε(a,b)(B) a.ı.
ϕ(u, v) − ϕ(a, b) =∂ϕ
∂u(a, b)(u − a) +
∂ϕ
∂v(a, b)(v − b) − ||(u, v) − (a, b)|| ·
ω(u, v) ∀(u, v) ∈ BPrin urmare:
F (x) − F (x0)
x − x0
=ϕ(u(x), v(x)) − ϕ(a, b)
x − x0
=∂ϕ
∂u(a, b) · u(x) − u(x0)
x − x0
+
+∂ϕ
∂v(a, b) · v(x) − v(x0)
x − x0
+||(u, v) − (a, b)||
x − x0
· ω(u, v).
Trecand la limita cand x → x0 (si deci u → a si v → b) avem:
limx→x0
F (x) − F (x0)
x − x0
=∂ϕ
∂u(a, b) · u′(x0) +
∂φ
∂v(a, b) · v′(x0)+
+√
u′(x0) + v′(x0) · limx→x0
ω(u(x), v(x))
de unde obtinem:
F ′(x0) =∂ϕ
∂u(u(x0), v(x0)) · u′(x0) +
∂ϕ
∂v(u(x0), v(x0)) · v′(x0)
si pentru ca x0 a fost arbitrar fixat avem ca:
F ′(x) =∂ϕ
∂u(u(x), v(x))u′(x) +
∂ϕ
∂v(u(x), v(x))v′(x), ∀) x ∈ A.
6.50 Observatie: 1. Intr-o alta formulare Teorema 6.49 se enunta astfel:
122 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Daca functiile u(x) si v(x) sunt diferentiabile pe A, iar functia ϕ(u, v) estediferentiabila pe B, atunci functia F (x) = ϕ(u(x), v(x)) este diferentiabilape A si avem relatia:
df =
(∂ϕ
∂u(u(x), v(x))u′(x) +
∂ϕ
∂v(u(x), v(x))v′(x)
)dx. (6.51′)
Aceasta relatie rezulta din (6.51), tinand seama de faptul ca dF (x) =F ′(x) · dx
2. Formula (??) se mai scrie:
F ′(x) =∂ϕ
∂u(u, v) · du
dx+
∂ϕ
∂v(u, v) · dv
dx(6.51′′)
Deoarece functia F ′ se obtine prin operatii elementare cu functii continue(u, v, ϕ ∈ C1), rezulta ca functia F ′ ∈ C0 si deci F ∈ C1.
Pentru ca dF (x) = F ′(x)dx, rezulta ca
dF (x) =
(∂ϕ
∂u(u, v)u′(x) +
∂ϕ
∂v(u, v)v′(x)
)dx. (6.51′′′)
6.51 Exemplu. Sa se calculeze diferentiala functiei:
F : R → R, F (x) = ϕ(1 + x2, sinx)
Rezolvare. Notam u(x) = 1 + x2 si v(x) = sinx. Inlocuind ın formula(6.51′) obtinem:
dF (x) =
(2x · ∂ϕ
∂u(u, v) + (cos x)
∂ϕ
∂v(u, v)
)dx.
Fie acum A,B ∈ DesR2. Consideram functiile u : A → B1 ⊂ R siv : A → B2 ⊂ R a.ı. B1 × B2 ⊆ B si functia ϕ : B → R.
6.52 Teorema. Daca u, v ∈ C1(A) si ϕ ∈ C1(B) atunci functia F (x, y) =ϕ(u(x, y), v(x, y)) ∈ C1(A,R) si
∂F
∂x=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂x+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂x
∂F
∂y=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂y+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂y
(6.52)
6.6. Derivatele si diferentialele functiilor compuse 123
Demonstratie. Deoarece pentru calcularea lui∂F
∂x(= F ′
x) variabila y este
considerata constanta, functiile u(x, y), v(x, y) si F (x, y) au ca variabila doarpe x. Conform Teoremei 6.49, avem:
F ′x =
∂ϕ
∂u· u′
x +∂ϕ
∂v· v′
x
Analog
F ′y =
∂ϕ
∂u· u′
y +∂ϕ
∂v· v′
y.
De aici rezulta formulele (??) si ca F ′x si F ′
y exista si sunt continue, i.e.F ∈ C1.
6.53 Observatie. Teorema 6.52 se poate enunta si astfel:Daca functiile u(x, y) si v(x, y) sunt diferentiabile pe A iar functia ϕ(u, v)
este diferentiabila pe B, atunci functia compusa F (x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y))este diferentiabila pe B si ın plus avem:
dF =
(∂ϕ
∂u· ∂u
∂x+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂x
)dx +
(∂ϕ
∂u· ∂u
∂y+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂y
)dy.
6.54 Exemplu. Sa se calculeze diferentiala functiei F : R2 → R, F (x, y) =ϕ(3x2 + 2y2, 2x − y).
Rezolvare: Diferentiala functiei F (x, y) este
dF (x, y) =∂F
∂x(x, y) · dx +
∂F
∂y(x, y) · dy.
Daca notam u(x, y) = 3x2 + 2y2 si v(x, y) = 2x − y obtinem:
∂F
∂x=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂x+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂x=
∂ϕ
∂u· 6x∂ϕ
∂v· 2., si
∂F
∂y=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂y+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂y=
∂ϕ
∂u· 4y +
∂ϕ
∂v· (−1).
Deci,
dF (x, y) =
(6x
∂ϕ
∂u(x, y) + 2
∂ϕ
∂v(x, y)
)dx +
(4y
∂ϕ
∂u(x, y) − ∂ϕ
∂v(x, y)
)dy.
6.55 Observatie. Deoarece functia F depinde de x prin intermediulvariabilelor u si v ale functiei ϕ, pentru a retine formula (6.51) este utilaschema:
124 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Analog pentru formula (6.52), folosim schema (aici F depinde de x si y):
6.56 Aplicatii. 1. Sa se scrie derivatele partiale ale functiilor(a) F (x, y, z) = ϕ(u(x, y, z), v(x, y, z));(b) F (x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y), w(x, y)). (F si ϕ sunt definite astfel ıncat
sa se poata face compunerea si sa admita derivate partiale), indicand defiecare data cate o schema ajutatoare (asa ca mai sus).
Rezolvare:(a)
∂F
∂x=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂x+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂x
∂F
∂y=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂y+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂y
∂F
∂z=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂z+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂z
(b)
∂F
∂x=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂x+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂x+
∂ϕ
∂w· ∂w
∂x
∂F
∂y=
∂ϕ
∂u· ∂u
∂y+
∂ϕ
∂v· ∂v
∂y+
∂ϕ
∂w· ∂w
∂y
6.6. Derivatele si diferentialele functiilor compuse 125
2. Fie A ⊂ Rn, un con (i.e. ∀ t ∈ R∗ si ∀ x ∈ A, tx∈ A).Spunem ca functia f : A → R este omegena de grad r r ∈ R, dacaf(tx1, tx2, . . . , txn) = trf(x1, x2, . . . , xn) ∀ t ∈ R∗ si ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ A.Sa se arate ca daca A ⊂ Rn este un con deschis (A ∈ DesRn) si f : A → Reste diferentiabila si omogena de grad r, atunci avem relatia:
x1∂f
∂x1
(x1, ..., xn)+x2∂f
∂x2
(x1, ..., xn)+ ...+xn∂f
∂xn
(x1, ..., xn) = rf(x1, . . . , xn)
(6.53)(numita formula lui Euler pentru functii omogene).
Rezolvare. Pentru functia g(t, x1, . . . , xn) = f(u1(t, x1, . . . , xn), . . . ,un(t, x1, . . . , xn)) unde ui : R∗ × A → A, ui(t, x1, . . . , xn) = txi, i = 1, n
si g : R∗ × A → R avem∂g
∂t=
∂f
∂u1
· ∂u1
∂t+ .. +
∂f
∂un
· ∂un
∂t= x1
∂f
∂u1
+
... + xn∂f
∂un
. Derivand ın raport cu t relatia ce defineste functia omogena, se
gaseste x1∂f
∂u1
+ ...+xn∂f
∂un
= rtr−1f(x1, . . . , xn) ∀ t ∈ R∗ si ∀ (x1, . . . , xn) ∈A. Pentru t = 1 se gaseste relatia (6.53).
6.57 Remarca. Diferentiabilitatea se conserva la compunerea functiilor.Existenta derivatelor partiale poate sa nu fie conservata prin compunereafunctiilor. De exemplu, functiile u, v : R2 → R+, u(x, y) = v(x, y) = x2 + y2
si ϕ : R2 → R+, ϕ(x, y) =
0, (x, y) = (0, 0)
xy
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0) au derivate partiale,
dar functia f : R2 → R, f(x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y)) nu are derivate partiale
ın (0, 0). Intr-adevar se gaseste f(x, y) =
0, (x, y) = (0, 0)1
2, (x, y) 6= (0, 0)
. Pentru ca
raportulf(x, 0) − f(0, 0)
x − 0=
1
2− 0
x − 0=
1
2xnu are limita cand x → 0, rezulta
ca f ′x nu exista. Analog se gaseste ca f ′
y nu exista.Daca functia ϕ(x, y) ar fi diferentiabila ın (0, 0), atunci f(x, y) (care este
compunerea lui ϕ cu functia diferentiabila g(x, y) = (u(x, y), v(x, y))) ar fidiferentiabila si deci ar avea derivate partiale. Deci ın lipsa diferentiabilitatii,nu este asigurata conservarea derivatelor partiale, prin compunere.
126 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
6.7 Formula lui Taylor pentru functii de mai
multe variabile
Fie (a, b) ∈ A ∈ desR2 si f ∈ Cn(A). Pentru ∀ (x, y) ∈ A considerampolinomul de doua variabile de gradul n
Tn(x, y) = f(a, b) +df(a, b)
1!+
d2f(a, b)
2!+ ... +
dnf(a, b)
n!(6.54)
unde dkf(a, b)((x, y)−(a, b))((x, y)−(a, b))...((x, y)−(a, b)) = dkf(a, b)((x, y)−(a, b))k, am notat-o simplificat prin dkf(a, b).
6.58 Definitie. Polinomul Tn(x, y) definit pe A se numeste polinomulTaylor de gradul n atasat functiei f(x, y) ın punctul (a, b).
Daca, pentru ∀ (x, y) ∈ A, notam
Rn(x, y) = f(x, y) − Tn(x, y)
atuncif(x, y) = Tn(x, y) + Rn(x, y) (6.55)
i.e.
f(x, y) = f(a, b)+df(a, b)
1!+...+
dnf(a, b)
n!+Rn(x, y), (∀)(x, y) ∈ A (6.55′)
Egalitatea (6.55’) se numeste formula lui Taylor de ordinul n, core-spunzatoare functiei f(x, y) ın punctul (a, b).
Functia Rn(x, y) definita pe A se numeste restul de ordinul n al for-mulei lui Taylor .
Polinomul Taylor Tn(x, y) aproximeaza functia f(x, y) cu eroarea Rn(x, y).In legatura cu restul Rn(x, y) prezentam fara demonstratie rezultatul:6.59 Teorema. Daca f(x, y) este de n + 1 ori diferentiabila pe V ∈
V(a, b), atunci pentru ∀ (x, y) ∈ V, ∃(ξ, η) ∈ V, aflat pe segmentul careuneste punctele (a, b) si (x, y) a.ı. avem:
Rn(x, y) =1
(n + 1)!dn+1∗ f(ξ, η) (6.56)
Cu aceasta, formula lui Taylor de ordinul n corespunzatoare lui f(x, y) ınpunctul (a, b), se va scrie
f(x, y) = f(a, b) +df(a, b)
1!+ ... +
dnf(a, b)
n!+
dn+1f(ξ, η)
(n + 1)!(6.57)
6.7. Formula lui Taylor pentru functii de mai multe variabile 127
6.60 Observatii. 1. Pentru n = 0 ın formula (6.56), obtinem formulalui Lagrange (sau formula cresterilor finite) i.e.
f(x, y) − f(a, b) = (x − a)∂f
∂x(ξ, η) + (y − b)
∂f
∂y(ξ, η) (6.58)
2. Se poate arata ca ∃ϕ ∈ E(a,b)(A), astfel ıncat
Rn(x, y) =ρn(x, y)
n!ϕ(x, y) (6.59)
undeρ(x, y) = ||(x, y) − (a, b) ‖ =
√(x − a)2 + (y − b)2
6.61 Aplicatii. 1. Sa se scrie formula lui Taylor de ordinul trei atasatafunctiei f : R × (−1, +∞) → R, f(x, y) = e2x ln(1 + y) ın punctul (0,0).
Rezolvare. Functia f(x, y) este de trei ori diferentiabila ın punctul (0,0).Deci se poate calcula df(0, 0); d2f(0,0) si d3f(0, 0).
df(0, 0) =∂f
∂x(0, 0) (x − 0) +
∂f
∂y(0, 0)(y − 0)
∂f
∂x(0, 0) = 2e2x ln(1 + y)
∣∣∣∣x=0y=0
= 2 ln 1 = 0
∂f
∂y(0, 0) = e2x 1
1 + y
∣∣∣∣x=0y=0
= e0 · 1
1 + 0= 1
Deci, df(0, 0) = 0 · x + 1 · y = y.
d2f(0, 0) =∂2f
∂x2(0, 0)(x− 0)2 + 2
∂2f
∂x∂y(0, 0)(x− 0)(y− 0) +
∂2f
∂y2(0, 0)(y− 0)2
∂2f
∂x2(0, 0) =
∂
∂x
(∂f
∂x(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
= 4e2x ln(1 + y)
∣∣∣∣x=0y=0
= 0
∂2f
∂x∂y(0, 0) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
=∂
∂x
(e2x · 1
1 + y
) ∣∣∣∣x=0y=0
= 2e2x 1
1 + y
∣∣∣∣x=0y=0
= 2
∂2f
∂y2(0, 0) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
=∂
∂y
(e2x · 1
1 + y
) ∣∣∣∣x=0y=0
= − e2x
(1 + y)2
∣∣∣∣x=0y=0
= −1
Deci d2f(0, 0) = 4xy − y2
d3f(0, 0) =∂3f
∂x3(0, 0)(x − 0)3 + 3
∂3f
∂x2∂y(0, 0)(x − 0)2(y − 0)+
+3∂3f
∂x∂y2(0, 0)(x − 0)(y − 0)2 +
∂3f
∂y3(0, 0)(y − 0)3
128 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
∂3f
∂x3(0, 0) =
∂
∂x
(∂2f
∂x2(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
=∂
∂x
(4e2x ln(1 + y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
= 8e2x ln(1+y)
∣∣∣∣x=0y=0
= 0
∂3f
∂x2∂y(0, 0) =
∂
∂x
(∂2f
∂x∂y(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
=∂
∂x
(2e2x 1
1 + y
) ∣∣∣∣x=0y=0
= 4`2x 1
1 + y
∣∣∣∣x=0y=0
= 4
∂3f
∂x∂y2(0, 0) =
∂
∂x
(∂2f
∂y2(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
=∂
∂x
(− e2x
(1 + y)2
) ∣∣∣∣x=0y=0
= − 2e2x
(1 + y)2
∣∣∣∣x=0y=0
= −2
∂3f
∂y3(0, 0) =
∂
∂y
(∂2f
∂y2(x, y)
) ∣∣∣∣x=0y=0
=∂
∂y
(− e2x
(1 + y)2
) ∣∣∣∣x=0y=0
=2e2x
(1 + y)3
∣∣∣∣x=0y=0
= 2
Deci, d3f(0, 0) = 3 · 4 · x2y + 3(−2)xy2 + 2y3 = 12x2y − 6xy2 + 2y3.Prin urmare,
f(x, y) = f(0, 0) +df(0, 0)
1!+
d2f(0, 0)
2!+
d3f(0, 0)
3!+ R3(x, y) =
= 0 +1
1!y +
1
2!(4xy − y2) +
1
3!(12x2y − 6xy2 + 2y3) + R3(x, y) =
= y +1
2(4xy − y2) +
1
3(y3 − 3xy2 + 6x2y) + R3(x, y).
2. Sa se deduca o valoare aproximativa pentru 1, 11,2 folosind polinomullui Taylor de gardul trei atasat functiei f : (0,∞)×R → R, f(x, y) = xy ınpunctul (1,1).
Rezolvare.
T3(x, y) = f(1, 1) +df(1, 1)
1!+
d2f(1, 1)
2!+
d3f(1, 1)
3!
f(1, 1) = 1;∂f
∂x(1, 1) = yxy−1
∣∣∣∣x=1y=1
= 1;
∂f
∂y(1, 1) = xy ln x
∣∣∣∣x=1y=1
= 0;∂2f
∂x∂y(1, 1) = 1;
∂3f
∂x2∂y(1, 1) = 1
Celelalte derivate sunt nule ın punctul (1,1). De aici avemdf(1, 1) = 1 · (x − 1) + 0 · (y − 1) = (x − 1)d2f(1, 1) = 0 · (x−1)2 +2 ·1 · (x−1)(y−1)+0 · (y−1)2 = 2(x−1)(y−1)d3f(1, 1) = 0·(x−1)3+3·1·(x−1)2(y−1)+3·0·(x−1)(y−1)2+0·(y−1)3 =
3(x − 1)2(y − 1)Deci,
T3(x, y) = 1 +(x − 1)
1!+
2(x − 1)(y − 1)
2!+
3(x − 1)2(y − 1)
3!=
= 1 + x − 1 + (x − 1) · (y − 1) +1
2(x − 1)2 · (y − 1) =
= x + (x − 1) · (y − 1) +1
2(x − 1)2 · (y − 1)
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 129
Prin urmare,
1, 11,2 ≈ T3(1, 1; 1, 2) = 1, 1 + (1, 1 − 1)(1, 2 − 1) +1
2(1, 1 − 1)2(1, 2 − 1) =
= 1, 1 + 0, 1 · 0, 2 +1
2(o, 1)2(0, 2) = 1, 1 + 0, 02 +
1
2· 1
100· 2
10=
=112
100+
1
1000=
1121
1000= 1, 121.
3. Pentru functia F (x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y, z)) cu f(u, v) = u2 −3uv, u(x, y, z) = 2x2 − xy + z2 si v(x, y, z) = −x2 + 3y2 + 2z2, sa se calculezederivatele partiale de ordinul ıntai si doi.
6.8 Extremele functiilor de mai multe vari-
abile
6.8.1 Extreme libere
Fie f : A ⊂ R2 → R6.62 Definitie. Un punct (a, b) ∈ A se numeste punct de maxim local
(respectiv minim local) al functiei f(x, y), daca exista V ∈ V(a, b) astfelıncat f(x, y) ≤ f(a, b) (respectiv f(x, y) ≥ f(a, b)), oricare (x, y) ∈ V ∩ A,iar numarul f(a, b) se numeste maximul local (respectiv minimul local)al functiei f.
Daca, ın definitia de mai sus, inegalitatile mentionate sunt adevaratepentru orice (x, y) ∈ A, atunci cuvantul local se ınlocuieste prin cuvantulglobal.
Punctele de maxim (local sau global) si de minim (local sau global) senumesc puncte de extrem ale functiei f, iar maximele si minimele (localesau globale) se numesc extremele (locale sau globale) ale functiei f.
6.63 Definitie. Fie functia f diferentiabila pe A ∈ DesR2. Orice solutie(a,b) ∈ A a sistemului
∂f
∂x(x, y) = 0,
∂f
∂y(x, y) = 0,
(6.60)
se numeste punct stationar sau punct critic al functiei f , iar numarulf(a, b) se numeste valoarea critica a lui f .
6.64 Propozitie. Daca functia f este diferentiabila pe A ∈ desR2,atunci orice punct de extrem (a, b) ∈ A, al lui f, este punct critic al lui f .
130 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Demonstratie. Fie A1 = x ∈ R|(x, b) ∈ A si functia ϕ : A1 →R, ϕ(x) = f(x, b) ∀ x ∈ A1.
Deoarece (a,b) este punct de extrem al functiei f(x, y), rezulta ca x = aeste punct de extrem pentru functia ϕ(x). Deci
0 = φ′(a) = limx→a
φ(x) − φ(a)
x − a= lim
x→a
f(x, b) − f(a, b)
x − a=
∂f
∂x(a, b)
Analog se arata ca∂f
∂y(a, b) = 0 (i.e. se considera A2 = y ∈ R|(a, y) ∈
A si ψ(y) = f(a, y), ∀ y ∈ A2 s.a.m.d.)Conform definitiei 5.61, punctul (a,b) este punct critic (stationar) pentru
functia f.6.65 Observatii: 1. Punctul (a, b) ∈ A este punct de extrem local
pentru f(x, y) daca si numai daca ∃V ∈ V(a, b) astfel ıncat diferenta f(x, y)−f(a, b) pastreaza semn constant pe V.
2. Nu orice punct critic al unei functii diferentiabile este si punct deextrem.
Intr-adevar, fie f : R2 → R, f(x, y) = x3y3. Evident ca punctul (0,0) estepunct critic pentru functia f, dar nu este punct de extrem deoarece nu putemavea f(0, 0) ≤ f(x, y) (pentru minim) sau f(0, 0) ≥ f(x, y) (pentru maxim)pe nici una din vecinatatile lui (0,0). Altfel spus, diferenta f(x, y) − f(0, 0)nu pastreaza semn constant ın vecinatatea originii.
3. Propozitia 6.64 este o extindere a teoremei lui Fermat la functiile dedoua variabile.
Punctele stationare (critice) ale functiei f(x, y) care nu sunt puncte deextrem, se numesc puncte sa ale lui f(x, y).
Intr-un sistem de axe Oxyz, M(a, b, c) este punct de minim (fig. 1), demaxim (fig. 2) si punct sa (fig. 3):
4. Daca f ∈ C0(A), A un compact din R2, atunci f ısi atinge marginileın puncte din A. Daca aceste puncte apartin lui IntA si f ∈ C1(A), atunciın mod necesar ele sunt puncte critice. Daca ele nu apartin lui IntA, atunciapartin multimii ∂A si acestea nu mai sunt, cu necesitate, printre punctelecritice.
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 131
Pentru a preciza care dintre punctele stationare ale unei functii suntpuncte de extrem, precum si pentru a stabili natura acestora (maxim sauminim) avem
6.66 Teorema(de caracterizare a punctelor de extrem local): Fie A ∈desRn, f ∈ C2(A), z0 = (a1, . . . , an) un punct stationar al lui f si functionalapatratica
q(h) =n∑
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(z0)hihj, h = (h1, . . . , hn) ∈ R2 (6.61)
(1) Daca functionala patratica q este negativ (respectiv pozitiv) definita,atunci z0 este punct de maxim (respectiv minim) local ;
(2) Daca functionala patratica q este nedefinita, atunci z0 nu este punctde extrem al functiei f .
Demonstratie. Pentru ambele parti ale teoremei utilizam formula lui Tay-lor de ordinul doi aplicata lui f ın punctul z0.
f(x) = f(z0) + df(z0) +1
2d2f(z0) + R2(x), ∀ x ∈ A
Tinand seama de formula (6.61) si de faptul ca a este punct stationaravem:
f(x) − f(z0) =1
2
n∑i,j=1
∂2f
∂xi∂j
(z0)(xi − ai)(xj − aj) +1
2φ(x)ρ2(x)
unde ϕ ∈ Ez0(A).
Notam acum σi =xi − ai
ρ, i = 1, n si obtinem
f(x) − f(z0) =1
2
[n∑
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(z0)σiσj + φ(x)
]ρ2(x)
Rezulta
f(x) − f(z0) =1
2[q(σ) + φ(x)] ρ2(x) (6.62)
Se observa can∑
i=1
σ2i = 1 si notam B =
t = (t1, ..., tn) ∈ Rn|
n∑i=1
t2i = 1
.
Functionala q fiind continua ısi atinge marginile pe multimea compactaB. Fie λ = inf
Bq si µ = sup
Bq.
(1) Din ipoteza si din continuitatea lui q avem, λ 6= 0 6= µ. Deci
λ + ϕ(x) ≤ q(σ) + ϕ(x) ≤ µ + ϕ(x), ∀σ ∈ B si ∀ x ∈ A (6.63)
132 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Daca functionala patratica q este negativ definita, atunci µ < 0 si pentruca lim
x→aφ(x) = 0, rezulta ca exista V ∈ V(z0) a.ı. µ + ϕ(x) ≤ 0 ∀ x ∈ V.
De aici, si din (6.62) si (6.63) avem ca exista V ∈ V(z0) a.ı. f(x)−f(a) ≤0, ∀ x ∈ V, adica z0 este punct de maxim local.
Daca functionala patratica q este pozitiv definita, atunci λ > 0 si pentruca lim
x→aφ(x) = 0, rezulta ca exista U ∈ V(a) a.ı. f(x) − f(z0) ≥ 0,∀ x ∈ U,
adica z0 este punct de minim local.
(2). Daca functionala patratica q este nedefinita, atunci ∃)σ′, σ′′ ∈ B a.ı.q(σ′) > 0 si q(σ′′) < 0. Astfel diferenta f(x) − f(z0), care are acelasi semncu q ın orice vecinatate a lui z0 ia atat valori ¿ 0 cat si valori ¡ 0. Rezulta caa nu este punct de extrem, i.e. este un punct sa.
6.67 Observatii. 1. Daca functionala patratica q este semidefinita (i.e.∆k ≥ 0, ∀ k = 1, n) functia f poate avea extrem sau nu. Pentru a puteadecide asupra naturii punctelor stationare ın acest caz se studiaza semnuldiferentei f(x) − f(z0) folosind o dezvoltare Taylor de ordin superior, ınjurul lui a (daca functia permite acest lucru), ordinul fiind cel mai mic kpentru care dkf 6= 0.
2. Fie ∆k, k = 1, n minorii principali ai matricei asociate lui q (i.e. ai
hisianei lui f) H(x) =
(∂f
∂xi∂xj
(x)
)i,j=1,n
si ∆∗k = (−1)k∆k. Tinand seama
de Teorema 6.66 si de Criteriul lui Sylvester avem urmatoarea
Consecinta.1). Daca ∆k > 0, ∀ k = 1, n, atunci (a, b) este punct deminim local pentru functia f ;
2). Daca ∆∗k > 0, ∀ k = 1, n, atunci (a, b) este punct de maxim local
pentru functia f .
Din cele de mai sus rezulta urmatorul procedeu de determinare a punctelorde extrem:
Pasul 1. Se calculeaza derivatele partiale∂f
∂xi
(x), i = 1, n ale functie f.
Pasul 2. Se determina punctele critice ale functiei f rezolvand sistemul∂f
∂xi
(x) = 0, i = 1, n.
Pasul 3. Se calculeaza hesiana H(x) =
(∂2f
∂xi∂xj
(x)
)i,j=1,n
.
Pasul 4. Pentru fiecare punct critic a, se calculeaza H(a) si conform cu5.65. 2, se stabileste natura lui a.
In cazul n = 2, pasul 4 se prezinta etapizat astfel:
• Daca ∆2 > 0
[∆2 =
∂2f
∂x2(a, b) · ∂2f
∂y2(a, b) − ∂2f
∂x∂y(a, b)
]atunci (a,b)
este punctul de extrem local al functiei f(x, y), si anume:
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 133
- punct de minim daca ∆1 > 0 (∆1 =∂2f
∂x2(a, b));
- punct maxim daca ∆1 < 0.• Daca ∆2 < 0, atunci (a,b) nu este punct extrem local, si este punct sa.• Daca ∆2 = 0, (este nevoie de investigatii suplimentare) tinandu-se
seama de Observatia 6.67, 1.6.68 Exemple. 1. Sa se gaseasca extremele locale ale functiei
f : R2 → R, f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x + 12y.
Rezolvare: Pasul 1.∂f
∂x(x, y) = 3x2 + 3y2 − 15 si
∂f
∂y(x, y) = 6xy + 12
Pasul 2.
∂f
∂x(x, y) = 0,
∂f
∂y(x, y) = 0,
⇔
3x2 + 3y2 = 15,6xy = −12,
⇔
x2 + y2 = 5,xy = −2,
⇒ (x, y) ∈ (−2, 1), (2,−1), (−1, 2), (1,−2) (= multimea punctelor critice).Pasul 3. Tinand seama de pasul 1 avem:
H(x, y) =
∂2f
∂x2(x, y)
∂2f
∂x∂y(x, y)
∂2f
∂x∂y(x, y)
∂2f
∂y2(x, y)
=
(6x 6y6y 6x
)= 6
(x yy x
)
Pasul 4. Situatia 1. (a, b) = (−2, 1)
H(−2, 1) = 6
(−2 11 −2
); ∆1 = | − 2| = −2; ∆2 =
∣∣∣∣ −2 11 −2
∣∣∣∣ = 3
Deoarece ∆2 > 0 si ∆1 < 0, avem ∆∗1 = (−1)1∆1 = (−1)(−2) = 2; ∆∗
2 =(−1)2∆2 = 1 · 3 = 3. Rezulta ca punctul critic (-2,1) este punct de maximlocal
fmax = f(−2, 1) = (−2)3+3(−2)·12−15((−2)+12·1 = −8−6+30+12 = 28
Situatia 2. (a, b) = (2,−1)
H(2,−1) = 6
(2 −1−1 2
); ∆1 = |2| = 2, ∆2 =
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = 3
Deoarece ∆2 > 0 si ∆1 > 0, rezulta ca (2,−1) este punct de minim localsi
fmin = f(2,−1) = 23 +3 · 2 · (−1)2 − 15 · 2+12(−1) = 8+6− 30− 12 = −28.
Situatia 3. (a, b) = (−1, 2)
H(−1, 2) = 6
(−1 22 −1
); ∆1 = | − 1| = −1, ∆2 =
∣∣∣∣ −1 22 −1
∣∣∣∣ = −3
134 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Deoarece ∆2 < 0, (−1, 2) este punct sa.
Situatia 4. (a, b) = (1,−2)
H(1,−2) = 6
(1 −2−2 1
); ∆1 = |1| = 1, ∆2 =
∣∣∣∣ 1 −2−2 1
∣∣∣∣ = −3
Deoarece ∆2 < 0, (1,−2) este punct sa. Functia nu are puncte de extremglobal.
2. Sa se determine extremele functiei f : R3 → R, f(x, y, z) = x2 + y2 +z2 − xy + x − 2z.
Rezolvare.
Pasul 1.∂f
∂x(x, y, z) = 2x−y+1,
∂f
∂y(x, y, z) = 2y−x,
∂f
∂z(x, y, z) = 2z−2.
Pasul 2.
∂f
∂x(x, y, z) = 0
∂f
∂y(x, y, z) = 0
∂f
∂z(x, y, z) = 0
⇔
2x − y + 1 = 02y − x = 02z − 2 = 0
⇒
x = −2
3
y = −1
3z = 1
Deci a =
(−2
3, −1
3, 1
)este punctul stationar al functiei f.
Pasul 3. Se calculeaza derivatele partiale de ordinul doi ın a :
∂2f
∂x2= 2;
∂2f
∂x∂y= −1;
∂2f
∂x∂z= 0;
∂2f
∂y2= 2;
∂2f
∂y∂z= 0;
∂2f
∂z2= 2.
De unde: H(x, y, z) =
∂2f
∂x2(x, y, z)
∂2f
∂x∂y(x, y, z)
∂2f
∂x∂z(x, y, z)
∂2f
∂y∂x(x, y, z)
∂2f
∂y2(x, y, z)
∂2f
∂y∂z(x, y, z)
∂2f
∂z∂x(x, y, z)
∂2f
∂z∂y(x, y, z)
∂2f
∂z2(x, y, z)
=
=
2 −1 0−1 2 00 0 2
Pasul 4. Hesiana ın punctul critic a =
(−2
3, −1
3, 1
).
H
(−2
3, −1
3, 1
)=
2 −1 0−1 2 00 0 2
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 135
si de aici minorii principali: ∆1 = |2|; ∆2
∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = 3;
∆3 =
∣∣∣∣∣∣2 −1 0−1 2 00 0 2
∣∣∣∣∣∣ = 6.
Pentru ca ∆i > 0, i = 1, 3 rezulta ca a =
(−2
3, −1
3, 1
)este punct
de minim local si fmin = f
(−2
3, −1
3, 1
)=
(−2
3
)2
+
(−1
3
)2
+ 12 −(−2
3
)(−1
3
)+
(−2
3
)− 2 · 1 = −4
32. Un agent economic achizitioneaza un produs al carui pret (ın mii lei)
este descris de functia
f(x, y) = 5x + 2y + xy +200
xy, x > 0, y > o.
Exista un pret minim (maxim) al produsului? In caz ca da, sa se deter-mine beneficiul agentului comercial din distribuirea a 100 produse, stiind cabeneficiul pe produs este 25% din pretul de vanzare.
Rezolvare: Etapa 1˚. Se rezolva sistemul:∂f
∂x(x, y) = 0,
∂f
∂y(x, y) = 0,
⇒
5 + y − 200
x2y= 0,
2 + x − 200
xy2= 0,
⇒
5x = 2y,2x2y + x2y2 − 200 = 0,
⇒
5x4 + 2x3 − 32 = 0,
y =5
2x,
⇒
(x − 2) (x3 + 4x2 + 8x + 16) = 0,
y =5
2x,
⇒
x − 2 = 0,
y =5
2x,
sau
x3 + 4x2 + 8x + 16 = 0,
y =5
2x,
Primul sistem are solutia x=2 si y=5 iar cel de al doilea nu are solutii poz-itive. Deci, a=(2,5) este sigurul punct stationar al functiei f(x,y) (conformcontextului).
Etapa 2. Se calculeaza hesiana lui f(x, y) si rezulta
H(x, y) =
400
x3y1 +
200
x2y2
1 +200
x2y2
400
xy3
Etapa 3˚. Se studiaza natura lui a = (2, 5) cu ajutorul hessianei. Inlocuind
se gaseste: H(2, 5) =
(10 33 8/5
)si apoi minorii principali ∆1=10 si
136 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
∆2 =
∣∣∣∣ 10 33 8/5
∣∣∣∣ = 7. Pentru ca ∆i > 0, i = 1, 2 rezulta ca a = (2, 5)
este punct de minim local. Corespunzator se gaseste fmin = f(2, 5) = 50 miilei.
Cum functia f(x, y) are doar un punct de extrem (si acela este punct deminim local), rezulta ca functia f(x, y) nu are maxim.
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 137
6.8.2 Extreme cu legaturi (conditionate)
Fie A ⊂ Rn, f, gi : A → R, i = 1, k si M = x ∈ A | gi(x) = 0, i = 1, k6.69 Definitie. Spunem ca functia f(x) are ıntr-un punct a ∈ M ⊂ A
un extrem relativ la multimea M (sau extrem conditionat), dacarestrictia functiei f(x) la multimea M are ın punctul a un extrem local(obisnuit).
De regula multimea M estre definita ca multime de solutii a unui sistemde ecuatii de forma :
g1(x1, , ..., xn) = 0,g2(x1, , ..., xn) = 0,............................,gk(x1, , ..., xn) = 0,
(6.64)
unde gi : A → R, i = 1, k si k < n sunt independente pe A.
Deci M = x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn|gi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, k. In acestcaz extremele functiei f(x) relative la multimea M se mai numesc extremeleconditionate de sistemul (??). Relatiile (??) leaga ıntre ele variabilelex1, . . . , xn. De aceea extremele conditionate ale functiei f(x) se mai numescsi extreme cu legaturi .
Punctele stationare ale functiei f(x), cand (x1, . . . , xn) ∈ M se numescpuncte stationare legate sau puncte stationare conditionate alefunctiei f.
Pentru determinarea extremelor functiei f(x) conditionate de sistemul(??), folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Aceasta metodaconsta din urmatoarele etape:
Pasul 1. Se considera functia ajutatoare Φ : A × Rk → R,Φ(x1, . . . , xn; λ1, . . . , λk) = f(x1, . . . , xn) + λ1g1(x1, . . . , xn) + . . .. . . + λkgk(x1, . . . , xn), unde λ1, . . . , λk sunt parametrii reali si se numescmultiplicatorii lui Lagrange.
Pasul 2. Se determina punctele stationare pentru functia Φ(x; λ) re-zolvand sistemul de ecuatii:
∂Φ
∂xi
(x, λ) = 0, i = 1, n
∂Φ
∂λi
(x, λ) = 0, i = 1, k
⇔
∂Φ
∂xi
(x, λ) = 0, i = 1, n
gi(x1, ..., xn) = 0, i = 1, k
(6.65)
Pasul 3. Daca (a1, a2, . . . , an; θ1, θ2, . . . , θk) este punct stationar pentrufunctia Φ(x; λ) atunci punctul (a1, a2, . . . , an) este punct stationar conditionatpentru functia f(x). Punctele de extrem conditionat ale lui f(x) se gasescprintre punctele stationare conditionate.
138 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Daca notam Φ(x1, ..., xn) = Φ(x1, ..., xn; θ1, ..., θk), avem:
f(x) − f(a) = Φ(x) − Φ(a), ∀x ∈ M.
Deci studiul semnului diferentei f(x) − f(a), pentru x ∈ M se reducela studiul semnului diferentei Φ(x) − Φ(a), tot pentru x ∈ M. (i.e. naturapunctului critic a este aceeasi, pentru functia f si pentru functia Φ). Deoarece
punctul critic a verifica sistemul∂Φ
∂xi
= 0, i = 1, n (i.e. a este punct stationar
obisnuit pentru functia Φ), dΦ(a) = 0. Pe de alta parte Φ ∈ C(V ∈ V(a)),putem scrie formula lui Taylor de ordinul doi
Φ(x) − Φ(a) =1
2d2Φ(a) +
1
2φ(x)ρ2(x)
Se calculeaza hesiana functiei Φ(x), H(x) =
(∂2Φ
∂xi∂xj
)i,j=1,n
.
Pasul 4. Daca nu se poate aplica criteriul lui Sylvester (i.e. daca nusunt ındeplinite conditiile ∆k > 0, ∀k = 1, n sau ∆∗
k = (−n)k∆k > 0 ∀ k =1, n, ∆′
k, k = 1, n fiind minorii principali ai hesianei lui Φ) functionaleipatratice d2Φ(a), se considera sistemul ce are ca ecuatii, diferentialele conditii-
lor (6.64) i.e.
∂g1
∂x1
(a)dx1 + ... +∂g1
∂xn
(a)dxn = 0,
∂g2
∂x1
(a)dx1 + ... +∂g2
∂xn
(a)dxn = 0,
.....................................................,∂gk
∂x1
(a)dx1 + ... +∂gk
∂xn
(a)dxn = 0,
(6.64′)
Necunoscutele sistemului sunt dx1, dx2, . . . , dxn.Deoarece functiile sistemului (6.64′) sunt independente ın a (i.e. oricare
dintre ele nu depinde de celelalte pe ∀ V ∈ V(a)) matricea
(∂gi
∂xj
)i = 1, kj = 1, n
are rangul k. Deci, k dintre diferentialele dx1, . . . , dxn se pot exprima functiede celelalte n − k. Introducem aceste k diferentiale ın expresia lui d2Φ(a) siaceasta va avea forma q1 =
∑i,j
Aijdxidxj. Dupa cum functionala patratrica
q1 este definita sau nedefinita, diferenta Φ(x)−Φ(a) pastreaza sau nu, ıntr-ovecinatate a lui a acelasi semn, i.e. punctul a este sau nu punct de extrem
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 139
conditionat. Daca functionala patratica q1 este pozitiv (negativ) definita,functia f(x) are minim (maxim) conditionat.
6.70 Exemple. 1. Sa se gaseasca extremele functiei f(x, y, z) = x2 +y2 + z2, cu conditia (legatura) x + y + z = 3.
Rezolvare. Pasul 1. Consideram functia ajutatoare
Φ(x, y, z; λ) = x2 + y2 + z2 + λ(x + y + z − 3)
Pasul 2. Se determina punctele stationare ale functiei Φ(x, y, z; λ), i.e.rezolvam sistemul:
∂Φ
∂x(x, y, z; λ) = 2x + λ = 0,
∂Φ
∂y(x, y, z; λ) = 2y + λ = 0,
∂Φ
∂z(x, y, z; λ) = 2z + λ = 0,
∂Φ
∂λ(x, y, z; λ) = x + y + z − 3 =,
Se exprima, din primele trei ecuatii, x, y si z ın functie de λ si se ınlocuieste
ın ecuatia a patra. Astfel avem: x =−λ
2= y = z si λ = −2, i.e. (1, 1, 1,−2)
este punct stationar al functiei Φ(x, y, z; λ). Inlocuind ın Φ(x, y, z; λ) peλ = −2, obtinem functia Φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 2z + 6 cupunctul stationar (1, 1, 1). De aici avem hesiana lui Φ(x, y, z)
H(x, y, z) =
2 0 00 2 00 0 2
Pasul 4. Deoarece minorii principali ai hesianei ∆1 = 2, ∆2 = 4, ∆3 = 8
sunt ¿ 0, rezulta ca punctul critic (1, 1, 1), al functiei Φ(x), este punct deminim pentru aceasta functie.
Pasul 5. Punctul de minim (1, 1, 1) al functiei Φ(x, y, z) este punct deminim conditionat de legatura x + y + z = 3 pentru functia f(x, y, z). Decifmin = f(1, 1, 1) = 12 + 12 + 12 = 3.
2. Un agent comercial are pe piata doua marfuri ın cantitatile x si y alcaror pret unitar este p si respectiv q. Stiind ca marfurile au fost procuratela costul C(x, y) = 10 + 4x + 2y si ca p + x2 = 16 si q + 2y = 10 sa sedetermine cantitatile si preturile unitare respective, astfel ıncat beneficiultotal al agentului sa fie maxim.
Rezolvare. Deoarece beneficiul este: B(x, y, p, q) = px + qy −C(x, y), i.e.B(x, y, p, q) = px+qy−4x−2y−10, problema revine la a determina maximul
140 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
functiei B(x, y; p, q) (variabilele lui B4 sunt x, y, p si q) ın conditiile:p + x2 = 16,q + 2y = 10,
Folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange.• Functia ajutatoare este
Φ(x, y, p, q; λ1, λ2) = px+qy−4x−2y−10+λ1(p+x2−16)+λ2(q+2y−10)
• Se gasesc punctele stationare ale lui Φ rezolvand sistemul:
∂Φ
∂x= 0,
∂Φ
∂y= 0,
∂Φ
∂p= 0,
∂Φ
∂q= 0,
∂Φ
∂λ1
= 0,
∂Φ
∂λ2
= 0
⇒
p − 4 + 2λ1x = 0,q − 2 + 2λ2 = 0,x + λ1 = 0,y + λ2 = 0,p + x2 = 16,q + 2y = 10,
Astfel se obtine solutia x = y = 2, p = 12, q = 6 si λ1 = λ2 = −2. Deci(2, 2, 12, 6,−2,−2) este punct critic al functie Φ.
• Se considera functia Φ(x, y, p, q) = px+qy−2x2−4x−6y−2p−2q+42 (=Φ(x, y, p, q; −2,−2)) pentru care (2, 2, 12, 6) este punct critic.
• Hesiana lui Φ(x, y, p, q), este:
H(x, y, p, q) =
∂2Φ
∂x2
∂2Φ
∂x∂y
∂2Φ
∂x∂p
∂2Φ
∂x∂q∂2Φ
∂y∂x
∂2Φ
∂y2
∂2Φ
∂y∂p
∂2Φ
∂y∂q∂2Φ
∂p∂x
∂2Φ
∂p∂y
∂2Φ
∂p2
∂2Φ
∂p∂q∂2Φ
∂q∂x
∂2Φ
∂q∂y
∂2Φ
∂q∂p
∂2Φ
∂q2
=
−4 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0
Deoarece nu se poate aplica Consecinta din Observatia 6.67, (hesianaH(2, 2, 12, 6) are si minori principali nuli) diferentiem legaturile si obtinemsistemul:
dp + 2x dx = 0,dq + 2dy = 0,
6.8. Extremele functiilor de mai multe variabile 141
care ın punctul (2, 2, 12, 6) devine:dp + 4 dx = 0,dq + 2dy = 0,
de unde dp = −4dx si dq = −2dy.Inlocuind aceste diferentiale ın
d2Φ(2, 2, 12, 6) = −4dx2 + 2dxdp + dydq
rezultad2Φ(2, 2, 12, 6) = −4(3dx2 + dy2) < 0.
Deci, d2Φ(2, 2, 12, 6) este o functionala patratica negativ definita. Rezultaca (2, 2, 12, 6) este punct de maxim pentru Φ(x, y, p, q) si prin urmare estepunct de maxim conditionat pentru functia beneficiu B(x, y, p, q).
Astfel beneficiul maxim al agentului comercial este:
Bmax = B(2, 2, 12, 6) = 12 · 2 + 6 · 2 − 4 · 2 − 2 · 2 − 10 = 14.
6.71.Observatie. Fie f : A ∈ DesRn → R, f ∈ C2(A) si K ⊂ A omultime compacta (ınchisa si marginita) a carei frontiera poate fi definitaprin ecuatii carteziene(i.e. ecuatii de tipul celor care definesc multimea M).Functia f fiind continua pe compactul K, este marginita si ısi atinge marginile(i.e. extremele globale) pe K. Deci, ∃ u, v ∈ K a.ı. f(u) = inf
Kf si f(v) =
supK
f. Daca a este un extrem global al lui f si a ∈ IntK, atunci ın mod
necesar a este punct stationar pentru f si se poate determina din algoritmulpentru extreme libere. Daca a /∈ IntK (i.e. a ∈ ∂K), atunci a va fi punct deextrem pentru f cu legaturile date de ecuatiile carteziene ale frontierei.
Prin urmare, daca se cer marginile unei functii pe un compact K (acarui frontiera poate fi definita prin ecuatii carteziene) situate ın IntK, sedetermina folosind algoritmul pentru extreme libere, iar cele situate pe ∂Kse determina folosind algoritmul pentru extreme legate (conditionate).
142 Capitolul 6. Functii de mai multe variabile reale
Capitolul 7
Extinderi ale integraleiReimann
7.1 Integrala Riemann - Stieltjes
Aceasta integrala reprezinta o extindere a integralei lui Reimann. A fostconsiderata pentru prima data de Stieltjes, la sfarsitul secolului al XIX-lea.
Fie [a, b] ⊂ R. Notam D[a,b] = ∆ = (x0, x1, . . . , xn)|a = x0 < x1 < . . . <xn = b - multimea diviziunilor intervalului [a,b]. Numarul ν(∆) = max
i=1,n(xi−
xi−1) se numeste norma diviziunii ∆ (i.e. norma este cea mai mare din-tre lungimile intervalelor [xi−1, xi], i = 1, n). Pentru ∀∆ ∈ D[a,b], ∆ =(x0, . . . , xn) notam ξ∆ = ξ = (ξ1, . . . , ξn)|xi−1 ≤ ξi ≤ xi, i = 1, n−multimea sistemelor de puncte intermediare asociate diviziunii ∆.
7.1 Definitie. Fie f, g : [a, b] → R, ∆ = (x0, x1, . . . , xn) ∈ D[a,b] siξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ ξ∆. Suma
σ∆(f, g, ξ) =n∑
i=1
f(ξi) [g(xi) − g(xi−1)] (7.1)
se numeste suma Riemann-Stieltjes asociata functiilor f si g, diviziunii∆ si sistemului de puncte intermediare ξ.
Daca pe [a, b], functia f este marginita si functia g crescatoare, atunci sedefinesc sumele
s∆ = s∆(f, g) =n∑
i=1
mi [g(xi) − g(xi−1)]
S∆ = S∆(f, g) =n∑
i=1
Mi [g(xi) − g(xi−1)] (7.2)
143
144 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
se numesc sumele Darboux-Stieltjes, unde mi = inff(x) | x ∈ [xi, xi+1]si Mi = supf(x) | x ∈ [xi, xi+1]. Intre suma Riemann-Stieltjes si sumeleDarboux-Stieltjes avem
m(g(b) − g(a)) ≤ s∆(f, g) ≤ σ∆(f, g, ξ) ≤ S∆(f, g) ≤ M(g(b) − g(a)) (7.3)
7.2 Observatie. Daca g(x) = x, suma Riemann – Stieltjes (7.1) devinesuma Riemann
σ∆(f, ξ) =n∑
i=1
f(ξ)(xi − xi−1) (7.1′)
cu ajutorul careia s-a definit integrala Riemann. Deci, suma Riemann esteun caz particular al sumei Riemann-Stieltjes.
7.3 Definitie. Fie f, g : [a, b] → R. Functia f este integrabila Riemann-Stieltjes ın raport cu g pe [a, b] daca exista I(f, g) ∈ R cu proprietatea∀ε > 0, ∃δ0 = δε > 0 a.ı. |σ∆(f, g, ξ) − I(f, g)| < ε ∀∆ ∈ D[a,b] cu ν(∆) < δ0
si ∀ξ ∈ ξ∆.
Numarul I(f, g)not=
∫ b
af(x)dg(x) se numeste integrala Riemann -
Stieltjes a lui f ın raport cu g pe [a, b].7.4 Observatii. 1. Daca g(x) = x, atunci se obtine integrala Riemann.2. Expresia dg(x) nu reprezinta ıntotdeauna diferentiala functiei g(x).
Deci functia f poate sa fie integrabila Riemann - Stieltjes ın raport cu g pe[a, b], fara ca g sa fie diferentiabila.
3. Pentru a deosebi cele doua integrale, uneori se noteaza pentru integrala
Riemann - Stieltjes (S)b∫
a
si pentru integrala Riemann (R)b∫
a
.
Datorita asemanarii de structura a acestor integrale, problematica simetodele ıntalnite la integrala Riemann apar si la integrala Riemann - Stielt-jes. Astfel avem de exemplu, urmatorul criteriu de integrabilitate:
• Fie f, g : [a, b] → R. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(1) functia f este integrabila Riemann-Stieltjes ın raport cu g pe [a, b] :(2) ∃ I(f, g) ∈ R cu proprietatea
∀ (∆n)n ⊂ D[a,b]cuν(∆n)n→∞−→ 0, ∀ξn ∈ S∆n, σ∆n(f, g, ξn) → I(f, g). (7.4)
Altfel spus functia f este integrabila Riemann-Stieltjes ın raport cu gpe [a, b], daca si numai daca ∀ (∆n) ⊂ D[a,b] cu ν(∆n) → 0, si ∀ξn ∈S∆, σ∆(f, g, ξn) ∈ CR
Calculul integralei Riemann-Stieltjes. De cele mai multe ori in-tegrala Riemann-Stieltjes, nu se poate calcula folosind definitia. Calcululunei integrale Riemann-Stieltjes se reduce la calculul unei integrale Riemann
7.1. Integrala Riemann - Stieltjes 145
pentru care se cunosc metode perfectionate de calcul. In acest sens avemurmatoarea
7.5 Teorema. Daca f ∈ C0([a, b]) si g ∈ C1([a, b]) atunci
(S)
∫ b
a
f(x)dg(x) = (R)
∫ b
a
f(x)g′(x)dx (7.5)
Demonstratie. Acceptam, fara demonstratie, ca din ipoteza rezulta existetaintegralei din membrul stang. Pentru ca f si g′ sunt continue pe [a, b], rezultaca f · g′ este continua, deci integrabila Riemann. Prin urmare exista si inte-grala din membrul drept.
Fie ∆ = (x0, x1, . . . , xn) ∈ D[a,b]. Aplicand teorema cresterilor finitefunctiei g pe intervalul [xi−1, xi], ∃ξi ∈ [xi−1, xi] a.ı. g(xi) − g(xi−1) =g′(ξi)(xi − xi−1), i = 1, n.
Pentru functiile f si g, diviziunea ∆ si sistemul de puncte ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn),avem:
σ∆(f, g, ξ) =n∑
i=1
f(ξi) [g(xi) − g(xi−1)] =n∑
i=1
f(ξi)g′(ξi)(xi−xi−1) = σ∆(fg′, ξ)
Deci, σ∆(f, g, ξ) = σ∆(f, g′, ξ), ∀∆ ∈ D[a,b].Rezulta
σ∆(f, g, ξn) = σ∆n(f.g′, ξn)∀(∆n)n ⊂ D[a,b] cu ν(∆n) → 0.
Trecand la limita ın aceasta relatie dupa n → ∞ rezulta, ın baza criteri-ului de integrabilitate precizat mai sus, relatia (7.5).
7.6 Aplicatie. Sa se calculeze I =∫ 3
1
x2
1 + x2d ln x.
Rezolvare. Evident, integrala este bine definita (i.e. Teorema 7.5 estesatisfacuta). Conditiile teoremei de mai sus fiind ındeplinite avem:
I =∫ 3
1
x2
1 + x2(ln x)′dx =
∫ 3
1
x2
1 + x2· 1
xdx =
∫ 3
1
x
1 + x2dx =
1
2ln(1 + x2)
∣∣31
=
=1
2(ln 10 − ln 2) =
1
2ln 5.
Prezentam ın continuare fara demonstratie7.7 Teorema.(de reversibilitate sau formula de integrare prin parti).Daca f este integrabila Riemann - Stieltjes ın raport cu g pe [a, b], atunci
g este integrabila ın raport cu f pe [a, b] si avem relatia∫ab
f(x)dg(x) = f(x)g(x)∣∣ba−
∫ b
a
g(x)df(x) (7.6)
146 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
7.8 Aplicatie. Sa se calculeze I =∫ 5
2ln xdx3.
Rezolvare.Conditiile teoremei 6.7 fiind ındeplinite, avem conform cu relatia (??),
I = x3 ln x∣∣52−
∫ 5
2x3d ln x = 53 ln 5 − 23 ln 2 −
∫ 5
2x3(ln x)′dx =
= 125 ln 5 − 8 ln 2 − 1
3x3
∣∣52
= ln5125
28− 1
3· 117.
Relatia (7.6) se foloseste fie cand relatia (7.5) nu se poate aplica, fie atuncicand integrala din dreapta relatiei (7.6) este mai usor de rezolvat decat ceadin membrul stang, asa ca ın aplicatia de mai sus.
7.2 Integrale improprii (generalizate)
Integrala Riemann a fost definita pentru functii marginite, definite peintervale de lungime finita.
In practica apar atat integrale din functii care au intervalul de integrare delungime infinita, cat si integrale din functii nemarginite. Astfel de integralese numesc integrale improprii sau generalizate.
7.9 Definitie. Fie A ⊆ R un interval. O functie f : A → R este localintegrabila pe A daca este integrabila Riemann pe orice interval compact[a, b] ⊂ A.
7.10 Definitie. Fie f : [a, +∞) → R. Daca functia f este local integra-bila pe [a, +∞), atunci expresia∫ +∞
a
f(x)dx := limr→∞
∫ r
a
f(x)dx (7.7)
se numeste integrala improprie (sau generalizata) a functiei f peintervalul [a, +∞).
7.11 Observatie. Cand limita din membrul drept al relatiei (7.7) nuexista, egalitatea trebuie ınteleasa ın sensul ca nici
∫ +∞a
f(x)dx nu exista.Aceasta observatie se mentine si la alte relatii care definesc integrale im-
proprii.Analog avem: ∫ b
−∞f(x)dx
def= lim
a→−∞
∫ b
a
f(x)dx (7.7′)
Daca exista integralele improprii∫ c
−∞ f(x)dx si∫ +∞
cf(x)dx definite de
(7.7) si (7.7′), atunci∫ +∞
−∞f(x)dx
def=
∫ c
−∞f(x)dx +
∫ +∞
c
f(x)dx.
7.2. Integrale improprii (generalizate) 147
Aceasta ultima relatie se mai scrie:∫ +∞
−∞f(x)dx = lim
r→−∞
∫ c
r
f(x)dx+ lims→+∞
∫ +∞
c
f(x)dx (7.7′′)
sau condensat ∫ +∞
−∞f(x)dx = lim
r→−∞s→+∞
∫ s
,r
f(x)dx (7.7′′′)
Integralele de forma celor definite prin formulele (??), (7.7′), (7.7′′) si(7.7′′′) se numesc integrale improprii de speta ıntai . Acest tip de in-tegrale se caracterizeaza prin aceea ca intervalul de integrare are lungimeinfinita dar functia f este marginita pe acest interval.
Se cunoaste ca numarul∫ b
af(x)dx, daca f(x) ≥ 0 este integrabila (R),
reprezinta aria regiunii marginite de graficul y = f(x), de axa Ox si dreptelex = a si x = b (fig.1)
Asemanator numarul∫ +∞
af(x)dx, atunci cand exista, exprima aria regiu-
nii nemarginite situata ıntre graficul y = f(x), dreapta x = 0 si axa Ox(fig.2).
7.12 Exemplu. Sa se calculeze, ın caz ca exista, integralele:
(a)∫ ∞
0
e−x
5 + e−xdx; (b)
∫ 1
−∞ e2xdx; (c)∫ +∞−∞
1
x2 + 4dx.
Rezolvare. (a) Pentru ca functia f : [0, +∞] → R, f(x) =e−x
5 + e−x
este integrala (R) pe orice compact [0, r], ∀r > 0 cercetam daca existalimr→∞
∫ r
0f(x)dex.
limr→∞
∫ r
0
e−x
5 + e−xdx = lim
r→∞
[− ln
(5 + e−x
)] ∣∣r0
= − limr→∞
[ln
(5 + e−r
)− ln 6
]= ln
6
5
Deoarece limr→∞
∫ r
0
e−x
5 + e−xdx exista si este finita, rezulta ca:
limr→∞
∫ ∞
0
e−x
5 + e−xdx = ln
6
5.
148 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
(b) Functia f(x) = e2x este integrabila (R) pe ∀ interval compact [a, 1].
Cercetam daca exista lima→−∞
∫ 1
ae2xdx.
Avem:
lima→−∞
∫ 1
a
e2xdx = lima→−∞
1
2e2x
∣∣∣∣1a
1 =1
2lim
a→−∞
(e2 − e2a
)=
1
2e2.
Rezulta ca∫ 1
−∞ e2xdx = 12e2.
(c) Conditia de local integrabilitate este satisfacuta. Cercetam acum daca
exista lims→−∞r→+∞
∫ r
s
1
x2 + 4dx. Astfel avem:
lims→−∞r→+∞
∫ r
s
1
x2 + 4dx = lim
s→−∞r→+∞
1
2arctg
x
2
∣∣∣∣rs
=1
2[arctg∞− arctg(−∞)] =
π
2
Deci,∫ +∞−∞
1
x2 + 4dx =
π
2.
7.13 Definitie. Fie f : [a, b) → R nemarginita pe [a, b]. Daca functia
f este local integrabila pe [a, b), atunci expresia∫ b
af(x)dx se numeste inte-
grala improprie a functiei f pe intervalul [a, b) si este definita prin:∫ b
a
f(x), dx = limε→0ε>0
∫ b−ε
a
f(x), dx (7.8)
In mod analog avem:- pentru f : (a, b] → R, nemarginita pe (a, b] :∫ b
a
f(x)dxdef= lim
ε→0
∫ b
a+ε
f(x)dx, ε > 0 (7.8′)
- pentru f : (a, b) → R, nemarginita pe (a, b) :∫ b
a
f(x)dxdef= lim
ε→0η→0
∫ b−η
a+ε
f(x)dx, ε, η > 0 (7.8′′)
- pentru f : [a, b]\c → R, nemarginita pe [a, b]\c :∫ b
a
f(x)dxdef= lim
ε→0ε>0
∫ c−ε
a
f(x)dx + limη→0η>0
∫ b
c+η
f(x)dx (7.8′′′)
Daca pe segmentul [a, b] f are discontinuitatile c1, . . . , cn, atunci∫ b
a
f(x)dx = limε1→0
∫ c1−ε1
a
f(x)dx+ limε′1→0ε2→0
∫ c2−ε2
c1+ε′1
f(x)dx+...+ limε′n→0
∫ b
cn+ε′n
f(x)dx
7.2. Integrale improprii (generalizate) 149
Deci, integrala nu se poate calcula ignorand discontinuitatile.Integralele de forma celor definite prin formulele (7.8), (7.8′), (7.8′′) si
(7.8′′′) se numesc integrale improprii de speta a doua . Aceste integralese caracterizeaza prin aceea ca intervalul de integrare I, are lungime finita,iar functia f nu este marginita pe I.
7.14 Exemplu. Sa se calculeze, ın caz ca exista, integrala∫ b
af(x)dx
daca:
(a) f : [1, 3) → R, f(x) =1
(x + 1)√
3 − x;
(b) f : (2, 8] → R, f(x) =1
x2 − 4;
(c) f : (−1, 1) → R, f(x) =1
x2 − 1;
(d) f : [1, 3)\2 → R, f(x) =1√
|x − 2|.
Rezolvare. (a)∫ 3
1
1
(x + 1)√
3 − xdx =?
Deoarece f(x) =1
(x + 1)√
3 − xeste local integrabila pe intervalul [1, 3),
si limx→3x<3
f(x) = +∞, calculam:
limε→0ε>0
∫ 3−ε
1
1
(x + 1)√
3 − xdx =
∣∣∣∣∣∣√
3 − x = t ⇒ t2 = 3 − x ⇒ dx = −2tdt
x = 1 ⇒ t =√
2x = 3 − ε ⇒ t =
√ε
∣∣∣∣∣∣ =
= limε→0ε>0
∫ √ε√2
−2tdt
(4 − t2) · t= lim
ε→0ε>0
∫ √2√ε
2
t2 − 4dt = lim
ε→0ε>0
1
2ln
∣∣∣∣t − 2
t + 2
∣∣∣∣ ∣∣∣∣√
2
√ε
=
=1
2limε→0ε>0
(ln
2 +√
2
2 −√
2− ln
2 +√
ε
2 −√
ε
)= ln
(√2 + 1
)Rezulta: ∫ 3
1
1
(x + 1)√
3 − xdx = ln
(√2 + 1
).
(b) Functia f(x) =1
x2 − 4este continua pe domeniul de definitie, deci
este local integrabila. Calculam :∫ 8
2+ε
f(x)dx =
∫ 8
2+ε
1
x2 − 4dx =
1
4ln
x − 2
x + 2
∣∣∣∣82+ε
=1
4
(ln
3
5− ln
ε
4 + ε
)ε→0−→ +∞.
Pentru ca limε→0
∫ 8
2+εf(x)dx = −∞, rezulta ca
∫ 8
2
1
x2 − 4dx = −∞ nu exista
ın R.
150 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
(c) Functia f(x) =1
x2 − 1este local integrabila pe (−1, 1) si lim
x→−1x>−1
1
x2 − 1=
−∞ = limx→1x<1
1
x2 − 1(i.e. f este nemarginita pe (−1, 1)). Suntem ın contextul
Definitiei 7.13 si aplicam formula (7.8′′).Calculam:
∫ 1−η
−1+ε
1
x2 − 1dx =
1
2ln
∣∣∣∣x − 1
x + 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣1−η
−1+ε
=1
2
(ln
∣∣∣∣ η
2 − η
∣∣∣∣ − ln
∣∣∣∣−2 + ε
ε
∣∣∣∣) =
=1
2ln
∣∣∣∣ εη
(2 − ε)(2 − η)
∣∣∣∣ ε→0−→η→0
−∞.
Deci∫ 1
−1f(x)dx = −∞; integrala data nu exista ın R.
(d) Functia f(x) =1√
|x − 2|este local integrabila pe [1, 2) ∪ (2, 3] si
nemarginita pe [1, 3]
(limx→2x<2
f(x) = ∞ = limx→2x>2
f(x)
). Deci se poate aplica Definitia
7.13.Folosim formula (7.8′′′) si calculam integrala∫ 2−ε
1
1√|x − 2|
dx =
∫ 2−ε
1
1√2 − x
dx = −2√
2 − x
∣∣∣∣2−ε
1
= −2(√
ε − 1),
si integrala∫ 3
2+η
1√|x − 2|
dx =
∫ 3
2+η
1√x − 2
dx = 2√
x − 2
∣∣∣∣32+η
= 2 (1 −√η) .
Cercetam acum daca exista
limε→0ε>0
∫ 2−ε
1
1√|x − 2|
dx+limη→0η>0
∫ 3
2+η
1√|x − 2|
dx = limε→0ε>0
−2(√
ε − 1)+lim
η→0η>0
2 (1 −√η) = 4.
Deci,∫ 3
1
1√|x − 2|
dx = 4.
Pe langa cele doua tipuri de integrale improprii (i.e. de primul tip si aldoilea tip) care s-au definit mai sus, sunt si integrale de al treilea tip (saude speta a treia). Acestea se caracterizeaza prin aceea ca atat intervalulde integrare este de lungime infinita cat si functia f este nemarginita ınintervalul de integrare.
7.2. Integrale improprii (generalizate) 151
Integralele improprii de speta a treia se pot studia cu ajutorul unor inte-grale improprii de prima si a doua speta. De exemplu, integrala impropriede speta a treia
∫ +∞a
f(x)dx unde functia f este continua pe [a, +∞)\c seva scrie ∫ +∞
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx +
∫ +∞
b
f(x)dx, cu c < b < +∞.
Astfel se obtin doua integrale improprii. Prima integrala(i.e.
∫ b
af(x)
)dx
este de speta a doua, iar a doua integrala(i.e.
∫ +∞b
f(x)dx)
este de prima
speta. Deci studiul integralei improprii de speta a treia, se reduce la studiulunei integrale improprii de speta ıntai si alta de speta a doua. Acest studiu,evident nu depinde de alegerea lui b ∈ (c, +∞).
7.15 Definitie. Daca limita care defineste o integrala improprie exista sieste finita, atunci spunem ca integrala este convergenta (si notam (C)) sica functia f este integrabila impropriu . In caz contrar, (i.e. atunci candlimita nu exista sau cand este infinita) spunem ca integrala este divergentasi ca functia f nu este integrabila impropriu.
In Exemplul 7.12 toate integralele, si Exemplul 7.14, cele de la (a) si (d)sunt convergente, iar cele din Exemplul 7.14 de la (b) si (c) sunt divergente.
7.16 Exemple 1. Discutati ın functie de α ∈ R natura integralei∫ +∞1
1
xαdx.
Rezolvare. Este o integrala improprie de speta ıntai. Conditiile din
definitie sunt ındeplinite. Deoarece∫ b
1
1
xαdx =
1
1 − α(b1−α − 1), α 6= 1
ln b, α = 1,
avem:
(a) daca α > 1,∫ +∞1
1
xαdx = lim
b→∞
1
1 − α
(b1−α − 1
)=
1
α − 1, deci, inte-
grala este convergenta;
(b) daca α < 1,∫ ∞1
1
xαdx = lim
b→∞
1
1 − α
(b1−α − 1
)= ∞, deci, integrala
este divergenta;
(c) daca α = 1,∫ ∞
1
1
xdx = lim
b→∞ln b = ∞, deci, integrala este divergenta.
Deci∫ +∞
1
1
xαdx este
(C), α > 1(D), α < 1.
2. Aratati ca daca x ∈ (a, b] a, b ∈ R, integrala∫ b
a
1
(x − a)λdx este con-
vergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru λ ≥ 1.
152 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
Rezolvare. Deoarece∫ b
a+ε
1
(x − a)λdx =
11−λ
[ 1(b−a)λ−1 − 1
ελ−1 ], λ 6= 1
ln b−aε
, λ = 1,
avem ∫ b
a
1
(x − a)λdx =
1
1−λ(b − a)1−λ, λ < 1
+∞, λ > 1−∞, λ = 1.
Deci∫ b
a
1
(x − a)λdx este
(C), λ < 1(D), λ ≥ 1.
3. Fie a, b ∈ R. Sa se arate ca∫ b
a
1
(b − x)βdx este
(C), β < 1(D), β ≥ 1.
7.2.1 Criterii de convergenta
Fie f : [a, b) → R local integrabila si a < c < b.
Intre integralele improprii∫ b
af(x)dx si seriile numerice
∞∑1
zn exista o
analogie dupa cum urmeaza.Daca se ınlocuieste procesul de ınsumare dupa n, cu procesul de integrare
ın raport cu x, vom avea urmatoarea dualitate de limbaj :
(1) termenul general al seriei: zn (1’) functia de sub integrala: f(x)
(2) suma partiala a seriei:N∑1
zn (2’) integrala proprie:∫ c
af(x)dx
(3) suma seriei∞∑1
zn ca limita a sumei (3’) integrala improprie∫ b
af(x)dx ca
partiale cand N → ∞ limita a integralei cand c → b
(4) restul seriei∞∑
N+1
zn integrala∫ b
cf(x)dx
O integrala improprie∫ b
af(x)dx se poate reduce la o serie infinita si cele
doua au aceeasi natura.Fie P o partitie oarecare (cu un numar infinit de puncte) a intervalului
[a, b), avand punctele de diviziune t0, t1, . . . , tn, . . . cu t0 = a si tn → b.
Atunci integrala improprie∫ b
af(x)dx este convergenta daca si numai daca
seria∞∑1
zn, zn =∫ tn
tn−1f(x)dx este convergenta oricare ar fi partitia P definita
ca mai sus. Si chiar mai mult ın caz de convergenta avem:∫ b
a
f(x)dx =∞∑1
zn
7.2. Integrale improprii (generalizate) 153
Analogia de mai sus, ıntre serii si integralele improprii se mentine si ınceea ce priveste criteriile de convergenta.
7.17 Criteriul integral. Fie f : [1, +∞) → R pozitiva si monotondescrescatoare. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(a) integrala improprie∫ ∞
1f(x)dx este convergenta;
(b) seria numerica∑n≥1
f(n) este convergenta.
7.18 Criteriul general de convergenta. Fie f : [a, b) → R localintegrabila. Atunci afirmatiile urmatoare:
(a)∫ b
af(x)dx este convergenta;
(b) ∀ε > 0, ∃δε ∈ [a, b) a.ı.∣∣∫ y
xf(x)dt
∣∣ < ε ∀ x, y ∈ δε, b) sunt echiva-lente.
7.19 Definitie. Daca f : [a, b) → R este local integrabila spunem ca∫ b
af(x)dx este absolut convergenta (si notam (AC)) daca
∫ b
a|f(x)| dx
este convergenta.7.19′. Observatie. Daca
∫ b
af(x)dx(AC), atunci
∫ b
af(x)dx(C). Intr-adevar,
fie ε > 0. Din ipoteza∫ b
a|f(x)| dx(C). Atunci conform 7.18, ∃δε ∈ [a, b) a.ı.∣∣∫ y
xf(x)dx
∣∣ < ε ∀ x, y ∈ δε, b). Tinand seama ca∣∣∫ y
xf(x)dx
∣∣ ≤ ∫ y
x|f(x)| dx,
rezulta ca∫ b
af(x)dx(C).
Deci, absolut convergenta este o conditie mai tare decat convergenta.7.20 Lema. Fie f : [a, b) → R local integrabila. Atunci urmatoarele
afirmatii
(a)b∫
a
f(x)dx este convergenta;
(b) ∃ c ∈ [a, b) a.ıb∫c
f(x)dx este convergenta,
sunt echivalente.
Demonstratie. Pentru ca∫ r
af(x)dx =
c∫a
f(x)dx +r∫c
f(x)dx rezulta ca
limr→b
∫ r
af(x)dx si lim
r→b
r∫c
f(x)dx exista si sunt finite simultan.
7.21 Criteriul de comparatie. Fie f, g : [a, b) → R local integrabile.Daca:
(1) |f | ≤ g, atunci∫ b
ag(x)dx (C) ⇒
b∫a
f(x)dx(AC);
(2) f ≥ g ≥ 0, atuncib∫
a
g(x)dx (D) ⇒b∫
a
f(x)dx(D).
Demonstratie. (a) Pentru ca∫ b
ag(x)dx este convergenta, conform cu 7.18
avem:
∀ε > 0, ∃δε ∈ [a, b) a.ı.
∫ y
x
g(t)dt < ε, ∀ x, y ∈ δε, b).
154 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
Din |f | ≤ g, rezultay∫x
|f(t)|dt ≤y∫x
g(t)dt, ∀ x, y ∈ [a, b).
Deci, ∀ε > 0, ∃δε ∈ [a, b) a.ı.y∫x
|f(t)|dt < ε, ∀ x, y ∈ (δε, b)
i.e.∫ b
af(x)dx este absolut convergenta, conform cu 7.18.
(b) Dacab∫
a
f(x)dx este convergenta, atunci conform cu (a) rezulta ca
b∫a
g(x)dx este convergenta. Contradictie.
7.21′. Observatie. Folosind 7.20, 7.21 se poate enunta si astfel:Fie f, g : [a, b) → R local integrabile. Daca:
(a) ∃δ > 0 a.ı. |f | ≤ g pe (δ, b), atuncib∫
a
g(x)dx (C) ⇒b∫
a
f(x)dx(AC);
(b) ∃δ > 0 a.ı. f ≥ g ≥ 0 pe (δ, b), atuncib∫
a
g(x)dx (D) ⇒b∫
a
f(x)dx(D).
6.22. Aplicatie. Sa se cerceteze convergenta integralei∞∫0
e−t2dt.
Rezolvare. Se observa ca e−t2 ≤ e−t, ∀ t ≥ 1. Atunci∞∫
1
e−t2dt ≤∞∫
1
e−tdt = limr→∞
r∫1
e−tdt = limr→∞
(−e−t
∣∣∣∣r1
)= −0 +
1
e=
1
e.
Limita care defineste integrala improprie+∞∫1
e−tdt exista si este finita.
Deci∞∫1
e−tdt este convergenta. Conform cu 6.21, rezulta ca∞∫1
e−t2dt este
convergenta. In baza lui 7.20, integrala improprie∞∫0
e−t2dt este convergenta.
Intr-o alta rezolvare, pentru ca e−t2 ≤ 1
1 + t2, ∀t ≥ 0 integrala data ın
7.22, se poate compara cu integrala∞∫0
1
1 + t2dt.
7.23 Criteriul de convergenta cu limita. Fie f : [a, b) → R, a ∈R, b ∈ R local integrabila. Daca ∃ g : [a, b) → R local integrabila cu g > 0 si
` = limx→b
f(x)
g(x)∈ R, atunci
(a)b∫
a
g(x)dx (C) ⇒b∫
a
f(x)dx(AC);
(b) λ 6= 0 sib∫
a
g(x)dx (D) ⇒b∫
a
f(x)dx(D).
7.2. Integrale improprii (generalizate) 155
Demonstratie. (a) Din ipoteza avem ca limx→b
|f(x)|g(x)
= |`|.
Deci, ∀ε > 0, ∃δε > 0 a.ı.
∣∣∣∣ |f(x)|g(x)
− |`|∣∣∣∣ < ε, ∀ x > δε.
Pentru ε = 1, ∃δ1 > 0 a.ı.
∣∣∣∣ |f(x)|g(x)
− |`|∣∣∣∣ < 1, ∀ x > δ1.
De aici |f(x)| < (|λ| + 1)g(x), ∀ x > δ1.
Dacab∫
a
g(x)dx convergenta, conform 7.21, rezulta ca integralab∫
a
f(x)dx
este absolut convergenta.(b) Daca λ 6= 0, avem λ > 0 sau λ < 0. Presupunem λ > 0. Atunci
∃δ > 0 a.ı. f/g > r > 0 pe [δ, b). Din f > rg pe (δ, b) si 7.21′, rezulta cab∫
a
g(x)dx (D) ⇒b∫
a
f(x)dx(D).
7.24 Observatii. 1. La punctul (a) din cauza convergentei integraleib∫
a
g(x)dx, rezulta convergenta integraleib∫
a
f(x)dx. Din acest motiv si tinand
seama de punctul (b) avem ca daca λ 6= 0 atuncib∫
a
g(x)dx sib∫
a
f(x)dx au
aceeasi natura.2. Un caz particular (foarte folosit) al criteriului de convergenta cu limita
(i.e. 7.23), se obtine pentru g(x) =1
xα, α ∈ R si b = ∞ (vezi 6.16). Si
anume:7.23′. Fie a > 0, f : [a,∞) → R local integrabila pe [a,∞) si ` =
limx→∞
xαf(x). Atunci integrala∞∫a
f(x)dx este :
(a) absolut convergenta daca ∃α > 1 a.ı. ` ∈ R;(b) divergenta daca ∃α ≤ 1 a.ı. ` ∈ R∗.7.25 Aplicatii. Sa se studieze convergenta integralelor:
(1)∞∫3
1
x√
x2 + 1dx, (2)
∞∫0
x3/2
1 + x2dx.
Rezolvare.(1) limx→∞
xαf(x) = limx→∞
xα 1
x√
x2 + 1= lim
x→∞
xα−2√1 +
1
x2
= ` ∈
R∗ ⇒ 1 < α ≤ 2 (pentru α > 2, ` = ∞ /∈ R, iar pentru α ≤ 1, ` = 0 /∈ R).Deci, conform 7.23′ (a), rezulta ca integrala (1) este absolut convergenta
deoarece α > 1.
(2) limx→∞
xαf(x) = limx→∞
xα x3/2
1 + x2= lim
x→∞
xα+3/2
1 + x2= ` ∈ R∗ ⇒ α =
1
2< 1.
156 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
Din 7.23′ (b), rezulta ca integrala (2) este divergenta.7.26 Observatie. Daca ın criteriul de convergenta 7.23, ın loc de [a, b)
se ia (a, b] cu a, b ∈ R, se obtine un rezultat similar, si ın particular se ia
g(x) =1
(x − a)λ, λ ∈ R se obtine urmatorul criteriu practic de convergenta
pentru integrale (vezi 7.16).7.23” Teorema. Fie a, b ∈ R, f : (a, b] → R local integrabila si ` =
limx→a
(x − a)λf(x). Atunci integralab∫
a
f(x)dx este :
(a) absolut convergenta daca ∃λ ≥ 1 a.ı. ` ∈ R;(b) divergenta daca ∃λ ≤ 1 a.ı. ` ∈ R∗.7.23”’ Teorema. Fie a, b ∈ R, f : [a, b) → R local integrabila si
` = limx→b−
(b − x)µf(x). Atunci integralab∫
a
f(x)dx este :
(a) absolut convergenta daca ∃µ ≥ 1 a.ı. ` ∈ R;(b) divergenta daca ∃µ ≤ 1 a.ı. ` ∈ R∗.7.27. Exemplu. Sa se cerceteze natura integralei:
I =
1∫0
xp−1e−xdx, p ∈ R.
Rezolvare. Pentru ca p−1 poate fi si negativ, rezulta x 6= 0. Deci x ∈ (0, 1.]Functia f : (0, 1] → R, f(x) = xp−1e−x este local integrabila pe (0, 1]. Seaplica 7.23”. Pentru aceasta calculam:
` = limx→0
(x − 0)λ · f(x) = limx→0
(xλ+p−1e−x
)=
0, λ + p − 1 > 0+∞, λ + p − 1 < 01, λ = 1 − p.
Pentru ` = 1, conditia λ < 1 este echivalenta cu p < 0. Conform cu 7.23”,1∫0
f(x)dx este (AC), daca p < 0. Analog din conditia λ ≥ 1 se gaseste ca
1∫0
f(x)dx este (D), daca p ≥ 0.
7.3 Integrale cu parametru
7.3.1 Definitii si exemple
Fie A ⊂ R, a, b ∈ R cu a < b si functia f(x, t), f : [a, b] × A → R.
7.3. Integrale cu parametru 157
7.28. Definitie. Daca pentru ∀ t ∈ A, functia f(x, t) este (R)− inte-grabila ın raport cu variabila x, pe [a, b], atunci integralele de forma:
b∫a
f(x, t)dx (7.9)
sauv(t)∫
u(t)
f(x, t)dx, u, v : A → R (7.10)
se numesc integrale cu parametru . Cu ajutorul acestor integrale se de-finesc unele functii F : A → R
f(t) =
b∫a
f(x, t)dx (7.9′)
sau
f(t) =
v(t)∫u(t)
f(x, t)dx, u, v : A → R (7.10′)
Daca A ⊂ Rk, k ≥ 2, atunci integrala
b∫a
f(x; t1, ..., tk)dx (7.11)
este o integrala cu k parametrii si defineste functia
f(t1, t2, ..., tk) =
b∫a
f(x; t1, ..., tk)dx (7.11′)
7.29. Exemple. Integralele
(1)1∫0
1√1 − t2x2
dx (2)∞∫0
xp−1e−xdx; (3)x∫0
xp−1(1 − x)q−1dx
definesc functiile:
(a) f(t) =1∫0
1√1 − t2x2
dx
158 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
(b) Γ(p) =7∫1
xp−1e−xdx, Γ : (0, +∞) → R;
aici f : [1, 7] × (0,∞) → R, f(x; p) = xp−1e−x;
(c) B(p, q) =1/2∫1/4
xp−1(1 − x)q−1dx, B : (0,∞) × (0,∞) → R;
aici f : [1/4, 1/2] × [(0,∞) × (0,∞)] → R, f(x; p, q) = xp−1(1 − x)q−1.
7.3.2 Proprietati ale integralelor cu parametru
In continuare, vom urmarii cum se transfera anumite proprietati alefunctiei f(x, t), functiei F (t).
7.30. Definitie. Fie α ∈ A′. Spunem ca functia f tinde uniformpe [a,b], cand t tinde catre α si scriem f
u−→t→α
, daca ∃ϕ : [a, b] → R, cu
proprietatea
∀ε > 0, ∃δε > 0 a.ı. ∀ t ∈ A cu |t − α| < δε ⇒⇒ |f(x, t) − ϕ(x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]
(7.12)
(si scriem fu−→
t→αφ)
7.31. Observatii. 1. Daca A = N (ın acest caz α = +∞), definitiade mai sus este chiar definitia convergentei uniforme, a sirului de functii(fn(x) = f(x, n))n.
2. fu−→
t→αϕ, α ∈ A′ ⇔ ∀(tn)n ⊂ A, tn → α ⇒ f(x, t)n
u→ϕ(x).
3. Daca fu−→
t→αϕ, α ∈ A′ si f este (R)− integrabila pe [a, b], atunci ϕ
este (R)− integrabila pe [a, b].
Notatiile de mai sus se pastreaza peste tot ın acest paragraf.
7.32. Teorema. (limita comuta cu integrala). Daca f este (R)− inte-grabila ın raport cu prima variabila pe [a, b] si daca f
u−→t→α
pe [a, b], atunci
limt→α
b∫a
f(x, t)dx =
b∫a
limt→α
f(x, t)dx (7.13)
Demonstratie. Din ipoteza rezulta ca ∃ϕ : [a, b] → R, a.ı. fu−→
t→αϕ. Deci
avem: ∀ε ≥ 0, ∃δε > 0 a.ı. ∀ t ∈ A cu |t − α| < δε ⇒ |f(x, t) − ϕ(x)| <ε
b − a, ∀x ∈ [a, b].
7.3. Integrale cu parametru 159
De aici rezulta:
|f(t) −b∫
a
φ(x)dx| ≤ |b∫
a
f(x, t)dx −b∫
a
φ(x)dx| ≤b∫
a
|f(x, t) − φ(x)|dx < ε
si apoi se gaseste ca
limt→α
F (t) =
b∫a
ϕ(x)dx =
b∫a
limt→α
f(x, t)dt.
Si de aici reyulta relatia (7.13).7.33. Teorema(continuitatea integralei cu parametru)
Fie A ∈ K(R) si functia F : A → R, F (t) =b∫
a
f(x, t)dx. este continua.
Daca functia f este continua, atunci functia F este continua.Demonstratie. Fie t0 ∈ A arbitrar fixat. Avem
|F (t) − F (t0)| ≤b∫
a
|f(x, t) − f(x, t0)|dx (7.14)
Din continuitatea lui f pe compactul [a, b]×A ([a, b] si A fiind compacte)rezulta ca f este uniform continua pe [a, b]×A. De aici, pentru ∀ε > 0, ∃)δε >0 a.ı. (x′, t′), (x′′, t′′) ∈ [a, b] × A cu |x′ − x′′| < δε si |t′ − t′′| < δε ⇒|f(x′, t′) − f(x′′, t′′)| <
ε
b − a.
Daca luam x′ = x′′ = x, t′ = t si tt′′ = 0, rezulta ca ∀ε > 0, ∃δε > 0 a.ı.
∀ x ∈ [a, b] si ∀ t ∈ A cu |t− t0| < δε ⇒ | f(x, t)− f(x, t0)| <ε
b − asi tinand
seama de (7.14) avem:
∀ε > 0, ∃δε > 0 a.ı. t ∈ A cu |t − t0| < δε ⇒ |F (t) − F (t0)| < ε.
Deci F continua ın t0. Si cum t0 a fost arbitrar fixat ın A, rezulta ca Feste continua pe A.
7.34. Teorema 3 (derivabilitatea integralei cu parametru). Fie A ∈
K(R), f : [a, b] × A → R continua si F : A → R, F (t) =b∫
a
f(x, t)dx. Daca
∂f
∂texista si este continua ın [a, b] × A, atunci F ∈ C1(A) si
F ′(t) =
b∫a
∂f
∂t(x, t)dx (7.15)
160 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
Demonstratie. Fie t0 ∈ A arbitrar fixat. Avem
f(t) − f(t0)
t − t0=
b∫a
f(x, t) − f(x, t0)
t − t0dx.
Consideram functia ϕ : [a, b] × A → R, definita prin
φ(x, t) =
f(x, t) − f(x, t0)
t − t0, t 6= t0; ;
∂f
∂t(x, t0), t = t0
Din continuitatea functiei f si a functiei∂f
∂tpe [a, b]×A rezulta ca ϕ este
continua pe [a, b] × A. In baza lui 7.33, avem ca functia G : A → R
g(t) =
b∫a
φ(x, t)dx
este continua pe A. Atunci pe de o parte
limt→t0
g(t) = g(t0) =
b∫a
φ(x, t0)dx =
b∫a
∂f
∂t(x, t0)dx,
iar pe de alta parte t 6= t0
limt→t0
g(t) = limt→t0
f(t) − f(t0)
t − t0.
Deci,
limt→t0
f(t) − f(t0)
t − t0=
b∫a
∂f
∂t(x, t0)dx.
Rezulta
F ′(t0) =
b∫a
∂f
∂t(x, t0)dx,
si pentru ca t0 a fost arbitrar, rezulta ca
F ′(t) =
b∫a
∂f
∂t(x, t)dx
7.3. Integrale cu parametru 161
Acum se observa ca din continuitatea functiei∂f
∂tpe [a, b] × A, rezulta
F ′(t) este continua pe A.Formula (7.15) este numita si regula de derivare sub integrala. Prezentam,
fara demonstrasie, o regula generala de derivare sub integrala.7.35. Teorema. Fie I = [a, b], A = [c, d] si functiile:
1. f : I × A → R continua a.ı.∂f
∂t, exista si este continua;
2. u, v : A → I derivabile pe A;
3. F : A → R, F (t) =v(t)∫u(t)
f(x, t)dx.
Atunci functia F (t) este derivabila pe A si avem formula
F ′(t) =
v(t)∫u(t)
∂f
∂t(x, t)dx + v′(t)f(v(t), t) − u′(t)f(u(t), t) (7.16)
pentru ∀ t ∈ A.7.36 Teorema (integrarea integralelor cu parametru).Fie f : [a, b] × [c, d] → R. Daca f este continua pe [a, b] × [c, d], atunci
b∫a
d∫c
f(x, t)dt
dx =
d∫c
b∫a
f(x, t)dx
dt (7.17)
Demonstratie. Consideram functiile F, G : [a, b] → R
f(r) =
r∫a
d∫c
f(x, t)dt
dx si g(r) =
d∫c
r∫a
f(x, t)dx
dt.
Folosind formula (7.16) se obtine pentru functiile derivabile F si G, ca:
F ′(t) =
d∫c
f(x, t)dx = G′(t).
Dar F (a) = G(a) = 0. Deci F (x) = G(x) pentru ∀ x ∈ [a, b].Formula (7.17) se mai numeste si regula de schimbare a ordinii de
integrare .7.37 Aplicatii. 1.. Sa se calculeze (daca exista,) derivata functiei
F (t) =
3t−1∫t+1
(3x2 − 2xet + 5e−2t+1)dt.
162 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
2. Fie A ∈ K(R) si ϕ ∈ C0([a, b]). Sa se calculeze derivata functieiF : A → R,
f(t) =1
k
t∫a
φ(t) sin k(t − x)dx
Rezolvare. Functia f : [a, b] × A → R, f(x, t) = ϕ(t) sin k(t − x), este
continua pe [a, b] × A. Derivata partiala∂f
∂t(x, t) = kϕ(x) cos k(t − x) este
continua pe [a, b] × A. Functiile u(t) = a, v(t) = t sunt derivabile pe A.Conform cu Teorema 7.35 avem:
F ′(t) =1
k
t∫a
∂
∂t[φ(t) sin k(t − x)] dx + t′ · ϕ(x) sin k(t − x)|x=t−
−a′ · ϕ(x) sin k(t − x)|x=a =t∫
a
φ(x) cos k(t − x)dx.
3. . Fie 0 < a < b si functia f : [0, 1] × [a, b] → R, f(x, t) = xt. Sa se
arate ca functia f(x, t) verifica formula (7.17) si sa se calculeze1∫0
xb − xa
ln xdx.
Rezolvare. Evident functia f este continua pe [0, 1]× [a, b] si avem relatia
b∫a
1∫0
xtdx
dt =
1∫0
b∫a
xtdt
dx.
Pe de o parte:
b∫a
1∫0
xtdx
dt =
b∫a
xt+1
t + 1
∣∣∣∣10
dt =
b∫a
1
t + 1dt = ln(t + 1)
∣∣ba
= lnb + 1
a + 1
Pe de alta parte:
1∫0
b∫a
xtdt
dx =
1∫0
xt
ln x
∣∣∣∣ba
dx =
1∫0
xb − xa
ln xdx.
Deci,1∫
0
xb − xa
ln xdx = ln
b + 1
a + 1.
7.3. Integrale cu parametru 163
4. Pentru functia f : [1, 2]× [0, 3] → R, f(x, t) = x2 − 2tex − 4t3, aratatiın doua moduri ca se verifica relatia (7.17).
Rezolvare. Functia f fiind continua, conform cu Teorema 7.37, relatia(7.17) este verificata.
Un alt procedeu de rezolvare consta ın a verifica direct ca
2∫1
3∫0
(x2 − 2tex − 4t3)dt
dx =
3∫0
2∫1
(x2 − 2tex − 4t3)dx
dt.
Calculam
2∫1
(3∫0
(x2 − 2tex − 4t3)dt
)dx =
2∫1
(x2t − t2ex − t4)
∣∣∣∣30
=2∫1
(3x2 − 9ex − 81)dx =
= (x3 − 9ex − 81x)
∣∣∣∣21
= 8 − 9e2 − 162 − 1 + 9e + 81 = 9e − 9e2 − 74
si3∫0
(2∫1
(x2 − 2tex − 4t3)dx
)dt =
3∫0
(x3
3− 2tex − 4t3x
)∣∣∣∣21
ddt =
=
(7
3− 2(e2 − e)t − 4t3
)dt =
(7
3t − (e2 − e)t2 − t4
) ∣∣∣∣30
=
= 7 − 9(e2 − e) − 81 = 9e − 9e2 − 74.
Deci, si prin calcul direct s-a obtinut egalitatea.
7.3.3 Integrale improprii cu parametru
Fie A ⊂ R si a < b cu a∈ R si b ∈ R.7.39. Definitie. Daca functia f : [a, b) × A → R este local integrabila
pe [a, b) si nemarginita pe [a, b), atunci integrala
b∫a
f(x, t)dx := limr→b
r∫a
f(x, t)dx, ∀ t ∈ A (7.18)
se numeste integrala improprie cu parametru .Daca integrala (7.18) este convergenta pentru ∀ t ∈ A se poate defini
functia F : A → R prin
F (t) =
b∫a
f(x, t)dx.
164 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
Ca exemple de functii definite cu ajutorul integralelor improprii, mentionamfunctiile lui Euler.
7.40. Definitie. Functia B : (0, +∞) × (0, +∞) → R (citim beta)definita prin
B(p, q) =
1∫0
xp−1(1 − x)q−1dx (7.19)
se numeste functia beta si este functia lui Euler (sau functia eule-riana) de prima speta .
Functia Γ : (0, +∞) → R (citim gama) definita prin
Γ(p) =
∞∫0
xp−1e−xdx (7.20)
se numeste functia gama si este functia lui Euler (sau functia eule-riana) de speta a doua .
7.41. Propozitie. Integralele ce definesc functiile lui Euler sunt conver-gente.
Demonstratie. Aratam mai ıntai ca integrala ce defineste pe B(p, q)
(i.e.1∫0
xp−1 (1 − x)q−1 dx) este convergenta. Pentru aceasta, studiem sep-
arat convergenta integralelor.
I1 =
ε∫0
xp−1(1 − x)q−1dx si I2 =
1∫ε
xp−1(1 − x)q−1dx.
Pentru I1, integrantul este definit pe (0, ε] si de aceea o comparam (con-
form 7.23′′) cu integralaε∫0
1
x
k
dx. Din conditia ` = limx→0
xk ·xp−1(1−x)q−1 ∈ R∗
rezulta ca ın 7.27, k + p − 1 = 0, i.e. k = 1 − p. Si cumε∫0
1
xkdx este conver-
genta pentru k < 1, avem 1−p < 1. Prin urmare, I1 este convergenta pentrup > 0. Pentru I2, integrantul este definit pe [ε, 1). De aceea, se compara
(conform 7.23′) cu integrala improprie1∫ε
1
(1 − x)kdx si se obtine analog ca I2
este convergenta pentru q > 0. Atunci si I1 +I2 (= B(p, q)) este convergenta.
Pentru convergenta integralei ce defineste pe Γ(p) (i.e.∞∫0
xp−1e−xdx), se
7.3. Integrale cu parametru 165
studiaza separat convergenta integralelor:
I1 =
1∫0
xp−1e−xdx si I2 =
+∞∫1
xp−1e−xdx.
Deoarece integrantul lui I1 este definit pe (0, 1], se compara (conform
7.23′′) I1 cu1∫0
1
xkdx. Astfel se gaseste ca I1 este convergenta pentru p > 0.
Integrantul lui I2 este definit pe [1, +∞). I2 se compara (conform 7.20) cu∞∫1
1
x2dx. Deoarece xp−1e−x < x−2 (i.e. x1+p < ex) ∀ x ∈ [1, +∞) si
+∞∫1
1
x2dx
este convergenta, rezulta I2 convergenta. Prin urmare I1+I2
(=
∞∫0
xp−1e−xdx
)este convergenta.
7.42. Remarca. 1 Deoarece integralele ce definesc functiile lui Eulersunt convergente, rezulta ca aceste functii sunt bine definite.
2 Pentru functia Γ(p) se poate arata ca este: continua pe (0, +∞); in-definit derivabila pe (0, +∞) si dezvoltabila ın serie Taylor ın ∀ p0 ∈ (0, +∞).
3 Functia B(p, q) este continua pe domeniul de definitie.7.43.Lema. Pentru functiile B(p, q) si Γ(p) sunt adevarate relatiile pe
domeniile lor de definitie:1. B(p, q) = B(q, p);
2. B(p + 1, q + 1) =pq
(p + q + 1)(p + q)B(p, q);
3. Γ(1) = 1;4. Γ(p + 1) = pΓ(p); Γ(n + 1) = n!
5. B(p, q) =Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q);
6. Daca p + q = 1, B(p, q) =π
sin(pπ). si ın plus avem
7. B
(1
2,1
2
)= π;
8. Γ
(1
2
)=
√π.
Demonstratie. 1. B(p, q) =1∫0
xp−1(1 − x)q−1dx = (se face schimbarea,
x = 1 − t; dx = −dt; x = 0 ⇒ t = 1 si x = 1 ⇒ t = 0)
=
0∫1
(1 − t)p−1tq−1(−dt) =
1∫0
(1 − t)p−1tq−1dt = B(q, p).
166 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
2. B(p + 1, q + 1) =1∫0
xp(1 − x)qdx = (se integreaza prin parti, u =
(1 − x)q ⇒ u′ = −q(1 − x)q−1; v′ = xp ⇒ v =1
p + 1xq+1)
=1
p + 1xp+1(1 − x)q
∣∣∣∣10
+q
p + 1
1∫0
xp+1(1 − x)q−1dx =
=q
p + 1
1∫0
xp [1 − (1 − x)](1 − x)q−1dx =
=q
p + 1
1∫0
xp(1 − x)q−1dx − q
p + 1
1∫0
xp(1 − x)qdx.
Rezulta B(p + 1, q + 1) =q
p + 1B (p + 1, q) − q
p + 1B (p + 1, q + 1).
DeciB(p + 1, q + 1) =
q
p + q + 1B (p + 1, q) , (7.21)
dar B(p + 1, q) = B (q, p + 1) =p
p + qB (q, p) . Inlocuind ın (7.21) se obtine
relatia mentionata la 2.
3. Γ(1) =∞∫0
e−xdx = limr→∞
r∫0
e−xdx = limr→∞
(−e−x)
∣∣∣∣r0
= 1 − 0 = 1.
4. Γ(p + 1) =∞∫0
xpe−xdx = (se integreaza prin parti: u = xp ⇒ u′ =
pxp−1, v′ = e−x ⇒ v = −e−x) = −xpe−x
∣∣∣∣∞0
+ p∞∫0
xp−1e−xdx = 0 + pΓ(p) =
pΓ(p).Relatiile 5. si 6. le acceptam fara demonstratie.
7. B
(1
2,1
2
)=
π
sinπ
2
=π
1= π.
Se poate arata si prin calcul direct, i.e.
B
(1
2,1
2
)=
1∫0
x−12 (1 − x)
−12 dx =
1∫0
1√
x√
1 − xdx =
(se face schimbarea: x = sin2 t ⇒ dx = 2 sin t cos tdt; x = 0 ⇒ t = 0; x =
1 t =π
2
)=
π2∫0
1
sin t cos t· 2 sin t cos tdt = 2t
∣∣∣∣π2
0
= 2π
2= π.
7.4. Integrala Lebesgue 167
8. B
(1
2,1
2
)5=
Γ
(1
2
)Γ
(1
2
)Γ
(1
2+
1
2
) =
[Γ
(1
2
)]2
Γ(1)⇒ Γ
(1
2
)=
√π.
7.44.Nota. Pentru calculul integralelor folosim formulele:
∞∫0
xme−xdx = Γ(m + 1),
1∫0
xm(1 − x)ndx = B(m + 1, n + 1). (7.22)
7.4 Integrala Lebesgue
Integrala Lebesgue are ın vedere o clasa mai generala de multimi Ei,asa numitele multimi masurabile, iar clasa functiilor f este clasa functiilormasurabile.
S-a vazut ca integrala Riemann este limita sumelor de forma:n∑
i=1
f(ti)`(Ei),
f : [a, b] −→ R, marginita unde punctele ti, i = 1, n constituie o diviziune alui [a, b], iar Ei = [ti−1, ti].
7.45 Definitie. O functie Ω : X −→ [0, +∞) se numeste simpla dacas(Ω) este o multime finita, adica s are doar un numar finit de valori, pozitive.
7.46 Observatie. Daca s este o functie simpla si s(Ω) = α1, . . . , αnatunci s =
n∑i=1
αiχAiunde
Ai = x ∈ Ω|s(x) = αi , χAifiind functia caracteristica a multimii Ai.
Functia simpla s : Ω −→ [0, +∞) este masurabila ⇔ Ai, i = 1, n suntmasurabile.
7.47 Teorema. Fie f : Ω −→ [0, +∞) este o functie masurabila. Ex-ista un sir crescator snn de functii simple masurabile a. ı. lim
n−→∞sn = f
(punctual).Demonstratie (pag. 176 M. Craiu)Fie un spatiu cu masura (X,A, µ).7.48 Definitie. 1) Pentru orice functie simpla masurabila s : Ω −→
[0, +∞).
s =n∑
i=1
αiχAi, definim integrala lui s pe Ω,
∫Ω
sdµ =n∑
i=1
αiµAi.
168 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
2) Pentru orice functie masurabila f : Ω −→ [0, +∞) definim integralalui f pe Ω.
∫Ω
fdµ = sup
∫Ω
sdµ|s simpla masurabila, s ≤ f
.
3) Daca f : Ω −→ [0, +∞) masurabila si E ⊂ Ω, E µ masurabila, atuncise defineste integrala functiei f pe multimea E prin:∫
E
fdµ =
∫Ω
f0χEdµ.
Daca masura µ este masura Lebesgue, atunci integrala definita mai susse numeste integrala Lebesgue a lui f pe E ın raport cu masura µ.
7.49 Definitie. Definim:
L1Ω(µ) =
f : Ω −→ R|f masurabila si
∫Ω
|f |dµ < +∞
si numim spatiul functiilor integrabile (ın sensul lui Lebesgue) pe Ω.
7.50 Definitie. O proprietate P despre punctele unui spatiu cu masura(Ω,A, µ) are loc aproape peste tot (a. p. t) daca exista E ∈ A cu µ(E) = 0si P este adevarata pe Ω −A.
7.51 Proprietati ale integralei LebesgueFie spatiu cu masura (Rn,A(µ), µ). L1
Rn(µ) spatiul functiilor integrabileLebesgue pe Rn si E ⊂ Rn, µ(E) < +∞, f, g ∈ L1
Rn(µ).1) 0 ≤ f ≤ g ⇒
∫E
fdµ ≤∫E
gdµ(monotonie);
2)∫E
(λf + µg)dµ = λ∫E
fdµ + µ∫E
gdµ, ∀λ, µ ∈ R(liniaritate);
3)∫E
1dµ = µ(E)
(⇔
∫E
dx1 . . . dxn = µ(E)
)(expresia integrala a masurii);
4)
∣∣∣∣∫E
fdµ
∣∣∣∣ ≤ ∫E
||f ||dµ = ||f ||µ(E); (limitareamodululuiintegralei);
5) µ(E) = 0 ⇒∫E
fdµ = 0 (integrala este zero pe multimi neglijabile);
6) Daca E = E1 ∪ E2 cu Ei masurabile, i = 1, 2 ⇒∫
E1∪E2
fdµ =∫E1
fdµ +∫E2
fdµ (aditivitatea integralei);
7) f=
aptg pe E ⇒∫E
fdµ =∫E
gdµ;
7.4. Integrala Lebesgue 169
8) fnn , sir crescator de functii masurabile fn : Rn −→ [0, +∞).Daca f = lim
n−→∞fn (punctual), atunci
limn−→∞
∫Rn
fndµ =
∫Rn
fdµ
(teorema lui Beppo Levi de convergenta monotona).7.52 Observatii: Pentru a vedea ca integrala Lebesgue este efectiv mai
generala decat integrala Riemann sa consideram urmatorul exemplu:Fie
f(x) =
0 x irational,
1 x rational.
f(x) = X[a,b]∩Q, [a, b]∩Q este numarabila [a, b]∩Q masurabila (L) cu µ([a, b]∩Q) = 0 ⇒ f ∈ L1
[a,b](µ),∫[a,b]
f(x)dµ =
∫[a,b]∩Q
f(x)dµ+
∫[a,b]\([a,b]∩Q)
f(x)dµ = µ[a, b]∩Q+
∫[a,b]\([a,b]∩Q)
0dµ = 0.
Deci functia f este integrabila Lebesgue si se stie ca nu este integrabilaRiemann.
Nota: In cele ce urmeaza ın locul lui dµ vom scrie dx.7.53 Teorema. Daca f este integrabila Riemann pe [a, b] atunci f este
integrabila Lebesgue pe [a, b] si integrabilele coincid.Demonstratie. Observatia de mai sus arata ca reciproca acestei teoreme
nu este adevarata.Nota: In cele ce urmeaza vom folosi rezultatele:1) Orice multime compacta K ⊂ Rn este masurabila Lebesgue;2) Orice functie continua este masurabila.
7.54 Exercitiu. Fie f : [a, b] −→ R, f(x) =
0 x ∈ [a, b] \ Q,
1 x ∈ [a, b] ∩ Q.
Se cere:a) Sa se studieze continuitatea functiei f.b) Sa se studieze integrabilitatea Riemann a lui f.c) Sa se studieze integrabilitatea Lebesgue a lui f si ın caz afirmativ sa
se calculeze integrala Lebesgue a lui f.Rezolvare: a) f nu este continua. b) f nu este integrala Riemann. c)
este integrabila Lebesgue pentru ca µ(Q) = 0 (criteriu de integrabilitateLebesgue).∫
[a,b]
f(x)dµ =
∫[a,b]\Q
0 · dx +
∫[a,b]∩Q
1 · dx = 0 + µ[a, b] ∩ Q = µ(Q) = 0.
170 Capitolul 7. Extinderi ale integralei Reimann
Capitolul 8
Calculul integralelor multiple
8.1 Definitie. Fie (Rn,A(µ), µ), E ∈ A(µ) si f : E → [0, +∞) o functiemasurabila. Integrala Lebesgue
∫E
fdµ care se mai noteaza si ca o succesiune
de integrale simple astfel:∫E
fdµ :=
∫∫E
...
∫n ori
f(x1, x2, ..., xn)dx1, dx2, ..., dxn (8.1)
se numeste integrala multipla a functiei f pe multimea E.In acest caz
dµ = dx1dx2...dxn (8.2)
si se numeste elementul de volum. Uneori, dµ se noteaza prin dx. Decidx = dx1, dx2, ..., dxn.
Daca n = 1, atunci∫E
fdµ, unde dµ = dx este o integrala simpla.
Daca n = 2, atunci ∫E
fdµ :=
∫∫E
f(x, y)dxdy (8.3)
se numeste integrala dubla a functiei f pe multimea E, iar dµ = dxdyse numeste elementul de arie.
Daca n = 3, atunci∫E
fdµ :=
∫∫E
∫f(x, y, z)dxdydz (8.4)
se numeste integrala tripla a functiei f pe multimea E, iar dµ =dxdydz se numeste elementul de volum.
171
172 Capitolul 8. Calculul integralelor multiple
Punctul central ın deducerea formulelor de calcul efectiv al integralelormultiple ıl constituie:
8.2 Teorema. Fie a)Ω ⊂ Rp × Rq o multime marginita si masurabila,b) Ω1 = x ∈ Rp | ∃ y ∈ Rq a.ı.(x, y) ∈ Ω si c) Ax = y ∈ Rq | (x, y) ∈Ω, ∀x ∈ Ω1. Atunci pentru ∀ f ∈ C0(Ω,R) avem
∫Ω
f(x, y)dxdy =
∫Ω1
∫Ax
f(x, y)dy
dx (8.5)
unde am notat dx = dx1dx2...dxp, dy = dy1dy2...dyq,
Demonstratie(fara)
Bazandu-ne pe aceasta teorema vom gasi formule explicite de calcul alintegralelor duble si triple.
8.1 Calculul integralelor duble
Fie λ < µ ∈ R si g ≤ h ∈ C0([λ, µ],R).
8.3 Definitie. a) Multimea
MOx = (x, y) ∈ R2|λ ≤ x ≤ µ, g(x) ≤ y ≤ h(x) (8.6)
se numeste intergrafic proiectabil pe axa Ox (sau domeniu simplu ınraport cu axa Oy) si vom nota M = MOx(fig.8.1).
b) Multimea
MOy = (x, y) ∈ R2|λ ≤ y ≤ µ, g(y) ≤ y ≤ h(y) (8.7)
se numeste intergrafic proiectabil pe axa Oy (sau domeniu simplu ınraport cu axa Ox ) si vom nota M = MOy(fig.8.1).
8.4 Observatii. 1) Din punct de vedere geometric, proprietatea dome-niului M de a fi proiectabil pe axa Ox ınseamna de fapt, ca orice paralela laaxa Oy printr-un punct oarecare x ∈ (λ, µ), intersecteaza frontiera domeni-ului M ın cel mult doua puncte. Analog se poate spune despre intergraficulproiectabil pe axa Oy.
2) O multime M ⊂ R2 este MOx daca si numai daca ∃λ < µ ∈ R si∃g ≤ h ∈ C0([λ, µ],R), a.ı. M are forma (8.6).
3) Intergraficele, fiind multimi compacte(i.e. ınchise si marginite), suntmultimi masurabile.
8.5 Teorema. Fie functia f : M → R continua pe M.
8.1. Calculul integralelor duble 173
a) Daca M = MOx dat de (8.6) atunci
∫∫M
f(x, y)dx dy =
µ∫λ
h(x)∫g(x)
f(x, y)dy
dx. (8.8)
b) Daca M = MOy dat de (8.7) atunci
∫∫M
f(x, y)dx dy =
µ∫λ
h(x)∫g(x)
f(x, y)dx
dy. (8.9)
Aceasta teorema (data fara demonstratie) reduce calculul integralei dublela o succesiune de doua integrale simple, numite si integrale iterate.
8.6 Observatii.1) Teorema 8.5 se obtine din Teorema 8.2, punctul a)pentru Ω1 = [λ, µ] si Ax = [g(x), h(x)], x ∈ Ω1, si analog punctul b).
2) Daca g(x) = c si h(x) = d, atunci (fig.8.3)
M = (x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d (8.10)
si se numeste interval bidimensional sau dreptunghi. In acest caz formulele(8.8) si (8.9) devin:
∫∫M
f(x, y)dx dy =
b∫a
d∫c
f(x, y)dy
dx (8.11)
si respectiv ∫∫M
f(x, y)dx dy =
d∫c
b∫a
f(x, y)dy
dx. (8.12)
Din (8.11) si (8.12) se obtine relatia:
b∫a
d∫c
f(x, y)dy
dx =
d∫c
b∫a
f(x, y)dx
dy (8.13)
care arata ca ın cazul domeniilor dreptunghiulare nu conteaza ordinea deintegrare pentru functii continue. Aceasta proprietate a fost prezentata si laintegrarea integralelor cu parametru ın Teorema 7.37.
3) In general multimile pe care se calculeaza o integrala dubla sunt drep-tunghiuri, intergrafice proiectabile pe axa Ox (pe axa Oy), reuniuni finite aleacestora sau care se reduc la acestea.
174 Capitolul 8. Calculul integralelor multiple
4) Aria(M) = µ(M) =∫∫M
dxdy; ın cazul teoremei 1, aria(M) =b∫
a
(g2(x)−
g1(x))dx, formula cunoscuta din clasa a XII-a.8.7 Aplicatii 1. Sa se calculeze integrala functiei f(x, y) = xy + x2 pe
dreptunghiul M0 = [1, 2] × [−1, 3] (= (x, y) ∈ R2|1 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 3)Rezolvare. Mai ıntai se reprezinta domeniul M Intr-un sistem de axe
(fig.8.4).Acum se aplica formula (8.11) si avem:∫∫
M
f(x, y)dx dy =2∫1
(3∫
−1
(xy + x2)dy
)dx =
2∫1
(xy2
2+ x2y
) ∣∣∣∣3−1
dx =
=2∫1
(x2· 9 + x2 · 3 − x
2(−1)2 − x2(−1)
)dx = 4
(x3
3+ x2
2
) ∣∣∣∣21
= 463
2.Sa se calculeze: J =∫∫M
dxdy
(x + y + 1)2unde M = [0, 1] × [3, 5].
Rezolvare: Se traseaza domeniul M (uneori este suficient chiar si cuaproximatie) pe un sistem de axe (fig.8.5) si avem
J =∫∫M
dxdy
(x + y + 1)2=
5∫3
1∫0
dx
(x + y + 1)2
dy =
5∫3
(1
y + 1− 1
y + 2
)dy =
= ln
∣∣∣∣y + 1
y + 2
∣∣∣∣ ∣∣∣∣53
= ln6
7− ln
4
5= ln
15
14
3. Sa se calculeze∫∫M
(x + y)dx dy, unde
a) M = (x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4,b) M = (x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2,c) M este portiunea din plan delimitata de parabola y = x2 si dreapta
y = x,d) M este portiunea din plan delimitata de parabola y2 = 2x, dreapta
x + y = 4 si axa Ox.Rezolvare. a) Domeniul M este dat ın (fig.8.6, a)). Functia f este con-
tinua pe M si sunt ındeplinite conditiile Teoremei 8.5. Astfel se poate aplicaformula (8.8).∫∫
M
f(x, y)dx dy =∫∫M
(x + y)dx dy =2∫0
[4∫
x2
(x + y)dy
]dx =
=2∫0
(xy + y2
2
) ∣∣∣∣4x2
dx ==2∫0
(−x4
2− x3 + 4x + 16
2
)dx =
=(−x5
10− x4
4+ 2x2 + 8x
) ∣∣∣∣20
= 835.
8.1. Calculul integralelor duble 175
b). Se procedeaza ca la punctul a). Aici multimea M este portiuneadelimitata de axa Ox si parabola y = x2, pentru x ∈ [0, 2], (fig.8.6, b)).
c).Rezolvare:(fig.8.6 b))
y = x2
y = x⇒
x = 0y = 0
∨
x = 1y = 1.
Aici Ω1 = [0, 1] si Ax = [x2, x], deoarece g1(x) = x2 si g2(x) = x, x ∈ [0, 1].
Avem din:
J =∫∫M
(x + y)dxdy =1∫0
dxx∫
x2
(x + y)dy =1∫0
(xy +
y2
2
) ∣∣∣∣xx2
dx =
=1∫0
(x2 +
x2
2− x3 − x4
2
)dx =
(x3
2− x4
4− x5
10
) ∣∣∣∣10
=3
20
d). Se observa (fig.8.6, d)) ca A(4, 0) (punctul A se gaseste la intersectiadintre dreapta x + y = 4 si axa Ox) si ca B(2, 2) (punctul B se gaseste laintersectia dreptei x + y = 4 cu parabola y2 = 2x). Domeniul hasurat se
poate scrie, pe de o parte, MOy = (x, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 2,y2
2≤ x ≤ 4 − y
si pe de alta parte MOx = M ′Ox ∪ M ′′
Ox unde M ′Ox = (x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤
2, 0 ≤ y ≤√
2x si M ′′Ox = (x, y) ∈ R2|2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 − x.
Deci, domeniul M este proiectabil atat pe Ox ın acest caz are forma MOx)cat si pe Oy ın acest caz are forma MOy). Astfel putem calcula integrala ındoua moduri.
1)M = MOy :∫∫M
(x + y)dx dy =∫∫My
(x + y)dx dy =
=2∫0
4−y∫y2
2
(x + y)dx
dy = =2∫0
(x2
2+ xy
) ∣∣∣∣4−y
y2
2
dy =
=2∫0
(8 − y2
2− y3
2− y4
8
)dy =
=
(8y − y3
6− y4
8− y5
40
) ∣∣∣∣20
=178
15.
2)M = MOx :∫∫M
(x + y)dx dy =∫ ∫M ′
x∪M ′′x
(x + y)dx dy =
=∫∫M ′
x
(x + y)dx dy +∫∫M ′′
x
(x + y)dx dy =2∫0
[√2x∫
0
(x + y)dy
]dx+
+4∫2
[4−x∫0
(x + y)dy
]dx =
2∫0
(xy +
y2
2
) ∣∣∣∣√
2x
0
dx +4−x∫2
(xy +
y2
2
) ∣∣∣∣4−x
0
dx =
=2∫0
(x√
2x + x)dx +
4∫2
[x(4 − x) +
(4 − x)2
2
]dx =
176 Capitolul 8. Calculul integralelor multiple
=
(2√
2
5· x2
√x +
1
2x2
)∣∣∣∣20
+
(−x3
6+ 8x
) ∣∣∣∣42
=26
5+
20
3=
178
15.
4 Sa se calculeze∫∫M
xy dx dy unde M este domeniul delimitat de semicer-
cul (x − 1)2 + y2 = 1, y ≥ 0 si dreptele y = x si x = 2.Rezolvare. Reprezentat ıntr-un sistem de coordonate domeniul M este
portiunea hasurata din fig.8.7 si este proiectabil pe axa Ox descompunandu-se ın doua subdomenii M ′
Ox si M ′′Ox unde:
M ′Ox = (x, y) ∈ R2| unde 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤
√2x − x2 si M ′′
Ox =(x, y) ∈ R2|1 ≤ x ≤ 2,
√2x − x2 ≤ y ≤ x. Deci MOx = M ′
Ox ∪ M ′′Ox si
avem:∫ ∫MOx
xy dx dy =∫∫
M ′Ox
xy dx dy +∫∫
M ′′Ox
xy dx dy =
=1∫0
[√2x−x2∫x
xy dy
]dx +
2∫1
[x∫
√2x−x2
xy dy
]dx =
1∫0
xy2
2
∣∣∣∣√
2x−x2
x
dx+
+2∫1
xy2
2
∣∣∣∣x√2x−x2
=1∫0
[x
2
(2x − x2
)− x
2x2
]dx +
2∫1
[x
2x2 − x
2
(2x − x2
)]dx =
1∫0
(x2 − x3) dx +2∫1
(x3 − x2)dx =
(x3
3− x4
4
) ∣∣∣∣10
+
(x4
4− x3
3
) ∣∣∣∣21
=
=
(1
3− 1
4
)+
(16
4− 8
3− 1
4+
1
3
)=
1
12+
17
12=
3
2.
Domeniul M nu este proiectabil pe axa Oy pentru ca se pot duce paralelela axa Oy care intersecteaza frontiera domeniului ın mai mult de doua puncte.
5 Sa se calculeze aria intergraficului M definit de g1(x) = sin x, g2(x) =
sin x + cos x, x ∈[0,
π
2
].
Rezolvare. Conform Obsevatiei 8.6,4), avem aria(M) =∫∫M
dxdy =
=
π2∫0
dxg2(x)∫g1(x)
dy =
π2∫0
(sin x + cos x − sin x)dx =
π2∫0
cos xdx = 1
8.2 Calculul integralelor triple
Fie g1 ≤ g2 ∈ C0(D,R), unde D ⊂ R2, este o multime marginita simasurabila.
8.8 Definitie. Multimea
Ω = (x, y, z) ∈ R3|(x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y) (8.14)
se numeste intergrafic proiectabil pe planul xOy,(fig.8.8).
8.2. Calculul integralelor triple 177
Un intergrafic Ω, proiectabil pe planul xOy presupune existenta multimiimarginite si masurabile D = pr.xOyΩ si a functiilor g1 ≤ g2 ∈ C0(D,R), a.ı.este verificata relatia (8.14). De aceea un astfel de intergrafic ıl vom notauneori, Ω = Ω(D; g1, g2).
Analog se definesc intergraficele proiectabile pe planele xOz si yOz.Pentru calculul integralelor triple folosim teorema urmatoare.8.9 Teorema. Fie Ω = Ω(D; g1, g2) ∈ pr.xOy. Atunci pentru ∀f ∈
C0(Ω,R) avem
∫Ω
∫∫f(x, y, z)dxdydz =
∫D
∫dxdy
g2(x,y)∫g1(x,y)
f(x, y, z)dz. (8.15)
Demonstratie. Alegem P ×Q ca fiind un paralelipiped din R3 astfel ıncatD ⊂ P ⊂ R2, P sa fie un dreptunghi si Q un interval din R.∫
Ω
∫∫f(x, y, z)dxdydz =
∫P×Q
∫∫fM(x, y, z)dxdydz =
∫P
∫dxdy
∫Q
fM(x, y, z)dz =
=∫P
∫dxdy
g2(x,y)∫g1(x,y)
fM(x, y, z)dz =∫D
∫dxdy
g2(x,y)∫g1(x,y)
f(x, y, z)dz.
8.10 Observatii.1). Teorema 8.9 se obtine din Teorema 8.2, pentruΩ1 = D si Ax,y = [g1(x, y), g2(x, y)], x ∈ Ω1, Aceste doua multimi, Ω1 si Ax,y
sunt puse ın evidenta la calcularea oricarei integrale triple.2). P este un dreptunghi ce contine pe D = prxOyΩ, iar Q este un interval
care contine intervalul [min g1(x, y), max g2(x, y)]3). Daca f(x, y, z) = 1, (∀)(x, y, z) ∈ Ω, atunci
vol(Ω) =
∫Ω
∫∫dxdydz =
∫D
∫[g2(x, y) − g1(x, y)]dxdy
4). Multimea Ω poate fi o reuniune de de intergrafice proiectabile peplanul xOy.
5). Un caz particular de intergrafic ıl constituie paralelipipedele ınchise,cu muchii paralele cu axele de coordonate.
6). Domeniul Ω = Ω(D; g1, g2) ∈ pr.xOy se caracterizeaza prin aceeaca suprafetele Σi : z = gi(x, y), i = 1, 2 reprezinta frontierele inferioara sirespectiv superioara a lui Ω, iar frontiera laterala este o suprafata riglata,care (local) poate degenera ıntr-o curba(definita de intersctia lui Σ1 cu Σ2).
8.11 Aplicatii: 1) Sa se calculeze J =∫∫∫
Ω
xyzdxdydz unde Ω = [0, 1]×
[2, 4] × [5, 8].
178 Capitolul 8. Calculul integralelor multiple
Rezolvare. In acest caz avem, de exemplu, D = [0, 1] × [2, 4], (fig.8.9) sideci
J =
∫D
∫dxdy
8∫5
xyzdz =
∫ ∫D
xyz2
2
∣∣∣∣85
dxdy =39
2
1∫0
dx
4∫2
xydy =
=39
2
1∫0
xy2
2
∣∣∣∣42
dx =117
2
2). Sa se calculeze J =∫ ∫ ∫
Ω
dxdydz
(1 + x + y + z)3unde Ω este tetraedul
delimitat de planele x = 0, y = 0, z = 0 si x + y + z = 1 (fig.8.10a).Rezolvare. Se vede imediat ca g1(x, y) = 0, g2(x, y) = 1 − x − y, iar
D = (x, y); 0 ≤ y ≤ 1 − x; 0 ≤ x ≤ 1 = prxOy (fig.8.10b).Daca aplicam formula (8.16), avem
I =
∫D
∫dxdy
1−x−y∫0
=dz
(1 + x + y + z)3
Deoarece
1−x−y∫0
dz
(1 + x + y + z)3= − 1
2(1 + x + y + z)2
∣∣∣∣1−x−y
0
=1
2
1
(1 + x + y)2 − 1
4
,
rezulta
I =1
2
∫D
∫ 1
(1 + x + y)2 − 1
4
dxdy =1
2
1∫0
dx
1−x∫0
1
(1 + x + y)2 − 1
4
dy =
=1
2
1∫0
(− 1
(1 + x + y)− y
4
) ∣∣∣∣1−x
0
dx =1
2
1∫0
(1
1 + x− 3 − x
4
)dx =
=1
2ln(1 + x) +
(3 − x)2
16
∣∣∣∣10
=1
2ln 2 − 5
16
3) Sa se calculeze volumul V(Ω) al ′′ corpului ′′Ω limitat de paraboloidulz = x2 + y2 si de planul z = 1, (fig.8.11)
8.2. Calculul integralelor triple 179
Rezolvare. Conform cu formula formula 8.15 avem
V(Ω) =
∫∫∫Ω
dxdydz =
∫D
∫dxdy
∫ 1
x2+y2
unde D = prxOyΩ. Asadar D este discul x2 + y2 ≤ 1 ın planul xOy siAx,y = [x2 + y2, 1]. Deci:
V(Ω) =
∫∫D
(1 − x2 − y2)dxdy =
1∫−1
dx
∫ √1−x2
−√
1−x2
(1 − x2 − y2)dy =π
2,
4.Sa se calculeze integrala tripla
I =
∫∫∫Ω
xdxdydz
unde Ω = (x, y, z)|x2 + y + z2 ≤ 1, y ≥ 0 (fig.8.12)Rezolvare. In acest caz, Ω este intergrafic proiectabil pe planul xOz si
avem mai ıntai D = (x, o, y) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1 si Ax,z = [0, 1 − x2 − z2].Acum folosim Teorema 8.8 si avem
I =
∫∫D
xdxdz
∫ 1−x2−z2
0
dy =
∫∫D
x(1 − x2 − z2)dxdz.
Multimea D este un intergrafic proiectabil pe axa Ox cu Ω1 = [−1, 1] si
Ax = [−√
1 − x2,√
1 − x2]. Deci I =
∫ 1
−1
xdx
∫ √1−x2
−√
1−x2
(1 − x2 − z2)dz =∫ 1
−1
x
(z − x2z − z3
3
) ∣∣∣∣z=√
1−x2
z=−√
1−x2
dx =4
3
∫ 1
−1
x(1−x2)√
1 − x2dx, adica I = 0,
deoarece integratul este functie impara (se putea invoca aceasta proprietatechiar ın antepenulultima integrala).
180 Capitolul 8. Calculul integralelor multiple
8.3 Schimbari de variabile ın integrale multi-
ple
Fie U, V ⊂ Rp deschisi fixati, difeomorfismul G(t), G : U → V
U 3 t = (t1, t2, . . . , tp) → G(t) = (x1, x2, . . . , xp) ∈ V
unde xi = gi(t), i = 1, p, gi : U → R, cu jacobianul |JG| si functia f : V → R.Cele mentionate mai sus se pot schita astfel:
In aceste conditii avem urmatoarea teorema.8.12 Teorema. Daca M ⊂ V este o submultime masurabila atunci
functia f integrabila pe M daca si numai daca (foG) · |JG| integrabila peG−1(M) si avem relatia∫
M
f(x)dx =
∫G−1(M)
foG(t) · |JG(t)| dt (8.16)
Demonstratia acestei teoreme este destul de laborioasa. Vom folosi frecventın aplicatii doar enuntul.
Pentru schimbarile de variabila ın integralele multiple, cel mai des suntfolosite coordonatele polare in plan si spatiu, si coordonate cilindrice.
a) Trecerea la coordonate polare ın plan. Consideram deschisi U = (0, +∞)×(0, +2π) si V = R2 − (x, 0)|x ≥ 0 din R2 si fie aplicatia G : U → V,
U 3 t = (ρ, θ) → G(ρ, θ) = (x, y) ∈ V (8.17)
unde ρ si θ sunt coordonatele polare ale punctului de coordonate carteziene(x, y). Deci x = ρ cos θ si y = ρ sin θ. In acest caz |JG(ρ, θ)| = ρ si conformTeoremei 8.10, pentru orice multime M ⊂ V∫∫
M
f(x, y)dxdy =
∫∫G−1(M)
f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρdρdθ. (8.18)
8.3. Schimbari de variabile ın integrale multiple 181
Formula (8.18) reduce calcularea unei integrale duble data ıncoordonatecarteziene, la o integrala ın coordonate polare. Aceasta schimbare de coor-donate se recomanda atunci cand expresia x2 + y2 este prezenta ın expresiafunctiei f(x, y) si-ın descrierea frontierei domeniului pe care se face inte-grarea.
Aplicatie. Sa se calculeze integrala J =∫∫M
(x + y + 1)dxdy, unde M =
(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ r2 si apoi sa se calculeze aria multimii M.Rezolvare. Deoarece expresia x2 +y2 este prezenta ın descrierea frontierei
multimii M, facem schimbarea de variabila x = ρ cos θ y = ρ sin θ, (ρ, θ) ∈[0, r] × [0, 2π], i.e. se trece la coordonate polare. Acum aplicam formula(8.18) si avem succesiv
J =∫∫M
(x + y + 1)dxdy =∫ ∫[0,r]×[0,2π]
(ρ cos θ + ρ sin θ + 1) · ρdρdθ =
=r∫0
ρdρ2π∫0
(ρ cos θ + ρ sin θ + 1)dθ =r∫0
ρ
(ρ
2π∫0
cos θdθ + ρ2π∫0
sin θdθ +2π∫0
dθ
)dρ =
=r∫0
ρ
(ρ sin θ
∣∣∣∣2π
0
− ρ cos θ
∣∣∣∣2π
0
+ θ
∣∣∣∣2π
0
)dρ =
r∫0
ρ(0 − 0 + 2π)dρ =1
22πρ2
∣∣∣∣r0
= πr2.
Aria multimii M este data de integrala∫∫M
dxdy.
b) Trecerea la coordonate sferice.Cand multimea Ω pe care se face integrarea, prezinta o simetrie ın raport
cu un punct, pentru probleme cu simetrie centrala se recomanda trecerea lacoordonate sferice.
Aceasta se realizeaza folosind difeomorfismul G : U → V,
U 3 t = (ρ, θ, ϕ) → G(ρ, θ, ϕ) = (x, y, z) ∈ V (8.19)
unde x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ. Se gaseste ca |JF | =r2 sin ϕ.
Aplicatie. Sa se calculeze volumul sferei de raza R.Rezolvare. Se considera multimea
Ω = (x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + y2 ≤ R2
si gasim G−1(Ω) = [0, R] × [0, 2π] × [0, π], apoi avem
vol(Ω) :=∫∫∫Ω
dxdydz =∫∫ ∫G−1(Ω)
r2 sin ϕdxdydz =
=2π∫0
dθπ∫0
dϕR∫0
r2 sin ϕdr =R3
3
2π∫0
dθ
π∫0
sin ϕdϕ =2R3
3
2π∫0
dθ =4πR3
3.
182 Capitolul 8. Calculul integralelor multiple
c) Trecerea la coordonate cilindrice. In probleme de simetrie axiala (ınraport cu o dreapta) se recomanda ınlocuirea coordonatelor carteziene princoordonate cilindrice. Aceste coordonate sunt folosite si la studiul propagariiundelor prin antene.
Consideram U, V ∈ desR3 si fie difeomorfismul G : U → V,
U 3 t = (ρ, θ, z) → G(ρ, θ, z) = (x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z) ∈ V (8.20)
Prin calcul se gaseste ca:|JG| = ρ. In acest caz formula (8.16) devine∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫∫G−1(Ω)
f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρdρdθdz. (8.21)
Aplicatie. Sa se calculeze integrala tripla I =∫∫∫Ω
xydxdydz unde Ω =
(x, y, z) ∈ R|x2 + y2 ≤ 1 − z, z ≥ 0.Rezolvare. Se observa ca Ω prezinta o simetrie fata de axa Oz. Deci se
pot aplica coordonatele cilindrice. Facem schimbarea de variabila (8.20) sigasim ca x2 + y2 = ρ2, 0 ≤ z ≤ 1 − ρ2 si G−1(Ω) = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 1].Acum aplicam formula (8.21) si obtinem
I =∫∫∫Ω
xydxdydz =∫∫ ∫G−1(Ω)
ρ2 cos θ sin θ · ρdρdθdz =
=2π∫0
sin θ cos θdθ1∫0
dρ1−ρ2∫0
ρ3dz =2π∫0
sin θ cos θdθ1∫0
(ρ3 − ρ5)dρ = 0
Capitolul 9
Teste de autoevaluare sievaluare
9.1 Test de autoevaluare
1. Sa se calculeze punctele limita, lim si lim pentru sirul (xn)n≥1 unde
xn = (−1)n 2n2 − 3n + 3
2n − 7n2 + 1.
Rezolvare: Se cunoaste ca limita fiecarui subsir al sirului (xn)n≥1 estepunct limita al sirului. Se impune desfacerea sirului ın doua subsiruri:(x2n)n≥1 si (x2n+1)n≥0;
x2n =8n2 − 6n + 3
4n − 28n2 + 1si x2n+1 = −2(2n + 1)2 − 3(2n + 1) + 3
2(2n + 1) − 7(2n + 1)2 + 1.
De aici limn→∞
x2n = −2
7si lim
n→∞x2n+1 = 27. Rezulta :
limn→∞
xn = sup
−2
7,2
7
=
2
7si lim
n→∞xn = inf
−2
7,2
7
= −2
7.
2. Sa se calculeze limn→∞
xn, unde xn = (x1n, x2
n, x3n, x4
n) cu
x1n = 3
√n + 1 − 3
√2n2/3 + n; x3
n =
1 +1√2
+ ... +1√n
n;
x2n = n
√(n!)2
(2n)!8n; x4
n =2n + 2 · 3n + 6n
3n + 3 · 4n + 2 · 6n.
Rezolvare: (a) limn→∞
x1n = lim
n→∞
(3√
n + 1 − 3√
2n2/3 + n)
=
183
184 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
= limn→∞
n + 1 − 2n2/3 − n(3√
n + 1)2
+ 3√
n + 13√
2n2/3 + 1 +(
3√
2n2/3 + 1)2 =
= limn→∞
n2/3(−2 + 1/n2/3
)n2/3
[(3√
1 + 1/n)2
+ ...
] = -2
3
(b) Pentru ca x2n are forma x2
n = n√
tn calculam limn→∞
tn+1
tn.
limn→∞
tn+1
tn= lim
n→∞
[(n + 1)!]2
(2n + 2)!8n+1· (2n)!8n
(n!)2=
= limn→∞
(n!)62 · (n + 1)62 · (2n)!8n
(6 2n)!(2n + 1) · 2(n + 1)8n · 8 · (n!)2=
1
32
Deoarece limn→∞
tn+1
tnexista, rezulta lim
n→∞n√
tn = limn→∞
tn+1
tn=
1
32
Rezulta ca limn→∞
x2n =
1
32.
(c) Consdideram ca x3n =
zn
yn
. Deoarece yn =√
n → ∞si (yn) este
crescator, calculam:
limn→∞
zn+1 − zn
yn+1 − yn
= limn→∞
1 +1√2
+ ... +1√n
+1√
n + 1− 1 − 1√
2− ... − 1√
n√n + 1 −
√n
=
= limn→∞
1√n + 1
(√n + 1 −
√n) = lim
n→∞
√n + 1 +
√n√
n + 1 (n + 1 − n)=
= limn→∞
√n
(√1 +
1
n+ 1
)√
n
√1 +
1
n
= 2. Rezulta ca limn→∞
x3n = 2.
(d) limn→∞
x4n = lim
n→∞
2n + 2 · 3n + 6n
3n + 3 · 4n + 2 · 6n= lim
n→∞
6n
[(2
6
)n
+ 2
(3
6
)n
+ 1
]6n
[(3
6
)n
+ 3
(4
6
)n
+ 2
] =
1
2Deoarece sirurile (x1
n), (x2n), (x3
n), (x4n) ∈ CR, avem
limn→∞
xn = ( limn→∞
x1n, lim
n→∞x2
n, limn→∞
x3n, lim
n→∞x4
n) = (−23, 1
32, 2, 1
2)
9.1. Test de autoevaluare 185
3. Sa se studieze convergenta seriilor:∑n≥3
1
n2 − 4;(b)
∑n≥1
2n2 + n + 7
−n + 5n2; (c)
∑(n + 1
n
)n2
·(
1
5
)n
;
(d)∑n≥0
(2n)!
4n(n!)2; (e)
∑n≥1
nn
3n · n!; (f)
∑n≥0
(−1)n · 1
2n + 1.
Rezolvare: (a) Consideram sirul sumelor partiale (sn)n,
sn =n∑
k=3
1
k2 − 4= 1
4
n∑k=3
(1
k − 2− 1
k + 2
)=
= 1 +1
2+
1
3+
1
4− 1
n − 1+
1
n+
1
n + 1+
1
n + 2Pentru ca lim
n→∞sn = 1, adica sn este convergent, conform definitiei conver-
gentei unei serii (o serie este convergenta ⇔ sirul sumelor partiale este con-
vergent), rezulta ca seria∑ 1
n2 − 4este convergenta.
(b) Criteriul necesar de convergenta spune: Seria∑
un este divergentadaca un → 0 (altfel spus, daca un nu tinde catre zero, atunci seria
∑un este
divergenta). Aici un =2n2 + n + 7
−n + 5n2si se obtine lim
n→∞un =
= limn→∞
n2
(2 +
1
n+
7
n2
)n2
(− 1
n+ 5
) =2
56= 0. Deci seria este divergenta.
Observatie: Atunci cand se cere studiul convergentei unei serii este bineca ın primul rand sa se aplice acest criteriu si dupa aceea, daca este cazul sialte criterii.
Prin urmare, daca un → 0, se trece la folosirea altor criterii.
Atentie: daca un → 0, nu ınseamna ca seria este convergenta.
(c) Daca termenul general xn al unei serii∑
xn are forma xn = (. . . )n,atunci se recomada folosirea ın primul rand, a criteriului radicalului. Deci
calculam limn→∞
n√
xn(daca aceasta nu exista se calculeaza limn→∞
n√
xn
). Astfel
avem:
α = limn→∞
n√
xn = limn→∞
n
√(n + 1
n
)n2
·(
1
5
)n
= limn→∞
1
5
(n + 1
n
)n
=
1
5lim
n→∞
(1 +
1
n
)n
=1
5e.
Pentru ca α =1
5e < 1 rezulta ca seria
∑xn este convergenta (daca s-ar
fi obtinut: α > 1 seria ar fi fost divergenta; α = 1 acest criteriu nu s-ar fiaplicat urmand sa se caute alt criteriu - de exemplu Raabe - Duhamel).
(d) Forma termenului general ne sugereaza sa aplicam criteriul raportului
186 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
(fiind sub forma de factori). Deci calculam α = limn→∞
xn+1
xn
si avem:
α = limn→∞
xn+1
xn
= limn→∞
(2n + 2)!
4n+1 [(n + 1)!]2· 4n(n!)2
(2n)!= lim
n→∞
(2n + 1)2
4(n + 1)= 1
Pentru ca α = 1 avem incertitudine (i.e. criteriul nu permite stabilireaconvergentei). Vom aplica acum un alt criteriu, de exemplu criteriul lui
Raabe Duhamel. In acest sens calculam: β = limn→∞
n
(xn
xn+1
− 1
)=
limn→∞
n
(2(n + 1)
2n + 1− 1
)= lim
n→∞n
2n + 2 − 2n − 1
2n + 1= lim
n→∞
n
2n + 1=
1
2< 1
Deoarece β < 1 rezulta ca seria∑n≥0
(2n)!
4n(n!)2este divergenta (daca s-ar fi
gasit β > 1, seria ar fi fost convergenta, iar pentru β =1 ar fi fost incertitu-dine).
(e) La fel ca la (d) se calculeaza:
xn+1
xn
=(n + 1)n+1
3n+1(n + 1)!· 3nn!
nn=
1
3
(n + 1
n
)n
si apoi:
α = limn→∞
xn+1
xn
= limn→∞
1
3
(n + 1
n
)n
=1
3lim
n→∞
(1 +
1
n
)n
=1
3e < 1 si
rezulta ca seria∑n≥0
nn
n!3neste convergenta.
(f) Termenul general ıl are ca factor pe (-1)n. Deci seria∑n≥0
(−1)n 1
2n + 1este o serie alternanta si se aplica criteriul lui Leibniz: Seria
∑(−1)nyneste
convergenta daca (yn)n≥0 este descrescator si yn → 0. In cazul de fata,
yn =1
2n + 1. si calculam:
yn+1−yn =1
2(n + 1) + 1− 1
2n + 1=
2n + 1 − 2n − 3
(2n + 1)(2n + 3)=
−2
(2n + 1)(2n + 3)<
0 ⇒ sirul (yn) este descrescator. Si cum limn→∞
yn = limn→∞
1
2n + 1=0, rezulta ca
sunt ındeplinite conditiile din criteriul lui Leibniz.
Deci seria∑n≥0
(−1)n 1
2n + 1este convergenta.
4. Sa se scrie primii trei termeni din dezvoltarea ın serie Taylor a functieif : R∗
+ → R, f(x) = 2x2 + ln x ın jurul lui x0 = 2.Rezolvare: Seria Taylor a lui f(x) ın jurul lui x0 = 2 este:
f(x) = f(2)+x − 2
1!f ′(2)+
(x − 2)2
2!f ′′(2)+...+
(x − 2)n
n!f (n)(2)+...f(2) = 8+ln2
9.1. Test de autoevaluare 187
f ′(x) = 4x +1
x⇒ f ′(2) = 8 +
1
2=
17
2
f ′′(x) = 4 − 1
x2⇒ f ′′(2) = 4 − 1
4=
15
4
Inlocuind se obtine f(x) = (8 + ln 2) +x − 2
1!· 17
2+
(x − 2)2
2!· 15
4+ ...
Decif(x) = 8 + ln 2 +17
2(x − 2) +
15
8(x − 2)2 + ...
5. Sa se cerceteze limitele iterate si limita globala ın origine pentru
functia: f(x, y) =x − y + x2 + y2
x + y, x + y 6= 0.
Rezolvare: `12 = limx→0
limy→0
f(x, y) = limx→0
x − 0 + x2 + 0
x + 0= lim
x→0
x (1 + x)
x= 1
`21 = limy→0
limx→0
f(x, y) = limy→0
0 − y + 0 + y2
0 + y= −1
Pentru ca λ12 6= λ21 ⇒ limx → 0y → 0
f(x, y) nu exista.
Observatie: Faptul ca limx → 0y → 0
f(x, y)nu exista se poate dovedi si direct,
considerand ca y → 0, de exemplu, pe directia y = mx. Deci:
limx → 0y = mx
f(x, y) = limx→0
x − mx + x2 + m2x2
x + mx= lim
x→0
1 − m + x + m2x
1 + m=
1 − m
1 + m.
Deoarece limx → 0y = mx
f(x, y) depinde de panta m, rezulta ca limx → 0y → 0
f(x, y)nu
exista.
6. Sa se studieze continuitatea functiilor f : R2 → R2:
f(x, y) =
x + y
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
f(x, y) =
√1 − x2 − y2, x2 + y2 ≤ 1
0 , x2 + y2 > 1
Rezolvare. (a) lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) =?Consideram ca y → 0 (de exemplu) pe
drepte, adica y = mx. Atunci:
188 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
limx→0
f(x,mx) = limx→0
x + mx
x2 + m2x2= lim
x→0
1 + m
1 + m2· 1
x=
1 + m
1 + m2· lim
x→0
1
x.
Deoarece limx→0
1
xnu exista, rezulta ca nu exista nici lim
x → 0y = mx
f(x, y) si
nici lim(x,y)→(0,0)
f(x, y)nu exista. Cum aceasta ultima limita nu exista rezulta
ca functia f nu este continua ın (0, 0).In orice al punct diferit de (0,0) functia este continua. Intr-adevar, fie (a,
b) 6= (0, 0) si (xn, yn)n≥0 ⊂R2 – (0, 0) cu (xn, yn)n→∞−→ (a, b).
f(xn, yn) =xn + yn
x2n + y2
n
⇒ limn→∞
f(xn, yn) = limn→∞
xn + yn
x2n + y2
n
=lim
n→∞xn + lim
n→∞yn
limn→∞
x2n + lim
n→∞y2
n
=
=a + b
a2 + b2= f(a, b) ⇒ f continua ın (a, b).
(b) Notam A = (x, y) ∈ R2 |x2+y2 < 1, B = (x, y) ∈ R2 |x2+y2 >1 si C = (x, y) ∈ R|x2 + y2 = 1.(= ∂A = ∂B).
Fie (α, β) ∈ R2 si (xn, yn)n≥0 ⊂ R2 a.ı. (xn, yn) → (α, β). Atunci,
f(xn, yn) =
√1 − x2
n − y2n, (xn, yn) ∈ A ∪ C
0, (xn, yn) ∈ B
Situatia 1 : (α, β) ∈ A. In acest caz (xn, yn)n ⊂ A ∪ C (daca (xn,yn)n ⊂ B, atunci (xn, yn) → (α, β)). Rezulta f(xn, yn) ==
√1 − x2
n − y2n
n→∞−→√
1 − α2 − β2 = f(α, β). Deci f este continua pe A.Situatia 2 : (α, β) ∈ C. Daca (xn, yn)n ⊂ A ∪ C, atunci f(xn,
yn) =√
1 − x2n − y2
nn→∞−→
√1 − α2 − β2 = f(α,β). Deci f este continua pe
C.Situatia 3 : (α, β) ∈ B.Pentru ca (xn, yn) → (α, β), rezulta ca (xn,
yn)⊂B (altfel(xn, yn) → (α, β)). Deci f(xn, yn) = 0 =f(α, β), i.e. f estecontinua pe B.
Prin urmare f este continua pe R2.
7. Fie f : R2 → R2, f(x, y)=√
x2 + y2 sa se calculeze∂f
∂x(1, 1),
∂f
∂y(1, 1),
∂f
∂x ∂y(1, 1), folosind definitia si direct (i.e. folosind regulile de
derivare partiala).
Rezolvare.∂f
∂x(1, 1) = lim
x→1
f(x, 1) − f(1, 1)
x − 1= lim
x→1
√x2 + 1 −
√2
x − 1=
(se amplifica cu conjugata numaratorului)
=limx→1
x2 − 1
(x − 1)(√
x2 + 1 +√
2) = lim
x→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(√
x2 + 1 +√
2) =
2
2√
2=
9.1. Test de autoevaluare 189
1√2.
Analog se gaseste ca∂f
∂y(1, 1) = lim
y→1
f(1, y) − f (1, 1))
y − 1= ... =
1√2
si ca
∂f
∂y(x, 1) = lim
y→1
f(x, y) − f(x, 1)
y − 1= lim
y→1
√x2 + y2 −
√x2 + 1
y − 1=
=limy→1
y2 − 1
(y − 1)(√
x2 + y2 +√
x2 + 1) = lim
y→1
y + 1√x2 + y2 +
√x2 + 1
=
=1√
x2 + 1.
∂2f
∂x∂y(1, 1) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, 1)
)= lim
x→1
∂f
∂y(x, 1) − ∂f
∂y(1, 1)
x − 1=
= limx→1
1√x2 + 1
− 1√2
x − 1= lim
x→1
(−1√
2 ·√
x2 + 1·√
x2 + 1 −√
2
x − 1
)=
=limx→1
−1√2√
x2 + 1limx→1
√x2 + 1 −
√2
x − 1= −1
2· 1√
2= − 1
2√
2.
Deci∂2f
∂x∂y(1, 1) = − 1
2√
2.
Acum sa folosim pentru aceeasi cerinta regulile de derivare partiala:
∂f
∂x(x, y) =
∂(x2 + y2)
∂x(x, y)
2√
x2 + y2=
((√u)′
x=
u′x
2√
u
)
=2x
2√
x2 + y2=
x√x2 + y2
; Analog∂f
∂y(x, y) =
y√x2 + y2
.
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂x
(y√
x2 + y2
)= y
∂
∂x
1√x2 + y2
=
=y−1(√
x2 + y2)2 · ∂
∂x
(√x2 + y2
)=
−y
x2 + y2· x√
x2 + y2=
−xy
(x2 + y2)3/2.
Din cele de mai sus gasim:
∂f
∂x(1, 1) =
x√x2 + y2
∣∣∣∣x=1y=1
=1√2;∂f
∂y(1, 1) =
y√x2 + y2
∣∣∣∣x=1y=1
=1√2;
190 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
∂2f
∂x∂y(1, 1) =
−xy
(x2 + y2)3/2
∣∣∣∣x=1y=1
=−1
23/2=
−1
2√
2.
8. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = x3 +3y2z +z5x3y3. Sa se calculeze∂5f
∂x3∂y2(2, 1, −1).
Rezolvare. Calculam pe rand:∂f
∂y;
∂2f
∂y2;
∂3f
∂x∂y2;
∂4f
∂x2∂y2;
∂5f
∂x3∂y2.
∂f
∂y(x, y, z) = 6yz + 3x3y2z5;
∂2f
∂y2(x, y, z) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y, z)
)=
∂
∂y
(6yz + 3x3y2z5
)= 6z + 6x3yz5;
∂3f
∂x∂y2(x, y, z) =
∂
∂x
(∂2f
∂y2(x, y, z)
)=
∂
∂x
(6z + 6x3yz5
)= 18x2yz5;
∂4f
∂x2∂y2(x, y, z) =
∂
∂x
(∂3f
∂x∂y2(x, y, z
)=
∂
∂x
(18x2yz5
)= 36xyz5;
∂5f
∂x3∂y2(x, y, z) =
∂
∂x
(∂4f
∂x2∂y2(x, y, z)
)=
∂
∂x
(36xyz5
)= 36yz5;
∂5f
∂x3∂y2(2, 1, −1) = 36yz5
∣∣∣∣∣x=2y=1z=−1
= 36 · 1 · (−1)5 = −36.
9. Pentru functia f : R2 → R, f(x, y) = exy , sa se scrie formula luiTaylor de ordin doi, ın punctul (0,1). f(x, y) = exy ın punctul (0, 1).Rezolvare. Formula lui Taylor de ordinul doi ın punctul (a, b) este:
f(x, y) = f(a, b) +df(a, b)
1!+
d2f
2!(a, b) + R2.
unde:
df(a, b) =∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
d2f(a, b) =∂2f
∂x2(a, b)(x−a)2 +2
∂2f
∂x∂y(a, b)(x−a)(y− b)+
∂2f
∂y2(a, b)(y− b)2
9.1. Test de autoevaluare 191
(d2f(a, b) =
(∂
∂x(x − a) +
∂
∂y(y − b)
)(2)
· f(a, b), exponentul (2) spune
ca se ridica la puterea 2 si se tine seama de faptul ca
(∂f
∂x
)2
: =∂2f
∂x2;∂f
∂x· ∂f
∂y:
=∂2f
∂x∂y.)
Deci trebuie sa calculam∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂2f
∂x2,
∂2f
∂y2,
∂2f
∂x∂y.
∂f
∂x(x, y) =
∂
∂x(exy) =
∂ex
∂x· y + ex · ∂y
∂x= exy + ex · 0 = exy.
∂f
∂y(x, y) =
∂
∂y(exy) =
∂ex
∂y· y + ex · ∂y
∂y= 0 · y + ex · 1 = ex.
∂2f
∂x2(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂x(x, y)
)=
∂
∂x(exy) = exy
∂2f
∂y2(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂y(ex) = 0
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂x(ex) = ex.
Pentru (a,b)=(0,1) avem: f(x, y) = f(0, 1) +df(0, 1)
1!+
d2f(0, 1)
2!+ R2
si cum f(0, 1) = e0· 1 = 1, df(0,1) =∂f
∂x(0, 1)(x − 0) +
∂f
∂y(0, 1)(y − 1) =
exy∣∣(0, 1)(x − 0) + ex
∣∣(0, 1)(y − 1) = x + y - 1.
d2f(0, 1) =∂2f
∂x2(0, 1)(x−1)2+2
∂2f
∂x∂y(0, 1)(x−0)(y−1)+
∂2f
∂y2(0, 1)(y−1)2=
=exy∣∣(0, 1)x
2 + 2 · ex∣∣(0, 1)x(y − 1) + 0
∣∣(0, 1)(y − 1)2 = x2 + 2x(y − 1) ,
se obtine:
f(x, y) = 1 + x + y - 1 +1
2· [x2 + 2x(y - 1)] + R2 ⇒ f(x, y) = x +
y +1
2x2+
+ xy - x + R2 ⇒ f(x, y) = y +1
2x2+ xy + R2.
10. Sa se gaseasca extremele locale ale functiei f : R2 → R,
f(x, y) =2
3x3 + 2xy2 − 10x + 8y.
Rezolvare. Etapa 1. Se calculeaza∂f
∂xsi
∂f
∂y.
192 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
∂f
∂x(x, y) = 2x2 + 2y2 − 10
∂f
∂y(x, y) = 4xy + 8
Etapa 2. Se rezolva sistemul:
∂f
∂x(x, y) = 0
∂f
∂y(x, y) = 0
.
(Solutiile acestui sistem sunt punctele critice al functiei f(x, y)).Deci:
2x2 + 2y2 − 10 = 04xy + 8 = 0
⇔
x2 + y2 = 5xy = −2
(este un sistem omogen).
Se face substituitia y = tx si se obtine:x2 + t2x2 = 5tx2 = −2
Impartind cele doua ecuatii gasim:
1 + t2
t= −5
2⇔ 2t2 + 5t + 2 = 0 ⇒ t1,2 =
−5 ±√
9
4⇒
t1 = −2
t2 = −1
2
Revenind la notatie avem:
Situatia 1:
y = t1xxy = −2
⇔
y = −2xxy = −2
⇔
y = −2x−2x2 = −2
⇔
x = ±1y = −2x
⇔
x = −1y = 2
sau
x = 1y = −2
Situatia 2:
y = t2xxy = −2
⇔
y = −1
2x
xy = −2⇔ ... ⇔
x = 2y = −1
sau
x = −2y = 1
.
Etapa 3. Se calculeaza hessiana lui f .
H(x, y) =
∂2f
∂x2(x, y)
∂2f
∂x∂y(x, y)
∂2f
∂x∂y(x, y)
∂2f
∂y2(x, y)
∂2f
∂x2(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂x(x, y)
)(din etapa 1) =
∂
∂x
(2x2 + 2y2 − 10
)= 4x
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂
∂x
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂x(4xy + 8) = 4y
∂2f
∂y2(x, y) =
∂
∂y
(∂f
∂y(x, y)
)=
∂
∂y(4xy + 8) = 4x
9.1. Test de autoevaluare 193
Deci: H(x, y) =
(4x 4y4y 4x
)= 4
(x yy x
)Etapa 4. Se studiaza, cu hessiana, punctele critice ale functiei (vezi 5.65).
In acest exercitiu hessiana H(x, y) este o matrice patratica de ordinul doi.Deci are doi minori principali ∆1 si ∆2.
Conform teoriei pentru H(a,b), unde (a, b) este un punct critic al lui f ,avem:
(1) Daca ∆1 > 0 si ∆2 > 0, atunci punctul critic (a, b) este punct deminim.
(2) ∆∗1 > 0, ∆∗
2 > 0 (ın general ∆∗i = (-1)i ∆i i = 1, 2) atunci punctul
critic (a, b) este punct de maxim.
(3) In cazul functiilor de doua variabile avem:
daca ∆2 < 0, atunci (a, b) este punct sa (deci nu va mai fi punct de extrem)
daca ∆2 = 0, atunci nu se mai poate decide asupra punctului stationar (a,b) decat dupa investigatii suplimentare (ın care se poate folosi dezvoltareaTaylor).
Situatia 1: (a, b) = (-1, 2)
H(-1, 2) =
(−4 88 −4
); ∆1 = −4; ∆2 =
∣∣∣∣ −4 88 −4
∣∣∣∣ = −48
Pentru ca ∆2 < 0 rezulta (-1, 2) este punct sa.
Situatia 2: (a, b) = (1, -2)
H(1, -2) =
(4 −8−8 4
); ∆1 = 4; ∆2 =
∣∣∣∣ 4 −8−8 4
∣∣∣∣ = −48
Pentru ca ∆2 < 0 rezulta ca (1, -2) este punct s.a.
Situatia 3: (a, b) = (-2, 1)
H(-2,1) =
(−8 44 −8
); ∆1 = −8; ∆2 =
∣∣∣∣ −8 44 −8
∣∣∣∣ = 48
Rezulta ∆∗1 = − ∆1 = 8; ∆∗
2 = ∆2 = 48.
Pentru ca ∆∗1 > 0 si ∆∗
2 > 0, rezulta ca punctul stationar (-2, 1) estepunct de maxim. De aici
fmax = f(−2 ,1) =2
3· (−2)3 + 2 · (−2) · 12 − 10 · (−2) + 8 · 1 =
=−16
3− 4 + 20 + 8 =
56
3Situatia 4: (a, b) = (2, -1)
H(2,-1) =
(8 −4−4 8
); ∆1 = 8; ∆2 =
∣∣∣∣ 8 −4−4 8
∣∣∣∣ = 48 Pentru ca ∆1 > 0
si ∆2 > 0, rezulta ca punctul stationar (2, -1) este punct de minim al lui f .
Rezulta fmin = f(2, −1) = . . . =−56
3.
11. Sa se studieze natura integralelor
194 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
∞∫0
1
1 + x2dx;(b)
3∫0
1√9 − x2
dx; (c)2∫0
1√x(2 − x)
dx
folosind definitia.
Rezolvare: (a) Calculam limr→∞
r∫0
1
1 + x2dx si obtinem:
limr→∞
r∫0
1
1 + x2dx = lim
r→∞arctg x|r0 = lim
r→∞(arctg r − 0) =
π
2
Pentru ca limr→∞
r∫0
1
1 + x2=
π
2(adica exista si este finita) rezulta ca
∞∫0
1
1 + x2dx este o integrala convergenta.
Observatie. Daca avem de studiat convergenta integralei+∞∫−∞
1
1 + x2dx,
fie calculam
limr→∞s→−∞
r∫s
1
1 + x2dx= lim
r→∞s→−∞
arctg x|rs = limr→∞s→−∞
(arctg r − arctg s) =
=π
2−
(−π
2
)= π,
fie consideram
+∞∫−∞
1
1 + x2dx =
0∫−∞
1
1 + x2dx +
+∞∫0
1
1 + x2dx
si calculam apoi
lims→−∞
0∫s
1
1 + x2dx si lim
r→∞
r∫0
1
1 + x2dx si asa mai departe.S-ar putea utiliza,
de asemenea paritatea functiei1
1 + x2.
(b) f(x) =1√
9 − x2, f : [0, 3) → R, este functia de integrat.
Deci pentru stabilirea naturii integralei calculam :
limr→3
r∫0
1√9 − x2
dx = limr→3
arcsinx
3|r0 = lim
r→3arcsin
r
3= arcsin 1 =
π
2
9.1. Test de autoevaluare 195
Pentru ca limr→3
r∫0
1√9 − x2
dx =π
2(adica lim
r→3
r∫0
1√9 − x2
dxexista si este
finita) rezulta ca3∫0
1√9 − x2
dxeste convergenta.
(c) Aici f(x) =1√
x(2 − x), f : (0, 2) → R este functie de integrat.
Consideram c ∈ (0, 2) si avem:
2∫0
1√x (2 − x)
dx
︸ ︷︷ ︸I
=
c∫0
1√x (2 − x)
dx
︸ ︷︷ ︸I1
+
2∫c
1√x (2 − x)
dx
︸ ︷︷ ︸I2
Pentru I1 calculam
lims→0s>0
c∫s
1√x(2 − x)
dx = lims→0s>0
c∫s
1√1 − (x − 1)2
dx = lims→0s>0
arcsin(x - 1)|cs =
= lims→0s>0
[arcsin(c-1) - arcsin (s - 1)] = arcsin (c -1) - arcsin (0 - 1)=
= arcsin (c - 1) +π
2.
Analog pentru I2, avem limr→2r<2
r∫c
1√x(2 − x)
dx =π
2− arcsin (c − 1)
I1 si I2 fiind convergente, rezulta I convergenta.
12. Sa se calculeze, ın caz de convergenta:+∞∫−∞
1
1 + x2dx,(b)
5∫0
1
−x3 + 5x2dx.
Rezolvare: (a) Calculam limr→∞s→∞
r∫−s
1
1 + x2dx = lim
r→∞s→∞
arctg x|r−s =
= limr→∞s→∞
(arctg r − arctg(−s)) = limr→∞
arctg r + lims→∞
arctg s =π
2+
π
2= π.
Rezulta ca+∞∫−∞
1
1 + x2dx = π
(= lim
r→∞s→∞
r∫−s
1
1 + x2dx
).
(b) Calculam:
limα→0+β→5−
β∫α
1
−x3 + 5x2dx = lim
α→0+β→5−
β∫α
[1
5x2+
1
25x− 1
25(x − 5)
]dx =
= limα→0+β→5−
[−1
5x+
1
25ln x − 1
25ln |x − 5|
] ∣∣∣∣βα = limβ→5−
(− 1
5β− 1
25ln
−β + 5
β
)−
196 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
− limα→0+
(− 1
5α− 1
25ln
−α + 5
α
)= +∞− (−∞) = + ∞
Deci limα→0+β→5−
β∫α
1
−x3 + 5x2dx = +∞. Rezulta ca
5∫0
1
−x3 + 5x2dx este o inte-
grala divergenta si are valoarea +∞ (am notat α → 0+ ın loc de α → 0 siα > 0, cu β → 5− ın loc de β → 5 si β < 5).
Observatie. Mai ıntai se calculeaza limita atasata integralei si daca aceastalimita exista ın R, atunci valoarea integralei este limita gasita.
Divergenta integralei de la (b) rezulta mult mai simplu folosind comparatia
cu integrala I =1∫0
1
tαdt.
13. Sa se calculeze integralele:
(a)I1 =∞∫0
x3/2e−xdx; (b)I2 =∞∫0
x5e−xdx; (c)I3 =∞∫0
x7e−x2dx;
(d)I4 =∞∫1
(1 − x)5 e1−xdx; (e)I5 =2∫
−∞(2 − x)3ex−2dx.
Rezolvare. Vom utiliza functia Gamma, Γ(p) =∞∫0
xp−1e−xdx.
Se cunoaste ca: Γ
(1
2
)=
√π; Γ(α + 1) = αΓ(α) (∀) α > 0 si Γ(n + 1)
= n!.
Se observa ca I1 = Γ
(3
2+ 1
)(prin identificare se gaseste p − 1 =
3
2⇒⇒ p =
3
2+ 1). Deci I1 =
3
2Γ
(3
2
)=
3
2· 1
2Γ
(1
2
)=
3
4
√π.
La fel ca la (a) I2 = Γ(5 + 1) = 5! = 120
I3 =
∞∫0
(x2)3 · xe−x2
dx =
∣∣∣∣∣∣t = x2 ⇒ dt = 2xdx
x = 0 ⇒ t = 0x = +∞ ⇒ t = +∞
∣∣∣∣∣∣ =1
2
∞∫0
t3e−tdt =
=1
2Γ(3 + 1) = 3
(d) I4 =+∞∫1
(1 − x)5e1−xdx =
∣∣∣∣∣∣1 − x = −t ⇒ dx = dtx = 1 ⇒ t = 0x = +∞ ⇒ t = +∞
∣∣∣∣∣∣ =+∞∫0
−t5e−tdt =
= −Γ(5 + 1) = −5! = −120
(e) I5 =2∫
−∞(2 − x)3ex−2dx =
∣∣∣∣∣∣2 − x = t ⇒ dx = −dtx = 2 ⇒ t = 0x = −∞ ⇒ t = ∞
∣∣∣∣∣∣ =
9.1. Test de autoevaluare 197
= −0∫
+∞t5e−tdt =
+∞∫0
t5e−tdt=6
14. Sa se calculeze integralele: (a)I1 =1∫0
x− 23 (1 − x)−
13 dx;
(b)I2 =
1∫0
x8(1 − x3)5dx; (c)I3 =
3∫1
dx√(3 − x)(x − 1)
,folosind functia Beta a lui Euler.
Rezolvare. Vom folosi functia Beta, B(p, q) =1∫0
xp−1(1 − x)q−1dx, p > 0
si q > 0, (a) I1 =1∫0
x−2
3 (1 − x)−1
3dx = B
(−2
3+ 1, −1
3+ 1
)= B
(1
3,
2
3
)=
π
sinπ
3
=2π√
3(b) I2 =
1∫0
(x3)2 · (1 − x3)5 · x2dx =
∣∣∣∣∣∣x3 = t ⇒ dt = 3x2dxx = 0 ⇒ t = 0x = 1 ⇒ t = 1
∣∣∣∣∣∣ =
=1
3
1∫0
t2(1 − t)5dt= =1
3B(2 + 1,5 + 1) =
1
3· 2!5!
(2 + 5 + 1)!=
1
504.
(c) I3 =3∫1
dx
(x − 1)
1
2 [3 − x]
1
2
=3∫1
(x − 1)−1
2 [2 − (x − 1)]
1
2 dx=
=
∣∣∣∣∣∣x − 1 = 2t ⇒
dx = 2dtx = 1 ⇒ t = 0x = 3 ⇒ t = 1
∣∣∣∣∣∣ =1∫0
(2t)−1
2 [2 − (2t)]−1
2 2 · dt=
=1∫0
t−1
2 (1 − t)−1
2 dt = B
(−1
2+ 1, −1
2+ 1
)= B
(1
2,
1
2
)=
π
sinπ
2
= π.
15. Sa se calculeze:
(a)2∫1
x3d ln x; (b)3∫1
√x2 + 1 d arctg x; (c)
1∫−1
3x d |x|.
Rezolvare:2∫1
x3 d ln x =2∫1
x3 1
xdx =
2∫1
x2dx =1
3x3
∣∣21 =
1
3(8 − 1) =
7
3
3∫1
√x2 + 1 d arctg x =
3∫1
√x2 + 1 · 1
1 + x2dx =
3∫1
1√x2 + 1
dx
= ln(x +√
1 + x2) |31 = ln3 +
√10
1 +√
2.
1∫−1
3x d |x| = −0∫
−1
3x d x +1∫0
3x dx =
198 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
−0∫
−1
3x d x +1∫0
3x d x =
−3x2
2
∣∣0−1 +
3
2x2
∣∣10 = −3
2(0 − 1) +
3
2(1 − 0) =
3
2+
3
2= 3
.
16. Sa se calculeze∫∫Ω
f(x, y)dx dy, f : Ω → R ın fiecare din urmatoarele
cazuri:(a) f(x, y) = 1 si Ω = (x, y) ∈ R2 |−1 ≤ x ≤ 2,4; 0 ≤ y ≤ 2,5(b) f(x, y) = x2 +
y
xsi Ω = (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ x - 1
(c) f(x, y) = x2 + 2xy si Ω = (x, y) ∈ R2 | y ≥ (x - 1)2; y ≤ x + 5
(d)f(x, y) =1
x + y + 1si Ω = (x, y) ∈ R2
+ | y - x ≤ 1; x + y ≤ 3.
Rezolvare:
(a) Domeniul Ω reprezentat ın fig.1 este proiectabil pe fiecare din axele decoordonate. Rezulta ca integrala dubla se descompune ın integrale simple sise calculeaza astfel:
9.1. Test de autoevaluare 199
∫∫Ω
dx dy =2,4∫−1
[2,5∫0
dy
]dx =
2,4∫−1
(y
∣∣2,50
)dx = 2, 5
2,4∫−1
dx = 2, 5 · 3, 4 = 8, 5sau:
∫∫Ω
dx dy =2,5∫0
[2,4∫−1
dx
]dy =
2,5∫0
(x
∣∣2,4−1
)dy =
2,5∫0
(2, 4 + 1)dy =3, 42,5∫0
dy = 3, 4 ·
2, 5 = 8, 5(b) Si ın acest caz, fig.2, Ω este proiectabil pe ambele axe. Il consideram
proiectabil pe axa Ox. Astfel x ∈ [1, 4] si y∈ [0, x - 1] si avem:∫∫Ω
(x2 +
y
x
)dx dy =
4∫1
x−1∫0
(x2 +
y
x
)dy
dx =
4∫1
(x2y +
y2
2x
) ∣∣x−10 dx =
=4∫1
[x2(x − 1) +
(x − 1)2
2x
]dx =
4∫1
(x3 − x2 +
x
2− 1 +
1
2x
)dx =
=
(x4
4− x3
3+
x2
4− x +
1
2ln x
)|41 =
261
6+ ln 2.
Daca vom considera pe Ω proiectabil pe Oy avem y∈[0, 3], iar x∈[y + 1,4). Rezulta:
∫∫Ω
(x2 +
y
x
)dx dy =
3∫0
4∫y+1
(x2 +
y
x
)dx
dy =
3∫0
(x3
3+ y ln x
) ∣∣4y+1 dy =
=3∫0
[64
3+ y ln 4 − (y + 1)3
3− y ln(y + 1)
]dy =
=64
3y
∣∣∣∣30
+y2
2ln 4
∣∣∣∣30
− 1
3· 1
4(y + 1)4
∣∣∣∣30
−3∫
0
y ln(y + 1)dy =
(ultima integrala se calculeaza prin parti)
=64+9
2·2 ln 2− 1
3·64+
1
12−8 ln 2+
3
4= ln 2+
2 · 64
3+
1
12+
3
4=
261
6+ln 2.
(c) Domeniul Ω, ın acest caz, fig.3, este proiectabil pe axa Ox. Deci x∈[-1,4] si y∈[(x -1)2, x + 5]. Prin urmare integrala dubla se descompune ın douaintegrale simple, astfel:∫∫
Ω
(x2 + 2xy)dx dy =4∫
−1
[x+5∫
(x−1)2(x2 + 2xy)dy
]dx =
4∫−1
(x2y + xy2)∣∣∣x+5(x−1)2 dx =
=4∫
−1
[x2(x + 5) + x(x + 5)2 − x2(x − 1)2 − x(x − 1)4] dx =
=4∫
−1
(−x5 + 3x4 − 2 x3 + 18x2 + 24x) dx =
(−x6
6+
3
5x5 − 1
2x4 + 6x3 + 12x2
)∣∣∣∣4−1
=
200 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
=42
(−44
6+
3
5· 43 − 1
2· 42 + 6 · 4 + 12
)−(−1)2
(−1
6− 3
5− 1
2− 6 + 12
)=375
(d) Domeniul prezentat ın fig.4 este proiectabil pe ambele axe. Este maisimplu sa-l consideram proiectabil pe axa Ox.
In descrierea domeniului Ω apar dreptele: d1 : y = x + 1, d2 : x + y =3, d3 : x = 0 (adica axa Oy); d4 : y = 0 (adica axa Ox). Se observa ca Ω= interiorul patrulaterului OMAN unde O = Ox ∩ Oy, M = d1∩ Oy,A=d1∩ d2, N = d2 ∩ Ox. Astfel se gaseste:
O(0,0); M(0,1):
x = 0y = x + 1
; A(1,2):
y = x + 1x + y = 3
; N(3,0):
y = 0x + y = 3
Din forma patrulaterului OMAN rezulta ca Ω se descompune ın doua sub-domenii Ω1, Ω2 ambele proiectabile ın raport cu axa Ox (ele sunt proiectabilesi ın raport cu axa Oy, dar considerand astfel ar fi putin mai mult de expli-cat).
Se observa ca pentru x ∈ [0, 1] ⇒ y ∈ [0, x + 1], iar pentru x ∈ [1, 3] ⇒y∈ [0, 3- x]. Deci:
∫∫Ω
1
x + y + 1dxdy =
∫ ∫Ω1∪Ω2
1
x + y + 1dxdy =
∫∫Ω1
1
x + y + 1dx dy+
+
∫∫Ω2
1
x + y + 1dxdy =
1∫0
x+1∫0
1
x + y + 1dy
dx+
3∫1
3−x∫0
1
x + y + 1dy
dx =
=
1∫0
ln(x + y + 1)∣∣x+10 dx+
1∫0
[ln(x + y + 1)]∣∣3−x0 dx+
3∫1
[ln 4 − ln(x + 1)] dx =
=
1∫0
ln2(x + 1)
x + 1dx
︸ ︷︷ ︸I1
+
3∫1
ln 4dx
︸ ︷︷ ︸I2
−3∫
1
ln(x + 1)dx
︸ ︷︷ ︸I3
=
I1 =
1∫0
ln 2dx = (ln 2)x∣∣10 = (ln 2)(1 − 0) = ln 2
I2 = (ln 4)x∣∣31 = (ln 4)(3 − 1) = 2 ln 4 = 2 ln 22 = 4 ln 2
I3 =
3∫1
ln(x + 1)dx =
∣∣∣∣∣ u = ln(x + 1) ⇒ u′ =1
x + 1v′ = 1 ⇒ v = x
∣∣∣∣∣ =
9.2. Test de evaluare 201
= x ln(x + 1)∣∣31−
3∫1
x
x + 1dx = 3 ln 4 − ln 2 −
3∫1
dx +
3∫1
1
x + 1dx =
= 6 ln 2 − ln 2 − x∣∣31 + ln(x + 1)
∣∣31 = 5 ln 2 − (3 − 1) + ln(3 + 1) − ln 2 =
= 5 ln 2 − 2 + ln 4 − ln 2 = 6 ln 2 − 2
9.2 Test de evaluare
1. Sa se calculeze lim si lim pentru sirul (xn)n≥1, unde:
xn = (−1)n +5n − 3n2
1 + 7n2 − 2n.
2. Sa se calculeze limn→∞
xn pentru:
(a) xn =√
n + 2 −√
n +√
n; (c) xn = n
√(2n)!
(n!)2
(b) xn =
1 +1√2
+1√3
+ ... +1√n
1 +13√
2+
13√
3+ ... +
13√
n
(d) xn =
(3n + 2
3n + 3
)n
3. Sa se studieze convergenta seriilor:
(a)∑n≥2
n −√
n2 − 1√n (n − 1)
; (b)∑n≥0
5n − 3n2
1 + 7n2 − 2n;
(c)∑n≥0
(1
3
)n
·(
5n + 2
5n + 3
)n2
; (d)∑n≥0
(−1)n 1
3n − 1;
(e)∑n≥1
1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · ... · 2n; (f)
∑n≥1
nn · n!
(2n − 1)!.
4. Sa se scrie primii 5 termeni din dezvoltarea ın serie Taylor a functiei
f : (0, +∞) → R, f(x) = 3x2− ln3x ın jurul lui x0 = 3.
5. Sa se cerceteze limitele iterate si limita globala pentru functia f(x, y) =x2 + y2√
x2 + y2 + 1 − 1, (x, y) 6= (0, 0)
2 , (x, y) = (0, 0)
, ın punctul (0, 0), si pentru functia:
g(x, y) =
ln(x + ey)√
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
,ın punctele (0, 0) si (1, 0) ∈ R2
202 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
6. Sa se studieze continuitatea functiilor f si g de la exercitiul 5, ın
punctele precizate si a functiei: h(x, y) =
x2y
x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0). Sa
se gaseasca multimea pe care functia f (si la fel g, h) este continua.
7. (a) Fie functia f : R2 → R,f(x, y) = ex2+y3. Pornind de la definitie
(si direct), sa se calculeze∂f
∂x(1, 1) si
∂f
∂y(1, 1).
(b) Sa se calculeze ∆f =∂2f
∂x2+
∂2f
∂y2pentru functia f : R2\ (0, 0) →
R, f(x,y) = ln (x2 + y2).
8. Pentru functia f : R2 → R, f (x,y) = x - y + x2 + 2xy + y2− 3x2y
- y3 + + x4− 4x2y2 + y4, sa se calculeze:∂4f
∂x4,
∂4f
∂x3∂y,
∂4f
∂x2∂y2.
9. Sa se scrie formula lui Taylor de ordin doi pentru functia f : A →R, f(x,y) = ln (x2 + y) ın jurul punctului (0, e), unde A = (x,y) ∈ R2|x2 + y > 0.
10. Sa se gaseasca extremele locale ale functiei f : R2 → R, f(x,y) = =
2x2y +2
3y3 + 8x − 10y.
11. Sa se studieze natura integralelor: (a)∞∫0
x
1 + x4dx, (b)
1
3∫0
1√1 − 9x2
dx,
(c)3∫1
1√(x − 1)(3 − x)
dx, si ın caz de convergenta sa se calculeze valoarea
lor.
12. Sa se calculeze, ın caz de convergenta:
(a)+∞∫−∞
1
9 + 4x2dx, (b)
3∫2
dx
x2 − 3x + 2.
13. Sa se calculeze integralele, folosind functia Gamma:(a)∞∫2
x
5
2 e−xdx;
(b)∞∫0
x3e−2xdx; (c)∞∫0
x5e−x2dx; (d)
∞∫2
(2 − x)3(e2−x)2dx;
(e)1∫
−∞(1 − x)5ex−1dx.
14. Folosind functia Beta a lui Euler, sa se calculeze:
(a)1∫0
x−3
5 (1 − x)−2
5dx;(b)1∫0
x15(1 − x4)3dx; (c)4∫2
1√(x − 2)(4 − x)
dx.
15. Sa se calculeze:
9.2. Test de evaluare 203
(a)4∫2
(x5 + 2x2)d ln x5;(b)2∫0
|x − 1|d(x2 + 2x); (c)
√7∫
1
√x2 + 2d
(arctg
x√2
)16. Sa se calculeze:(a)
∫∫Ω
(y2 + 2xy)dxdy, Ω =(x,y) ∈ R2| y ≥ (x - 2)2, y ≤ x + 4
(b)∫∫Ω
1
(x + y)2dxdy, Ω =(x,y) ∈ R2| 3 ≤ x≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2
(c)∫∫Ω
(y2 +
x
y
)dxdy, Ω =(x,y) ∈ R2| 0≤x ≤ y-1, 1 ≤ y ≤ 4
(d)∫∫Ω
1
x + y + 1dxdy, Ω =(x,y) ∈ R2| x - y ≥ 1, x + y ≤ 3, y ≥ 0.
204 Capitolul 9. Teste de autoevaluare si evaluare
Bibliografie
[1] Boboc N. - Analiza matematica vol.1 si 2 , E.U.B.1998,1999.
[2] Chirita S. - Probleme de matematici superioare Editura Didactica siPedagogica, Bucuresti, 1989.
[3] Demidovitch B. - Culegere de exercitii si probleme de analiza matem-atica,
[4] Olariu V. - Analiza matematica,Editura Didactica si Pedagogica, Bu-curesti, 1983.
[5] Nicolescu M. - Analiza matematica, Vol I, II, Ed. Didactica si peda-gogica, Bucuresti, 1979.
[6] Stanasila O.- Analiza liniara si geometrie (matematica pentru anul I),Editura ALL, vol.1,2000.
205
Top Related