Georgescu Constantin - profs.info.uaic.ro fliacob/An1/2014-2015/Resurse auxiliare... · celor...

download Georgescu Constantin - profs.info.uaic.ro fliacob/An1/2014-2015/Resurse auxiliare... · celor chemat¸i

of 205

  • date post

    29-Aug-2018
  • Category

    Documents

  • view

    219
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Georgescu Constantin - profs.info.uaic.ro fliacob/An1/2014-2015/Resurse auxiliare... · celor...

  • Lectii de Analiza Matematica

    Georgescu Constantin

  • 2

  • Cuprins

    Prefata 7

    1 Notiuni preliminare 91.1 Elemente de logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Multimi si functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Multimi indexate si siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Relatii binare. Multimi ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Monotonia functiilor si a sirurilor . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Multimea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Numere cardinale. Multimi numarabile . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Structuri fundamentale ale analizei matematice 292.1 Spatii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Analiza topologica a unei multimi . . . . . . . . . . . . 312.1.3 Convergenta si continuitate n spatii topologice . . . . 32

    2.2 Spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Multimi specifice spatiilor metrice . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Convergenta si continuitate n spatii metrice . . . . . . 362.2.4 Principiul contractiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.3 Spatii cu masura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Masura Lebesque n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3 Siruri de numere reale 453.1 Siruri de numere reale; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Moduri de prezentare a unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Clase de siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.3.1 Siruri monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3

  • 4 CUPRINS

    3.3.2 Siruri marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.3.3 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.3.4 Siruri fundamentale (Cauchy) de numere reale . . . . . 61

    4 Serii numerice 63

    4.1 Notiuni generale despre serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.2 Operatii cu serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.3 Criterii de convergenta pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . 66

    4.3.1 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni oarecare 67

    4.3.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi 69

    5 Siruri si serii de functii 79

    5.1 Siruri de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5.1.1 Sir de functii; multime de convergenta . . . . . . . . . 79

    5.1.2 Convergenta simpla; convergenta uniforma . . . . . . . 79

    5.1.3 Criterii de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    5.1.4 Transferul de marginire, continuitate, derivabi-litate siintegrabilitate de la un sir de functii la limita sa . . . . 84

    5.2 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    5.2.1 Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    5.2.2 Criterii de convergenta uniforma pentru serii . . . . . . 86

    5.2.3 Transferul de continuitate, derivabilitate si integrabil-itate pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.2.4 Cazuri particulare de serii de functii . . . . . . . . . . 88

    6 Functii de mai multe variabile reale 97

    6.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    6.2 Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile . . . . 97

    6.2.1 Convergenta sirurilor n Rn . . . . . . . . . . . . . . . 98

    6.2.2 Limita functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . 99

    6.2.3 Continuitatea functiilor de mai multe variabile . . . . . 103

    6.3 Derivate partiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6.4 Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile . . . . . . 110

    6.5 Interpretare economicaa derivatelor partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    6.6 Derivatele si diferentialele functiilor compuse . . . . . . . . . . 120

    6.7 Formula lui Taylor pentru functii de mai multe variabile . . . 126

    6.8 Extremele functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . 129

    6.8.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6.8.2 Extreme cu legaturi (conditionate) . . . . . . . . . . . 137

  • CUPRINS 5

    7 Extinderi ale integralei Reimann 1437.1 Integrala Riemann - Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2 Integrale improprii (generalizate) . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    7.2.1 Criterii de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    7.3.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3.2 Proprietati ale integralelor cu parametru . . . . . . . . 1587.3.3 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . 163

    7.4 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    8 Calculul integralelor multiple 1718.1 Calculul integralelor duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.2 Calculul integralelor triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.3 Schimbari de variabile n integrale multiple . . . . . . . . . . . 180

    9 Teste de autoevaluare si evaluare 1839.1 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2 Test de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

  • 6 CUPRINS

  • Prefata

    Abordarea stiintifica actuala a fenomenelor tehnice, economice si stiitificetot mai complexe, impune o pregatire matematica superioara si riguroasa, acelor chemati sa se ocupe de analiza acestor fenomene.

    Prezentul curs, Lectii de Analiza Matematica se adreseaza studentilordin primul an de la facultatile cu profil tehnic, economic si o pot utiliza cu fo-los si studentii facultatilor de matematica. Cuprinde continutul matematic,de baza conform cu programa analitica actuala.

    In general notiunile prezentate sunt nsotite de exercitii complet rezolvate.Se prezinta de asemenea un test de autoevaluare, constand din exercitii com-plet rezolvate si un test de evaluare, care cuprinde exercitii nerezolvate ce sepot rezolva usor de cel care a parcurs ntreaga lucrare.

    Autorul multumeste, n mod deosebit, celor care si-au adus contributialor cu gandul, cu vorba sau cu fapta, la aparitia acestei lucrari.

    Multumim de asemenea, celor care vin cu sugestii pentru nbunatatireaacestei lucrari.

    AutorulPitesti octombrie 2006

    7

  • 8 CUPRINS

  • Capitolul 1

    Notiuni preliminare

    1.1 Elemente de logica

    1.1 Definitie. Un enunt despre care se cunoaste ca este adevarat sau fals,nsa nu si una si alta simultan, se numeste propozitie.

    Vom nota propozitiile cu p, q, r, ... si multimea propozitiilor cu P .Pe multimea P definim aplicatia v : P {0, 1},

    v(p) =

    {1, daca p este adevarata;0, daca p este falsa.

    ,

    numita functia valoare de adevar. Tot pe multimea propozitiilor se de-finesc unele functii speciale numite operatori logici. Astfel avem operatorii:

    a)negatie: k : P P , p P , kp (se citeste non p sau negatia lui p)este o propozitie adevarata cand p este falsa si falsa cand p este adevarata.

    b) disjunctie: : P P P ( se citeste sau)c) conjunctie: : P P P ( se citeste si)d) implicatie: : P P P ( se citeste implica)e) echivalenta: : P P P ( se citeste echivalent).Cu ajutorul acestor operatori logici, din propozitii simple p, q, ... se pot

    forma propozitii compuse. De exemplu, daca p, q, P, formam propozitiakp (non p), p q (p sau q), p q (p si q), p q (p implica q), p q (pechivalent cu q. Valorile de adevar ale acestor propozitii sunt date n tabelulurmator:

    p q kp p q p q p q p q p qdef kp q

    1 1 0 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 1 0 10 0 1 0 0 1 1 1

    9

  • 10 Capitolul 1. Notiuni preliminare

    Propozitia p q se mai citeste daca p atunci q, iar propozitia p qse mai citeste p daca si numai daca q.

    Daca propozitia p q este adevarata, vom scrie p q si vom spune cap este o conditie suficienta pentru q sau ca q este conditie necesarapentru p. Altfel spus propozitia care implica se numeste conditie suficientapentru propozitia implicata, iar propozitia implicata se numeste conditienecesara. pentru propozitia care implica.

    Daca propozitia p q este adevarata, vom scrie p q si vom citi ca peste conditie necesara si suficienta pentru q si invers.

    O propozitie compusa , care este adevarata oricare ar fi valoarile de adevarale propozitiilor componente, se numeste tautologie.

    1.2 Propozitie: Fie p, q P . Atunci avem tautologiile:a) p p (legea reflexivitatii);b) p p; p p p (legea idempotentei) - comutativitate;c) p (kp) (principiul tertiului exclus) - asociativitate;d) kkp p (principiul dublei negatii) - distributivitate;

    e)k(p q) (kp) (kq)k(p q) (kp) (kq)

    }(principiul dualitatii) - Legile lui De Mor-

    gan;

    f) (p q) (kp kq) (legea contrapozitiei,) de aceasta lege depinddemonstratiile prin reducere la absurd (reductio ad absurdum).

    1.3 Definitie. O propozitie care depinde de una sau mai multe variabilese numeste predicat (functia propozitionala). El se noteaza p(x) (predicateunare), p(x, y) (predicate binare), p(x, y, z) (ternare),...

    Pe langa operatori logici mentionati n matematica mai intervin alti oper-atori dintre care cei mai importanti sunt cuantificatorul univeral (notatcu si se citeste oarecare sau oricare) si cuantificatorul existential (no-tat si se citeste exista). Cu ajutorul acestor doi cuantificatori,