aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1....

34
OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T (K m , K n ) şi A ' BB = [a ij ] nm (K) este matricea lui T în perechea de baze canonice (B, B’) din K m , respectiv K n , atunci are loc egalitatea rg T = dim [C A ] (prin C A s-a notat subspaţiul generat de vectorii coloană ai matricei A). Soluţie. Folosind expresia analitică a operatorului T în perechea de baze canonice (B, B’), avem: (*) y i = = m 1 j j ij x a , i = n , 1 , unde x = = m 1 i i i e x şi y = T( x ) = = n 1 j ' j j e y . Din relaţia (*) rezultă (y 1 , y 2 , ... , y n ) = = = = m 1 k k nk m 1 k k k 2 m 1 k k k 1 x a , ... , x a , x a = = = m 1 k nk k 2 k 1 k ) a , ... , a , a ( x , ceea ce implică Im T = [C A ], adică rg T = dim [C A ]. Observaţie. Analog se poate arăta că rg T = dim [L A ], unde [L A ] este subspaţiul generat de vectorii linie ai matricei A. Deci au loc egalităţile: rg T = dim [C A ] = dim [L A ]. 2. Fie endomorfismul T : 3 3 a cărui matrice în baza canonică B = { e 1 , e 2 , e 3 } este: A B = 1 1 2 4 3 3 2 1 1 . a) Să se afle T( x ) pentru x 3 şi T(1, -2, 3). b) Să se afle matricea operatorului T în baza B 1 = {(2, 3, -1), (0, -2, 1), (-1, -1, 1)}. c) Să se afle Im T şi rg T.

Transcript of aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1....

Page 1: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

91

Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A 'BB = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea de baze canonice (B, B’) din Km, respectiv Kn, atunci are loc egalitatea rg T = dim [CA] (prin CA s-a notat subspaţiul generat de vectorii coloană ai matricei A). Soluţie. Folosind expresia analitică a operatorului T în perechea de baze canonice (B, B’), avem:

(*) yi = ∑=

m

1jjijxa , i = n,1 ,

unde x = ∑=

m

1iiiex şi y = T(x ) = ∑

=

n

1j

'j jey .

Din relaţia (*) rezultă

(y1, y2, ... , yn) = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∑∑∑===

m

1kknk

m

1kkk2

m

1kkk1 xa,...,xa,xa =

= ∑=

m

1knkk2k1k )a,...,a,a(x ,

ceea ce implică Im T = [CA], adică rg T = dim [CA]. Observaţie. Analog se poate arăta că rg T = dim [LA], unde [LA] este subspaţiul generat de vectorii linie ai matricei A. Deci au loc egalităţile: rg T = dim [CA] = dim [LA]. 2. Fie endomorfismul T : ℝ3 → ℝ3 a cărui matrice în baza canonică B = {e 1, e 2, e 3} este:

AB = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

112433211

.

a) Să se afle T(x ) pentru ∀x ∈ ℝ3 şi T(1, -2, 3). b) Să se afle matricea operatorului T în baza B1 = {(2, 3, -1), (0, -2, 1), (-1, -1, 1)}. c) Să se afle Im T şi rg T.

Page 2: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

92

d) Să se afle Ker T şi def T. Soluţie. a) Folosind liniaritatea lui T rezultă T(x ) = T(x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3) = x1T(e 1) + x2T(e 2) + x3T(e 3) = = x1(-1, 3, 2) + x2(1, 3, 1) + x3(2, 4, 1) = = (-x1 + x2 + 2x3, 3x1 + 3x2 + 4x3, 2x1 + x2 + x3). T(1, -2, 3) = (3, 9, 3). b) Folosind formula A

1B = S -1. AB.S, unde S este matricea

schimbării de baze B ⎯→⎯S B1, S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

111123102

, avem

A1B =

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

425134211

71

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

112433211

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

111123102

.

c) Vectorii T(e 1), T( e 2), T(e 3) sunt liniar dependenţi şi o combinaţie liniară a lor este T(e 1) - 5T(e 2) + 3T(e 3) = 0 . Im T = {T(x )| T(x ) = y1T(e 1) + y2T(e 2) + y3T(e 3), y1, y2, y3∈ℝ}= = {T(x )| T(x ) = (5y1 + y2)T(e 2) + (y3 - 3y1)T(e 3), y1, y2, y3∈ℝ}= = {T(x )| T(x ) = αT(e 2) + βT(e 3), α, β ∈ ℝ}. O bază în Im T este formată din vectorii T(e 2), T(e 3), deci dim Im T = rg T = 2. d) Ker T = {x ∈ ℝ3 | T(x ) = 3R0 }. Egalitatea T(x ) = 3R0 conduce la sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=++=++=++−

0xxx20x4x3x30x2xx

321

321

321

, cu soluţia x1 = 31x3, x2 =

35

− x3 , x3 ∈ ℝ.

Ker T = {x ∈ ℝ3 | x = 31x3(1, -5, 3), x3 ∈ ℝ}.

O bază în Ker T este formată din vectorul (1, -5, 3), deci dim Ker T = def T = 1.

Page 3: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

93

3. Se dă operatorul liniar T : ℝ3 → ℝ4 definit prin T(x ) = (x1 - x2 + x3, -3x1 + 2x2 - 4x3, 3x1 - x2 + 5x3, x1 + x2 + 3x3), pentru ∀x ∈ ℝ3. a) Să se scrie matricea operatorului în perechea de baze canonice (B, B'). b) Să se scrie matricea lui T în perechea de baze (B1, B1'), unde B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)},

B1' = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}. c) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. d) Să se afle Ker T şi def T.

Soluţie. a) Matricea operatorului este formată, pe coloane, din coordonatele imaginilor prin T ale vectorilor din baza B.

T(e 1) = T(1, 0, 0) = (1, -3, 3, 1) = e 1' - 3e 2' + 3e 3' + e 4'; T(e 2) = T(0, 1, 0) = (-1, 2, -1, 1) = - e 1' + 2e 2' - e 3' + e 4'; T(e 3) = T(0, 0, 1) = (1, -4, 5, 3) = e 1' - 4e 2' + 5e 3' + 3e 4',

adică ABB' =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−

311513423

111

.

b) Folosind formula schimbării matricei unui operator la o schimbare de bază, A 'BB 11

= (S') -1. ABB' .S, unde B ⎯→⎯S B1, B' ⎯→⎯ 'S B1',

cu S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

011101110

, S' =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

1111011100110001

rezultă

Page 4: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

94

A 'BB 11 =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

1100011000110001

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−

311513423

111

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

011101110

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−

0403156192

020

.

c) rg T = rg [LA] = 2 deoarece

A =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−

000000010001

~

220220110

111

~

311513423

111

.

Mulţimea {T(e 1), T(e 2)} formează o bază în Im T. d) Ker T = {x ∈ ℝ3 | T(x ) = 4R0 } =

= {x ∈ ℝ3 | x = x3(2, -1, 1), x3 ∈ ℝ}. O bază în Ker T este formată din vectorul (2, -1, 1), deci def T = 1. 4. Fie endomorfismul T: ℝ2[t] → ℝ2[t] definit prin T(a0 + a1t + a2t2) = a0 + a1 + (a1 + a2)t + (a2 - a0)t2. a) Să se calculeze T(1 - 2t + 3t2). b) Să se scrie matricea endomorfismului T în baza canonică din ℝ2[t], B = {1, t, t2}. c) Să se scrie matricea endomorfismului T în baza B' = {-1 + t + 3t2, -t + 2t2, 2 + 4t - t2}. d) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. e) Să se afle Ker T şi def T. Soluţie. a) T(1 - 2t + 3t2) = (1 - 2) + (-2 + 3)t + (3 - 1)t2 = = - 1 + t + 2t2. b) Deoarece T(1) = 1 - t2, T(t) = 1 + t, T(t2) = t + t2,

Page 5: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

95

matricea lui T în baza B este AB = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

− 101110011

.

c) Matricea schimbării de baze este S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

123411201

, deci

AB' = S-1. AB . S =

1

123411201 −

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

− 101110011

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

123411201

=

= 171

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

1256513247

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

− 101110011

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

123411201

=

= 171

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

3311253222036156

.

d) rg T = rangA = 2 şi o bază în Im T este formată din vectorii T(1) = 1 - t2 şi T(t) = 1 + t. e) Ker T = {p ∈ ℝ2[t] | T(p) = 0}. Relaţia T(p) = 0 este echivalentă cu T(a0 + a1t + a2t2) = 0 + 0.t + 0.t2, care conduce la sistemul liniar şi omogen

⎪⎩

⎪⎨

=−=+=+

0aa0aa0aa

02

21

10

, cu soluţia a0 = a2 = -a1, a1 ∈ ℝ.

Deci Ker T = {p ∈ ℝ2[t] | p(t) = -a1(1 - t + t2), a1 ∈ ℝ}. O bază în Ker T este formată din polinomul 1 - t + t2 şi def T = 1.

Page 6: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

96

5. Fie operatorul liniar T: ℝ2[t] → ℝ3 definit prin T(a0 + a1t + a2t2) = (-a1 - a2, -a1, a0 + a1 + a2). a) Să se calculeze T(1 - 2t + 3t2). b) Să se afle matricea operatorului liniar în perechea de baze canonice (B, B'). c) Să se afle matricea operatorului liniar în perechea de baze (B1, B1'), unde B1 = {t + t2, t, t2 + 1}, B1' = {(2, 0, 3), (-1, 4, 1), (3, 2, 5)}, d) Să se studieze dacă T este inversabil şi să se afle T -1. Soluţie. a) T(1 - 2t + 3t2) = (-1, 2, 2). b) Se calculează T(1) = (0, 0, 1) = e 3, T(t) = (-1, -1, 1) = - e 1 - e 2 + e 3, T(t2) = (-1, 0, 1) = - e 1 + e 3.

ABB' = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

−−

111010110

.

c) A 'BB 11 = (S') -1. ABB'

.S, unde B ⎯→⎯S B1, B' ⎯→⎯ 'S B1'.

A 'BB 11 =

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ − −

101011100

111010110

513240312 1

=

= ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−−

−−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

−282545

141121464072

61

212011112

8512416

14818

61 .

d) Ker T = {p ∈ ℝ2[t] | T(p) = 0 3R

}. Din T(p) = 0 3R rezultă

sistemul liniar omogen

⎪⎩

⎪⎨

=++=−=−−

0aaa0a0aa

210

1

21

, a cărui matrice are rangul 3.

Page 7: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

97

Sistemul admite numai soluţia banală a0 = a1 = a2 = 0. Deoarece def T = 0 rezultă că T este inversabil şi există

T -1: ℝ3 → ℝ2[t]. Din relaţia T -1(x ) = p rezultă T(p) = x , adică sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=++=−=−−

3210

21

121

xaaaxaxaa

, cu soluţia a0 = x1 + x3, a1 = -x2, a2 = -x1 + x2.

Deci T -1(x1, x2, x3) = (x1 + x3) - x2t + (-x1 + x2)t2. Matricea operatorului T -1 în perechea de baze canonice este

CB' B = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

011010101

=

1

111010110 −

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

−− = A 1

'BB− .

În general, matricea operatorului T -1 este inversa matricei operatorului T. Expresia operatorului T -1 se poate calcula şi direct:

T -1(x1, x2, x3) = A 1'BB

− . XB' = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

011010101

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−+

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

21

2

31

3

2

1

xxx

xx

xxx

.

6. Se dă operatorul liniar T: ℝ2[t] → ℝ2 prin matricea sa

ABB' = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−132314

în bazele canonice din ℝ2[t], respectiv ℝ2.

a) Să se afle T(a0 + a1t + a2t2), T(1 - t + t2). b) Să se afle matricea operatorului T în bazele: B1 = {1 - t + t2, 1 + t - t2, t2 + t - 1}, B1' = {{(1, -2), (2, -1)}. c) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. d) Să se afle def T şi o bază pentru Ker T. Soluţie. a) Din definiţia matricei unui operator liniar rezultă că T(1) = 4e 1 - 2e 2, T(t) = -e 1 + 3 e 2, T(t2) = 3e 1 + e 2. Avem

Page 8: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

98

T(a0 + a1t + a2t2) = a0T(1) + a1T(t) + a2T(t2) = = a0(4e 1 - 2e 2) + a1(- e 1 + 3e 2) + a2(3e 1 + e 2) =

= (4a0 - a1 + 3a2) e 1 + (-2a0 + 3a1 + a2) e 2 = = (4a0 - a1 + 3a2, -2a0 + 3a1 + a2). T(1 - t + t2) = (8, -4). b) A 'BB 11

= (S') -1. ABB' .S, unde B ⎯→⎯S B1, B' ⎯→⎯ 'S B1',

S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

111111111

, S' = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 1221

.

c) rg T = 2 şi o bază pentru Im T este {T(1), T(t)}. d) def T = 1 şi o bază pentru Ker T este {1 + t - t2}. 7. Fie ℝ-spaţiul vectorial C2(ℝ) = {f | f: ℝ → ℝ, f, f ’, f ’’ continue} şi S = {f1, f2, f3}, unde f1 = 3, f2 = 3 – x, f3 = 3 – x – ex, un sistem de vectori din C2(ℝ).

a) Să se arate că S este un sistem liniar independent. b) Să se arate că operatorul D1: [S] → [S] definit prin

D1(f) = f ’ este liniar şi să se determine matricea sa în baza S. c) Să se arate că operatorul D2 : [S] → [S] definit prin

D2(f) = f ’’ este liniar şi să se determine matricea sa în baza S. Soluţie. a) Din orice combinaţie liniară αf1 + βf2 + γf3 = 0, α, β, γ ∈ ℝ rezultă α = β = γ = 0. Mulţimea de vectori S este liniar independentă şi generează [S], deci formează o bază pentru [S]. b) Avem D1(f1) = 0,

D1(f2) = -1 = -31 f1,

D1(f3) = -1 – ex = -31 f1 – f2 + f3.

Page 9: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

99

AS =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

10010031

310

.

b) D2(f1) = 0, D2(f2) = 0, D2(f3) = -ex = -f2 + f3.

BS = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−100100

000.

8. Pe spaţiul vectorial ℝn[x] se consideră aplicaţia A: ℝn[x] → ℝn[x] definită prin A(p(x)) = p(x + 1) – p(x).

a) Să se arate că această aplicaţie este liniară. b) Să se afle matricea operatorului în baza canonică din

spaţiul ℝn[x]. Soluţie. a) Pentru orice p1, p2 ∈ ℝn[x] şi α, β ∈ ℝ are loc

relaţia A((αp1 + βp2)(x)) = (αp1 + βp2)(x + 1) - (αp1 + βp2)(x) =

= αp1(x + 1) + βp2(x + 1) - αp1(x) - βp2(x) = = α[p1(x + 1) - p1(x)] + β[p2(x + 1) - p2(x)] = = αA(p1(x)) + βA(p2(x)),

ceea ce înseamnă că aplicaţia A este un operator liniar.

b) Deoarece A(1) = 1 – 1 = 0, A(x) = (x + 1) – x = 1, A(x2) = (x + 1)2 – x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1, A(x3) = (x + 1)3 – x3 = 3x2 + 3x + 1,

Page 10: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

100

A(x4) = (x + 1)4 – x4 = ∑=

4

0k

kk4 xC - x4 = ∑

=

4

1k

kk4 xC =

= 14C x3 + 2

4C x2 + 14C x + 0

4C = 4x3 + 6x2 + 4x + 1, ..........................

A(xn) = (x + 1)n – xn = ∑=

n

0k

kkn xC - xn = ∑

=

1n

0k

kkn xC =

= 1 + 1nC x + 2

nC x2 + 3nC x3 + … + 1n

nC − xn-1. Matricea operatorului A este

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

0...00000C...00000

.....................C...C0000C...CC000C...CCC001...11110

1nn

3n

34

2n

24

23

1n

14

13

12

.

9. Se dă operatorul liniar T: ℝ3 → ℝ3 definit prin T(u i) = v i , i = 1, 2, 3, unde u 1 = (0, 0, 1), u 2 = (0, 1, 1), u 3 = (1, 1, 1), şi v 1 = (2, 3, 5), v 2 = (1, 0, 0), v 3 = (0, 1, -1).

a) Să se afle matricea operatorului în baza canonică din ℝ3. b) Să se afle matricea operatorului în baza B1 = {u 1, u 2, u 3}. c) Să se afle T –1(x ) şi în particular T –1 (2, 1, 5). Soluţie. a) Din relaţiile

T(e 3) = T(u 1) = v 1 = 2e1 + 3e 2 + 5e 3, T(e 2 + e 3) = T(u 2) = v 2 = e 1, T(e 1 + e 2 + e 3) = T(u 3) = v 3 = e 2 - e 3, rezultă T(e 3) = 2e 1 + 3 e 2 + 5e 3,

T(e 2) = e 1 - T(e 3) = -e1 - 3e 2 - 5e 3, T(e 1) = e 2 - e 3 - T(e 2) - T( e 3) = -e1 + e 2 - e 3.

Page 11: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

101

Matricea operatorului este AB = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−

551331211

.

b) A1B =

1

111110100 −

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−

551331211

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

111110100

= ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

012111202

.

c) Din rg T = rg A = 3 rezultă că T este injectiv, deci există T –1.

Y = A 1B− XB =

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−+−−

+−−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−

321

321

32

3

2

1

x4x4x8x5x3x8

x3x5

81

xxx

448538350

81

T –1 (2, 1, 5) = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−−

035

41 .

10. Pe spaţiul liniar ℝn – 1[t] se consideră operatorul liniar D: ℝn – 1[t] → ℝn – 2[t] definit prin D(p(t)) = p’(t).

a) Să se arate că B = {f1, f2, … , fn}, unde fk(t) = !)1k(

t 1k

−,

k = n,1 , este o bază pentru ℝn – 1[t]. b) Să se scrie matricea AB a operatorului D în baza B. c) Să se afle rg D şi să se precizeze dacă D este inversabil.

Soluţie. a) Pentru a arăta că B este bază în spaţiul linar ℝn – 1[t] este suficient să arătăm că vectorii fk(t), k = n,1 , sunt liniar independenţi, deoarece dim ℝn – 1[t] = n.

Page 12: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

102

Din relaţia ∑=α

n

1kkk )t(f = 0 = 0 + 0.t + 0.t2 + … + 0.tn – 1 ⇒

α1.1 + α2 !1

t + α3 !2t2

+ … + αn !)1n(t 1n

− = 0, deci αk = 0, k = n,1 .

Avem D(f1(t)) = f1’(t) = 0 = 0. f1(t) + 0.f2(t) + … + 0.fn(t),

D(f2(t)) = f2’(t) = !1

1 = 1 = 1. f1(t) + 0.f2(t) + … + 0.fn(t),

D(f3(t)) = f3’(t) = !2t2 =

!1t = f2(t) = 0.f1(t) + 1.f2(t) + 0.f3(t) + …

+ 0.fn(t), …………………………

D(fn - 1(t)) = fn - 1’(t) = !)2n(

t)2n( 3n

−− −

= !)3n(

t 3n

− = fn - 2(t) =

= 0.f1(t) + 0.f2(t) + 0.f3(t) + … + 1.fn-2(t) + 0.fn-1(t) + 0.fn(t),

D(fn(t)) = fn’(t) = !)1n(

t)1n( 2n

−− −

= !)2n(

t 2n

− = fn - 1(t) =

= 0.f1(t) + 0.f2(t) + 0.f3(t) + … + 0.fn-2(t) + 1.fn-1(t) + 0.fn(t).

Deci AB =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

00...000010...000001...0000.....................00...100000...010000...0010

∈ ℳn(ℝ).

b) rg D = rg A = n – 1. Din relaţia dimensiunilor, dim ℝn – 1[t] = rg D + def D,

rezultă că def D = n – (n – 1) = 1, ceea ce înseamnă că D nu este injectiv, deci D nu este inversabil.

Page 13: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

103

11. Fie matricea C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21 şi operatorii liniari

Ti : ℳ2(ℝ) → ℳ2(ℝ), i = 1, 2, 3, definiţi prin T1(A) = CA, T2(A) = AC, T3(A) = CA – AC.

a) Să se afle expresiile operatorilor liniari Ti, i = 1, 2, 3 în baza canonică din ℳ2(ℝ).

b) Să se afle matricele operatorilor Ti, i = 1, 2, 3 în baza canonică din ℳ2(ℝ).

c) Să se afle matricele operatorilor Ti, i = 1, 2, 3 în baza

B1 = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 10

11,

2111

,1111

,11

11.

Soluţie. a) ∀A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

43

21

xxxx

∈ ℳ2(ℝ) avem

T1(A) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21⎥⎦

⎤⎢⎣

43

21

xxxx

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−

++

4231

4231

xxxxx2xx2x

,

T2(A) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

43

21

xxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21 = ⎥

⎤⎢⎣

⎡+−+−

4343

2121

xx2xxxx2xx

,

T3(A) = CA – AC = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−−

3241

1423

x2xxxx2x2xx2

.

b) T1(E11) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21 ⎥

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0101

0001

=

= 1. E11 + 0. E12 + (-1) . E21 + 0. E22,

T1(E12) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10

100010

=

= 0. E11 + 1. E12 + 0 . E21 + (-1) . E22,

Page 14: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

104

T1(E21) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡0102

0100

=

= 2. E11 + 0. E12 + 1 . E21 + 0. E22,

T1(E22) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡1020

1000

=

= 0. E11 + 2. E12 + 0 . E21 + 1. E22.

Matricea operatorului T1 în baza { E11, E12, E21, E22} este

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

=

1010010120100201

A1B .

Analog se obţin matricele operatorilor T2, respectiv T3:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

1100210000120011

A2B ,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−

=

0210100120020210

A3B .

c) Matricea schimbării de baze S, B ⎯→⎯S B1, se obţine din:

F1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1111

= 1. E11 + 1. E12 + 1 . E21 + (-1) . E22,

F2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111

= 1. E11 + 1. E12 + 1 . E21 + 1 . E22,

F3 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2111

= 1. E11 + (-1) . E12 + 1 . E21 + 2 . E22,

F4 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

= 1. E11 + 1. E12 + 0 . E21 + 1 . E22

Page 15: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

105

şi este S =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

1211011111111111

.

Matricele operatorilor T2 , T3 în baza B1 se obţin cu formulele SASA .i

B.1i

B1−= , i = 1, 2, 3.

12. Fie operatorul liniar T : ℳ2(ℝ) → ℳ2(ℝ), dat prin matricea sa în baza canonică,

AB =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−

511211111111

4201

a) Să se afle expresia operatorului liniar T în baza canonică din ℳ2(ℝ).

b) Să se afle matricea operatorului T în baza

B’ = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0111

,1011

,1101

,1110

.

c) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. d) Să se afle def T şi o bază pentru Ker T. Soluţie. a) Din matricea AB a operatorului T rezultă

T(E11) = 1. E11 + (-1) . E12 + 1 . E21 + 2. E22, T(E12) = 0. E11 + 1. E12 + (-1) . E21 + 1. E22, T(E21) = 2. E11 + 1. E12 + (-1) . E21 + 1. E22, T(E22) = 4. E11 + (-1) . E12 + 1 . E21 + 5. E22. Expresia operatorului T este

T(A) = T( ⎥⎦

⎤⎢⎣

43

21

xxxx

) = T(x1E11 + x2E12 + x3E21 + x4E22) =

= x1T(E11) + x2T(E12) + x3T(E21) + x4T(E22) =

Page 16: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

106

= =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −5114

x1112

x1110

x2111

x 4321

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−−−++−++

43214321

4321431

x5xxx2xxxxxxxxx4x2x

,

pentru ∀A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

43

21

xxxx

∈ ℳ2(ℝ).

b) Matricea operatorului T în baza B’ este dată de formula

AB’ = S-1. AB . S, unde B ⎯→⎯S B’, S =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

0111101111011110

.

c) rg T = rg AB = 2; o bază pentru Im T este {T(E11), T(E12)}.

d) Ker T = {X ∈ ℳ2(ℝ) | X = ⎥⎦

⎤⎢⎣

43

21

xxxx

, T(X) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

}

Din relaţia T(X) = O2 rezultă sistemul liniar omogen

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++=+−−=−++−=++

0x5xxx20xxxx0xxxx

0x4x2x

4321

4321

4321

431

cu soluţia x1 = -2x3 - 4x4, x2 = -3x3 - 3x4, x3, x4 ∈ ℝ.

KerT = {X∈ℳ2(ℝ)| X= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−−

43

4343

xxx3x3x4x2

, x3, x4∈ℝ} =

= {X ∈ ℳ2(ℝ)| X = x3 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−0132

+ x4 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−1034

, x3, x4 ∈ ℝ}.

Page 17: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

107

Sistemul format din matricele { ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−0132

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−1034

}

generează Ker T şi este liniar independent, deci formează o bază pentru Ker T; def T = 2. 13. Să se arate că polinomul caracteristic al matricei A ∈ ℳ4(K) este P(λ) = (-1)4 (λ4 – S1λ3 + S2λ2 – S3λ + S4), unde Si, i = 4,1 , reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A – λI4 . Soluţie. Din definiţie

P(λ) = det (A – λI4) =

λ−λ−

λ−λ−

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

=

=

λ−λ−

λ−

44434241343332312423222114131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

+

λ−λ−

λ−λ−

444342343332242322141312

aaa0aaa0aaa0aaa

=

=

λ−λ−

44434241343332312423222114131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

+

λ−λ−

λ−

444341343331242321141311

aa0aaa0aaaaaa0a

+

+

λ−λ−

λ−

444342343332242322141312

aaa0aaa0aaa0aaa

+

λ−λ−

λ−λ−

4443343324231413

aa00aa00aa0aa0

=

Page 18: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

108

=

λ−44434241343332312423222114131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

+

λ−λ−

444241343231242221141211

a0aaaaaa0aaa0aa

+

+

λ−

λ−

444341343331242321141311

aa0aaa0aaaaaa0a

+

λ−λ−

λ−

4441343124211411

a00aa0aa0aa00a

+

+

λ−

λ−

444342343332242322141312

aaa0aaa0aaa0aaa

+

λ−λ−

λ−

4442343224221412

a0a0aa0a0a0a0a

+

+

λ−

λ−λ−

4443343324231413

aa00aa00aa0aa0

+

λ−λ−

λ−λ−

44342414

a000a00a00a00

=

=

44434241343332312423222114131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

+

λ−434241333231232221131211

aaa0aaa0aaa0aaa

+

+

444241343231242221141211

a0aaaaaa0aaa0aa

λ− +

λ−λ−

0aa0aa00aa00aa

4241323122211211

+

444341343331242321141311

aa0aaa0aaaaaa0a

λ− +

Page 19: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

109

+

λ−

λ−

4341333123211311

a0a0a0a0aa0a0a

+

4441343124211411

a00aa0aa0aa00a

λ−λ− +

λ−λ−

λ−

00a00a00a000a

41312111

+

+

444342343332242322141312

aaa0aaa0aaa0aaaλ−

+

λ−

λ−

4342333223221312

aa00aa00aa00aa

+

4442343224221412

a0a0aa0a0a0a0a

λ−

λ−

+

+

λ−λ−

λ−

0a00a000a000a

42322212

+

4443343324231413

aa00aa00aa0aa0

λ−λ−

+

λ−

λ−λ−

43332313

a000a000a00a0

+

+

44342414

a000a00a00a00

λ−λ−

λ−

+ λ−

λ−λ−

λ−

000000000000

=

= (-λ)4 + (-λ)3(a11 + a22 + a33 + a44) + (-λ)2(22211211

aaaa +

33311311

aaaa +

+ 44411411

aaaa +

33322322

aaaa +

44422422

aaaa +

44433433

aaaa ) +

+ (-λ)1(333231232221131211

aaaaaaaaa

+ 444241242221141211

aaaaaaaaa

+ 444341343331141311

aaaaaaaaa

+

Page 20: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

110

+ 444342343332242322

aaaaaaaaa

) + det A = (-1)4(λ4 - S1λ3 + S2λ2 – S3λ + S4).

Observaţie. Polinomul caracteristic al matricei A ∈ ℳn(K) este P(λ) = (-1)n (λn – S1λn - 1 + S2λn - 2 – S3λn - 3 + … + (-1)n Sn), unde Si, i = n,1 , reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A – λIn . Din forma lui P(λ) se observă că:

S1 = tr A = a11 + a22 + … + ann , Sn = P(0) = det (A – 0In) = det A.

Deoarece λ1λ2…λn = Sn = det A, rezultă că o matrice nesingulară are toate valorile proprii nenule. 14. Fie A ∈ ℳn(K). Să se arate că:

a) Matricele A, At au aceleaşi valori proprii. b) Dacă λ este valoare proprie pentru A, atunci λk este valoare

proprie pentru Ak, k ≥ 2. c) Dacă A este matrice nesingulară cu polinomul caracteristic

P(λ), atunci polinomul caracteristic pentru A-1 este

R(λ) = )1(P)0(P

)1( nn

λ⋅

λ− .

Soluţie. a) det (At - λIn) = det (A - λIn). b) det(Ak - λkIn) = det(A - λIn)(Ak - 1 + λAk - 2 +...+ λk - 2A + λk - 1In) =

= det (A - λIn) . det (Ak - 1 + λAk - 2 + ... + λk - 2A + λk - 1In). c) A nesingulară implică P(0) ≠ 0.

==== )λ(R)λ-(Adet)Iλ-A(A)

λ1-det()I

λ1-Adet()

λ1(P nn

1-n

= )λ(R)λ-()0(Pn .

Page 21: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

111

Din relaţia demonstrată rezultă că dacă λ este valoare proprie

pentru A, atunci λ1

este valoare proprie pentru A-1.

15. Să se arate că două matrice asemenea A, B ∈ ℳn(K) au acelaşi polinom caracteristic. Soluţie. Deoarece A, B sunt asemenea, există o matrice nesingulară C astfel încât B = C –1AC. det (B – λIn) = det (C –1AC - λC –1C) = det C –1(A - λIn)C =

= det C –1 . det (A - λIn) . det C = det (A - λIn).

16. Să se afle ecuaţia caracteristică a matricei

A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

422633211

.

Soluţie. Ecuaţia caracteristică a matricei A ∈ ℳn(ℝ) se poate scrie sub forma λn + p1λn - 1 + p2λn - 2 + p3λn - 3 + … + pn - 1λ + pn = 0, în care coeficienţii p1, p2, … , pn sunt soluţiile sistemului

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=+++++

=+++=++

=+

−−− 0npps...pspss......

0p3pspss0p2pss

0ps

n1n122n11nn

321123

2112

11

(relaţiile lui Newton),

unde: s1 = tr A = λ1 + λ2 + … + λn , s2 = tr A2 = λ1

2+ λ22+ … + λn

2, ….. sk = tr Ak = λ1

k+ λ2k+ … + λn

k. În cazul problemei, puterile matricei A sunt:

Page 22: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

112

A2 = 2⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

422633211

, A3 = 4⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

422633211

,

deci s1 = tr A = 2, s2 = tr A2 = 4, s3 = tr A3 = 8. Din sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=+++=++=+

0p3p2p480p2p24

0p2

321

21

1

, rezultă p1 = -2, p2 = p3 = 0.

Deci ecuaţia caracteristică este λ3 - 2λ2 = 0. 17. Să se afle valorile şi vectorii proprii pentru matricea

A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

θθθθθθ

0sin2sin2sin0sin2sinsin0

, unde θ ≠ kπ, θ ≠ 3π

± + 2kπ.

Soluţie. Ecuaţia caracteristică este λ3 - (sin2θ + sin22θ + sinθ sin2θ)λ - sin2θ sin2θ(1 + 2cosθ) = 0.

Pentru cosθ ≠ 21

obţinem valorile proprii λ1 = sinθ + sin2θ,

λ2 = -sinθ, λ3 = -sin2θ şi vectorii proprii corespunzători: u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, -1 - 2cosθ, 1), u 3 = (2cos, 2cosθ, -1 - cosθ).

18. Să se arate că matricea A =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa............

a...aaa...aa

, unde

numerele aij , i, j = n,1 , sunt nenegative şi ∑=

n

1jija = 1, admite pe λ = 1

ca valoare proprie.

Page 23: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

113

Soluţie. Deoarece det (A - 1.I3) =

=

1a...aa............

a...1aaa...a1a

nn2n1n

n22221

n11211

−−

=

1a...a0............

a...1a0a...a0

nn2n

n222

n112

− = 0,

rezultă că λ = 1 este valoare proprie (s-au adunat toate coloanele la prima coloană). 19. Fie endomorfismul T: ℝ3 → ℝ3 definit prin T(x) = (2x1 - 2x2 + 3x3, x1 + x2 + x3, x1 + 3x2 - 3x3), pentru ∀x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3 în baza canonică a lui ℝ3.

a) Să se afle valorile şi vectorii proprii; b) Să se determine subspaţiile proprii şi dimensiunile lor; c) Să se scrie matricea operatorului în baza formată cu

vectorii proprii. Soluţie. a) Din definiţia vectorilor proprii T(x) = λx, x ≠ 0 , rezultă sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=−−++=+−+=+−−

0x)λ1(x3x0xx)λ1(x

0x3x2x)λ2(

321

321

321

Sistemul admite soluţii nenule dacă λ131

1λ1132λ2

−−−−−

= 0,

adică λ3 - 2λ2 - 5λ + 6 = 0, din care rezultă valorile proprii: λ1 = -2, λ2 = 1, λ3 = 3. Pentru a afla vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ1 = -2 se rezolvă sistemul vectorilor proprii

⎪⎩

⎪⎨

=++=++=+−

0xx3x0xx3x

0x3x2x4

321

321

321

,

Page 24: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

114

care admite soluţia x1 = 11x2, x3 = -14x2, x2 ∈ ℝ. Vectorii proprii sunt (11x2, x2, -14x2), x2 ∈ ℝ. Analog, vectorii proprii corespunzători valorilor proprii λ2 = 1, λ3 = 3 sunt (x1, -x1, -x1), cu x1 ∈ ℝ, respectiv (x1, x1, x1), cu x1 ∈ ℝ. b) S(-2) = {x ∈ ℝ3 | x = α(11, 1, -14), α ∈ ℝ}. O bază pentru S(-2) este {u 1 = (11, 1, -14)}, deci dim S(-2) = 1.

S(1) = {x ∈ ℝ3 | x = β(1, -1, -1), β ∈ ℝ}. O bază pentru S(1) este {u 2 = (1, -1, -1)}, deci dim S(1) = 1. S(3) = {x ∈ ℝ3 | x = γ(1, 1, 1), γ ∈ ℝ}. O bază pentru S(3) este {u 3 = (1, 1, 1)}, deci dim S(3) = 1. c) Deoarece T(u 1) = (-2)u 1, T(u 2) = 1u 2, T(u 3) = 3u 3, matricea lui T în baza {u 1, u 2, u 3} este

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

300010002

.

20. Folosind algoritmul lui Fadeev, să se afle polinomul caracteristic şi matricea asociată pentru

A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

320222

021.

Soluţie. Algoritmul lui Fadeev permite calculul polinomului caracteristic şi al matricei asociate B(λ) (orice coloană nenulă a matricei B(λ0) este vector propriu al matricei A, corespunzător valorii proprii λ0). Ecuaţia caracteristică va fi

λn + p1λn - 1 + p2λn - 2 + ... + pn - 1λ + pn = 0, unde pentru determinarea coeficienţilor pi, i = n,1 , se folosesc formulele:

Page 25: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

115

.IpAB,Atrn1p,ABA

;IpAB,Atr1n

1p,ABA......................................................................................

;IpAB,Atr21p,ABA

;IpAB,Atrp,AA

nnnnnn1nn

n1n1n1n1n1n2n1n

n2222212

n11111

+=−==

+=−

−==

+=−==

+=−==

−−−−−−−

Matricea asociată valorii proprii λ este

B(λ) = Inλn - 1 + B1λn - 2 + ... + Bn - 2λ + Bn - 1.

În cazul problemei avem:

A1 = A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

320222

021, p1 = -tr A = -6,

B1 = A1 + p1I3 = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−

−−

320242

025,

A2 = AB1 = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

524206461

, p2 = 21

− tr A2 = 21

− (-6) = 3,

B2 = A2 + p2I3 = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

− 224236462

,

Page 26: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

116

A3 = AB2 = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

100001000010

, p3 = 31

− tr A3 = 31

− (-30) = 10.

Ecuaţia caracteristică este λ3 - 6λ2 + 3λ + 10 = 0, deci valorile proprii sunt λ1 = -1, λ2 = 2, λ3 = 5. Matricea asociată este

B(λ) = I3λ2 + B1λ + B2 = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

2

2

2

λ000λ000λ

+ ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−

−−

λ3λ20λ2λ4λ2

0λ2λ5 +

+ ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

− 224236462

= ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−+−+−+−+−

+−+−

2λ3λ2λ242λ23λ4λ6λ2

46λ22λ5λ

2

2

2

.

Pentru λ1 = -1 se obţine B(λ1) = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

244488488

, deci vectorul

propriu corespunzător este u 1 = (2, 2, 1).

Pentru λ2 = 2 se obţine B(λ2) = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

424212

424, deci vectorul

propriu corespunzător este u 2 = (2, -1, -2).

Pentru λ3 = 5 se obţine B(λ3) = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

884884

442, deci vectorul

propriu corespunzător este u 3 = (1, -2, 2).

Page 27: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

117

21. Să se studieze posibilitatea diagonalizării endomorfismului T: ℝ3 → ℝ3 definit prin: a) T(x) = (4x1 + 6x2, -3x1 - 5x2, -3x1 - 6x2 + x3), b) T(x) = (x1 - x2 + x3, 2x1 + 2x2 - x3, x1 - x2 + 2x3), c) T(x) = (2x1 - x2 + 2x3, 5x1 - 3x2 + 3x3, -x1 - 2x3), pentru ∀x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3. Soluţie. a) Matricea endomorfismului T în baza canonică din

ℝ3 este A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

163053064

.

Polinomul caracteristic, det (A - λI3) = λ163

0λ5306λ4

−−−−−−

− =

= (1 - λ)(λ2 + λ - 2) are rădăcinile λ1 = -2, λ2 = λ3 = 1, care reprezintă valori proprii ale lui T. Subspaţiul propriu S(1) = {x ∈ ℝ3 | x = (-2x2, x2, x3), x2, x3 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x2(-2, 1, 0) + x3(0, 0, 1), x2, x3 ∈ ℝ} are o bază formată din vectorii (-2, 1, 0), (0, 0, 1), dimS(1) = 2, care este egală cu ordinul de multiplicitate al rădăcinii 1.

Subspaţiul propriu S(-2) = {x ∈ ℝ3 | x = (x1, - x1, - x1), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x1(1, -1, -1), x1 ∈ ℝ} are o bază formată din vectorul nenul (1, -1, -1); dim S(-2) = 1. Endomorfismul este diagonalizabil şi matricea sa în baza formată din vectorii proprii, B1 = {(-2, 1, 0), (0, 0, 1), (1, -1, -1)}, este

Page 28: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

118

D = S- 1AS = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

− 200010001

, unde S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

110101

102 reprezintă

matricea schimbării de bază de la baza canonică la baza B1. b) Matricea endomorfismului T în baza canonică din ℝ3 este

A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

211122

111.

Valorile proprii sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice (λ - 1)(λ - 2)2 = 0, adică λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2.

Subspaţiul propriu S(2) = {x ∈ ℝ3 | x = (x1, x1, 2x1), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x1(1, 1, 2), x1 ∈ ℝ} are dimensiunea 1, deci mai mică decât ordinul de multiplicitate al rădăcinii λ = 2. Endomorfismul nu este diagonalizabil. c) Matricea endomorfismului T în baza canonică din ℝ3 este

A = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

201335212

.

Valorile proprii sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice (λ + 1)3 = 0, adică λ1 = λ2 = λ3 = -1.

Subspaţiul propriu S(-1) = {x ∈ ℝ3 | x = (2x3, - x3, x3), x3 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x3 (2, -1, 1), x3 ∈ ℝ} are dimensiunea 1, deci mai mică decât ordinul de multiplicitate al rădăcinii λ = -1. Endomorfismul nu este diagonalizabil.

Page 29: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

119

22. Să se studieze posibilitatea diagonalizării endomorfismului T: ℂ4→ℂ4 definit prin T(e 1) = e 3, T( e 2) = e 4, T(e 3) = - e 1, T(e 4) = -2e 2, unde B = {e 1, e 2, e 3, e 4} este baza canonică a ℂ-spaţiului ℂ4. Soluţie. Matricea endomorfismului în baza canonică este

A =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−

001000012000

0100

şi are polinomul caracteristic det (A - λI4) = (λ2 + 1)(λ2 + 2) cu rădăcinile λ1 = i, λ2 = -i, λ3 = i 2 , λ4 = - i 2 , care reprezintă valorile proprii ale lui T. Subspaţiile proprii sunt: S(i) = {x ∈ ℂ4 | x = (x1, 0, -ix1, 0), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x1( 1, 0, -i, 0), x1 ∈ ℝ}, S(-i) = {x ∈ ℂ4 | x = (x1, 0, ix1, 0), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x1( 1, 0, i, 0), x1 ∈ ℝ}, S(i 2 ) = {x ∈ ℂ4 | x = (0, i 2 x4, 0, x4), x4 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x4(0, i 2 , 0, 1), x4 ∈ ℝ}, S(-i 2 ) = {x ∈ ℂ4 | x = (0, -i 2 x4, 0, x4), x4 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x4(0, -i 2 , 0, 1), x4 ∈ ℝ}. Deoarece λj ∈ ℂ şi dim S(λj) = 1, ∀j ∈ {1, 2, 3, 4}, rezultă că T este diagonalizabil. Matricea S a schimbării de bază de la baza canonică a lui ℂ4 la baza B1 formată din vectorii proprii, B1={( 1, 0, -i, 0), ( 1, 0, i, 0), (0, i 2 , 0, 1), (0, -i 2 , 0, 1)} este

Page 30: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

120

S =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

110000ii

2i2i000011

,

deci D = S- 1AS =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

2i00002i0000i0000i

.

23. Fie spaţiul euclidian ℝ3 dotat cu produsul scalar canonic şi endomorfismul f: ℝ3 → ℝ3 definit prin

f(x ) = (31 x1 +

32 x2 +

32 x3, 3

2 x1 + 31 x2 - 3

2 x3, 32 x1 - 3

2 x2 + 31 x3),

pentru ∀x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3. a) Să se arate că f este endomorfism ortogonal; b) Să se scrie matricea lui f în baza canonică şi să se arate că este ortogonală. Soluţie. a) f este endomorfism ortogonal dacă )x(f = x , ∀x ∈ ℝ3. Avem

)x(f 2 = 91 [(x1 + 2x2 + 2x3)2 + (2x1 + x2 - 2x3)2 +(2x1 - 2x2 + x3)2]=

= 91 (9x1

2 + 9x22 + 9x3

2) = x12 + x2

2 + x32 = x 2.

b) f( e 1) = 31 e 1 +

32 e 2 +

32 e 3,

f( e 2) = 32 e 1 +

31 e 2 - 3

2 e 3,

f( e 3) = 32 e 1 - 3

2 e 2 + 31 e 3,

deci matricea lui f în baza canonică este

Page 31: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

121

A =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

31

32

32

32

31

32

32

32

31

.

Deoarece A.At =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

31

32

32

32

31

32

32

32

31

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

31

32

32

32

31

32

32

32

31

= ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

100010001

= I3,

rezultă că A este matrice ortogonală. 24. Să se arate că dacă λ1, λ2 sunt valori proprii distincte ale unui endomorfism simetric f: En → En, atunci S(λ1) şi S(λ2) sunt subspaţii ortogonale. Soluţie. Pentru ∀x ∈ S(λ1) şi ∀y ∈ S(λ2) ⇒ f(x ) = λ1 x , f( y) = λ2 y . Deoarece f este simetric, rezultă că <x , f( y)> = <f(x ), y>, deci <x , λ2 y> = <λ1 x , y> ⇒ ⇒ (λ1 - λ2)<x , y> = 0 ⇒ <x , y> = 0. 25. Endomorfismul f: ℝ3 → ℝ3 are în baza canonică B

matricea AB = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−

124222421

. Să se arate că există o bază

ortonormată în care matricea lui f are forma diagonală. Soluţie. Deoarece baza canonică din ℝ3 este ortonormată şi AB este simetrică, rezultă că f este endomorfism simetric, deci diagonalizabil.

Page 32: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

122

Valorile proprii sunt soluţiile ecuaţiei caracteristice (λ + 3)2(λ - 6) = 0, deci λ1 = λ2 = -3, λ3 = 6. Sistemul vectorilor proprii este

⎪⎩

⎪⎨

=−+−−=−+−=−+−

0x)λ1(x2x40x2x)λ2(x20x4x2x)λ1(

321

321

321

.

Pentru λ = -3 obţinem soluţia x1 = α, x2 = -2α + 2β, x3 = β, unde α, β ∈ ℝ*, deci subspaţiul propriu corespunzător este S(-3) = {x ∈ ℝ3 | x = α(1, -2, 0) + β(0, 2, 1), α, β ∈ ℝ}. Pentru λ = 6 obţinem soluţia x1 = 2α, x2 = α, x3 = -2α, unde α ∈ ℝ*, deci subspaţiul propriu corespunzător este S(6) = {x ∈ ℝ3 | x = α(2, 1, -2), α ∈ ℝ}. O bază în S(-3) este {u 1,u 2}, unde u 1=(1,-2, 0), u 2 =(0, 2, 1). Ortonormând această bază, rezultă: v 1 = u 1,

v 2 = u 2 - a v 1, a = 21

12

vv,u >< = -

54 ⇒ v 2 = (

54 ,

52 , 1).

Obţinem baza ortonormată { w 1, w 2}, unde

w 1 = 1

1vv = (

51 , -

52 , 0), w 2 =

2

2vv = (

534 ,

532 ,

535 ).

O bază în S(6) este {u 3}, unde u 3 = (2, 1, -2). Deoarece S(-3) şi S(6) sunt subspaţii ortogonale, normând această bază, rezultă

w 3 = 3

3uu = (

32,

31,

32

− ).

Deci B' = { w 1, w 2, w 3} este o bază ortonormată în ℝ3. Din w 1, w 2 ∈ S(-3), w 3 ∈ S(6) rezultă f(w 1) = -3w 1,

Page 33: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

OPERATORI LINIARI

123

f( w 2) = -3w 2, f(w 3) = 6w 3. Deci în baza ortonormată B' = BS,

unde S =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

32

5350

31

532

52

32

534

51

, matricea lui f este

AB' = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

600030003

= StABS.

26. Se consideră spaţiul euclidian ℝ2 dotat cu produsul scalar uzual şi endomorfismul f: ℝ2 → ℝ2 definit prin f( x ) = (3x1 + x2, x1 + 3x2), pentru ∀x = (x1, x2) ∈ ℝ2. a) Să se arate că f este endomorfism simetric; b) Să se scrie matricea lui f în baza canonică şi să se arate că este simetrică; c) Să se scrie matricea lui f în baza B' = {u 1, u 2}, unde u 1= (1, 1), u 2 = (1, 2) şi în baza ortonormată obţinută din B'. Sunt simetrice cele două matrice? Soluţie. a) f este endomorfism simetric dacă <x , f( y)> = <f(x ), y>, ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2. Avem: <f(x ), y> = (3x1 + x2)y1 + (x1 + 3x2)y2, <x , f( y)> = x1(3y1 + y2) + x2(y1 + 3y2), de unde rezultă egalitatea. b) Fie B = {e 1, e 2} baza canonică din ℝ2. Avem f( e 1) = (3, 1) = 3 e 1 + e 2, f( e 2) = (1, 3) = e 1 + 3e 2,

deci matricea lui f în baza B este AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3113

= ABt.

Page 34: aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/An1/2007-2008... · OPERATORI LINIARI 91 Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A BB' = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea

CAPITOLUL III

124

c) Din f(u 1) = (4, 4) = 4u 1, f(u 2) = (5, 7) = 3u 1 + 2u 2,

rezultă că matricea lui f în baza B' este AB' = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2034

≠ AB't.

Ortogonalizăm baza B' utilizând procedeul Gram-Schmidt.

v 1 = u 1 = (1, 1), v 2 = u 2 - a v 1, a = 21

12

vv,u >< =

23 ⇒

⇒ v 2 =(-21 ,

21 ). Rezultă baza ortogonală { v 1, v 2}.

Normând această bază obţinem baza ortonormată B'' = {w 1, w 2},

unde w 1 = 1

1vv =

21 (1, 1), w 2 =

2

2vv =

21 (-1, 1).

Din f(w 1) = 2

1 (4, 4) = 4 w 1,

f(w 2) = (- 2 , 2 ) = 21 w 2,

rezultă că matricea lui f în baza B'' este AB'' = ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

21004

= AB''t.