129 CAPITOLUL 4 FUNCII REALE DE VARIABIL REAL nacestcapitolsuntprezentateprincipalelenoiunialeanalizeimatematicei punctatenmoddeosebitnoiuneadederivatcuinterpretrileeiclasice(din mecanicigeometrie)inoiuneadediferenialutilizatfoartemultn proiectare. 4.1 Noiuni de topologie peR FieR XiX x 0. Definiia 1. Se numete vecintate a punctului 0x orice mulime V care conine un interval ( ) b a,cu( ) V b a x ,0. Aceste vecinti au proprietile: a)OriceU care conine pe Vvecintate a lui 0x ,este tot vecintate a lui 0x ; b)Intersecia a dou vecinti a lui 0xeste tot vecintate a lui 0x ; c)Dac 0 0y x , atunciexisto vecintate a lui 0xi alta a lui 0ydisjuncte. Definiia2.Notm=0Vx{V|Vvecintatepentru 0x }ireprezintbazde vecinti ale punctului 0x . De obicei se folosesc pentru vecinti intervale simetrice de forma ( ) + 0 0,x x { } < = 00x x x Vx, adic( ) { } 0 , V0 00> + = r r x r xx. Prin alegerea vecintilor( baz de vecinti) pentru un punct0x R sa definit o structur topologic pe dreapta real, deoarece sunt satisfcute axiomele spaiului topologic. Vezi [1] i [2]. Definiia 3. FieR XiX x 0. PunctulX x 0 se numete punct interior pentruXdac i numai dac( )( ) X r x r x + 0 0,sau ( )( ) X b a , , cu ( ) b a x ,0 . Definiia 4. FieR X . Se numete interiorul mulimiiXi se noteaz oX , mulimea punctelor interioare pentruX , adic: { } interior punctx x Xo= Definiia 5. FieR X . Punctul 0xse numete punct aderent pentru X ()0xV V avem/ X V . Definiia 6. FieR X . Se numete nchiderea mulimiiXi se noteazX , mulimea punctelor aderente pentruX , adic: 130 { } aderent punct __x x X = Exemplu: Pentru( ) b a X , =avem ( ) b a X Xo, = =i| | b a X , = . Definiia 7. FieR X . Se numete frontiera mulimiiXi se noteaz o notX X X FrX \ = =. Mulimi mrginite Definiia 8.R Aeste mrginit inferior sau minorat ( ) R mastfel nct () A , a a m ; mse numete minorant i poate s apain sau nu luiA. Definiia 9.R Aeste mrginit superior sau majorat ( ) R Mastfel nct () A , a M a ; M se numete majorant i poate s apain sau nu luiA. Definiia 10.R Aeste mrginit A este minorat i majorat. Definiia 11. Se numete margine superioar a luiA cel mai mic majorant al su. Definiia 12. Se numete mrgine inferior a luiA cel mai mare minorant al lui A. Definiia 13. FieR Ai 0xun punct care poate s aparin sau nu luiA. Punctul 0xse numete punct de acumulare pentru mulimeaA ()0xV V avem{ } ( ) / 0\ x A V . Proprietatea 1. Orice punct de acumulare este punct aderent. Reciproca este fals. Exemple: 1) Muimea )`= ,1, ,21, 1nAare00= xpunct de acumulare, iar00= xnu aparine mulimii. 2)( ) { } c b a A = ,, cu) , ( b a c ,c x =0 este punct aderent, dar nu este punct de acumulare. Definiia 14. FieR AiA x 0. Punctul 0xse numete punct izolat dac ( )0xV V astfel nct{ } ( ) / 0\ x A V . Definiia 15. FieR A . Se numete limita superioar a luiA numrul : A xx A L= = sup lim , iar limita inferioar a luiA este numrul : A xx A l= = inf lim . 131 4.2 Limite de funcii Definiia 16. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Spunem c numrulR leste limit funcieifn 0x i se noteaz( ) x f lx x0lim= ()lV V , ( )0xU V astfel nct{ } ( ) V x U f 0\ ( ) () U x V x f ,cu 0x x . Definiia 17. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Spunem c numrulR leste limit funcieifn 0x i se noteaz( ) x f lx x0lim= () ( ) 0 , 0 > > astfel nct( ) ()x l x f < ,cu 0 0, x x x x < . Definiia 18. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Spunem c numrulR leste limit funcieifn 0x i se noteaz( ) x f lx x0lim=(){ }0 0si cux x x x xn n n n , atunci irul( ) l x fn . Cele trei definiii sunt echivalente. Vezi [2]. Definiia 16. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Se numete limita funciei fla stnga punctului 0xi se noteaz( ) ( ) x f x fx xx xs00lim0 astfel nct( ) ()x l x f < ,cu 0 0, x x x x < < . Definiia 18. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Se numete limita funcieifla stnga punctului 0x i se noteaz( ) ( ) x f x fx xx xs00lim0= . 132 4.3 Funcii continue Definiia 19.FieR X f : iX x 0, cuX R. Se spune cfeste continu n 0x ()( )0x fV V , atunci ( )0xU V astfel nct( ) V U f . Definiia 20.feste continu n 0x () ( ) > 0astfel nct ( ) ( ) < 0x f x fpentru < 0x x . Definiia 21.Funcia feste continu n 0x { }nnx cu 0x xn ( ) ( )0x f x fn . Definiia 22. Funciafeste continu n 0x( ) ( ) ( )0 0 0x f x f x fs d= = . Definiia 23. Funciafeste continu la stnga n 0x( ) ( ) ( )0 0 0x f x f x fd s = .Definiia 24. Funciafeste continu la dreapta n 0x ( ) ( ) ( )0 0 0x f x f x fs d = . Definiia 25.FunciaR X f : este continu peXdac este continu n orice punct al luiX . Definiia 26. Fie R X f : iX x 0 un punct n carefnu este continu.Atunci 0xeste punct de discontinuitate. Definiia 27. Fie R X f : i 0xeste punct de discontinuitate.Dac limitele laterale( )0x fs i( )0x fdexist i sunt finite spunem c 0xeste punct de discontinuitate de spea nti. Definiia 28. Fie R X f : i 0xeste punct de discontinuitate.Punctul 0xse numete punct de discontinuitate de spea a douadac nu este punct de discontinuitate de spea nti. Mai exact,( )0x fs, f (0x ) sau( )0x fd nu exist sau este infinit (infinite). Teorema 1. Orice funcie continu pe un interval nchis i mrginit| | b a,i atinge marginile. Vezi [1] i [2]. Teorema 2. Fie| | R b a f , :continu i( ) ( ) 0 < b f a f . Atunci exist cel puin un punct( ) b a x ,0astfel nct( ) 00 = x f . Vezi [1] i [2]. Continuitate uniform Definiie 29. Fie R X f : . Spunem cfeste uniform continu peX dac () ( ) 0 0 > > astfel nct() ( ) < x f x f ,() x x ,cu < x x . Teorema 1. O funcie continu pe un interval nchis i mrginit| | b a,(compact) este uniform continu pe acel interval. Vezi [2]. Teorema 2. O funcie uniform continu pe o mulime este continu pe acea mulime. Vezi [2]. Observaie. Funciile elementare sunt funcii continue pe domeniul de definiie. 133 Definiia30.Fie d) (c, b) (a, : f cu Imf d) (c, =iax xx f x fx fx xx xd Cum funcia f este derivabil n 0x , avem ( ) ( ) 00'0'= = x f x f d s . Analog pentru 0xpunct de maxim local. Teorem Fie( ) R a,b f:derivabil. a)Dacfeste cresctoare pe ( ) b a, ( ) 0'> x fpentru () ( ) a,b x ; b)Dacfeste descresctoare pe ( ) b a, ( ) 0'< x f () pentru( ) a,b x ; c)Dacfeste constant pe ( ) b a, ( ) 0'= x f () pentru( ) a,b x . Demonstraie.a) Dacfcresctoare ()2 1x x < , atunci ( ) ( )2 1x f x f =x xx f x fx fx xs ( )0'x f >0 pentru() ( ) b a x ,0 . 2)pentru( )( ) ( )0 lim000'0>=x xx f x fx fx xd Analog b) i c). Teorema lui Rolle Fie ( ) R a,b f:cu urmtoarele proprieti: 1)fcontinu pe| | b a,2)fderivabil pe( ) b a,3)( ) ( ) b f a f = . Atunci ( ) ( ) b a c , astfel nct0 ) ( ' = c f . Demonstraie.Cazul 1. Dac( ) ct x f = ( ) 0'= x f Teorema este demonstrat. Cazul 2. Dac( ) x fnu este constant , cumf este continu pe| | b a,nchis i atinge marginile ( ) 1x ( ) b a, i 2x ( ) b a, astfel nct( )| | ( ) x f x fb a x ,1max=i ( )| | ( ) x f x fb a x ,2min= 1x i 2xsunt puncte de extrem. Cumfeste derivabil conform teoremei lui Fermat ( ) 01'= x f 1x c =sau analog pentru 2x c = . Observaii: 1)Din teorema lui Rolle ( ) un singur punct sau numrimpar de puncte n care derivata se anuleaz. 2)Dac( ) ( ) x P x fn=(funcie polinomiala) ntre dou rdcini consecutive ale polinomului exist un numr impar de rdcini ale derivatei. 3)ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o rdcin a funciei. Teorema Cauchy Fie| | R b a g f , : ,cu proprietile: 1)figcontinue pe | | b a, . 2)figderivabile pe ( ) b a, . 3)( ) 0' x g pentru () ( ) b a x , . 138 Atunci ( ) ( ) b a c , astfel nct : ( ) ( )( ) ( )( )( ) c gc fa g b ga f b f''=. Demonstraie. Considerm funcia : ( ) ( ) ( ) C x g B x f A x F + + = .S determinm constantele A, B i C astfel nct( ) ( ) 0 = = b F a F . = + + == + + =0 ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) (C b Bg b Af b FC a Bg a Af a F Scznd aceste relaii gsim :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + a g b g B a f b f Apentru ( ) ( ) a g b g A =i( ) ( ) ( ) a f b f B = , funcia F verific condiia de sus. Considerm0 = C , pentru c sunt trei parametriC B A , ,idoar douecuaii (o singur soluie)Deci( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a g b g x f x g b f a f x F + =( ) ( ) 0 = = b F a F conform teoremei lui Rolle exist( ) b a c , astfel nct( ) 0'= c F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0' '= + a g b g c f c g a f b f ( ) ( )( ) ( )( )( ) c gc fa g b ga f b f''=. Teorema Lagrange (a creterilor finite) Fie| | R b a f , : . 1)fcontinu pe| | b a, . 2)fderivabilpe( ) b a, . Atunci exist( ) b a c , astfel nct : ( ) ( )( ) c fa ba f b f'=. Demonstraie. Se consider( ) x x g =n teorema lui Cauchyi se obine concluzia teoremei. 139 Interpretarea geometric B A f(a)f(b) acb Raportul ( ) ( )a ba f b f reprezint panta dreptei AB. Teorema Lagrange spune c n cazul cnd sunt ndeplinite ipotezele teoremei, atunci exist( ) b a c , n care panta dreptei AB coincide cu panta tangentei n x=c. Consecinele teoremei Lagrange:1)Dac( ) 0'= x f , () ( ) b a x , ( ) . ct x f =2) Dac ( ) ( ) x g x f' '=,() ( ) b a x , ( ) ( ) c x g x f + = . 3) Dac( ) 0'> x f, () ( ) b a x , , atunci( ) x feste cresctoare. 4) Dac ( ) 0'< x f , () ( ) b a x , , atunci ( ) x feste descresctoare. Regula lui lHospital Caz 1. ( )( )( )( ) x gx fx gx fx x x x''lim lim ) ,00(0 0 = Caz 2. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x g x fx f x gx g x fx x x x= 11 1lim lim ) (0 0; se reduce la cazul 1. Caz 3. ( ) ( ) ( )( )( ) x gx fx g x fx x x x 1lim lim ) 0 (0 0 = ; se reduce la cazul 1. 140 Caz 4. ( ) ( )( ) ( )( )( ) x gx fx f x g x fx x x xx gx x1lnlim ln lim lim ) , 0 , 1 (0 0 00 0 = = ; se reduce la cazul 1. Vezi paragraful 2.3.

Interpretarea derivatei a doua Definiia 37. Fie| | R b a f , : . Funciafeste convex (ine ap) dac ( )( ) ( )( ) ( ) () ( ) b a x a f a xa ba f b fx f , , + . (Valorile funciei se afl sub dreapta AB unde A(a,f(a) i B(b,f(b))) Definiia 38. Fie| | R b a f , : . Funciafeste concav (nu ine ap) dac ( )( ) ( )( ) ( ) () ( ) b a x a f a xa ba f b fx f , , + > . (Valorile funciei se afl deasupra dreptei AB unde A(a,f(a) i B(b,f(b))) Definiia 39. Punctul 0xse numete punct de inflexiune dac funcia i schimb concavitatea. Teorem. Fie| | R b a f , :derivabil de dou ori. Au loc urmtoarele afirmaii: 1)Dac( ) () | | b a x x f , , 0 ' ' > , atuncifeste convex pe| | b a, . 2)Dac( ) () | | b a x x f , , 0 ' ' < , atuncifeste concav pe| | b a, . 3)Dac ( ) 0 ' '0 = x f, atunci 0xeste punct de inflexiune. Formula lui Taylor Dac| | b a C fn,1 + , atunci () ( ) b a x ,0 i()0xV x , exist un punct c ntre x i 0xastfel nct ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )10100000! 1 ! ! 1'++++ + + + =nnnnx xnc fx xnx fx xx fx f x f (1) Demonstraie. Considerm egalitatea ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Rnx xx xnx fx xx fx xx fx f x fnnn++ + + + + =+! 1 ! ! 2' '! 1'1000 200000, (2)unde Reste o constant pentru care are loc (1). Aceast constant urmeaz a fi determinat. Fie 0x x > , atunci considerm funcia auxiliar| | R , :0 x x g , definit prin( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )Rnt xt xnt ft xt ft f t gnnn++ + + + =+! 1 ! ! 1'1 . (3) Funciagare proprietile: 1)geste continu pe| |0,x x ; 2)geste derivabil pe( )0, x x ; 141 3)( ) ( ) ( ) x f x g x g = =0. Din teorema lui Rolle, rezult( ) ( ) x x c ,0 astfel nct( ) 0'= c g . Dar, ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) +||.|

\| +|.|

\| + = t xt ft xt f t ft xt ft f t g! 2' ' 2! 2 ! 1'! 1' '2' ' '' ' +( )( )( )( ) +||.|

\| t ft xt xt fIIV' '23! 33! 3( )( )( )( )( )( )( )( )( )! 11! !1 1+ +||.|

\| + +nt x nR t fnt x nt xnt fnnnnn. Rezult:( ) = t g'( )( )( )nnt xnt f+!1( )( )( )! 11+ +nt x nRn. (4) Din ( ) 0'= c g( )( )( )( )0! !1= +nc xR c xnc fnnn ( )( )( ) | | 0!1= +R c fnc xnn( )( ) c f Rn 1 += . nlocuind n ( 1), avem ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )10100000! 1 ! ! 1'++++ + + + =nnnnx xnc fx xnx fx xx fx f x f , care reprezint formula lui Taylor. Caz particular. Pentru0 = xse obine formula lui Mac Laurin( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) x c xnc fxnfxff x fnnnn, 0 cu,! 1 !0! 10 '011++ + + + =++(5) Difereniale Definiia 40. Fie| | R b a f , :i( ) b a x ,0 . Funciafse numete difereniabil n 0xdac( ) R Ai( )0,x x funcie continu cu( ) 0 , lim00= x xx x, astfel nct ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, x x x x x x A x f x f + = .(6) Teorem. Funciafeste difereniabil n 0xdac i numai dacfeste derivabil n 0x . Demonstraie.S demonstrm c dac f este difereniabil n 0x , atunci f este derivabil n 0x . Dac f este difereniabil n 0x , atunci din (6) rezult c: ( ) | | A x x Ax xx x x x x x Ax xx f x fx fx x x x x x= + = + == ) , ( lim) )( , ( ) (lim) ( ) (lim000 0 0) 6 (000'0 0 0. Deci A=( )0' x f . 142 S demonstrm c dac f este derivabil n 0x , atunci f este difereniabil n 0xsartmc A ) ( Rifunciacontinu( )0,x x cuproprietateac ( ) 0 , lim00= x xx x. Cum f este derivabil, atunci exist, este unic i finit limita: ( )000') ( ) (lim0 x xx f x fx fx x= (8) Definim funcia : ( )0,x x ( )000') ( ) (x xx f x fx f =.(9) Evidentc( ) 0 , lim00= x xx xifuncia( )0,x x estecontinu(pentrucf derivabil). Constanta( )0'x f A = . n aceste condiii diferena se poate scrie: + = ) ( ) ( ) (0 0x x A x f x f ( )0,x x ) (0x x adic f este difereniabil n 0x . Definiia 41. Se numete difereniala funcieifn 0x , dacfeste derivabil i se noteaz cu( ) ( )dx x f x df0 0' = , unde 0x x dx =(diferen constant). Interpretare geometric a diferenialei Membrul stng al relaiei (6) se numete variaia real a funciei i o notm cu: ) ( ) ( ) , (0 0x f x f x xf = .(10) Funcia( )0,x x mai poart numele de rest sau abatere i tinde la zero cnd x tinde la 0x . Membrul drept al relaiei (6) este alctuit din suma dintre o constant (A) plus abaterea (restul)( )0,x x , nmulit cu variaia argumentului 0x x .Cum abaterea este foarte mic n raport cu A(0x x ), atunci aceasta parte liniar A(0x x ) a fost numit difereniala funciei f n 0xi conform definiiei 41 avem c : ( ) ( )0 0' x f x df = (0x x ). Relaia (6) spune c : + = ) ( ) , (0 0x df x xf( )0,x x ) (0x x .(6) Cum ( ) 0 ,0 x x pentru 0x x ,arevalorifoartemiciicumaceast funcienupoatefideterminat,atunciavemposibilitateasdeterminm aproximativ variaia real a funciei folosind difereniala funciei, adic : = ) ( ) ( ) , (0 0x f x f x xf( ) ( )0 0' x f x df = ) (0x x . (11) Dinaceastrelaieputemcalculaaproximativvaloareafuncieinx,cnd cunosc valoarea funciei n 0xi valoarea derivatei n 0x , adic: 143 ( ) ( ) ) ( ' ) (0 0 0x x x f x f x f + . Observaie: Acest rezultat se poate obine i din formula lui Taylor pentru n=1. Exemplu: Avem o bil de raz 0R , care la temperatura 0tare volumul:34300RV=. Dac temperatura crete i ajunge la valoarea 0t t > , atunci raza bilei crete i ea la valoarea 0R R >(care poate fi determinat respectnd legile de dilataie termic). Spresupunemcnutimacestelegiitotuitrebuiesdeterminmvolumul sferei la temperaturi 0t t > . Dac considerm funcia V(r) cu: 34) (3rr V= atunci: ) ( ) ( ) (0 0R dV R V R V sau ) )( ( ' ) ( ) (0 0 0R R R V R V R V + (12) care reprezint volumul aproximativ al sferei la temperatura 0t t > . Dac particularizm acest exemplu cu datele urmtoare: -la temperaturaC t200 =avemcm R 400 = ; -la temperaturaC t50 =avemcm R 015 , 40 = ; Atunci volumul real al sferei laC t50 =este: 3 32791 , 268384 015 , 4034) ( cm r V = = . Calculnd volumul aproximativ al sferei cu (12) gsim: = += + 015 , 0 40 4340 4) )( ( ' ) ( ) (230 0 0R R R V R V R V 3166 , 268384 5928 , 301 5731 , 268082 cm = + = . Definiia 42.Se numete diferenial de ordinul doi a funcieifn0xi se noteaz cu ( ) ( ) ( )20' '02dx x f x f d = , dac' feste derivabil n 0xi este difereniabil n 0x . Definiia 43. Se numete diferenial de ordinul n a funcieifn0x , dac () V C fncu 0xV Vi ( ) 1 nfeste difereniabil n 0xi avem ( )( )( )( )n n ndx x f x f d0 0 = .