FUNCŢII REALE DE VARIABILĂ REALĂ
15
129 CAPITOLUL 4 FUNCŢII REALE DE VARIABILĂ REALĂ În acest capitol sunt prezentate principalele noţiuni ale analizei matematice şi punctate în mod deosebit noţiunea de derivată cu interpretările ei clasice (din mecanică şi geometrie) şi noţiunea de diferenţială utilizată foarte mult în proiectare. 4.1 Noţiuni de topologie pe R Fie R ⊂ X şi X x ∈ 0 . Definiţia 1. Se numeşte vecinătate a punctului 0 x orice mulţime V care conţine un interval ( ) b a, cu ( ) V b a x ⊂ ∈ , 0 . Aceste vecinătăţi au proprietăţile: a) Orice U care conţine pe V vecinătate a lui 0 x , este tot vecinătate a lui 0 x ; b) Intersecţia a două vecinătăţi a lui 0 x este tot vecinătate a lui 0 x ; c) Dacă 0 0 y x ≠ , atunci există o vecinătate a lui 0 x şi alta a lui 0 y disjuncte. Definiţia 2. Notăm = 0 V x {V|V vecinătate pentru 0 x } şi reprezintă bază de vecinătăţi ale punctului 0 x . De obicei se folosesc pentru vecinătăţi intervale simetrice de forma ( ) ε + ε − 0 0 , x x { } ε < − = ⇔ 0 0 x x x V x , adică ( ) { } 0 , V 0 0 0 > + − = r r x r x x . Prin alegerea vecinătăţilor( bază de vecinătăţi) pentru un punct ∈ 0 x R s−a definit o structură topologică pe dreapta reală, deoarece sunt satisfăcute axiomele spaţiului topologic. Vezi [1] şi [2]. Definiţia 3. Fie R ⊂ X şi X x ∈ 0 . Punctul X x ∈ 0 se numeşte punct interior pentru X dacă şi numai dacă ( )( ) X r x r x ⊂ + − ∃ 0 0 , sau ( )( ) X b a ⊂ ∃ , , cu ( ) b a x , 0 ∈ . Definiţia 4. Fie R ⊂ X . Se numeşte interiorul mulţimii X şi se notează o X , mulţimea punctelor interioare pentru X , adică: { } interior punct x x X o = Definiţia 5. Fie R ⊂ X . Punctul 0 x se numeşte punct aderent pentru X ( ) 0 x V V ∈ ∀ ⇔ avem Ο / ≠ ∩ X V . Definiţia 6. Fie R ⊂ X . Se numeşte închiderea mulţimii X şi se notează X , mulţimea punctelor aderente pentru X , adică:
-
Upload
razvan-bugghy -
Category
Documents
-
view
244 -
download
0
description
4.1 Noţiuni de topologie pe R
Transcript of FUNCŢII REALE DE VARIABILĂ REALĂ
129 CAPITOLUL 4 FUNCII REALE DE VARIABIL REAL nacestcapitolsuntprezentateprincipalelenoiunialeanalizeimatematicei punctatenmoddeosebitnoiuneadederivatcuinterpretrileeiclasice(din mecanicigeometrie)inoiuneadediferenialutilizatfoartemultn proiectare. 4.1 Noiuni de topologie peR FieR XiX x 0. Definiia 1. Se numete vecintate a punctului 0x orice mulime V care conine un interval ( ) b a,cu( ) V b a x ,0. Aceste vecinti au proprietile: a)OriceU care conine pe Vvecintate a lui 0x ,este tot vecintate a lui 0x ; b)Intersecia a dou vecinti a lui 0xeste tot vecintate a lui 0x ; c)Dac 0 0y x , atunciexisto vecintate a lui 0xi alta a lui 0ydisjuncte. Definiia2.Notm=0Vx{V|Vvecintatepentru 0x }ireprezintbazde vecinti ale punctului 0x . De obicei se folosesc pentru vecinti intervale simetrice de forma ( ) + 0 0,x x { } < = 00x x x Vx, adic( ) { } 0 , V0 00> + = r r x r xx. Prin alegerea vecintilor( baz de vecinti) pentru un punct0x R sa definit o structur topologic pe dreapta real, deoarece sunt satisfcute axiomele spaiului topologic. Vezi [1] i [2]. Definiia 3. FieR XiX x 0. PunctulX x 0 se numete punct interior pentruXdac i numai dac( )( ) X r x r x + 0 0,sau ( )( ) X b a , , cu ( ) b a x ,0 . Definiia 4. FieR X . Se numete interiorul mulimiiXi se noteaz oX , mulimea punctelor interioare pentruX , adic: { } interior punctx x Xo= Definiia 5. FieR X . Punctul 0xse numete punct aderent pentru X ()0xV V avem/ X V . Definiia 6. FieR X . Se numete nchiderea mulimiiXi se noteazX , mulimea punctelor aderente pentruX , adic: 130 { } aderent punct __x x X = Exemplu: Pentru( ) b a X , =avem ( ) b a X Xo, = =i| | b a X , = . Definiia 7. FieR X . Se numete frontiera mulimiiXi se noteaz o notX X X FrX \ = =. Mulimi mrginite Definiia 8.R Aeste mrginit inferior sau minorat ( ) R mastfel nct () A , a a m ; mse numete minorant i poate s apain sau nu luiA. Definiia 9.R Aeste mrginit superior sau majorat ( ) R Mastfel nct () A , a M a ; M se numete majorant i poate s apain sau nu luiA. Definiia 10.R Aeste mrginit A este minorat i majorat. Definiia 11. Se numete margine superioar a luiA cel mai mic majorant al su. Definiia 12. Se numete mrgine inferior a luiA cel mai mare minorant al lui A. Definiia 13. FieR Ai 0xun punct care poate s aparin sau nu luiA. Punctul 0xse numete punct de acumulare pentru mulimeaA ()0xV V avem{ } ( ) / 0\ x A V . Proprietatea 1. Orice punct de acumulare este punct aderent. Reciproca este fals. Exemple: 1) Muimea )`= ,1, ,21, 1nAare00= xpunct de acumulare, iar00= xnu aparine mulimii. 2)( ) { } c b a A = ,, cu) , ( b a c ,c x =0 este punct aderent, dar nu este punct de acumulare. Definiia 14. FieR AiA x 0. Punctul 0xse numete punct izolat dac ( )0xV V astfel nct{ } ( ) / 0\ x A V . Definiia 15. FieR A . Se numete limita superioar a luiA numrul : A xx A L= = sup lim , iar limita inferioar a luiA este numrul : A xx A l= = inf lim . 131 4.2 Limite de funcii Definiia 16. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Spunem c numrulR leste limit funcieifn 0x i se noteaz( ) x f lx x0lim= ()lV V , ( )0xU V astfel nct{ } ( ) V x U f 0\ ( ) () U x V x f ,cu 0x x . Definiia 17. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Spunem c numrulR leste limit funcieifn 0x i se noteaz( ) x f lx x0lim= () ( ) 0 , 0 > > astfel nct( ) ()x l x f < ,cu 0 0, x x x x < . Definiia 18. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Spunem c numrulR leste limit funcieifn 0x i se noteaz( ) x f lx x0lim=(){ }0 0si cux x x x xn n n n , atunci irul( ) l x fn . Cele trei definiii sunt echivalente. Vezi [2]. Definiia 16. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Se numete limita funciei fla stnga punctului 0xi se noteaz( ) ( ) x f x fx xx xs00lim0 astfel nct( ) ()x l x f < ,cu 0 0, x x x x < < . Definiia 18. FieR X f :i 0xpunct de acumulare al luiX R. Se numete limita funcieifla stnga punctului 0x i se noteaz( ) ( ) x f x fx xx xs00lim0= . 132 4.3 Funcii continue Definiia 19.FieR X f : iX x 0, cuX R. Se spune cfeste continu n 0x ()( )0x fV V , atunci ( )0xU V astfel nct( ) V U f . Definiia 20.feste continu n 0x () ( ) > 0astfel nct ( ) ( ) < 0x f x fpentru < 0x x . Definiia 21.Funcia feste continu n 0x { }nnx cu 0x xn ( ) ( )0x f x fn . Definiia 22. Funciafeste continu n 0x( ) ( ) ( )0 0 0x f x f x fs d= = . Definiia 23. Funciafeste continu la stnga n 0x( ) ( ) ( )0 0 0x f x f x fd s = .Definiia 24. Funciafeste continu la dreapta n 0x ( ) ( ) ( )0 0 0x f x f x fs d = . Definiia 25.FunciaR X f : este continu peXdac este continu n orice punct al luiX . Definiia 26. Fie R X f : iX x 0 un punct n carefnu este continu.Atunci 0xeste punct de discontinuitate. Definiia 27. Fie R X f : i 0xeste punct de discontinuitate.Dac limitele laterale( )0x fs i( )0x fdexist i sunt finite spunem c 0xeste punct de discontinuitate de spea nti. Definiia 28. Fie R X f : i 0xeste punct de discontinuitate.Punctul 0xse numete punct de discontinuitate de spea a douadac nu este punct de discontinuitate de spea nti. Mai exact,( )0x fs, f (0x ) sau( )0x fd nu exist sau este infinit (infinite). Teorema 1. Orice funcie continu pe un interval nchis i mrginit| | b a,i atinge marginile. Vezi [1] i [2]. Teorema 2. Fie| | R b a f , :continu i( ) ( ) 0 < b f a f . Atunci exist cel puin un punct( ) b a x ,0astfel nct( ) 00 = x f . Vezi [1] i [2]. Continuitate uniform Definiie 29. Fie R X f : . Spunem cfeste uniform continu peX dac () ( ) 0 0 > > astfel nct() ( ) < x f x f ,() x x ,cu < x x . Teorema 1. O funcie continu pe un interval nchis i mrginit| | b a,(compact) este uniform continu pe acel interval. Vezi [2]. Teorema 2. O funcie uniform continu pe o mulime este continu pe acea mulime. Vezi [2]. Observaie. Funciile elementare sunt funcii continue pe domeniul de definiie. 133 Definiia30.Fie d) (c, b) (a, : f cu Imf d) (c, =iax xx f x fx fx xx xd Cum funcia f este derivabil n 0x , avem ( ) ( ) 00'0'= = x f x f d s . Analog pentru 0xpunct de maxim local. Teorem Fie( ) R a,b f:derivabil. a)Dacfeste cresctoare pe ( ) b a, ( ) 0'> x fpentru () ( ) a,b x ; b)Dacfeste descresctoare pe ( ) b a, ( ) 0'< x f () pentru( ) a,b x ; c)Dacfeste constant pe ( ) b a, ( ) 0'= x f () pentru( ) a,b x . Demonstraie.a) Dacfcresctoare ()2 1x x < , atunci ( ) ( )2 1x f x f =x xx f x fx fx xs ( )0'x f >0 pentru() ( ) b a x ,0 . 2)pentru( )( ) ( )0 lim000'0>=x xx f x fx fx xd Analog b) i c). Teorema lui Rolle Fie ( ) R a,b f:cu urmtoarele proprieti: 1)fcontinu pe| | b a,2)fderivabil pe( ) b a,3)( ) ( ) b f a f = . Atunci ( ) ( ) b a c , astfel nct0 ) ( ' = c f . Demonstraie.Cazul 1. Dac( ) ct x f = ( ) 0'= x f Teorema este demonstrat. Cazul 2. Dac( ) x fnu este constant , cumf este continu pe| | b a,nchis i atinge marginile ( ) 1x ( ) b a, i 2x ( ) b a, astfel nct( )| | ( ) x f x fb a x ,1max=i ( )| | ( ) x f x fb a x ,2min= 1x i 2xsunt puncte de extrem. Cumfeste derivabil conform teoremei lui Fermat ( ) 01'= x f 1x c =sau analog pentru 2x c = . Observaii: 1)Din teorema lui Rolle ( ) un singur punct sau numrimpar de puncte n care derivata se anuleaz. 2)Dac( ) ( ) x P x fn=(funcie polinomiala) ntre dou rdcini consecutive ale polinomului exist un numr impar de rdcini ale derivatei. 3)ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o rdcin a funciei. Teorema Cauchy Fie| | R b a g f , : ,cu proprietile: 1)figcontinue pe | | b a, . 2)figderivabile pe ( ) b a, . 3)( ) 0' x g pentru () ( ) b a x , . 138 Atunci ( ) ( ) b a c , astfel nct : ( ) ( )( ) ( )( )( ) c gc fa g b ga f b f''=. Demonstraie. Considerm funcia : ( ) ( ) ( ) C x g B x f A x F + + = .S determinm constantele A, B i C astfel nct( ) ( ) 0 = = b F a F . = + + == + + =0 ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) (C b Bg b Af b FC a Bg a Af a F Scznd aceste relaii gsim :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + a g b g B a f b f Apentru ( ) ( ) a g b g A =i( ) ( ) ( ) a f b f B = , funcia F verific condiia de sus. Considerm0 = C , pentru c sunt trei parametriC B A , ,idoar douecuaii (o singur soluie)Deci( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a g b g x f x g b f a f x F + =( ) ( ) 0 = = b F a F conform teoremei lui Rolle exist( ) b a c , astfel nct( ) 0'= c F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0' '= + a g b g c f c g a f b f ( ) ( )( ) ( )( )( ) c gc fa g b ga f b f''=. Teorema Lagrange (a creterilor finite) Fie| | R b a f , : . 1)fcontinu pe| | b a, . 2)fderivabilpe( ) b a, . Atunci exist( ) b a c , astfel nct : ( ) ( )( ) c fa ba f b f'=. Demonstraie. Se consider( ) x x g =n teorema lui Cauchyi se obine concluzia teoremei. 139 Interpretarea geometric B A f(a)f(b) acb Raportul ( ) ( )a ba f b f reprezint panta dreptei AB. Teorema Lagrange spune c n cazul cnd sunt ndeplinite ipotezele teoremei, atunci exist( ) b a c , n care panta dreptei AB coincide cu panta tangentei n x=c. Consecinele teoremei Lagrange:1)Dac( ) 0'= x f , () ( ) b a x , ( ) . ct x f =2) Dac ( ) ( ) x g x f' '=,() ( ) b a x , ( ) ( ) c x g x f + = . 3) Dac( ) 0'> x f, () ( ) b a x , , atunci( ) x feste cresctoare. 4) Dac ( ) 0'< x f , () ( ) b a x , , atunci ( ) x feste descresctoare. Regula lui lHospital Caz 1. ( )( )( )( ) x gx fx gx fx x x x''lim lim ) ,00(0 0 = Caz 2. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x g x fx f x gx g x fx x x x= 11 1lim lim ) (0 0; se reduce la cazul 1. Caz 3. ( ) ( ) ( )( )( ) x gx fx g x fx x x x 1lim lim ) 0 (0 0 = ; se reduce la cazul 1. 140 Caz 4. ( ) ( )( ) ( )( )( ) x gx fx f x g x fx x x xx gx x1lnlim ln lim lim ) , 0 , 1 (0 0 00 0 = = ; se reduce la cazul 1. Vezi paragraful 2.3.
Interpretarea derivatei a doua Definiia 37. Fie| | R b a f , : . Funciafeste convex (ine ap) dac ( )( ) ( )( ) ( ) () ( ) b a x a f a xa ba f b fx f , , + . (Valorile funciei se afl sub dreapta AB unde A(a,f(a) i B(b,f(b))) Definiia 38. Fie| | R b a f , : . Funciafeste concav (nu ine ap) dac ( )( ) ( )( ) ( ) () ( ) b a x a f a xa ba f b fx f , , + > . (Valorile funciei se afl deasupra dreptei AB unde A(a,f(a) i B(b,f(b))) Definiia 39. Punctul 0xse numete punct de inflexiune dac funcia i schimb concavitatea. Teorem. Fie| | R b a f , :derivabil de dou ori. Au loc urmtoarele afirmaii: 1)Dac( ) () | | b a x x f , , 0 ' ' > , atuncifeste convex pe| | b a, . 2)Dac( ) () | | b a x x f , , 0 ' ' < , atuncifeste concav pe| | b a, . 3)Dac ( ) 0 ' '0 = x f, atunci 0xeste punct de inflexiune. Formula lui Taylor Dac| | b a C fn,1 + , atunci () ( ) b a x ,0 i()0xV x , exist un punct c ntre x i 0xastfel nct ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )10100000! 1 ! ! 1'++++ + + + =nnnnx xnc fx xnx fx xx fx f x f (1) Demonstraie. Considerm egalitatea ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Rnx xx xnx fx xx fx xx fx f x fnnn++ + + + + =+! 1 ! ! 2' '! 1'1000 200000, (2)unde Reste o constant pentru care are loc (1). Aceast constant urmeaz a fi determinat. Fie 0x x > , atunci considerm funcia auxiliar| | R , :0 x x g , definit prin( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )Rnt xt xnt ft xt ft f t gnnn++ + + + =+! 1 ! ! 1'1 . (3) Funciagare proprietile: 1)geste continu pe| |0,x x ; 2)geste derivabil pe( )0, x x ; 141 3)( ) ( ) ( ) x f x g x g = =0. Din teorema lui Rolle, rezult( ) ( ) x x c ,0 astfel nct( ) 0'= c g . Dar, ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) +||.|
\| +|.|
\| + = t xt ft xt f t ft xt ft f t g! 2' ' 2! 2 ! 1'! 1' '2' ' '' ' +( )( )( )( ) +||.|
\| t ft xt xt fIIV' '23! 33! 3( )( )( )( )( )( )( )( )( )! 11! !1 1+ +||.|
\| + +nt x nR t fnt x nt xnt fnnnnn. Rezult:( ) = t g'( )( )( )nnt xnt f+!1( )( )( )! 11+ +nt x nRn. (4) Din ( ) 0'= c g( )( )( )( )0! !1= +nc xR c xnc fnnn ( )( )( ) | | 0!1= +R c fnc xnn( )( ) c f Rn 1 += . nlocuind n ( 1), avem ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )10100000! 1 ! ! 1'++++ + + + =nnnnx xnc fx xnx fx xx fx f x f , care reprezint formula lui Taylor. Caz particular. Pentru0 = xse obine formula lui Mac Laurin( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) x c xnc fxnfxff x fnnnn, 0 cu,! 1 !0! 10 '011++ + + + =++(5) Difereniale Definiia 40. Fie| | R b a f , :i( ) b a x ,0 . Funciafse numete difereniabil n 0xdac( ) R Ai( )0,x x funcie continu cu( ) 0 , lim00= x xx x, astfel nct ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, x x x x x x A x f x f + = .(6) Teorem. Funciafeste difereniabil n 0xdac i numai dacfeste derivabil n 0x . Demonstraie.S demonstrm c dac f este difereniabil n 0x , atunci f este derivabil n 0x . Dac f este difereniabil n 0x , atunci din (6) rezult c: ( ) | | A x x Ax xx x x x x x Ax xx f x fx fx x x x x x= + = + == ) , ( lim) )( , ( ) (lim) ( ) (lim000 0 0) 6 (000'0 0 0. Deci A=( )0' x f . 142 S demonstrm c dac f este derivabil n 0x , atunci f este difereniabil n 0xsartmc A ) ( Rifunciacontinu( )0,x x cuproprietateac ( ) 0 , lim00= x xx x. Cum f este derivabil, atunci exist, este unic i finit limita: ( )000') ( ) (lim0 x xx f x fx fx x= (8) Definim funcia : ( )0,x x ( )000') ( ) (x xx f x fx f =.(9) Evidentc( ) 0 , lim00= x xx xifuncia( )0,x x estecontinu(pentrucf derivabil). Constanta( )0'x f A = . n aceste condiii diferena se poate scrie: + = ) ( ) ( ) (0 0x x A x f x f ( )0,x x ) (0x x adic f este difereniabil n 0x . Definiia 41. Se numete difereniala funcieifn 0x , dacfeste derivabil i se noteaz cu( ) ( )dx x f x df0 0' = , unde 0x x dx =(diferen constant). Interpretare geometric a diferenialei Membrul stng al relaiei (6) se numete variaia real a funciei i o notm cu: ) ( ) ( ) , (0 0x f x f x xf = .(10) Funcia( )0,x x mai poart numele de rest sau abatere i tinde la zero cnd x tinde la 0x . Membrul drept al relaiei (6) este alctuit din suma dintre o constant (A) plus abaterea (restul)( )0,x x , nmulit cu variaia argumentului 0x x .Cum abaterea este foarte mic n raport cu A(0x x ), atunci aceasta parte liniar A(0x x ) a fost numit difereniala funciei f n 0xi conform definiiei 41 avem c : ( ) ( )0 0' x f x df = (0x x ). Relaia (6) spune c : + = ) ( ) , (0 0x df x xf( )0,x x ) (0x x .(6) Cum ( ) 0 ,0 x x pentru 0x x ,arevalorifoartemiciicumaceast funcienupoatefideterminat,atunciavemposibilitateasdeterminm aproximativ variaia real a funciei folosind difereniala funciei, adic : = ) ( ) ( ) , (0 0x f x f x xf( ) ( )0 0' x f x df = ) (0x x . (11) Dinaceastrelaieputemcalculaaproximativvaloareafuncieinx,cnd cunosc valoarea funciei n 0xi valoarea derivatei n 0x , adic: 143 ( ) ( ) ) ( ' ) (0 0 0x x x f x f x f + . Observaie: Acest rezultat se poate obine i din formula lui Taylor pentru n=1. Exemplu: Avem o bil de raz 0R , care la temperatura 0tare volumul:34300RV=. Dac temperatura crete i ajunge la valoarea 0t t > , atunci raza bilei crete i ea la valoarea 0R R >(care poate fi determinat respectnd legile de dilataie termic). Spresupunemcnutimacestelegiitotuitrebuiesdeterminmvolumul sferei la temperaturi 0t t > . Dac considerm funcia V(r) cu: 34) (3rr V= atunci: ) ( ) ( ) (0 0R dV R V R V sau ) )( ( ' ) ( ) (0 0 0R R R V R V R V + (12) care reprezint volumul aproximativ al sferei la temperatura 0t t > . Dac particularizm acest exemplu cu datele urmtoare: -la temperaturaC t200 =avemcm R 400 = ; -la temperaturaC t50 =avemcm R 015 , 40 = ; Atunci volumul real al sferei laC t50 =este: 3 32791 , 268384 015 , 4034) ( cm r V = = . Calculnd volumul aproximativ al sferei cu (12) gsim: = += + 015 , 0 40 4340 4) )( ( ' ) ( ) (230 0 0R R R V R V R V 3166 , 268384 5928 , 301 5731 , 268082 cm = + = . Definiia 42.Se numete diferenial de ordinul doi a funcieifn0xi se noteaz cu ( ) ( ) ( )20' '02dx x f x f d = , dac' feste derivabil n 0xi este difereniabil n 0x . Definiia 43. Se numete diferenial de ordinul n a funcieifn0x , dac () V C fncu 0xV Vi ( ) 1 nfeste difereniabil n 0xi avem ( )( )( )( )n n ndx x f x f d0 0 = .
