Funcția exponențială

Definiție:

Fie a>0, a≠0. Funcția f :R→ (0 ,∞ ) , f (x )=ax se numește funcția exponențială de bază a.

Observație:

Pentru a=1 se obține funcția f :R→ (0 ,∞ ) , f (x )=¿1x =1 care este o funcție constantă și nu este considerată o funcție exponențială.

Proprietăți ale funcției exponențiale:

1) f (0 )=a0=1, ceea ce arată că graficul funcției exponențiale taie axa Oy în (0,1).

2) Funcția f ( x )=ax este continuă. Din f ( x1+x22 )≤ f (x1 )+ f (x2 )2

,∀ x1 , x2∈R, ax1+ x22 ≤

ax1+ax2

2

(inegalitatea mediilor), deducem că f este convexă.3) - Dacă a>1, atunci f este strict crescătoare

- Dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare- f este strict monotonă pe R => f este bijectivă => f este inversabilă

4) Trasarea graficului se face prin puncte.

Exemplu:

Fie f , g :R→ (0 ,∞) , f ( x )=2x , f 1 ( x )=¿, având tabelele de valori de mai jos:

x -2 -1 0 1 2f ( x )=2x 1

412

1 2 4

f 1 ( x )=¿ 4 2 1 12

14

g ( x )=3x 19

13

1 3 9

g1 ( x )=¿ 9 3 1 13

19

De aici deducem că y=0 este asimptotă orizontală pentru graficul funcției exponențiale la -∞, dacă a>1 și la +∞ dacă 0<a<1.