Sfera lui EulerÎntr-un tetraedru [ABCD], centrele de greutate ale feţelor, punctele ce împart segmentele ce unesc anticentrul cu vârfurile în raport de ½ şi proiecţiile acestor puncte de faţa opusã sunt douãsprezece puncte cosferice.
Demonstraţie:Fie O centrul sferei circumscrise, G centrul de greutate, K anticentrul tetraedrului [ABCD].
Fie K1 (KA) a.î. , P1 = pr [BCD] K1, G1 centrul de greutate al acestei
feţe. Fie Z (KG) a.î. KZ = 2ZG.Δ AKG din reciproca teoremei lui Menelau K1, Z, G1 coliniare.
Δ G1AK1 pentru G, Z, K
Deci sau ZK1 = ZG1.
Δ K1P1G1 dreptunghic în P1 K1Z = ZP1 = ZG1.KG = GO
KZ = 2ZG Δ KK1Z ~ Δ KAO cu raportul .
Deci prin centrele de greutate ale feţelor Gi, prin punctele Ki şi prin proiecţiile lor pe feţele opuse trece o sferã de razã R/3.
Top Related