7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
1/33
ECUATIA CALDURII
O forma a ecuatiei Poissonindicatii pentru proiect
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
2/33
preliminarii
Ecuatiile elementelor
Asamblarea problemei
Conditiile la limita
Solutia
Post-procesare
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
3/33
preliminarii
Ecuatiile elementelor
Alegerea cea mai simpla
Polinomul de gradul 1:
Alegerea alternativa
Polinom de gradul 2 sau 3
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
4/33
preliminarii
Fie u1, u2 valorile functiei in capetele elementului
Impunand conditiile
u(x1)=u1
u(x2)=u2
... se determina constantele a0
si a1
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
5/33
preliminarii
Ecuatiile elementelor
Valorile constantelor a
... cu solutiile
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
6/33
preliminarii
Notam functiile de interpolare N1 si N2
Atentie ! N1 si N2 sunt functii de x !
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
7/33
preliminarii
Functia de aproximare:
... Functia de aproximare este o functie de
variabila x prin intermediul functiilor N1 si N2 !
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
8/33
preliminarii
Asa arata functiile de x implicate in aproximare
Nod 1
Nod 2
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
9/33
functia
Determinarea functiei care descrie functionareaelementului
Urmatorul pas: obtinerea unei potriviri optime
Metoda directa
Metoda reziduurilor ponderate
Metoda variationala
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
10/33
Functia-un exemplu
Fie ecuatia diferentiala care descrie propagarea
caldurii cu solutia T(x,t) (x-distanta, t-timpul)
...cu valorile limita T(0,t)=T1; T(L,t)=T2
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
11/33
Functia-un exemplu
Enuntul problemei:
Gasiti solutia ecuatiei prin exacta si apoi prin metoda
elementului finit in cazul propagarii caldurii printr-o
bara de lungime 10 cm. Cu temperaturile la capeteT(0,t)=40 si T(10,t)=200 in cazul unei surse de
caldura uniforme f(x) = 10
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
12/33
Functia-un exemplu
Ecuatia de rezolvat
Solutia exacta
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
13/33
Functia-un exemplu
Rezolvare cu MEF
Functia de aproximare
Nod 1
Nod 2
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
14/33
Functia-un exemplu
Metoda directa (pentru f(x)=0)
Se foloseste relatia dintre fluxul de caldura si
gradientul de caldura data de legea lui Fourier
... unde q=fluxul de caldura iar k=coeficientul
conductivitatii termale
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
15/33
Functia-un exemplu
Propagarea caldurii presupune conditiile initiale
Legatura cu valorile distantei
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
16/33
Functia-un exemplu
... scrisa sub forma matriceala
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
17/33
Functia-un exemplu
Metoda reziduurilor ponderate
Presupune ca ecuatia nu are solutie exacta
... In partea stanga aparand un termen R (reziduu) in locde zero
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
18/33
Functia-un exemplu
Metoda reziduurilor ponderate cere gasirea unui
minim pentru valorile reziduale conform relatiei
... unde D este domeniul iar W sunt functii pondere
liniar independente
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
19/33
Functia-un exemplu
Functiile pondere pot fi valorile Ni calculate
anterior (functiile de interpolare)
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
20/33
Functia-un exemplu
Pentru bara unidimensionala din problema se obtine
...care se poate rescrie
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
21/33
Functia-un exemplu
Formula anterioara se prelucreaza astfel (prin
integrare prin parti)
...si prin calcularea termenilor individuali
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
22/33
Functia-un exemplu
Cu valorile individuale N1(x2)=0 si N1(x1)=1 se
poate scrie
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
23/33
Functia-un exemplu
Se introduc valorile anterioare in ecuatia initiala si
avem pentru i=1
... si i=2
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
24/33
Functia-un exemplu
Integrand prin parti am obtinut
Introducerea conditiilor de frontiera
Se micsoreaza gradul ecuatiei de la 2 la 1
Se poate observa semnificatia fizica a termenilor care
apar
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
25/33
Functia-un exemplu
Sa calculam efectiv termenii
Pentru i=1 avem
... Cu solutia
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
26/33
Functia-un exemplu
... Si pentru i=2
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
27/33
Functia-un exemplu
Matriceal relatia precedenta se poate scrie
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
28/33
Functia-un exemplu
Pentru forma generala se obtine
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
29/33
Functia-un exemplu
Asamblarea problemei
1. Alocarea nodurilor
elementul Nod local Nod global
1 1 1
2 2
2 1 2
2 3
3 1 3
2 4
4 1 4
2 5
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
30/33
Functia-un exemplu
Cum se reflecta in matrice
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
31/33
Functia-un exemplu
Ca sitem de ecuatii.... Cu T1 si T5 cunoscute
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
32/33
Functia-un exemplu
Obtinem solutia
7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect
33/33
Tema pentru proiect
Scrieti o aplicatie MathCad care sa implementeze
algoritmul prezentat si care sa puna in evidenta
elementele esentiale care pot fi selectate de catre
utilizator.
Top Related