Propoziie. n orice triunghi ortocentrul H , centrul de greutate G i centrul cercului circumscris triunghiului O sunt puncte coliniare i HG = 2 GO . ( Dreapta acestor trei puncte este numit dreapta lui Euler.) Demonstraie. Considerm triunghiul ABC (fig. 1).
Fig. 1 Prin omotetia de centru G i raport A, B, CM N A B
1 h , G ,1 , vrfurile truinghiului 2 2
se transform n mijloacele laturilor M , N , respectiv P . Cum ,N P B C
,
M N
A B
rezult c prin omotetia
h
1 G, 2
nlimile
triunghiului ABC se transform n mediatoarele triunghiului i prin urmare 1 h 1 (H ) = O . Aceasta nseamn c GH = GO , de unde rezult c punctele G,2
H , G, O
sunt coliniare i
H =2G G O
2
Propoziie. n orice triunghi mijloacele laturilor, picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul cu vrfurile triunghiului sunt situate pe acelai cerc. (Acest cerc este numit cercul celor 9 punct sau cercul lui Euler.) Demonstraie. Considerm triunghiul ABC i notm cu C (O, r ) cercul circumscris triunghiului.
Fig. 2 Fie M , N , P, D, E , F , I , J , K punctele din enunul propoziiei. Notm cu Q punctul diametral opus lui A i artm c Q este simetricul lui
H fa de M . Pentru aceasta observm c OM =
1 AH (din poziia lui G fa de 2
H Q i O ). Dac { M } = HQ OM atunci OM este linie mijlocie n triunghiul AH , adicOM = 1 AH ceea ce nseamn c 2
Fie
{ T } = A D
M coincide cu M i
HM = M Q
.
C (O, r ) . Artm c T este simetricul lui H fa de D .1 AT OM 2
Pentru aceasta fie O proiecia lui O pe AD . Atunci DT = O T O D = i HD = HO + OM = AO AH + OM = n concluzie, puncteleQ = sM ( H ),1 AT OM , adic DT = HD . 2
se gsesc pe cercul C (O, r ) .
T = sD ( H ), V = sE ( H ), U = sF ( H )hH, 1 2
R = s N ( H ),
S = s P ( H ),
Pe de alt parte folosindu-ne de omotetia
avem
M =h F =h
H, 1 2
1 2
(Q) ,
N =h
H,
H,
(V ) ,
1 2
( R) ,
P =h
H,
1 2
(S) ,
D =h
H,
1 2
(T ) ,
E =h
H,
1 2
(U ) ,
I =h
H,
1 2
( A) ,hH,
J =h
H,
1 2
( B) ,
K =h
H,
1 2
(C ) ,
ceea ce nseamn c punctele M , N , P, D, E , F , I , J , K sunt situate pe omoteticul cercului C (O, r ) prin omotetia segmentului HO i de raz1 2
, care este un cerc cu centrul n mijlocul
1 r. 2
Top Related