Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul...

11
GB()METRIB BLBMBI{TARA in ELBCTROTEHI\ICA TB()RETICA Tudor Micu Dan Micu EDITURA DIDACTICA $I PEDAGoGICA, R.A.

Transcript of Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul...

Page 1: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

GB()METRIB

BLBMBI{TARA

in ELBCTROTEHI\ICA

TB()RETICA

Tudor Micu

Dan Micu

EDITURA DIDACTICA $I PEDAGoGICA, R.A.

Page 2: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

Cuprins

Prefa!5 ....... 11

Introducere .... 13

Partea 1. Aplicatii ale geometriei elementare rn

electrostatic5 15

1. Suprafata echipotenlial5 de potenlial nul in caztrl a dou5

sarcini punctiforme. Cercul lui Apollonius. . . 77

2. Determinarea liniilor de cAmp in cazul a dou5 fire

paralele infinit lungi inc5rcate uniform cu densitatea

liniard de sarcin5 p7 respecti, -p, ....... 19

3. Stabilirea axelor electrice a dou5 conductoare cilindrice,

infinit lungi, paralele, inc5rcate cu sarcini opuse 2L

4. Imaginea unei sarcini electrice fa!5 de o sfer5 conductoare

de potenlial nul. Solulie fXrX transformata Kelvin 25

5. Densitatea de sarcin5 pe o sfer5 conductoare de potenlial

nul in prezenta unei sarcini punctiforme... 28

6. Sarcinile imagine pentru doud sfere conductoare exterioare

de raze Rr qi Rz aflate la acelaqi potenlial 30

6.1. Introducere..... ....... 31

6.2. Enun{ul problemei 32

6.3. Stabilirea configuraliei inverse modificate 33

6.4. Determinarea sarcinilor imagine primare

in " configuralia invers5 modificatS" . 35

6.5. Revenirea la "configuralia inilialX".Determinarea sarcinilor imagine ale dispozitivului. . . 4I

Page 3: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

6.6. Calculul potentialului sferei de razd Er cu ajutorulsarcinilor imagine 44

6.7. Formula capacit5lii dispozitivului format din cele

dou5 sfere 4G

6.8. Convergenla formulelor de calcul 4T

6.9. Algoritmul de calcul 48

6.10. Exemplu de calcul 51

7. Sarcinile imagine pentru dou5 sfere conductoare

care formeazl"un unghi T aflatela acelagi potenlial....... 55

7.I. Enun{ulproblemei?..... 5b

. 7.2. Aflareasarcinilorimagineprimare ....... 56

7.3. Aflarea sarcinilor imagine ale dispozitivului 57

7.4. Determinarea capacit5lii . 60

7.5. Exemplu de calcul 61

7.6. Sarcinile imagine pentru dou5 sfere conductoaretangente 62

8. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme in prezenlaunei sfere conductoare.... Oo

8.1. Determinarea sarcinilor imagine ale unei sarcinipunctiforme in prezenta unei sfere conductoarelegate la p5mAnt cu metoda transformatei Kelvin .. . 60

8.2. Determinarea sarcinilor imagine in cazul unei sarcinipunctiforme aflate in prezenta unei sfere conductoareizolate fXrX sarcin5 electric5 ... .. .. 69

8.3. Determinarea sarcinilor imagine in cazul unei sarcinipunctiforme aflate in prezenla unei sfere conductoarede potenlial impus l/6 (sfera neizolat5) T0

8.4. Determinarea sarcinilor imagine in cazul unei sarcinipunctiforme aflate in prezenla unei sfere conductoarede potenlial I/s (sfera izolatX) TI

9. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme in prezenlaa dou5 sfere conductoare ortogonale T2

Page 4: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

9.1. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme inprezenta a doud sfere conductoare ortogonale

Iegate la pdmAnt 72

9.2. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme

in prezenla a dou5, sfere conductoare ortogonale

izolate, neincS,rcate cu sarcin5..... 79

9.3. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiformein prezenla a dou5 sfere conductoare ortogonale

izoIate,, inc5rcate inilial cu sarcin5 81

9.4. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme

in prezenla a dou5, sfere conductoare ortogonale

neizolate aflate la potenlial impus Vs. . . . 82

Partea 2. Aplicatii ale geometriei elementare in teoriacircuitelor electrice 85

10. Aplicalii ale geometriei elementare in probleme

de topologia circuitelor electrice 87

10.1. Determinarea num5rului minim de laturi al unui

circuit electric cu n noduri.... 87

10.2. Determinarea num5rului de ochiuri independente

pentru un circuit electric cu I laturi gi n noduri..... 89

11. Determinarea geometric5 (grafic5) a unor rezistenle

electrice echivalente 92

11.1. Determinarea grafic5 a rezistentei echivalente pentru

n rezistente legate in paralel 92

7I.2. Determinarea grafic5, a rezistenlei stelei

corespunz5toare triunghiului de rezistenle R12,

Rzs, Ry cunoscute 94

72. Determinarea unor proprietS,li electrice ale unor circuite

de curent alternativ pe baza diagramelor fazoriale 96

72.L Surse cunoscute, voltmetre cu indicatii particulare.

Exemplul 1 .. ... 96

Page 5: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

72.2. Surse cunoscute, voltmetre cu indicalii particulare.Exemplul 2..... . .. ... 98

13. Determinarea unor propriet5ti electrice ale unor circuitetuifazate pe baza diagramelor fazoriale . . 101

13.1. Uncircuithexafazatsimetric .....101I3.2. Surse fuifazate cunoscute, conditii impuse asupra

indicatiilor unorvoltmetre.. ......10413.3. Determinarea grafic6 a componentelor simetrice

pentru un sistem trtfazab ... IL213.4. Componentele simetrice pentru sistemele de tensiuni

de faz\" care au aceleagi tensiuni de linie . .. .. .. i1513.5. Componenta direct5 a tensiunilor surselor date prin

valori efective . ..77713.6. Aprecierea calit5lii unui circuit trifazat prin

coeficientul de disimetrie........ ..I2014. Studiul circuitelor cu ajutorul inversiunii geometrice. . . . . .123

L4.7. Analiza circuitelor reale L-C paralel la rezonan!5cu metoda inversiunii .. . .. .. L26

14.2. Observalii asupra circuitului complet aperiodic ..... I2g14.3. Circuitul defazor . .... 131

74.4. Putere maxim5 qi curent maxim la bornele unuicircuit in funclie de valoarea unei rezistenle . . . 135

74.5. Circuit de alimentare a cuptorului cu inc5lzire direct5(Curent absorbit de valoare efectiv5 constantS, Iavarialia unei rezistenle). .... 138

74.6. Proiectarea unei scheme optime de pornire a uneimaqini electrice monofazate folosind inversiuneageometricS, ......147

I4.7. Inversiunea geometric5 in sinteza circuiteloreteroparametrice dipolare ...I47

15. Diagrama cu doi poli de tensiune (diagrama de putere) . . .IS215.1. Teoria diagramei cu doi poli de tensiune .... .. 153

Page 6: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

15.2. Determinarea puterii maxime debitate de un

alternator ...... 156

Anexe 159

Anexa I. Situalii posibile pentru un corp conductor . .. .. . 161

Anexa II. Calculul cAmpului electric in prezenta

conductoarelor cu metoda imaginilor electrice . .... .. 163

Anexa III. Transformarea prin inversiune a spaliului . . . . .77L

Anexa IV. Tfansformata sarcinii qi potenlialului.

Sarcina supiimentard din pol... ...779Anexa V. Modelul matematic diferenlial al ecualiilor cAmpului

electromagnetic .

Anexa VI. CAteva propriet5ti geometrice legate de cerc .. 191

Anexa VII. trxtinderea in cAmp magnetic stalionar

a unor--propriet5li geometrice stabilite in electrostatic5 . . . .I97Bibliografie.....

Page 7: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

Partea 1

Aplicatii ale geometriei elementarein electrostaticS.

Page 8: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

1. Suprafata echipoten{ial5 d€. p:oten$laL nul in earereil a dorr6sarcini punctiforrne. Cercul lui Apo,Honius,

Se consider5 situalia din Figura 1.1 in care sarcina pozitivX Q1 se afl5in punctul fix A, iar sarcina negativS, Q2, se afl5 in punctul fix .B..

Potentialul unei sarcini fiind de acelagi semn cu sarcina,. vor existadou5 puncte pe dreapta AB in care potenlialul este nul.

Ne intreb5m dac5 avem qi alte puncte P in spaliu cu aceastd proprie-tate.

cu rormura (2) (anexa,t]

T,4 * e) : o\ / 4zies \r1 ," )de unde

TlQtl....._

t t -

tL712 lQzl

(1)

k fiind o constant5.

Figura 1.1

Problema este cunoscut5: Se duce bisectoarea interioard qi exterioar5,^a unghiului APB care taie AB in C respectiv D.

Din teorema bisectoarei interioare qi exterioare avem

CA DACB DB

F _._\

17

(2)

Page 9: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

de unde rezult6 cX punctele C qi D sunt fixe.Bisectoarele interioarx gi exterioarx fiind perpendiculare, unghiul

dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia-metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi avAnd in vedere simetriaplan-meridianx a problemei, este sfera de diametru cD in spaliu.observalie. CAmpui gi potenlialul in exteriorul sferei de diametru CDnu se modific5 dac5 suprafala sferei fictive (care este de potenlial nul)se inlocuiegte cu o sfer5 conductoare de potenlial nul (legat5 la p6mAnt),Figura 1.2, conform efectului de ecran [2].

F igura 1.2

Fie O centrul sferei qi a raza ei, deci OC : OD : a. Not6m AO : d,.

Din (2) avemd-a d+a

a-OB a-lOBde unde

Din (1) avem

Qtdah^: A sau Qz : -1Qt'

Deducem cx dacx avem o sferx d.e razE" a legatx la pxmant qi o sarcin5punctiformd qlra distanla oA: d de centrul sferei (Figura 1.2) calcululcdmpului qi potenlialului in exteriorul sferei se poate face cu sarcina q1

:: # sau o":* (3)

(4)

18

Page 10: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

gi sarcina Oz (Figura 1.1), unde pozilria qi valoarea sarcinii q2 sunt date

de formulele (3) qi (4).

Este problema imaginii sarcinii punctiforme fat5 de sfera de potential

nul, problemX care va fl reluatS, pe parcursul c5rlii.

2. Determinarea liniilor de c6mp in cazul a dou5 fireparalele infinit lungi inc5rcate uniform cu densitatealiniar5 de sarcind p7 respectiv -p1

in prealabil se vor stabili unele relalii utile in abordarea problemei.

Astfel, fluxul cAmpului electric (anexa II, formula (3)) stabilit de un firinfinit inc5rcat cu densitatea liniar5 de sarcin5, pl prtn suprafala lateralS

a unui cilindru circular drept de in5llime b (firul fiind situat in axa Oy

de simetrie a cilindrului) (Figura 2.1) este:

Pft,: nconform teoremei lui Gauss.

Figura 2.1

Fluxul cAmpului electric (anexa II, formula (3)) prin suprafala drept-unghiului AAtCtC (AA'llCC'llOy) va fi egal cu fluxul prin porliunea de

19

Page 11: Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia- metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi

suprafat5 lateralS a cilindrului delimitat6 de generatoarere AA' qi CCt:

{AA'c,c :'JrP : P'b g.Z'1T 7T €O

Din motive de simetrie, fluxul prin suprafala dreptunghiului AA,B,B(plan AA'B'B L OO'B'B) este:

rb tA,e,a : lrhoo,.,n : lLr.'2 '2T€s'

Se abordeazd" acum problema propusS, observAnd cX conturul drept-unghiului M M' Nt N determin6 un tub de cAmp (Figura 2.2). i*r-adev5r,problema avAnd simetrie plan paralel5, o linie de cAmp care trece prin Mrespectiv ly' se va reg5si in fiecare punct al segmentuhi MMtrespectivNN', in plane paralele (Figura 2.2).

Figura 2.2

Condilia ca M sX aparlin5 tiniei de cdmp .L este ca fluxul thmm,N,w

sX fie constant

Qnrm,n,u : q)(+pt) + {(-pt) : :'u @ + p1 : 14.zjT€0

Se observx cx fluxul dat de firul incxrcat cu sarcinx negativd, estepozitiv. intr-adev5r, cAmpul electric dat de acest fir este indreptat insprefir, orientarea vectorului suprafe{ei este spre dreapta (Figura 2.2).

Locul geometric al punctului M este arcul capabil de unghiul constantr - (a * p) care trece prin punctele fixe Or Qi Oz.