Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul...
Transcript of Geometrie elementara in electrotehnica teoretica elementara in... · dPD - 90o, deci locul...
GB()METRIB
BLBMBI{TARA
in ELBCTROTEHI\ICA
TB()RETICA
Tudor Micu
Dan Micu
EDITURA DIDACTICA $I PEDAGoGICA, R.A.
Cuprins
Prefa!5 ....... 11
Introducere .... 13
Partea 1. Aplicatii ale geometriei elementare rn
electrostatic5 15
1. Suprafata echipotenlial5 de potenlial nul in caztrl a dou5
sarcini punctiforme. Cercul lui Apollonius. . . 77
2. Determinarea liniilor de cAmp in cazul a dou5 fire
paralele infinit lungi inc5rcate uniform cu densitatea
liniard de sarcin5 p7 respecti, -p, ....... 19
3. Stabilirea axelor electrice a dou5 conductoare cilindrice,
infinit lungi, paralele, inc5rcate cu sarcini opuse 2L
4. Imaginea unei sarcini electrice fa!5 de o sfer5 conductoare
de potenlial nul. Solulie fXrX transformata Kelvin 25
5. Densitatea de sarcin5 pe o sfer5 conductoare de potenlial
nul in prezenta unei sarcini punctiforme... 28
6. Sarcinile imagine pentru doud sfere conductoare exterioare
de raze Rr qi Rz aflate la acelaqi potenlial 30
6.1. Introducere..... ....... 31
6.2. Enun{ul problemei 32
6.3. Stabilirea configuraliei inverse modificate 33
6.4. Determinarea sarcinilor imagine primare
in " configuralia invers5 modificatS" . 35
6.5. Revenirea la "configuralia inilialX".Determinarea sarcinilor imagine ale dispozitivului. . . 4I
6.6. Calculul potentialului sferei de razd Er cu ajutorulsarcinilor imagine 44
6.7. Formula capacit5lii dispozitivului format din cele
dou5 sfere 4G
6.8. Convergenla formulelor de calcul 4T
6.9. Algoritmul de calcul 48
6.10. Exemplu de calcul 51
7. Sarcinile imagine pentru dou5 sfere conductoare
care formeazl"un unghi T aflatela acelagi potenlial....... 55
7.I. Enun{ulproblemei?..... 5b
. 7.2. Aflareasarcinilorimagineprimare ....... 56
7.3. Aflarea sarcinilor imagine ale dispozitivului 57
7.4. Determinarea capacit5lii . 60
7.5. Exemplu de calcul 61
7.6. Sarcinile imagine pentru dou5 sfere conductoaretangente 62
8. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme in prezenlaunei sfere conductoare.... Oo
8.1. Determinarea sarcinilor imagine ale unei sarcinipunctiforme in prezenta unei sfere conductoarelegate la p5mAnt cu metoda transformatei Kelvin .. . 60
8.2. Determinarea sarcinilor imagine in cazul unei sarcinipunctiforme aflate in prezenta unei sfere conductoareizolate fXrX sarcin5 electric5 ... .. .. 69
8.3. Determinarea sarcinilor imagine in cazul unei sarcinipunctiforme aflate in prezenla unei sfere conductoarede potenlial impus l/6 (sfera neizolat5) T0
8.4. Determinarea sarcinilor imagine in cazul unei sarcinipunctiforme aflate in prezenla unei sfere conductoarede potenlial I/s (sfera izolatX) TI
9. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme in prezenlaa dou5 sfere conductoare ortogonale T2
9.1. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme inprezenta a doud sfere conductoare ortogonale
Iegate la pdmAnt 72
9.2. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme
in prezenla a dou5, sfere conductoare ortogonale
izolate, neincS,rcate cu sarcin5..... 79
9.3. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiformein prezenla a dou5 sfere conductoare ortogonale
izoIate,, inc5rcate inilial cu sarcin5 81
9.4. Sarcini imagine ale unei sarcini punctiforme
in prezenla a dou5, sfere conductoare ortogonale
neizolate aflate la potenlial impus Vs. . . . 82
Partea 2. Aplicatii ale geometriei elementare in teoriacircuitelor electrice 85
10. Aplicalii ale geometriei elementare in probleme
de topologia circuitelor electrice 87
10.1. Determinarea num5rului minim de laturi al unui
circuit electric cu n noduri.... 87
10.2. Determinarea num5rului de ochiuri independente
pentru un circuit electric cu I laturi gi n noduri..... 89
11. Determinarea geometric5 (grafic5) a unor rezistenle
electrice echivalente 92
11.1. Determinarea grafic5 a rezistentei echivalente pentru
n rezistente legate in paralel 92
7I.2. Determinarea grafic5, a rezistenlei stelei
corespunz5toare triunghiului de rezistenle R12,
Rzs, Ry cunoscute 94
72. Determinarea unor proprietS,li electrice ale unor circuite
de curent alternativ pe baza diagramelor fazoriale 96
72.L Surse cunoscute, voltmetre cu indicatii particulare.
Exemplul 1 .. ... 96
72.2. Surse cunoscute, voltmetre cu indicalii particulare.Exemplul 2..... . .. ... 98
13. Determinarea unor propriet5ti electrice ale unor circuitetuifazate pe baza diagramelor fazoriale . . 101
13.1. Uncircuithexafazatsimetric .....101I3.2. Surse fuifazate cunoscute, conditii impuse asupra
indicatiilor unorvoltmetre.. ......10413.3. Determinarea grafic6 a componentelor simetrice
pentru un sistem trtfazab ... IL213.4. Componentele simetrice pentru sistemele de tensiuni
de faz\" care au aceleagi tensiuni de linie . .. .. .. i1513.5. Componenta direct5 a tensiunilor surselor date prin
valori efective . ..77713.6. Aprecierea calit5lii unui circuit trifazat prin
coeficientul de disimetrie........ ..I2014. Studiul circuitelor cu ajutorul inversiunii geometrice. . . . . .123
L4.7. Analiza circuitelor reale L-C paralel la rezonan!5cu metoda inversiunii .. . .. .. L26
14.2. Observalii asupra circuitului complet aperiodic ..... I2g14.3. Circuitul defazor . .... 131
74.4. Putere maxim5 qi curent maxim la bornele unuicircuit in funclie de valoarea unei rezistenle . . . 135
74.5. Circuit de alimentare a cuptorului cu inc5lzire direct5(Curent absorbit de valoare efectiv5 constantS, Iavarialia unei rezistenle). .... 138
74.6. Proiectarea unei scheme optime de pornire a uneimaqini electrice monofazate folosind inversiuneageometricS, ......147
I4.7. Inversiunea geometric5 in sinteza circuiteloreteroparametrice dipolare ...I47
15. Diagrama cu doi poli de tensiune (diagrama de putere) . . .IS215.1. Teoria diagramei cu doi poli de tensiune .... .. 153
15.2. Determinarea puterii maxime debitate de un
alternator ...... 156
Anexe 159
Anexa I. Situalii posibile pentru un corp conductor . .. .. . 161
Anexa II. Calculul cAmpului electric in prezenta
conductoarelor cu metoda imaginilor electrice . .... .. 163
Anexa III. Transformarea prin inversiune a spaliului . . . . .77L
Anexa IV. Tfansformata sarcinii qi potenlialului.
Sarcina supiimentard din pol... ...779Anexa V. Modelul matematic diferenlial al ecualiilor cAmpului
electromagnetic .
Anexa VI. CAteva propriet5ti geometrice legate de cerc .. 191
Anexa VII. trxtinderea in cAmp magnetic stalionar
a unor--propriet5li geometrice stabilite in electrostatic5 . . . .I97Bibliografie.....
Partea 1
Aplicatii ale geometriei elementarein electrostaticS.
1. Suprafata echipoten{ial5 d€. p:oten$laL nul in earereil a dorr6sarcini punctiforrne. Cercul lui Apo,Honius,
Se consider5 situalia din Figura 1.1 in care sarcina pozitivX Q1 se afl5in punctul fix A, iar sarcina negativS, Q2, se afl5 in punctul fix .B..
Potentialul unei sarcini fiind de acelagi semn cu sarcina,. vor existadou5 puncte pe dreapta AB in care potenlialul este nul.
Ne intreb5m dac5 avem qi alte puncte P in spaliu cu aceastd proprie-tate.
cu rormura (2) (anexa,t]
T,4 * e) : o\ / 4zies \r1 ," )de unde
TlQtl....._
t t -
tL712 lQzl
(1)
k fiind o constant5.
Figura 1.1
Problema este cunoscut5: Se duce bisectoarea interioard qi exterioar5,^a unghiului APB care taie AB in C respectiv D.
Din teorema bisectoarei interioare qi exterioare avem
CA DACB DB
F _._\
17
(2)
de unde rezult6 cX punctele C qi D sunt fixe.Bisectoarele interioarx gi exterioarx fiind perpendiculare, unghiul
dPD - 90o, deci locul geometric ar punctului p este cercul de dia-metru C D in plan (cercul lui Apollonius) qi avAnd in vedere simetriaplan-meridianx a problemei, este sfera de diametru cD in spaliu.observalie. CAmpui gi potenlialul in exteriorul sferei de diametru CDnu se modific5 dac5 suprafala sferei fictive (care este de potenlial nul)se inlocuiegte cu o sfer5 conductoare de potenlial nul (legat5 la p6mAnt),Figura 1.2, conform efectului de ecran [2].
F igura 1.2
Fie O centrul sferei qi a raza ei, deci OC : OD : a. Not6m AO : d,.
Din (2) avemd-a d+a
a-OB a-lOBde unde
Din (1) avem
Qtdah^: A sau Qz : -1Qt'
Deducem cx dacx avem o sferx d.e razE" a legatx la pxmant qi o sarcin5punctiformd qlra distanla oA: d de centrul sferei (Figura 1.2) calcululcdmpului qi potenlialului in exteriorul sferei se poate face cu sarcina q1
:: # sau o":* (3)
(4)
18
gi sarcina Oz (Figura 1.1), unde pozilria qi valoarea sarcinii q2 sunt date
de formulele (3) qi (4).
Este problema imaginii sarcinii punctiforme fat5 de sfera de potential
nul, problemX care va fl reluatS, pe parcursul c5rlii.
2. Determinarea liniilor de c6mp in cazul a dou5 fireparalele infinit lungi inc5rcate uniform cu densitatealiniar5 de sarcind p7 respectiv -p1
in prealabil se vor stabili unele relalii utile in abordarea problemei.
Astfel, fluxul cAmpului electric (anexa II, formula (3)) stabilit de un firinfinit inc5rcat cu densitatea liniar5 de sarcin5, pl prtn suprafala lateralS
a unui cilindru circular drept de in5llime b (firul fiind situat in axa Oy
de simetrie a cilindrului) (Figura 2.1) este:
Pft,: nconform teoremei lui Gauss.
Figura 2.1
Fluxul cAmpului electric (anexa II, formula (3)) prin suprafala drept-unghiului AAtCtC (AA'llCC'llOy) va fi egal cu fluxul prin porliunea de
19
suprafat5 lateralS a cilindrului delimitat6 de generatoarere AA' qi CCt:
{AA'c,c :'JrP : P'b g.Z'1T 7T €O
Din motive de simetrie, fluxul prin suprafala dreptunghiului AA,B,B(plan AA'B'B L OO'B'B) este:
rb tA,e,a : lrhoo,.,n : lLr.'2 '2T€s'
Se abordeazd" acum problema propusS, observAnd cX conturul drept-unghiului M M' Nt N determin6 un tub de cAmp (Figura 2.2). i*r-adev5r,problema avAnd simetrie plan paralel5, o linie de cAmp care trece prin Mrespectiv ly' se va reg5si in fiecare punct al segmentuhi MMtrespectivNN', in plane paralele (Figura 2.2).
Figura 2.2
Condilia ca M sX aparlin5 tiniei de cdmp .L este ca fluxul thmm,N,w
sX fie constant
Qnrm,n,u : q)(+pt) + {(-pt) : :'u @ + p1 : 14.zjT€0
Se observx cx fluxul dat de firul incxrcat cu sarcinx negativd, estepozitiv. intr-adev5r, cAmpul electric dat de acest fir este indreptat insprefir, orientarea vectorului suprafe{ei este spre dreapta (Figura 2.2).
Locul geometric al punctului M este arcul capabil de unghiul constantr - (a * p) care trece prin punctele fixe Or Qi Oz.