Cuprins
1 Preliminarii algebrice 5
2 Campuri scalare si campuri vectoriale 17
3 Structuri Poisson 31
4 Sisteme Hamiltoniene 41
5 Stabilitatea punctelor de echilibru 47
6 Traiectoriile campurilor vectoriale liniare 55
7 Grupuri matriceale 61
8 Algebra Lie a unui grup matriceal 69
9 Actiuni de grupuri matriceale 75
10 Sisteme Hamiltoniene cu simetrie 81
11 Morfisme de grupuri matriciale si algebre Lie 87
12 Spatii vectoriale simplectice 93
1
2 CUPRINS
Prefata
Matematica si fizica sunt surori. Au acelasi tata (Adevarul) si aceeasi mama (Realitatea).
Timpul istoriei le-a calazit pe carari mai mult sau mai putin ındepartate. De aceea, la mai bine
de 300 de ani de la fundamentarea matematica a mecanicii de catre Newton ın a sa Philosophiae
naturalis principia mathematica(1687), a scrie o noa carte despre fratietatea matematica-fizica
nu este un lucru usor. Diversitatea subiectelor comune si a tehnicilor de legatura creeaza o
veritabila ”padure de liane” sufocand realmente pe cautator. Cu atat mai dificila este sarcina
cand publicul-tinta al acelei carti se doresc a fi ıncepatori, ın speta studenti ai primilor ani.
Din aceste motive cartea de fata constituie o mixtura de instrumente matematice de natura
diversa: algebrice, geometrice, analitice, necesare unei dualitati (analoage celei de tip corpuscul-
unda a luminii) la care trebuie sa raspunda o monografie serioasa si anume: complexitatea
materialului avut ın vedere/simplitatea cunostintelor cerute unui public ”undergraduated” cat
mai eterogen, adica studenti ai ambelor facultati (de matematica respectiv fizica).
Daca autorul a reusit macar o parte a demersului sau didactic, doar cei ce vor folosi efectiv
acest material pot decide. Asemeni semintelor raspandite de semanator, cel ce a scris aceste
randuri spera ca din aceste seminte ale Stiintei sa se ınfrupte cat mai multi.
Autorul ındeplinesteo datorie de onoare din a dedica aceasta carte profesorilor de la Fac-
ultatile de Matematica si Fizica ale Universitatii ”Al. I. Cuza” din Iasi, de la care a ınvatat el
ınsusi multe, foarte multe. Pe doar cativa dintre ei ıi vom numi efectiv datorita rolului imens
avut ın formarea stiintifica si didactica a autorului:
− doamna profesoara Liliana Raileanu, calauza primilor pasi ın catari de orice natura
(stiintifice sau umane),
− domnul academician Radu Miron, conducatorul tezei de doctorat cu un subiect la
granita dintre matematica si fizica,
3
4 CUPRINS
− domnii profesori Vasile Cruceanu si Mihai Anastasiei, modele ın predare ca si mai sus
pomenitii,
− domnul profesor Gheorghe Zet, fizician de ınalta clasa.
Nu ın ultimul rand, mii de multumiri lui Adrian Guria, cel ce a tehnoredactat manuscrisul
ıntr-un ritm record!
Lectia 1
Preliminarii algebrice
Suport de curs
Fie (K, +, ·) un corp comutativ ale carui elemente le numim scalari si le notam cu litere grecesti.
Daca m,n ∈ N∗, notam Mm,n(K) = A = matrice cu elemente din K avand m linii si n coloane
; Mn,n(K) o notam Mn(K). O matrice A ∈ Mm,n(K) o notam A = (aij) 16i6m
16j6nfolosind deci
urmatoarea conventie: indicele superior reprezinta linia, iar indicele inferior coloana:
A =
a11 a1
2 · · · a1n
a21 a2
2 · · · a2n
......
. . ....
am1 am
2 · · · amn
.
Definitia 1.1
I. Numim K-spatiu vectorial (sau linear) un triplet (V,+, ·) unde:
– V este o multime nevida ale carei elemente le numim vectori si le notam cu litere latine,
– + : V × V → V , (x, y) 7→ x + y este o lege de compozitie interna pe V numita adunarea
vectorilor a.ı. (V,+) este grup abelian. Notam 0V elementul neutru al acestui grup si-l
numim vectorul nul,
– · : K× V → V , (λ, x) 7→ λx este o lege de compozitie externa pe V numita ınmultirea cu
scalari a vectorilor ce satisface axiomele:
i) λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ V
5
6 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE
ii) (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V
iii) (λµ)x = λ(µx), ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V
iv) 1K · x = x, ∀x ∈ V.
Daca K este numai inel comutativ spunem ca V este un K-modul.
II. Un sistem finit de vectori B = v1, . . . , vn ıl numim:
a) sistem de generatori daca ∀x ∈ V ∃x1, . . . , xn ∈ K a.ı. x = x1v1 + · · · + xnvn, adica x
se exprima ca o combinatie liniara de vectori din B. Relatia precedenta o vom scrie x = xivi
folosind regula Einstein (a indicelui mut): daca un indice apare ıntr-o expresie odata sus si
odata jos atunci sumam acea expresie dupa toate valorile acelui indice. Folosind conventia de
la matrici rezulta ca avem asocierea:
xB−→X =
x1
...
xn
∈ Mn,1(K).
Aceasta asociere este evident surjectiva; cu ipoteza urmatoare va deveni injectiva si deci bijectie.
b) liniar independent daca relatia λ1v1 + · · ·λnvn = 0V implica λ1 = · · · = λn = 0K. In caz
contrar spunem ca sistemul dat este liniar dependent.
c) baza daca este sistem de generatori si este liniar independent.
III. O submultime V ′ ⊂ V o numim subspatiu vectorial ın V daca ∀λ, µ ∈ K si ∀x, y ∈ V ′ avem
λx + µy ∈ V ′.
IV. Fie V, W doua K-spatii liniare si T : V → W . Spunem ca T este o transformare liniara (sau
operator liniar) daca ∀λ, µ ∈ K si ∀x, y ∈ V avem T (λx + µy) = λTx + µTy. Notam L(V, W )
multimea operatorilor liniari, respectiv L(V ) daca V = W . Un operator liniar bijectiv ıl numim
izomorfism liniar; ın acest caz spunem ca V si W sunt izomorfe.
V. Un K-spatiu vectorial ınzestrat cu o ınmultire · : V × V → V ce satisface legea de dis-
tributivitate fata de adunare x(λy + µz) = λxy + µxz, (λx + µy)z = λxz + µyz, ∀x, y, z ∈ V ,
∀λ, µ ∈ K ıl numim K-algebra. Daca ınmultirea este asociativa (comutativa) i.e. x(yz) = (xy)z
(xy = yx) spunem ca V este o algebra asociativa (comutativa). Daca ınmultirea satisface:
v) anticomutativitate (sau antisimetrie) xy = −yx (echivalent x2 = xx = 0V daca charK 6= 2;
spre exemplu K = R sau C).
vi) identitatea Jacobi x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0V ∀x, y, z ∈ V
Mircea CRASMAREANU 7
spunem ca V este o algebra Lie.
VI. Daca V este K-algebra si V ′ ⊂ spunem ca V ′ este subalgebra daca λx+µy ∈ V ′ si x ·y ∈ V ′,
∀λ, µ ∈ K si ∀x, y ∈ V ′.
Observatii 1
i) Fie v1, . . . , vn un sistem liniar dependent; deci ∃λ1, . . . λn ∈ K nu toti nuli a.ı. λivi = 0V .
Daca presupunem λi 6= 0K atunci vi = −(λi)−1(λ1v1+· · ·+λi−1vi−1+λi+1vi+1+· · ·+λnvn)
i.e. vectorul vi este combinatie liniara de ceilalti vectori. In particular, daca n = 2, rezulta
ca un vector este multiplu de celalalt. Doi vectori x, y cu y = λx, λ ∈ K ıi numim coliniari.
ii) Daca B = v1, . . . , vn este baza rezulta ca ∀x ∈ V admite o descompunere unica x = xivi.
Scalarii (x1, . . . , xn) ıi numim coordonatele lui x ın raport cu baza B.
iii) Daca B = v1, . . . , vn, B = v1, . . . , vm sunt baze ın V se arata ca n = m. Deci pentru
un spatiu vectorial dat exista un numar fix al vectorilor dintr-o baza oarecare. Acest numar
ıl numim dimensiunea peste K a lui V si-l notam dimK V ; mai notam Vn. Se arata ca n
este numarul maxim de vectori liniar independenti din V .
iv) L(V,W ) esteK-spatiu vectorial si daca dimK V = n, dimKW = m atunci dimK L(Vn,Wm) =
nm. Mai precis, fie BV = e1, . . . , en, BW = f1, . . . , fm baze ın Vn, Wm si T ∈L(Vn,Wm) oarecare. Vectorul T (ei) admite descompunerea unica T (ei) = aj
ifj , aji ∈ K ın
baza BW ; deci lui T ıi asociem AT ∈ Mm,n(K) cu AT = (aji ) 16j6m
16i6n. Datorita unicitatii
descompunerii avem ca aceasta asociere este o bijectie si deci L(Vn,Wm) se identifica cu
Mm,n(K) via bijectia:
T −→ AT =
T (e1) T (e2) T (en)
a11 a1
2 · · · a1n
......
. . ....
am1 am
2 · · · amn
.
La randul sau Mm,n(K) se identifica cu Knm via bijectia A = (aji ) → (a1
1, . . . , amn ). Faptul
ca Knm este K-spatiu vectorial de dimensiune nm rezulta din urmatorul exemplu:
8 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE
Exemplul 1 (fundamental)
Fie n ∈ N∗ si V = Kn = K × · · · × K︸ ︷︷ ︸n ori
ın care definim:
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn), daca x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)
λx = (λx1, . . . , λxn).
Se verifica imediat axiomele deK-spatiu vectorial. Fie Bc = e1, . . . , en, unde ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
cu 1(= 1K) pe locul i. Rezulta imediat ca Bc este o baza pe Kn numita baza canonica; deci
dimKKn = n. Coordonatele lui x ∈ Kn ın raport cu Bc sunt exact componentele (xi) ale lui x.
Vectorul nul este 0 = (0, . . . , 0).
Observatii:
– In particular pentru n = 1, rezulta ca K(= K1) este K-spatiu vectorial 1-dimensional.
Astfel, pentru K = C avem dimCC = 1. Dar C = R2, deci dimRC = 2; de aici rezulta
importata corpului de scalari si faptul ca o aceeasi multime poate fi ınzestrata cu structura
de spatiu vectorial peste mai multe corpuri.
– Datorita observatiei precedente si a observatiei 1,iv) putem considera K-spatiul L(V,K)
notat V ∗ si numit dualul lui V ; deci dimK V ∗ = n · 1 = n. Fie B = ei16i6n baza ın Vn si
fie B∗ = ej16j6n ⊂ V ∗ unde ej(ei) = δji =
1K i = j
0K i 6= j(simbolul Kroneker). Avem ca
B∗ este baza ın V ∗ numita duala bazei B.
– Mn(K) este o K-algebra relativ la ınmultirea matricilor patratice. O baza este Eij16i,j6n
cu Eij continand doar 1K pe linia i si coloana j si ın rest 0K. K = R,C este K-algebra
asociativa si comutativa cu ınmultirea uzuala a numerelor reale, respectiv complexe.
Schimbari de baze si coordonate ın Vn
Propozitia 1.1
Fie B = e1, . . . , en sistem liniar independent ın Vn. Atunci B este baza.
Demonstratie: Sa aratam ca B este sistem de generatori. Fie x ∈ Vn oarecare. Conform
observatiei 1, iii) sistemul e1, . . . , en, x este liniar dependent deci ∃λ1, . . . , λn, λ ∈ K nu toti
nuli a.ı. λ1e1 + · · ·+λnen +λx = 0V . Daca presupunem λ = 0K ar rezulta λiei = 0V si din liniar
independenta lui B obtinem λ1 = · · · = λn = 0K, contradictie. Deci λ 6= 0V si deci conform
observatiei 1, i) x este combinatie liniara de e1, . . . , en.
Mircea CRASMAREANU 9
Fie B = e1, . . . , en baza ın Vn si sistemul de vectori v1, . . . , vk, k 6 n. Descompunem
vj = sijei, 1 6 j 6 k; obtinem matricea
S =
v1 v2 . . . vk
s11 s1
2 . . . s1k
......
. . ....
sn1 sn
2 . . . snk
∈ Mn,k(K).
Se arata ca v1, . . . , vk este sistem liniar independent daca si numai daca rang S = k
(=maxim posibil). In consecinta, daca k = n avem ca v1, . . . , vn este baza ın Vn ⇐⇒ rang S =
n ⇐⇒ det S 6= 0K i.e. S este inversabila sau ınca S ∈ GL(n,K) = A ∈ Mn(K); A inversabila.GL(n,K) este grup relativ la ınmultirea matricilor, numit n-grupul liniar general peste K; ele-
ment neutru este matricea unitate
In =
1K. . .
1K
(stim ca ınmultirea matricilor este asociativa si pentru A ∈ GL(n,K) exista evident A−1 ∈GL(n,K) inversa lui A) (exemplu: GL(1,K) = K∗ = K\0K).
Fie B = ei16i6n, B = ej16j6n baze ın Vn si S ∈ GL(n,K) matricea construita anterior;
notam B = S(B) si numim S matricea de trecere de la baza B la B. Avem imediat ca B =
S−1(B). Fie x ∈ Vn oarecare avand coordonatele X = XB = (xi)16i6n, X = XB
= (xj)16j6n.
Avem descompunerea x = xiei = xj(sijei) = (xjsi
j)ei(∗)= (si
j xj)ei, unde am folosit comutativ-
itatea ınmultirii ın K la pasul (∗). Datorita unicitatii descompunerii ın baza B rezulta xi = sij ·xj
ceea ce, tinand cont de regula indicilor pentru elementele unei matrici (cel de sus=linia, cel de
jos=coloana) si de regula ınmultirii a doua matrici spune ca avem relatia (linia) i din egalitatea;
x1
...
xn
= S
x1
...
xn
adica X = SX. In concluzie coordonatele “noi” (X) se exprima ın functie de cele “vechi” (X)
prin: X = S−1X.
Cum S ∈ GL(n,K) avem detS 6= 0. Daca K = R avem cazurile:
– det S > 0; spunem ca B si B sunt baze la fel orientate;
– det S < 0; spunem ca B si B sunt baze contrar orientate.
10 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE
Produse scalare, norme
Consideram ın aceasta sectiune K unul din corpurile R, C si aplicatia : K → K data de x = x
daca x ∈ R si x = a − bi daca x = a + bi cand K = C; aceasta aplicatie o numim conjugare.
Considerand K drept K-spatiu vectorial avem ca ∈ L(K); mai mult, K este chiar K-algebra si
relativ la ınmultire avem xy = x · y. Aceasta aplicatie este o involutie ın sensul ca = 1K; avem
si x · x = |x|2 ∈ R+ = a ∈ R; a > 0.
Definitia 1.2
Fie V un K-spatiu vectorial; numim produs scalar pe V o aplicatie 〈 , 〉 : V ×V → K satisfacand:
PS1) 〈x, x〉 ∈ R+, ∀x ∈ V ; 〈x, x〉 = 0 ⇒ x = 0V
PS2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V
PS3) 〈λx + µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉, ∀x, y, z ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.
Vectorii x, y ∈ V ıi numim ortogonali (sau perpendiculari) si notam x ⊥ y daca 〈x, y〉 = 0.
Baza B = ei16i6n din Vn o numim ortonormata daca 〈ei, ej〉 = δji . Numim norma pe V o
aplicatie ‖ · ‖: V → R+ cu proprietatile
N1) ‖ x ‖> 0, ∀x ∈ V ; ‖ x ‖= 0 ⇐⇒ x = 0V ,
N2) ‖ λx ‖= |λ| ‖ x ‖ ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K,
N3) ‖ x + y ‖6‖ x ‖ + ‖ y ‖ ∀x, y ∈ V .
Vectorul x ∈ V ıl numim versor daca ‖ x ‖= 1.
Observatii:
Un produs scalar induce o norma via relatia ‖ x ‖= √〈x, x〉. Intr-o baza ortonormata avem
versori ortogonali doi cate doi.
Exemplul 2 (fundamental)
Fie 〈 , 〉 : Kn × Kn → K, 〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xnyn; se verifica imediat axiomele PS. Norma
indusa este ‖ x ‖= √|x1|2 + · · ·+ |xn|2. Acest produs scalar ıl numim euclidian cand K = R,
Mircea CRASMAREANU 11
respectiv hermitian cand K = C; norma indusa o numim euclidiana, respectiv hermitiana. Cu
notatia uzuala
x =
x1
...
xn
, y =
y1
...
yn
avem, folosind din nou comutativitatea din K si relatia 〈x, y〉 = ty · x, unde tA este transpusa
matricii A, iar A este conjugata lui A i.e. matricea avand conjugatele elementelor lui A. Baza
canonica Bc = ei16i6n este ortonormata ın raport cu acest produs scalar.
Definitia 1.3
– T ∈ L(Rn) o numim transformare ortogonala daca invariaza produsul scalar euclidian:
〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ Rn
– T ∈ L(Cn) o numim transformare unitara daca invariaza produsul scalar hermitian:
〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ Cn
Pentru T ∈ L(Kn) fie A = AT ∈ Mn(K) matricea asociata ın raport cu baza canonica Bc;
deci T (x) = A · x. Deci ın definitia anterioara avem ca 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ Kn. Cu
expresia 〈x, y〉 = ty · x avem:
〈Ax,Ay〉 = t(Ay) ·Ax = t(Ay)Ax = tytAAx = tyx, ∀x, y ∈ Kn
ceea ce ınseamna tA ·A = In. Spunem ca A ∈ Mn(R) (respectiv Mn(C)) este matrice ortogonala
(respectiv matrice unitara) daca transformarea liniara asociata T (x) = Ax este ortogonala (re-
spectiv unitara). Fie O(n), respectiv U(n), multimea tuturor matricelor ortogonale, respectiv
unitare. Am obtinut:
– O(n) = A ∈ Mn(R); tA ·A = In
– U(n) = A ∈ Mn(C); tA ·A = In.
O(n) si U(n) sunt grupuri relativ la ınmultirea matricilor. Doar pentru n = 1 acestea sunt
grupuri abeliene; se vedea exercitiul S1.6.
12 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE
Seminar
S 1.1
Sa se arate ca B = e1, e2, e3 este baza ın R3 unde e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e1 = (0, 1, 1) si
se cer coordonatele vectorului v = (1, 1, 1) ın aceasta baza.
Rezolvare: Conform teoriei de la cursul 1 trebuie studiata inversabilitatea matricii:
S =
e1 e2 e3
1 1 0
1 0 1
0 1 1
.
Deoarece detS = −1 − 1 = −2 6= 0 rezulta ca B este baza contrar orientata bazei canonice.
Avem:
X =
1
1
1
si X = S−1X
unde:
S−1 = −12
−1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 −1
=
12
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
;
ın concluzie:
X =12
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
1
1
1
=
12
1
1
1
.
Rezultatul se poate verifica direct: v = 12(e1 + e2 + e3).
S 1.2 (Unghiul dintre doi vectori nenuli)
Fie x, y din spatiul cu produs scalar (V, 〈 , 〉). Daca x, y 6= 0V definim unghiul θ = θ(x, y) dintre
vectorii x, y prin:
cos θ =〈x, y〉
‖ x ‖‖ y ‖ .
De ce se prefera cosinus pentru a determina un unghi si nu functia sinus? (sa se argumenteze
relativ la semnele acestor functii).
Se cere unghiul dintre vectorii ei, ej , i 6= j de la problema S 1.1.
Rezolvare: 〈ei, ej〉 = 1, ‖ ei ‖=‖ ej ‖=√
2 deci θ = π3 .
Mircea CRASMAREANU 13
S 1.3 (Produsul vectorial, produsul mixt)
Fie ın R3 cu baza canonica renotata Bci, j, k aplicatia produs vectorial definita de expresia:
x× y =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣∣∣
unde determinantul se dezvolta dupa prima linie. Sa se arate proprietatile:
i) x× x = 0 si x× y = −y × x; reciproc, daca x× y = 0 atunci vectorii x, y sunt coliniari;
ii) (λx + µy)× z = λx× z + µy× z; folosind ii) obtinem si liniaritatea ın al doilea argument.
Deci × este aplicatie biliniara antisimetrica;
iii) x × y⊥x si x × y⊥y, deci daca x si y sunt necoliniari atunci x, y, x × y este o baza
(ın general neortonormata). Deoarece ‖ x× y ‖=‖ x ‖‖ y ‖ sin θ avem ca x, y sistem
ortonormat implica x, y, x× y baza ortonormata.
iv) (R3,×) este algebra Lie.
Aplicatia ( · , · , · ) : R3 × R3 × R3 → R, (x, y, z) = 〈x, y × z〉 o numim produs mixt. Avem
invarianta la permutari circulare (x, y, z) = (y, z, x) = (z, x, y). Avem urmatorul tabel:
operatia semnificatia geometrica marimea corespunzatoare
produs scalar ortogonalitate lungime
produs vectorial coliniaritate arie
produs mixt coplanaritate volum
Avem:
– daca (x, y, z) = 0 atunci vectorii x, y, z sunt ın acelasi plan spunem ca x, y, z sunt coplanari;
– ‖ x× y ‖= aria paralelogramului cu laturile adiacente x, y;
– |(x, y, z)| = volumul paralelipipedului cu laturile adiacente x, y, z.
Se cer ei × ej , i 6= j si (e1, e2, e3) cu vectorii de la S 1.1.
14 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE
Rezolvare:
e1 × e2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 1 0
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣= (1,−1,−1), e2 × e3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 1
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1,−1, 1)
e3 × e1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
0 1 1
1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1, 1,−1)
(e1, e2, e3) = detS (de la S 1.1) = −2. Deci baza (e1, e2, e3) este contrar orientata bazei canonice
Bc = i, j, k. Peste tot am notat i = e1 = (1, 0, 0), j = e2 = (0, 1, 0), k = e3 = (0, 0, 1) si aceeasi
notatie o vom folosi mereu la R3. In R2 vom folosi mereu notatia i = e1 = (1, 0), j = e2 = (0, 1).
S 1.4 (Determinantul, urma, polinomul caracteristic, diagonalizarea)
Sa se arate urmatoarele proprietati ale determinantului:
i) det(tA) = detA
ii) det(AB) = det(A) · det(B) si sa se deduca de aici ca daca S ∈ GL(n,K) atunci detS−1 =
(detS)−1.
Functia tr : Mn(K) → K, tr A =n∑
i=1ai
i o numim urma lui A. Sa se arate ca:
iii) tr(λA + µB) = λ trA + µ trB i.e. tr este operator liniar ıntre K-spatiile vectoriale Mn(K)
si K sau ınca tr ∈ (Mn(K))∗
iv) tr(tA) = trA si tr(A) = trA
v) tr(ABC) = tr(BCA); sa se deduca ca S ∈ GL(n,K) ⇒ tr(SAS−1) = trA
vi) tr(AB) = tr(BA) din C = In ın v).
O matrice A pentru care tA = A (tA = −A) o numim simetrica (antisimetrica).
Fixam A ∈ Mn(K). Functia PA : K → K, PA(λ) = det(A− λIn) o numim polinom caracter-
istic al lui A. Sa se arate ca
PA(λ) = λn + p1λn−1 + p2λ
n−2 + · · ·+ pn−1λ + (−1)n detA
Mircea CRASMAREANU 15
unde pi este (−1)i · (suma minorilor principali patratici de ordin i din A). In particular p1 =
− trA.
Radacinile lui PA le numim radacini caracteristice ale lui A, iar radacinile caracteristice din
K le numim valori proprii ale lui A.
A o numim diagonalizabila daca exista S ∈ GL(n,K) a.ı. SDS−1 = A unde D are forma
diagonala
D =
λ1
. . .
λn
Criteriul general de diagonalizare:
vii) toate radacinile caracteristice sunt valori proprii,
viii) fie λi o valoare proprie oarecare. Trebuie ca multiplicitatea lui λi = dimK V (λi) unde
V (λi) = x ∈ Kn; Ax = λix este subspatiul propriu corespunzator lui λi.
Sa se arate ca matricea S de la S 1.1 este diagonalizabila. Se cere trS, tr S−1.
Rezolvare:
PS(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1− λ 1 0
1 −λ 1
0 1 1− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣= (1− λ)(λ2 − λ− 1)− (1− λ) = (λ2 − λ− 2)(1− λ)
Deci S are radacinile caracteristice 1,−1, 2 care, apartinand lui K = R, sunt valori proprii.
V (λ1) :
x2 = 0
x1 + x3 = x2. Deci v1 = (1, 0,−1).
V (λ2) :
2x1 + x2 = 0
x2 + 2x3 = 0. Deci v2 = (1,−2, 1).
V (λ3) :
x1 = x2
x2 = x3. Deci v3 = (1, 1, 1).
Rezulta ca S = CDC−1, unde
D =
1
−1
2
iar C =
v1 v2 v3
1 1 1
0 −2 1
−1 1 1
.
16 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE
Avem
C−1 =16
3 0 −3
1 −2 1
2 2 2
si trS = 2, trS−1 =
12
folosind expresia lui S−1 de la S1.1.
S 1.5 (Produsul scalar si norma Hilbert-Schmidt)
Fie K ∈ R,C si 〈 , 〉 : Mm,n(K)×Mm,n(K) → K, 〈A,B〉 = tr(tB · A). Sa se arate ca 〈 , 〉 este
un produs scalar pe Mm,n(K) ce generalizeaza produsul scalar euclidian (cand K = R, n = 1)
respectiv produsul scalar hermitian (cand K = C, n = 1). Interpretari pentru O(n) si U(n).
Rezolvare: tr(tA ·A) =∑
i=1,mj=1,n
|aij |2 > 0; tr(tA ·A) = 0 ⇐⇒ A = Om,n = matricea nula.
〈B,A〉 = tr(tA ·B) = tr tA ·B = tr(tA ·B) = tr(tA ·B) = tr(t(tA ·B)) = tr(tB ·A) = 〈A,B〉.
Liniaritatea ın primul argument rezulta imediat din liniaritatea urmei.
Daca n = 1 avem x, y ∈ Mm(K) si 〈x, y〉 = tr(ty ·x) = ty ·x caci ty ·x este un scalar, deoarecety ∈ M1,n(K) si x ∈ Mn,1(K) implica ty ·x ∈ M1,1(K) = K. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt
generalizeaza produsul scalar euclidian si cel hermitian.
Fie A ∈ U(n), ın particular A ∈ O(n) daca K = R. Avem ‖ A ‖2= 〈A,A〉 = tr(tA · A) =
tr In = n. Deci daca pentru un spatiu cu produs scalar (V, 〈 , 〉) si r > 0 notam Sr(V, 〈 , 〉) = x ∈V ; ‖ x ‖= r numita sfera de raza r ın (V, 〈 , 〉), avem ca O(n) ⊂ S√n(Mn(R), 〈 , 〉), respectiv
U(n) ⊂ S√n(Mn(C), 〈 , 〉) relativ la produsul scalar Hilbert-Schmidt.
S 1.6
Cine este O(1)? Dar U(1)?
Rezolvare: O(1) = x ∈ R1 = R; x · x = 1 = −1, 1 este grup abelian izomorf (relativ la
ınmultire) cu (Z2, +). In adevar:
O(1) 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
Z2 0 1
0 0 1
1 1 0
Sa remarcam ca proprietatile lui (Z2, +) sunt folosite ın programarea calculatoarelor!
U(1) = z ∈ C; z · z = 1 = z ∈ C; |z|2 = 1 = cercul unitate S1. In general ın Rn notam
sfera unitate prin Sn−1 i.e. Sn−1 = x ∈ Rn; ‖ x ‖= 1. (S1, · ) este grup abelian.
Lectia 2
Campuri scalare si campuri
vectoriale
Suport de curs
Fixam K = R si M ⊆ Rn. Fie functia f : M → R, x = (x1, . . . , xn) ∈ M 7→ f(x) ∈ R.
Definitia 2.1
Spunem ca f este de clasa C∞ pe M daca ∀i ∈ 1, . . . , n f este infinit derivabila ın raport cu
variabila i i.e. ∃ ∂f
∂xi,
∂2f
∂(xi)2, . . . ,
∂kf
∂(xi)k, . . . pe M . Multimea acestor functii o notam C∞(M),
iar un element f ∈ C∞(M) ıl numim camp scalar pe M .
Exemplul 3
M este un lichid sau un gaz, iar f(x) = temperatura ın punctul x ∈ M ⊆ R3.
Propozitia 2.1
C∞(M) este algebra reala relativ la operatiile:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(λf)(x) = λf(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
unde ın membrul drept avem operatia corespunzatoare din R. Aceasta algebra este asociativa,
comutativa si nu are dimensiune finita.
17
18 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
Demonstratie: Faptul ca f + g, λf , f · g sunt din C∞(M) este imediat. Se verifica rapid si
axiomele cerute.
Definitia 2.2
Functia X : M → Rn, x ∈ M 7→ X(x) = (X1(x), . . . , Xn(x)) o numim camp vectorial daca
Xi ∈ C∞(M), 1 6 i 6 n; deci X este un set de n campuri scalare. Fie X (M) multimea
campurilor vectoriale.
Exemplul 4
Fie M suprafata unei tari pe o harta si X(longitudine, latitudine)=(temperatura, presiunea
atmosferica) ın x ∈ M specificat de (longitudine, latitudine); aici n = 2.
Din propozitia 2.1 avem ca C∞ este inel comutativ relativ la operatiile +, ·. Relatia dintre
campuri scalare si vectoriale este data de:
Propozitia 2.2
X (M) este C∞(M)-modul relativ la operatiile:
(X + Y )(x) = (X1(x) + Y 1(x), . . . , Xn(x) + Y n(x))
(f ·X)(x) = (f(x)X1(x), . . . , f(x)Xn(x)).
Multimea B =
∂
∂x1, . . . ,
∂
∂xn
⊂ X (M) cu
∂
∂xi(x) = ei, 1 6 i 6 n, ∀x ∈ M este o baza ın
X (M). Deci dimC∞(M)X (M) = n.
Demonstratie: Verificarile sunt imediate.
Rezulta ca orice X ∈ X (M) se scrie ın mod unic X(x) = (X1(x), . . . , Xn(x)) = Xi(x)ei =
Xi(x)∂
∂xi(x) i.e. X = Xi ∂
∂xi.
Definitia 2.3
Numim curba pe M o aplicatie c : I ⊂ R → M , t ∈ I 7→ c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ∈ M a.ı.
functiile x1( · ), . . . , xn( · ) sunt infinit derivabile pe I.
De-a lungul curbei c definim doua campuri vectoriale remarcabile:
– campul vitezelor: Vc(c(t)) =(
dx1
dt(t), . . . ,
dxn
dt(t)
)not= (x1(t), . . . , xn(t))
Mircea CRASMAREANU 19
– campul acceleratiilor: Ac(c(t)) = (x1(t), . . . , xn(t)).
Legea a II-a a dinamicii, formulata de I. Newton ın forma vectoriala ma = F se poate
reformula astfel: traiectoria punctului material de masa m sub actiunea campului vectorial al
fortelor F este o curba c pentru care Ac =1m
F . Din acest motiv suntem profund interesati de
studiul campurilor vectoriale.
Introducem aplicatiile ∇ : C∞(M) → X (M), div : X (M) → C∞(M):
– ∇f (sau grad f) =(
∂f
∂x1, . . . ,
∂f
∂xn
)=
∂f
∂xi· ∂
∂xisau ca sa utilizam regula Einstein ∇f =
δij ∂f
∂xi· ∂
∂xj. ∇f ıl numim campul gradient al lui f
– div X =n∑
i=1
∂Xi
∂xifunctia divergenta a lui X.
Aceste aplicatii sunt operatori R-liniari ın sensul introdus ın primul curs:
∇(λf + µg) = λ∇f + µ∇g
div(λX + µY ) = λdiv X + µ div Y
.
Pentru alte proprietati ale acestor operatori a se vedea exercitiul S 2.1.
Putem considera, via schema C∞(M) ∇−→X (M) div−→C∞(M), operatorul compus div ∇ notat
∆ si numit operatorul Laplace sau Laplacean pe functii. In coordonate: ∆f =n∑
i=1
∂
∂xi
(∂f
∂xi
)=
n∑
i=1
∂2f
∂(xi)2. O functie f ∈ C∞(M) pentru care ∆f = 0 o numim armonica.
Exemplul 5
– Fie i ∈ 1, . . . , n fixat si πi : Rn → R, πi(x) = πi(x1, . . . , xn) = xi numita functia proiectie
de indice i. Avem πi ∈ C∞(Rn) si ∇πi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = ei =∂
∂xi.
– Daca n = 1 atunci ∆f =d2f
dx2si deci functiile armonice sunt cele liniare: f(x) = ax + b,
a, b ∈ R fixate.
Cum C∞(M) este o algebra este natural sa ne punem ıntrebarea: cat este ∇(f · g)? Cum
operatorul ∇ este definit prin intermediul derivatei, ce satisface relativ la produsul de functii
regula Leibniz, rezulta ca avem regula Leibniz extinsa:
∇(f · g) = ∇f · g + f · ∇g.
20 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
Acest fapt ne conduce la considerarea unei “actiuni” a campurilor vectoriale pe campuri
scalare:
X (M)× C∞(M) → C∞(M)
(X, f) 7→ X(f) def= Xi ∂f
∂xi
Proprietatile acestei actiuni:
– (R-liniaritate) X(λf + µg) = λX(f) + µX(g)
– (λX + µY )(f) = λX(f) + µY (f), (fX)(g) = f ·X(g)
– (regula Leibniz) X(f · g) = X(f) · g + f ·X(g)
Definitia 2.4
Dat X ∈ X (M) numim curba integrala a lui X o curba c pe M pentru care Vc = X.
Daca c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) si X = (X1, . . . , Xn) rezulta ca avem sistemul diferential al
curbelor integrale:
x1(t) = X1(x1(t), . . . , xn(t))
· · · · · · · · ·
xn(t) = Xn(x1(t), . . . , xn(t))
si din teoria ecuatiilor diferentiale rezulta ca ∀(t0, x0) ∈ R × M ∃ε = ε(t0, x0) > 0 si c :
(t0 − ε, t0 + ε) → M curba integrala a lui X cu c(t0) = x0; deci este suficienta darea conditiilor
initiale ale miscarii: momentul initial (t0) si pozitia initiala (x0), iar cunoasterea la orice moment
a vectorului viteza determina complet traiectoria!
Suntem interesati de gasirea unor marimi (cu caracter fizic eventual!) ce se conserva de-a
lungul traiectoriei; spre exemplu energia (vrem sa nu avem consum de energie). Sa cautam ın
ce conditii asupra lui f ∈ C∞(M) aceasta se conserva pe curbele integrale ale lui X ∈ X (M).
Invarianta lui f ınseamnadf
dt(c(t)) = 0 ∀t ∈ I; avem deci:
0 =df
dt=
∂f
∂xi· dxi
dt=
∂f
∂xiXi = X(f)
ceea ce conduce la introducerea:
Mircea CRASMAREANU 21
Definitia 2.5
Functia f ∈ C∞(M) o numim integrala prima a lui X ∈ X (M) daca X(f) = 0.
Din proprietatile actiunii campurilor vectoriale pe campuri scalare rezulta ca daca f, g sunt
integrale prime atunci λf + µg si f · g sunt integrale prime i.e. multimea integralelor prime este
subalgebra ın C∞(M)!
Generalizam notiunea de integrala prima, pentru un camp vectorial remarcabil Γ ∈ X (Rn):
Γ = xi ∂
∂xi= (x1, . . . , xn)
numit camp radial.
Definitia 2.6
Dat r ∈ R spunem ca f ∈ C∞(Rn) este r-omogena daca Γ(f) = rf .
O caracterizare utila a acestor functii este:
Propozitia 2.3 (Euler)
f este r-omogena daca si numai daca f(λx) = λrf(x) ∀x ∈ Rn, ∀λ ∈ R.
Din discutia precedenta rezulta ca functiile 0-omogene sunt integralele prime ale lui Γ si
formeaza o subalgebra ın C∞(Rn). Din relatia Leibniz avem ca daca f este r-omogena, iar g
este s-omogena atunci f · g este (r + s)-omogena.
Cum C∞(M) este o algebra, ne putem ıntreba daca exista o “ınmultire” pe X (M). Raspunsul
este afirmativ si constituie ınca o aplicatie a actiunii campurilor vectoriale pe campuri scalare.
Fie:
[ ] : X (M)×X (M) → X (M), (X, Y ) 7→ [X,Y ]
unde
[X, Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f)).
[ ] o numim paranteza (sau crosetul) Lie si daca X = Xi ∂
∂xi, Y = Y j ∂
∂xjatunci:
[X, Y ](f) = Xi ∂
∂xi
(Y j ∂f
∂xj
)− Y i ∂
∂xi
(Xj ∂f
∂xj
)Leibniz=
= XiY j ∂2f
∂xi∂xj+ Xi ∂Y j
∂xi
∂f
∂xj−XiY j ∂2f
∂xi∂xj− Y i ∂Xj
∂xi
∂f
∂xj=
=(
Xi ∂Y j
∂xi− Y i ∂Xj
∂xi
)∂f
∂xj
22 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
caci termenii subliniati se reduc. In concluzie, permutand eventual indicii de sumare i, j ıntre
ei, obtinem:
[X, Y ] =(
Xj ∂Y i
∂xj− Y j ∂Xi
∂xj
)∂
∂xi= (X(Y i)− Y (Xi))
∂
∂xi.
Numele de croset Lie acordat [ ] se bazeaza pe:
Propozitia 2.4
(X (M), [ · ]) este algebra Lie reala.
Demonstratie: Antisimetria [X,X] = 0 rezulta imediat din defintie. Identitatea Jacobi se
verifica imediat.
Propozitia 2.5
Fie f ∈ X∞(M) integrala prima pentru X, Y ∈ X (M). Atunci f este integrala prima pentru
[X, Y ].
Demonstratie:
[X, Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f)) = X(0)− Y (0) = 0− 0 = 0.
Definitia 2.7
X ∈ X (Rn) ıl numim camp r-omogen daca [Γ, X] = (r − 1)X.
Propozitia 2.6
Fie X, Y ∈ X (Rn) campuri r-omogene. Atunci [X, Y ] este camp (2r − 1)-omogen.
Demonstratie: Avem deci [Γ, X] = (r − 1)X, [Γ, Y ] = (r − 1)Y si din relatia Jacobi avem:
0 = [Γ, [X, Y ]] + [X, [Y, Γ]] + [Y, [Γ, X]] =
= [Γ, [X, Y ]]− (r − 1)[X, Y ] + (r − 1)[Y, X] =
= [Γ, [X, Y ]]− 2(r − 1)[X,Y ].
Ne intereseaza deci cazul r = 2r − 1 ceea ce ınseamna r = 1. Un camp 1-omogen ıl numim
simetrie a lui Γ si mai general:
Mircea CRASMAREANU 23
Definitia 2.8
Fixat X ∈ X (M) un camp, Y ∈ X (M) ıl numim simetrie a lui X daca [X, Y ] = 0.
Propozitia 2.7
Dat X ∈ X (M), multimea simetriilor lui X este subalgeba Lie ın X (M).
Demonstratie: Fie Y1, Y2 simetrii pentru X. Avem
[X, λ1Y1 + λ2Y2] = λ1[X, Y1] + λ2[X,Y2] = λ1 · 0 + λ2 · 0 = 0
si din nou, folosind identitatea Jacobi
0 = [X, [Y1, Y2]] + [Y1, [Y2, X]] + [Y2, [X, Y1]] = [X, [Y1, Y2]].
Notam Int(X) = f ∈ C∞(M); f = integrala prima pentru X si Sim(X) = Y ∈ X (M);Y =
simetrie pentru X. Stim ca Int(X) este subalgebra ın C∞(M). Mai mult, avem:
Propozitia 2.8
Sim(X) este Int(X)-modul.
Demonstratie: Trebuie aratat ca daca f ∈ Int(X) si Y ∈ Sim(X) atunci fY ∈ Sim(X). Dar
pentru orice f ∈ C∞(M) avem:
[X, fY ] = X(f) · Y + f [X, Y ].
Daca f ∈ Int(X) atunci X(f) = 0, iar daca Y ∈ Sim(X) atunci [X, Y ] = 0.
Avem urmatoarea generalizare a propozitiei 2.6:
Propozitia 2.9
Fie X, Y ∈ X (M), X r-omogen si Y s-omogen. Atunci [X,Y ] este (r + s− 1)-omogen.
Demonstratie:
0 = [Γ, [X, Y ]] + [X, [Y,Γ]] + [Y, [γ, X]] =
= [Γ, [X, Y ]] + [X,−(s− 1)Y ] + [Y, (r − 1)X]
adica: [Γ, [X, Y ]] = (s− 1)[X,Y ] + (r − 1)[X, Y ] = (r + s− 2)[X,Y ].
24 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
Prin urmare multimea campurilor omogene (de toate gradele) este subalgebra Lie ın X (M).
In cursul 1 am introdus pentru orice K-spatiu vectorial spatiul sau dual V ∗ = ω : V →K; ω(λx + µy) = λω(x) + µω(y). Cum X (M) este C∞(M)-modul (cf. propozitiei 2.3) putem
considera X (M)∗ notat Ω1(M) si ale carei elemente le numim 1-forme. Deci ω ∈ Ω1(M) este o
aplicatie ω : X (M) → C∞(M), X 7→ ω(X) satisfacand ω(fX + gY ) = fω(X) + gω(Y ).
Definim aplicatia, pentru X ∈ X (M) fixat,
LX : Ω1(M) → Ω1(M), ω 7→ LX ω
numita derivata Lie; astfel (LX ω)(Y ) = LX(ω(Y )) − ω(LX Y ) unde LX f = X(f), LX Y =
[X, Y ]. Spunem ca ω este 1-forma invarianta pentru X daca LX ω = 0.
Teorema 2.1 (Noether)
Daca Y este simetrie si ω 1-forma invarianta pentru X atunci f = ω(Y ) este integrala prima
pentru X.
Demonstratie:
LX f = LX(ω(Y )) = (LX ω)(Y ) + ω(LX Y ) = 0 + ω(0) = 0 + 0 = 0.
Seminar
S 2.1 (Rotor)
Aplicatia rot : X (R3) → X (R3) data de:
rot X = ∇×X =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zX1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
(∂X3
∂y− ∂X2
∂z,∂X1
∂z− ∂X3
∂x,∂X2
∂x− ∂X1
∂y
)
o numim rotor. Proprietati:
i) div(fX) = f div X + 〈∇f,X〉
ii) rot(λX + µY ) = λ rotX + µ rot Y i.e. rot este R-operator liniar
iii) rot(fX) = f rotX +∇f ×X deci rot nu este C∞(R3)-operator liniar
Mircea CRASMAREANU 25
iv) div rot = 0, rot ∇ = 0
v) rot(rotX) = ∇(div X)− (∆X1, ∆X2, ∆X3).
S 2.2
Care sunt functiile r-armonice ın dimensiune 1?
Rezolvare: Cum r = xddx
rezulta ca f ∈ C∞(R) este r-armonica daca xf ′ = rf i.e.f ′
f=
r
xsi prin integrare ln f = r ln x + C ′ = lnCxr pentru C ′ = lnC. Cum functia ln este injectiva
rezulta ca f(x) = Cxr.
S 2.3 (Sisteme conservative)
Fie particula de masa m supusa actiunii campului de forte F ; spunem ca avem un sistem
mecanic n-dimensional descris de perechea (m,F ). Acest sistem ıl numim conservativ daca
exista U ∈ C∞(Rn) a.ı. F = −∇U ; functia U o numim potential. Ecuatia legii a doua a
dinamicii este ma = F = −∇U sau ın componenta i: mxi = −∂U
∂xi(x), ceea ce spune ca
traiectoria este curba integrala a campului vectorial X(x, y) = (y,− 1m∇U(x)) scriind ecuatia
de ordinul doi ca o ecuatie de gradul ıntai cu numar dublu de variabile:
xi = yi
yi = − 1m
∂U
∂xi(x)
Sa se arate ca energia totala se conserva (acest fapt explica denumirea “conservativ”).
Rezolvare: Energia totala E(x, y) = energia cinetica + energia potentiala:
E(x, y) =m
2
n∑
i=1
(yi)2 + U(x)
Avem:
X(E) = yi ∂E
∂xi− 1
m
∂U
∂xi
∂E
∂yi= yi ∂U
∂xi− 1
m
∂U
∂xi· (myi) = 0
S 2.4 (Sisteme hamiltoniene)
Sa descriem exercitiul anterior ın termenii fizici de pozitie (qi) si impuls (pi). Avem ca qi = xi,
pi = mxi = myi. Deci
E =m
2
n∑
i=1
(pi
m
)2
+ U(q) =1
2m
n∑
i=1
p2i + U(q)
26 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
Renotam aceasta functie H = H(q, p) si o numim Hamiltonian al sistemului. Sa se scrie ecuatiile
de miscare de la exercitiul anterior ın functie de H.
Rezolvare:
qi = xi = yi =pi
m=
∂H
∂pi
pi = myi = m
(− 1
m
∂U
∂xi
)= −∂U
∂xi= −∂U
∂qi= −∂H
∂qi
Deci ecuatiile de miscare numite ecuatiile Hamilton sunt:
qi =∂H
∂pi
pi = −∂H
∂qi
si obtinem ca H este integrala prima:
dH
dt=
∂H
∂qiqi +
∂H
∂pipi =
n∑
i=1
(∂H
∂qi
∂H
∂pi− ∂H
∂pi
∂H
∂qi
)= 0
Sa cautam ecuatia generala a unei integrale prime f ∈ C∞(R2n)
df
dt=
∂f
∂qiqi +
∂f
∂pipi =
n∑
i=1
(∂f
∂qi
∂H
∂pi− ∂f
∂pi
∂H
∂qi
)
Consideram : C∞(R2n)× C∞(R2n) → C∞(R2n)
f, g =n∑
i=1
(∂f
∂qi
∂g
∂pi− ∂f
∂pi
∂g
∂qi
)
numita paranteza Poisson pe C∞(R2n). Un calcul imediat da:
– f, f = 0
– f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0
Deci (C∞(R2n), · ) este o algebra Lie reala. f ∈ C∞(R2n) este integrala prima daca si numai
daca H, f = 0.
S 2.5 (Oscilatorul armonic 1-dimensional)
Acest sistem mecanic este descris de forta elastica care fiind forta repulsiva are expresia F (x) =
−kx, k fiind constanta elastica. Sa se arate ca acest sistem este hamiltonian.
Mircea CRASMAREANU 27
Rezolvare: Sistemul este conservativ cu potentialul U(x) =k
2x2 = −
∫Fdx. Deci sistemul
dat este hamiltonian cu Hamiltonianul H(q, p) =1
2mp2 +
k
2q2.
S 2.6 (Pendulul matematic)
Este un sistem mecanic 1-dimensional descris de forta F (x) = − sinx. Sa se arate ca acest
sistem este hamiltonian.
Rezolvare: Sistemul este conservativ cu potentialul U(x) = −∫
F (x)dx =∫
sinxdx = − cosx.
Deci sistemul dat este hamiltonian cu hamiltonianul H(q, p) =1
2mp2 − cos q.
Ecuatia de miscare este mx = F (x) = − sinx. Presupunand ca masa este unitatea i.e. m = 1
si x este foarte mic, cum sinx ' x (din dezvoltarea Taylor ın jurul originii) putem considera
ecuatia x = −x care este curba integrala a campului vectorial
x = y
y = −xi.e. X(x, y) = (y,−x).
S 2.7 (ceasul)
De ce sensul orar este opus celui trigonometric? Apoi sa se rezolve complet (sa se integreze)
ecuatia ceasului.
Rezolvare: Ceasul este un oscilator armonic si deci conform exercitiului S 2.5 este descris de
ecuatia mx = −kx. Introducem ω =
√k
mnumita frecventa si avem x = −ω2x. Ceasul are
frecventa ω = 1 (bate secunda!); deci x = −x ce este curba integrala a campului vectorial
X(x, y) = (y,−x).
Ecuatia x = −x o scriem
x = y
y = −xcare se poate scrie
ddt
(x
y
)=
(0 1
−1 0
) (x
y
)= J
(x
y
)
unde J =
(0 1
−1 0
). Avem ca J2 =
(0 1
−1 0
) (0 1
−1 0
)=
(0 −1
−1 0
)= −I2, deci J este o
generalizare (2-dimensionala) a lui i =√−1. Sensul de parcurgere a curbelor integrale ale lui
X(x, y) = (y,−x) este sensul orar; spre exemplu X(1, 0) = (0,−1) = −i ceea ce explica faptul
ca sensul orar (dat de ceas) este anti-trigonometric.
Pentru rezolvarea sistemului diferential
x = y
y = −xintroducem coordonatele polare. Fie
functia: F : R∗+ × [0, 2π) → R2, F (r, ϕ) = (r cosϕ, r sinϕ) = (x, y). Avem
28 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
– x = r cosϕ− r sinϕϕ
– y = r sinϕ + r cosϕϕ
Rezulta sistemul
r cosϕ− r sinϕϕ = r sinϕ
r sinϕ + r cosϕϕ = −r cosϕ
⇒
r
rctg ϕ− ϕ = 1
r
rtg ϕ + ϕ = −1
si prin adunare avemr
r(tg ϕ + ctg ϕ) = 0. Dar tg ϕ + ctg ϕ =
sin2 ϕ + cos2 ϕ
sinϕ cosϕ=
1sinϕ cosϕ
si
deci r = 0 care are solutia r(t) = r(0) not= r0. Inlocuind ın oricare dintre ecuatii avem ϕ = −1 cu
solutia ϕ(t) = −t + ϕ(0) = −t + ϕ0. Deci solutia generala este:
x(t) = r0 cos(ϕ0 − t)
y(t) = r0 sin(ϕ0 − t)
S 2.8
Sa se rezolve complet x = x.
Rezolvare: Avem sistemul
x = y
y = xsi consideram schimbarea de variabile x = u + v, y =
u− v. Din x = u + v si y = u− v obtinem sistemul
u + v = u− v
u− v = u + v
care prin adunare, respectiv scadere conduce la:
u = u
v = −v
cu solutia u(t) = u(0)et = u0et, v(t) = v(0)e−t = v0e
−t. Deci
x(t) = u0et + v0e
−t
y(t) = u0et − v0e
−t
Mircea CRASMAREANU 29
unde x0 = u0 + v0, y0 = u0 − v0; deci u0 =12(x0 + y0), respectiv v0 =
12(x0 − y0). In final
x(t) = x0 ch t + y0 sh t
y(t) = x0 sh t + y0 ch t
30 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE
Lectia 3
Structuri Poisson
Suport de curs
In cursul precedent am introdus o structura de algebra Lie pe multimea X (M) a campurilor
vectoriale. Este natural sa cercetam eventualele structuri de algebra Lie pe multimea C∞(M) a
campurilor scalare.
Definitia 3.1
Numim structura (sau paranteza) Poisson pe multimea M ⊆ Rn o aplicatie , : C∞(M) ×C∞(M) → C∞(M) cu proprietatile:
P1) (antisimetria) f, g = −g, f (echivalent f, f = 0)
P2) (R-biliniaritate) f, λg + µh = λf, g+ µf, h ∀λ, µ ∈ R (din P1 rezulta si liniari-
tatea ın primul argument)
P3) (identitatea Jacobi) f, g, h + g, h, f + h, f, g = 0 (din P1 rezulta Jacobi
cu pe primul loc)
P4) (identitatea Leibniz) f, gh = f, gh + f, hg (din P1 rezulta identitatea Leibniz
cu produsul pe primul loc)
Perechea (M, , ) o numim varietate Poisson. C ∈ C∞(M) ıl numim Casimir al structurii
Poisson date daca f, C = 0, ∀f ∈ C∞(M).
31
32 LECTIA 3. STRUCTURI POISSON
Relatiile P1–P3 spun ca (C∞(M), , ) este o algebra Lie reala, iar P4 este o relatie de
compatibilitate ıntre structura de algebra Lie si structura de algebra reala comutativa.
Propozitia 3.1
Multimea functiilor Casimir este o subalgebra Lie ın (C∞(M), , ).
Demonstratie: Trebuie aratat ca daca C1, C2 sunt functii Casimir si λ, µ ∈ R atunci λC1+µC2
si C1, C2 sunt functii Casimir. Fie f ∈ C∞(M) oarecare. Avem f, λC1 + µC2 P2= λf, C1+
µf, C2 = λ · 0 + µ · 0 = 0 si
0 P3= f, C1, C2+ C1, C2, f+ C2, f, C1 = f, C1, C2
Un rezultat de baza ın ıntelegerea parantezelor Poisson este:
Teorema 3.1 (de structura a parantezelor Poisson)
i) Fie , o structura Poisson pe Rn si f, g ∈ C∞(Rn) oarecare. Atunci f, g = πi, πj ∂f
∂xi
∂g
∂xj.
ii) Fie , o lege de compozitie pe C∞(Rn) ce satisface P1, P2, P4. Atunci · satisface P3
daca si numai daca satisface P3 pe functiile proiectie πi, 1 6 i 6 n.
Demonstratie: Vom arata doar i) deoarece ii) implica un calcul mai laborios. Fie i ∈1, . . . , n fixat si functia Xi : f ∈ C∞(M) → πi, f ∈ C∞(M). Conform P4 aplicatia Xi
satisface Xi(fg) = Xi(f) · g + f · Xi(g) ceea ce spune ca Xi ∈ X (M); deci Xi = Aai
∂
∂xa.
Avem Xi(πj) = Aai
∂πj
∂xa= Aa
i δja = Aj
i ; prin urmare πi, f = Aji
∂f
∂xj= πi, πj ∂f
∂xj. Fie acum
f ∈ C∞(M) fixata si aplicatia Xf : g ∈ C∞(M) → f, g ∈ C∞(M). Din nou Xf ∈ X (M); deci
Xf = Xaf
∂
∂xa. Avem Xf (πk) = Xa
f
∂πk
∂xa= Xa
f δka = Xk
f . In concluzie:
f, g = Xf (g) = Xkf
∂g
∂xk= f, πk ∂g
∂xk= −πk, f ∂g
∂xk=
= −πk, πj ∂f
∂xj
∂g
∂xk= πj , πk ∂f
∂xj
∂g
∂xk.
Mircea CRASMAREANU 33
Conform teoremei de structura vom considera matricea P = (pij)16i,j6n, pij = πi, πjnumita matricea de structura a parantezei Poisson date. Relatia din teorema de structura i)
devine:
f, g =(
∂f
∂x1, . . . ,
∂f
∂xn
)· (pij) ·
∂g
∂x1
...∂g
∂xn
sau, ıntr-o notatie “index free”:
f, g = t(∇f) · P · ∇g.
Proprietatile matricii de structura:
P1) ⇒ pij = −pji i.e. P este o matrice antisimetrica
P3) ⇒ πi, πj , πk+ πj , πk, πi+ πk, πi, πj = 0 ⇒ πi, pjk+ πj , pki+ πk, pij = 0
⇒ pia ∂pjk
∂xa+ pja ∂pki
∂xa+ pka ∂pij
∂xa= 0, ∀i, j, l ∈ 1, . . . , n.
Dat punctul x0 ∈ Rn numim deschis centrat ın x0 o multime de forma B(x0, r) = x ∈Rn; (x1 − x1
0)1 + · · · + (xn − xn
0 )2 < r, r > 0. Numim rang al parantezei Poisson ın x0 ∈ Rn
rangul matricii P (x0) = (pij(x0)). Avem urmatorul rezultat de exprimare locala a parantezelor
Poisson:
Teorema 3.2 (de structura locala a parantezelor Poisson)
Daca rangul parantezei Poisson pe un deschis centrat ın x0 este constant egal cu k atunci k
este par (k = 2m) si exista (pe un deschis centrat ın x0, eventual mai mic decat cel initial)
coordonatele locale ın jurul lui x0 de forma x = (x1, . . . , xm, p1, . . . , pm, u2m+1, . . . , un−2m) asa
ıncat pentru orice x al acestui deschis secund avem:
P (x) =
Om Im...
−Im Om...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... On−2m
unde Os, Is este matricea nula, respectiv matricea unitate, de ordin s.
Definitia 3.2
Varietatea Poisson (M, , ) o numim simplectica daca ∀x ∈ M matricea P (x) este inversabila.
34 LECTIA 3. STRUCTURI POISSON
Conform teoremei de structura locala rezulta ca ∀x ∈ M rangul matricii P (x) este n = k =
2m (deci suntem ın R2m) si avem:
P (x) =
(Om Im
−Im Om
)
Prin urmare:
f, g = t(∇f) ·(
Om Im
−Im Om
)· ∇g, ∀f, g ∈ C∞(R2m)
sau ınca:
f, g =(
∂f
∂x1, . . . ,
∂f
∂xm,
∂f
∂p1, . . . ,
∂f
∂pm
)·(
Om Im
−Im Om
)·
∂g
∂x1
...∂g
∂xm
∂g
∂p1
...∂g
∂pm
=(− ∂f
∂p1, . . . ,− ∂f
∂pm,
f
∂x1, . . . ,
∂f
∂xm
)·
∂g
∂x1
...∂g
∂xm
∂g
∂p1
...∂g
∂pm
ceea ce da expresia finala a parantezelor Poisson simplectice:
f, g =n∑
i=1
(∂f
∂xi
∂g
∂pi− ∂f
∂pi
∂g
∂xi
)
Pentru urmatorul exemplu de varietati Poisson facem cateva pregatiri. Fie V un spatiu
vectorial real n-dimensional si a ∈ V fixat. Multimea TaV = (a, x);x ∈ Rn o numim spatiu
tangent ın a la V si este un spatiu vectorial n-dimensional relativ la operatiile λ(a, x)+µ(a, y) =
(a, λx+µy). Reamintim ca am introdus dualul lui V notat V ∗ ca V ∗ = α : V → R; α(λu+µv) =
λα(u) + µα(v) i.e. α este transformare liniara. Se arata ca V ∗∗ = V . Fie f ∈ C∞(V ) =
C∞(Rn) si a ∈ V fixat. Exista aplicatia dfa(a, v) : TaV → R numita diferentiala lui f ın a:
dfa(a, v) =∂f
∂xi(a)vi
Mircea CRASMAREANU 35
Avem:
dfa(a, λv + µw) =∂f
∂xi(a)(λvi + µwi) = λ
∂f
∂xi(a)vi + µ
∂f
∂xi(a)wi = λdfa(a, v) + µdfa(a,w)
i.e. dfa este transformare liniara, dfa ∈ (TaV )∗.
Exemplu remarcabil de varietate Poisson. Fie G o algebra Lie. Exista doua paranteze
Poisson pe G∗, ± : C∞(G∗)× C∞(G∗) → C∞(G∗) data de:
f, g±(µ) = ±µ([dfµ, dgµ])
unde dfµ,dgµ ∈ (G∗)∗ = G, iar [ ] este paranteza Lie pe G, iar µ este un element fixat din G∗.Pentru a gasi matricea de structura a acestor structuri Poisson sa introducem cateva notatii.
Fie B = e1, . . . , en baza ın V si B∗ = e1, . . . , en baza duala ın V ∗. Vectorul [ei, ej ] se
descompune ın baza B deci avem descompunerea [ei, ej ] = ckijek; numerele reale (ck
ij)16i,j,k6n se
numesc constantele de structura ale algebrei Lie (G, [ · ]). Elementele din B∗ satisfac ea(eb) = δab .
Dat µ ∈ G∗ avem descompunerea µ = µaea si data f ∈ C∞(G∗) avem dfµ =
∂f
∂µi(µ)ei si deci
f, g±(µ) = ±µaea([
∂f
∂µi(µ)ei,
∂f
∂µj(µ)ej
])= ±µa
∂f
∂µi(µ)
∂f
∂µj(µ)ca
ij
Seminar
S 3.1 (Structura simplectica plana)
Sa se arate ca f, g =∂f
∂x
∂g
∂p− ∂f
∂p
∂g
∂x, ∀f, g ∈ C∞(R2) unde ın R2 folosim coordonatele (x, p),
este o structura Poisson simplectica.
Rezolvare: Este caz particular imediat al formulei de la curs.
S 3.2
Pe R2 avem structura Poisson f, g = xp
(∂f
∂x
∂g
∂p− ∂f
∂p
∂g
∂x
)ce nu are functii Casimir necon-
stante.
Rezolvare: Se verifica P1, P2 si P4 foarte usor, iar P3 dupa un calcul mai laborios. Fie C ∈C∞(R2) functie Casimir pentru paranteza Poisson data. Deci
∂f
∂x
∂C
∂p=
∂f
∂p
∂C
∂x∀f ∈ C∞(R2).
Pentru f = π1 i.e. f(x, p) = x obtinem∂C
∂p= 0; pentru f = π2 i.e. f(x, p) = p obtinem
∂C
∂x= 0. Din
∂C
∂x=
∂C
∂p= 0 rezulta ca C = constanta. Mai general, structurile Poisson
generate de structuri simplectice au functiile Casimir constante.
36 LECTIA 3. STRUCTURI POISSON
S 3.3
Sa se arate ca pe R3 avem structurile Poisson:
f, g± = ±
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
∂g
∂x1
∂g
∂x2
∂g
∂x3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cu functia Casimir C(x1, x2, x3) =12‖ x ‖2=
12
((x1)
2+ (x2)
2+ (x3)
2)
.
Rezolvare: Din nou P1, P2 si P4 se verifica imediat, iar P3 mai laborios folosind expresia:
f, g± = ±εija xa ∂f
∂xi
∂g
∂xjunde:
εija =
+1 daca permutarea 1 2 3
a i j
este para
−1 daca permutarea 1 2 3
a i j
ete impara
expresie ce rezulta din dezvoltarea (formula de calcul) a determinantului. Avem:
f, C± = ±
∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂f
∂x3
x1 x2 x3
∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
deoarece un determinant cu doua linii (sau coloane) proportionale (ın particular egale) este nul.
S 3.4
Se cer ±-structurile Poisson de pe duala algebrei Lie (R3,×).
Rezolvare: Fie e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) baza canonica a lui R3. Calculam
constantele de structura ale algebrei Lie (R3,×) stiind ca e1×e2 = e3, e2×e3 = e1, e3×e1 = e2;
deci avem tabelul:
× e1 e2 e3
e1 0 e3 −e2
e2 −e3 0 e1
e3 e2 −e1 0
din care citim constantele de structura:
Mircea CRASMAREANU 37
1) c•11 = (0, 0, 0), c•12 = (0, 0, 1), c•13 = (0,−1, 0)
2) c•21 = (0, 0,−1), c•22 = (0, 0, 0), c•23 = (1, 0, 0)
3) c•31 = (0, 1, 0), c•32 = (−1, 0, 0), c•33 = (0, 0, 0)
De la curs avem ca matricea de structura a ±-structurii Poisson este ±(µacaij). Deci:
1) p11 = ±(µaca11) = 0, p12 = ±(µac
a12) = ±(µ3), p13 = ±(µac
a13) = ±(−µ2)
2) p21 = ±(µaca21) = ±(−µ3), p22 = ±(µac
a22) = 0, p23 = ±(µac
a23) = ±(µ1)
3) p31 = ±(µaca31) = ±(µ2), p32 = ±(µac
a32) = ±(−µ1), p33 = ±(µac
a33) = 0
Din aceste relatii obtinem:
P±(µ) = ±
0 µ3 −µ2
−µ3 0 µ1
µ2 −µ1 0
ın punctul µ = (µ1, µ2, µ3) ∈ (R3)∗
i.e. µ = µaea unde (ea)16a63 este baza duala bazei canonice
(e1, e2, e3) = (i, j, k).
S 3.5
Fie F ∈ C∞(R3) fixata. Sa se arate ca:
f, g = 〈∇F,∇f ×∇g〉
este o structura Poisson pe R3 cu F ca functie Casimir.
Rezolvare: ∇f×∇g =(
∂f
∂xiei
)×
(∂g
∂xjej
)=
∂f
∂xi
∂g
∂xjcaijea unde (ca
ij) sunt cele de la exercitiul
precedent.
Deci f, gF = 〈∇F,∂f
∂xi
∂g
∂xjcaijea〉 =
∂f
∂xi
∂g
∂xj〈 ∂F
∂xbeb, ea〉ca
ij = caij
∂F
∂xa
∂f
∂xi
∂g
∂xjfolosind ortonor-
malitatea bazei canonice. Avem ca F este o structura Poisson cu matricea de structura:
PF =
0∂F
∂x3− ∂F
∂x2
− ∂F
∂x30
∂F
∂x1
∂F
∂x2− ∂F
∂x10
Pentru partea a doua avem:
PF · ∇F =
0∂F
∂x3− ∂F
∂x2
− ∂F
∂x30
∂F
∂x1
∂F
∂x2− ∂F
∂x10
∂F
∂x1
∂F
∂x2
∂F
∂x3
=
0
0
0
38 LECTIA 3. STRUCTURI POISSON
si deci ∀f ∈ C∞(R3):
f, FF = ∇f · PF · ∇F = ∇f ·
0
0
0
= 0.
S 3.6 (paranteza Poisson patratica)
Fie A = (Aij)16i,j6n o matrice antisimetrica (Aij = −Aji). Pe Rn definim Bij(x) = Aijxixj ,
fara sumare. Atunci (Bij) este o matrice de structura pentru o paranteza Poisson.
Rezolvare: Avem imediat Bij = −Bji din proprietatea omoloaga pentru A. Sa calculam
expresia:
Bia ∂Bjk
∂xa+ Bja ∂Bki
∂xa+ Bka ∂Bij
∂xa, 1 6 i, j, k 6 n.
Avem
Bia ∂Bjk
∂xa= Aiaxixa ∂
∂xa(Ajkxjxk) = Aiaxixa(Ajkδj
axk + Ajkxjδk
a) =
= AijAjkxixkxj + AikAjkxixjxk = Ajkxixjxk(Aij + Aik)
si deci suma ceruta este, fara factorul xixjxk:
Ajk(Aij + Aik) + Aki(Ajk + Aji) + Aij(Aki + Akj) = 0
deoarece termenii subliniati se reduc din antisimetria lui A.
S 3.7 (paranteza Poisson cubica)
Pentru x ∈ R3 consideram: x1, x2 =‖ x ‖ ·x3, x2, x3 =‖ x ‖ ·x1, x3, x1 =‖ x ‖ ·x2.
Atunci matricea (pij)16i,j6n cu pij = xi, xj daca i < j, respectiv pij = −pji ın celelalte cazuri
defineste o structura Poisson pe R3.
Rezolvare: TEMA!
S 3.8
Ne intereseaza ın ce conditii asupra unei paranteze (nu neaparat Poisson) un element poate trece
de la un argument la altul. Sa se arate ca daca satisface identitatea Leibniz atunci:
f, gh − fg, h = f, gh− fg, h
Mircea CRASMAREANU 39
Rezolvare: Se scad relatiile:
f, gh = f, gh + gf, h
fg, h = f, hg + fg, h
Relatia ceruta se poate scrie si sub forma:
f, gh − f, gh = fg, h − fg, h
ceea ce spune ca daca un factor “iese” din paranteza la argumentul al doilea (f, gh = f, gh)
atunci “iese” si factor de la primul argument (fg, h = fg, h) si reciproc.
S 3.9 (Forme simplectice pe spatii vectoriale)
Fie V un spatiu vectorial si Ω : V ×V → R biliniara. Definim Ωb : V → V ∗ prin Ωb(v) : V → R,
Ωb(v)(w) = Ω(v, w). Avem ca:
i) Ωb(v) ∈ V ∗
ii) Ωb este transformare liniara ıntre spatiile vectoriale V , V ∗
Ω o numim slab nedegenerata daca Ω(v, w) = 0 ∀w ∈ V implica v = 0, Sa se arate ca:
iii) Ω este slab nedegenerata daca si numai daca Ωb este transformare liniara injectiva
Ω este tare nedegenerata daca Ωb este chiar izomorfism liniar. Se stie ca pe un spatiu vectorial
de dimensiune finita o transformare liniara este bijectie daca si numai daca este injectiva (deci
daca dimV = n nedegenerarea slaba si cea tare sunt echivalente). Ω o numim forma simplectica
pe Vn daca este biliniara, nedegenerata si antisimetrica; ın acest caz perechea (Vn,Ω) o numim
spatiu vectorial simplectic.
Rezolvare:
i) Ωb(v)(λw1 +µw2) = Ω(v, λw1 +µw2) = λΩ(v, w1)+µΩ(v, w2) = λΩb(v)(w1)+µΩb(v)(w2)
ii) rezulta din calcul
iii) Ω(v, w) = 0 ⇐⇒ Ωb(v)(w) = 0. Deci Ωb injectiva echivalenta cu (Ωb(v) = 0V ∗ ⇒ v = 0)
echivalent cu nedegenerarea.
40 LECTIA 3. STRUCTURI POISSON
Lectia 4
Sisteme Hamiltoniene
Suport de curs
Definitia 4.1
i) Numim sistem Hamiltonian n-dimensional un triplet (M, , ,H) cu (M, , ) varietate
Poisson, M ⊆ Rn si H ∈ C∞(M) camp scalar fixat numit Hamiltonianul (sau energia)
sistemului dat. O integrala prima a acestui sistem este o functie I ∈ C∞(M) ce satisface
I, H = 0.
ii) Fie campul vectorial X ∈ X (Rn). Sistemul diferetial al curbelor integrale ale lui X:
x1 = X1(x1, . . . , xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = Xn(x1, . . . , xn)
spunem ca admite o descriere Hamiltoniana daca exista un sistem Hamiltonian n-dimensional
(M, , ,H) a.ı. sistemul diferential dat se scrie:
x1 = x1,H. . . . . . . . . . . . . . .
xn = xn,H
iii) Un sistem Hamiltonian n-dimensional ıl numim complet integrabil daca exista I1, . . . , In
integrale prime ale sale cu prorietatile:
a) sunt ın involutie: Ii, Ij = 0, ∀i, j ∈ 1, . . . , n
41
42 LECTIA 4. SISTEME HAMILTONIENE
b) sunt functional independente i.e. ∀x ∈ M vectorii ∇I1(x), . . . ,∇In(x) sunt liniar
independenti.
Conform celor din primul curs ultima conditie revine la faptul ca ∀x ∈ M vectorii∇I1(x), . . . ,∇In(x)
constituie o baza ın Rn. Tehnic, verificam faptul ca:
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂I1
∂x1. . .
∂In
∂x1
. . . . . . . . . . . . . . .∂I1
∂xn. . .
∂In
∂xn
∣∣∣∣∣∣∣∣(x) 6= 0
ın orice x ∈ M . Din antisimetria parantezei Poisson putem lua I1 = H, iar daca admite
functii Casimir neconstante (pentru a avea coloane nenule ın determinantul precedent) acestea
constituie integrale prime. Mai ramane de gasit numarul corespunzator de integrale prime ce
satisfac a) si b).
Fie aplicatia XH : f ∈ C∞(M) → f,H ∈ C∞(M); datorita conditiei Leibniz avem ca XH
este un camp vectorial numit campul Hamiltonian asociat lui H. Curbele integrale ale lui XH
le numim traiectorii ale sistemului Hamiltonian dat.
Teorema 4.1 (Poisson)
Daca I1, I2 sunt integrale prime ale sistemului Hamiltonian dat atunci I1, I2 este o integrala
prima.
Demonstratie: Din identitatea Jacobi avem:
0 = I1, I2,H+ I2,H, I1+ H, I1, I2 = I1, I2,H
din I2,H = 0 = −H, I1.
Este posibil ca prin procedeul Poisson sa nu generam o integrala prima noua sau I1, I2 sa
fie o constanta.
Observatie importanta: Daca este simplectica, conform cursului precedent, n = 2m.
Atunci pentru completa integrabilitate trebuie sa gasim numai m integrale prime ce satisfac a)
si b). Sa analizam cazul m = 1 care datorita faptului ca luam I1 = H este ıntotdeauna complet
integrabil. Deci M are coordonatele (q, p), iar campul Hamiltonian este XH =∂H
∂p
∂
∂q− ∂H
∂q
∂
∂p
Mircea CRASMAREANU 43
ce da ecuatiile, numite ecuatiile Hamilton:
q =∂H
∂p
p = −∂H
∂q
.
Fie t0 ∈ I ⊂ R momentul initial al miscarii si E = H(q(t0), p(t0)). Cum H este integrala
prima rezulta ca ∀t ∈ I avem H(q(t), p(t)) = E; multimea (q, p) ∈ R2; H(q, p) = E este o
curba ın plan (ın general definita implicit) ce se poate parametriza (macar local) p = ϕ(q). Din
prima ecuatie Hamilton scrisadq
dt=
∂H
∂p(q, ϕ(q)) avem:
dq∂H
∂p(q, ϕ(q))
= dt ⇒∫ dq
∂H
∂p(q, ϕ(q))
= t− t0
si deci rezolvarea ecuatiilor Hamilton s-a redus la calculul unei integrale; mai spunem ca s-a
redus la o “cuadratura”.
Sa consideram cazul unui sistem conservativ i.e. H(q, p) =1
2mp2 + U(q). Atunci
∂H
∂p=
p
m
sip2
2m+ U(q) = E da p = ±(2m)1/2
√E − U(q) si
∂H
∂p= ±
(2m
)1/2√E − U(q). Deci:
±(
m
2
)1/2 ∫ dq√E − U(q)
= t− t0
Seminar
S 4.1 (Rigidul liber)
Fie (I1, I2, I3) tensorul de inertie a rigidului liber cu I1 > I2 > I3 > 0 si a1 =1I3− 1
I2,
a2 =1I1− 1
I2, a3 =
1I2− 1
I1. Se stie ca dinamica rigidului liber este data de sistemul diferential
al lui Euler:
x1 = a1x2x3
x2 = a2x3x1
x3 = a3x1x2
Sa se arate ca acest sistem admite descrierea Hamiltoniana (R3, · −,H) cu − data de
problema S 3.3 si
H =12
((x1)2
I1+
(x2)2
I2+
(x3)2
I3
).
Se stie ca tensorul de inertie este constant.
44 LECTIA 4. SISTEME HAMILTONIENE
Rezolvare: Avem:
x1,H− = −
∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
1 0 0x1
I1
x2
I2
x3
I3
∣∣∣∣∣∣∣∣= x2x3
(1I3− 1
I2
)= a1x
2x3
x2,H− = −
∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
0 1 0x1
I1
x2
I2
x3
I3
∣∣∣∣∣∣∣∣= x3x1
(1I1− 1
I3
)= a2x
3x1
x3,H− = −
∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
0 0 1x1
I1
x2
I2
x3
I3
∣∣∣∣∣∣∣∣= x1x2
(1I2− 1
I1
)= a3x
1x2
S 4.2 (Maxwell-Bloch)
Sa se arate ca ecuatiile Maxwell-Bloch din dinamica laser-materie:
x1 = x2
x2 = x3x1
x3 = −x1x2
admit descrierea Hamiltoniana (R3, · MB,H) cu structura Poisson avand matricea de structura
PMB =
0 −x3 x2
x3 0 0
−x2 0 0
si H =12(x1)2 + x3.
Rezolvare: Avem:
x1, HMB = (1, 0, 0) ·
0 −x3 x2
x3 0 0
−x2 0 0
·
x1
0
1
= (0,−x3, x2)
x1
0
1
= x2
x2, HMB = (0, 1, 0) ·
0 −x3 x2
x3 0 0
−x2 0 0
·
x1
0
1
= (x3, 0, 0)
x1
0
0
= x3x1
x3, HMB = (0, 0, 1) ·
0 −x3 x2
x3 0 0
−x2 0 0
·
x1
0
1
= (−x2, 0, 0)
x1
0
0
= −x1x2.
Mircea CRASMAREANU 45
S 4.3
Fie varietatea Poisson (M, · ) si f, g ∈ C∞(M). Atunci:
[Xf , Xg] = −Xf,g
Se cer interpretari ale acestei relatii.
Rezolvare: Fie h ∈ C∞(M) oarecare. Aplicam Jacobi:
[Xf , Xg](h) = h, g, f − h, f, g = −g, h, f − h, f, g = f, g, h
= −h, f, g
ceea ce da relatia ceruta. Interpretare: daca f, g sunt ın involutie (f, g = 0) atunci campurile
Hamiltoniene comuta ([Xf , Xg] = 0). Alta interpretare: aplicatia f ∈ C∞(M) → Xf ∈ X (M)
este un antimorfism de algebre Lie.
S 4.4 (conservarea momentului cinetic)
Fie M = (q1, q2, q3, p1, p2, p3) ∈ R6 ≡ R6 si paranteza Poisson simplectica
P =
(O3 I3
−I3 O3
)
Sa se arate ca daca doua din componentele momentului cinetic, I1 = q2p3−q3p2, I2 = q3p1−q1p3
sunt integrale prime atunci I3 = I1, I2 este a treia componenta a momentului cinetic (si
conform teoremei Poisson este integrala prima). Sa se continue procedeul Jacobi.
Rezolvare: Avem:
I3 = (0, p3,−p2, 0,−q3, q2)
(O3 I3
−I3 O3
)
−p3
0
p1
q3
0
−q1
= (0, q3,−q2, 0, p3,−p2)
−p3
0
p1
q3
0
−q1
= q1p2−q2p1.
Continuand algoritmul Jacobi se obtine [I3, I1] = I2 si [I3, I2] = −I1 deci nu avem integrale
prime noi.
46 LECTIA 4. SISTEME HAMILTONIENE
Lectia 5
Stabilitatea punctelor de echilibru
Suport de curs
Fixam campul vectorial X ∈ C∞(Rn) si fie sistemul diferential al curbelor integrale ale lui X:
xi(t) = Xi(x1(t), . . . , xn(t)), 1 6 i 6 n.
Definitia 5.1
i) Numim punct de echilibru al sistemului diferential dat un zero al lui X i.e. xe ∈ Rn a.ı.
X(xe) = 0 = (0, . . . , 0).
ii) Punctul de echilibru xe ıl numim neliniar stabil daca pentru orice deschis U centrat ın xe
exista V un deschis centrat ın xe cu V ⊂ U a.ı. orice curba integrala a lui X cu x(0) ∈ V
satisface x(t) ∈ U , ∀t > 0; echivalent ∀ε > 0 ∃δ > 0 a.ı.
(x1(0)− x1e)
2 + · · ·+ (xn(0)− xne )2 < δ ⇒ (x1(t)− x1
e)2 + · · ·+ (xn(t)− xn
e )2 < ε,∀t > 0.
Daca ın plus putem alege V a.ı. limt→∞X(t) = xe i.e. lim
t→∞xi(t) = xie, 1 6 i 6 n, spunem ca
xe este asimptotic stabil. Un punct de echilibru ce nu este neliniar stabil ıl numim instabil.
Teorema 5.1 (I Lyapunov)
Daca X este camp vectorial liniar i.e. X(x1, . . . , xn) = A ·
x1
...
xn
cu A ∈ Mn(R) atunci
0 = (0, . . . , 0) este punct de echilibru cu proprietatile:
i) este asimptotic stabil daca si numai daca toate valorile proprii λ ale lui A satisfac Re(λ) < 0
unde Re(λ) = partea reala a numarului complex λ
47
48 LECTIA 5. STABILITATEA PUNCTELOR DE ECHILIBRU
ii) este neliniar stabil daca si numai daca toate valorile proprii λ ale lui A satisfac Re(λ) 6 0,
iar daca Re(λ) = 0 atunci λ este radacina simpla a polinomului minimal al lui A i.e.
polinomul de grad minim ce anuleaza pe A (p(A) = 0).
Daca X este neliniar atunci consideram matricea numita linearizata lui X:
AX(xe) =
∂X1
∂x1. . .
∂Xn
∂x1
. . . . . . . . . . . . . . . . .
∂X1
∂xn. . .
∂Xn
∂xn
(xe),
si avem ca xe este:
iii) asimptotic stabil daca toate valorile proprii ale lui A(xe) au partea reala strict negativa
iv) instabil daca macar o valoare proprie a lui A(xe) are partea reala pozitiva.
Definitia 5.2
Dat punctul de echilibru xe spunem ca acesta admite o functie Lyapunov L ∈ C∞(Rn) daca:
i) L(xe) = 0; L(x) > 0 ∀x ∈ Rn \ xe
ii) X(L)(x) 6 0 ∀x ∈ Rn \ xe.
Teorema 5.2 (a II-a Lyapunov)
Daca xe admite o functie Lyapunov atunci xe este neliniar stabil. Daca ın plus L satisface
X(L)(x) < 0 ∀x ∈ Rn \ xe atunci xe este asimptotic stabil.
Ne intereseaza ın cele ce urmeaza stabilitatea punctelor de echilibru ale sistemelor Hamil-
toniene.
Propozitia 5.1
Fie I ∈ C∞(Rn) si c(t = (x1(t), . . . , xn(t)) curba integrala a campului vectorial X. Atunci:
ddt
I(c(t)) = X(I(c(t))).
Demonstratie: Avem:
ddt
I(c(t)) =∂I
∂xi(c(t)) · xi(t) =
∂I
∂xi(c(t)) ·Xi(c(t)) = X(I)(c(t)).
Mircea CRASMAREANU 49
Corolarul 5.1
i) Daca I este integrala prima pentru X atunci I este constanta pe curbele integrale ale lui
X.
ii) Daca I este integrala prima atunci ∀ϕ : R → R de clasa C∞ avem ca ϕ(I) = ϕ I este
integrala prima pentru X.
Demonstratie: i) Conform propozitiei 5.1 avemdI
dt(c(t)) = 0 ceea ce da concluzia.
ii) X(ϕ I(x)) = Xi(x)∂
∂xi(ϕ I(x)) = Xi(x) ·
(ϕ′(I(x)) · ∂I
∂xi(x)
)= ϕ′(I(x)) ·X(I(x)) =
ϕ′(I(x)) · 0 = 0.
Fie acum sistemul Hamiltonian (M, , ,H), xe un punct de echilibru pentru XH si C o
familie de integrale prime. Metoda pe care o vom da pentru studiul stabilitatii lui xe se numeste
metoda energie-Casimir si consta ın gasirea unei integrale prime C ∈ C asa ıncat:
A) ∇(H + C)(xe) =(
∂(H + C)∂x1
(xe), . . . ,∂(H + C)
∂xn(xe)
)= (0, . . . , 0) = 0
B) Matricea (numita Hessiana lui H + C ın xe):
D2(H + C)(xe) =
∂2(H + C)∂x1∂x1
. . .∂2(H + C)
∂xn∂x1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂2(H + C)∂x1∂xn
. . .∂2(H + C)
∂xn∂xn
(xe)
este pozitiv definita sau negativ definita. Atunci xe este neliniar stabil. De regula, ın
aplicatii, stiindu-se un Casimir C al varietatii Poisson (M, , ) cautam ϕ(C) ce satisface
A) si B). O matrice A ∈ Mn(R) o numim pozitiv definita (respectiv negativ definita) daca
pentru orice x ∈ Rn \ 0 avem (x1, . . . , xn) ·A ·
x1
...
xn
> 0 (respectiv < 0).
50 LECTIA 5. STABILITATEA PUNCTELOR DE ECHILIBRU
Seminar
S 5.1 (oscilatorul armonic 2D)
Consideram doi oscilatori armonici independenti si cu frecventa ω = 1:
x1 = x2
x2 = −x1
x3 = x4
x4 = −x3
Sa se arate ca originea (0, 0, 0, 0) = 0 este punct de echilibru neliniar stabil.
Rezolvare: Avem un sistem liniar cu matricea:
A =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
cu polinomul caracteristic:
PA(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 1 0 0
−1 −λ 0 0
0 0 −λ 1
0 0 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−λ)
∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 0 0
0 −λ 1
0 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 0
0 −λ 1
0 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣=
= λ2(λ2 + 1) + (1 + λ2) = (λ2 + 1)2
si verifica:
A2 + I4 =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
+ I4 =
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
+ I4 = O4
ceea ce spune ca polinomul minimal al lui A este PA(λ) = λ2 + 1. Valorile proprii ale lui A
sunt radacinile polinomului caracteristic: λ1 = λ2 = i, λ3 = λ4 = −i care au partea reala nula.
Aplicam teorema I Lyapunov ii) si cum i,−i sunt radacini simple ale polinomului minimal avem
concluzia.
Mircea CRASMAREANU 51
S 5.2
Sa se arate ca originea este punct de echilibru instabil pentru sistemul
x1 = x2
x2 = −x1
x3 = x4
x4 = x1 − x3
care apare ca deformare la ultima ecuatie a sistemului precedent.
Rezolvare: Avem un sistem liniar cu matricea:
A =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
1 0 −1 0
cu polinomul caracteristic:
PA(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 1 0 0
−1 −λ 0 0
0 0 −λ 1
1 0 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= λ2(λ2 + 1)−
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 0
0 −λ 1
1 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣= (λ2 + 1)2
dar:
A2 + I4 =
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
1 0 −1 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
1 0 −1 0
+ I4 =
−1 0 0 0
0 −1 0 0
1 0 −1 0
0 1 0 −1
+ I4 =
=
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
6= O4
Cum polinomul minimal divide polinomul caracteristic rezulta ca pA = PA. Cum teorema I
Lyapunov b) nu se verifica, ın sensul ca ±i nu sunt radacini simple (ci cu multiplicitate 2) rezulta
ca 0 este punct de echilibru instabil. Acest exercitiu, comparat cu primul, arata ca o modificare
52 LECTIA 5. STABILITATEA PUNCTELOR DE ECHILIBRU
“relativ mica” (la ultima ecuatie se adauga x1) schimba dramatic natura punctului de echilibru.
S 5.3
Aratati ca originea 0 = (0, 0) este punct de echilibru neliniar stabil pentru sistemul:
x1 = −x1 + x2 + x1x2
x2 = x1 − x2 − (x1)2
Rezolvare: Avem:
AX =
(x2 − 1 1 + x1
1− 2x1 −1
)⇒ AX(0) =
(−1 1
1 −1
)
PAX(0)(λ) =
∣∣∣∣∣−1− λ 1
1 −1− λ
∣∣∣∣∣ = (λ + 1)2 − 1 = λ2 + 2λ = λ(λ + 2)
deci A are valorile proprii λ1 = 0, λ2 = −2. Din teorema I Lyapunov iii) 0 nu este asimptotic
stabil deoarece λ1 nu este strict negativa, iar din iv) 0 nu este instabil caci λ1λ2 6 0. Altfel,
pentru a aplica teorema a II-a Lyapunov avem nevoie de o functie Lyapunov pentru 0. Fie
L(x) = (x1)2 + (x2)2. Avem L(xe) = L(0) = 0 si L(x) > 0 ∀x ∈ R2 \ 0. Avem
X(L) = (−x1 + x2 + x1x2)2x1 + (x1 − x2 − (x1)2)2x2 = −2((x1)2 + 2x1x2 + (x2)2) 6 0
ceea ce voiam pentru teorema a II-a Lyapunov. Avem X(L)(−a, a) = 0, ∀a ∈ R deci 0 nu este
asimptotic stabil.
S 5.4
Sa se arate ca originea este punct de echilibru asimptotic stabil pentru sistemul X = AX daca
matricea A =
(a b
c d
)satisface trA = a + c < 0 si detA = ad− bc > 0.
Rezolvare: Fie λ1, λ2 valorile proprii ale lui A deci solutiile ecuatiei λ2 − trAλ + detA = 0.
Caz I. λ1 ∈ C; atunci si λ2 ∈ C cu λ2 = λ1 Atunci, din relatiile Viete, λ1 + λ2 = trA =
2Re(λ1) = 2Re(λ2) si din ipoteza rezulta Re(λ1) = Re(λ2) < 0. Din teorema I Lyapunov iii)
avem concluzia.
Caz II. λ1, λ2 ∈ R Din relatiile Viete avem λ1λ2 = detA > 0 ceea ce spune ca λ1 si λ2 au
acelasi semn. Cum λ1 + λ2 = trA < 0 rezulta ca λ1, λ2 < 0 si din nou avem concluzia cu acelasi
argument.
Mircea CRASMAREANU 53
S 5.5 (rigidul liber)
Sa se arate ca (0, 0, 0), (M, 0, 0), (0,M, 0), (0, 0, M), M ∈ R∗ sunt puncte de echilibru ın dinamica
rigidului liber dupa cum urmeaza: (0,M, 0) instabil, iar celelalte neliniar stabile.
Rezolvare: Conform exercitiului S4.1 liniarizat a sistemului diferential din dinamica rigidului
este ın x = (x1, x2, x3):
A(x) =
0 a2x3 a3x
3
a1x3 0 a3x
1
a1x2 a2x
1 0
In xe = (0,M, 0) avem:
A(xe) =
0 0 a3M
0 0 0
a1M 0 0
⇒ PA(xe) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 0 a3M
0 −λ 0
a1M 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ(λ2 − a1a3M).
Reamintim ca pentru rigidul liber avem a1 > 0, a2 < 0, a3 > 0 si deci valorile proprii ın
(0,M, 0) sunt λ1 = 0, λ2,3 = ±√a1a3M . Cum exista o valoare proprie pozitiva (+√
a1a3M)
conform criteriului iv) de la curs, punctul de echilibru (0,M, 0) este instabil.
I. Pentru originea 0 sa aratam ca Hamiltonianul H =12
((x1)2
I1+
(x2)2
I2+
(x3)2
I3
)este o functie
Lyapunov. Avem H(0) = 0, H(x) > 0, ∀x ∈ R3 \ 0 si X(H) = 0 deci aplicand teorema a II-a
Lyapunov originea este punct de echilibru neliniar stabil.
II. Pentru x2 = (M, 0, 0), M 6= 0 aplicam metoda energie-Casimir si conform celor de la curs
cautam functia ϕ : R → R a.ı. L = H + ϕ
(12(x1)2 +
12(x2)2 +
12(x3)2
)sa satisfaca conditiile
A + B.
A) ∇L(x) =(
x1
I1+ ϕ′ · x1,
x2
I2+ ϕ′ · x2,
x3
I3+ ϕ′ · x3
); deci ∇L(M, 0, 0) =
(M
(1I1
+
ϕ′(
M2
2
)), 0, 0
)= 0 daca ϕ′
(M2
2
)= − 1
I1
B) D2L(x) =
1I1
+ ϕ′ + ϕ′′(x1)2 ϕ′′x1x2 ϕ′′x1x3
ϕ′′x1x2 1I2
+ ϕ′ + ϕ′′(x2)2 ϕ′′x2x3
ϕ′′x1x3 ϕ′′x2x3 1I3
+ ϕ′ + ϕ′′(x3)2
deci:
D2L(M, 0, 0) =
1I1− 1
I1+ ϕ′′
(M2
2
)M2 0 0
01I2− 1
I1+ ϕ′′
(M2
2
)0 0
0 01I3− 1
I1+ ϕ′′
(M2
2
)0
54 LECTIA 5. STABILITATEA PUNCTELOR DE ECHILIBRU
=
ϕ′′(
M2
2
)M2 0 0
0 a3 0
0 0 −a2
Trebuie ındeplinite conditiile ϕ′(
M2
2
)= − 1
I1, ϕ′′
(M2
2
)> 0 pentru ca D2L(M, 0, 0) sa
fie pozitiv definita. In acest caz (M, 0, 0) este neliniar stabil. Pentru a gasi un exemplu
de functie ϕ cu relatiile cerute cautam ϕ(x) = α
(x − M2
2
)2
+ β
(x − M2
2
). Avem
ϕ′(x) = 2α
(x− M2
2
)+ β deci β = ϕ′
(M2
2
)= − 1
I1si ϕ′′(x) = 2α > 0 deci luam α = 1.
In concluzie ϕ(x) =(
x− M2
2
)2
− 1I1
(x− M2
2
)satisface conditiile cerute.
III. Aplicam aceeasi metoda:
A) ∇L(0, 0,M) =(
0, 0, M
(1I3
+ ϕ′(
M2
2
)))= 0 daca ϕ′
(M2
2
)= − 1
I3
B) D2L(0, 0, M) =
1I1− 1
I30 0
01I2− 1
I30
0 0 ϕ′′(
M2
2
)M2
=
a2 0 0
0 −a1 0
0 0 ϕ′′(
M2
2
)M2
Deci cautand ϕ′(
M2
2
)= − 1
I3si ϕ′′
(M2
2
)< 0 avem ca A,B sunt ındeplinite cu D2L(0, 0,M)
negativ definita si ın concluzie (0, 0,M) este neliniar stabil. Functia ϕ(x) = −(
x−M2
2
)2
−1I3
(x− M2
2
)satisface cerintele problemei.
S 5.6 (Lagrange)
Consideram un sistem Hamiltonian simplectic pe R2m cu Hamiltonianul H. Daca xe este punct
de echilibru cu D2H(xe) pozitiv sau negativ definita atunci xe este neliniar stabil.
Rezolvare: Aplicam criteriul energie-Casimir cu ϕ functia nula.
Exemplu. Originea pentru q = −q− q3. Acest sistem este Hamiltonian cu H =12p2 +
q2
2+
q4
4.
Cum ∇H = (q + q3, p) rezulta D2H(q, p) =
(1 + 3q2 0
0 1
)deci D2H(0) =
(1 0
0 1
)care este
pozitiv definita.
Lectia 6
Traiectoriile campurilor vectoriale
liniare
Suport de curs
Definitia 6.1
Campul vectorial X ∈ X (M) ıl numim liniar daca X : Rn → Rn este o transformare liniara i.e.
exista A ∈ Mn(R) asa ıncat X(x) = A · x.
Pentru matricea A ∈ Mn(R) numim norma lui A numarul real pozitiv ‖ A ‖=(
n∑i,j=1
(aij)
2
)1/2
=
(〈A,A〉)1/2 conform exercitiului S1.5.
O proprietate importanta a normei, utila ın cele ce urmeaza, este ‖ AB ‖6‖ A ‖ · ‖ B ‖;rezulta ca pentru numarul natural k avem ‖ Ak ‖6‖ A ‖k.
Definitia 6.2
Spunem ca sirul de matrici (Ak)k∈N converge ın norma la A ∈ Mn(R) daca ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈N a.ı. k > N implica ‖ Ak −A ‖< ε. Notam Ak → A.
Suntem interesati ın gasirea curbelor integrale ale campului vectorial liniar A ∈ Mn(R).
Acestea sunt determinate de sistemul diferential:
ddt
x1(t)...
xn(t)
= A ·
x1(t)...
xn(t)
.
55
56 LECTIA 6. TRAIECTORIILE CAMPURILOR VECTORIALE LINIARE
Analizam cazul n = 1 deci x(t) = Ax(t). Din expresiax
x= A prin integrare avem lnx−ln x0 = At
cu solutia generala x(t) = eAtx0 unde x0 = x(t0) este data initiala iar A ∈ R. Pentru cazul
general n > 2 rezulta ca trebuie definita matricea eAt pentru t ∈ R si A ∈ Mn(R).
Propozitia 6.1
Dat t ∈ R si A ∈ Mn(R) seria matriceala∑
k>0
tk
k!Ak converge absolut si uniform pentru t ∈ [−T, T ]
cu T > 0.
Demonstratie: Fie a =‖ A ‖∈ R+. Avem∥∥∥∥tk
k!Ak
∥∥∥∥ 6 |t|kk!
‖ A ‖k6 (Ta)k
k!; deci
∑
k>0
∥∥∥∥tk
k!Ak
∥∥∥∥ 6
∑
k>0
(Ta)k
k!= eTa. Aplicand criteriul Weierstrass avem concluzia.
Definitia 6.3
Limita seriei din propozitia precedenta o notam eAt si o numim exponentiala matricii A.
Proprietatile exponentialei:
i) eOn = In
ii) t(eA) = etA considerand A ∈ M2n(C)
iii) eAt este inversabila si (eAt)−1 = e−At
iv) e(α+β)A = eαAeβA ∀α, β ∈ C
v) daca A,B comuta i.e. AB = BA atunci e(A+B)t = eAteBt = eBteAt
vi) daca S este inversabila atunci eSAtS−1= SeAtS−1
vii) ‖ eA ‖6 e‖A‖
viii)ddt
eAt = AeAt = eAtA; ın particularddt
eAt
∣∣∣∣t=0
= A.
Curbele integrale ale campurilor vectoriale liniare sunt date de:
Teorema 6.1 (fundamentala a sistemelor diferentiale liniare)
Sistemul diferential liniar
x(t) = Ax(t)
x(t0) = x0 ∈ Rn dat
Mircea CRASMAREANU 57
are solutia unica x(t) = eAtx0.
Prin urmare suntem interesati de metode de calcul a exponentialei:
I. A diagonalizabila; deci exista S ∈ GL(n,R) a.ı. A = SDS−1 cu:
D =
λ1
. . .
λn
Cum eD =
eλ1
. . .
eλn
rezulta ca:
eA = S
eλ1
. . .
eλn
S−1
II. A nilpotenta adica ∃m ∈ N∗ a.ı. Am = On. Rezulta ca eA = In +11!
A +12!
A2 + · · ·+1
(m− 1)!Am−1.
III. A oarecare. Se arata ca orice matrice A se poate scrie ın mod unic sub forma A = X+N
cu X diagonalizabila, N nilpotenta si XN = NX. Atunci eA = eX · eN si eX , eN se
calculeaza imediat dupa cazurile precedente.
Se poate arata si urmatoarea formula de calcul a exponentialei: eA = limk→∞
(In +1kA)k.
Drept aplicatie a acestei formule sa consideram pentru z0 = u + iv ∈ C fixat campul vectorial
X : C → C, X(z) = z0 · z. Avem X(1) = z0 · 1 = u + iv si X(i) = z0 · i = −v + iu deci
A =
(u −v
v u
). Fie I2 +
1kA ce apare ca matricea campului vectorial liniar 1 +
z0
k.
Orice numar complez z se scrie z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z)). Avem, pentru un n foarte
mare:
– arg(
1 +z
n
)= Im
z
n=
1n
Im z
–∣∣∣∣1 + z
n
∣∣∣∣ = 1 + Re zn = 1 + 1
n Re z
58 LECTIA 6. TRAIECTORIILE CAMPURILOR VECTORIALE LINIARE
Matricea(
I2 +1kA
)k
este matricea campului vectorial(
1 +z0
k
) · · · ︸ ︷︷ ︸
k ori
(1 +
z0
k
). Deci
n arg(
1 +z
n
)= Im z
∣∣∣∣1 + 1z
∣∣∣∣n
=(
1 + 1n Re z
)n
si din formula Moivre zn = |z|n(cos(n arg z) + i sin(n arg z)) rezulta ca
eA = limn→∞
∣∣∣∣1 +z0
n
∣∣∣∣n
(cos(n arg(1 +z0
n)) + i sin(n arg z0)) = eRe z0(cos(Im z0) + i sin(Im z0))
In concluzie:
ez = eu(cos v + i sin v)
numita formula Euler.
Seminar
S 6.1
Folosind formula Euler sa se arate ca:
e
(0 −v
v 0
)
=
(cos v − sin v
sin v cos v
), e
(0 −1
1 0
)
=
(cos 1 − sin 1
sin 1 cos 1
),
eiv = cos v + i sin v, eπi = −1
Rezolvare: Conform formulei Euler:
e
(u −v
v u
)
=
(eu cos v −eu sin v
eu sin v eu cos v
)
si pentru u = 0 obtinem prima relatie, iar din prima relatie cu v = 1 obtinem a doua relatie.
Relatia a treia se obtine din eu+iv = eu(cos v + i sin v) cu u = 0, iar a patra relatie se obtine din
a treia facand v = π.
S 6.2
Se cere exponentiala matricii:
A =
a d 0
0 a 0
0 0 c
Mircea CRASMAREANU 59
Rezolvare: Matricea data se scrie A = X + N cu:
X =
a 0 0
0 a 0
0 0 c
, N =
0 d 0
0 0 0
0 0 0
si avem:
a 0 0
0 a 0
0 0 c
0 d 0
0 0 0
0 0 0
=
0 ad 0
0 0 0
0 0 0
,
0 d 0
0 0 0
0 0 0
a 0 0
0 a 0
0 0 c
=
0 ad 0
0 0 0
0 0 0
deci XN = NX, iar X este diagonala, N nilpotenta cu:
N2 =
0 d 0
0 0 0
0 0 0
0 d 0
0 0 0
0 0 0
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
= O3.
Avem:
eXt =
eat 0 0
0 eat 0
0 0 ect
, eNt = I3 +
t
1!N =
1 t 0
0 0 0
0 0 0
si deci:
eAt = eXteNt =
eat 0 0
0 eat 0
0 0 ect
1 t 0
0 0 0
0 0 0
=
eat teat 0
0 eat 0
0 0 ect
.
S 6.3
Se cere exponentiala matricii:
A =
(0 t
t 0
)
Rezolvare: Polinomul caracteristic al lui A este:
PA(λ) =
∣∣∣∣∣−λ t
t −λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − t2 = (λ + t)(λ− t)
deci A are valorile proprii λ1 = t, λ2 = −t. Pentru V (λ1) : −tx + ty = 0 da vectorul propriu
v1 = (1, 1), iar pentru V (λ2) : tx + ty = 0 da vectorul propriu v2 = (−1, 1). Deci considerand
matricea
S =
v1 v2
1 −1
1 1
60 LECTIA 6. TRAIECTORIILE CAMPURILOR VECTORIALE LINIARE
aceasta este inversabila cu
S−1 =12
(1 1
−1 1
)
Avem A = SDS−1, D =
(t 0
0 −t
)si deci
eA = SeDs−1 =12
(1 −1
1 1
) (et 0
0 et
) (1 1
−1 1
)=
12
(et −e−t
et e−t
) (1 1
−1 1
)=
=12
(et + e−t et − e−t
et − e−t et + e−t
)
In concluzie
e
(0 t
t 0
)
=
(ch t sh t
sh t ch t
).
S 6.4
Folosind S 6.1 sa se arate ca:
cos t = 12(eit + e−it)
sin t = 12(eit − e−it)
Rezolvare: Din eit = cos t+i sin t rezulta e−it = cos t−i sin t si prin adunare, respectiv scadere
avem concluzia. Am folosit paritatea functii cosinus si imparitatea functiei sinus.
S 6.5
Daca A este matrice antisimetrica (tA = −A) atunci B = eA este ortogonala (tB ·B = In).
Rezolvare: t(eA) =t( ∑
k>0
1k!A
k
)=
∑k>0
1k!(
tA)k =∑k>0
1k!(−A)k = e−A si eA · e−A = eOn = In.
S 6.6 (simetrie pentru sisteme diferentiale)
Fie A matrice antisimetrica si x(t) solutie unica a sistemului diferential x(t) = Ax(t), x(0) = x0.
Atunci ∀t ∈ R avem ‖ x(t) ‖=‖ x0 ‖.
Rezolvare: Conform exercitiului anterior eAt ∈ O(n) si deci ‖ x(t) ‖2= 〈x(t), x(t)〉 = 〈eAtx0, eAtx0〉 =
〈x0, x0〉 (din eAt ∈ O(n)) =‖ x0 ‖2. Deci ‖ x(t) ‖=‖ x0 ‖.
Lectia 7
Grupuri matriceale
Suport de curs
Fie K unul din corpurile comutative R, C si Mn(K) multimea matricilor patratice de ordin n cu
elemente din K. Mn(K) este inel relativ la adunarea si ınmultirea matricilor, inel comutativ doar
pentru n = 1 cand M1(K) = K; pentru n > 2 Mn(K) este inel necomutativ. Suntem interesati ın
studiul elementelor inversabile (relativ la ınmultire) ale acestui inel. Fie deci GL(n,K) = A ∈Mn(K);A = matrice inversabila; reamintim caracterizarea A ∈ GL(n,K) ⇐⇒ det A 6= 0.
Propozitia 7.1
GL(n,K) este grup relativ la ınmutirea matricilor (pentru n > 2 neabelian).
Demonstratie: Fie A1, A2 ∈ GL(n,K); cum det(A1A2) = det A1 · A2 si cum K fiind corp
nu admite divizori ai lui zero, din detA1 6= 0 si detA2 6= 0 rezulta ca det(A1A2) 6= 0 deci
A1A2 ∈ GL(n,K). Prin urmare GL(n,K) este parte stabila relativ la ınmultire. Inmultirea
matricilor este asociativa, In este element neutru si In ∈ GL(n,K) iar pentru A ∈ GL(n,K)
exista evident A−1 si A−1 ∈ GL(n,K).
Definitia 7.1
GL(n,K) ıl numim n-grupul liniar general peste K.
Spre exemplu GL(1,K) = K∗ si numai ın acest caz grupul liniar este abelian.
61
62 LECTIA 7. GRUPURI MATRICEALE
Definitia 7.2
i) Fie sirul (Ak)k ∈ Mn(K) si A ∈ Mn(K). Spunem ca (Ak)k converge la A daca ∀i, j ∈1, . . . , n sirul numeric (Ak)i
j converge la Aij . Daca (Ak)k converge ın norma la A atunci
(Ak)k converge la A; deci notam la fel Ak → A.
ii) Multimea G ⊂ GL(n,K) o numim ınchisa daca ∀(Ak)k ∈ GL(n,K) cu Ak → A avem
A ∈ G.
iii) Multimea G ⊂ GL(n,K) o numim grup matricial tare daca este subgrup ın GL(n,K) si
ınchisa.
iv) Multimea G ⊂ GL(n,K) o numim grup matricial slab daca este subgrup ın GL(n,K) si
satisface urmatoarea proprietate (Lie): daca (Ak)k ∈ G si Ak → A atunci sau A ∈ G sau
A 6∈ GL(n,K).
Definitia 7.3
Fie F : M ⊆ Kn → K, (x1, . . . , xn) → F (x1, . . . , xn) ∈ K si x0 ∈ M fixat. Spunem ca F este
continua ın x0 daca ∀(xk)k ∈ M cu xk → x0 (pe componente) avem ca sirul (F (xk))k converge
ın K la F (x0). Daca F este continua ın orice punct din M spunem ca F este continua pe M .
Exemplul 6
i) Orice camp scalar, functiile constante, functiile polinomiale, functiile rationale cu numitor
ce nu se anuleaza pe M .
ii) F = det : Mn(K) ' Kn2 → K, detA = determinantul matricii A este functie polinomiala
de grad n.
iii) F : tr : Mn(K) → K, tr A = urma matricii A =n∑
i=1
aii este functie liniara, tr(λA + µB) =
λ trA + µ trB, deci continua
Exemple de grupuri matriceale
I. G = GL(n,K)
Este evident ca dat sirul (Ak)k ∈ GL(n,K) cu Ak → A avem ca sau A este inversabila i.e.
A ∈ G sau A nu este inversabila. Deci GL(n,K) este grup matricial slab.
II. G = SL(n,K) = A ∈ Mn(K); detA = 1Cum detA = 1 > 0 rezulta ca SL(n,K) ⊂ GL(n,K).
Mircea CRASMAREANU 63
Propozitia 7.2
SL(n,K) este subgrup ın GL(n,K).
Demonstratie: i) Fie A1, A2 ∈ SL(n,K). Avem det(A1A2) = detA1 detA2 = 1 · 1 = 1.
Deci A1A2 ∈ SL(n,K).
ii) Fie A ∈ SL(n,K); din A · A−1 = In rezulta ca detA · det A−1 = det In = 1. Deci
det A−1 =1
detA=
11
= 1 i.e. A−1 ∈ SL(n,K).
Definitia 7.4
SL(n,K) ıl numim n-grupul liniar special peste K.
Spre exemplu SL(n,K) = 1K = 1.Fie (Ak)k ∈ SL(n,K) cu Ak → A. Din continuitatea functiei determinant avem ca detAk =
1 → det A; deci detA = 1, adica A ∈ SL(n,K). In concluzie SL(n,K) este grup matricial tare.
Observatii:
Exemple remarcabile de grupuri matriciale se obtin cerand invarianta relativ la forme biliniare
speciale pe Kn. Urmatoarele doua exemple si alte exemple din seminar sunt de acest tip.
III. G = On = A ∈ Mn(R); 〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉 ∀x, y ∈ RnAm aratat la sfarsitul primului curs ca O(n) = A ∈ Mn(R); tA · A = In; deci O(n) ⊂
GL(n,R) caci ∀A ∈ O(n) ∃A−1 = tA.
Propozitia 7.3
O(n) este subgrup ın GL(n,R).
Demonstratie: i) Fie A1, A2 ∈ O(n) si x, y ∈ Rn oarecare. Avem 〈A2A1x, A2A1y〉 A2∈O(n)=
〈A1x,A1y〉 A1∈O(n)= 〈x, y〉; deci A2A1 ∈ O(n).
ii) Fie A ∈ O(n). Folosim definitia pentru elementele A−1x,A−1y; deci 〈A(A−1x), A(A−1y)〉 =
〈A−1x,A−1y〉; rezulta ca A−1 ∈ O(n).
Definitia 7.5
O(n) ıl numim n-grupul ortogonal.
64 LECTIA 7. GRUPURI MATRICEALE
Exemplul 7
O(1) = A ∈ R; A ·A = 1 = −1, +1; am aratat ca O(1) este izomorf cu (Z2,+) ın S1.7.
Cum det tA = detA avem det(tA · A) = det tA · det A = (detA)2 = det In = 1; detA ∈−1,+1. Rezulta ca O(n) = O−(n) ∪ SO(n) unde O−(n) = A ∈ O(n); det A = −1 si
SO(n) = A ∈ O(n); detA = +1. O−(n) nu este parte stabila la ınmultire deoarece daca
A1, A2 ∈ O−(n) atunci det(A1A2) = detA1 det A2 = (−1) · (−1) = +1; deci A1A2 6∈ O−(n).
Propozitia 7.4
SO(n) este subgrup ın O(n).
Demonstratie: i) Fie A1, A2 ∈ SO(n). Din det(A1A2) = 1 rezulta ca A1A2 ∈ SO(n).
ii) Fie A ∈ SO(n); cum A−1 = tA avem detA−1 = det(tA) = 1 i.e. A−1 ∈ SOL(n).
Definitia 7.6
SO(n) ıl numim n-grupul ortogonal special.
Avem ca SO(n) = O(n)∩SL(n,R). Fie (Ak)k ∈ O(n) cu Ak → A. Cum functia transpunere
este continua avem ca tAk → tA; deci tAk ·Ak = In → tA ·A i.e. tA ·A = In. In concluzie O(n)
este grup matricial tare. SO(n) este intersectie de grupuri matriciale tari; rezulta ca SO(n) este
grup matricial tare.
IV. G = U(n) = A ∈ Mn(C); 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉 ∀x, y ∈ CnAm aratat ca U(n) = A ∈ Mn(C); tA ·A = In; deci U(n) ⊂ GL(n,C) caci ∀A ∈ U(n) ∃A−1
cu A−1 = tA. Exact la fel ca la O(n) avem ca U(n) este subgrup ın GL(n,C) numit n-grupul
unitar. Fie (Ak)k ∈ U(n) cu Ak → A. Functiile transpunere si conjugare sunt continue, decitAk → tA. Avem tAk · Ak = In → tAA; deci tA · A = In i.e. A ∈ U(n). Prin urmare U(n)
este grup matricial tare. Fie A ∈ U(n) oarecare: det(tA · A) = det tA detA = det A detA =
detA detA = | detA|2 = det In = 1. Avem ca U(n) ⊂ A ∈ GL(n,C); | detA| = 1. Fie
SU(n) = A ∈ U(n); detA = 1. Avem ca SU(n) = U(n) ∩ SL(n,C) si cum acestea sunt
grupuri rezulta ca SU(n) este subgrup ın U(n). Mai mult SU(n) este intersectia a doua grupuri
matriciale tari; deci SU(n) este grup matricial tare numit n-grupul unitar special.
V. G = H3 (Heisenberg)
Mircea CRASMAREANU 65
Fie H3 = A ∈ M3(R);A = A(a, b, c) =
1 a b
0 1 c
0 0 1
, a, b, c ∈ R. Fie A = A(a1, a2, a3),
B = (b1, b2, b3) ∈ H3; avem:
A ·B =
1 a1 b1
0 1 c1
0 0 1
1 a1 b1
0 1 c1
0 0 1
=
1 a1 + b1 b2 + a1b3 + a2
0 1 a3 + b3
0 0 1
=
= A(a1 + b1, a2 + b2 + a1b3, a3 + b3)
ceea ce arata ca H3 este parte stabila relativ la ınmultire. Avem ca I3 = A(0, 0, 0) ∈ H3 si din
sistemul
a1 + b1 = 0
a2 + b2 + a1b3 = 0
a3 + b3 = 0
rezulta solutia b1 = −a1, b3 = −a3, b2 = −a2 − a1(−a3) = −a2 + a1a3. In concluzie, H3 este
grup cu:
(A(a, b, c))−1 = A(−a,−b + ac,−c)
ceea ce arata si faptul ca H3 este subgrup ın GL(3,R). Acest grup se numeste grupul Heisenberg
datorita legaturii cu relatiile Heisenberg de comutare din mecanica cuantica. Avem imediat ca
H3 este grup matricial tare.
VI. G = O(n,C), SO(n,C)
Fie ( ) : Cn ×Cn → C, (x, y) = x1y1 + · · ·+ xnyn. A ∈ Mn(C) o numim complex ortogonala
daca invariaza ( ) i.e. ∀x, y ∈ Cn avem (Ax,Ay) = (x, y) si fie O(n,C) multimea acestor matrici.
Cum (x, y) = tx · y rezulta exact ca la grupul O(n) ca O(n,C) = A ∈ Mn(C); tA · A = Insi de aici rezulta ca O(n,C) este subgrup ın GL(n,C). Exact ca la O(n) avem ca O(n,C) este
grup matricial tare numit n-grupul complex ortogonal; acest grup difera de U(n) deoarece ( )
difera de 〈 〉. Analog SO(n,C) = A ∈ O(n,C); detA = +1 este subgrup ın O(n,C) si este
grup matricial tare numit n-grupul complex ortogonal special.
Seminar
S 7.1
Sa se determine O(2) si SO(2).
66 LECTIA 7. GRUPURI MATRICEALE
Rezolvare: Fie A =
(a c
b d
)∈ O(2); deci:
tA ·A =
(a b
c d
) (a c
b d
)=
(a2 + b2 ac + bd
ac + bd c2 + d2
)=
(1 0
0 1
)
Din sistemul
a2 + b2 = 1
c2 + d2 = 1
ac + bd = 0
=⇒
a = cosϕ, b = sin ϕ
c = cosψ, d = sin ψ
cosϕ cosψ + sin ϕ sinψ = cos(ψ − ϕ) = 0
avem doua cazuri: I) ψ = ϕ +π
2, II) ψ = ϕ +
3π
2.
I) c = cos(
ϕ +π
2
)= − sinϕ, d = sin
(ϕ +
π
2
)= cosϕ. In concluzie:
A =
(cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
)
si cum detA = 1 rezulta ca:
SO(2) =
A(ϕ) =
(cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
); ϕ ∈ [0, 2π)
II) c = cos(
ϕ +3π
2
)= sin ϕ, d = sin
(ϕ +
3π
2
)= − cosϕ. In concluzie:
A =
(cosϕ sinϕ
sinϕ − cosϕ
)
si cum detA = −1 rezulta ca:
O−(2) =
A(ϕ) =
(cosϕ sinϕ
sinϕ − cosϕ
); ϕ ∈ [0, 2π)
S 7.2
Sa se arate ca SO(2) este grup izomorf cu (S1, · ).
Rezolvare: Fie aplicatia F : SO(2) → R2, F (A(ϕ)) = (cosϕ, sinϕ) = cosϕ + i sinϕ. Avem
ca |F (A(ϕ))| =√
cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 deci ImF = S1 = z ∈ C; |z| = 1 = cercul unitate. F
este evident surjectiva; dat numarul complex z de modul 1 acesta se scrie ın mod unic, ın forma
Mircea CRASMAREANU 67
trigonometrica z = |z|(cos ϕ + 1 sinϕ) = cosϕ + i sinϕ, deci z = F (A(ϕ)). Pentru injectivitate
presupunem F (A(ϕ1)) = F (A(ϕ2)); cum cosϕ1 = cos ϕ2, sinϕ1 = sin ϕ2 are solutia unica
ϕ1 = ϕ2 (ın intervalul [0, 2π) datorita periodicitatii functiilor trigonometrice) rezulta ca F este
injectiva. Deci F este bijectie si mai trebuie aratat ca este morfism de grupuri. Un calcul imediat
da A(ϕ1) · A(ϕ2) = A(ϕ1 + ϕ2) (verificati!) si z1 · z2 = (cosϕ1 + i sinϕ1)(cosϕ2 + i sinϕ2) =
cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2); rezulta ca
F (A(ϕ1) ·A(ϕ2)) = F (A(ϕ1 + ϕ2)) = z1 · z2 = F (A(ϕ1)) · F (A(ϕ2))
si deci F este izomorfism de grupuri.
S 7.3
Se cere U(1) si SU(1).
Rezolvare: U(1) = z ∈ M1(C); z · z = 1 = z ∈ C; |z| = 1 = S1. SU(1) = z ∈ S1; z =
1 = 1
S 7.4
Se cere SU(2) si legatura cu numerele cuaternionice.
Rezolvare: Fie A =
(a c
b d
)∈ SU(2); deci detA = ad− bc = 1 si
tA ·A =
(a b
c d
)·(
a c
b d
)=
( |a|2 + |b|2 ac + bd
ac + bd |c|2 + |d|2
)=
(1 0
0 1
)
ceea ce spune ca:
|a|2 + |b|2 = |c|2 + |d|2 = 1
ac + bd = 0
−bc + ad = 1
Inmultim ecuatia a doua cu b, a treia cu a si adunand noile ecuatii obtinem (|b|2 + |a|2)d = a
i.e. d = a. Din a treia ecuatie rezulta c = −b si ın concluzie:
SU(2) = A(a, b) =
(a −b
b a
)∈ M2(C); |a|2 + |b|2 = 1.
68 LECTIA 7. GRUPURI MATRICEALE
Sa observam legea de ınmultire pe SU(2):
A(a, b) ·A(c, d) =
(a −b
b a
) (c −d
d c
)=
(ac− bd −ad− bc
bc + ad −bd + ac
)= A(ac− bd, bc + ad).
Multimea (a, b) ∈ C2; |a|2 + |b|2 = 1 este (a1, a2, a3, a4) ∈ R4; a21 + a2
2 + a23 + a2
4 = 1adica exact sfera S3. Prin urmare aplicatia F : SU(2) → S3, F (A(a, b)) = (a, b) este exact o
bijectie. Cum pe S1 avem o lege de ınmultire indusa de cea a lui C = R2 ne ıntrebam daca
legea de ınmultire pe S3 indusa via F este restrictia unei ınmultiri din C2 = R4. Fie deci
z = (a1, a2, a3, a4) ∈ C2 scris sub forma z = a1 + ia2 + ja3 + ka4 cu regulile de ınmultire
i2 = j2 = k2 = −1 ca extensie a ınmultirii din C si ınca: ij = k, jk = i, ki = i adica avem
regula circulara.
Atunci z1 · z2 = (a1 + ia2 + ja3 + ka4)(b1 + ib2 + jb3 + kb4) = (a1b1 − a2b2 − a3b3 − a4b4) +
i(. . .)+j(. . .)+k(. . .). Verificam cu ınmultirea de la SU(2): ac− bd = (a1 + ia2)(b1 + ib2)− (a3−ia4)(b3 + ib4) = (a1b1− a2b2− a3b3− a4b4) + i(. . .); deci cele doua ınmultiri coincid. R4 = C2 cu
ınmultirea astfel introdusa este corp necomutativ numit corpul cuaternionilor.
Observatii:
A(0,−1) este exact structura simplectica planului:
A(0,−1) =
(0 1
−1 0
).
Lectia 8
Algebra Lie a unui grup matriceal
Suport de curs
Definitia 8.1
Fie G un grup matricial (slab sau tare). Multimea L(G) = X ∈ Mn(K); etX ∈ G ∀t ∈ R o
numim algebra Lie a grupului matricial G.
Propozitia 8.1
Fie X,Y ∈ L(G). Atunci X + Y ∈ L(G), sX ∈ L(G) ∀s ∈ R si X · Y − Y ·X ∈ L(G). Mai mult
daca A ∈ G atunci AXA−1 ∈ L(G).
Demonstratie: et(X+Y ) = etX · etY ∈ G din G grup daca X,Y comuta. Daca nu comuta
se foloseste formula et(X+Y ) = limk→∞
(e
tkXe
tkY
)k. et(sX) = e(ts)X ∈ G deci sX ∈ L(G). Din
proprietatea viii) a exponentialei (vezi cursul 6) avemddt
(etXY
)∣∣∣∣t=0
= XY din regula Leibniz
ddt
(etXY e−tX
)∣∣∣∣t=0
= (XY )eOn + (eOnY )(−X) = XY − Y X. Avem ca etXY e−tX ∈ L(G)
∀t ∈ R daca mai aratam ultima proprietate. Or, aceasta ultima proprietate rezulta din faptul
ca et(AXA−1) = AetXA−1 ∈ G ∀t ∈ R.
Rezulta ca L(G) este spatiu vectorial real relativ la operatiile de suma si ınmultire cu scalari
reali. Mai mult L(G) este multime ınchisa relativ la paranteza [X, Y ] = XY − Y X care verifica
axiomele de algebra Lie. Deci (L(G), +, [ ]) este o algebra Lie si acest lucru justifica denumirea
lui L(G).
I L(GL(n,K))
69
70 LECTIA 8. ALGEBRA LIE A UNUI GRUP MATRICEAL
Deoarece ∀X ∈ Mn(K) matricea etX este inversabila rezulta ca L(GL(n,K)) care o notam
gl(n,K) este chiar Mn(K).
II L(SL(n,K))
Avem ca det(eX) = etr X si deci trX = 0 implica det(etX) = 1 ∀t ∈ R. Invers, daca
det(etX) = et tr X = 1 rezulta ca trX = 0. In concluzie U(SL(n,K)) notata sl(n,K) este
sl(n,K) = A ∈ Mn(K); tr A = 0.III L(O(n))
Fie X ∈ Mn(R) a.ı. esX ∈ O(n); deci t(esX) ·esX = In deci esX este inversabila cu (esX)−1 =t(esX) = estX . Dar (esX)−1 = e−sX si deci esX ∈ O(n) ∀s ∈ R daca si numai daca e−sX = estX
echivalent tX = −X. Deci L(O(n)) notata o(n) este
o(n) = X ∈ Mn(R); tX = −X = Antisym(n,R)
adica multimea matricilor antisimetrice. L(SO(n)) este aceeasi multime so(n) = Antisym(n,R).
O(n,C) si SO(n,C) au aceeasi algebra Lie so(n,C) = X ∈ Mn(C); tX = −X.IV L(U(n))
Cu aceleasi argumente de mai sus algebra Lie a lui U(n) notata u(n) este
u(n) = X ∈ Mn(C); tX = −X.
Cum SU(n) = U(n) ∩ SL(n,C) rezulta ca algebra Lie a lui SU(n) este:
su(n) = X ∈ Mn(C); tX = −X, trX = 0
V L(H3)
Fie X =
0 α β
0 0 γ
0 0 0
∈ M3(R) oarecare. Avem ca:
X2 =
0 0 αγ
0 0 0
0 0 0
, X3 = O3
si deci:
etX = I3 +t
1!X +
t2
2!X2 =
1 tα tβ
0 1 tγ
0 0 1
+
0 0t2
2αγ
0 0 0
0 0 0
=
1 a b
0 1 c
0 0 1
Mircea CRASMAREANU 71
cu c = tα, b = tβ +t2
2αγ, c = tγ. In concluzie:
L(H3) =
X(α, β, γ) =
0 α β
0 0 γ
0 0 0
∈ M3(R);α, β, γ ∈ R
.
Asocierea grup matricial → algebra Lie are proprietati remarcabile date de:
Teorema 8.1
Fie G,H grupuri matriciale si Φ : G → H un morfism de grupuri matriciale. Atunci exista si
este unica o transformare R-liniara ϕ : L(G) → L(H) a.ı. Φ(eX) = eϕ(X), ∀X ∈ L(G). In plus:
i) ϕ(AXA−1) = Φ(A)ϕ(X)Φ(A−1), ∀X ∈ L(G), A ∈ G
ii) ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ L(G); deci ϕ este morfism de algebre Lie
iii) ϕ(X) =ddt
Φ(etX)|t=0, ∀X ∈ L(G).
Fie K este ınca un grup matricial si Ψ : H → K este morfism de grupuri matriciale si
corespondent compunerea Λ = Ψ Φ.
Daca ϕ,ψ, λ sunt morfismele asociate de algebre Lie atunci λ = ψ ϕ.
Definitia 8.2 (Aplicatia adjuncta)
Fie A ∈ G; aplicatia AdA : L(G) → L(G), AdA(X) = AXA−1 o numim aplicatia adjuncta.
Avem ca AdA este transformare liniara inversabila cu inversa AdA([X,Y ])=[AdA(X),AdA(Y )],
∀X, Y ∈ L(G).
Seminar
S 8.1 (Matrici Pauli)
Fie V = A ∈ M2(C); tA = A si trA = 0. Sa se arate ca V este spatiu vectorial real 3-
dimensional.
72 LECTIA 8. ALGEBRA LIE A UNUI GRUP MATRICEAL
Rezolvare: Fie A =
(a c
b d
)∈ V . Deci:
a + d = trA = 0
a = a
d = d
c = b
b = c
din tA = A
Rezulta ca a ∈ R si din prima ecuatie d = −a; deci A =
(a b
b −a
)si din b = u + iv:
A =
(a u− iv
u + iv −a
)= a
(1 0
0 −1
)+ u
(0 1
1 0
)+ v
(0 −i
i 0
)= aσ3 + uσ1 + vσ2
unde:
σ1 =
(0 1
1 0
), σ2 =
(0 −i
i 0
), σ3 =
(1 0
0 −1
)
se numesc matricile Pauli. Deci V este spatiu vectorial real 3-dimensional cu baza canonica
C = σ1, σ2, σ3.
S 8.2
Sa se organizeze V de la exercitiul precedent cu un produs scalar a.ı. matricile Pauli sa formeze
o baza ortonormata.
Rezolvare: Fie 〈 , 〉 : V × V → R, 〈A, B〉 =12
tr(AB). Avem ca 〈 〉 este simetrica, biliniara si
〈A,A〉 =12
trA2. Avem:
σ21 =
(0 1
1 0
) (0 1
1 0
)=
(1 0
0 1
), σ2
2 =
(0 −i
i 0
) (0 −i
i 0
)=
(1 0
0 1
)
σ23 =
(1 0
0 −1
) (1 0
0 −1
)=
(1 0
0 1
)
de unde rezulta 〈σ1, σ1〉 = 〈σ2, σ2〉 = 〈σ3, σ3〉 = 1. Avem si:
σ1σ2 =
(0 1
1 0
) (0 −i
i 0
)=
(i 0
0 −i
), σ2σ3 =
(0 −i
i 0
) (1 0
0 −1
)=
(0 i
i 0
)
Mircea CRASMAREANU 73
σ3σ1 =
(1 0
0 −1
) (0 1
1 0
)=
(0 1
−1 0
)
de unde rezulta 〈σ1, σ2〉 = 〈σ2, σ3〉 = 〈σ3, σ1〉 = 0. Fie A(a, u, v) = aσ2 + uσ1 + vσ2; avem:
A2 = (aσ2 + uσ1 + vσ2)(aσ2 + uσ1 + vσ2) =
= a2
(1 0
0 1
)+ u2
(1 0
0 1
)+ v2
(1 0
0 1
)+
+au
(0 1
−1 0
)+ av
( )+ ua
( )+
+uv
(i 0
0 −i
)+ va
(0 i
i 0
)+ vu
( )=
=
(a2 + u2 + v2 . . .
. . . a2 + u2 + v2
)
si deci12
trA2 = 〈A,A〉 = a2 + u2 + v2 ceea ce arata ca 〈 〉 este produs scalar. Din cele de mai
sus avem ca σ1, σ2, σ3 constituie o baza ortonormata.
S 8.3 (Grupuri ortogonale generalizate)
Fie k ∈ N∗ si [ , ]n,k : Rn+k × Rn+k → R:
[x, y]n,k = x1y1 + · · ·+ xnyn − xn+1yn+1 − · · · − xn+kyn+k
care este o forma biliniara simetrica. Fie O(n, k) multimea matricilor A ∈ Mn+k(R) ce invariaza
[ , ]n,k i.e. ∀x, y ∈ Rn+k avem [Ax,Ay]n,k = [x, y]n,k. Sa se arate ca O(n, k) este grup matriciale
tare numit grup ortogonal generalizat. O(3, 1) se numeste grupul Lorenz datorita aplicatiilor la
studiul spatiului-timp.
Rezolvare: Fie:
In,k =
1. . .
1
−1. . .
−1
unde 1 apare de n ori iar (−1) de k ori. Avem ca I2n,k = In+k deci In,k este inversabila cu
I−1n,k = In,k. Avem ca:
[x, y]n,k = tx · In,k · y
74 LECTIA 8. ALGEBRA LIE A UNUI GRUP MATRICEAL
si pentru A ∈ Mn+k(R) avem caracterizarea:
A ∈ O(n, k) ⇐⇒ tA · In,k ·A = In,k.
Fie A1, A2 ∈ O(n, k). Avem t(A1A2)In,k(A1A2) = tA2tA1In,kA1A2
A1∈O(n,k)= tA2In,kA2
A2∈O(n,k)=
In,k deci A1A2 ∈ O(n, k).
Fie A ∈ O(n, k); ınmultind la stanga caracterizarea precedenta cu In,k avem In,ktAIn,kA =
In+k si deci A este inversabila cu A−1 = In,ktAIn,k. Rezulta ca O(n, k) ⊂ GL(n+k,R). Aplicand
definitia pentru A ∈ O(n, k) si elementele A−1x,A−1y ∈ Rn+k avem [A(A−1x), A(A−1y)]n,k =
[A−1x,A−1y]n,k = [x, y]n,k ceea ce spune ca A−1 ∈ O(n, k). Deci O(n, k) este subgrup ın
GL(n, k,R). Rezulta imediat si faptul ca O(n, k) este grup matricial tare (exact ca la O(n)).
Pentru A ∈ Mn,k(R) si i ∈ 1, . . . , n + k notam A(i) coloana i din A i.e. A(i) =
A1i...
An+ki
.
Avem caracterizarea A ∈ O(n, k) daca si numai daca
i) [A(i), A(i)]n,k = 1, daca 1 6 i 6 n
ii) [A(i), A(i)]n,k = −1, daca n + 1 6 i 6 n + k
iii) [A(i), A(j)]n,k = 0, daca i 6= j.
Algebra Lie a lui O(n, k) coincide cu algebra Lie a lui SO(n, k) si este so(n, k) = X ∈Mn+k(R); In,k · tX · In,k = −X. SO(n, k) = A ∈ O(n, k); detA = +1.
Lectia 9
Actiuni de grupuri matriceale
Suport de curs
Fie G ⊂ GL(n,K) un grup matricial si M ⊂ Km = (Rm daca K = R, respectiv R2m daca
K = C).
Definitia 9.1
Spunem ca G actioneaza (la stanga) pe M daca exista o aplicatie Φ : G×M → M , (g, x) 7→ gx
cu proprietatile:
A1) ex = x, ∀x ∈ M
A2) g1(g2(x)) = (g1g2)x, ∀x ∈ M , ∀g1, g2 ∈ G
A3) considerand G ⊂ Rn2(respectiv R2n2
daca K = C) si M ⊆ Rm (respectiv R2m)
obtinem Φ : Rs → Rt; cerem ca toate cele t componente ale lui Φ sa fie campuri scalare,
adica elemente din C∞(Rs).
Fie g ∈ G fixat si aplicatia Φg : M → M , x 7→ gx. A1) spune ca Φe = 1M si A2) spune
ca Φg1 Φg2 = Φg1g2 . Fie S(M) = multimea bijectiilor pe M = f : M → M ; f bijectie.Cum compuneterea functiilor este asociativa, 1M ∈ S(M) este element neutru la compunere si
data f ∈ S(M) ∃f−1 ∈ S(M) rezulta ca (S(M), ) este grup, numit grupul simetric al lui M .
Fie Diff(M) = f ∈ S(M); f ∈ X (M). Avem ca Diff este subgrup ın S(M) numit grupul
difeomorfismelor lui M (compunerea a doua difeomorfisme este difeomorfism si inversul unui
difeomorfism este difeomorfism).
75
76 LECTIA 9. ACTIUNI DE GRUPURI MATRICEALE
Propozitia 9.1
Aplicatia g ∈ G 7→ Φg ∈ Diff(M) este morfism de grupuri.
Demonstratie: Mai ıntai sa observam ca din A3) avem ca Φg ∈ Diff(M). Faptul ca asocierea
data este un morfism de grupuri este parafrazarea axiomelor A1)–A2). Avem ca Φg ∈ S(M) cu
(Φg)−1 = Φg−1 .
Fie x ∈ M fixat. Multimea Orb(x) = Φg(x); g ∈ G ⊆ M o numim orbita lui x la actiunea
Φ, iar multimea Gx = g ∈ G; Φg(x) = x se numeste stabilizatorul lui x.
Propozitia 9.2
Gx este subgrup ın G si multime ınchisa ın G; deci Gx este grup matricial tare.
Demonstratie: i) Fie g1, g2 ∈ Gx; cum Φg1g2 = Φg1 Φg2 si Φg1 Φg2(x) = Φg1(Φg2(x)) =
Φg1(x) = x rezulta ca g1g2 ∈ Gx.
ii) Fie g ∈ Gx oarecare. Φg−1(x) = g−1(gx) A2= (g−1g)x = exA1= x deci g−1 ∈ Gx.
Din acest motiv Gx mai este numit grupul de izotropie al lui x.
Definitia 9.2
Actiunea Φ se numeste:
i) tranzitiva daca exista o unica orbita i.e. ∀x, y ∈ M ∃g ∈ G a.ı. y = gx. Daca acest g este
unic spunem ca actiunea este simplu tranzitiva si mai general daca exista doar k astfel
de g ∈ G (∀x, y ∈ M !) spunem ca actiunea este k-tranzitiva. Daca actiunea este simplu
tranzitiva spunem ca M este spatiu omogen al lui G.
ii) fidela (sau efectiva) daca Φg = 1M implica g = e; echivalent asocierea g ∈ G 7→ Φg ∈Diff(M) este injectiva.
iii) libera daca nu admite puncte fixe i.e. ∀x ∈ M aplicatia g ∈ G 7→ Φg(x) ∈ M este injectiva;
echivalent Gx = e ∀x ∈ M .
Rezulta imediat ca orice actiunea libera este fidela. Actiunea este libera daca pentru un
x ∈ M dat Φg(x) = x implica g = e.
Mircea CRASMAREANU 77
Fie X ∈ L(G) algebra Lie a lui G si gX curba integrala a lui X ∈ X (Kn) (X gandit drept
camp vectorial liniar!) cu data initiala gX(0) = e ∈ G. O proprietate remarcabila a acestei
curbe integrale este: gX(t1) · gX(t2) = gX(t1 + t2). Functia X ∈ L(G) → gX(1) not= exp(X) ∈ G
o numim exponentiala pe G.
Definitia 9.3
Pentru X ∈ L(G) functia FX : M → Rm data de:
FX(x) =ddx
Φ(gX(t), x)∣∣∣∣t=0
este un camp vectorial pe M numit generatorul infinitezimal al lui Φ corespunzator lui X.
Propozitia 9.3
Asocierea X ∈ L(G) → FX ∈ X (M) este anti-morfism de algebre Lie i.e. este transformare
liniara si [FX , FY ] = −F[X,Y ].
Se arata si faptul ca L(Gx) = X ∈ L(G);FX(x) = 0.
Definitia 9.4
Dat y ∈ Orb(x) multimea TyOrb(x) = FX(y);X ∈ L(G) o numim spatiul tangent ın y la
Orb(x).
Daca M este un spatiu omogen al lui G atunci toate grupurile de izotropie sunt izomorfe si
fie H grupul de izotropie comun. Definim pe G relatia “∼” astfel: g1, g2 ∈ G sunt ın relatia “∼”
daca ∃h ∈ H a.ı. g2 = hg1. Avem ca “∼” este o relatie de echivalenta pe G si fie G/H multimea
factor i.e. G/H = [g]; [g] = clasa de echivalenta a lui g ∈ G. Daca M este spatiu omogen al
lui G atunci M este in bijectie cu G/H.
Seminar
S 9.1
Fie A ∈ M2(K). Sa se arate ca:
A2 − trA ·A + detA · I2 = O2.
78 LECTIA 9. ACTIUNI DE GRUPURI MATRICEALE
Rezolvare: Fie A =
(a c
b d
). Avem:
A2 =
(a c
b d
) (a c
b d
)=
(a2 + bc ac + bd
ab + bd bc + d2
)=
(a2 + bc c · trA
b · trA bc + d2
)
si deci:
A2 − trA ·A =
(a2 + bc− a(ad) 0
0 bc + d2 − d(a + d)
)=
(bc− ad 0
0 bc− ad
)= −detA · I2
ceea ce da concluzia.
S 9.2
Folosind dezvoltarile ın serie Taylor:
sinx =x
1!− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · ·
cosx = 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ · · ·
sa se arate ca daca A ∈ M2(K) are trA = 0 atunci:
eA = cos(√
detA) · I2 +sin(
√det A)√
detA·A.
Rezolvare: Deoarece trA = 0 conform exercitiului anterior avem:
A2 = −det A · I2, A3 = −det A ·A, A4 = (detA)2I2, A5 = (detA)2A
si:
eA = I2 +11!
A +12!
A2 +13!
A3 +14!
A4 +15!
A5 + · · ·
= I2 +11!
A− det A
2!I2 − det A
3!A +
(detA)2
4!I2 +
(detA)2
5!A + · · ·
= I2
(1− det A
2!+
(detA)2
4!+ · · ·
)+ A
(1− det A
3!+
(detA)2
5!+ · · ·
)=
= I2
(1− (
√det A)2
2!+
(√
detA)4
4!+ · · ·
)+
+A√
det A
(11!
√detA− 1
3!(√
det A)3 +15!
(√
det A)5 + · · ·)
=
= I2 · cos(√
det A) +sin(
√det A)√
detAA.
Daca detA = 0 cum limt→0
sin t
t= 1 atunci coeficientul lui A se considera 1 ın formula precedenta.
Mircea CRASMAREANU 79
S 9.3
Folosind exercitiul anterior se cere eX pentru X =
(4 3
−1 2
).
Rezolvare: Avem:
X =
(3 0
0 3
)+
(1 3
−1 −1
)= 3I2 + A
iar trA = 0. Deci, cum detA = 2, avem:
eX = e3I2+A = e3I2 · eA = e3
(1 0
0 1
)·(
cos√
2I2 +sin√
2√2
A
)=
= e3
(cos
√2 0
0 cos√
2
)+
sin√
2√2
(1 3
−1 −1
)=
= e3
cos√
2 +sin√
2√2
3sin√
2√2
−sin√
2√2
cos√
2− sin√
2√2
.
S 9.4
Fie (L, [ ]) o algebra Lie si X ∈ L fixat. Aplicatia AdX : L → L, AdX(Y ) = [X, Y ] o numim
aplicatia adjuncta. Sa se arate ca AdX este transformare liniara. Interpretare.
Rezolvare: AdX(λY +µZ) = [X, λY +µZ] = λ[X,Y ]+µ[X,Z] = λAdX(Y )+µ AdX(Z); ceea
ce voiam. Interpretare: rezulta ca avem aplicatia Ad : L → gl(L) = multimea transformarilor
liniare de la L la L. gl(L) este de fapt L(L) unde prin L(V ), cu V = K-spatiu vectorial, am
notat multimea transformarilor K-liniare de la V la V . Notatia L(L) este nefericita deoarece
am notat cu L algebra Lie data; ın plus g(L) o gandim ca o algebra Lie relativ la operatia
[ ] : gl(L)× gl(L) → gl(L), [T1, T2] = T1 T2 − T2 T1, ∀T1, T2 ∈ gl(L).
S 9.5
Sa se arate ca aplicatia Ad : L → gl(L) este morfism de algebre Lie i.e.:
Ad[X,Y ] = [AdX , AdY ].
Rezolvare: Fie Z ∈ L oarecare:
(Ad[X,Y ]−[AdX , AdY ])(Z) = [[X,Y ], Z]−AdX([Y, Z]) + AdY ([X, Z]) Jacobi=
= −[[Y,Z], X]− [[Z,X], Y ]− [X, [Y, Z]] + [Y, [X,Z]] = 0
din antisimetrie.
80 LECTIA 9. ACTIUNI DE GRUPURI MATRICEALE
S 9.6
Fie G un grup matricial si g ∈ G. Definim translatia la stanga Lg : G → G, Lg(a) = ga respectiv
translatia la dreapta Rg : G → G Rg(a) = ga. Compunerea Ig = LgRg−1 o numim automorfism
interior al lui G. Sa se arate ca Lg, Rg sunt actiuni tranzitive, chiar simplu tranzitive. Se cere
expresia lui Ig.
Rezolvare: Lg(a) = b are solutia g = ba−1 si Rg(a) = b are solutia g = a−1b. Aceste solutii
sunt unice. Ig(a) = Lg(ag−1) = g a g−1.
Lectia 10
Sisteme Hamiltoniene cu simetrie
Suport de curs
Fie (M, ) o varietate Poisson pe care actioneaza grupul matricial G prin intermediul actiunii
Φ. Reamintim ca ∀ξ ∈ L(G) = algebra Lie a lui G i se asociaza generatorul infinitezimal
Fξ ∈ X (M) prin formula:
Fξ =ddt
Φ(etξ, x)∣∣∣∣t=0
= limt→0
1t(Φ(etξ, x)− x),
caci Φ(e0·ξ, x) = Φ(eOn , x) = Φ(In, x) = x.
Definitia 10.1
Spunem ca actiunea data este Hamiltoniana daca ∃J : L(G) → C∞(M) transformare liniara
(ıntre cele doua algebre Lie L(G) si C∞(M)) a.ı. ∀ξ ∈ L(G) avem Fξ = campul Hamiltonian
XJ(ξ) asociat Hamiltonianului J(ξ) ∈ C∞(M).
Deci orice generator infinitezimal este camp Hamiltonian. Actiunii Hamiltoniene Φ i se
asociaza aplicatia J : M → L(G)∗ = duala algebrei Lie L(G), data de J(x)(ξ) def= J(ξ)(x)
( ∈ R). J o numim aplicatia moment a actiunii Hamiltoniene Φ. Trebuie observat ca nu orice
actiune a unui grup matricial pe o varietate Poisson data este Hamiltoniana!
Asociem 4-uplului (M, , G,Φ) un Hamiltonian fixat H ∈ C∞(M).
Definitia 10.2
5-uplul (M, , G, Φ,H) ıl numim sistem Hamiltonian cu simetrie daca actiunea Φ este Hamil-
toniana si ın plus Hamiltonianul H este invariat de actiunea Φ i.e. ∀A ∈ G avem H ΦA = H.
81
82 LECTIA 10. SISTEME HAMILTONIENE CU SIMETRIE
Rezultatul central al teoriei sistemelor Hamiltoniene cu simetrie este faptul ca aplicatia
moment induce integrale prime pentru campul Hamiltonian asociat lui H adica pentru evolutia
sistemului dinamic avut ın vedere.
Teorema 10.1 (Noether)
Pentru un sistem Hamiltonian cu simetrie ∀ξ ∈ L(G) da integrala prima J(ξ).
Demonstratie: Trebuie aratat ca H, J(ξ) = 0. Sa folosim mai ıntai invarianta Hamil-
tonianului H. Fie x ∈ M fixat si relatia H Φ(etξ, x) = H(x) = H Φ(e0·ξ, x). Deci1t(H Φ(etξ, x)−H Φ(e0·ξ, x)) = 0 i.e.
limt→0
1t(H Φ(etξ, x)−H Φ(e0·ξ, x)) = 0
dar membrul stang este Fξ(H)(x) = 0. Cum x ∈ M era oarecare rezulta ca Fξ(H) = 0; dar
Fξ(H) = XJ(ξ)(H) = J(ξ),H ceea ce voiam.
Exemplul 8 (Momentul liniar total)
Consideram N particule ın spatiul fizic R3. Avem ca M = R6N = (q, p) = (q1, . . . , qN , p1, . . . , pN ) :
qi, pi ∈ R3, 1 6 i 6 N, unde qi este vectorul coordonatelor particulei i, pi este vectorul impuls
al particulei i. Pe M avem paranteza Poisson simplectica:
F, G =n∑
i=1
(⟨∂F
∂qi,∂G
∂pi
⟩−
⟨∂F
∂pi,∂G
∂qi
⟩).
G = (R3, +) actioneaza pe M prin Φ(x)(q, p) = (q1 + x, . . . , qn + x, p1, . . . , pn) i.e. Φ transleaza
fiecare particula cu vectorul x ∈ R3. Fie ξ ∈ L(G) ' R3:
Fξ(q, p) =ddt
Φ(etξ, (q, p))∣∣∣∣t=0
=ddt
(q1 + etξ, . . . , qn + etξ, p1, . . . , pn)∣∣∣∣t=0
=
= (ξ · etξ, . . . , ξ · etξ, 0, . . . , 0)|t=0= (ξ, . . . , ξ, 0, . . . , 0).
Sa cautam daca actiunea este Hamiltoniana. Vrem XJ(ξ) =(
∂J(ξ)∂p1
, . . . ,∂J(ξ)∂pn
,
−∂J(ξ)∂q1
, . . . ,−∂J(ξ)∂qn
)= Fξ deci avem sistemul:
∂J(ξ)∂pi
= ξ,∂J(ξ)∂qi
= 0, 1 6 i 6 N.
Se observa ca avem solutia: J(ξ)(q, p) =
⟨N∑
i=1
pi, ξ
⟩si deci J(q, p) =
n∑
i=1
pi care este momentul
liniar total.
Mircea CRASMAREANU 83
Concluzie: Daca un sistem fizic este invariant la translatii atunci momentul liniar total al
acestui sistem se conserva! (Avem si: daca un sistem este invariant la translatii dupa o directie
data atunci proiectia momentului total al sistemului pe directia de translatie se conserva. Analog,
conservarea energiei totale a unui sistem este consecinta invariantei la translatii temporale!)
Exemplul 9 (Momentul unghiular total)
Consideram exemplul anterior cu N = 1; deci M = R6 = (q, p) = (q1, q2, q3, p1, p2, p3).G = SO(3) actioneaza pe M prin Φ(A, (q, p)) = (A · q, A · p). Fie ξ ∈ L(SO(3)) = so(3):
Fξ(q, p) =ddt
Φ(etξ, (q, p)) =ddt
(etξ · q, etξ · p)∣∣∣∣t=0
= (ξ · q, ξ · p).
Fie ξ =
0 −a3 a2
a3 0 −a1
−a2 a1 0
. Avem:
ξ ·
x
y
z
=
0 −a3 a2
a3 0 −a1
−a2 a1 0
·
x
y
z
=
a2z − a3y
a3x− a1z
a1y − a2x
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
x y z
∣∣∣∣∣∣∣∣= ξ ×X
unde ξ = (a1, a2, a3) ∈ R3 si X = (x, y, z). Deci Fξ(q, p) = (ξ × q, ξ × p); cautam XJ(ξ) ca la
exemplul anterior solutie a sistemului:
∂J(ξ)∂p
= ξ × q,∂J(ξ)
∂q= −ξ × p.
Fie J(ξ) = 〈ξ × q, p〉 ce verifica prima ecuatie. Cum avem si expresia J(ξ) = 〈q × p, ξ〉 =
〈p× ξ, q〉 = −〈ξ × p, q〉 rezulta ca J(ξ) este solutia ceruta. In concluzie J(q, p) = q × p care este
momentul unghiular al unei singure particule.
Seminar
S 10.1 (Rn ca grup matricial)
Fie aplicatia exp : Rn → GL(n,R), x = (x1, . . . , xn) 7→ exp(x) =
ex1
. . .
exn
. Se
verifica imediat ca exp(x + y) = expx · exp y; deci exp este morfism de grupuri de la (Rn, +) la
(GL(n,R), · ). Avem ca multimea Diag+(n) = A ∈ GL(n,R);A =
a1
. . .
an
, a1, . . . , an >
84 LECTIA 10. SISTEME HAMILTONIENE CU SIMETRIE
0 este subgrup ın GL(n,R) si Im exp = Diag+(n). Prin urmare grupul (Rn,+) este izomorf cu
grupul (Diag+(n), · ), ceea ce arata ca Rn este grup matricial. Fie (Ak)k ∈ Diag+(n) cu Ak 7→ A;
cum Ak =
a1k
. . .
ank
rezulta ca A este matrice diagonala, A =
a1
. . .
an
. Daca toti
(ai)16i6n sunt strict pozitivi atunci A ∈ Diag+(n), iar daca exista ai nul atunci A 6∈ GL(n,R).
In concluzie Diag+(n) si deci (Rn,+) este grup matricial slab!
S 10.2 (Grupul Poincare)
Fie Izom(n) = f : Rn → Rn; f(x) = Ax + a, A ∈ O(n), a ∈ Rn. Deci un element f ∈ Izom(n)
ıl identificam cu perechea (A, a) ∈ O(n) × Rn. Fie f1 = (A1, a1), f2 = (A2, a2) ∈ Izom(n) si
x ∈ Rn:
f2 f1(x) = f2(A1x + a1) = A2(A1x + a1) + a2 = A2A1x + (A2a1 + a2).
Deci pe O(n)× Rn avem legea:
(A2, a2) · (A1, a1) = (A2A1, A2a1 + a2)
ın raport cu care O(n)× Rn devine grup ın care avem legea inversului:
(A, a)−1 = (A−1,−A−1a)
deoarece (In, 0) este element neutru. Fie aplicatia Φ : Izom(n) = O(n)× Rn → GL(n + 1,R):
Φ(A, a) =
a1
A...
an
0 . . . 0 1
Φ este injectiva si un calcul imediat da faptul ca Φ este chiar morfism de grupuri:
Φ((A2, a2) · (A1, a1)) = Φ(A2A1, A2a1 + a2) =
(A2A1 A2a1 + a2
0 . . . 0 1
)
Φ(A2, a2) · Φ(A1, a1) =
(A2 a2
0 . . . 0 1
)·(
A1 a1
0 . . . 0 1
)=
=
(A2A1 A2a1 + a2
0 . . . 0 1
).
Mircea CRASMAREANU 85
In concluzie Izom(n) este grup izomorf cu grupul
a1
A...
an
0 . . . 0 1
∈ GL(n + 1,R);A ∈
O(n), a = (a1, . . . , an) deci Izom(n) este grup matricial. Cum O(n) este grup matricial tare
si limita unui sir de matrici de forma
a1
A...
an
0 . . . 0 1
este o matrice de acelasi tip rezulta
ca Izom(n) este grup matricial tare notat uneori si E(n) de la Euclidian. Analog avem grupul
P (n, 1) = O(n, 1) × Rn = f : Rn+1 → Rn+1; f(x) = Ax + a,A ∈ O(n, 1), a ∈ Rn+1 care
este grup matricial tare. P (n, 1) se numeste grupul Poincare. f ∈ Izom(n) invariaza distanta
Euclidiana:
d(x, y) =√
(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2
iar f ∈ P (n, 1) invariaza distanta Lorentz din Rn+1 = Rn × R :
dL =√
(y0 − x0)2 + (y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2 ∈ C
Algebra Lie a lui Izom(n) este:
L(Izom(n)) =
x1
X...
xn
0 . . . 0 1
∈ Mn+1(R);X ∈ o(n), x ∈ Rn
iar algebra Lie a lui P (n, 1) este:
L(P (n, 1)) =
x1
X...
xn+1
0 . . . 0 1
∈ Mn+2(R);X ∈ so(n, 1), x ∈ Rn+1
S 10.3 (Descompunerea polara pentru SL(n,R))
Fie P ∈ Mn(R) simetrica i.e. tP = P . Spunem ca P este matrice pozitiva daca ∀x ∈ Rn \ 0avem 〈x, Px〉 > 0. Daca P este pozitiva atunci toate valorile proprii ale lui P sunt strict pozitive.
86 LECTIA 10. SISTEME HAMILTONIENE CU SIMETRIE
Sa se arate ca P este diagonalizabila cu P = RDR−1 unde:
D =
λ1
. . .
λn
sunt valorile proprii pozitive ale lui P , iar R ∈ O(n).
Rezolvare: Fie λ ∈ R valoare proprie pentru P si x ∈ Rn \ 0 vector propriu corespunzator
lui λ. Atunci 〈x, Px〉 = 〈x, λx〉 = λ ‖ x ‖2> 0 si deci λ > 0. Fie v1, . . . , vn o baza ortonormata
de vectori proprii pentru P . P este diagonalizabila fiind simetrica si luam R = matricea avand
coloanele (v1, . . . , vn).
S 10.4 (continuare)
Pentru P ∈ Mn(R) simetrica si pozitiva fie P 1/2 = RD1/2R−1 conform celor anterioare unde
D1/2 =
λ1/21
. . .
λ1/2n
. Atunci P 1/2 este unica matrice simetrica si pozitiva a.ı. P 1/2 ·
P 1/2 = P .
Rezolvare: [(continuare)] Fie A ∈ SL(n,R); exista o unica pereche (P, R) cu P ∈ SL(n,R)
simetrica si pozitiva si R ∈ SO(n) a.ı. A = RP .
Lectia 11
Morfisme de grupuri matriciale si
algebre Lie
Suport de curs
Definitia 11.1
i) Fie G,H grupuri matriciale si Φ : G → H. Spunem ca Φ este morfism de grupuri matriciale
daca este morfism de grupuri si aplicatie continua (i.e. daca (Ak)k ∈ G verifica Ak → A
atunci Φ(Ak) ∈ H verifica Φ(Ak) → Φ(A)). Daca ın plus Φ este bijectie si Φ−1 este
aplicatie continua atunci spunem ca Φ este izomorfism de grupuri matriciale.
ii) Fie L1, L2 algebre Lie si φ : L1 → L2. Spunem ca φ este morfism de algebre Lie daca este
transformare liniara si ∀X, Y ∈ L1 avem φ([X,Y ]) = [φ(X), φ(Y )]. Daca ın plus φ este
bijectie spunem ca φ este izomorfism de algebre Lie.
iii) Fie G ⊂ GL(n,K) un grup matricial. Numim reprezentare complexa m-dimensionala
(m ∈ N) pentru G o pereche (V,Φ) cu V spatiul vectorial complex m-dimensional si Φ :
G → GL(V ) morfism de grupuri matriciale unde GL(V ) = T ∈ L(V );T = inversabilaeste grupul automorfismelor liniare ale lui V (ın fapt, fixand o baza pe V , este GL(m,C)).
Daca V este spatiu vectorial real spunem ca avem o reprezentare reala.
iv) Fie L o algebra Lie. Numim reprezentare complexa m-dimensionala o pereche (V, ϕ) cu
V ca la ii) si ϕ : L → gl(V ) morfism de algebre Lie (unde, pana la o baza a lui V ,
gl(V ) = Mm(C)). Daca V este spatiu vectorial real spunem ca avem o reprezentare reala.
87
88 LECTIA 11. MORFISME DE GRUPURI MATRICIALE SI ALGEBRE LIE
v) Daca Φ sau ϕ de la iii) sau iv) este injectiva spunem ca avem o reprezentare fidela.
Putem gandi o reprezentare ca o actiune liniara a lui G (sau L) pe V i.e. avem:
iii) G× V → V , (g, v) 7→ Φ(g)(v) ∈ V cu Φ(g) : V → V transformare liniara inversabila
iv) L× V → V , (X, v) 7→ ϕ(X)(v) ∈ V cu ϕ(X) : V → V transformare liniara.
Rezultatul central al acestei teorii este dat de:
Teorema 11.1
Fie grupul matricial G si (V,Π) o reprezentare a acestuia (reala sau complexa). Atunci exista o
unica reprezentare π a lui L(G) pe V cu proprietatea Π(eX) = eπ(X) pentru ∀X ∈ L(G). Mai
mult, ∀A ∈ G si ∀X ∈ L(G):
π(AXA−1) = Π(A)π(X)Π(A)−1.
Demonstratie: Definim:
π(X) =ddt
Π(etX)∣∣∣∣t=0
si se arata proprietatile cerute folosind faptul ca L(GL(V )) = gl(V ).
Exemple de reprezentari
I Fie G ⊂ GL(n,C). Atunci: Π : G → GL(n,C), Π(A) = A este reprezentarea numita
reprezentarea standard a lui G. Daca G ⊂ GL(n,R) reprezentarea standard este reala. Algebra
Lie L(G) este inclusa ın gl(n,C) respectiv gl(n,R) si incluziunea lui L(G) ın gl(n,K) este o
reprezentare a lui L(G) numita reprezentarea standard.
II Fie G ⊂ GL(n,K). Atunci Π : G → GL(1,C), Π(A) = 1 ∀A ∈ G este o reprezentare numita
banala. Analog daca L este o algebra Lie atunci π : L → gl(1,C), π(X) = 0 ∀X ∈ L este o
reprezentare numita banala.
III Pentru G grup matricial avem aplicatia Ad : G → GL(L(G)), A ∈ G 7→ AdA, AdA :
L(G) → L(G), AdA(X) = AXA−1. Ad este morfism de grupuri matriciale si deci perechea
(L(G),Ad) este o reprezentare n-dimensionala pentru G numita reprezentarea adjuncta a lui G.
Analog, daca L este o algebra Lie, aplicatia ad : L → gl(L), X ∈ L 7→ adX , adX : L →L, adX(Y ) = [X, Y ] este un morfism de algebre Lie si deci o reprezentare a lui L numita
reprezentarea adjuncta a lui L.
Mircea CRASMAREANU 89
Propozitia 11.1
Pentru grupul matricial G fie GL(L(G)) grupul matricial al transformarilor liniare inversabile
pe L(G) algebra Lie a lui G. Aplicatia AdA ∈ GL(L(G)) pentru orice A ∈ G si (AdA)−1 ≡AdA−1 . Mai mult, aplicatia A ∈ G 7→ AdA ∈ GL(L(G)) este morfism de grupuri matriciale si
∀X, Y ∈ L(G) avem:
AdA([X, Y ]) = [AdA(X),AdA(Y )].
Definitia 11.2
Fie (V,Π) o reprezentare a grupului matricial G (sau algebrei Lie L) si W un subspatiu vectorial
al lui V . Spunem ca W este invariant daca ∀A ∈ G si w ∈ W avem Π(A)(w) ∈ W . Subspatiul
invariant W ıl numim netrivial (sau nebanal) daca W 6∈ V, 0. O reprezentare ce nu admite
subspatii invariante netriviale se numeste reprezentare ireductibila.
Reprezentarea banala este ireductibila deoarece C nu are subspatii netriviale.
Seminar
S 11.1 (Reprezentari pentru SU(2))
Fie m ∈ N∗ si Vm multimea polinoamelor ın doua variabile complexe, polinoame omogene de
grad total m i.e.
Vm =
f(z1, z2) =
m∑
k=0
akzm−k1 zk
2 ; a0, . . . , am ∈ C
.
Avem ca Vm este spatiu vectorial complex cu baza zm−k1 zk
206k6m; deci dimC Vm = m + 1. Fie
Πm : SU(2) → L(Vm), U ∈ SU(2) 7→ Πm(U) ∈ L(Vm) cu [Πm(U)f ](z1, z2) = f(U−1 · (z1, z2)).
Notand:
U−1 =
(U−1
11 U−112
U−121 U−1
22
)
avem ca:
[Πm(U)f ](z1, z2) =m∑
k=0
ak(U−111 z1 + U−1
12 z2)m−k · (U−121 z1 + U−1
22 z2)k
si dezvoltand, cu binomul lui Newton, obtinem ca Πm(U)f ∈ Vm. Avem si:
Πm(U1)[Πm(U2)f ](z1, z2) = [Πm(U2)f ](U−11 (z1, z2)) = f(U−1
2 U−11 (z1, z2)) =
= f((U1U2)−1(z1, z2)) = [Πm(U1U2)f ](z1, z2)
deci Πm este morfism de grupuri matriciale. Avem imediat si faptul ca Πm este aplicatie continua;
deci (Vm, Πm) este reprezentarea complexa (m + 1)-dimensionala pentru SU(2).
90 LECTIA 11. MORFISME DE GRUPURI MATRICIALE SI ALGEBRE LIE
S 11.2 (Reprezentari pentru su(2))
Din exercitiul anterior si teoria de la curs avem πm : su(2) → gl(Vm):
πm(X) =ddt
Πm(etX)∣∣∣∣t=0
.
Deci:
(πm(X)f)(z1, z2) =ddt
f(e−tX(z1, z2))∣∣∣∣t=0
.
Fie z : I → C2, z(t) = (z1(t), z2(t)) = e−tX(z1, z2); deci z(0) = (z1, z2). Din regula Leibniz de
derivare a produsului:
(πm(X)f)(z1, z2) =∂f
∂z1
dz1
dt
∣∣∣∣t=0
+∂f
∂z2
dz2
dt
∣∣∣∣t=0
.
Cumdzdt
∣∣∣∣t=0
= −Xe0·X · (z1, z2) = −X · (z1, z2) = −(
X11 X12
X21 X22
) (z1
z2
)=
− (X11z1 + X12z2, X21z1 + X22z2)
rezulta:
(πm(X)f)(z1, z2) = − ∂f
∂z1(z1, z2)(X11z1 + X12z2)− ∂f
∂z2(z1, z2)(X21z1 + X22z2).
Exemplu:
H =
(1 0
0 −1
)∈ sl(2,C) ' su(2).
Din (∗) avem:
(πm(H)f)(z1, z2) = − ∂f
∂z1z1 +
∂f
∂z2z2 ⇒ πm(U) = −z1
∂
∂z1+ z2
∂
∂z2
Astfel aplicand πm(H) elementului zm−k1 zk
2 din baza lui Vm avem:
πm(H)zm−k1 zk
2 = −(m− k)zm−k1 zk
2 + kzm−k1 zk
2 = (2k −m)zm−k1 zk
2
ceea ce arata ca zm−k1 zk
2 este vector propriu pentru πm(H) cu valoarea proprie (2k−m). Obtinem
ca πm(H) are valorile proprii reale si distincte −m, 2−m, . . . , 2(m− 1)−m = m− 2, +m deci
πm(H) este diagonalizabila.
Exemplu:
X =
(0 1
0 0
)∈ sl(2,C), Y =
(0 0
1 0
)∈ sl(2,C).
Avem:
πm(X) = −z2∂
∂z1, πm(Y ) = −z1
∂
∂z2⇒ πm(X) = (zm−k
1 zk2 )
Mircea CRASMAREANU 91
S 11.3 (Reprezentari pentru sl(2,C))
In sl(2,C) avem baza:
H =
(1 0
0 −1
), X =
(0 1
0 0
), Y =
(0 0
1 0
).
Sa se arate relatiile de comutare:
[H, X] = 2X
[H, Y ] = −2Y
[X,Y ] = H
Rezulta ca daca V este un spatiu vectorial complex si A,B, C ∈ L(V ) satisfac:
[A, B] = 2B
[A,C] = −2C
[B,C] = A
atunci aplicatia π : sl(2,C) → gl(V ): π(H) = A, π(X) = B, π(Y ) = C extinsa prin linearitate
va fi o reprezentare a lui sl(2,C).
92 LECTIA 11. MORFISME DE GRUPURI MATRICIALE SI ALGEBRE LIE
Lectia 12
Spatii vectoriale simplectice
Suport de curs
Fie V spatiu vectorial real n-dimensional cu dualul V ∗ si Ω : V × V → R transformare biliniara
antisimetrica:
i) Ω(u, v) = −Ω(v, u)
ii) Ω(λu + µv,w) = λΩ(u, w) + µΩ(v, w), ∀λ, µ ∈ R, ∀u, v, w ∈ V .
Se observa ca din 1) si 2) rezulta si liniaritatea ın al doilea argument pentru Ω. Deasemenea
rezulta ca Ω(u, u) = 0, ∀u ∈ V .
Fie Ωb : V → V ∗, u ∈ V 7→ Ωb(u) cu Ωb(u)(v) = Ω(u, v), ∀u, v ∈ V .
Propozitia 12.1
Ωb(u) ∈ V ∗, ∀u ∈ V .
Demonstratie: Ωb(u)(λv + µw) = Ω(u, λv + µw) = λΩ(u, v) + µΩ(u,w) = λΩb(u)(v) +
µΩb(u)(w).
Propozitia 12.2
Ωb este transformare liniara ıntre spatiile vectoriale reale V , V ∗.
Demonstratie: Trebuie aratat ca Ωb(λu + µv) = λΩb(u) + µΩb(v), ∀λ, µ ∈ R, ∀u, v ∈ V . Fie
93
94 LECTIA 12. SPATII VECTORIALE SIMPLECTICE
w ∈ V oarecare. Avem:
Ωb(λu + µv)(w) = Ω(λu + µv, w) = λΩ(u,w) + µΩ(v, w)
(λΩb(u) + µΩb(v))(w) = λΩb(u)(w) + µΩb(v, w) = λΩ(u, w) + µΩ(v, w)
Definitia 12.1
Transformarea biliniara antisimetrica Ω o numim forma (sau structura) simplectica daca Ωb este
izomorfism de spatii vectoriale. In acest caz perechea (V,Ω) o numim spatiu vectorial simplectic.
Cum Ωb este deja transformare liniara cerem deci ca Ωb sa fie bijectie. Conform unui rezul-
tat de algebra liniara o transformare liniara ıntre spatii vectoriale de aceeasi dimensiune este
surjectiva daca si numai daca este injectiva. Cum dimV = dimV ∗ = n rezulta ca este suficienta
injectivitatea lui Ωb i.e. Ωb(u1) = Ωb(u2) ⇒ u1 = u2. Echivalent Ωb(u1) − Ωb(u2) = 0V ∗ ⇒u1− u2 = 0V sau ınca Ωb(u1− u2) = 0V ∗ ⇒ u1− u2 = 0V deoarece Ωb este transformare liniara.
Prin urmare cerem ca Ωb(u) = 0V ∗ ⇒ u = 0V adica Ω(u, v) = 0 ∀v ∈ V sa implice u = 0,
conditie ce se mai numeste nedegenerarea lui Ω.
Fie B = ei16i6n o baza fixata ın V si B∗ = ek16k6n baza duala din V ∗ i.e. ek(ei) = δki .
Ωb(ei) ∈ V ∗; deci Ωb(ei) admite o descompunere unica ın raport cu B∗: Ωb(ei) = Ωikek. Daca
aplicam aceasta egalitate de transformari liniare pe vectorul ej ∈ V avem Ωb(ei)(ej) = Ω(ei, ej) =
(Ωikek)(ej) = Ωikδ
kj = Ωij . Deci Ωij = Ω(ei, ej) si identificam Ω cu matricea A = (Ωij)16i,j6n.
Din antisimetria lui Ω i.e. Ωij = −Ωji rezulta ca tA = −A i.e. A este matrice antisimetrica,
A ∈ o(n). Sa aplicam functia determinant egalitatii precedente: det tA = det(−A). Cum
det tA = detA si det(−A) = (−1)n detA rezulta ca (−1)n = 1 adica n este numar par! Prin
urmare, structurile simplectice pot fi definite doar pe spatii vectoriale de dimensiune para; altfel
spus, paritatea dimensiunii este o conditie necesara pentru existenta unei structuri simplectice!
Exemplul fundamental de structura simplectica
Fie Ωcan : R2n → R2n, Ωcan = tX · Jk · Y cu:
Jk =
(Ok Ik
−Ik Ok
)
Mircea CRASMAREANU 95
Deci pentru X = (x1, . . . , xk, xk+1, . . . , x2k), Y = (y1, . . . , yk, yk+1, . . . , y2k) avem:
Ωcon(X, Y ) = (−xk+1, . . . ,−x2k, x1, . . . , xk) ·
y1
...
y2k
=
= x1yk+1 + · · ·+ xky2k − xk+1y1 − · · · − x2kyk.
Ωcan este structura simplectica numita canonica.
Aceasta forma simplectica este utila ın scrierea ecuatiilor Hamilton de miscare. Fie (q, p) =
(q1, . . . , qk, p1, . . . , pk) ∈ R2k si H ∈ C∞(R2k) functia Hamilton. Reamintim ecuatiile Hamilton:
qi =∂H
∂qi, pi = −∂H
∂pi, 1 6 i 6 k. Acestea se pot scrie
ddt
(q, p) = Jk · ∇H =
(Ok Ik
−Ik Ok
)·
∂H
∂q∂H
∂p
. Prin urmare
ddt
(q, p) = Ωcan(∇H) si deciddt
(q, p) = Ω(∇H,∇H) = 0 ceea ce este
conservarea lui H:ddt
(q, p)(∇H) = qi ∂H
∂qi+ pi
∂H
∂pi=
ddt
(H(q, p)). Deciddt
(q, p) ∈ (R2k)∗ este
interpretarea corecta!
Mai precis, t ∈ R 7→ ddt
(q(t), p(t)) este o curba ın (R2k)∗ sau ınca (q, p) ∈ (R2k)∗. Pentru
q ∈ Rk fixat multimea T ∗q Rk = (q, p) ∈ (R2k)∗; p ∈ Rk o numim spatiul cotangent ın q la
Rk. Din modul de constructie T ∗q Rk este spatiu vectorial real izomorf cu Rk; deci dimT ∗q Rk =
k. Multimea T ∗Rk =⋃
q∈Rk
T ∗q Rk o numim fibratul cotangent al lui Rk. T ∗Rk = (q, p) ∈
(R2k)∗; q ∈ Rk, p ∈ Rk = (R2k)∗; deci T ∗Rk este spatiu vectorial real izomorf cu R2k. Prin
urmare dimT ∗Rk = 2k.
Seminar
S 12.1 (1-forme diferentiale)
Fie X (R2k) multimea campurilor vectoriale pe R2k, care este spatiu vectorial 2k-dimensional cu
baza(
∂
∂qi,
∂
∂pi
)
16i6k. Dualul acestui spatiu vectorial ıl notam Λ1(R2k) si un element din acest
dual ıl numim 1-fora (diferentiala). In Λ1(R2k) avem baza duala celei precedente dqi, dpi; deci
dqi(
∂
∂qj
)= δi
j , dqi(
∂
∂pj
)= 0
dpi
(∂
∂qj
)= 0, dpi
(∂
∂pj
)= δi
j
96 LECTIA 12. SPATII VECTORIALE SIMPLECTICE
Fie H ∈ C∞(R2k). Dual campului gradient ∇H =(
∂H
∂qi,∂H
∂pi
)avem dH ∈ Λ1(R2k) data de
dH =∂H
∂qidqi +
∂H
∂pidpi numita diferentiala lui H. Sa se scrie ecuatiile Hamilton ın termeni de
dH.
Rezolvare: Avem Ωbcan(q, p) = dH(q, p). Aceasta relatie ne conduce la urmatoarea definitie:
Campul vectorial X ∈ X (R2k) ıl numim Hamiltonian daca ∃H ∈ C∞(R2k) a.ı. Ωbcan(X) =
dH. In acest caz notam X = XH si H o numim functia Hamilton.
S 12.2 (Campuri Hamiltoniene liniare)
Fie X ∈ X (R2k) camp vectorial liniar definit de A ∈ M2k(R). Atunci X este Hamiltonian daca
si numai daca A este matrice Ωbcan-antisimetrica i.e. Ωcan(Au, v) = −Ω(u,Av). Cine este H?
Rezolvare: Presupunem:
A =
(M N
P Q
)
si atunci
A(q, p) = (Mq + Np, Pq + Qp) = X(q, p) = Jk ·
∂H
∂q∂H
∂p
=
(0 +1
−1 0
)
∂H
∂q∂H
∂p
=
=(
∂H
∂p,−∂H
∂q
)
si deci:∂H
∂q= −Pq−Qp,
∂H
∂p= Mq +Np. Cum
∂
∂q
(∂H
∂p
)=
∂
∂p
(∂H
∂q
)avem −Q = M si deci
A =
(M N
P −M
)
Avem A(q, p) = (Mq + Np, Pq −Mp) si:
Ω(A(q, p), (q, p)) = (Mq + Np, Pq −Mp)
(P
−q
)= Mpq + Np2 − Pq2 + Mpq =
= 2Mpq + Np2 − Pq2
Ω((q, p), A(q, p)) = (−p, q)
(Mq + Np
Pq −Mp
)= −Mpq −Np2 + Pq2 −Mpq =
= −2Mpq −Np2 + Pq2
Mircea CRASMAREANU 97
ceea ce arata ca A este Ωcan-antisimetrica. Avem:
dH =∂H
∂qdq +
∂H
∂pdp = (−Pq + Mp)dq + (Mq + Np)dp =
= M(pdq + qdp)− Pqdq + Npdp = Md(pq)− Pd(12q2) + Nd(
12p2) =
= d(Mpq − P
2q2 +
N
2p2)
adica:
H = Mpq − P
2q2 +
N
2p2
ce este un Hamiltonian patratic. Comparand cu prima relatie din acolada de mai sus rezulta ca:
H(q, p) =12Ωcan(A(q, p), (q, p)).
S 12.3 (Transformari canonice)
Fie (V,Ω) si (W,ω) spatii simplectice si f : V → W o aplicatie (nu neaparat liniara). Spunem
ca f este simplectomorfism (sau transformare canonica) daca este bijectie si ∀v1, v2 ∈ V avem:
Ω(v1, v2) = ω(f(v1), f(v2)).
Sa se arate ca f : R2 → R2 transformare liniara definita de matricea A ∈ M2(R) este simplecto-
morfism relativ la Ωcan daca si numai daca detA = 1 i.e. A ∈ SL(2,R).
Rezolvare: f : R2 → R2 este simplectomorfism relativ la Ωcan daca si numai daca
tv1 · Jk · v2 = ω(Av1, Av2) = t(Av1) · Jk ·Av2 = tv1 · tAJk ·Av2
ceea ce revine la Jk = tA · Jk ·A. Sa studiem cazul k = 1 cand:
A =
(a b
c d
).
Avem:
tA · J1 ·A =
(a c
b d
) (0 1
−1 0
) (a b
c d
)=
(−c a
−d b
) (a b
c d
)=
=
(0 ad− bc
bc− ad 0
)=
(0 1
−1 0
)
ceea ce revine la ad− bc = det A = 1.
98 LECTIA 12. SPATII VECTORIALE SIMPLECTICE
S 12.4
Care sunt valorile proprii ale lui J1? Este J1 diagonalizabila?
Rezolvare: det(J1 − λI2) =
∣∣∣∣∣−λ 1
−1 −λ
∣∣∣∣∣ = λ2 + 1 = 0 ⇒ λ ∈ ±i. J1 nu este diagonalizabila
deoarece λ1,2 6∈ R.
S 12.5
Se cere expresia parantezei Poisson induse de J1.
Rezolvare:
F, G = t(∇F ) ·(
0 1
−1 0
)· ∇G =
(∂F
∂q,∂F
∂p
) (0 1
−1 0
)
∂G
∂q∂G
∂p
=
=(−∂F
∂p,∂F
∂q
)
∂G
∂q∂G
∂p
=
∂F
∂q
∂G
∂p− ∂F
∂p
∂G
∂q.
Avem: qn, p = nqn−1, q, pm = mpm−1, qα, pβ = αqα−1βpβ−1 = αβqα−1pβ−1.
Bibliografie
[1] Anastasiei, M., Crasmareanu, M., Lectii de geometrie (Curbe si suprafete),
Ed. Tehnopress, Iasi, 2005.
[2] Arnold, V., Metodele matematice ale mecanicii clasice, Ed. Stiintifica si Enciclopedica,
Bucuresti, 1980.
[3] Arnold, V., Ecuatii diferentiale ordinare, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1978.
[4] Barbu, V., Ecuatii diferentiale, Ed. Junimea, Iasi, 1985.
[5] Cruceanu, V., Elemente de algebra liniara si geometrie, Ed. Didactica si Pedagogica,
Bucuresti, 1973.
[6] Landau, L., Lifchitz , E., Physique theoretique 1:Mecanique, Ed. Mir, Moscou, 1981
(ed. 4).
[7] Marsden, J.E., Ratiu, T.S., An introduction to mechanics and symmetry, Springer,
1994.
[8] Miron, R., Anastasiei, M., The geometry of Lagrange spaces: theory and applications,
Kluwer, 1994.
[9] Miron, R., Bucataru, I., Finsler-Lagrange geometry, in press.
[10] Munteanu, Gh., Balan, V., Lectii de teoria relativitatii, Ed. Bren, Bucuresti, 2000.
[11] Obadeanu, V., Grosanu, I., Sisteme dinamice cu aplicatii ın biologie si economie,
Ed. Mirton, Timisoara, 1996.
[12] Oproiu, V., Geometrie diferentiala, Ed. Univ. “Al.I. Cuza”, Iasi, 2002.
99
100 BIBLIOGRAFIE
[13] Opris, D., Butulescu, I., Metode geometrice ın studiul sistemelor de ecuatii diferentiale,
Ed. Mirton, Timisoara, 1997.
[14] Pitis, Gh., Topologie diferentiala, Ed. Univ. Transilvania, Brasov, 1997.
[15] Pop, I., Curs de geometrie analitica, Ed. Univ. “Al.I. Cuza”, Iasi, 1992.
[16] Puta, M., Hamiltonian mechanical systems and geometric quantization, Kluwer, 1993.
[17] Raileanu, L., Miron, R., Geometrie diferentiala, Ed. Univ. “Al.I. Cuza”, Iasi, 1987.
[18] Udriste, C., Linii de camp, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1988.
[19] Zet, Gh., Simetrii unitare si teorii gauge, Ed. Gh. Asachi, Iasi, 1998.
[20] Zet, Gh., Supersimetrii si teoria stringurilor, Ed. Cermi, Iasi, 2001.
Top Related