Cuprins - Facultatea De Matematica Iasimcrasm/depozit/b4.pdf · 2005-09-02 · acest material pot...

Cuprins

1 Preliminarii algebrice 5

2 Campuri scalare si campuri vectoriale 17

3 Structuri Poisson 31

4 Sisteme Hamiltoniene 41

5 Stabilitatea punctelor de echilibru 47

6 Traiectoriile campurilor vectoriale liniare 55

7 Grupuri matriceale 61

8 Algebra Lie a unui grup matriceal 69

9 Actiuni de grupuri matriceale 75

10 Sisteme Hamiltoniene cu simetrie 81

11 Morfisme de grupuri matriciale si algebre Lie 87

12 Spatii vectoriale simplectice 93

1

2 CUPRINS

Prefata

Matematica si fizica sunt surori. Au acelasi tata (Adevarul) si aceeasi mama (Realitatea).

Timpul istoriei le-a calazit pe carari mai mult sau mai putin ındepartate. De aceea, la mai bine

de 300 de ani de la fundamentarea matematica a mecanicii de catre Newton ın a sa Philosophiae

naturalis principia mathematica(1687), a scrie o noa carte despre fratietatea matematica-fizica

nu este un lucru usor. Diversitatea subiectelor comune si a tehnicilor de legatura creeaza o

veritabila ”padure de liane” sufocand realmente pe cautator. Cu atat mai dificila este sarcina

cand publicul-tinta al acelei carti se doresc a fi ıncepatori, ın speta studenti ai primilor ani.

Din aceste motive cartea de fata constituie o mixtura de instrumente matematice de natura

diversa: algebrice, geometrice, analitice, necesare unei dualitati (analoage celei de tip corpuscul-

unda a luminii) la care trebuie sa raspunda o monografie serioasa si anume: complexitatea

materialului avut ın vedere/simplitatea cunostintelor cerute unui public ”undergraduated” cat

mai eterogen, adica studenti ai ambelor facultati (de matematica respectiv fizica).

Daca autorul a reusit macar o parte a demersului sau didactic, doar cei ce vor folosi efectiv

acest material pot decide. Asemeni semintelor raspandite de semanator, cel ce a scris aceste

randuri spera ca din aceste seminte ale Stiintei sa se ınfrupte cat mai multi.

Autorul ındeplinesteo datorie de onoare din a dedica aceasta carte profesorilor de la Fac-

ultatile de Matematica si Fizica ale Universitatii ”Al. I. Cuza” din Iasi, de la care a ınvatat el

ınsusi multe, foarte multe. Pe doar cativa dintre ei ıi vom numi efectiv datorita rolului imens

avut ın formarea stiintifica si didactica a autorului:

− doamna profesoara Liliana Raileanu, calauza primilor pasi ın catari de orice natura

(stiintifice sau umane),

− domnul academician Radu Miron, conducatorul tezei de doctorat cu un subiect la

granita dintre matematica si fizica,

3

4 CUPRINS

− domnii profesori Vasile Cruceanu si Mihai Anastasiei, modele ın predare ca si mai sus

pomenitii,

− domnul profesor Gheorghe Zet, fizician de ınalta clasa.

Nu ın ultimul rand, mii de multumiri lui Adrian Guria, cel ce a tehnoredactat manuscrisul

ıntr-un ritm record!

Lectia 1

Preliminarii algebrice

Suport de curs

Fie (K, +, ·) un corp comutativ ale carui elemente le numim scalari si le notam cu litere grecesti.

Daca m,n ∈ N∗, notam Mm,n(K) = A = matrice cu elemente din K avand m linii si n coloane

; Mn,n(K) o notam Mn(K). O matrice A ∈ Mm,n(K) o notam A = (aij) 16i6m

16j6nfolosind deci

urmatoarea conventie: indicele superior reprezinta linia, iar indicele inferior coloana:

A =

a11 a1

2 · · · a1n

a21 a2

2 · · · a2n

......

. . ....

am1 am

2 · · · amn

.

Definitia 1.1

I. Numim K-spatiu vectorial (sau linear) un triplet (V,+, ·) unde:

– V este o multime nevida ale carei elemente le numim vectori si le notam cu litere latine,

– + : V × V → V , (x, y) 7→ x + y este o lege de compozitie interna pe V numita adunarea

vectorilor a.ı. (V,+) este grup abelian. Notam 0V elementul neutru al acestui grup si-l

numim vectorul nul,

– · : K× V → V , (λ, x) 7→ λx este o lege de compozitie externa pe V numita ınmultirea cu

scalari a vectorilor ce satisface axiomele:

i) λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ V

5

6 LECTIA 1. PRELIMINARII ALGEBRICE

ii) (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V

iii) (λµ)x = λ(µx), ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V

iv) 1K · x = x, ∀x ∈ V.

Daca K este numai inel comutativ spunem ca V este un K-modul.

II. Un sistem finit de vectori B = v1, . . . , vn ıl numim:

a) sistem de generatori daca ∀x ∈ V ∃x1, . . . , xn ∈ K a.ı. x = x1v1 + · · · + xnvn, adica x

se exprima ca o combinatie liniara de vectori din B. Relatia precedenta o vom scrie x = xivi

folosind regula Einstein (a indicelui mut): daca un indice apare ıntr-o expresie odata sus si

odata jos atunci sumam acea expresie dupa toate valorile acelui indice. Folosind conventia de

la matrici rezulta ca avem asocierea:

xB−→X =

x1

...

xn

∈ Mn,1(K).

Aceasta asociere este evident surjectiva; cu ipoteza urmatoare va deveni injectiva si deci bijectie.

b) liniar independent daca relatia λ1v1 + · · ·λnvn = 0V implica λ1 = · · · = λn = 0K. In caz

contrar spunem ca sistemul dat este liniar dependent.

c) baza daca este sistem de generatori si este liniar independent.

III. O submultime V ′ ⊂ V o numim subspatiu vectorial ın V daca ∀λ, µ ∈ K si ∀x, y ∈ V ′ avem

λx + µy ∈ V ′.

IV. Fie V, W doua K-spatii liniare si T : V → W . Spunem ca T este o transformare liniara (sau

operator liniar) daca ∀λ, µ ∈ K si ∀x, y ∈ V avem T (λx + µy) = λTx + µTy. Notam L(V, W )

multimea operatorilor liniari, respectiv L(V ) daca V = W . Un operator liniar bijectiv ıl numim

izomorfism liniar; ın acest caz spunem ca V si W sunt izomorfe.

V. Un K-spatiu vectorial ınzestrat cu o ınmultire · : V × V → V ce satisface legea de dis-

tributivitate fata de adunare x(λy + µz) = λxy + µxz, (λx + µy)z = λxz + µyz, ∀x, y, z ∈ V ,

∀λ, µ ∈ K ıl numim K-algebra. Daca ınmultirea este asociativa (comutativa) i.e. x(yz) = (xy)z

(xy = yx) spunem ca V este o algebra asociativa (comutativa). Daca ınmultirea satisface:

v) anticomutativitate (sau antisimetrie) xy = −yx (echivalent x2 = xx = 0V daca charK 6= 2;

spre exemplu K = R sau C).

vi) identitatea Jacobi x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0V ∀x, y, z ∈ V

Mircea CRASMAREANU 7

spunem ca V este o algebra Lie.

VI. Daca V este K-algebra si V ′ ⊂ spunem ca V ′ este subalgebra daca λx+µy ∈ V ′ si x ·y ∈ V ′,

∀λ, µ ∈ K si ∀x, y ∈ V ′.

Observatii 1

i) Fie v1, . . . , vn un sistem liniar dependent; deci ∃λ1, . . . λn ∈ K nu toti nuli a.ı. λivi = 0V .

Daca presupunem λi 6= 0K atunci vi = −(λi)−1(λ1v1+· · ·+λi−1vi−1+λi+1vi+1+· · ·+λnvn)

i.e. vectorul vi este combinatie liniara de ceilalti vectori. In particular, daca n = 2, rezulta

ca un vector este multiplu de celalalt. Doi vectori x, y cu y = λx, λ ∈ K ıi numim coliniari.

ii) Daca B = v1, . . . , vn este baza rezulta ca ∀x ∈ V admite o descompunere unica x = xivi.

Scalarii (x1, . . . , xn) ıi numim coordonatele lui x ın raport cu baza B.

iii) Daca B = v1, . . . , vn, B = v1, . . . , vm sunt baze ın V se arata ca n = m. Deci pentru

un spatiu vectorial dat exista un numar fix al vectorilor dintr-o baza oarecare. Acest numar

ıl numim dimensiunea peste K a lui V si-l notam dimK V ; mai notam Vn. Se arata ca n

este numarul maxim de vectori liniar independenti din V .

iv) L(V,W ) esteK-spatiu vectorial si daca dimK V = n, dimKW = m atunci dimK L(Vn,Wm) =

nm. Mai precis, fie BV = e1, . . . , en, BW = f1, . . . , fm baze ın Vn, Wm si T ∈L(Vn,Wm) oarecare. Vectorul T (ei) admite descompunerea unica T (ei) = aj

ifj , aji ∈ K ın

baza BW ; deci lui T ıi asociem AT ∈ Mm,n(K) cu AT = (aji ) 16j6m

16i6n. Datorita unicitatii

descompunerii avem ca aceasta asociere este o bijectie si deci L(Vn,Wm) se identifica cu

Mm,n(K) via bijectia:

T −→ AT =

T (e1) T (e2) T (en)

a11 a1

2 · · · a1n

......

. . ....

am1 am

2 · · · amn

.

La randul sau Mm,n(K) se identifica cu Knm via bijectia A = (aji ) → (a1

1, . . . , amn ). Faptul

ca Knm este K-spatiu vectorial de dimensiune nm rezulta din urmatorul exemplu:


Exemplul 1 (fundamental)

Fie n ∈ N∗ si V = Kn = K × · · · × K︸︷︷︸n ori

ın care definim:

x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn), daca x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)

λx = (λx1, . . . , λxn).

Se verifica imediat axiomele deK-spatiu vectorial. Fie Bc = e1, . . . , en, unde ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

cu 1(= 1K) pe locul i. Rezulta imediat ca Bc este o baza pe Kn numita baza canonica; deci

dimKKn = n. Coordonatele lui x ∈ Kn ın raport cu Bc sunt exact componentele (xi) ale lui x.

Vectorul nul este 0 = (0, . . . , 0).

Observatii:

– In particular pentru n = 1, rezulta ca K(= K1) este K-spatiu vectorial 1-dimensional.

Astfel, pentru K = C avem dimCC = 1. Dar C = R2, deci dimRC = 2; de aici rezulta

importata corpului de scalari si faptul ca o aceeasi multime poate fi ınzestrata cu structura

de spatiu vectorial peste mai multe corpuri.

– Datorita observatiei precedente si a observatiei 1,iv) putem considera K-spatiul L(V,K)

notat V ∗ si numit dualul lui V ; deci dimK V ∗ = n · 1 = n. Fie B = ei16i6n baza ın Vn si

fie B∗ = ej16j6n ⊂ V ∗ unde ej(ei) = δji =

1K i = j

0K i 6= j(simbolul Kroneker). Avem ca

B∗ este baza ın V ∗ numita duala bazei B.

– Mn(K) este o K-algebra relativ la ınmultirea matricilor patratice. O baza este Eij16i,j6n

cu Eij continand doar 1K pe linia i si coloana j si ın rest 0K. K = R,C este K-algebra

asociativa si comutativa cu ınmultirea uzuala a numerelor reale, respectiv complexe.

Schimbari de baze si coordonate ın Vn

Propozitia 1.1

Fie B = e1, . . . , en sistem liniar independent ın Vn. Atunci B este baza.

Demonstratie: Sa aratam ca B este sistem de generatori. Fie x ∈ Vn oarecare. Conform

observatiei 1, iii) sistemul e1, . . . , en, x este liniar dependent deci ∃λ1, . . . , λn, λ ∈ K nu toti

nuli a.ı. λ1e1 + · · ·+λnen +λx = 0V . Daca presupunem λ = 0K ar rezulta λiei = 0V si din liniar

independenta lui B obtinem λ1 = · · · = λn = 0K, contradictie. Deci λ 6= 0V si deci conform

observatiei 1, i) x este combinatie liniara de e1, . . . , en.


Fie B = e1, . . . , en baza ın Vn si sistemul de vectori v1, . . . , vk, k 6 n. Descompunem

vj = sijei, 1 6 j 6 k; obtinem matricea

S =

v1 v2 . . . vk

s11 s1

2 . . . s1k

......

. . ....

sn1 sn

2 . . . snk

∈ Mn,k(K).

Se arata ca v1, . . . , vk este sistem liniar independent daca si numai daca rang S = k

(=maxim posibil). In consecinta, daca k = n avem ca v1, . . . , vn este baza ın Vn ⇐⇒ rang S =

n ⇐⇒ det S 6= 0K i.e. S este inversabila sau ınca S ∈ GL(n,K) = A ∈ Mn(K); A inversabila.GL(n,K) este grup relativ la ınmultirea matricilor, numit n-grupul liniar general peste K; ele-

ment neutru este matricea unitate

In =

1K. . .

1K

(stim ca ınmultirea matricilor este asociativa si pentru A ∈ GL(n,K) exista evident A−1 ∈GL(n,K) inversa lui A) (exemplu: GL(1,K) = K∗ = K\0K).

Fie B = ei16i6n, B = ej16j6n baze ın Vn si S ∈ GL(n,K) matricea construita anterior;

notam B = S(B) si numim S matricea de trecere de la baza B la B. Avem imediat ca B =

S−1(B). Fie x ∈ Vn oarecare avand coordonatele X = XB = (xi)16i6n, X = XB

= (xj)16j6n.

Avem descompunerea x = xiei = xj(sijei) = (xjsi

j)ei(∗)= (si

j xj)ei, unde am folosit comutativ-

itatea ınmultirii ın K la pasul (∗). Datorita unicitatii descompunerii ın baza B rezulta xi = sij ·xj

ceea ce, tinand cont de regula indicilor pentru elementele unei matrici (cel de sus=linia, cel de

jos=coloana) si de regula ınmultirii a doua matrici spune ca avem relatia (linia) i din egalitatea;

x1

...

xn

= S

x1

...

xn

adica X = SX. In concluzie coordonatele “noi” (X) se exprima ın functie de cele “vechi” (X)

prin: X = S−1X.

Cum S ∈ GL(n,K) avem detS 6= 0. Daca K = R avem cazurile:

– det S > 0; spunem ca B si B sunt baze la fel orientate;

– det S < 0; spunem ca B si B sunt baze contrar orientate.


Produse scalare, norme

Consideram ın aceasta sectiune K unul din corpurile R, C si aplicatia : K → K data de x = x

daca x ∈ R si x = a − bi daca x = a + bi cand K = C; aceasta aplicatie o numim conjugare.

Considerand K drept K-spatiu vectorial avem ca ∈ L(K); mai mult, K este chiar K-algebra si

relativ la ınmultire avem xy = x · y. Aceasta aplicatie este o involutie ın sensul ca = 1K; avem

si x · x = |x|2 ∈ R+ = a ∈ R; a > 0.

Definitia 1.2

Fie V un K-spatiu vectorial; numim produs scalar pe V o aplicatie 〈 , 〉 : V ×V → K satisfacand:

PS1) 〈x, x〉 ∈ R+, ∀x ∈ V ; 〈x, x〉 = 0 ⇒ x = 0V

PS2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V

PS3) 〈λx + µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉, ∀x, y, z ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.

Vectorii x, y ∈ V ıi numim ortogonali (sau perpendiculari) si notam x ⊥ y daca 〈x, y〉 = 0.

Baza B = ei16i6n din Vn o numim ortonormata daca 〈ei, ej〉 = δji . Numim norma pe V o

aplicatie ‖ · ‖: V → R+ cu proprietatile

N1) ‖ x ‖> 0, ∀x ∈ V ; ‖ x ‖= 0 ⇐⇒ x = 0V ,

N2) ‖ λx ‖= |λ| ‖ x ‖ ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K,

N3) ‖ x + y ‖6‖ x ‖ + ‖ y ‖ ∀x, y ∈ V .

Vectorul x ∈ V ıl numim versor daca ‖ x ‖= 1.

Observatii:

Un produs scalar induce o norma via relatia ‖ x ‖= √〈x, x〉. Intr-o baza ortonormata avem

versori ortogonali doi cate doi.

Exemplul 2 (fundamental)

Fie 〈 , 〉 : Kn × Kn → K, 〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xnyn; se verifica imediat axiomele PS. Norma

indusa este ‖ x ‖= √|x1|2 + · · ·+ |xn|2. Acest produs scalar ıl numim euclidian cand K = R,


respectiv hermitian cand K = C; norma indusa o numim euclidiana, respectiv hermitiana. Cu

notatia uzuala

x =

x1

...

xn

, y =

y1

...

yn

avem, folosind din nou comutativitatea din K si relatia 〈x, y〉 = ty · x, unde tA este transpusa

matricii A, iar A este conjugata lui A i.e. matricea avand conjugatele elementelor lui A. Baza

canonica Bc = ei16i6n este ortonormata ın raport cu acest produs scalar.

Definitia 1.3

– T ∈ L(Rn) o numim transformare ortogonala daca invariaza produsul scalar euclidian:

〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ Rn

– T ∈ L(Cn) o numim transformare unitara daca invariaza produsul scalar hermitian:

〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ Cn

Pentru T ∈ L(Kn) fie A = AT ∈ Mn(K) matricea asociata ın raport cu baza canonica Bc;

deci T (x) = A · x. Deci ın definitia anterioara avem ca 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ Kn. Cu

expresia 〈x, y〉 = ty · x avem:

〈Ax,Ay〉 = t(Ay) ·Ax = t(Ay)Ax = tytAAx = tyx, ∀x, y ∈ Kn

ceea ce ınseamna tA ·A = In. Spunem ca A ∈ Mn(R) (respectiv Mn(C)) este matrice ortogonala

(respectiv matrice unitara) daca transformarea liniara asociata T (x) = Ax este ortogonala (re-

spectiv unitara). Fie O(n), respectiv U(n), multimea tuturor matricelor ortogonale, respectiv

unitare. Am obtinut:

– O(n) = A ∈ Mn(R); tA ·A = In

– U(n) = A ∈ Mn(C); tA ·A = In.

O(n) si U(n) sunt grupuri relativ la ınmultirea matricilor. Doar pentru n = 1 acestea sunt

grupuri abeliene; se vedea exercitiul S1.6.


Seminar

S 1.1

Sa se arate ca B = e1, e2, e3 este baza ın R3 unde e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e1 = (0, 1, 1) si

se cer coordonatele vectorului v = (1, 1, 1) ın aceasta baza.

Rezolvare: Conform teoriei de la cursul 1 trebuie studiata inversabilitatea matricii:

S =

e1 e2 e3

1 1 0

1 0 1

0 1 1

.

Deoarece detS = −1 − 1 = −2 6= 0 rezulta ca B este baza contrar orientata bazei canonice.

Avem:

X =

1

1

1

si X = S−1X

unde:

S−1 = −12

−1 −1 1

−1 1 −1

1 −1 −1

=

12

1 1 −1

1 −1 1

−1 1 1

;

ın concluzie:

X =12

1 1 −1

1 −1 1

−1 1 1

1

1

1

=

12

1

1

1

.

Rezultatul se poate verifica direct: v = 12(e1 + e2 + e3).

S 1.2 (Unghiul dintre doi vectori nenuli)

Fie x, y din spatiul cu produs scalar (V, 〈 , 〉). Daca x, y 6= 0V definim unghiul θ = θ(x, y) dintre

vectorii x, y prin:

cos θ =〈x, y〉

‖ x ‖‖ y ‖ .

De ce se prefera cosinus pentru a determina un unghi si nu functia sinus? (sa se argumenteze

relativ la semnele acestor functii).

Se cere unghiul dintre vectorii ei, ej , i 6= j de la problema S 1.1.

Rezolvare: 〈ei, ej〉 = 1, ‖ ei ‖=‖ ej ‖=√

2 deci θ = π3 .


S 1.3 (Produsul vectorial, produsul mixt)

Fie ın R3 cu baza canonica renotata Bci, j, k aplicatia produs vectorial definita de expresia:

x× y =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣

unde determinantul se dezvolta dupa prima linie. Sa se arate proprietatile:

i) x× x = 0 si x× y = −y × x; reciproc, daca x× y = 0 atunci vectorii x, y sunt coliniari;

ii) (λx + µy)× z = λx× z + µy× z; folosind ii) obtinem si liniaritatea ın al doilea argument.

Deci × este aplicatie biliniara antisimetrica;

iii) x × y⊥x si x × y⊥y, deci daca x si y sunt necoliniari atunci x, y, x × y este o baza

(ın general neortonormata). Deoarece ‖ x× y ‖=‖ x ‖‖ y ‖ sin θ avem ca x, y sistem

ortonormat implica x, y, x× y baza ortonormata.

iv) (R3,×) este algebra Lie.

Aplicatia ( · , · , · ) : R3 × R3 × R3 → R, (x, y, z) = 〈x, y × z〉 o numim produs mixt. Avem

invarianta la permutari circulare (x, y, z) = (y, z, x) = (z, x, y). Avem urmatorul tabel:

operatia semnificatia geometrica marimea corespunzatoare

produs scalar ortogonalitate lungime

produs vectorial coliniaritate arie

produs mixt coplanaritate volum

Avem:

– daca (x, y, z) = 0 atunci vectorii x, y, z sunt ın acelasi plan spunem ca x, y, z sunt coplanari;

– ‖ x× y ‖= aria paralelogramului cu laturile adiacente x, y;

– |(x, y, z)| = volumul paralelipipedului cu laturile adiacente x, y, z.

Se cer ei × ej , i 6= j si (e1, e2, e3) cu vectorii de la S 1.1.


Rezolvare:

e1 × e2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 1 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1,−1,−1), e2 × e3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0 1

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1,−1, 1)

e3 × e1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

0 1 1

1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1, 1,−1)

(e1, e2, e3) = detS (de la S 1.1) = −2. Deci baza (e1, e2, e3) este contrar orientata bazei canonice

Bc = i, j, k. Peste tot am notat i = e1 = (1, 0, 0), j = e2 = (0, 1, 0), k = e3 = (0, 0, 1) si aceeasi

notatie o vom folosi mereu la R3. In R2 vom folosi mereu notatia i = e1 = (1, 0), j = e2 = (0, 1).

S 1.4 (Determinantul, urma, polinomul caracteristic, diagonalizarea)

Sa se arate urmatoarele proprietati ale determinantului:

i) det(tA) = detA

ii) det(AB) = det(A) · det(B) si sa se deduca de aici ca daca S ∈ GL(n,K) atunci detS−1 =

(detS)−1.

Functia tr : Mn(K) → K, tr A =n∑

i=1ai

i o numim urma lui A. Sa se arate ca:

iii) tr(λA + µB) = λ trA + µ trB i.e. tr este operator liniar ıntre K-spatiile vectoriale Mn(K)

si K sau ınca tr ∈ (Mn(K))∗

iv) tr(tA) = trA si tr(A) = trA

v) tr(ABC) = tr(BCA); sa se deduca ca S ∈ GL(n,K) ⇒ tr(SAS−1) = trA

vi) tr(AB) = tr(BA) din C = In ın v).

O matrice A pentru care tA = A (tA = −A) o numim simetrica (antisimetrica).

Fixam A ∈ Mn(K). Functia PA : K → K, PA(λ) = det(A− λIn) o numim polinom caracter-

istic al lui A. Sa se arate ca

PA(λ) = λn + p1λn−1 + p2λ

n−2 + · · ·+ pn−1λ + (−1)n detA


unde pi este (−1)i · (suma minorilor principali patratici de ordin i din A). In particular p1 =

− trA.

Radacinile lui PA le numim radacini caracteristice ale lui A, iar radacinile caracteristice din

K le numim valori proprii ale lui A.

A o numim diagonalizabila daca exista S ∈ GL(n,K) a.ı. SDS−1 = A unde D are forma

diagonala

D =

λ1

. . .

λn

Criteriul general de diagonalizare:

vii) toate radacinile caracteristice sunt valori proprii,

viii) fie λi o valoare proprie oarecare. Trebuie ca multiplicitatea lui λi = dimK V (λi) unde

V (λi) = x ∈ Kn; Ax = λix este subspatiul propriu corespunzator lui λi.

Sa se arate ca matricea S de la S 1.1 este diagonalizabila. Se cere trS, tr S−1.

Rezolvare:

PS(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1− λ 1 0

1 −λ 1

0 1 1− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (1− λ)(λ2 − λ− 1)− (1− λ) = (λ2 − λ− 2)(1− λ)

Deci S are radacinile caracteristice 1,−1, 2 care, apartinand lui K = R, sunt valori proprii.

V (λ1) :

x2 = 0

x1 + x3 = x2. Deci v1 = (1, 0,−1).

V (λ2) :

2x1 + x2 = 0

x2 + 2x3 = 0. Deci v2 = (1,−2, 1).

V (λ3) :

x1 = x2

x2 = x3. Deci v3 = (1, 1, 1).

Rezulta ca S = CDC−1, unde

D =

1

−1

2

iar C =

v1 v2 v3

1 1 1

0 −2 1

−1 1 1

.


Avem

C−1 =16

3 0 −3

1 −2 1

2 2 2

si trS = 2, trS−1 =

12

folosind expresia lui S−1 de la S1.1.

S 1.5 (Produsul scalar si norma Hilbert-Schmidt)

Fie K ∈ R,C si 〈 , 〉 : Mm,n(K)×Mm,n(K) → K, 〈A,B〉 = tr(tB · A). Sa se arate ca 〈 , 〉 este

un produs scalar pe Mm,n(K) ce generalizeaza produsul scalar euclidian (cand K = R, n = 1)

respectiv produsul scalar hermitian (cand K = C, n = 1). Interpretari pentru O(n) si U(n).

Rezolvare: tr(tA ·A) =∑

i=1,mj=1,n

|aij |2 > 0; tr(tA ·A) = 0 ⇐⇒ A = Om,n = matricea nula.

〈B,A〉 = tr(tA ·B) = tr tA ·B = tr(tA ·B) = tr(tA ·B) = tr(t(tA ·B)) = tr(tB ·A) = 〈A,B〉.

Liniaritatea ın primul argument rezulta imediat din liniaritatea urmei.

Daca n = 1 avem x, y ∈ Mm(K) si 〈x, y〉 = tr(ty ·x) = ty ·x caci ty ·x este un scalar, deoarecety ∈ M1,n(K) si x ∈ Mn,1(K) implica ty ·x ∈ M1,1(K) = K. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt

generalizeaza produsul scalar euclidian si cel hermitian.

Fie A ∈ U(n), ın particular A ∈ O(n) daca K = R. Avem ‖ A ‖2= 〈A,A〉 = tr(tA · A) =

tr In = n. Deci daca pentru un spatiu cu produs scalar (V, 〈 , 〉) si r > 0 notam Sr(V, 〈 , 〉) = x ∈V ; ‖ x ‖= r numita sfera de raza r ın (V, 〈 , 〉), avem ca O(n) ⊂ S√n(Mn(R), 〈 , 〉), respectiv

U(n) ⊂ S√n(Mn(C), 〈 , 〉) relativ la produsul scalar Hilbert-Schmidt.

S 1.6

Cine este O(1)? Dar U(1)?

Rezolvare: O(1) = x ∈ R1 = R; x · x = 1 = −1, 1 este grup abelian izomorf (relativ la

ınmultire) cu (Z2, +). In adevar:

O(1) 1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

Z2 0 1

0 0 1

1 1 0

Sa remarcam ca proprietatile lui (Z2, +) sunt folosite ın programarea calculatoarelor!

U(1) = z ∈ C; z · z = 1 = z ∈ C; |z|2 = 1 = cercul unitate S1. In general ın Rn notam

sfera unitate prin Sn−1 i.e. Sn−1 = x ∈ Rn; ‖ x ‖= 1. (S1, · ) este grup abelian.

Lectia 2

Campuri scalare si campuri

vectoriale

Suport de curs

Fixam K = R si M ⊆ Rn. Fie functia f : M → R, x = (x1, . . . , xn) ∈ M 7→ f(x) ∈ R.

Definitia 2.1

Spunem ca f este de clasa C∞ pe M daca ∀i ∈ 1, . . . , n f este infinit derivabila ın raport cu

variabila i i.e. ∃ ∂f

∂xi,

∂2f

∂(xi)2, . . . ,

∂kf

∂(xi)k, . . . pe M . Multimea acestor functii o notam C∞(M),

iar un element f ∈ C∞(M) ıl numim camp scalar pe M .

Exemplul 3

M este un lichid sau un gaz, iar f(x) = temperatura ın punctul x ∈ M ⊆ R3.

Propozitia 2.1

C∞(M) este algebra reala relativ la operatiile:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(λf)(x) = λf(x)

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

unde ın membrul drept avem operatia corespunzatoare din R. Aceasta algebra este asociativa,

comutativa si nu are dimensiune finita.

17

18 LECTIA 2. CAMPURI SCALARE SI CAMPURI VECTORIALE

Demonstratie: Faptul ca f + g, λf , f · g sunt din C∞(M) este imediat. Se verifica rapid si

axiomele cerute.

Definitia 2.2

Functia X : M → Rn, x ∈ M 7→ X(x) = (X1(x), . . . , Xn(x)) o numim camp vectorial daca

Xi ∈ C∞(M), 1 6 i 6 n; deci X este un set de n campuri scalare. Fie X (M) multimea

campurilor vectoriale.

Exemplul 4

Fie M suprafata unei tari pe o harta si X(longitudine, latitudine)=(temperatura, presiunea

atmosferica) ın x ∈ M specificat de (longitudine, latitudine); aici n = 2.

Din propozitia 2.1 avem ca C∞ este inel comutativ relativ la operatiile +, ·. Relatia dintre

campuri scalare si vectoriale este data de:

Propozitia 2.2

X (M) este C∞(M)-modul relativ la operatiile:

(X + Y )(x) = (X1(x) + Y 1(x), . . . , Xn(x) + Y n(x))

(f ·X)(x) = (f(x)X1(x), . . . , f(x)Xn(x)).

Multimea B =

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

⊂ X (M) cu

∂

∂xi(x) = ei, 1 6 i 6 n, ∀x ∈ M este o baza ın

X (M). Deci dimC∞(M)X (M) = n.

Demonstratie: Verificarile sunt imediate.

Rezulta ca orice X ∈ X (M) se scrie ın mod unic X(x) = (X1(x), . . . , Xn(x)) = Xi(x)ei =

Xi(x)∂

∂xi(x) i.e. X = Xi ∂

∂xi.

Definitia 2.3

Numim curba pe M o aplicatie c : I ⊂ R → M , t ∈ I 7→ c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ∈ M a.ı.

functiile x1( · ), . . . , xn( · ) sunt infinit derivabile pe I.

De-a lungul curbei c definim doua campuri vectoriale remarcabile:

– campul vitezelor: Vc(c(t)) =(

dx1

dt(t), . . . ,

dxn

dt(t)

)not= (x1(t), . . . , xn(t))


– campul acceleratiilor: Ac(c(t)) = (x1(t), . . . , xn(t)).

Legea a II-a a dinamicii, formulata de I. Newton ın forma vectoriala ma = F se poate

reformula astfel: traiectoria punctului material de masa m sub actiunea campului vectorial al

fortelor F este o curba c pentru care Ac =1m

F . Din acest motiv suntem profund interesati de

studiul campurilor vectoriale.

Introducem aplicatiile ∇ : C∞(M) → X (M), div : X (M) → C∞(M):

– ∇f (sau grad f) =(

∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

)=

∂f

∂xi· ∂

∂xisau ca sa utilizam regula Einstein ∇f =

δij ∂f

∂xi· ∂

∂xj. ∇f ıl numim campul gradient al lui f

– div X =n∑

i=1

∂Xi

∂xifunctia divergenta a lui X.

Aceste aplicatii sunt operatori R-liniari ın sensul introdus ın primul curs:

∇(λf + µg) = λ∇f + µ∇g

div(λX + µY ) = λdiv X + µ div Y

.

Pentru alte proprietati ale acestor operatori a se vedea exercitiul S 2.1.

Putem considera, via schema C∞(M) ∇−→X (M) div−→C∞(M), operatorul compus div ∇ notat

∆ si numit operatorul Laplace sau Laplacean pe functii. In coordonate: ∆f =n∑

i=1

∂

∂xi

(∂f

∂xi

)=

n∑

i=1

∂2f

∂(xi)2. O functie f ∈ C∞(M) pentru care ∆f = 0 o numim armonica.

Exemplul 5

– Fie i ∈ 1, . . . , n fixat si πi : Rn → R, πi(x) = πi(x1, . . . , xn) = xi numita functia proiectie

de indice i. Avem πi ∈ C∞(Rn) si ∇πi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = ei =∂

∂xi.

– Daca n = 1 atunci ∆f =d2f

dx2si deci functiile armonice sunt cele liniare: f(x) = ax + b,

a, b ∈ R fixate.

Cum C∞(M) este o algebra este natural sa ne punem ıntrebarea: cat este ∇(f · g)? Cum

operatorul ∇ este definit prin intermediul derivatei, ce satisface relativ la produsul de functii

regula Leibniz, rezulta ca avem regula Leibniz extinsa:

∇(f · g) = ∇f · g + f · ∇g.


Acest fapt ne conduce la considerarea unei “actiuni” a campurilor vectoriale pe campuri

scalare:

X (M)× C∞(M) → C∞(M)

(X, f) 7→ X(f) def= Xi ∂f

∂xi

Proprietatile acestei actiuni:

– (R-liniaritate) X(λf + µg) = λX(f) + µX(g)

– (λX + µY )(f) = λX(f) + µY (f), (fX)(g) = f ·X(g)

– (regula Leibniz) X(f · g) = X(f) · g + f ·X(g)

Definitia 2.4

Dat X ∈ X (M) numim curba integrala a lui X o curba c pe M pentru care Vc = X.

Daca c(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) si X = (X1, . . . , Xn) rezulta ca avem sistemul diferential al

curbelor integrale:

x1(t) = X1(x1(t), . . . , xn(t))

· · · · · · · · ·

xn(t) = Xn(x1(t), . . . , xn(t))

si din teoria ecuatiilor diferentiale rezulta ca ∀(t0, x0) ∈ R × M ∃ε = ε(t0, x0) > 0 si c :

(t0 − ε, t0 + ε) → M curba integrala a lui X cu c(t0) = x0; deci este suficienta darea conditiilor

initiale ale miscarii: momentul initial (t0) si pozitia initiala (x0), iar cunoasterea la orice moment

a vectorului viteza determina complet traiectoria!

Suntem interesati de gasirea unor marimi (cu caracter fizic eventual!) ce se conserva de-a

lungul traiectoriei; spre exemplu energia (vrem sa nu avem consum de energie). Sa cautam ın

ce conditii asupra lui f ∈ C∞(M) aceasta se conserva pe curbele integrale ale lui X ∈ X (M).

Invarianta lui f ınseamnadf

dt(c(t)) = 0 ∀t ∈ I; avem deci:

0 =df

dt=

∂f

∂xi· dxi

dt=

∂f

∂xiXi = X(f)

ceea ce conduce la introducerea:


Definitia 2.5

Functia f ∈ C∞(M) o numim integrala prima a lui X ∈ X (M) daca X(f) = 0.

Din proprietatile actiunii campurilor vectoriale pe campuri scalare rezulta ca daca f, g sunt

integrale prime atunci λf + µg si f · g sunt integrale prime i.e. multimea integralelor prime este

subalgebra ın C∞(M)!

Generalizam notiunea de integrala prima, pentru un camp vectorial remarcabil Γ ∈ X (Rn):

Γ = xi ∂

∂xi= (x1, . . . , xn)

numit camp radial.

Definitia 2.6

Dat r ∈ R spunem ca f ∈ C∞(Rn) este r-omogena daca Γ(f) = rf .

O caracterizare utila a acestor functii este:

Propozitia 2.3 (Euler)

f este r-omogena daca si numai daca f(λx) = λrf(x) ∀x ∈ Rn, ∀λ ∈ R.

Din discutia precedenta rezulta ca functiile 0-omogene sunt integralele prime ale lui Γ si

formeaza o subalgebra ın C∞(Rn). Din relatia Leibniz avem ca daca f este r-omogena, iar g

este s-omogena atunci f · g este (r + s)-omogena.

Cum C∞(M) este o algebra, ne putem ıntreba daca exista o “ınmultire” pe X (M). Raspunsul

este afirmativ si constituie ınca o aplicatie a actiunii campurilor vectoriale pe campuri scalare.

Fie:

[ ] : X (M)×X (M) → X (M), (X, Y ) 7→ [X,Y ]

unde

[X, Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f)).

[ ] o numim paranteza (sau crosetul) Lie si daca X = Xi ∂

∂xi, Y = Y j ∂

∂xjatunci:

[X, Y ](f) = Xi ∂

∂xi

(Y j ∂f

∂xj

)− Y i ∂

∂xi

(Xj ∂f

∂xj

)Leibniz=

= XiY j ∂2f

∂xi∂xj+ Xi ∂Y j

∂xi

∂f

∂xj−XiY j ∂2f

∂xi∂xj− Y i ∂Xj

∂xi

∂f

∂xj=

=(

Xi ∂Y j

∂xi− Y i ∂Xj

∂xi

)∂f

∂xj


caci termenii subliniati se reduc. In concluzie, permutand eventual indicii de sumare i, j ıntre

ei, obtinem:

[X, Y ] =(

Xj ∂Y i

∂xj− Y j ∂Xi

∂xj

)∂

∂xi= (X(Y i)− Y (Xi))

∂

∂xi.

Numele de croset Lie acordat [ ] se bazeaza pe:

Propozitia 2.4

(X (M), [ · ]) este algebra Lie reala.

Demonstratie: Antisimetria [X,X] = 0 rezulta imediat din defintie. Identitatea Jacobi se

verifica imediat.

Propozitia 2.5

Fie f ∈ X∞(M) integrala prima pentru X, Y ∈ X (M). Atunci f este integrala prima pentru

[X, Y ].

Demonstratie:

[X, Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f)) = X(0)− Y (0) = 0− 0 = 0.

Definitia 2.7

X ∈ X (Rn) ıl numim camp r-omogen daca [Γ, X] = (r − 1)X.

Propozitia 2.6

Fie X, Y ∈ X (Rn) campuri r-omogene. Atunci [X, Y ] este camp (2r − 1)-omogen.

Demonstratie: Avem deci [Γ, X] = (r − 1)X, [Γ, Y ] = (r − 1)Y si din relatia Jacobi avem:

0 = [Γ, [X, Y ]] + [X, [Y, Γ]] + [Y, [Γ, X]] =

= [Γ, [X, Y ]]− (r − 1)[X, Y ] + (r − 1)[Y, X] =

= [Γ, [X, Y ]]− 2(r − 1)[X,Y ].

Ne intereseaza deci cazul r = 2r − 1 ceea ce ınseamna r = 1. Un camp 1-omogen ıl numim

simetrie a lui Γ si mai general:


Definitia 2.8

Fixat X ∈ X (M) un camp, Y ∈ X (M) ıl numim simetrie a lui X daca [X, Y ] = 0.

Propozitia 2.7

Dat X ∈ X (M), multimea simetriilor lui X este subalgeba Lie ın X (M).

Demonstratie: Fie Y1, Y2 simetrii pentru X. Avem

[X, λ1Y1 + λ2Y2] = λ1[X, Y1] + λ2[X,Y2] = λ1 · 0 + λ2 · 0 = 0

si din nou, folosind identitatea Jacobi

0 = [X, [Y1, Y2]] + [Y1, [Y2, X]] + [Y2, [X, Y1]] = [X, [Y1, Y2]].

Notam Int(X) = f ∈ C∞(M); f = integrala prima pentru X si Sim(X) = Y ∈ X (M);Y =

simetrie pentru X. Stim ca Int(X) este subalgebra ın C∞(M). Mai mult, avem:

Propozitia 2.8

Sim(X) este Int(X)-modul.

Demonstratie: Trebuie aratat ca daca f ∈ Int(X) si Y ∈ Sim(X) atunci fY ∈ Sim(X). Dar

pentru orice f ∈ C∞(M) avem:

[X, fY ] = X(f) · Y + f [X, Y ].

Daca f ∈ Int(X) atunci X(f) = 0, iar daca Y ∈ Sim(X) atunci [X, Y ] = 0.

Avem urmatoarea generalizare a propozitiei 2.6:

Propozitia 2.9

Fie X, Y ∈ X (M), X r-omogen si Y s-omogen. Atunci [X,Y ] este (r + s− 1)-omogen.

Demonstratie:

0 = [Γ, [X, Y ]] + [X, [Y,Γ]] + [Y, [γ, X]] =

= [Γ, [X, Y ]] + [X,−(s− 1)Y ] + [Y, (r − 1)X]

adica: [Γ, [X, Y ]] = (s− 1)[X,Y ] + (r − 1)[X, Y ] = (r + s− 2)[X,Y ].


Prin urmare multimea campurilor omogene (de toate gradele) este subalgebra Lie ın X (M).

In cursul 1 am introdus pentru orice K-spatiu vectorial spatiul sau dual V ∗ = ω : V →K; ω(λx + µy) = λω(x) + µω(y). Cum X (M) este C∞(M)-modul (cf. propozitiei 2.3) putem

considera X (M)∗ notat Ω1(M) si ale carei elemente le numim 1-forme. Deci ω ∈ Ω1(M) este o

aplicatie ω : X (M) → C∞(M), X 7→ ω(X) satisfacand ω(fX + gY ) = fω(X) + gω(Y ).

Definim aplicatia, pentru X ∈ X (M) fixat,

LX : Ω1(M) → Ω1(M), ω 7→ LX ω

numita derivata Lie; astfel (LX ω)(Y ) = LX(ω(Y )) − ω(LX Y ) unde LX f = X(f), LX Y =

[X, Y ]. Spunem ca ω este 1-forma invarianta pentru X daca LX ω = 0.

Teorema 2.1 (Noether)

Daca Y este simetrie si ω 1-forma invarianta pentru X atunci f = ω(Y ) este integrala prima

pentru X.

Demonstratie:

LX f = LX(ω(Y )) = (LX ω)(Y ) + ω(LX Y ) = 0 + ω(0) = 0 + 0 = 0.

Seminar

S 2.1 (Rotor)

Aplicatia rot : X (R3) → X (R3) data de:

rot X = ∇×X =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zX1 X2 X3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(∂X3

∂y− ∂X2

∂z,∂X1

∂z− ∂X3

∂x,∂X2

∂x− ∂X1

∂y

)

o numim rotor. Proprietati:

i) div(fX) = f div X + 〈∇f,X〉

ii) rot(λX + µY ) = λ rotX + µ rot Y i.e. rot este R-operator liniar

iii) rot(fX) = f rotX +∇f ×X deci rot nu este C∞(R3)-operator liniar


iv) div rot = 0, rot ∇ = 0

v) rot(rotX) = ∇(div X)− (∆X1, ∆X2, ∆X3).

S 2.2

Care sunt functiile r-armonice ın dimensiune 1?

Rezolvare: Cum r = xddx

rezulta ca f ∈ C∞(R) este r-armonica daca xf ′ = rf i.e.f ′

f=

r

xsi prin integrare ln f = r ln x + C ′ = lnCxr pentru C ′ = lnC. Cum functia ln este injectiva

rezulta ca f(x) = Cxr.

S 2.3 (Sisteme conservative)

Fie particula de masa m supusa actiunii campului de forte F ; spunem ca avem un sistem

mecanic n-dimensional descris de perechea (m,F ). Acest sistem ıl numim conservativ daca

exista U ∈ C∞(Rn) a.ı. F = −∇U ; functia U o numim potential. Ecuatia legii a doua a

dinamicii este ma = F = −∇U sau ın componenta i: mxi = −∂U

∂xi(x), ceea ce spune ca

traiectoria este curba integrala a campului vectorial X(x, y) = (y,− 1m∇U(x)) scriind ecuatia

de ordinul doi ca o ecuatie de gradul ıntai cu numar dublu de variabile:

xi = yi

yi = − 1m

∂U

∂xi(x)

Sa se arate ca energia totala se conserva (acest fapt explica denumirea “conservativ”).

Rezolvare: Energia totala E(x, y) = energia cinetica + energia potentiala:

E(x, y) =m

2

n∑

i=1

(yi)2 + U(x)

Avem:

X(E) = yi ∂E

∂xi− 1

m

∂U

∂xi

∂E

∂yi= yi ∂U

∂xi− 1

m

∂U

∂xi· (myi) = 0

S 2.4 (Sisteme hamiltoniene)

Sa descriem exercitiul anterior ın termenii fizici de pozitie (qi) si impuls (pi). Avem ca qi = xi,

pi = mxi = myi. Deci

E =m

2

n∑

i=1

(pi

m

)2

+ U(q) =1

2m

n∑

i=1

p2i + U(q)


Renotam aceasta functie H = H(q, p) si o numim Hamiltonian al sistemului. Sa se scrie ecuatiile

de miscare de la exercitiul anterior ın functie de H.

Rezolvare:

qi = xi = yi =pi

m=

∂H

∂pi

pi = myi = m

(− 1

m

∂U

∂xi

)= −∂U

∂xi= −∂U

∂qi= −∂H

∂qi

Deci ecuatiile de miscare numite ecuatiile Hamilton sunt:

qi =∂H

∂pi

pi = −∂H

∂qi

si obtinem ca H este integrala prima:

dH

dt=

∂H

∂qiqi +

∂H

∂pipi =

n∑

i=1

(∂H

∂qi

∂H

∂pi− ∂H

∂pi

∂H

∂qi

)= 0

Sa cautam ecuatia generala a unei integrale prime f ∈ C∞(R2n)

df

dt=

∂f

∂qiqi +

∂f

∂pipi =

n∑

i=1

(∂f

∂qi

∂H

∂pi− ∂f

∂pi

∂H

∂qi

)

Consideram : C∞(R2n)× C∞(R2n) → C∞(R2n)

f, g =n∑

i=1

(∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

)

numita paranteza Poisson pe C∞(R2n). Un calcul imediat da:

– f, f = 0

– f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0

Deci (C∞(R2n), · ) este o algebra Lie reala. f ∈ C∞(R2n) este integrala prima daca si numai

daca H, f = 0.

S 2.5 (Oscilatorul armonic 1-dimensional)

Acest sistem mecanic este descris de forta elastica care fiind forta repulsiva are expresia F (x) =

−kx, k fiind constanta elastica. Sa se arate ca acest sistem este hamiltonian.


Rezolvare: Sistemul este conservativ cu potentialul U(x) =k

2x2 = −

∫Fdx. Deci sistemul

dat este hamiltonian cu Hamiltonianul H(q, p) =1

2mp2 +

k

2q2.

S 2.6 (Pendulul matematic)

Este un sistem mecanic 1-dimensional descris de forta F (x) = − sinx. Sa se arate ca acest

sistem este hamiltonian.

Rezolvare: Sistemul este conservativ cu potentialul U(x) = −∫

F (x)dx =∫

sinxdx = − cosx.

Deci sistemul dat este hamiltonian cu hamiltonianul H(q, p) =1

2mp2 − cos q.

Ecuatia de miscare este mx = F (x) = − sinx. Presupunand ca masa este unitatea i.e. m = 1

si x este foarte mic, cum sinx ' x (din dezvoltarea Taylor ın jurul originii) putem considera

ecuatia x = −x care este curba integrala a campului vectorial

x = y

y = −xi.e. X(x, y) = (y,−x).

S 2.7 (ceasul)

De ce sensul orar este opus celui trigonometric? Apoi sa se rezolve complet (sa se integreze)

ecuatia ceasului.

Rezolvare: Ceasul este un oscilator armonic si deci conform exercitiului S 2.5 este descris de

ecuatia mx = −kx. Introducem ω =

√k

mnumita frecventa si avem x = −ω2x. Ceasul are

frecventa ω = 1 (bate secunda!); deci x = −x ce este curba integrala a campului vectorial

X(x, y) = (y,−x).

Ecuatia x = −x o scriem

x = y

y = −xcare se poate scrie

ddt

(x

y

)=

(0 1

−1 0

) (x

y

)= J

(x

y

)

unde J =

(0 1

−1 0

). Avem ca J2 =

(0 1

−1 0

) (0 1

−1 0

)=

(0 −1

−1 0

)= −I2, deci J este o

generalizare (2-dimensionala) a lui i =√−1. Sensul de parcurgere a curbelor integrale ale lui

X(x, y) = (y,−x) este sensul orar; spre exemplu X(1, 0) = (0,−1) = −i ceea ce explica faptul

ca sensul orar (dat de ceas) este anti-trigonometric.

Pentru rezolvarea sistemului diferential

x = y

y = −xintroducem coordonatele polare. Fie

functia: F : R∗+ × [0, 2π) → R2, F (r, ϕ) = (r cosϕ, r sinϕ) = (x, y). Avem


– x = r cosϕ− r sinϕϕ

– y = r sinϕ + r cosϕϕ

Rezulta sistemul

r cosϕ− r sinϕϕ = r sinϕ

r sinϕ + r cosϕϕ = −r cosϕ

⇒

r

rctg ϕ− ϕ = 1

r

rtg ϕ + ϕ = −1

si prin adunare avemr

r(tg ϕ + ctg ϕ) = 0. Dar tg ϕ + ctg ϕ =

sin2 ϕ + cos2 ϕ

sinϕ cosϕ=

1sinϕ cosϕ

si

deci r = 0 care are solutia r(t) = r(0) not= r0. Inlocuind ın oricare dintre ecuatii avem ϕ = −1 cu

solutia ϕ(t) = −t + ϕ(0) = −t + ϕ0. Deci solutia generala este:

x(t) = r0 cos(ϕ0 − t)

y(t) = r0 sin(ϕ0 − t)

S 2.8

Sa se rezolve complet x = x.

Rezolvare: Avem sistemul

x = y

y = xsi consideram schimbarea de variabile x = u + v, y =

u− v. Din x = u + v si y = u− v obtinem sistemul

u + v = u− v

u− v = u + v

care prin adunare, respectiv scadere conduce la:

u = u

v = −v

cu solutia u(t) = u(0)et = u0et, v(t) = v(0)e−t = v0e

−t. Deci

x(t) = u0et + v0e

−t

y(t) = u0et − v0e

−t


unde x0 = u0 + v0, y0 = u0 − v0; deci u0 =12(x0 + y0), respectiv v0 =

12(x0 − y0). In final

x(t) = x0 ch t + y0 sh t

y(t) = x0 sh t + y0 ch t

Lectia 3

Structuri Poisson

Suport de curs

In cursul precedent am introdus o structura de algebra Lie pe multimea X (M) a campurilor

vectoriale. Este natural sa cercetam eventualele structuri de algebra Lie pe multimea C∞(M) a

campurilor scalare.

Definitia 3.1

Numim structura (sau paranteza) Poisson pe multimea M ⊆ Rn o aplicatie , : C∞(M) ×C∞(M) → C∞(M) cu proprietatile:

P1) (antisimetria) f, g = −g, f (echivalent f, f = 0)

P2) (R-biliniaritate) f, λg + µh = λf, g+ µf, h ∀λ, µ ∈ R (din P1 rezulta si liniari-

tatea ın primul argument)

P3) (identitatea Jacobi) f, g, h + g, h, f + h, f, g = 0 (din P1 rezulta Jacobi

cu pe primul loc)

P4) (identitatea Leibniz) f, gh = f, gh + f, hg (din P1 rezulta identitatea Leibniz

cu produsul pe primul loc)

Perechea (M, , ) o numim varietate Poisson. C ∈ C∞(M) ıl numim Casimir al structurii

Poisson date daca f, C = 0, ∀f ∈ C∞(M).

31

32 LECTIA 3. STRUCTURI POISSON

Relatiile P1–P3 spun ca (C∞(M), , ) este o algebra Lie reala, iar P4 este o relatie de

compatibilitate ıntre structura de algebra Lie si structura de algebra reala comutativa.

Propozitia 3.1

Multimea functiilor Casimir este o subalgebra Lie ın (C∞(M), , ).

Demonstratie: Trebuie aratat ca daca C1, C2 sunt functii Casimir si λ, µ ∈ R atunci λC1+µC2

si C1, C2 sunt functii Casimir. Fie f ∈ C∞(M) oarecare. Avem f, λC1 + µC2 P2= λf, C1+

µf, C2 = λ · 0 + µ · 0 = 0 si

0 P3= f, C1, C2+ C1, C2, f+ C2, f, C1 = f, C1, C2

Un rezultat de baza ın ıntelegerea parantezelor Poisson este:

Teorema 3.1 (de structura a parantezelor Poisson)

i) Fie , o structura Poisson pe Rn si f, g ∈ C∞(Rn) oarecare. Atunci f, g = πi, πj ∂f

∂xi

∂g

∂xj.

ii) Fie , o lege de compozitie pe C∞(Rn) ce satisface P1, P2, P4. Atunci · satisface P3

daca si numai daca satisface P3 pe functiile proiectie πi, 1 6 i 6 n.

Demonstratie: Vom arata doar i) deoarece ii) implica un calcul mai laborios. Fie i ∈1, . . . , n fixat si functia Xi : f ∈ C∞(M) → πi, f ∈ C∞(M). Conform P4 aplicatia Xi

satisface Xi(fg) = Xi(f) · g + f · Xi(g) ceea ce spune ca Xi ∈ X (M); deci Xi = Aai

∂

∂xa.

Avem Xi(πj) = Aai

∂πj

∂xa= Aa

i δja = Aj

i ; prin urmare πi, f = Aji

∂f

∂xj= πi, πj ∂f

∂xj. Fie acum

f ∈ C∞(M) fixata si aplicatia Xf : g ∈ C∞(M) → f, g ∈ C∞(M). Din nou Xf ∈ X (M); deci

Xf = Xaf

∂

∂xa. Avem Xf (πk) = Xa

f

∂πk

∂xa= Xa

f δka = Xk

f . In concluzie:

f, g = Xf (g) = Xkf

∂g

∂xk= f, πk ∂g

∂xk= −πk, f ∂g

∂xk=

= −πk, πj ∂f

∂xj

∂g

∂xk= πj , πk ∂f

∂xj

∂g

∂xk.


Conform teoremei de structura vom considera matricea P = (pij)16i,j6n, pij = πi, πjnumita matricea de structura a parantezei Poisson date. Relatia din teorema de structura i)

devine:

f, g =(

∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

)· (pij) ·

∂g

∂x1

...∂g

∂xn

sau, ıntr-o notatie “index free”:

f, g = t(∇f) · P · ∇g.

Proprietatile matricii de structura:

P1) ⇒ pij = −pji i.e. P este o matrice antisimetrica

P3) ⇒ πi, πj , πk+ πj , πk, πi+ πk, πi, πj = 0 ⇒ πi, pjk+ πj , pki+ πk, pij = 0

⇒ pia ∂pjk

∂xa+ pja ∂pki

∂xa+ pka ∂pij

∂xa= 0, ∀i, j, l ∈ 1, . . . , n.

Dat punctul x0 ∈ Rn numim deschis centrat ın x0 o multime de forma B(x0, r) = x ∈Rn; (x1 − x1

0)1 + · · · + (xn − xn

0 )2 < r, r > 0. Numim rang al parantezei Poisson ın x0 ∈ Rn

rangul matricii P (x0) = (pij(x0)). Avem urmatorul rezultat de exprimare locala a parantezelor

Poisson:

Teorema 3.2 (de structura locala a parantezelor Poisson)

Daca rangul parantezei Poisson pe un deschis centrat ın x0 este constant egal cu k atunci k

este par (k = 2m) si exista (pe un deschis centrat ın x0, eventual mai mic decat cel initial)

coordonatele locale ın jurul lui x0 de forma x = (x1, . . . , xm, p1, . . . , pm, u2m+1, . . . , un−2m) asa

ıncat pentru orice x al acestui deschis secund avem:

P (x) =

Om Im...

−Im Om...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... On−2m

unde Os, Is este matricea nula, respectiv matricea unitate, de ordin s.

Definitia 3.2

Varietatea Poisson (M, , ) o numim simplectica daca ∀x ∈ M matricea P (x) este inversabila.


Conform teoremei de structura locala rezulta ca ∀x ∈ M rangul matricii P (x) este n = k =

2m (deci suntem ın R2m) si avem:

P (x) =

(Om Im

−Im Om

)

Prin urmare:

f, g = t(∇f) ·(

Om Im

−Im Om

)· ∇g, ∀f, g ∈ C∞(R2m)

sau ınca:

f, g =(

∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xm,

∂f

∂p1, . . . ,

∂f

∂pm

)·(

Om Im

−Im Om

)·

∂g

∂x1

...∂g

∂xm

∂g

∂p1

...∂g

∂pm

=(− ∂f

∂p1, . . . ,− ∂f

∂pm,

f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xm

)·

∂g

∂x1

...∂g

∂xm

∂g

∂p1

...∂g

∂pm

ceea ce da expresia finala a parantezelor Poisson simplectice:

f, g =n∑

i=1

(∂f

∂xi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂xi

)

Pentru urmatorul exemplu de varietati Poisson facem cateva pregatiri. Fie V un spatiu

vectorial real n-dimensional si a ∈ V fixat. Multimea TaV = (a, x);x ∈ Rn o numim spatiu

tangent ın a la V si este un spatiu vectorial n-dimensional relativ la operatiile λ(a, x)+µ(a, y) =

(a, λx+µy). Reamintim ca am introdus dualul lui V notat V ∗ ca V ∗ = α : V → R; α(λu+µv) =

λα(u) + µα(v) i.e. α este transformare liniara. Se arata ca V ∗∗ = V . Fie f ∈ C∞(V ) =

C∞(Rn) si a ∈ V fixat. Exista aplicatia dfa(a, v) : TaV → R numita diferentiala lui f ın a:

dfa(a, v) =∂f

∂xi(a)vi


Avem:

dfa(a, λv + µw) =∂f

∂xi(a)(λvi + µwi) = λ

∂f

∂xi(a)vi + µ

∂f

∂xi(a)wi = λdfa(a, v) + µdfa(a,w)

i.e. dfa este transformare liniara, dfa ∈ (TaV )∗.

Exemplu remarcabil de varietate Poisson. Fie G o algebra Lie. Exista doua paranteze

Poisson pe G∗, ± : C∞(G∗)× C∞(G∗) → C∞(G∗) data de:

f, g±(µ) = ±µ([dfµ, dgµ])

unde dfµ,dgµ ∈ (G∗)∗ = G, iar [ ] este paranteza Lie pe G, iar µ este un element fixat din G∗.Pentru a gasi matricea de structura a acestor structuri Poisson sa introducem cateva notatii.

Fie B = e1, . . . , en baza ın V si B∗ = e1, . . . , en baza duala ın V ∗. Vectorul [ei, ej ] se

descompune ın baza B deci avem descompunerea [ei, ej ] = ckijek; numerele reale (ck

ij)16i,j,k6n se

numesc constantele de structura ale algebrei Lie (G, [ · ]). Elementele din B∗ satisfac ea(eb) = δab .

Dat µ ∈ G∗ avem descompunerea µ = µaea si data f ∈ C∞(G∗) avem dfµ =

∂f

∂µi(µ)ei si deci

f, g±(µ) = ±µaea([

∂f

∂µi(µ)ei,

∂f

∂µj(µ)ej

])= ±µa

∂f

∂µi(µ)

∂f

∂µj(µ)ca

ij

Seminar

S 3.1 (Structura simplectica plana)

Sa se arate ca f, g =∂f

∂x

∂g

∂p− ∂f

∂p

∂g

∂x, ∀f, g ∈ C∞(R2) unde ın R2 folosim coordonatele (x, p),

este o structura Poisson simplectica.

Rezolvare: Este caz particular imediat al formulei de la curs.

S 3.2

Pe R2 avem structura Poisson f, g = xp

(∂f

∂x

∂g

∂p− ∂f

∂p

∂g

∂x

)ce nu are functii Casimir necon-

stante.

Rezolvare: Se verifica P1, P2 si P4 foarte usor, iar P3 dupa un calcul mai laborios. Fie C ∈C∞(R2) functie Casimir pentru paranteza Poisson data. Deci

∂f

∂x

∂C

∂p=

∂f

∂p

∂C

∂x∀f ∈ C∞(R2).

Pentru f = π1 i.e. f(x, p) = x obtinem∂C

∂p= 0; pentru f = π2 i.e. f(x, p) = p obtinem

∂C

∂x= 0. Din

∂C

∂x=

∂C

∂p= 0 rezulta ca C = constanta. Mai general, structurile Poisson

generate de structuri simplectice au functiile Casimir constante.


S 3.3

Sa se arate ca pe R3 avem structurile Poisson:

f, g± = ±

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3

∂g

∂x1

∂g

∂x2

∂g

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

cu functia Casimir C(x1, x2, x3) =12‖ x ‖2=

12

((x1)

2+ (x2)

2+ (x3)

2)

.

Rezolvare: Din nou P1, P2 si P4 se verifica imediat, iar P3 mai laborios folosind expresia:

f, g± = ±εija xa ∂f

∂xi

∂g

∂xjunde:

εija =

+1 daca permutarea 1 2 3

a i j

este para

−1 daca permutarea 1 2 3

a i j

ete impara

expresie ce rezulta din dezvoltarea (formula de calcul) a determinantului. Avem:

f, C± = ±

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

∂f

∂x1

∂f

∂x2

∂f

∂x3

x1 x2 x3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

deoarece un determinant cu doua linii (sau coloane) proportionale (ın particular egale) este nul.

S 3.4

Se cer ±-structurile Poisson de pe duala algebrei Lie (R3,×).

Rezolvare: Fie e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) baza canonica a lui R3. Calculam

constantele de structura ale algebrei Lie (R3,×) stiind ca e1×e2 = e3, e2×e3 = e1, e3×e1 = e2;

deci avem tabelul:

× e1 e2 e3

e1 0 e3 −e2

e2 −e3 0 e1

e3 e2 −e1 0

din care citim constantele de structura:


1) c•11 = (0, 0, 0), c•12 = (0, 0, 1), c•13 = (0,−1, 0)

2) c•21 = (0, 0,−1), c•22 = (0, 0, 0), c•23 = (1, 0, 0)

3) c•31 = (0, 1, 0), c•32 = (−1, 0, 0), c•33 = (0, 0, 0)

De la curs avem ca matricea de structura a ±-structurii Poisson este ±(µacaij). Deci:

1) p11 = ±(µaca11) = 0, p12 = ±(µac

a12) = ±(µ3), p13 = ±(µac

a13) = ±(−µ2)

2) p21 = ±(µaca21) = ±(−µ3), p22 = ±(µac

a22) = 0, p23 = ±(µac

a23) = ±(µ1)

3) p31 = ±(µaca31) = ±(µ2), p32 = ±(µac

a32) = ±(−µ1), p33 = ±(µac

a33) = 0

Din aceste relatii obtinem:

P±(µ) = ±

0 µ3 −µ2

−µ3 0 µ1

µ2 −µ1 0

ın punctul µ = (µ1, µ2, µ3) ∈ (R3)∗

i.e. µ = µaea unde (ea)16a63 este baza duala bazei canonice

(e1, e2, e3) = (i, j, k).

S 3.5

Fie F ∈ C∞(R3) fixata. Sa se arate ca:

f, g = 〈∇F,∇f ×∇g〉

este o structura Poisson pe R3 cu F ca functie Casimir.

Rezolvare: ∇f×∇g =(

∂f

∂xiei

)×

(∂g

∂xjej

)=

∂f

∂xi

∂g

∂xjcaijea unde (ca

ij) sunt cele de la exercitiul

precedent.

Deci f, gF = 〈∇F,∂f

∂xi

∂g

∂xjcaijea〉 =

∂f

∂xi

∂g

∂xj〈 ∂F

∂xbeb, ea〉ca

ij = caij

∂F

∂xa

∂f

∂xi

∂g

∂xjfolosind ortonor-

malitatea bazei canonice. Avem ca F este o structura Poisson cu matricea de structura:

PF =

0∂F

∂x3− ∂F

∂x2

− ∂F

∂x30

∂F

∂x1

∂F

∂x2− ∂F

∂x10

Pentru partea a doua avem:

PF · ∇F =

0∂F

∂x3− ∂F

∂x2

− ∂F

∂x30

∂F

∂x1

∂F

∂x2− ∂F

∂x10

∂F

∂x1

∂F

∂x2

∂F

∂x3

=

0

0

0


si deci ∀f ∈ C∞(R3):

f, FF = ∇f · PF · ∇F = ∇f ·

0

0

0

= 0.

S 3.6 (paranteza Poisson patratica)

Fie A = (Aij)16i,j6n o matrice antisimetrica (Aij = −Aji). Pe Rn definim Bij(x) = Aijxixj ,

fara sumare. Atunci (Bij) este o matrice de structura pentru o paranteza Poisson.

Rezolvare: Avem imediat Bij = −Bji din proprietatea omoloaga pentru A. Sa calculam

expresia:

Bia ∂Bjk

∂xa+ Bja ∂Bki

∂xa+ Bka ∂Bij

∂xa, 1 6 i, j, k 6 n.

Avem

Bia ∂Bjk

∂xa= Aiaxixa ∂

∂xa(Ajkxjxk) = Aiaxixa(Ajkδj

axk + Ajkxjδk

a) =

= AijAjkxixkxj + AikAjkxixjxk = Ajkxixjxk(Aij + Aik)

si deci suma ceruta este, fara factorul xixjxk:

Ajk(Aij + Aik) + Aki(Ajk + Aji) + Aij(Aki + Akj) = 0

deoarece termenii subliniati se reduc din antisimetria lui A.

S 3.7 (paranteza Poisson cubica)

Pentru x ∈ R3 consideram: x1, x2 =‖ x ‖ ·x3, x2, x3 =‖ x ‖ ·x1, x3, x1 =‖ x ‖ ·x2.

Atunci matricea (pij)16i,j6n cu pij = xi, xj daca i < j, respectiv pij = −pji ın celelalte cazuri

defineste o structura Poisson pe R3.

Rezolvare: TEMA!

S 3.8

Ne intereseaza ın ce conditii asupra unei paranteze (nu neaparat Poisson) un element poate trece

de la un argument la altul. Sa se arate ca daca satisface identitatea Leibniz atunci:

f, gh − fg, h = f, gh− fg, h


Rezolvare: Se scad relatiile:

f, gh = f, gh + gf, h

fg, h = f, hg + fg, h

Relatia ceruta se poate scrie si sub forma:

f, gh − f, gh = fg, h − fg, h

ceea ce spune ca daca un factor “iese” din paranteza la argumentul al doilea (f, gh = f, gh)

atunci “iese” si factor de la primul argument (fg, h = fg, h) si reciproc.

S 3.9 (Forme simplectice pe spatii vectoriale)

Fie V un spatiu vectorial si Ω : V ×V → R biliniara. Definim Ωb : V → V ∗ prin Ωb(v) : V → R,

Ωb(v)(w) = Ω(v, w). Avem ca:

i) Ωb(v) ∈ V ∗

ii) Ωb este transformare liniara ıntre spatiile vectoriale V , V ∗

Ω o numim slab nedegenerata daca Ω(v, w) = 0 ∀w ∈ V implica v = 0, Sa se arate ca:

iii) Ω este slab nedegenerata daca si numai daca Ωb este transformare liniara injectiva

Ω este tare nedegenerata daca Ωb este chiar izomorfism liniar. Se stie ca pe un spatiu vectorial

de dimensiune finita o transformare liniara este bijectie daca si numai daca este injectiva (deci

daca dimV = n nedegenerarea slaba si cea tare sunt echivalente). Ω o numim forma simplectica

pe Vn daca este biliniara, nedegenerata si antisimetrica; ın acest caz perechea (Vn,Ω) o numim

spatiu vectorial simplectic.

Rezolvare:

i) Ωb(v)(λw1 +µw2) = Ω(v, λw1 +µw2) = λΩ(v, w1)+µΩ(v, w2) = λΩb(v)(w1)+µΩb(v)(w2)

ii) rezulta din calcul

iii) Ω(v, w) = 0 ⇐⇒ Ωb(v)(w) = 0. Deci Ωb injectiva echivalenta cu (Ωb(v) = 0V ∗ ⇒ v = 0)

echivalent cu nedegenerarea.

Lectia 4

Sisteme Hamiltoniene

Suport de curs

Definitia 4.1

i) Numim sistem Hamiltonian n-dimensional un triplet (M, , ,H) cu (M, , ) varietate

Poisson, M ⊆ Rn si H ∈ C∞(M) camp scalar fixat numit Hamiltonianul (sau energia)

sistemului dat. O integrala prima a acestui sistem este o functie I ∈ C∞(M) ce satisface

I, H = 0.

ii) Fie campul vectorial X ∈ X (Rn). Sistemul diferetial al curbelor integrale ale lui X:

x1 = X1(x1, . . . , xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn = Xn(x1, . . . , xn)

spunem ca admite o descriere Hamiltoniana daca exista un sistem Hamiltonian n-dimensional

(M, , ,H) a.ı. sistemul diferential dat se scrie:

x1 = x1,H. . . . . . . . . . . . . . .

xn = xn,H

iii) Un sistem Hamiltonian n-dimensional ıl numim complet integrabil daca exista I1, . . . , In

integrale prime ale sale cu prorietatile:

a) sunt ın involutie: Ii, Ij = 0, ∀i, j ∈ 1, . . . , n

41

42 LECTIA 4. SISTEME HAMILTONIENE

b) sunt functional independente i.e. ∀x ∈ M vectorii ∇I1(x), . . . ,∇In(x) sunt liniar

independenti.

Conform celor din primul curs ultima conditie revine la faptul ca ∀x ∈ M vectorii∇I1(x), . . . ,∇In(x)

constituie o baza ın Rn. Tehnic, verificam faptul ca:

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂I1

∂x1. . .

∂In

∂x1

. . . . . . . . . . . . . . .∂I1

∂xn. . .

∂In

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣(x) 6= 0

ın orice x ∈ M . Din antisimetria parantezei Poisson putem lua I1 = H, iar daca admite

functii Casimir neconstante (pentru a avea coloane nenule ın determinantul precedent) acestea

constituie integrale prime. Mai ramane de gasit numarul corespunzator de integrale prime ce

satisfac a) si b).

Fie aplicatia XH : f ∈ C∞(M) → f,H ∈ C∞(M); datorita conditiei Leibniz avem ca XH

este un camp vectorial numit campul Hamiltonian asociat lui H. Curbele integrale ale lui XH

le numim traiectorii ale sistemului Hamiltonian dat.

Teorema 4.1 (Poisson)

Daca I1, I2 sunt integrale prime ale sistemului Hamiltonian dat atunci I1, I2 este o integrala

prima.

Demonstratie: Din identitatea Jacobi avem:

0 = I1, I2,H+ I2,H, I1+ H, I1, I2 = I1, I2,H

din I2,H = 0 = −H, I1.

Este posibil ca prin procedeul Poisson sa nu generam o integrala prima noua sau I1, I2 sa

fie o constanta.

Observatie importanta: Daca este simplectica, conform cursului precedent, n = 2m.

Atunci pentru completa integrabilitate trebuie sa gasim numai m integrale prime ce satisfac a)

si b). Sa analizam cazul m = 1 care datorita faptului ca luam I1 = H este ıntotdeauna complet

integrabil. Deci M are coordonatele (q, p), iar campul Hamiltonian este XH =∂H

∂p

∂

∂q− ∂H

∂q

∂

∂p


ce da ecuatiile, numite ecuatiile Hamilton:

q =∂H

∂p

p = −∂H

∂q

.

Fie t0 ∈ I ⊂ R momentul initial al miscarii si E = H(q(t0), p(t0)). Cum H este integrala

prima rezulta ca ∀t ∈ I avem H(q(t), p(t)) = E; multimea (q, p) ∈ R2; H(q, p) = E este o

curba ın plan (ın general definita implicit) ce se poate parametriza (macar local) p = ϕ(q). Din

prima ecuatie Hamilton scrisadq

dt=

∂H

∂p(q, ϕ(q)) avem:

dq∂H

∂p(q, ϕ(q))

= dt ⇒∫ dq

∂H

∂p(q, ϕ(q))

= t− t0

si deci rezolvarea ecuatiilor Hamilton s-a redus la calculul unei integrale; mai spunem ca s-a

redus la o “cuadratura”.

Sa consideram cazul unui sistem conservativ i.e. H(q, p) =1

2mp2 + U(q). Atunci

∂H

∂p=

p

m

sip2

2m+ U(q) = E da p = ±(2m)1/2

√E − U(q) si

∂H

∂p= ±

(2m

)1/2√E − U(q). Deci:

±(

m

2

)1/2 ∫ dq√E − U(q)

= t− t0

Seminar

S 4.1 (Rigidul liber)

Fie (I1, I2, I3) tensorul de inertie a rigidului liber cu I1 > I2 > I3 > 0 si a1 =1I3− 1

I2,

a2 =1I1− 1

I2, a3 =

1I2− 1

I1. Se stie ca dinamica rigidului liber este data de sistemul diferential

al lui Euler:

x1 = a1x2x3

x2 = a2x3x1

x3 = a3x1x2

Sa se arate ca acest sistem admite descrierea Hamiltoniana (R3, · −,H) cu − data de

problema S 3.3 si

H =12

((x1)2

I1+

(x2)2

I2+

(x3)2

I3

).

Se stie ca tensorul de inertie este constant.


Rezolvare: Avem:

x1,H− = −

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

1 0 0x1

I1

x2

I2

x3

I3

∣∣∣∣∣∣∣∣= x2x3

(1I3− 1

I2

)= a1x

2x3

x2,H− = −

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

0 1 0x1

I1

x2

I2

x3

I3

∣∣∣∣∣∣∣∣= x3x1

(1I1− 1

I3

)= a2x

3x1

x3,H− = −

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

0 0 1x1

I1

x2

I2

x3

I3

∣∣∣∣∣∣∣∣= x1x2

(1I2− 1

I1

)= a3x

1x2

S 4.2 (Maxwell-Bloch)

Sa se arate ca ecuatiile Maxwell-Bloch din dinamica laser-materie:

x1 = x2

x2 = x3x1

x3 = −x1x2

admit descrierea Hamiltoniana (R3, · MB,H) cu structura Poisson avand matricea de structura

PMB =

0 −x3 x2

x3 0 0

−x2 0 0

si H =12(x1)2 + x3.

Rezolvare: Avem:

x1, HMB = (1, 0, 0) ·

0 −x3 x2

x3 0 0

−x2 0 0

·

x1

0

1

= (0,−x3, x2)

x1

0

1

= x2

x2, HMB = (0, 1, 0) ·

0 −x3 x2

x3 0 0

−x2 0 0

·

x1

0

1

= (x3, 0, 0)

x1

0

0

= x3x1

x3, HMB = (0, 0, 1) ·

0 −x3 x2

x3 0 0

−x2 0 0

·

x1

0

1

= (−x2, 0, 0)

x1

0

0

= −x1x2.


S 4.3

Fie varietatea Poisson (M, · ) si f, g ∈ C∞(M). Atunci:

[Xf , Xg] = −Xf,g

Se cer interpretari ale acestei relatii.

Rezolvare: Fie h ∈ C∞(M) oarecare. Aplicam Jacobi:

[Xf , Xg](h) = h, g, f − h, f, g = −g, h, f − h, f, g = f, g, h

= −h, f, g

ceea ce da relatia ceruta. Interpretare: daca f, g sunt ın involutie (f, g = 0) atunci campurile

Hamiltoniene comuta ([Xf , Xg] = 0). Alta interpretare: aplicatia f ∈ C∞(M) → Xf ∈ X (M)

este un antimorfism de algebre Lie.

S 4.4 (conservarea momentului cinetic)

Fie M = (q1, q2, q3, p1, p2, p3) ∈ R6 ≡ R6 si paranteza Poisson simplectica

P =

(O3 I3

−I3 O3

)

Sa se arate ca daca doua din componentele momentului cinetic, I1 = q2p3−q3p2, I2 = q3p1−q1p3

sunt integrale prime atunci I3 = I1, I2 este a treia componenta a momentului cinetic (si

conform teoremei Poisson este integrala prima). Sa se continue procedeul Jacobi.

Rezolvare: Avem:

I3 = (0, p3,−p2, 0,−q3, q2)

(O3 I3

−I3 O3

)

−p3

0

p1

q3

0

−q1

= (0, q3,−q2, 0, p3,−p2)

−p3

0

p1

q3

0

−q1

= q1p2−q2p1.

Continuand algoritmul Jacobi se obtine [I3, I1] = I2 si [I3, I2] = −I1 deci nu avem integrale

prime noi.

Lectia 5

Stabilitatea punctelor de echilibru

Suport de curs

Fixam campul vectorial X ∈ C∞(Rn) si fie sistemul diferential al curbelor integrale ale lui X:

xi(t) = Xi(x1(t), . . . , xn(t)), 1 6 i 6 n.

Definitia 5.1

i) Numim punct de echilibru al sistemului diferential dat un zero al lui X i.e. xe ∈ Rn a.ı.

X(xe) = 0 = (0, . . . , 0).

ii) Punctul de echilibru xe ıl numim neliniar stabil daca pentru orice deschis U centrat ın xe

exista V un deschis centrat ın xe cu V ⊂ U a.ı. orice curba integrala a lui X cu x(0) ∈ V

satisface x(t) ∈ U , ∀t > 0; echivalent ∀ε > 0 ∃δ > 0 a.ı.

(x1(0)− x1e)

2 + · · ·+ (xn(0)− xne )2 < δ ⇒ (x1(t)− x1

e)2 + · · ·+ (xn(t)− xn

e )2 < ε,∀t > 0.

Daca ın plus putem alege V a.ı. limt→∞X(t) = xe i.e. lim

t→∞xi(t) = xie, 1 6 i 6 n, spunem ca

xe este asimptotic stabil. Un punct de echilibru ce nu este neliniar stabil ıl numim instabil.

Teorema 5.1 (I Lyapunov)

Daca X este camp vectorial liniar i.e. X(x1, . . . , xn) = A ·

x1

...

xn

cu A ∈ Mn(R) atunci

0 = (0, . . . , 0) este punct de echilibru cu proprietatile:

i) este asimptotic stabil daca si numai daca toate valorile proprii λ ale lui A satisfac Re(λ) < 0

unde Re(λ) = partea reala a numarului complex λ

47

48 LECTIA 5. STABILITATEA PUNCTELOR DE ECHILIBRU

ii) este neliniar stabil daca si numai daca toate valorile proprii λ ale lui A satisfac Re(λ) 6 0,

iar daca Re(λ) = 0 atunci λ este radacina simpla a polinomului minimal al lui A i.e.

polinomul de grad minim ce anuleaza pe A (p(A) = 0).

Daca X este neliniar atunci consideram matricea numita linearizata lui X:

AX(xe) =

∂X1

∂x1. . .

∂Xn

∂x1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

∂X1

∂xn. . .

∂Xn

∂xn

(xe),

si avem ca xe este:

iii) asimptotic stabil daca toate valorile proprii ale lui A(xe) au partea reala strict negativa

iv) instabil daca macar o valoare proprie a lui A(xe) are partea reala pozitiva.

Definitia 5.2

Dat punctul de echilibru xe spunem ca acesta admite o functie Lyapunov L ∈ C∞(Rn) daca:

i) L(xe) = 0; L(x) > 0 ∀x ∈ Rn \ xe

ii) X(L)(x) 6 0 ∀x ∈ Rn \ xe.

Teorema 5.2 (a II-a Lyapunov)

Daca xe admite o functie Lyapunov atunci xe este neliniar stabil. Daca ın plus L satisface

X(L)(x) < 0 ∀x ∈ Rn \ xe atunci xe este asimptotic stabil.

Ne intereseaza ın cele ce urmeaza stabilitatea punctelor de echilibru ale sistemelor Hamil-

toniene.

Propozitia 5.1

Fie I ∈ C∞(Rn) si c(t = (x1(t), . . . , xn(t)) curba integrala a campului vectorial X. Atunci:

ddt

I(c(t)) = X(I(c(t))).

Demonstratie: Avem:

ddt

I(c(t)) =∂I

∂xi(c(t)) · xi(t) =

∂I

∂xi(c(t)) ·Xi(c(t)) = X(I)(c(t)).


Corolarul 5.1

i) Daca I este integrala prima pentru X atunci I este constanta pe curbele integrale ale lui

X.

ii) Daca I este integrala prima atunci ∀ϕ : R → R de clasa C∞ avem ca ϕ(I) = ϕ I este

integrala prima pentru X.

Demonstratie: i) Conform propozitiei 5.1 avemdI

dt(c(t)) = 0 ceea ce da concluzia.

ii) X(ϕ I(x)) = Xi(x)∂

∂xi(ϕ I(x)) = Xi(x) ·

(ϕ′(I(x)) · ∂I

∂xi(x)

)= ϕ′(I(x)) ·X(I(x)) =

ϕ′(I(x)) · 0 = 0.

Fie acum sistemul Hamiltonian (M, , ,H), xe un punct de echilibru pentru XH si C o

familie de integrale prime. Metoda pe care o vom da pentru studiul stabilitatii lui xe se numeste

metoda energie-Casimir si consta ın gasirea unei integrale prime C ∈ C asa ıncat:

A) ∇(H + C)(xe) =(

∂(H + C)∂x1

(xe), . . . ,∂(H + C)

∂xn(xe)

)= (0, . . . , 0) = 0

B) Matricea (numita Hessiana lui H + C ın xe):

D2(H + C)(xe) =

∂2(H + C)∂x1∂x1

. . .∂2(H + C)

∂xn∂x1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂2(H + C)∂x1∂xn

. . .∂2(H + C)

∂xn∂xn

(xe)

este pozitiv definita sau negativ definita. Atunci xe este neliniar stabil. De regula, ın

aplicatii, stiindu-se un Casimir C al varietatii Poisson (M, , ) cautam ϕ(C) ce satisface

A) si B). O matrice A ∈ Mn(R) o numim pozitiv definita (respectiv negativ definita) daca

pentru orice x ∈ Rn \ 0 avem (x1, . . . , xn) ·A ·

x1

...

xn

> 0 (respectiv < 0).


Seminar

S 5.1 (oscilatorul armonic 2D)

Consideram doi oscilatori armonici independenti si cu frecventa ω = 1:

x1 = x2

x2 = −x1

x3 = x4

x4 = −x3

Sa se arate ca originea (0, 0, 0, 0) = 0 este punct de echilibru neliniar stabil.

Rezolvare: Avem un sistem liniar cu matricea:

A =

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 −1 0

cu polinomul caracteristic:

PA(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 1 0 0

−1 −λ 0 0

0 0 −λ 1

0 0 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 0 0

0 −λ 1

0 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 0

0 −λ 1

0 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣=

= λ2(λ2 + 1) + (1 + λ2) = (λ2 + 1)2

si verifica:

A2 + I4 =

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 −1 0

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 −1 0

+ I4 =

−1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

+ I4 = O4

ceea ce spune ca polinomul minimal al lui A este PA(λ) = λ2 + 1. Valorile proprii ale lui A

sunt radacinile polinomului caracteristic: λ1 = λ2 = i, λ3 = λ4 = −i care au partea reala nula.

Aplicam teorema I Lyapunov ii) si cum i,−i sunt radacini simple ale polinomului minimal avem

concluzia.


S 5.2

Sa se arate ca originea este punct de echilibru instabil pentru sistemul

x1 = x2

x2 = −x1

x3 = x4

x4 = x1 − x3

care apare ca deformare la ultima ecuatie a sistemului precedent.

Rezolvare: Avem un sistem liniar cu matricea:

A =

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

1 0 −1 0

cu polinomul caracteristic:

PA(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 1 0 0

−1 −λ 0 0

0 0 −λ 1

1 0 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= λ2(λ2 + 1)−

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 0

0 −λ 1

1 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (λ2 + 1)2

dar:

A2 + I4 =

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

1 0 −1 0

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

1 0 −1 0

+ I4 =

−1 0 0 0

0 −1 0 0

1 0 −1 0

0 1 0 −1

+ I4 =

=

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

6= O4

Cum polinomul minimal divide polinomul caracteristic rezulta ca pA = PA. Cum teorema I

Lyapunov b) nu se verifica, ın sensul ca ±i nu sunt radacini simple (ci cu multiplicitate 2) rezulta

ca 0 este punct de echilibru instabil. Acest exercitiu, comparat cu primul, arata ca o modificare


“relativ mica” (la ultima ecuatie se adauga x1) schimba dramatic natura punctului de echilibru.

S 5.3

Aratati ca originea 0 = (0, 0) este punct de echilibru neliniar stabil pentru sistemul:

x1 = −x1 + x2 + x1x2

x2 = x1 − x2 − (x1)2

Rezolvare: Avem:

AX =

(x2 − 1 1 + x1

1− 2x1 −1

)⇒ AX(0) =

(−1 1

1 −1

)

PAX(0)(λ) =

∣∣∣∣∣−1− λ 1

1 −1− λ

∣∣∣∣∣ = (λ + 1)2 − 1 = λ2 + 2λ = λ(λ + 2)

deci A are valorile proprii λ1 = 0, λ2 = −2. Din teorema I Lyapunov iii) 0 nu este asimptotic

stabil deoarece λ1 nu este strict negativa, iar din iv) 0 nu este instabil caci λ1λ2 6 0. Altfel,

pentru a aplica teorema a II-a Lyapunov avem nevoie de o functie Lyapunov pentru 0. Fie

L(x) = (x1)2 + (x2)2. Avem L(xe) = L(0) = 0 si L(x) > 0 ∀x ∈ R2 \ 0. Avem

X(L) = (−x1 + x2 + x1x2)2x1 + (x1 − x2 − (x1)2)2x2 = −2((x1)2 + 2x1x2 + (x2)2) 6 0

ceea ce voiam pentru teorema a II-a Lyapunov. Avem X(L)(−a, a) = 0, ∀a ∈ R deci 0 nu este

asimptotic stabil.

S 5.4

Sa se arate ca originea este punct de echilibru asimptotic stabil pentru sistemul X = AX daca

matricea A =

(a b

c d

)satisface trA = a + c < 0 si detA = ad− bc > 0.

Rezolvare: Fie λ1, λ2 valorile proprii ale lui A deci solutiile ecuatiei λ2 − trAλ + detA = 0.

Caz I. λ1 ∈ C; atunci si λ2 ∈ C cu λ2 = λ1 Atunci, din relatiile Viete, λ1 + λ2 = trA =

2Re(λ1) = 2Re(λ2) si din ipoteza rezulta Re(λ1) = Re(λ2) < 0. Din teorema I Lyapunov iii)

avem concluzia.

Caz II. λ1, λ2 ∈ R Din relatiile Viete avem λ1λ2 = detA > 0 ceea ce spune ca λ1 si λ2 au

acelasi semn. Cum λ1 + λ2 = trA < 0 rezulta ca λ1, λ2 < 0 si din nou avem concluzia cu acelasi

argument.


S 5.5 (rigidul liber)

Sa se arate ca (0, 0, 0), (M, 0, 0), (0,M, 0), (0, 0, M), M ∈ R∗ sunt puncte de echilibru ın dinamica

rigidului liber dupa cum urmeaza: (0,M, 0) instabil, iar celelalte neliniar stabile.

Rezolvare: Conform exercitiului S4.1 liniarizat a sistemului diferential din dinamica rigidului

este ın x = (x1, x2, x3):

A(x) =

0 a2x3 a3x

3

a1x3 0 a3x

1

a1x2 a2x

1 0

In xe = (0,M, 0) avem:

A(xe) =

0 0 a3M

0 0 0

a1M 0 0

⇒ PA(xe) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 0 a3M

0 −λ 0

a1M 0 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ(λ2 − a1a3M).

Reamintim ca pentru rigidul liber avem a1 > 0, a2 < 0, a3 > 0 si deci valorile proprii ın

(0,M, 0) sunt λ1 = 0, λ2,3 = ±√a1a3M . Cum exista o valoare proprie pozitiva (+√

a1a3M)

conform criteriului iv) de la curs, punctul de echilibru (0,M, 0) este instabil.

I. Pentru originea 0 sa aratam ca Hamiltonianul H =12

((x1)2

I1+

(x2)2

I2+

(x3)2

I3

)este o functie

Lyapunov. Avem H(0) = 0, H(x) > 0, ∀x ∈ R3 \ 0 si X(H) = 0 deci aplicand teorema a II-a

Lyapunov originea este punct de echilibru neliniar stabil.

II. Pentru x2 = (M, 0, 0), M 6= 0 aplicam metoda energie-Casimir si conform celor de la curs

cautam functia ϕ : R → R a.ı. L = H + ϕ

(12(x1)2 +

12(x2)2 +

12(x3)2

)sa satisfaca conditiile

A + B.

A) ∇L(x) =(

x1

I1+ ϕ′ · x1,

x2

I2+ ϕ′ · x2,

x3

I3+ ϕ′ · x3

); deci ∇L(M, 0, 0) =

(M

(1I1

+

ϕ′(

M2

2

)), 0, 0

)= 0 daca ϕ′

(M2

2

)= − 1

I1

B) D2L(x) =

1I1

+ ϕ′ + ϕ′′(x1)2 ϕ′′x1x2 ϕ′′x1x3

ϕ′′x1x2 1I2

+ ϕ′ + ϕ′′(x2)2 ϕ′′x2x3

ϕ′′x1x3 ϕ′′x2x3 1I3

+ ϕ′ + ϕ′′(x3)2

deci:

D2L(M, 0, 0) =

1I1− 1

I1+ ϕ′′

(M2

2

)M2 0 0

01I2− 1

I1+ ϕ′′

(M2

2

)0 0

0 01I3− 1

I1+ ϕ′′

(M2

2

)0


=

ϕ′′(

M2

2

)M2 0 0

0 a3 0

0 0 −a2

Trebuie ındeplinite conditiile ϕ′(

M2

2

)= − 1

I1, ϕ′′

(M2

2

)> 0 pentru ca D2L(M, 0, 0) sa

fie pozitiv definita. In acest caz (M, 0, 0) este neliniar stabil. Pentru a gasi un exemplu

de functie ϕ cu relatiile cerute cautam ϕ(x) = α

(x − M2

2

)2

+ β

(x − M2

2

). Avem

ϕ′(x) = 2α

(x− M2

2

)+ β deci β = ϕ′

(M2

2

)= − 1

I1si ϕ′′(x) = 2α > 0 deci luam α = 1.

In concluzie ϕ(x) =(

x− M2

2

)2

− 1I1

(x− M2

2

)satisface conditiile cerute.

III. Aplicam aceeasi metoda:

A) ∇L(0, 0,M) =(

0, 0, M

(1I3

+ ϕ′(

M2

2

)))= 0 daca ϕ′

(M2

2

)= − 1

I3

B) D2L(0, 0, M) =

1I1− 1

I30 0

01I2− 1

I30

0 0 ϕ′′(

M2

2

)M2

=

a2 0 0

0 −a1 0

0 0 ϕ′′(

M2

2

)M2

Deci cautand ϕ′(

M2

2

)= − 1

I3si ϕ′′

(M2

2

)< 0 avem ca A,B sunt ındeplinite cu D2L(0, 0,M)

negativ definita si ın concluzie (0, 0,M) este neliniar stabil. Functia ϕ(x) = −(

x−M2

2

)2

−1I3

(x− M2

2

)satisface cerintele problemei.

S 5.6 (Lagrange)

Consideram un sistem Hamiltonian simplectic pe R2m cu Hamiltonianul H. Daca xe este punct

de echilibru cu D2H(xe) pozitiv sau negativ definita atunci xe este neliniar stabil.

Rezolvare: Aplicam criteriul energie-Casimir cu ϕ functia nula.

Exemplu. Originea pentru q = −q− q3. Acest sistem este Hamiltonian cu H =12p2 +

q2

2+

q4

4.

Cum ∇H = (q + q3, p) rezulta D2H(q, p) =

(1 + 3q2 0

0 1

)deci D2H(0) =

(1 0

0 1

)care este

pozitiv definita.

Lectia 6

Traiectoriile campurilor vectoriale

liniare

Suport de curs

Definitia 6.1

Campul vectorial X ∈ X (M) ıl numim liniar daca X : Rn → Rn este o transformare liniara i.e.

exista A ∈ Mn(R) asa ıncat X(x) = A · x.

Pentru matricea A ∈ Mn(R) numim norma lui A numarul real pozitiv ‖ A ‖=(

n∑i,j=1

(aij)

2

)1/2

=

(〈A,A〉)1/2 conform exercitiului S1.5.

O proprietate importanta a normei, utila ın cele ce urmeaza, este ‖ AB ‖6‖ A ‖ · ‖ B ‖;rezulta ca pentru numarul natural k avem ‖ Ak ‖6‖ A ‖k.

Definitia 6.2

Spunem ca sirul de matrici (Ak)k∈N converge ın norma la A ∈ Mn(R) daca ∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈N a.ı. k > N implica ‖ Ak −A ‖< ε. Notam Ak → A.

Suntem interesati ın gasirea curbelor integrale ale campului vectorial liniar A ∈ Mn(R).

Acestea sunt determinate de sistemul diferential:

ddt

x1(t)...

xn(t)

= A ·

x1(t)...

xn(t)

.

55

56 LECTIA 6. TRAIECTORIILE CAMPURILOR VECTORIALE LINIARE

Analizam cazul n = 1 deci x(t) = Ax(t). Din expresiax

x= A prin integrare avem lnx−ln x0 = At

cu solutia generala x(t) = eAtx0 unde x0 = x(t0) este data initiala iar A ∈ R. Pentru cazul

general n > 2 rezulta ca trebuie definita matricea eAt pentru t ∈ R si A ∈ Mn(R).

Propozitia 6.1

Dat t ∈ R si A ∈ Mn(R) seria matriceala∑

k>0

tk

k!Ak converge absolut si uniform pentru t ∈ [−T, T ]

cu T > 0.

Demonstratie: Fie a =‖ A ‖∈ R+. Avem∥∥∥∥tk

k!Ak

∥∥∥∥ 6 |t|kk!

‖ A ‖k6 (Ta)k

k!; deci

∑

k>0

∥∥∥∥tk

k!Ak

∥∥∥∥ 6

∑

k>0

(Ta)k

k!= eTa. Aplicand criteriul Weierstrass avem concluzia.

Definitia 6.3

Limita seriei din propozitia precedenta o notam eAt si o numim exponentiala matricii A.

Proprietatile exponentialei:

i) eOn = In

ii) t(eA) = etA considerand A ∈ M2n(C)

iii) eAt este inversabila si (eAt)−1 = e−At

iv) e(α+β)A = eαAeβA ∀α, β ∈ C

v) daca A,B comuta i.e. AB = BA atunci e(A+B)t = eAteBt = eBteAt

vi) daca S este inversabila atunci eSAtS−1= SeAtS−1

vii) ‖ eA ‖6 e‖A‖

viii)ddt

eAt = AeAt = eAtA; ın particularddt

eAt

∣∣∣∣t=0

= A.

Curbele integrale ale campurilor vectoriale liniare sunt date de:

Teorema 6.1 (fundamentala a sistemelor diferentiale liniare)

Sistemul diferential liniar

x(t) = Ax(t)

x(t0) = x0 ∈ Rn dat


are solutia unica x(t) = eAtx0.

Prin urmare suntem interesati de metode de calcul a exponentialei:

I. A diagonalizabila; deci exista S ∈ GL(n,R) a.ı. A = SDS−1 cu:

D =

λ1

. . .

λn

Cum eD =

eλ1

. . .

eλn

rezulta ca:

eA = S

eλ1

. . .

eλn

S−1

II. A nilpotenta adica ∃m ∈ N∗ a.ı. Am = On. Rezulta ca eA = In +11!

A +12!

A2 + · · ·+1

(m− 1)!Am−1.

III. A oarecare. Se arata ca orice matrice A se poate scrie ın mod unic sub forma A = X+N

cu X diagonalizabila, N nilpotenta si XN = NX. Atunci eA = eX · eN si eX , eN se

calculeaza imediat dupa cazurile precedente.

Se poate arata si urmatoarea formula de calcul a exponentialei: eA = limk→∞

(In +1kA)k.

Drept aplicatie a acestei formule sa consideram pentru z0 = u + iv ∈ C fixat campul vectorial

X : C → C, X(z) = z0 · z. Avem X(1) = z0 · 1 = u + iv si X(i) = z0 · i = −v + iu deci

A =

(u −v

v u

). Fie I2 +

1kA ce apare ca matricea campului vectorial liniar 1 +

z0

k.

Orice numar complez z se scrie z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z)). Avem, pentru un n foarte

mare:

– arg(

1 +z

n

)= Im

z

n=

1n

Im z

–∣∣∣∣1 + z

n

∣∣∣∣ = 1 + Re zn = 1 + 1

n Re z


Matricea(

I2 +1kA

)k

este matricea campului vectorial(

1 +z0

k

) · · · ︸︷︷︸

k ori

(1 +

z0

k

). Deci

n arg(

1 +z

n

)= Im z

∣∣∣∣1 + 1z

∣∣∣∣n

=(

1 + 1n Re z

)n

si din formula Moivre zn = |z|n(cos(n arg z) + i sin(n arg z)) rezulta ca

eA = limn→∞

∣∣∣∣1 +z0

n

∣∣∣∣n

(cos(n arg(1 +z0

n)) + i sin(n arg z0)) = eRe z0(cos(Im z0) + i sin(Im z0))

In concluzie:

ez = eu(cos v + i sin v)

numita formula Euler.

Seminar

S 6.1

Folosind formula Euler sa se arate ca:

e

(0 −v

v 0

)

=

(cos v − sin v

sin v cos v

), e

(0 −1

1 0

)

=

(cos 1 − sin 1

sin 1 cos 1

),

eiv = cos v + i sin v, eπi = −1

Rezolvare: Conform formulei Euler:

e

(u −v

v u

)

=

(eu cos v −eu sin v

eu sin v eu cos v

)

si pentru u = 0 obtinem prima relatie, iar din prima relatie cu v = 1 obtinem a doua relatie.

Relatia a treia se obtine din eu+iv = eu(cos v + i sin v) cu u = 0, iar a patra relatie se obtine din

a treia facand v = π.

S 6.2

Se cere exponentiala matricii:

A =

a d 0

0 a 0

0 0 c


Rezolvare: Matricea data se scrie A = X + N cu:

X =

a 0 0

0 a 0

0 0 c

, N =

0 d 0

0 0 0

0 0 0

si avem:

a 0 0

0 a 0

0 0 c

0 d 0

0 0 0

0 0 0

=

0 ad 0

0 0 0

0 0 0

,

0 d 0

0 0 0

0 0 0

a 0 0

0 a 0

0 0 c

=

0 ad 0

0 0 0

0 0 0

deci XN = NX, iar X este diagonala, N nilpotenta cu:

N2 =

0 d 0

0 0 0

0 0 0

0 d 0

0 0 0

0 0 0

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

= O3.

Avem:

eXt =

eat 0 0

0 eat 0

0 0 ect

, eNt = I3 +

t

1!N =

1 t 0

0 0 0

0 0 0

si deci:

eAt = eXteNt =

eat 0 0

0 eat 0

0 0 ect

1 t 0

0 0 0

0 0 0

=

eat teat 0

0 eat 0

0 0 ect

.

S 6.3

Se cere exponentiala matricii:

A =

(0 t

t 0

)

Rezolvare: Polinomul caracteristic al lui A este:

PA(λ) =

∣∣∣∣∣−λ t

t −λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − t2 = (λ + t)(λ− t)

deci A are valorile proprii λ1 = t, λ2 = −t. Pentru V (λ1) : −tx + ty = 0 da vectorul propriu

v1 = (1, 1), iar pentru V (λ2) : tx + ty = 0 da vectorul propriu v2 = (−1, 1). Deci considerand

matricea

S =

v1 v2

1 −1

1 1


aceasta este inversabila cu

S−1 =12

(1 1

−1 1

)

Avem A = SDS−1, D =

(t 0

0 −t

)si deci

eA = SeDs−1 =12

(1 −1

1 1

) (et 0

0 et

) (1 1

−1 1

)=

12

(et −e−t

et e−t

) (1 1

−1 1

)=

=12

(et + e−t et − e−t

et − e−t et + e−t

)

In concluzie

e

(0 t

t 0

)

=

(ch t sh t

sh t ch t

).

S 6.4

Folosind S 6.1 sa se arate ca:

cos t = 12(eit + e−it)

sin t = 12(eit − e−it)

Rezolvare: Din eit = cos t+i sin t rezulta e−it = cos t−i sin t si prin adunare, respectiv scadere

avem concluzia. Am folosit paritatea functii cosinus si imparitatea functiei sinus.

S 6.5

Daca A este matrice antisimetrica (tA = −A) atunci B = eA este ortogonala (tB ·B = In).

Rezolvare: t(eA) =t( ∑

k>0

1k!A

k

)=

∑k>0

1k!(

tA)k =∑k>0

1k!(−A)k = e−A si eA · e−A = eOn = In.

S 6.6 (simetrie pentru sisteme diferentiale)

Fie A matrice antisimetrica si x(t) solutie unica a sistemului diferential x(t) = Ax(t), x(0) = x0.

Atunci ∀t ∈ R avem ‖ x(t) ‖=‖ x0 ‖.

Rezolvare: Conform exercitiului anterior eAt ∈ O(n) si deci ‖ x(t) ‖2= 〈x(t), x(t)〉 = 〈eAtx0, eAtx0〉 =

〈x0, x0〉 (din eAt ∈ O(n)) =‖ x0 ‖2. Deci ‖ x(t) ‖=‖ x0 ‖.

Lectia 7

Grupuri matriceale

Suport de curs

Fie K unul din corpurile comutative R, C si Mn(K) multimea matricilor patratice de ordin n cu

elemente din K. Mn(K) este inel relativ la adunarea si ınmultirea matricilor, inel comutativ doar

pentru n = 1 cand M1(K) = K; pentru n > 2 Mn(K) este inel necomutativ. Suntem interesati ın

studiul elementelor inversabile (relativ la ınmultire) ale acestui inel. Fie deci GL(n,K) = A ∈Mn(K);A = matrice inversabila; reamintim caracterizarea A ∈ GL(n,K) ⇐⇒ det A 6= 0.

Propozitia 7.1

GL(n,K) este grup relativ la ınmutirea matricilor (pentru n > 2 neabelian).

Demonstratie: Fie A1, A2 ∈ GL(n,K); cum det(A1A2) = det A1 · A2 si cum K fiind corp

nu admite divizori ai lui zero, din detA1 6= 0 si detA2 6= 0 rezulta ca det(A1A2) 6= 0 deci

A1A2 ∈ GL(n,K). Prin urmare GL(n,K) este parte stabila relativ la ınmultire. Inmultirea

matricilor este asociativa, In este element neutru si In ∈ GL(n,K) iar pentru A ∈ GL(n,K)

exista evident A−1 si A−1 ∈ GL(n,K).

Definitia 7.1

GL(n,K) ıl numim n-grupul liniar general peste K.

Spre exemplu GL(1,K) = K∗ si numai ın acest caz grupul liniar este abelian.

61

62 LECTIA 7. GRUPURI MATRICEALE

Definitia 7.2

i) Fie sirul (Ak)k ∈ Mn(K) si A ∈ Mn(K). Spunem ca (Ak)k converge la A daca ∀i, j ∈1, . . . , n sirul numeric (Ak)i

j converge la Aij . Daca (Ak)k converge ın norma la A atunci

(Ak)k converge la A; deci notam la fel Ak → A.

ii) Multimea G ⊂ GL(n,K) o numim ınchisa daca ∀(Ak)k ∈ GL(n,K) cu Ak → A avem

A ∈ G.

iii) Multimea G ⊂ GL(n,K) o numim grup matricial tare daca este subgrup ın GL(n,K) si

ınchisa.

iv) Multimea G ⊂ GL(n,K) o numim grup matricial slab daca este subgrup ın GL(n,K) si

satisface urmatoarea proprietate (Lie): daca (Ak)k ∈ G si Ak → A atunci sau A ∈ G sau

A 6∈ GL(n,K).

Definitia 7.3

Fie F : M ⊆ Kn → K, (x1, . . . , xn) → F (x1, . . . , xn) ∈ K si x0 ∈ M fixat. Spunem ca F este

continua ın x0 daca ∀(xk)k ∈ M cu xk → x0 (pe componente) avem ca sirul (F (xk))k converge

ın K la F (x0). Daca F este continua ın orice punct din M spunem ca F este continua pe M .

Exemplul 6

i) Orice camp scalar, functiile constante, functiile polinomiale, functiile rationale cu numitor

ce nu se anuleaza pe M .

ii) F = det : Mn(K) ' Kn2 → K, detA = determinantul matricii A este functie polinomiala

de grad n.

iii) F : tr : Mn(K) → K, tr A = urma matricii A =n∑

i=1

aii este functie liniara, tr(λA + µB) =

λ trA + µ trB, deci continua

Exemple de grupuri matriceale

I. G = GL(n,K)

Este evident ca dat sirul (Ak)k ∈ GL(n,K) cu Ak → A avem ca sau A este inversabila i.e.

A ∈ G sau A nu este inversabila. Deci GL(n,K) este grup matricial slab.

II. G = SL(n,K) = A ∈ Mn(K); detA = 1Cum detA = 1 > 0 rezulta ca SL(n,K) ⊂ GL(n,K).


Propozitia 7.2

SL(n,K) este subgrup ın GL(n,K).

Demonstratie: i) Fie A1, A2 ∈ SL(n,K). Avem det(A1A2) = detA1 detA2 = 1 · 1 = 1.

Deci A1A2 ∈ SL(n,K).

ii) Fie A ∈ SL(n,K); din A · A−1 = In rezulta ca detA · det A−1 = det In = 1. Deci

det A−1 =1

detA=

11

= 1 i.e. A−1 ∈ SL(n,K).

Definitia 7.4

SL(n,K) ıl numim n-grupul liniar special peste K.

Spre exemplu SL(n,K) = 1K = 1.Fie (Ak)k ∈ SL(n,K) cu Ak → A. Din continuitatea functiei determinant avem ca detAk =

1 → det A; deci detA = 1, adica A ∈ SL(n,K). In concluzie SL(n,K) este grup matricial tare.

Observatii:

Exemple remarcabile de grupuri matriciale se obtin cerand invarianta relativ la forme biliniare

speciale pe Kn. Urmatoarele doua exemple si alte exemple din seminar sunt de acest tip.

III. G = On = A ∈ Mn(R); 〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉 ∀x, y ∈ RnAm aratat la sfarsitul primului curs ca O(n) = A ∈ Mn(R); tA · A = In; deci O(n) ⊂

GL(n,R) caci ∀A ∈ O(n) ∃A−1 = tA.

Propozitia 7.3

O(n) este subgrup ın GL(n,R).

Demonstratie: i) Fie A1, A2 ∈ O(n) si x, y ∈ Rn oarecare. Avem 〈A2A1x, A2A1y〉 A2∈O(n)=

〈A1x,A1y〉 A1∈O(n)= 〈x, y〉; deci A2A1 ∈ O(n).

ii) Fie A ∈ O(n). Folosim definitia pentru elementele A−1x,A−1y; deci 〈A(A−1x), A(A−1y)〉 =

〈A−1x,A−1y〉; rezulta ca A−1 ∈ O(n).

Definitia 7.5

O(n) ıl numim n-grupul ortogonal.


Exemplul 7

O(1) = A ∈ R; A ·A = 1 = −1, +1; am aratat ca O(1) este izomorf cu (Z2,+) ın S1.7.

Cum det tA = detA avem det(tA · A) = det tA · det A = (detA)2 = det In = 1; detA ∈−1,+1. Rezulta ca O(n) = O−(n) ∪ SO(n) unde O−(n) = A ∈ O(n); det A = −1 si

SO(n) = A ∈ O(n); detA = +1. O−(n) nu este parte stabila la ınmultire deoarece daca

A1, A2 ∈ O−(n) atunci det(A1A2) = detA1 det A2 = (−1) · (−1) = +1; deci A1A2 6∈ O−(n).

Propozitia 7.4

SO(n) este subgrup ın O(n).

Demonstratie: i) Fie A1, A2 ∈ SO(n). Din det(A1A2) = 1 rezulta ca A1A2 ∈ SO(n).

ii) Fie A ∈ SO(n); cum A−1 = tA avem detA−1 = det(tA) = 1 i.e. A−1 ∈ SOL(n).

Definitia 7.6

SO(n) ıl numim n-grupul ortogonal special.

Avem ca SO(n) = O(n)∩SL(n,R). Fie (Ak)k ∈ O(n) cu Ak → A. Cum functia transpunere

este continua avem ca tAk → tA; deci tAk ·Ak = In → tA ·A i.e. tA ·A = In. In concluzie O(n)

este grup matricial tare. SO(n) este intersectie de grupuri matriciale tari; rezulta ca SO(n) este

grup matricial tare.

IV. G = U(n) = A ∈ Mn(C); 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉 ∀x, y ∈ CnAm aratat ca U(n) = A ∈ Mn(C); tA ·A = In; deci U(n) ⊂ GL(n,C) caci ∀A ∈ U(n) ∃A−1

cu A−1 = tA. Exact la fel ca la O(n) avem ca U(n) este subgrup ın GL(n,C) numit n-grupul

unitar. Fie (Ak)k ∈ U(n) cu Ak → A. Functiile transpunere si conjugare sunt continue, decitAk → tA. Avem tAk · Ak = In → tAA; deci tA · A = In i.e. A ∈ U(n). Prin urmare U(n)

este grup matricial tare. Fie A ∈ U(n) oarecare: det(tA · A) = det tA detA = det A detA =

detA detA = | detA|2 = det In = 1. Avem ca U(n) ⊂ A ∈ GL(n,C); | detA| = 1. Fie

SU(n) = A ∈ U(n); detA = 1. Avem ca SU(n) = U(n) ∩ SL(n,C) si cum acestea sunt

grupuri rezulta ca SU(n) este subgrup ın U(n). Mai mult SU(n) este intersectia a doua grupuri

matriciale tari; deci SU(n) este grup matricial tare numit n-grupul unitar special.

V. G = H3 (Heisenberg)


Fie H3 = A ∈ M3(R);A = A(a, b, c) =

1 a b

0 1 c

0 0 1

, a, b, c ∈ R. Fie A = A(a1, a2, a3),

B = (b1, b2, b3) ∈ H3; avem:

A ·B =

1 a1 b1

0 1 c1

0 0 1

1 a1 b1

0 1 c1

0 0 1

=

1 a1 + b1 b2 + a1b3 + a2

0 1 a3 + b3

0 0 1

=

= A(a1 + b1, a2 + b2 + a1b3, a3 + b3)

ceea ce arata ca H3 este parte stabila relativ la ınmultire. Avem ca I3 = A(0, 0, 0) ∈ H3 si din

sistemul

a1 + b1 = 0

a2 + b2 + a1b3 = 0

a3 + b3 = 0

rezulta solutia b1 = −a1, b3 = −a3, b2 = −a2 − a1(−a3) = −a2 + a1a3. In concluzie, H3 este

grup cu:

(A(a, b, c))−1 = A(−a,−b + ac,−c)

ceea ce arata si faptul ca H3 este subgrup ın GL(3,R). Acest grup se numeste grupul Heisenberg

datorita legaturii cu relatiile Heisenberg de comutare din mecanica cuantica. Avem imediat ca

H3 este grup matricial tare.

VI. G = O(n,C), SO(n,C)

Fie ( ) : Cn ×Cn → C, (x, y) = x1y1 + · · ·+ xnyn. A ∈ Mn(C) o numim complex ortogonala

daca invariaza ( ) i.e. ∀x, y ∈ Cn avem (Ax,Ay) = (x, y) si fie O(n,C) multimea acestor matrici.

Cum (x, y) = tx · y rezulta exact ca la grupul O(n) ca O(n,C) = A ∈ Mn(C); tA · A = Insi de aici rezulta ca O(n,C) este subgrup ın GL(n,C). Exact ca la O(n) avem ca O(n,C) este

grup matricial tare numit n-grupul complex ortogonal; acest grup difera de U(n) deoarece ( )

difera de 〈〉. Analog SO(n,C) = A ∈ O(n,C); detA = +1 este subgrup ın O(n,C) si este

grup matricial tare numit n-grupul complex ortogonal special.

Seminar

S 7.1

Sa se determine O(2) si SO(2).


Rezolvare: Fie A =

(a c

b d

)∈ O(2); deci:

tA ·A =

(a b

c d

) (a c

b d

)=

(a2 + b2 ac + bd

ac + bd c2 + d2

)=

(1 0

0 1

)

Din sistemul

a2 + b2 = 1

c2 + d2 = 1

ac + bd = 0

=⇒

a = cosϕ, b = sin ϕ

c = cosψ, d = sin ψ

cosϕ cosψ + sin ϕ sinψ = cos(ψ − ϕ) = 0

avem doua cazuri: I) ψ = ϕ +π

2, II) ψ = ϕ +

3π

2.

I) c = cos(

ϕ +π

2

)= − sinϕ, d = sin

(ϕ +

π

2

)= cosϕ. In concluzie:

A =

(cosϕ − sinϕ

sinϕ cosϕ

)

si cum detA = 1 rezulta ca:

SO(2) =

A(ϕ) =

(cosϕ − sinϕ

sinϕ cosϕ

); ϕ ∈ [0, 2π)

II) c = cos(

ϕ +3π

2

)= sin ϕ, d = sin

(ϕ +

3π

2

)= − cosϕ. In concluzie:

A =

(cosϕ sinϕ

sinϕ − cosϕ

)

si cum detA = −1 rezulta ca:

O−(2) =

A(ϕ) =

(cosϕ sinϕ

sinϕ − cosϕ

); ϕ ∈ [0, 2π)

S 7.2

Sa se arate ca SO(2) este grup izomorf cu (S1, · ).

Rezolvare: Fie aplicatia F : SO(2) → R2, F (A(ϕ)) = (cosϕ, sinϕ) = cosϕ + i sinϕ. Avem

ca |F (A(ϕ))| =√

cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 deci ImF = S1 = z ∈ C; |z| = 1 = cercul unitate. F

este evident surjectiva; dat numarul complex z de modul 1 acesta se scrie ın mod unic, ın forma


trigonometrica z = |z|(cos ϕ + 1 sinϕ) = cosϕ + i sinϕ, deci z = F (A(ϕ)). Pentru injectivitate

presupunem F (A(ϕ1)) = F (A(ϕ2)); cum cosϕ1 = cos ϕ2, sinϕ1 = sin ϕ2 are solutia unica

ϕ1 = ϕ2 (ın intervalul [0, 2π) datorita periodicitatii functiilor trigonometrice) rezulta ca F este

injectiva. Deci F este bijectie si mai trebuie aratat ca este morfism de grupuri. Un calcul imediat

da A(ϕ1) · A(ϕ2) = A(ϕ1 + ϕ2) (verificati!) si z1 · z2 = (cosϕ1 + i sinϕ1)(cosϕ2 + i sinϕ2) =

cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2); rezulta ca

F (A(ϕ1) ·A(ϕ2)) = F (A(ϕ1 + ϕ2)) = z1 · z2 = F (A(ϕ1)) · F (A(ϕ2))

si deci F este izomorfism de grupuri.

S 7.3

Se cere U(1) si SU(1).

Rezolvare: U(1) = z ∈ M1(C); z · z = 1 = z ∈ C; |z| = 1 = S1. SU(1) = z ∈ S1; z =

1 = 1

S 7.4

Se cere SU(2) si legatura cu numerele cuaternionice.

Rezolvare: Fie A =

(a c

b d

)∈ SU(2); deci detA = ad− bc = 1 si

tA ·A =

(a b

c d

)·(

a c

b d

)=

( |a|2 + |b|2 ac + bd

ac + bd |c|2 + |d|2

)=

(1 0

0 1

)

ceea ce spune ca:

|a|2 + |b|2 = |c|2 + |d|2 = 1

ac + bd = 0

−bc + ad = 1

Inmultim ecuatia a doua cu b, a treia cu a si adunand noile ecuatii obtinem (|b|2 + |a|2)d = a

i.e. d = a. Din a treia ecuatie rezulta c = −b si ın concluzie:

SU(2) = A(a, b) =

(a −b

b a

)∈ M2(C); |a|2 + |b|2 = 1.


Sa observam legea de ınmultire pe SU(2):

A(a, b) ·A(c, d) =

(a −b

b a

) (c −d

d c

)=

(ac− bd −ad− bc

bc + ad −bd + ac

)= A(ac− bd, bc + ad).

Multimea (a, b) ∈ C2; |a|2 + |b|2 = 1 este (a1, a2, a3, a4) ∈ R4; a21 + a2

2 + a23 + a2

4 = 1adica exact sfera S3. Prin urmare aplicatia F : SU(2) → S3, F (A(a, b)) = (a, b) este exact o

bijectie. Cum pe S1 avem o lege de ınmultire indusa de cea a lui C = R2 ne ıntrebam daca

legea de ınmultire pe S3 indusa via F este restrictia unei ınmultiri din C2 = R4. Fie deci

z = (a1, a2, a3, a4) ∈ C2 scris sub forma z = a1 + ia2 + ja3 + ka4 cu regulile de ınmultire

i2 = j2 = k2 = −1 ca extensie a ınmultirii din C si ınca: ij = k, jk = i, ki = i adica avem

regula circulara.

Atunci z1 · z2 = (a1 + ia2 + ja3 + ka4)(b1 + ib2 + jb3 + kb4) = (a1b1 − a2b2 − a3b3 − a4b4) +

i(. . .)+j(. . .)+k(. . .). Verificam cu ınmultirea de la SU(2): ac− bd = (a1 + ia2)(b1 + ib2)− (a3−ia4)(b3 + ib4) = (a1b1− a2b2− a3b3− a4b4) + i(. . .); deci cele doua ınmultiri coincid. R4 = C2 cu

ınmultirea astfel introdusa este corp necomutativ numit corpul cuaternionilor.

Observatii:

A(0,−1) este exact structura simplectica planului:

A(0,−1) =

(0 1

−1 0

).

Lectia 8

Algebra Lie a unui grup matriceal

Suport de curs

Definitia 8.1

Fie G un grup matricial (slab sau tare). Multimea L(G) = X ∈ Mn(K); etX ∈ G ∀t ∈ R o

numim algebra Lie a grupului matricial G.

Propozitia 8.1

Fie X,Y ∈ L(G). Atunci X + Y ∈ L(G), sX ∈ L(G) ∀s ∈ R si X · Y − Y ·X ∈ L(G). Mai mult

daca A ∈ G atunci AXA−1 ∈ L(G).

Demonstratie: et(X+Y ) = etX · etY ∈ G din G grup daca X,Y comuta. Daca nu comuta

se foloseste formula et(X+Y ) = limk→∞

(e

tkXe

tkY

)k. et(sX) = e(ts)X ∈ G deci sX ∈ L(G). Din

proprietatea viii) a exponentialei (vezi cursul 6) avemddt

(etXY

)∣∣∣∣t=0

= XY din regula Leibniz

ddt

(etXY e−tX

)∣∣∣∣t=0

= (XY )eOn + (eOnY )(−X) = XY − Y X. Avem ca etXY e−tX ∈ L(G)

∀t ∈ R daca mai aratam ultima proprietate. Or, aceasta ultima proprietate rezulta din faptul

ca et(AXA−1) = AetXA−1 ∈ G ∀t ∈ R.

Rezulta ca L(G) este spatiu vectorial real relativ la operatiile de suma si ınmultire cu scalari

reali. Mai mult L(G) este multime ınchisa relativ la paranteza [X, Y ] = XY − Y X care verifica

axiomele de algebra Lie. Deci (L(G), +, [ ]) este o algebra Lie si acest lucru justifica denumirea

lui L(G).

I L(GL(n,K))

69

70 LECTIA 8. ALGEBRA LIE A UNUI GRUP MATRICEAL

Deoarece ∀X ∈ Mn(K) matricea etX este inversabila rezulta ca L(GL(n,K)) care o notam

gl(n,K) este chiar Mn(K).

II L(SL(n,K))

Avem ca det(eX) = etr X si deci trX = 0 implica det(etX) = 1 ∀t ∈ R. Invers, daca

det(etX) = et tr X = 1 rezulta ca trX = 0. In concluzie U(SL(n,K)) notata sl(n,K) este

sl(n,K) = A ∈ Mn(K); tr A = 0.III L(O(n))

Fie X ∈ Mn(R) a.ı. esX ∈ O(n); deci t(esX) ·esX = In deci esX este inversabila cu (esX)−1 =t(esX) = estX . Dar (esX)−1 = e−sX si deci esX ∈ O(n) ∀s ∈ R daca si numai daca e−sX = estX

echivalent tX = −X. Deci L(O(n)) notata o(n) este

o(n) = X ∈ Mn(R); tX = −X = Antisym(n,R)

adica multimea matricilor antisimetrice. L(SO(n)) este aceeasi multime so(n) = Antisym(n,R).

O(n,C) si SO(n,C) au aceeasi algebra Lie so(n,C) = X ∈ Mn(C); tX = −X.IV L(U(n))

Cu aceleasi argumente de mai sus algebra Lie a lui U(n) notata u(n) este

u(n) = X ∈ Mn(C); tX = −X.

Cum SU(n) = U(n) ∩ SL(n,C) rezulta ca algebra Lie a lui SU(n) este:

su(n) = X ∈ Mn(C); tX = −X, trX = 0

V L(H3)

Fie X =

0 α β

0 0 γ

0 0 0

∈ M3(R) oarecare. Avem ca:

X2 =

0 0 αγ

0 0 0

0 0 0

, X3 = O3

si deci:

etX = I3 +t

1!X +

t2

2!X2 =

1 tα tβ

0 1 tγ

0 0 1

+

0 0t2

2αγ

0 0 0

0 0 0

=

1 a b

0 1 c

0 0 1


cu c = tα, b = tβ +t2

2αγ, c = tγ. In concluzie:

L(H3) =

X(α, β, γ) =

0 α β

0 0 γ

0 0 0

∈ M3(R);α, β, γ ∈ R

.

Asocierea grup matricial → algebra Lie are proprietati remarcabile date de:

Teorema 8.1

Fie G,H grupuri matriciale si Φ : G → H un morfism de grupuri matriciale. Atunci exista si

este unica o transformare R-liniara ϕ : L(G) → L(H) a.ı. Φ(eX) = eϕ(X), ∀X ∈ L(G). In plus:

i) ϕ(AXA−1) = Φ(A)ϕ(X)Φ(A−1), ∀X ∈ L(G), A ∈ G

ii) ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ L(G); deci ϕ este morfism de algebre Lie

iii) ϕ(X) =ddt

Φ(etX)|t=0, ∀X ∈ L(G).

Fie K este ınca un grup matricial si Ψ : H → K este morfism de grupuri matriciale si

corespondent compunerea Λ = Ψ Φ.

Daca ϕ,ψ, λ sunt morfismele asociate de algebre Lie atunci λ = ψ ϕ.

Definitia 8.2 (Aplicatia adjuncta)

Fie A ∈ G; aplicatia AdA : L(G) → L(G), AdA(X) = AXA−1 o numim aplicatia adjuncta.

Avem ca AdA este transformare liniara inversabila cu inversa AdA([X,Y ])=[AdA(X),AdA(Y )],

∀X, Y ∈ L(G).

Seminar

S 8.1 (Matrici Pauli)

Fie V = A ∈ M2(C); tA = A si trA = 0. Sa se arate ca V este spatiu vectorial real 3-

dimensional.


Rezolvare: Fie A =

(a c

b d

)∈ V . Deci:

a + d = trA = 0

a = a

d = d

c = b

b = c

din tA = A

Rezulta ca a ∈ R si din prima ecuatie d = −a; deci A =

(a b

b −a

)si din b = u + iv:

A =

(a u− iv

u + iv −a

)= a

(1 0

0 −1

)+ u

(0 1

1 0

)+ v

(0 −i

i 0

)= aσ3 + uσ1 + vσ2

unde:

σ1 =

(0 1

1 0

), σ2 =

(0 −i

i 0

), σ3 =

(1 0

0 −1

)

se numesc matricile Pauli. Deci V este spatiu vectorial real 3-dimensional cu baza canonica

C = σ1, σ2, σ3.

S 8.2

Sa se organizeze V de la exercitiul precedent cu un produs scalar a.ı. matricile Pauli sa formeze

o baza ortonormata.

Rezolvare: Fie 〈 , 〉 : V × V → R, 〈A, B〉 =12

tr(AB). Avem ca 〈〉 este simetrica, biliniara si

〈A,A〉 =12

trA2. Avem:

σ21 =

(0 1

1 0

) (0 1

1 0

)=

(1 0

0 1

), σ2

2 =

(0 −i

i 0

) (0 −i

i 0

)=

(1 0

0 1

)

σ23 =

(1 0

0 −1

) (1 0

0 −1

)=

(1 0

0 1

)

de unde rezulta 〈σ1, σ1〉 = 〈σ2, σ2〉 = 〈σ3, σ3〉 = 1. Avem si:

σ1σ2 =

(0 1

1 0

) (0 −i

i 0

)=

(i 0

0 −i

), σ2σ3 =

(0 −i

i 0

) (1 0

0 −1

)=

(0 i

i 0

)


σ3σ1 =

(1 0

0 −1

) (0 1

1 0

)=

(0 1

−1 0

)

de unde rezulta 〈σ1, σ2〉 = 〈σ2, σ3〉 = 〈σ3, σ1〉 = 0. Fie A(a, u, v) = aσ2 + uσ1 + vσ2; avem:

A2 = (aσ2 + uσ1 + vσ2)(aσ2 + uσ1 + vσ2) =

= a2

(1 0

0 1

)+ u2

(1 0

0 1

)+ v2

(1 0

0 1

)+

+au

(0 1

−1 0

)+ av

( )+ ua

( )+

+uv

(i 0

0 −i

)+ va

(0 i

i 0

)+ vu

( )=

=

(a2 + u2 + v2 . . .

. . . a2 + u2 + v2

)

si deci12

trA2 = 〈A,A〉 = a2 + u2 + v2 ceea ce arata ca 〈〉 este produs scalar. Din cele de mai

sus avem ca σ1, σ2, σ3 constituie o baza ortonormata.

S 8.3 (Grupuri ortogonale generalizate)

Fie k ∈ N∗ si [ , ]n,k : Rn+k × Rn+k → R:

[x, y]n,k = x1y1 + · · ·+ xnyn − xn+1yn+1 − · · · − xn+kyn+k

care este o forma biliniara simetrica. Fie O(n, k) multimea matricilor A ∈ Mn+k(R) ce invariaza

[ , ]n,k i.e. ∀x, y ∈ Rn+k avem [Ax,Ay]n,k = [x, y]n,k. Sa se arate ca O(n, k) este grup matriciale

tare numit grup ortogonal generalizat. O(3, 1) se numeste grupul Lorenz datorita aplicatiilor la

studiul spatiului-timp.

Rezolvare: Fie:

In,k =

1. . .

1

−1. . .

−1

unde 1 apare de n ori iar (−1) de k ori. Avem ca I2n,k = In+k deci In,k este inversabila cu

I−1n,k = In,k. Avem ca:

[x, y]n,k = tx · In,k · y


si pentru A ∈ Mn+k(R) avem caracterizarea:

A ∈ O(n, k) ⇐⇒ tA · In,k ·A = In,k.

Fie A1, A2 ∈ O(n, k). Avem t(A1A2)In,k(A1A2) = tA2tA1In,kA1A2

A1∈O(n,k)= tA2In,kA2

A2∈O(n,k)=

In,k deci A1A2 ∈ O(n, k).

Fie A ∈ O(n, k); ınmultind la stanga caracterizarea precedenta cu In,k avem In,ktAIn,kA =

In+k si deci A este inversabila cu A−1 = In,ktAIn,k. Rezulta ca O(n, k) ⊂ GL(n+k,R). Aplicand

definitia pentru A ∈ O(n, k) si elementele A−1x,A−1y ∈ Rn+k avem [A(A−1x), A(A−1y)]n,k =

[A−1x,A−1y]n,k = [x, y]n,k ceea ce spune ca A−1 ∈ O(n, k). Deci O(n, k) este subgrup ın

GL(n, k,R). Rezulta imediat si faptul ca O(n, k) este grup matricial tare (exact ca la O(n)).

Pentru A ∈ Mn,k(R) si i ∈ 1, . . . , n + k notam A(i) coloana i din A i.e. A(i) =

A1i...

An+ki

.

Avem caracterizarea A ∈ O(n, k) daca si numai daca

i) [A(i), A(i)]n,k = 1, daca 1 6 i 6 n

ii) [A(i), A(i)]n,k = −1, daca n + 1 6 i 6 n + k

iii) [A(i), A(j)]n,k = 0, daca i 6= j.

Algebra Lie a lui O(n, k) coincide cu algebra Lie a lui SO(n, k) si este so(n, k) = X ∈Mn+k(R); In,k · tX · In,k = −X. SO(n, k) = A ∈ O(n, k); detA = +1.

Lectia 9

Actiuni de grupuri matriceale

Suport de curs

Fie G ⊂ GL(n,K) un grup matricial si M ⊂ Km = (Rm daca K = R, respectiv R2m daca

K = C).

Definitia 9.1

Spunem ca G actioneaza (la stanga) pe M daca exista o aplicatie Φ : G×M → M , (g, x) 7→ gx

cu proprietatile:

A1) ex = x, ∀x ∈ M

A2) g1(g2(x)) = (g1g2)x, ∀x ∈ M , ∀g1, g2 ∈ G

A3) considerand G ⊂ Rn2(respectiv R2n2

daca K = C) si M ⊆ Rm (respectiv R2m)

obtinem Φ : Rs → Rt; cerem ca toate cele t componente ale lui Φ sa fie campuri scalare,

adica elemente din C∞(Rs).

Fie g ∈ G fixat si aplicatia Φg : M → M , x 7→ gx. A1) spune ca Φe = 1M si A2) spune

ca Φg1 Φg2 = Φg1g2 . Fie S(M) = multimea bijectiilor pe M = f : M → M ; f bijectie.Cum compuneterea functiilor este asociativa, 1M ∈ S(M) este element neutru la compunere si

data f ∈ S(M) ∃f−1 ∈ S(M) rezulta ca (S(M), ) este grup, numit grupul simetric al lui M .

Fie Diff(M) = f ∈ S(M); f ∈ X (M). Avem ca Diff este subgrup ın S(M) numit grupul

difeomorfismelor lui M (compunerea a doua difeomorfisme este difeomorfism si inversul unui

difeomorfism este difeomorfism).

75

76 LECTIA 9. ACTIUNI DE GRUPURI MATRICEALE

Propozitia 9.1

Aplicatia g ∈ G 7→ Φg ∈ Diff(M) este morfism de grupuri.

Demonstratie: Mai ıntai sa observam ca din A3) avem ca Φg ∈ Diff(M). Faptul ca asocierea

data este un morfism de grupuri este parafrazarea axiomelor A1)–A2). Avem ca Φg ∈ S(M) cu

(Φg)−1 = Φg−1 .

Fie x ∈ M fixat. Multimea Orb(x) = Φg(x); g ∈ G ⊆ M o numim orbita lui x la actiunea

Φ, iar multimea Gx = g ∈ G; Φg(x) = x se numeste stabilizatorul lui x.

Propozitia 9.2

Gx este subgrup ın G si multime ınchisa ın G; deci Gx este grup matricial tare.

Demonstratie: i) Fie g1, g2 ∈ Gx; cum Φg1g2 = Φg1 Φg2 si Φg1 Φg2(x) = Φg1(Φg2(x)) =

Φg1(x) = x rezulta ca g1g2 ∈ Gx.

ii) Fie g ∈ Gx oarecare. Φg−1(x) = g−1(gx) A2= (g−1g)x = exA1= x deci g−1 ∈ Gx.

Din acest motiv Gx mai este numit grupul de izotropie al lui x.

Definitia 9.2

Actiunea Φ se numeste:

i) tranzitiva daca exista o unica orbita i.e. ∀x, y ∈ M ∃g ∈ G a.ı. y = gx. Daca acest g este

unic spunem ca actiunea este simplu tranzitiva si mai general daca exista doar k astfel

de g ∈ G (∀x, y ∈ M !) spunem ca actiunea este k-tranzitiva. Daca actiunea este simplu

tranzitiva spunem ca M este spatiu omogen al lui G.

ii) fidela (sau efectiva) daca Φg = 1M implica g = e; echivalent asocierea g ∈ G 7→ Φg ∈Diff(M) este injectiva.

iii) libera daca nu admite puncte fixe i.e. ∀x ∈ M aplicatia g ∈ G 7→ Φg(x) ∈ M este injectiva;

echivalent Gx = e ∀x ∈ M .

Rezulta imediat ca orice actiunea libera este fidela. Actiunea este libera daca pentru un

x ∈ M dat Φg(x) = x implica g = e.


Fie X ∈ L(G) algebra Lie a lui G si gX curba integrala a lui X ∈ X (Kn) (X gandit drept

camp vectorial liniar!) cu data initiala gX(0) = e ∈ G. O proprietate remarcabila a acestei

curbe integrale este: gX(t1) · gX(t2) = gX(t1 + t2). Functia X ∈ L(G) → gX(1) not= exp(X) ∈ G

o numim exponentiala pe G.

Definitia 9.3

Pentru X ∈ L(G) functia FX : M → Rm data de:

FX(x) =ddx

Φ(gX(t), x)∣∣∣∣t=0

este un camp vectorial pe M numit generatorul infinitezimal al lui Φ corespunzator lui X.

Propozitia 9.3

Asocierea X ∈ L(G) → FX ∈ X (M) este anti-morfism de algebre Lie i.e. este transformare

liniara si [FX , FY ] = −F[X,Y ].

Se arata si faptul ca L(Gx) = X ∈ L(G);FX(x) = 0.

Definitia 9.4

Dat y ∈ Orb(x) multimea TyOrb(x) = FX(y);X ∈ L(G) o numim spatiul tangent ın y la

Orb(x).

Daca M este un spatiu omogen al lui G atunci toate grupurile de izotropie sunt izomorfe si

fie H grupul de izotropie comun. Definim pe G relatia “∼” astfel: g1, g2 ∈ G sunt ın relatia “∼”

daca ∃h ∈ H a.ı. g2 = hg1. Avem ca “∼” este o relatie de echivalenta pe G si fie G/H multimea

factor i.e. G/H = [g]; [g] = clasa de echivalenta a lui g ∈ G. Daca M este spatiu omogen al

lui G atunci M este in bijectie cu G/H.

Seminar

S 9.1

Fie A ∈ M2(K). Sa se arate ca:

A2 − trA ·A + detA · I2 = O2.


Rezolvare: Fie A =

(a c

b d

). Avem:

A2 =

(a c

b d

) (a c

b d

)=

(a2 + bc ac + bd

ab + bd bc + d2

)=

(a2 + bc c · trA

b · trA bc + d2

)

si deci:

A2 − trA ·A =

(a2 + bc− a(ad) 0

0 bc + d2 − d(a + d)

)=

(bc− ad 0

0 bc− ad

)= −detA · I2

ceea ce da concluzia.

S 9.2

Folosind dezvoltarile ın serie Taylor:

sinx =x

1!− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · ·

cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · ·

sa se arate ca daca A ∈ M2(K) are trA = 0 atunci:

eA = cos(√

detA) · I2 +sin(

√det A)√

detA·A.

Rezolvare: Deoarece trA = 0 conform exercitiului anterior avem:

A2 = −det A · I2, A3 = −det A ·A, A4 = (detA)2I2, A5 = (detA)2A

si:

eA = I2 +11!

A +12!

A2 +13!

A3 +14!

A4 +15!

A5 + · · ·

= I2 +11!

A− det A

2!I2 − det A

3!A +

(detA)2

4!I2 +

(detA)2

5!A + · · ·

= I2

(1− det A

2!+

(detA)2

4!+ · · ·

)+ A

(1− det A

3!+

(detA)2

5!+ · · ·

)=

= I2

(1− (

√det A)2

2!+

(√

detA)4

4!+ · · ·

)+

+A√

det A

(11!

√detA− 1

3!(√

det A)3 +15!

(√

det A)5 + · · ·)

=

= I2 · cos(√

det A) +sin(

√det A)√

detAA.

Daca detA = 0 cum limt→0

sin t

t= 1 atunci coeficientul lui A se considera 1 ın formula precedenta.


S 9.3

Folosind exercitiul anterior se cere eX pentru X =

(4 3

−1 2

).

Rezolvare: Avem:

X =

(3 0

0 3

)+

(1 3

−1 −1

)= 3I2 + A

iar trA = 0. Deci, cum detA = 2, avem:

eX = e3I2+A = e3I2 · eA = e3

(1 0

0 1

)·(

cos√

2I2 +sin√

2√2

A

)=

= e3

(cos

√2 0

0 cos√

2

)+

sin√

2√2

(1 3

−1 −1

)=

= e3

cos√

2 +sin√

2√2

3sin√

2√2

−sin√

2√2

cos√

2− sin√

2√2

.

S 9.4

Fie (L, [ ]) o algebra Lie si X ∈ L fixat. Aplicatia AdX : L → L, AdX(Y ) = [X, Y ] o numim

aplicatia adjuncta. Sa se arate ca AdX este transformare liniara. Interpretare.

Rezolvare: AdX(λY +µZ) = [X, λY +µZ] = λ[X,Y ]+µ[X,Z] = λAdX(Y )+µ AdX(Z); ceea

ce voiam. Interpretare: rezulta ca avem aplicatia Ad : L → gl(L) = multimea transformarilor

liniare de la L la L. gl(L) este de fapt L(L) unde prin L(V ), cu V = K-spatiu vectorial, am

notat multimea transformarilor K-liniare de la V la V . Notatia L(L) este nefericita deoarece

am notat cu L algebra Lie data; ın plus g(L) o gandim ca o algebra Lie relativ la operatia

[ ] : gl(L)× gl(L) → gl(L), [T1, T2] = T1 T2 − T2 T1, ∀T1, T2 ∈ gl(L).

S 9.5

Sa se arate ca aplicatia Ad : L → gl(L) este morfism de algebre Lie i.e.:

Ad[X,Y ] = [AdX , AdY ].

Rezolvare: Fie Z ∈ L oarecare:

(Ad[X,Y ]−[AdX , AdY ])(Z) = [[X,Y ], Z]−AdX([Y, Z]) + AdY ([X, Z]) Jacobi=

= −[[Y,Z], X]− [[Z,X], Y ]− [X, [Y, Z]] + [Y, [X,Z]] = 0

din antisimetrie.


S 9.6

Fie G un grup matricial si g ∈ G. Definim translatia la stanga Lg : G → G, Lg(a) = ga respectiv

translatia la dreapta Rg : G → G Rg(a) = ga. Compunerea Ig = LgRg−1 o numim automorfism

interior al lui G. Sa se arate ca Lg, Rg sunt actiuni tranzitive, chiar simplu tranzitive. Se cere

expresia lui Ig.

Rezolvare: Lg(a) = b are solutia g = ba−1 si Rg(a) = b are solutia g = a−1b. Aceste solutii

sunt unice. Ig(a) = Lg(ag−1) = g a g−1.

Lectia 10

Sisteme Hamiltoniene cu simetrie

Suport de curs

Fie (M, ) o varietate Poisson pe care actioneaza grupul matricial G prin intermediul actiunii

Φ. Reamintim ca ∀ξ ∈ L(G) = algebra Lie a lui G i se asociaza generatorul infinitezimal

Fξ ∈ X (M) prin formula:

Fξ =ddt

Φ(etξ, x)∣∣∣∣t=0

= limt→0

1t(Φ(etξ, x)− x),

caci Φ(e0·ξ, x) = Φ(eOn , x) = Φ(In, x) = x.

Definitia 10.1

Spunem ca actiunea data este Hamiltoniana daca ∃J : L(G) → C∞(M) transformare liniara

(ıntre cele doua algebre Lie L(G) si C∞(M)) a.ı. ∀ξ ∈ L(G) avem Fξ = campul Hamiltonian

XJ(ξ) asociat Hamiltonianului J(ξ) ∈ C∞(M).

Deci orice generator infinitezimal este camp Hamiltonian. Actiunii Hamiltoniene Φ i se

asociaza aplicatia J : M → L(G)∗ = duala algebrei Lie L(G), data de J(x)(ξ) def= J(ξ)(x)

( ∈ R). J o numim aplicatia moment a actiunii Hamiltoniene Φ. Trebuie observat ca nu orice

actiune a unui grup matricial pe o varietate Poisson data este Hamiltoniana!

Asociem 4-uplului (M, , G,Φ) un Hamiltonian fixat H ∈ C∞(M).

Definitia 10.2

5-uplul (M, , G, Φ,H) ıl numim sistem Hamiltonian cu simetrie daca actiunea Φ este Hamil-

toniana si ın plus Hamiltonianul H este invariat de actiunea Φ i.e. ∀A ∈ G avem H ΦA = H.

81

82 LECTIA 10. SISTEME HAMILTONIENE CU SIMETRIE

Rezultatul central al teoriei sistemelor Hamiltoniene cu simetrie este faptul ca aplicatia

moment induce integrale prime pentru campul Hamiltonian asociat lui H adica pentru evolutia

sistemului dinamic avut ın vedere.

Teorema 10.1 (Noether)

Pentru un sistem Hamiltonian cu simetrie ∀ξ ∈ L(G) da integrala prima J(ξ).

Demonstratie: Trebuie aratat ca H, J(ξ) = 0. Sa folosim mai ıntai invarianta Hamil-

tonianului H. Fie x ∈ M fixat si relatia H Φ(etξ, x) = H(x) = H Φ(e0·ξ, x). Deci1t(H Φ(etξ, x)−H Φ(e0·ξ, x)) = 0 i.e.

limt→0

1t(H Φ(etξ, x)−H Φ(e0·ξ, x)) = 0

dar membrul stang este Fξ(H)(x) = 0. Cum x ∈ M era oarecare rezulta ca Fξ(H) = 0; dar

Fξ(H) = XJ(ξ)(H) = J(ξ),H ceea ce voiam.

Exemplul 8 (Momentul liniar total)

Consideram N particule ın spatiul fizic R3. Avem ca M = R6N = (q, p) = (q1, . . . , qN , p1, . . . , pN ) :

qi, pi ∈ R3, 1 6 i 6 N, unde qi este vectorul coordonatelor particulei i, pi este vectorul impuls

al particulei i. Pe M avem paranteza Poisson simplectica:

F, G =n∑

i=1

(⟨∂F

∂qi,∂G

∂pi

⟩−

⟨∂F

∂pi,∂G

∂qi

⟩).

G = (R3, +) actioneaza pe M prin Φ(x)(q, p) = (q1 + x, . . . , qn + x, p1, . . . , pn) i.e. Φ transleaza

fiecare particula cu vectorul x ∈ R3. Fie ξ ∈ L(G) ' R3:

Fξ(q, p) =ddt

Φ(etξ, (q, p))∣∣∣∣t=0

=ddt

(q1 + etξ, . . . , qn + etξ, p1, . . . , pn)∣∣∣∣t=0

=

= (ξ · etξ, . . . , ξ · etξ, 0, . . . , 0)|t=0= (ξ, . . . , ξ, 0, . . . , 0).

Sa cautam daca actiunea este Hamiltoniana. Vrem XJ(ξ) =(

∂J(ξ)∂p1

, . . . ,∂J(ξ)∂pn

,

−∂J(ξ)∂q1

, . . . ,−∂J(ξ)∂qn

)= Fξ deci avem sistemul:

∂J(ξ)∂pi

= ξ,∂J(ξ)∂qi

= 0, 1 6 i 6 N.

Se observa ca avem solutia: J(ξ)(q, p) =

⟨N∑

i=1

pi, ξ

⟩si deci J(q, p) =

n∑

i=1

pi care este momentul

liniar total.


Concluzie: Daca un sistem fizic este invariant la translatii atunci momentul liniar total al

acestui sistem se conserva! (Avem si: daca un sistem este invariant la translatii dupa o directie

data atunci proiectia momentului total al sistemului pe directia de translatie se conserva. Analog,

conservarea energiei totale a unui sistem este consecinta invariantei la translatii temporale!)

Exemplul 9 (Momentul unghiular total)

Consideram exemplul anterior cu N = 1; deci M = R6 = (q, p) = (q1, q2, q3, p1, p2, p3).G = SO(3) actioneaza pe M prin Φ(A, (q, p)) = (A · q, A · p). Fie ξ ∈ L(SO(3)) = so(3):

Fξ(q, p) =ddt

Φ(etξ, (q, p)) =ddt

(etξ · q, etξ · p)∣∣∣∣t=0

= (ξ · q, ξ · p).

Fie ξ =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

. Avem:

ξ ·

x

y

z

=

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

·

x

y

z

=

a2z − a3y

a3x− a1z

a1y − a2x

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

a1 a2 a3

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= ξ ×X

unde ξ = (a1, a2, a3) ∈ R3 si X = (x, y, z). Deci Fξ(q, p) = (ξ × q, ξ × p); cautam XJ(ξ) ca la

exemplul anterior solutie a sistemului:

∂J(ξ)∂p

= ξ × q,∂J(ξ)

∂q= −ξ × p.

Fie J(ξ) = 〈ξ × q, p〉 ce verifica prima ecuatie. Cum avem si expresia J(ξ) = 〈q × p, ξ〉 =

〈p× ξ, q〉 = −〈ξ × p, q〉 rezulta ca J(ξ) este solutia ceruta. In concluzie J(q, p) = q × p care este

momentul unghiular al unei singure particule.

Seminar

S 10.1 (Rn ca grup matricial)

Fie aplicatia exp : Rn → GL(n,R), x = (x1, . . . , xn) 7→ exp(x) =

ex1

. . .

exn

. Se

verifica imediat ca exp(x + y) = expx · exp y; deci exp este morfism de grupuri de la (Rn, +) la

(GL(n,R), · ). Avem ca multimea Diag+(n) = A ∈ GL(n,R);A =

a1

. . .

an

, a1, . . . , an >


0 este subgrup ın GL(n,R) si Im exp = Diag+(n). Prin urmare grupul (Rn,+) este izomorf cu

grupul (Diag+(n), · ), ceea ce arata ca Rn este grup matricial. Fie (Ak)k ∈ Diag+(n) cu Ak 7→ A;

cum Ak =

a1k

. . .

ank

rezulta ca A este matrice diagonala, A =

a1

. . .

an

. Daca toti

(ai)16i6n sunt strict pozitivi atunci A ∈ Diag+(n), iar daca exista ai nul atunci A 6∈ GL(n,R).

In concluzie Diag+(n) si deci (Rn,+) este grup matricial slab!

S 10.2 (Grupul Poincare)

Fie Izom(n) = f : Rn → Rn; f(x) = Ax + a, A ∈ O(n), a ∈ Rn. Deci un element f ∈ Izom(n)

ıl identificam cu perechea (A, a) ∈ O(n) × Rn. Fie f1 = (A1, a1), f2 = (A2, a2) ∈ Izom(n) si

x ∈ Rn:

f2 f1(x) = f2(A1x + a1) = A2(A1x + a1) + a2 = A2A1x + (A2a1 + a2).

Deci pe O(n)× Rn avem legea:

(A2, a2) · (A1, a1) = (A2A1, A2a1 + a2)

ın raport cu care O(n)× Rn devine grup ın care avem legea inversului:

(A, a)−1 = (A−1,−A−1a)

deoarece (In, 0) este element neutru. Fie aplicatia Φ : Izom(n) = O(n)× Rn → GL(n + 1,R):

Φ(A, a) =

a1

A...

an

0 . . . 0 1

Φ este injectiva si un calcul imediat da faptul ca Φ este chiar morfism de grupuri:

Φ((A2, a2) · (A1, a1)) = Φ(A2A1, A2a1 + a2) =

(A2A1 A2a1 + a2

0 . . . 0 1

)

Φ(A2, a2) · Φ(A1, a1) =

(A2 a2

0 . . . 0 1

)·(

A1 a1

0 . . . 0 1

)=

=

(A2A1 A2a1 + a2

0 . . . 0 1

).


In concluzie Izom(n) este grup izomorf cu grupul

a1

A...

an

0 . . . 0 1

∈ GL(n + 1,R);A ∈

O(n), a = (a1, . . . , an) deci Izom(n) este grup matricial. Cum O(n) este grup matricial tare

si limita unui sir de matrici de forma

a1

A...

an

0 . . . 0 1

este o matrice de acelasi tip rezulta

ca Izom(n) este grup matricial tare notat uneori si E(n) de la Euclidian. Analog avem grupul

P (n, 1) = O(n, 1) × Rn = f : Rn+1 → Rn+1; f(x) = Ax + a,A ∈ O(n, 1), a ∈ Rn+1 care

este grup matricial tare. P (n, 1) se numeste grupul Poincare. f ∈ Izom(n) invariaza distanta

Euclidiana:

d(x, y) =√

(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2

iar f ∈ P (n, 1) invariaza distanta Lorentz din Rn+1 = Rn × R :

dL =√

(y0 − x0)2 + (y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2 ∈ C

Algebra Lie a lui Izom(n) este:

L(Izom(n)) =

x1

X...

xn

0 . . . 0 1

∈ Mn+1(R);X ∈ o(n), x ∈ Rn

iar algebra Lie a lui P (n, 1) este:

L(P (n, 1)) =

x1

X...

xn+1

0 . . . 0 1

∈ Mn+2(R);X ∈ so(n, 1), x ∈ Rn+1

S 10.3 (Descompunerea polara pentru SL(n,R))

Fie P ∈ Mn(R) simetrica i.e. tP = P . Spunem ca P este matrice pozitiva daca ∀x ∈ Rn \ 0avem 〈x, Px〉 > 0. Daca P este pozitiva atunci toate valorile proprii ale lui P sunt strict pozitive.


Sa se arate ca P este diagonalizabila cu P = RDR−1 unde:

D =

λ1

. . .

λn

sunt valorile proprii pozitive ale lui P , iar R ∈ O(n).

Rezolvare: Fie λ ∈ R valoare proprie pentru P si x ∈ Rn \ 0 vector propriu corespunzator

lui λ. Atunci 〈x, Px〉 = 〈x, λx〉 = λ ‖ x ‖2> 0 si deci λ > 0. Fie v1, . . . , vn o baza ortonormata

de vectori proprii pentru P . P este diagonalizabila fiind simetrica si luam R = matricea avand

coloanele (v1, . . . , vn).

S 10.4 (continuare)

Pentru P ∈ Mn(R) simetrica si pozitiva fie P 1/2 = RD1/2R−1 conform celor anterioare unde

D1/2 =

λ1/21

. . .

λ1/2n

. Atunci P 1/2 este unica matrice simetrica si pozitiva a.ı. P 1/2 ·

P 1/2 = P .

Rezolvare: [(continuare)] Fie A ∈ SL(n,R); exista o unica pereche (P, R) cu P ∈ SL(n,R)

simetrica si pozitiva si R ∈ SO(n) a.ı. A = RP .

Lectia 11

Morfisme de grupuri matriciale si

algebre Lie

Suport de curs

Definitia 11.1

i) Fie G,H grupuri matriciale si Φ : G → H. Spunem ca Φ este morfism de grupuri matriciale

daca este morfism de grupuri si aplicatie continua (i.e. daca (Ak)k ∈ G verifica Ak → A

atunci Φ(Ak) ∈ H verifica Φ(Ak) → Φ(A)). Daca ın plus Φ este bijectie si Φ−1 este

aplicatie continua atunci spunem ca Φ este izomorfism de grupuri matriciale.

ii) Fie L1, L2 algebre Lie si φ : L1 → L2. Spunem ca φ este morfism de algebre Lie daca este

transformare liniara si ∀X, Y ∈ L1 avem φ([X,Y ]) = [φ(X), φ(Y )]. Daca ın plus φ este

bijectie spunem ca φ este izomorfism de algebre Lie.

iii) Fie G ⊂ GL(n,K) un grup matricial. Numim reprezentare complexa m-dimensionala

(m ∈ N) pentru G o pereche (V,Φ) cu V spatiul vectorial complex m-dimensional si Φ :

G → GL(V ) morfism de grupuri matriciale unde GL(V ) = T ∈ L(V );T = inversabilaeste grupul automorfismelor liniare ale lui V (ın fapt, fixand o baza pe V , este GL(m,C)).

Daca V este spatiu vectorial real spunem ca avem o reprezentare reala.

iv) Fie L o algebra Lie. Numim reprezentare complexa m-dimensionala o pereche (V, ϕ) cu

V ca la ii) si ϕ : L → gl(V ) morfism de algebre Lie (unde, pana la o baza a lui V ,

gl(V ) = Mm(C)). Daca V este spatiu vectorial real spunem ca avem o reprezentare reala.

87

88 LECTIA 11. MORFISME DE GRUPURI MATRICIALE SI ALGEBRE LIE

v) Daca Φ sau ϕ de la iii) sau iv) este injectiva spunem ca avem o reprezentare fidela.

Putem gandi o reprezentare ca o actiune liniara a lui G (sau L) pe V i.e. avem:

iii) G× V → V , (g, v) 7→ Φ(g)(v) ∈ V cu Φ(g) : V → V transformare liniara inversabila

iv) L× V → V , (X, v) 7→ ϕ(X)(v) ∈ V cu ϕ(X) : V → V transformare liniara.

Rezultatul central al acestei teorii este dat de:

Teorema 11.1

Fie grupul matricial G si (V,Π) o reprezentare a acestuia (reala sau complexa). Atunci exista o

unica reprezentare π a lui L(G) pe V cu proprietatea Π(eX) = eπ(X) pentru ∀X ∈ L(G). Mai

mult, ∀A ∈ G si ∀X ∈ L(G):

π(AXA−1) = Π(A)π(X)Π(A)−1.

Demonstratie: Definim:

π(X) =ddt

Π(etX)∣∣∣∣t=0

si se arata proprietatile cerute folosind faptul ca L(GL(V )) = gl(V ).

Exemple de reprezentari

I Fie G ⊂ GL(n,C). Atunci: Π : G → GL(n,C), Π(A) = A este reprezentarea numita

reprezentarea standard a lui G. Daca G ⊂ GL(n,R) reprezentarea standard este reala. Algebra

Lie L(G) este inclusa ın gl(n,C) respectiv gl(n,R) si incluziunea lui L(G) ın gl(n,K) este o

reprezentare a lui L(G) numita reprezentarea standard.

II Fie G ⊂ GL(n,K). Atunci Π : G → GL(1,C), Π(A) = 1 ∀A ∈ G este o reprezentare numita

banala. Analog daca L este o algebra Lie atunci π : L → gl(1,C), π(X) = 0 ∀X ∈ L este o

reprezentare numita banala.

III Pentru G grup matricial avem aplicatia Ad : G → GL(L(G)), A ∈ G 7→ AdA, AdA :

L(G) → L(G), AdA(X) = AXA−1. Ad este morfism de grupuri matriciale si deci perechea

(L(G),Ad) este o reprezentare n-dimensionala pentru G numita reprezentarea adjuncta a lui G.

Analog, daca L este o algebra Lie, aplicatia ad : L → gl(L), X ∈ L 7→ adX , adX : L →L, adX(Y ) = [X, Y ] este un morfism de algebre Lie si deci o reprezentare a lui L numita

reprezentarea adjuncta a lui L.


Propozitia 11.1

Pentru grupul matricial G fie GL(L(G)) grupul matricial al transformarilor liniare inversabile

pe L(G) algebra Lie a lui G. Aplicatia AdA ∈ GL(L(G)) pentru orice A ∈ G si (AdA)−1 ≡AdA−1 . Mai mult, aplicatia A ∈ G 7→ AdA ∈ GL(L(G)) este morfism de grupuri matriciale si

∀X, Y ∈ L(G) avem:

AdA([X, Y ]) = [AdA(X),AdA(Y )].

Definitia 11.2

Fie (V,Π) o reprezentare a grupului matricial G (sau algebrei Lie L) si W un subspatiu vectorial

al lui V . Spunem ca W este invariant daca ∀A ∈ G si w ∈ W avem Π(A)(w) ∈ W . Subspatiul

invariant W ıl numim netrivial (sau nebanal) daca W 6∈ V, 0. O reprezentare ce nu admite

subspatii invariante netriviale se numeste reprezentare ireductibila.

Reprezentarea banala este ireductibila deoarece C nu are subspatii netriviale.

Seminar

S 11.1 (Reprezentari pentru SU(2))

Fie m ∈ N∗ si Vm multimea polinoamelor ın doua variabile complexe, polinoame omogene de

grad total m i.e.

Vm =

f(z1, z2) =

m∑

k=0

akzm−k1 zk

2 ; a0, . . . , am ∈ C

.

Avem ca Vm este spatiu vectorial complex cu baza zm−k1 zk

206k6m; deci dimC Vm = m + 1. Fie

Πm : SU(2) → L(Vm), U ∈ SU(2) 7→ Πm(U) ∈ L(Vm) cu [Πm(U)f ](z1, z2) = f(U−1 · (z1, z2)).

Notand:

U−1 =

(U−1

11 U−112

U−121 U−1

22

)

avem ca:

[Πm(U)f ](z1, z2) =m∑

k=0

ak(U−111 z1 + U−1

12 z2)m−k · (U−121 z1 + U−1

22 z2)k

si dezvoltand, cu binomul lui Newton, obtinem ca Πm(U)f ∈ Vm. Avem si:

Πm(U1)[Πm(U2)f ](z1, z2) = [Πm(U2)f ](U−11 (z1, z2)) = f(U−1

2 U−11 (z1, z2)) =

= f((U1U2)−1(z1, z2)) = [Πm(U1U2)f ](z1, z2)

deci Πm este morfism de grupuri matriciale. Avem imediat si faptul ca Πm este aplicatie continua;

deci (Vm, Πm) este reprezentarea complexa (m + 1)-dimensionala pentru SU(2).


S 11.2 (Reprezentari pentru su(2))

Din exercitiul anterior si teoria de la curs avem πm : su(2) → gl(Vm):

πm(X) =ddt

Πm(etX)∣∣∣∣t=0

.

Deci:

(πm(X)f)(z1, z2) =ddt

f(e−tX(z1, z2))∣∣∣∣t=0

.

Fie z : I → C2, z(t) = (z1(t), z2(t)) = e−tX(z1, z2); deci z(0) = (z1, z2). Din regula Leibniz de

derivare a produsului:

(πm(X)f)(z1, z2) =∂f

∂z1

dz1

dt

∣∣∣∣t=0

+∂f

∂z2

dz2

dt

∣∣∣∣t=0

.

Cumdzdt

∣∣∣∣t=0

= −Xe0·X · (z1, z2) = −X · (z1, z2) = −(

X11 X12

X21 X22

) (z1

z2

)=

− (X11z1 + X12z2, X21z1 + X22z2)

rezulta:

(πm(X)f)(z1, z2) = − ∂f

∂z1(z1, z2)(X11z1 + X12z2)− ∂f

∂z2(z1, z2)(X21z1 + X22z2).

Exemplu:

H =

(1 0

0 −1

)∈ sl(2,C) ' su(2).

Din (∗) avem:

(πm(H)f)(z1, z2) = − ∂f

∂z1z1 +

∂f

∂z2z2 ⇒ πm(U) = −z1

∂

∂z1+ z2

∂

∂z2

Astfel aplicand πm(H) elementului zm−k1 zk

2 din baza lui Vm avem:

πm(H)zm−k1 zk

2 = −(m− k)zm−k1 zk

2 + kzm−k1 zk

2 = (2k −m)zm−k1 zk

2

ceea ce arata ca zm−k1 zk

2 este vector propriu pentru πm(H) cu valoarea proprie (2k−m). Obtinem

ca πm(H) are valorile proprii reale si distincte −m, 2−m, . . . , 2(m− 1)−m = m− 2, +m deci

πm(H) este diagonalizabila.

Exemplu:

X =

(0 1

0 0

)∈ sl(2,C), Y =

(0 0

1 0

)∈ sl(2,C).

Avem:

πm(X) = −z2∂

∂z1, πm(Y ) = −z1

∂

∂z2⇒ πm(X) = (zm−k

1 zk2 )


S 11.3 (Reprezentari pentru sl(2,C))

In sl(2,C) avem baza:

H =

(1 0

0 −1

), X =

(0 1

0 0

), Y =

(0 0

1 0

).

Sa se arate relatiile de comutare:

[H, X] = 2X

[H, Y ] = −2Y

[X,Y ] = H

Rezulta ca daca V este un spatiu vectorial complex si A,B, C ∈ L(V ) satisfac:

[A, B] = 2B

[A,C] = −2C

[B,C] = A

atunci aplicatia π : sl(2,C) → gl(V ): π(H) = A, π(X) = B, π(Y ) = C extinsa prin linearitate

va fi o reprezentare a lui sl(2,C).

Lectia 12

Spatii vectoriale simplectice

Suport de curs

Fie V spatiu vectorial real n-dimensional cu dualul V ∗ si Ω : V × V → R transformare biliniara

antisimetrica:

i) Ω(u, v) = −Ω(v, u)

ii) Ω(λu + µv,w) = λΩ(u, w) + µΩ(v, w), ∀λ, µ ∈ R, ∀u, v, w ∈ V .

Se observa ca din 1) si 2) rezulta si liniaritatea ın al doilea argument pentru Ω. Deasemenea

rezulta ca Ω(u, u) = 0, ∀u ∈ V .

Fie Ωb : V → V ∗, u ∈ V 7→ Ωb(u) cu Ωb(u)(v) = Ω(u, v), ∀u, v ∈ V .

Propozitia 12.1

Ωb(u) ∈ V ∗, ∀u ∈ V .

Demonstratie: Ωb(u)(λv + µw) = Ω(u, λv + µw) = λΩ(u, v) + µΩ(u,w) = λΩb(u)(v) +

µΩb(u)(w).

Propozitia 12.2

Ωb este transformare liniara ıntre spatiile vectoriale reale V , V ∗.

Demonstratie: Trebuie aratat ca Ωb(λu + µv) = λΩb(u) + µΩb(v), ∀λ, µ ∈ R, ∀u, v ∈ V . Fie

93

94 LECTIA 12. SPATII VECTORIALE SIMPLECTICE

w ∈ V oarecare. Avem:

Ωb(λu + µv)(w) = Ω(λu + µv, w) = λΩ(u,w) + µΩ(v, w)

(λΩb(u) + µΩb(v))(w) = λΩb(u)(w) + µΩb(v, w) = λΩ(u, w) + µΩ(v, w)

Definitia 12.1

Transformarea biliniara antisimetrica Ω o numim forma (sau structura) simplectica daca Ωb este

izomorfism de spatii vectoriale. In acest caz perechea (V,Ω) o numim spatiu vectorial simplectic.

Cum Ωb este deja transformare liniara cerem deci ca Ωb sa fie bijectie. Conform unui rezul-

tat de algebra liniara o transformare liniara ıntre spatii vectoriale de aceeasi dimensiune este

surjectiva daca si numai daca este injectiva. Cum dimV = dimV ∗ = n rezulta ca este suficienta

injectivitatea lui Ωb i.e. Ωb(u1) = Ωb(u2) ⇒ u1 = u2. Echivalent Ωb(u1) − Ωb(u2) = 0V ∗ ⇒u1− u2 = 0V sau ınca Ωb(u1− u2) = 0V ∗ ⇒ u1− u2 = 0V deoarece Ωb este transformare liniara.

Prin urmare cerem ca Ωb(u) = 0V ∗ ⇒ u = 0V adica Ω(u, v) = 0 ∀v ∈ V sa implice u = 0,

conditie ce se mai numeste nedegenerarea lui Ω.

Fie B = ei16i6n o baza fixata ın V si B∗ = ek16k6n baza duala din V ∗ i.e. ek(ei) = δki .

Ωb(ei) ∈ V ∗; deci Ωb(ei) admite o descompunere unica ın raport cu B∗: Ωb(ei) = Ωikek. Daca

aplicam aceasta egalitate de transformari liniare pe vectorul ej ∈ V avem Ωb(ei)(ej) = Ω(ei, ej) =

(Ωikek)(ej) = Ωikδ

kj = Ωij . Deci Ωij = Ω(ei, ej) si identificam Ω cu matricea A = (Ωij)16i,j6n.

Din antisimetria lui Ω i.e. Ωij = −Ωji rezulta ca tA = −A i.e. A este matrice antisimetrica,

A ∈ o(n). Sa aplicam functia determinant egalitatii precedente: det tA = det(−A). Cum

det tA = detA si det(−A) = (−1)n detA rezulta ca (−1)n = 1 adica n este numar par! Prin

urmare, structurile simplectice pot fi definite doar pe spatii vectoriale de dimensiune para; altfel

spus, paritatea dimensiunii este o conditie necesara pentru existenta unei structuri simplectice!

Exemplul fundamental de structura simplectica

Fie Ωcan : R2n → R2n, Ωcan = tX · Jk · Y cu:

Jk =

(Ok Ik

−Ik Ok

)


Deci pentru X = (x1, . . . , xk, xk+1, . . . , x2k), Y = (y1, . . . , yk, yk+1, . . . , y2k) avem:

Ωcon(X, Y ) = (−xk+1, . . . ,−x2k, x1, . . . , xk) ·

y1

...

y2k

=

= x1yk+1 + · · ·+ xky2k − xk+1y1 − · · · − x2kyk.

Ωcan este structura simplectica numita canonica.

Aceasta forma simplectica este utila ın scrierea ecuatiilor Hamilton de miscare. Fie (q, p) =

(q1, . . . , qk, p1, . . . , pk) ∈ R2k si H ∈ C∞(R2k) functia Hamilton. Reamintim ecuatiile Hamilton:

qi =∂H

∂qi, pi = −∂H

∂pi, 1 6 i 6 k. Acestea se pot scrie

ddt

(q, p) = Jk · ∇H =

(Ok Ik

−Ik Ok

)·

∂H

∂q∂H

∂p

. Prin urmare

ddt

(q, p) = Ωcan(∇H) si deciddt

(q, p) = Ω(∇H,∇H) = 0 ceea ce este

conservarea lui H:ddt

(q, p)(∇H) = qi ∂H

∂qi+ pi

∂H

∂pi=

ddt

(H(q, p)). Deciddt

(q, p) ∈ (R2k)∗ este

interpretarea corecta!

Mai precis, t ∈ R 7→ ddt

(q(t), p(t)) este o curba ın (R2k)∗ sau ınca (q, p) ∈ (R2k)∗. Pentru

q ∈ Rk fixat multimea T ∗q Rk = (q, p) ∈ (R2k)∗; p ∈ Rk o numim spatiul cotangent ın q la

Rk. Din modul de constructie T ∗q Rk este spatiu vectorial real izomorf cu Rk; deci dimT ∗q Rk =

k. Multimea T ∗Rk =⋃

q∈Rk

T ∗q Rk o numim fibratul cotangent al lui Rk. T ∗Rk = (q, p) ∈

(R2k)∗; q ∈ Rk, p ∈ Rk = (R2k)∗; deci T ∗Rk este spatiu vectorial real izomorf cu R2k. Prin

urmare dimT ∗Rk = 2k.

Seminar

S 12.1 (1-forme diferentiale)

Fie X (R2k) multimea campurilor vectoriale pe R2k, care este spatiu vectorial 2k-dimensional cu

baza(

∂

∂qi,

∂

∂pi

)

16i6k. Dualul acestui spatiu vectorial ıl notam Λ1(R2k) si un element din acest

dual ıl numim 1-fora (diferentiala). In Λ1(R2k) avem baza duala celei precedente dqi, dpi; deci

dqi(

∂

∂qj

)= δi

j , dqi(

∂

∂pj

)= 0

dpi

(∂

∂qj

)= 0, dpi

(∂

∂pj

)= δi

j


Fie H ∈ C∞(R2k). Dual campului gradient ∇H =(

∂H

∂qi,∂H

∂pi

)avem dH ∈ Λ1(R2k) data de

dH =∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi numita diferentiala lui H. Sa se scrie ecuatiile Hamilton ın termeni de

dH.

Rezolvare: Avem Ωbcan(q, p) = dH(q, p). Aceasta relatie ne conduce la urmatoarea definitie:

Campul vectorial X ∈ X (R2k) ıl numim Hamiltonian daca ∃H ∈ C∞(R2k) a.ı. Ωbcan(X) =

dH. In acest caz notam X = XH si H o numim functia Hamilton.

S 12.2 (Campuri Hamiltoniene liniare)

Fie X ∈ X (R2k) camp vectorial liniar definit de A ∈ M2k(R). Atunci X este Hamiltonian daca

si numai daca A este matrice Ωbcan-antisimetrica i.e. Ωcan(Au, v) = −Ω(u,Av). Cine este H?

Rezolvare: Presupunem:

A =

(M N

P Q

)

si atunci

A(q, p) = (Mq + Np, Pq + Qp) = X(q, p) = Jk ·

∂H

∂q∂H

∂p

=

(0 +1

−1 0

)

∂H

∂q∂H

∂p

=

=(

∂H

∂p,−∂H

∂q

)

si deci:∂H

∂q= −Pq−Qp,

∂H

∂p= Mq +Np. Cum

∂

∂q

(∂H

∂p

)=

∂

∂p

(∂H

∂q

)avem −Q = M si deci

A =

(M N

P −M

)

Avem A(q, p) = (Mq + Np, Pq −Mp) si:

Ω(A(q, p), (q, p)) = (Mq + Np, Pq −Mp)

(P

−q

)= Mpq + Np2 − Pq2 + Mpq =

= 2Mpq + Np2 − Pq2

Ω((q, p), A(q, p)) = (−p, q)

(Mq + Np

Pq −Mp

)= −Mpq −Np2 + Pq2 −Mpq =

= −2Mpq −Np2 + Pq2


ceea ce arata ca A este Ωcan-antisimetrica. Avem:

dH =∂H

∂qdq +

∂H

∂pdp = (−Pq + Mp)dq + (Mq + Np)dp =

= M(pdq + qdp)− Pqdq + Npdp = Md(pq)− Pd(12q2) + Nd(

12p2) =

= d(Mpq − P

2q2 +

N

2p2)

adica:

H = Mpq − P

2q2 +

N

2p2

ce este un Hamiltonian patratic. Comparand cu prima relatie din acolada de mai sus rezulta ca:

H(q, p) =12Ωcan(A(q, p), (q, p)).

S 12.3 (Transformari canonice)

Fie (V,Ω) si (W,ω) spatii simplectice si f : V → W o aplicatie (nu neaparat liniara). Spunem

ca f este simplectomorfism (sau transformare canonica) daca este bijectie si ∀v1, v2 ∈ V avem:

Ω(v1, v2) = ω(f(v1), f(v2)).

Sa se arate ca f : R2 → R2 transformare liniara definita de matricea A ∈ M2(R) este simplecto-

morfism relativ la Ωcan daca si numai daca detA = 1 i.e. A ∈ SL(2,R).

Rezolvare: f : R2 → R2 este simplectomorfism relativ la Ωcan daca si numai daca

tv1 · Jk · v2 = ω(Av1, Av2) = t(Av1) · Jk ·Av2 = tv1 · tAJk ·Av2

ceea ce revine la Jk = tA · Jk ·A. Sa studiem cazul k = 1 cand:

A =

(a b

c d

).

Avem:

tA · J1 ·A =

(a c

b d

) (0 1

−1 0

) (a b

c d

)=

(−c a

−d b

) (a b

c d

)=

=

(0 ad− bc

bc− ad 0

)=

(0 1

−1 0

)

ceea ce revine la ad− bc = det A = 1.


S 12.4

Care sunt valorile proprii ale lui J1? Este J1 diagonalizabila?

Rezolvare: det(J1 − λI2) =

∣∣∣∣∣−λ 1

−1 −λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 1 = 0 ⇒ λ ∈ ±i. J1 nu este diagonalizabila

deoarece λ1,2 6∈ R.

S 12.5

Se cere expresia parantezei Poisson induse de J1.

Rezolvare:

F, G = t(∇F ) ·(

0 1

−1 0

)· ∇G =

(∂F

∂q,∂F

∂p

) (0 1

−1 0

)

∂G

∂q∂G

∂p

=

=(−∂F

∂p,∂F

∂q

)

∂G

∂q∂G

∂p

=

∂F

∂q

∂G

∂p− ∂F

∂p

∂G

∂q.

Avem: qn, p = nqn−1, q, pm = mpm−1, qα, pβ = αqα−1βpβ−1 = αβqα−1pβ−1.

Bibliografie

[1] Anastasiei, M., Crasmareanu, M., Lectii de geometrie (Curbe si suprafete),

Ed. Tehnopress, Iasi, 2005.

[2] Arnold, V., Metodele matematice ale mecanicii clasice, Ed. Stiintifica si Enciclopedica,

Bucuresti, 1980.

[3] Arnold, V., Ecuatii diferentiale ordinare, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1978.

[4] Barbu, V., Ecuatii diferentiale, Ed. Junimea, Iasi, 1985.

[5] Cruceanu, V., Elemente de algebra liniara si geometrie, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucuresti, 1973.

[6] Landau, L., Lifchitz , E., Physique theoretique 1:Mecanique, Ed. Mir, Moscou, 1981

(ed. 4).

[7] Marsden, J.E., Ratiu, T.S., An introduction to mechanics and symmetry, Springer,

1994.

[8] Miron, R., Anastasiei, M., The geometry of Lagrange spaces: theory and applications,

Kluwer, 1994.

[9] Miron, R., Bucataru, I., Finsler-Lagrange geometry, in press.

[10] Munteanu, Gh., Balan, V., Lectii de teoria relativitatii, Ed. Bren, Bucuresti, 2000.

[11] Obadeanu, V., Grosanu, I., Sisteme dinamice cu aplicatii ın biologie si economie,

Ed. Mirton, Timisoara, 1996.

[12] Oproiu, V., Geometrie diferentiala, Ed. Univ. “Al.I. Cuza”, Iasi, 2002.

99

100 BIBLIOGRAFIE

[13] Opris, D., Butulescu, I., Metode geometrice ın studiul sistemelor de ecuatii diferentiale,

Ed. Mirton, Timisoara, 1997.

[14] Pitis, Gh., Topologie diferentiala, Ed. Univ. Transilvania, Brasov, 1997.

[15] Pop, I., Curs de geometrie analitica, Ed. Univ. “Al.I. Cuza”, Iasi, 1992.

[16] Puta, M., Hamiltonian mechanical systems and geometric quantization, Kluwer, 1993.

[17] Raileanu, L., Miron, R., Geometrie diferentiala, Ed. Univ. “Al.I. Cuza”, Iasi, 1987.

[18] Udriste, C., Linii de camp, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1988.

[19] Zet, Gh., Simetrii unitare si teorii gauge, Ed. Gh. Asachi, Iasi, 1998.

[20] Zet, Gh., Supersimetrii si teoria stringurilor, Ed. Cermi, Iasi, 2001.

Cuprins - Facultatea De Matematica Iasimcrasm/depozit/b4.pdf · 2005-09-02 · acest material pot...

Documents

Transcript of Cuprins - Facultatea De Matematica Iasimcrasm/depozit/b4.pdf · 2005-09-02 · acest material pot...