8/19/2019 Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice

1/2

Chiar dacă principiul cutiei lui Dirichelet se bazează pe una dintre cele mai simple observa iiț

matematice, rezolvarea problemelor folosind această metodă nu este o sarcină prea u oară. În acestș

articol vom prezenta câteva probleme dificile care pot fi rezolvate folosind principiul cutiei (Dirichlet).

Principiul cutiei (Dirichlet) se bazează pe una dintre cele mai simple observa ii matematice: dacățavem n obiecte dispuse în n ! cutii, atunci e"istă cel pu in o cutie care con ine două obiecte.ț ț

Generalizare: #a rezolvarea unor probleme este util de aplicat principiul Dirichlet $eneralizat.

Daca plasăm  pn%! obiecte în n cutii, atunci cel putin o cutie va contine cel pu in &p%!' obiecte.ț

Dar, pe cât de simplu este acest principiu, pe atât de comple"e sunt implica iile lui. "ist destuleț

probleme, unele dintre ele propuse spre rezolvare la diferite concursuri de matematică, a cror solu ieț

se poate ob ine mult mai u or dacă se folose te principiul cutiei .ț ș ș

*aterialul prezentat mai +os va con ine problemele cu număr impar rezolvate, cele cu număr par fiindț

propuse spre rezolvare.

Problema 1. În -- de cutii se află mere. e tie că în fiecare cutie se află cel mult /0- mere. ă seș

demonstreze că e"istă cel pu in 1 cutii ce con in acela i număr de mere.ț ț ș

Solu ie.ț  2ie că în primele /0- cutii se află un număr diferit de mere (!,/,3,/0-) i în următoarele /0-ș

de cutii la fel (adică se e"aminează cazul e"tremal). 4stfel, au rămas -- /5/0- 6 /- cutii, în care

trebuie plasate mere de la ! la /0-.

Problema 2 .ă se demonstreze că din !! cifre pot fi selectate două cifre identice.

Problema 3. ă se demonstreze că printre orice ase numere între$i e"istă două numere a căror ș

 diferen ă este divizibilă prin .ț

Solu ie.ț  Considerăm cutii etichetate cu numerele -,!,/,1,0, care reprezintă resturile împar irii la .ț

7epartizăm în aceste cutii ase numere între$i arbitrare, independente de restul împăr irii la , adicăș ț

 în aceea i cutie se plasează numerele cu acela i rest de împăr ire la . Cum numere (&obiecte') suntș ș ț

mai multe decât cutii, conform principiului Dirichlet, e"istă o cutie ce con ine mai mult decât un obiect.ț

Deci, e"istă (cel pu in) două numere plasate în aceea i cutie. 8rin urmare, e"istă două numere cuț ș

acela i rest de împăr ire prin . 4tunci, diferen a lor este divizibilă prin .ș ț ț

Problema 4. Într9o $rupă sunt / de studen i cu vârste cuprinse de la ! la /0 de ani. ă se arate căț

e"istă cel pu in studen i cu aceea i vârstă.ț ț ș

Problema 5..#a un test de matematică, din cei 0- de elevi participan i, / de elevi au rezolvat primaț

problemă, 1- de elevi au rezolvat a doua problemă, 1 de elevi au rezolvat9o pe a treia, iar 11 de

elevi au rezolvat problema a patra. 4răta i că cel pu in trei elevi au rezolvat toate cele patru probleme.ț ț

  Solu ieț : 8resupunem că niciun elev nu a rezolvat toate cele patru probleme, deci fiecare a rezolvat

cel mult trei. 4tunci cei 0- de elevi au rezolvat cel mult 0-;16!/- probleme. Dar numărul de probleme

rezolvate de elevi a fost de /%1-

%1%116!/1 probleme. Deci, având în plus 1 probleme rezolvate, înseamnă că cel pu in trei elevi auț

rezolvat toate cele 0 probleme

Problema 6. #a un concurs de matematică participă 1-- de elevi, repartiza i în mod e$al în ! săli. ăț

se afle:

!. a) Cel mai mic număr de fete care ar trebui să participe, tiind că, indiferent cum s9ar face repartizarea,ș

 în fiecare sala trebuie să fie cel pu in o fată.ț

/. b) Cel mai mare număr de fete care ar putea participa, astfel încât, indiferent de repartizare, să e"iste o

sală numai cu băie i.ț

8/19/2019 Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice

2/2

Problema 7. ă se arate că oricum am ale$e < numere pătrate perfecte distincte e"istă cel pu in douăț

a căror diferen ă se divide prin !- .ț

olu ieț  : =oi studia cum se comportă un pătrat perfect la împăr irea prin !-, adică ce resturi poate daț

un p.p la împăr irea prin !-.ț

 4vem

Deci fiind > cutii, oricum am ale$e < pătrate perfecte distincte vor e"ista două care să apar inăț

aceleia i mul imi, adică să dea acela i rest la împăr irea prin ! , ceea ce înseamnă că diferen a lor seș ț ș ț ț

divide prin !-.

Problema 8. ă se arate că din orice trei numere prime, mai mari decât 1, se pot ale$e două cu

proprietatea ca suma sau diferen a lor se divide cu !/.ț

Cu a+utorul principiului cutiei se pot rezolva i probleme deș  geometrie.

Problema 9. În interiorul unui triun$hi echilateral cu lun$imea laturii ! sunt plasate puncte. ă se

demonstreze că e"istă două puncte din cele cu distan a dintre ele mai mică decât -,.ț

Solu ie.ț  Divizăm triun$hiul echilateral cu latura ! în patru triun$hiuri echilaterale cu lun$imea laturii de

-, (fi$. !).

 4tunci într9unul dintre triun$hiuri vor fi cel pu in două puncte din cele . *a"imul distan ei în acelț ț

triun$hi va fi lun$imea laturii, adică -,.