Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații...

download Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice

of 2

Transcript of Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații...

  • 8/19/2019 Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice

    1/2

    Chiar dacă principiul cutiei lui Dirichelet se bazează pe una dintre cele mai simple observa iiț

    matematice, rezolvarea problemelor folosind această metodă nu este o sarcină prea u oară. În acestș

    articol vom prezenta câteva probleme dificile care pot fi rezolvate folosind principiul cutiei (Dirichlet).

    Principiul cutiei (Dirichlet) se bazează pe una dintre cele mai simple observa ii matematice: dacățavem n obiecte dispuse în n ! cutii, atunci e"istă cel pu in o cutie care con ine două obiecte.ț ț

    Generalizare: #a rezolvarea unor probleme este util de aplicat principiul Dirichlet $eneralizat.

    Daca plasăm  pn%! obiecte în n cutii, atunci cel putin o cutie va contine cel pu in &p%!' obiecte.ț

    Dar, pe cât de simplu este acest principiu, pe atât de comple"e sunt implica iile lui. "ist destuleț

    probleme, unele dintre ele propuse spre rezolvare la diferite concursuri de matematică, a cror solu ieț

    se poate ob ine mult mai u or dacă se folose te principiul cutiei .ț ș ș

    *aterialul prezentat mai +os va con ine problemele cu număr impar rezolvate, cele cu număr par fiindț

    propuse spre rezolvare.

    Problema 1. În -- de cutii se află mere. e tie că în fiecare cutie se află cel mult /0- mere. ă seș

    demonstreze că e"istă cel pu in 1 cutii ce con in acela i număr de mere.ț ț ș

    Solu ie.ț  2ie că în primele /0- cutii se află un număr diferit de mere (!,/,3,/0-) i în următoarele /0-ș

    de cutii la fel (adică se e"aminează cazul e"tremal). 4stfel, au rămas -- /5/0- 6 /- cutii, în care

    trebuie plasate mere de la ! la /0-.

    Problema 2 .ă se demonstreze că din !! cifre pot fi selectate două cifre identice.

    Problema 3. ă se demonstreze că printre orice ase numere între$i e"istă două numere a căror ș

     diferen ă este divizibilă prin .ț

    Solu ie.ț  Considerăm cutii etichetate cu numerele -,!,/,1,0, care reprezintă resturile împar irii la .ț

    7epartizăm în aceste cutii ase numere între$i arbitrare, independente de restul împăr irii la , adicăș ț

     în aceea i cutie se plasează numerele cu acela i rest de împăr ire la . Cum numere (&obiecte') suntș ș ț

    mai multe decât cutii, conform principiului Dirichlet, e"istă o cutie ce con ine mai mult decât un obiect.ț

    Deci, e"istă (cel pu in) două numere plasate în aceea i cutie. 8rin urmare, e"istă două numere cuț ș

    acela i rest de împăr ire prin . 4tunci, diferen a lor este divizibilă prin .ș ț ț

    Problema 4. Într9o $rupă sunt / de studen i cu vârste cuprinse de la ! la /0 de ani. ă se arate căț

    e"istă cel pu in studen i cu aceea i vârstă.ț ț ș

    Problema 5..#a un test de matematică, din cei 0- de elevi participan i, / de elevi au rezolvat primaț

    problemă, 1- de elevi au rezolvat a doua problemă, 1 de elevi au rezolvat9o pe a treia, iar 11 de

    elevi au rezolvat problema a patra. 4răta i că cel pu in trei elevi au rezolvat toate cele patru probleme.ț ț

      Solu ieț : 8resupunem că niciun elev nu a rezolvat toate cele patru probleme, deci fiecare a rezolvat

    cel mult trei. 4tunci cei 0- de elevi au rezolvat cel mult 0-;16!/- probleme. Dar numărul de probleme

    rezolvate de elevi a fost de /%1-

    %1%116!/1 probleme. Deci, având în plus 1 probleme rezolvate, înseamnă că cel pu in trei elevi auț

    rezolvat toate cele 0 probleme

    Problema 6. #a un concurs de matematică participă 1-- de elevi, repartiza i în mod e$al în ! săli. ăț

    se afle:

    !. a) Cel mai mic număr de fete care ar trebui să participe, tiind că, indiferent cum s9ar face repartizarea,ș

     în fiecare sala trebuie să fie cel pu in o fată.ț

    /. b) Cel mai mare număr de fete care ar putea participa, astfel încât, indiferent de repartizare, să e"iste o

    sală numai cu băie i.ț

  • 8/19/2019 Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice

    2/2

    Problema 7. ă se arate că oricum am ale$e < numere pătrate perfecte distincte e"istă cel pu in douăț

    a căror diferen ă se divide prin !- .ț

    olu ieț  : =oi studia cum se comportă un pătrat perfect la împăr irea prin !-, adică ce resturi poate daț

    un p.p la împăr irea prin !-.ț

     4vem

    Deci fiind > cutii, oricum am ale$e < pătrate perfecte distincte vor e"ista două care să apar inăț

    aceleia i mul imi, adică să dea acela i rest la împăr irea prin ! , ceea ce înseamnă că diferen a lor seș ț ș ț ț

    divide prin !-.

    Problema 8. ă se arate că din orice trei numere prime, mai mari decât 1, se pot ale$e două cu

    proprietatea ca suma sau diferen a lor se divide cu !/.ț

    Cu a+utorul principiului cutiei se pot rezolva i probleme deș  geometrie.

    Problema 9. În interiorul unui triun$hi echilateral cu lun$imea laturii ! sunt plasate puncte. ă se

    demonstreze că e"istă două puncte din cele cu distan a dintre ele mai mică decât -,.ț

    Solu ie.ț  Divizăm triun$hiul echilateral cu latura ! în patru triun$hiuri echilaterale cu lun$imea laturii de

    -, (fi$. !).

     4tunci într9unul dintre triun$hiuri vor fi cel pu in două puncte din cele . *a"imul distan ei în acelț ț

    triun$hi va fi lun$imea laturii, adică -,.