Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații...
-
Upload
radu-daniel -
Category
Documents
-
view
218 -
download
0
Transcript of Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații...
-
8/19/2019 Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice
1/2
Chiar dacă principiul cutiei lui Dirichelet se bazează pe una dintre cele mai simple observa iiț
matematice, rezolvarea problemelor folosind această metodă nu este o sarcină prea u oară. În acestș
articol vom prezenta câteva probleme dificile care pot fi rezolvate folosind principiul cutiei (Dirichlet).
Principiul cutiei (Dirichlet) se bazează pe una dintre cele mai simple observa ii matematice: dacățavem n obiecte dispuse în n ! cutii, atunci e"istă cel pu in o cutie care con ine două obiecte.ț ț
Generalizare: #a rezolvarea unor probleme este util de aplicat principiul Dirichlet $eneralizat.
Daca plasăm pn%! obiecte în n cutii, atunci cel putin o cutie va contine cel pu in &p%!' obiecte.ț
Dar, pe cât de simplu este acest principiu, pe atât de comple"e sunt implica iile lui. "ist destuleț
probleme, unele dintre ele propuse spre rezolvare la diferite concursuri de matematică, a cror solu ieț
se poate ob ine mult mai u or dacă se folose te principiul cutiei .ț ș ș
*aterialul prezentat mai +os va con ine problemele cu număr impar rezolvate, cele cu număr par fiindț
propuse spre rezolvare.
Problema 1. În -- de cutii se află mere. e tie că în fiecare cutie se află cel mult /0- mere. ă seș
demonstreze că e"istă cel pu in 1 cutii ce con in acela i număr de mere.ț ț ș
Solu ie.ț 2ie că în primele /0- cutii se află un număr diferit de mere (!,/,3,/0-) i în următoarele /0-ș
de cutii la fel (adică se e"aminează cazul e"tremal). 4stfel, au rămas -- /5/0- 6 /- cutii, în care
trebuie plasate mere de la ! la /0-.
Problema 2 .ă se demonstreze că din !! cifre pot fi selectate două cifre identice.
Problema 3. ă se demonstreze că printre orice ase numere între$i e"istă două numere a căror ș
diferen ă este divizibilă prin .ț
Solu ie.ț Considerăm cutii etichetate cu numerele -,!,/,1,0, care reprezintă resturile împar irii la .ț
7epartizăm în aceste cutii ase numere între$i arbitrare, independente de restul împăr irii la , adicăș ț
în aceea i cutie se plasează numerele cu acela i rest de împăr ire la . Cum numere (&obiecte') suntș ș ț
mai multe decât cutii, conform principiului Dirichlet, e"istă o cutie ce con ine mai mult decât un obiect.ț
Deci, e"istă (cel pu in) două numere plasate în aceea i cutie. 8rin urmare, e"istă două numere cuț ș
acela i rest de împăr ire prin . 4tunci, diferen a lor este divizibilă prin .ș ț ț
Problema 4. Într9o $rupă sunt / de studen i cu vârste cuprinse de la ! la /0 de ani. ă se arate căț
e"istă cel pu in studen i cu aceea i vârstă.ț ț ș
Problema 5..#a un test de matematică, din cei 0- de elevi participan i, / de elevi au rezolvat primaț
problemă, 1- de elevi au rezolvat a doua problemă, 1 de elevi au rezolvat9o pe a treia, iar 11 de
elevi au rezolvat problema a patra. 4răta i că cel pu in trei elevi au rezolvat toate cele patru probleme.ț ț
Solu ieț : 8resupunem că niciun elev nu a rezolvat toate cele patru probleme, deci fiecare a rezolvat
cel mult trei. 4tunci cei 0- de elevi au rezolvat cel mult 0-;16!/- probleme. Dar numărul de probleme
rezolvate de elevi a fost de /%1-
%1%116!/1 probleme. Deci, având în plus 1 probleme rezolvate, înseamnă că cel pu in trei elevi auț
rezolvat toate cele 0 probleme
Problema 6. #a un concurs de matematică participă 1-- de elevi, repartiza i în mod e$al în ! săli. ăț
se afle:
!. a) Cel mai mic număr de fete care ar trebui să participe, tiind că, indiferent cum s9ar face repartizarea,ș
în fiecare sala trebuie să fie cel pu in o fată.ț
/. b) Cel mai mare număr de fete care ar putea participa, astfel încât, indiferent de repartizare, să e"iste o
sală numai cu băie i.ț
-
8/19/2019 Chiar Dacă Principiul Cutiei Lui Dirichelet Se Bazează Pe Una Dintre Cele Mai Simple Observații Matematice
2/2
Problema 7. ă se arate că oricum am ale$e < numere pătrate perfecte distincte e"istă cel pu in douăț
a căror diferen ă se divide prin !- .ț
olu ieț : =oi studia cum se comportă un pătrat perfect la împăr irea prin !-, adică ce resturi poate daț
un p.p la împăr irea prin !-.ț
4vem
Deci fiind > cutii, oricum am ale$e < pătrate perfecte distincte vor e"ista două care să apar inăț
aceleia i mul imi, adică să dea acela i rest la împăr irea prin ! , ceea ce înseamnă că diferen a lor seș ț ș ț ț
divide prin !-.
Problema 8. ă se arate că din orice trei numere prime, mai mari decât 1, se pot ale$e două cu
proprietatea ca suma sau diferen a lor se divide cu !/.ț
Cu a+utorul principiului cutiei se pot rezolva i probleme deș geometrie.
Problema 9. În interiorul unui triun$hi echilateral cu lun$imea laturii ! sunt plasate puncte. ă se
demonstreze că e"istă două puncte din cele cu distan a dintre ele mai mică decât -,.ț
Solu ie.ț Divizăm triun$hiul echilateral cu latura ! în patru triun$hiuri echilaterale cu lun$imea laturii de
-, (fi$. !).
4tunci într9unul dintre triun$hiuri vor fi cel pu in două puncte din cele . *a"imul distan ei în acelț ț
triun$hi va fi lun$imea laturii, adică -,.